江苏省无锡市2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案
江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
2024/2025学年第一学期联盟校第一次学情调研检测高二年级数学试题（答案在最后）(总分150分考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项2．若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或-2B.-1C.-2D.2或-13．已知圆1C ：()()()222120x y r r -++=>与圆2C ：()()224216x y -+-=外切，则r 的值为（）A.1B.5C.9D.2110=的化简结果是（）A.22153x y += B.22135x y += C.221259x y += D.221925x y +=5．已知直线l 方程：()220kx y k k R -+-=∈，若l 不经过第四象限，则k 的取值范围为（）A．1k ≤B．1k ≥C．0k ≤D．0k ≥6.直线220x y +-=与曲线(10x y +-=的交点个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知圆C 经过点()()3,5,1,3M N --，且圆心C 在直线350x y ++=上，若P 为圆C 上的动点，则线段(OP O 为坐标原点）长度的最大值为（）A. B.5+ C.10D.108.实数x ，y 满足224690x x y y -+-+=，则11y x -+的取值范围是（）A.5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.12,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .120,5⎡⎤⎢⎣⎦二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）9.已知直线l 过点()1,3，若l 与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积为S ，则S 的值可以是（）A．3 B.6 C.7 D.910.下列四个命题中正确的是（）A.过点(3,1)，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线方程为20x y --=B.若直线10kx y k ---=和以(3,1),(3,2)M N -为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为12k ≤-或32k ≥C.若三条直线0,0,3x y x y x ay a +=-=+=-不能构成三角形，则实数a 所有可能的取值组成的集合为{1,1}-D.若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为23-11.已知圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则下列结论中正确的是（）A.公共弦AB 所在的直线方程为0x y -=B.公共弦AB 的长为22C.线段AB 的中垂线方程为10x y +-=D.若P 为圆1O 上的一个动点，则三角形PAB +第II 卷（非选择题共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）12.两条平行直线1l ：3450x y +-=与2l ：6850x y +-=之间的距离是．13.已知圆22:4210C x y x y +--+=，圆C 的弦AB 被点()1,0Q 平分，则弦AB 所在的直线方程是．14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A B ，的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知()1,0A ，()4,0B ，若动点P 满足12PA PB =，设点P 的轨迹为C ，过点(1,2)作直线l ，C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则直线l 的方程为.四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(本小题满分13分)分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：（1）过点P (－3，2)，且与椭圆22194x y +=有相同的焦点．（2）经过两点(2,，141,2⎛- ⎪⎝⎭．16．(本小题满分15分)已知直线:210l x y +-=和点()1,2A （1）求点A 关于直线l 的对称点的坐标；（2）求直线l 关于点A 对称的直线方程.17.(本小题满分15分)已知半径为4的圆C 与直线1:3480l x y -+=相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.（1）求圆C 的方程；（2）已知直线2:30l kx y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且△ABC 的面积为8，求直线2l 的方程.18.(本小题满分17分)如图，已知圆22:10100C x y x y +++=，点()0,6A .（1）求圆心在直线y x =上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；（2）若过点A 的直线m 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧 PQ恰为圆C 周长的14，求直线m 的方程.19.(本小题满分17分)已知圆M ：()2244x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PB P A ,，切点为B A ,．（1）当切线P A 的长度为时，求点P 的坐标；（2）若P AM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求线段AB 长度的最小值．2024/2025学年第一学期联盟校第一次学情调研检测高二年级数学参考答案及评分标准一、单项选择题1.B2.C3.A4.C5.B6.B7.B8.D二、多项选择题9.BCD10.BD11.AC三、填空题12.1213.x+y-1=014.1x =或3450x y -+=四、解答题15.（1）因为所求的椭圆与椭圆22194x y +=的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝5．设所求椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>．因为所求椭圆过点P (－3，2)，所以有22941a b+=①又a 2－b 2＝c 2＝5，②由①②解得a 2＝15，b 2＝10．故所求椭圆的标准方程为2211510x y +=．…………………………………………6分(2)设椭圆方程为22221x y m n +=，且(2,，141,2⎛- ⎪⎝⎭在椭圆上，所以222222421817412m m n n mn ⎧+=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，则椭圆方程22184x y +=.………………………………13分16.（1）设(),A m n '，由题意可得211121221022n m m n ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪+⨯-=⎪⎩，…………………………4分解得3565m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以点A '的坐标为36,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭.……………………………………………7分（2）在直线l 上任取一点(),P x y ，设(),P x y 关于点A 的对称点为()00,P x y '，则001222x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得0024x x y y =-⎧⎨=-⎩，………………………………11分由于()2,4P x y '--在直线210x y +-=上，则()()22410x y -+--=，即290x y +-=，故直线l 关于点A 的对称直线l '的方程为290x y +-=.………………………………15分17.（1）由已知可设圆心()()0,0C b b <4=，解得3b =-或7b =（舍），所以圆C 的方程为22(3)16x y ++=.………………………………………6分（2）设圆心C 到直线2l 的距离为d，则182ABC AB S AB d d ==⨯= ，即4216640d d -+=，解得d =……………………………………………10分又d =272k =，解得142k =±，所以直线2l的方程为260y -+=260y +-=…………………………15分18.（1）由22:10100C x y x y +++=，化为标准方程：()()225550x y +++=.所以圆C 的圆心坐标为()5,5C --，又圆N 的圆心在直线y x =上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(),a a ，=解得3a =，………………………………6分所以圆N 的圆心坐标为()3,3，半径r =故圆N 的方程为()()223318x y -+-=.………………………………………8分（2）因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP CQ ⊥.所以点C 到直线m 的距离为5.……………………………………10分当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为0x =.………………………………………12分当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为6y kx =+，即60kx y -+=.5=，解得4855k =.所以此时直线m 的方程为486055x y -+=，即48553300x y -+=，…………………16分故所求直线m 的方程为0x =或48553300x y -+=.………………………………17分19⑴由题可知，圆M 的半径2=r ，设()b b P ,2，因为P A 是圆M 的一条切线，所以︒=∠90MAP ,所以=MP 4==，解得580==b b 或,所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛585160,0，或P P .………………………………5分⑵设()b b P ,2，因为︒=∠90MAP ，所以经过M P A ,,三点的圆N 以MP 为直径，其方程为：()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭,即()22(24)40x y b x y y +--+-=………………………………8分由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.……11分⑶因为圆N 方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即222(4)40x y bx b y b +--++=.圆M ：()2244x y +-=，即228120x y y +-+=.②－①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：2(4)1240bx b y b +-+-=点M 到直线AB的距离d =,相交弦长即：AB ===…14分当45b =时，AB.……………………………………17分。
南平市顺昌县2024-2025学年六年级数学第一学期期末复习检测试题含解析
南平市顺昌县2024-2025学年六年级数学第一学期期末复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、仔细填空。
(每小题2分，共20分）1．有一批课外书，按照5∶4分给甲乙两个班同学。
甲班得到125本，乙班得到________本。
2．6300立方厘米=（_______）立方分米0.25立方米=（_______）立方分米2时=（______）分10升=（________）毫升53．一个正方形面积是10平方厘米，从这个正方形上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是（____）平方厘米．4．设和都是自然数，且满足，求的值_______________5．把2m长的钢筋平均截成7段，每段长（________）m，其中两段占全长的（________）。
6．3080平方米=（___________）平方分米=（__________）平方千米；3时15分=（__________）时。
7．在3.014，3.01，π，314%，3.104中，最大的数是（____），最小的数是（____）。
8．________的40%是100千克。
9．a÷b=5，（a，b都是非零的自然数），a和b的最大公因数是，最小公倍数是．10．商场内一件羊毛衫原价600元，现价480元，是打（________）折销售；另一件羊毛衫现价344元，原价（________）元。
二、准确判断。
(对的画“√ ”，错的画“×”。
每小题2分，共12分）11．小聪的口袋里，有1个黄球，3个绿球，5个红球．摸出红球的可能性最大．（_____）12．是分母为12的最简真分数，则自然数a的取值只有2个．_____13．不为零的自然数，至少有一个约数．（____）14．-10°要比-20°低。
四川省南充2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4.考试结束后将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin 2θ=”是“π4θ=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断“sin 2θ=”和“π4θ=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当2sin 2θ=时，π2π,Z 4k k θ=+∈或3π2π,Z 4k k θ=+∈，推不出π4θ=；当π4θ=时，必有2sin 2θ=，故“sin 2θ=”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：C2.设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若//l α，//l β，则//αβC.若l α⊥，m α⊥，则//l mD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A ，若//l α，//m α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误.对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确.对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误.故选：C3.若sin 2αα-+=，则tan(π)α-=（）A. B.C.3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由sin 2αα-+=两边同时平方，从而利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化，【详解】由sin 2αα-+=两边同时平方，可得22sin cos 3cos 4αααα-+=，∴222222sin cos 3cos tan 34sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++，解得tan 3α=-.()tan tan 3παα∴-=-=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.23B.33C.23D.13【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA 与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.在三棱锥S ABC -中，()()20SC SA BS SC SA ++⋅-=，则ABC V 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SC SA BS BC BA SC SA BC BA ++=+-=- ，从而说明22BC BA = ，即可求解.【详解】()()22,SC SA BS SC SA SB SC SB SA SB BC BA SC SA AC BC BA ++=+-=-+-=+-==- ，()()()()2220SC SA SB SC SA BC BA BC BA BC BA ∴+-⋅-=+⋅-=-= ，BC BA ∴=，即BC BA =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.34【答案】B 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.7.已知函数()3f x x =，若正实数a ，b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49a b +=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.【详解】由已知()3f x x =，定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则()f x 是R 上的奇函数，且函数()3f x x =在R 上单调递增，又()()490f a f b +-=，即()()()499f a f b f b =--=-，则49a b =-，即49a b +=，且0a >，0b >，所以()1111114144415999a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又44a b b a +≥=，即()11141554199a b a b b a ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即32a =，3b =时，等号成立，即11a b+的最小值为1.故选：A.8.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈=，则集合T 所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.3D.π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后即可求解.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，集合T 所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分.）9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π6ϕ=C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得ϕ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+，π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以A 选项正确，B 选项错误.()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，得π12x =，所以()f x 关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z ，当11k =时，得()f x 在54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.3P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=C.若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃=【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A ：若A 与B 互斥，则()0P AB =，故A 错误；对于B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B =+= ，故B 正确；对于C ：若A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，故C 正确；对于D ：若A 与B 相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-⨯=，故D 错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D.(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面【分析】利用向量的线性运算可得()1MN a BC aBE =-+，结合向量的模的计算可判断B 的正误，结合向量夹角的计算可判断C 的正误，结合共面向量可判断D 的正误.【详解】因为四边形ABCD 正方形，故CB AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB BE ⊥.设MC AC λ=，则= BN BF λ，其中()0,1λ=，由题设可得MN MC CB BN AC CB BF λλ=++=++，()()()1BC BA CB BA BE BC BE λλλλ=-+++=-+，对于A ，当12λ=即2a =时，111222MN BC BE CE =-+= ，故A 正确；对于B ，()22222111221222MN λλλλλ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故22MN ≥，当且仅当12λ=即2a =时等号成立，故min 22MN =，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+，而平面ABEF 的法向量为BC 且()211MN BC BC λλ⋅=-=-，故cos ,MN BC =，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+ ，故,,MN BC BE为共面向量，而MN ⊄平面BCE ，故//MN 平面BCE ，故D 正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.复数2i12iz +=-的共轭复数z =______．【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i 12i z +=-()()()()2i 12i 12i 12i ++=-+5i i 5==，所以z =i -.故答案为：i-13.已知向量()2,1,1a =- ，()1,,1b x = ，()1,2,1c =-- ，当a b ⊥ 时，向量b 在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1-【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x =，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以210a b x ⋅=-+=，所以3x =．因为()1,3,1b = ，所以b 在c 上的投影向量为()1,2,1||||b c cc c c ⋅⋅=-=-．故答案为：()1,2,1-14.已知在ABC V 中，满足)34AB AC AB ACAB AC AB AC++=+,点M 为线段AB 上的一个动点，若MA MC ⋅ 取最小值3-时，则BC 边的中线长为______．【答案】1112【解析】【分析】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，根据题意可推得||3,||4AD AN == ，2π3ADE ∠=，进一步根据MA MC ⋅ 取最小值3-时，求得对应的AC =AB =，由此即可得解.【详解】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，则//,//AD EN AN DE ，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||4||||AB AD AD AN AE AC AN =====，22343712πcos 23423ADE ADE +-∴∠==-⇒∠=⨯⨯，又四边形ADEN 为平行四边形，3πBAC ∴∠=，设,,0,0MA AD AC AN λμλμ==≤≥，()()296MA MC MA MA AC AD AD AN λλμλλμ⋅=⋅+=⋅+=+，由题意2963λλμ+≥-即29630λλμ++≥恒成立，且存在,R λμ∈使得29630λλμ++=成立，其次29630λλμ++=当且仅当2296303Δ361080λλλμμμ⎧⎧=-++=⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪=⎩，此时AC ==AB ==所以BC边的中线长为122AB AC +===.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图,四边形ABCD 为矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,1PA =,E 为BC 的中点．（1）求证：PE DE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的外接球体积．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接AE ，由线面垂直得到PA DE ⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE ⊥平面PAE ，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1详解】连结,AE E 为BC 的中点,1EC CD ==，∴DCE △为等腰直角三角形,则45DEC ∠=︒，同理可得45AEB ∠=︒，∴90AED ∠=︒，∴DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥，又∵AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，∴P ABCD -的外接球直径2R =∴2R =，故：3344ππ332V R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，∴四棱锥P ABCD -．16.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A b c -=+.（1）求角A 的值；（2）若a ABC = ，求,b c .【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】cos cos a B b A b c -=+ ，由正弦定理可得：sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B ∴-=++，即2sin cos sin B A B -=，sin 0B ≠ ，1cos 2A ∴=-，(0,π)A ∈ ，2π3A ∴=.【小问2详解】由题意，1sin 24ABC S bc A bc ===△，所以4bc =，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，得()2216b c a bc +=+=，所以4b c +=，解得：2b c ==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A ，1B ，1C ，在实践考试中合格依次为2A ，2B ，2C ，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525P P A A =-=-⨯=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12A A ，12B B ，12C C ，并且1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C 相互独立，则()12412525P A A =⨯=，()12321432P B B =⨯=，()12224339P C C =⨯=,由于事件12A A ，12B B ，12C C 彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++，概率为212142141(1)(1)(1)52952952934P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，解得0.030a =．【小问2详解】成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数[)80,90m ∈，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以10562065621020z ⨯+⨯==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，且ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB AA B ∠=∠=．（1）若1A BC 为等边三角形，证明：平面1AAB ⊥平面ABC ；（2）若二面角1A AB C --的平面角为π3，求以下各值：①求点1B 到平面1A CB 的距离；②求平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA 为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB 的中点为E ，连接CE ，1A E ，如图所示，因为ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB A AB ∠=∠=，故1cos 452BC A B AB ==⋅︒=CE AB ⊥，且112CE AB ==，1112A E AB ==，因为1A BC 为等边三角形，故12==AC BC ，故22211A C CE A E =+，即1CE A E ⊥，又AB ，1A E ⊂平面1AA B ，1A E AB E ⋂=，故CE ⊥平面1AA B ，且CE ⊂平面ABC ，故平面1AA B ⊥平面ABC ；【小问2详解】①由（1）知，CE AB ⊥，1A E AB ⊥，且平面1AA B ⋂平面ABC AB =，故1CEA ∠即二面角1A AB C --的平面角，即1π3CEA ∠=，故1CEA 为等边三角形，则111CA CE A E ===，因为CE AB ⊥，1A E AB ⊥，1A E CE E ⋂=，且CE ，1A E ⊂平面1CEA ，所以AB ⊥平面1CEA ，设线段1A E 中点为F ，则1CF A E ⊥，AB CF ⊥，又AB ，1A E ⊂平面11ABB A ，1AB A E E = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又在三角形1CEA中易知：2CF =，∴11111112133226C A BB A BB V CF S -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，又在三角形1A BC 中，由11AC =，1BC A B ==则22211113cos 24BC A B A CA BC BC AB +-∠==⋅，1sin 4A BC ∠=，则11117sin 24A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠= ，设点1B 到平面1A CB 的距离为d ，又由1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△，可得7d =，即求点1B 到平面1A CB 的距离为2217；②由①知，AB ⊥平面1CEA ，而11//AB A B ，故11A B ⊥平面1CEA ，且1A C ⊂平面1CEA ，故111A B AC ⊥，则2211115B C A B AC =+=，设1AC 和1B C 的中点分别为M ，N ，连接MN ，BN ，BM，则11//MN A B ，11112MN A B ==，1MN AC ⊥，又因为12BC A B ==1BM A C ⊥，且MN ⊂平面11A B C ，BM ⊂平面1A BC ，故BMN ∠即二面角11B A C B --的平面角，且222211722BM BC CM BC A C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为112BB AA BC ===，故1BN B C ⊥，则222211322BN BC CN BC B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222731744cos 277212BM MN BN BMN BM MN +-+-∠==⋅⨯⨯，故平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值为277．。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.72。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。
江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高一上学期11月期中联考试题语文试题(含答案)
2024—2025学年度秋学期期中联考试卷高一语文考生注意：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，共23小题，共150分，考试时间150分钟。
2.请将所有答案填涂或书写在答题卡相对应的答题区域内，答在其它区域无效。
一、积累与运用（21分）（一）根据提示默写（本题共1小题，6分）1. 补写出下列句子中的空缺部分。
（6分）（1）陶渊明《归园田居》（其一）中“，”两句使用叠字，增添了乡村远景的平静安详之感。
（2）“，使我不得开心颜。
”出自诗人李白《》中的诗句，体现了他蔑视权贵、傲岸不羁的个性。
（3）韩愈在《师说》中，用“，”揭示了“弟子不必不如师，师不必贤于弟子”的原因。
（二）语言文字运用Ⅰ（本题共2小题，9分）阅读下面的文字，完成2～3题。
中国传统结构中的差序格局具有伸缩能力。
在乡下，家庭可以很小，而一到有钱的地主和官僚阶层，可以大到像个小国。
中国人也特别对世态炎凉有感触，正因为这富于伸缩的社会圈子会因中心势力的变化而大小。
在孩子成年了住在家里都得给父母膳宿费的西洋社会里，大家承认团体的界限。
在团体里的有一定的资格。
资格取消了就得走出这个团体。
在他们不是人情冷热的问题，而是权利问题。
在西洋社会里争的是权利，而在我们却是攀关系、讲交情。
以“己”为中心，像石子一般投入水中，和别人所联系成的社会关系，不像团体中的分子一般大家立在一个平面上的，而是像水的波纹一般，一圈圈推出去，愈推愈远，也愈推愈薄。
在这里我们遇到了中国社会结构的基本特性了。
我们儒家最考究的是人伦，人伦是什么呢？我的解释就是从自己推出去的和自己发生社会关系的那一群人里所发生的一轮轮波纹的差序。
（选自费孝通《乡土中国》）2．下面语句中，不能体现中国传统社会结构中“差序格局”特点的一项是( 3分)A.己欲立而立人，己欲达而达人。
B.事在是非，公无远近。
C.苏秦潦倒，“妻不以为夫，嫂不以为叔”。
D.身修而后家齐，家齐而后国治，国治而后天下平。
请简要概括乡土社会中“差序格局”的特点。
2014-2015年江苏省无锡市高二(上)期末数学试卷及答案
2014-2015学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一．填空题（本大题共14题，每题5分，共70分．请将答案填在答题卡对应的横线上）1．（5分）命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为．2．（5分）抛物线y2=x的准线方程为．3．（5分）直线3x+y﹣6=0的倾斜角为．4．（5分）已知直线和平面α，则“l⊥α”是“存在直线m⊂α，l⊥m”的条件．（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．5．（5分）若函数f（x）=xsinx，则f′（x）=．6．（5分）曲线y=2lnx﹣1在点（e，1）处的切线与y轴交点的坐标为．7．（5分）经过点P（2，﹣1）作圆x2﹣2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为．8．（5分）底面边长为2，高为1的正六棱锥的全面积为．9．（5分）（理科选做）在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设=，=，=，那么向量用基底{，，}可表示为．10．（5分）（文科选做）若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是真命题，则实数m的取值范围是．11．（5分）已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为F（10，0），两条渐近线的方程为y=±，则该双曲线的标准方程为．12．（5分）若l，n是两条互不相同的空间直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（填所有正确答案的序号）．①若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n；②若l⊥α，n∥α，则l⊥n；③若α⊥β，l⊥β，则l∥α；④若l⊥α，l∥β，则α⊥β．13．（5分）若动点P在直线l1：x﹣2y﹣2=0上，动点Q在直线l2：x﹣2y﹣8=0上，设线段PQ的中点为M（x0，y0），且（x0﹣3）2+（y0+1）2≤8，则x02+y02的取值范围是．14．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上异于顶点的动点，若恰好有4个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，且有一个角为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是．15．（5分）设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+1，g（x）=ax2﹣2x+1，其中实数a≠0．若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，则实数的取值范围是．二．解答题（本大题共7小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（9分）已知圆C经过点A（0，2）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）若直线m过点（1，4），且被圆C截得的弦长为6，求直线m的方程．17．（12分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，设E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）求四棱锥P﹣ABCD的体积．18．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B 与B 1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．19．（12分）（文科）已知为实数，命题p：点M（3，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=16内部；命题：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0．若“p且q”为假命题，“p或”为真命题，求a的取值范围．20．（12分）某工厂需要生产x个零件（50≤x≤150，x∈N*），经市场调查得知，生产成本包括以下三个方面：①生产1个零件需要原料费50元；②支付职工的工资由6000元的基本工资和每生产1个零件补贴20元组成；③所生产零件的保养总费用是（x2﹣30x+400）元．（1）把生产每个零件的平均成本P（x）表示为x的函数关系式，并求P（x）的最小值；（2）假设生产的零件可以全部卖出，据测算，销售收入Q（x）关于产量x的函数关系式为Q（x）=1240x﹣x3，那么当产量为多少时生产这批零件的利润最大？21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的右顶点为A，两焦点坐标分别为（﹣，0）和（，0），且经过点（，）．过点O的直线交椭圆C于M、N两点，直线AM、AN分别交y轴于P、Q两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若=λ，且⊥，求实数λ的值；（3）以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．22．（6分）设函数f（x）=+xlnx，g（x）=bx2．（1）求函数h（x）=的单调区间；（2）当a=0时，方程f（x）=g（x）在[1，2e]上有唯一解，求实数b的取值范围；（3）当b=时，如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）＞g（t）成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题共14题，每题5分，共70分．请将答案填在答题卡对应的横线上）1．（5分）命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，故答案为：“若x≤1，则x2≤1”2．（5分）抛物线y2=x的准线方程为x=﹣．【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x 的准线方程．【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1∴∴抛物线y2=x的准线方程为x=﹣故答案为：x=﹣3．（5分）直线3x+y﹣6=0的倾斜角为．【分析】利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：设倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∵直线3x+y﹣6=0，∴=﹣=tanθ，∴．故答案为：．4．（5分）已知直线和平面α，则“l⊥α”是“存在直线m⊂α，l⊥m”的充分不必要条件．（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．【分析】根据线面垂直的性质和定义结合充分条件和必要条件进行判断即可．【解答】解：若l⊥α，则l垂直平面α内的任何直线，故充分性成立，根据线面垂直的定义可知当存在一条直线m⊂α，l⊥m时，线面垂直不成立，故必要性不成立，故存在直线m⊂α，l⊥m充分不必要条件，故答案为：充分不必要5．（5分）若函数f（x）=xsinx，则f′（x）=sinx+xcosx．【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=xsinx，∴f′（x）=sinx+xcosx．故答案为：sinx+xcosx．6．（5分）曲线y=2lnx﹣1在点（e，1）处的切线与y轴交点的坐标为（0，﹣1）．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，令x=0，即可得到交点坐标．【解答】解：y=2lnx﹣1的导数为y′=，即有在点（e，1）处的切线斜率为k=，即有在点（e，1）处的切线方程为y﹣1=（x﹣e），即为y=x﹣1．令x=0，可得y=﹣1．即有与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．7．（5分）经过点P（2，﹣1）作圆x2﹣2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为x﹣y﹣3=0．【分析】求出圆心坐标，点P平分弦AB等价为CP⊥AB，根据垂直关系求出直线斜率即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=25，则圆心C（1，0），半径R=5，若点P平分弦AB，则CP⊥AB，则CP的斜率k=，则AB的斜率k=1，则弦AB所在直线的方程为y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0，故答案为：x﹣y﹣3=08．（5分）底面边长为2，高为1的正六棱锥的全面积为12．【分析】画出几何图形判断出斜高的大小，运用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：∵底面边长为2，高为1，∴a=2，h=1，即OA=2，OB=，PB==2，∴正六棱锥的全面积为6××22+6×=12故答案为；12+6，9．（5分）（理科选做）在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设=，=，=，那么向量用基底{，，}可表示为．【分析】点P为棱BC的中点，．又=，即可得出．【解答】解：∵点P为棱BC的中点，∴．∴===，故答案为：．10．（5分）（文科选做）若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是真命题，则实数m的取值范围是m≤1．【分析】根据特称命题为真命题得到判别式△≥0，即可得到结论．【解答】解：若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是真命题，则判别式△≥0，即△=4﹣4m≥0，解得m≤1，故答案为：m≤111．（5分）已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为F（10，0），两条渐近线的方程为y=±，则该双曲线的标准方程为．【分析】由题意得，c=10，=，100=a2+b2，解出a和b的值，即得所求的双曲线的标准方程．【解答】解：由题意得，c=10，=，100=a2+b2，∴a=6，b=8，故该双曲线的标准方程为，故答案为．12．（5分）若l，n是两条互不相同的空间直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是②④（填所有正确答案的序号）．①若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n；②若l⊥α，n∥α，则l⊥n；③若α⊥β，l⊥β，则l∥α；④若l⊥α，l∥β，则α⊥β．【分析】对于①，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于②，考虑线面垂直、线面平行的判定定理判断；对于③，考虑面面垂直、线面垂直的性质判断；对于④，考虑面面垂直的判定定理．【解答】解：对于①，l除平行n外，还有异面的位置关系，则①不正确．对于②，若l⊥α，n∥α，则过n的平面与α交于b，则n∥b，l⊥b，所以l⊥n；所以②正确；对于③，若α⊥β，l⊥β，则l∥α或者l⊂α；所以③错误．对于④，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c ⊥α，又c⊂β，所以α⊥β，④正确．故答案为：②④．13．（5分）若动点P在直线l1：x﹣2y﹣2=0上，动点Q在直线l2：x﹣2y﹣8=0上，设线段PQ的中点为M（x0，y0），且（x0﹣3）2+（y0+1）2≤8，则x02+y02的取值范围是[5，18+] ．【分析】根据题意判断出点M的轨迹，利用点到直线的距离求得最小值，进而联立直线和圆的方程求得B的坐标，进而求得最大值．【解答】解：依题意知，M点在直线x﹣2y﹣5=0上，又满足（x0﹣3）2+（y0+1）2≤8，如图故M轨迹是直线与圆及内部的公共部分，M的轨迹为线段AB，x02+y02的代表的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，故原点到直线AB的距离的平方为最小值（）2=5，OA为最大值．联立方程，取得A坐标为（+3，﹣1），|OA|2=（+3）2+（﹣1）2=18+，故答案为：[5，18+]14．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上异于顶点的动点，若恰好有4个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，且有一个角为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（，）．【分析】通过题意可知等腰三角形△F1F2P以F1F2为一腰，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：根据题意可知等腰三角形△PF1F2中的钝角只能是顶角，又∵P是椭圆上异于顶点的动点，∴只能是PF1或PF2为等腰三角形的底边，下面只考虑以F1P作为等腰三角形的底边这种情况，由对称性可知另一种情况，此时F1F2=F2P，∴点P在以F2为圆心，半径为焦距2c的圆上，∴当以F2为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2个交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，此时2a﹣2c＜2c+2c，解得a＜3c，所以离心率e＞，又∠F1F2P为钝角，∴＞+，∴（2a﹣2c）2＞（2c）2×2，即e＜．这样，总共有4个不同的点P满足题意，综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，），故答案为：（，）．15．（5分）设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+1，g（x）=ax2﹣2x+1，其中实数a≠0．若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，则实数的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．【分析】求出函数f（x）的导函数，对a分类得到函数f（x）的单调性，由a＞0和a＜0可得函数g（x）的单调性，然后根据f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数列关于a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围．【解答】解：∵，若a＞0，当x＜﹣a或x＞时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣a）和（）内是增函数，在（）是减函数．若a＜0，当x＜或x＞﹣a时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，）和（﹣a，+∞）内是增函数，在（）是减函数．∵，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣a）和（）内是增函数，g（x）在内是增函数，由题意得，解得a≥1；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，）和（﹣a，+∞）内是增函数，g（x）在内是增函数，由题意得，解得a≤﹣3．综上可知，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．二．解答题（本大题共7小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（9分）已知圆C经过点A（0，2）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）若直线m过点（1，4），且被圆C截得的弦长为6，求直线m的方程．【分析】（1）设出圆心的坐标，利用半径相等求得t，进而利用两点的距离公式求得半径，则圆的方程可得．（2）先看斜率不存在时是否符合．进而看斜率存在时设出直线m的方程，利用点到直线和距离和勾股定理建立等式求得k，则直线的方程可得．【解答】（1）解：设圆心的坐标为（t，t+1），则有t2+（t﹣1）2=（t﹣2）2+（t+3）2，整理求得t=﹣3，故圆心为（﹣3，﹣2），r2=t2+（t﹣1）2=25，则圆的方程为（x+3）2+（y+2）2=25．（2）当直线m的斜率不存在时，方程为x=1，被圆截得的弦长2d=2×=6，符合，当直线的斜率不存在时，设直线m的方程为y﹣4=k（x﹣1）整理得，kx﹣y+4﹣k=0，圆心到直线的距离为==4，求得k=．则直线的方程为x﹣y+=0，综合知直线m的方程为x=1或x﹣y+=0．17．（12分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，设E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【分析】（1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；（2）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．（3）利用面面垂直的性质，证明CD⊥平面PAD，计算P﹣ADC的体积，再计算求四棱锥P﹣ABCD的体积V P．﹣ABCD【解答】（1）证明：连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点．所以在△CPA中，EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD；（2）证明：平面PAD⊥平面ABCD平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD又PA=PD=，AD=2，所以PA2+PD2=AD2所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD．因为CD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC所以PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，所以面PAB⊥面PDC．（3）解：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，CD=2，因为S==1△PAD=V C﹣PAD==，所以V P﹣ADC=2V P﹣ADC=．所以V P﹣ABCD18．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B 与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．【分析】（1）将B1C1平移到BC，∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，在三角形A1BA内建立等式，解之即可；（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E，得到∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角，在△B1EF中解出此角即可．【解答】解：（1）∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即∠A1BC=60°，（2分）连接A1C，又AB=AC，则A1B=A1C∴△A1BC为等边三角形，（4分）由AB=AC=1，∠BAC=90°，∴；（6分）（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E⇒B1E⊥平面A1BC1⇒B1E⊥BC1又EF⊥BC1，所以BC1⊥平面B1EF，即B1F⊥BC1，所以∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角．（8分）在△B1EF中，∠B1EF=90°，，，∴⇒∠B1FE=60°，（10分）因此平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为60°．19．（12分）（文科）已知为实数，命题p：点M（3，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=16内部；命题：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0．若“p且q”为假命题，“p或”为真命题，求a的取值范围．【分析】分别求出p真，p假，q真，q假时的a的范围，通过讨论p，q一真一假的情况，从而求出a的范围．【解答】解：∵点M（3，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=16内部；∴（3+a）2+（1﹣a）2＜16，解得：﹣3＜a＜1，∴p为真时：﹣3＜a＜1，p为假时：a≥1或a≤﹣3，：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0，∴△=a2﹣4≤0，解得：﹣2≤a≤2，∴q为真时：﹣2≤a≤2，q为假时：a＞2或a＜﹣2，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则p，q一真一假，p真q假时：﹣3＜a＜﹣2，p假q真时：1≤a≤2，∴a∈（﹣3，﹣2）∪[1，2]．20．（12分）某工厂需要生产x个零件（50≤x≤150，x∈N*），经市场调查得知，生产成本包括以下三个方面：①生产1个零件需要原料费50元；②支付职工的工资由6000元的基本工资和每生产1个零件补贴20元组成；③所生产零件的保养总费用是（x2﹣30x+400）元．（1）把生产每个零件的平均成本P（x）表示为x的函数关系式，并求P（x）的最小值；（2）假设生产的零件可以全部卖出，据测算，销售收入Q（x）关于产量x的函数关系式为Q（x）=1240x﹣x3，那么当产量为多少时生产这批零件的利润最大？【分析】（1）由题意P（x）==x++40，（50≤x ≤150，x∈N*）；从而利用基本不等式求最值；（2）设利润为y元，则y=Q（x）﹣P（x）•x=﹣x3﹣x2+1200x﹣6400；求导y′=﹣x2﹣2x+1200=﹣（x﹣100）（x+120）；从而确定最大值点．【解答】解：（1）P（x）==x++40，（50≤x≤150，x∈N*）；则x++40≥2×80+40=200；（当且仅当x=，即x=80时，等号成立）；故P（x）的最小值为200元；（2）由题意，设利润为y元，则y=Q（x）﹣P（x）•x=1240x﹣x3﹣（x2+40x+6400）=﹣x3﹣x2+1200x﹣6400；y′=﹣x2﹣2x+1200=﹣（x﹣100）（x+120）；故y=﹣x3﹣x2+1200x﹣6400在（50，100）上是增函数，在（100，150）上是减函数；故当产量为100个零件时生产这批零件的利润最大．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的右顶点为A，两焦点坐标分别为（﹣，0）和（，0），且经过点（，）．过点O的直线交椭圆C于M、N两点，直线AM、AN分别交y轴于P、Q两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若=λ，且⊥，求实数λ的值；（3）以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（1）通过椭圆的性质计算可得结论；（2）设M（x0，y0），通过⊥可得，利用=λ计算可得结论；（3）设M（x0，y0），通过令直线MA、AN中x=0可得P、Q点坐标，进而可得以直线PQ为直径的圆的方程，计算可得结论．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为：+=1（a＞b＞0），依题意可知：2a=PF1+PF2=+=4，即a=2，又∵c=，∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为：；（2）设M（x0，y0），∵⊥，∴（x0，y0）•（2﹣x0，﹣y0）=0，即，又，∴或x0=2（舍），∵=λ，∴=λ（2﹣），∴λ=；（3）结论：以线段PQ为直径的圆过定点（﹣1，0）和（1，0）．理由如下：设M（x0，y0），直线MA：y=（x﹣2），令x=0，得y==，即P（0，），同理可得：Q（0，﹣），∴以直线PQ为直径的圆的方程为：x2+（y﹣）（y+）=0，令y=0得：x2=•=，又∵，即4=4﹣，∴x2=1，即x=±1．∴以线段PQ为直径的圆过定点（﹣1，0）和（1，0）．22．（6分）设函数f（x）=+xlnx，g（x）=bx2．（1）求函数h（x）=的单调区间；（2）当a=0时，方程f（x）=g（x）在[1，2e]上有唯一解，求实数b的取值范围；（3）当b=时，如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）＞g（t）成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）b=，令y=，则y′=，在[1，e]上，y′＞0，在[e，2e]上，y′＜0，即可求实数b的取值范围；（3）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值范围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，∴h′（x）=﹣+，∴a≤0时，h′（x）≥0，函数单调递增；a＞0时，函数在（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减；（2）当a=0时，方程f（x）=g（x）为xlnx=bx2，∴b=，令y=，则y′=，在[1，e]上，y′＞0，在[e，2e]上，y′＜0，∴x=e，y max =，∴b∈[0，）∪{}；（3）当b=时，g（x）=x2，t∈[，2]，g（x）max=g（2）=1，所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx＞1恒成立，等价于a＞x﹣x2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a＞u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x ∈（，1）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，故实数a的取值范围是（1，+∞）．第21页（共21页）。
江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测(9月)数学试题含答案
2024-2025学年第一学期高二年级第一次阶段检测数学试卷（答案在最后）一、单选题(每题5分，共40分）1.已知直线1l的斜率为0，且直线12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为A.0︒B.45︒C.90︒D.180︒【答案】C 【解析】【分析】由斜率定义可判断直线1l 与x 轴平行，再由直线12l l ⊥得解．【详解】因为直线1l 的斜率为0，所以直线1l 与x 轴平行，又直线12l l ⊥，故直线2l 的倾斜角为90 ．【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角的定义．2.已知直线3230x y +-=和6410x y ++=之间的距离是（）A.4B.13C.26D.26【答案】D 【解析】【分析】由平行线间距离公式即可求解.【详解】直线6410x y ++=可以转化为13202x y ++=，由两条平行直线间的距离公式可得7713226d ===.故选：D3.圆()2249x y -+=和圆()2234x y +-=的位置关系是（）A.外离B.相交C.外切D.内含【答案】C 【解析】【分析】计算两圆的圆心之间的距离和半径比较，即得答案.【详解】圆()2249x y -+=的圆心为()4,0，半径为3，圆()2234x y +-=的圆心为0,3，半径为2，523==+，所以两圆外切.故选：C4.已知圆()22420x y mx my m m ++-+=∈R 与x 轴相切，则m =（）A.1B.0或14C.0或1D.14【答案】D 【解析】【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得r m ==求解.【详解】将()22420x y mx my m m ++-+=∈R 化为标准式为：()()22225x m y m m m ++-=-，故圆心为()2,m m -半径为r =15m >或0m <，由于()22420x y mx my m m ++-+=∈R 与x轴相切，故r m ==，解得14m =，或0m =（舍去），故选：D5.已知点()0,1P -关于直线10x y -+=对称的点Q 的坐标是（）A.(2,1)B.(2,1)- C.(1,2)D.(2,1)--【答案】B 【解析】【分析】设(),Q a b ，根据,P Q 中点在对称直线上及PQ 与对称直线垂直列方程求解.【详解】设(),Q a b ，则110011022b a a b +⎧=-⎪⎪-⎨+-⎪-+=⎪⎩，解得2a =-，1b =.故选：B6.已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF △的周长的最小值为（）A.8B.6+C.10D.8+【答案】C【解析】【分析】根据题意结合椭圆定义可得2ABF △的周长为2a AB +，结合椭圆的性质分析求解.【详解】椭圆的方程为22194x y +=，则3a =，2b =，c ==，连接1AF ，1BF ，则由椭圆的中心对称性可知12OA OB OF OF ==，，可知12AF BF 为平行四边形，则21BF AF =，可得2ABF △的周长为22122AF BF AB AF AF AB a AB ++=++=+，当AB 位于短轴的端点时，A 取最小值，最小值为24b =，所以周长为26410a AB +≥+=．故选：C.7.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】首先求出直线PA 、PB 的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】解：记()1,1为点P ，直线PA 的斜率31421PA k --==--，直线PB 的斜率213314PB k --==--，因为直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，结合图象，可得直线l 的斜率k 的取值范围是(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭．故选：B ．8.已知直线(2)y k x =+与曲线21y x =-有公共点，则实数k 的取值范围是（）A.33,33⎡-⎢⎣⎦B.30,3⎡⎢⎣⎦C.3,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[3,3]-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到直线(2)y k x =+过定点(2,0)P -，以及曲线221(0)x y y +=≥，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.【详解】由直线(2)y k x =+过定点(2,0)P -，又由曲线21y x =-221(0)x y y +=≥，作出曲线21y x =-(2)y k x =+的图象，如图所示，因为直线(2)y k x =+，可得20kx y k -+=，2221(1)kk =+-，解得33k =±，若直线(2)y k x =+与曲线21y x =-303k ≤≤，即实数k 的取值范围为30,3⎡⎢⎣⎦.故选：B.二、多选题(每小题6分，本题18分)9.以下四个命题叙述正确的是（）A.直线210x y -+=在x 轴上的截距是1B.直线0x ky +=和2380x y ++=的交点为P ，且P 在直线10x y --=上，则k 的值是12-C.设点(,)M x y 是直线20x y +-=上的动点，O 为原点，则OM 的最小值是2D.直线()12:310:2110L ax y L x a y ++=+++=，，若12//L L ，则3a =-或2【答案】BC 【解析】【分析】求出直线的横截距判断A ；解方程组求出k 判断B ；求出点到直线的距离判断C ；验证判断D.【详解】对于A ，直线210x y -+=在x 轴上的截距是12-，A 错误；对于B ，由238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,2)P --，则120k --=，解得12k =-，B 正确；对于C ，依题意，min222211OM-==+C 正确；对于D ，当2a =时，直线12:2310,:2310L x y L x y ++=++=重合，D 错误.故选：BC10.已知M 是圆22:414450C x y x y +--+=上任一点，()2,3Q -，则下列说法正确的是（）A.圆心C 的坐标为()2,7B.点Q 在圆C 内C.MQ 的最大值为62D.过()3,5P 的最短弦长是23【答案】ACD 【解析】【分析】由圆的标准方程可判断A ，由点和圆的位置关系可判断B ，由圆外一点到圆的距离的最值可判断C ，由圆的几何性质可判断D.【详解】将圆C 的方程化为标准方程()()22278x y -+-=，圆心()2,7,C r =对于A ：圆心C 的坐标为()2,7，故A 正确；对于B ：因为()()2222378--+->，所以点Q 在圆C 外，故B 错误；对于C ：因为CQ ==，r =所以MQ ≤≤，即MQ ≤≤，故C 正确；对于D ：因为()()22325758CP =-+-=<，所以点()3,5P 在圆内，当弦垂直于CP 时弦长最短，又CP =，最短弦长为=D 正确.故选：ACD.11.已知椭圆22:416C x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的任意一点，则（）A.C 的离心率为12B.128PF PF +=C.1PF 的最大值为4+D.使12F PF ∠为直角的点P 有4个【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出,,a b c ，由离心率定义判断A ，由椭圆定义判断B ，由椭圆的几何性质判断C ，根据以线段12F F 为直径的圆与椭圆交点个数判断D.【详解】由原方程可得椭圆标准方程为221164x y +=，4,2a b c ∴==⇒=，2c e a ∴==，故A 错误；由椭圆定义可知1228PF PF a +==，故B 正确；由椭圆的性质知1max ||4PF a c =+=+C 正确；易知以线段12F F 为直径的圆（因为b c a <<）与C 有4个交点，故满足12F PF ∠为直角的点P 有4个，故D 正确.故选：BCD三、填空题(每小题5分，本题15分)12.已知三点A (1,1)-，B (,3)a ，C (4,5)在同一直线上，则实数a 的值是________.【答案】3【解析】【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式.【详解】 三点A (1,1)-，B (,3)a ，C (4,5)在同一直线上，AB AC k k ∴=，∴4613a =-，解得3a =.故答案为：3.13.已知椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若ABF △为等腰三角形，则C 的离心率为______．【答案】12-+【解析】【分析】利用椭圆的性质计算即可.【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为()2,2,20,0,0a b c a b c >>>，则222a b c =+，且根据椭圆的性质易知()()(),0,,0,0,F c A a B b -，所以,AB AF a c BF a ==+=，显然若ABF △为等腰三角形，则只能有AB AF =，即()22222220a b a c a ac c +=+⇒--=，则21312202c c c e a a a -+⎛⎫--=⇒== ⎪⎝⎭.故答案为：132-+14.如果实数,x y 满足等式224240x y x y --++=，那么22x y +的最大值是________；2x y -的最大值是________．【答案】①.1465+6514②.355##535-+【解析】【分析】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可.【详解】由224240x y x y --++=，得2222(2)(1)9,x y x y ++-=+的几何意义为圆22(2)(1)9x y ++-=上的动点到原点距离的平方．因为圆心()2,1-553+，则22x y +的最大值是253)1465=+令2x y t -=，则t -是直线2x y t -=在y 轴上的截距，当直线与圆相切时，直线2x y t -=在y 轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，此时，圆心()2,1-到直线2x y t -=的距离4135td ---==，解得535t =-±，所以2x y -的最大值为355-．故答案为：1465+；355.四、解答题15.已知点(2,1)P -和直线:250l x y +-=.（1）若直线1l 经过点P ，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过点P ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线2l 的方程.【答案】（1）250x y --=（2）20x y +=和10x y +-=【解析】【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解，（2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解.【小问1详解】由直线l 的方程可知它的斜率为12-，因为1l l ⊥，所以直线1l 的斜率为2.又直线1l 经过点(2,1)P -，所以直线1l 的方程为：12(2)y x +=-，即250x y --=；【小问2详解】若直线2l 经过原点，设直线方程为y kx =，代入(2,1)P -可得20x y +=，若直线2l 不经过原点，设直线方程为1x ya a+=，代入(2,1)P -可得1a =，故直线2l 方程为10x y +-=.综上，直线2l 的方程为20x y +=和10x y +-=.16.（1）椭圆C 与椭圆C 1:2212x y +=有相同的焦点，且经过点M 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求椭圆C 的标准方程；（2）已知椭圆22126x y +=的焦点分别是1F ，2F ，点M 在椭圆上，且120F M F M ⋅= ，求点M 到x 轴的距离.【答案】（1）22143x y +=；（2【解析】【分析】（1）确定椭圆焦点坐标，根据椭圆定义求得,a b ，即得答案；（2）设(,)M x y ，可得1(,2)F M x y =+ ，2(,2)F M x y =-；由120F M F M ⋅= 得2240x y +-=，结合椭圆方程求出||y =，即得答案.【详解】（1）椭圆C 1：2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，所以椭圆C 的焦点坐标也为(1,0)±，即得焦距为22c =，∵椭圆C 过点M 3(1,2，∴24a =+=，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）由椭圆方程得，1(0,2)-F ，2(0,2)F ，设(,)M x y ，则1(,2)F M x y =+ ，2(,2)F M x y =-；由120F M F M ⋅=得：2240x y +-=（1）；又点M 在椭圆上，可得22126x y +=（2）；（1）（2）联立消去2x 得，23y =，即||y =；故点M 到x 17.（1）已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是34-，求点M 的轨迹方程；（2）如图，已知圆22:1O x y +=和定点()4,0A ，P 为圆O 外一点，直线PQ 与圆O 相切于点Q ，若PQ =，求点P 的轨迹方程．【答案】（1）()221243x y x +=≠±；（2）221633x y x +-+=0.【解析】【分析】设动点坐标为(),x y ，用坐标表示动点满足的条件，列出方程，化简即可.【详解】（1）设s ，则2AM y k x =+，2BM y k x =-，()32224AM BM y y k k x x x ∴⋅=⋅=-≠±+-，化简整理得，()2234122x y x +=≠±，所以点M 的轨迹方程为：()221243x y x +=≠±.（2）设s ，依题意2PQ =，则222PQ PA =，即2222OP OQ PA -=，即()2222124x y x y ⎡⎤+-=-+⎣⎦，整理得2216330x y x +-+=.18.（1）求圆心在直线1:2l y x =-上，与直线2:1l x y +=相切于点(2,1)A -的圆C 的方程.（2）若过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)2D x y -++=的切线，求切线的斜率.【答案】（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）23-±【解析】【分析】（1）由圆的切线性质求出直线CA 的方程，进而求出圆心C 的坐标及圆半径即可得解.（2）按切线斜率存在与否分类讨论，借助点到直线距离公式列式计算即得.【详解】（1）依题意，2CA l ⊥，则直线CA 的斜率为1，方程为12y x +=-，即3y x =-，由23y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，则圆C 的圆心(1,2)C -，22(21)(12)2||CA -=-++=所以所求圆的方程为：22(1)(2)2x y -++=.（2）圆22:(1)(2)2D x y -++=的圆心(1,2)D -，半径r =当切线l 的斜率不存在时，:1l x =-，点D 到切线l 的距离为2，不等于半径，不满足题意；当切线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =+，即0kx y k -+=，=，解得2k =-±，所以切线的斜率为2-±19.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,1P ，焦距为，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.（1）求椭圆C 的方程；（2）若MN =，求MN 的方程；（3）记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明:12k k 为定值.【答案】（1）221124x y +=（2）123y x =--（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；（2）设直线l 的方程为13y x m =-+，与椭圆联立，由弦长公式求得MN 的方程；（3）将韦达定理代入12k k 中计算结果为定值.【小问1详解】由题意得222229112a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为13y x m =-+，()()1122,,,M x y N x y 由22131124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22469360x mx m -+-=，由()22Δ(6)14440m m =-->，得434333m -<<，则212123936,24m m x x x x -+==.2MN ===解得2m =或2m =-当2m =时，直线1:23l y x =-+经过点()3,1P ，不符合题意，舍去；当2m =-时，直线l 的方程为123y x =--.【小问3详解】直线PM ，PN 均不与x 轴垂直，所以123,3x x ≠≠，则0m ≠且2m ≠，所以()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()212121212111(1)9339x x m x x m x x x x --++-=-++()222221936131(1)3619432936391833942m m m m m m m m m m -⋅--⋅+--===---⋅+为定值.。
2024-2025学年江苏省无锡市高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省无锡市高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−2≤x ≤3}，B ={x|x 2−4>0}，则A ∩B =( )A. (−2,2)B. [−2,3]C. (2,3)D. (2,3]2.已知函数f(2x−1)=4x +1，且f(t)=5，则t =( )A. 12B. 1C. 2D. 523.命题“任意x >1，则3x−1>5”的否定是( )A. 任意x ≤1，则3x−1≤5 B. 存在x ≤1，则3x−1≤5C. 存在x >1，则3x−1≤5D. 任意x >1，则3x−1≤54.若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A. a 2<b 2 B. ab <b 2C. ba +ab ≥2D. |a|+|b|>|a +b|5.设函数f(x)=ax 3+bx−1，且f(−3)=1，则f(3)等于( )A. −5B. −3C. 3D. 56.已知奇函数f(x)满足f(1)=0，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，则x 3f(x)−f(−x)<0的解集是( )A. (−1,0)∪(0,1) B. (−1,1)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−1,0)∪(1,+∞)7.已知函数f(x)满足f(a)+f(b)=f(ab)，且f(8)=32，则f(12)的值为( )A. −12B. 12C. −3D. 38.已知x⩾0，y⩾0，且x +y =1，则2x +3+12y +1的最小值为( )A. 1B. 2C. 52D. 23二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于给定的实数a ，关于实数x 的不等式a(x−a)(ax +a)≥0的解集不可能为( )A. RB. {x|a ≤x ≤−1}C. {x|x ≤a 或x ≥−1}D. ⌀10.高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉.以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数y =[x]，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x].如[2024]=2024，[1.7]=1，[−1.5]=−2，记函数f(x)=x−[x]，则( )A. f(−2.1)=0.9B. f(x)的值域为[0,1]C. f(x)在[0,3)上有3个零点D. ∀a ∈R ，方程f(x)+x =a 有两个实根11.对于定义在R 上的函数f(x)，下列说法正确的是( )A. 若f(x)是奇函数，则f(x +1)的图象关于点(1,0)对称B. 若函数f(x−1)的图象关于直线x =1对称，则f(x)为偶函数C. 函数f(x)=(x 2+2)+1x 2+2的最小值为52D. 函数f(x)=x|x|+2+1在区间[−2024,2024]上的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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2014年秋学期无锡普通高中期末考试试卷高二数学注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为160分．一．填空题（本大题共14题，每题5分，共70分．请将答案填在答题卡对应的横线上） 1．命题“若1,x >则21x >”的否命题是 ▲ ． 2．抛物线2y x =的准线方程为 ▲ ． 3．直线360x -=的倾斜角为 ▲ ．4．已知直线l 和平面α，则“l α^”是“存在直线m αÌ，l m ^”的 ▲ 条件．（在“充分不必要”， “必要不充分”， “充要”， “既不充分又不必要”中选一个填写）. 5．若函数()sin f x x x =，则()f x '= ▲ ．6．曲线2ln 1y x =-在点（e,1）处的切线与y 轴交点的坐标为 ▲ .7．经过点P (2，－1)作圆22224x x y -+=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为 ▲ ．8．底面边长为2，高为1的正六棱锥的全面积为 ▲ ．9．(理科选做)在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA a =, OB b =，OC c =，那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为 ▲ ．（文科选做）若命题“2,20R x x x m ∃∈-+≤”是真命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为 ▲ ．11．若,l n 是两条互不相同的空间直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 ▲ (填所有正确答案的序号)．①若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n ； ②若,//l n αα⊥，则l n ⊥； ③若,l αββ⊥⊥，则//l α； ④若,//l l αβ⊥，则αβ⊥． 12．若动点P 在直线l 1：220x y --=上，动点Q 在直线l 2：280x y --=上，设线段PQ的中点为M 00(,)x y ，且2200(3)(1)8x y -++≤，则2200x y +的取值范围是 ▲ ．OABC P13．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上异于顶点的动点，若恰好有4个不同的点P ,使得△12PF F 为等腰三角形,且有一个角为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ __ .14．设函数()1223+-+=x a ax x x f ，()122+-=x ax x g ，其中实数0≠a ．若()x f 与()x g 在区间()2,+a a 内均为增函数，则实数a 的取值范围是 ▲． 二．解答题（本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知圆C 经过点A (0,2)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上．（1）求圆C 的方程；(2) 若直线m 过点(1，4)，且被圆C 截得的弦长为6，求直线m 的方程．16．如图在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，且PA PD ==E 、F 分别为PC 、BD 的中点．(1) 求证: EF ∥平面PAD ； (2) 求证: 平面PAB ⊥平面PCD ； （3）求四棱锥P -ABCD 的体积．17．（理科选做）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，异面直线ABDEPFB A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1．(1)求a 的值；(2)求平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小．（文科选做）已知a 为实数，命题p ：点(3,1)M 在圆22()()16x a y a ++-=内部； 命题q ：,R x ∀∈都有21x ax ++≥0.若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．18．某工厂需要生产x 个零件（50150,*N x x ≤≤∈），经市场调查得知，生产成本包括以下三个方面：①生产1个零件需要原料费50元；②支付职工的工资由6000元的基本工资和每生产1个零件补贴20元组成；③所生产零件的保养总费用是2(30400)x x -+元． （1）把生产每个零件的平均成本()P x 表示为x 的函数关系式，并求()P x 的最小值； （2）假设生产的零件可以全部卖出，据测算，销售收入()Q x 关于产量x 的函数关系式为()31124030Q x x x =-，那么当产量为多少时生产这批零件的利润最大？19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的右顶点为A，两焦点坐标分别为(和，且经过点1)2．过点O的直线交椭圆C于M、N两点，直线AM、AN分别交y 轴于P、Q两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若PM MAλ=，且MN MA⊥，求实数λ的值；（3）以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．20．设函数()lnaf x x xx=+,2()g x bx=.(1)求函数()()f xh xx=的单调区间；(2)当0a=时，方程()()f xg x=在[1,2]e上有唯一解，求实数b的取值范围；(3)当14b=时，如果对任意的1,[,2]2s t∈,都有()()f sg t>成立，求实数a的取值范围．无锡市2014年秋学期普通高中高二期末考试评分标准高二数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．） 1．若1,x ≤则21x ≤ 2．14x =-3．120° 4．充分不必要 5．sin cos x x x + 6．(0，－1) 7．30x y --= 8．129．（理）1122a b c -++，（文）(,1]-∞ 10．2213664x y -=11． ②，④12．[5，18] 13．1(1)314．(][),31,-∞-+∞二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．解：(1)2AB k =-，AB 中点坐标为（1,0）AB 中垂线方程为：x －2y －1＝0…………………………………………………………2分210,10.x y x y --=⎧⎨-+=⎩解得：3,2.x y =-⎧⎨=-⎩………………………………………………………4分 半径5r AC ==．故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25．………………………………………………6分 (2) 直线m 的斜率为k ，则直线m 的方程4(1)y k x -=-，即40kx y k --+=．…………………………………………………………………7分 直线m 与圆相交截得弦长为6，则圆心C 到直线m 的距离为4．4=,解得512k =．………………………………………………10分 则直线m 的方程512430x y -+=．………………………………………………11分 ∵当斜率不存在时，直线1x =也符合条件，………………………………………13分 ∴直线m 的方程512430x y -+=，或1x =．…………………………………14分16．(1)证明:ABCD 为平行四边形 ，连结AC ，则F 为AC 中点, E 为PC 中点，∴在△PAC 中，EF 为中位线，EF ∥PA ，……………………………………………2分 且PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD ∴EF ∥平面PAD ．…………………………4分 (2)证明: 因为ABCD 为正方形,CD ⊥AD ,面PAD ⊥面ABCD ,面PAD 面ABCD =AD ， CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PA ．…………………………………………………6分又PA PD ==AD =2,所以△PAD 是等腰直角三角形，且∠PAD =90°, 即 PA ⊥ PD ，…………………………………………………………8分CDPD D =，且CD 、PD ⊂面PCD ，PA ⊥面PCD ． ………………………………………………………………………9分又PA ⊂面PAB ．∴平面PAB ⊥平面PCD ． ………………………………………10分 (3)取AD 中点G ,连PG ，△PAD 是等腰直角三角形，PG ⊥AD ．………………………………………………11分 因为面PAD ⊥面ABCD ,面PAD 面ABCD =AD ，PG ⊥平面ABCD ，……………………………………………………………………12分PG =1．∴43P ABCD V -=．……………………………………………………………14分17．（理）(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,0,1(B ，)1,0,1(1B ， )1,1,0(1C ，),0,0(1a A （0>a ）． ……1分 ∴)0,1,1(11-=C B ，),0,1(1a A -= ∴ 1111-=⋅BA CB …3分 ∵异面直线B A 1与11C B 所成的角060，︒=60cos 即212112=⋅+-a又0>a ，所以 1=a ． ………………………………………………………6分 (2)设平面11BC A 的一个法向量为),,(z y x =，则B A n 1⊥，11C A n ⊥，即01=⋅B A n 且011=⋅C A n …………………………8分又)1,0,1(1-=A ，)0,1,0(11=C A∴⎩⎨⎧==-00y z x ，不妨取)1,0,1(=． ………………………………………………10分同理得平面11C BB 的一个法向量)0,1,1(=． ………………………………12分 设→m 与→n 的夹角为θ，则21221cos =⨯==θ， ∴060=θ∴平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小为060 ． ……………14分（文）解：p 为真命题由题意得，22(3)(1)16a a ++-<，解得31a -<<……………3分若q 为真命题，则240a =-≤D ，解得2a -≤≤2， …………………………6分 由题意得，p 与q 一真一假，………………………………………………………7分当p 真q 假时有3122,a a a -<<⎧⎨<->⎩或 得3a -<<-2； ……………………………………10分当p 假q 真时有132a a a ≥≤-⎧⎨-⎩或≤≤2，得a 1≤≤2． ……………………………………12分∴实数a 的取值范围是3a -<<-2或a 1≤≤2．………………………………………14分18．（1）生产每个零件的平均成本25060002030400()x x x x P x x+++-+=640040x x=++（50150,*N x x ≤≤∈），………………………………3分根据基本不等式，64004040200x x ++≥=，…………………5分 当且仅当6400x x=，即80x =时等号成立．……………………………………6分 即()P x 的最小值为200．…………………………………………………………7分 （2）设总利润为()f x ，则()()()f x Q x xP x =-31640012404030x x x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭3211200640030x x x =--+-．…………………………………………10分 21'()2120010f x x x =--+， 令'()0f x =得，100x =或120x =-（舍）．……………………………………13分 当(50,100)x ∈时，'()0f x >；当(100,150)x ∈时，'()0f x <．……………15分 所以，当100x =时，()f x 取到最大值．因此，当产量为100个时，生产这批零件的利润最大．…………………………………16分19．解：（1）设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．依题意，1224a PF PF =+==，…………………………………2分 所以2a =．又c =2221b a c =-=．于是椭圆C 的标准方程为2214x y +=．…………………………………………4分 （2）设00(,)M x y ，因为OM MA ⊥，所以0000(,)(2,)0x y x y ⋅--= ，即2200020x x y --=．…6分又220014x y +=， 故解得，0=2x （舍）或02=3x ．………………………………………………8分 因为PM MA λ=，所以22=(2)33λ-，故12λ=．…………………………………………………………………………10分（3）设00(,)M x y ， 直线00:(2)2y MA y x x =--， 令0x =，得000022=22y y y x x -=--， 即02(0,)2y P x -． ………………11分同理，02(0,)2y Q x -+．…………………………………………………………12分 所以，以线段PQ 为直径的圆的方程为 2000022()()022y y x y y x x +-+=-+．…………………………………………13分 令0y =，得220002000224224y y y x x x x =⋅=-+-． 又220014x y +=，即22004=4y x -， 所以，21x =，即1x =±．………………………………………………………15分 因此，所过定点的坐标为(1,0)-和(1,0)．………………………………………16分20．(1) 2()ln ah x x x =+， 解：函数定义域为(0,)+∞．…………………………………………………………………1分233212()a x ah x x x x -+'=-+=………………………………………………………………2分①若0,a ≤则()0h x '≥，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增；……………………………3分②若0,a >()0h x '>，x >()h x 在)+∞上单调递增；()0h x '>，0x <()h x 在上单调递减．……………5分(2)()()ln (0)f x g x bx x x =∴=>，∴ln xb x=， 即b y =与ln ()xF x x=在[1,2]e 上有一个交点．………………………………………6分 '21ln ()xF x x-=， ∴()F x 在],1[e 上递增，在[,2]e e 上递减，当[1,]x e ∈时，1()[0,]F x e ∈，当[,2]x e e ∈时，1ln 21()[,]2F x e e+∈，………………8分 b y =与()y F x =在[1,2]e 上只有一个交点， 1ln 202b e +≤<或1b e=.……………………………………………………………………10分 (3)当 1[,2]2x ∈时，2()g x bx =在1[,2]2上的最大值为1，()ln 1af x x x x=+≥恒成立，即等价于2ln a x x x ≥-恒成立,………………………………………………………12分 记2()ln r x x x x =-，()12ln (1)2ln r x x x x x x x '=--=--，(1)0r '= 由1[,1]2x ∈，(1)0,2ln 0x x x -><,得()0r x '>；[1,2]x ∈,(1)0,2ln 0x x x -<>,得()0r x '<()r x 在区间上1[,1]2递增，在区间上[1,2]递减．……………………………………15分当1x =时有最大值，(1)1r =，a ．…………………………………………………………………………………16分∴1。