弹性力学及有限元-第一讲 绪论
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弹性力学与有限元完整版
xy、 xz、 yx yz、 zx、 zy
Z面 X面
•②应力符号意义
•正应力： 由法线方向确定
x、 y、 z
•剪应力： xy
作用面
作用方向
•符号规定：
正面上与坐标轴正向一致，为正；
负面上与坐标轴负向一致，为正。
正面 负面
Z面
X面
•③剪应力互等定理
xy yx
相等
yz zy
xz zx
4. 完全弹性假设
应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满 足胡克定理。
5. 小变形假设
在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸 变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这 一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量 ，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
大小和方向不同。
体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X
、Y、Z表示，称为体力分量。
符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负
。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
体力的因次：[力]/[长度]^3
表示：F={X Y Z}
② 面力
与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小 和方向，在P点区域取微小面积元素△S ，
压力，物体之间的接触力等。
集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一
般所受体力的大小和方向，在P点区域取
一微小体积元素△V， 设△V 的体力合力为△F，则
△V 的平均体力为
当△V 趋近于0， 则为P点的体力
体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的
第一篇 弹性力学
第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
Z面 X面
•②应力符号意义
•正应力： 由法线方向确定
x、 y、 z
•剪应力： xy
作用面
作用方向
•符号规定：
正面上与坐标轴正向一致，为正；
负面上与坐标轴负向一致，为正。
正面 负面
Z面
X面
•③剪应力互等定理
xy yx
相等
yz zy
xz zx
4. 完全弹性假设
应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满 足胡克定理。
5. 小变形假设
在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸 变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这 一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量 ，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
大小和方向不同。
体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X
、Y、Z表示，称为体力分量。
符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负
。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
体力的因次：[力]/[长度]^3
表示：F={X Y Z}
② 面力
与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小 和方向，在P点区域取微小面积元素△S ，
压力，物体之间的接触力等。
集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一
般所受体力的大小和方向，在P点区域取
一微小体积元素△V， 设△V 的体力合力为△F，则
△V 的平均体力为
当△V 趋近于0， 则为P点的体力
体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的
第一篇 弹性力学
第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
弹性力学及有限元
• 研究方法的差别造成弹性力学与材料 力学问题的最大不同。
• 材料力学:常微分方程，数学求解没有困难。 • 弹性力学:偏微分方程边值问题，在数学上 求解困难重重，除了少数特殊问题，一般 弹性体问题很难得到解析解。
§1.2 弹性力学基本概念(重点) •外力、应力、形变、位移
•外力分为：体积力（体力） 表面力（面力）
3、弹性力学基本假定：
•连续性
•均匀性
•各向同性
•完全弹性
•小变形假定
（符合前四条假设的物体称为理想弹性体）
4、弹性力学的研究方法：
•已知：边界形状，材料性质，体力，面力，约束 •求解：应力、形变和位移 •解法： （1）根据力的平衡条件建立平衡微分方程； （2）根据应变和位移间的几何条件建立几何方程； （3）根据应力和应变间的物理条件建立物理方程；
——忽略位移、形变和应力等分量的高阶小 量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
＊弹性力学的发展
弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期 研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke） 发现胡克定律。 这一时期的研究工作主要是通过实验方法 探索物体的受力与变形之间的关系。
•近代弹性力学的研究是 从19世纪开始的。
轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负。
单位：N/m2, 量纲是L-1MT-2(N=LT-2M)
•内力：物体受外力作用后，内部不同部分之
间相互作用的力。
应力
弹性体内任一点 P 其邻近面积为 A
A 上的内力为 F
F lim p A0 A
•和体力、面力不同，应力通常不用它沿坐标 轴的分量(进行某些公式推导时除外)，原因： 这些分量与物体的形变或材料强度没有直接的 关系。 •与物体的形变或材料强度直接相关的则是截 面法线方向和切线方向的分量，即正应力和 切应力，分别记为 σ，τ
弹性力学及有限元法：第1章 弹性力学基本理论
（1.7）
z
A
o
y
x
zy
zx
x
yx xz xy
yz x P
xy
xz zx
yz
y yx
B
zy z
zx zy z
图1-2 微小正方体元素的应力状态
其中，σ为正应力，下标表示作用面和作用方向；τ是剪应力，第
一下标表示截面外法线方向，第二下标表示剪应力的方向。
14
1.1.3 应力
应力分量的符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴 的正方向一致，则该面上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正 ，沿坐标轴的负方向为负。相反，如果应力作用面的外法线是指 向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方 向为正，沿坐标轴的正方向为负。
4
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学与材料力学的区别
弹性力学与材料力学(Strengths of Materials)在研究对象、研究 内容和基本任务方面有许多是相同的，但是二者的研究方法有较大 差别。
研究对象几何形状
描述方程 求解难易程度
适用范围
材料力学
杆状构件
常微分方程 容易 窄
弹性力学
8
1.1.2 外力与内力
（1）外力
作用于物体的外力通常可分为两类： 面力(Surface Force) 体力(Body Force)
9
1.1.2 外力与内力
面力是指分布在物体表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如压力容器所受到的内压、 水坝所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等。通常情 况下，面力是物体表面各点的位置坐标的函数。
弹性力学 第1章绪论
如果除上述基本假设以外，还引用某 些补充的假设，例如对于薄板（或薄壳）， 引用补充的几何假设，即直线素假设，这 样的弹性理论也可称为应用弹性理论。
弹性力学的主要对象和基本内容 弹性力学是研究非杆状弹性体(例如板、壳、 挡土墙、堤坝和地基等实体结构)在外力作用下或 由于温度改变等原因所产生的应力、应变和位移。
钱伟长(1912.10.9-2010.7.30)
钱伟长，著名力学家、应用数学家、教育家和 社会活动家。是我国近代力学的奠基人之一。 兼长应用数学、物理学、中文信息学，著述甚 丰。特别在弹性力学、变分原理、摄动方法等领域 有重要成就。早年提出的薄板薄壳非线性内禀统一 理论对欧美的固体力学和理性力学有过重大的影响。 创办了我国第一个力学研究室，筹建了中国科学院 力学研究所和自动化研究所。长期从事高等教育领 导工作，为培养我国科学技术人才作出重要贡献。 社会活动十分活跃，积极推动了祖国的统一大业。
弹性力学的任务 分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移
校核它们是否具有所需的强度和刚度
寻求或改进它们的计算方法
材料力学与弹性力学的区别 在材料力学中研究杆状构件，除了从静力学、 几何学、物理学三方面进行分折以外，大多还需 要引用一些关于构件的应变状态或应力分布的假 定，这就大大简化了数学推演。但是，得出的解 答有时是近似的。在弹性力学中研究杆状构件一 般都不引进那些假定。因此，得出的结果就比较 精确，其解可以用来校核材料力学所得出的近似 解答。
弹性力学的基本假设与材料力学完全相 同，但是在研究方法上有较大的差别，主要 体现在
研究对象：材料力学研究的主要是杆件；而弹性 力学研究的是块、板、壳等复杂结构。 研究方法：材料力学主要是借助一些平面假设， 在构件分析中简化了数学推导，或者说舍弃了数学 严格性，但在保证精度的前提下为工程计算提供了 简便算法；而弹性力学则是数学严格的。故有时本 学科亦称为弹性结构的数学理论。
弹性力学及有限元基础全套PPT课件 431页
正负 面面 正负 向向
21
z
z
zx zy
o
y
yyzxxxzxzyyxyz xzxz xyxyz
y
y
x
22
位移
zC
，
P
w
u,v ,w
uP v
oA z
x yx
P 移动到P’，发 B 生位移 u,v,w 。
y
应变 x , y , z , xy , yz , zx
x
dx
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
由 Mc 0
xy
dy
1
dx 2
(
xy
xy
x
dx)
dy
1
dx 2
yxdx
1
dy 2
(
yx
yx
y
dy)
dx
1
dy 2
0
9
整理得： xy yx
由 Fx 0 :
x yx X 0
14
工科弹性力学教学
面向工程师的能力培养
知微观、重宏观， 知数学、重力学， 知计算、重概念。
教材：《弹性力学简明教程》（第四/三版）徐芝纶
参考书：
《Theory of Elasticity》
中文译本
S.Timoshenko
16
课堂要求：
认真听课，积极思考，踊跃讨论； 独立完成作业，认真思考思考题。
x
y
y
(等厚薄板 t 很小）
有限元第一讲 弹性力学基础理论
k
2 23
k323
kk111111
k112 k112
0 0
0
0 0
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2 32
k
2 33
第一单元矩阵
第二单元矩阵
1.2.3.方程求解（约束条件的引入）
由前面可知，刚度矩阵是奇异阵，它的行列式值为0.矩阵的 逆不存在。故对应的线性方程组无定解，为什么？
FF43
1500 1500
11550000uu43
对弹簧1－2
对弹簧2－3
对弹簧3－4
1.2.5.实例
叠加这些方程为总的结构矩阵方程：
F1 ? 1200
FF32 F4
10 20 ?
答案是肯定的。
下面加以推导，每个弹簧单元的受力方程和单元 刚度矩阵如下：
FF12
ka ka
单元1
ka ka
uu12
FF32
kb kb
kb kb
uu32
单元2
1.2.2.组合弹簧的刚度矩阵
10 3000 20 1800
1800
3300
uu32
解得：u2＝0.0103603m；u3＝0.0117117m。将u1、u2、u3和u4代 入原方程可解得节点1和节点4处的作用力：
F1＝-12.432KN；F4＝-17.567KN
校核：F1＋F4＝-29.999KN＝30KN。
弹性力学 绪论
第一章 緒论
弹性力学是固体力学的一个分支，研究 弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发 生的应力、形变和位移。 本课程较为完整的表现了力学问题的数 力学问题的数 学建模过程，建立了弹性力学的基本方程和 学建模 边值条件，并对一些问题进行了求解。弹性 力学基本方程的建立为进一步的数值方法奠 定了基础。 弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、 有限元方法的基础。
主要研究杆系的内力、位移（在材力的基础之上） 。 主要研究杆系的内力、位移（在材力的基础之上）
工程实例 （1）比萨斜塔：建筑物由于自重和荷载 引起地基不均匀的沉降，可简化为半平面在 载荷作用下的位移问题。
The Leaning Tower of Pisa
看似简单的新技术— 看似简单的新技术 —地基应力解除法 地基应力解除法 在斜塔倾斜的反方向（北侧）塔基下 面掏土，利用地基的沉降，使塔体的 重心后移，从而减小倾斜幅度。该方 法于1962 年，由意大利 意大利工程师 意大利 Terracina针对比萨斜塔的倾斜恶化问 题提出，当时称为“掏土法”，由于 显得不够深奥而遭长期搁置，直到该 法在墨西哥城主教堂的纠偏中成功应 用，又被重新得到认识和采纳。
弹性力学的发展史
（钱伟长1956，弹性理论）
里奥纳多•达 芬奇 芬奇（ 里奥纳多 达•芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519 ）。艺术家、科学家、工程师，没有写书。最先试 图用静力学来求作用在某些构件上的力的人，同时 也是最先用实验来决定结构材料强度的人。
1638年，伽利略（Galileo, G.）： 伽利略（ ）：第一个材料（弹性）力 伽利略 ）： 学实验（梁的弯曲）
在建立数学模型的过程中，通 常要注意分清问题的性质进行简化： 线性化 对高阶小量进行处理，能进行线 性化的，进行线性化。 实验验证 模型建立以后，对计算的结果 进行分析整理，返回实际问题进行 验证，一般主要通过实验进行。
弹性力学是固体力学的一个分支，研究 弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发 生的应力、形变和位移。 本课程较为完整的表现了力学问题的数 力学问题的数 学建模过程，建立了弹性力学的基本方程和 学建模 边值条件，并对一些问题进行了求解。弹性 力学基本方程的建立为进一步的数值方法奠 定了基础。 弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、 有限元方法的基础。
主要研究杆系的内力、位移（在材力的基础之上） 。 主要研究杆系的内力、位移（在材力的基础之上）
工程实例 （1）比萨斜塔：建筑物由于自重和荷载 引起地基不均匀的沉降，可简化为半平面在 载荷作用下的位移问题。
The Leaning Tower of Pisa
看似简单的新技术— 看似简单的新技术 —地基应力解除法 地基应力解除法 在斜塔倾斜的反方向（北侧）塔基下 面掏土，利用地基的沉降，使塔体的 重心后移，从而减小倾斜幅度。该方 法于1962 年，由意大利 意大利工程师 意大利 Terracina针对比萨斜塔的倾斜恶化问 题提出，当时称为“掏土法”，由于 显得不够深奥而遭长期搁置，直到该 法在墨西哥城主教堂的纠偏中成功应 用，又被重新得到认识和采纳。
弹性力学的发展史
（钱伟长1956，弹性理论）
里奥纳多•达 芬奇 芬奇（ 里奥纳多 达•芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519 ）。艺术家、科学家、工程师，没有写书。最先试 图用静力学来求作用在某些构件上的力的人，同时 也是最先用实验来决定结构材料强度的人。
1638年，伽利略（Galileo, G.）： 伽利略（ ）：第一个材料（弹性）力 伽利略 ）： 学实验（梁的弯曲）
在建立数学模型的过程中，通 常要注意分清问题的性质进行简化： 线性化 对高阶小量进行处理，能进行线 性化的，进行线性化。 实验验证 模型建立以后，对计算的结果 进行分析整理，返回实际问题进行 验证，一般主要通过实验进行。
《弹性力学与有限元》第1章弹性力学的基础知识
（五）小应变位移假设 物体在外加因素作用下，物体变形产生的位移与物体尺寸相比极其微小，因 而应变分量和转角均远小于 1。这样，在建立物体变形后的平衡方程时，可以不 考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可 以略去应变、转角的二次幂或二次乘积以上的项，使得到的基本方程是线性偏微 分方程组。这个假设又称为几何线性的假设。
物体的弹性性质是客观存在的，人类很早就可以利用物体的弹性性质了，比 如在树枝上荡漾，古代的弓箭等等。
了解掌握弹性物体的客观规律，并形成弹性力学这样一门学科，则经过了三 个发展时期：
弹性力学的发展初期。17 世纪开始，主要是通过实践，尤其是通过实验来 探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于 1680 年分别独立地提 出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于 1687 年确立了力学三定律，奠定了力学的发展基础。
《弹性力学与有限元》
第 1 章 弹性力学的基础知识
第 1 章 弹性力学的基础知识
弹性力学(Elastic Mechanics)是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力 和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结 构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天 等工程领域。
材料力学的研究对象主要是杆状构件（一维弹性杆件），而且常采用一些关 于变形的近似假设，如“平面截面”的假设等等，使得计算简化。
而弹性力学的分析方法在一开始并不考虑平面截面的假设，而是从变形连续 性的观念出发列出几何方程，所谓变形连续性是指在变形前的连续物体在变形后 仍保持连续，物体的任一部分及单元体均保持连续。在保持变形连续的情况下， 平面界面变形以后可能不再保持平面，
弹性力学与有限元程序设计--第一章
内容
的形式和尺寸并选择适宜的材料提供必
要的理论基础和计算方法。
第一章 弹性力学绪论
结构力学的研究对象、内容和任务
对象 ——杆件系统（结构） 梁、刚架、桁架、组合结构和拱 内容 ——结构的组成规律、特性和外来因素作用 下的内力、位移及其分布规律。 任务 ——校核结构是否具有所需的 强度 、 刚度 和 稳定性 ，并寻求和改进它们的计算方法 以实现安全和经济的最优化。 三部分 ——静力学、动力学和稳定学。
第一章 弹性力学绪论
应变状态 —— 代表一点 P 的邻域内线段与线 段间夹角的改变
z
z C
x xy xz 其中 yx y yz zx zy z
5. 位移
xy yx
y
yz zy
zx xz
力学特点 ：即使过同一点，作用在不同面（微分面） 上的应力矢量也不同。
一点应力的要素： 大小、方向、作用点 、作用面
（作用在过该点的哪个面上）
第一章 弹性力学绪论
一点的应力状态：过物体内某一点的各个面上的应力
情况的集合称为该点的应力状态。 x面的应力： x , xy , xz
y面的应力： y , yx , yz z面的应力：
y
yz
第一章 弹性力学绪论
x xy xz 用矩阵表示： 其中，只有6个量独立。 y yz yx zx zy z xy yx yz zy zx xz 切应力互等定理
应力符号的意义： x 下标 x 表示σ所在面的法线方向；
第一章 弹性力学绪论
研究对象——板、壳、地基、堤坝和挡土墙等实
第1~3讲弹性力学及有限元
弹性力学及有限元
Elasticity Mechanics & Finite Element Method
振动噪声监测与控制研究所
Institute of Monitoring & Control of Vibration & Noise
第一讲 绪论
弹性力学及有限元 课程概述
1.1 课程性质 1.2 弹性力学的研究内容 1.3 弹性力学中的几个基本概念 1.4 弹性力学中的基本假设 1.5 弹性力学发展史 1.6 有限元方法简介 1.7 应用软件简介
z
zx xz
zy yz
y yx
y
应力用矩阵表示：
x
xy
x
弹性力学及有限元
共六个应力分量。
24 MCVN振动噪声监测与控制研究所
24
12
第一讲 绪论
1.3.4 形变（应变） 形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为长 度的改变和角度的改变。
线应变：图中线段PA、PB、 PC每单位长度的伸缩，即单位伸 缩或相对伸缩，称为线应变。分别 用 x、 y 、 z 表示。
其它面上的应 力分量的表示 如图所示。
y
x
弹性力学及有限元 21 MCVN振动噪声监测与控制研究所
21
第一讲 绪论
z
z zx
正负规定:
zy yz yx y
正面:截面的外法线 方向和坐标轴正向一 致，反之为负面。
y
正面上的应力沿坐标正向或负面 上的应力沿坐标负向为正。
x
弹性力学及有限元
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
18 MCVN振动噪声监测与控制研究所
弹性力学及有限元
18
9
Elasticity Mechanics & Finite Element Method
振动噪声监测与控制研究所
Institute of Monitoring & Control of Vibration & Noise
第一讲 绪论
弹性力学及有限元 课程概述
1.1 课程性质 1.2 弹性力学的研究内容 1.3 弹性力学中的几个基本概念 1.4 弹性力学中的基本假设 1.5 弹性力学发展史 1.6 有限元方法简介 1.7 应用软件简介
z
zx xz
zy yz
y yx
y
应力用矩阵表示：
x
xy
x
弹性力学及有限元
共六个应力分量。
24 MCVN振动噪声监测与控制研究所
24
12
第一讲 绪论
1.3.4 形变（应变） 形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为长 度的改变和角度的改变。
线应变：图中线段PA、PB、 PC每单位长度的伸缩，即单位伸 缩或相对伸缩，称为线应变。分别 用 x、 y 、 z 表示。
其它面上的应 力分量的表示 如图所示。
y
x
弹性力学及有限元 21 MCVN振动噪声监测与控制研究所
21
第一讲 绪论
z
z zx
正负规定:
zy yz yx y
正面:截面的外法线 方向和坐标轴正向一 致，反之为负面。
y
正面上的应力沿坐标正向或负面 上的应力沿坐标负向为正。
x
弹性力学及有限元
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
18 MCVN振动噪声监测与控制研究所
弹性力学及有限元
18
9
弹性力学与有限元完整版
平面应力问题 • ①几何特征
– 薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸 – 等厚度 – 中心层平直
• ②受力特征
– 外力平行于中心层 – 外力沿厚度不变化
2、 平面应力问题的应力
根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则
由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也
沿厚度均匀分布，应力分量不随z改变。
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
弹性力学各个量之间的关系
平衡方程
外力
物理方程
几何方程
应力
应变
位移
3.1 概述
根据几何方程和本构方程可见：
位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。
• 假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变 分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。
的单值连续函数
u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z） v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z） w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）
u
f
v
w
形变和位移之间的关系：
• 位移确定 → 形变完全确定：
从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变 确定 。
从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。
• 弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出
来的理想模型。
• 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的 应力和应变之间具有一一对应的关系。
• 应力—应变关系称为本构关系。
• 材料模型包括：
–线性弹性体 –非线性弹性体
有限元第一讲 绪论、弹簧单元
有限元法基础及应用
1 绪论
一、有限元是什么？
一般意义上，有限元法是一种求解连续介质、连续 场力学和物理问题的数值方法。是工程分析和科学
研究的重要工具。
该方法诞生于结构应力分析，目前广泛应用于固体 力学、流体力学、传热学、电磁场等连续域问题的 领域以及计算数学。
该方法的发展和推广应用与计算机密切相关。
2个节点：
i, j
ui知弹簧力——位移关系：
节点位移：
节点力： 弹簧刚度：
F k
F 弹簧力，拉伸为正
u j ui — 弹簧伸长
k
考虑弹簧的特性和平衡关系有：
f i F k (u j ui ) kui ku j
f j F k (u j ui ) kui ku j
由于单元可以有不同的大小，形状和类型，因此可以求解复杂的工
程和科学问题。
2、数学上的理解
通过把求解区域剖分成数目有限的子区域（单元），设置节点上
的待求函数值（位移）为问题的基本未知量。在每个单元内用插值
的方法，根据待定节点位移假设出单元上简单位移分布，从而把一 个求解连续位移场的无限自由度问题转变成求解离散节点上位移值
(d)：弹簧2内力
200 3 2 200( N )
F k2 k2 (u3 u2 )
2 2
（拉力）
4、练习题
对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵
解
七、第一章要点回顾
1、弹簧单元刚度方程的建立 弹簧变形平衡
f i F k (u j ui ) kui ku j f j F k (u j ui ) kui ku j
1 绪论
一、有限元是什么？
一般意义上，有限元法是一种求解连续介质、连续 场力学和物理问题的数值方法。是工程分析和科学
研究的重要工具。
该方法诞生于结构应力分析，目前广泛应用于固体 力学、流体力学、传热学、电磁场等连续域问题的 领域以及计算数学。
该方法的发展和推广应用与计算机密切相关。
2个节点：
i, j
ui知弹簧力——位移关系：
节点位移：
节点力： 弹簧刚度：
F k
F 弹簧力，拉伸为正
u j ui — 弹簧伸长
k
考虑弹簧的特性和平衡关系有：
f i F k (u j ui ) kui ku j
f j F k (u j ui ) kui ku j
由于单元可以有不同的大小，形状和类型，因此可以求解复杂的工
程和科学问题。
2、数学上的理解
通过把求解区域剖分成数目有限的子区域（单元），设置节点上
的待求函数值（位移）为问题的基本未知量。在每个单元内用插值
的方法，根据待定节点位移假设出单元上简单位移分布，从而把一 个求解连续位移场的无限自由度问题转变成求解离散节点上位移值
(d)：弹簧2内力
200 3 2 200( N )
F k2 k2 (u3 u2 )
2 2
（拉力）
4、练习题
对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵
解
七、第一章要点回顾
1、弹簧单元刚度方程的建立 弹簧变形平衡
f i F k (u j ui ) kui ku j f j F k (u j ui ) kui ku j
弹性力学基础知识
yz
x
zx
y
xy )
z
2 2 z
xy
2.3 弹性力学基本方程
四 物理方程
应变和应力关系
1 2 3
2.2 弹性力学基本概念
六 位移的概念
❖ 由于外部因素
——载荷或温度变化
❖
物体内部各点空间位置发生变化
❖ 位位移移形—式—
❖ 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。
❖ 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。
❖ 位移u，v，w是单值连续函数
内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体 截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过 平衡关系计算截面内力F。
2.2 弹性力学基本概念
三 应力的概念
物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出 其中一部分：
2.2 弹性力学基本概念
三 应力的概念
2.1 弹性力学的基本假设
2. 均匀性假设
•—— 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随 坐标位置的变化混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲， 也可以视为均匀材料。
由几何方程可知，u,v,w函数已知，则该点应变分量确定。 但是，应变分量确定，无法求出位移分量。
2.3 弹性力学基本方程
三 变形协调方程
❖ 变形协调方程也称变形连续方程，或相容方程。 ❖ 描述六个应变分量之间所存在的关系式。
同一平面内的正应变与剪应变之间的关系
2 x y 2
2 y x 2
2 xy xy
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弹性力学及有限元
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1.2 弹性力学定义及基本研究内容
基本任务 1）研究由于载荷或者温度改变，弹性体内部所产生的位 移、变形和应力分布等。 2）为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备。 研究方法 只能从微分单元体入手，三维数学问题，综合分析 的结果是偏微分方程边值问题。
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1.5 弹性力学及有限元的发展史－有限元 原始有限元的概念早在几个世纪前就已产生并 得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元） 逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被 提出，则是最近的事。 现代有限元法第一个成功的尝试，是将钢架位 移法推广应用于弹性力学平面问题。这是 Turner Clough等人在分析飞机结构时于1956年 得到的成果。
1.6 课程的学习方法
基础力学教学的目的，不能再仅仅是知识的传 授，而主要是通过有限的知识点，传授一种思 维方法，从而达到培养学生自主认识问题、解 决问题的能力。 现在有许多优秀的力学专业的毕业生，活跃在 金融、软件等等其他领域，虽然他们不再使用 传统的力学知识，但是力学的思维方式，却是 他们成功的基础，这又说明了力学的思维方式， 可以抛开具体的知识点而发挥其作用，亦即有 其普适性的一面。
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图7
图6
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1.5 弹性力学及有限元的发展史－有限元
JIFEX ——大连理工大学工程力学系/工程力学研究所/工
业装备结构分析国家重点实验室联合研制开发的具有创新 算法和自主版权的大型通用有限元分析与优化设计软件。
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1.2 弹性力学定义及基本研究内容
弹性力学(Elasticity Mechanics) 1）又称弹性理论； 2）固体力学分支； 3）研究弹性体（完全弹性体）在外力和其他外界因素（约 束和温度改变等）作用下产生的变形、形变和位移； 4）它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的 基础； 5） 广泛应用于建筑、机械、化工、航空、航天和生物医学 等工程领域。
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1.5 弹性力学及有限元的发展史－弹性力学
1913～1915 年俄国的布勃诺夫和伽辽金提出了布勃诺夫-伽 辽金法 。 苏联的穆斯赫利什维利于20世纪 30年代发展了复变函数的应 用 ，为求解弹性力学平面问题提供了有力的工具。积分变换 和积分方程等在弹性力学中的应用也有了新发展。 从20世纪20年代起，弹性力学在发展中出现了许多边缘分支： 各向异性和非均匀体理论，非线性板壳理论和非线性弹性力 学，热弹性力学，气动弹性力学，水弹性力学和粘弹性力学 等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外还建立 了弹性力学广义变分原理。
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1.5 弹性力学及有限元的发展史－弹性力学 中国的郑玄是最早定量地研究弹性定律的人 (假
令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之， 每加物一石，则张一尺 )
英国的 R.胡克于1678年和法国的 E.马略特于 1680 年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正 比的定律，后被称为胡克定律。 17世纪末，人们开始研究梁的理论。 到19世纪20年代法国的 C.-L.-M.-H.纳维和 A.-L.柯 西才基本上建立了弹性力学的数学理论。
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NORTHEASTቤተ መጻሕፍቲ ባይዱRN UNIVERSITY
1.2 弹性力学定义及基本研究内容
基本研究内容
1）弹性力学基本假设 2）弹性力学基本概念（表面力、体力、应力，一点的应力 状态) 3）弹性力学基本方程(平衡微分方程，几何方程/变形协调 方程，物理方程） 4）边界条件和圣维南原理 5）虚位移原理 6）失效理论
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1.5 弹性力学及有限元的发展史－有限元 1）大型通用程序 当前广泛使用的大型有限元分析软件有Ansys、 MSC/Nastran、Abaqus、Marc、COSMOS、 Adina和Algor等。 2）专用程序:为解决某一类学科问题如接触问题程序、 : 摩擦问题程序、优化程序等，或是解决某一类产 品基础件的计算分析问题，如工程起重机臂架结 构分析系统、车辆车架分析系统等而发展起来的。 2）自编程序:应用在科研和教学上
1.1 弹性力学及有限元的应用
应用１
应用３
应用５
应用２
应用４
应用６
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1.2 弹性力学定义及基本研究内容
弹性力学(Elasticity Mechanics) 1）又称弹性理论； 2）固体力学分支； 3）研究各种弹性结构在外部因素（如外力、温度变化等） 的作用下，所产生的应力、应变和位移分布规律和变形 状态； 4）它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的 基础； 5） 广泛应用于建筑、机械、化工、航空、航天和生物医学 等工程领域。
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Elasticity Mechanics and Finite Element
机械工程与自动化学院 现代设计与分析研究所
吴宁祥
nxwu@
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第一章 绪 论
1.3
• • • • • • •
有限元方法的介绍－求解步骤
结构离散化 选择合适的插值函数和位移模式 推导单元刚度矩阵和荷载矢量 集成单元方程得到整体平衡方程 处理约束条件 求解未知节点位移 计算节点内力，单元应变、应力
目前各大型有限元软件将有限元分析分成三个阶段，前处理、 求解和后处理。
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1.1 弹性力学及有限元的应用 1.2 弹性力学定义及基本研究内容 1.3 有限元方法的介绍 1.4 弹性力学与有限元之间的关系 1.5 弹性力学及有限元的发展史 1.6 课程的学习方法
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1.1 弹性力学及有限元的应用
• • • • • • 机械 航天航空 压力容器 土木工程 生物医学 体育
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1.6 课程的学习方法
力学总是试图一手以简单的方法解决具体问题， 另一手去总结出同类问题的一个普适的理论依 据来。这种思维方式上的中间性，使力学从物 理学中分离了出来，但也常使力学工作者把自 己置于一个尴尬的地位，即有意或无意地，一 方面认为工程方法的理论水平不足，另一方面 又认为纯理论有脱离实际的嫌疑。
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1.3 有限元方法的介绍－求解步骤
• • • • • • • • • 平面问题的有限单元法 轴对称问题 杆件系统的有限单元法 空间问题的有限单元法 等参数单元 板壳问题 几何非线性问题 材料非线性问题 结构的动力学问题
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1.6 课程的学习方法
目前很多人认为，由于商用计算软件可以方便 地计算基础力学中出现的问题的解，因此只要 让学生知道个大概就可以了，这实际上是不懂 基础力学的教学目的的表现，对培养学生的力 学思维能力的害处极大。特别必须指出的是， 力学思维能力并不是老师教会的，而是通过知 识点的学习、实验和解题练习逐步体会得到的， 并且这样得到的初步体会，必须经过创新实验、 科研活动进一步深化，才能变成自己的思维方 法。
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I
根据桑塔纳汽车后桥的实际结构，利用有限元通用软件 ANSYS，对后桥进行了弹塑性有限元分析；并主要研究了 结构焊接处强度、横梁破坏处在一个周期载荷波内应力状 态变化；给出了用临界平面（最大剪应变范围的平面）法 进行多轴疲劳寿命预测所需的基本参量值；提出了提高后 桥强度的改进方案。
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1.5 弹性力学及有限元的发展史－弹性力学 柯西在 1822～1828年发表的一系列论文中，明确地 提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念， 建立了弹性力学的几何方程、运动（平衡）方程、 各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而 奠定了弹性力学的理论基础 。 1855～1856 年间法国的A.J.C.B.de圣维南发表了柱 体扭转和弯曲的论文，其中理论结果和实验结果密 切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据 。
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1.3 有限元方法的介绍
有限元分法基本思想： 将求解区域划分为一系列的单元，单元之间仅依靠节 点连接，单元内部点的待求量可由单元节点量通过选定 的函数关系插值求得，建立并组集单元方程组，引入边 界条件，对方程组求解。 特点： • 近似解，单元划分越细，计算结果越精确； • 不受构件几何形状的限制，可求解复杂结构； • 可适应各种边界条件及外载荷。
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1.2 弹性力学定义及基本研究内容
基本任务 1）研究由于载荷或者温度改变，弹性体内部所产生的位 移、变形和应力分布等。 2）为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备。 研究方法 只能从微分单元体入手，三维数学问题，综合分析 的结果是偏微分方程边值问题。
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1.5 弹性力学及有限元的发展史－有限元 原始有限元的概念早在几个世纪前就已产生并 得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元） 逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被 提出，则是最近的事。 现代有限元法第一个成功的尝试，是将钢架位 移法推广应用于弹性力学平面问题。这是 Turner Clough等人在分析飞机结构时于1956年 得到的成果。
1.6 课程的学习方法
基础力学教学的目的，不能再仅仅是知识的传 授，而主要是通过有限的知识点，传授一种思 维方法，从而达到培养学生自主认识问题、解 决问题的能力。 现在有许多优秀的力学专业的毕业生，活跃在 金融、软件等等其他领域，虽然他们不再使用 传统的力学知识，但是力学的思维方式，却是 他们成功的基础，这又说明了力学的思维方式， 可以抛开具体的知识点而发挥其作用，亦即有 其普适性的一面。
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图7
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弹性力学(Elasticity Mechanics) 1）又称弹性理论； 2）固体力学分支； 3）研究弹性体（完全弹性体）在外力和其他外界因素（约 束和温度改变等）作用下产生的变形、形变和位移； 4）它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的 基础； 5） 广泛应用于建筑、机械、化工、航空、航天和生物医学 等工程领域。
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1.5 弹性力学及有限元的发展史－弹性力学
1913～1915 年俄国的布勃诺夫和伽辽金提出了布勃诺夫-伽 辽金法 。 苏联的穆斯赫利什维利于20世纪 30年代发展了复变函数的应 用 ，为求解弹性力学平面问题提供了有力的工具。积分变换 和积分方程等在弹性力学中的应用也有了新发展。 从20世纪20年代起，弹性力学在发展中出现了许多边缘分支： 各向异性和非均匀体理论，非线性板壳理论和非线性弹性力 学，热弹性力学，气动弹性力学，水弹性力学和粘弹性力学 等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外还建立 了弹性力学广义变分原理。
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令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之， 每加物一石，则张一尺 )
英国的 R.胡克于1678年和法国的 E.马略特于 1680 年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正 比的定律，后被称为胡克定律。 17世纪末，人们开始研究梁的理论。 到19世纪20年代法国的 C.-L.-M.-H.纳维和 A.-L.柯 西才基本上建立了弹性力学的数学理论。
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1.2 弹性力学定义及基本研究内容
基本研究内容
1）弹性力学基本假设 2）弹性力学基本概念（表面力、体力、应力，一点的应力 状态) 3）弹性力学基本方程(平衡微分方程，几何方程/变形协调 方程，物理方程） 4）边界条件和圣维南原理 5）虚位移原理 6）失效理论
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1.5 弹性力学及有限元的发展史－有限元 1）大型通用程序 当前广泛使用的大型有限元分析软件有Ansys、 MSC/Nastran、Abaqus、Marc、COSMOS、 Adina和Algor等。 2）专用程序:为解决某一类学科问题如接触问题程序、 : 摩擦问题程序、优化程序等，或是解决某一类产 品基础件的计算分析问题，如工程起重机臂架结 构分析系统、车辆车架分析系统等而发展起来的。 2）自编程序:应用在科研和教学上
1.1 弹性力学及有限元的应用
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1.2 弹性力学定义及基本研究内容
弹性力学(Elasticity Mechanics) 1）又称弹性理论； 2）固体力学分支； 3）研究各种弹性结构在外部因素（如外力、温度变化等） 的作用下，所产生的应力、应变和位移分布规律和变形 状态； 4）它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的 基础； 5） 广泛应用于建筑、机械、化工、航空、航天和生物医学 等工程领域。
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1.3
• • • • • • •
有限元方法的介绍－求解步骤
结构离散化 选择合适的插值函数和位移模式 推导单元刚度矩阵和荷载矢量 集成单元方程得到整体平衡方程 处理约束条件 求解未知节点位移 计算节点内力，单元应变、应力
目前各大型有限元软件将有限元分析分成三个阶段，前处理、 求解和后处理。
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1.1 弹性力学及有限元的应用 1.2 弹性力学定义及基本研究内容 1.3 有限元方法的介绍 1.4 弹性力学与有限元之间的关系 1.5 弹性力学及有限元的发展史 1.6 课程的学习方法
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1.1 弹性力学及有限元的应用
• • • • • • 机械 航天航空 压力容器 土木工程 生物医学 体育
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1.6 课程的学习方法
力学总是试图一手以简单的方法解决具体问题， 另一手去总结出同类问题的一个普适的理论依 据来。这种思维方式上的中间性，使力学从物 理学中分离了出来，但也常使力学工作者把自 己置于一个尴尬的地位，即有意或无意地，一 方面认为工程方法的理论水平不足，另一方面 又认为纯理论有脱离实际的嫌疑。
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1.3 有限元方法的介绍－求解步骤
• • • • • • • • • 平面问题的有限单元法 轴对称问题 杆件系统的有限单元法 空间问题的有限单元法 等参数单元 板壳问题 几何非线性问题 材料非线性问题 结构的动力学问题
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1.6 课程的学习方法
目前很多人认为，由于商用计算软件可以方便 地计算基础力学中出现的问题的解，因此只要 让学生知道个大概就可以了，这实际上是不懂 基础力学的教学目的的表现，对培养学生的力 学思维能力的害处极大。特别必须指出的是， 力学思维能力并不是老师教会的，而是通过知 识点的学习、实验和解题练习逐步体会得到的， 并且这样得到的初步体会，必须经过创新实验、 科研活动进一步深化，才能变成自己的思维方 法。
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I
根据桑塔纳汽车后桥的实际结构，利用有限元通用软件 ANSYS，对后桥进行了弹塑性有限元分析；并主要研究了 结构焊接处强度、横梁破坏处在一个周期载荷波内应力状 态变化；给出了用临界平面（最大剪应变范围的平面）法 进行多轴疲劳寿命预测所需的基本参量值；提出了提高后 桥强度的改进方案。
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1.5 弹性力学及有限元的发展史－弹性力学 柯西在 1822～1828年发表的一系列论文中，明确地 提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念， 建立了弹性力学的几何方程、运动（平衡）方程、 各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而 奠定了弹性力学的理论基础 。 1855～1856 年间法国的A.J.C.B.de圣维南发表了柱 体扭转和弯曲的论文，其中理论结果和实验结果密 切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据 。
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1.3 有限元方法的介绍
有限元分法基本思想： 将求解区域划分为一系列的单元，单元之间仅依靠节 点连接，单元内部点的待求量可由单元节点量通过选定 的函数关系插值求得，建立并组集单元方程组，引入边 界条件，对方程组求解。 特点： • 近似解，单元划分越细，计算结果越精确； • 不受构件几何形状的限制，可求解复杂结构； • 可适应各种边界条件及外载荷。