2014高考数学一轮复习训练直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系 高三数学一轮复习
位置关系 相交
相切
几何法 d___<_____r d___＝_____r
Байду номын сангаас
代数法 Δ____>____0 Δ___＝_____0
相离
d___>_____r
Δ____<____0
2.圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r12， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，
解析：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径r＝1， 弦长为2，则直线过圆心，即1－2＋a＝0，解得a＝1.
题后师说
角度二 切线问题 例3(1)[2024·河北张家口模拟]过点P(1，1)作圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0 的切线，则切线方程为( ) A．x＋y－2＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－2y＋1＝0或2x－y－1＝0
(2)若直线l：x－ 3y＋a＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝1有公共点，则实数 a的最小值是___－__4___.
解析：由于直线l：x－ 3y＋a＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝1有公共点， 因此圆心C(2，0)到直线l：x－ 3y＋a＝0的距离d＝ 2+a ≤1，
12+ − 3 2
于是|2＋a|≤2，解得a∈[－4，0]，因此实数a的最小值是－4.
答案：C
(2)[2024·广东深圳模拟]若过点M(2，1)的直线l与圆O：x2＋y2＝8交
于A，B两点，则弦AB最短时直线l的方程为( )
A．2x－y－3＝0
B．x＋y－3＝0
C．x＋2y－4＝0
D．2x＋y－5＝0
答案：D
解析： 当AB最短时，直线l⊥OM， 所以kl·kOM＝－1. 又kOM＝12，所以kl＝－2， 所以l的方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.故选D.
2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第八章第四节直线、圆的位置关系
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
k)， ∴直线l的方程为y＝kx＋1. |2k－3＋1| 4－ 7 4＋ 7 由 ＜1，得 ＜k＜ . 2 3 3 k ＋1
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
【解析】
∵直线y＝ax＋1恒过定点(0，1)，又点(0，
课 后 作 业
1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交． 【答案】 B
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－
(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)， 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0， 4（1＋k） 7 ∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 1＋k2 1＋k2 → → ∴OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1.
＝2R＝2. 【答案】 D
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
4．(2013·肇庆质检)若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－
2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的最小值为________．
【解析】 设直线l的方程为y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0， 当直线l与圆相切时，k有最大值或最小值． |2k－4k| 1 2 由 2 ＝1得k ＝ ， 3 k ＋1 3 ∴k＝± . 3
2014届高考一轮复习教学案直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系[知识能否忆起]一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)[小题能否全取]1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离解析：选B由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．2．(2012·银川质检)由直线y＝x＋1上的一点向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A.7 B．2 2C．3 D. 2解析：选A由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x2＋y2－6x＋8＝0可化为(x－3)2＋y2＝1，则圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为42＝22，切线长的最小值为(22)2－1＝7.3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为( )A.322B.62C ．1D ．2解析：选B 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝12.则r 2＝⎝⎛⎭⎫12|AB |2＋d 2＝32，r ＝62. 4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知21＋k 2＞1，解得－3＜k ＜ 3. 答案：(－3， 3)5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝01.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．典题导入[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能[自主解答] 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， 所以点P (3,0)在圆内．故过点P 的直线l 定与圆C 相交． [答案] A本例中若直线l 为“x －y ＋4＝0”问题不变． 解：∵圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4， ∴圆心(2,0)，r ＝2. 又圆心到直线的距离为d ＝62＝32＞2. ∴l 与C 相离．由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．以题试法1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k |k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．33B ．2 3 C. 3D ．1(2)(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)[自主解答] (1)圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝532＋42＝1. 故|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，整理得[(m ＋n )－2]2－8≥0，解得m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1．圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．以题试法2．(2012·杭州模拟)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3， 3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0解析：选B 如图，设圆心C (2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1，即|2k |21＋k2≤1，解得－33≤k ≤ 33.典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．(2)由题意可设两圆的方程为(x －r i )2＋(y －r i )2＝r 2i ，r i ＞0，i ＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－r i )2＋(1－r i )2＝r 2i ，整理得r 2i －10r i ＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r 1，r 2，所以r 1r 2＝17，r 1＋r 2＝10，则|C 1C 2|＝(r 1－r 2)2＋(r 1－r 2)2＝2×(r 1＋r 2)2－4r 1r 2＝ 2×100－68＝8.[答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．以题试法3．(2012·青岛二中月考)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：4一、选择题1．(2012·人大附中月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m .因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．2．(2012·福建高考)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3D ．1解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝24－1＝2 3. 3．(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．5．(2013·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1, 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0, 2＋1)解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1， 所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2－1＝2， 解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．(2012·朝阳高三期末)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33.答案：±338．(2012·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为 2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 39．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．(2012·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程； (2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝12－89＝13，又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3.设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5， 则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，32. 11．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． 解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为 (x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)； 当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率 k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2.∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k.1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.答案：2x ＋y －5＝0 2302．(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265.答案：5－2653.(2012·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF,的最小值；(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)， 将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－1，－3)在准线l 上，所以p2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF,＝(1－x ，－y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF,的最小值为2.(3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，② 由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0， 显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.1．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，两圆半径均为2，又|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13＜4，则两圆相交⇒只有两条外公切线．2．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知，问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43. 答案：433．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案：1或1774．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 2的半径为r 2，∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0.因为圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|r 22－12|42＝ 4－⎝⎛⎭⎫2222＝2，解得r22＝4或r22＝20.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.。
【高考领航】2014高考数学总复习 8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 苏教版
【高考领航】2014高考数学总复习 8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 苏教版【A 组】一、填空题1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是________．解析：由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案：在圆外2．(2011·高考某某卷)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为________．解析：设圆心C (x ，y )，由题意得x －02＋y －32＝y ＋1(y ＞0)，化简得x 2＝8y －8.答案：x 2＝8y －83．(2011·高考某某卷)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.答案：10 24．(2011·高考某某卷)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值X 围是________．解析：整理曲线C 1方程得，(x －1)2＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，知直线l 与x 轴相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m1＋1－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 答案：(－33，0)∪(0，33) 5．(2012·高考某某卷)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．解析：设过P 点的直线为l ，当OP ⊥l 时，过P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分面积之差最大．易求得直线的方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝06．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的方程为________．解析：设所求直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心(a,0)，由题意知：(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，∴a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，而直线x ＋y ＋m ＝0过圆心(3,0)，∴3＋0＋m ＝0， 即m ＝－3，故所求直线的方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝07．(2012·高考某某卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________．解析：如图所示：解Rt △ACO ，|OC |为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离， |OC |＝|0＋3×0－2|12＋32＝1， |OA |＝r ＝2，|AC |＝|OA |2－|OC |2＝22－12＝3， |AB |＝2|AC |＝2 3 答案：2 3 二、解答题8．圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程． 解：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径， 圆心C (0，－4)，半径r ＝12|AB |＝5，所以所求圆的方程为：x 2＋(y ＋4)2＝5. (2)法一：因为k AB ＝12，AB 中点为(0，－4)，所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ， 即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式，得半径r ＝10， 因此，所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋－3－b 2＝r 2－2－a 2＋－5－b 2＝r 2a －2b －3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.9．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过定点A (3,0)，且与圆C 相切．(1)求直线l 1的方程；(2)设圆C 与x 轴交于P 、Q 两点，M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点O ′.求证：以P ′Q ′为直径的圆C ′总过定点，并求出定点坐标．解：(1)∵直线l 1过点A (3,0)，且与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，则圆心O (0,0)到直线l 1的距离为d ＝|3k |k 2＋1＝1，解得k ＝±24，∴直线l 1的方程为y＝±24(x －3)． (2)证明：对于圆C 的方程x 2＋y 2＝1，令y ＝0，则x ＝±1，即P (－1,0)，Q (1,0)．又直线l 2过点A 且与x 轴垂直，∴直线l 2方程为x ＝3.设M (s ，t )，则直线PM 的方程为y＝ts ＋1(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝ts ＋1x ＋1得P ′(3，4ts ＋1)． 同理可得Q ′(3，2ts －1)． ∴以P ′Q ′为直径的圆C ′的方程为(x －3)(x －3)＝(y －4t s ＋1)(y －2t s －1)＝0， 又s 2＋t 2＝1，∴整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2ty ＝0，若圆C ′经过定点，只需令y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±22， ∴圆C ′总经过定点，定点坐标为(3±22，0)．【B 组】一、填空题1．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4. 相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.答案：12．(2013·某某十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，若AB ＝3，则该圆的标准方程是________．解析：根据AB ＝3，可得圆心到x 轴的距离为12，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值X 围是________．解析：由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)． 答案：(－13,13)4．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)，则直线l 的方程为________．解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a .由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C (－2,3)的连线必垂直于l ，∴k AB ＝－－1＋22－3＝1，∴l 的方程为x －y ＋5＝0. 答案：x －y ＋5＝05．(2013·某某模拟)从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．解析：圆的方程整理为(x －1)2＋(y －1)2＝1，C (1,1)， ∴sin ∠APC ＝15，则cos ∠APB ＝cos2∠APC＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝35. 答案：356．直线2x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OA ⊥OB ，则m 的值为________．解析：当OA ⊥OB 时，圆心(0,0)到直线2x －y ＋m ＝0的距离等于22r ， ∴|m |5＝22· 5. ∴m ＝±5210.答案：±51027．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：如图所示，设直线上一点P ，切点为Q ， 圆心为M ，则|PQ |即为切线长，MQ 为圆M 的 半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， ∴|PQ |＝|PM |2－1≥222－1＝7.答案：7 二、解答题8．(2013·某某模拟)已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4和圆外一点A (1,23)，(1)若直线m 经过原点O ，且圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1，求直线m 的方程； (2)若经过A 的直线l 与圆C 相切，切点分别为D ，E ，求切线l 的方程及D 、E 两切点所在的直线方程．解：(1)方法一：圆C 的圆心为(－1,0)，半径r ＝2， 圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1， 则圆心到直线m 的距离恰为1，由于直线m 经过原点，圆心到直线m 的距离最大值为1.所以满足条件的直线就是经过原点且垂直于OC 的直线，即y 轴，所以直线方程为x ＝0.方法二：圆C 的圆心为(－1,0)，半径r ＝2，圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1. 则圆心到直线m 的距离恰为1.设直线方程为y ＝kx ，d ＝|－k －0|1＋k 2＝1，k 无解． 直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0显然成立． 所以所求直线为x ＝0.(2)设直线方程为y －23＝k (x －1)，d ＝|－2k ＋23|1＋k 2＝2，解得k ＝33， 所求直线为y －23＝33(x －1)， 即3x －3y ＋53＝0，斜率不存在时，直线方程为x ＝1，∴切线l 的方程为x ＝1或3x －3y ＋53＝0，过点C 、D 、E 、A 有一外接圆，x 2＋(y －3)2＝4，即x 2＋y 2－23y －1＝0， 过切点的直线方程为x ＋3y －1＝0.9．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x －y －6＝0，A 为直线l 上一点．(1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠PAQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值X 围． 解：(1)圆M 的圆心M (1,1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ，∴k AM ＝1. ′∴直线AM 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －6＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A (3,3)． 如图，连结MP ， ∵∠PAM ＝12∠PAQ ，sin ∠PAM ＝PM AM＝23－12＋3－12＝22， ∴∠PAM ＝45°，∴∠PAQ ＝90°.(2)过A (a ，b )作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点，因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，只要做∠DAE ≥60°. ∵AM 平分∠DAE ， ∴只要30°≤DAM <90°.类似于第(1)题，只要12≤sin∠DAM <1，即2a －12＋b －12≥12且a －12＋b －12≥12<1. 又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5， 即a 的取值X 围是[1,5]．。
8.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则 O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.( √ )
(5)若两圆相交,联立两圆的方程,则消掉二次项后得到的二元一 次方程是两圆的公共弦所在直线的方程.( √ )
-5-
知识梳理 双基自测
因为圆 O:x2+y2=12 的圆心为 O(0,0),半径为 r=2√3,圆心 O 到直 线 l 的距离为 d= |������| = √3,所以直线 l 被圆 O 所截得的弦长为
������2+������2
2 ������2-������2=2 (2√3)2-(√3)2=6.故选 C.
(2)由题意得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心为(-1,2).
这样的点共有( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(3)若过点A(4,0)的直线l与圆C:(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜
率的最小值为 -√33
.
-14-
考点1
考点2
考点3
解析 (1)由题意知y'=ex(x2+ax+2x+1-a),当x=0时,y'=1-a,
所以曲线y=ex(x2+ax+1-2a)在点P(0,1-2a)处的切线方程为y-1+2a
=(1-a)x,即a(x+2)+y-x-1=0,恒过定点(-2,-1).
将其代入(x-1)2+y2-16,可得9+1-16<0,即定点在圆内,所以切线l与
圆C:(x-1)2+y2=16的位置关系是相交.故选A.
高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
题型探究 题型一 直线和圆相交 例 1 已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x ＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)证明：无论 m 取何实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及此时直线 l 的方程．
高中数学
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲点击 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 一、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式 Δ＞0⇔① 判别式 Δ＝0⇔② ――→ 2 Δ＝b －4ac Δ＜0⇔③ (2)几何法： 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关 系 d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 一、圆的切线方程的求法 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为 1 － k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由 图形写出切线方程 x＝x0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 (1)几何方法 当斜率存在时，设为 k，切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径， 即可得出切 线方程． (2)代数方法 设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0，代入 圆方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0，求得 k，切 线方程即可求出． 【说明】 过圆外一点作圆的切线有两条， 若在解题过程中， 只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在．
高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系PPT课件
16－34k2>0，解得－8
3
38 <k<
3
3，
.
由题易知点(1,2)应在已知圆的外部， 把点代入圆的方程得 1＋4＋k＋4＋k2－15>0， 即(k－2)·(k＋3)>0，解得 k>2 或 k<－3， 则实数 k 的取值范围是－83 3，－3∪2，8 3 3.
[答案]
1．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上， 直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
解析：选 D 设圆心的坐标为(a,0)(a>0)， 又因为直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切， 所以 |33a2＋＋44|2＝2，解得 a＝2 或－134(舍)， 因此圆的方程为(x－2)2＋y2＝22， 即 x2＋y2－4x＝0.
(2)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A，B
两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线
l 的斜率等于( )
A. 3 B．－ 3 C．± 3 D．－ 3
3
3
3
[自主解答] (1)圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－ a，圆心 C(－1,1)，半径 r 满足 r2＝2－a，则圆心 C 到直线 x ＋y＋2＝0 的距离 d＝ 12＋1＝ 2，所以 r2＝4＋2＝2－a⇒a ＝－4.
解析：法一：几何法：圆心到直线
的距离为d＝
|0－2| 2
＝
2 ，圆的半径r＝
2，所以弦长l＝2× r2－d2 ＝2 4－2 ＝
2 2.
高考数学复习考知识解析与专题练习24---直线与圆、圆与圆的位置关系
∴0<m<1 和－1<m<0 都是直线与圆相交的充分不必要条件． 7 ． 过 点 A(3,5) 作 圆 O ： x2 ＋ y2 － 2x － 4y ＋ 1 ＝ 0 的 切 线 ， 则 切 线 的 方 程 为
________________． 答案 5x－12y＋45＝0 或 x－3＝0 解析 化圆 x2＋y2－2x－4y＋1＝0 为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半 径为 2， ∵|OA|＝ (3－1)2＋(5－2)2＝ 13>2，∴点 A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，
故有 61－m－ 11＝5，解得 m＝25－10 11.
6－3 3
4
因为 kMN＝5－1＝4，所以两圆公切线的斜率是－3.
4
43×1＋3－b
设切线方程为 y＝－3x＋b，则有
432＋1 ＝ 11.
13 5 解得 b＝ 3 ±3 11.
13 5 容易验证，当 b＝ 3 ＋3
11时，直线与圆 x2＋y2－10x－12y＋m＝0 相交，舍去．
A．0<r≤1
B．0<r<1
C．r≥1
D．r>1
答案 D 1
解析 圆心到直线的距离 d＝ cos2α＋sin2α＝1，
故 r>1. (2)(多选)已知圆 M 的一般方程为 x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
ห้องสมุดไป่ตู้
A．圆 M 的圆心为(4，－3)
B．圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8
C．圆 M 的半径为 25
题组二 教材改编 2．若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，则实数 a 的取值范围是( )
2014年中考数学一轮复习讲义：直线与圆的位置关系
2014年中考数学一轮复习讲义：直线与圆的位置关系【考纲要求】1．探索并了解点和圆、直线和圆的位置关系．2．知道三角形的内心和外心．3．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质.【命题趋势】直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点，通常出现在选择题中．中考考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考查．【知识梳理】一、判定一个点P是否在⊙O上：设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.二、直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.三、切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.题型分类、深度剖析：考点一、点与圆的位置关系【例1】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A ．点B ，C 均在圆P 外B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内 C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外D ．点B ，C 均在圆P 内解析：画出矩形后求解出DP 的长度即圆的半径，然后求出BP ，CP 的长度与DP 的长度作比较就可以发现答案．在Rt△ADP 中，DP ＝AD 2＋AP 2＝7，在Rt△BCP 中，BP ＝6，PC ＝BC 2＋BP 2＝9.∵PC ＞DP ，BP ＜DP ，∴点B 在圆P 内，点C 在圆P 外． 答案：C方法总结 解答这类题目的关键是运用数形结合的思想，将点与圆的图形位置关系转化为确定点到圆心的距离与半径之间的数量关系．触类旁通1 若⊙O 的半径为5 cm ，点A 到圆心O 的距离为4 cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在圆外B ．点A 在圆上C ．点A 在圆内D ．不能确定 考点二、切线的性质与判定【例2】如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DP ＝DC DO ＝23.(1)求证：直线PB 是⊙O 的切线； (2)求cos ∠BCA 的值． 分析：(1)连接OB ，OP ，由DB DP ＝DC DO ＝23，且∠D ＝∠D ，根据三角形相似的判定定理得到△BDC ∽△PDO ，可得到BC ∥OP ，易证得△BOP ≌△AOP ，则∠PBO ＝∠PAO ＝90°；(2)设PB ＝a ，则BD ＝2a ，根据切线长定理得到PA ＝PB ＝a ，根据勾股定理得到AD ＝22a ，又BC ∥OP ，得到DC ＝2CO ，得到DC ＝CA ＝12×22a ＝2a ，则OA ＝22a ，利用勾股定理求出OP ，然后根据余弦函数的定义即可求出cos ∠BCA ＝cos ∠POA 的值．解：(1)证明：连接OB ，OP ，∵DB DP ＝DC DO ＝23，且∠D ＝∠D ， ∴△BDC ∽△PDO ， ∴∠DBC ＝∠DPO ， ∴BC ∥OP ，∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠BOP . ∵OB ＝OC ， ∴∠OCB ＝∠CBO ， ∴∠BOP ＝∠POA . 又∵OB ＝OA ，OP ＝OP ，∴△BOP ≌△AOP ，∴∠PBO ＝∠PAO .又∵PA ⊥AC ，∴∠PAO ＝90°，∴∠PBO ＝90°， ∴直线PB 是⊙O 的切线． (2)由(1)知∠BCO ＝∠POA ， 设PB ＝a ，则BD ＝2a ， 又∵PA ＝PB ＝a ， ∴AD ＝DP 2－PA 2＝22a . 又∵BC ∥OP ，∴DC ＝2CO ， ∴DC ＝CA ＝12AD ＝12×22a ＝2a ，∴OA ＝22a ， ∴OP ＝OA 2＋PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝62a ，∴cos ∠BCA ＝cos ∠POA ＝OA OP ＝33. 方法总结 1．切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来说明直线是圆的切线；二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线．当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明．2．利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角．触类旁通2 如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O ，交⊙O 于点C ，∠DAB ＝∠B ＝30°.(1)直线BD 是否与⊙O 相切？为什么？ (2)连接CD ，若CD ＝5，求AB 的长． 考点三、三角形的内切圆【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8.则△ABC 的内切圆半径r ＝__________.解析：在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10. ∵S △ACB ＝12AC ·BC ＝12×6×8＝24，∴r ＝2S a ＋b ＋c ＝486＋8＋10＝2.答案：2方法总结 三角形的内切圆半径r ＝2Sa ＋b ＋c，其中S 是三角形面积，a ，b ，c 是三角形三边长．触类旁通3 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D ，E ，F ，已知∠A ＝100°，∠C ＝30°，则∠DFE 的度数是( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°。
高考数学第一轮单元复习课件 第45讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
► 探究点2 圆的切线问题
例 2 已知圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若 C 的切线在 x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求 此切线方程； (2)从圆 C 外一点 P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为 M， O 为原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的 P 点的坐标.
【思路】 (1)依据截距关系确定切线的斜率，设出直 线方程，利用点到直线的距离等于半径求解；
(2)首先确定P点的轨迹方程，从而确定|PM|最短时点 P的坐标满足的关系式.
【解答】 (1)∵切线在 x 轴，y 轴上的截距的绝对值 相等，∴切线的斜率是±1.设切线的方程为 y＝x＋b 或 y＝ －x＋b，由点到直线的距离公式解得切线的方程为：x＋y －3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.
变式题 求圆心在直线 x＋y＝0 上，且过两圆 x2＋y2 －2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0 的交点的圆的 方程.
【思路】 求出两圆的交点坐标，利用圆心到两交点的 距离都相等于半径，求出圆心和半径，也可以利用两交 点连结所得弦的垂直平分线与直线x＋y＝0的交点，就 是圆心；还可以利用圆系，先设出过两圆点的圆的方程， 再求系数.
①
x d 2 y2 r22 ②
将①②两式联立，研究此方程组的解.
如果方程组有解，且只有两解，这时相应的两 圆 相交于两点 。如图 45－2.
图 45－2
如果方程组有唯一解，这时两圆 相切(外切或内切) 。如 图 45－3.
图 45－3
如果方程组无解，这时两圆 外离或内含 。如图 45－4.
知识梳理
1.直线与圆的位置关系的判定方法 (1)代数法(或 Δ 法)：看由直线与圆的方程组成的方程组有 无实数解。 将直线 l 的方程与圆 C 的方程联立，消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程. ①当 Δ＞0 时，方程有 两 解，此时方程组也有两组实数 解，说明直线 l 与圆 C 相交 ； ②当 Δ＝0 时，方程有唯一 解，此时方程组也有唯一一组 解，说明直线 l 与圆 C 相切 ；
2014届高考数学一轮复习精品题集之解析几何
平面解析几何必修2 第2章 平面解析几何初步§2.1直线与方程考纲要求：①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．§2.1.1 直线的斜率重难点：对直线的倾斜角、斜率的概念的理解能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导．经典例题：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角．当堂练习：1．过点(3, 0)和点(4,3)的斜率是（ ）A ．3B ．-3C ．33D ． -332．过点(3, 0)和点(0, 3)的倾斜角是（ ）A ．045B ．-045C ．0135D ．- 01353．过点P(－2, m)和Q(m, 4)的直线斜率等于1，那么m 的值等于 （ ）A ．1或3B ．4C ．1D ．1或44．在直角坐标系中，直线y= -3x+1的倾斜角为（ ）A ．0120B ．-030C ．060D ．- 0605．过点(-3, 0)和点(-4,3)的倾斜角是（ ）A ．030B ．0150C ．060D ．01206．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，则有（ ）A ．k1<k2<k3B ．k3<k1<k2C ．k3<k2<k1D ．k1<k3<k27．若两直线a,b 的倾斜角分别为21αα，，则下列四个命题中正确的是（ ）A ． 若21αα<, 则两直线斜率k1< k2B ． 若21αα=, 则两直线斜率k1= k2C ．若两直线斜率k1< k2, 则21αα<D ．若两直线斜率k1= k2, 则21αα=8．下列命题：（1）若点P （x1,y1）,Q (x2,y2), 则直线PQ 的斜率为1212x x y y k --=； （2）任意一条直线都存在唯一的倾斜角，但不一定都存在斜率；（3）直线的斜率k 与倾斜角α之间满足αtan =k ；（4）与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为00．以上正确的命题个数是（ ）A ．0个B ． 1个C ． 2个D ．3个9．若直线1x =的倾斜角为α，则α（ ）A ．等于0B ．等于4πC ．等于2πD ．不存在10．已知θ∈R ，则直线sin 10x θ-+=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0°，30°]B ．[)150,180 C ．[0°，30°]∪[)150,180 D ．[30°，150°] 11．设()f x 为奇函数，且在(),0-∞内是减函数。
高考数学真题练习——直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系一．选择题（共16小题）1．（2015•重庆）已知直线10x ay +-=是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||(AB = )A ．2B ．6C ．D ．2．（2014•全国）若直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，则2(r = )A ．8B ．5C ．D3．（2014•福建）已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是( ) A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=4．（2014•北京）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．45．（2014•安徽）过点(P 1)-的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．(0，]6πB ．(0，]3πC ．[0，]6πD ．[0，]3π6．（2014•浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-7．（2014•江西）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π8．（2013•重庆）设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则||PQ 的最小值为( ) A ．6B ．4C ．3D ．29．（2013•陕西）已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定10．（2013•江西）过点引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当ABO ∆的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于( )A B ．C ． D ． 11．（2013•天津）已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则(a = ) A ．12-B ．1C ．2D ．1212．（2013•安徽）直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4 D．13．（2012•天津）设m ，n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是( )A．[11+ B ．(-∞，1[13+，)+∞C．[2-2+D ．(-∞，2[222-+，)+∞14．（2012•重庆）对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是( ) A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心15．（2012•陕西）已知圆22:40C x y x +-=，l 为过点(3,0)P 的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能16．（2012•安徽）若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是( ) A ．[3-，1]-B ．[1-，3]C ．[3-，1]D ．(-∞，3][1-，)+∞二．填空题（共10小题）17．（2018•天津）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，(t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为 ．18．（2017•全国）直线20x -=被圆2220x y x +-=截得的线段长为 ．19．（2017•上海）若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为 ．20．（2016•上海）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||AB =则||OA OB +的最小值为 ．21．（2014•湖北）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 22．（2014•上海）已知曲线:C x =，直线:6l x =，若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 ．23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 24．（2013•湖北）已知圆22:5O x y +=，直线:cos sin 1(0)2l x y πθθθ+=<<．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = ．25．（2013•浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于 ． 26．（2013•山东）过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为 ． 三．解答题（共4小题）27．（2017•上海）某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ；（1）若60BAD ∠=︒，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）28．（2015•陕西）如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，BC DE ⊥，垂足为C ． （Ⅰ）证明：CBD DBA ∠=∠；（Ⅱ）若3AD DC =，BC =，求O 的直径．29．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线3y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标的取值范围．30．（2013•四川）已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点．直线:l y kx =与圆C 交于M ，N 两点． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+．请将n 表示为m 的函数．直线与圆的位置关系参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2015•重庆）已知直线10x ay +-=是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||(AB = )A ．2B ．6C ．D ．【解答】解：圆22:4210C x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=， 表示以(2,1)C 为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线:10l x ay +-=经过圆C 的圆心(2,1)， 故有210a +-=，1a ∴=-，点(4,1)A --．(AC ==2CB R ==，∴切线的长||6AB ===．故选：B ．2．（2014•全国）若直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，则2(r = )A ．8B ．5C ．D【解答】解：直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，∴圆心(3,2)C 到直线的距离d r ===，25r ∴=．故选：B ．3．（2014•福建）已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是( ) A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=【解答】解：由题意可得所求直线l 经过点(0,3)，斜率为1， 故l 的方程是30y x -=-，即30x y -+=， 故选：D ．4．（2014•北京）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【解答】解：圆22:(3)(4)1C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径为1， 圆心C 到(0,0)O 的距离为5，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6．再由90APB ∠=︒可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得12PO AB m ==，故有6m ， 故选：B ．5．（2014•安徽）过点(P 1)-的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0，]6πB ．(0，]3πC ．[0，]6πD ．[0，]3π【解答】解：由题意可得点(P 1)-在圆221x y +=的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为1(y k x +=，即10kx y -+-=．1，即22311k k -++，解得03k ，故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，]3π，故选：D ．6．（2014•浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【解答】解：圆22220x y x y a ++-+= 即22(1)(1)2x y a ++-=-，故弦心距d =再由弦长公式可得224a -=+，4a ∴=-， 故选：B ．7．（2014•江西）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π【解答】解：如图，设AB 的中点为C ，坐标原点为O ，圆半径为r ，由已知得||||OC CE r ==，过点O 作直线240x y +-=的垂直线段OF ， 交AB 于D ，交直线240x y +-=于F ，则当D 恰为OF 中点时，圆C 的半径最小，即面积最小 此时圆的直径为(0,0)O 到直线240x y +-=的距离为：d ==此时12r d ==∴圆C 的面积的最小值为：245min S ππ=⨯=． 故选：A ．8．（2013•重庆）设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则||PQ 的最小值为( ) A ．6B ．4C ．3D ．2【解答】解：过圆心A 作AQ ⊥直线3x =-， 与圆交于点P ，此时||PQ 最小， 由圆的方程得到(3,1)A -，半径2r =， 则||||624PQ AQ r =-=-=． 故选：B ．9．（2013•陕西）已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解答】解：(,)M a b 在圆221x y +=外， 221a b ∴+>，∴圆(0,0)O 到直线1ax by +=的距离1d r <=，则直线与圆的位置关系是相交． 故选：B ．10．（2013•江西）过点引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当ABO ∆的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于( )A B ．C ． D ．【解答】解：由y =221(0)x y y +=．所以曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点）， 设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则10k -<<，直线l 的方程为0(y k x -=-，即0kx y -=．则原点O 到l 的距离d =，l则2211ABO k S k ∆-==+==令211t k =+，则ABO S ∆=34t =，即21314k =+时，ABOS ∆有最大值为12．此时由21314k =+，解得k = 故选：D ．11．（2013•天津）已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则(a = ) A ．12-B ．1C ．2D ．12【解答】解：因为点(2,2)P 满足圆22(1)5x y -+=的方程，所以P 在圆上， 又过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直， 所以切点与圆心连线与直线10ax y -+=平行， 所以直线10ax y -+=的斜率为：20221a -==-． 故选：C ．12．（2013•安徽）直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．【解答】解：由22240x y x y +--=，得22(1)(2)5x y -+-=，所以圆的圆心坐标是(1,2)C ，半径r =圆心C 到直线250x y +-+=的距离为1d ===．所以直线直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为4． 故选：C ．13．（2012•天津）设m ，n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是( )A ．[11+B ．(-∞，1[13+，)+∞C ．[2-2+D ．(-∞，2[222-+，)+∞【解答】解：由圆的方程22(1)(1)1x y -+-=，得到圆心坐标为(1,1)，半径1r =， 直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆相切，∴圆心到直线的距离1d ==，整理得：21()2m n m n mn +++=， 设m n x +=，则有214x x +，即2440x x --，2440x x --=的解为：12x =+22x =-∴不等式变形得：(220x x ---+，解得：222x +或222x -，则m n +的取值范围为(-∞，2[222-+，)+∞． 故选：D ．14．（2012•重庆）对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是( ) A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心【解答】解：对任意的实数k ，直线1y kx =+恒过点(0,1)，且斜率存在 (0,1)在圆222x y +=内∴对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选：C ．15．（2012•陕西）已知圆22:40C x y x +-=，l 为过点(3,0)P 的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：22(2)4x y -+=，∴圆心(2,0)C ，半径2r =，又(3,0)P与圆心的距离12d r ==<=，∴点P 在圆C 内，又直线l 过P 点，则直线l 与圆C 相交． 故选：A ．16．（2012•安徽）若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是( ) A ．[3-，1]-B ．[1-，3]C ．[3-，1]D ．(-∞，3][1-，)+∞【解答】解：直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点∴圆心到直线10x y -+=2|1|2a ∴+31a ∴-故选：C ．二．填空题（共10小题）17．（2018•天津）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，(t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为12． 【解答】解：圆2220x y x +-=化为标准方程是22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径1r =；直线13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程是20x y +-=，则圆心C到该直线的距离为d ==弦长||22AB =⨯=， ABC ∴∆的面积为111||2222S AB d ==⨯=． 故答案为：12． 18．（2017•全国）直线20x -=被圆2220x y x +-=【解答】解：圆2220x y x +-=化为22(1)1x y -+=，设直线20x --=与圆22(1)1x y -+=的交点为A 、B ，圆心为(1,0)O ， 线段AB 的中点为D ，半径为1r =则由圆的几何性质可知，OD AB ⊥，且1||2OD ==，||1OA r ==，||2||AB AD ∴===19．（2017•上海）若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为 2 ． 【解答】解：圆222440x y x y +-++=，可化为22(1)(2)1x y -++=，P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，||PQ ∴的最大值为2，故答案为2．20．（2016•上海）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||AB =则||OA OB +的最小值为 4 ．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 中点(,)M x y ''． 122x x x +'=，122y y y +'=， ∴12(OA OB x x +=+，12)2y y OM +=，圆22:650C x y x +-+=，22(3)4x y ∴-+=，圆心(3,0)C ，半径2CA =．点A ，B 在圆C 上，AB = 2221()2CA CM AB ∴-=，即1CM =．点M 在以C 为圆心，半径1r =的圆上．312OM OC r ∴-=-=．||2OM ∴，∴||4OA OB +，∴||OA OB +的最小值为4．故答案为：4．21．（2014•湖北）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += 2 ． 【解答】解：由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14，∴cos 452==︒=，222a b ∴+=， 故答案为：2．22．（2014•上海）已知曲线:C x =，直线:6l x =，若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 [2，3] ．【解答】解：曲线:C x =，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且[2P x ∈-，0]， 对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标6x =， 6[22Px m +∴=∈，3]． 故答案为：[2，3]．23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 【解答】解：圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径2r =， 点C 到直线直线230x y +-=的距离d ，∴根据垂径定理，得直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为==． 24．（2013•湖北）已知圆22:5O x y +=，直线:cos sin 1(0)2l x y πθθθ+=<<．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = 4 ．【解答】解：由圆的方程得到圆心(0,0)O ，半径r =圆心O 到直线l 的距离1d ==，且11r d d -=->=，∴圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4，即4k =．故答案为：425．（2013•浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于 【解答】解：圆22680x y x y +--=的圆心坐标(3,4)，半径为5，=因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长为：2=故答案为：26．（2013•山东）过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为 【解答】解：根据题意得：圆心(2,2)，半径2r =，2，(3,1)∴在圆内，圆心到此点的距离d ，2r =，∴最短的弦长为=故答案为：三．解答题（共4小题）27．（2017•上海）某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ；（1）若60BAD ∠=︒，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）【解答】解：（1）1M 半径60tan3034.6=︒≈，2M 半径60tan1516.1=︒≈； （2）设2BAD α∠=，则总造价0.8260tan 0.9260tan(45)y παπα=+︒-， 设1tan x α+=，则1812(817)84y x x ππ=+-，当且仅当32x =，1tan 2α=时，取等号，1M ∴半径30，2M 半径20，造价263.8千元．28．（2015•陕西）如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，BC DE ⊥，垂足为C ． （Ⅰ）证明：CBD DBA ∠=∠；（Ⅱ）若3AD DC =，BC =，求O 的直径．【解答】证明：（Ⅰ）DE 是O 的直径， 则90BED EDB ∠+∠=︒， BC DE ⊥，90CBD EDB ∴∠+∠=︒，即CBD BED ∠=∠，AB 切O 于点B ，DBA BED ∴∠=∠，即CBD DBA ∠=∠；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分CBA ∠， 则3BA ADBC CD ==， 2BC =AB ∴=4AC =，则3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =，即26AB AE AD==，故3DE AE AD =-=， 即可O 的直径为3．29．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线3y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C 在3y x =-上，也在直线24y x =-上，设切点的横坐标为a ， 243a a -=-，1a ∴=，(1,2)C ∴-．22:(1)(2)1C x y ∴-++=，由题，当斜率存在时，过A 点切线方程可设为3y kx =+，即30kx y -+=1=，解得：125k =-，⋯（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为0x =或1235y x =-+， 即0x =或125150x y +-=；（2）设点(,)M x y ，由||2||MA MO =，化简得：22(1)4x y ++=，∴点M 的轨迹为以(0,1)-为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ，又点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，1||3CD ∴，其中||CD221(23)3a a ∴+-，解得：1205a． 30．（2013•四川）已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点．直线:l y kx =与圆C 交于M ，N 两点． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+．请将n 表示为m 的函数． 【解答】解：（Ⅰ）将y kx =代入22(4)4x y +-=中，得：22(1)8120(*)k x kx +-+=，根据题意得：△22(8)4(1)120k k =--+⨯>，即23k >， 则k 的取值范围为(-∞，⋃，)+∞；（Ⅱ）由M 、N 、Q 在直线l 上，可设M 、N 坐标分别为1(x ，1)kx ，2(x ，2)kx ，2221||(1)OM k x ∴=+，2222||(1)ON k x =+，22222||(1)OQ m n k m =+=+，代入222211||||||OQ OM ON =+得：22222212211(1)(1)(1)k m k x k x =++++， 即21212222221212()2211x x x x m x x x x +-=+=， 由(*)得到12281kx x k +=+，122121x x k =+， 代入得：222222824()211144(1)k kk m k -++=+，即223653m k =-， 点Q 在直线y kx =上，n km ∴=，即n k m =，代入223653m k =-，化简得225336n m -=， 由223653m k =-及23k >，得到203m <<，即(m ∈0)(0⋃， 根据题意得点Q 在圆内，即0n >，n ∴=则n 与m的函数关系式为(n m =∈0)(0⋃．。
高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。
高考专题--直线与圆、圆与圆的位置关系
高考专题--直线与圆、圆与圆的位置关系本文介绍了高考数学中与直线和圆、圆和圆的位置关系相关的知识点。
首先讲解了直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离公式，可以得到关于x或y的一元二次方程，通过判别式Δ可以判断相交、相切、相离的位置关系。
接着讲解了圆与圆的位置关系，通过圆心距和半径之间的关系，可以判断相离、外切、内含、内切的位置关系。
最后通过诊断自测，帮助读者巩固所学知识点。
本文旨在介绍高考数学中关于直线和圆、圆和圆的位置关系的知识点。
首先，我们研究了如何判断直线和圆的位置关系，通过圆心到直线的距离公式，我们可以得到一个关于x或y的一元二次方程，并通过判别式Δ来确定相交、相切、相离的位置关系。
接着，我们研究了如何判断圆和圆的位置关系，通过圆心距和半径之间的关系，我们可以确定相离、外切、内含、内切的位置关系。
最后，我们通过诊断自测来巩固所学知识点。
1.解析：根据题意，有以下两个公式：AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}(y_1-y_2)^2-4y_1y_2}1+k^2(x_1+x_2)^2-4x_1x_2根据公式进行计算即可。
2.解析：求过一点的圆的切线方程，需要先判断该点是否在圆上，如果在圆上，则切线有无数条；如果不在圆上，则切线有且只有一条。
斜率不存在的情况需要特别注意。
易错防范]1.求圆的弦长问题，需要注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算。
2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解。
基础巩固题组1.解析：将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标为(1,4)，根据点到直线的距离公式，将圆心到直线的距离代入公式，解出a的值即可。
答案：A2.解析：根据题意，可以得出该圆的圆心坐标为(1,0)，半径为r。
根据求解切线的公式，可以得到切线方程为2x+y-7=0.答案：B3.解析：将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标为(-1,1)，半径为2-a。
高考文科数学一轮复习练习第八篇第3节 直线圆的位置关系
第3节直线、圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆、圆与圆的位置关系2,8,12直线与圆相切问题1,6,7,13与圆的弦长有关问题3,4,9,10综合应用问题5,11,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.若直线2x+y+a=0与圆x2+y2+2x4y=0相切,则a的值为( B )(A)± (B)±5 (C)3 (D)±3解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y2)2=5,因为直线与圆相切,所以有=,即a=±5.故选B.2.(2018·四川遂宁期末)圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y24x+8y+4=0的位置关系是( B )(A)相交(B)外切(C)内切(D)相离解析:圆C1:x2+y2+2x=0即(x+1)2+y2=1的圆心C1(1,0),半径等于1.圆C2:x2+y24x+8y+4=0化为(x2)2+(y+4)2=16的圆心C2(2,4),半径等于4.两圆的圆心距等于=5,而5=1+4,故两圆相外切,故选B.3.(2018·广西南宁、梧州联考)直线y=kx+3被圆(x2)2+(y3)2=4截得的弦长为2,则直线的倾斜角为( A )(A)或(B)或(C)或(D)解析:由题知,圆心(2,3),半径为2,所以圆心到直线的距离为d==1.即d==1,所以k=±,由k=tan α,得α=或.故选A.4.(2017·河南师大附中期末)已知圆的方程为x2+y26x8y=0.设该圆过点(1,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( B )(A)15 (B)30 (C)45 (D)60解析:圆的标准方程为(x3)2+(y4)2=25,过点(1,4)的最长弦AC所在的直线过圆心,故AC=10,过点(1,4)的最短弦BD所在直线垂直于AC,由勾股定理得BD=6,故四边形ABCD的面积为S=×6×10=30.故选B.5.已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则a的取值范围为( A )(A)(3,3)(B)(∞,3)∪(3,+∞)(C)(2,2)(D)[3,3 ]解析:由圆的方程可知圆心为O(0,0),半径为2,因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d<2+1=3,即d==<3,解得a∈(3,3),故选A.6.(2018·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心,且与两条直线2xy+4=0与2xy6=0同时相切的圆的标准方程为( A )(A)(x1)2+(y1)2=5 (B)(x+1)2+(y+1)2=5(C)(x1)2+y2=5 (D)x2+(y1)2=5解析:因为两条直线2xy+4=0与2xy6=0的距离为d==2,所以所求圆的半径为r=,所以圆心(a,1)到直线2xy+4=0的距离为==,即a=1或a=4,又因为圆心(a,1)到直线2xy6=0的距离也为r=,所以a=1,所以所求的标准方程为(x1)2+(y1)2=5,故选A.7.已知圆C的圆心是直线xy+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为.解析:由题意可得圆心(1,0),圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径,故r==,所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=28.导学号 94626201(2018·湖南郴州质监)过点M(,1)的直线l与圆C:(x1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为.解析:由题意得,当CM⊥AB时,∠ACB最小,k CM=2,所以k AB=,从而直线方程为y1=(x),即2x4y+3=0.答案:2x4y+3=09.(2017·深圳一模)直线axy+3=0与圆(x2)2+(ya)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是.解析:设圆心到直线的距离为d,则d==,由r2=d2+()2知()2=4≥3,解得a≤.答案:(∞,)能力提升(时间:15分钟)10.已知圆(x2)2+(y+1)2=16的一条直径经过直线x2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( D )(A)3x+y5=0 (B)x2y=0(C)x2y+4=0 (D)2x+y3=0解析:直线x2y+3=0的斜率为,已知圆的圆心坐标为(2,1),该直径所在直线的斜率为2,所以该直径所在的直线方程为y+1=2(x2),即2x+y3=0,故选D.11.导学号 94626202已知点P的坐标(x,y)满足过点P的直线l与圆C:x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值是( B ) (A)2 (B)4 (C) (D)2解析:根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,设点P到圆心的距离为d,则求最短弦长,等价于求到圆心的距离最大的点,即为图中的P点,其坐标为(1,3),则d==,此时|AB|min=2=4,故选B.12.(2017·河南豫北名校联盟联考)已知圆C:x2+y2+8x+15=0,若直线y=kx2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的取值范围为.解析:圆C即(x+4)2+y2=1,所以圆心为(4,0),半径r=1,直线即kxy2=0,≤2,解之得≤k≤0,即实数k的取值范围为[,0].答案:[,0]13.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·= .解析:由题意,圆心为O(0,0),半径为1.因为P(1,),不妨设PA⊥x 轴,PA=PB=.所以△POA为直角三角形,其中OA=1,AP=,则OP=2,所以∠OPA=30°,所以∠APB=60°.所以·=||||·cos∠APB=××cos 60°=.答案:14.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.(1)求圆C的方程;(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心C(a,0)(a>),则=2⇒a=0或a=5(舍).所以圆C:x2+y2=4.(2)当直线AB⊥x轴时,x轴上任意一点都满足x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)x22k2x+k24=0.所以x1+x2=,x1x2=.若x轴平分∠ANB,则k AN=k BN⇒+=0⇒+=0⇒2x1x2(t+1) (x1+x2)+2t=0⇒+2t=0⇒t=4,所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.15.(2018·广东汕头期末)在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y212x14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.解:圆M的标准方程为(x6)2+(y7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心在直线x=6上,可设N(6,y0),因为N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7y0=5+y0,解得y0=1,因此,圆N的标准方程为(x6)2+(y1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2xy+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为BC=OA==2,而MC2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=15.故直线l的方程为2xy+5=0或2xy15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),+=,所以①因为点Q在圆M上,所以(x26)2+(y27)2=25,②将①代入②,得(x1t4)2+(y13)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x(t+4)]2+(y3)2=25上,从而圆(x6)2+(y7)2=25与圆[x(t+4)]2+(y3)2=25有公共点, 所以55≤≤5+5,解得22≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[22,2+2].。
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第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·福建)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )． A ．2 5B ．2 3C. 3D ．1解析 由题意作出图象如图，由图可知圆心O 到直线AB 的距离d ＝|－2|1＋3＝1，故|AB |＝2|BC |＝222－12＝2 3.答案 B2．(2012·安徽)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )． A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.答案 C3．(2013·潍坊模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( )．A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1，2＋1)C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1)解析 计算得圆心到直线l 的距离为22＝2>1，得到右边草图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1，故选A. 答案 A4．(2013·新余一模)若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )．A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2解析 易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2； 圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1. ∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22， ∴a ＋b ≤32(当且仅当a ＝b ＝32时取“＝”)， ∴a ＋b 的最大值为3 2. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·北京)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________．解析 由题意得，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝22＝ 2.设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2. 答案 2 26．(2011·江苏)设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________． 解析 ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅， ∴m 2≥m 2.∴m ≥12或m ≤0.显然B ≠∅.要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2(m ≠0)与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点，即|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2≤|m |，∴2－22≤m ≤2＋ 2. 又∵m ≥12或m ≤0，∴12≤m ≤2＋ 2. 当m ＝0时，(2,0)不在0≤x ＋y ≤1内．综上所述，满足条件的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2 三、解答题(共25分)7．(12分)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.8．(13分)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)直线PQ 的方程为：x ＋y －2＝0， 设圆心C (a ，b )半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①又由在y 轴上截得的线段长为43，知r 2＝12＋a 2， 可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得：a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37不满足题意， 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)， 由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0， ∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎨⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122.代入③式，得m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足判别式Δ>0， ∴y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·南昌模拟)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞解析 C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意， 则－33<m <0或0<m <33. 综上知－33<m <0或0<m <33. 答案 B2．(2011·江西)如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是()．解析如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A符合．故选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．解析 ∵l 与圆相交所得弦的长为2，1m 2＋n 2＝4－1，∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16.l 与x 轴交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，与y 轴交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ， ∴S △AOB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝12·1|mn |≥12×6＝3. 答案 34．(2012·浙江)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.解析 x 2＋(y ＋4)2＝2到直线y ＝x 的距离为42－2＝2，所以y ＝x 2＋a 到y＝x 的距离为2，而与y ＝x 平行且距离为2的直线有两条，分别是y ＝x ＋2与y ＝x －2，而抛物线y ＝x 2＋a 开口向上，所以y ＝x 2＋a 与y ＝x ＋2相切，可求得a ＝94. 答案 94三、解答题(共25分)5．(12分)设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (其中k 的值与b 无关)，圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －4＝0.(1)如果不论k 取何值，直线l 与圆M 总有两个不同的交点，求b 的取值范围； (2)b ＝1时，l 与圆交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值． 解 圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5， ∴圆心M 的坐标为(1,0)，半径为r ＝ 5. (1)∵不论k 取何值，直线l 总过点P (0，b )，∴欲使l 与圆M 总有两个不同的交点，必须且只需点P 在圆M 的内部，即|MP |<5，即1＋b 2<5，∴－2<b <2，即b 的取值范围是(－2,2)．(2)当l 过圆心M 时，|AB |的值最大，最大值为圆的直径长2 5.当l ⊥MP 时，此时|MP |最大，|AB |的值最小，|MP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k ＋1k≤1＋22k ·1k＝2，当且仅当k ＝1时取等号．最小值为2r 2－|MP |2＝25－2＝2 3. 6．(13分)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1， 则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP |＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |， 即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)， ∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。