第二章 空间的点、直线、面的位置关系(立体几何) (4)
2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第二节 点、线、面的位置关系
第二节点、线、面的位置关系【知识点5】平面的概念及点、线、面之间的位置关系2. 点、线、面之间的位置关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达1.平面的概念(1)平面的概念：广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象．和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念．(2)平面的画法：一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.(3)平面的表示方法平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等．3.平面的基本性质【典例讲解】类型一、符号表示问题【例1】（点、直线、平面之间的位置关系的符号表示）如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．【反思】(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．【变式1】若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作________．(填序号)①A∈b∈β；②A∈b⊂β；③A⊂b⊂β；④A⊂b∈β.【变式2】空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______．【思考1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体经过P，Q，R的截面图形是________．【变式1】如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．类型二、点线共面问题【例2】（点线共面）如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.【变式1】求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．【反思】证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．【变式2】已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，如图所示．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．类型三，点共线、线共点问题【例3】（点共线）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．【反思】证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上．【变式1】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．【变式2】若直线l 与平面α相交于点O ，A ，B ∈l ，C ，D ∈α，且AC ∥BD ，则O ，C ，D 三点的位置关系是________．【例4】（线共点问题）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．【反思】 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上．此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．【变式1】如图，已知D ，E 是△ABC 的边AC ，BC 上的点，平面α经过D ，E 两点，若直线AB 与平面α的交点是P ，则点P 与直线DE 的位置关系是________．【变式2】如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CB 上的点，G ，H 分别是CD 和AD 上的点，且AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CGGD＝2.求证：EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点．【知识点6】空间两条直线的位置关系典型例题异面直线的判断【例1】(1)在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有________对．(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？【反思】(1)判断空间中两条直线位置关系的关键点①建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线．②重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．(2)判定两条直线是异面直线的方法1.在同一平面内，两条直线位置关系：平行与相交．空间中，既不平行又不相交的两条直线叫做异面直线。
空间点、线、面的位置关系
栏目 导引
专题四
立体几何
[思路点拨]
(1)结合平面与平面平行的判定与性质进行判断．
(2)结合线面平行、垂直的相关知识进行判断．
[解析 ] (1)当 m∥ β 时， 过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相交，
因而 m∥ βD/⇒ α∥ β；当 α∥ β 时，α 内任一直线与 β 平行，因为 m⊂ α，所以 m∥β.综上知， “m∥ β”是“ α∥ β”的必要而不充分 条件． (2)因为 l⊥ β， l⊂ α，所以 α⊥ β(面面垂直的判定定理 )，故 A 正 确．
解析：A：m 与 n 的位置关系为平行，异面或相交，所以 A 错误； B：根据面面垂直的性质可知正确；C：由题中的条件无法推出 α⊥β，所以 C 错误；D：只有当 m 与 n 相交时，结论才成立， 所以 D 错误．
栏目 导引
专题四
立体几何
2．空间四边形 ABCD 中， AB＝ CD， AD＝ BC， AB≠ AD， M、 N 分别是对角线 AC 与 BD 的中点，则 MN 与( B ) A． AC、 BD 之一垂直 C． AC、 BD 都不垂直 B．AC、BD 都垂直 D．AC、BD 不一定垂直
A1O⊥ BE 已知 A1O⊥ BE、 CD∥ BE
π 的中点，∠ BAD＝ ，所以 BE⊥ AC. 2 即在题图 (2)中， BE⊥ A1O， BE⊥ OC， 从而 BE⊥平面 A1OC. 又 CD∥ BE，所以 CD⊥平面 A1OC.
栏目 导引
专题四
立体几何
(2)由已知，平面 A1BE⊥平面 BCDE， 且平面 A1BE∩平面 BCDE＝ BE， 又由(1)可得 A1O⊥ BE，所以 A1O⊥平面 BCDE. 即 A1O 是四棱锥 A1 BCDE 的高． 2 2 由题图 (1)知， A1O＝ AO＝ AB＝ a，平行四边形 BCDE 的面 2 2 积 S＝ BC· AB＝ a2， 从而四棱锥 A1 BCDE 的体积为 1 1 2 2 3 2 V＝ S· A1O＝ × a × a＝ a . 3 3 2 6 由 2 3 a ＝36 2，得 a＝6. 6
立体几何——点线面的位置关系
点线面的位置关系（１）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面② 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。
符号语言:,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。
公理4:（平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
(2)空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角(或直角)叫异面直线,a b 所成的夹角。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）公理4：(平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言://,////a l b l a b ⇒且。
定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
(注意:会画两个角互补的图形)2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种://l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（４）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线考点1:点，线，面之间的位置关系例１.(20１4辽宁,4,5分)已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )Ａ.若m ∥α，n ∥α,则m ∥nB.若m ⊥α,n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则ｎ∥αD.若m ∥α,m ⊥n ，则n ⊥α [答案] 1.B[解析] １.A 选项m 、ｎ也可以相交或异面,C 选项也可以n ⊂α,D 选项也可以n ∥α或n 与α斜交．根据线面垂直的性质可知选B.例2.(20１４山东青岛高三第一次模拟考试, ５) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ )Ａ.若则 B.若则C ．若则 D.若则[答案] 2. D[解析] 2.A 选项不正确,因为是可能的;ﻫＢ选项不正确，因为,时,,都是可能的；C选项不正确，因为,时，可能有；D选项正确,可由面面垂直的判定定理证明其是正确的.ﻫ故选D例3. (２０１4广西桂林中学高三２月月考,4) 设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.下列命题中正确的是（ )(A) (B)（C) （D)[答案] 3. D[解析] 3．若，则平面与垂直或相交或平行，故（A) 错误；若,则直线与相交或平行或异面，故（B) 错误;若，则直线与平面垂直或相交或平行，故(C) 错误; 若,则直线，故（D）正确. 选D．例４.(2014周宁、政和一中第四次联考,7）设表示不同的直线，表示不同的平面,给出下列四个命题：①若∥，且则；②若∥,且∥. 则∥;③若,则∥∥;④若且∥，则∥.其中正确命题的个数是 （ )A ．1 Ｂ．2 C.3 D ．4 [答案] 4． B[解析] 4. ①正确；②直线或，错误;③错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确. 故真正确的是①④，共2个.2. 空间几何平行关系转化关系:直线、平面平行的判定及其性质归纳总结1. 证明线线平行的方法：定理 定理内容 符号表示分析解决问题的常用方法 直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
立体几何讲空间点线面的位置关系课件
线与面的关系
总结词
线与面的关系是空间几何中 复杂的关系之一
详细描述
线与面的关系有多种形式， 如线在面上、线与面相交、 线与面平行等。这些关系可 以通过几何定理进行证明和 推导，如线面平行的判定定 理和性质定理等。
总结词
线与面的关系是空间几何中 复杂的关系之一
详细描述
线与面的关系有多种形式， 如线在面上、线与面相交、 线与面平行等。这些关系可 以通过几何定理进行证明和 推导，如线面平行的判定定 理和性质定理等。
空间面的定义与性质
总结词
几何中的面是由一组线围成的闭合空间。
详细描述
面是由一组线围成的闭合空间，表示一个二维的空间区域。根据定义，面有一定的厚度和大小。面的性质包括封 闭性和延展性，即面是封闭的边界，可以延展成一定的大小和形状。同时，面也可以由三个不同的点确定一个唯 一的平面。
03
点线面的位置关系
点与面的关系
总结词
详细描述
总结词
详细描述
点与面的关系是决定面形状的 关键
一个点可以确定一个平面，当 这个点位于平面上时，它与平 面的关系是固定的。此外，当 多个点位于同一平面时，它们 共同确定了该平面的形状和大 小。
点与面的关系是决定面形状的 关键
一个点可以确定一个平面，当 这个点位于平面上时，它与平 面的关系是固定的。此外，当 多个点位于同一平面时，它们 共同确定了该平面的形状和大 小。
详细描述
在几何学中，点被视为最基本的元素，表示一个具体的空间 位置。它没有大小和形状，只有位置。点的性质包括唯一性 和无限可重复性，即任意两个不同的点都可以确定一条直线 ，且同一直线上可以有无数个点。
空间线的定义与性质
总结词
几何中的线是点的集合，表示一个连续的空间路径。
高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题03 空间点、线、面的位置关系(解析版)
立体几何与空间向量03 空间点、线、面的位置关系一、具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：.4.异面直线的判定方法： ]2,0(π【考点讲解】判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．1.【2019年高考全国Ⅲ卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】本题主要考查的空间两条直线的位置关系问题，要求会构造三角形，讨论两直线是否共面，并通过相应的计算确定两条直线的大小关系.如图所示，作EO CD⊥于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF OD⊥于F，连接BF，Q平面CDE⊥平面ABCD，,EO CD EO⊥⊂平面CDE，EO∴⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，MFB∴△与EON△均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN===,，5,2MF BF BM==∴=，BM EN∴≠，故选B．] 2 ,0(π【真题分析】【答案】B2.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15 BCD【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得22211111cos 2DB B P DP DB P DB PB +-∠===⋅.故选C.方法二：以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,1,0,0,,D A B D ,所以((11,AD DB =-=u u u u r u u u u r ,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1AD 与1DB所成角的余弦值为5，故选C. 【答案】C3. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A．2 BCD【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD AB ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===．故选C ．【答案】C4.【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A．2 B．5 C．5D．3 【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====Q易得22211C D BD BC =+，因此111cos 5BC BC D C D ∠===，故选C ． 【答案】C5.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影.A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立；D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.【答案】C6.【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ②m ∥α； ③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .7.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=o ，故BD =Rt BDE △中，2,BE DE =∴=B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知BF DE ==ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=o ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【答案】②③8.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，ADADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD '，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．【解析】设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得AC =如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由(0,2A，(2B，(0,2C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直，26CD CH CA ===，则3OH =，DH =='(,sin )636D αα-，则'sin )6236BD αα=--uuu r ，与CA uu r 平行的单位向量为(0,1,0)n =r ， 所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n BD n⋅=uuu r r uuu r rcos 1α=时，cos θ取最大值9．9.【2017天津，文17】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【分析】（Ⅰ）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，//AD BC ，所以PAD ∠即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明AD PD ⊥，所以cosAD PAD AP ∠=；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明,PD BC PD PB ⊥⊥；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做//DF AB ，连结PF ,DFP ∠即为所求【解析】（Ⅰ）解：如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD .在Rt △PDA 中，由已知，得225AP AD PD =+=，故5cos AD DAP AP ∠==. 所以，异面直线AP 与BC C（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C.10.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ，EG O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B 1，0），1B ，3,2F ，C (0，2，0)．因此，3,2EF =u u u r ，(BC =u u u r ．由0EF BC ⋅=u u u r u u u r 得EF BC ⊥． （2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(0223)BC A C --u u u r u u u u r ，，，，，．设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r n n，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r ，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35．2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中AB ∥MQ ，在直线AB ∥平面MNQ ，第三个选项同样可得AB ∥MQ ，直线AB ∥平面MNQ ，第四个选项有AB ∥NQ ，直线AB ∥平面MNQ ，只有选项A 不符合要求【答案】A2．空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．一个三角形D ．三个点【解析】不共线的三点确定一个平面，C 正确；A 选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B 选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D 选项，不共线的三点确定一个平面.【答案】C3.在三棱锥A －BCD 的棱AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ∩HG ＝P ，则点P （ ）A .一定在直线BD 上B .一定在直线AC 上 【模拟考场】C .在直线AC 或BD 上 D .不在直线AC 上，也不在直线BD 上【解析】如图所示，∵EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ACD ，EF ∩HG ＝P ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD .又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故选B .【答案】B4.已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线l ( )A.平行B.垂直C.相交D.以上都有可能【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l 与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l 平行，故A 错误；若直线l ∥平面α，则在平面α内不存在直线与l 相交，故C 错误；对于直线l 与平面α相交，直线l 与平面α平行，直线l 在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直，故选B.【答案】B5.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为（ ）A ．90︒B ．75︒C ．60︒D ．45︒【解析】设1AD =，则2BC =，过A 作//AE CD 交BC 于E ，则AD CE =，过E 作//EF PB 交PC于F ，则AEF ∠即为为所求，如图所示，过F 作//FG CD 交PD 于G ，连接AG ，则四边形AEFG 是梯形，其中//FG AE ，12EF =G 作//GH EF 交AE 于H ，则GHA AEF ∠=∠，在GHA ∆中，1,,222GH EF AH AE FG AG ===-===则 222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=︒，故选A.【答案】A6.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少 有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.【答案】①7.已知A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以直线EF 与EG 所成的角即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，可得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.8.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，M ，N 分别是棱AA 1，AB 上的点，且AM ＝AN ＝1.（1）证明：M ，N ，C ，D 1四点共面；（2）平面MNCD 1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.（1）证明：连接A 1B ，在四边形A 1BCD 1中，A 1D 1∥BC 且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形.所以A 1B ∥D 1C. 在△ABA 1中，AM ＝AN ＝1，AA 1＝AB ＝3，所以1AM AN AA AB， 所以MN ∥A 1B ，所以MN ∥D 1C.所以M ，N ，C ，D 1四点共面.（2）记平面MNCD 1将正方体分成两部分的下部分体积为V 1，上部分体积为V 2，连接D 1A ，D 1N ，DN ，则几何体D 1－AMN ，D 1－ADN ，D 1－CDN 均为三棱锥，所以V 1＝111D AMN D ADN D CDN V V V ---++＝13S △AMN ·D 1A 1＋13S △ADN ·D 1D ＋13S △CDN ·D 1D ＝13×12×3＋13×32×3＋13×92×3＝132. 从而V 2＝1111ABCD A B C D V -－V 1＝27－132＝412，所以121341V V =， 所以平面MNCD 1分此正方体的两部分体积的比为1341.。
高中数学立体几何空间点线面的位置关系讲义及练习
课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容讲解知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。
平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。
点的表示：大写字母 点A 点B线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
图形 符号语言 文字语言（读法）A a A ∈a 点A 在直线a 上A aA ∉a 点A 在直线a 外 Aα A ∈α 点A 在平面α上（内） A αA ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I直线a,b 交于点A a αa α⊂线a 在面α内 aα a α⊄ 线a 在面α外a Aα a A α=I 直线a 交α于点Al αβ=I平面α交β于线l与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：（1）符号语言：____________________________________．（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。
知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：（1）符号语言：____________________________________（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.指出：推论1的符号语言：_____________________________-推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面指出：推论2的符号语言：____________________________________推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面指出：推论3的符号语言：________________________________三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．五、备选习题1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：(1) A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ⊂α,b ⊂β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .2. 根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ⊂α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ∉l ;（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ∉a ，C ∈β，C ∉a .3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.6. 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上G H AC D E P空间点、线、面位置关系练习题1、下列命题：其中正确的个数为（ ）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；A ．1B ．2C ．3D ．02、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是 ；（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是 ；4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（ ）A ．没有公共点B ．至多有一个公共点C ．至少有一个公共点D ．有且只有一个公共点5、以下四个命题：其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；③若l =⋂βα，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且P b a =⋂，则l P ∈；④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）A ．在平面内B ．相交C ．平行D ．以上均有可能7、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一一条直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能10、下列命题：其中正确的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，11、下列命题中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
人教A高二数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系212空间中直线与直线之间的位置关系课件共36
2 3 D 2 3
G F C B
在Rt△EFG中，求得∠EGF = 45°，
所以 BC与EG所成的角为45°. (2)因为BF∥AE，
A
所以∠FBG（或其补角）为所求.
在Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°，
相交直线 空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的定义
异面直线
异面直线的画法 两异面直线所成的角 一作(找)二证三求
边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C，B与D的连线AC， BD叫做这个空间四边形的对角线.
B
C
D
【即时训练】
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系：
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________
b a′ ？ O a b′ a′
θ
O
平 移
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成的角θ 的取值范围： 0 o < 90 o
例2
如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？ （ 3 ）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 解 : （1）由异面直线的定义可知， 与直线BA′成异面直线的有直线 B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.
第二章 2.1.1空间点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平 面学习目标 1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.知识点一 平面 1.平面的概念(1)平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义. (2)几何中的平面的特征：⎩⎪⎨⎪⎧绝对的平无限延展不计大小不计厚薄2.平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来3.平面的表示方法(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD .(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点二点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法1.直线在平面内的概念如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l外A∉lA在l上A∈lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于A l∩m＝Al，α相交于A l∩α＝Aα，β相交于l α∩β＝l知识点三平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(×)2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×)3.空间不同三点确定一个平面.(×)4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(√)题型一图形语言、文字语言、符号语言的相互转换例1用符号表示下列语句，并画出图形.(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图.反思感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作()A.A∈b∈βB.A∈b⊂βC.A⊂b⊂βD.A⊂b∈β(2)如图所示，用符号语言可表述为()A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案(1)B(2)A题型二点、线共面问题例2如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.考点平面的基本性质题点点线共面问题证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b ⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.证明已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思感悟证明点、线共面问题的理论及常用方法(1)依据：公理1和公理2.(2)常用方法.①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”.跟踪训练2如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.考点平面的基本性质题点点线共面问题证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.证明点共线、线共点问题典例(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点.证明∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点.(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.证明∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E∈β，∴E在α与β的交线l上.同理，F，G，H也在α与β的交线l上，∴E，F，G，H四点必定共线.[素养评析](1)点共线与线共点的证明方法①点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.(2)通过证明题的学习，掌握推理的基本形式和规则，形成重论据，有条理，合乎逻辑的思维品质，培养逻辑推理的数学核心素养.1.有以下结论：①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4考点平面的概念、面法及表示题点平面概念的应用答案 B解析平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的.故选B.2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是()考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 A解析B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.3.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为()A.A⊂a，a⊂α，B∈αB.A∈a，a⊂α，B∈αC.A⊂a，a∈α，B⊂αD.A∈a，a∈α，B∈α考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 B解析点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.4.能确定一个平面的条件是()A.空间三个点B.一个点和一条直线C.无数个点D.两条相交直线答案 D解析A项，三个点可能共线，B项，点可能在直线上，C项，无数个点也可能在同一条直线上.5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.一、选择题1.经过同一条直线上的3个点的平面()A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数个D.不存在答案 C2.满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是()答案 D3.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α＝MD.l∩α＝N答案 A解析∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l⊂α.4.下列说法中正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点考点平面的基本性质题点确定平面问题答案 C解析不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确.故选C.5.下列图形中不一定是平面图形的是()A.三角形B.菱形C.梯形D.四边相等的四边形答案 D解析四边相等的四边形可能四边不共面.6.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A.A，B，C，D四点中必有三点共线B.A，B，C，D四点中不存在三点共线C.直线AB与CD相交D.直线AB与CD平行考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.7.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则()A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.M不在直线AC上，也不在直线BD上答案 A解析由题意得EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，EF与HG交于点M，∴M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上.8.空间不共线的四点可以确定平面的个数是()A.0B.1C.1或4D.无法确定答案 C解析若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点可以确定平面的个数为1；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点可以确定平面的个数是4，故选C.二、填空题9.如图所示的图形可用符号表示为________.答案α∩β＝AB10.A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有________个.答案1或无数解析当A，B，C不共线时，有一个平面经过三点；当A，B，C共线时，有无数个平面经过这三点.11.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________.答案A∈l，l⊄α三、解答题12.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明∵AC∥BD，∴AC 与BD 确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD .∵l ∩α＝O ，∴O ∈α.又∵O ∈AB ⊂β，∴O ∈直线CD ，∴O ，C ，D 三点共线.13.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是A 1A 的中点，求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面；(2)直线CE ，D 1F ，DA 三线共点.考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题证明 (1)如图，连接EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B ， 又∵A 1B ∥D 1C ，且A 1B ＝D 1C ，∴EF ∥D 1C ，且EF ＝12D 1C ，∴E，F，D1，C四点共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.14.已知空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，则由点P和这三条直线最多可以确定的平面个数为________.答案 6解析当三条直线共点但不共面相交时，这三条直线可以确定三个平面，而点P与三条直线又可以确定三个平面，故最多可以确定六个平面.15.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.考点平面的基本性质题点平面基本性质的其他简单应用解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.。
高中数学必修2《空间点、直线与平面之间的位置关系》教案
⾼中数学必修2《空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教案 ⾼中数学必修2《空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教案 课题名称 《2.1空间点、直线与平⾯之间的位置关系》 科 ⽬ ⾼中数学 教学时间 1课时 学习者分析 通过第⼀章《空间⼏何体》的学习，学⽣对于⽴体⼏何已经有了初步的认识，能够识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球，并理解它们的⼏何特征。
但是这种理解还只是建⽴在观察、感知的基础上的，对于原理学⽣是不明确的，所以学⽣此时有很强的求知欲，急于想搞清楚为什么;同时学⽣经过⾼中⼀年的学习，已经具备了⼀定的逻辑推理能⼒，只是缺乏训练，不够严密，不够清晰;有⼀定的⾃主探究和合作学习的能⼒，但有待提⾼，并愿意动⼿并参与分组讨论。
教学⽬标 ⼀、知识与技能 1. 理解空间点、直线、平⾯的概念，知道空间点、直线、平⾯之间存在什么样的关系; 2. 记忆三公理三推论，能够⽤简单的语⾔概括三公理三推论，会⽤图形表⽰三公理三推论，并将其转化成数学符号语⾔; 3. 明确三公理三推论的功能，掌握使⽤三公理三推论解决⽴体⼏何问题的⽅法。
⼆、过程与⽅法 1. 通过⾃⼰动⼿制作模型，直观地感知空间点、直线与平⾯之间的位置关系，以及三公理三推论; 2. 通过思考、讨论，发现三公理三推论的条件和结论; 3. 通过例题的训练，进⼀步理解三公理三推论，明确三公理三推论的功能。
三、情感态度与价值观 1. 通过操作、观察、讨论培养对⽴体⼏何的兴趣，建⽴合作的意识; 2. 感受⽴体⼏何逻辑体系的严密性，培养学⽣细⼼的学习品质。
教学重点、难点 1. 理解三公理三推论的概念及其内涵; 2. 使⽤三公理三推论解决⽴体⼏何问题。
教学资源 (1)每位同学准备两张硬纸板，其中⼀张中间⽤⼩⼑划条缝，铅笔三根; (2)教师⾃制的多媒体课件。
《2.1空间点、直线与平⾯之间的位置关系》教学过程的描述 教学活动1 ⼀、导⼊新课 1. 回忆构成平⾯图形的基本元素：点、直线。
高中数学必修2第二章-空间点、直线、平面之间的位置关系
分类的依据是什么？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
两个平面平行或相交的画法及表示
m
//
=m
2.1
直线、平面平行的 判定及其性质
主要内容
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直
线 a // a, •b // b ，把 与a 所b 成的锐角（或直角）叫
做异面直线a与b所成的角．
b
a
b
b
O
a
O aa
异面直线所成的角
探究
我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么？
两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系：
共面直线
相交直线: 同一平面内，有且只有一 个公共点；
平行直线: 同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c
空间中的平行线具有传递性
定理的应用
A
例1. 如图，空间四边形ABCD中， F
E、F分别是 AB，AD的中点. E
D
求证：EF∥平面BCD.
B
C
分析：要证明线面平行只需证明线线平行，
即在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已
知的条件怎样找这条直线？
定理的应用
A
例1. 如图，空间四边形ABCD中， F
空间点线面的位置关系教案
空间点线面的位置关系（一）教学目标：1. 知识与技能（1） 理解空间直线、平面位置关系的定义； （2） 了解作为推理依据的公理和定理。
（3） 会根据定理和公理进行简单的线面关系的推理和证明，并能够进行简单的体积或面积运算2. 过程与方法（1） 通过对空间事物的观察，经历由具体到抽象的思维过程 （2） 通过对空间图形的描述和理解，体验由图形归纳性质的过程 3. 情感、态度与价值观（1） 由图形归纳性质的过程中，培养学生从具体到抽象的思维能力 （2） 又实际空间物体联想空间线面关系，使学生感受到数学在实际生活中的应用。
（二）教学重点和难点：1、教学重点：空间中线面平行和垂直关系的性质和判定；2、教学难点：线面平行和垂直关系判定和性质定理的应用。
（三）教学过程： 【复习引入】提问：空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系有几种?如何来证明线线，线面，面面的平行和垂直？【新课讲授】根据空间具体事物，能够抽象地画出它的直观图形，并通过定理和公理进行推理证明是立体几何的基本问题之一．如何正确理解空间直线、平面的位置关系，能够通过定理和公理判断和推理证明平行和垂直关系是解决这个基本问题的途径。
1、高考数学（文科）考试说明的了解2、针对性训练及讲解： 题组一：（空间点线面位置关系的判断） （1）、已知两条不同直线l 1和l 2及平面a,则直线l 12的一个充分条件是 A 、l 1且l 2 B. l 1⊥a 且l 2⊥a1且2⊂ D. l 1且2⊂（2）、已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,；②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；B 1A 1D 1C 1C DBAP③如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，那么α与n 相交； ④若,//,m n m =⋂βα且βα⊄⊄n n ,，则βα////n n 且其中正确的命题是简单点拨：题组一主要是对线面、面面位置关系的判断以及根据平行或垂直有关的定理和公理进行判断，要求学生对性质和定理要熟悉。
高考数学：专题四 第二讲 空间点、直线、平面的位置关系课件
方体模型中进行观察.
题型与方法
第二讲
变式训练 1 设 l、m、n 表示三条直线，α、β、γ 表示三个平 面，给出下列四个命题： ①若 l⊥α，m⊥α，则 l∥m；
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②若 m⊂β，n 是 l 在 β 内的射影，m⊥l，则 m⊥n； ③若 m⊂α，m∥n，则 n∥α； ④若 α⊥γ，β⊥γ，则 α⊥β. 其中真命题为 A.①② B.①②③ C.①②③④ D.③④ ( A )
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点．
(1)求证：DE∥平面 PAB； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PBC； (3)求四棱锥 P—ABCD 的体积．
题型与方法
证明
第二讲
(1)连接 AC，则 F 是 AC 的中点，E 为 PC 的中点,
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故在△CPA 中，EF∥PA，
又∵PA⊂平面 PAD，EF⊄平面 PAD，
即 PA⊥PD.又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面 PCD.
又∵PA⊂平面 PAB，
∴平面 PAB⊥平面 PCD.
题型与方法
第二讲
题型三
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空间线面关系的综合问题 线面关系的综合问题包括空间位置关系的证明和
则直线 l 与平面 α 内的直线只有相交和异面两种位置关系， 因而只有选项 B 是正确的.
考点与考题
第二讲
3.(2012· 安徽)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m， 直线 a 在平面 α 内， 直线 b 在平面 β 内， b⊥m， 且 则“α⊥β”是“a⊥b” 的
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( A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(3)面面平行的判定定理 b∥α，∴α∥β. (4)面面平行的性质定理 ∴a∥b.
高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系
5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面 有__0_或__1___个．
解析 当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足 条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】 由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】 由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异 面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间 考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1； 和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不 共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③， 若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？ 答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．
高中数学新人教A版必修2 第2章 2-1空间点、直线、平面的位置关系
A B
AB
B
A
作用:用于判定线在面内
小结：公理2及其推论 A,B,C不共线
A,B,C确定一平面.
A∈ a
A和a确定一平面.
aIb=Ｐ
a和b确定一平面.
ab
a和b确定一平面.
作用:用于确定一个平面.
A
B C
Aa
aＰ
b
a
b
公理3：若两个不重合平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间中基本图形：点、线、面
一、平面的表示方法
1.特点:平面是无限延展,没有厚度的.
（但常用平面的一部分表示平面）
2.画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示.
D
D
C
C
A
B
A
3.记法:
B
①平面α、平面β、平面γ（标记在边上）
②平面ABCD、平面AC或平面BD
巩固:判断下列各题的说法正确与否，在正 确的说法的题号后打 ，否则打 .
CA
C (G)
A
G
E
H
DB
HE F
D
B(F)
空间两条不重合直线的位图关系有且只有三种：
若从有没有公共点的角度来看,可分为两类 :
(1) 有且仅有一个公共点相交直线
(
2)
没有公共点
平行直线 异面直线
若从有没有共面的角度来看,也可分为两类:
(1)
在同一个平面内
相交直线 平行直线
( 2)不同在任何一个平面内异面直线
A1
B1
(2) 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征：既不平行，也不相交
异面直线的定义：
D A
立体几何：空间中点、线、面间的关系
立体几何(甲)直线与平面(1)平面的基本性质：公理一：若一条直线上的两点在同一个平面上，则这条直线上所有点都在这个平面上。
公理二：若两个平面有一个公共点，则两个平面有且只有一条通过这个公共点的交线。
公理三：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
根据这三个公理，可推出底下三个定理：定理一：经过一直线与线外一点，有且只有一个平面。
定理二：经过两相交直线，有且只有一个平面。
定理三：经过两平行线，有且只有一个平面。
[例題1]两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面。
(2)空间中的两条直线：如图，有一个长方体，直线AB 与直线AE 相交于A ，直线AB 与直线CD 平行，而直线AB 与直线CG 又 不平行又不相交，我们称这样的直线为歪斜线。
空间中两直线的位置关系：(a)相交直线：在同一个平面上，且只有一个公共点。
(b)平行直线：在同一个平面上，没有公共点。
(c)歪斜线：不在同一个平面上，且没有公共点。
[例題2] 平面E 内一点A 与一直线L ，其中A 不在L 上，平面外一点P ，试说明直线AP与直线L 的位置关系。
(練習1) 没有公共点的两直线叫做平行线，对吗？分别在两个平面内的两直线，一定是歪斜线吗？ (練習2) (1)直线AG 与直线EC(2)直线BF 与直线GH (3)直线BH 与直线CD (4)直线BF 与直线HD公理四：平行于同一直线的两直线互相平行。
如右图，直线AA ///直线BB /，直线CC ///直线所以，直线AA ///直线CC /(練習3) 已知四边形ABCD 是空间四边形(四个顶点不共平面的四边形)，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF CB = CG CD =23。
求证：四边形EFGH 是梯形。
BDF HDF HB/[例題3] 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，则这两个角相等。
结论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的夹角(锐角或 直角)相等。
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课 题：9．2空间的平行直线与异面直线(一)教学目的：1.会判断两条直线的位置关系.2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.3.掌握等角定理,并能运用它解决有关问题.4.了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立5. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；6.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角教学重点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角. 教学难点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节共有两个知识点，平行直线、异面直线以平行公理和平面基本性质为基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质在这一节还由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础 教学过程：一、复习引入：把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？（答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的）你还能举出生活中的相关应用的例子吗？ 二、讲解新课：1 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 2 平行直线（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ．说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；（2）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向；（3）如果空间图形F 的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到F '的位置，则就说图形F 作了一次平移（2）空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D 所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD 叫空间四边形的对角线（3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在．已知：BAC ∠和B A C '''∠的边//,//AB A B AC A C ''''，并且方向相同， 求证：BAC B A C '''∠=∠．证明：在BAC ∠和B A C '''∠的两边分别截取,AD A D AE A E ''''==， ∵//,AD A D AD A D ''''=， ∴A D DA ''是平行四边形，∴//,AA DD AA DD ''''=，同理//,AA EE AA EE ''''=， ∴//,EE DD EE DD ''''=，即D E ED ''是平行四边形，∴ED E D ''=，∴ADE A D E '''∆≅∆， 所以，BAC B A C '''∠=∠．(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础. 3.空间两条异面直线的画法ab1A C AA4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线证明 ：（反证法）假设 直线AB 与l 共面，∵,,B l B l αα∈⊂∉，∴点B 和l 确定的平面为α， ∴直线AB 与l 共面于α，∴A α∈，与A α∉矛盾， 所以，AB 与l 是异面直线．5．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2,0(π6．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．7．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 三、讲解范例：例1 已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是AB 、AD的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ，求证：四边形EFGH 是梯形 分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形考虑哪组对边会平行呢？为什么？（平行公理）证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例 证明：如图，连接BD∵EH 是△ABD 的中位线，∴EH//BD,EH=21BD. 又在△BCD 中，32==CD CG CBCF，∴FG//BD,FG=32BD.根据公理4，EH//FG又FG ＞EH,∴四边形EFGH 的一组对边平行但不相等例2 如图，A 是平面BCD 外的一点,G H 分别是,ABC ACD ∆∆的重心， 求证：//GH BD ．证明：连结,AG AH 分别交,BC CD 于,M N ，连结MN ， ∵,G H 分别是,ABC ACD ∆∆的重心， ∴,M N 分别是,BC CD 的中点，∴//MN BD ，又∵23AG AH AM AN ==， ∴//GH MN ，由公理4知//GH BD ．例3 如图，已知不共面的直线,,a b c 相交于O 点，,M P 是直线a 上的两点，,N Q 分别是,b c 上的一点求证：MN 和PQ 是异面直线证（法一）：假设MN 和PQ 不是异面直线， 则MN 与PQ 在同一平面内，设为α，∵,,,M P a M P α∈∈，∴a α⊂，又o a ∈，∴o α∈， ∵,,N O b N b α∈∈∈， ∴b α⊂，同理c α⊂，∴,,a b c 共面于α，与已知,,a b c 不共面相矛盾， 所以，MN 和PQ 是异面直线（法二）：∵a c O = ，∴直线,a c 确定一平面设为β，∵,P a Q c ∈∈，∴,P Q ββ∈∈，∴PQ β⊂且,M M PQ β∈∉，D B又,,a b c 不共面，N b ∈，∴N β∉，所以，MN 与PQ 为异面直线例4 正方体ABCD A B C D ''''-中．那些棱所在的直线与直线BA '是异面直线？求BA '与CC '夹角的度数．那些棱所在的直线与直线AA '垂直？ 解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线BA '成异面直线的有直线,,,,,B C AD CC DD DC D C ''''''，（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45．（3）直线,,,,,,,AB BC CD DA A B B C C D D A ''''''''与直线AA '都垂直例5 两条异面直线 的公垂线指的是 ( ) (A)和两条异面直线都垂直的直线 (B)和两条异面直线都垂直相交的直线(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段(D)和两条异面直线都垂直的所有直线答案：B例6 在棱长为a 的正方体中，与AD 成异面直线且距离等于a 的棱共有 ( ) (A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条 答案：BB 1, CC 1, A 1B 1, C 1D 1共四条故选C. 例7若a 、b 是两条异面直线，则下列命题中，正确的是 ( ) (A)与a 、b 都垂直的直线只有一条 (B)a 与b 的公垂线只有一条 (C)a 与b 的公垂线有无数条(D)a 与b 的公垂线的长就是a 、b 两异面直线的距离答案：B 例8已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则棱A 1B 1所在直线与面对角线BC 1所在直线间的距离是 ( )（A ）a 22（B ）a （C ）a 2 （D 2答案：A四、课堂练习：〖课堂小练习〗1 判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行 . （ ）A ′CA C 1C A（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ） （7）向量与11B A ，与11C A 是两组方向相同的共线向量，那么111BAC B AC ∠=∠． （ ）答案：（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×（6）√（7）√ 2．选择题 （1）“a ，b 是异面直线”是指 ① a ∩b =Φ且a 不平行于b ；② a ⊂ 平面α，b ⊂ 平面β且a ∩b =Φ③ a ⊂ 平面α，b ⊄ 平面α ④ 不存在平面α，能使a ⊂ α且b ⊂ α成立 上述结论中，正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①③ （C ）①④ （D ）③④（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ） （A ）2对 （B ）3对 （C ）6对 （D ）12对 （3）两条直线a ,b 分别和异面直线c ,d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（ ） （A ）一定是异面直线 （B ）一定是相交直线 （C ）可能是平行直线 （D ）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）相交或异面 答案：（1）C （2）C （3）A （4）D3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？ 答：不一定，还可能异面．4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？ 答：三种：相交，平行，异面．5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线． 解：6．选择题（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （ ） （A ）异面 （B ）平行 （C ）相交 （D ）以上都有可能（2）异面直线a ,b 满足a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则l 与a ,b 的位置关系一定是（ ） （A ）l 至多与a ，b 中的一条相交（B ）l 至少与a ，b 中的一条相交 （C ）l 与a ，b 都相交 （D ）l 至少与a ，b 中的一条平行 （3）两异面直线所成的角的范围是 （） （A ）（0°,90°）（B ）[0°,90°) （C ）（0°,90°] （D ）[0°,90°] 答案（1）D （2）B （3）：C7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ） （2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （ ） （3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ） （4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ） 答案：×，×，√，×五、小结 ：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念； 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答” 六、课后作业：1．如图，有哪些直线和直线D 1C 是异面直线，它们所成的角分别是什么？并求出这些角的大小2．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点，（1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线提示：（1）证明四点共面，也就是证明什么？有什么公理或定理可用？ （2）证明三点共线的方法是什么？想一想前面我们证明过没有？ 关键是引导学生自己动手，逐步建立学生的空间立体感3．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，G 、H 分别为AB 、AD 上的点，且AG ：GB ≠AH ：HD 证明：GH 与EF 为异面直线提示：什么叫异面直线？其相对的线线位置关系是什么？ 考虑：（1）如果直接证明，就必须证明GH 和EF 不在同一平面内，有这样的定理或公理吗？ （2）从（1）知，正面证明是不可取，那么我们可以考虑从反而来考虑——平行或相交七、板书设计（略）八、课后记：1A CAE1A 1C A。