2020年深圳市普通高中高三年级3月份线上统一测试数学(文科)试题
广东省深圳市2023-2024学年九年级下学期3月质量检测数学试题(33校联考)(含答案)
深圳市2024年初三年级3月质量检测数学（33校联考）一、选择题（每题3分，共30分）1．2024的倒数是 A．2024B．C．D．2．2023年“亚运双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为 A．B．C．D．3．第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是 A．B．C．D．4．如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为 A．B．C．D．5．“立身以立学为先，立学以读书为本．”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程 A．B．C．D．6．下列计算正确的是 ()2024-1202412024-+()61.310⨯71.310⨯80.1310⨯61310⨯()()x() 2200(1)728x+=2200(1)200(1)728x x+++=2200(1)728x x++=2200200(1)200(1)728x x++++=()A ．B ．C ．D ．7．对一组数据：4、6、、6、8，描述正确的是 A ．中位数是B ．平均数是5C ．众数是6D ．方差是78．如图，与位似，点为位似中心，，若的周长是5，则的周长是A ．10B ．15C ．20D ．259．，两地相距60千米，一艘轮船从地顺流航行至地所用时间比从地逆流航行至地所用时间少45分钟，已知船在静水中航行的速度为20千米时．若设水流速度为千米时，则可列方程为 A．B ．C ．D ．10．如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，；与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共5小题）11．在实数范围内分解因式： ．12．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换：①△，，；②〇236326a a a ⋅=020=326(4)16x x =2139-=-4-()4-ABC ∆DEF ∆O 2AD AO =ABC ∆DEF ∆()A B A B B A /x /(20)x <()6060320204x x -=-+6060320204x x -=+-6060452020x x -=+-6060452020x x-=-+ABCD BPC ∆BP CP AD E F BDDP BD CF H 12AE FC =15PDE ∠=︒PBC PCDS S ∆∆=12DHC BHC S S ∆∆=2DE PF FC =⋅()2318a -=(,)a b (a )(b a =-)b，，；③，，，按照以上变换例如：△〇，，，则〇等于 ．13．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，且，则的值为 ．14．如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，过上一点作，与相交于点，，则 ．15．如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值为 ．三．解答题（共55分）16．（5分）计算：．(a )(b a =-)b -(a Ω)(b a =)b -((12))(1=2)-((3,4))ΩA k y x=A AB y ⊥BC x 2ABC S ∆=k AOB ∠O OA OB CD C D 12CD E OE M //MN OA OB N 50MNB ∠=︒AOM ∠=(4,0)A B y AB AB ABC ∆OC OC 101|2|((2024)6cos304π---+--︒17．（6分）化简求值：，其中为数据4，5，6，5，3，2的众数．18．（8分）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：成绩分频数人频率100.1150.3540请根据图表信息解答下列问题：（1）求，，的值；（2）补全频数分布直方图；（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．19．（8分）如图，是的外接圆，直径与交于点，点在的延长线上，连接，．（1）求证：是的切线；（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使成立，并说明理由；①；②；③；你选的条件是： ．22112()242x x x x x x ++-÷---x //6070x <…7080x <…b 8090x <…a 90100x ……c a b c O ABC ∆BD AC E F BC DF F BAC ∠=∠DF O //DF AC AB AC = AD DC=CAD ABD ∠=∠20．（8分）某经销商销售一种成本价为10元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元．如图，在销售过程中发现销量与售价（元之间满足一次函数关系．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）设销售这种商品每天所获得的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？21．（9分）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米．（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程；（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；（3）若米，灌溉车行驶时喷出的水 （填“能”或“不能” 浇灌到整个绿化带，并说明理由．/kg /kg ()y kg x /)kg y x x W W x /kg H 1.2h =DEFG 2DE =0.7EF =A OD d OC x B 3.2d =)22．（11分）在矩形中，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点．（1）当矩形是正方形时，以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．①如图1，若点在线段上，则线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ；②如图2，若点在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点在线段上，以和为邻边作平行四边形，是中点，连接，，，求的最小值．ABCD E BC AE B BF AE ⊥G CDF ABCD F ABCD CFH EH E BC AE EH E BC E BC BE BF BEHF M BH GM 3AB =2BC =GM参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．2024的倒数是 A．2024B．C．D．【解答】解：2024的倒数是；故选：．2．2023年“亚运双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为 A．B．C．D．【解答】解：，故选：．3．第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是 A．B．C．D．【解答】解：、图形不是轴对称图形，不符合题意；、图形是轴对称图形，符合题意；、图形不是轴对称图形，不符合题意；、图形不是轴对称图形，不符合题意．故选：．4．如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为 ()2024-1202412024-12024C+()61.310⨯71.310⨯80.1310⨯61310⨯713000000 1.310=⨯B()ABCDB()A ．B ．C ．D ．【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：．故选：．5．“立身以立学为先，立学以读书为本．”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程 A ．B ．C ．D ．【解答】解：第一个月进馆200人次，且进馆人次的月增长率为，第二个月进馆人次，第三个月进馆人次．根据题意得：．故选：．6．下列计算正确的是 A ．B ．C ．D．C x ()2200(1)728x +=2200(1)200(1)728x x +++=2200(1)728x x ++=2200200(1)200(1)728x x ++++= x ∴200(1)x +2200(1)x +2200200(1)200(1)728x x ++++=D ()236326a a a ⋅=020=326(4)16x x =2139-=-【解答】解：．，此选项计算错误，故此选项不符合题意；．，此选项计算错误，故此选项不符合题意；．，此选项计算正确，故此选项符合题意；．，此选项计算错误，故不符合题意；故选：．7．对一组数据：4、6、、6、8，描述正确的是 A ．中位数是B ．平均数是5C ．众数是6D ．方差是7【解答】解：对一组数据4、6、、6、8，将这组数据从小到大排列为，4，6，6，8，最中间的数为6，所以中位数为6，选项描述错误，不符合题意；其平均数为，选项描述错误，不符合题意；这组数据中，6出现了2次，出现的次数最多，所以众数为6，选项描述正确，符合题意；这组数据的方差为，故选项描述错误，不符合题意．故选：．8．如图，与位似，点为位似中心，，若的周长是5，则的周长是A ．10B ．15C ．20D ．25【解答】解：与位似，，，，，的周长：的周长，的周长是5，的周长是15，故选：．9．，两地相距60千米，一艘轮船从地顺流航行至地所用时间比从地逆流航行至地所用时A 235326a a a ⋅= ∴B 021= ∴C 326(4)16x x = ∴D 2211339-==∴C 4-()4-4-4-A 4466845-++++=B C 22221[(44)(44)2(64)(84)]17.65⨯--+-+⨯-+-=D C ABC ∆DEF ∆O 2AD AO =ABC ∆DEF ∆()ABC ∆ DEF ∆ABC DEF ∴∆∆∽//AB DE ABO DEO ∴∆∆∽∴13AB OA DE OD ==ABC ∴∆DEF ∆1:3=ABC ∆ DEF ∴∆B A B A B B A间少45分钟，已知船在静水中航行的速度为20千米时．若设水流速度为千米时，则可列方程为 A．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，得：．故选：．10．如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，；与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：为等边三角形，，，，，又，，，，，，在中，，，又，，故①正确；，，，，故②正确；，，，又与同高，，又，不是中点，，，故③错误；/x /(20)x <()6060320204x x -=-+6060320204x x -=+-6060452020x x -=+-6060452020x x-=-+6060320204x x -=-+A ABCD BPC ∆BP CP AD E F BDDP BD CF H 12AE FC =15PDE ∠=︒PBC PCDS S ∆∆=12DHC BHC S S ∆∆=2DE PF FC =⋅()BPC ∆ PB PC ∴=60PBC PCB ∠=∠=︒//FE BC FEP CPB ∴∆∆∽PB PC = PE PF ∴=FC EB ∴=60PBC ∠=︒ 90ABC ∠=︒30ABE ∴∠=︒Rt ABE ∆30ABE ∠=︒12AE BE ∴=BE FC = 12AE FC ∴=PC BC CD == 906030PCD ∠=︒-︒=︒18030752DPC PDC ︒-︒∴∠=∠==︒907515PDE ADC PDC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//FD BC FDH CBH ∴∆∆∽∴DH FD BH BC =BHC ∆ DHC ∆∴DHC BHC S DH S BH∆∆= DH FD BH BC =F AD ∴12DH FD BH BC =≠∴12DHC BHC S S ∆∆≠过点作于，过点作于，由题意可得，，，，，故④正确，，，，，，又，，，故⑤正确，综上所述：正确的结论有4个，故选：．二．填空题（共5小题）11．在实数范围内分解因式： ．【解答】解：．故答案为：．12．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换：①△，，；②〇，，；③，，，按照以上变换例如：△〇，，，则〇等于 ．【解答】解：〇〇，，．D DM CP ⊥M P PN BC ⊥N 30DCM ∠=︒30CPN ∠=12DM CD ∴=PN ==∴PBCPCD S S ∆∆==180180607545EPD EPF DPC ADB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒=∠ PED PED ∠=∠PED DEB ∴∆∆∽∴PE ED ED BE=2ED PE BE ∴=⋅PE PF = BE FC =2DE PF FC ∴=⋅D 2318a -=3(a a +2318a -23(6)a =-3(a a =+-3(a a -(,)a b (a )(b a =-)b (a )(b a =-)b -(a Ω)(b a =)b -((12))(1=2)-((3,4))Ω(3,4)-((3,4))Ω=(34)(3-=-4)故答案为：．13．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，且，则的值为 ．【解答】解：设点的坐标为，点在第二象限，，，，，是反比例函数的图象上一点，，故答案为：．14．如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，过上一点作，与相交于点，，则 ．【解答】解：，，由题意可知：平分，．故答案为：．15．如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值为 2 ．(3,4)-A k y x=A AB y ⊥BC x 2ABC S ∆=k 4-A (,)x y A 0x ∴<0y >111||||2222ABC S AB OB x y xy ∆∴=⋅=⋅=-=4xy ∴=-A k y x =4k xy ∴==-4-AOB ∠O OA OB C D C D 12CD E OE M //MN OA OB N 50MNB ∠=︒AOM ∠=25︒//MN OA 50AOB MNB ∴∠=∠=︒OM AOB ∠∴1252AOM MOB AOB ∠=∠=∠=︒25︒(4,0)A B y AB AB ABC ∆OC OC【解答】解：如图，以为对称轴作等边，延长交轴于，是等边三角形，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，点在上移动，当时，有最小值，此时，．故答案为：2．三．解答题（共7小题）16．计算：．【解答】解：原式OA AMN ∆CN x E ABC ∆ AMN ∆AM AN ∴=AB AC =MAN BAC ∠=∠60AMN ANM ∠=︒=∠BAM CAN ∴∠=∠()ANC AMB SAS ∴∆≅∆60AMB ANC ∴∠=∠=︒60ENO ∴∠=︒4AO = 60AMB ∠=︒AO BO ⊥MO NO ∴==60ENO ∠=︒ 90EON ∠=︒30AEN ∴∠=︒4EO ==∴C EN ∴OC EN '⊥OC '122O C EO '==101|2|((2024)6cos304π----+--︒2416=++-241=++-3=-17．化简求值：，其中为数据4，5，6，5，3，2的众数．【解答】解：，为数据4，5，6，5，3，2的众数，，当时，原式．18．某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：成绩分频数人频率100.1150.3540请根据图表信息解答下列问题：（1）求，，的值；（2）补全频数分布直方图；（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．【解答】解：（1）调查人数为：（人，，，22112()242x x x x x x ++-÷---x 22112()242x x x x x x ++-÷---2(1)(2)(12)2(2)2x x x x x x +---=÷--22(1)12(2)2x x x x +-=÷--2(1)22(2)(1)(1)x x x x x +-=⋅-+-12(1)x x +=-122x x +=-x 5x ∴=∴5x =516325284+===⨯-//6070x <…7080x <…b 8090x <…a 90100x ……c a b c 100.1100÷=)151000.15b =÷=0.3510035a =⨯=，答：，，；（2）由各组频数补全频数分布直方图如下：（3）用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：共有6种等可能出现的结果，其中1男1女的有4种，所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是．19．如图，是的外接圆，直径与交于点，点在的延长线上，连接，．（1）求证：是的切线；（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使成立，并说明理由；①；②；③；你选的条件是： ②或③ ．【解答】（1）证明：是的直径，，即，401000.4c =÷=35a =0.15b =0.4c =4263=O ABC ∆BD AC E F BC DF F BAC ∠=∠DF O //DF AC AB AC = AD DC=CAD ABD ∠=∠BD O 90BAD ∴∠=︒90BAC CAD ∠+∠=︒，，，，是的半径，是的切线；（2）解：选②或③，若选②，理由：，是的直径，，由（1）可知，；若选③，理由：，，又是的直径，，，．20．某经销商销售一种成本价为10元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元．如图，在销售过程中发现销量与售价（元之间满足一次函数关系．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）设销售这种商品每天所获得的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设关系式为，把，代入得：，解得：，，BAC F ∠=∠ CAD DBF ∠=∠90DBF F ∴∠+∠=︒BD DF ∴⊥OD O DF ∴O AD CD=BD O AC BD ∴⊥DF BD ⊥//AC DF ∴CAD ABD ∠=∠AD CD ∴=BD O AC BD ∴⊥DF BD ⊥ //AC DF ∴/kg /kg ()y kg x /)kg y x x W W x /kg y kx b =+(12,36)(17,26)12361726k b k b +=⎧⎨+=⎩2k =-60b =与的之间的函数关系式为，自变量的取值范围为：．（2），，抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而增大，，当时，（元，答：与之间的函数关系式为，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．21．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米．（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程；（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；（3）若米，灌溉车行驶时喷出的水 不能 （填“能”或“不能” 浇灌到整个绿化带，并说明理由．【解答】解：（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点，设，又抛物线过点，y ∴x 260y x =-+1018x ……22(10)(260)2806002(20)200W x x x x x =--+=-+-=--+20a =-< 20x =y x 1018x ……∴18x =22(1820)200192W =--+=最大)W x 22(20)200W x =--+H 1.2h =DEFG 2DE =0.7EF =A OD d OC x B 3.2d =)(2,1.6)A 2(2) 1.6y a x =-+ (0,1.2)，，上边缘抛物线的函数解析式为，当时，，解得，（舍去），喷出水的最大射程为；（2）对称轴为直线，点的对称点为，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，点的坐标为；（3）不能，理由如下：米，米，米，点的坐标为，当时，，当时，随的增大而减小，灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．22．在矩形中，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点．（1）当矩形是正方形时，以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．①如图1，若点在线段上，则线段与之间的数量关系是 相等 ，位置关系是 ；②如图2，若点在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点在线段上，以和为邻边作平行四边形，是中点，连接，1.24 1.6a ∴=+110a ∴=-∴21(2) 1.610y x =--+0y =210(2) 1.610x =--+16x =22x =-∴OC 6m 2x =∴(0,1.2)(4,1.2)∴4m ∴B (2,0) 3.2OD d == 2DE =0.7EF =∴F (5.2,0.7)5.2x =2172(5.22) 1.60.5760.710125y =--+==<2x >y x ∴ABCD E BC AE B BF AE ⊥G CD FABCD F ABCD CFH EH E BC AE EH E BC E BC BE BF BEHF M BH GM，，求的最小值．【解答】解：（1）①四边形为正方形，，，即，，，，又，，，，，为等腰直角三角形，，，而，，四边形为平行四边形，且，，，故答案为：相等；垂直；②成立，理由是：当点在线段的延长线上时，同理可得：，，，为等腰直角三角形，，，而，，四边形为平行四边形，且，，；（2）连接，四边形是平行四边形，，，，要最小，即最小，，，3AB =2BC =GM ABCD AB BC ∴=90ABC BCD ∠=∠=︒90BAE AEB ∠+∠=︒AE BF ⊥ 90CBF AEB ∴∠+∠=︒CBF BAE ∴∠=∠AB BC =90ABE BCF ∠=∠=︒()ABE BCF ASA ∴∆≅∆BE CF ∴=AE BF =FCH ∆ FC FH BE ∴==FH FC ⊥CD BC ⊥//FH BC ∴∴BEHF //BF EH ∴BF EH =AE EH ∴=AE EH ⊥E BC ()ABE BCF ASA ∆≅∆BE CF ∴=AE BF =FCH ∆ FC FH BE ∴==FH FC ⊥CD BC ⊥//FH BC ∴∴BEHF //BF EH ∴BF EH =AE EH ∴=AE EH ⊥EF BEHF EM FM ∴=90EGF ∠=︒ 12GM EF ∴=∴GM EF 3AB = 2BC =设，则，同（1）可得：，又，，，即，，，设，当时，取最小值，，故．BE x =2CE x =-CBF BAE ∠=∠90ABE BCF ∠=∠=︒ ABE BCF ∴∆∆∽∴AB BE BC CF =32x CF =23x CF ∴=EF ∴==213449y x x =-+1813x =y 1613EF ∴GM。
精品解析：2024年广东省深圳市中考数学试题(解析版)
数学学科试卷
说明：
1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置
上，并将条形码粘贴好．
2．全卷共 6 页．考试时间 90 分钟，满分 100 分．
3．作答选择题 1-8，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框
涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题 9—20，用黑色字迹的
钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答
案一律无效．
4．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分 选择题
.一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每小题有四个选项，其中只有一个是
B、 m2n m = m3n ，故该选项符合题意； C、 3mn − m 3n ，故该选项不符合题意；
D、 (m −1)2 = m2 − 2m +1 m2 −1，故该选项不符合题意；
故选：B． 4. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律， 二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、 小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大 寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
∴扇形 EOF 的面积为 90 42 = 4 ， 360
故答案为： 4 ．
12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 AOCB 为菱形，tan AOC = 4 ，且点 A 落在反比例函数 y = 3 上，
3
x
点 B 落在反比例函数 y = k (k 0) 上，则 k = ________．
2024年广东省深圳市外国语学校中考模拟数学试题(解析版)
广东省深圳市外国语学校2023-2024学年九年级下学期数学3月月考模拟试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.2022的绝对值是（）A.2022B.2022-C.12022D.12022-【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的含义可得答案．【详解】解：2022的绝对值是2022；故选A【点睛】本题考查的是绝对值的含义，熟练的求解一个数的绝对值是解本题的关键．2.如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（）A.核B.心C.数D.养【答案】B【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此解答即可．【详解】解：解：根据正方体展开图的特征，可知“数”与“养”是相对面，“素”与“核”是相对面，因此与“学”字相对的是“心”字．故选B ．【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，掌握正方体表面展开图的特点是解题的关键．3.“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的60mate 系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为60mate 系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（）A.70.1610⨯ B.61.610⨯ C.71.610⨯ D.61610⨯【答案】B【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤＜，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．【详解】解：1600000用科学记数法表示为61.610⨯．故选：B ．4.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm ）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（）A.24，25B.23，23C.23，24D.24，24【答案】C【解析】【分析】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的关键．根据众数、中位数的定义进行解答即可．【详解】这组数据中，出现次数最多的是23，因此众数是23，将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，由此中位数是24．故选C ．5.下列运算中，正确的是（）A.()232(3)6x x x -⋅-=- B.624x x x ÷=C.()32628x x -= D.222()x y x y -=+【答案】B【解析】【分析】本题考查了单形式乘以单项式，幂的运算，完全平方公式．根据单项式的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式计算即可判定．【详解】解：A 、()2332(3)66x x x x -≠⋅-=-，本选项不符合题意；B 、624x x x ÷=，本选项符合题意；C 、()3266288x x x -=-≠，本选项不符合题意；D 、22222()2x y x xy y x y -=-+≠+，本选项不符合题意；故选：B ．6.一把直尺和一个含30︒角的三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若128∠=︒，则2∠的度数是（）A.62︒B.56︒C.45︒D.28︒【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和差关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质和角的和差关系可得答案．【详解】解：如图，由题意得：a b ，∴23∠∠=，128∠=︒，90ACB ∠=︒，∴3180162ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴2362∠=∠=︒，故选：A ．7.下列命题是真命题的是（）A.等边三角形是中心对称图形B.对角线相等的四边形是平行四边形C.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等D.圆的切线垂直于过切点的直径【答案】D【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用中心对称图形、平行四边形的判定、切线的性质及三角形的内心的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、等边三角形不是中心对称图形，原说法错误，是假命题，不符合题意；B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误，是假命题，不符合题意；C 、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题，不符合题意；D 、圆的切线垂直于过切点的直径，故正确，是真命题，符合题意．故选：D ．8.如图，无人机在空中A 处测得某校旗杆顶部B 的仰角为30︒，底部C 的俯角为60︒，无人机与旗杆的水平距离AD 为6m ，则旗杆BC 的高为（）A.(3m +B.12m C. D.(6m+【答案】C【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：AD BC ⊥，然后分别在Rt △ABD 和Rt ACD △中，利用锐角三角函数的定义求出BD 和CD 的长，进而求出该旗杆的高度即可．【详解】解：根据题意可得：AD BC ⊥，在Rt △ABD 中，30BAD ∠=︒，6m AD =，∴3tan3063BD AD =⋅︒=⨯，在Rt ACD △中，60DAC ∠=︒，∴tan60CD AD =⋅︒=，∴BC BD CD =+==，故选：C ．9.《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有x 升，薄酒有y 升，根据题意列方程组为（）A.1713193x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ B.1913173x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ C.1913173x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ D.1713193x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二元一次方程组．根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组即可．【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得：1713193x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩故选：A ．10.如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到AB C ''△，此时点B 恰在边AC 上，若2AB =，5AC =，则B C '的长为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得2AB AB '==，即可求解．【详解】解：∵将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到AB C ''△，2AB AB '∴==，∴==52=3B C AC AB''--．故选：B ．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11.分解因式：2233x y -=____．【答案】3()()x y x y +-【解析】【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可得解．【详解】解：()()()2222333=3x y x yx y x y -=-+-，故答案为：3()()x y x y +-．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先要提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12.在一个不透明的空袋子里，放入分别标有数字1，2，3，5的四个小球（除数字外其他完全相间），从中随机摸出2个小球，摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率是_______________．【答案】12【解析】【分析】列出表格找出所有可能的情况，再找出其中符合题意的情况，最后利用概率公式计算即可．【详解】列表格如下：123511+2=31+3=41+5=622+1=32+3=52+5=733+1=43+2=53+5=855+1=65+2=75+3=8由表可知共有12种情况，其中摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的有6种情况，故摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率为61122P ==．【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确的列出表格或画出树状图是解答本题的关键．13.已知关于x 的一元二次方程()21410m x x --+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_______．【答案】5m <且1m ≠【解析】【分析】由一元二次方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m 的不等式，则可求得m 的取值范围．【详解】解：根据题意得：2416412040（）=b ac m m ∆=-=--->，且10m -≠，解得：5m <且1m ≠．故答案为：5m <且1m ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．14.如图，已知正方形ABCD 的面积为4，它的两个顶点B ，D 是反比例函数()0,0k y k x x=>>的图象上两点，若点D 的坐标是(),a b ，则a b -的值为______．【答案】2-【解析】【分析】利用正方形的性质求得点B 坐标是(a +2，b -2)，根据点D 、点B 在反比例函数k y x =上，列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD 的面积等于4，∴AB =BC =CD =DA =2，∵AD ∥BC ∥y 轴，CD ∥AB ∥x 轴，又点D 坐标是(a ，b )，∴点A 坐标是(a ，a -2)，点B 坐标是(a +2，b -2)，∵点D 、点B 在反比例函数k y x=上，∴()()22k ab k a b =⎧⎨=+-⎩，∴()()22ab a b =+-，∴2a b -=-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．15.如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，边AC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，BF AC ⊥于点F ，连接AD 交BF 于点G ，若6BC =，18GF BG =，则DE 的长为_______．【答案】103【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．证明AFG CFB ∽，得出19AG FG BC BF ==，AGF CBF ∠=∠，求出AG ，AD 的长，证明CDE CBF V V ∽，得出DE CD BF BC=，则可得答案．【详解】解： 18GF BG =，∴19GF BF =， DE 是的AC 垂直平分线，∴AD CD =，∴C DAC ∠=∠，BF AC ⊥，∴90BFC AFG ∠=∠=︒，∴AFG CFB ∽，∴19AG FG BC BF ==，AGF CBF ∠=∠，∴23AG =， AGFBGD ∠=∠，∴BGD DBG ∠=∠，∴GD BD =，设GD BD x ==，∴263x x -=+，∴83x =，∴83GD BD ==，∴103AD CD ==，∴2AB ===，∴AC ===， 1122ABC S AB BC AC BF == ，∴AB BC BF AC === ， BF AC ⊥，DE AC ⊥，∴DE BF ∥，∴CDE CBF V V ∽，∴DE CD BF BC=，∴10336DE =，∴3DE =，故答案为：103．三．解答题（共7小题，满分55分）16.2146tan303-⎛⎫-+︒- ⎪⎝⎭．【答案】5-【解析】【分析】本题考查特殊角的锐角三角函数值、负整数指数幂、实数的混合运算，掌握相关运算法则，即可解题．2146tan303-⎛⎫-+︒- ⎪⎝⎭34693=-⨯-49=-=5-．17.先化简再求值2344111x xxx x⎛⎫-++-÷⎪--⎝⎭，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．【答案】22xx+-，5【解析】【分析】先因式分解，通分，去括号化简，再选值计算即可．【详解】2344111x xxx x⎛⎫-++-÷⎪--⎝⎭()224112x xx x⎛⎫--=⨯⎪--⎝⎭()()()222112x x xx x+--=⨯--x2x2+=-，当1x=，2x=时，分母为0，分式无意义，故不能取；当3x=时，2325232xx++==--．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分是解题的关键．18.为了解落实《陕西省大中小学劳动教育实践基地建设指导意见》的实施情况，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为五组：A组“3t<”，B组“35t≤<”，C组“57t≤<”，D组“79t≤<”，E组“9t≥”，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是_______，B组所在扇形的圆心角的大小是_______，将条形统计图补充完整；（2）这次抽样调查中平均每周劳动时间的中位数落在_______组：（3）该校共有2000名学生，请你估计该校学生平均每周劳动时间不少于7h的学生人数.【答案】（1）100，108︒，统计图见解析（2）B（3）300【解析】【分析】（1）根据D组的人数除以占比得出样本的容量，根据B组的人数除以总人数乘以360︒得出B组所在扇形的圆心角的大小，进而根据总人数求得C组的人数，补全统计图即可求解;（2）根据中位数的定义即可求解；（3）根据样本估计总体，用2000乘以不少于7h的学生人数的占比即可求解．【小问1详解】解：这次抽样调查的样本容量是1010%=100÷，B组所在扇形的圆心角的大小是30360=108100︒⨯︒，C组的人数为1002530105=30----（人），故答案为：100，108︒．补充条形统计图如图所示，【小问2详解】解；∵253055+=，中位数为第50个与第51个数的平均数，∴中位数落在B 组，故答案为：B ．【小问3详解】解：估计该校学生平均每周劳动时间不少于7h 的学生人数为1052000=300100+⨯（人）.【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19.如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的弦，C 是AB 延长线上一点，过点B 作BE CD ⊥交CD 于E ，交O 于F ，2EBC DAC ∠∠=．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若3cos 5ABF ∠=，O 的半径为5，求BC 的长．【答案】（1）见解析（2）103BC =【解析】【分析】（1）连接OD ，由等腰边对等角，三角形外角定理，可得2EBC DAC ∠∠=，于是DOC EBC ∠=∠，得到BE OD ∥，进而OD CD ⊥，即可得证，（2）由BE OD ∥，3cos cos 5DOC ABF ∠=∠=，根据余弦定义，可求OC ，进而可求BC ，本题考查了，切线的判定，平行线的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．【小问1详解】解：连接OD ，∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴2DOC DAO ADO DAO ∠=∠+∠=∠，∵2EBC DAC ∠∠=，∴DOC EBC ∠=∠，∴BE OD ∥，∵BE CD ⊥，∴OD CD ⊥，∴CD 是O 的切线，【小问2详解】解：由（1）得BE OD ∥，∴DOC FBA ∠=∠，∵OD CD ⊥，∴3cos cos 5DOC ABF ∠=∠=，∴35OD OC =，即：535OC =，解得：253OC =，∴2510533BC OC OB =-=-=，故答案为：103BC =．20.某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．（1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？【答案】（1）每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元（2）购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用．（1）设每个乙款篮球的进价为x 元，则每个甲款篮球的进价为()30x +元，根据商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；（2）设该商店本次购进甲款篮球m 个，则购进乙款篮球()210m -个，根据乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量，列出关于m 的一元一次不等式组，解之求出m 的取值范围，再设商店共获利w 元，利用总利润=每个的利润×销售数量（购进数量），得出w 关于m 的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【小问1详解】解：设每个乙款篮球的进价为x 元，则每个甲款篮球的进价为()30x +元，根据题意得：26000302400 xx =⨯+，解得：120x =，经检验，120x =是所列方程的解，且符合题意，3012030150x ∴+=+=，答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；【小问2详解】解：设该商店本次购进甲款篮球m 个，则购进乙款篮球()210m -个，根据题意得：210m m -≤，解得：10m ≤，设商店共获利w 元，则()302021070200w m m m =+-=-，即70200w m =-，700> ，∴w 随m 的增大而增大，且10m ≤，∴当10m =时，w 取得最大值，答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大．21.某排球运动员在原点O 处训练发球，MN 为球网，AB 为球场护栏，且MN ，AB 均与地面垂直，球场的边界为点K ，排球（看作点）从点O 的正上方点()0,2P 处发出，排球经过的路径是抛物线L 的一部分，其最高点为G ，落地点为点H ，以点O 为原点，点O ，M ，H ，K ，A 所在的同一直线为x 轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点N 的坐标为()9,2.4（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）．（1）求抛物线L 的函数表达式；（2）通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？（3）由于运动员作出调整改变了发球点P 的位置，使得排球在点K 落地后立刻弹起，又形成了一条与L 形状相同的抛物线L '，且最大高度为1m ．若排球沿L '下落时（包含最高点）能砸到球场护栏AB ，直接写出m 的最大值与最小值的差．【答案】（1）()216336y x =--+（2）发出后的排球能越过球网，不会出界，理由见解析（3）m 的最大值与最小值的差为6【解析】【分析】本题考查二次函数与实际问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质．（1）根据抛物线L 的最高点()6,3G 设抛物线L 的函数解析式为()263y a x =-+，把点()0,2P 代入即可求得a 的值，从而解答；（2）把9x =代入抛物线解析式中，求得排球经过球网时的高度，从而根据球网高度即可判断排球能否越过球网；把0y =代入抛物线解析式中，求得点H 的坐标，根据边界点K 的位置即可判断排球是否出界；（3）根据抛物线L '的形状与抛物线L 相同，且最大高度为1m ．可设抛物线L '的解析式为：()21136y x k =--+，把点()18,0K 代入可求得抛物线L '解析式为()21018136k =--+，从而得到排球反弹后排球从最高处开始下落，护栏在距离原点24m 处，就会被排球砸到，即24m ≥，在排球着地点A 处砸到护栏，把0y =代入解析式，求解可得到30m ≤，从而可解答．【小问1详解】∵排球经过的路径是抛物线L 的一部分，其最高点为()6,3G ，∴抛物线L 的顶点坐标为()6,3，设抛物线L 的解析式为：()263y a x =-+，∵抛物线L 过点()0,2P ，∴2363a =+，解得：136a =-，∴抛物线L 的函数表达式为()216336y x =--+；【小问2详解】∵当9x =时，()21963 2.75 2.436y =--+=>，∴发出后的排球能越过球网．∵当0y =时，()2163036x --+=，解得：16x =+，26x =-∴点H 的坐标为()6+，∵618+<∴不会出界．综上，发出后的排球能越过球网，不会出界；【小问3详解】∵抛物线L '的形状与抛物线L 相同，且最大高度为1m ．设抛物线L '的解析式为：()21136y x k =--+，∵抛物线L '过点()18,0K ，∴()21018136k =--+．解得：112k =（不合题意，舍去），224k =，∴()2124136y x =--+，∴抛物线L '的最高点坐标为()24,1∵排球从最高处开始下落，护栏在距离原点24m 处，就会被排球砸到．∴24m ≥；∵排球落地时，砸到点A ．把0y =代入函数()2124136y x =--+，得()21024136x =--+，解得：118x =（不合题意，舍去），230x =．∴30m ≤．∴m 的最大值与最小值的差为：30246-=．22.（1）【问题探究】如图1，正方形ABCD 中，点F 、G 分别在边BC 、CD 上，且AF BG ⊥于点P ，求证：AF BG =；（2）【知识迁移】如图2，矩形ABCD 中，4,8AB BC ==，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，且EG FH ⊥于点P ，若48EG HF ⋅=，求HF 的长；（3）【拓展应用】如图3，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，6AB =，点E 在直线AB 上，4BE =，AF D E ⊥交直线BC 或CD 于点F ，请直接写出线段FC 的长．【答案】（1）见解析（2）HF 的长为（3）线段FC 的长为127或1213【解析】【分析】（1）由正方形的性质，同角的余角相等即可证明()ASA ABF BCG ≌，由全等三角形的性质即可得证；（2）作EM DC ⊥于点M ，交FH 于点J ，作HN BC ⊥于点N ，交EM 于点I ，根据四边形ABCD 是矩形，依次可证四边形EBCM 和四边形ABNH 是矩形，进而可证HNF EMG ∽，可得2EG HF =，再由48EG HF ⋅=，求解即可；（3）分两种情况讨论，当E 在AB 的延长线上时，过A 作AM CD ⊥于M ，延长BA ，过D 作DN AB ⊥于N ，AF 交DE 于Q ，由四边形ABCD 是菱形，可得6AD CD AB ===，60ADC ABC ∠=∠=︒，由含30︒的直角三角形的性质，再结合勾股定理可求出AM ND ==，由同角的余角相等可证END AMF ∽，可得EN ND AM FM=，求出FM ，进而求解即可；当E 在线段AB 上时，过A 做AH BC ⊥于H ，过E 作EG BC ⊥于G ，延长,GE DA 交于J ，设,AF DE 交于I ，由四边形ABCD 是菱形，6AD AB BC ===，由含30︒的直角三角形的性质，再结合勾股定理可求出EJ AH ==，由同角的余角相等可证DJE AHF ∽，可得DJ EJ AH HF=，进而可求出97HF =，由线段的和差关系求解即可．【详解】1） 四边形ABCD 是正方形，90ABC C ∴∠=∠=︒，AB BC =，90ABP CBG ∴∠+∠=︒，AF BG ⊥ ，90APB ∴∠=︒，90BAF ABP ∴∠+∠=︒，BAF CBG ∴∠=∠，()ASA ABF BCG ∴ ≌，AF BG ∴=．（2）作EM DC ⊥于点M ，交FH 于点J ，作HN BC ⊥于点N ，交EM 于点I ，则=90EMC EMG HNB HNF ∠∠=∠=∠=︒，如图，四边形ABCD 是矩形，4,8AB BC ==，90A B C D ∴∠=∠=∠=∠=︒，90B C EMC ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形EBCM 是矩形，8,EM BC EM BC ∴==∥，90HIJ HNF ∴∠=∠=︒，90A B HNB ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形ABNH 是矩形，4,HN AB ∴==90HIJ ∠=︒ ，90NHF EJH ∴∠+∠=︒，EG FH ⊥ ，90EPJ ∴∠=︒，90MEG EJH ∴∠+∠=︒，NHF MEG ∴∠=∠，90EMG HNF ∠=∠=︒ ，HNF EMG ∴ ∽，4182HF HN EG EM ∴===，2EG HF ∴=，48EG HF ⋅= ，2248HF ∴=，HF ∴=，（3）当E 在AB 的延长线上时，过A 作AM CD ⊥于M ，延长BA ，过D 作DN AB ⊥于N ，AF 交DE 于Q ，如图，则90N AMD AMC ∠=∠=∠=︒，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，6AD CD AB ∴===，60ADC ABC ∠=∠=︒，AB CD ∥，60DAN ADC ∴∠=∠=︒，90EAM MAN AMC ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMDN 是矩形，9030ADN DAN ∠=︒-∠=︒，132MD AN AD ∴===，46313EN BE AB AN ∴=++=++=，在Rt ADN △中，AM ND ====， AF D E ⊥，90EQA ∴∠=︒，90E EAQ ∴∠+∠=︒，90EAM ∠=︒ ，90MAF EAQ ∴∠+∠=︒，E MAF ∴∠=∠，90N AMC ∠=∠=︒ ，END AMF ∴ ∽，EN ND AM FM∴=，271313AM ND FM EN ⋅∴===，2712631313FC CD FM MD ∴=--=--=，当E 在线段AB 上时，过A 做AH BC ⊥于H ，过E 作EG BC ⊥于G ，延长,GE DA 交于J ，设,AF DE 交于I ，如图，AF D E ⊥，AH BC ⊥，EG BC ⊥，90AHB AHC AID BGE ∴∠=∠=∠=∠=︒，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，AD BC ∴∥，6AD AB BC ===，90,90,60J BGE DAH AHB EAJ ∴∠=∠=︒∠=∠=︒∠=︒，2AE AB BE =-=，9030,9030JEA EAJ BAH ABC ∴∠=︒-∠=︒∠=︒-∠=︒，。
驳论文的写法2023.12.14
驳论文的写法阅读下面材料,根据要求写作。
(60分)在这个特殊时期,全国人民正在进行一场特别的考试:疫情防控。
而作为高三学生的你,又迎来另一场特别的考试——深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试。
是的,这场考试有着很特别的地方:居家、线上、没有老师监考…因为特别,你会有特别的应对,崭新的思考,深刻的启发。
今后的人生中,还会有许多特别的考试,而你,就是那答卷人。
①有人说:有监考能保证考试的结果真实可信,希望父母参与监考;有人说:不需要监考,重在自觉,考试的过程更重要。
请你针对其中一个看法写篇驳论文。
②请你为《南方教育时报》的“教育众声”栏目写一篇关于这场线上考试的评论。
要求:结合材料,自选角度,确定立意,自拟标题;切合身份,贴合情境;符合文体特征;不要套作,不得抄袭;不得泄露个人信息:不少于800字。
驳论文可以分为四个写作步骤：树——辨——驳——结。
“树”就是摆出敌论，树靶子；“辨”就是辨析敌论中包含的合理成分，同时也指出其漏洞；“驳”就是展开议论，驳斥敌论，驳中有立，立中有驳；“结”就是做出结论。
有人说:有监考能保证考试的结果真实可信,希望父母参与监考;有人说:不需要监考,重在自觉,考试的过程更重要。
请你针对其中一个看法写篇驳论文。
看法1:有监考能保证考试的结果真实可信,希望父母参与监考。
驳论点参考：监考是否能完全保证考试结果的真实可信？若想作弊，摄像头下尚有办法，况家庭线上考试乎？考试是针对诚信道德的考试还是针对学科知识掌握情况的考试？求学阶段是试卷型考试，未来人生是问题型考试，身为答卷人的我们此刻可以被父母监考？未来呢？驳论而后要有立论：监考对保证考试效果固然有一定效果，然身为答卷人的我们更需要本心之诚信。
关联疫情之下国家及医护人员等答卷人的态度，是否有监考？看法2:不需要监考,重在自觉,考试的过程更重要。
驳论点参考：考生的年龄与心智的特点，可否保证完全自觉？监考主要对象是谁？自觉者还是不自觉者？监考的本质目的是什么？考试的过程固然重要，但是考试的目的是检测知识的掌握与理解，其结果岂可忽视？“抗击新冠疫情过程中国家与全民的表现很重要，但抗疫的最终结果更为重要。
2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(文科)参考答案
绝密★启用前 试卷类型：（A ）2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试文科数学参考答案与评分标准一、选择题1. B2. A3. D4. B5. D6. C7. B 8. B 9. C 10. B 11. B 12. B二、填空题： 13. 79− 14. 4π3 15. 4π 16. 415⎡⎫⎪⎢⎣⎭，. 12.【解析】设()()F x x f x =⋅，则()F x '=()()(1)x xf x f x x e '+=−，因此，(0,1)x ∈，()0F x '>，()F x 递增；(1,)x ∈+∞，()0F x '<，()F x 递减． 因为当0x →时，(0)0F →，且有(2)0F =．所以由()()F x x f x =⋅图象可知，当(0,2)x ∈时，()()0F x xf x =>，此时()0f x >．16.解析：为使2113F F AF PA ≤+恒成立，只需213F F ≥max 1)(AF PA +， 由椭圆的定义可得，a AF AF 221=+， 所以a PF a AF PA AF PA 22221+≤+−=+，当且仅当A F P ,,2三点共线时取等号(2F 在线段PA 上)，又点P 的轨迹是以O 为圆心，半径为a 2的圆，所以圆上点P 到圆内点2F 的最大距离为半径与2OF 的和，即c a PF +≤22， 所以≤+≤+a PF AF PA 221c a a c a +=++422，所以c a c +≥46，a c 45≥，54≥=a c e ， 又1<e ，所以C 的离心率的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡154，．三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
第17 ～2 1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分．17．（本小题满分12分）已知数列，14a =，1(1)4(1)n n n a na n ++−=+()n *∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项和为n T ． 解：（1）由1(1)4(1)n n n a na n ++−=+()n *∈N 可得，2128a a −=， ………………………………1分323212a a −=，434316a a −=，……，1(1)4n n na n a n −−−=，(2)n ≥ …………………………2分累加得1812+4n na a n −=++…， ……………………3分 所以(4+4)=4+812+4=2n n n na n ++…， …………………4分 得=22(2)n a n n +≥， ……………………5分由于14a =，所以=22()n a n n *+∈N ． ……………………6分（2）111111()(22)(24)22224n n n b a a n n n n +===−⋅++++，……………………9分 1111111111[()()()]()2466822242424n T n n n =−+−++−=−+++ 816n n =+．………………………………………12分 【命题意图】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项，注重思维的完整性和严密性，另外考查裂项相消法求数列的前n 项和．重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．18．（本小题满分12分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量i y 和月销售单价i x (1,2,3,,6)i =数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：{}n a（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：ˆ4105yx =−+，ˆ453y x =+和1043ˆ+−=x y ，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用c bx ax y ++=2模型拟合y 与x 之间的关系，可得回归方程为25.90875.0375.0ˆ2++−=x x y，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R 分别为9702.0和9524.0，请用2R 说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01.0）参考数据：91.806547≈.解：（1）已知变量x ，y 具有线性负相关关系，故乙不对，因为5.66987654=+++++=x ，796677479828389=+++++=y 代入甲和丙的回归方程验证甲正确． ……………………4分（2）因为9524.09702.0>且2R 越大，残差平方和越小，模拟的拟合效果越好，所以选用25.90875.0375.0ˆ2++−=x x y更好．（言之有理即可得分）……………7分 （3）由题意可知，x x x yx z 25.90875.0375.0ˆ23++−==，……………………8分 即x x x z 4361878323++−=，则436147892++−='x x z ，……………………9分令0='z ，则976547+−=x （舍去）或976547+=x ，……………………10分 令9765470+=x ，当()0,0x x ∈时，z 单调递增，当()∞+∈0x x 时z 单调递减， 所以当0x x =时，商品的月销售额预报值最大， ……………………11分因为91.806547≈，所以77.9≈x ，所以当77.9≈x 时，商品的月销售额预报值最大． ……………………12分19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为长方形，24AB BC ==，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，将ADF ∆沿AF 折到AD F '∆的位置，将BCE ∆沿CE 折到B CE '∆的位置，使得平面AD F '⊥底面AECF ，平面B CE '⊥底面AECF ，连接B D ''，（1）求证：B D ''//平面AECF ；（2）求三棱锥B 'AD F '−的体积．解：（1）证明：作D M '⊥AF 于点M ，作B N '⊥EC 于点N ，………………1分2AD D F ''==，2B C B E ''==，90AD F CB E ''∠=∠=︒，∴M ，N 为AF ，CE 中点，且D M '=2B N '2分平面AD F '⊥底面AECF ，平面AD F '底面AECF =AF ，D M '⊥AF ，D M '⊂平面AD F ' ∴ D M '⊥底面AECF ，……………………3分同理：B N '⊥底面AECF ，……………4分∴//D M 'B N '，∴四边形D B NM ''为平行四边形,∴//B D MN ''…………………5分B D ''⊄平面AECF ，MN ⊂平面AECF ，∴B D ''//平面AECF ．…………………6分（2）设点B '到平面AD F '的距离为h ，连接NF ．………………………………7分 //D M 'B N '，D M '⊂平面AD F '，B N '⊄平面AD F '∴B N '//平面AD F '，………………………………8分故点B '到平面AD F '的距离与点N 到平面AD F '的距离相等．………………………8分 N 为CE 中点，2EF CE ==，∴NF CE ⊥，//AF CE ，∴NF AF ⊥，…………………9分平面AD F '⊥底面AECF ，平面AD F '底面AECF =AF ，NF ⊂底面AECF ，∴NF ⊥平面AD F '，………………………10分∴点N 到平面AD F '的距离为2NF∴点B '到平面AD F '的距离2h 11分12222AD F S '∆=⨯⨯=， ∴三棱锥B 'AD F '−的体积112222333B AD F AD F V S h '''−∆=⨯=⨯．………………12分 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过点)0,2(F 的动圆恒与y 轴相切,FP 为该圆的直径，设点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点)4,2(A 的任意直线l 与曲线C 交于点M ,B 为AM 的中点，过点B 作x 轴的平行线交曲线C 于点D ,B 关于点D 的对称点为N ，除M 以外，直线MN 与C 是否有其它公共点？说明理由．【解析】（1）如图，过P 作y 轴的垂线，交y 轴于点H ，交直线2−=x 于点1P ，--------------------1分设动圆圆心为E ，半径为r ，则E 到y 轴的距离为r ，在梯形OFPH 中，由中位线性质得，22−=r PH ，----------------------2分 所以r r PP 22221=+−=，又r PF 2=， 所以1PP PF =，--------------------3分由抛物线的定义知，点P 是以)0,2(F 为焦点，直线2−=x 为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为x y 82=．------------------4分(2) 由)4,2(A 得，A 在曲线C 上，(i)当l 的斜率存在时，设)2)(,(111≠x y x M ，则1218x y =，AM 的中点)24,22(11++y x B ，即)22,12(11++y x B ，------------------5分 在方程x y 82=中令221+=y y 得21)22(81+=y x ， 所以)22,)22(81(121++y y D ．----------------------------6分 设),(22y x N ，由中点坐标公式22)22(411212+−+=x y x ， 又1218x y =，代入化简得212y x =， 所以)22,2(11+y y N ，--------------------------------7分 直线MN 的斜率为112111111428222)22(y y y y y x y y =−−=−+−， 直线MN 的方程为111)(4y x x y y +−=①， 将8211y x =代入①式化简得2411y x y y +=②，------------------------8分 将82y x =代入②式并整理得022112=+−y y y y ③， ③式判别式04)2(2121=−−=∆y y ，-----------------------------9分所以直线MN 与抛物线C 相切，所以除M 以外，直线MN 与C 没有其它公共点．--------------------------10分(ii)当l 的斜率不存在时，)4,2(−M ，)0,2(B ，)0,0(D ，)0,2(−N ，直线MN 方程为2−−=x y ，代入x y 82=得0442=+−x x ，-------------------11分 上式方程判别式0=∆，除M 以外，直线MN 与C 没有其它公共点．综上，除M 以外，直线MN 与C 没有其它公共点．-----------------------12分【命题意图】本题以直线与圆、直线与抛物线为载体，利用直线与圆的位置关系等知识导出抛物线的方程，借助几何关系，利用方程思想解决问题，主要考察抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和中点坐标公式等知识，考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养及思辨能力．21．（本小题满分12分）已知函数()()()21ln 1 1.f x x x ax a x =−++−−（1）当1a =−时，判断函数的单调性；（2）讨论()f x 零点的个数.解：（1）因为1a =−，所以()()()()21ln 211ln 1f x x x x x x x x =−−+−=−−+ 又()1ln 23f x x x x '=−−+，设()1ln 23h x x x x=−−+， -----------------2分 又()()()22211112x x h x x x x +−'=−+=，所以()h x 在()0,1为单调递增；在()1,+∞为单调递减， -----------------3分 所以()h x 的最大值为()10h =，所以()0f x '≤，所以()f x 在()0,+∞单调递减. -----------------4分（2）因为()()()1ln 1f x x x ax =−++所以1x =是()f x 一个零点设()ln 1g x x ax =++，所以()f x 的零点个数等价于()g x 中不等于1的零点个数再加上1. -----------------5分 （i ）当1a =−时，由（1）可知，()f x 单调递减，又1x =是()f x 零点，所以此时()f x 有且只有一个零点； -----------------6分（ii ）当0a ≥时，()g x 单调递增，又()10,g >()()()22131ln 1111x ax a x g x x ax ax x x −++−=++<++=++ ()01x << 又()()()()()2231431411ax a x a x a x a x x ++−<+++−=+−+⎡⎤⎣⎦ 所以104g a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，综上可知()g x 在()0,+∞有一个零点且()10g ≠，所以此时()f x 有两个零点； -----------------8分（iii ）又()1ax g x x+'=，所以当10a −<<，()g x 在10,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递减. ()g x 的最大值为11ln 0g a a ⎛⎫⎛⎫−=−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()()()212111011x x g x ax x x −−<++<+=++ 103g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又10a g e e⎛⎫=< ⎪⎝⎭ 所以()g x 在10,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭也有一个零点且()10g ≠. 所以此时()f x 共有3个零点； -----------------10分 （iv ）又()1ax g x x+'=，所以当1a <−时， ()g x 在10,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递减. ()g x 的最大值为11ln 0g a a ⎛⎫⎛⎫−=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 没有零点，此时()f x 共有1个零点.综上所述，当1a ≤−时，()f x 共有1个零点；当10a −<<时，()f x 共有3个零点；当0a ≥时，()f x 有两个零点. -----------------12分（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+−=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为θρsin 4=，所以θρρsin 42=，………………1分又θρθρsin ,cos ==y x ，………………2分代入上式化简可得，0422=−+y y x ，………………3分所以2C 的直角坐标方程4)2(22=−+y x ．………………4分（2）易得点P 的直角坐标为)0,32(−， 将⎪⎩⎪⎨⎧=+−=,sin ,cos 32ααt y t x 代入2C 的直角坐标方程，可得 012)sin 4cos 34(2=++−t t αα，………………5分22π4sin )48=[8sin()]4803ααα∆=+−+−>，解得πsin()3α+>πsin()3α+<不难知道α必为锐角，故πsin()3α+>， 所以ππ2π333α<+<，即π03α<<,………………6分 设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则ααsin 4cos 3421+=+t t ，1221=⋅t t ，………………7分所以1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义可得，1212π8sin()3PE PF t t t t α+=+=+=+，12EF t t =−==8分所以π28sin()3α⨯+，两边平方化简并解得πsin()13α+=，所以π2π6k α=+，k ∈Z , 因为π03α<<，所以π6α=，………………9分 所以直线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=,21,2332t y t x 消去参数t ，可得直线1C 的普通方程为0323=+−y x ．………………10分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明：（1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++−≤证明：（1）因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 3b a c a c b a b a c b c=++++++3≥+ （当且仅当13a b c ===时，等号成立）. ………………5分 （2）（证法一）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =−−，且10a −>，10b −>，10c −>，所以ac bc ab abc ++−()a b ab c ab =+−+()1a b ab a b ab =+−−−+（）深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 11 页（共11页） (1)(1)()b a a b =−−+(1)(1)(1)a b c =−−−3(1)(1)(1)8327a b c −+−+−⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦， 所以8.27ac bc ab abc ++−≤ （当且仅当13a b c ===时，等号成立）. ………………10分 （证法二）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =−−，且10a −>，10b −>，10c −>，()1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc ++−=−+++++−()()()()1111a b a c a bc a =−+−+−+−()()11a b c bc =−−++⎡⎤⎣⎦()()()111a b c =−−− ()338327a b c −++⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦ 所以8.27ac bc ab abc ++−≤ （当且仅当13a b c ===时，等号成立）. ………………10分 【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．。
2024年广东省深圳市高三一模数学试题及答案
2024年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共40分。
二、选择题：每小题6分，共18分。
说明：第9、10题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错得0分；第11题全部选对得6分，每选对1个得2分，有选错得0分．三、填空题：每小题5分，共15分。
12．； 13 14．18． 四、解答题：15．（13分）证明：（1）设等差数列{}n S n 的公差为d ，则41341S S d =+，即135S d +=，①………………1分 因为21214S a a S =+=+，所以由2121S S d =+，得124S d +=．②…………………………2分由①、②解得12S =，1d =，所以1n S n n=+，即(1)n S n n =+，……………………………3分当2n …时，1(1)(1)2n n n a S S n n n n n −=−=+−−=，当时，112a S ==，上式也成立，所以*2()n a n n =∈N ，………………………………5分因为当2n …时，12n n a a −−=，所以数列{}n a 是等差数列．…………………………………6分解：（2）由（1）可知+122242n n n n b a n n b a n n +===++，…………………………………………………7分 当2n …时，12112112112=613(1)n n n n n b b b n n b b b b b n n n n −−−−−⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++……， π3−1n =因为16b =满足上式，所以*12()(1)n b n n n =∈+N ． ……………………………………………9分 1111111212[(1)()()]12(1)12223111n T n n n n =−+−++−=⨯−=−+++， ……………………11分 因为当*121n ∈+N 时，，，3，5，11，所以{6,8,9,10,11}M =． …………………13分 16．（15分）证明：（1）不妨设3AD AP ==， ∵120PAD ∠=︒，2DM MP =，∴33DP =，23DM =，3PM =， ………………………………………………………1分 由余弦定理得222cos303AM AP MP AP MP =+−⋅︒=，在ADM △中，222AD AM DM +=，∴MA AD ⊥， …………………………………………2分 ∵平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD平面PAD AD =，MA ⊂平面PAD ， ∴MA ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，∴MA BD ⊥，……………………………………………………………4分 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，…………………………………………………………5分 又∵AC MA A =，且AC ⊂平面ACM ，MA ⊂平面ACM ，∴BD ⊥平面ACM ． ……6分解：（2）在平面ABCD 内，过点B 作AD 的垂线，垂足为N ， ∵平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD 平面PAD AD =， ∴BN ⊥平面ADP ，…………………………………………7分 又∵四边形ABCD 是菱形，60ADC ∠=︒，∴30BDA ∠=︒， ∴ACD △,ABC △均为等边三角形，………………………8分 以点A 为坐标原点，AD ，AM 及过点A 平行于NB 的直线分别 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系（如图），则(0,0,0)A ，333(,0,)22B −，(3,0,0)D ，333(,,0)22P −，……………………………9分 由（1）BD ⊥平面ACM ，∴933(,0,)22BD =−为平面ACM 的一个法向量， …………………………………………10分 设平面ABP 的法向量为(,,)x y z =m ，1n =2x P BCMDzy AN则0,0,AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即30,230,2x x y ⎧−+=⎪⎪⎨⎪−+=⎪⎩……………………………………………………………11分令x ==m ， ………………………………………………………………12分∵|cos ,|BD <>==m …………………………………………………………14分 ∴平面ACM 与平面ABP．……………………………………………15分 17．（15分）解：（1）由题可知332211()(1)3313()24f αααααα=+−=−+=−+， …………………………2分 因为01α<<，所以当12α=时，()f α的最小值为14． ……………………………………4分 （2）由题设知，X 的可能取值为1，2，3，4．………………………………………………5分①当1X =时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．因此，212112128(1)3333333381P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，……………………………………………………6分 ②当2X =时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，222221212112364(2)()2()2()()433333333819P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯==，………………………8分③当3X =时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．因此， 33121220(3)()2()2333381P X ==⨯⨯+⨯⨯=，……………………………………………………10分 ④当4X =时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．因此，441217(4)()()3381P X ==+=．……………………………………………………………………12分 所以X 的分布列为…………………………………………………13分因此，X 的数学期望832017208()1234818818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………15分 18．（17分） 解：（1）当0a =时，2()2ln f x x x x =−−，则1()2(1ln )22(ln 1)f x x x x x x x'=−⋅+⋅−=−++，……………………………………………1分 令()()g x f x '=，则1()2(1)g x x'=−+， 因为2[e ,1]x −∈，所以()0g x '<．则()g x 在2[e ,1]−上单调递减，……………………………2分 又因为22(e )2(1e )0f −−'=−>，(1)40f '=−<，所以20(e ,1)x −∃∈使得0()0f x '=，()f x 在20(e ,)x −上单调递增，在0(,1)x 上单调递减．因此，()f x 在2[e ,1]−上的最小值是2(e )f −与(1)f 两者中的最小者．…………………………3分 因为22422(e )4e e e (4e )0f −−−−−=−=−>，(1)1f =−，所以函数()f x 在2[e ,1]−上的最小值为1−．………………………………………………………4分（2）111()[1e (1)e ]2(1ln )2x x f x a x x x x x++'=⋅+−−⋅+⋅−1e 2(ln 1)x ax x x +=−++， 由()0f x '=，解得1ln 12(ln 1)2(ln 1)e e x x x x x x x a x +++++++==，…………………………………………6分 易知函数ln 1y x x =++在(0,)+∞上单调递增，且值域为R ，令ln 1x x t ++=，由()0f x '=，解得2et t a =， 设2()et t h t =，则2(1)()e t t h t −'=， 因为当1t <时，()0h t '>，当1t >时，()0h t '<，所以函数()h t在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．根据2(1)eh =，t →−∞时，()h x →−∞，2lim ()lim 0e t t t h t →+∞→+∞==, 得()h t 的大致图像如图所示． ………………………………………………………………………7分因此有：（ⅰ）当2ea >时，方程()h t a =无解，即()f x '无零点，()f x 没有极值点；………………8分（ⅱ）当2ea =时，ln ()2e 2(ln 1)x x f x x x +'=−++， 利用e 1x x +…，得()2(ln 1)2(ln 1)0f x x x x x '++−++=…，此时()f x 没有极值点； ……9分 （ⅲ）当20ea <<时，方程()h t a =有两个解，即()f x '有两个零点，()f x 有两个极值点； （ⅳ）当0a …时，方程()h t a =有一个解，即()f x '有一个零点，()f x 有一个极值点． 综上，当0a …时，()f x 有一个极值点；当20ea <<时，()f x 有两个极值点；当2e a …时，()f x 没有极值点．……………………………………………………………………………………………11分（3）先证明当π(0,)4x ∈时，sin πx x >． 设sin π()((0,))4x n x x x =∈，则2(cos )sin ()x x x n x x ⋅−'=， 记π()cos sin ((0,))4p x x x x x =−∈，则()1cos (sin )cos sin 0p x x x x x x x '=⋅+⋅−−=−<， ()p x 在π(0,)4上单调递减， ……………………………………………………………………13分 当π(0,)4x ∈时，()(0)0p x p <=，()0n x '<，则()n x 在π(0,)4上单调递减，π()()4n x n >=，即当π(0,)4x ∈时，不等式sin x x > …………………………………………………14分 由（2）知，当函数()f x 无极值点时，2ea ≥，则1e π0244a <≤<，…………………………15分在不等式sin x x >12x a =，则有12sin 2a a >，即不等式1sin 2πa a >……………………………………………………………………17分 19．（17分）解：（1）设点(,)P x y||m n x m =−，……………………………………2分即222()()m x m y x n n−+=−， 经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=−，………………………………………………………3分 当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线． ………………………………………………4分 （2）设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =−=−，(i)由（1）可知C 的方程为221168x y +=，A，(B −， 因为//AM BN===， 因此，M ，A ，M '三点共线，且||||BN AM '==，…………………………………5分（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C的方程，得22(2)80t y ++−=，则13y y +=，13282y y t =−+， ………………………………………………………6分 由（1）可知11||4AM x x ==，3||4BN AM x '==，所以11||||||||||||AM BN AM BN AM BN ++=⋅1313(4)(4)(2)(2)++= 13213134(4()2114()2y y y y ty y−⋅+===++（定值）．………8分 （法二）设MAx θ∠=，解得AM =，4=，解得AM '=， 所以11111||||||||AM BN AM AM+=+=='（定值）.………………8分 由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =−−，//AM BN ，∴8||||||||BQ AM AM QM BN BQ BQ −−==，解得(8||)||||||||AM BN BQ AM BN −⋅=+， 同理可得(8||)||||||||BN AM AQ AM BN −⋅=+， ……………………………………………………………10分 所以(8||)||(8||)||8(||||)2||||||||||||||||||||BN AM AM BN AM BN AM BN AQ BQ AM BN AM BN AM BN −⋅−⋅+−⋅+=+=+++2882611||||AM BN =−=−=+．因为AB =ABQ △的周长为6+． …………………………………12分(ii) 当m n >时，曲线C 的方程为222221x y n m n−=−，轨迹为双曲线， 根据（ⅰ）的证明，同理可得M ，A ，M '三点共线，且||||BN AM '=， （法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得2222222222[()]2()()0m n s n y sm m n y m n −−+−+−=， ∴221322222()()sm m n y y m n s n −+=−−−，222132222()()m n y y m n s n −=−−，（*） ………………………………13分 因为211||()m n m AM x x n n m n=−=−，3||||m BN AM x n n '==−， 所以1111||||||||||||||||AM AM AM BN AM AM AM AM '++=+=''⋅2222131322221313()()()()()()()()m m sm m n sm m n x n x n y y n n n n n n m m sm m n sm m n x n x n y y n n n n n n−−−+−+++==−−−−++2213222222213132222()()()()()sm m n y y n n m s m n ms m n y y y y n n n −++=−−+++， 将（*）代入上式，化简得22112||||n AM BN m n +=−，…………………………………………15分 （法二）设MAx θ∠=，依条件有2()cos AMm n n m AM m θ=−+，解得22cos m n AM n m θ−=−， 同理由2()cos AM m n n m AM m θ'='−−，解得22cos m n AM n m θ−'=+，所以2222221111cos cos 2||||||||n m n m n AM BN AM AM m n m n m n θθ−++=+=+='−−−.…………………15分 由双曲线的定义2BQ QM MA n +−=，得2QM n AM BQ =+−， 根据||||||||AM QM BN BQ =，解得(2||)||||||||n AM BN BQ AM BN +⋅=+， 同理根据||||||||AM AQ BN QN =，解得(2||)||||||||n BN AM AQ AM BN +⋅=+， 所以(2||)||(2||)||2||||||||2||||||||||||n BN AM n AM BN AM BN AQ BQ n AM BN AM BN AM BN +⋅+⋅⋅+=+=++++222222211||||m n m n n n n n AM BN −+=+=+=+，……………………………16分 由内切圆性质可知，1(||||||)2S AB AQ BQ r =++⋅， 当S r λ=时，2221()(||||||)222m n m n AB AQ BQ m n nλ++=++=+=（常数）． 因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n n λ+=．……………………………………17分。
(深圳一模选填题解析)2024年深圳市高三年级第一次调考数学试题答案
2024年深圳市高三年级第一次调研考试数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角α的终边过点)3,4(，则=+2sin(παA.54 B.54-C.53 D.53-1.【答案】A【解析】由已知，可得54434cos 22=+==r x α，则54cos )2sin(==+απα，故选A.2.已知i 为虚数单位，若iiz +=12，则=⋅z z A.2 B.2C.i2- D.i22.【答案】B【解析一】由已知，可得i i i i i i i i z +=+=-+-=+=1222)1)(1()1(212，即i z -=1，则2)1)(1(=-+=⋅i i z z ，故选B.【解析二】由已知，可得22412122222==+=+==⋅ii i i z z z ，故选B.【解析三】由已知，i i z +=12，即i i z --=12，则224)12(122=-=--⋅+=⋅i i i i i z z ，故选B.3.已知函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，在区间),0(+∞上单调递增，且对任意1x ，2x ，均有)()()(2121x f x f x x f =成立，则下列函数中符合条件的是A.x y ln = B.3xy = C.xy 2= D.xy =3.【答案】D【解析一】对于选项A ，显然0≠x ，与题设)(x f 的定义域为R 相矛盾，故A 错误；对于选项B ，显然3x y =是奇函数，故B 错误；对于选项C ，由于⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-0,20,22x x y x x x ，显然122222)(022==⋅≠==⋅---x x x x x x f ，故C 错误；对于选项D ，符合题意；故选D.【解析二】采用特殊值法，也可快速排除错误选项，确定选项D 正确.4.已知a ，b 是夹角为︒120的两个单位向量，若向量b a λ+在向量a 上的投影向量为a 2，则=λA.2- B.2C.332-D.3324.【答案】A【解析一】由已知，可得a ab a a a a b a a )120cos 1()(22︒+===λ，即λ2112-=，则2-=λ，故选A.【解析二】如图所示，a OA =，b OB =，结合已知条件，显然2-=λ，故选A.【解析三】逐项代入检验，结合运算或图象，亦可快速判定A 选项正确.a ab bλOB A DCE︒60bλ5.由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{}n a ，即01=a ，22=a ，43=a ，…，若2024=n a ，则=n A.34B.33C.32D.305.【答案】B【解析一】由已知条件，结合分类、分步计数原理，可得①1位数：有3个，即0，2，4；②2位数：可先排首位，可选择2或4，由于可重复，个位数可选择0或2或4，故满足条件的2位数共有61312=⋅C C 个；③3位数：同上，共有18131312=⋅⋅C C C 个；以上一共有27个数，满足条件的4位数按从小到大的顺序排列分别为：200028=a ，200229=a ，200430=a ，202031=a ，202232=a ，202433=a ，故选B.6.已知某圆台的上、下底面半径分别为1r ，2r ，且122r r =，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为A.328πB.340π C.356π D.3112π6.【答案】C【解析一】如图所示，要使球与圆台的上、下底面及侧面均相切，即球是圆台的内切球，易得内切球的半径22121===r r r R ，则21=r ，222=r ，又圆台的高为42==R h ，则圆台的体积为3564)482(31)(31(31212221πππ=⋅++=⋅++=++=h r r r r h S S S S V 下上下上，故选C.∙∙∙1O A B CDE F l l O2O 1r 2r R∙∙∙1O A B CDE F ll O2O 1r 2r RGh7.已知数列{}n a 满足121==a a ，)(,2,12,2*2N k k n a k n a a nn n ∈⎩⎨⎧=--=+=+，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则=50S A.624 B.625C.626D.6507.【答案】C【解析一】由已知，当12-=k n 时，有22=-+n n a a ，即数列{}n a 的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列；当k n 2=时，有12-=+nn a a ，即数列{}n a 的偶数项是以1为首项，1-为公比的等比数列（也可看成02=++n n a a ，偶数项和为0）；则626)1(1])1(1[1)222425125()()(255042493150=----⨯+⨯⨯+⨯=+++++++=a a a a a a S 故选C.【解析二】（逐项列举求和法）由已知，11=a ，12=a ，33=a ，14-=a ，55=a ，16=a ，77=a ，18-=a ，依此类推，可得到数列{}n a 的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项是由1和1-组成的摆动数列，则62610122)491(2550=+⨯++⨯=S ，故选C.8.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，若1AF AB =，且双曲线E 的离心率为2，则=∠1cos BAF A.873-B.43-C.81 D.81-8.【答案】D【解析一】由已知，双曲线E 为等轴双曲线，即b a =，为了方便讨论，不妨设1==b a ，则双曲线E 的方程可简化为122=-y x ，且2=c ，2221=F F ，由于221BF AF AB AF +==，则22212==-=a AF AF BF ，4221=+=a BF BF ，故43422)22(242cos 22221221222121=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠BF BF F F BF BF BF F ，8116921)1cos 2(2cos )2cos(cos 21221211-=⋅-=-∠-=∠-=∠-=∠BF F BF F BF F BAF π故选D.xyO2F 1F AB二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的A.众数为12 B.平均数为14C.中位数为14.5D.第85百分位数为169.【答案】BC【解析一】由已知，将所给10个数据按从小到大的顺序排列，得到8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，对于选项A ，众数显然是16（出现了3次），故A 错误；对于选项B ，由于14101401020183161321298==++⨯++⨯++，故B 正确；对于选项C ，由于第5个数为13，第6个数为16，则中位数为5.1421613=+，故C 正确；对于选项D ，由于5.885.010=⨯，则第85百分位数为第9个数，即18，故D 错误；综上所述，故选BC.10.设1>a ，0>b ，且b a -=2ln ，则下列关系式可能成立的是A.b a = B.ea b =- C.ba 2024= D.eab >10.【答案】AC【解析一】由已知，1>a ，0>b ，则2ln 20<-=<a b ，22ln 1ln 0<-=<=b a ，1ln >+a a ，对于选项A ，若b a =，则a a -=2ln ，即2ln =+a a ，显然等式有可能成立，故A 正确；对于选项B ，若e a b =-，则)(2ln e a a +-=，即e a a -=+2ln ，显然等式不成立，故B 错误；对于选项C ，若b a 2024=，则20242ln a a -=，即22024ln =+aa ，显然等式有可能成立，故C 正确；对于选项D ，由于a a a a a ab ln 2)ln 2(-=-=，记1,ln 2)(>-=x x x x x f ，则x x x f ln 1)1(ln 2)(-=+-='，易得当e x =时，)(x f 有极大值为e e e e e f =-=ln 2)(，则当1>x 时，e x f ≤)(，即当1>a 时，e a a a a f ab ≤-==ln 2)(，故D 错误；综上所述，故选AC.【解析二】（图象法）对于选项A ，若b a =，则a a -=2ln ，可看作2ln +-=x x ，1>x ，分别作出对应函数图象，显然函数x y ln =与2+-=x y 的图象在1>x 处有交点，即零点存在，故A 正确；对于选项B ，若e a b =-，则)(2ln e a a +-=，可看作e x x -+-=2ln ，1>x ，分别作出对应函数图象，显然函数x y ln =与e x y -+-=2的图象在1>x 处无交点，即此时零点在存在，故B 错误；对于选项C ，若b a 2024=，则20242ln a a -=，可看作220241ln +-=x x ，1>x ，分别作出对应函数图象，显然函数x y ln =与220241+-=x y 的图象在1>x 处有交点，即此时零点存在，故C 正确；xy2+-=x y xy ln =122Oxyex y -+-=2xy ln =O1y220241+-=x y xy ln =O1对于选项D ，由于a a a a a ab ln 2)ln 2(-=-=，记1,ln 2)(>-=x x x x x f ，则x x x f ln 1)1(ln 2)(-=+-='，易得当e x =时，)(x f 有极大值为e e e e e f =-=ln 2)(，则当1>x 时，e x f ≤)(，即当1>a 时，e a a a a f ab ≤-==ln 2)(，故D 错误；综上所述，故选AC.11.如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B ，C ，D ，E 在同一个平面内，若点M 在四边形BCDE 内（包含边界）运动，N 为AE 的中点，则A.当M 为DE 的中点时，异面直线MN 与CF 所成角为3πB.当//MN 平面ACD 时，点M 的轨迹长度为22C.当ME MA ⊥时，点M 到BC 的距离可能为3D.存在一个体积为310π的圆柱体可整体放入Ω内11.【答案】ACD【解析一】对于选项A ，当M 为DE 的中点时，易知BF AD MN ////，则异面直线MN 与CF 所成角即为3π=∠BFC ，故A 正确；xyxx x y ln 2-=OeeFBCDMENA∙∙（第11题图）FBCDMENA∙∙对于选项B ，取BC 的中点为P ，DE 的中点为Q ，显然有//NQ 平面ACD ，当点M 与点Q 重合时，有//MN 平面ACD ；易得平面//NPQ 平面ACD ，由面面平行的性质可知，只要点M 在PQ 上移动时，都能保证//MN 平面ACD ，即此时点M 的轨迹长度为4=PQ ，故B 错误；对于选项C ，当ME MA ⊥时，有2π=∠AME ，即点M 在以N 为球心，AE 为直径的球面上（类似圆的直径所对圆周角为直角），又点M 在四边形BCDE 内（包含边界）运动，则点M 在平面BCDE 与球N 的交面上运动，如图所示，记点A 、点N 在平面BCDE 内的投影分别为1O ，O ，则它们均落在CE 上，显然点M 的运动轨迹在以O 为圆心，1OO 为半径的圆弧21M M 上，又222111===CE E O CO ，则圆O 的半径为2411==CE OO ，又3431==BE OD ，2211==BE B M ，422==BE D M ，233113-=-=OM OD D M ，则点M 到BC 的距离的取值范围为]4,23[-，又]4,23[3-∈，故C 正确；FBCDQENA∙∙∙P ∙MBCDEN A∙∙∙1O O ACE1O NOBCDE O1M 2M 1D 2D 3M 1O对于选项D ，由对称性可考虑在上半部分正四棱锥中放入一个内接最大圆柱即可，设此时圆柱的底面半径为r ，高为h ，作圆柱的平行于CD 边的轴截面APQ ，易得221==CD PO ，32=AP ，则在AOP Rt ∆中，有2222=-=OP AP AO ，又F AO Rt 1∆～AOP Rt ∆，则OP FO AO AO 11=，即r r AO 22221==，则)2(222211r r AO AO OO h -=-=-==，20<<r ，则此时圆柱的体积为27232)3222(2422)2(24)2(2322πππππ=++-⋅≤⋅⋅-=-==r r r rr r r r h r V ，当且仅当22r r =-，即34=r 时，等式成立，即该八面体能放入的圆柱的体积为310272642ππ>=V ，故D 正确；综上所述，故选ACD.CEA QPO1O r h F三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π，其图象关于点)0,32(π中心对称，则=ϕ____________.12.【答案】3π-【解析一】由已知，函数)sin()(ϕω+=x x f 的最小正周期为π，则22==ππω，又其图象关于点)0,32(π中心对称，则0)322sin()32(=+⋅=ϕππf ，即πϕπk =+34，Z k ∈，解得ππϕk +-=34，Z k ∈，又2πϕ<，即22πϕπ<<-，取1=k ，则此时3πϕ-=，显然符合题意，故填3π-.13.设点)0,2(-A ，)0,21(-B ，)1,0(C ，若动点P 满足PB P A 2=，且AC AB AP μλ+=，则μλ2+的最大值为____________.13.【答案】3422+【解析一】（三角换元）由已知，动点P 满足PB P A 2=，即动点P 到定点A 与它到定点B 的距离之比为常数（阿氏圆），设),(y x P ，则由PB P A 2=，可得2222)21(2)2(y x y x ++=++，即122=+y x ，即动点P 在单位圆上运动，故可设)sin ,(cos θθP ，则)sin ,2(cos θθ+=AP ，)0,23(=AB ，)1,2(=AC ，又AC AB AP μλ+=，则),223(),2()0,23()sin ,2(cos μμλμμλθθ+=+=+，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+μθμλθsin 2232cos ，则)sin 22(cos 32θθλ-+=，故34)4sin(32234sin 32cos 32sin 2)sin 22(cos 322++=++=+-+=+πθθθθθθμλ，即34222+≤+μλ，当4πθ=时等式成立，故μλ2+的最大值为3422+.【解析二】（平面向量等和线）由已知，动点P 满足PB P A 2=，即动点P 到定点A 与它到定点B 的距离之比为常数（阿氏圆），设),(y x P ，则由PB P A 2=，可得2222)21(2)2(y x y x ++=++，即122=+y x ，即动点P 在单位圆上运动，又)0,2(-A ，)0,21(-B ，)1,0(C ，取AC 的中点为D ，则21,1(-D ，又AC AB AP μλ+=，则AD AB AP μλ2+=，若P 为BD 与圆的交点，则此时B ，D ，P 三点共线，即12=+μλ显然不是最大值；平移BD 与圆相切时得到切线EF ，记切点为F ，显然当点P 与F 重合时，μλ2+取得最大值；又121(1021-=----=BD k ，则1-=EF k ，即直线EF 的倾斜角为︒135，则在OFE Rt ∆中，有1==EF OF ，2=OE ，则22+=+=OE AO AE ，又23=AB ，则32242322)2(max +=+==+AB AE μλ（平面向量等和线性质），故μλ2+的最大值为3422+.∙∙A B1-2-Cyx O DE F14.已知函数)0)()()(()(321>---=a x x x x x x a x f ，设曲线)(x f y =在点))(,(i i x f x 处切线的斜率为)3,2,1(=i k i ，若1x ，2x ，3x 均不相等，且22-=k ，则314k k +的最小值为_________.14.【答案】18【解析一】由已知，0>a ，0)(=x f 有三个不等实根，即曲线)(x f y =与x 轴有三个交点，且其图象为“N ”型；又)])(())(())([()(213132x x x x x x x x x x x x a x f --+--+--='为了方便讨论，不妨设321x x x <<，令m x x =-23，n x x =-12，则n m x x x x x x +=-+-=-)()(122313，故)())(())(()(1312312111n m an x x x x a x x x x a x f k +=--=--='=，02))(()(321222<-=--='=x x x x a x f k ，即2))((2312=--x x x x a ，则2=amn ，m n m a x x x x a x f k )())(()(231333+=--='=，则184104210)4(5)(4)(4222231=+=⋅+≥++=+++=+amn m n a m n a amn m n m a n m an k k 当且仅当m n 2=，即)(42312x x x x -=-时等式成立，故314k k +的最小值为18.【解析二】由已知，0>a ，0)(=x f 有三个不等实根，即曲线)(x f y =与x 轴有三个交点，且其图象为“N ”型，为了方便讨论，不妨设321x x x <<，又)])(())(())([()(213132x x x x x x x x x x x a x f --+--+--='，则))(()(312111x x x x a x f k --='=，2))(()(321222-=--='=x x x x a x f k ，))(()(231333x x x x a x f k --='=，故323132123121121))(())((2x x x x x x x x x x x x k k k ---=----=-=，即32311)(2x x x x k --=，121332122313323))(())((2x x x x x x x x x x x x k k k ---=----=-=，即213112133)(2)(2x x x x x x x x k --=--=，显然，31321211x x x x k --⋅=，31213211x x x x k --⋅=，则211131=+k k ，即1)11(231=+k k ，则18)425(2)441(211)(4(2413311331313131=⋅+≥+++=++=+k k k k k k k k k k k k k k ，当且仅当23214k k =时，等式成立，故故314k k +的最小值为18.。
广东省深圳市2020年普通高中高三年级3月线上统一测试数学文科试题(含解析)
2020年高考模拟高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6}，则集合A∩B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．若复数z＝的实部为0，其中a为实数，则|z|＝（）A．2B．C．1D．3．已知向量，，，且实数k＞0，若A、B、C三点共线，则k＝（）A．0B．1C．2D．34．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*），其中a1＝1，a2＝1．若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A．B．C．D．5．设，，c＝log0.3，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为（）A．2和6B．4和6C．2和7D．4和77．若双曲线（a＞0，b＞0）的焦距为，且渐近线经过点（1，﹣2），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．12B．16C．24D．329．已知函数的最大值、最小值分别为3和﹣1，关于函数f （x）有如下四个结论：①A＝2，b＝1；②函数f（x）的图象C关于直线对称；③函数f（x）的图象C关于点对称；④函数f（x）在区间内是减函数．其中，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．410．函数的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为（）A．B．C．D．12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）＝（1﹣x）e x，且f（2）＝0，则f（x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（1，4）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin（α+）＝，则sin2α＝．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sin A﹣sin B）＝（a﹣c）sin C，b＝2，则△ABC的外接圆面积为．15．已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为．16．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|＝2a，点A是椭圆C上的动点，且|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}，a1＝4，（n+1）a n+1﹣na n＝4（n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}前n项和为T n．18．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量y i和月销售单价x i（i ＝1，2，3，…，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x（元/件）456789月销售量y（万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：＝﹣4x+105，＝4x+53和＝﹣3x+104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用y＝ax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为+0.875x+90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数R2分别为0.9702和0.9524，请用R2说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）参考数据：≈80.91．19．如图，四边形ABCD为长方形，AB＝2BC＝4，E、F分别为AB、CD的中点，将△ADF 沿AF折到△AD'F的位置，将△BCE沿CE折到△B'CE的位置，使得平面AD'F⊥底面AECF，平面B'CE⊥底面AECF，连接B'D'．（1）求证：B'D'∥平面AECF；（2）求三棱锥B'﹣AD'F的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x 轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1．（1）当a＝﹣1时，判断函数的单调性；（2）讨论f（x）零点的个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）≥9；（2）ac+bc+ab﹣abc≤．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6}，则集合A∩B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】求出集合的交集，写出子集，判断即可．解：已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6}，则集合A∩B＝{2，4}则子集共有{2}，{4}，{2，4}，∅，4个故选：B．2．若复数z＝的实部为0，其中a为实数，则|z|＝（）A．2B．C．1D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0求得a值，进一步得到z，再由复数模的计算公式求解．解：∵z＝＝的实部为0，∴a＝2，则z＝2i，则|z|＝2．故选：A．3．已知向量，，，且实数k＞0，若A、B、C三点共线，则k＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】求出＝＝（2，2﹣k），＝＝（k+1，﹣2），由A、B、C 三点共线，得∥，由此能求出k．解：∵向量，，，且实数k＞0，＝＝（2，2﹣k），＝＝（k+1，﹣2），∵A、B、C三点共线，∴∥，∴，由k＞0，解得k＝3．故选：D．4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*），其中a1＝1，a2＝1．若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，可得：每三个数中有应该偶数，即可得出结论．解：从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，可得：每三个数中有一个偶数，可得：从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率＝．故选：B．5．设，，c＝log0.3，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出．解：∵b＞1＞a＞0＞c，∴b＞a＞c，故选：D．6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为（）A．2和6B．4和6C．2和7D．4和7【分析】利用中位数和平均值的计算公式可得答案．解：由所有选项可知x＞0，y＜9，再由茎叶图可知：甲队的数据中位数为：＝18，乙队的数据中位数为：，若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，即＝16，解得y＝7，＝（7+12+16+20+20+x+31），乙＝（8+9+19+17+27+28），甲＝乙，解得x＝2，甲故选：C．7．若双曲线（a＞0，b＞0）的焦距为，且渐近线经过点（1，﹣2），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】依题意可得a2+b2＝c2＝5，b＝2a．解得，即可求解．解：依题意可得a2+b2＝c2＝5，…①．∵渐近线经过点（1，﹣2），∴（1，﹣2）在直线上．∴b＝2a…②．由①②可得，则此双曲线的方程为：．故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．12B．16C．24D．32【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：请旋转一下角度再看所以V＝3×4×4﹣4×＝16．故选：B．9．已知函数的最大值、最小值分别为3和﹣1，关于函数f （x）有如下四个结论：①A＝2，b＝1；②函数f（x）的图象C关于直线对称；③函数f（x）的图象C关于点对称；④函数f（x）在区间内是减函数．其中，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由条件利用正弦函数的最值，求得A和b的值．结合正弦函数性质对命题逐一判断即可．解：由于函数f（x）＝A sin（x+）+b的最大值为3，最小值为﹣1，可得；∴A＝2，b＝1，故f（x）＝2sin（x+）+1．故①正确；直线代入x+＝﹣，故函数f（x）的图象C关于直线对称；②正确；点代入，得x+＝π；故函数f（x）的图象C关于点对称；③正确；当x∈时，x+∈（，）．故函数f（x）在区间内是减函数．④正确；∴正确的结论个数是：4个；故选：D．10．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．解：，∴函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AD；当x＝π时，，故排除C．故选：B．11．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可以点B为原点，直线BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后可求出，然后可求出，从而可得出AE与CF夹角的余弦值．解：分别以直线BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：A（2，0，0），E（0，0，1），C（0，2，0），F（0，1，2），∴，∴＝，∴AE与CF夹角的余弦值为．故选：B．12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）＝（1﹣x）e x，且f（2）＝0，则f（x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（1，4）【分析】令g（x）＝xf（x），结合已知可求函数g（x）的单调性，然后结合特殊点g （0）＝g（2）＝0及单项即可求解．解：令g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x）＝（1﹣x）e x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数单调递减，又因为f（2）＝0，所以g（2）＝2f（2）＝0，g（0）＝0，由f（x）＞0可得，xf（x）＞0即g（x）＞0，所以0＜x＜2．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin（α+）＝，则sin2α＝﹣．【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1，运算求得结果．解：∵，∴sin2α＝﹣cos（2α+）＝﹣cos2（α+）＝2﹣1＝﹣，故答案为﹣．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sin A﹣sin B）＝（a﹣c）sin C，b＝2，则△ABC的外接圆面积为．【分析】△ABC中，由条件利用正弦定理可得a2+c2﹣b2＝a，求得cos B＝的值，即可求得B的值．利用正弦定理，圆的面积公式即可求解．解：∵△ABC中，由（a+b）（sin A﹣sin B）﹣（a﹣c）sin C＝0，利用正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣c）c＝0，即a2+c2﹣b2＝a，∴cos B＝＝，∴B＝．∵b＝2，∴设△ABC的外接圆半径为R，可得2R＝＝，可得R＝，可得△ABC的外接圆面积S＝πR2＝．故答案为：．15．已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为4π．【分析】作出轴截面，设圆柱体的底面半径为r，进而根据截面圆半径、球半径、球心距满足勾股定理，我们可以用R与r表示出圆柱的高，进而得到其体积的表达式，然后结合基本不等式，即可得到圆柱体积的最大和此时底面半径的值．解：作出轴截面如右．设圆柱体的底面半径为r，则球心到底面的距离（即圆柱高的一半）为d，则d＝，则圆柱的高为h＝2，则圆柱的体积V＝πr2h＝2πr2＝πr2＝π≤π＝4π，当且仅当r2＝6﹣2r2，即r＝时，圆柱的体积取最大值，且为4π．故答案为：4π．16．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|＝2a，点A是椭圆C上的动点，且|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是[，1）．【分析】设P的坐标，由题意可得|PF1|≤|PA|+|AF1，所以由|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立可得|PF1|≤3|F1F2|，将P的坐标代入即P的横坐标的方程可得离心率的取值范围．解：因为|OP|＝2a，所以P在以原点为圆心，以2a为半径的圆上，设P坐标为（x，y），即P满足的方程为：x2+y2＝4a2，由题意可|PF1|≤|PA|+|AF1，所以由|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立可得|PF1|≤3|F1F2|，可得（x+c）2+y2≤9×4c2，即4a2+2cx+c2≤36c2恒成立，﹣2a≤x≤2a，所以4a2+4ac+c2≤35c2，整理可得：35e2﹣4e﹣4≥0，解得e，又因为椭圆的离心率e＜1故答案为：[，1）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}，a1＝4，（n+1）a n+1﹣na n＝4（n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}前n项和为T n．【分析】本题第（1）题根据递推式可用累加法求出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后用裂项相消法计算出前n项和T n．解：（1）依题意，由（n+1）a n+1﹣na n＝4（n+1）（n∈N*），可得2a2﹣a1＝8，3a3﹣2a2＝12，•••na n﹣（n﹣1）a n﹣1＝4n．各项相加，可得na n﹣a1＝8+12+…+4n，∴na n＝4+8+12+…+4n＝，∴a n＝2n+2，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝＝＝（﹣）．故T n＝b1+b2+…+b n＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．18．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量y i和月销售单价x i（i ＝1，2，3，…，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x（元/件）456789月销售量y（万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：＝﹣4x+105，＝4x+53和＝﹣3x+104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用y＝ax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为+0.875x+90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数R2分别为0.9702和0.9524，请用R2说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）参考数据：≈80.91．【分析】（1）由变量x，y具有负相关关系，说明乙不对，求出样本点的中心坐标，验证甲与丙得答案；（2）由R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好，可得选用+0.875x+90.25更好；（3）求出z关于x的函数关系式，再由导数求最值．解：（1）已知变量x，y具有负相关关系，故乙不对．∵，，代入甲和丙的回归方程验证甲正确；（2）∵0.9702＞0.9524，且R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好，∴选用+0.875x+90.25更好；（3）由题意可知，，即，则z′＝．令z′＝0，解得x＝（舍去）或x＝．令，当x∈（0，x0）时，z单调递增，当x∈（x0，+∞）时，z单调递减．∴当x＝x0时，商品的月销售额预报值最大，∵，∴x≈9.77．∴当x≈9.77时，商品的月销售额最大．19．如图，四边形ABCD为长方形，AB＝2BC＝4，E、F分别为AB、CD的中点，将△ADF 沿AF折到△AD'F的位置，将△BCE沿CE折到△B'CE的位置，使得平面AD'F⊥底面AECF，平面B'CE⊥底面AECF，连接B'D'．（1）求证：B'D'∥平面AECF；（2）求三棱锥B'﹣AD'F的体积．【分析】（1）作D′M⊥AF于M，作B′N⊥EC于点N，从而M，N为AF，CE的中点，且，推导出D′M⊥底面AECF，B′N⊥底面AECF，D′M∥B′N，四边形D′B′NM是平行四边形，B′D′∥MN，由此能证明B′D′∥平面AECF．（2）设点B′到平面AD’F的距离为h，连结NF，B′到平面AD′F的距离与点N 到平面AD′F的距离相等，求出点B′到平面AD′F的距离h＝，由此能求出三棱锥B'﹣AD'F的体积．解：（1）证明：作D′M⊥AF于M，作B′N⊥EC于点N，∵AD′＝D′F＝2，B′C＝B′E＝2，∠AD′F＝∠CB′E＝90°，∴M，N为AF，CE的中点，且，∵平面AD′F⊥底面AECF，平面AD′F∩底面AECF＝AF，D′M⊥AF，D′M⊂平面‘F，∴D′M⊥底面AECF，同理：B′N⊥底面AECF，∴D′M∥B′N，∴四边形D′B′NM是平行四边形，∴B′D′∥MN，∵B′D′⊄平面AECF，MN⊂平面AECF，∴B′D′∥平面AECF．（2）解：设点B′到平面AD’F的距离为h，连结NF，∵D′M∥B′N，D′M⊂平面AD′F，B′N⊄平面AD′F，∴B′N∥平面AD′F，∴B′到平面AD′F的距离与点N到平面AD′F的距离相等，∵N为CE中点，EF＝2，∴NF⊥CE，∵AF∥CE，∴NF⊥AF，∵平面AD′F⊥底面AECF＝AF，NF⊂底面AECF，∴NF⊥平面AD′F，∴点N到平面AD′F的距离为NF＝，∴点B′到平面AD′F的距离h＝，∵S△AD′F＝，∴三棱锥B'﹣AD'F的体积V B′﹣AD′F＝＝＝．20．在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x 轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．【分析】（1）设P的坐标，过P做y轴的垂线交于点H，及与直线x＝﹣2交于一点，得E到y轴的距离为半径r，又是梯形的中位线可得P到定点F的距离等于到定直线x ＝﹣2的距离，由抛物线的定义可得，P的轨迹为抛物线，并且焦点F（2，0），准线为x＝﹣2的抛物线；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，设M的坐标，可得中点B的坐标，由题意可得D的坐标，进而可得N的坐标，求出直线MN，与抛物线方程联立，由判别式为0可得直线除M点外，没有其他的公共点．解：（1）如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线x＝﹣2于P'，设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质可得PH＝2r﹣2，所以|PP'|＝2r﹣2+2＝2r，又|PF|＝2r，所以|PF|＝|PP'|，由抛物线的定义知，点P是以F（2，0）为焦点，以直线x＝﹣2为准线的抛物线，所以曲线C的方程为：y2＝8x；（2）由A（2，4）可得A在求出C上，（i当直线l的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠2），则y12＝8x1，AM的中点B（，），即B（+1，+2），在方程y2＝8x中，令y＝+2，得x＝（+2）2，所以D（，），设N（x2，y2），由中点坐标公式可得x2＝（+2）2﹣，又y12＝8x1，代入化简x2＝，所以N（，+2），直线MN的斜率为：＝，所以直线MN的方程为：y＝（x﹣x1）+y1①，将x1＝代入①化简可得：y＝x+②，将x＝代入②式整理可得y2﹣2y1y+y12＝0，△＝4y12﹣4y12＝0，所以直线MN与抛物线相切，所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．（ii）当直线MN的斜率不存在时．M（2，﹣4），B（2，0），D（0，0），N（﹣2，0），直线MN的方程为：y＝﹣x﹣2代入抛物线的方程可得x2﹣4x+4＝0，△＝42﹣4×4＝0，所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．综上所述，除M点外直线MN与C没有其他的公共点．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1．（1）当a＝﹣1时，判断函数的单调性；（2）讨论f（x）零点的个数．【分析】（1）把a＝﹣1代入后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；（2）先对函数求导，然后结合导可判断函数的单调性，然后结合函数的性质及零点判定定理即可求解．解：（1）a＝﹣1时，f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x2+2x﹣1，，令h（x）＝，则＝，易得函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故h（x）≤h（1）＝0即f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（2）由f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1可得f（1）＝0，即x＝1为函数f（x）的一个零点，设g（x）＝lnx+ax+1，则f（x）的零点个数即为g（x）的不为1的零点个数加上1，（i）当a＝﹣1时，由（1）知f（x）单调递减，且x＝1是f（x）的零点，故f（x）有且只有1个零点1；（ii）当a≥0时，g（x）单调递增且g（1）＞0，g（x）＝lnx+ax+1＜＝，0＜x＜1，因为ax2+（a+3）x﹣1＜（a+4）x2+（a+3）x﹣1＝[（a+4）x﹣1]（x+1），所以g（）＜0，综上可知，g（x）在（0，+∞）上有1个零点且g（1）＝9，所以f（x）有2个零点（iii）又，所以当﹣1＜a＜0时，g（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣）上单调递减，故g（x）的最大值g（﹣）＝ln（﹣）＞0，又g（x）＜＝0，且g（）＜0，g（）＝＜0，所以g（x）在（0，﹣）上有1个零点，在（﹣）上有1个零点且x＝0也是零点，此时f（x）共有3个零点，（iv）又，所以当a＜﹣1时，g（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣）上单调递减，故g（x）的最大值g（﹣）＝ln（﹣）＜0，故g（x）没有零点，此时f（x）只有1个零点，综上可得，当a＜﹣1时，f（x）有1个零点；当﹣1＜a＜0时，f（x）有3个零点，当a≥0时，f（x）有2个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．【分析】（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，利用互化公式可得普通方程．（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＞0，由α为锐角．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．利用根与系数的关系可得：|EF|＝＝4，|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，解出α即可得出．解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，可得普通方程：x2+y2＝4y．（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＝﹣48＞0，可得：sin（α+）＞，或sin（α+）＜﹣，由α为锐角．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．则t1+t2＝4cosα+4sinα，t1t2＝12．∴|EF|＝＝4，|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，∴8＝8|sin（α+）|，∴化为：sin（α+）＝1，∴α＝+2kπ，k∈Z．α满足0＜α＜．可得α＝．∴直线C1的参数方程为：，可得普通方程：x﹣y+2＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）≥9；（2）ac+bc+ab﹣abc≤．【分析】（1）利用乘一法，结合基本不等式即可求证；（2）ac+bc+ab﹣abc）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c），再利用基本不等式即可求证．【解答】证明：（1）＝，当且仅当时，等号成立；（2）∵a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，∴c＝1﹣a﹣b，1﹣a＞0，1﹣b＞0，1﹣c＞0，∴ac+bc+ab﹣abc＝（a+b﹣ab）c+ab＝（a+b﹣ab）（1﹣a﹣b）+ab＝（b﹣1）（a﹣1）（a+b）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c），∴ac+bc+ab﹣abc≤，当且仅当时，等号成立．。
广东深圳高级中学2025届高三上学期第一次诊断测试数学试题+答案
（本试卷共3页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
） 2024.深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试数学10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =−−，{}1,2A =，{}1,0,1B −，则()U A B = （ ）A ．{}2,3−B ．{}2,2,3−C ．{}2,1,0,3−−D ．{}2,1,0,2,3−−2．1e ，2e是平面内不共线两向量，已知12AB e ke =− ，122CB e e =+ ，123CDe e =− ，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是（ ） A ．2−B ．2C ．3−D ．33．若α是第三象限角，且()()5sin cos cos sin 13αββαββ+−+=−，则tan 2α的值为（ ）A ．5−B ．5C ．513−D ．5134．已知函数()f x 的定义域为[]2,2−，则函数()()1f x F x x+=的定义域为（ ）A ．[]1,3−B ．[]3,1−C ．[)(]1,00,3−D ．[)(]3,00,1−5．已知函数()()22ln 3f x x ax a =−−在[)1,+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1−∞−B ．(),1−∞−C ．(],2−∞D ．()2,+∞6．已知平面向量1e 和2e 满足2122e e == ，2e 在1e 上的投影向量为1e − ，则1e 在2e 上的投影向量为（ ）A ．212e −B ．12−C ．214e −D ．2e −7．已知关于x 不等式()()20x ax b x c−+≥−的解集为(](],21,2−∞− ，则（ ）A ．2c =B ．点(),a b 在第二象限C ．22y ax bx a =+−的最大值为3aD ．关于x 的不等式20ax ax b +−≥的解集为[]2,1−8．已知0a >，1x ，2x 分别是函数()e xf x x a =−与()ln xg x a x=−−的零点，则1212e a x x x −的最大值为（ ）A ．2B ．22e C ．24e D ．28e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023年广东省深圳市南山区育才三中中考三模数学试题(含答案解析)
2023年广东省深圳市南山区育才三中中考三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．A ．60︒B ．7．使分式2xx -意义的x A ．2x =B ．8．袋子里有8个红球，m 个白球，A ．20︒B ．3010．如图，在矩形ABCD 中，点F 恰好落在边BC 上，连接A ．6B ．二、填空题11．因式分解：22ax ay =﹣________________．12．如图、在□ABCD 中，AB=5,AD=3,AE 平分∠DAB 交BC 的延长线于点F,则CF=_________．13．正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的5倍，则n 等于__14．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米，则线段BE 的长为______米．三、解答题(1)尺规作图：求作AB 的中点O ，连作法）；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求条件①：AOC 和BOD 的面积为S 条件②：BOC 和AOC 的周长为C 20．冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了了2斤羊腿，1斤羊排，一共花了116(1)羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？(2)第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共羊腿的重量不少于120斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利盈利8元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？21．图象对于探究函数性质有非常重要的作用，函数13y x =的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：x …﹣3﹣2﹣1013y x=…963参考答案：故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方的运算法则，单项式除以单项式的运算法则，完全平方和公式，掌握对应法则是解题的关键．5．D【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、如果12∠=∠，23∠∠=，那么13∠=∠，正确，是真命题，不符合题意；B 、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；C 、如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除，正确，是真命题，不符合题意；D 、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质，难度不大．6．C【分析】根据平行线性质及三角形内角和定理及等边三角形性质即可求出2∠对顶角的度数，即可得到答案．【详解】解：∵ABC ∆是等边三角形，∴60A ∠=︒，∵12l l ∥，150∠=︒，∴1350∠=∠=︒，∴4180370A ∠=︒-∠-∠=︒，∴270Ð=°，故选C ．【点睛】本题考查平行线性质，等边三角形性质，三角形内角和定理及对顶角相等，解题的关键是根据等边三角形得到60A ∠=︒．【点睛】本题考查矩形的性质、正确作出辅助线是解题的关键．11．()()a x y x y +-【分析】首先提取公因式a 【详解】解：22ax ay a -=故答案为：()()a x y x y +-【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，键．12．2【详解】试题分析：根据角平分线的性质可得：∠得：∠DAE=∠F ，∠DEA=DE=AD=3可得：CE=2，则考点：(1)、角平分线的性质；13．15【分析】先根据多边形的内角和定理求出正六边形的内角为=︒⨯-（3）C所占圆心角度数360(125%⨯+=．（4）20000(25%60%)17000∴点O 即为所求点的位置．（2）解：条件①：AOC 和BOD 的面积为理由如下，∵ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒∴12AO CO BO AB ===，如图所示，过点C 作CE AB ⊥于E ，∴112AOC S S AO CE == △，212BOD S S ==△∵12:3:5S S =，∴35CE BD =，∵,CE AB BD AB ⊥⊥，∴CE BD ∥，则35CE CO BD DO ==，设3CO x =，5DO x =，∴3CO BO x ==，在Rt BOD 中，22(5BD DO BO x =-=∴44cos 55BD x BDC DO x ∠===；条件②：BOC 和AOC 的周长为1C 和C 如下，∵ABC 是直角三角形，CO 是中线，∴AO CO BO ==，1BOC C C BC CO BO ==++△，2AOC C C =△∴()BC CO BO AC CO AO BC ++-++=-∴2BC AC =，设AC x =，则2BC x =，【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．21．(1)（2，0）(2)见解析，最小值为8(3)①（m，2）；②-2或3【分析】（1）由图象可得A（2，0）；（2）通过观察图象可得；（3）①观察图象可知最低点P的坐标；②分三种情况讨论求得即可．【详解】（1）解：由图象可得A（2，0），故答案为：（2，0）；（2）解：将函数y2＝3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x﹣2|+2，如图：当x≥4时，y3取到最小值，最小值为8；（3）解：拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到y4＝3|x﹣m|+2，其最低点为点P．①最低点P的坐标为（m，2），故答案为（m，2）；②若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y4有最小值5，∴3×|﹣1﹣m|+2＝5∴m＝0（舍），或m＝﹣2。
【精准解析】广东省深圳市2020届高三下学期线上统一测试文综历史试题
6.1914—1922 年，外资在华企业平均利润 27%左右。1920 年在华外资企业共有 7375 家，比
1913 年增长了近一倍，外资企业总资本相当于华资产业资本的 2.3 倍。由此可知当时
A. 外资主导中国经济发展
B. 实业救国思潮已经过时
C. 民族资本发展受到挤压
D. 民族工业获得快速发展
【答案】C
B. 传统华夷观已经被摒弃
C. 民族平等思想的发展
D. 少数民族融入中原文化
【答案】A
【解析】
【详解】受《易经》启发蒙古国改国号元，朱元璋称各民族“华夷一家”和雍正帝称清朝建
立是“尧舜以来中外一家之统也”，说明到封建社会后期，中华文化的凝聚力日益加强，A 项
正确；传统的华夷观“被摒弃”与清代前期的“天朝上国”观念和理藩院等史实不符，B 项错
B. 导致左倾错误进一步发展
C. 暂时放弃了计划经济体制
D. 适应当时经济发展的需要
【答案】D
【解析】
-3-
【详解】1962 年国家压缩基建项目，下调工业生产的计划指标等调整，适应了当时经济发展
的需要，D 项正确；国家对工业部门的调整，是为了更好地发展经济，并没有改变国家工业化
的战略目标，A 项错误；这些调整国民经济的做法，是在努力纠正 “左”倾错误，B 项错误；
10.英国技术专利制度起源于 12 世纪。纺织业作为英国经济的排头兵和科学技术的应用集中
领域，出现了很多发明专利和具有代表性的新型纺织设备。1700 年到 1800 年期间，英国纺织
业的发明数量如图所示。由此可知
A. 自然科学理论促进了纺织业的发明和革新 B. 18 世纪英国是唯一确立了专利制度的国家 C. 专利制度保障了英国工业革命的持续发展 D. 专利制度建立是英国国力强盛的根本原因 【答案】C
深圳市2020届普通高中高三年级线上统一测试(文数答案)
参考数据： 6547 80.91.
解：（1）已知变量 x ， y 具有线性负相关关系，故乙不对，
因为 x 4 5 6 7 8 9 6.5 ， y 89 83 82 79 74 67 79
分
Tn
1 [(1 24
1) 6
(1 6
1) 8
(
1 2n
2
1 2n
)] 4
1 2
(1 4
1 2n
) 4
8n
n
16
．………………………………………12
分
【命题意图】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项，注重思维的完整性和严密性，
另外考查裂项相消法求数列的前 n 项和．重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推
22
22
在方程 y2 8x 中令 y y1 2 得 x 1 ( y1 2)2 ，
2
82
所以 D(1 ( y1 2)2 , y1 2) ．----------------------------6 分
82
2
设
N (x2,
y2 )
，由中点坐标公式
x2
1 4
(
y1 2
2)2
x1 2
2
，
又
y12
16.解析：为使 PA AF1 3 F1F2 恒成立，只需 3 F1F2 ( PA AF1 )max ，
由椭圆的定义可得， AF1 AF2 2a ，
所以 PA AF1 PA AF2 2a PF2 2a ，当且仅当 P, F2 , A 三点共线时取等号( F2 在线段 PA 上)，
2023年广东省深圳市宝安区中考三模数学试题(含答案解析)
2023年广东省深圳市宝安区中考三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．下列运算正确的是（．222422a a a ÷=()22n m n +=．不等式22x x -≤-+的解在数轴上的表示正确的是（）．．．．．如图，AC BD ∥，于点E ，若166∠＝．123︒132︒．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行7．某数学兴趣小组准备了4全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率是（A．16B．8．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只A．5616 56x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩C．6516 65x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩9．下列四个命题：A．25B．二、填空题11．分解因式：233x-=_____ 12．若关于x的一元二次方程13．已知如图，在ABC中，α∠=______°；三、解答题(1)这次调查中，一共调查了多少名学生？(2)求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；(3)若全校有1200名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？19．文明，是一座城市的幸福底色，是城市的内在气质．2023年是成都争创全国文明典范城市的关键之年．为积极推进创建工作，某社区计划购买A装桶共120个，其中A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半．圾分装桶的价格为每个400元，B型垃圾分装桶的价格为每个100(1)设购买A型垃圾分装桶x个，求x的取值范围；(1)求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点（2）【问题解决】如图角线AC上的点，an t∠（3）【变式探究】如图3，菱形延长线于点H，E、F分别是线段长．（4）【拓展延伸】如图4，点△OE=，连接BE，作Rt BEF2形ACBF的面积的最大值为______参考答案：1．A【分析】利用相反数的定义判断．【详解】解：2023-的相反数是2023．故选：A ．【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．2．A【分析】根据轴对称定义：将图形沿一条直线对折两边重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，A 是轴对称图形，故A 符合题意；B 不是轴对称图形，故B 不符合题意；C 不是轴对称图形，故C 不符合题意；D 不是轴对称图形，故D 不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查轴对称定义：将图形沿一条直线对折两边重合的图形叫轴对称图形．3．B【分析】分别根据同底数幂的乘法，积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式以及合并同类项法则计算各选项后再进行判断即可．【详解】解：A.22422a a ÷=，故原选项计算错误，不符合题意；B.22234a a a +=，，计算正确，符合题意；C.()2222n m n mn m +=++，故原选项计算错误，不符合题意；D.()246a aa -=故原选项计算错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则和公式是解答本题的关键．4．B【分析】先求出不等式的解集，再表示在数轴上即可．【详解】解：∵22x x -≤-+，【点睛】本题考查了余弦三角函数、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点，通过作辅助线，运用余弦三角函数求出11．3(1)(1)x x +-【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可求解．【详解】233x -()231x =-()()311x x =+-，故答案：()()311x x +-．【点睛】本题考查了用提公因式法和平方差公式分解因式的知识．式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，形．因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止．由B 点坐标为()21，，可得E 点的坐标为由折叠的性质知：DE 是线段OF ∴EDH AOF EDH HED ∠+∠=∠+∠AOF HED ∴∠=∠，又90EHD OAF ︒∠=∠=，（3）估计全校喜欢B（科技类）的学生是701200100%420⨯⨯=200答：估计该校喜欢B（科技类）的学生为∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，AC BD =226810AC BD ∴==+=在矩形ABCD 中，AC BD =OD OC ∴=，ODC OCD ∴∠=∠，∥ AB CD ，ABD ODC ∴∠=∠，ABD OCD ∴∠=∠，4tan 3BC BDC CD ∠== ，an t DC EDF B ∴∠=∠，EDF EDB BDF ∠=∠+∠ DC EDB F ∴∠=∠，132OC AC ∴==，BD =在Rt ODC △中，OD =28BD OD ∴==，tan ∠BD Q 为菱形对角线，HDB ODC ∴∠=∠，BH HD ⊥ ，AC BD ⊥90DHB DOC ∴∠=∠=∴C DHB DO ∽，BH DB CO DC∴=，即3BH =24.5BH ∴=，85HE = ，165BE BH HE ∴=-=，3tan 4EDF ∠= ，EDF ODC ∴∠=∠，EDB CDF ∴∠=∠，90BEF ∠=︒ ，∴当O ，E ，F 三点在一条直线上，即过F 作FD OB ⊥于D ，∵52AC BC ==，102AB AC ∴==．O 为AB 的中点，5BO ∴=．BE OF ⊥ ，2221BE OB OE ∴=-=，3tan 4EBF ∠= ，。
2020年深圳市普通高中高三年级三月线上统一测试数学(理科)试题参考答案及评分细则(一模)【高清版】
π 6
)
3
有两个实根
1，2
，
又
g(8) 3
1
8 9
h(8) 3
，所以易知有
1
8 3
2
，
所以此时存在一个实数 1 满足题设，
综上所述，存在两个正实数 满足题设，故应选 C.
二、填空题：
13. 3
14. 63
15. 4 15
16. 4 3
16. 解析：由对称性不妨设 m n ，易知线段 MN 所在直线的方程为 y x 1 ， 2
52 5 5 2 2.
sin A
2
………………………10 分
2 b C cos A a cosC ，
c 2 2 2 5 5 3 .
2
5
………………………………………………………12 分
（法三）求 A 同法一或法二
在△ ABC 中，由正弦定理得 c a sin C sin A
52 5 5 2 2，
又 a cos B b cos A c ，
a cos B b sin A a cos B b cos A ， …………………………………………………8 分
即 sin A cos A ，又 A (0, π) ， A π . ……………………………………………9 分 4
在△ ABC 中，由正弦定理得 c a sin C
sin B sin AcosC cos Asin C 2 5 2 2 5 3 10 ， ………………11 分 2 5 2 5 10
在△ ABC 中，由正弦定理得 b a sin B sin A
（法二） a cos B bsin A c ，
5 3 10 10 3 . 2
2020深圳一模理数
23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知 a, b, c 为正数，且满足 a + b + c = 1. 证明： （1） 1 + 1 + 1 9 ；
abc （2） ac + bc + ab − abc 8 .
27
绝密★启封并使用完毕前
试题类型：A
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试
A． (−1,3)
B． (−1,3]
C． (0,3)
D． (0,3]
2．设 z = 2 + 3i ，则 z 的虚部为 3 − 2i
A． −1
B．1
C． − 2
D． 2
3．某工厂生产的 30 个零件编号为 01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取 5 个进行检
测. 若从表中第 1 行第 5 列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第 5 个零件编号为
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
A． 25
B． 23
C．12
D. 07
4．记 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和，若 a2 = 3， a5 = 9 ，则 S6 为
A． 36
B． 32
C． 28
D. 24
5．若双曲线 x2 − y2 = 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线经过点 (1, −2) ，则该双曲线的离心率为 a2 b2
线上测试的多重意义
线上测试的多重意义作者：来源：《作文周刊·高二版》2020年第17期聚焦熱点2020年的3月12日、13日，深圳市进行了2020年普通高中高三年级线上统一测试。
这是首次高三年级线上考试。
对于学生而言，一场没有老师监管、没有同学互相监督的在线考试，不仅是一次阶段性的学业测试，更是一次对学生进行诚信教育的机会，是对学生终身学习意识及学习能力的考验。
考前，各学校注意引导学生用比平常考试更加认真严谨的态度去面对这次考试，以一种积极向上的精神面貌和良好的心理状态去参加考试。
多维解读1.线上测试，体现了信任教育者与被教育者之间的信任直接关系到教育最终目标的实现。
师生彼此信任，教育就可能走向良性生态;反之，则容易引发可怕的结果。
再进一步说，有教育就有评价，而评价的核心就是信任。
只有评价者与被评价者之间建立真实的信任关系，教育评价才能成为可能。
因此，深圳敢于尝试线上测试，除了其对教学、高考备考的意义之外，还有益于师生、学校与家庭甚至整个城市的信任感的培养。
毕竟，居家、线上、没有老师监考，对于“考生”而言，这是一场关于信任的考试，对于整个城市，此举也有益于信任感的培植与深化。
2.线上测试，体现了自信对于个体，这场线上测试，是一次培养自信的绝佳时机。
自信，是一个人成长的原动力。
自信的培养，可以由内而外，也可以由外而内。
但是，外力只有通过内力才能起作用。
线上测试，有开放性、独立性的特点，对于学生来说，会有与寻常意义上的考试所不同的经历和体验，会产生对独立考试的自我思考。
线上测试，如果让测试者没有了昔日的心有旁骛，而是“下笔春蚕食叶声”，那么，他收获的，不仅是一个好的成绩，更是人生中的最佳品格——自信。
3.线上测试，体现了自律将诚信与意志结合起来，便能成为每个学子生活中的宝贵财富——自律。
跳出考试，在成为“未来人”的语境下，自律既需要“慎独”的诚信，也需要“律己”的意志。
唐代大诗人张九龄曾在《贬韩朝宗洪州刺史制》中感慨：“不能自律，何以正人？”古希腊哲学家柏拉图也强调：“自制是一种秩序，一种对于快乐与欲望的控制。
2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(文科)试题
绝密★启用前试卷类型：（A）深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）2020．3本试卷共23 小题，满分150 分．考试用时120 分钟．一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={0，2，4，6}，则集合A B 的子集共有A．2 个B．4 个C．6 个D．8 个2．若复数z =a + 2i的实部为0 ，其中a 为实数，则| z |= 1 - iA．2 B．2C．1 D．2 23．已知向量OA = (-1, k ) ，OB = (1, 2) ，OC = (k + 2, 0) ，且实数k > 0 ,若A 、B 、C 三点共线，则k =A．0B．1 C．2 D．34．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21，34 ，55 ，89 ，144 ……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是an=a n-1 +a n-2 (n ≥ 3, n ∈Ν* ) ，其中a1=1 ，a2=1 .若从该数列的前100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为A．13B．33100C．12D．671005．设a = 0.3 2 ，b = (2)0.3，c = log 0.3，则下列正确的是A．a >b >c B．a >c >b C．c >a >b D．b >a >c2x y6. 如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6 名队员某场比赛的得分数据（单位：分）． 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值为A ． 2 和6B ． 4 和6C ． 2 和7D ． 4 和72 2 7. 若双曲线 - = （ a > 0 ， b > 0 ）的焦距为，且渐近线经过点(1, -2) ，则此双a2曲线的方程为b 21 2x 2 2A ． - y = 14 2 y 2B ． x - = 14x 2 y 2 C ． - = 1 4 16 x 2 y 2 D ． - = 1 16 48. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A ．12B ．16C ． 24D ． 329. 已知函数 f (x ) = A sin(x + π) + b (A > 0) 的最大值、3最小值分别为3 和-1，关于函数 f (x ) 有如下四个结论： ① A = 2，b = 1 ； ②函数 f (x ) 的图象C 关于直线 x =-5π对称； 6③函数 f (x ) 的图象C 关于点( 2π,0) 对称；3④函数 f (x ) π 5π在区间( , ) 内是减函数．6 65其中，正确的结论个数是A ．1B ． 2C ． 3D ． 410. 函数 f (x ) = cos x ⋅ ln( - x ) 的图象大致为yy1ο-ππ x-11-ποπ x-1B .yy1ο-ππ x-11-ποπ x-11. 已知直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 ， ∠ABC = 90︒ ， AB = BC = AA 1 = 2 ， BB 1 和 B 1C 1 的中点分别为 E 、 F ，则 AE 与CF 夹角的余弦值为A ．35B ． 25C ． 45D ．15 512. 函数 f (x ) 是定义在(0, +∞) 上的可导函数，f '(x ) 为其导函数，若 xf '(x ) + f (x ) = (1- x )e x，且 f (2) = 0 ，则 f (x ) > 0 的解集为A ． (0, 1)B ． (0, 2)C ． (1, 2)D ．(1, 4)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．若sin(α + π) = 1，则sin 2α =.4 314.在∆ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若(a + b )(sin A - sin B ) = (a - c ) sin C ， b = 2 ，则∆ABC 的外接圆面积为.15.已知一圆柱内接于一个半径为 的球内，则该圆柱的最大体积为.x 2 +1 3x 2 y 2F F16.设椭圆C : a 2 + b2 =1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 1 、 2 ，其焦距为 2c ，O 为坐标原点，点 P 满足 OP = 2a ,点 A 是椭圆C 上的动点，且 PA + AF 1 ≤ 3 F 1F 2 恒成立，则椭圆C 离心率的取值范围是.三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
广东省深圳市高级中学(集团)2023届高三上学期期末数学试题(解析版)
【答案】BCD
【解析】
【分析】由离心率相同及已知得到 、 ，即可判断A、B；由 在椭圆 上得到 ，进而判断C；根据对称性确定 的坐标，结合斜率两点式得 判断D.
D.根据切线方程，求交点 的横坐标，因为 为定值，即转化为求点 的横坐标的取值范围.
【详解】因为 ，
所以，当 时， ；当 时， ，
不妨设点 ， 的横坐标分别为 ，且 ，
若 时，直线 ， 的斜率分别为 ， ，此时 ，不合题意；
若 时，则直线 ， 的斜率分别为 ， ，此时 ，不合题意.
所以 或 ，则 ， ，
由题意可得 ，可得 ，
若 ，则 ；若 ，则 ，不合题意，所以 ，选项A对；
对于选项B，易知点 ， ，
所以，直线 的斜率为 ，选项B对；
对于选项C，直线 的方程为 ，令 可得 ，即点 ，
直线 的方程为 ，令 可得 ，即点 ，
所以， ，选项C对；
对于选项D，联立 可得 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，则当 时， ，
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由 ，得 ，
又 ，
所以 ，解得 ；
所以圆锥的高为 ，
所以圆锥的体积为 ．
故选：C．
5.屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》、《九歌》、《九章》、《天问》等.某校于2022年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为（）
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绝密★启用前 试卷类型：（A ）
深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试
数 学（文科） 2020．3
本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{1 2 3 4 5}A =，，，，
，{0 2 4 6}B =，，，，则集合A B I 的子集共有
3．已知向量(1, )OA k =-u u u r ，(1, 2)OB =u u u r ，(2, 0)OC k =+u u u r
，且实数0k >,若A 、B 、C 三
点共线，则k = 4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是)Ν,3(21*--∈≥+=n n a a a n n n ，其中11=a ，
12=a .若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为
5．设2
3
.0=a ，3.0)2(=b ，2log 3.0=c ，则下列正确的是
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
A ．2
B
C ．1
D
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
A ．
3
1 B ．
100
33 C ．
2
1 D ．
100
67 A ．c b a >> B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为
7．若双曲线
22
22
1
x y
a b
-=（0
a>，0
b>）的焦距为25，且渐近线经过点(1,2)
-，则此双曲线的方程为
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为
9．已知函数
π
()sin()(0)
3
f x A x b A
=++>的最大值、
最小值分别为3和1
-，关于函数()
f x有如下四个结论：
①2
A=，1
b=；
②函数()
f x的图象C关于直线
5π
6
x=-对称；
③函数()
f x的图象C关于点
2π
(,0)
3
对称；
④函数()
f x在区间
π5π
(,)
66
内是减函数．
A．2和6B．4和6C．2和7D．4和7
A．
2
21
4
x
y
-=B．
2
21
4
y
x-=C．
22
1
416
x y
-=D．
22
1
164
x y
-= A．12B．16
C．24D．32
其中，正确的结论个数是 10
．函数()cos )f x x x =⋅的图象大致为
11．已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为 12．函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，()f x '为其导函数，若()()(1)x
xf x f x x e '+=-，
且(2)0f =，则()0f x >的解集为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分． 13．若π
1
sin()43
α+=
，则sin2α=________. 14．在ABC ∆中，角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，若()(sin sin )a b A B +-=()sin a c C -， 2b =，则ABC ∆的外接圆面积为________.
15
的球内，则该圆柱的最大体积为________.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
A
B ．
25
C ．
45
D
A ．(0, 1)
B ．(0, 2)
C ．(1, 2)
D ．(1, 4)
A .
16. 设椭圆C :)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，其焦距为c 2，O 为坐
标原点，点P 满足a OP 2=,点A 是椭圆C 上的动点，且2113F F AF PA ≤+恒成立，则椭圆C 离心率的取值范围是________.
三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
第17 ～2 1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答． 第22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）
已知数列，14a =，1(1)4(1)n n n a na n ++-=+()n *
∈N .
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
1
n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 前n 项和为n T .
18．（本小题满分12分）
某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量i y 和月销售单价i
x (1,2,3,,6)i =L 数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回
归直线方程分别为：ˆ4105y
x =-+，ˆ453y x =+和1043ˆ+-=x y ，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；
（2）若用c bx ax y ++=2模型拟合y 与x 之间的关系，可得回归方程为
25.90875.0375.0ˆ2++-=x x y
，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R 分别为9702.0和9524.0，请用2R 说明哪个回归模型的拟合效果更好；
（3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01.0）
参考数据：91.806547≈.
{}n a
19．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为长方形，24AB BC ==，E 、F 分别为AB 、
CD 的中点，将ADF ∆沿AF 折到AD F '∆的位置，将BCE ∆沿CE 折到B CE '∆的位置，使得平面AD F '⊥底面
AECF ，平面B CE '⊥底面AECF ，连接B D ''.
（1）求证：B D ''//平面AECF ； （2）求三棱锥B 'AD F '-的体积.
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，过点)0,2(F 的动圆恒与y 轴相切,FP 为该圆的直径，设点P 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）过点)4,2(A 的任意直线l 与曲线C 交于点M ,B 为AM 的中点，过点B 作x 轴的平行线交曲线C 于点D ,B 关于点D 的对称点为N ，除M 以外，直线MN 与C 是否有其它公共点？说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数()()()21ln 1 1.f x x x ax a x =-++-- （1）当1a =-时，判断函数的单调性； （2）讨论()f x 零点的个数.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,
sin ,
cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜
角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
θρsin 4=．
（1）求2C 的直角坐标方程；
（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若
PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明： （1）
111
9a b c
++≥； （2）8.27
ac bc ab abc ++-≤。