教案 椭圆
高中数学椭圆的性质教案
高中数学椭圆的性质教案
教学目标：
1. 理解椭圆的基本概念
2. 掌握椭圆的标准方程
3. 熟练运用椭圆的性质进行问题解答
教学重点：
1. 椭圆的定义及数学性质
2. 椭圆的标准方程
3. 椭圆的焦点、长短轴、离心率等性质
教学难点：
1. 椭圆的属性与其他几何图形的比较
2. 椭圆的运用问题解决
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过提问引导学生回顾圆的性质，并引入椭圆的概念，让学生猜测椭圆与圆的异同点。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解椭圆的定义及性质，介绍椭圆的标准方程及主要属性。
2. 通过示意图讲解椭圆的焦点、长短轴、离心率等概念。
三、练习（20分钟）
1. 完成课堂练习，巩固椭圆的基本算法。
2. 组织学生进行小组讨论，解决椭圆相关问题。
四、拓展（10分钟）
探讨椭圆在实际生活中的应用，如卫星轨道、天文测量等。
五、作业布置（5分钟）
布置课后作业，要求学生继续复习椭圆相关知识，并尝试解决相关问题。
教学反思：
在教学过程中，要注重引导学生思考，让他们通过实际问题解决来理解椭圆的性质和应用。
同时，要注重椭圆与其他几何图形的比较，帮助学生更好地理解椭圆的特点。
椭圆及其面积教案
椭圆及其面积教案教案主题：椭圆及其面积教学目标：1.了解椭圆的定义和性质；2.掌握如何求椭圆的面积；3.能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1.椭圆的定义和性质；2.椭圆的面积计算方法。
教学难点：1.让学生掌握如何求椭圆的面积。
教学准备：1.教师准备一些椭圆的例题和练习题；2.学生准备纸和笔用于做题。
教学过程：Step 1：导入新知1.教师用一张纸板上画出一个椭圆的形状，引导学生观察并说明其特点；2.学生讨论并给出他们对椭圆的定义。
Step 2：介绍椭圆的定义和性质1.教师给出椭圆的定义和性质的简单解释，并与学生一起讨论和理解；2.教师给学生展示一些椭圆的实际例子，让学生观察并找出其特点。
Step 3：解决椭圆的面积1.教师引导学生思考如何通过已知数据求解椭圆的面积；2.教师给出求解椭圆面积的公式和步骤；3.教师通过一个简单的例题演示如何求解椭圆的面积；4.学生进行个人或小组练习，做几道类似的题目。
Step 4：解决实际问题1.教师给出一个实际生活中的问题，要求学生应用所学知识解决；2.学生个人或小组讨论并给出解决方案；3.学生展示他们的解决方案，并与其他同学进行讨论。
Step 5：总结和拓展1.教师总结本节课的内容，强调重点和难点；2.教师提供一些拓展题目，要求学生练习巩固所学知识。
教学反思：本节课通过引导学生观察和思考，让他们主动探究椭圆的定义和性质，从而加深对椭圆的理解。
通过解决椭圆的面积和实际问题，学生能够将所学知识应用于实践，培养了解决问题的能力。
教学过程中，教师应注重引导学生思考和讨论，激发他们的学习兴趣和主动性。
同时，教师要关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助。
椭圆的定义教学教案
椭圆的定义教学教案第一章：导入教学目标：1. 让学生了解椭圆的概念，理解椭圆是一种圆的特殊情况。
2. 引导学生通过观察实际物体，发现椭圆的形状特点。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的定义和性质。
2. 介绍椭圆的定义和形状特点。
3. 通过实际物体观察，让学生发现椭圆的形状特点。
教学步骤：1. 导入新课，提问：“我们学过的几何图形有哪些？”引导学生回顾已学的图形。
2. 提问：“圆是一种特殊的图形，那椭圆又是怎样的图形呢？”引入椭圆的概念。
3. 讲解椭圆的定义和性质，引导学生理解椭圆是一种圆的特殊情况。
4. 组织学生观察实际物体，如地球、太阳等，发现它们的形状特点是椭圆的。
5. 总结本节课的主要内容，强调椭圆的形状特点。
教学评价：1. 检查学生对椭圆定义的理解程度。
2. 评估学生通过观察实际物体发现椭圆形状特点的能力。
第二章：椭圆的性质教学目标：1. 让学生掌握椭圆的基本性质，如椭圆的焦点、长轴、短轴等。
2. 引导学生通过观察和实验，发现椭圆性质的特点。
教学内容：1. 讲解椭圆的基本性质，如焦点、长轴、短轴等。
2. 引导学生通过观察和实验，发现椭圆性质的特点。
教学步骤：1. 复习椭圆的定义，提问：“椭圆有哪些特殊的性质呢？”引导学生学习新的内容。
2. 讲解椭圆的焦点、长轴、短轴等基本性质，让学生理解椭圆的形状特点。
3. 组织学生进行观察和实验，如通过观察地球、太阳等实际物体，发现椭圆性质的特点。
4. 总结本节课的主要内容，强调椭圆的性质。
教学评价：1. 检查学生对椭圆性质的理解程度。
2. 评估学生通过观察和实验发现椭圆性质特点的能力。
第三章：椭圆的方程教学目标：1. 让学生掌握椭圆的标准方程及其推导过程。
2. 引导学生运用椭圆方程解决实际问题。
教学内容：1. 讲解椭圆的标准方程及其推导过程。
2. 引导学生运用椭圆方程解决实际问题。
教学步骤：1. 复习椭圆的性质，提问：“如何用数学公式来表示椭圆呢？”引导学生学习新的内容。
幼儿园中班数学教案《认识椭圆形》含反思
幼儿园中班数学教案《认识椭圆形》一、教学目标1.了解椭圆形的基本形态；2.能够正确区分椭圆形和圆形；3.通过训练，提高幼儿的观察能力和操作能力。
二、教学内容1.认识椭圆形；2.区分椭圆形和圆形；3.对椭圆形进行操作。
三、教学准备1.一些椭圆形的图片；2.临时制作的椭圆形样板；3.幼儿适用的玩具，如积木、多边形拼图等。
四、教学过程1. 热身教师向幼儿展示一些形状各异的图形，引导幼儿观察并说出其名称，包括上个学期所学的圆形。
2. 导入教师为幼儿出示椭圆形的图片，并简要介绍椭圆形的基本形态。
让幼儿试着说一下这个形状的名字。
3. 表示教师示范用椭圆形样板在纸上画出椭圆形，并使用一些幼儿易懂的语言为幼儿解释如何表示椭圆形。
4. 识别教师向幼儿出示一些只有椭圆形和圆形的图片，请幼儿说出其中的椭圆形，帮助幼儿区分椭圆形和圆形。
5. 实践教师发放玩具，让幼儿用玩具模拟椭圆形和圆形。
可以用多边形拼图、积木等游戏道具，让幼儿动手实践。
6. 小结教师帮助幼儿总结今天学习的内容，确认幼儿是否掌握了椭圆形的识别和操作。
7. 反思这堂课的整体效果评价不是太高。
幼儿的观察能力、操作能力都还需要更加细致的训练。
在今后的教学中，需要更加注重细节的训练，提高幼儿的学习兴趣和积极性。
同时，在课程设计和实施中，也要更加注重多样性和趣味性，营造成长的氛围。
五、教学反思在这堂课中，我发现幼儿对于椭圆形的理解还不够深入，对于圆形和椭圆形的区分也有些困难。
这与我之前的教学设计有些关系，我没有很好的准备幼儿的认知能力，考虑不够周全。
同时，由于所涉及的内容较为单一，教学过程未能够很好地调动幼儿的学习兴趣和积极性。
这是我在今后的教学中需要注意的问题之一。
在今后的教学过程中，我要注重多样性和趣味性，在灵活使用教具的基础上，提高课程的实效性和吸引力，让幼儿更好地理解和掌握所学内容。
椭圆的简单几何性质教案
椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及基本几何性质；2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等基本参数的计算方法；3. 能够应用椭圆的性质解决实际问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及基本几何性质；2. 椭圆的基本参数的计算方法。
教学难点：1. 椭圆的性质在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 椭圆模型或图片；3. 直尺、圆规等绘图工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的基本几何性质，如圆的半径、直径等；2. 提问：同学们知道吗，还有一种曲线也和圆有关系，叫做椭圆。
椭圆有哪些基本性质呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹；2. 讲解椭圆的基本几何性质：椭圆的长轴、短轴、焦距等；3. 讲解椭圆的基本参数的计算方法：长轴长度、短轴长度、焦距等。
三、例题解析（10分钟）1. 给出例题，让学生独立解答，进行讲解；2. 通过例题，让学生加深对椭圆性质的理解。
四、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识；2. 对学生的练习进行点评，解答学生的疑问。
五、课堂小结（5分钟）2. 强调椭圆性质在实际问题中的应用。
教学反思：本节课通过讲解椭圆的定义、基本几何性质和计算方法，让学生掌握了椭圆的基本知识。
在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对椭圆的知识有了更深入的理解。
但在实际问题中的应用方面，学生还需加强练习和思考。
在今后的教学中，应更多地提供实际问题，让学生运用椭圆的知识解决问题，提高学生的应用能力。
六、椭圆的标准方程（10分钟）1. 引入椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（a>b>0)；2. 讲解椭圆标准方程的来源及意义；3. 讲解如何由椭圆的标准方程求解椭圆的参数。
七、椭圆的焦点与焦距（10分钟）1. 讲解椭圆的焦点定义及性质；2. 讲解焦距的概念及计算方法；3. 引导学生掌握焦点与焦距的关系。
椭圆的性质教案范文
椭圆的性质教案范文教案：椭圆的性质一、教学目标1.知识目标：了解椭圆的定义和一些基本性质。
2.能力目标：掌握椭圆的几何性质，能够应用椭圆的性质解决实际问题。
3.情感目标：培养学生对几何学的兴趣，激发学生思考和动手解决问题的能力。
二、教学重点与难点1.教学重点：椭圆的定义和性质。
2.教学难点：运用椭圆的性质解决实际问题。
三、教学过程Step 1 引入新知1.导入问题：椭圆是什么图形？可以通过哪些方法定义椭圆？2.对学生进行讨论，引导学生提出自己对椭圆的认识和定义。
Step 2 椭圆的定义1.呈现椭圆的定义和示意图。
2.解读定义，解释椭圆的特点和属性。
Step 3 椭圆的性质1.引导学生观察和分析椭圆的性质。
2.探讨椭圆的焦点、长轴、短轴、顶点等概念，并通过图像进行解释。
3.分析椭圆的离心率，以及离心率和长轴、短轴长度的关系。
Step 4 椭圆的方程1.学习椭圆的标准方程和一般方程。
2.分析解释椭圆方程中各个参数的含义。
Step 5 椭圆的运动学应用1.举例说明椭圆在运动学中的应用，如行星的轨道、天体运动等。
2.引导学生思考并解决一些实际问题。
Step 6 实例练习1.教师出示一些椭圆的实际问题，让学生运用椭圆的性质解决。
2.学生个体或小组进行解答，对答案进行讨论和互评。
四、教学评价方法1.展示实例练习的解题过程和答案，评价学生运用椭圆的性质和解决问题的能力。
2.布置类似的习题作为作业，检查学生对椭圆性质的掌握情况。
五、板书设计1.定义：由平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
2.椭圆的焦点：F1和F23.椭圆的长轴：通过F1和F2，并且垂直于长轴的直线称为短轴。
4.椭圆的顶点：位于长轴和椭圆轨迹交点上的两个点。
5.离心率：离心率e=c/a，其中c是焦点到原点的距离。
6.椭圆的标准方程：x^2/a^2+y^2/b^2=17. 椭圆的一般方程：Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0。
椭圆教案6篇
椭圆教案6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。
2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。
3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。
2. 椭圆几何参数的计算方法。
教学难点：1. 椭圆性质的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 尺子、圆规等绘图工具。
教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。
二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。
b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。
c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。
3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。
三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。
2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。
四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。
2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。
五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。
通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。
六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。
2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。
2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。
3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。
三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。
2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。
四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。
2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。
3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。
五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。
2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。
3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。
六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。
2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。
七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
幼儿园椭圆形教案
幼儿园椭圆形教案
教学目标
1.学习椭圆形的定义和特征。
2.探讨椭圆形在生活中的应用。
3.通过游戏活动，培养幼儿的手眼协调和观察能力。
教学准备
1.色彩鲜艳的椭圆形卡片。
2.玩具小车、篮球等物品，用于游戏活动。
教学内容和步骤
1. 引入
教师拿起一张椭圆形卡片，向学生展示并解释其定义。
然后，引导学生观察卡片上的图形特征，比如长轴和短轴。
2. 探讨椭圆形在生活中的应用
教师向学生展示一些与椭圆形有关的物品，例如椭圆形轮胎、椭圆形桌子等。
让学生观察这些物品，发现和总结椭圆形在生活中的应用。
3. 游戏活动
1.小车穿越椭圆形轨道
将几张椭圆形卡片放在地上，让学生用玩具小车穿越椭圆形轨道。
教师可以在路线上设置一些障碍，增加游戏的趣味性。
2.篮球进椭圆形篮筐
在教室的某个角落放置椭圆形篮筐，让学生用篮球尝试将球投进篮筐。
教师可以根据学生的年龄和能力，调整篮球的位置和投篮的难度。
4. 总结
课堂结束前，教师可以展示一些学生在游戏活动中表现出的优点和不足，并与学生共同总结本节课的学习内容和收获。
教学评价
1.观察学生是否能够正确理解椭圆形的定义和特征。
2.观察学生在游戏活动中的表现和动手能力。
3.学生口头反应和课后作业。
椭圆的定义数学教案
椭圆的定义数学教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。
2. 学会使用椭圆的标准方程进行计算和解决问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
教学内容：第一章：椭圆的定义1.1 椭圆的概念1.2 椭圆的性质1.3 椭圆的标准方程第二章：椭圆的长轴和短轴2.1 长轴和短轴的定义2.2 长轴和短轴的计算方法2.3 长轴和短轴与椭圆的性质关系第三章：椭圆的焦点和焦距3.1 焦点的定义3.2 焦距的定义3.3 焦点和焦距与椭圆的性质关系第四章：椭圆的离心率4.1 离心率的定义4.2 离心率的计算方法4.3 离心率与椭圆的性质关系5.1 椭圆在几何图形中的应用5.2 椭圆在物理科学中的应用5.3 椭圆在现实生活中的应用教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探究来理解椭圆的定义及其性质。
2. 利用图形软件或实物模型，帮助学生直观地理解椭圆的特点和应用。
3. 提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固椭圆的知识。
教学评估：1. 课堂问答：通过提问学生，了解学生对椭圆定义及其性质的理解程度。
2. 练习题：布置相关的练习题，检查学生对椭圆知识的掌握情况。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
教学资源：1. 教学PPT：制作精美的PPT，展示椭圆的图形和性质。
2. 练习题库：准备丰富的练习题，供学生进行自主学习和练习。
3. 参考书籍：提供相关的数学教材和参考书籍，供学生深入学习。
教学时间安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：2课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时教学评价：通过本章的学习，学生能够理解椭圆的定义及其性质，学会使用椭圆的标准方程进行计算和解决问题。
学生的逻辑思维能力和空间想象力也得到培养。
第六章：椭圆的参数方程6.1 参数方程的定义6.2 椭圆的参数方程推导6.3 参数方程在椭圆中的应用教学方法：1. 通过讲解和示例，引导学生理解参数方程的概念和推导过程。
椭圆的几何性质教案
椭圆的几何性质教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引导学生观察生活中的椭圆形状实例，如地球、柠檬等。
引导学生通过实际操作，用两个固定点（焦点）和一条连接这两个点的线段（半长轴）来定义椭圆。
强调椭圆的两个焦点在横轴上，且两个焦点的距离等于椭圆的长轴长度。
1.2 椭圆的标准方程引导学生推导椭圆的标准方程。
引导学生通过实际操作，用两个焦点和两个顶点来确定椭圆的方程。
强调椭圆的标准方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。
第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴长度。
强调椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，其长度等于椭圆的半长轴的两倍。
2.2 椭圆的短轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的短轴长度。
强调椭圆的短轴是垂直于长轴的线段，其长度等于椭圆的半短轴的两倍。
2.3 椭圆的焦距引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的焦距长度。
强调椭圆的焦距是两个焦点之间的距离，其长度等于椭圆的长轴长度减去短轴长度。
第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式引导学生推导椭圆的面积公式。
强调椭圆的面积公式为\( A = \pi ab \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。
3.2 椭圆的面积计算引导学生通过实际操作，计算给定椭圆的长轴和短轴长度，计算其面积。
强调椭圆的面积是椭圆内部所有点构成的区域的大小。
第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义引导学生通过实际操作，观察椭圆的离心率与长轴、短轴的关系。
强调椭圆的离心率是焦距与长轴之间的比值，其公式为\( e = \frac{c}{a} \)，其中\( c \) 是焦距的长度，\( a \) 是半长轴的长度。
4.2 椭圆的离心率性质引导学生通过实际操作，观察和记录不同椭圆的离心率性质。
椭圆集体备课教案(单元)
椭圆集体备课教案(单元)第一章：椭圆的基本概念与性质1.1 椭圆的定义引导学生通过观察实际生活中的椭圆形状物体，如鸡蛋、地球等，初步感知椭圆的形状特征。
给出椭圆的数学定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
1.2 椭圆的性质引导学生通过几何画图工具绘制椭圆，观察并总结椭圆的基本性质，如对称性、弹性碰撞等。
探讨椭圆的长轴、短轴、半焦距等基本参数的定义及其之间的关系。
第二章：椭圆的标准方程2.1 椭圆的标准方程的推导引导学生利用椭圆的定义和性质，通过几何推导和代数变换，得到椭圆的标准方程。
介绍椭圆标准方程的形式：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\)和\(b\)分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.2 椭圆标准方程的应用引导学生通过实际问题，运用椭圆的标准方程进行计算和解决，如求椭圆上某点的坐标、计算椭圆的面积等。
探讨椭圆标准方程在实际应用中的意义和价值，如天体运动、光学等领域的应用。
第三章：椭圆的参数方程3.1 椭圆的参数方程的推导引导学生利用椭圆的性质和参数，推导出椭圆的参数方程。
介绍椭圆参数方程的形式：\(x = a\cos t\)，\(y = b\sin t\)，其中\(t\)为参数。
3.2 椭圆参数方程的应用引导学生通过实际问题，运用椭圆的参数方程进行计算和解决，如绘制椭圆的图形、计算椭圆上某点的坐标等。
探讨椭圆参数方程在几何绘图和计算机图形学中的应用和意义。
第四章：椭圆的图像与变换4.1 椭圆的图像特征引导学生通过绘制椭圆的图形，观察并总结椭圆的图像特征，如对称性、周期性等。
探讨椭圆图像与椭圆参数的关系，分析椭圆图像的变换规律。
4.2 椭圆的图像变换引导学生学习椭圆图像的基本变换方法，如平移、旋转、缩放等。
探讨椭圆图像变换在几何设计和计算机图形学中的应用和意义。
第五章：椭圆的应用5.1 椭圆在物理学中的应用引导学生探讨椭圆在物理学中的应用，如行星运动、弹性碰撞等。
椭圆的定义教学教案
椭圆的定义教学教案第一章：椭圆的定义与性质1.1 椭圆的定义1.2 椭圆的性质1.3 椭圆的标准方程1.4 椭圆的长轴、短轴和焦距第二章：椭圆的参数方程2.1 椭圆的参数方程的定义2.2 椭圆的参数方程的推导2.3 椭圆的参数方程的应用第三章：椭圆的图形特征3.1 椭圆的图形特征概述3.2 椭圆的焦点性质3.3 椭圆的离心率3.4 椭圆的面积公式第四章：椭圆的应用4.1 椭圆在几何学中的应用4.2 椭圆在物理学中的应用4.3 椭圆在工程学中的应用4.4 椭圆在日常生活中的应用第五章：椭圆与其他几何形状的关系5.1 椭圆与圆的关系5.2 椭圆与双曲线的关系5.3 椭圆与抛物线的关系5.4 椭圆与其他几何形状的比较第六章：椭圆的标准方程求解6.1 椭圆标准方程的求解方法6.2 利用椭圆的离心率求解椭圆方程6.3 利用椭圆的焦点性质求解椭圆方程6.4 实际问题中的应用举例第七章：椭圆的焦点变换7.1 椭圆焦点的概念7.2 椭圆焦点的变换规律7.3 椭圆焦点变换在实际问题中的应用7.4 椭圆焦点变换与其他几何变换的关系第八章：椭圆的离心率8.1 椭圆离心率的定义与性质8.2 椭圆离心率的求解方法8.3 椭圆离心率在实际问题中的应用8.4 椭圆离心率与其他几何形状离心率的比较第九章：椭圆的轴对称性与中心对称性9.1 椭圆的轴对称性9.2 椭圆的中心对称性9.3 椭圆的轴对称性与中心对称性在实际问题中的应用9.4 椭圆的轴对称性与中心对称性与其他几何形状的对称性的比较10.2 椭圆与其他几何形状的关系的拓展10.3 椭圆在不同领域的拓展应用10.4 椭圆的研究前景和挑战重点和难点解析一、椭圆的定义：重点关注椭圆与圆、双曲线、抛物线等几何形状的区别和联系。
补充说明椭圆的定义可以通过直观的图形展示和数学公式的推导来加深理解。
二、椭圆的性质：重点关注椭圆的长轴、短轴、焦距等基本性质。
补充说明这些性质对于理解和解决椭圆相关问题至关重要。
椭圆标准方程的教案6篇
椭圆标准方程的教案6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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椭圆及其标准方程教学设计共3篇 椭圆的标准方程教学设计
椭圆及其标准方程教学设计共3篇椭圆的标准方程教学设计下面是分享的椭圆及其标准方程教学设计共3篇椭圆的标准方程教学设计，供大家品鉴。
椭圆及其标准方程教学设计共1《椭圆及其标准方程》教学设计山西省太原师范学院附属中学薛翠萍一、教学内容解析椭圆的定义是一种发生性定义，教学内容属概念性知识，是通过描述椭圆形成过程进行定义的作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为后面利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础学习过程启发学生能够发现问题和提出问题，善于思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力二、教学目标设置：1．知识与技能目标(1)学生能掌握椭圆的定义明确焦点、焦距的概念．(2)学生能推导并掌握椭圆的标准方程．(3)学生在学习过程中进一步感受曲线方程的概念，体会建立曲线方程的基本方法，运用数形结合的数学思想方法解决问题．2．过程与方法目标：(1)学生通过经历椭圆形成的情境感知椭圆的定义并亲自参与归纳．培养学生发现规律、认识规律的能力．(2)学生类比圆的方程的推导过程尝试推导椭圆标准方程，培养学生利用已知方法解决实际问题的能力．(3)在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等价转化等数学思想方法．3．情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的获得让学生感知数学知识与实际生活的密切联系培养学生探索数学知识的兴趣并感受数学美的熏陶．（2）通过标准方程的推导培养学生观察,运算能力和求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”．（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．三、学生学情分析1．能力分析①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，②对含有两个根式方程的化简能力薄弱．2．认知分析①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，②学生已经掌握直线和圆的方程,对曲线的方程的概念有一定的了解，③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法．3．情感分析学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究．四、教学策略分析教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“创设情境——总结概括——启发引导——探究完善——实际应用” 的过程，发现新的知识，又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质．课堂教学中创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：1．引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义．2．探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性．这两种方法是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性．在教学中适当利用多媒体课件辅助教学，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量．五、教学过程：（一）复习引入1．说一说你对生活中椭圆的认识．伴随图片展示使同学们感到椭圆就在我们身边．意图：（1）、从学生所关心的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．（2）、使学生更直观、形象地了解后面要学的内容；2．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上同一定点，套上笔拉紧绳子，移动笔尖画出的轨迹是圆．再将这一条定长的细绳的两端固定在画图板上的两定点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆随后动画呈现．意图：(1)通过画图给学生提供一个动手操作、合作学习的机会；调动学生学习的积极性(2)多媒体演示向学生说明椭圆的具体画法，更直观形象．（二）讲解新课由学生画图及教师演示椭圆的形成过程，引导学生归纳定义．1 椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数2a的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距练习1：已知两个定点坐标分别是(-4,0)、（4，0），动点P到两定点的距离之和等于8，则P点的轨迹是练习2：已知两个定点坐标分别是(-4,0)、（4，0），动点P到两定点的距离之和等于6，则P点的轨迹是通过两个练习思考：椭圆定义需要注意什么（2a大于意图：让学生通过练习反思画图，归纳定义，理解定义，突破了重点．（1）、当2a|F1F2|时，是椭圆；（2）、当2a=|F1F2|时，是线段；（3）、当2a）2．根据定义推导椭圆标准方程：要求（1）学生在画板上建立适当的坐标系，（2）根据定义推导椭圆的标准方程．同时引导学生类比圆回顾解析几何研究问题的特点及求轨迹方程步骤意图：让学生自己去建系推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输简洁美”为“发现简洁美”．教师结合猜想加以引导．化简无理方程为难点通过发现问题解决问题突破难点．正确推导过程如下：解：取过焦点设则，又设M与距离之和等于()（常数）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）．的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，，化简，得由定义义）令代入，得，,（学生通过自己画图建系的过程找到的几何意，两边同除得此即为椭圆的一个标准方程它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是程学生思考：若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成，中心在坐标原点的椭圆方,只要将方程中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程请学生观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标方程；过程中要渗透数学对称美教学．理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在个轴上即看与这两个标准方程中，都有分母的大小的要求，因而焦点在哪3．精心设计课堂练习使学生在实际应用中进一步巩固知识，运用知识突破重难点：（1）判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出的值① ；②；③；④意图：学生感悟椭圆标准方程的结构特点．（2）椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为）A．5B．6 C．4D．10意图：学生理解椭圆定义与标准方程关系．（3）椭圆的焦点坐标是（）A．(±5，0)B．(0，±5) C．(0，±12)意图：学生感悟椭圆标准方程中焦点位置以及a，b，c的关系．（4）化简方程：意图：培养学生运用知识解决问题的能力．．(±12，0) （D椭圆及其标准方程教学设计共2椭圆及其标准方程教学反思椭圆及其标准方程这节分为两课时，第一课时主要讲解椭圆定义及标准方程的推导；第二课时主要介绍椭圆定义及其标准方程的应用。
椭圆集体备课教案(单元)
椭圆集体备课教案(单元)第一章：椭圆的基本概念一、教学目标：1. 让学生了解椭圆的定义和性质。
2. 让学生掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用椭圆知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 椭圆的性质：椭圆的长轴、短轴和焦距的关系；椭圆的离心率等。
3. 椭圆的标准方程：通过椭圆的半长轴、半短轴和焦距求解椭圆的标准方程。
三、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的定义、性质和标准方程。
2. 难点：椭圆标准方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解椭圆的基本概念。
2. 利用图形演示，让学生直观地了解椭圆的性质。
3. 案例分析，让学生学会运用椭圆知识解决实际问题。
五、教学准备：1. 准备相关的图形和实例，用于讲解和演示。
2. 准备练习题，巩固学生对椭圆知识的理解。
六、课后作业：1. 复习椭圆的基本概念和性质。
2. 练习求解椭圆的标准方程。
3. 思考如何运用椭圆知识解决实际问题。
第二章：椭圆的图形性质一、教学目标：1. 让学生掌握椭圆的图形性质，如对称性、单调性等。
2. 培养学生运用椭圆性质解决几何问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆的对称性：轴对称、中心对称。
2. 椭圆的单调性：沿长轴和短轴的单调性。
3. 椭圆的其他性质：焦点三角形、椭圆弧长等。
三、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的图形性质。
2. 难点：如何运用椭圆性质解决几何问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生了解椭圆的图形性质。
2. 利用图形演示，让学生直观地了解椭圆的性质。
3. 案例分析，让学生学会运用椭圆性质解决实际问题。
五、教学准备：1. 准备相关的图形和实例，用于讲解和演示。
2. 准备练习题，巩固学生对椭圆性质的理解。
六、课后作业：1. 复习椭圆的图形性质。
2. 练习运用椭圆性质解决几何问题。
3. 思考如何运用椭圆性质解决实际问题。
椭圆教案含基础题
椭圆教案含基础题一、教学目标：1. 了解椭圆的定义及其基本性质。
2. 掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 能够运用椭圆的知识解决实际问题。
二、教学内容：1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点距离为定值，等于椭圆的长轴长度。
（2）椭圆的短轴长度为定值，等于椭圆的半短轴长度。
（3）椭圆的离心率小于1，且与长轴和短轴长度有关。
3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（a > b > 0）其中，a为椭圆的长半轴长度，b为椭圆的短半轴长度。
三、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的定义及其基本性质，椭圆的标准方程。
2. 难点：椭圆标准方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解椭圆的定义、性质和标准方程。
2. 利用图形展示，让学生更直观地理解椭圆的特点。
3. 运用例题，引导学生掌握椭圆方程的求法和应用。
五、教学安排：1. 第1-2课时：讲解椭圆的定义及其基本性质。
2. 第3-4课时：讲解椭圆的标准方程及其求法。
3. 第5-6课时：运用椭圆知识解决实际问题。
4. 课后作业：布置相关习题，巩固所学知识。
5. 课堂练习：及时检验学生掌握情况，针对性地进行讲解和辅导。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对椭圆定义和性质的理解程度。
2. 作业批改：检查学生对椭圆标准方程的求法和应用，以及对实际问题的解决能力。
3. 课堂练习：观察学生在练习过程中的表现，及时发现并解决问题。
七、教学拓展：1. 探讨椭圆在其他领域的应用，如物理学、天文学等。
2. 介绍椭圆的变形，如双曲线、抛物线等。
3. 引导学生关注椭圆在现实生活中的实例，提高他们的观察能力。
八、教学反思：2. 根据学生的反馈，调整教学计划，提高教学效果。
3. 针对学生的薄弱环节，加强辅导和练习。
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海豚教育个性化教案编号：第八章圆锥曲线的方程●网络体系总览圆锥曲线椭圆定义双曲线定义抛物线定义标准方程标准方程标准方程几何性质几何性质几何性质作图作图作图第二定义第二定义直线与圆锥曲线的位置关系统一定义●考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.●复习方略指南本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显著特点：1.注重双基保持稳定圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.2.全面考查重点突出试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.3.考查能力探究创新试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：1.搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；4.处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即8.1 椭圆●知识梳理定义 1.到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定长（＞|F 1F 2|）的点的轨迹 2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （∈（0，1））的点的轨迹方程1. 22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0）2.22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ） x =a cos θ，y =b sin θ性质E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）1.范围：|x |≤a ，|y |≤b2.对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）；短轴端点B 1（0，－b ），B 2（0，b ）4.离心率：e =a c∈（0，1） 5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 26.焦半径：P （x ，y ）∈E r 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex思考讨论对于焦点在y 轴上的椭圆22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），其性质如何？焦半径公式怎样推导？●点击双基1.已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为A.8B.16C.25D.32 解析：利用椭圆的定义易知B 正确.2.已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A.59 B.3 C.779 D.49解析：由余弦定理判断∠P <90°，只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4，b =3得c =7，3.参数方程θ为参数∴|y P |=49. 答案：Dx =4+5cos ϕ，y =3sin ϕ A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）解析：消参数ϕ得椭圆25)4(2-x +92y =1，∴c =4.易得焦点（0，0），（8，0）. 答案：D4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.解析：椭圆方程化为22x +ky 22=1.焦点在y 轴上，则k2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1. 答案：0＜k ＜1 ●典例剖析【例1】 已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率，即求ac，只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得b =c ，a =2b .解：设椭圆方程为22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），F 1（－c ，0），c 2=a 2－b 2，则P （－c ，b 221ac -），即P （－c ，a b 2）.∵AB ∥PO ，∴k AB =k OP ，即－ab =ac b 2-.∴b =c .又∵a =22c b +=2b ， ∴e =a c =b b 2=22. 评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.【例2】 如下图，设E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2=2θ.求证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ.若能消3.（2010年春季北京）椭圆 （ϕ为参数）的焦点坐标为x y Or r F F PAB 1122证明：设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2， 则S =21r 1r 2sin2θ，又|F 1F 2|=2c ， 由余弦定理有（2c ）2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ=（r 1+r 2）2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ=（2a ）2－2r 1r 2（1+cos2θ），于是2r 1r 2（1+cos2θ）=4a 2－4c 2=4b 2.所以r 1r 2=θ2cos 122+b .这样即有S =21²θ2cos 122+b sin2θ=b 2θθθ2cos 2cos sin 2=b 2t an θ.评述：解与△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF 1|+|PF 2|=2a 来解决.特别提示 我们设想点P 在E 上由A 向B 运动，由于△PF 1F 2的底边F 1F 2为定长，而高逐渐变大，故此时S 逐渐变大.所以当P 运动到点B 时S 取得最大值.由于b 2为常数，所以t an θ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，2π）.这样，θ也逐渐变大，当P 运动到B 时，∠F 1PF 2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，读者不妨一试.【例3】 若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程. 剖析：欲求椭圆方程，需求a 、b ，为此需要得到关于a 、b 的两个方程，由OM 的斜率为22.OA ⊥OB ，易得a 、b 的两个方程.解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （221x x +，221y y +）.x +y =1， ax 2+by 2=1，∴221x x +=b a b +，221y y +=1－221x x +=b a a+. ∴M （b a b +，b a a+）.∵k OM =22，∴b =2a .①∵OA ⊥OB ，∴11x y ²22x y=－1. ∴x 1x 2+y 1y 2=0. ∵x 1x 2=ba b +-1，y 1y 2=（1－x 1）（1－x 2）， ∴y 1y 2=1－（x 1+x 2）+x 1x 2由 ∴（a +b ）x 2－2bx +b －1=0.=1－b a b +2+b a b +-1=b a a +-1. ∴b a b +-1+ba a +-1=0. ∴a +b =2.②由①②得a =2（2－1），b =22（2－1）. ∴所求方程为2（2－1）x 2+22（2－1）y 2=1.评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），但不是真的求出x 1、y 1、x 2、y 2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0是解决本题的关键.●闯关训练 夯实基础1.椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |等于A.23 B. 3 C.27D.4 解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F 1，左焦点为F 2，过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .xyOF F P21∵42x +y 2=1，∴a =2，b =1，c =3.∴F 1（3，0）.设P （3，y P ）代入42x +y 2=1，得y P =21，∴P （3，21），|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4，∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二：椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23，∴|PF 2|=27. 解法三：由解法一得P （3，21）， 又F 2（－3，0），∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙. 2.设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A.3－1 B.2－3 C.22 D.23 解析：易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a c ）－2=0，ac=3－1.答案：A3.椭圆252x +92y =1的离心率是____________，准线方程是____________.解析：由椭圆方程可得a =5，b =3，c =4，e =54，准线方程为x =±452=±425.答案：54 x =±4254.已知P 是椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．答案：452x ＋202y ＝15.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a =2c ，b =3c ，又a －c =3，解得a 2=12，b 2=9.∴所求椭圆的方程是122x +92y =1或92x +122y =1.6.直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则421x +321y =1，① 422x +322y =1.②①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43²2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点， ∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2. ∴直线l 的斜率为－43. ∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1）， 即3x +4y －7=0.7.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0）， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组y =x +1， mx 2+ny 2=1.消去y ，整理得（m +n ）x 2+2nx +n －1=0. Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）>0，即m +n －mn >0，OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+（x 1+x 2）+1=0，∴nm n +-)1(2－n m n-2+1=0.∴m +n =2. ①由弦长公式得2²2)()(4n m mn n m +-+=（210）2，将m +n =2代入，得m ²n =43. ② m =21， m =23， n =23 n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1.8.设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8.（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程.（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP =OA +OB ，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8， ∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +162y =1.解法二：由题知，22)2(++y x +22)2(-+y x =8， 移项，得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ， 两边平方，得x 2+（y +2）2=x 2+（y －2）2－1622)2(-+y x +64， 整理，得222)2(-+y x =8－y ，两边平方，得4［x 2+（y －2）2］=（8－y ）2，展开，整理得122x +162y =1.（2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵OP =OA +OB =0，解①②得 或∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， y =kx +3，122x +162y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－23421k +. ∵OP =OA +OB ，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即OA ²OB =0.∵OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2）， ∴OA ²OB =x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）²（－23421k +）+3k ²（－23418k k +）+9=0，即k 2=165，得k =±45. ∴存在直线l ：y =±45x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 探究创新9.已知常数a ＞0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ， O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BC BE =CD CF =DADG，P 为GE 与OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.OxyFABCD G PE分析：根据题设条件首先求出P 点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P 到两定点距离的和为定值.解：按题意，有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）.设BC BE =CD CF =DADG=k （0≤k ≤1）， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为2ax +（2k －1）y =0. ① 直线GE 的方程为－a （2k －1）x +y －2a =0.②由①②消去参数k ，得点P （x ，y ）满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(a a y -=1. 当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜1时，点P 到椭圆两个焦点（－21a -，a ），（21a -，a ）的距离之和为定值2. 由 消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－4（4+3k 2）当a 2＞21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.●思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.2.要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.3.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ，|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；（4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，|PM 2|+|PM 1|=ca 22.x yO F F PA AB 11121222M M K K●教师下载中心教学点睛本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a 、b 、c 、e 的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2（如下图），它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2=θ，则cos θ=ac=e . xy O l l a b c F F B 11222θ（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF 1B 2、公式cos θ=e 等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要A 、B 、C 同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的拓展题例【例1】如下图，已知△OFQ 的面积为S ，且OF ²FQ =1.FQO（1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； （2）设|OF |=c （c ≥2），S =43c ，若以O 为中心，F 为一个焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由已知，得21|OF ||FQ |sin （π－θ）=S ， |OF ||FQ |cos θ=1. ∴t an θ=2S .∵21＜S ＜2，∴1＜t an θ＜4. 则4π＜θ＜arc t an4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为22a x +22by =1（a ＞b ＞0），Q （x ，y ）.OF =（c ，0），则FQ =（x －c ，y ）.∵21|OF |²y =43c ，∴y =23.又∵OF ²FQ =c （x －c ）=1，∴x =c +c1. 则|OQ |=22y x +=49)1(2++c c （c ≥2）.可以证明：当c ≥2时，函数t =c +c1为增函数， ∴当c =2时，|OQ |min =49)212(2++=234，此时Q （25，23）.将Q 的坐标代入椭圆方程， 2425a +249b =1， a 2=10， a 2－b 2=4. b 2=6.2x 2y 得解得【例2】已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.yxF F 12A BB C'O（1）解：由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4， 所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1．（2）解：由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54．根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）．由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2³59． 由此得出x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）， 则x 0＝221x x +＝28＝4． 方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2³59， ①由A （x 1，y 1）在椭圆252x ＋92y ＝1上，得y 12＝259（25－x 12），所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++- ＝21)545(x -＝51（25－4x 1）.②同理可得2222)4(y x +-＝51（25－4x 2）． ③将②③代入①式，得51（25－4x 1）＋51（25－4x 2）＝518． 所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）， 则x 0＝221x x +＝28＝4． （3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得 9x 12＋25y 12＝9³25，④ 9x 22＋25y 22＝9³25．⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0， 即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）.将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k1（k ≠0）代入上式，得9³4＋25y 0（－k1）＝0（k ≠0）． 由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得 y 0＝4k ＋m ， 所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0． 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以. 解法二：因为弦AC 的中点为P （4，y 0），所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1（x －4）（k ≠0）. ⑥将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1，得（9k 2＋25）x 2－50（ky 0＋4）x ＋25（ky 0＋4）2－25³9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8．解得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 以下步骤同解法一.。