2013届上海市17区县高三一模(数学理科)分类汇编专题八数列
上海市17区县2013届高三数学一模分类总汇编专题三空间几何文
专题三 空间几何汇编2013年3月（松江区2013届高三一模 文科）15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是 A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y --= 15．D（嘉定区2013届高三一模 文科）16．以下说法错误的是……………………………（ ） A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π C ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 16．C（浦东新区2013届高三一模 文科）10．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 8π 2cm .（黄浦区2013届高三一模 文科）15．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形15．A（虹口区2013届高三一模）16、已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）.A 如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥． .B 如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面． .C 如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥． .D 如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面． 16、A ；（青浦区2013届高三一模）6．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 π2 ．（奉贤区2013届高三一模）13、（理）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -， 若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -．已知C 是直线334y x =+上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），则点C 与点D 的“非常距离”的最小值是_________．13． 理78（杨浦区2013届高三一模 文科）7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为2cm . 7. π50（普陀区2013届高三一模 文科）4. 【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为 .4.【文科】60（嘉定区2013届高三一模 文科）8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的底面积是________． 8．42R π（浦东新区2013届高三一模 文科）12．如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为23π+ .（金山区2013届高三一模）9．若直线l ：y=kx 经过点)32cos ,32(sin ππP ，则直线l 的倾斜角为α = ． 9．56π（青浦区2013届高三一模）13．正六边形111111F E D C B A 的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形222222F E D C B A ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是439 ．俯视图左视图主视图A BCD 1A 1B 1C 1D （第4题图）杨浦区2013届高三一模 文科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 5．2arctan ；（（青浦区2013届高三一模）5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V 33 ．（虹口区2013届高三一模）10、在A B C ∆中，32=AB ，2=AC 且︒=∠30B ，则A B C ∆的面积等于 ． 10、32或3；（普陀区2013届高三一模 文科）13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为 . 13.1:1（松江区2013届高三一模 文科）13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点之间的“折线距离”．则原点)0,0(O 与直线05=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是 ▲ ．13． （杨浦区2013届高三一模 文科）12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米 . 12． 48；（崇明县2013届高三一模）3、过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是 . 3、+=0x y（长宁区2013届高三一模）17、已知m ，n 是两条不同直线，βα,是两个不同平面，下列（第13题图） SB AC EHG FA MEPDCBNF命题中的假命题的是（ ）A.βαβα//,,则若⊥⊥m mB.αα⊥⊥n m n m 则若,,//C.n m n m //,,//则若=βααD.βαβα⊥⊂⊥则若,,m m17、C（闵行区2013届高三一模 文科）12． (文)已知△ABC 的面积为1，在△ABC 所在的平面内有两点P Q 、，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则△APQ 的面积为 ．12．文13； （宝山区2013届期末）12.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R= ．（青浦区2013届高三一模）11．已知01c os s i n 2=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)．直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是 1 ．（长宁区2013届高三一模）11、（理）我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S 、周长c 与内切圆半径r 之间的关系为cr S 21=。
上海市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(8)立体几何
上海市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（8）立体几何一、选择题:16、（虹口区2013届高三一模）已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确 的是（ ）.A 如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥． .B 如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面． .C 如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥． .D 如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面．【答案】A【答案】C 二、填空题:11．（上海市八校2013届高三下学期联合调研理）如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S,D,A,Q 及P,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体。
【答案】2410．（上海市八校2013届高三下学期联合调研文）如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S,D,A,Q 及P,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则这样的几何体的体积为________。
【答案】7210．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）已知,,A B C 是球面上三点，且4,90AB AC cm BAC ==∠=，若球心O 到平面ABC 的距离为22__________3cm .ABCDA 1B 1ED 1C 1DCBAED 1C 1B 1A 1【答案】64π7. （上海市闵行区2013年高考二模理）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为3π，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】8π三、解答题:19．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，113A D . （1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小. 【解】⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高22113AA A D AD =-=∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=22312V =⨯⨯=⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ，∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角 ∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA ∥，又E 是1A D 的中点，∴EF 是1AA D ∆的中位线，∴11322EF AA ==在Rt AFB ∆中2222125BF AF AB =+=+=∴335tan 5210EBF ∠=÷=∴35EBF ∠=19．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，且113A D =G A 1B 1C 1D 1EA (O )BCD A BCE C 1A 1B 1F（1）求该正四棱柱的体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求异面直线BE 与1AA 所成角的大小． 解：（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， ∵1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂≠平面ABCD ，∴1AA AD ⊥，故13AA =，………………3分 ∴正四棱柱的体积为2(2)312⨯=． ………………6分 （2）设G 是棱AD 中点，连,GE GB ，在△1A AD 中， ∵,E G 分别为线段1,A D AD 的中点， ∴EG ∥1A A ，且11322EG AA ==， ∴GEB ∠就是异面直线1AA 与BE 所成的角． ……8分 ∵1A A ⊥平面ABCD ，GB ⊂≠平面ABCD ，∴1AA GB ⊥，又EG ∥1A A ，∴EG BG ⊥， ……………………10分 ∵3,2GEBG =∴tan2BG GEB GE ∠===GEB∠= 所以异面直线1AA 与BE 所成角的大小为． …………………………12分20．（上海市闵行区2013年高考二模理）（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，2AB AC ==，16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．（1）求四棱锥B AEFC -的体积；（2）求BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值． [解]（1）B AEFCV -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=……7分（2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ，(2,0,2)EF =,(0,2,2)EB =- ……………………2分设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则22011,1220n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩取得， 所以(1,1,1)n =- ……………………………2分 平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，则111cos 3n n n n θ⋅===⋅ 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ．…3分 19．（杨浦区2013届高三一模理科）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ，︒=∠30ABC , E D 、分别是AP BC 、的中点， （1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ，求θtan 的值. 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分， 第2小题满分7分 ．(1)由已知得，,32,2==AB AC ………2分 所以 ，体积33831==∆--PA S V ABC ABC P ………5分 (2)取AC 中点F ，连接EF DF ,，则DF AB //， 所以EDF ∠就是异面直线AB 与ED 所成的角θ. ………7分由已知，52,32,2=====PC AB AD EA AC ，EF DF EF AB ⊥∴⊥, . ………10分在EFD Rt ∆中，5,3==EF DF ，所以，315tan =θ. ………12分 (其他解法，可参照给分)PABCDEAA 1B 1c 1BC19．（浦东新区2013届高三一模 理科）（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===,45ABC ︒∠=. （1）求点A 到平面1A BC 的距离； （2）求二面角1A A C B --的大小. 解：（1）2,45,90AB AC ABC BAC ︒︒==∠=∴∠=，143A ABCV -∴=. 11122,23A BC A B BC AC S ∆===∴=. …3分 设点A 到平面距离为h ，由11123,33A BC A ABC h S V h ∆-⋅=∴=.∴点A 到平面距离为233. ……6分20．（嘉定区2013届高三一模 理科）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ． （1）求异面直线AB 与PC 所成角的大小； （2）求三棱锥ABC P -的表面积S ．20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分） （1）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ， 连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ，所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或其补角）．…………（2分）P A B CFD 1C 1B 1A 1DCBA EFD 1C 1B 1A 1DCBAE连结AG ，则522=+=CG AC AG ，……（3分）622=+=AG EA EG ， …………（4分）又22==PC AB ，所以2==FG EF ．…………（5分）在△EFG 中，212cos 222-=⋅-+=∠FG EF EG FG EF EFG ，……（7分） 19．（黄浦区2013届高三一模理科）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为线段1DD ,BD 的 中点．（1）求异面直线EF 与BC 所成的角； （2）求三棱锥11C B D F -的体积．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）连1BD ，由E 、F 分别为线段1DD 、BD 的中点，可得EF ∥1BD ，故1D BC ∠即为异面直线EF 与BC 所成的角． …………………2分在正方体1111ABCD A B C D -中，∵BC ⊥平面11CDD C ，1CD ⊂≠平面11CDD C ，∴1BC CD ⊥，在Rt △1BCD 中，2BC =，122CD = ∴11tan 2D CD BC BC∠== 12D BC ∠= 所以异面直线EF 与BC 所成的角为2 6分（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，由1BB ⊥平面ABCD ，CF ⊂≠平面ABCD ， 可知1BB CF ⊥，∵CB CD =，F 是BD 中点，∴CF BD ⊥，又1BB 与BD 相交，∴CF ⊥平面11BDD B ， …………………………9分 又11111112222222B D F S B D BB ∆=⋅=⨯=， G P AB FE故1111114222333C BD F B D F V S CF -∆=⋅=⋅⋅=， 所以三棱锥11C B D F -的体积为43． ……………………………………12分 直线PM 与AM 所成角等于直线PM 与CN 所成角． …………………………2分 因为PA 垂直于底面,所以AM PA ⊥,点M 分别是DC 的中点, 6=DC 53=∴AM 在PAM Rt ∆中,8=PA ,53=AM ,1558538tan ==∠PMA ,1558arctan=∠∴PMA …………………………4分即异面直线PM 与CN 所成角的大小为1558arctan．…………………………6分 解法二：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系可得)0,6,3(M ，)8,0,0(P ，)0,0,3(N ，)0,6,6(C ，)8,6,3(-=∴PM ，)0,6,3(--=∴CN …………………………2分直线PM 与CN 所成角为θ，向量CN PM 与的夹角为ϕ10954534510945cos -=⋅-==CNPM CN PM ϕ …………………………4分 又1095453cos cos ==ϕθ，1095453arccos =θ，即异面直线PM 与CN 所成角的大小为1095453arccos ．…………………………6分 （说明：两种方法难度相当）所以四棱锥ABCD P -的表面积是144 …………………………………………12分 20、（崇明县2013届高三一模）（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分） （文科）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AO ⊥平面BCD ， 2CA CB CD BD ====．（1）求三棱锥A BCD -的体积； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小．（理科）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA AD ==, E 为CD中点． （1）求证：11B E AD ⊥；（2）若2AB =，求二面角11A B E A --的大小．20、（理科）（1）方法一、以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系,设AB a =，则1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1(0,1,1)AD =. A B CE DA 1D 1B 1C 1AB EODCDCBAP所以 , 11110,B E AD B E AD ⋅=⊥。
上海市17区县2013届高三一模(数学文科)分类汇编：专题八_不等式
专题八 不等式汇编2013年3月（普陀区2013届高三一模 文科）1. 不等式1|2|≤-x 的解为 . 1.[1,3] （闵行区2013届高三一模 文科）11．已知不等式21x a x ->-对任意[0,2]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．（文）已知不等式1x a x ->-对任意[0,2]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．11．理2a <或5a >，文1a <或3a >；（静安区2013届高三一模 文科）（文）已知0<a ，关于x 的不等式04)1(22>++-x a ax 的解集是 . 9．（文）)2,2(a（闸北区2013届高三一模 文科）9．（理）设不等式1)11(log >-xa 的解集为D ，若D ∈-1，则=D ．（文）若实常数()+∞∈,1a ，则不等式1)11(log >-xa 的解集为 ．9．⎪⎭⎫⎝⎛-0,11a ；（浦东新区2013届高三一模 文科）18．定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-u u u r u u u r u u u r，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈ 若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[]1,2上函数中，线性近似阀值最小的是 （ D ）()A 2y x = ()B 2y x =()C sin 3y x π= ()D 1y x x=-（黄浦区2013届高三一模 文科）14．已知命题“若22()f x m x =，2()2g x mx m =-，则集合1{|()(),1}2x f x g x x <≤≤=∅” 是假命题，则实数m 的取值范围是 ． 14．(7,0)-．（普陀区2013届高三一模 文科）14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅的取值范围是 . 14.)2,43[ （宝山区2013届期末）5.不等式37922x -≤的解集是 _________________.[1,2]- （宝山区2013届期末）13 我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________________；②_______________________． 解答参考：①|,||a b b c a c ⇒；②|,||()a b a c a b c ⇒±； ③|,||a b c d ac bd ⇒；④*|,|nna b n N a b ∈⇒（松江区2013届高三一模 文科）8．已知lg lg 1x y +=，则25x y+的最小值为 ▲ ． 8．2（虹口区2013届高三一模）8、若对于任意0>x ，不等式a x x x≤++132恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 8、51≥a ；（嘉定区2013届高三一模 文科）9．动点P ),(y x 到点)1,0(F 的距离与它到直线01=+y 的距离相等，则动点P 的轨迹方程为_______________． 9．y x 42=（嘉定区2013届高三一模 文科）10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足5522cos=A ，3=⋅，则△ABC 的面积为______________． 10．2（嘉定区2013届高三一模 文科）17．设函数)(x f 是偶函数，当0≥x 时，42)(-=xx f ，则0)2({>-x f x }等于…（ ）A ．2{-<x x 或}2>xB ．2{-<x x 或}4>xC ．0{<x x 或}6>xD ．0{<x x 或}4>x 17．D（静安区2013届高三一模 文科）5．（文）设x ，y 满足条件⎩⎨⎧≤+≤-≤-≤,11,31y x y x 则点),(y x 构成的平面区域面积等于 . 5．文）2（浦东新区2013届高三一模 文科）4．已知,x y R ∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为116（静安区2013届高三一模 文科）21 （文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是正方形，其中AB =2米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．21 （文）解：（1）①如图1所示，当MN 在正方形区域滑动， 即0＜x ≤2时，△EMN 的面积S =x ⨯⨯221=x ； ······························ 2分②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，即2＜x ＜32+时，x GE A B N D M C （文21题） ENG D MABC 图1如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点，∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ，且FG ＝3. 又∵ MN ∥CD ， ∴ △MNG ∽△DCG ．∴ GF GH DC MN =，即3)23(2x MN -+=． ················· 5分故△EMN 的面积S ＝x x ⋅-+⋅3)23(221 ＝x x )3321(332++-； ············································· 7分综合可得：⎪⎩⎪⎨⎧+<<++-≤<=322,)3321(3320,2x x x x x S ····························································· 8分 说明：讨论的分段点x=2写在下半段也可．（2）①当MN 在正方形区域滑动时，x S =，所以有20≤<S ； ································· 10分 ②当MN 在三角形区域滑动时，S =x x )3321(332++-. 因而，当2231<+=x （米），S 在)32,2(+上递减，无最大值，20<<S ． 所以当2=x 时，S 有最大值，最大值为2平方米. ···················································· 14分ABGN DM C图2H F。
2013年上海高考数学理科试卷(带详解)
【试题解析】因为ABCD A1B1C1D1为长方体，AB C1D1
, AB C1D1，
故ABC1D1为平行四边形， 故BC1
AD1（步骤1），显然B
不在平面D1AC上，于是直线BC1
平行于平面D1AC（步骤2）；直线BC1到平面D1AC的距离即为点
B到平面
D1AC的距离设
为h考虑三棱锥ABCD
.
【难易程度】容易
【参考答案】1
5
2
【试题解析】联立方程组得
(
1)
1
1
5（步骤1），
2
又⋯0，故所求为1 5．（步骤
2）
2
8．盒子中装有编号为
1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个
球的编号之积为偶数的概率是
___________（结果用最简分数表示）.
【测量目标】古典概型，随机事件的的概率
不便宜，故选B．
17．在数列
{ an}中，an
2n
1，若一个
7
行
12
列的矩阵的第
i行第j
列的元素
ai, j
aiaj
aiaj
，（i
1,2,
,7; j
1,2,
,12
）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数
为
（
）
A 18
B 28
C 48
D 63
【测量目标】指数函数模型.
【考查方式】给出了数列矩阵以及行列元素的关系，求出矩阵元素不同数值的个数
y)
2sin( x
y) cos( x y)
，sin 2x sin 2 y
，故
2
3
上海市17区县2013届高三数学一模试题分类汇编 专题九 复数 理.doc
专题九 复数2013年2月（黄浦区2013届高三一模 理科）16．若cos isin z θθ=+（R θ∈，i 是虚数单位），则|22i |z --的最小值是 （ ）A ．22B ．2C ．122+D ．122-16．D（青浦区2013届高三一模）17．已知复数i z 210+=在复平面上对应点为0P ，则0P 关于直线zi z l =--22:的对称点的复数表示是……………………………………………………………………………（ .B ）．A .i - .B iC .i -1D .i +1（崇明县2013届高三一模）16、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： ①2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-．其中正确的命题……………………………………………………………………………（ ）A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④16、C（金山区2013届高三一模）6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ．6．21（崇明县2013届高三一模）1、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z = . 1、3+5i（宝山区2013届期末） 1.在复数范围内，方程210x x ++=的根是．12-± （宝山区2013届期末）4.已知复数(2)x yi -+(,x y R ∈)的模为,则yx的最大值是 . 3（长宁区2013届高三一模）6、（理）已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若10110i 0zz z =（i 是虚数单位），则z = ． 6、（理）0，i -（杨浦区2013届高三一模 理科）2．若复数iiz -=1 (i 为虚数单位) ，则=z . 2．2；（松江区2013届高三一模 理科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+． （1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：w 1≥．20．解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，则222z a b =+，()2z z i ai += …………2分 由22252a b ai i ++=+得22522a b a ⎧+=⎨=⎩……………………………4分解得12a b =⎧⎨=⎩ 或 12a b =⎧⎨=-⎩……………………………… 5分∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分 （2）当12z i =+时，(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分当12z i =-时，(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥………………………13分∴w 1≥ ……………………………14分 （浦东新区2013届高三一模 理科）21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数122sin ,1(2cos )z z i θθ==+，[,]32ππθ∈.（1）若12z z ⋅为实数，求角θ的值；（2）若复数12,z z 对应的向量分别是,a b ，存在θ使等式()()0a b a b λλ→→→→+⋅+=成立， 求实数λ的取值范围. 解：（1）[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-=⋅(2sin )(2sin 2i R θθθ=++∈， (2)分232sin =∴θ，……………………………………………………………………4分 又πθπ≤≤232，πθ322=∴，即3πθ=.……………………………………6分（2）228a b +=，………………………………………………………………………8分2sin a b θθ⋅=-，………………………………………………………10分)()(→→→→+⋅+b a b a λλ0)1()(222=⋅+++=→→→→b a b a λλ.得0)cos 32sin 2)(1(82=-++θθλλ，整理得)3sin(122πθλλ--=+.……12分 因为]6,0[3ππθ∈-，所以]21,0[)3sin(∈-πθ. 只要012212≤+≤-λλ即可，………………13分解得32--≤λ或032≤≤+-λ.……………………………………………14分（嘉定区2013届高三一模 理科）19．（本题满分12分）设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(22θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．19．（本题满分12分）方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）所以3πθ2=，2±=a ．…………（12分）。
【经典二轮专题】上海市17区县2013届高三一模(数学理科)分类汇编专题十二应用题Word版含答案
专题十二 应用题2013年2月（杨浦区2013届高三一模 理科）12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀， 其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米 . 12． 48；（松江区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）。
（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．21．解：（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； …………………………2分 当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………4分故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ …………………………6分 （2）依题意并由（1）可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩………8分 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=； …………10分当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+，()max (10)12.5f x f ==． …………………………12分所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．（浦东新区2013届高三一模 理科）20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地，如图点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知 60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x ，]20,10[∈x . （1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪， 每平方米的造价为Sk12（k 为正常数），求总造价T 关于S 的函数)(S f T =； 试问如何选取||AM 的长使总造价T 最低（不要求求出最低造价）. 解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||， 60=∠PCM ，∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=，………………2分矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=⋅=，[10,20]x ∈…4分于是32253200≤≤S 为所求.……………………………6分（2） 矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37 ……………………7分 又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=2T )3450(12S Sk-，……………8分 由总造价21T T T +=，∴)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S .…10分 36123216≥+SS ，……………………………………………………11分 当且仅当SS 3216=即3216=S 时等号成立，……………………………12分 此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.………………………14分NNPMDCBANPM D C BA （黄浦区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点， 且矩形AMPN 的面积小于150平方米．（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得DN DCNA AM=， ∴46x x AM -=，即64x AM x =-，……………………3分 故264x S AN AM x =⋅=-， ………………………5分由261504x S x =<-且4x >，可得2251000x x -+<，解得520x <<，故所求函数的解析式为264x S x =-，定义域为(5,20)． …………………………………8分（2）令4x t -=，则由(5,20)x ∈，可得(1,16)t ∈，故2266(4)166(8)4x t S t x t t +===++- …………………………10分8)96≥=， …………………………12分当且仅当16t t=，即4t =时96S =．又4(1,16)∈，故当4t =时，S 取最小值96．故当AN 的长为8时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为96平方米． …………14分（长宁区2013届高三一模）21、（本题满分14分）（理）经过统计分析，公路上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当公路上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (1)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过公路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）（文）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x 表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x 元，又该厂职工工资固定支出12500元。
上海第期高三名校数学理试题分省分项汇编 专题 数列数学归纳法与极限解析含解析
一．基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （ ）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】221lim 2n n n n→∞+=-___________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .【答案】1 【解析】试题分析：圆心为(0,1)，21nd n =+，22limlim1111n n n n→∞→∞==++． 考点：点到直线距离公式，极限．7.【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________. 【答案】14【解析】试题分析：等差数列}{n a 的公差为d ，则21()22n d dS n a n =+-，21()22n d dS n a n =+-，数列}{n S 是等差数列，则n S 是关于n 的一次函数（或者是常函数），则102da -=，2n d S n =，从而数列}{n S 的公差是2d ，那么有2d d =，0d =（舍去）或12d =，114a =． 考点：等差数列的通项公式．10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】计算：2211lim[()]12n n n n n →+∞--++=_________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：210lim323xnn→∞++=.【答案】23【解析】试题分析：这属于“∞∞”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以n（n的最高次幂），化为一般可求极限型，即210lim323xnn→∞++1022lim2333nnn→∞+==+．考点：“∞∞”型极限13.【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如果()1111112312nf nn n=++++++++L L(*n N∈)那么()()1f k f k+-共有项.14.【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算：=+∞→133limnnn．15.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.【答案】85 【解析】试题分析：数列{}n c 到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和10S 表示出来，1210b b S a a =++L10b a +11121[(1)][(1)][(1)]n a b a b a b =+-++-+++-L 1121010()10a b b b =++++-L =111091010102a b ⨯++-1110()451085a b =++-=. 考点：等差数列的通项公式与前n 和公式.二．能力题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}na 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________．可行，由此我们可得2016S =12344342414()()k k k k a a a a a a a a ---+++++++++L L 20132014(a a ++2015a + 2016)a +(222)(226)(22(42))(222014)k =+⨯++⨯+++⨯-+++⨯L L 25044(13=⨯+⨯++5+L 1007)+=1017072．考点：分组求和．2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a Λ ． 【答案】4032- 【解析】试题分析：考虑到sin2n π是呈周期性的数列，依次取值1,0,1,0,-L ，故在122014a a a +++L 时要分组求和，又由n a 的定义，知1352013a a a a ++++L (1)(2)(3)(4)(2013)(2014)f f f f f f =++++++L2222221357200920112013=-+-++-+L 1(53)(53)(97)(97)=+-++-++L (20132011)+-⋅(20132011)+12(357920112013)=+++++++L 110062016=+⨯，242014a a a +++L(2)(3)(4)f f f =+++(5)(2014)(2015)f f f +++L 22223520132015=-+++-L 22(352013)2015=+++-L 2100620062015=⨯-，从而122014a a a +++L 1210062016=+⨯⨯图（1）图（2）图（3）……22015-4032=-．考点：周期数列，分组求和．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于 ．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a .6. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013217. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a Λ .8. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2cos 1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S . 【答案】1006 【解析】试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式子cos2n π，它是呈周期性的，周期为4，因此在求和2014S 时，想象应该分组，依次4个为一组，12341(12)1(14)a a a a +++=+-+++6=，56781(16)1(18)6a a a a +++=+-+++=，43424141[1(42)]1(14)k k k k a a a a k k ---+++=+--+++6=，最后还剩下20131a =，2014120142013a =-=-，所以20146503120131006S =⨯+-=．考点：分组求和．9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S= .（用数字作答）10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =____时，n B 取得最大值.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数()(2318,3133,3x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12nn a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为 （用k 表示）三．拔高题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值； （3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】(1) 210n a n =-；（2）20-；（3）229,15,*,940,6,*,n n n n n N T n n n n N ⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【解析】2.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知数列{}a中，n13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.（2）假设在数列{}n a 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1k a -，k a ，1k a +（2k ≥，*k N ∈），由题意得，112+-+=k k k a a a ，将1)1(2--+=k k k a ，211)1(2----+=k k k a ，kk k a )1(211-+=++代入上式得……7分])1(2[])1(2[])1(2[21211k k k k k k -++-+=-++---………………8分化简得，21)1(42---⋅=-k k ，即11)1(42---⋅=k k ，得4)2(1=--k ，解得3=k所以，存在满足条件的连续三项为2a ，3a ，4a 成等比数列。
上海市各区县2013届高三数学一模数列综合题汇总
嘉定区22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且34135=+a a ,93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．（1）求数列}{n a 的通项公式；(2)写出一个正整数m ,使得91+m a 是数列}{n b 的项； （3)设数列}{n c 的通项公式为ta a c n n n +=，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ）,使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在,请说明理由．奉贤区22、等比数列．．．．{}n c 满足11410-+⋅=+n n n c c ，*N n ∈，数列{}n a 满足n a n c 2=（1）求{}n a 的通项公式；（5分）（2)数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅,n T 为数列{}n b 的前n 项和．求n n T ∞→lim ；（5分） (3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列?若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．（6分）徐汇区23．(本题满分18分） 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为是原来数列的一个子数列。
某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 的子数列问题，为此，他取了其中第一项1a ，第三项3a 和第五项5a .（1） 若135,,a a a 成等比数列，求d 的值；（2） 在11a =， 3d =的无穷等差数列{}n a 中，是否存在无穷子数列{}n b ，使得数列{}n b 为等比数列？若存在,请给出数列{}n b 的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a ,公比为正整数q （1q >)的无穷等比数 列{}n c ,总可以找到一个子数列{}n d ,使得{}n d 构成等差数列”。
上海市各区县2013届高三数学一模函数综合题汇总
嘉定区23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知R ∈a ，函数||)(a x x x f -⋅=．（1）当2=a 时，写出函数)(x f 的单调递增区间（不必证明）；（2）当2>a 时，求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值；（3）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最小值又有最大值，请分别求出m 、n 的取值范围（用a 表示）．奉贤区23、设函数xa x x f +=)(定义域为),0(∞+，且25)2(=f . 设点P 是函数图像上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、． （1）写出()x f 的单调递减区间（不必证明）；（4分）（2）设点P 的横坐标0x ，求M 点的坐标（用0x 的代数式表示）；（7分） （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.（7分）2宝山区23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知定义域为R 的二次函数f x ()的最小值为0，且有f x f x ()()11+=-，直线g x x ()()=-41被f x ()的图像截得的弦长为417，数列{}a n 满足a 12=，()()()()aa g af a n N n n n n+-+=∈10* （1）求函数f x ()的解析式；（2）求数列{}a n 的通项公式；（3）设()()b f a g a n n n =-+31，求数列{}b n 的最值及相应的n崇明县22、（本题16分，第(1)小题4分；第(2)小题6分；第(3)小题6分）设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R *=++∈∈.（1）当2,1,1n b c ===-时，求函数()n f x 在区间1(,1)2内的零点； （2）设2,1,1n b c ==-≥，证明：()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点； （3）设2n =，若对任意[]12,1,1x x ∈-，有2122()()4f x f x -≤，求b 的取值范围．上海市2013届各区县数学一模函数综合题汇总 3普陀区22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.（1）若函数b ax x f +=)(，n mx x g +=)(，)(x f 与)(x g 互为“H 函数”,证明：)()(b g n f =.（2）若集合]2,2[-=M ，函数2)(x x f =，x x g cos )(=，判断函数)(x f 与)(x g 在M 上是否互为“H 函数”，并说明理由.（3）函数x a x f =)((0a a >≠且1)，1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”,求a 的取值范围及集合M .杨浦区22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数)0(121)(>-=x x xx f 的值域为集合A ，4（1）若全集R U =，求A C U ；（2）对任意⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0x ，不等式()0≥+a x f 恒成立，求实数a 的范围； （3）设P 是函数()x f 的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求PB PA ⋅的值．浦东新区23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设函数12,02()12(1),12x x T x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩（1）求函数2()y T x =和()2)(x T y =的解析式，并指出它们的单调递增区间 （2）是否存在非负实数a ，使得2()+()T x a T x a =+恒成立，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.（3）定义1()(())n n T x T T x +=，且1()()T x T x =，()n N *∈ ① 当10,16x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求4()y T x =的解析式. 已知下面正确的命题： 当11,1616i i x -+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时(115)i N i *∈≤≤，，都有33()()8i T x T x =-恒成立. ② 若方程3()T x kx =恰有15个不同的实数根，确定k 的取值；并求这15个不同的实数根根的和.上海市2013届各区县数学一模函数综合题汇总 5虹口区23、（本题满分18分）如果函数)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”．（1）判断函数x y sin =是否具有“)(a P 性质”，若具有“)(a P 性质”求出所有a 的值；若不具有“)(a P 性质”，请说明理由．（2）已知)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时2)()(m x x f +=，求)(x f y =在]1,0[上的最大值．（3）设函数)(x g y =具有“)1(±P 性质”，且当2121≤≤-x 时，x x g =)(．若)(x g y =与mx y =交点个数为2013个，求m 的值．6长宁区22． (本小题满分18分)已知二次函数()()21f x ax a x a =+-+。
2013年上海部分重点中学高考模拟考试数学(理)试卷(含答案)
2013年上海部分重点中学高考模拟考试数学(理)试卷考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数21x y =+的反函数为 . 2. 平面上的点(3,4)A 绕原点顺时针旋转π2后, 所得点B 的坐标为 . 3. 设m 是实数. 若复数1iim +-的实部为0(i 表示虚数单位), 则m = . 4. 若复数z 是方程2240x x -+=的一个根, 则||z = . 5. 在右边所示流程图中, 若输入的x 值是3, 则最后输出的n的值为 .6. 设m 是正实数. 若椭圆2221691x y m ++=的焦距为8, 则 m = . 7. 设k 是实数. 若方程22144x y k k -=-+表示的曲线是双曲线, 则k 的取值范围为 .8. 已知命题“a A ∈”是命题“132110111aa =”的充分非必要条件, 请写出一个满足条件的非空集合A , 你写的非空集合A 是 .9. 设全集U R =. 若集合11A xx ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭, 则U A =ð . 10. 设A 是三角形的内角. 若1sin cos 5A A -=, 则tan 2A = . 11. 设a 是实数. 若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数, 但不是偶函数, 则函数()f x 的递增区间为 . 12. 在数列{}n a 中, 10a ≠, 当*n N ∈时, 111n n a a n +⎛⎫=+⎪⎝⎭. 数列{}n a 的前n 项和为n S , 则2limnn nS S →∞= .13. 若平面向量,a b满足||2a = , (2)12a b b +⋅= , 则||b 的取值范围为 .14. 设1,,,,ab S a bcd b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭, 2,,,,0a b S a b c d a d b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈==+=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭. 已知矩阵2468A B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 其中1A S ∈, 2B S ∈. 那么A B -= .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案. 考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分. 15. 根据以下各组条件解三角形, 解不唯一．．．的是 [答] ( )(A) 60A ︒=, 75B ︒=, 1c =.(B) 5a =, 10b =, 15A ︒=.(C) 5a =, 10b =, 30A ︒=. (D) 15a =, 10b =, 30A ︒=.16. 对于数列{}n a , 如果存在正实数M , 使得数列中每一项的绝对值均不大于M , 那么称该数列为有界的, 否则称它为无界的. 在以下各数列中, 无界的数列为 [答] ( )(A) 12a =, 123n n a a +=-+. (B) 12a =, 112nn a a +=+.(C) 12a =, 1arctan 1n n a a +=+.(D) 12a =, 11n a +=.17. 设,,a b k 是实数, 二次函数2()f x x ax b =++满足: (1)f k -与()f k 异号, (1)f k +与()f k 同号. 在以下关于()f x 的零点的命题中, 假命题的序号为[答] ( )① 该二次函数的两个零点之差一定大于2; ② 该二次函数的零点都小于k ; ③ 该二次函数的零点都大于1k -. (A) ①②.(B) ②③.(C) ①③.(D) ①②③. 18. 将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A B C D -, 不同的标字母方式共有[答] ( )(A) 24种. (B) 48种.(C) 72种.(D) 144种.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)已知a 是实数, 三条直线250x y -+=, 40x y a -++=, 0x a +=中任意两条的交点均不在椭圆22211x y +=上, 求a 的取值范围.20. (本题满分12分)某学生解下面的题目时, 出现了错误. 指出该学生从哪一个步骤开始犯了第一个错误, 并从该步骤开始改正他的解答.【题目】有一块铁皮零件, 它的形状是由边长为40cm 的正方形CDEF 截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE , 其中AF 长等于12cm, BF 长等于10cm, 如图所示. 现在需要截取矩形铁皮, 使得矩形相邻两边在,CD DE 上. 请问如何截取, 可以使得到的矩形面积最大? (图中单位: cm)【错解】在AB 上取一点P , 过P 作,CD DE 的平行线, 得矩形PNDM . 延长,NP MP , 分别与,EF CF 交于点,Q S .设PQ x =cm(010x ≤≤), 则40PN x =-. 由APQ ∽ABF , 得1.2AQ x =,28 1.2PM EQ EA AQ x ==+=+.……………步骤①如果矩形PNDM 的面积用y cm 2表示, 那么(40)(28 1.2)y PN PM x x =⋅=-+,其中010x ≤≤.因为PN , PM 均大于零, 所以由基本不等式, 得222PN PM PN PM +⋅≤,因此y PN PM =⋅的最大值为222PN PM +.……………步骤②y 取到最大值, 即等号成立当且仅当PN NM =, 即4028 1.2x x -=+, 解得6011x =. ……………步骤③当60[0,10]11x =∈时, 144400(40)(28 1.2)121y x x =-+=, 所以当6011x =cm 时, 面积的最大值为144400121cm 2.……………步骤④21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数1π()sincos sin 2222x x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (1) 写出()f x 的最小正周期以及单调区间; (2) 若函数5π()cos 4h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 求函数22log ()log ()y f x h x =+的最大值, 以及使其取得最大值的x 的集合.22. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.可以证明, 对任意的*n N ∈, 有2333(12)12n n +++=+++ 成立. 下面尝试推广该命题:(1) 设由三项组成的数列123,,a a a 每项均非零, 且对任意的{1,2,3}n ∈有23331212()n na a a a a a +++=+++ 成立, 求所有满足条件的数列; (2)设数列{}n a 每项均非零, 且对任意的*n N ∈有23331212()n n a a a a a a +++=+++ 成立, 数列{}n a 的前n 项和为n S . 求证: 2112n n na a S ++-=, *n N ∈; (3) 是否存在满足(2)中条件的无穷数列{}n a , 使得20122011a =-? 若存在, 写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()2f x x x m =-, 常数m R ∈. (1) 设0m =. 求证: 函数()f x 递增;(2) 设0m >. 若函数()f x 在区间[0,1]上的最大值为2m , 求正实数m 的取值范围; (3) 设20m -<<. 记1()()f x f x =, 1()(())k k f x f f x +=, *k N ∈. 设n 是正整数, 求关于x 的方程()0n f x =的解的个数.一．（第1至14题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。
【经典二轮专题】上海市17区县2013届高三一模(数学理科)分类汇编专题一函数Word版含答案
专题一 函数2013年2月（松江区2013届高三一模 理科）18．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．D ．2)18．D（浦东新区2013届高三一模 理科）16．已知函数241)(+=x x f ，若函数1()4y f x m =+-为奇函数，则实数m 为 （ C ） ()A 12-()B 0 ()C 12()D 1 （黄浦区2013届高三一模 理科）17．若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是 偶函数；②对任意的R x ∈都有()|()|0f x f x -+=；③()y f x =-在(,0]-∞上单调递增； ④()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 17．B（青浦区2013届高三一模）18．已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，01007>a ，则)()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ 的值………………………………（ A ）．A .恒为正数.B 恒为负数 C .恒为0 D .可正可负（浦东新区2013届高三一模 理科）18．定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈. 若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[]1,2上函数中，线性近似阀值最小的是 （ D ）()A 2y x = ()B 2y x =()C sin 3y x π= ()D 1y x x=- （松江区2013届高三一模 理科）11．给出四个函数：①xx x f 1)(+=，②xx x g -+=33)(，③3)(x x u =，④x x v sin )(=，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>的函数为 ▲ ．（写出所有满足条件的函数的序号）11．③（松江区2013届高三一模 理科）15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是 A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y --= 15．D（杨浦区2013届高三一模 理科）9. 下列函数：① xx f 3)(=, ②3)(x x f =, ③x x f 1ln)(= ， ④2cos )(xx f π= ⑤1)(2+-=x x f 中,既是偶函数，又是在区间()∞+,0上单调递减函数为 （写出符合要求的所有函数的序号）. 9.③⑤；（（虹口区2013届高三一模）17、定义域为R 的函数c x b ax x f ++=2)()0(≠a 有四 个单调区间，则实数c b a ,,满足（ ）.A 0042>>-a ac b 且 .B 042>-ac b .C 02>-a b .D 02<-ab17、C ；（奉贤区2013届高三一模）18、定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”； ②“12—伴随函数”至少有一个零点．；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）A ．B ．2个；C ．3个；D ．0个； 18（奉贤区2013届高三一模）16、已知函数sin (0)y ax b a =+>的图像如左图所示，则函数log ()a y x b =+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．16．（虹口区2013届高三一模）11、已知正实数x 、y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于 ．11、9；（奉贤区2013届高三一模）11、（理）设函数()f x 的反函数是()1fx -，且()11--x f 过点()2,1，则()1y f x =-经过点 ． 11．理()0,3（金山区2013届高三一模）1．函数f (x )=3x –2的反函数f –1(x )=________．1．23x +(定义域不写不扣分)（黄浦区2013届高三一模 理科）9．已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且函数()()F x f x x a =+-有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．9．(,1]-∞；（浦东新区2013届高三一模 理科）3．函数)2(log 2-=x y 的定义域为 ),3[+∞ .（嘉定区2013届高三一模 理科）14．设m 、R ∈n ，定义在区间],[n m 上的函数|)|4(log )(2x x f -=的值域是]2,0[，若关于t 的方程0121||=++⎪⎭⎫⎝⎛m t （R ∈t ）有实数解，则n m +的取值范围是___________． 14．)2,1[（青浦区2013届高三一模）2．函数)2(log 1)(2≥+=x x x f 的反函数)2(2)(11≥=--x x fx ．（松江区2013届高三一模 理科）3．若函数()23xf x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝ ▲ ．3． 1（奉贤区2013届高三一模）11、（文）若函数21()log ()f x x a x =+-在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有零点，则实数a 的取值范围是___．文⎥⎦⎤⎢⎣⎡252log ,1（浦东新区2013届高三一模 理科）5．函数1y =+0≥x ）的反函数是 2(1)y x =-（1≥x ） .（黄浦区2013届高三一模 理科）12．已知函数()x f x a =(0a >且1a ≠)满足(2)(3)f f >，若y =1()f x -是()y f x =的反函数，则关于x 的不等式11(1)1f x -->的解集是 ．12．1(1,)1a-； （金山区2013届高三一模）13．若函数y=f (x ) (x ∈R)满足：f (x +2)=f (x )，且x ∈[–1, 1]时，f (x ) = | x |，函数y=g (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0, +∞)时，g (x ) = log 3 x ，则函数y=f (x )的图像与函数y=g (x )的图像的交点个数为_______． 13．4（奉贤区2013届高三一模）7、设函数()()()a x x xx f sin 1-+=为奇函数，则=a ．7．Z k k ∈+,22ππ（嘉定区2013届高三一模 理科）18．设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为……………………（ ）A ．]6,2[-B ．]28,24[-C ．]32,22[-D ．]34,20[- 18．D（虹口区2013届高三一模）13、设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，当],0[π∈x 时，1)(0<<x f ，且在]2,0[π上单调递减，在],2[ππ上单调递增，则函数x x f y sin )(-=在]10,10[ππ-上的零点个数为 ． 13、20；（杨浦区2013届高三一模 理科）1. 若函数()xx f 3=的反函数为()x f1-，则()=-11f．1. 0；（奉贤区2013届高三一模）9、（理）已知函数sin ,0,()(1),0,x x f x f x x π≤⎧=⎨->⎩那么)65(f 的值为 ．9．理21-（青浦区2013届高三一模）12．已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,1)2()(x ax x a x f x满足对任意21x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f 成立，那么a 的取值范围是_____⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23 ．（奉贤区2013届高三一模）9、（文）已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩ 若1()2f a =，则a =_________． 文1-=a 或2（崇明县2013届高三一模）5、已知1()y f x -=是函数2()2f x x =+(0)x ≤的反函数，则1(3)f -=. 5、1-（宝山区2013届期末）7.将函数sin ()cos xf x x的图像按向量n (a,0)=-（0a >）平移，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 . π65（崇明县2013届高三一模）14、已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-，若同时满足条件：①对于任意x R ∈，()0f x <或()0g x <成立； ②存在(,4)x ∈-∞-，使得()()0f x g x ⋅<成立．则m 的取值范围是. 14、(-4,-2)（奉贤区2013届高三一模）1、关于x 的方程()R n m n mx x ∈=++,02的一个根是i 23+-，则=m _________．1．;6=m（长宁区2013届高三一模）2、记函数()y f x =的反函数为1().y f x -=如果函数()y f x =的图像过点)2,1(,那么函数1()1y fx -=+的图像过点.__________ 2、)2,2(（奉贤区2013届高三一模）5、已知,0,0>>y x 且,111=+yx 若m y x >+恒成立，则实数m 的取值范围是_________．5．4<m（宝山区2013届期末）8.设函数)(x f 是定义在R 上周期为3的奇函数，且2)1(=-f ，则(2011)(2012)f f += _．0（长宁区2013届高三一模）5、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -= 5、4-（宝山区2013届期末）14.设),(),,(2211y x B y x A 是平面直角坐标系上的两点，定义点A 到点B 的曼哈顿距离1212(,)L A B x x y y =-+-. 若点A(-1,1),B 在2y x =上，则(,)L A B 的最小值为 ．74（长宁区2013届高三一模）13、（理）已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++-=的值域为]0,(-∞，若关于x 的不等式1)(->c x f 的解集为)1,4(+-m m ，则实数c 的值为._________ 13、（理）421-，（宝山区2013届期末）18.已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则下列函数的图像错误的是……………………（ D ）(A))1(-x f 的图像 (B))(x f -的图像 (C)|)(|x f 的图像 (D)|)(|x f 的图像（崇明县2013届高三一模）15、设函数()sin ,f x x =x R ∈，则下列结论错误的是………………………………………（ ） A ．()f x 的值域为[0,1] B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 不是周期函数 D ．()f x 不是单调函数 15、C（长宁区2013届高三一模）18、（理）函数sin xy x =，(,0)(0,)x ππ∈-的图象可能是下列图象中的 （ ）18、C（黄浦区2013届高三一模 理科）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．对于函数()y f x =与常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”；若(2)()f x af x b ≥+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“类P 数对”．设函数)(x f 的定义域为R +，且(1)3f =．（1）若(1,1)是()f x 的一个“P 数对”，求(2)(*)N n f n ∈；（2）若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，且当[1,2)x ∈时()f x =23k x --，求()f x 在区间[1,2)n (*)N n ∈上的最大值与最小值；（3）若()f x 是增函数，且(2,2)-是()f x 的一个“类P 数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①(2)n f -与2n -+2(*)N n ∈；②()f x 与22x +((0,1])x ∈．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．解：（1）由题意知(2)()1f x f x =+恒成立，令2(*)N k x k =∈， 可得1(2)(2)1k k f f +=+，∴{(2)}k f 是公差为1的等差数列，故0(2)(2)n f f n =+，又0(2)3f =，故(2)3n f n =+． ………………………………3分 （2）当[1,2)x ∈时，()|23|f x k x =--，令1x =，可得(1)13f k =-=，解得4k =，即[1,2)x ∈时，()4|23|f x x =--， ………………………4分 故()f x 在[1,2)上的取值范围是[3,4]． 又(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，故(2)2()f x f x =-恒成立， 当1[2,2)k k x -∈(*)N k ∈时，1[1,2)2k x -∈，()2()4()24x x f x f f =-==…11(2)()2k k xf --=-， …………………6分故k 为奇数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[32,2]k k -+⨯；当k 为偶数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[2,32]k k +---⨯． …………………8分 所以当1n =时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为4，最小值为3；当n 为不小于3的奇数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为12n +，最小值为2n -；当n 为不小于2的偶数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为2n ，最小值为12n +-．………10分 （3）由(2,2)-是()f x 的一个“类P 数对”，可知(2)2()2f x f x ≥-恒成立，即1()(2)12f x f x ≤+恒成立，令12k x =(*)N k ∈，可得1111()()1222k k f f -≤+， 即1111()2[()2]222k k f f --≤-对一切*N k ∈恒成立，所以1211111()2[()2][()2]22242n n n f f f ---≤-≤-≤…≤11[(1)2]22n n f -=，故(2)22n n f --≤+(*)N n ∈． …………………………………14分 若(0,1]x ∈，则必存在*N n ∈，使得111(,]22n n x -∈， 由()f x 是增函数，故1111()()222n n f x f --≤≤+， 又1112222222n n x -+>⨯+=+，故有()22f x x <+．…………………………………18分（金山区2013届高三一模）21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数]2,0(,2)(2∈+-=x xa x x x f ，其中常数a > 0．(1) 当a = 4时，证明函数f (x )在]2,0(上是减函数； (2) 求函数f (x )的最小值．21．解：(1) 当4=a 时，24)(-+=xx x f ，…………………………………………1分 任取0<x 1<x 2≤2，则f (x 1)–f (x 2)=121244x x x x +--212121)4)((x x x x x x --=………………3分 因为0<x 1<x 2≤2，所以f (x 1)–f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)………………………………………5分 所以函数f (x )在]2,0(上是减函数；………………………………………………………6分 (2)2)(-+=xax x f 22-≥a ，……………………………………………………7分 当且仅当a x =时等号成立，…………………………………………………………8分当20≤<a ，即40≤<a 时，)(x f 的最小值为22-a ，………………………10分当2>a ，即4>a 时，)(x f 在]2,0(上单调递减，…………………………………11分 所以当2=x 时，)(x f 取得最小值为2a，………………………………………………13分综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-=.42,4022)(mina a a a x f ………………………………………14分（浦东新区2013届高三一模 理科）23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）设函数12,02()12(1),12x x T x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩（1）求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2sin(x T y π和⎪⎭⎫⎝⎛=)(2sin x T y π的解析式； （2）是否存在非负实数a ，使得()()aT x T a x =恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）定义1()(())n n T x T T x +=，且1()()T x T x = ()n N *∈ ① 当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()n y T x =的解析式； 已知下面正确的命题：当11,22n n i i x -+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(121)n i N i *∈≤≤-，时，都有-1()()2n n n i T x T x =-恒成立.② 对于给定的正整数m ，若方程()m T x k x =恰有2m个不同的实数根，确定k 的取值范围； 若将这些根从小到大排列组成数列{}n x ()12m n ≤≤，求数列{}n x 所有2m项的和.解：（1）函数152sin 44+4+4+2233sin()21522sin 4+4+233x x k k k k k Zy T x x x k k k Zπππ⎧⎛⎫⎡⎫⎛⎤∈∈ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎭⎝⎦⎡⎤==⎨⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎡⎤⎪-∈∈ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩，，，函数()()()[]1sin 20,22sin ()=sin 0,121sin 2-2,122x x y T x x x x x ππππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭⎛⎫==∈⎨⎪⎝⎭⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩ ……4分（2）12,02()12(1),12ax x y aT x a x x ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩，12,02()12(1),12ax ax y T ax ax ax ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩……6分 当0a =时，则有(())()0a T x T ax ==恒成立.当0a >时，当且仅当1=a 时有(())()()a T x T ax T x ==恒成立.综上可知当0a =或1a =时，(())()a T x T ax =恒成立；………………………8分（3）① 当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，对于任意的正整数11j N i n *∈≤≤-，，都有1022jx ≤≤故有2112()(2)(2)(2)(2)2j n n n n n n j y T x T x T x T x T x x ----========…13分② 由①可知当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()2n n T x x =，根据命题的结论可得， 当1202,,2222nn n n x ⎡⎤⎡⎤∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，有110102,,22222n n n n n x -⎡⎤⎡⎤-∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故有1111()()=2()2222n nn n n n T x T x x x --=--=-+. 因此同理归纳得到，当1,22nn i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(021)n i N i ∈≤≤-，时， 211()(1)(2)=2221ninn nx i i T x x i x i i ⎧-⎪=---+⎨-++⎪⎩，是偶数，是奇数……………………15分 对于给定的正整数m ，1,22mm i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(021)m i N i ∈≤≤-，时， 解方程()mT x kx =得，()121(1)2(1)2i m i i x k++--=--， 要使方程()m T x kx =在[]0,1x ∈上恰有2m个不同的实数根，对于任意021mi N i ∈≤≤-，，必须()121(1)122(1)22i m m im i ii k ++--+<<--恒成立， 解得2(0,)21mmk ∈-, 若将这些根从小到大排列组成数列{}n x ，由此可得()121(1)2(1)2n nm nn x k+-+-=+- ()12mn N i *∈≤≤，.……………………17分 故数列{}n x 所有2m项的和为：12212m m S x x x x -=+++024(22)246222m m m m k k ++++-++++=+-+122(42)4m m m k k --=-.……18分 （长宁区2013届高三一模）19、（本题满分12分）已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-，满足0m n ⋅=．（1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（2）（理）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，若3)2A(=f ，且2a =，求b c +的取值范围．19、解（1）由0m n ⋅=得22cos cos 0x x x y +-= …………3分即22cos cos cos 2212sin(2)16y x x x x x x π=+=++=++所以()2sin(2)16f x x π=++，其最小正周期为π． …………6分（2）（理）因为()32Af =，则2,62k Z A k πππ+=∈+.因为A 为三角形内角，所以3A π=…………9分法一：由正弦定理得B sin 334b =，C sin 334c =， )6sin(4)32sin(334sin 334sin 334sin 334ππ+=-+=+=+B B B C B c b ，]1,21()6sin(∈+∴πB ，]4,2(∈+∴c b ， 所以b c +的取值范围为(2,4] …………12分 法二：3cos2222πbc c b a -+=，因此bc c b 3)(42-+=，因为4)(2c b bc +≤，所以4)()(422c b c b +-+≥，16)(2≤+c b ，4≤+∴c b .又2>+c b ，所以b c +的取值范围为(2,4] …………12分（文）（2）65626,30ππππ≤+≤∴≤≤x x ,因此)62sin(π+x 的最小值为21，…………9分由)(x f a <恒成立，得2)]([min =<x f a ，所以实数a 的取值范围是)2,(-∞. ………12分（宝山区2013届期末）21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数2()log (424)x x f x b =+⋅+，()g x x =. （1）当5b =-时，求()f x 的定义域；（2）若()()f x g x >恒成立，求b 的取值范围．解：（1）由45240x x -⋅+>………………………………………………3分 解得()f x 的定义域为(,0)(2,)-∞⋃+∞．………………………6分 （2）由()()f x g x >得4242x x x b +⋅+>，即4122x xb ⎛⎫>-+⎪⎝⎭……………………9分 令4()122x xh x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则()3h x ≤-，………………………………………………12分 ∴ 当3b >-时，()()f x g x >恒成立．………………………………………………14分（长宁区2013届高三一模）22． (本小题满分18分) （理）已知函数 ()f x =。
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专题三 解析几何2013年2月（杨浦区2013届高三一模 理科）17．若1F 、2F 为双曲线C : 1422=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠21PF F =︒60，则P 到x 轴的距离为 ………（ ）)(A． )(B ． )(C ． )(D ． 17．)(B ；（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ D ）．A . x y 2±= .B x y 2±=C . x y 21±= D . x y 22±=（嘉定区2013届高三一模 理科）9．点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________________． 9．2412+=x y （崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（ ）AB ．C ．4D ．817、C（黄浦区2013届高三一模 理科）13．已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y =是双曲线C 的一条渐近线．以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C上，则m 的值为 ． 13．3+；（松江区2013届高三一模 理科）7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ▲ 7．24y x =（虹口区2013届高三一模）14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ． 14、427； （松江区2013届高三一模 理科）14．定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q ．若曲线0:1(0,0)42x yC x y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C L ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质： ①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=其中所有正确结论的序号是 ▲ ． 14． ③④（杨浦区2013届高三一模 理科）3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 3．2；（黄浦区2013届高三一模 理科）11．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF 的距离为d ，则d 的值为 ．11．165；（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为____________．文4（青浦区2013届高三一模）3．抛物线22x y =的焦点坐标是____)81,0( ．（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆()01342222>=+a ay a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________． 文23a（杨浦区2013届高三一模 理科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 5．2arctan ；（金山区2013届高三一模）11．双曲线C ：x 2 – y 2 = a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．11．14422=-y x（虹口区2013届高三一模）4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 ． 4、3π；（嘉定区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：222||2||1||1OM OB OA ++21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）将)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+143231112222b ab a ，…………（2分） 解得32=a ，232=b ．…………（5分）所以椭圆C 的方程为132322=+y x ．…………（6分）（2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b a a b b OM OB OA ．……（1分） 同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b ab a a OM OB OA ．……（2分） ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x ky 1-=．设),(11y x A ，),(22y x M ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=132322y x kx y ，解得221213k x +=，2221213k k y +=，……（4分） 所以2221212221)1(3||||k k y x OB OA ++=+==，同理可得2222)1(3||kk OM ++=， 所以2)1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||1222222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA ．……（7分） 综上，222||2||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（8分）（黄浦区2013届高三一模 理科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O C的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F ． （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围；（3）在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直？并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）由题意知c =a ==，可得1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分（2）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(m <<，则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--u u u r u u u r， 故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--u u u r u u u r2244343()332m m m =-+=-, …………………………8分又m <<，故243()[0,732m -∈+，所以AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围是[0,7+． …………………………10分（3）设(,)P s t ，则224s t +=．当s =时，1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥．当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ， 则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=， …………………………13分 可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠， 设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，故22122211(4)133t s k k s s ---===---，即12l l ⊥．综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥． …… …………………………16分（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ． （1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．21、（14分）解：（1）圆心)0,0(O 到直线0323=-+y x 的距离3=d ．圆的半径2=r ，∴2222=-=d r AB ．………………4分 （2）),(11y x M ，),(22y x P ，则),(111y x M --，),(112y x M -，42121=+y x ，42222=+y x ．………………8分1PM ：))(())((212212y y x x x x y y -+=-+，得121221x x y x y x m +-=．2PM ：))(())((212212y y x x x x y y --=-+，得121221x x y x y x n ---=．…………12分∴4)4()4(212222212122212222212122=----=--=⋅x x x x x x x x y x y x n m ………………14分（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点．(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈[4,，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分 在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y += …………………………………………4分(2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+，516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-u u u u r u u u u r ，所以 212122)2)(2(y y x x Q B P B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅u u u u r u u u u r=0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分 当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514kk y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-=.设28153u k u =+≥，，所以S =，所以)5516,35[∈S …15分 综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S ……………………………………………16分（宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分． 设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程；(2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =r ，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积；(3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列． 解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，则由题意00122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩……………………………………2分所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =-…………………………4分(2) 22y x =，12(,0)F ，直线12()212y x x =-=-，……………………5分由2221y x y x ⎧=⎨=-⎩得，210y y --=， 2511212=-+=y y kAB ……………………………………………7分d =……………………………………………8分 4521==∆AB d S OAB ……………………………………………9分 (3)显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为123k 、k 、k ． 点A 、B 、M 的坐标为11222pA(x ,y )、B(x ,y )、M(-,m)． 设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线得2220p y y p k --=，……………………11分 所以212y y p =-，……………………………………………12分 又2112y px =，2222y px =，因而()22211112222y p p x y p p p +=+=+，()24222212211222222y p p p p p x y p p py y +=+=+=+ 因而()()()22121112122222111222222p y m p y m y y m y m m k k p p p p y p p y p x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭+=+=+=-++++ (14)分 而30222m mk p p p -==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1232k k k +=．……………………………………………16分（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分） 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．23、解：（122=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+=求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。
上海市17区县2013届高三数学一模分类汇编_专题四_数列_文
专题四 数列汇编2013年3月（杨浦区2013届高三一模 文科）16．若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-a ，且a S n n =∞→lim ，(n ∈*N )，则复数ia z +=1在复平面上对应的点位于 ………（ ）)(A 第一象限． )(B 第二象限． )(C 第三象限． )(D 第四象限． 16．)(D ；（闵行区2013届高三一模 文科）18．数列{}n a 满足121a a ==，122cos()3n n n n a a a n N π*++++=∈，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2012S 的值为 [答] ( )（A ）672- （B ）671- （C ）2012 （D ）672 （文）数列{}n a 满足121a a ==，122cos()3n n n n a a a n N π*++++=∈，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2013S 的值为 [答] ( ) （A ）2013 （B ）671 （C ）671- （D ）6712- 18．D ．（虹口区2013届高三一模）18、数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==kn a k n n a k n 2,12,当当，其中*∈N k ，设n n a a a a n f 21221)(++++=-Λ，则)2012()2013(f f -等于( )．.A 20122 .B 20132 .C 20124 .D 2013418、C ；（奉贤区2013届高三一模）17、（理）已知是等差数列的前n 项和，且，有下列四个命题，假命题．．．的是（ ） A ．公差； B ．在所有0<n S 中，13S 最大； C ．满足0>n S 的n 的个数有11个； D ．76a a >；17． 理（奉贤区2013届高三一模）17、（文）已知是等差数列的前n 项和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是 （ ）A ．6S 和7S 均为n S 的最大值.B ．07=a ；n S *{}()n a n N ∈675S S S >>0d <n S *{}()n a n N ∈C ．公差；D ．59S S >； 文（金山区2013届高三一模）10．A 、B 、C 三所学校共有高三学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_________人． 10．40 （浦东新区2013届高三一模 文科）17．若1x ，2x ，3,x L ，2013x 的方差为3，则13x ，23x ，33,x L ，20133x 的方差为（ D ）()A 3 ()B 9 ()C 18 ()D 27（普陀区2013届高三一模 文科）6. 若等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 的通项公式为 . 6.32n a n =-（*N n ∈）（杨浦区2013届高三一模 文科）8. 设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013 项的和=2013S ______________．8. 2013；（浦东新区2013届高三一模 文科）14．1,2,3,4,5共有5!种排列12345,,,,a a a a a ，其中满足“对所有1,2,3,4,5k =都有2k a k ≥-”的不同排列有 54 种.（奉贤区2013届高三一模）14、（理）设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则=-5123)]([a a a f ．14．理21613π（杨浦区2013届高三一模 文科）18. 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列（n ∈*N ）. 对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”. 现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =， ④()f x =0d <序号为 ………（ ）)(A ①②． )(B ③④． )(C ①②④． )(D ②③④ ．18. )(C ．（嘉定区2013届高三一模 文科）4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________． 4．2（浦东新区2013届高三一模 文科）7．等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项的和13S = 52 .（黄浦区2013届高三一模 文科）4．若数列{}n a 的通项公式为3n a n =+(*)N n ∈，则12lim 4n n n a a n++∞+=→ ．4．12； （静安区2013届高三一模 文科）11． （文）数列{}n a 的前n 项和为22n S n =（*N n ∈），对任意正整数n ，数列{}n b 的项都满足等式022121=+-++n n n n n a b a a a ，则n b = .11．（文）141422-+=n n b n ； （闵行区2013届高三一模 文科）14． （文）如下图，对大于或等于2的正整数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中* m n N ∈、)：例如27的“分裂”中最小的数是1，最大的数是13；若3m 的“分裂”中最小的数是211，则m = .14．文15．（嘉定区2013届高三一模 文科）5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数， 则公差d 的取值范围是__________________．5．⎥⎦⎤⎝⎛710,45 （静安区2013届高三一模 文科）2．等比数列{}n a （*N n ∈）中，若1612=a ，215=a ，则=12a . 2．64；312253329742512339733112943252727791113135（静安区2013届高三一模 文科）16．（文）等差数列}{n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则数列}{n a 前n 项和n S （*N n ∈）中最小的是（ ）(A) 7S 或8S (B) 12S (C)13S (D)14S （文）同理15 16．（文）C ；（嘉定区2013届高三一模 文科）14．在数列}{n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*N ∈n 满足n T n a a =+，则称}{n a 是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列}{n x 满足11=x ，a x =2（1≤a ），||12n n n x x x -=++，当数列}{n x 的周期为3时，则}{n x 的前2013项的和=2013S ________． 14．1342（静安区2013届高三一模 文科）3． （文）求和：nnn n n n C C C C 32793321++++Λ= .（*N n ∈）（文）14-n（金山区2013届高三一模）14．若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是 ． 14．24-（虹口区2013届高三一模）9、在等比数列{}n a 中，已知3221=a a ，243=a a ，则=+++∞→)(lim 21n n a a a Λ ． 9、16±；（青浦区2013届高三一模）8．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）．21-2或-．（奉贤区2013届高三一模）6、设无穷等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，首项是1a ，若∞→n limS n ＝11a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,01a ，则公比q 的取值范围是 ． 6．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 （崇明县2013届高三一模）13、数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和等于 . 13、1830（虹口区2013届高三一模）12、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则=m ．12、10；（长宁区2013届高三一模）7、从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为7、n n b 81=（宝山区2013届期末）11.若数列{}n a 的通项公式是13(2)n n n a --+=+-，则)(lim 21n n a a a +++∞→Λ=_______.76（崇明县2013届高三一模）9、数列{}n a 的通项公式是1(1,2)11(2)3n nn n a n ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞= . 9、89（长宁区2013届高三一模）3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 . （结果精确到001.0） 3、381.0（宝山区2013届期末）15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（ C ）（A ）3353P P ⋅ （B ）863863P P P -⋅ （C ）3565P P ⋅ （D ）8486P P -（青浦区2013届高三一模）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 满足)(233,2*111N n a a a n n n n ∈-+==++．（1）设nnn n a b 32-=证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：（1）n n n n n n n n a a b b 32321111---=-++++Θ13232233111=----+=+++nnn n n n n n a a ，……2分)}(21{*N n n ∈}{n b 71}{n b}{n b ∴为等差数列．又0=1b ，1-=∴n b n ．……………………………………………4分()n n n n a 231+⋅-=∴．………………………………………………………………………6分（2）设nn n T 3)1(313021⋅-++⋅+⋅=Λ，则 31323)1(3130+⋅-++⋅+⋅=n n n T Λ．11123)1(31)31(93)1(332+-+⋅----=⋅--++=-∴n n n n n n n T Λ． (10)分493)32(23)1(439111+⋅-=⋅-+-=∴+++n n n n n n T ．()()412332222312++-=++++=∴++n n nn n n T S Λ． …………………………14分（金山区2013届高三一模）23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ=L (其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值；(2) 求数列{a n }的通项公式n a ； (3) 当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．23．解：(1) 令1=n ，得到λ712=a ，令2=n ，得到237171λλ+=a 。
2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2013•上海）计算：=．考点：数列的极限．专题：计算题．分析：由数列极限的意义即可求解．解答：解：==，故答案为：．点评：本题考查数列极限的求法，属基础题．2．（4分）（2013•上海）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．解答：解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．3．（4分）（2013•上海）若=，x+y=0．考点：二阶行列式的定义．专题：常规题型．分析：利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论．解答：解：∵=，∴x2+y2=﹣2xy∴（x+y）2=0∴x+y=0故答案为0点评：本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．4．（4分）（2013•上海）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：把式子3a2+2ab+3b2﹣3c2=0变形为，再利用余弦定理即可得出．解答：解：∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，∴，∴==．∴C=．故答案为．点评：熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键．5．（4分）（2013•上海）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．解答：解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（4分）（2013•上海）方程+=3x﹣1的实数解为log34．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：化简方程+=3x﹣1为=3x﹣1，即（3x﹣4）（3x+2）=0，解得3x=4，可得x的值．解答：解：方程+=3x﹣1，即=3x﹣1，即8+3x=3x﹣1（3x+1﹣3），化简可得32x﹣2•3x﹣8=0，即（3x﹣4）（3x+2）=0．解得3x=4，或3x=﹣2（舍去），∴x=log34，故答案为log34．点评：本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法，属于基础题．7．（4分）（2013•上海）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．专题：计算题．分析：联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．解答：解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，解得ρ=或ρ=（舍），所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，故答案为：．点评：本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题．8．（4分）（2013•上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．解答：解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种．取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种．则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．故答案为点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．9．（4分）（2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．解答：解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．10．（4分）（2013•上海）设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ=30d2．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：利用等差数列的前n项和公式可得x1+x2+…+x19=和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出Dξ=即可得出．解答：解：由题意可得Eξ===x1+9d．∴x n﹣Eξ=x1+（n﹣1）d﹣（x1+9d）=（n﹣10）d，∴Dξ=+…+（﹣d）2+0+d2+（2d）2+…+（9d）2]===30d2．故答案为：30d2．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键．11．（4分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=．考点：三角函数的和差化积公式；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=，可得cos（x﹣y）=，再利用和差化积公式sin2x+sin2y=，得到2sin（x+y）cos（x﹣y）=，即可得出sin（x+y）．解答：解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣y）=．∵sin2x+sin2y=，∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]=，∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=，∴，∴sin（x+y）=．故答案为．点评：熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键．12．（4分）（2013•上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f （x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．考点：函数奇偶性的性质；基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围．解答：解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为：．点评：本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．13．（4分）（2013•上海）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为2π2+16π．考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；压轴题；阅读型．分析：由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可．解答：解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π•12•2π+2•8π=2π2+16π．故答案为2π2+16π．点评：本题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量，是中档题．14．（4分）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=2．考点：反函数；函数的零点．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1）时，x∈[1，2）时f （x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；由f（x）在定义域[0，3]上存在反函数可知：x∈[2，3]时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x有解即可得到x0的值．解答：解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．点评：本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a 的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．解答：解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．点评：此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．16．（5分）（2013•上海）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．解答：解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B点评：本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．17．（5分）（2013•上海）在数列（a n）中，a n=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j 列的元素c ij=a i•a j+a i+a j（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A．18 B．28 C．48 D．63考点：数列的函数特性．专题：压轴题．分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，a ij≠a mn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．解答：解：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），当且仅当：i+j=m+n时，a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．故选A．点评：由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a ij=a mn（i，m=1，2，...，7；j，n=1，2， (12)是解题的关键．18．（5分）（2013•上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选D．点评：本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2013•上海）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：解法一：证明ABC′D′为平行四边形，可得BC′∥AD′，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC′平行于平面D′AC．所求的距离即点B到平面D′AC的距离，设为h，再利用等体积法求得h的值．解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为=（2，1，﹣2），再根据=﹣0，可得⊥，可得直线BC′平行于平面D′AC．求出点B到平面D′AC的距离d=的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离．解答：解：解法一：因为ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，故AB∥C′D′，AB=C′D′，故ABC′D′为平行四边形，故BC′∥AD′，显然BC′不在平面D′AC内，于是直线BC′平行于平面D′AC．直线BC′到平面D′AC的距离即为点B到平面D′AC的距离，设为h，考虑三棱锥D′﹣ABC的体积，以ABC为底面，可得三棱锥D′﹣ABC的体积为V==，而△AD′C中，AC=D′C=，AD′=，故△CAD′的底边AD′上的高为，故△CAD′的面积S△CAD′=••=，所以，V==⇒h=，即直线BC′到平面D′AC的距离为．解法二：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则由题意可得，点A（1，0，1 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．设平面D′AC的一个法向量为=（u，v，w），则由⊥，⊥，可得，．∵=（1，0，1），=（0，2，1），∴，解得．令v=1，可得u=2，w=﹣2，可得=（2，1，﹣2）．由于=（﹣1，0，﹣1），∴=﹣0，故有⊥．再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC．由于=（1，0，0），可得点B到平面D′AC的距离d===，故直线BC′到平面D′AC的距离为．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．20．（14分）（2013•上海）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．解答：解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣）×2=200（5x+1﹣）根据题意，200（5x+1﹣）≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0∴x≥3或x≤﹣∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1﹣）×=90000（）=9×104[+]∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．点评：本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．21．（14分）（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．考点：正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）已知函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a 和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．解答：解：（1）∵函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，∴，且，解得．（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到，∴函数y=g（x）=，令g（x）=0，得，或x=（k∈Z）．∴相邻两个零点之间的距离为或．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，∴．另一方面，在区间恰有30个零点，因此b﹣a的最小值为．点评：本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．22．（16分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．专题：压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．解答：（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．23．（18分）（2013•上海）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足a n+1=f（a n），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．考点：数列的函数特性；等差关系的确定；数列与函数的综合．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）对于分别取n=1，2，a n+1=f（a n），n∈N*．去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得f（x）=，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a1＜﹣c时，当a1≥﹣c时．即可得出a1的取值范围．解答：解：（1）a2=f（a1）=f（﹣c﹣2）=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2，a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|﹣|2+c|=2（6+c）﹣（c+2）=10+c．（2）由已知可得f（x）=当a n≥﹣c时，a n+1﹣a n=c+8＞c；当﹣c﹣4≤a n＜﹣c时，a n+1﹣a n=2a n+3c+8≥2（﹣c﹣4）+3c+8=c；当a n＜﹣c﹣4时，a n+1﹣a n=﹣2a n﹣c﹣8＞﹣2（﹣c﹣4）﹣c﹣8=c．∴对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列．由（2）及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣c，从而a n+1=f（a n）=a n+c+8，由于{a n}为等差数列，因此公差d=c+8．①当a1＜﹣c﹣4时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣c﹣8，又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣c，∴a n+1=f（a n）=a n+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=﹣c﹣8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②若﹣c﹣4≤a1＜﹣c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，应舍去；③若a1≥﹣c，则由a n≥a1得到a n+1=f（a n）=a n+c+8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c，+∞）．点评：本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．。
上海市17区县高三一模(数学理)分类汇编 专题五框图
专题五 框图
2013年2月
（黄浦区2013届高三一模 理科）8．执行右边的程序框图，若10p =，则输出的S = ． 8．9
10
；
（金山区2013届高三一模）16．右图是某程序的流程图，则其输出结果为( )
(A)
20112010 (B) 20111
(C) 20122011 (D) 2012
1
16．C
（虹口区2013届高三一模）6、在下面的程序框图中，输出的y 是x 的函数，记为)(x f y =，则
-1
f
输出
结束
开始是
>2011 （第8题图）
0.95p =，则输出的n = ．6
（长宁区2013届高三一模）8、阅读如图所示的程序框图，输出的S 值为._________ 8、21+
（崇明县2013届高三一模）7
这个数列的第3项是 . 7、30
（青浦区2013届高三一模）9
5
4
．
（嘉定区2013届高三一模 理科）6．执行如图所示的程序框图，则输出的a 的
值为_____________． 6．3
7
第7题图
（松江区2013届高三一模理科）17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有
A．1个B．2个
C．3个D．4个
17．C。
2013届上海数学高考模拟试题汇编——数列
1、（青浦区2013届高三一模）已知数列{}n a 满足)(233,2*111N n a a a n n n n ∈-+==++．（1）设nn n n a b 32-=证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．2、（金山区2013届高三一模）已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ= (其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值；(2) 求数列{a n }的通项公式n a ；(3) 当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．3、（浦东新区2013届高三一模文科）定义数列}{n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列}{n x 为“-p 摆动数列”．（1）设12-=n a n ，n n b )21(-=，*∈N n ，判断}{n a 、}{n b 是否为“-p 摆动数列”，并说明理由；（2）设数列}{n c 为“-p 摆动数列”，p c >1，求证：对任意正整数*,m n N ∈，总有122-<m n c c 成立；（3）设数列}{n d 的前n 项和为n S ，且n S n n ⋅-=)1(，试问：数列}{n d 是否为“-p 摆动数列”，若是，求出p 的取值范围；若不是，说明理由.4、（长宁区2013届高三一模）（理）已知函数时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k 、m 为常数，且（1）若k=1，求数列的通项公式；（2）若m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列的前n 项和分别为S n ，T n ，],[,)(11b a x m kx x f ∈+=当)(x f ],[22b a ],[22b a x ∈)(x f ],[33b a ],[11--∈n n b a x )(x f ],[n n b a .1,011==b a }{},{n n b a 0>k }{n b ?4lim =∞→n n b 0<k }{},{n n b a求).()(201321201321S S S T T T +++-+++（文）设，等差数列中，，记=，令，数列的前n 项和为. （1）求的通项公式和； （2）求证：； （3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.5、（虹口区2013届高三一模）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足12-=n n a S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和n nn n n n C S C S C S C S ⋅++⋅+⋅+⋅+1231201 ； （3）设有m 项的数列{}n b 是连续的正整数数列，并且满足：)lg(log )11lg()11lg()11lg(2lg 221m ma b b b =+++++++ ． 问数列{}n b 最多有几项？并求这些项的和．6、（崇明县2013届高三一模）已知数列{}n a ，记123()n A n a a a a =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+,2341()n B n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+,3452()n C n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, (1,2,3,......)n =，并且对于任意n N *∈，恒有0n a >成立．（1）若121,5a a ==，且对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列．7、（宝山区2013届期末）已知定义域为R 的二次函数f x ()的最小值为0，且有f x f x ()()11+=-，直线g x x ()()=-41被f x ()的图像截得的弦长为417，数列{}a n 满足a 12=，()()()()aa g af a n N n n n n+-+=∈10*3x x f =)({}n a 73=a 12321=++a a a n S ()31+n a fn n n S a b =}1{nb n T {}n a n S 31<n T n m ,n m <<1n m T T T ,,1n m ,（1）求函数f x ()的解析式；（2）求数列{}a n 的通项公式； （3）设()()b f a g a n n n =-+31，求数列{}b n 的最值及相应的n 8、（奉贤区2013届高三一模）等比数列．．．．{}n c 满足11410-+⋅=+n n n c c ，*N n ∈，数列{}n a 满足n an c 2=（1）求{}n a 的通项公式；（5分）（2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．求n n T ∞→lim ；（5分）（3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n的值；若不存在，请说明理由．（6分）9、（黄浦区2013届高三一模文科）在△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且A , B , C成等差数列．（1）若3AB BC ⋅=-，且b =a c +的值； （2）若sin cos A M A=，求M 的取值范围．10、（嘉定区2013届高三一模文科）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）写出一个正整数m ，使得91+m a 是数列}{n b 的项；（3）设数列}{n c 的通项公式为ta a c n nn +=，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ），使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在，请说明理由．11、（静安区2013届高三一模文科）已知数列}{n a 的递推公式为⎩⎨⎧=∈≥+-=-.2),2(,3231*1a N n n n a a n n（1）令n a b n n -=，求证：数列}{n b 为等比数列；（2）求数列}{n a 的前n 项和. 12、（闵行区2013届高三一模文科）设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，已知2*421()n n n S a a n N =++∈ (1)证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；(2)是否存在*k N ∈，使得222048k k S a +=，若存在，求出k 的值；若不存在请说明理由；(3)证明：对任意*2m k p N m p k ∈+=、、，，都有112m p kS S S +≥． 13、（松江区2013届高三一模文科）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列对任意*n N ∈，都有1212222n n nc c c a ++++= 成立，求122012c c c +++ 的值．（3）在数列{}n d 中，11d =，且满足11nn n d a d ++=*()n N ∈，求下表中前n 行所有数的和. 112d d d 123d d d 213d d d……11n n d d d +211n n d d d -+...... 11k n k n d d d -++ (11)n n d dd +14、（杨浦区2013届高三一模文科）设数列{}n x 满足0>n x 且1≠n x （n ∈*N ）,前n 项和为n S ．已知点),(111S x P ,),(222S x P ,()n n n S x P,,⋅⋅⋅都在直线b kx y +=上(其中常数k b 、且0≠k ,1≠k ，0≠b ),又n n x y 21log =．（1）求证：数列{}n x 是等比数列；（2）若n y n 318-=，求实数k ，b 的值； （3）如果存在t 、∈s n *N ，t s ≠使得点()s y t ,和点()t y s ,都在直线12+=x y 上．问是否存在正整数M ，当M n >时，1>n x 恒成立？若存在，求出M 的最小值，若不存在，请说明理由．15、（闸北区2013届高三一模文科）若数列{}n b 满足：对于*∈N n ，都有d b b n n =-+2（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．如：若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 则{}n c 是公差为8的准等差数列．（1）求上述准等差数列{}n c 的第8项8c 、第9项9c 以及前9项的和9T ；（2）设数列{}n a 满足：a a =1，对于*∈N n ，都有n a a n n 21=++．求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201263>S ，求a 的取值范围．}{n c n S。
2013年上海市高考数学试卷(理科)-含答案详解
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设常数a ∈R ，集合A ={x|(x −1)( x − a)≥0}，B ={x| x ≥ a −1}.若A ∪B =R ，则a 的取值范围为( )A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (2,+∞)D.E. 2，+∞)2. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( ) A. 充分条件 B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件3. 在数列{a n }中，a n =2 n −1.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素c ij =a i · a j + a i + a j (i =1，2，…，7；j =1，2，…，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )A. 18B. 28C. 48D. 634. 在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记为A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1、d 2、d 3、……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………d 4、d 5.若m 、M 份别为(a i + a j + a k )·( d r + d s + d t )的最小值、最大值，其中{i ，j ，k}{1,2,3,4,5}，{r ，s ，t}{1,2,3,4,5}，则m 、M 满足( )A. m =0，M >0B. m <0，M >0C. m <0，M =0D. m <0，M <0第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共14小题，共57.0分）5. 计算：=______．6. 设m ∈R ，m 2+m −2+( m 2−1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ． 7. 若=，则x + y =______．8. 已知△ ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若3 a 2+2 ab +3 b 2−3c 2=0，则角C 的大小是______(结果用反三角函数值表示)．9. 设常数a ∈R.若的二项展开式中x 7项的系数为−10，则a =______．10. 方程=3 x −1的实数解为______．11. 在极坐标系中，曲线ρ=cos θ+1与ρcos θ=1的公共点到极点的距离为______．12. 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示)．13. 设AB 是椭圆Γ的长轴，在C 在Γ上，且∠ CBA =.若AB =4，BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为______．14. 设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，…，x 19，则方程Dξ=______．15. 若cos x cos y +sin x sin y =，sin2 x +sin2 y =，则sin (x +y)=______．16. 设a 为实常数，y = f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=9 x ++7.若f(x)≥ a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17. 在xOy 平面上，将两个半圆弧(x −1)2+ y 2=1(x ≥1)和(x −3)2+ y 2=1(x ≥3)、两条直线y =1和y =−1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0,y)(| y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为+8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为______．18. 对区间I 上有定义的函数g(x)，记g(I)={y| y = g(x)，x ∈ I}.已知定义域为[0,3]的函数y = f(x)有反函数y = f −1(x)，且f −1( [0,1) )=[1，2)，f −1( (2,4] )=[0，1).若方程f(x)− x =0有解x 0，则x 0=______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分。
上海市17区县高三数学一模分类汇编 专题四 数列 文
专题四 数列汇编2013年3月（杨浦区2013届高三一模 文科）16．若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-a ，且a S n n =∞→lim ，(n ∈*N )，则复数ia z +=1在复平面上对应的点位于 ………（ ）)(A 第一象限． )(B 第二象限． )(C 第三象限． )(D 第四象限． 16．)(D ；（闵行区2013届高三一模 文科）18．数列{}n a 满足121a a ==，122cos()3n n n n a a a n N π*++++=∈，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2012S 的值为 [答] ( )（A ）672- （B ）671- （C ）2012 （D ）672 （文）数列{}n a 满足121a a ==，122cos()3n n n n a a a n N π*++++=∈，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2013S 的值为 [答] ( ) （A ）2013 （B ）671 （C ）671- （D ）6712- 18．D ．（虹口区2013届高三一模）18、数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==kn a k n n a k n 2,12,当当，其中*∈N k ，设n n a a a a n f 21221)(++++=-Λ，则)2012()2013(f f -等于( )．.A 20122 .B 20132 .C 20124 .D 2013418、C ；（奉贤区2013届高三一模）17、（理）已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题，假命题．．．的是（ ） A ．公差0d <； B ．在所有0<n S 中，13S 最大； C ．满足0>n S 的n 的个数有11个； D ．76a a >；17． 理C（奉贤区2013届高三一模）17、（文）已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是 （ ）A ．6S 和7S 均为n S 的最大值.B ．07=a ；C ．公差0d <；D ．59S S >； 文D（金山区2013届高三一模）10．A 、B 、C 三所学校共有高三学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_________人． 10．40 （浦东新区2013届高三一模 文科）17．若1x ，2x ，3,x L ，2013x 的方差为3，则13x ，23x ，33,x L ，20133x 的方差为（ D ）()A 3 ()B 9 ()C 18 ()D 27（普陀区2013届高三一模 文科）6. 若等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 的通项公式为 . 6.32n a n =-（*N n ∈）（杨浦区2013届高三一模 文科）8. 设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013 项的和=2013S ______________．8. 2013；（浦东新区2013届高三一模 文科）14．1,2,3,4,5共有5!种排列12345,,,,a a a a a ，其中满足“对所有1,2,3,4,5k =都有2k a k ≥-”的不同排列有 54 种.（奉贤区2013届高三一模）14、（理）设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则=-5123)]([a a a f ．14．理21613π（杨浦区2013届高三一模 文科）18. 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列（n ∈*N ）. 对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”. 现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =， ④()f x x =312253329742512339733112943252727791113135序号为 ………（ ）)(A ①②． )(B ③④． )(C ①②④． )(D ②③④ ．18. )(C ．（嘉定区2013届高三一模 文科）4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________． 4．2（浦东新区2013届高三一模 文科）7．等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项的和13S = 52 .（黄浦区2013届高三一模 文科）4．若数列{}n a 的通项公式为3n a n =+(*)N n ∈，则12lim 4n n n a a n++∞+=→ ．4．12； （静安区2013届高三一模 文科）11． （文）数列{}n a 的前n 项和为22n S n =（*N n ∈），对任意正整数n ，数列{}n b 的项都满足等式022121=+-++n n n n n a b a a a ，则n b = .11．（文）141422-+=n n b n ； （闵行区2013届高三一模 文科）14． （文）如下图，对大于或等于2的正整数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中* m n N ∈、)：例如27的“分裂”中最小的数是1，最大的数是13；若3m 的“分裂”中最小的数是211，则m = .14．文15．（嘉定区2013届高三一模 文科）5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数， 则公差d 的取值范围是__________________．5．⎥⎦⎤⎝⎛710,45 （静安区2013届高三一模 文科）2．等比数列{}n a （*N n ∈）中，若1612=a ，215=a ，则=12a . 2．64；（静安区2013届高三一模 文科）16．（文）等差数列}{n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则数列}{n a 前n 项和n S （*N n ∈）中最小的是（ ）(A) 7S 或8S (B) 12S (C)13S (D)14S （文）同理15 16．（文）C ；（嘉定区2013届高三一模 文科）14．在数列}{n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*N ∈n 满足n T n a a =+，则称}{n a 是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列}{n x 满足11=x ，a x =2（1≤a ），||12n n n x x x -=++，当数列}{n x 的周期为3时，则}{n x 的前2013项的和=2013S ________． 14．1342（静安区2013届高三一模 文科）3． （文）求和：n n n n n n C C C C 32793321++++Λ= .（*N n ∈）（文）14-n（金山区2013届高三一模）14．若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是 ． 14．24-（虹口区2013届高三一模）9、在等比数列{}n a 中，已知3221=a a ，243=a a ，则=+++∞→)(lim 21n n a a a Λ ． 9、16±；（青浦区2013届高三一模）8．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）．21-2或-．（奉贤区2013届高三一模）6、设无穷等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，首项是1a ，若∞→n lim S n＝11a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,01a ，则公比q 的取值范围是 ． 6．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 （崇明县2013届高三一模）13、数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和等于 . 13、1830（虹口区2013届高三一模）12、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则=m ．12、10；（长宁区2013届高三一模）7、从数列)}(21{*N n n ∈中可以找出无限项构成一个新的等比数列}{n b ，使得该新数列的各项和为71，则此数列}{n b 的通项公式为7、n n b 81=（宝山区2013届期末）11.若数列{}n a 的通项公式是13(2)n n n a --+=+-，则)(lim 21n n a a a +++∞→Λ=_______.76（崇明县2013届高三一模）9、数列{}n a 的通项公式是1(1,2)11(2)3n nn n a n ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞= . 9、89（长宁区2013届高三一模）3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 . （结果精确到001.0） 3、381.0（宝山区2013届期末）15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（ C ）（A ）3353P P ⋅ （B ）863863P P P -⋅ （C ）3565P P ⋅ （D ）8486P P -（青浦区2013届高三一模）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 满足)(233,2*111N n a a a n n n n ∈-+==++．（1）设nnn n a b 32-=证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：（1）n n n n n n n n a a b b 32321111---=-++++Θ132********=----+=+++nnn n n n n n a a ，……2分}{n b ∴为等差数列．又0=1b ，1-=∴n b n ．……………………………………………4分()n n n n a 231+⋅-=∴．………………………………………………………………………6分（2）设nn n T 3)1(313021⋅-++⋅+⋅=Λ，则 31323)1(3130+⋅-++⋅+⋅=n n n T Λ．11123)1(31)31(93)1(332+-+⋅----=⋅--++=-∴n n n n n n n T Λ． (10)分493)32(23)1(439111+⋅-=⋅-+-=∴+++n n n n n n T ．()()412332222312++-=++++=∴++n n nn n n T S Λ． (14)分（金山区2013届高三一模）23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ=L (其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值；(2) 求数列{a n }的通项公式n a ； (3) 当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．23．解：(1) 令1=n ，得到λ712=a ，令2=n ，得到237171λλ+=a 。
上海市17区县2013届高三(数学理科)分类汇编：专题三 空间几何
专题三 空间几何2013年2月（黄浦区2013届高三一模 理科）15．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形 15．A（嘉定区2013届高三一模 理科）10．在△ABC 中，已知41tan =A ，53tan =B ，且△ABC 最大边的长为17，则△ABC 最小边的长为____________．10．2 （浦东新区2013届高三一模 理科）13．动点P 在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上从B 向1D 移动，点P 作垂直于面11BB D D 的直线与正方体表面交于,M N ，,BP x MN y ==，则函数()y f x =的解析式为,0,32,x x y x x ⎧⎡∈⎪⎢⎪⎣⎦=⎨⎪∈⎪⎝⎩或|3622|2x --]3,0[∈x 给分.（虹口区2013届高三一模）16、已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）.A 如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥． .B 如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面．.C 如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥． .D 如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面． 16、A ；（青浦区2013届高三一模）6．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 π2 ．（奉贤区2013届高三一模）13、（理）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -， 若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -． 已知C 是直线334y x =+上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），则点C 与点D 的“非常距离”的最小值是_________．13． 理78（杨浦区2013届高三一模 理科）7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为 2cm . 7. π50（浦东新区2013届高三一模 理科）9．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 8π 2cm .（嘉定区2013届高三一模 理科）8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的体积是________． 8．2433R π（金山区2013届高三一模）9．若直线l ：y=kx 经过点)32cos ,32(sin ππP ，则直线l 的倾斜角为α = ． 9．56π（杨浦区2013届高三一模 理科）14．在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y 23+=与圆222n y x =+相切，其中、m n ∈*N ，10≤-<n m ．若函数()n m x f x -=+1的零点()1,0+∈k k x ，Z k ∈,则=k ________．14． 0；（青浦区2013届高三一模）13．正六边形111111F E D C B A 的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形222222F E D C B A ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是439 ．（（青浦区2013届高三一模）5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V（虹口区2013届高三一模）10、在ABC ∆中，32=AB ，2=AC 且︒=∠30B ，则ABC ∆的面积等于 ． 10、32或3；（崇明县2013届高三一模）3、过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是 . 3、+=0x y（长宁区2013届高三一模）17、已知m ，n 是两条不同直线，βα,是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ）A.βαβα//,,则若⊥⊥m mB.αα⊥⊥n m n m 则若,,//C.n m n m //,,//则若=βααD.βαβα⊥⊂⊥则若,,m m17、C（宝山区2013届期末）12.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R= ．（青浦区2013届高三一模）11．已知01cos sin 2=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)．直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是 1 ．（长宁区2013届高三一模）11、（理）我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S 、周长c 与内切圆半径r 之间的关系为cr S 21=。
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专题八 数列2013年2月（杨浦区2013届高三一模 理科）18. 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列（n ∈*N ）. 对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”. 现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =，④()f x =，则为“保比差数列函数”的所有序号为 ………（ ）)(A ①②． )(B ③④． )(C ①②④． )(D ②③④ ． 18. )(C ．（浦东新区2013届高三一模 理科）17．若1x ，2x ，3,x ，2013x 的方差为3，则13(2)x -，23(2)x -，33(2),x -，20133(2)x -的方差为 （ D ）()A 3 ()B 9 ()C 18 ()D 27 （黄浦区2013届高三一模 理科）3. 若数列{}n a 的通项公式为21(*)N n a n n =-∈，则12lim nn n a a a na ∞+++=→ ．3．12；（虹口区2013届高三一模）18、数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==kn a k n n a k n 2,12,当当，其中*∈N k ，设n n a a a a n f 21221)(++++=- ，则)2012()2013(f f -等于( )．.A 20122 .B 20132 .C 20124 .D 2013418、C ；（杨浦区2013届高三一模 理科）8. 设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013 项的和=2013S ______________．8.2013；（奉贤区2013届高三一模）17、（理）已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题，假命题．．．的是（ ） A ．公差0d <； B ．在所有0<n S 中，13S 最大； C ．满足0>n S 的n 的个数有11个； D ．76a a >；17． 理（奉贤区2013届高三一模）17、（文）已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是 （ ）A ．6S 和7S 均为n S 的最大值.B ．07=a ；C ．公差0d <；D ．59S S >；文（金山区2013届高三一模）10．A 、B 、C 三所学校共有高三学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_________人． 10．40（松江区2013届高三一模 理科）5．已知数列{}n a 的前n 项和2nn S n =+，则3a = ▲ ．5． 5（奉贤区2013届高三一模）14、（理）设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则=-5123)]([a a a f ．14．理21613π （浦东新区2013届高三一模 理科）7．等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项和13S = 52 .（浦东新区2013届高三一模 理科）14．1,2,,n 共有!n 种排列12,,,na a a （2,n n N *≥∈），其中满足“对所有1,2,,k n =都有2k a k ≥-”的不同排列有 223n -⋅ 种. （嘉定区2013届高三一模 理科）13．观察下列算式：113=， 5323+=，119733++=，1917151343+++=，… … … …若某数3m 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则=m _______．13．45（嘉定区2013届高三一模 理科）5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数， 则公差d 的取值范围是__________________．5．⎥⎦⎤⎝⎛710,45 （嘉定区2013届高三一模 理科）4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________． 4．2（金山区2013届高三一模）14．若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是 ． 14．24-（虹口区2013届高三一模）9、在等比数列{}n a 中，已知3221=a a ，243=a a ，则=+++∞→)(lim 21n n a a a ． 9、16±；（青浦区2013届高三一模）8．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）．21-2或-．（奉贤区2013届高三一模）6、设无穷等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，首项是1a ，若∞→n lim S n＝11a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,01a ，则公比q 的取值范围是 ． 6．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 （崇明县2013届高三一模）13、数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和等于. 13、1830（虹口区2013届高三一模）12、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则=m ．12、10；（长宁区2013届高三一模）7、从数列)}(21{*N n n ∈中可以找出无限项构成一个新的等比数列}{n b ，使得该新数列的各项和为71，则此数列}{n b 的通项公式为7、n n b 81=（宝山区2013届期末）11.若数列{}n a 的通项公式是13(2)n n n a --+=+-，则)(lim 21n n a a a +++∞→ =_______.76（崇明县2013届高三一模）9、数列{}n a 的通项公式是1(1,2)11(2)3n nn n a n ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=. 9、89（长宁区2013届高三一模）3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 . （结果精确到001.0） 3、381.0（宝山区2013届期末）15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（ C ）（A ）3353P P ⋅ （B ）863863P P P -⋅ （C ）3565P P ⋅ （D ）8486P P -（松江区2013届高三一模 理科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列}{n c 对任意*n N ∈，都有1212222nn n c c c a ++++=成立，求122012c c c +++的值． （3）若1n n na b a +=*()n N ∈，求证：数列{}n b 中的任意一项总可以表示成其他两项之积．22．解：（1）∵{}n a 是递增的等差数列，设公差为d (0)d >……………………1分1a 、2a 、4a 成等比数列，∴2214=a a a ⋅ ……………………2分由 2(1)1(13)d d +=⨯+ 及0d >得 1d = ……………………………3分 ∴(*)n a n n N =∈ ……………………………4分（2）∵11n a n +=+，1221222n nc c c n +++=+ 对*n N ∈都成立 当1n =时，122c =得14c = ……………………………5分 当2n ≥时，由1221222n n c c c n +++=+①，及11221222n n c c c n --+++=② ①－②得12n nc =，得2nn c = …………7分 ∴4(1)2(2)n n n c n =⎧=⎨≥⎩……………8分∴2201123201220131220122(12)42224212c c c -+++=++++=+=- …………10分（3）对于给定的*n N ∈，若存在*,,,k t n k t N ≠∈，使得n k t b b b =⋅ ………11分∵1n n b n +=，只需111n k t n k t +++=⋅， …………………12分 即1111(1)(1)n k t +=+⋅+，即1111n k t kt=++即kt nt nk n =++，(1)n k t k n+=- 取1k n =+，则(2)t n n =+ …………………14分∴对数列{}n b 中的任意一项1n n b n +=，都存在121n n b n ++=+和2222212n n n n b n n +++=+使得212n n n n b b b ++=⋅ ………………………16分（浦东新区2013届高三一模 理科）22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）定义数列}{n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立， 那么我们称数列}{n x 为“-p 摆动数列”．（1）设12-=n a n ，n n q b =（01<<-q ），*∈N n ，判断数列}{n a 、}{n b 是否为“-p 摆动数列”，并说明理由；（2）已知“-p 摆动数列”}{n c 满足111+=+n n c c ，11=c ，求常数p 的值； （3）设(1)(21)n n d n =-⋅-，且数列}{n d 的前n 项和为n S ，求证：数列}{n S 是“-p 摆动数列”，并求出常数p 的取值范围.解：（1）假设数列}{n a 是“-p 摆动数列”，即存在常数p ，总有1212+<<-n p n 对任意n 成立，不妨取1=n 时则31<<p ，取2=n 时则53<<p ，显然常数p 不存在， 所以数列}{n a 不是“-p 摆动数列”； ……………………………………………2分 由n n q b =，于是0121<=++n n n q b b 对任意n 成立，其中0=p .所以数列}{n b 是“-p 摆动数列”. ………………………………………………4分 （2）由数列}{n c 为“-p 摆动数列”， 11=c 212=⇒c ， 即存在常数121<<p ，使对任意正整数n ，总有0))((1<--+p c p c n n 成立； 即有0))((12<--++p c p c n n 成立.则0))((2>--+p c p c n n ，………………6分 所以p c p c p c n >⇒⇒>>⇒>-1231 .……………………………………7分 同理p c p c p c n <⇒⇒<⇒<242 .…………………………………………8分 所以122-<<n n c p c ⇒121211--<+n n c c ，解得21512->-n c 即215-≤p .…9分 同理n n c c 2211>+，解得2152-<n c ；即215-≥p . 综上215-=p .……………11分 （3）证明：由)12()1(-⋅-=n d n n n S n n ⋅-=⇒)1(，…………………………………13分 显然存在0=p ，使对任意正整数n ，总有0)1()1(121<+⋅-=++n n S S n n n 成立， 所以数列}{n S 是“-p 摆动数列”； …………………………………………………14分 当n 为奇数时n S n -=递减，所以11-=≤S S n ，只要1->p 即可 当n 为偶数时n S n =递增，22=≥S S n ，只要2<p 即可综上21<<-p ，p 的取值范围是)2,1(-.………………………………………16分 （取)2,1(-中的任意一个值，并给予证明均给分）如取21=p 时，]21)1()1][(21)1[()21)(21(11-+---=--++n n S S n n n n 41)1(21)1(41)1(21)1()1(12+-++-=+-++⋅-=+n n n n n n n .因为4341)1(2141≤+-≤-n ，2)1(-≤+-n n ，存在21=p ，使0)21)(21(1<--+n n S S 成立.所以数列}{n S 是“-p 摆动数列”.（黄浦区2013届高三一模 理科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．在△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且A , B , C 成等差数列．（1）若3,AB BC ⋅=-且b =，求a c +的值； （2）若2sin 1sin CM A=，求M 的取值范围．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）A 、B 、C 成等差数列，∴2,B A C =+又A B C π++=,∴3B π=， …………………………2分 由3AB BC ⋅=-得，2cos33c a π⋅=-，∴6ac =① ………………………4分又由余弦定理得2222cos,3b ac ac π=+-∴2218a c ac =+-，∴2224a c += ② ………………………6分 由①、②得，6a c += ……………………………………8分 （2）由（1）得3B π=，∴23A C B ππ+=-=，即23A C π=-， 故2sin 1sin CM A ==2sin sin A C -=22sin()sin 3C C π-- ……………………………10分1sin )sin 2C C C =+-C ， …………………………12分 由203A C π=->且0C >，可得203C π<<，∴1cos 12C -<<，即(M ∈，∴M 的取值范围为(． …………………………14分（青浦区2013届高三一模）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 满足)(233,2*111N n a a a n n n n ∈-+==++．（1）设nnn n a b 32-=证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：（1）n n n n n n n n a a b b 32321111---=-++++ 13232233111=----+=+++nnn n n n n n a a ，……2分}{n b ∴为等差数列．又0=1b ，1-=∴n b n ．……………………………………………4分()n n n n a 231+⋅-=∴．………………………………………………………………………6分（2）设n n n T 3)1(313021⋅-++⋅+⋅= ，则 31323)1(3130+⋅-++⋅+⋅=n n n T ．11123)1(31)31(93)1(332+-+⋅----=⋅--++=-∴n n n n n n n T ．…………………10分493)32(23)1(439111+⋅-=⋅-+-=∴+++n n n n n n T ． ()()412332222312++-=++++=∴++n n nn n n T S ． …………………………14分（金山区2013届高三一模）23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ=(其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值；(2) 求数列{a n }的通项公式n a ； (3) 当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．23．解：(1) 令1=n ，得到λ712=a ，令2=n ，得到237171λλ+=a 。