七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解12.4用公式法进行因式分解学案青岛版
青岛版七年级下册全册数学教案合集(实用版)
9.3平行线的性质25
9.4平行线的判定28
复习课：平行线31
第10章一次方程组（单元备课）35
10.1认识二元一次方程组36
10.2二元一次方程组的解法（1）39
10.2二元一次方程组的解法（2）42
10.3三元一次方程组44
10.4列方程解应用题（1）46
10.4列方程解应用题（2）48
13.2多边形（2）104
13.3圆（1）107
13.3圆（2）110
复习课：平面图形的认识113
第14章位置与坐标（单元备课）115
14.1用有序数对表示位置116
14.2平面直角坐标系119
14.3直角坐标系中的图形122
14.4用方向和距离描述两个物体的相对位置124
复习课：位置与坐标127
七年级数学下册学期教学计划
7、在课堂教学中进一步让学生形成良好的习惯：上课专注，交流投入，发言积极，作业规范。同时，给时间让学生独立思考、互动交流讨论。
8、关心科代表的学习、生活，利用课余时间多接触学生，与学生建立和谐的师生关系，营造和谐的课堂气氛。
六、教学进度表
周次
课时
顺序
授课内容
1
1
9.1同位角、内错角、同旁内角
2
9.2平行线和它的画法
4、进一步扭转部分学生的厌学情绪。利用课余时间对他们进行座谈辅导，在平时的课堂中多给予追问和表现机会，给后进生树立信心。对优生要严格要求，端正他们的学习态度，抑制他们产生骄傲情绪。
5、用好课堂小组评价，以点带面，以先进带后进，让后进生自动自觉不掉队，发挥帮扶的力量。
6、坚持因材施教原则，逐步实施分层教学、作业，向基础不同的学生提出相应的要求，力求使中下生吃得上，中等生吃得下，优生吃得饱，即课堂练习、作业及要求等进行分层要求。
青岛版七年级下册数学-完全平方公式素养提升练习(含解析)
第12章 乘法公式与因式分解12.2 完全平方公式基础过关全练知识点 完全平方公式1.运用完全平方公式计算89.82的最佳选择是( )A.(89+0.8)2B.(80+9.8)2C.(90-0.2)2D.(100-10.2)22.下列各式中计算正确的是( )A.(5a+3b)2=25a2+9b2B.(7x-2y)2=49x2-14xy+4y2C.(4y-3)2=16y2-24y+9m+12n2=19m2+16mn+14n23.(2023江西中考)化简:(a+1)2-a2= .4.【新独家原创】若4a2+(m+2)ab+16b2是一个完全平方式,那么m= .5.计算:(1)(4x+3n)2.(2)(-3x+y)2. (3).6.【教材变式·P116T2】(2023湖南邵阳中考)先化简,再求值:(a-.3b)(a+3b)+(a-3b)2.其中a=-3,b=13能力提升全练7.(2023内蒙古赤峰中考,7,★☆☆)已知2a2-a-3=0,则(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2的值是( )A.6B.-5C.-3D.48.【新考法】(2022河北邢台信都期中,9,★★☆)将四个如图1所示的小正方形按图2所示的方式放置在一个边长为a的大正方形中,大正方形的中间恰好空出两条互相垂直,且宽都为b的长方形,根据图2中阴影部分的面积可以验证的公式为( )A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a-b)2=(a+b)2-4ab9.(2023广东汕头潮南一模,7,★★☆)若a+2b=7,ab=6,则(a-2b)2的值是( )A.3B.2C.1D.010.(2023四川凉山州中考,14,★☆☆)已知y2-my+1是完全平方式,则m的值是 .11.(2023山东济南期中,15,★★☆)如图所示,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a、b,如果a+b=17,ab=60,那么图中阴影部分的面积是 .12.(2023陕西师大附中期中,18,)有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得到图①,将A,B并列放置后构造新的正方形得到图②.若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形A,B的面积之和为 .13.【跨学科·美术】(2022浙江温州瓯海期中改编,17,)某中学开展“筑梦冰雪,相约冬奥”的学科活动,设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福.小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形,设计出“中”字图案,如图所示.若四个正方形的周长之和为48,面积之和为52,则长方形ABCD的面积为 .14.(2023内蒙古包头中考,17,★☆☆)先化简,再求值:(a+2b)2+(a+2b)(a-.2b).其中a=-1,b=1415.(2022山东济南十二中月考,20,★★☆)已知x+y=7,xy=-8,求:(1)x2+y2的值;(2)(x-y)2的值.素养探究全练16.【推理能力】发现:两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.如(2+1)2+(2-1)2=10,10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和,并验证发现中的结论.17.【推理能力】(2023山东淄博张店期中)几何图形是一种重要的数学语言,它直观形象,能帮助我们理解代数中的数量关系,而运用代数思想也能巧妙解决几何图形问题.(1)【观察】图①是一个长为4a,宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②).请你写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系: .(2)【应用】若m+n=7,m-n=5,求mn的值.(3)【拓展】如图③,四边形ABCD、四边形NGDH和四边形MEDQ 都是正方形,四边形EFGD和四边形PQDH都是长方形,若AE=5,CG=10,长方形EFGD的面积是150,设DE=m,DG=n.(i)填空:mn= ,m-n= .(ii)求图③中阴影部分的面积.答案全解全析基础过关全练1.C 89.82=(90-0.2)2=902-2×90×0.2+0.22,对90与0.2进行平方运算、乘法运算与加减运算比其他选项更简便.2.C (5a+3b)2=25a 2+30ab+9b 2,(7x-2y)2=49x 2-28xy+4y 2,(4y-3)2=16y 2-24y+9,m +12n 2=19m2+13mn +14n 2.故选C.3.2a+1解析 原式=a 2+2a+1-a 2=2a+1,故答案为2a+1.4.14或-18解析 4a 2+(m+2)ab+16b 2=(2a)2+(m+2)ab+(4b)2,因为4a 2+(m+2)ab+16b 2是一个完全平方式,所以m+2=±2×2×4=±16,所以m=14或-18.5.解析 (1)(4x+3n)2=(4x)2+2×4x·3n+(3n)2=16x 2+24nx+9n 2.(2)(-3x+y)2=(-3x)2+2×(-3x)·y+y 2=9x 2-6xy+y 2.(3)=(3y)2+2×3y×-+-=9y2−2y +19.6.解析 (a-3b)(a+3b)+(a-3b)2=a 2-(3b)2+(a 2-6ab+9b 2)=a 2-9b 2+a 2-6ab+9b 2=2a 2-6ab,当a=-3,b=13时,原式=2×(-3)2-6×(-3)×13=2×9−6×(−3)×13=18+6=24.能力提升全练7.D 原式=(2a)2-32+(2a)2-4a+1=2×(2a)2-4a-32+1=8a 2-4a-9+1=8a 2-4a-8=4(2a 2-a)-8.∵2a 2-a-3=0,∴2a 2-a=3,∴原式=4×3-8=4.故选D.8.C 根据题图2可得(a-b)2=a 2-2ab+b 2,故选C.9.C (a-2b)2=a 2+4b 2-4ab=a 2+4b 2+4ab-8ab=(a+2b)2-8ab,∵a+2b=7,ab=6,∴原式=72-8×6=49-48=1.故选C.10.±2解析 ∵y 2-my+1是完全平方式,y 2-2y+1=(y-1)2,y 2-(-2)y+1=(y+1)2,∴-m=-2或-m=2,∴m=±2.11.54.5解析 根据题意得S 阴影=a 2+b 2-12a2−12b(a+b)=a 2+b 2-12a2−12ab−12b 2=12(a 2+b 2-ab)=12[(a+b)2-3ab],当a+b=17,ab=60时,S 阴影=12×(289-180)=54.5.12.13解析 设正方形A 的边长为a,正方形B 的边长为b,由题图①得a 2-b 2-2b(a-b)=1,即a 2+b 2-2ab=1,由题图②得(a+b)2-a 2-b 2=12,即2ab=12,所以a 2+b 2=13.故正方形A,B 的面积之和为13.13.5解析 设AB=a,BC=b,由四个正方形的周长之和为48,面积之和为52,可得4a×2+4b×2=48,2a 2+2b 2=52,故a+b=6,a 2+b 2=26,所以(a+b)2=a 2+2ab+b 2=36,所以2ab=36-26=10,所以ab=5.故长方形ABCD 的面积为5.14.解析 原式=a 2+4b 2+4ab+a 2-4b 2=2a 2+4ab,当a=-1,b=14时,原式=2×(-1)2+4×(-1)×14=2-1=1.15.解析 (1)x 2+y 2=(x+y)2-2xy =72-2×(-8)=65.(2)(x-y)2=(x+y)2-4xy=72-4×(-8)=81.素养探究全练16.解析 10的一半为5,5=1+4=12+22.验证结论如下:设两个已知正整数分别为m,n.因为(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),所以(m+n)2+(m-n)2为偶数,且该偶数的一半可以表示为m2+n2,故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.17.解析 (1)由题图②知,大正方形的面积为(a+b)2,中间小正方形的面积为(b-a)2,大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长、宽分别为b,a的长方形的面积和,∴(a+b)2-(a-b)2=4ab.故答案为(a+b)2-(a-b)2=4ab.(2)已知(a+b)2-(a-b)2=4ab,故由m+n=7,m-n=5可得72-52=4mn,∴mn=6.(3)(i)设正方形ABCD的边长为x,∴DE=x-5,DG=x-10,∴(x-5)(x-10)=150,由题意知m=x-5,n=x-10,∴m-n=5,mn=150,故答案为150;5.(ii)S阴影=(m+n)2=(m-n)2+4mn=52+4×150=625,∴题图③中阴影部分的面积为625.。
初中数学青岛版七年级下册高效课堂资料第12章复习
目标导向：借助小组力量，进一步体会课本题 的变式应用和转化思想在解题中的应用！学会 分享！
要求：
（1）点评注重对题目思 路和方法的分析，相关知 识的联系，注重多角度考 虑问题及拓展延伸； （2）非点评同学认真倾 听、辨别主学习中存在的疑惑在小组内提出来，
1.先独立思考，后组内交流，个人完
成解答过程.
2.认真分析，找到解题的思路，学会
书写证明过程.
目标导向：借助集体智慧，进一步体会课 本例题的变式应用！
展示题目 探究一
展示小组 1、2组
要求： （1）展示人书写认真， 步骤简练。 （2）其他同学独立思考， 找到思路后交流完完善。 （3）小组长要检查、落 实，力争达标为100％。
要求：（1）全体学
学习过程及要求 自主完成复习检 测题目 小组交流、解答 疑惑 时间分配 6分钟 2分钟
生激情投入，全力以赴， 自主完成学案。 （2）小组长发挥带头 作用，检查、落实，力 争达标为100％。
疑惑展示（时间：3分钟）
让同学帮你解决。小组内解决不了的问题 再提交到老师。组长控制好小组活动的节 奏。
复习指导
要求：按照课本P125页回顾与总结的内容进行复习，并构 建思维导图.
成果展示（时间：2分钟）
将自主学习中的收获或体会谈一谈，让大
家共同进步。
自学检测
要求：独立完成下列题目，
书写认真、规范，不能乱勾 乱画，完成后两两交换.
目标导向：借助小组力量，进一步巩固幂的 乘方的基础知识，能够体会其中的易错易漏 问题。学会分享！
青岛版七年级下册数学 用公式法进行因式分解素养提升练习(含解析)
第12章乘法公式与因式分解12.4用公式法进行因式分解基础过关全练知识点1用平方差公式分解因式1.(2021浙江杭州中考)因式分解:1-4y2=()A.(1+2y)(1-2y)B.(2+y)(2-y)C.(2+y)(1-2y)D.(1+2y)(2-y)2.(2023浙江绍兴柯桥期中)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是()A.x2+9y2B.3x2-9yC.-x 24+y29D.−x24−y293.(2023甘肃兰州中考)因式分解:x2-25y2=.4.【一题多变】(2023吉林长春中考)分解因式:m2-1=. [变式:先提公因式再用公式法分解因式](2022山东淄博中考)分解因式:x3-9x=.5.分解因式:(1)3x-12x3.(2)(a+b)2-c2.知识点2用完全平方公式分解因式6.给出下列多项式:①x2+2xy-y2;②-x2-y2+2xy;③x2+xy+y2;④4x2+1+4x.其中能用完全平方公式分解因式的是()A.①②B.②③C.①④D.②④7.【易错题】(2023四川眉山中考)分解因式:x3-4x2+4x=.8.(2023山东菏泽二模)若a+b=2,ab=-2,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为.9.分解因式:(1)-x3y+2y2x2-xy3.(2)1-a2+2ab-b2.10.利用因式分解计算:2072-414×297+2972.11.【新独家原创】已知9a2+b2+6a-6b+10=0,求(ab)2 024的值.能力提升全练12.(2023浙江杭州中考,3,★☆☆)分解因式:4a2-1=()A.(2a-1)(2a+1)B.(a-2)(a+2)C.(a-4)(a+1)D.(4a-1)(a+1)13.(2023湖南张家界中考,10,★☆☆)因式分解:x2y+2xy+y=.14.(2023山东菏泽中考,9,★☆☆)因式分解:m3-4m=.15.(2023山东东营中考,12,★★☆)因式分解:3ma2-6mab+3mb2=.16.(2023黑龙江绥化中考,13,★★☆)因式分解:x2+xy-xz-yz=.17.【一题多解】(2022四川广安中考,12,★★☆)已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的值为.18.(2023山东济宁中考改编,14,★★☆)已知有理数m满足m2-m-1=0,则2m3-3m2-m+9=.素养探究全练19.【运算能力】【新考向·阅读理解题】(2023山东枣庄滕州期末)阅读下列材料:对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式,但是对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接应用完全平方公式,我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加一项a2,使其一部分成为完全平方式,再减去a2项,使整个式子的值不变,于是有下面的因式分解:x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a).领会上述解决问题的思路、方法,认真分析完全平方式的构造,结合自己对完全平方式的理解,解决下列问题:(1)因式分解:①x2-4x+3.②(x2+2x)2-2(x2+2x)-3.(2)【拓展】因式分解:x4+4.答案全解全析基础过关全练1.A1-4y2=12-(2y)2=(1+2y)(1-2y).故选A.2.C-x 24+y29=(-x2+y3)(x2+y3).故选C.3.(x-5y)(x+5y)解析x2-25y2=x2-(5y)2=(x-5y)(x+5y).4.(m+1)(m-1)[变式]x(x+3)(x-3)解析原式=x(x2-9)=x(x+3)(x-3).5.解析(1)3x-12x3=3x(1-4x2)=3x(1+2x)·(1-2x).(2)(a+b)2-c2=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b+c)·(a+b-c).6.D-x2-y2+2xy=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2,4x2+1+4x=(2x+1)2.故选D.7.x(x-2)2解析本题解答过程中易只提公因式,不用公式法分解,导致分解不彻底.原式=x(x2-4x+4)=x(x-2)2.8.-8解析a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,把a+b=2,ab=-2代入,得原式=-2×22=-8.故答案为-8.9.解析(1)原式=-xy(x2-2xy+y2)=-xy(x-y)2.(2)原式=1-(a2-2ab+b2)=1-(a-b)2=(1+a-b)(1-a+b).10.解析2072-414×297+2972=2072-2×207×297+2972=(207-297)2=(-90)2=8 100.11.解析∵9a2+b2+6a-6b+10=0,∴9a2+6a+1+b2-6b+9=0,∴(3a+1)2+(b-3)2=0,∴3a+1=0,b-3=0,解得a=-13,b=3,则(ab)2 024=[(-13)×3]2 024=1.能力提升全练12.A4a2-1=(2a)2-12=(2a-1)(2a+1).故选A.13.y(x+1)2解析x2y+2xy+y=y(x2+2x+1)=y(x+1)2.14.m(m+2)(m-2)解析原式=m(m2-4)=m(m+2)(m-2).15.3m(a-b)2解析3ma2-6mab+3mb2=3m(a2-2ab+b2)=3m(a-b)2.16.(x+y)(x-z)解析原式=(x2+xy)-z(x+y)=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z).17.10解析解法一:∵a+b=1,∴a2-b2+2b+9=(a+b)(a-b)+2b+9=a-b+2b+9=a+b+9=1+9=10. 解法二:a2-b2+2b+9=a2-(b2-2b+1)+10=a2-(b-1)2+10=(a+b-1)(a-b+1)+10,∵a+b=1,∴原式=0+10=10.18.8解析∵m2-m-1=0,∴m2-m=1,∴2m3-3m2-m+9=(2m3-2m2)-m2-m+9=2m(m2-m)-m2-m+9=2m-m2-m+9=-m2+m+9=-(m2-m)+9=-1+9=8.素养探究全练19.解析(1)①原式=x2-4x+4-1 =(x-2)2-1=(x-2+1)(x-2-1)=(x-1)(x-3).②原式=(x2+2x)2-2(x2+2x)+1-4 =(x2+2x-1)2-4=(x2+2x-1-2)(x2+2x-1+2)=(x2+2x-3)(x2+2x+1)=(x-1)(x+3)(x+1)2.(2)原式=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2+2x)(x2+2-2x).。
12章整式的乘法与因式分解单元教学设计
第12章乘法公式与因式分解单元教学设计学科名称：数学设计者：张丹丹适用年级：七年级开发时间：2020.1.20教材来源：青岛出版社《数学》七年级下册授课时间：8课时【目标确定的依据】1.相关课程标准的陈述及解读:(1)能推导乘法公式：平方差公式：（a＋b）（a-b）=a²-b²完全平方公式：（a＋b）²=a²＋2ab＋b²（a-b）²=a²-2ab＋b²(2)了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算.(3)能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.※了解分组分解法和十字相乘法分解因式2.教材分析《乘法公式与因式分解》是第11章《整式的乘除》中单项式乘多项式和多项式乘多项式内容的继续和拓展，是研究数量关系和变化规律的数学模型。
乘法公式包括平方差公式和完全平方公式。
乘法公式是多项式乘多项式的特例，今后遇到适合乘法公式条件的多项式乘法算式，可以直接用乘法公式写出乘积，不必再按多项式乘多项式的法则来做因式分解是一种常用的代数恒等变形。
因式分解是单项式乘多项式及乘法公式的逆向变形，它将一个多项式变形为整式（单项式或多项式）与多项式的乘积。
乘法公式和因式分解在分式、根式运算、三角函数的恒等变形中经常用到。
在解一元二次方程、二元二次方程组、一元二次不等式、高次方程和高次不等式时，因式分解是用于降次的常用方法。
由于能将和差方式转化为乘积形式，因式分解在对数运算中也经常用到。
3.学情分析学生在学习乘法公式与因式分解时，往往分不清什么样的结果是整式乘法的结果，什么样的结果是因式分解的结果，因式分解时所用的公式是乘法公式的逆变形，所以应该先先熟练掌握整式乘法的内容，再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练运用，在学习因式分解之前，可先对平方差公式和完全平方公式的应用及逆用做一个专题训练，因为整式乘法中的平方差公式和完全平方公式都是刚刚学习并应用较多的公式。
基础强化青岛版七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解综合练习试卷(含答案详解)
七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列运算正确的是（ ）A ．()222a b a b -=-B ．()235a a =C ．532a a a ÷=D ．325a a a +=2、下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．()()2339x x x +-=-B ．()()2933x x x x x -+=+--C ．()22xy x y xy y x -=-D ．()25454x x x x ++=++3、如图，两个正方形的边长分别为a 、b ，若7a b +=，3ab =，则阴影部分的面积是（ ）A ．40B ．492C ．20D ．234、下列运算，正确的是（ ）A ．2x +3y ＝5xyB ．(x ﹣3)2＝x 2﹣9C ．(xy 2)2＝x 2y 4D ．x 6÷x 3＝x 25、下列计算正确的是（ ）A ．a +a =a 2B ．a 3÷a =a 2C ．（a ﹣1）2=a 2﹣1D ．（2a ）3=6a 36、在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的黏土板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表．用这些简单的平方表，美索不达米亚人这样计算：第一步：（103+95）÷2＝99，第二步（103﹣95）÷2＝4；第三步：查平方表；知99的平方是9801，第四步：查平方表，知4的平方是16，第五步：980116978595103. 设两因数分别为a 和b ，写出蕴含其中道理的整式运算（ ）A ．22()()2a b a b ab +--= B ．222()()2a b a b ab +-+= C ．22()()22a b a b ab +-+= D ．22()()22a b a b ab +--= 7、已知ax 2＋24x ＋b ＝（mx ﹣3）2，则a 、b 、m 的值是（ ）A ．a ＝64，b ＝9，m ＝﹣8B ．a ＝16，b ＝9，m ＝﹣4C ．a ＝﹣16，b ＝﹣9，m ＝﹣8D ．a ＝16，b ＝9，m ＝48、下列各式因式分解正确的是（ ）A ．()2211x x +=+B ．()()311x x x x x -=+-C ．()()21343x x x x ++=++D ．()22121x x x x ++=++9、下列分解因式正确的是（ ）A ．()244x x x x -+=-+B ．()2x xy x x x y ++=+C ．()()22x y x y y x -+=+-D ．()()24422x x x x -+=+-10、把2a 2﹣4a 因式分解的最终结果是（ ）A ．2a （a ﹣2）B ．2（a 2﹣2a ）C ．a （2a ﹣4）D ．（a ﹣2）（a +2）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在实数范围内分解因式2316x -=________．2、因式分解：232x x x --=______．3、若实数,,a b c 满足22212751241616a b c a b b c c ++≤---，则a b c ++=___________．4、分解因式：224abc a b +=_______．5、如图，将两个边长分别为a 和b 的正方形拼在一起，B ，C ，G 三点在同一直线上，连接BD 和BF ，若这两个正方形的边长满足a +b =10，ab =20，则阴影部分的面积为____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图 1 所示的正方形与长方形纸片，可以拼成一个图 2 所示的正方形．请你解决下列问题：(1)利用不同的代数式表示：图 2 中阴影部分的面积 S ，写出你从中获得的等式，并加以证明；(2)已知（2022−m ）（2019−m ）=3505，请用（1）中的结论，求 （2022−m ）2+（2019−m ）2的值．2、如图，图1为边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分面积为S 1，图2中阴影部分面积为S 2，请用含a 、b 的代数式表示：S 1＝ ，S 2＝ （只需表示，不必化简）；(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 ；(3)运用（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014．3、先化简，再求值：（3x ＋2y ）2﹣（3x ＋y ）（3x ﹣y ），其中x ＝13，y ＝﹣1 4、先化简，再求值()()()()x y x y x y x y -++--+．其中2,1x y =-=5、先化简，再求值：2（a +1）（a ﹣1）﹣a （2a ﹣3），其中a =16．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法及整式的加减依次判断即可得．【详解】解：A、()222-=-+，选项计算错误；a b a ab b2B、()236a a=，选项计算错误；C、532÷=，选项计算正确；a a aD、32+不能进行计算，选项计算错误；a a故选：C．【点睛】题目主要考查完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法，整式的加减等，熟练掌握各个运算法则是解题关键．2、C【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D ．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．3、C【解析】【分析】根据阴影部分面积等于2个正方形面积减去2个空白部分的三角形面积，进而根据完全平方公式的变形求解即可【详解】 解：阴影部分面积等于()2221122a b a a b b +--+ 22111222a b ab =+- ()21322a b ab =+- ∵7a b +=，3ab =， ∴阴影部分面积等于213732022⨯-⨯= 故答案为：C【点睛】本题考查了完全平方公式变形求图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键．4、C【解析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【详解】解：A 、23x y +，无法计算，故此选项错误，不符合题意；B 、22(3)69x x x -=-+，故此选项错误，不符合题意；C 、2224()xy x y =，正确，符合题意；D 、633x x x ÷=，故此选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则．5、B【解析】【分析】根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法进行计算即可．【详解】解：A 、a +a =2a ，原计算错误，该选项不符合题意；B 、a 3÷a =a 2，正确，该选项符合题意；C 、（a ﹣1）2=a 2-2a +1，原计算错误，该选项不符合题意；D 、（2a ）3=8a 3，原计算错误，该选项不符合题意；故选：B ．本题考查了合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法，是基础知识要熟练掌握．6、D【解析】【分析】先观察题干实例的运算步骤，发现103,95对应的数即为,,a b 从而可得出结论.【详解】 解：由题意得：22222222()()2244a b a b a ab b a ab b +-++-+-=- 4.4abab故选D【点睛】本题考查的是利用完全平方公式进行运算，掌握“()2222a b a ab b ±=±+”是解本题的关键.7、B【解析】【分析】将()23mx -根据完全平方公式展开，进而根据代数式相等即可求解【详解】解：∵()23mx -2269m x mx =-+ ，ax 2＋24x ＋b ＝（mx ﹣3）2， ∴29,624,b m a m =-==即16,9,4a b m ===-【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．8、B【解析】【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解）及完全平方公式依次进行判断即可得．【详解】解：A 、不能进行因式分解，错误；B 、选项正确，是因式分解；C 、选项是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；D 、()22211x x x ++=+，选项因式分解错误；故选：B ．【点睛】题目主要考查因式分解的定义及方法，深刻理解因式分解的定义是解题关键．9、C【解析】【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式，进而判断即可．【详解】解：A ．244x x x x ，故此选项不符合题意；B ．2(1)x xy x x x y ++=++，故此选项不符合题意；C ．()()22x y x y y x -+=+-，故此选项符合题意；D ．2244(2)x x x -+=-，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，解题的关键是掌握因式分解的提公因式法和公式法．10、A【解析】【分析】2a 2-4a 中两项的公因式是2a ，提取公因式即可【详解】解：2a 2-4a = 2a (a - 2)；故选A ．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．二、填空题1、)44+- 【解析】【分析】将23x 转化为2，16转化为24，进而利用平方差公式进行分解因式．【详解】解：)2222316444x x -=-=，故答案为：)44+-．【点睛】 本题考查利用公式法进行因式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解决本题的关键． 2、2(1)x x --【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式322x x x -+-，()221x x x =--+ ， 2(1)x x =--．故答案为：2(1)x x --．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 3、122-【解析】【分析】 把原式化为222322420,a b b c c 可得22232242=0,a b b c c 再利用非负数的性质求解,,,a b c 从而可得答案.【详解】 解： 22212751241616a b c a b b c c ++≤---，222221212344416160,a a b b b b c c c c222322420,a b b c c 而222322420,a b b c c∴ 22232242=0,a b b c c 2020,20a b b c c解得：121,2a b c1112222a b c 故答案为：122-【点睛】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式的变形求解代数式的值，因式分解的应用，熟练的运用完全平方公式是解本题的关键.4、2ab （c ＋2a ）【解析】【分析】提公因式2ab ，进行因式分解即可．【详解】解：224abc a b +=2ab （c ＋2a ）故答案为：2ab （c ＋2a ）【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．5、20【解析】【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白的面积，列式化简，再把a +b =10，ab =20代入计算即可．【详解】解：∵大小两个正方形边长分别为a 、b ，∴阴影部分的面积S =a 2+b 212-a 212-（a +b ）b 12=a 212+b 212-ab ； ∵a +b =10，ab =20，∴S 12=a 212+b 212-ab 12=（a +b ）232-ab 12=⨯10232-⨯20 =20．故答案为：20．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式及正方形和三角形的面积计算是解题的关键．三、解答题1、 (1)（a +b ）2−2ab =a 2+b 2，证明见解析(2)7019【解析】【分析】（1）根据用两种代数式表示同一阴影面积得出等式，然后利用完全平方公式展开合并同类项即可；（2）利用换元思想设2022m a -=，2019m b -=得出3505ab =，()()202220193a b m m -=---=，利用公式变形求出()2222935053514a b a b ab +=-+=+=即可．(1)解：等式为：()2222a b a b ab +=+-， ∵()22222222S a b ab a ab b ab a b =+-=++-=+，22S a b =+， ∴()2222a b a b ab +=+-；(2)设2022m a -=，2019m b -=，∵（2022−m ）（2019−m ）=3505，∴3505ab =，()()202220193a b m m -=---=， ()22229235057019a b a b ab +=-+=+⨯=， ∴（2022−m ）2+（2019−m ）2的值=7019．【点睛】本题考查完全平方公式的变形公式，代数式，换元思想，利用变形公式求解是解题关键．2、 (1)22a b - ，()()a b a b +-；(2)平方差公式，()()22a b a b a b +-=-；(3)1【解析】【分析】（1）利用面积公式计算即可；（2）由12S S ，即可得到22a b -=()()a b a b +-；（3）将2016×2014利用平方差公式变形为（2015+1）×（2015-1），再计算乘法及加减法．(1)解：221S a b =-，()()2S a b a b =+-，故答案为：22a b - ，()()a b a b +-；(2)解：∵12S S ，∴22a b -=()()a b a b +-，是平方差公式，故答案为：平方差公式，()()22a b a b a b +-=-；(3)解：20152﹣2016×2014=()()220152015120151-+⨯-=()22201520151--=1．【点睛】此题考查了平方差公式的应用，平方差公式与几何图形的结合，正确掌握平方差公式的计算是解题的关键．3、2125xy y +，1【解析】【分析】先运用完全平方公式和平方差公式将前后两个算式化简，再括号合并同类项，再将数值代入算式中．【详解】解：原式22229124(9)x xy y x y =++--222291249x xy y x y =++-+2125xy y =+当x ＝13，y ＝﹣1时，()()221125121+514513xy y +=⨯⨯-⨯-=-+=． 【点睛】本题考查整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，能熟练运用乘法公式是解决本题的关键．4、222x y y --，1【解析】【分析】根据平方差公式化简，再去括号，合并同类项，最后将字母的值代入求解即可．解：原式22x y x y x y =-+---222x y y =--当2,1x y =-=时，原式()2221214121=---⨯=--=【点睛】本题考查了整式的混合运算，化简求值，正确的计算是解题的关键．5、3a -2，-32．【解析】【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简，最后代入求值．【详解】解：2（a +1）（a ﹣1）﹣a （2a ﹣3）=2（a 2-1）-2a 2+3a=2a 2-2-2a 2+3a=3a -2，当a =16时， 原式=3×16-2 =12-2 =-32．本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘多项式的运算法则，平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的结构是解题关键．。
第12章乘法公式与因式分解一因式分解复习课件青岛版七年级数学下册
作业
课本126页 第4题
达标检测
a2(a2 16) 2a2(a 4)(a 4)
（2） 2m2n 4mn 2n
2n(m2 2m 1) 2n(m 1)2
（3）（a 1)2 (a 1)2
[(a 1) (a 1)][( a 1) (a 1)] 2a 2 4a
公因式可以是 单项式，也可 以是多项式.
练习2： 指出下列多项式中的公因式：
系数
(1)4a2b2 6ab3
字母因式 多项式因式
(2) 49a2 21ab2 7a
(3)7(x y)2 14(x y)
(4)4a(a b) 2b(b a)
2.把下列多项式进行因式分解：
（1） 4x2 y 8x 16 xy2 （2）18a2b2 9ab3 3ab
（1）49 x2 36 y2
（7x)2 (6 y)2 （7x 6y)(7x 6y)
（2）9m2 6mn n2
(3m)2 23m n n2 (3m n)2
（3）25a2 (b c)2 （4）9 （ 6 x y) (x y)2
（5a)2 (b c)2
32 23（ x y) (x y)2
整式的乘法
(a b)(a b)
因式分解
a2 b2
因式分解与整式的乘法是
.
练习1： 下列各式从左到右的变形是因式分解吗
1（. m n)(m n) m2 n2 2.a24a 4 a(a 4) 4 3.m2n 8n n(m 8) 4.x2 25 (x 5)(x 5)
知识点2： 提公因式法 ma mb mc m(a b c)
第12章 乘法公式与因式分解
——因式分解
复习目标：
1.理解因式分解的概念，因式分解与整式乘法的关系； 2.能用提公因式法、公式法进行因式分解； 3.理解因式分解的一般步骤.
七年级数学下册121平方差公式教学设计版
平方差公式用庄园主租地的实际问题，王大爷到底是吃亏了没有，引入本节课要研究的内容——平方差公式。
aa+b = －b b主题：数与式——乘法公式与因式分解 课题：平方差公式 预习案班级：______ 小组：______ 姓名：_______ 评价： ______【预习目标】借助几何图形和多项式乘法，推导得出平方差公式，会简单应用。
【学法指导】1.认真阅读课本P 110—P 111，了解平方差公式的推导过程，用红笔勾画关键词；2.阅读例1和例2，判断什么样的式子能用平方差公式计算，然后完成预习案；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，准备课上讨论质疑。
【课前准备】每人准备一张正方形的纸片，借助纸片，了解公式的几何背景。
【情境导航】 一、几何意义。
观察下图，有一个边长为a 的正方形（图1），在其右下角剪去一个边长为b 的小正方形，把①和②拼成图2，求剩下的图形的面积.图2 图1 问题1.图1和图2中阴影部分的面积各是多少？问题2.通过上面的操作，你发现图1和图2中阴影部分的面积有什么关系？问题3.用式子表示出上面图形的关系。
二、代数意义。
问题4.用多项式的乘法法则，计算下面各题。
=-+)2)(2(a a =-+)2)(2(y x y x=-+))((b a b a问题5.观察上面式子的特点，以及最后的结果，你有什么发现？【问题总结】通过前面的探究，试用符号语言和文字语言描述平方差公式。
符号语言：文字语言：【素养初探】判断下列式子能否用平方差公式计算，如果可以，请写出答案；如果不可以，请说明理由。
① )3)(3(a a --+- ②))((x y y x ---③))((y x y x -+- ④)23)(23(y x y x ++-【我的疑惑】请将你在预习过程中遇到的疑问写在下面，以便课上与同学交流和质疑！【情境链接】我们知道222222100710081007)11007(100711007210071100722015-=-+=-+⨯+=+⨯=因此，2015能写成两个整数的平方差。
青岛版七年级数学QD下册精品授课课件 第12章 乘法公式与因式分解 第1课时 完全平方公式
b
a
=
+
+
+
a
b
(a+b)2
a2
ab
ab
b2
和的完全平方公式： (a+b)2= a2+2ab+b2 .
一 完全平方公式
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
(a−b)2 = a2 −ab−b(a−b)= a2−2ab+b2 .
a
差的完全平方公式： (a-b)2= a2-2ab+b2 .
解：
典例精讲
解：
课堂小结
法则
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
完全平 方公式
1.项数、符号、字母及其指数.
注意
2.弄清完全平方公式和平方差公式不同 （从公式结构特点及结果两方面）.
课堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ）
A．a2-4a+4
B．a2-2a+4
C．a2-4
D．a2-4a-4
2.下列计算结果为2ab-a2-b2的是( D )
A．(a-b)2
B．(-a-b)2
C．-(a+b)2
D．-(a-b)2
3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_3_6_a_2_+_6_0_a_b_+_2_5_b_2_； (2) (4x-3y)2=__1_6_x_2-_2_4_x_y_+_9_y_2__ ； (3) (2m-1)2 =___4_m_2_-_4_m_+_1_____； (4)(-2m-1)2 =___4_m_2_+_4_m_+__1____.
用公式法进行因式分解课件青岛版数学七年级下册
12.4 用公式法进行因式分解
12.4 用公式法进行因式分解
练习
1. 把下列各式进行因式分解：
1用公式法进行因式分解 2. 把下列各式进行因式分解：
12.4 用公式法进行因式分解 例3
拓展与延伸
5. 将391写成平均数是20的两个数的乘积. 设这两个数为x、y； 根据题意，得
∴ 这两个数为23和17.
习题 12.4 6. 把下列各式进行因式分解：
习题 12.4
习题 12.4
探索与创新
7. 两个正方形的周长之差为8厘米，面积之差为72平方 厘米，求这两个正方形的边长.
设这两个正方形的边长分别为a，b，则这两个正 方形的周长分别为4a、4b，面积分别为a2，b2.
12.4 用公式法进行因式分解
12.4 用公式法进行因式分解 2. 把下列各式进行因式分解：
＝[5a＋2(b＋c)][5a－2 (b＋c)] ＝(5a＋2b＋2c) (5a－2b－2c)
＝ (x＋y＋3)2.
习题 12.4
习题 12.4
复习与巩固
1. 把下列各式进行因式分解：
习题 12.4
习题 12.4
习题 12.4 2. 把下列各式进行因式分解：
习题 12.4 3. 把下列各式进行因式分解：
习题 12.4
习题 12.4 4. 利用因式分解计算：
＝ (2015＋2013)(2015－2013) ＝4028×2 ＝8056
＝(207－7)2 ＝2002 ＝40000
习题 12.4
12.4 用公式法进行因式分解
但是，2 014由于不能被 4整除，所以不能写成两个整 数的平方差. 如果不信，请你自己试一试.一般地，形如 4n＋2 (n为自然数) 的偶数都不能写成两个整数的平方差. 其道理将来学过“反证法”后，便会明白.
青岛版七下数学第12章因式分解教学设计教学设计
青岛版七下数学第12章因式分解教学设计教学设计一. 教材分析《青岛版七下数学第12章因式分解教学设计》是根据我国新课程标准编写的一本教材。
本章主要内容包括：因式分解的概念、提公因式法、公式法、十字相乘法等。
通过本章的学习，使学生掌握因式分解的方法和技巧，提高他们的数学解题能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已掌握了有理数、整式的乘法等基础知识，但对于因式分解的概念和方法还不够了解。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，循序渐进地引导学生学习，使他们能够理解和掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的概念和方法，能够运用提公因式法、公式法、十字相乘法等进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：提公因式法、公式法、十字相乘法的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂活动。
2.启发式教学法：教师提出问题，引导学生思考、讨论，培养学生的思维能力。
3.实践教学法：让学生通过动手操作、动脑思考，加深对因式分解方法的理解。
4.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示因式分解的方法和例子。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入因式分解的概念，让学生初步了解因式分解的意义。
2.呈现（10分钟）展示因式分解的方法（提公因式法、公式法、十字相乘法），并通过例题讲解各个方法的应用。
3.操练（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固因式分解的方法。
教师巡回指导，解答学生的问题。
青岛版2020七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解自主学习基础达标测试题2(附答案)
正方形修建花坛，其余的地方种植草坪． （1）用代数式表示草坪的面积； （2）先对上述代数式进行因式分解再计算当 a＝15，b＝2.5 时草坪的面积．
27．已知 m n 3， mn 4 .
（1）求 3 m3 n 的值；（2）求 m4 n4 的值.
28．如图，边长为 a，b 的矩形，它的周长为 14，面积为 10，求下列各式的值： （1）a2b+ab2；（2）a2+b2+ab．
2
22．计算：
（1）
22
30
1 4
1
（2） a a2 a3 2a3 2 a9 a3
（3）
x
1
x
2
2x Biblioteka x1 2
（4） 2m nn 2m m n2
23．给出三个多项式： 1 y2 y 1, 1 y2 2 y 1, 1 y2 y 1，请你选择其中两个进行
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形应用，根据题目的特点，正确利用完全平方公式的变形是解
决问题的关键.
13．5 或-3 【解析】 【分析】 这里首末两项是 x 和 2 的平方，那么中间项为加上或减去 x 和 2 的乘积的 2 倍也就是
k 1 x ，由此求得 k 的数值即可．
【详解】
7．已知 a b 3， ab 2 ，则 a b 的值是（ ）
A． 1
B．1
C．
D．以上选项都不对
8．下列运算正确的是（ ）
A． (x y)2 x2 y2
B． (x2 )3 x5
七年级数学下册 乘法公式与因式分解 完全平方公式学案青岛版
12.2 完全平方公式(1)学习目标：1、会推导完全平方公式，并能用几何图形解释公式；2、利用公式进行熟练地计算；3、经历探索完全平方公式的推导过程，发展符号感，体会“特殊—— 一般—— 特殊”的认知规律。
学习过程：认真阅读课本“观察与思考”的内容，完成下列问题：1、一个正方形花坛的边长是a 米，如果它的每条边长都增加b 米，新花坛的面积是多少？如图，原正方形的面积为2a 平方米，新正方形的面积为2()a b +平方米；从图中看出：22222()2a b a ab ab b a ab b +=+++=++；即：22222()2a b a ab ab b a ab b +=+++=++2、用多项式乘法法则计算：22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=++=+++=++； 由此得到公式：222()2a b a ab b +=++ （1）3、用()b -代替代替上式中的b ，得[]222222()()2()2.a b a b a a b b a ab b -=+-=+⋅-+=-+由此得到公式：222()2a b a ab b -=-+ （2）公式（2）可用右图表示：22222()()2.a b a ab ab b a ab b -=---=-+4、上面的两个公式统称完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+这就是说：两数和（差）的＿＿＿等于这两个数的＿＿＿＿＿加上（＿＿＿＿）它们的＿＿＿＿的2倍. 学以致用：1、利用完全平方公式计算：（1）212();23x y + （2）2(25);m n - （3）2(0.50.1).a b -+解：2、利用完全平方公式计算：（1）2212();23x y -（2）2101.三、小结：四、课堂练习：1、利用完全平方公式计算：（1）2(25);a b +（2）2(1.23);m n +（3）2(3);x y -（4）2(42).p q -2、利用完全平方公式计算：（1）21(5);2a b -+（2）232().43x y --3、利用完全平方公式计算：（1）254;（2）2997.五、课后习题1、利用完全平方公式计算：（1）2(33);m + （2）2( 1.32);a b -+（3）2(27);p q -- （4）21().3a b -2、利用完全平方公式计算：（1）291; （2）2198.-B 组：1、(a-b)2=a 2+b 2+ .2、(a+2b)2= .3、如果(x+4)2=x 2+kx+16，那么k= .4、计算：（1）（3m-)2 (2)(x 2-1)2(3) (-a-b)2(4)(s+t)2（5）(x-y 2)2(6)(1.2m-3n)2(7)(-a+5b)2 (8)(- x-y)2414332213221433212.2 完全平方公式(2)一、学习目标：1、能根据算式的结构特征灵活运用公式进行计算；2、进一步体验乘法公式对简化运算是作用.二、学习过程：1、 知识回顾：（1）平方差公式：()()_____a b a b +⋅-=-用语言叙述：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于_________ 。
青岛版七年级下册第12章乘法公式与因式分解 单元检测无答案
第1页/共2页 第12章 单元检测一、 选择题：1、下列各式中||，能用平方差公式计算的是（ ） ③(-0.5m+0.1b)2 (4)4(x -1)(x+1)－(2x+3)2A (x+y)(-x -y)B (2x+3y)(2x -3y)C (-a -b)(a -b)D (m -n)(n -m)2、下列各式中计算正确的是（ ）A (a+b)2=a 2+b 2B (2a -b)2=4a 2-2ab+b 2C (a+2b)2=a 2+4b 2D (a 21+3)2=41a 2+3a+93、化简(a+b)2-(a -b)2的结果是（ ）(5) (m -n -1)(m -n+1) (6) 792 A 0 B -2ab C 2ab D 4ab4、下列多项式中||，属于完全平方公式的有（ ）①x4-18x 2+81 ②x 2-25y 2 ③ x 4-8x 2y 2-16y 4 ④4x 2+20xy+25y 2A ①③B ②④C ②③D ①④5、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A (a+5)(a -5)=a 2-25B x 2+x -1=x(x+1+x 1)2、把下列各式因式分解： C (m 2-n 2-1)=(m+n)(m -n)-1 D 4x 2-12xy+9y 2=(2x -3y)2（1） -4m 2n -16mn+8m 2(2)m(a -3)-n(3-a)6、多项式12m 2-18mn 的公因式是（ ）A mnB m 2nC 6mnD 3mn7、下列各式不能用平方差公式分解的是（ ）A 41a 2b 2-1B 4-0.25m 2C 1+a 2D -a 4+1第2页/共2页 8、分解因式8a 3-8a 2+2a 的结果是（ ） (3) m 2-21m+16 (4) 9x 3-18x 2+9xA 2a(2a -1)2B a(4a -1)2C a(2a -1)2 D2a(2a+1)29、若(-a+b).p=a2-b2||，则p=( )A -a -bB -a+bC a -bD a+b10、把2x 2-18因式分解||，其结果为（ ）A 2(x 2-9)B 2(x -3)2C 2(x+3)(x -3)D 2(x+9)(x -9)二、 填空题：(5)(a+1)2-(a -1)2(6) 50x -20x(m -n)+2x(m -n)2 1、单项式4a 2b 2c 3||，-12ab 2c||，8ab 3的公因式是 ||。
综合解析青岛版七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解专项训练试题(含解析)
七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若a ＝2020×2021+1，b ＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确是（ ）A ．a ＜bB ．a ＝bC ．a ＞bD ．无法判断2、下列分解因式正确的是（ ）A ．()244x x x x -+=-+B ．()2x xy x x x y ++=+C ．()()22x y x y y x -+=+-D ．()()24422x x x x -+=+-3、分解因式2a 2（x －y ）＋2b 2（y －x ）的结果是（ ）A ．（2a 2＋2b 2） （x －y ）B ．（2a 2－2b 2） （x －y ）C ．2（a 2－b 2） （x －y ）D ．2（a －b ）（a ＋b ）（x －y ）4、下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）A ．（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4B ．x 2﹣2x ﹣3＝x （x ﹣2）﹣3C ．x 2﹣4x +4＝（x ﹣2）2D ．x 3﹣x ＝x （x 2﹣1）5、下列运算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．()2236x x -=C ．()222x y x y -=- D ．()6166m m --=-- 6、下列因式分解正确的是（ ）A ．2ab 2﹣4ab ＝2a （b 2﹣2b ）B ．a 2＋b 2＝（a ＋b ）（a ﹣b ）C ．x 2＋2xy ﹣4y 2＝（x ﹣y ）2D ．﹣my 2＋4my ﹣4m ＝﹣m （2﹣y ）27、把长和宽分别为a 和b 的四个相同的小长方形按不同的方式拼成如图1的正方形和如图2的大长方形这两个图形，由两图形中阴影部分面积之间的关系正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a b a ab b +=++ C ．()2222a b a ab b -=-+ D ．()()224a b a b ab +--= 8、下列因式分解错误的是（ ）A ．()222a b a b -=-B ．()()2933x x x -=+-C ．()22442a a a +-=-D ．()()222111x x y x y x y -+-=-+--9、已知关于x 的二次三项式22x bx a ++分解因式的结果是()()123x x +-，则代数式b a 的值为（ ）A ．－3B ．－1C ．－13 D ．1310、下列计算正确的是（ ）A ．x 2+x 2＝x 4B ．（2x 2）3＝6x 6C ．3x 2÷x ＝3xD ．（x ﹣1）2＝x 2﹣1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、因式分解：mx 2﹣mx +m ＝____________．2、若6m n -=-，则222m n mn +-的值是____________．3、化简：11+21x x x = ________．4、若x 2﹣2（k +1）x +4是完全平方式，则k 的值为 _____．5、已知2217a b +=，4ab =，则()2a b +的值是___________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、分解因式：(1)ax 2﹣ay 2+x ﹣y(2)2ax 2﹣12ax +18a ．2、教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式223x x =+-()2214x x =++- ()2212x =+-()()1212x x =+++-()()31x x =+-例如．求代数式2241x x +-的最小值．原式2241x x =+-()222111x x =++--()2213x =+-． 可知当1x =-时，2241x x +-有最小值，最小值是-3．(1)分解因式：223a a --=__________．(2)试说明：x 、y 取任何实数时，多项式22426x y x y +-++的值总为正数．(3)当m ，n 为何值时，多项式22224425m mn n m n -+--+有最小值，并求出这个最小值．3、已知a +b ＝3，ab ＝﹣1，求下列代数式的值：(1)（a +1）（b +1）；(2)a 3b +ab 3．4、分解因式：329x xy -．5、如果一个自然数M 能分解成A ×B ，其中A 和B 都是两位数，且A 与B 的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M 为“十全九美数”，把M 分解成A ×B 的过程称为“全美分解”，例如： ∵2838＝43×66，4＋6＝10，3＋6＝9，∴2838是“十全九美数”；∵391＝23×17，2＋1≠10，∴391不是“十全九美数”．(1)判断2100和168是否是“十全九美数”?并说明理由；(2)若自然数M 是“十全九美数”，“全美分解”为A ×B ，将A 的十位数字与个位数字的差，与B 的十位数字与个位数字的和求和记为()S M ：将A 的十位数字与个位数字的和，与B 的十位数字与个位数字的差求差记为()T M ．当()()S M T M 能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M ．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据完全平方公式的变形，将b 化简，进而与a 比较即可求解【详解】a ＝2020×2021+1，b ＝20202﹣2020×2021+20212＝（2020﹣2021）2+2020×2021＝2020×2021+1，故a ＝b ．故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．2、C【解析】【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式，进而判断即可．【详解】解：A ．244x x x x ，故此选项不符合题意；B ．2(1)x xy x x x y ++=++，故此选项不符合题意；C ．()()22x y x y y x -+=+-，故此选项符合题意；D ．2244(2)x x x -+=-，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，解题的关键是掌握因式分解的提公因式法和公式法．3、D【解析】【分析】根据提公因式法和平方差公式分解因式．【详解】解：2a 2（x －y ）＋2b 2（y －x ）=2a 2（x －y ）-2b 2（x －y ）=（2a 2－2b 2）（x －y ）=2（a 2－b 2）（x －y ）=2（a －b ）（a ＋b ）（x －y ）．故选：D ．【点睛】此题考查了分解因式，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式及十字相乘法）是解题的关键．4、C【解析】【分析】根据因式分解的定义逐项分析即可．【详解】A.（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是乘法运算，故不符合题意；B.x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3的右边不是积的形式，故不符合题意；C.x2﹣4x+4＝（x﹣2）2是因式分解，符合题意；D.x3﹣x＝x（x2﹣1）=x(x+1)(x-1)，原式分解不彻底，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．5、A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据积的乘方运算法则可判断B，根据完全平方公式可判断C，根据去括号法则可判断D．【详解】解：A. 235⋅=，正确，故选项A符合题意；a a aB. ()222369x x x -≠=，不正确，故选项B 不符合题意； C. ()222222x y x xy y x y -=-+≠-，不正确，故选项C 不符合题意； D. ()616666m m m --=-+≠--，不正确，故选项D 不符合题意．故选A ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，去括号法则，掌握同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，去括号法则是解题关键．6、D【解析】【分析】将各式计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A. 2ab 2﹣4ab ＝2ab （b ﹣2），分解不完整，故错误；B ．a 2＋b 2不能分解因式，而（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a2−b2，故错误；C ．x 2＋2xy ﹣4y 2不能分解因式，而（x −y ）2＝x 2−2xy ＋y 2，故错误；D ．﹣my 2＋4my ﹣4m ＝﹣m （2﹣y ）2，故正确．故选：D ．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7、D【解析】ab再利用由图1可得：阴影部分的面积为：22,a b a b由图2可得：阴影部分的面积为：4,阴影部分的面积相等可得答案.【详解】解：由图1可得：阴影部分的面积为：22,a b a bab由图2可得：阴影部分的面积为：4,由阴影部分的面积相等可得：224,a b a b ab故选D【点睛】本题考查的是利用几何图形的面积证明乘法公式，掌握“利用图形面积的不同的计算方法证明乘法公式”是解本题的关键.8、C【解析】【分析】利用提公因式法与公式法，分组分解法进行分解逐一判断即可．【详解】解：A、2a-2b=2（a-b），正确，故该选项不符合题意；B、x2-9=（x+3）（x-3），正确，故该选项不符合题意；C、a2+4a-4≠（a-2）2，原分解错误，故该选项符合题意；D、x2-2x+1-y2=（x-1+y）（x-1-y），正确，故该选项不符合题意；故选：C．本题考查了因式分解-分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项有公因式，必须先提公因式．9、C【解析】【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，可求得a 与b 的值，从而可求得结果的值．【详解】()()22123223323x x x x x x x +-=+--=--则3a =-，1b =- ∴11(3)3b a -=-=- 故选：C【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，负整数指数幂的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是本题的关键．10、C【解析】【分析】利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则，完全平方公式对各项进行运算即可．【详解】解：A 、x 2+x 2=2x 2，故A 不符合题意；B 、（2x 2）3=8x 6，故B 不符合题意；C、3x2÷x=3x，故C符合题意；D、（x-1）2=x2-2x+1，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．二、填空题1、m（x2﹣x+1）【解析】【分析】利用提公因式法提取m进行分解因式即可．【详解】解：2﹣+mx mx m2=-+(1)m x x故答案为：m（x2﹣x+1）【点睛】本题考查用提公因式法分解因式，熟练掌握是解题的关键．2、18【解析】【分析】先因式分解，再整体代入计算即可．【详解】222222()(6)1822222m n m m n m n n n m ++---====- 故答案为：18【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据完全平方公式进行因式分解再整体代入是解题的关键． 3、221x x ++【解析】【分析】先利用平方差公式，单项式乘以多项式进行整式的乘法运算，再合并同类项即可.【详解】解：11+21x x x2122x x221x x =++故答案为：221x x ++【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行计算，单项式乘以多项式，掌握“利用平方差公式进行简便运算”是解本题的关键.4、-3或1##1或-3【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征即可确定出k 的值．得出2(1)212k -+=±⨯⨯，即可解答．【详解】解：22(1)4x k x -++是完全平方式，2(1)212k ∴-+=±⨯⨯，∴12k +=±，解得：3k =-或1，故答案为-3或1．【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键．5、25【解析】【分析】根据完全平方公式解答即可．【详解】解：∵a 2+b 2＝17，ab ＝4，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝17+2×4＝25，故（a +b ）2的值为25，故答案为25．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．三、解答题1、 (1)()()1ax ay x y ++-(2)22(3)a x -【解析】【分析】（1）先对前两项提取公因式a ，再利用平方差公式计算，最后再提取公因式()x y -即可；（2）提取公因式2a ，再利用完全平方式计算即可．(1)22ax ay x y -+-22()a x y x y =-+-()()()a x y x y x y =++--[]()1()a x y x y =++-=()()1ax ay x y ++-(2)221218ax ax a -+262(9)a x x -=+232()a x -=．【点睛】本题考查分解因式，掌握综合提公因式和公式法分解因式是解答本题的关键．2、 (1)（a -3）（a +1）；(2)见解析(3)m =6，n =4，最小值为5．【解析】【分析】（1）把a²-2a-3化为a²-2a+1-4的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；（2）首先把x²+y²-4x+2y+6配方写成（x-2）2+（y+1）2+1，根据平方的非负性即可求解；（3）用拆项的方法首先把多项式化为m2-2m（n+2）+（n+2）2+n2-8n+16+5的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值．(1)解：a²-2a-3=a²-2a+1-4=（a-1）2-4=（a-1-2）（a-1+2）=（a-3）（a+1）；(2)解：多项式x²+y²-4x+2y+6的值总为正数，理由：x²+y²-4x+2y+6=x²-4x+4+y²+2y+1+1=（x-2）2+（y+1）2+1，∵（x-2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x-2）2+（y+1）2+1≥1，∴多项式x²+y²-4x+2y+6的值总为正数；(3)解：m²-2mn+2n²-4m-4n+25=m2-2m（n+2）+（n+2）2+n2-8n+16+5=（m-n-2）2+（n-4）2+5，当m-n-2=0，n-4=0时代数式有最小值，解得m =6，n =4，最小值为5．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方、完全平方式，熟练掌握这三个知识点的综合应用，用拆项法把多项式化为完全平方的形式是解题关键．3、 (1)3(2)-11【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则把原式展开，再把a +b ＝3，ab ＝﹣1代入求值即可；（2）先提出公因式ab ，再把所得式子利用完全平方公式变形后，将a +b 与ab 的值代入计算即可求出值．(1)解：（a +1）（b +1）＝ab +a +b +1＝ab +（a +b ）+1，∵a +b ＝3，ab ＝﹣1，∴原式＝﹣1+3+1＝3；(2)解：a 3b +ab 3＝ab （a 2+b 2）＝ab [（a +b ）2﹣2ab ]，∵a +b ＝3，ab ＝﹣1∴原式＝﹣1×[32﹣2×（﹣1）]＝﹣1×（9+2）＝﹣11．【点睛】本题主要考查了整式的乘法，多项式的因式分解及完全平方公式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式法则，多项式的因式分解方法和完全平方公式是解题的关键．4、(3)(3)x x y x y +-【解析】【分析】先提取公因式x ，再根据平方差公式因式分解即可．【详解】解：原式=22(9)x x y -=(3)(3)x x y x y +-【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式和公式法因式分解是解题的关键．5、 (1)2100是“十全九美数” ， 168不是“十全九美数”，理由见解析；(2)满足“十全九美数”条件的M 有：1564或1914或1164．【解析】【分析】（1）根据“十全九美数”的定义直接判定即可；（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n ，得出S （M ）=19-2n ，T （M ）=2m -1，当()()S M T M 能被5整除时，设值为k ，再分类进行讨论即可求解．(1)解：2100是“十全九美数” ， 168不是“十全九美数”，理由如下：∵2100=25×84，2＋8＝10，5＋4＝9，∴2100是“十全九美数”；∵168＝14×12，1＋1≠10，∴168不是“十全九美数”；(2)解：设A 的十位数字为m ，个位数字为n ，则A =10m +n ，∵M 是“十全九美数”， M=A ×B ，∴B 的十位数字为10-m ，个位数字为9-n ，则B =10(10-m )+9-n =109-10m -n ，由题知：S （M ）=m -n +10-m +9-n =19-2n ，T （M ）=m +n -()109m n ⎡⎤---⎣⎦=2m -1，根据题意令()()192521S M n k T M m -==-(k 为整数)， 由题意知：1≤m ≤9，0≤n ≤9，且都为整数，∴1≤19-2n ≤19，1≤2m -1≤17，当k =1时，19221n m --=5， ∴1925211n m -=⎧⎨-=⎩或19210212n m -=⎧⎨-=⎩或19215213n m -=⎧⎨-=⎩， 解得17m n =⎧⎨=⎩或3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)或22m n =⎧⎨=⎩； 当k =2时，19221n m --=10， ∴19210211n m -=⎧⎨-=⎩，解得192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩(舍去)， 当k =3时，19221n m --=15， ∴19215211n m -=⎧⎨-=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩， ∴A =10m +n =17，B =109-10m -n =92；或A=10m+n=22，B=109-10m-n=87；或A=10m+n=12，B=109-10m-n=97；∵M=A×B=17×92=1564或M=A×B=22×87=1914或M=A×B=12×97=1164，综上，满足“十全九美数”条件的M有：1564或1914或1164．【点睛】本题是新定义题，主要考查了列代数式，以及因式分解的应用，一元一次方程的应用，关键是准确理解“十全九美数”含义．。
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12.4.1 用公式法进行因式分解（1）
学习目标：1、通过乘法公式的逆向观察，能用公式法分解因式；
2、会根据公式的特点，对某些能直接运用公式的多项式进行分解因式。
重点：公式法因式分解
难点：根据公式的特点灵活选用公式进行因式分解
学习过程：
一、预习导航：
1、填空：（1）()222=b a （2）()22251=x
2、把下列各式因式分解：
（1）62x z x y - （2）()323m
a a -+-（）
3、完成下列填空：
（a ＋b ）(a －b)＝________ ； （a ＋b ）2
＝_________ ，
（a －b ）2＝_________ __ 。
4、自学教材，相信你能很快写出下面的答案！
（1）、22a b -＝（ ）（ ）
（2）、222a ab b ++=（ ）2 （3）、222a ab b -+=（ ）2
二、典型例题：
例1：把下列各式进行因式分解
（1）4x 2-25 （2）16a 2-9b 2
概括：1、能用平方差公式分解因式的多项式有什么特点？
例2：把下列各式进行因式分解
(1) 25x 2+20x+4 (2) 9m 2-6mn+n
2 （3）x 2+x+22a b -
概括：2、能用完全平方公式分解因式的多项式有什么特点？
三、基础练习：
1、完成练习。
2、把下列各式进行因式分解
（1)、41x - （2）、()()2
21x y x y +-++
温馨提示： 1、因式分解一定要彻底，即分解到每个因式再也不能分解为止；
2、可用整式乘法检验因式分解的正确性。
挑战自我: 多项式4x 2-x 加上怎样的单项式 ， 就成为一个完全平方式？多项式0.25x 2+1呢？
四、达标测试：
1、在22x y - ；22x y +；22x y -+；22x y --中能用平方差公式分解因式的有（ ）个。
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
2、下列各式不是完全平方式的是（ ）
A 、244x x ++
B 、222x xy y -+
C 、2221x y xy ++
D 、22
12
m mn n -+
3、把下列各式进行因式分解
（1）()21a b +- （2） 24914x x ++
（3）22425x y - （4）2mn-m 2-n 2
五、布置作业：
12.4.2 用公式法进行因式分解（2）
学习目标：
1、综合运用提公因式法和公式法进行因式分解。
2、体验因式分解的一般步骤。
学习重点：综合运用提公因式法和公式法进行因式分解.
学习难点： 在具体的问题中，正确的用提公式法或公式法分解因式。
学习过程：
一、导入新课
1、同学们学过的因式分解的方法有 、 。
2、用公式法因式分解时，两个公式是：
、 。
二、探究新知
任务一：
例1、把下列各式进行因式分解
（1）42232x x -+ （2）22363ax axy ay -+
针对练习：1、把下列格式进行因式分解：
（1）x-xy
2 （2）9x 3-18x 2
+9x
（3）-4x 2+ 25y 2 （4）4a-4a 2-1
2、把下列各式进行因式分解
（1）25a 2-4(b+c)2 （2）(x+y)2+6(x+y)+9
概括：把一个多项式分解因式，一般步骤是：当多项式的各项有公因式时，先 ，然后再考虑 。
任务二：
例2、把下列各式进行因式分解
（1）22(2)(2)a b a b --+ （2）25020()2()n n x y n x y --+-
三 、巩固提高
把下列各式进行因式分解
（1）5335x y x y -+ （2）228168ax axy ay -+-
（3）224()16()a b a b --+ （4）
四、达标测试
把下列各式进行因式分解
（1）1644x y -
（2）(p-q)2-4(p-q)+4
（3）
（4）222(1)4a a +-
五、布置作业。