排列与组合PPT优秀课件
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高中数学排列与组合课件
P(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即 n×(n-1)×...×3×2×1。
3
排列的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=P(n-1,m-1)+P(n1,m)。
排列的计算方法及应用
计算方法
根据排列的公式，将具体的n和m 代入公式进行计算。
应用
排列在组合数学、概率论、统计 学等领域有广泛的应用，如排列 组合问题、概率计算等。
高中数学排列与组合 课件
汇报人： 202X-01-05
目录
• 排列与组合的基本概念 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的综合应用 • 练习题与答案解析
01 排列与组合的基本概念
排列的定义与性质
排列的定义：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n ），按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取
02
区别
排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
03
应用场景
在实际问题中，需要根据具体情境选择使用排列或组合 来描述和解决问题。
02 排列的计算方法
排列的公式与性质
1 2
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照 一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取 出m个元素的排列。
排列的公式
进阶练习题2
题目内容涉及排列与组合与其他数学知识的结合，如概率论 、统计学等。答案解析：详细解释了如何将其他数学领域的 知识与排列与组合相结合，以解决更为复杂的实际问题。
综合练习题
综合练习题1
题目内容涉及排列与组合的多个知识点，要求考生具备较高的数学综合能力。答 案解析：详细解释了如何综合运用排列与组合的多个知识点解决实际问题，并提 供了多种解题思路。
3
排列的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=P(n-1,m-1)+P(n1,m)。
排列的计算方法及应用
计算方法
根据排列的公式，将具体的n和m 代入公式进行计算。
应用
排列在组合数学、概率论、统计 学等领域有广泛的应用，如排列 组合问题、概率计算等。
高中数学排列与组合 课件
汇报人： 202X-01-05
目录
• 排列与组合的基本概念 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的综合应用 • 练习题与答案解析
01 排列与组合的基本概念
排列的定义与性质
排列的定义：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n ），按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取
02
区别
排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
03
应用场景
在实际问题中，需要根据具体情境选择使用排列或组合 来描述和解决问题。
02 排列的计算方法
排列的公式与性质
1 2
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照 一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取 出m个元素的排列。
排列的公式
进阶练习题2
题目内容涉及排列与组合与其他数学知识的结合，如概率论 、统计学等。答案解析：详细解释了如何将其他数学领域的 知识与排列与组合相结合，以解决更为复杂的实际问题。
综合练习题
综合练习题1
题目内容涉及排列与组合的多个知识点，要求考生具备较高的数学综合能力。答 案解析：详细解释了如何综合运用排列与组合的多个知识点解决实际问题，并提 供了多种解题思路。
排列与组合ppt课件
数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
排列组合经典课件
排列组合的应用领域
概率与统计
探索排列组合在概率与统计中 的应用，如事件发生的可能性 和样本空间的计算。
密码学
了解排列组合在密码学中的重 要作用，如密码生成和加密算 法的设计。
计算机科学
深入研究排列组合在计算机科 学中的广泛应用，如算法设计 和图形处理。
经典问题与高级技巧
1
容斥原理
学习容斥原理及其在排列组合中的应用，解决复杂计数问题。
1 题型分析
2 实例分析
3 总结与归纳
详细剖析不同类型的排列组 合题目，提供解题技巧和思 路。
通过实例分析，展示排列组 合在实际问题中的运用和解 决。
总结常见排列组合问题的解 法，为复杂问题提供简单思 维模式。
沉浸于排列组合的世界
通过掌握高级排列组合知识和技巧，你将能够解决更加复杂的问题，并在实 践中体验数
深入研究生成函数的概念和应用，简化排列组合问题的求解过程。
3
经典问题
掌握解决排列组合中的经典问题，如n皇后问题和哈密顿回路。
枚举算法与随机化算法
枚举算法
深入了解枚举算法在排列组合中的应用，如组合生成和 全排列问题。
随机化算法
探索随机化算法如何在排列组合中产生随机样本和进行 优化。
解题技巧与实践应用
排列组合经典课件
介绍排列组合的基本概念及应用，探索排列与组合的区别与联系，解读排列 组合的计算方法和公式。
排列组合的重要性
1
概念与应用
深入探讨排列组合的基本概念，以及在现实生活和学科领域中的应用。
2
二项式定理
了解二项式定理的概念和重要性，以及其在排列组合中的运用。
3
多重集合排列组合
介绍多重集合下的排列组合问题，扩展你的知识和技能。
高中数学排列与组合 PPT课件 图文
则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
A
.C
2 5
A33
B.2C
3 5
A33
C
.A
3 5
D.2C52A33 A53
课堂练习：
5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
小结
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
方 法 二 ： C 1 5 2 C 3 0 C 9 56 6 6
例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要 派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名 外科医生参加，有多少种选法？
例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线 上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确 定多少条直线？可以作多少个三角形？
。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果
其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数
为（ C ）
A.(C8 3C7 2)(C7 3C82)
B .(C 8 3C 7 2)(C 7 3C 8 2)
C.C83C72C73C82
D.C83C72C111
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac
你发现a了dc cda dca 什么b?cd cbd dbc
bdc cdb dcb
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
A 求3可 分 两 步 考 虑 ：
求4P
3 4
可分两步考虑：
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
排列组合ppt课件
排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
高中数学选修2-3《排列与组合》全部课件
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
第二节排列组合-PPT课件
1 4 2 3 3 2 4 1 ( 种 ) ……………… C C C C C C C C 2 6 4 ..6′ 4 6 46 4 6 46
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
排列组合基本原理.课件
排列和组合之间可以 通过组合数公式进行 转换。
排列和组合都是从n 个不同元素中取出m 个元素进行操作，计 算公式不同。
02
排列组合基本原理
伯努利原理
01
02
03
伯努利原理的内容
在n个独立事件中，每个 事件发生的概率为p，则 至少有一个事件发生的概 率为1-（1-p）^n。
应用
在保险业中，伯努利原理 常被用于计算保险概率， 例如汽车保险、健康保险 等。
03
排列的应用
排列的常见应用场景
01
彩票中奖概率计算
02
03
04
计算机科学中的排列算法
统计学中的样本排列
金融领域中的投资组合优化
排列在组合物件中的运用
密码学中的排列组合 计算机程序中的随机数生成
组合物件中的排列问题，如拼图、魔方等
排列在解决其他问题中的运用
数学竞赛中的排列题目 密码破译中的排列分析
计算机程序中的算法优化问题
04
组合的应用
组合的常见应用场景
彩票中奖概率计算
在计算彩票中奖概率时，通常需要考虑从数百万个彩票号 码中选取特定组合的情况，这时就需要使用组合的原理来 计算。
投资组合风险与收益评估
在投资领域，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性 构建投资组合，以实现风险分散和资产保值增值，这里的 投资组合构建就需要用到组合的原理。
注意事项
伯努利原理在独立事件的 情况下适用，如果事件之 间存在依赖关系，则该原 理可能不成立。
容斥原理
Hale Waihona Puke 01容斥原理的内容
在计算多个集合的并集时，需要考虑重复计算的问题。通过将各个集合
单独求和，再减去重复计算的集合，即可得到正确的并集结果。
大学排列组合ppt课件
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过综合实例，理解排列与组合在实际 问题中的应用。
VS
详细描述
通过一个复杂的问题，如安排一场活动或 者组织一次旅行，综合运用排列和组合的 知识来解决实际问题，并强调排列与组合 在解决实际问题中的重要性和关联性。
05
排列组合的解题技巧
解题思路分析
明确问题要求
01
首先需要清楚题目是关于排列还是组合的问题，排列需要考虑
04
排列组合的实例解析
排列实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解排列的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如学生选课、物品的排列等，解释排列的概念，并介绍排列的计算公式，以及如何应用 这些公式解决实际问题。
组合实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解组合的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如彩票中奖概率、选举代表等，解释组合的概念，并介绍组合的计算公式， 以及如何应用这些公式解决实际问题。
少？
答案解析
答案1
从5个人中选3个人参加会议共有 $C_{5}^{3} = 10$种不同的选法。
答案3
大于2000的三位数，首位数字可以为 2，3或4，共有$A_{3}^{1} times A_{4}^{2} = 36$种。
答案2
将4把椅子排好，共有$A_{5}^{3} = 60$种坐法。
答案4
不同的分法种数为$A_{5}^{4} = 120$种。
常见错误解析与避免方法
混淆排列与组合
遗漏情况
排列和组合是不同的概念，需要明确 题目要求，正确使用公式。
在解题过程中，需要注意不要遗漏某 些情况，例如在排列时需要考虑元素 的顺序，在组合时需要考虑元素的取 法。
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பைடு நூலகம்
3.语、数、外三科教师都布置了作业，在同一时刻4
名学生都做作业的可能情形有( B )
（A）43种
（B）34种
（C）A34种
（D）C34种
4.现从某校5名学生干部中选出4个人分别参加宿迁
市“资源”、“生态”、“环保”三个夏令营，要 求每个
夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加 一个夏令营活动，则不同的参加方案的种数是_1_8_0_.
【解题回顾】选举问题是一种典型的组合问题，常
见的附加条件是分类选元.在解(2)、(3)时易犯的错 误是重复选，如解(2)为C13C26＝45种，解(3)为C13 C14C15＝60种.
4. 有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名 日语翻译员，另两名英、日语都精通， 从中找出8 人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英 文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问 这样的分配名单共可开出几张?
第1节排列与组合(一)
要点·疑点·考点
1. Anmn-nm ! !，Annn!
课前热身
2. Cn r n-nr!!r!， Cn nCn 01
1.
C r1 10
+
C 17r 10
可能的值的个数为( B )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)
2.下图为一电路图，从A到B共有 ___8__条不同的线 路可通电.
【解题回顾】以上解法体现了先选后排的原则，分步 先确定两排的人员组成，再在每一排进行排队.这是处 理限制条件较多时的行之有效的方法.
【解题回顾】首先注意分类方法，体会分类方法在 解组合问题中的作用.本题也可以先安排翻译英文 人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有
C45C46+C35C12C45+C25C22C44＝185种.
延伸·拓展
5.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组， 每组各4人，分别进行单循环赛，每组决 出前两 名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘 汰赛，获胜者角逐冠亚军，败者角逐 第3、4名， 大师赛共有多少场比赛.
5.不大于1 000的正整数中，不含数字3的正整数的
个数是( B )
（A）72
（B）648
（C）729
（D）728
【解题回顾】解法1先分类再分步，解法2分步结合 排除法.可见对同一问题有时既可按元素性质分类思 考，也可从事件过程分步思考.
能力·思维·方法
1.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情 形各有多少种不同的排法? (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男、女生分别排在一起； (4)男女相间； (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.
正解 上述解法是一种正确的“操作”，但得到的是 错误的答案，因为抽法违背了分类、分步原则，因 而不符合计数原理，从而不能使用由计数原理推得 的组合数公式.正确的答案是：
C13C397+C23C297+C33C197. 这是将方法数分成3类：抽取1件、2件、3件次 品；然后每一类分两步：先抽次品，再抽正品得到 的.
第2节 排列与组合(二)
要点·疑点·考点
1. Cnr Cnn-r 2. Cn m 1Cn mCn m-1
课前热身
1
Cn71Cn7 Cn8,那么n是( A )
(A)14
(B)12
(C)13
(D)15
2.用五种不同的颜色给图中四个区域涂色，如果每一
区域涂一种颜色，相邻区域不能同色， 那么涂色方法
【解题回顾】要搞清各种比赛的规则：所谓单循环 赛，是指同组中每个队与其他队均只进 行一场比 赛，淘汰赛是指每场比赛都淘汰一名选手.
6.央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单 位，分别在图中4个区域内坐定.有4种不同颜色的 服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装， 且相邻两个区域的颜色不同， 不相邻区域颜色相
共有 240 种.
1
3
4
2
3. 某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴 中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不 同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择， 则餐厅至少还需准备不同的素菜_____种7 .(结果用数值 表示)
【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2-n-40≥0求解 较繁，考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不等 式时，常用估算法.
5. 某次数学测验中，学号是i (i=1、2、3、4)的四位同
学的考试成绩 f(i)∈{86,87,88,89,90}，且满足f(1)＜
f(2)≤f(3)＜f(4)，则四位同学的成绩可能情况有( C)
(A)5种
(B)12种
(C)15种
(D)10种
能力·思维·方法
1. 有9名同学排成两行，第一行4人，第二行5人，其 中甲必须排在第一行，乙、丙必须排在第二行，问有 多少种不同排法?
同与否则不受限制，那么不同的着装方法共有多 少种?
【解题回顾】当某种元素的不同限制条件对其他 元素产生不同的影响时，应以此元素的不同限制 条件作为分类的标准进行讨论.
误解分析
问题1：是排列还是组合? 假期中全班40名同学都分别给同学写一封信，则共 有多少封信? 开学时，同班同学见面分别握一次手， 共握手多少次?
(3)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少 个?
【解题回顾】①注意题中隐含条件零不能在首位； ②由零不能在首位的隐含条件导致(3)必须分类求解.
3. 从4名男生，3名女生中选出3名代表. (1)不同的选法共有多少种? (2)至少有一名女生的不同选法共有多少种? (3)代表中男、女生都要有的不同选法共有多少种?
【解题回顾】本题集排列多种类型于一题，充分体 现了元素分析法(优先考虑特殊元素)，位置分析法 (优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、 捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路.
2.由0，1，2，3，4，5这六个数字，
(1)能组成多少个无重复数字的四位数?
(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数?
误解 都是C240
正解 前者讲次序，是排列问题，答案为A240，后者 不讲次序，是组合问题，答案为C240.
问题2：在100件产品中有次品3件，正品97件，从 中抽取4件，问至少抽得一件次品的方法数是多少?
误解 从3件次品中抽取1件，再从余下来的2件次品 和97件正品(共99件)中任意抽取3件，即C13·C399.
3.语、数、外三科教师都布置了作业，在同一时刻4
名学生都做作业的可能情形有( B )
（A）43种
（B）34种
（C）A34种
（D）C34种
4.现从某校5名学生干部中选出4个人分别参加宿迁
市“资源”、“生态”、“环保”三个夏令营，要 求每个
夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加 一个夏令营活动，则不同的参加方案的种数是_1_8_0_.
【解题回顾】选举问题是一种典型的组合问题，常
见的附加条件是分类选元.在解(2)、(3)时易犯的错 误是重复选，如解(2)为C13C26＝45种，解(3)为C13 C14C15＝60种.
4. 有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名 日语翻译员，另两名英、日语都精通， 从中找出8 人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英 文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问 这样的分配名单共可开出几张?
第1节排列与组合(一)
要点·疑点·考点
1. Anmn-nm ! !，Annn!
课前热身
2. Cn r n-nr!!r!， Cn nCn 01
1.
C r1 10
+
C 17r 10
可能的值的个数为( B )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)
2.下图为一电路图，从A到B共有 ___8__条不同的线 路可通电.
【解题回顾】以上解法体现了先选后排的原则，分步 先确定两排的人员组成，再在每一排进行排队.这是处 理限制条件较多时的行之有效的方法.
【解题回顾】首先注意分类方法，体会分类方法在 解组合问题中的作用.本题也可以先安排翻译英文 人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有
C45C46+C35C12C45+C25C22C44＝185种.
延伸·拓展
5.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组， 每组各4人，分别进行单循环赛，每组决 出前两 名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘 汰赛，获胜者角逐冠亚军，败者角逐 第3、4名， 大师赛共有多少场比赛.
5.不大于1 000的正整数中，不含数字3的正整数的
个数是( B )
（A）72
（B）648
（C）729
（D）728
【解题回顾】解法1先分类再分步，解法2分步结合 排除法.可见对同一问题有时既可按元素性质分类思 考，也可从事件过程分步思考.
能力·思维·方法
1.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情 形各有多少种不同的排法? (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男、女生分别排在一起； (4)男女相间； (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.
正解 上述解法是一种正确的“操作”，但得到的是 错误的答案，因为抽法违背了分类、分步原则，因 而不符合计数原理，从而不能使用由计数原理推得 的组合数公式.正确的答案是：
C13C397+C23C297+C33C197. 这是将方法数分成3类：抽取1件、2件、3件次 品；然后每一类分两步：先抽次品，再抽正品得到 的.
第2节 排列与组合(二)
要点·疑点·考点
1. Cnr Cnn-r 2. Cn m 1Cn mCn m-1
课前热身
1
Cn71Cn7 Cn8,那么n是( A )
(A)14
(B)12
(C)13
(D)15
2.用五种不同的颜色给图中四个区域涂色，如果每一
区域涂一种颜色，相邻区域不能同色， 那么涂色方法
【解题回顾】要搞清各种比赛的规则：所谓单循环 赛，是指同组中每个队与其他队均只进 行一场比 赛，淘汰赛是指每场比赛都淘汰一名选手.
6.央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单 位，分别在图中4个区域内坐定.有4种不同颜色的 服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装， 且相邻两个区域的颜色不同， 不相邻区域颜色相
共有 240 种.
1
3
4
2
3. 某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴 中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不 同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择， 则餐厅至少还需准备不同的素菜_____种7 .(结果用数值 表示)
【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2-n-40≥0求解 较繁，考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不等 式时，常用估算法.
5. 某次数学测验中，学号是i (i=1、2、3、4)的四位同
学的考试成绩 f(i)∈{86,87,88,89,90}，且满足f(1)＜
f(2)≤f(3)＜f(4)，则四位同学的成绩可能情况有( C)
(A)5种
(B)12种
(C)15种
(D)10种
能力·思维·方法
1. 有9名同学排成两行，第一行4人，第二行5人，其 中甲必须排在第一行，乙、丙必须排在第二行，问有 多少种不同排法?
同与否则不受限制，那么不同的着装方法共有多 少种?
【解题回顾】当某种元素的不同限制条件对其他 元素产生不同的影响时，应以此元素的不同限制 条件作为分类的标准进行讨论.
误解分析
问题1：是排列还是组合? 假期中全班40名同学都分别给同学写一封信，则共 有多少封信? 开学时，同班同学见面分别握一次手， 共握手多少次?
(3)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少 个?
【解题回顾】①注意题中隐含条件零不能在首位； ②由零不能在首位的隐含条件导致(3)必须分类求解.
3. 从4名男生，3名女生中选出3名代表. (1)不同的选法共有多少种? (2)至少有一名女生的不同选法共有多少种? (3)代表中男、女生都要有的不同选法共有多少种?
【解题回顾】本题集排列多种类型于一题，充分体 现了元素分析法(优先考虑特殊元素)，位置分析法 (优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、 捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路.
2.由0，1，2，3，4，5这六个数字，
(1)能组成多少个无重复数字的四位数?
(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数?
误解 都是C240
正解 前者讲次序，是排列问题，答案为A240，后者 不讲次序，是组合问题，答案为C240.
问题2：在100件产品中有次品3件，正品97件，从 中抽取4件，问至少抽得一件次品的方法数是多少?
误解 从3件次品中抽取1件，再从余下来的2件次品 和97件正品(共99件)中任意抽取3件，即C13·C399.