第八章 相关与回归分析

生产费用与产量散点图
4
6
生产费用 (万元)y
8
10
25
⑴用计算器算得： n 8, x 36.4, x 207.54 , y 104214 y 880, . xy 4544 6, x 4.55, y 110
2 2
b
n xy x y n x x
½ Ö Ò ² Ö ¨þ µ ú µ (Ç Í Ô )x2 §ò ª 9.43 10.36 14.5 15.75 16.78 17.44 19.77 23.76 31.61 32.17 35.09 36.42 36.58 37.14 41.3 45.62 47.38 471.1
例 某地区玻璃销售 量与汽车产量、建 筑业产值资料如左， 试建立回归模型。
⒈区别：
⑴相关分析两个变量是对等的关系，回归分 析两个变量不是对待关系
⑵回归分析只能由自变量来估计因变量 ⑶相关分析两个变量都是随机变量，回归分 析因变量是随机变量，自变量是可控制变 量。
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⒈联系：
⑴相关分析是回归分析的基础和前提
⑵回归分析是相关分析的深入和继续
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二、一元线性回归
一元线性回归方程的确定
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标准误差：又称为标准回归误差或叫估计标准 误差，它用来衡量拟合程度的大小，也用于计 算与回归有关的其他统计量，此值越小，说明 拟合程度越好。
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观测值：是指用于估计回归方程的数据 的观测值个数。 方差分析表的主要作用是通过F检验来 判断回归模型的回归效果。
⑵ 方差分析表

⑶ 回归参数表
⒉对数 y=-1.713lnx+7.3979 ⒋幂函数y=8.5173x-0.4259
幂函数效果最好。
R2=0.9733 R2=0.9928
⒊二次函数y=0.0132x2-0.5225x+7.246 R2=0.9537 ⒌指数函数y=5.6852e-0.0437x R2=0.8502
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㈤ 预测 ⑴双击趋势线,打开“趋势线格式”,单击“选项 ⑵若预测x=28时y值,在“前推”中设置2.5 ⑶确定 ⑷在图表中可以找到x=28对应的y值,约为2。
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⒈操作过程 ①打开“8 回归.xls”工作簿，选择“玻璃”工 作表。 ②在“工具”菜单中选择“数据分析”选项， 打开“数据分析”对话框如下图所示。
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③在“分析工具”列表中选择“回归”选项， 单击“确定”按钮，打开“回归”对话框如 下图所示。
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④在Y值输入区域中输入B1:B19。 ⑤在X值输入区域中输入C1:D19。

一、回归分析的意义 二、直线回归 三、曲线回归
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一、 回归分析的意义

㈠回归分析就是对具有相关关系的变量之间的数 量关系进行测定,确定一个相应的数学表达式。
㈡回归分析的种类： ⒈按自变量x的多少，可以分为一元回归和多元回 归；


⒉按y与x曲线的形式，可以分为直线回归和曲线 回归。
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㈢回归分析与相关分析的关系
11
⑵在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产 生在—列”，如下图所示，单击“下一步” 按钮。
12
⑶打开“图例”页面，取消图例，省略标题， 如下图所示。
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⑷单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图 所示。
250 200 150 100 50 0 0 5 10 15 20 25 30
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三、相关系数
设y为实际值，yc为估计值，现在要用一条直线
yc
a bx
拟合实际值，而且要满足
y yc
2
为最小。
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由最小平方原理，可得：
n yx y x b 2 x 2 n x a y bx
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产品产量 生产费用 序号 (千吨)x (万元)y 1 2 3 4 5 6 7 8 1.2 2 3.1 3.8 5 6.1 7.2 8 62 86 80 110 115 132 135 160 200 150 100 50 0 0 2
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Coefficients 标准误差
⒉ 回归分析工具的输出解释
Excel的回归分析工具计算简便,但内容丰 富， 计算结果共分为三个模块： 回归统计表 方差分析表 回归参数
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⑴ 回归统计表 回归统计表包括以下几部分内容：

Multiple R（复相关系数R）：R2的平方根， 又称为相关系数，它用来衡量变量x和y之间 相关程度的大小。上节例中：R为0.9468，表 示二者之间的关系是高度正相关。 R Square(复测定系数R2 )：用来说明用自变 量解释因变量变差的程度，以测量同因变量y 的拟合效果。 上节例中：复测定系数为 0.9731，表明用自变量可解释因变量变差的 97.31%。
第八章 相关与回归分析
1

第一节 相关分析


第二节 直线相关的测定
第三节 回归分析
2
第一节 相关分析


一、相关关系的概念与种类
㈠相关关系的概念
现实世界中现象之间存在着两种关系
⒈函数关系 两个变量的关系是确定的，可以用一个 数学表达式表示出来。 例：圆的面积与半径的关系
S=π R2
3


y 0.9697
y 1.0000
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㈢相关系数的密切程度
相关系数的范围在-1到1之间，即
-1≤r≤1,当r=1为完全正相关，
r=-1,为完全负相关，r=0为不相关。
r的范围在0.3-0.5是低度相关; r的范围在0.5-0.8是显著相关; r的范围在0.8以上是高度相关。
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第三节 回归分析


如上图所示，回归参数表是表中最后一 个部分：
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图中，回归参数如下：二、三行：β0(截距) 和β1(斜率)的各项指标。 第二列：回归系数β0(截距)和β1(斜率)的值。 第三列：回归系数的标准误差
第四列：根据原假设Ho ：β0=β1=0计算的样本统计 量t的值。
⒉相关关系 两个变量的关系确实存在，但关系 数值是不固定的相互依存关系。 例：身高与体重的关系、施肥量与 产量的关系。

4
㈡相关关系的种类
⒈正相关与负相关

单相关：两个变量的变动方向一致
复相关：两个变量的变动方向不一致 线性相关：当一个变量变动时，另一个变量 也相应发生大致均等的变动。
⒉线性相关与非线性相关
ú ú Ñ Ã ë ú ¿ ¢ ã ¼ É ² ·Ó Ó ² Á É µ Í
200 150 100 50 0 0 2 4 6 ú ú É ² Ñ Ã 图1 ·Ó (Í Ô )y ò ª 8 10
27
图2
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②打开“类型”页面，选择“线性”选项，Excel 将显示一条拟合数据点的直线。 ③打开“选项”页面如下图所示，在对话框下部 选择“显示公式”和“显示R平方根”选项， 单击“确定”按钮，便得到回归图如下图所示。
8 4544.6 36.4 880
2
8 207.54 36 .4 8 104214 880 0.9697
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㈡用计算机计算 ⒈选取“工具”-“数据分析” ⒉选“相关系数” ⒊选“确定” ⒋输入“输入区域” ⒌输入“输出区域” ⒍在“分组方式”中选“逐列” ⒎选“标志位于第一行” ⒏确定 x x 1.0000 出现结果如下：
㈡多元线性回归 回归方程为
yc
ab x b
1 1
2
x2
要估计参数a、b1 、 b2手工计算较繁，可以用EXCEL 数据分析功能完成。
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Ä · ê Ý 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Ï Æ º ¼
² Á Ï Ê ¶ Æ ³ ² Á £ §ú Û î û µ ú ¿ (Í Ô )y ò ª (Í Á )x1 ò ¾ 280 281.5 337.5 404.5 402.1 452 431.7 582.3 596.6 620.8 513.6 606.9 629 602.7 656.7 778.5 877.6 9054 3.909 5.119 6.666 5.338 4.321 6.117 5.559 7.92 5.816 6.113 4.258 5.591 6.675 5.543 6.933 7.638 7.752 101.268
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㈡作散点图如下，y与x是曲线关系。
÷Í ·Ê Á ¨Ñ  y
8 6 4 2 0 0 5 10 15 ÷Í ·Ê Á ¨Ñ  y 20 25 30
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㈢在“图表”中选“添加趋势线” 选曲线类型 在“选项”中选“显示公式”
和“显示R平方值”
确定。
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㈣经试验不同模型，曲线方程如下： ⒈线性 :y=0.165x+5.6275 R2=0.7351
⑥选择“标志”，置信度选择95%。
⑦在“输出选项”中选择“输出区域”，在其 右边的位置输入“E1”，单击 “确定”按钮。 输出结果如下图所示。
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建筑业产值资料
SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R 0.9730544 R Square 0.9468349 Adjusted R 0.9392399 Square 标准误差 41.078969 观测值 17 方差分析 df 回归分析 残差 总计 SS MS F Significance F 2 420740.67 210370.34 124.66526 1.201E-09 14 23624.744 1687.4817 16 444365.42 t Stat P-value Lower 95%
例 某从事饮食业的企业家认为在高校 附件有很好的投资机会，他得到10组 高校人数与周边饭店的季销售额的数 据资料，并想根据高校的数据决策其 投资规模。