组合数学第一张排列与组合课件
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第一章排列和组合
31551 1234567
31551 2—3 1234567
1551 134567
⑦⑥
1—3
551 4—5 14567
51 1567
| 6 |4 ②—1 ③—2 ①—5 ⑤—3 ④
5—6 1 1—5
在组合计数时往往借助于一一对应实现模型转换。
比如要对A集合计数，但直接计数有困难，于是可 设法构造一易于计数的B，使得A与B一一对应。
2004深研
组合数学 第1章
25
1.3 模型转换——一一对应
例 在8名选手之间进行淘汰赛,最后产生 一名冠军，问要举行几场比赛？
9名选手？100名选手？
不含0小于10000的正整数有 9+92 +93 +94 =(9 5 －1)/(9－1)=7380个
含0小于10000的正整数有: 9999－7380=2619个
2004深研
组合数学 第1章
24
1.3 模型转换——一一对应
“一一对应”概念是一个在计数中极为基本的概念。 一一对应既是单射又是满射。
2004深研
组合数学 第1章
23
1.2 加法法则和乘法法则
例：求小于10000的含0的正整数的个数
注意：“含0”和“含1”不可直接套用。 0019含1但不含0。 （有许多类似的隐含的规定，要特别留神。）
解： 不含0的1位数有9 个，2位数有92 个， 3位数有93 个，4位数有94 个
(—nn-—r!)!
2004深研
组合数学 第1章
12
1.1 排列与组合——圆排列
从n个中取r个的圆排列的排列数
Q(n,r) = P(n,r) / r , 2≤r≤n
高中数学 1.2.2 组合1课件 新人教A版必修1
Anm
Cnm Am m
C
m n
Anm Amm
形成结论
公式
C n m
A n m A m m
n (n1 )(n2 ) (nm1 ) m !
( m，n∈N*，m≤n) 叫做组合数公式，
这个公式如何用阶乘形式表示？
Cnm
n! m!(n m)!
典例讲评
例1 一位教练的足球队共有17名初级学 员，他们中以前没有一人参加过比赛，按 照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上 场队员是11人，问： （1）这位教练从这17名学员中可以形成多
m
时n ，计算
2
C比nn计m算 较方C 便nm .
课堂小结
2.利用组合数性质
Cn m1 Cn m，可C 以n m对1组合数进行合成
与分解，对于组合数的求和问题，要结 合数列的思想方法求解.
作业： P25练习：6. P27习题1.2A组：9，10，11，12.
C
2 10
45
A120 90
典例讲评
例3 在100件产品中有98件合格品， 2 件次品，从这100件产品中任意抽取3件. （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰有1件是次品的抽法 有多少种？ （3）抽出的3件至少有1件是次品的抽法 有多少种？
(1)C1300 161700(2)C2 1 C9 28 9506
C 2 2 0
(2 ) C n 32
2 C n 22
C n 1 2 . C
3 n
典例讲评
例5 证明：
C n 1 2 C n 2 3 C n 3 C n 0 C n 1 C n 2
n C n n C n n1Leabharlann C n 21课堂小结
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
21
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
3.1中职数学《排列与组合》ppt课件1(详细)
探
序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个排列．
索
新
当m＜n时叫做选排列，当m=n时叫做全排列．
知
例1 写出从4个元素a, b, c, d中任取2个元素的所有排列．
解 所有排列为
巩
ab, ac, ad,ba,bc,bd, ca, cb, cd, da.db, dc
固
知
分析 首先任取1个元
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第三章 概率与统计
3.1 排列与组合
基础模块中，曾经学习了两个计数原理．
一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有k1种方法， 第2类方式有 k2 种方法，……，第n类方式有kn 种方法，那么完
成这件事的方法共有
创
N k1 k2 kn（种）．
下面看一个问题：
北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，要准备多少种不同的机票？
创
这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起
设 点在前，终点在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数．
情
境
首先确定机票的起点，从3个民航站中任意选取1个，有3种不同的方法；然
兴 后确定机票的终点，从剩余的2个民航站中任意选取1个，有2种不同的方法． 趣 根据分步计数原理，有3×2=6种不同的方法，即需要准备6种不同的飞机票：
本节完
从n个不同元素中任取m（m≤n）个不同元素的
所有排列的个数叫做从n个不同元素中任取m个不同
动 脑 思
A 元素的排列数．记做 m
n
考
探 索 新 知
如何计算 Amn 呢？
…
1号位
2号位
3号位
m号位
组合数学第一张排列与组合课件
P ( n, r ) C ( n, r ) r! C ( n, r )
P ( n, r ) r!
2016/2/27
20
1.5 组合
例1.21 从1～300之间任取3个不同的数，使得这3个数 的和正好被3除尽，问共有几种方案？ 解 将这300个数按照其被3除所得的余数分为三组： A={1,4,…,298}，B={2,5,…,299}，C={3,6,…,300} ① 三个数取自集合A：有C(100,3)种方案； ② 三个数取自集合B：有C(100,3)种方案； ③ 三个数取自集合C：有C(100,3)种方案； ④ 三个数分别取自集合A、B、C：有1003种方案； 所求的方案数为：3C(100,3)+1003=1485100
2016/2/27 2
1.1基本计数法则
1.1 基本计数法则
加法法则：设事件A有m种产生方式，事件B有 n种产生方式，则“事件A或事件B”有m+n种产 生方式。
例. 一位学生想选修一门数学课程或一门生物 课程。若有4门数学课程和3门生物课程，则该 学生有4+3=7种不同的选课方式。
2016/2/27
2 5 P (8,3) 3360 共有 4032 3360 7392 个。
2016/2/27 16
1.4 圆周排列
从n个对象中取r个沿一圆周排列的排列数用 Q( n, r )
表示，则有
P ( n, r ) Q ( n, r ) r abcd, dabc, cdab, bcda
2016/2/27 5
1.1 基本计数法则
例1.4 求长度为n的二元码的数目。 解 长度为n的二元码的形式为
a1a2 an , ai {0,1}, i 1, 2, , n
P ( n, r ) r!
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1.5 组合
例1.21 从1～300之间任取3个不同的数，使得这3个数 的和正好被3除尽，问共有几种方案？ 解 将这300个数按照其被3除所得的余数分为三组： A={1,4,…,298}，B={2,5,…,299}，C={3,6,…,300} ① 三个数取自集合A：有C(100,3)种方案； ② 三个数取自集合B：有C(100,3)种方案； ③ 三个数取自集合C：有C(100,3)种方案； ④ 三个数分别取自集合A、B、C：有1003种方案； 所求的方案数为：3C(100,3)+1003=1485100
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1.1基本计数法则
1.1 基本计数法则
加法法则：设事件A有m种产生方式，事件B有 n种产生方式，则“事件A或事件B”有m+n种产 生方式。
例. 一位学生想选修一门数学课程或一门生物 课程。若有4门数学课程和3门生物课程，则该 学生有4+3=7种不同的选课方式。
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2 5 P (8,3) 3360 共有 4032 3360 7392 个。
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1.4 圆周排列
从n个对象中取r个沿一圆周排列的排列数用 Q( n, r )
表示，则有
P ( n, r ) Q ( n, r ) r abcd, dabc, cdab, bcda
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1.1 基本计数法则
例1.4 求长度为n的二元码的数目。 解 长度为n的二元码的形式为
a1a2 an , ai {0,1}, i 1, 2, , n
组合数学 第一章课件
2、f(0,0)=0,f(0,1)=0,f(1,0)=0,f(1,1)=1。 ………… 对应着长度为22的字符串，每一位都可以取0或1;
乘法：2^22
自变量数为n个时：2^2n
*8
1.2 一一对应
1、从n个数中找出最大值问题 2、n个人参加单淘汰赛，最后产生冠军的 过程。
9
1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 解：9个人站成一排的方案数是9!， 设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排， 可构成一个方阵 给定一个方阵 a 1a 2a 3 b 1b 2b 3 a 4a 5a 6 b 4b 5b 6 a 7a 8a 9 b 7b 8b 9 也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9
1.5 排列的生成算法
1.6 允许重复的组合与不相邻的组合
1.7 组合意义的解释
1.8 应用举例 1.9 *Stirling公式
2
1.1基本计数法则
1、加法法则:
如果具有性质A的事件有m个，性质B的事件有 n个，则具有性质A或B的事件有m+n个。
A和B是性质无关的两个事件。
3
1.1基本计数法则
2、乘法法则: 若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件 有n个，则具有性质A及B的事件有mn个
n! n1!n2 !...nk !
26
练习题
1、求1040和2030的公因数的数目。
解：1040=240540，2030=260530
C(41,1)*C(31,1)
27
练习题
2、试证n2的整除数的数目是奇数。
n p1 p2 ... pm
2 2 a1 2 a2
乘法：2^22
自变量数为n个时：2^2n
*8
1.2 一一对应
1、从n个数中找出最大值问题 2、n个人参加单淘汰赛，最后产生冠军的 过程。
9
1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 解：9个人站成一排的方案数是9!， 设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排， 可构成一个方阵 给定一个方阵 a 1a 2a 3 b 1b 2b 3 a 4a 5a 6 b 4b 5b 6 a 7a 8a 9 b 7b 8b 9 也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9
1.5 排列的生成算法
1.6 允许重复的组合与不相邻的组合
1.7 组合意义的解释
1.8 应用举例 1.9 *Stirling公式
2
1.1基本计数法则
1、加法法则:
如果具有性质A的事件有m个，性质B的事件有 n个，则具有性质A或B的事件有m+n个。
A和B是性质无关的两个事件。
3
1.1基本计数法则
2、乘法法则: 若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件 有n个，则具有性质A及B的事件有mn个
n! n1!n2 !...nk !
26
练习题
1、求1040和2030的公因数的数目。
解：1040=240540，2030=260530
C(41,1)*C(31,1)
27
练习题
2、试证n2的整除数的数目是奇数。
n p1 p2 ... pm
2 2 a1 2 a2
排列与组合ppt课件
数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
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排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
高中数学排列与组合课件(经典)
或 A120 10 9 90
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？ 解：（1） (5 3) 5 5
2
（2） (n 3) n
2
例4、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
m个元素的组合数，用符号 Cnm表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
有组合个数是: C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例1、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球 比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
从7位同学中 选出3位同学 构成一个组合
剩下的4位同 对应 学构成一个组
合
从7位同学中 选出3位同学
从7位同学中 选出4位同学
的组合数
C
3 7
的组合C数74
即：C73 C74
思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素, 因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n– m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同 元素的组合数,等于从这n个元素中取出 n-m个元素的组合数.即
排列与组合PPT教学课件
小结
• 不用柔曼的音调来诉说个人的哀乐，也很少用热 烈的呼声来抒发对于旧世界的愤懑，而是用经过 锤炼的诗句，抒写旧中国农民的苦难与不幸，勤 劳与坚忍，让读者从咀嚼和回味中体会诗人深沉 的感情
臧克家正是以此独特的风格，为三十年代的诗坛吹来一阵 清新的风，引起读者的注意和重视
①能得到几个不同的分数？ ②其中有几个是真分数？几个假分数？
老马
总得叫大车装个够， 它横竖不说一句话， 背上的压力往肉里扣， 它把头沉重地垂下！
这刻不知道下刻的命， 它有泪只往心里咽， 眼里飘来一道鞭影， 它抬起头望望前面。
臧克家其人
• 臧克家(1905～ ) 现代诗人。山东诸 城人。有诗集《烙印》(1933)、《罪恶的 黑手》(1934) 。代表作《有的人》 。
加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中
有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方法，… …， 在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1+ m2+… …+ mn 种不同的方法。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1
种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n步有mn 种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不 同的方法。
法； 含 1 本数学书和 1 本物理书的共有 7 × 5 = 35 种取法； 含 1 本语文书和 1 本物理书的共有 9 × 5 = 45 种取法。
由加法原理得 63 + 35 + 45 = 143 答：共有 143 种取法。
练习1：
1． 一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方 法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来 完成这件工作，共有多少种选法？
《排列与组合自》课件
组合可以看作排列的一个特例
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
《排列与组合》PPT课件
目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
《排列与组合》PPT课件
目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
第一章排列与组合61页PPT
中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递 员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程 最短？这不是一个NP完全问题，存在多项式复杂度算法： 先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方 式，然后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。
任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些 任务。各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个 员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎 样分配员工与任务以使所花费的时间最少？这是线性规划 的问题。
组合数学主要内容有组合计数、组合设计、组 合矩阵、组合优化等。
组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一 门数学分支。计算机科学即算法的科学，而计 算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对 象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离 散对象的科学恰恰就是组合数学。
2020/3/26
组合数学-上海理工大学
2020/3/26
组合数学-上海理工大学
10
乘法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性质B 的事件有n个，则具有性质A和B的事件有mn个。
集合论语言： 若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | aA,bB} , 则
| AB | = mn 。
例3 从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则 从A经B到C有 32 = 6 条道路。
2020/3/26
组合数学-上海理工大学
3
始创微积分 高等数学上的众多成就 计算机科学贡献
1673年莱布尼茨特地到巴黎去制造了一个能进行加、减、乘、 除及开方运算的计算机
率先为计算机的设计，系统提出了二进制的运算法则，为计 算机的现代发展奠定了坚实的基础
丰硕的物理学成果 充分地证明了“永动机是不可能”的观点
任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些 任务。各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个 员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎 样分配员工与任务以使所花费的时间最少？这是线性规划 的问题。
组合数学主要内容有组合计数、组合设计、组 合矩阵、组合优化等。
组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一 门数学分支。计算机科学即算法的科学，而计 算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对 象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离 散对象的科学恰恰就是组合数学。
2020/3/26
组合数学-上海理工大学
2020/3/26
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10
乘法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性质B 的事件有n个，则具有性质A和B的事件有mn个。
集合论语言： 若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | aA,bB} , 则
| AB | = mn 。
例3 从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则 从A经B到C有 32 = 6 条道路。
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组合数学-上海理工大学
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始创微积分 高等数学上的众多成就 计算机科学贡献
1673年莱布尼茨特地到巴黎去制造了一个能进行加、减、乘、 除及开方运算的计算机
率先为计算机的设计，系统提出了二进制的运算法则，为计 算机的现代发展奠定了坚实的基础
丰硕的物理学成果 充分地证明了“永动机是不可能”的观点
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可得序列: 3,1,5,5,1。反之从序列3,1,5,5,1也可以构 造出上述树。
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1.3 排列
定义：从n个不同的元素中，取出r个按次序排成 一列，称为从这n个元素中取r个的一个排列，其 排列数记为 P(n, r).
由定义显然有 (1) P(n, r) 0, (r n) (2) P(n,1) n, (n 1)
3
1.1基本计数法则
乘法法则：设事件A有m种产生方式，事件B有 n种产生方式，则“事件A与事件B”有mn种产 生方式。
例1.1 设一个符号由两个字符组成，第1个字符 由a,b,c,d,e组成，第2个字符由1,2,3组成，则由 乘法法则，该符号有5 3 15 种产生方式。
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5
1.1 基本计数法则
例1.4 求长度为n的二元码的数目。 解 长度为n的二元码的形式为 a1a2 an , ai {0,1}, i 1,2,, n
由乘法法则，长度为n的二元码的数目为 2 2 22 2n
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1.1 基本计数法则
例1.6 求布尔函数 f ( x1, x2 ,, xn )的数目。
4 3 5 60
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8
1.1 基本计数法则
例1.9 求从a,b,c,d,e这5个字母中取6个所组成的字符 串个数。要求(1)第1个和第6个字符必为子音字符； (2)每一字符串必有两个母音字符，且两个母音字母 不相邻；(3) 相邻的两个子音字符必不相同。 解 符合要求的字符串有以下几种模式：
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13
1.3 排列
例1.14 A单位有7位代表，B单位有3位代表，排在 一列合影，要求B单位的人排在一起，问有多少 种不同的排列方案？
解 B单位的某一排列作为一个元素参加单位A进 行排列，可得 8! 种排列。 B单位的3人共有 3!个排列， 故共有 8!3! 排列方案。
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1.1 基本计数法则
例1.3 求比10000小的正整数中含有数字1的数的 个数。 解 比10000小的正整数可以写为
a1a2a3a4 , 0 ai 9
的形式。 共有104-1=9999个 其中不含1的正整数有 94-1=6560个 所求正整数的个数为 9999-6560=3439个。
14
1.3 排列
例1.15 若例1.14中A单位的两人排在两端，B单位 的3人不能相邻，问有多少种不同的排列方案？
解 共有 7!(6 5 4) 604800 种方案。
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1.3 排列
例1.16 求20000到70000之间的偶数中由不同的数 字所组成的5位数的个数。 解 设所求的数的形式为 abcde 其中 2 a 6, e {0,2,4,6,8} (1)若 a {2, 4, 6 } ，这时e有4种选择，有
解 自变量 ( x1 , x2 ,, xn ) 可能取值的个数为 2n
设取值为 a1，, a2n
则n个变元的布尔函数有
个。
a1 a2n f 2 2 22n
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1.1 基本计数法则
例 1.8 n 73 112 134 ，求能整除n的正整数
的个数。 解 能整除n的正整数可以写为如下形式： 7a1 11a2 13a3 , 0 a1 3, 0 a2 2, 0 a1 4 故能整除n的正整数的个数为
3 4 P(8,3) 4032 (2)若 a {3,5} ，这时e有5种选择，有
2 5 P(8,3) 3360 共有 4032 3360 7392 个。
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1.4 圆周排列
从n个对象中取r个沿一圆周排列的排列数用 Q(n, r)
表示，则有
Q(n, r) P(n, r) r
第1章 排列与组合
组合数学
组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和 优化的一门学科。
应用领域: 计算机科学、概率论、社会科学、生 物科学、信息论等。
参考书：
1. R.A.Rrualdi. Introductory Combinatorics
组合数学 机械工业出版社
2. 孙淑玲 许胤龙. 组合数学引论 中国科学技术大 学出版社
所求的字符串个数为：3 23 33 648 个。
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1.2 一一对应
例 设某地的街道把城市分割成矩形方格，每个
方格叫做它的块。某甲从家中出发上班，向东要 走过m块，向北要走过n块，问某甲上班的路径有
多少条？
y
解 问题可划为求右图从点
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2
1.1基本计数法则
1.1 基本计数法则
加法法则：设事件A有m种产生方式，事件B有 n种产生方式，则“事件A或事件B”有m+n种产 生方式。
例. 一位学生想选修一门数学课程或一门生物 课程。若有4门数学课程和3门生物课程，则该 学生有4+3=7种不同的选课方式。
2019/5/24
P(n, r) n(n 1)(n r 1) n! , 0! 1 (n r)!
当r=n时有, P(n, n) n (n 1)21 n!
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1.3 排列
例1.13 由5种颜色的星状物，20种不同的花排成 如下的图案：两边是星状物，中间是3朵花，问 共有多少种这样的图案？ 解 图案的形状为 ★〇〇〇★ 共有 (5 4) (20 19 18) P(5,2) P(20,3) 136800 种图案。
(0,0)到(m,n)的路径数:
(m,n)
每一条从点(0,0)到(m,n)的路径与
一个由m个x和n个y的排列相对应
所求路径数为：C(m n, m) (0,0)
x
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1.2 一一对应
定理（Cayley）n个有标号的顶点的树的数目等 于 nn2 。
例1.12 给定下列树