湖南省益阳市2019届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)Word版含解析
湖南省2019届高三三模数学(理)试卷(含答案)
湖南省2019届高三三模数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上.1.已知集合{}R x x y y M ∈-==,12，{}R x x y x N ∈-==,32，则M N I为A ．]3,3[-B ．]3,1[-C ．φD ．]3,1(- 2.下列命题中，正确的是①{}也成等差数列，项和，则是其前是等差数列，已知n n n n n n n S S S S S n S a 232,--； ②“事件A 与事件B 对立”是“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件； ③复数321,,Z Z Z ，若()()0232221=-+-Z Z Z Z ，则31Z Z =；④命题“02,020>--∈∃x x R x ”的否定是“02,2<--∈∀x x R x ”. A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q 等于A ．1-B ．1C ．2-D ．2 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．92B ．275C ．31D ．324555.在平面直角坐标系xoy 中，角α与角β均以ox 为始边，它们的终边 关于y 轴对称．若3tan 5α=，则()βα-tan 的值为 A ．0 B ．1715 C ．169 D ．8156.已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点D C B A ，，，的距离都大于1的概率为A.16π B.4π C.π4223- D.41π- 7.甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，输出否 是2,1i S ==开始11i S S i -=⨯+1i i =+21i i =- 结束?10<i如图所示，记甲的体积为甲V ，乙的体积为乙V ，则有 A ．乙甲V V < B ．乙甲V V =C ．乙甲V V >D ．乙甲、V V 大小不能确定8.已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12展开式的各个二项式系数的和为128，则nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中2x 的系数为A ．44B ．560C ．7D ．359.已知点P 为双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，右支上一点，点2,1F F 分别为双曲线的左、右焦点，点I 是21F PF ∆的内心，若恒有212131F IF IPF IPF S S S ∆∆∆≥-成立，则双曲线离心率的取值范围是 A ．(1，2]B ．(1，2)C ．(0，3]D ．(1，3]10.设函数x x f lg )(=，若存在实数b a <<0，满足)()(b f a f =，则8log 222b a M +=,221log ⎪⎭⎫⎝⎛+=b a N ，21ln e Q =的关系为A ．Q N M >>B ．N Q M >>C ．M Q N >>D ．Q M N >>11.如图，GCD ∆为正三角形，AB 为GCD ∆的中位线，AE AB 3=,BF BC 3=,O 为DC 的中点，则向量FE ，OF 夹角的余弦值为A.21 B.21- C.22- D.2212.已知函数234)(,132)(23+-=+-=x a x g ax ax x f ，若对任意给定的[]2,0∈m ，关于x 的方程)()(m g x f =在区间[]2,0上总存在唯一的一个解，则实数a 的取值范围是A.(－∞，1]B.(0，1)∪{－1}C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡181， D.(－1，0)∪⎥⎦⎤ ⎝⎛181， 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13.某学校共有在职教师140人，其中高级教师28人，中级教师56人，初级教师56人，现采用分层抽样的方法，从在职教师中抽取5人进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为______．14.设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若Z 的最小值是9-，则Z 的最大值为 ．15.三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面，4,2,60,====∠︒AC PA AB BAC ABC 则三棱锥ABC P -外接球的体积为 ．16.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足1)1(),1()21(=-=+f x f x f ,n S 为数列{}n a 的前n 项和，且)(124+∈=-N n S a n n ，则)()(63a f a f +＝________.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知2π≠A ，且 ,sin cos 62sin B A A b =（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若3π=A ，求ABC ∆周长的取值范围．18.（本小题满分12分）政府为了对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门 对城市人和农村人进行了买房的心理预期调研，用简单随机 抽样的方法抽取110人进行统计，得到如右列联表：(Ⅰ)用独立性检验的思想方法说明有多少的把握认为不买房心理预期与城乡有关？参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.150.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（Ⅱ）某房地产中介为增加业绩，决定针对买房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获6千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A 、B 的一个动点，DC垂直于圆O 所在的平面， //,1, 4.DC EB DC EB AB === （Ⅰ） ACD DE 平面求证：⊥;（Ⅱ）.值所成的锐二面角的余弦与平面，求平面若ABE AED BC AC =20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为24.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）21.（本小题满分12分）已知函数()()1ln ,1a x f x x a R x -=-∈+．（Ⅰ）若2=x 是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在()0,+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）设,m n 为正实数，且m n >，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．请考生在第22，23两题中任选一题作答。
2019届湖南省益阳市高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省益阳市高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由集合可得，在计算的值可得答案.【详解】解:由题知，故.故选.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题型.2．复数，则在复平面内对应的点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第三象限【答案】B【解析】由，可得，，可得其在复平面内对应的点所在的象限.【详解】解：由题得，对应的点在第二象限.故选.【点睛】本题主要考查复数的运算、几何意义等，属于基础题.3．已知是等差数列，满足：对，，则数列的通项公式（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，两式相减得，可得d的值，可得答案.【详解】解：由得，两式相减得，故.故选.【点睛】本题主要考查由递推公式求等差数列的通项公式，由已知得出是解题的关键.4．星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车共有1、10两路，每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站，不计通车时间，则小张坐1路车回家的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：小张坐1路车的时间是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟，可得小张坐1路车回家的概率，可得答案.【详解】解：小张坐1路车的时间是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟，故所求概率是.故选.【点睛】本题主要考查几何概型的计算，得出小张坐1路车的时间是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟是解题的关键.5．某批次产品测量数据茎叶图如图，这组数据的众数、中位数、平均数分别为，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据茎叶图数据分别计算这组数据的众数、中位数、平均数可得答案.【详解】解：根据茎叶图知.故选.【点睛】本题主要考查茎叶图及众数、中位数、平均数的概念,属于基础题型.6．在中，为中点，，，则（）A．1 B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，故可得，，可得答案.【详解】解：，故，.故选.【点睛】本题主要考查向量的线性运算性质及几何意义，相对简单.7．如图，一个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图，侧视图都是图1，俯视图是图2，若得到的几何体表面积为，则（）A．3 B．4C．5 D．6【答案】B【解析】由所得几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半圆表面积，列方程解答可得答案.【详解】解：所得几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半圆表面积，即.故选.【点睛】本题主要考查几何体三视图及空间几何体的表面积，由几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半圆表面积，列出方程是解题的关键.8．已知变量，且，若恒成立，则的最大值为（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由可化为，设函数，，可得答案.【详解】解：即化为，故在上为增函数，，故的最大值为.故选.【点睛】本题主要考查函数的单调性及导数的应用，由已知构造出后求导是解题的关键.9．是奇函数，是偶函数，且，则与在同一个坐标系的图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由①，可得②，联合①②可得，，结合、的函数性质与图像一一判断可得答案.【详解】解：由①，得②，联合①②可得，.图象是条直线，排除，当时，，为增函数，排除.故选.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及函数的图像，注意导数在求函数单调性时的应用，求出、的函数表达式是解题的关键.10．过双曲线右焦点的直线交两渐近线于两点，，为坐标原点，且内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【答案】C【解析】由题意做图如下，设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，可得，，所以，可得e的值.【详解】解：因为，所以双曲线的渐近线如图所示，设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，，所以，所以，得.故选.【点睛】本题主要考查双曲线的性质、内切圆的性质，离心率等知识，根据已知条件画出图形数形结合是解题的关键.11．已知定点及抛物线上的动点，则（其中为抛物线的焦点）的最大值为（）A．2 B．C．D．3【答案】C【解析】方法一：作准线于，则，设倾斜角为，则.当与相切时，取最大值，代入个数据可得答案；方法二：作准线于，则，设，，，则，则取最大值，只需取最大值，又表示的斜率，所以取最大值时，直线与抛物线相切，代入各数据计算可得答案.【详解】解：方法一：作准线于，则.设倾斜角为，则.当与相切时，取最大值，由代入抛物线得，，解得或.故最大值为4，即最大值为5.即最大值为.故选.方法二：作准线于，则，设，，，则，则取最大值，只需取最大值，又表示的斜率，所以取最大值时，直线与抛物线相切，由代入抛物线得，，解得或.故最大值为4，即最大值为5. 即最大值为.故选.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质及直线与圆锥曲线的关系，综合性大，注意数形结合解题.12．直三棱柱外接球表面积为，，若，矩形外接圆的半径分别为，则的最大值为（）A．B．3 C．D．【答案】C【解析】设中点为，，矩形外接圆的圆心分别为，球心为，则由平面与平面得为矩形，，可得，可得的最大值.【详解】解：由外接球表面积为，可得外接球半径为2.设中点为，，矩形外接圆的圆心分别为，球心为，则由平面与平面得为矩形，，，，，当且仅当时取等号.故选.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的性质及不等式的性质，综合性大，考验同学的空间想象能力及计算.二、填空题13．若实数满足不等式组则目标函数的最小值为__________．【答案】-1【解析】画出可行域及目标函数，可得最优解为，可得z的最小值.【详解】解：不等式组表示可行域如图所示，目标函数为，是以2为斜率，为纵截距的直线，当纵截距最大时，取最小值，可知最优解为，故最小值为-1.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，画出可行域及目标函数是解题的关键.14．若数列满足：，，则__________．【答案】234【解析】由，可得，，可得故为等比数列，且，可得，可得答案.【详解】解：，故为等比数列.，故.【点睛】本题主要考查数列的性质及数列前n的项的和，得出为等比数列，且是解题的关键.15．在的展开式中，二项式系数之和为，所有项的系数之和为，若，则__________．【答案】4【解析】易得，，由，可得n的值.【详解】解：，，故.【点睛】本题主要考查二项展开式的性质，得出二项式系数之和，所有项的系数之和是解题的关键.16．已知，将的图象向右平移个单位，得到的函数与的图象关于对称，且函数在上不单调，则的最小值为__________．【答案】5【解析】由题意可得，故有一条对称轴为，所以，可得.时，，无整数解；时，均为整数解，时，【详解】解：与关于对称，故有一条对称轴为，所以，，故存在，满足.时，，无整数解；时，均为整数解，时，.【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求参数，综合性大，后分k的情况讨论时解题的关键.三、解答题17．在中，角所对的边分别为，若，.（1）求；（2）当的面积为时，求.【答案】（1）（2）【解析】(1)由题意可得，化简可得，可得或，又由由，可得的值；（2）可得，，可设，，由的面积为，可得，，可得a的值.【详解】解：（1）.所以或或.由得，故不成立，所以.（2）,.可设，，由，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换及正弦定理，由题意得出是解题的关键. 18．五面体中，是等腰梯形，，，，，平面平面.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)连接，取中点为，则,可得为平行四边形，为等边三角形，，，由题意平面平面，且交线为，平面，又，，可得结论；（2）以为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内，过点且与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知.可得，，.平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，求的值后用公式，可得答案.【详解】解：（1）连接，取中点为，则，为平行四边形，，.为等边三角形，，.,平面平面，且交线为，平面，.又，平面.（2）以为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内，过点且与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知.则，，.由（1）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则取，得，，结合图形可知二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的证明及二面角的求法，需牢记好各公式定理灵活运用所学知识求解.19．高三某次数学考试，实验班共有50人的成绩的频率分布直方图如图所示，分段区间为.（1）求；（2）从全班50份试卷中抽取10份，表示分数在上的份数，①求取最大值时的值；②甲、乙两位老师用分布列计算的值，甲老师求得，乙老师求得，从概率角度说明，哪一个更接近（即差的绝对值最小）.【答案】（1）（2）①时，取最大值.②更接近.【解析】(1)由频率分布直方图所有小矩形面积和为1，可得，可得x的值；（2）可得分数在上的试卷总数为；①从全班50份试卷中抽取10份，其中份在的概率为，，可得即时，有，，即时，，故时，取最大值.②从概率的角度：分数在上的试卷所占比例为，故取出10份试卷，其中能取到的试卷份数为，故更接近.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得，解得.（2）分数在上的试卷总数为.①从全班50份试卷中抽取10份，其中份在的概率为，所以，.即时，有，，即时，，故时，取最大值.②从概率的角度：分数在上的试卷所占比例为，故取出10份试卷，其中能取到的试卷份数为，故更接近.【点睛】本题主要考查频率分布直方图及离散性随机变量的期望与方差，根据图形得出有用数据进行计算时解题的关键.20．圆上的动点在轴、轴上的摄影分别是，点满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）点，过点的直线与轨迹交于点，且直线、的斜率存在，，求证：为常数.【答案】（1）（2）见解析【解析】设，，,由代入圆方程可得答案；(2) 当的斜率不存在时，，的斜率也不存在，故不适合题意；当的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为代入椭圆方程整理得，.设，则，，，化简代入各数据可得答案.【详解】解：（1）设，，则，.由代入.（2）当的斜率不存在时，，的斜率也不存在，故不适合题意；当的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为代入椭圆方程整理得，.设，则，，则，故为常数.【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程及直线与圆锥曲线的综合运用，注意灵活运用所学知识求解及运算准确.21．已知函数.（1）当时，比较与的大小；（2）若有两个极值点，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】(1),可得，可得故在时为增函数，可得结论；（2），，可得在上有两个零点.①当时，，在上为增函数，不可能有两个零点，②故.此时，即，整理得，即.可得，故要证成立，只需证，即证，不妨设，即证.令，原不等式化为.由（1）得当时，.故只需证，化为，故原式得证.【详解】解：（1）令，，故在时为增函数. ，即.（2），.则在上有两个零点.令，即在上有两个零点，.当时，，在上为增函数，不可能有两个零点，故.此时，即，整理得，即..故要证成立，只需证，即证，不妨设，即证.令，原不等式化为.由（1）得当时，.故只需证，化为，故原式得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及导数在最大值、最小值的应用，综合性大，需牢记导数各公式并运算准确.22．选修4-4：坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中，直线（为参数，），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于不同的两点，且，求的值.【答案】（1）直线的普通方程为或，曲线的直角坐标方程为（2）或.【解析】(1)由直线（为参数，）,当时，直线当时，消去参数，可得，,可得直线的普通方程，由曲线，得，即有，所以曲线的直角坐标方程为；(2)由（1）得圆的圆心为，圆心到直线的距离为，所以.依题有，可得的值.【详解】解：（1）由直线（为参数，），当时，直线；当时，消去参数，可得，所以直线的普通方程为或.由曲线，得，即有，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由题可知，所以直线的普通方程为，因为圆的圆心为，所以圆心到直线的距离为，所以.依题有，因为且，所以且，所以或.【点睛】本题主要考查直线的参数方程及简单曲线的极坐标方程，注意极坐标方程与普通方程间的转化及运算准确.23．选修4-5：不等式选讲:设函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，若存在，使关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）①当，实数的范围是.②当，实数的范围是.③当，实数的范围是.【解析】(1)当时，，所以不等式等价于或或解之可得答案；(2) 当时，存在，使关于的不等式有解，即等价于.后分①当，②当，③当三种情况讨论可得的取值范围.【详解】解：（1）当时，，所以不等式等价于或或解得或或，综上可得，原不等式的解集为.（2）当时，存在，使关于的不等式有解，即等价于.①当，且时，，由解得实数的范围是.②当，且时，，由解得实数的范围是.③当，且时，，由解得实数的范围是.【点睛】本题主要考查不等式的计算及绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的运用及运算准确.。
2019届湖南省高三上第三次月考理数学试卷【含答案及解析】
2019届湖南省高三上第三次月考理数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若复数，则在复平面内对应的点位于（_________ ）A．第一象限______________ B．第二象限___________ C．第三象限______________________ D．第四象限2. 已知集合，集合，则 =（_________ ）A．______________ B．___________ C．D．3. 已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如右图所示，则这个几何体的体积是（________ ）A．_________________________________ B． ________ C．_______________________ D．4. 设、是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，则或；④若，，，则 .其中正确命题的个数为（_________ ）A.1B.2C.3D.45. 下列命题错误的是（_________ ）A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为则”B．若命题，则C．中，是的充要条件D．若向量满足，则与的夹角为锐角6.（_________ ）A．1 B． C．2 D．7. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（）A．0．3_________________________________ B．C． 4___________________________________ D．8. 若函数为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为(_________ )A．_____________________________________B．C．D．9. 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（________ ）A．________________________ B．____________________________C．________________________ D．10. 用数学归纳法证明“ ” ，从“到”左端需增乘的代数式为（）A．____________________ B．______________ C．________________________ D．11. 直线与曲线围成图形的面积为（________ ）A．____________________________ B．______________________________ C．______________________________ D．12. 如果数列满足，，且 ( ≥2) ，则这个数列的第10 项等于（_________ ）A．_______________________ B．_________________________ C．______________________ D．二、填空题13. 展开式中的系数为________________________________________________ .14. 设的内角的对边分别为且，则＝________.15. 已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则该椭圆离心率的取值范围为____________________________ ．16. 已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是____________________________ ．三、解答题17. 已知数列满足（Ⅰ ）求证：数列成等差数列；（Ⅱ ）求数列的前项的和18. 已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ ）求函数的解析式；（Ⅱ ）在△ 中，角的对边分别是，若，求的取值范围．19. 如图 1 ，平行四边形中，，为中点，将沿边翻折，折成直二面角，为中点，（Ⅰ ）求证：平面；（Ⅱ ）求直线与平面所成夹角的正弦值 .20. 已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．21. 已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性（Ⅱ）若函数与函数的图像关于原点对称且就函数分别求解下面两问：① 问是否存在过点的直线与函数的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由 .② 求证：对于任意正整数，均有（为自然对数的底数）22. 选修4-1:几何证明选讲如图，直线与相切于点，是的弦，的平分线交于点，连结，并延长与直线相交于点，若，．（ 1 ）求证：；（ 2 ）求弦的长．23. 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线（为参数），（为参数）．（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线距离的最小值．24. 选修4-5:不等式选讲设函数，其中，为实数．（ 1 ）若，解关于的不等式；（ 2 ）若，证明：参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
【高三数学试题精选】湖南益阳箴言中学2019届高三数学10月模拟试卷(理科附答案)
湖南益阳箴言中学2019届高三数学10月模拟试卷（理科附
答案）
5 益阳市箴言中学高三第三次模拟考试
理科数学试卷
一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若，则（）
A．1B．-1c． D．
2．已知，
且，则（）
A．或 B． c．2或 D．
3．某班的元旦晚会安排6个节目，为考虑整体效果，作如下要求节目甲必须排在前三位，且节目乙、丙必须连排，则演出顺序编排方案共有种（）
A．11舍去)，∴S△ABD=12AB×ADsin450=12×32×7×22=212；
(2)在△ABD中，由正弦定理ABsin∠ADB=BDsin450，得sin∠ADB=35，又DA→ Dc→=0，即∠ADc=900，∴cs∠BDc=35，在△BDc中，由余弦定理Bc2=BD2＋cD2-2BD×cD×cs∠BDc=52＋12-2×5×1×35=2 ρsin θ,
∴曲线c的直角坐标方程为x2+2-2 x+2 =0,即(x- )2+(+ )2=4 ∵圆心( ,- )到直线l的距离d =
=6 2,
∴直线l与圆c相离
(2)由直线l上的点向圆c引切线,则切线长为
= = ≥4
即切线长的最小值为4。
湖南省2019届高三上学期第三次质检数学试卷(理科)Word版含答案
湖南省2019届高三上学期第三次质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=Z ，A={2，3，5，8，9}，B={1，2，3，4，5，6}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C ．{2，5，6}D ．{1，4，6}2．如图，在复平面内，若复数z 1，z 2对应的向量分别是，，则复数z 1+z 2所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a=（），b=（），c=log 2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c4．若f （x ）=sin （2x+θ），则“f（x ）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．等差数列{a n }中，a 3=5，a 4+a 8=22，则{a n }的前8项的和为（ ）A ．32B ．64C ．108D ．1286．已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若m +n 与﹣2共线，则等于（ ）A ．﹣B ．C ．﹣2D ．27．已知sin θ+cos θ=，其中θ在第二象限，则sin 2θcos θ﹣sin θcos 2θ=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其中b=c=2，若函数f （x ）=x 3﹣x 的极大值是cosA ，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形9．某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1610．若函数f （x ）=2sin （）（﹣2＜x ＜10）的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则（+）•=（ ）A ．﹣32B ．﹣16C ．16D ．3211．定义在R 上的函数f （x ）满足f′（x ）＞1﹣f （x ），其中f′（x ）是f （x ）的导函数，e 为自然对数的底数，则下列正确的是（ ）A ．ef （1）﹣e ＞e 2f （2）﹣e 2B ．e 2015f ﹣e 2016C ．e 2f （2）+e 2＞ef （1）+eD ．e 2016f+e 201512．已知函数f （x ）=，若g （x ）=|f （x ）|﹣2ax ﹣2a 的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．[，）C ．（0，）D ．[，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设命题P ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则命题P 的否定￢p 为 ．14．等比数列{a n }中，a 1，a 5是关于x 方程x 2﹣bx+c=0的两个根，其中点（c ，b ）在直线y=x+1上，且c=t 2dt ，则a 3的值是 ．15．定义在R 上的函数y=f （x ）满足：f （﹣x ）=﹣f （x ），f （1+x ）=f （1﹣x ），当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=sin （x ），则f ．若（1+）（1+）…（1+）≥λ（++…+）（n ∈N *），则实数λ的最大值为 ．三、解答题（解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．已知向量=（2cos 2x ，），=（1，sin2x ），函数f （x ）=•．（1）求函数f （x ）的最小正周期及单调增区间；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f （C ）=3，c=1，ab=2，且a ＞b ，求a ，b 的值．18．已知数列{a n }的各项均为正数，观察程序框图，若k=1，k=5时，分别有S=和S=．（1）试求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =3n •a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，PA 是四棱锥的高，PB 与DC 所成角为45°，F 是PB 的中点，E 是BC 上的动点．（Ⅰ）证明：PE ⊥AF ；（Ⅱ）若BC=2BE=2AB ，求直线AP 与平面PDE 所成角的大小．．20．如图．设椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率e=，椭圆C 上一点M 到左、右两个焦点F 1、F 2的距离之和是4．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：x=1与椭圆C 交于P 、Q 两点，P 点位于第一象限，A 、B 是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若直线AB 的斜率为，求四边形APBQ 面积的最大值．21．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0成立，则称x 0为f （x ）的不动点．如果函数f （x ）=（b ，c ∈N*）有且仅有两个不动点0，2，且f （﹣2）＜﹣．（1）试求函数f （x ）的单调区间；（2）已知各项不为1的数列{a n }满足，求证：﹣＜ln ＜﹣；（3）在（2）中，设b n =﹣，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T 2016﹣1＜ln2016＜T 2015．请考生在第22、23题中任选一题作答。
湖南省益阳市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2.
A. 第一象限
【答案】B
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【解析】解： ∵ ������ = 2 ‒ ������， ∴ ������ = 2 + ������． ∴ ������ ⋅ ������ = (2 + ������) ⋅ ������ =‒ 1 + 2������在复平面上对应的点的坐标为( ‒ 1,2)，所在象限是第二象 限． 故选：B． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数������ ⋅ ������，求出������ ⋅ ������在复平面上对应的点的坐标 得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础 题． 已知{������������}是等差数列，满足：对∀������ ∈ ������ ∗ ，������������ + ������������ + 1 = 2������，则数列{������������}的通项公 式������������ = ( )
1 1 2 3
4.
A. 2
【答案】D
B. 3
C. 5
D. 5
【解析】解：由题意可知：小张下班后坐 1 路公交车回家的时间段是在 10 路车到站与 1 路车到站之间，共 6 分钟，设“小张坐 1 路车回家”为事件 A， 则 ������(������) = 10 = 5
6 3
，
故选：D． 先阅读题设，在理解题意的条件下，结合几何概型中的线段型得： 解． 本题考查了几何概型中的线段型及阅读理解能力，属简单题． 某批次产品测量数据茎叶图如图，这组数据的众数、中位数、平均数分别为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是( ) ������(������) = 10 = 5
2019-2020年高三(上)第三次月考数学试卷 含解析
2019-2020年高三（上）第三次月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）命题：若x≥1，则x2+3x﹣2≥0的否命题为“若x＜1，则x2+3x﹣2＜0”．．考点：四种命题．专题：常规题型．分析：命题“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，据此可得出答案．解答：解：根据命题“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，可得命题：“若x≥1，则x2+3x﹣2≥0”的否命题应是“若x＜1，则x2+3x﹣2＜0”．故答案为“若x＜1，则x2+3x﹣2＜0”．点评：掌握四种命题间的关系是解决问题的关系．2．（5分）i是虚数单位，复数=2﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的复数分子分母同时乘以1+i，展开后整理即可．解答：解：．故答案为2﹣i．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=[1，2）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．解答：解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故答案为：[1，2）点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．（5分）已知510°角的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P（m，2），则m=﹣2．考点：任意角的概念．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式求得cos510°=﹣，再由任意角的三角函数的定义可得m＜0且﹣=，由此求得m的值．解答：解：∵510°=360°+150°，∴cos510°=cos150°=﹣cos30°=﹣．再由510°角的终边经过点P（m，2），可得m＜0，且cos510°=﹣=，解得m=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，终边相同的角的性质，属于基础题．5．（5分）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：直接利用左加右减、上加下减的平移原则，推出平移后的函数解析式即可．解答：解：将函数的图象向左平移个单位，得到=，再向下平移1个单位，得到函数的图象，所以g（x）的解析式为．故答案为：．点评：本题考查三角函数的图象的平移变换，值域左加右减以及上加下减的法则，值域平移的方向与x的系数的关系．6．（5分）已知向量=（sin55°，sin35°），=（sin25°，sin65°），则向量与的夹角为30°．考点：数量积表示两个向量的夹角．分析：向量夹角公式的应用，已知向量的坐标要求向量的夹角，利用向量夹角的公式，在代入的过程中，注意向量的坐标是用三角函数表示的，这里有一个利用诱导公式变化的过程．解答：解：∵=（sin55°，sin35°），=（sin25°，sin65°），∴=1，=1，由向量夹角的公式可得，cosθ====sin120°=，∵θ∈[0，180]，∴θ=30°，故答案为：30．点评：本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，只是题目所给的模不是数字，而是用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换．7．（5分）如果实数x、y满足不等式组，则z=x+2y+3最小值为8．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入x+2y+3中，求出x+2y+3的最小值．解答：解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=x+2y+3在边界点A（1，2）处取到最小值z=1+2×2+3=8．故答案为：8．点评：本题考察的知识点是简单线性规划的应用，在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．8．（5分）（xx•浙江二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．9．（5分）（xx•盐城一模）已知是定义在（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）上的奇函数，则f（x）的值域为．考点：函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：根据是奇函数，可确定a的值，进而可得函数的解析式，利用函数的定义域，可确定函数的值域．解答：解：∵是定义在（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴∴∴∴2a=﹣1，∴∴∵x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）∴2x∈（0，]∪[2，+∞）∴[﹣2，﹣1）∪（0，1]∴f（x）∈故答案为：点评：本题重点考查函数的奇偶性，考查函数的值域，解题的关键是确定函数的解析式，属于基础题．10．（5分）“”是“对∀正实数x，”的充要条件，则实数c=1．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据所给的条件，看出对于c的值的符号不同，分两种情况进行讨论，c小于0时，比较简单，当c大于0时，需要分离参数，求出二次函数的值域，根据函数的思想求出结果．解答：解：若c＜0，则a≥0，不符合题意，若c＞0，，∴根据x是正数有a≥cx﹣2x2∵y=cx﹣2x2在x是正数时，值域是y=则，于是，故答案为：1点评：本题考查充要条件的判断，考查二次函数的性质，考查函数的分离参数的思想．本题解题的关键是求出二次函数的最值，根据函数的思想来解题，本题也可转化为二次函数a≥﹣2x2+cx恒成立展开讨论．11．（5分）函数f（x）=ax2+lnx+1在[e，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：求出原函数的导函数，使导函数在[e，+∞）上恒小于等于0，列式求解a的范围．解答：解：由f（x）=ax2+lnx+1，则，令g（x）=2ax2+1，因为f（x）在[e，+∞）上是减函数，所以，f′（x）在[e，+∞）上小于等于0恒成立，则g（x）=2ax2+1在[e，+∞）上小于等于0恒成立，即，所以．故答案为．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．考查了在某一区间内不等式恒成立的问题，此题属中档题．12．（5分）（2011•天津）已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为18．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：先把已知条件转化为ab≥2，且a＞0，b＞0；再把所求用基本不等式转化到用ab表示即可．解答：解：由log2a+log2b≥1得ab≥2，且a＞0，b＞0．又3a+9b=3a+32b≥2=2，因为a+2b≥2=2≥2=4，所以3a+9b≥2=18．即3a+9b的最小值为18．故答案为18．点评：本题是对指数的运算性质，对数的运算性质以及基本不等式的综合考查．考查的都是基本知识点，只要课本知识掌握熟练，是道基础题．13．（5分）设实系数一元二次方程x2+ax+2b﹣2=0有两个相异实根，其中一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则的取值范围是．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：要求的式子化为1+，表示点（a，b）与点（1，4）连线的斜率再加上1．由可得，画出可行域，求出点A和点B的坐标，根据函数z=表示可行域里面的点（a，b）与点p（1，4）的斜率的大小，求出z的范围，可得z+1的范围，即为所求．解答：解：==1+，表示点（a，b）与点（1，4）连线的斜率再加上1，实系数一元二次方程x2+ax+2b﹣2=0有两个相异实根，f（x）=x2+ax+2b﹣2，图象开口向上，对称轴为x=﹣，由可得，画出可行域，如图所示：由求得点A的坐标为（﹣1，1），由求得点B的坐标为（﹣3，2）．设目标函数z=，表示可行域里面的点（a，b）与点p（1，4）的斜率的大小，∴z min=k AP==；z max=k BP==，∴≤z≤．再由于点A和点B不在可行域内，故有＜z＜．∴1+ 的范围为（，），故答案为（，）．点评：此题主要考查函数的零点的判定定理，还考查了简单线性和规划问题，要分析的几何的意义，属于中档题．14．（5分）已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用．分析：对f（x）进行求导，根据它与直线y=x相切于点A（1，1），可得f′（1）=0，可得把点A代入得到方程，求出a，b，求出f（x）的解析式，根据题意对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，根据根与系数的关系进行求解；解答：解：∵已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），f′（x）=2ax+b，∴f′（1）=1，可得2a+b=1①，又f（x）过点A（1，1）可得a+b+=1②，联立方程①②可得a=，b=，f（x）=x2+x+，∵对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，可得f（x﹣t）=（x﹣t+1）2≤x，化简可得，x2﹣2x（t﹣1）+（t﹣1）2﹣4x≤0，在[1，9]上恒成立，令g（x）=x2﹣2x（t+1）+（t﹣1）2≤0，在[1，9]上恒成立，∴，解①可得0≤t≤4，解②可得4≤t≤14，解③可得t≥4综上可得：t=4，故答案为2点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件；二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）已知a＞0，a≠1．设命题p，q分别为p：函数y=x2+（3a﹣4）x+1的图象与x 轴有两个不同的交点；q：函数y=a x在（0，+∞）内单调递减．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：依题意可分别求得命题p为真命题与命题q为真命题时a的取值范围，再结合题意，利用真值表通过解不等式组即可求得实数a的取值范围．解答：解：因为a＞0，a≠1，由命题p为真命题得：（3a﹣4）2﹣4＞0，解得0＜a＜或a＞2…．（2分）由命题q为真命题可得0＜a＜1…（4分）由命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，可知命题p、q为真命题恰好一真一假…．（6分）（1）当命题p真q假时，，即a＞2…（9分）（2）当命题p假q真时，，即≤a＜1…（12分）综上，实数a的取值范围为≤a＜1或a＞2．…．（14分）点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查二次函数与指数函数的性质，突出考查真值表的应用及解不等式组的能力，属于中档题．16．（14分）已知向量（λ≠0），，，其中O为坐标原点．（1）若λ=2，，β∈（0，π），且，求β；（7）若对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据给出的λ和α的值，求出向量，由向量的坐标差求出向量，最后由向量垂直的坐标表示可解得β的值；（2）把向量和的模代入后得到关于λ的不等式λ2+1+2λsin（β﹣α）≥4，把不等式左边看作关于λ的二次函数，分λ＞0和λ＜0求出函数的最小值，让最小值大于等于4可求解λ的范围．解答：解：（1）若λ=2，，则，，由，得：，即，所以，因为，所以，所以．（2）若对任意实数α，β都成立，则（λcosα+sinβ）2+（λsinα﹣cosβ）2≥4对任意实数α，β都成立，即λ2+1+2λsin（β﹣α）≥4对任意实数α，β都成立，所以，或，解得：λ≥3或λ≤﹣3，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．点评：本题考查了向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量的模，考查计算能力，数学转化思想和函数思想，是中等难度的题目．17．（14分）（2011•江西模拟）设a∈R，满足，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且，求f（x）在（0，B]上的值域．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：（Ⅰ）通过二倍角公式，以及，求出a的值，利用两角差的正弦函数化简函数的表达式，通过正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）利用余弦定理化简，通过正弦定理求出，推出B的值，然后求f（x）在（0，B]上的值域．解答：解：（Ⅰ）f（x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=．由得，解得．因此．令得故函数f（x）=的单调递增区间（6分）（Ⅱ）由余弦定理知：即2acosB﹣ccosB=bcosC，又由正弦定理知：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA即，所以当时，，f（x）∈（﹣1，2]故f（x）在（0，B]上的值域为（﹣1，2]（12分）点评：本题考查余弦定理，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，正弦定理个应用，考查转化思想与计算能力．18．（16分）（xx•绵阳二模）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）考点：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．专题：分类讨论．分析：（1）由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）﹣成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．解答：解：（1）当；当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x．∴W=（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1﹣=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，∴当x=9时，W取最大值，且②当x＞10时，当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38．综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．点评：本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．19．（16分）（xx•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，s4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题；证明题．分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先写出T n的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立．解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，得方程组，解得，故a n=3n﹣1，b n=2n，n∈N*．（2）证明：方法一，由（1）得，T n=2a n+22a n﹣1+23a n﹣2+…+2n a1；①；2T n=22a n+23a n﹣1+…+2n a2+2n+1a1；②；由②﹣①得，T n=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=+2n+2﹣6n+2=10×2n﹣6n﹣10；而﹣2a n+10b n﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；故T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．方法二：数学归纳法，③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，④假设当n=k时等式成立，即T k+12=﹣2a k+10b k，则当n=k+1时有，T k+1=a k+1b1+a k b2+a k﹣1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q（a k b1+a k﹣1b2+…+a1b k）=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q（﹣2a k+10b k﹣12）=2a k+1﹣4（a k+1﹣3）+10b k+1﹣24=﹣2a k+1+10b k+1﹣12．即T k+1+12=﹣2a k+1+10b k+1，因此n=k+1时等式成立．③④对任意的n∈N*，T n+12=﹣2a n+10b n成立．点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．20．（16分）（xx•湖北模拟）已知f（x）=ax﹣ln（﹣x），x∈（﹣e，0），，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=﹣1时，f（x）的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，．（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；分类讨论．分析：（1）把a=﹣1代入f（x）=ax﹣ln（﹣x），求导，分析导函数的符号，可得f（x）的单调性、极值；（2）由（1）知f（x）在[﹣e，0）的最小值为1，要证，只需证的最大值小于1即可，利用导数求函数的最大值；（3））假设存在实数a，使f（x）=ax﹣ln（﹣x）有最小值3，x∈[﹣e，0），求导，令导数等于零，解方程得到的方程的根是否在定义域（﹣e，0）内进行讨论，从而求得结果．解答：解：（1）∵f（x）=﹣x﹣ln（﹣x）∴当﹣e≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，此时f（x）为单调递减当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，此时f（x）为单调递增∴f（x）的极小值为f（﹣1）=1（2）∵f（x）的极小值，即f（x）在[﹣e，0）的最小值为1∴|f（x）|min=1令又∵当﹣e≤x＜0时h′（x）≤0，h（x）在[﹣e，0）上单调递减∴∴当x∈[﹣e，0）时，（3）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣ln（﹣x）有最小值3，x∈[﹣e，0）①当时，由于x∈[﹣e，0），则∴函数f（x）=ax﹣ln（﹣x）是[﹣e，0）上的增函数∴f（x）min=f（﹣e）=﹣ae﹣1=3解得（舍去）②当时，则当时，此时f（x）=ax﹣ln（﹣x）是减函数当时，，此时f（x）=ax﹣ln（﹣x）是增函数∴解得a=﹣e2点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值、最值问题．对方程f'（x）=0根是否在定义域内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，和转化思想，其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．11 / 11文档可自由编辑打印。
湖南省2019届高三上学期第三次月考数学(理)含答案
2019届高三月考试卷(三)数学（理科）得分:本试卷共8页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R ，集合{}1)12(log 3≤-=x x A ，{}x x xy B 232-==，则=B AA. ]1,21(B. ]2,32[C. ]1,32(D. )32,21(★2. 若关于x 的不等式a x ＜1-成立的充分条件是]4＜＜0x ，则实数a 的 取值范围是A. 1≤aB. 1＜aC. ＞3aD. 3≥a 3. 设向量 a=(m ，1)，b= (-1， 2)，且b a b a b a ⋅=--+22)()()，则=m .A.2B. 13-C. 15-D.44.某中学高三第二次月考后，对全校的数学成绩进行统计，发现数学成绩的频率分布直方图形状与正态分布（(95，82)的密度曲线非常拟合.据此统计:在全校随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的数学成绩超过95 分的概率是A. 61B. 21C. 31D. 83 5.已知a>1，b>1，且a b b a b a a b ==+,310log log ，则如图所示的程序框图输出的S=A. 2B. 2C. 3D.3★6.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息。
设定原信息为{})2,1,0(1,0,,,210=∈i a a a a i ，传输信息为12100,,,,h a a a h ，1，其中⊕⊕=⊕=,,201100a h h a a h 的运算规则为: 011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕㊉0(!1㊉.例如原信息为111，则传输信息为 01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是A. 11 010B. 01 100C. 10 111D. 00 0117.在数列{n a }中，若5,1124==a a ,且任意连续三项的和都是15,则=2018aA.5B. 7C. 9D.1 8.函数ωπω)(6cos()(+=x x f >0)在[0，π]内的值域为]23,1[-，则ω的取值范围是 A. ]35,23[ B. ]23,65[ C. ],56[+∞ D. ]35,65[ 9.设4log ,34,3log 32===c b a ，则a ，b ，c 的大小关系为 A. b ＜a ＜c B. c ＜a ＜b C. a ＜b ＜c D. c ＜b ＜a10.函数)1(1)(-+=x x e x e x f (其中e 为自然对数的底数)的图象大致为11.锐角△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为△ABC 的重心，若 AG⊥BG，则cos C 的取值范围为A. ]35,23[B. ]23,65[C. ],56[+∞D. ]35,65[ 12.设实数m>0，若对任意的x≥e(其中e 为自然对数的底数），不等式0ln 2≥-x m x x 恒成立，则m 的最大值是 A. e1 B. 3e C. e2 D. e 选择题答题卡二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省邵阳市2019届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)Word版含解析
湖南省邵阳市2019届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|log3x≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．已知复数为纯虚数，那么实数a=（）A．﹣1 B．C．1 D．3．设{an }是公比为正数的等比数列，若a3=4，a5=16，则数列{an}的前5项和为（）A．41 B．15 C．32 D．314．函数y=log2（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞）D．（﹣3，﹣1）5．设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）7．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．8．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=2x+C．y=x2+sinx D．y=x2﹣cosx9．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，则c的取值范围为（）A．c＜B．c≤C．c≥D．c＞10．如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞611．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若，则△ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形12．已知函数f （x ）=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈（0，1），x 2∈（1，+∞）；点P （m ，n ）表示的平面区域为D ，若函数y=log a （x+4）（a ＞1）的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，3]B ．（1，3）C ．（3，+∞）D ．[3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（sinx ﹣acosx ）dx=2，则实数a 等 ．14．如果f[f （x ）]=4x+6，且f （x ）是递增函数，则一次函数f （x ）= ．15．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω= ．16．设函数f （x ）=的最大值为M ，最小值为m ，则M+m= ．三、解答题17．已知向量=（sin θ，﹣2）与=（1，cos θ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（Ⅰ）求sin θ和cos θ的值；（Ⅱ）若sin （θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cos φ的值．18．设函数f （x ）=（x ﹣1）3﹣ax ﹣b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R ，求f （x ）的单调区间．19．已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）单调递增区间．20．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）21．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：＜．（参考数据：ln2≈0.693）请考生在第22与23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为4ρ2cos2θ﹣4ρsinθ﹣3=0．（I）求直线l的极坐标方程；（II）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．对任意实数b及非零实数a，不等式|2a+b|+|a﹣b|≥|a|（|2x﹣1|﹣|x﹣2|）恒成立，试求x的取值范围．湖南省邵阳市2019届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|log 3x ≥0}，B={x|x ≤1}，则（ ）A ．A ∩B=∅B ．A ∪B=RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据对数函数的单调性便可解出A={x|x ≥1}，这样即可求出A ∩B ，A ∪B ，从而找出正确选项．【解答】解：A={x|x ≥1}，B={x|x ≤1}；∴A ∩B={1}，A ∪B=R ，A ，B 没有包含关系；即B 正确．故选B ．2．已知复数为纯虚数，那么实数a=（ ）A ．﹣1B ．C ．1D ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==为纯虚数，∴a ﹣1=0，1+a ≠0，解得a=1．故选：C ．3．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 3=4，a 5=16，则数列{a n }的前5项和为（ ）A ．41B ．15C ．32D ．31【考点】等比数列的前n 项和．【分析】由a 3=4，a 5=16，可求出公比，进而得到首项，再根据前n 项和公式，即可求数列的前5项和．【解答】解：由于a 3=4，a 5=16，则，又由{a n }是公比为正数的等比数列，则q=2．又∵a 3=4，∴a 1=1，∴数列{a n }的前5项和=31． 故答案选D ．4．函数y=log 2（x 2+2x ﹣3）的单调递减区间为（ ）A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞）D．（﹣3，﹣1）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性求单调减区间．【解答】解：∵x2+2x﹣3＞0，∴x＞1或x＜﹣3；又∵y=x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣1]上是减函数，在[﹣1，+∞）上是增函数；且y=logx在（0，+∞）上是增函数；2（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）；∴函数y=log2故选：A．5．设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：若a≥1且b≥1则a+b≥2成立，当a=0，b=3时，满足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立，即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A6．设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【考点】奇函数；对数函数的单调性与特殊点．【分析】首先由奇函数定义，得到f（x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（0）=0），求出a，然后由对数函数的单调性解之．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），，，即=，1﹣x2=（2+a）2﹣a2x2此式恒成立，可得a2=1且（a+2）2=1，所以a=﹣1则即解得﹣1＜x＜0故选A7．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数，也就是y=0，图象与x轴的交点的个数，排除BC，再取特殊值，排除D【解答】解：分别画出函数f（x）=2x（红色曲线）和g（x）=x2（蓝色曲线）的图象，如图所示，由图可知，f（x）与g（x）有3个交点，所以y=2x﹣x2=0，有3个解，即函数y=2x﹣x2的图象与x轴由三个交点，故排除B，C，当x=﹣3时，y=2﹣3﹣（﹣3）2＜0，故排除D故选：A8．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=2x+C．y=x2+sinx D．y=x2﹣cosx【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断．【解答】解：A．f（﹣x）=﹣x+sin2（﹣x）=﹣x﹣sin2x=﹣（x+sin2x）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，B．f（﹣x）=2﹣x+=2x+=f（x），则函数f（x）是偶函数，C．f（﹣x）=（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），则函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，D．f（﹣x）=（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2+cosx=f（x），则函数f（x）是偶函数，故选：C9．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，则c的取值范围为（）A．c＜B．c≤C．c≥D．c＞【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由已知中函数解析式f（x）=x3﹣x2+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）有极值，方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜．故选：A10．如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6【考点】程序框图．【分析】根据程序，依次进行运行得到当S=35时，满足的条件，即可得到结论．【解答】解：当k=10时，S=1+10=11，k=9，当k=9时，S=11+9=20，k=8，当k=8时，S=20+8=28，k=7，当k=7时，S=28+7=35，k=6，此时不满足条件输出，∴判断框中应填入的关于k的条件是k＞6，故选：D．11．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】设BC的中点为 D，由条件可得•2=0，故⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线，△ABC 是以BC为底边的等腰三角形．【解答】解：设BC的中点为 D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC 的BC 边上的中线也是高线．故△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，故选 B ．12．已知函数f （x ）=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈（0，1），x 2∈（1，+∞）；点P （m ，n ）表示的平面区域为D ，若函数y=log a （x+4）（a ＞1）的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，3]B ．（1，3）C ．（3，+∞）D ．[3，+∞）【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由函数f （x ）=+的两个极值点分别为x 1，x 2，可知：y ′==0的两根x 1，x 2满足0＜x 1＜1＜x 2，利用根与系数的关系可得：（x 1﹣1）（x 2﹣1）=+m+1＜0，得到平面区域D ，且m ＜﹣1，n ＞1．由于y=log a （x+4）（a ＞1）的图象上存在区域D 内的点，可得＞1，进而得出结论．【解答】解：∵函数f （x ）=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈（0，1），x 2∈（1，+∞），∴y ′==0的两根x 1，x 2满足0＜x 1＜1＜x 2， 则x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=＞0，（x 1﹣1）（x 2﹣1）=x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1=+m+1＜0， 即n+3m+2＜0，∴﹣m ＜n ＜﹣3m ﹣2，为平面区域D ，∴m ＜﹣1，n ＞1．∵y=log a （x+4）（a ＞1）的图象上存在区域D 内的点，∴log a （﹣1+4）＞1，∴＞1，∵a ＞1，∴lga ＞0，∴1g3＞lga ．解得1＜a ＜3．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（sinx ﹣acosx ）dx=2，则实数a 等 ﹣1 ．【考点】定积分．【分析】根据定积分计算公式，算出=﹣a+1，再结合本题的等式解关于a的方程，即可得到实数a的值．【解答】解： =（﹣cosx﹣asinx）=[（﹣cos﹣asin）﹣（﹣cos0﹣asin0）]=﹣a+1∵∴﹣a+1=2，解之得a=﹣1故答案为：﹣114．如果f[f（x）]=4x+6，且f（x）是递增函数，则一次函数f（x）= 2x+2 ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用待定系数法求解该函数的解析式是解决本题的关键．结合着复合函数表达式的求解，根据多项式相等即对应各项的系数相等得出关于一次项系数和常数项的方程组，通过方程思想求解出该函数的解析式．【解答】解：设f（x）=kx+b（k≠0），则f[f（x）]=f（kx+b）=k（kx+b）+b=k2x+kb+b=4x+6，根据多项式相等得出，解得：或∵f（x）是递增函数，∴所求的函数解析式为：f（x）=2x+2；故答案为：2x+2．15．已知函数f （x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω= ．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象可得=，解方程求得ω的值．【解答】解：由函数的图象可得==，解得ω=，故答案为．16．设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m= 2 ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．三、解答题17．已知向量=（sinθ，﹣2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（Ⅰ）求sinθ和cosθ的值；（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的性质及其运算律．【分析】（1）根据两向量垂直，求得sinθ和cosθ的关系代入sin2θ+cos2θ=1中求得sinθ和cosθ的值．（2）先利用φ和θ的范围确定θ﹣φ的范围，进而利用同角三角函数基本关系求得cos（θ﹣φ）的值，进而利用cosφ=cos[θ﹣（θ﹣ϕ）]根据两角和公式求得答案．【解答】解：（1）∵与互相垂直，则，即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得，又，∴（2）∵0＜φ＜，，∴﹣＜θ﹣φ＜，则cos（θ﹣φ）==，∴cosφ=cos[θ﹣（θ﹣φ）]=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）=．18．设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R，求f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】解：f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增．19．已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式展开，结合二倍角公式和辅助角公式进行化简，可得f（x）=，再利用三角函数的周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，再根据余弦函数的值域即可求得函数f（x）的最大值．（2）根据余弦函数的单调区间的结论，解关于x的不等式并将所得不等式变成区间，即可求出函数f（x）单调递增区间．【解答】解：（1）∵…=…==…==…∴函数f（x）的最小正周期为 T==π，…当=2kπ（k∈Z）时，即x=﹣+kπ（k∈Z）时，函数f（x）的最大值为…（ 2）设…解之可得：…∴函数f（x）的单调递增区间为…20．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的表示方法；函数的值．【分析】（I）服装的实际出厂单价为P，应按x≤100和x＞100两类分别计算，故函数P=f（x）应为分段函数；（II）由（I）可求出销售商一次订购了450件服装时的出厂价P，450（P﹣40）即为所求；也可列出当销售商一次订购x件服装时，该服装厂获得的利润函数，再求x=450时的函数值．【解答】解：（I）当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，所以（II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则此函数在[0，450]上是增函数，故当x=450时，函数取到最大值因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元．21．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：＜．（参考数据：ln2≈0.693）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负研究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）确定α+β=0，αβ=a﹣1.．构造函数，确定其单调性，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）．当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，故f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当a＜0时，由f'（x）=0得，，f（x）在上单调递减，在上单调递增．证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且，所以α+β=0，αβ=a﹣1．．由0＜a＜1得，0＜β＜1．构造函数．，设h（x）=2（x2+1）ln（x+1）﹣2x+x2，x∈（0，1），则，因为0＜x＜1，所以，h'（x）＞0，故h（x）在（0，1）上单调递增，所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，所以，故．请考生在第22与23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4ρ2cos2θ﹣4ρsin θ﹣3=0． （I ）求直线l 的极坐标方程；（II ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB|． 【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I ）在平面直角坐标系中，直线l 经过坐标原点，倾斜角是，可得直线l 的极坐标方程；（II ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，利用极径的意义求|AB|．【解答】解：（I ）∵在平面直角坐标系中，直线l 经过坐标原点，倾斜角是，∴直线l 的极坐标方程是θ=，ρ∈R ；（II ）把θ=代入C 的极坐标方程，得∴ρ1+ρ2=﹣，ρ1ρ2=﹣，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==3．[选修4-5：不等式选讲]23．对任意实数b 及非零实数a ，不等式|2a+b|+|a ﹣b|≥|a|（|2x ﹣1|﹣|x ﹣2|）恒成立，试求x 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】把原不等式变形，得，求出左边的最小值，转化为|2x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤3，分类求解得答案．【解答】解：∵a ≠0，∴原不等式等价于，∵|2a+b|+|a ﹣b|≥|（2a+b ）+（a ﹣b ）|，当且仅当（2a+b ）（a ﹣b ）≥0时取等号，∴，即的最小值是3．依题应有|2x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤3．下面解不等式|2x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤3，它等价于，①或，②或，③解①得x=2； 解②得； 解③得﹣4．综上所述知，x的取值范围是[﹣4，2]．。
2019届高三数学上学期第三次月考试题 理(含解析)新人教版
2019学年第一学期高三第三次月考试卷数学(理科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则的子集的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题意，令，得，所以，其子集的个数为，故选B.2. 的内角的对边分别为，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在中，则,即，若，则，即，所以是成立的充要条件，故选C.3. （）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，故选D.4. 下列命题中正确的是（）A. 命题“，使”的否定为“，都有”B. 若命题为假命题，命题为真命题，则为假命题C. 命题“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D. 命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”【答案】D【解析】选择A：命题“，使”的否定为“，都有”；选项B：为真命题；选项C：“若，则与的夹角为锐角”原命题为假命题，逆命题为真命题，故选D5. 中，角的对边分别为，，，，则为（）A. B. C. D.【答案】A.... ..............由正弦定理，可得，进而得到，故选A.6. 已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若，则所有九个数的和为（）A. 18B. 27C. 45D. 54【答案】C【解析】由题意得，这九个数的和根据等差数列的性质，得，又因为各列也构成等差数列，则，所以，故选C.7. 已知函数（），且导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，由图象可得，函数的最大值，又因为，所以，可得，所以，将代入，得，即，即，因为，所以，所以所以，故选B.8. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在仿射坐标系中的坐标.若在此仿射坐标系下，的坐标为，的坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平面直角坐标系可得：，则，所以，故选A.9. 函数（）的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可知，所以函数是奇函数，依据图象排除A和C选项，由于，即，排除D选项，故选B.10. 将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和．若，则下列说法中一定正确的是（）A. B. 不存在，使得C. 对，且，都有D. 以上说法都不对【答案】C【解析】由，则，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以，又当时，，所以当，且时，是成立的，故选C.11. 已知，，，则函数（）的各极大值之和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，所以，则，所以的极大值点为，的各极大值之和为，故选A.点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用以及等比数列的求和问题，其中解答中涉及到归纳推理、利用导数研究函数的极值，以及等比数列求和公式等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中认真审题，利用导数判定出函数在定义域上的极大值点是解答的关键.12. 如图，点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，因为，且，所以，得，所以，又，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，故选B.点睛：本题主要考查了向量的运算和数列的通项公式的求解问题，其中解答中涉及到向量的线性运算，共线向量的表示和等差数列的判定和等差数列的通项公式的应用，试题综合性强，属于中档试题，解答中根据向量的运算和共线向量的表示，得出数列和的关系是解答的关键.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】【解析】由，及，可得，所以.14. 已知函数，若，则实数的值是__________．【答案】0或或【解析】由题意得，①当时，，符合题意；②当时，，解得，符合题意；③当时，，解得，符合题意，综上所述，或或.15. 若直线为函数图象的一条切线，则的最小值为__________．【答案】0【解析】设切点，则，所以方程为，即，所以，，可得在上单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值.点睛：本题主要考查了导致在函数中的应用，其中解答中涉及到导数的几何意义求解切线的方程，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据导数的几何意义，得出切线方程，求得的解析式是解答的关键.16. 点为所在平面内的一点且满足，，动点满足，，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，即点是外接圆的圆心，即外心，又因为，即点是外接圆的重心，所以是等边三角形，由，解得，即三角形的边长为，以点为原点建立坐标系，并且做单位元，点是圆上任意一点，则，点是的中点，所以，，当时，函数取得最小值，即的最小值为.点睛：本题主要考查了三角函数的综合应用问题，其中解答中涉及到三角形的性质，正弦定理解三角形，以及三角函数的恒等变换和三角函数的性质，试题综合性强，属于难题，解答中根据三角形的形式和正弦定理得到三角形为等边三角形，建立坐标系，利用坐标法求解是解答的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，，记函数.(1)求函数的最大值及取得最大值时的取值集合；(2)求函数在区间内的单调递减区间.【答案】（1）最大值，且取得最大值时的集合为；（2）和【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意，化简得，即可求解函数的最值，及其相应的的值. (Ⅱ)由题意:根据三角函数的图象与性质，即可求解在的单调递减区间．试题解析：当，即时，取得最大值.此时，最大值.且取得最大值时的集合为.(2)由题意: ，即，．于是，在的单调递减区间是和．18. 在等差数列中，，.记数列的前项和为.(1)求；(2)设数列的前项和为，若成等比数列，求.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意，求得等差数列的公差，进而得到数列的通项公式，即可求解数列的前项和.(Ⅱ)由成等比数列，求解，进而得到数列通项公式，再猜裂项相消求和即可.试题解析：(1)由得，∵，∴，∴，∴，∴，．(2)若成等比数列，则，即，∴，∵∴.19. 设分别为三个内角的对边，若向量，，且.(1)求的值；(2)求的最小值(其中表示的面积).【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意得，得出向量的坐标，根据，利用，化简即可到结论；(Ⅱ)由三角形的面积公式及余弦定理，得，在中，得出，再利用正切的两角和公式和基本不等式，即可求解结论.试题解析：(1) ∵，，且，∴即，，因此.(2)由及余弦定理，得在中，∵，易知，∴即当且仅当时，．20. 设函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：(Ⅰ)由定义域为，求得，分，两种情况讨论，即可得出函数的单调性；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知得到，则恒成立，转化为函数，得出，令令，利用导数得出的单调性和最值，即可求解实数的取值范围.试题解析：(1)由定义域为，，当时，，在单调增．当时，，；在单调增，在单调减．综上所述:当时，在单调增；当时，在单调增，在单调减．(2)由(Ⅰ)可知，，则恒成立．令，显然，再令，，当，当．在单调减，单调增．，，∴，在单调增，，∴．21. 设正项数列的前项和为，且满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)若正项等比数列满足，且，数列的前项和为.①求；②若对任意，，均有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(Ⅰ) 由题意，可化简得，进而求得，所以，利用等差数列的通项公式，即可求解数列的通项公式；(Ⅱ)由（1）得出，利用乘公比错位相减法，求解数列的和，在利用恒成立，分类参数转化为恒成立，即可求解结论.试题解析：(1) ，，∴，∴且各项为正，∴又，所以，再由得，所以∴是首项为1，公差为3的等差数列，∴(2)∴，①，②∴，恒成立∴，即恒成立.设，当时，；时，∴，∴.点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键.22. 已知函数.(1)若，试判断函数的零点个数；(2)若函数在上为增函数，求整数的最大值，(可能要用的数据: ；).【答案】（1）1个；（2）6【解析】试题分析：(Ⅰ)根据导数求解函数的单调性，利用零点的存在定理，即可判定函数在上的零点的个数.(Ⅱ)由题意，把在上恒成立，在上恒成立，进而转化为在上恒成立，令，即，利用导数求解函数的单调性和最小值，即可求解实数的取值范围.试题解析：(1)因为，易知在上为增函数，则，故在上为增函数，又，，所以函数在上的零点有且只有1个.(2)因为，由题意在上恒成立，因为显然成立，故只需在上恒成立，令，则因为由(1)可知: 在上为增函数，故在上有唯一零点记为，，，则，，则在为减函数，在为增函数，故时，有最小值.令，则最小值有，因，则的最小值大约在之间，故整数的最大值为6.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及恒成立问题的求解，试题综合性强，属于难题，此类问题的解答中，根据题意合理利用分离参数转化为新函数的性质是解答的关键.。
湖南省益阳市新湾镇中学2019年高三数学理测试题含解析
湖南省益阳市新湾镇中学2019年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知三个向量，,共线，其中分别是的三条边及相对三个角，则的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形参考答案：B略2. 双曲线的离心率为，则它的渐近线方程是（）A．B．C．y=±2x D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线中心在原点，离心率为，由此能够推导出双曲线的渐近线方程．【解答】解：，∴，∴渐近线方程是，故选A．3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据平面平面，可知所求角为；假设正方体棱长为，求解出和，从而得到结果.【详解】因为平面平面所以与平面所成角即与平面所成角可知与平面所成角为.设，则，平面面且面，可知则，即，在中，故与平面所成角的正切值为本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面所成角问题，关键是能够通过位置关系确定所成角，再利用直角三角形求得结果.4. 若奇函数满足，则=（）A、0B、1C、D、 5参考答案：C5. 执行右侧框图所表达的算法,如果最后输出的的值为,那么判断框中实数的取值范围是( ).....非上述答案参考答案：A6. 设集合，，则M∩N= ( )A. {0}B. {1}C. {0,1}D.{－1,0}参考答案：D【分析】先化简集合N,再求得解.【详解】由题得N={x|x＜1}，所以.故选：D【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7. 已知双曲线与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）参考答案：A8. 函数的最小正周期为（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π参考答案：A【分析】把，化成或者形式，然后根据公式,可以直接求解。
湖南省益阳市三岔河中学2019-2020学年高三数学理测试题含解析
湖南省益阳市三岔河中学2019-2020学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A． B． C． D．参考答案：C考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．2. 若规定E=的子集为E的第k个子集，其中，则是E的第个子集；E的第211个子集是.参考答案：5，3. 为了解某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系，统计了（ｘ，ｙ）的10组值，并画成散点图如图１，则其回归方程可能是A. B.C. D.参考答案：B略4. 复数z（1+i）=2i，则z的共轭复数为（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先化简z，从而求出z的共轭复数即可．【解答】解：∵z（1+i）=2i，∴z===1+i，则z的共轭复数为1﹣i，故选：A．5. 将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个６点”，则条件概率，分别是（）A.，B.，C.，D.，参考答案：A略6. 已知抛物线y2=4x的焦点F，若A，B是该抛物线上的点，∠AFB=90°，线段AB中点M 在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．参考答案：C【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|2=a2+b2，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得|AB|2=a2+b2，配方得|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选C．7. 在中，角A、B、C的对边分别为，且满足，则角B的大小为( )A． B． C． D．参考答案：B8. 在四边形ABCD中，，，则（）A．5 B．－5 C．－3 D．3参考答案：C9. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )A．4B．5C．6D．7参考答案：A解析：当程序运行到k＝3时，S＝3＋23＝11<100.当程序运行到k＝4时，S＝11＋211＝2059>100，故输出k的值为4.故选A10. 在区域中，若满足的区域面积占面积的，则实数a的值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】画出区域，以及，根据的区域面积占面积的列方程，解方程求得的值.【详解】画出区域如下图所示，其中.当时，由得，由图像可知满足的区域面积占面积不小于,不合题意.当时，由得，设直线交直线于，由，得，代入得，将代入，解得，故选C.【点睛】本小题主要考查不等式组组成区域的画法，考查两条直线交点坐标有关问题求解，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的游客络绎不绝．假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N的随机变量．则每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为．（参考数据：若ξ服从N（μ，δ2），有P（μ﹣δ＜ξ≤μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜ξ≤μ+2δ）=0.9544，P（μ﹣3δ＜ξ≤μ+3δ）=0.9974）参考答案：0.1587【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量在区间（μ﹣σ，μ+σ）内取值的概率分别为0.6826即可得出结论．【解答】解：∵服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量在区间（μ﹣σ，μ+σ）内取值的概率分别为0.6826，随机变量ξ服从正态分布N，∴每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为×（1﹣0.6826）=0.1587，故答案为0.1587．12. 设a1=2，a n+1=，b n=||，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n为．参考答案：2n+1【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】a1=2，a n+1=，可得==﹣2?，b n+1=2b n，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1=2，a n+1=，∴===﹣2?，∴b n+1=2b n，又b1==4，∴数列{b n}是等比数列，∴．故答案为：2n+1．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．13. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，sinA＝，则sinB＝＿＿＿＿＿＿。
湖南省益阳市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
湖南省益阳市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．函数是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数2． 函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数，且在02[,]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x ì-＃ï=íp <?ïî，则1741()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116 D ．1316【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．3． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34 B.38 C. 14D. 18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 4． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．2,2x R x x ∃∈≤-B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是 “//m n ”的必要不充分条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．5． 集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则AB =（ ）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e 6．设向量，满足：||=3，||=4，=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67． 若当R x ∈时，函数||)(x a x f =（0>a 且1≠a ）始终满足1)(≥x f ，则函数3||log x x y a =的图象大致是 （ ）【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．8． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}xB x x R =≤∈，则集合U AC B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.9． 若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）A ．（﹣∞，）B ．（﹣，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣）10．已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．11．已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（ ）A.5B.2 D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力. 12．某几何体的三视图如图所示，则此几何体不可能是（ ）A． B ． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．14．已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos 7sin 12ααπ-的值为 ．15．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆______________.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．16．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。
【市级联考】湖南省益阳市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题
…………绝密★启用前【市级联考】湖南省益阳市2019届高三上学期期末考试数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．复数 ，则 在复平面内对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第三象限3．已知是 等差数列，满足：对 ， ，则数列的通项公式 （ ）A ．B ．C ．D ．4．星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车共有1、10两路，每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站，不计通车时间，则小张坐1路车回家的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．某批次产品测量数据茎叶图如图，这组数据的众数、中位数、平均数分别为 ，则 的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在 中， 为 中点， ， ，则 （ ） A ．1 B ．C ．D ．………○…………订线…………※※在※※装※※订※※线※※内………○…………订线…………7．如图，一个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图，侧视图都是图1，俯视图是图2，若得到的几何体表面积为 ，则 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知变量 ，且 ，若 恒成立，则 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．19． 是奇函数， 是偶函数，且 ，则 与 在同一个坐标系的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．10．过双曲线右焦点 的直线交两渐近线于 两点， ， 为坐标原点，且 内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D ．11．已知定点及抛物线上 的动点 ，则（其中 为抛物线 的焦点）的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．312．直三棱柱 外接球表面积为 ， ，若 ，矩形 外接圆的半径分别为 ，则 的最大值为（ ） A ． B ．3 C ． D ．…………○…学校:__…………○…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．若实数 满足不等式组则目标函数 的最小值为__________．14．若数列 满足： ， ，则 __________．15．在的展开式中，二项式系数之和为 ，所有项的系数之和为 ，若 ，则 __________．16．已知 ，将 的图象向右平移个单位，得到的函数与 的图象关于 对称，且函数 在上不单调，则 的最小值为__________． 三、解答题17．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，. （1）求 ；（2）当 的面积为时，求 .18．五面体 中， 是等腰梯形， ， ， ， ，平面 平面 .（1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值.19．高三某次数学考试，实验班共有50人的成绩的频率分布直方图如图所示，分段区间为 .…………○………………○……（1）求 ；（2）从全班50份试卷中抽取10份， 表示分数在 上的份数， ①求 取最大值时的 值；②甲、乙两位老师用分布列计算 的值，甲老师求得 ，乙老师求得 ，从概率角度说明 ， 哪一个更接近 （即差的绝对值最小）. 20．圆 上的动点 在 轴、 轴上的摄影分别是 ，点 满足.（1）求点 的轨迹 的方程；（2）点 ，过点 的直线与轨迹 交于点 ，且直线 、 的斜率存在 ， ，求证： 为常数. 21．已知函数 . （1）当 时，比较 与的大小；（2）若 有两个极值点 ，求证：.22．选修4-4：坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中，直线（ 为参数， ），在以原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 . （1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）若直线 与曲线 交于不同的两点 ，且 的值. 23．选修4-5：不等式选讲:设函数 . （1）当 时，解不等式 ；（2）当 时，若存在 ，使关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】由集合可得，在计算的值可得答案.【详解】解:由题知，故.故选.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题型.2．B【解析】【分析】由，可得，，可得其在复平面内对应的点所在的象限.【详解】解：由题得，对应的点在第二象限.故选.【点睛】本题主要考查复数的运算、几何意义等，属于基础题.3．C【解析】【分析】由得，两式相减得，可得d的值，可得答案.【详解】解：由得，两式相减得，故.故选.【点睛】本题主要考查由递推公式求等差数列的通项公式，由已知得出是解题的关键. 4．D【解析】【分析】由题意得：小张坐1路车的时间是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟，可得小张坐1路车回家的概率，可得答案.【详解】解：小张坐1路车的时间是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟，故所求概率是.故选.【点睛】本题主要考查几何概型的计算，得出小张坐1路车的时间是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟是解题的关键.5．B【解析】【分析】根据茎叶图数据分别计算这组数据的众数、中位数、平均数可得答案.【详解】解：根据茎叶图知.故选.【点睛】本题主要考查茎叶图及众数、中位数、平均数的概念,属于基础题型.6．B【解析】【分析】由题意可得，故可得，，可得答案.【详解】解：，故，.故选.【点睛】本题主要考查向量的线性运算性质及几何意义，相对简单.7．B【解析】【分析】由所得几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半圆表面积，列方程解答可得答案.【详解】解：所得几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半圆表面积，即.故选.【点睛】本题主要考查几何体三视图及空间几何体的表面积，由几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半圆表面积，列出方程是解题的关键.8．A【解析】【分析】由可化为，设函数，，可得答案.【详解】解：即化为，故在上为增函数，，故的最大值为.故选.【点睛】本题主要考查函数的单调性及导数的应用，由已知构造出后求导是解题的关键. 9．A【解析】【分析】由①，可得②，联合①②可得，，结合、的函数性质与图像一一判断可得答案.【详解】解：由①，得②，联合①②可得，.图象是条直线，排除，当时，，为增函数，排除.故选.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及函数的图像，注意导数在求函数单调性时的应用，求出、的函数表达式是解题的关键.10．C【解析】【分析】由题意做图如下，设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，可得，，，所以，可得e的值.【详解】解：因为，所以双曲线的渐近线如图所示，设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，，所以，所以，得.故选.【点睛】本题主要考查双曲线的性质、内切圆的性质，离心率等知识，根据已知条件画出图形数形结合是解题的关键.11．C【解析】【分析】方法一：作准线于，则，设倾斜角为，则.当与相切时，取最大值，代入个数据可得答案；方法二：作准线于，则，设，，，则，则取最大值，只需取最大值，又表示的斜率，所以取最大值时，直线与抛物线相切，代入各数据计算可得答案.【详解】解：方法一：作准线于，则.设倾斜角为，则.当与相切时，取最大值，由代入抛物线得，，解得或.故最大值为4，即最大值为5.即最大值为.故选.方法二：作准线于，则，设，，，则，则取最大值，只需取最大值，又表示的斜率，所以取最大值时，直线与抛物线相切，由代入抛物线得，，解得或.故最大值为4，即最大值为5. 即最大值为.故选.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质及直线与圆锥曲线的关系，综合性大，注意数形结合解题. 12．C【解析】【分析】设中点为，，矩形外接圆的圆心分别为，球心为，则由平面与平面得为矩形，，可得，可得的最大值.【详解】解：由外接球表面积为，可得外接球半径为2.设中点为，，矩形外接圆的圆心分别为，球心为，则由平面与平面得为矩形，，，，，当且仅当时取等号.故选.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的性质及不等式的性质，综合性大，考验同学的空间想象能力及计算.13．-1【解析】【分析】画出可行域及目标函数，可得最优解为，可得z的最小值.【详解】解：不等式组表示可行域如图所示，目标函数为，是以2为斜率，为纵截距的直线，当纵截距最大时，取最小值，可知最优解为，故最小值为-1.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，画出可行域及目标函数是解题的关键.14．234【解析】【分析】由，可得，，可得故为等比数列，且，可得，可得答案.【详解】解：，故为等比数列.，故.【点睛】本题主要考查数列的性质及数列前n的项的和，得出为等比数列，且是解题的关键.15．4【解析】【分析】易得，，由，可得n的值.【详解】解：，，故.【点睛】本题主要考查二项展开式的性质，得出二项式系数之和，所有项的系数之和是解题的关键.16．5【解析】【分析】由题意可得，故有一条对称轴为，所以，可得.时，，无整数解；时，均为整数解，时，【详解】解：与关于对称，故有一条对称轴为，所以，，故存在，满足.时，，无整数解；时，均为整数解，时，.【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求参数，综合性大，得出后分k的情况讨论时解题的关键.17．（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意可得，化简可得，可得或，又由由，可得的值；（2）可得，，可设，，由的面积为，可得，，可得a的值.【详解】解：（1）.所以或或.由得，故不成立，所以.（2）,.可设，，由，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换及正弦定理，由题意得出是解题的关键. 18．（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)连接，取中点为，则,可得为平行四边形，为等边三角形，，，由题意平面平面，且交线为，可得平面，，又，，可得结论；（2）以为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内，过点且与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知.可得，，.平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，求的值后用公式，可得答案.【详解】解：（1）连接，取中点为，则，为平行四边形，，.为等边三角形，，.,平面平面，且交线为，平面，.又，平面.（2）以为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内，过点且与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知.则，，.由（1）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则取，得，，结合图形可知二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的证明及二面角的求法，需牢记好各公式定理灵活运用所学知识求解.19．（1）（2）①时，取最大值.②更接近.【解析】【分析】(1)由频率分布直方图所有小矩形面积和为1，可得，可得x的值；（2）可得分数在上的试卷总数为；①从全班50份试卷中抽取10份，其中份在的概率为，，可得即时，有，，即时，，故时，取最大值.②从概率的角度：分数在上的试卷所占比例为，故取出10份试卷，其中能取到的试卷份数为，故更接近.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得，解得.（2）分数在上的试卷总数为.①从全班50份试卷中抽取10份，其中份在的概率为，所以，.即时，有，，即时，，故时，取最大值.②从概率的角度：分数在上的试卷所占比例为，故取出10份试卷，其中能取到的试卷份数为，故更接近.【点睛】本题主要考查频率分布直方图及离散性随机变量的期望与方差，根据图形得出有用数据进行计算时解题的关键.20．（1）（2）见解析【解析】【分析】设，则，,由代入圆方程可得答案；(2) 当的斜率不存在时，，的斜率也不存在，故不适合题意；当的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为代入椭圆方程整理得，.设，则，，，化简代入各数据可得答案.【详解】解：（1）设，，则，.由代入.（2）当的斜率不存在时，，的斜率也不存在，故不适合题意；当的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为代入椭圆方程整理得，.设，则，，则，故为常数.【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程及直线与圆锥曲线的综合运用，注意灵活运用所学知识求解及运算准确.21．（1）（2）见解析【解析】【分析】(1),可得，可得故在时为增函数，可得结论；（2），，可得在上有两个零点.①当时，，在上为增函数，不可能有两个零点，②故.此时，即，整理得，即.可得，故要证成立，只需证，即证，不妨设，即证.令，原不等式化为.由（1）得当时，.故只需证，化为，故原式得证.【详解】解：（1）令，，故在时为增函数. ，即.（2），.则在上有两个零点.令，即在上有两个零点，.当时，，在上为增函数，不可能有两个零点，故.此时，即，整理得，即..故要证成立，只需证，即证，不妨设，即证.令，原不等式化为.由（1）得当时，.故只需证，化为，故原式得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及导数在最大值、最小值的应用，综合性大，需牢记导数各公式并运算准确.22．（1）直线的普通方程为或或，曲线的直角坐标方程为（2）或.【解析】【分析】(1)由直线（为参数，）,当时，直线当时，消去参数，可得，,可得直线的普通方程，由曲线，得，即有，所以曲线的直角坐标方程为；(2)由（1）得圆的圆心为，圆心到直线的距离为，所以.依题有，可得的值.【详解】解：（1）由直线（为参数，），当时，直线；当时，消去参数，可得，所以直线的普通方程为或或.由曲线，得，即有，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由题可知，所以直线的普通方程为，因为圆的圆心为，所以圆心到直线的距离为，所以.依题有，因为且，所以且，所以或.【点睛】本题主要考查直线的参数方程及简单曲线的极坐标方程，注意极坐标方程与普通方程间的转化及运算准确.23．（1）（2）①当，实数的范围是.②当，实数的范围是.③当，实数的范围是.【解析】【分析】(1)当时，，所以不等式等价于或或解之可得答案；(2) 当时，存在，使关于的不等式有解，即等价于.后分①当，②当，③当三种情况讨论可得的取值范围.【详解】解：（1）当时，，所以不等式等价于或或解得或或，综上可得，原不等式的解集为.（2）当时，存在，使关于的不等式有解，即等价于.①当，且时，，由解得实数的范围是.②当，且时，，由解得实数的范围是.③当，且时，，由解得实数的范围是.【点睛】本题主要考查不等式的计算及绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的运用及运算准确.。
2019届湖南省益阳市高三上学期第三次模拟化学试卷【含答案及解析】
2019届湖南省益阳市高三上学期第三次模拟化学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 化学在环境保护、资源利用等与社会可持续发展密切相关的领域发挥着积极作用。
下列说法错误的是A．“APEC蓝”是2014年新的网络词汇，形容2014年APEC会议期间北京蓝蓝的天空。
说明京津冀实施道路限行和污染企业停工等措施，对减轻雾霾、保证空气质量是有效的B．“地沟油”经过加工处理后，可以用来制肥皂和生物柴油C．生石灰、铁粉、硅胶是食品包装中常用的干燥剂D．有机垃圾发酵生产沼气2. 设N A 为阿伏加德罗常数的值。
下列叙述正确的是A．标准状况下，11.2 L SO 3 所含的分子数为0.5 N AB．12 g石墨和C 60 的混合物中质子总数一定为6N A 个C．在熔融状态下，l mol NaHSO 4 完全电离出的阳离子数目为2N AD．氢氧燃料电池正极消耗 22.4L （标准状况）气体时，电路中通过的电子数目为2N A3. 在“石蜡→液体石蜡→石蜡蒸气→裂化气”的变化过程中，被破坏的作用力依次是 A．范德华力、范德华力、范德华力___________ B．范德华力、范德华力、共价键C．范德华力、共价键、共价键________________________ D．共价键、共价键、共价键4. 已知：NH 3 ·H 2 O(aq)与H 2 SO 4 (aq)反应生成1 mol正盐的ΔH＝－24.2 kJ·mol －1 ；强酸、强碱稀溶液反应的中和热为ΔH＝－57.3 kJ·mol －1 。
则NH 3 ·H 2 O在水溶液中电离的ΔH等于A．－69.4 kJ·mol －1________ B．－45.2 kJ·mol －1C．＋69.4 kJ·mol －1 D．＋45.2 kJ·mol －15. 某溶液可能含有Cl ﹣、SO 4 2﹣、CO 3 2﹣、NH 4 + 、Fe 3+ 、Al 3+ 和K+ ．取该溶液100mL，加入过量NaOH溶液，加热，得到0.02mol气体，同时产生红褐色沉淀；过滤，洗涤，灼烧，得到 1.6g 固体；向上述滤液中加足量BaCl 2 溶液，得到4.66g 不溶于盐酸的沉淀．由此可知有关原溶液中离子的说法不正确是A．至少存在4种离子B． Cl ﹣一定存在，且c（Cl ﹣）≥0.4mol/LC． SO 4 2﹣、NH 4 + 一定存在D． CO 3 2﹣、Al 3+ 、K + 一定不存在6. 下列离子方程式正确的是A．0.01mol/L NH 4 Al(SO 4 ) 2 溶液与0.02mol/L Ba(OH) 2 溶液等体积混合NH 4 ＋＋Al 3＋＋2SO 4 2－＋2Ba 2＋＋4OH －＝2BaSO 4 ↓＋Al(OH) 3 ↓＋NH 3 ·H 2 OB．FeCl 2 酸性溶液放在空气中变质：2Fe 2＋＋4H ＋＋O 2 === 2Fe 3＋＋2H 2 O C．用CH 3 COOH溶解CaCO 3 ：CaCO 3 ＋2H ＋ =Ca 2＋＋H 2 O＋CO 2 ↑D．电解MgCl 2 水溶液的离子方程式：2Cl －＋2H 2 O H 2 ↑＋Cl 2 ↑＋2OH －7. 向等物质的量浓度的NaOH和Na 2 CO 3 的混合溶液中加入稀盐酸。
湖南省益阳市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，1，，则A. 0，1，B. 1，C. 1，D.【答案】D【解析】解：集合，0，1，，．故选：D．先分别求出集合M，N，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.复数，则在复平面上对应的点所在象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】解：，．在复平面上对应的点的坐标为，所在象限是第二象限．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面上对应的点的坐标得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知是等差数列，满足：对，，则数列的通项公式A. nB.C.D.【答案】C【解析】解：根据题意，设等差数列的公差为d，若满足，，则，可得：，解可得；当时，有，即，解可得，则；故选：C．根据题意，设等差数列的公差为d，由可得，两式相减可得，解可得；令分析可得，即，解可得的值，由等差数列的通项公式分析可得答案．本题考查数列的递推公式以及等差数列的性质，注意等差数列的通项公式的应用，属于基础题．4.星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车共有1、10两路每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可知：小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟，设“小张坐1路车回家”为事件A，则，故选：D．先阅读题设，在理解题意的条件下，结合几何概型中的线段型得：，得解．本题考查了几何概型中的线段型及阅读理解能力，属简单题．5.某批次产品测量数据茎叶图如图，这组数据的众数、中位数、平均数分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由茎叶图得：，，．．故选：B．由茎叶图分别求出a，b，c，由此能求出结果．本题考查平均数、众数、中位数的求法，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在中，M为AC中点，，，则A. 1B.C.D.【答案】B【解析】解：如图，为AC中点，；；又，且不共线；根据平面向量基本定理得，；．故选：B．可画出图形，根据M为AC的中点，，即可得出，然后根据平面向量基本定理即可求出x，y的值，从而得出的值．考查向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理．7.如图，一个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图、侧视图都是图1，俯视图是图2，若得到的几何体表面积为，则A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】解：由题意知该几何体是圆柱体，从上部挖去半球体，则该几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半球的表面积，即，解得．故选：B．由题意知该几何体是圆柱体，从上部挖去半球体，结合图中数据求出该几何体的表面积．本题考查了简单几何体三视图的应用问题，也考查了几何体表面积的计算问题，是基础题．8.已知变量，，且，若恒成立，则m的最大值为A. eB.C.D. 1【答案】A【解析】解：对不等式两边同时取对数得，即，即恒成立，设，，，，则函数在上为增函数，函数的导数，由得得，得，即函数的最大增区间为，则m的最大值为e故选：A．在不等式两边同时取对数，然后构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．本题主要考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数法以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．9.是奇函数，是偶函数，且，则与在同一个坐标系的图象为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：是奇函数，是偶函数；由得，；；联合得，，；，时，；在上单调递增，且的图象是直线；与在同一个坐标系的图象为A．故选：A．根据条件可得出关于，的方程组为，可解出，求导数可得出，时，，从而可得出在上单调递增，而的图象是直线，从而选A．考查奇函数和偶函数的定义，联立方程组求函数解析式的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及复合函数的求导．10.过双曲线右焦点F的直线交两渐近线于A，B两点，，O为坐标原点，且内切圆半径为，则双曲线的离心率为A. 2B.C.D.【答案】C【解析】解：，双曲线的渐近线方程，如图所示，设内切圆圆心为M，则在平分线Ox上，过点M分别作于点N，于T，由得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为d得，又，，，，，，故选：C．由题意画出图形，结合图形可得四边形MTAN为正方形，根据点到直线的距离可得，再根据，即可求出，再根据，即可求出．本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，考查了运算求解能力，属于中档题．11.已知定点及抛物线C：上的动点M，则其中F为抛物线C的焦点的最大值为A. 2B.C.D. 3【答案】C【解析】解：作准线l于点N，则，设MA的倾斜角为，则，当MA与相切时，取最大值，由MA的方程为可得，代入抛物线得，即，，可得，解得或，故的最大值为4，即的最大值为5，即的最大值为．故选：C．作准线l于点N，则，设MA的倾斜角为，则当MA与相切时，取最大值，求出直线MA的方程，代入抛物线中，根据判别式求出k的值，即可求出．本题考察了抛物线的简单性质，换元法，根的判别式，属于难题．12.直三棱柱外接球表面积为，若，矩形外接圆的半径分别为，，则的最大值为A. B. 3 C. D.【答案】C【解析】解：直三棱柱外接球表面积为，直三棱柱外接球半径，设AB中点为M，，矩形的外接圆的圆心分别为，，球心为O，则由平面ABC与平面ABC，得是矩形，，，，，当且仅当时，取得等号，的最大值为．故选：C．推导出直三棱柱外接球半径，设AB中点为M，，矩形的外接圆的圆心分别为，，球心为O，由平面ABC与平面ABC，得是矩形，从而得到，进而得到，由此能求出的最大值．本题考查三角形的外接圆和矩形的外接圆的半径之和的最大值的求法，考查直三棱柱、球、圆的性质、均值定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足不等式组，则目标函数的最小值为______．【答案】【解析】解：实数x，y满足不等式组表示的可行域如图：当直线经过图中C时，z最小，由得到，所以z的最小值为；故答案为：．首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．本题考查了简单线性规划问题求目标函数的最值；关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．14.若数列满足：，，则______．【答案】234【解析】解：根据题意，数列满足：，即，则有，又由，则数列为首项为1，公比为3的等比数列，则，则；故答案为：234．根据题意，将变形可得，则有，据此分析可得数列为首项为1，公比为3的等比数列，可得，又由，计算可得答案．本题考查数列的递推公式，注意分析数列的性质，属于基础题．15.在的展开式中，二项式系数之和为A，所有项的系数之和为B，若，则______．【答案】4【解析】解：在的展开式中，二项式系数之和为，令，可得所有项的系数之和为，若，即，求得，，故答案为：4．先根据二项式系数之和与所有项的系数之和的区别联系，求出A和B，再根据，求得的值，可得n的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式系数之和与所有项的系数之和的区别联系，属于基础题．16.已知，将的图象向右平移个单位，得到的图象与的图象关于对称，且函数在上不单调，则的最小值为______．【答案】5【解析】解：由题意与的图象关于对称，可得：，故：有一条对称轴为，所以：，，故：存在，满足，可得：，时，，无整数解；，3，4，5时均无整数解；时，，可得：．故答案为：5．由题意可得，进而可求，，根据余弦函数的性质可得存在，满足，可求的最小整数解．本题主要考查了函数的图象变换，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了分类讨论思想与转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，．求A；当的面积为时，求a．【答案】解：，，即，，则；，，，．，可设，，由．．【解析】由即，可得A；可得，，可设，，由即可得a．此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用正弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．18.五面体ABCDEF中，ADEF是等腰梯形，，，，平面平面ADEF．证明：平面ADEF；求二面角的余弦值．【答案】证明：连结DF，取AD中点Q，则，是平行四边形，，，是等边三角形，，，，平面平面ADEF，且交线为AF，平面BAF，，又，，平面ADEF．解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，在平面ADEF内过点A且与AD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知，则，，2，，0，，，，由知平面BAF的一个法向量为，设平面CAF的一个法向量y，，则取，得，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为．【解析】连结DF，取AD中点Q，推导出QDEF是平行四边形，从而，进而，平面BAF，，，由此能证明平面ADEF．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，在平面ADEF内过点A且与AD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.高三某次数学考试，实验班共50人的成绩的频率分布直方图如图所示，分段区间为，，，．求x；从全班50份试卷中抽取10份，X表示分数在上的份数，求取最大值时的k值；甲、乙两位老师用分布列计算的值，甲老师求得，乙老师求得，从概率角度说明，哪一个更接近即差的绝对值最小．【答案】解：由频率分布直方图得：，解得．分数在上的试卷总份数为：，从全班50份试卷中抽取10份，其中k份在的概率为：，1，2，3，4，5，6，7，8，，，由，得，时，，由，得，时，，时，P取最大值．从概率的角度，分数在上的试卷所占比例为，故取出10份试卷，其中能取到的试卷份数为．故E更接近于．【解析】由频率分布直方图能求出x的值．分数在上的试卷总份数为9，从全班50份试卷中抽取10份，其中k份在的概率为：，1，2，3，4，5，6，7，8，，由此能求出时，P取最大值．从概率的角度，分数在上的试卷所占比例为，由此能求出更接近于．本题考查频率、频数、概率取最大值是对应的实数值、数学期望的求法，考查频率分布直图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.圆O：上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是，，点M满足．求点M的轨迹C的方程；点，，过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率，存在，求证：为常数．【答案】解：设，，则，，由．得代入当SN的斜率不存在时，AS，AN的斜率也不存在，故不适合题意；当SN的斜率存在时，设斜率为k，则直线SN的方程为代入椭圆方程整理得，设，，则，，则，故为常数【解析】设，，根据向量关系，用M的坐标表示P的坐标后，将P 的坐标代入圆的方程可得M的轨迹方程；设出直线SN的方程并代入椭圆方程，利用韦达定理以及斜率公式得为常数本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．21.已知函数．当时，比较与的大小；若有两个极值点，，求证：．【答案】解：令，，故在时是增函数，，即；，，则在上有2个零点，，令，即在上有2个零点，，，当时，，在递增，不可能有2个零点，故，此时，即，整理得，而，故要证，只需证明，不妨设，只需证明，令，原不等式转化为，由得当时，，故只需证明，化为，故原不等式得证．【解析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；求出，只需证明，不妨设，只需证明，令，原不等式转化为，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．22.在平面直角坐标系中，直线l：，为参数，在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：．求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，且，求的值．【答案】解：直线l：，为参数，．当时，直线l：，当时，直线l：，直线l的普通方程为或或．曲线C：，，曲线C的直角坐标方程为．由题意知，直线l的方程为或．圆C的圆心，圆心到直线l的距离，，，，且，或．【解析】当时，直线l：，当时，直线l：，由此能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．由题意知直线l的方程为，圆心到直线l的距离，由，求出，由此能求出的值．本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查角的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.设函数．当时，解不等式；当时，若存在，使关于x的不等式有解，求实数t的取值范围．【答案】解：当时，，所以不等式等价于或或，解得：或或，综上可得，原不等式的解集为：；当时，存在，使关于x的不等式有解，等价于，当，且时，，解不等式得：或，当，且时，，解不等式得：或，当，且时，解不等式得：或，综上得：当时，实数t的取值范围为：或，当时，实数t的取值范围为：或，当时，实数t的取值范围为：或．【解析】由绝对值不等式的解法分段求解即可：当时，，不等式等价于或或，可得答案；不等式有解问题，二次不等式的解法，当时，存在，使关于x的不等式有解，等价于，再分段讨论当，当，当，求解即可．本题考查了绝对值不等式的解法及不等式有解问题，二次不等式的解法，属中档题．。
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湖南省益阳市2019届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={x|1＜x ＜5，x ∈N *}，集合A={2，3}，则∁U A=（ ）A ．{4}B ．{2，3，4}C ．{2，3}D ．{1，4}2．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q ”的否定是（ ）A ．∃x 0∉∁R Q ，x 03∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 03∉QC ．∀x 0∉∁R Q ，x 03∈Q D ．∀x 0∈∁R Q ，x 03∉Q3．函数f （x ）=2x +2﹣x 的图象关于（ ）对称．A ．坐标原点B ．直线y=xC ．x 轴D ．y 轴4．设x ，y ∈R ，向量=（2，﹣4），且，则=（ ）A ．（3，3）B ．（3，﹣1）C ．（﹣1，3）D ．（3，）5．lgx ，lgy ，lgz 成等差数列是由y 2=zx 成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．5π7． sinxdx=（ ）A ．﹣2B ．0C ．2D ．18．已知a ，b 是正实数，A 是a ，b 的等差中项，G 是a ，b 等比中项，则（ ）A ．ab ≤AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤|AG|D ．ab ＞AG9．已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8=（ ）A ．35B ．50C ．62D ．6410．下列函数中最小正周期是π且图象关于点成中心对称的一个函数是（ ）A ．y=sin （B ．y=cos （2x ﹣C ．y=cos （2x ﹣D ．y=sin （2x ﹣11．已知函数f （x ）=，则下列关于函数y=f （f （x ））+1的零点个数的判断正确的是（ ）A ．当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点B ．当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点C ．无论a 为何值，均有2个零点D ．无论a 为何值，均有4个零点12．设函数f （x ）=e x +2x ﹣a （a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线y=sinx 上存在点（x 0，y 0），使得f （f （y 0））=y 0，则a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1+e ﹣1，1+e]B ．[1，1+e]C ．[e ，1+e]D ．[1，e]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数y=（x ﹣5）0+的定义域是 ．14．如图，若||=1，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角的大小为 ．15．已知△ABC 中，a 2=b （b+c ），B=15°，则角C= ．16．函数f （x ）=的值域是 ．三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知命题p ：x ∈A ，且A={x|a ﹣1＜x ＜a+1}，命题q ：x ∈B ，且B={x|x 2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A ∩B=∅，A ∪B=R ，求实数a 的值；（Ⅱ）若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．18．已知函数，x ∈R ，A ＞0，．y=f （x ）的部分图象，如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ）．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若点R 的坐标为（1，0），，求A 的值．19．如图所示，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB∥CD，CD=2AB=2AD．（Ⅰ）求证：BC⊥BE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正切值；（Ⅲ）在EC上找一点M，使得BM∥平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明．20．设x，y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）若z的最大值为12，求+的最小值．（Ⅱ）若z的最大值不大于12，求a2+b2+2（b﹣a）的取值范围．21．已知首项为的等比数列{an }的前n项和为Sn（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n =S n +（n ∈N*），求数列{T n }的最大项．22．已知函数f （x ）=x 3﹣bx 2+cx （b ，c ∈R ），其图象记为曲线C ．（Ⅰ）若f （x ）在x=1处取得极值﹣1，求b ，c 的值；（Ⅱ）若f （x ）有三个不同的零点，分别为x 1，x 2，x 3，且x 3＞x 2＞x 1≥0，过点O （x 1，f （x 1））作曲线C 的切线，切点为A （x 0，f （x 0））（点A 异于点O ）．（i ）证明：x 0=（ii ）若三个零点均属于区间[0，2），求的取值范围．湖南省益阳市2019届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={x|1＜x ＜5，x ∈N *}，集合A={2，3}，则∁U A=（ ）A ．{4}B ．{2，3，4}C ．{2，3}D ．{1，4}【考点】交集及其运算．【分析】由题意全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，∴集合C ∪A={14}，故选A ．2．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q ”的否定是（ ）A ．∃x 0∉∁R Q ，x 03∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 03∉QC ．∀x 0∉∁R Q ，x 03∈QD ．∀x 0∈∁R Q ，x 03∉Q【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题“∃x ∈A ，p （A ）”的否定是“∀x ∈A ，非p （A ）”，结合已知中命题，即可得到答案．【解答】解：∵命题“∃x 0∈C R Q ，∈Q ”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x 0∈C R Q ，∈Q ”的否定是∀x 0∈C R Q ，∉Q 故选D3．函数f （x ）=2x +2﹣x 的图象关于（ ）对称．A ．坐标原点B ．直线y=xC ．x 轴D ．y 轴【考点】奇偶函数图象的对称性．【分析】根据已知函数的解析式，求出函数的奇偶性，进而根据偶函数的图象关于y 轴对称得到答案．【解答】解：函数f （x ）=2x +2﹣x 的定义域为R∵f （﹣x ）=2﹣x +2x =f （x ）∴函数f （x ）为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称故选D4．设x ，y ∈R ，向量=（2，﹣4），且，则=（ ）A ．（3，3）B ．（3，﹣1）C ．（﹣1，3）D ．（3，） 【考点】数量积的坐标表达式．【分析】根据平面向量的坐标公式，利用向量平行和向量垂直的坐标公式即可得到结论．【解答】解：∵=（2，﹣4），且，∴2x﹣4=0且，即x=2，y=﹣2．∴，∴=（3，﹣1），故选：B．5．lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】等差数列的性质．【分析】根据题中已知条件先证明充分性是否成立，然后证明必要性是否成立，即可的出答案．【解答】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y2=zx，∴充分性成立，因为y2=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，故选：A．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体，及球的直径和圆锥的底面半径和高，分别代入球的体积公式和圆锥的体积公式，即可得到答案．【解答】解：由三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体球直径为2，则半径为1，圆锥的底面直径为4，半径为2，高为3则V==故选：A7． sinxdx=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1【考点】微积分基本定理．【分析】由（﹣cosx）′=sinx，再利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：∵（﹣cosx）′=sinx，∴==1+1=2．故选C．8．已知a，b是正实数，A是a，b的等差中项，G是a，b等比中项，则（）A．ab≤AG B．ab≥AG C．ab≤|AG| D．ab＞AG【考点】等差数列的性质．【分析】由等差中项和等比中项的概念把A和G用含有a，b的代数式表示，然后利用基本不等式可得结论．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，∴A=，G=±．由基本不等式可得：|AG|=•≥ab．故选：C．9．已知{an }是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=（）A．35 B．50 C．62 D．64【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•a5，∴（1+d）2=1•（1+4d），解得d=2．∴S8=8+=64．故选：D．10．下列函数中最小正周期是π且图象关于点成中心对称的一个函数是（）A．y=sin（B．y=cos（2x﹣C．y=cos（2x﹣D．y=sin（2x﹣【考点】余弦函数的对称性；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用周期公式可排除A，B，再利用“图象关于点成中心对称”即可得答案．【解答】解：∵y=sin（+）的周期T==4π，故可排除A；同理可排除B；对于C，∵y=f（x）=cos（2x﹣），∴f（）=cos（2×﹣）=cos=0，∴f（x）=cos（2x﹣）的图象关于点（，0）成中心对称，故C符合题意；对于D ，y=f （x ）=sin （2x ﹣），f （）=sin （2×﹣）=sin=1≠0，故D 不符，舍去． 故选C ．11．已知函数f （x ）=，则下列关于函数y=f （f （x ））+1的零点个数的判断正确的是（ ）A ．当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点B ．当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点C ．无论a 为何值，均有2个零点D ．无论a 为何值，均有4个零点【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】因为函数f （x ）为分段函数，函数y=f （f （x ））+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f （f （x ））+1的解析式，从而可得函数y=f （f （x ））+1的零点个数【解答】解：分四种情况讨论．（1）x ＞1时，log 2x ＞0，∴y=f （f （x ））+1=log 2（log 2x ）+1，此时的零点为（2）0＜x ＜1时，log 2x ＜0，∴y=f （f （x ））+1=alog 2x+1，则a ＞0时，有一个零点，a ＜0时，没有零点，（3）若x ＜0，ax+1≤0时，y=f （f （x ））+1=a 2x+a+1，则a ＞0时，有一个零点，a ＜0时，没有零点，（4）若x ＜0，ax+1＞0时，y=f （f （x ））+1=log 2（ax+1）+1，则a ＞0时，有一个零点，a ＜0时，没有零点，综上可知，当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点故选A12．设函数f （x ）=e x +2x ﹣a （a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线y=sinx 上存在点（x 0，y 0），使得f （f （y 0））=y 0，则a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1+e ﹣1，1+e]B ．[1，1+e]C ．[e ，1+e]D ．[1，e]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】曲线y=sinx 上存在点（x 0，y 0），可得y 0=sinx 0∈[﹣1，1]．函数f （x ）=e x +2x ﹣a 在[﹣1，1]上单调递增．利用函数f （x ）的单调性可以证明f （y 0）=y 0．令函数f （x ）=e x +2x ﹣a=x ，化为a=e x +x ．令g （x ）=e x +x （x ∈[﹣1，1]）．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：曲线y=sinx 上存在点（x 0，y 0），∴y 0=sinx 0∈[﹣1，1]．函数f （x ）=e x +2x ﹣a 在[﹣1，1]上单调递增．下面证明f （y 0）=y 0．假设f （y 0）=c ＞y 0，则f （f （y 0））=f （c ）＞f （y 0）=c ＞y 0，不满足f （f （y 0））=y 0．同理假设f （y 0）=c ＜y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0．综上可得：f （y 0）=y 0．令函数f （x ）=e x +2x ﹣a=x ，化为a=e x +x ．令g （x ）=e x +x （x ∈[﹣1，1]）．g ′（x ）=e x +1＞0，∴函数g （x ）在x ∈[﹣1，1]单调递增．∴e ﹣1﹣1≤g （x ）≤e+1．∴a 的取值范围是[﹣1+e ﹣1，e+1]．故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数y=（x﹣5）0+的定义域是{x|x＞2，且x≠5} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由含有0指数的底数不等于0，分母中根式内部的代数式大于0求解x的范围，然后取交集．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：x＞2且x≠5．所以原函数的定义域为{x|x＞2，且x≠5}．故答案为{x|x＞2，且x≠5}．14．如图，若||=1，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角的大小为120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知（+）⊥，得（+）•=，展开数量积公式，代入向量的模，求得向量，的夹角的余弦值，则答案可求．【解答】解：如图，设向量，的夹角为θ（0°≤θ≤180°），由||=1，||=2，且（+）⊥，得（+）•=，即，∴1+2cosθ=0，得cosθ=﹣．∴θ=120°．故答案为：120°．15．已知△ABC中，a2=b（b+c），B=15°，则角C= 135°．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】延长CA至D，使AD=AB，连接DB．则∠BAC=2∠D．推导出△BCA∽△DCB，由此能证明A=2B，由已知即可得解C的值．【解答】解：a2=b（b+c），即BC2=AC（AC+AB），延长CA至D，使AD=AB，连接DB．则∠BAC=2∠D．∴BC2=AC•CD，，又∠C=∠C，∴△BCA∽△DCB，故∠D=∠ABC．∴∠BAC=2∠ABC，即A=2B．∵B=15°，可得：A=30°，C=135°．故答案为：135°．16．函数f（x）=的值域是（﹣∞，0）∪[1，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域．【分析】求解函数f（x）的定义域，求导，分析出函数的最值，可得值域．【解答】解：令g（x）=lnx+x，则存在a∈（0，1），使g（a）=0，∴函数f（x）=，其定义域为{x|x＞0，且x≠a}，f′（x）=，令f′（x）=0，则x=1，①当x∈（0，a）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数为减函数，此时函数f（x）∈（﹣∞，0），②当x∈（a，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数为减函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数，故当x=1时，函数取极小值1，无极大值，此时函数f（x）∈[1，+∞）故函数的值域为：（﹣∞，0）∪[1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0} （Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】充分条件；集合关系中的参数取值问题．【分析】（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B=∅，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值；（Ⅱ）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，由A∩B=∅，A∪B=R，得，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．18．已知函数，x∈R，A＞0，．y=f（x）的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若点R的坐标为（1，0），，求A的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．【分析】（I）由已知函数，我们易求出函数的最小正周期，又由P的坐标为（1，A），我们易构造出一个关于φ的三角方程，结合解三角方程即可求出φ值．（II）根据（I）的结论及R的坐标，和，利用余弦定理我们易构造出一个关于A的方程，解方程即可得到A的值．【解答】解：（I）由题意得，T==6∵P（1，A）在函数的图象上∴=1又∵∴φ=（II）由P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A），结合（I）可知点Q的坐标为（4，﹣A）连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ=可得，∠QRX=，作QM⊥X轴于M，则QM=A，RM=3，所以有tan===∴A=19．如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AB=2AD．（Ⅰ）求证：BC⊥BE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正切值；（Ⅲ）在EC上找一点M，使得BM∥平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明．【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角．【分析】（I）根据面面垂直的性质可证DE⊥平面ABCD，利用勾股定理证明BC⊥BE；（II）根据直线与平面所成角的定义证明∠CEB为CE与面BDE所成的角，在Rt△BCE中，求tan∠CEB的值；（III）取EC中点M，利用面面平行证明BM∥面ADEF．【解答】解：（I）由已知：平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD．DE⊥AD，DE⊂PMADEF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥BC，设CD=2AB=2AD=2，∴DE=1，则BC=，BD=，BE=，CE=，∴CE2=BE2+BC2，∴BC⊥BE；（II）由（1）可知：BC⊥BE，由BC⊥DE，∴BC⊥平面BDE，∴∠CEB为CE与面BDE所成的角．在Rt△BCE中，tan∠CEB===，（III）取EC中点M，则BM∥面ADEF，证明如下：取CD的中点P，连结MB、MP，则BP∥AD，∴BP∥面ADEF，又M、P分别为EC、DC的中点，∴MP∥ED，∴MP∥面ADEF，又BP∩MP=P，∴面BMP∥面ADEF，BM⊂平面BMP，∴BM∥面ADEF．20．设x ，y 满足约束条件，目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）．（Ⅰ）若z 的最大值为12，求+的最小值．（Ⅱ）若z 的最大值不大于12，求a 2+b 2+2（b ﹣a ）的取值范围．【考点】基本不等式．【分析】（Ⅰ）画出平面区域，求出目标函数z 的最大值为12时的坐标，得出a ，b 的关系，利用基本不等式的性质求解．（Ⅱ）z 的最大值不大于12，由（1）可的2a+3b ≤6，a ＞0，b ＞0，画出平面区域，令Z=a 2+b 2+2（b ﹣a ），则转为（a ﹣1）2+（b+1）2=Z+2=r 2利用几何意义求解最值．【解答】解：（Ⅰ）不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z （a ＞0，b ＞0） 过直线x ﹣y+2=0与直线3x ﹣y ﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，=．当且仅当a=b=时取等号．（Ⅱ）若z 的最大值不大于12，由（1）可的2a+3b ≤6，a ＞0，b ＞0，画出平面区域，令Z=a 2+b 2+2（b ﹣a ），则转为（a ﹣1）2+（b+1）2=Z+2=r 2．圆心为（1，﹣1），由图可知，当r=1时，最小，此时Z=﹣1；当圆过（0.2）时，半径最大，r=，此时Z=8，∵a ＞0，∴Z ＞﹣1因此Z=a 2+b 2+2（b ﹣a ）的取值范围（﹣1，8]．21．已知首项为的等比数列{a n }的前n 项和为S n （n ∈N*），且﹣2S 2，S 3，4S 4成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n =S n +（n ∈N*），求数列{T n }的最大项．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】（Ⅰ）由等比数列的通项公式和等差数列的性质求出公比，由此能求出数列{a n }的通项公式．（Ⅱ）由S n =1﹣（﹣）n ，得T n =S n +=1﹣（﹣）n +，根据n 为奇数和n 为偶数，分类讨论经，能求出数列{T n }的最大项．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n }的公比为q ，∵﹣2S 2，S 3，4S 4等差数列，∴2S 3=﹣2S 2+4S 4，即S 4﹣S 3=S 2﹣S 4，得2a 4=﹣a 3，∴q=﹣，∵a 1=，∴a n =•（﹣）n ﹣1=（﹣1）n ﹣1•．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，S n ==1﹣（﹣）n ，∴T n =S n +=1﹣（﹣）n +，当n 为奇数时，T n =S n +=1+（）n +=1++=2+，当n 为偶数时，T n =S n +=1﹣（）n +=2+，T n =S n +随着n 的增大而减小，即T n =S n +≤S 1+=，T n =S n +≤=， 综上，有T n =S n +≤（n ∈N*）成立．∴数列{T n }的最大项为T 1=．22．已知函数f （x ）=x 3﹣bx 2+cx （b ，c ∈R ），其图象记为曲线C ．（Ⅰ）若f （x ）在x=1处取得极值﹣1，求b ，c 的值；（Ⅱ）若f （x ）有三个不同的零点，分别为x 1，x 2，x 3，且x 3＞x 2＞x 1≥0，过点O （x 1，f （x 1））作曲线C 的切线，切点为A （x 0，f （x 0））（点A 异于点O ）．（i ）证明：x 0=（ii ）若三个零点均属于区间[0，2），求的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数极值和导数只记得关系建立条件关系即可求b ，c 的值；（Ⅱ）求函数的导数，根据导数的几何意义转化为一元二次方程，以及线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f ′（x ）=3x 2﹣2bx+c ，若f （x ）在x=1处取得极值﹣1，则，解得b=1，c=﹣1；经检验知此时函数f （x ）满足条件．（Ⅱ）（i ）证明：切线斜率k=f ′（x 0）=3x 02﹣2bx 0+c ，则切线方程为y ﹣f （x 0）=（3x 02﹣2bx 0+c ）（x ﹣x 0），化简得y=（3x 02﹣2bx 0+c ）x ﹣2x 03+bx 02，由于切线过原点，则﹣2x 03+bx 02=0，解得x 0=，∵若f （x ）有三个不同的零点，分别为0，x 2，x 3，则x 2，x 3是方程x 2﹣bx+c=0的两个不同的根，由韦达定理得x 2+x 3=b ，即x 0=成立．（ii ）由（i ）知，x 2，x 3是方程x 2﹣bx+c=0的两个不同的根，令g （x ）=x 2﹣bx+c ，由x 2，x 3属于区间[0，2），知g （x ）的图象与x 轴在（0，2）内有两个不同的交点，则，即，上述不等式组对应的点（b，c）形成的平面区域如图阴影部分表示：又=，令目标函数z=4c﹣b2，则c=，于是问题转化为求抛物线c=的图象如y轴截距的取值范围，结合图象，截距分别在曲线段OM，N（2，0）处去上，下界，则z∈（﹣4，0），因此∈（﹣1，0）．。