12[1].1.3旋转类全等问题(3).讲义学生版

【例1】 如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过
D 作DP AQ ⊥，
交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP ，OQ ．求证：OP OQ ⊥．
R
Q
P
O
D C
B
A
【例2】 如图所示，在等腰直角ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，记AM m =，MN x =，
BN n =，求证：以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是直角三角形.
x m n N M C
B
A
【例3】 请阅读下列材料： 已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： ⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
图1
A
B
C
D
E
图2
A
B C
D
E
【例4】 如图所示，在五边形ABCDE 中，90B E ∠=∠=︒，AB CD AE ===1BC DE +=，求此五边形的面
积．
E
D
C
B
A
【巩固】在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=︒，连接AD ．求证：AD
平分CDE ∠．
E
D
C
B
A
【例5】 如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD ∠=∠=︒，180ABC AED ∠+∠=︒，
连结AD 。

求证：AD 平分CDE ∠。

E
D
C
B
A
【例6】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个
60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．
N
M D
C
B
A
【例7】 在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，
，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．
图①
M N
D C
B
A
图②
M N
D C
B
A N
图③M
D C
B
A
⑴如图①，当点M N ，
在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时Q
L
=__________ ⑵如图②，当点M N ，
在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
⑶如图③，当点M N ，
分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________(用x L ，表示)
【例8】 如图所示，在四边形ABCD 中，AB BC =，90A C ∠=∠=︒，135B ∠=︒，K 、N 分别是AB 、BC 上
的点，若BKN ∆的周长为AB 的2倍，求KDN ∠的度数．
K N D
C
B
A
【例9】 (1)如图，在四边形ABCD 中，90AB AD B D =∠=∠=︒，
，E F 、分别是边BC CD 、上的点，且1
2
EAF =BAD ∠∠．求证：EF BE FD =+;
E
F
D
C
B
A
(2) 如图在四边形ABCD 中，180AB AD B +D =∠∠=︒，，E F 、分别是边BC CD 、上的点，且
1
2
EAF BAD ∠=∠， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．
E
F
D C
B
A
(3) 如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E F ，
分别是边BC CD ，延长线上的点，且1
2
EAF BAD ∠=∠， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，
并证明．
E
F
D
C
B
A
【例10】 如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形
ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转．
（1）如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与G 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
③
②①
O
O
C
B
D
A
F
G
E
N M
E
G
F
A
D
B
C
B(E)
A(G)
③
②①
O O
C
B
D
A
F
G
E M
N N
M
E
G
F
A
D
B
C
C
A(G)
【例11】 在六边形ABCDEF 中，A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠，AB BC CD ==，AF DE =，CEF ∆的面
积等于六边形ABCDEF 面积的一半，求ECF ∠的度数
.
1. 在等腰Rt ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，记AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、
m 、n 为边长的三角形的形状是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．随x 、m 、
n 的变化而变化
M N C
B
A
2. 如图，已知五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，2AB CD AE BC DE ===+=．求该五边形的面积．
E
D
C
B
A。