质点运动微分方程

§9-2 质点的运动微分方程
根据牛顿第二定律，若质点M的质量 z 为m，受n个力F1 , F2 ,…., Fn作用， 则有 F1 Fi M FR
Fn
a a
n m a Fi
i 1
或
m a FR
i
r
k
o j
而
则
d r a 2 dt 2 n d r m 2 Fi dt i 1
如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量 dv 积分 。
dt 2 d 如力是位置的函数，需进行变量置换 ( x dvx dvx dx vx dvx ) dt 2 dt dx dt dx
再积分
例题1 质点M的质量为m，运动方程是x = bcosωt, y = dsinωt，其 中b, d, ω为常量。求作用在此质点上的力。 y 解：1、求质点的加速度 y 2 d x M j ax 2 b 2 cos t 2 x, dt o i x x
动力学的主要任务（解决的基本问题）： 第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力；
第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。
解决动力学两类基本问题的途径：
• 直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程； • 综合应用动力学普遍定理； • 应用达朗伯定理。 • 应用动力学普遍方程和拉格朗日方程。
③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。
⑤求解未知量。
注意：微分方程等号左边总设为正，等号右边是力在坐标轴上的投影， 应注意投影的正负号。
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者 同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ①正确选择研究对象。 ②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般 位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动 初始条件）。 ④选择并列出适当的质点运动微分方程。 ⑤求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条 件，求出质点的运动。
引 言
回顾
• 静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化；
• 运动学从几何观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力； • 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。是理论力学 中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。
动力学的理论基础：
G dv v G sin g d l
v0


2
v
v0
vdv gl sin d ,
0

l
φ
v v0 2 gl (cos 1) (c)
2
T n
τ G
将(c)式代入(a)式，得
Gv0 T 3G cos 2G gl
2ห้องสมุดไป่ตู้
v
当φ = 0 时，
Tmax
2 v0 2 Gv0 G G 1 gl gl
Tmax 1.85G
v
式中G前的系数即动荷系数。
例题4 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。 解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。 火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
mM F f 2 x mM mg f R2 mgR 2 F x2
牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律 牛顿定律的适用范围（1）不适于微观物体；（2）物体的运动速 度不能太大。
动力学的研究对象：
低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。 动力学分为质点动力学和质点系动力学： 质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质点 本课程重点放在质点系动力学。
v0 2 gR 2 9.8 103 6370 11.2 (km/s)（第二宇宙速度）
例题4 粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒
内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能 量，铁球应在θ=θ0时才掉下来。求滚筒每分钟的转数 n。
0
n
•见续后
解：研究对象：铁球（视为质点）， 运动分析： 铁球在滚筒的带动下沿圆弧向 上运动，当运动到一定高度时，将脱离筒 壁沿抛物线下落； 质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度， 即 n n mg
牛顿力学 分析力学
第九章 质点动力学的基本方程
§9-1 动力学的基本定律 §9-2 质点的运动微分方程 §9-3 质点动力学的两类基本问题
§9-1 动力学的基本定律
★ 第一定律（惯性定律）
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 说明： • 本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动 的性质，即惯性。 • 匀速直线运动称为惯性运动。 • 明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。
FR
d2 x m 2 mg v dt
m
d2 x dt
2
mg v
令
b /m
FR
dv g bv dt
运动的起始条件为：t = 0时，v0 = 0，x0 = 0

dv 0 g bv
v
x

t 0
dt
g v 1 e bt b



g t dx （ 1 e bt） dt 0 b 0
F1
Fi M FR
Fn a
k
i x o j
r
i 1
n d 2x m 2 Fxi m x dt i 1
y
m m y
d y Fyi 2 dt i 1
2
n
直角坐标形式的质点运动微分方程
n d 2z m 2 Fzi m z dt i 1
2.质点运动微分方程在自然轴上的投影
0 Fbi
i 1 n
(－ )
所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，
自然轴系的质点运动微分方程
§9-3 质点动力学的两类基本问题
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 解题步骤和要点：
①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。
★ 第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相
反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。
动力学基本定律说明： （1）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系。 工程问题中，取固于地面或相对于地面作匀速直线运动 的坐标系为惯性坐标系， （2）以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。
G dv G sin g dt
mat Ft ,
τ
G
v
可知，拉力 T 与重物的速度 v 、摆角φ有关， 对(b)式进行分离变量并积分：
dv dv d dv v , dt d dt d l

G dv v G sin , g d l
G v2 T G cos g l
★ 第二定律（力与加速度之间的关系的定律） 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，
加速度的方向与力的方向相同。
即
ma F
说明：
• 此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系。 • 质量是质点惯性的度量。 • 在地球表面，物体受重力作用，有 P = mg 式中，g — 重力加速度，一般取 g = 9.80 m/s2。 质量和重 量区别？
本例的实际指导意义：
已求得：突然刹车时，绳子所 受的最大拉力为
v0
Tmax
由此可知：
2 v0 2 Gv0 G G 1 gl gl
l
φ
T n
τ G
⑴桁车行进的速度不宜过快； ⑵绳子不宜太短； ⑶实际数据例如： v0 5m / s , l 3m , 则可求得
FS
FN
v
v
30
R

受力分析： 质点在上升过程中受力有重力mg、
系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体系统）
牛顿
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发 现了太阳光是由7种不同颜色的光 合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与 莱布尼兹各自独立地发明了微积分， 给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献， 也是牛顿对整个自然科学的最重要 贡献是他的巨著《自然哲学的数学 原理》。这本书出版于1687年，书 中提出了万有引力理论并且系统总 结了前人对动力学的研究成果，后 人将这本书所总结的经典力学系统 称为牛顿力学。
d2y a y 2 d 2 sin t 2 y dt
2、求质点所受的力
d 2x d2y 由 m 2 Fxi , m 2 Fyi 得 dt dt
Fx max m 2 x, Fy may m 2 y
Fx max m 2 x, Fy may m 2 y
x
v
2 gR 2 (v 0 2 gR) x
2
可见，v 随着 x 的增加而减小。若 v02 2 gR 则在某一位置
x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若v02 2 gR 时，无论x 多大（甚至为∞）, 火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一 去不返 时（x ）的最小初速度
讨论： 求质点的轨迹方程： 从运动方程中消去 t，得
y
Fy
x2 y2 2 1 2 b d