小学奥数教师版-7-9-1 概率
小学奥数7-9-1 概率.专项练习及答案解析
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容． 1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算．一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()mP A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件 如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．三、相互独立事件事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即：()()()P A B P AP B ⋅=⋅．模块一、概率的意义【例 1】气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________． ①本市明天将有80%的地区降水． ②本市明天将有80%的时间降水． ③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比较大．【考点】概率的意义 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，决赛【解析】 降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨． 【答案】④教学目标例题精讲知识要点7-9-1.概率【例 2】约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。
小学奥数- 概率
【巩固】在某次的考试中，甲、乙两人优秀（互不影响）的概率为 0.5，0.4，考试结束后，只有乙优秀的概 率为多少？
【例 24】某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为 40% ，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部 射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少?
【例 12】一个班有女生 25 人,男生 27 人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?
【例 13】从 6 名学生中选 4 人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？
【例 14】一块电子手表，显示时与分，使用12 小时计时制，例如中午12 点和半夜12 点都显示为12 : 00 ．如 果在一天（24 小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______．
7-9-1.概率
教学目标
“统计与概性和趣味性，其内容及延伸 贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．
1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题． 2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题． 3.理解和运用概率性质进行概率的运算．
知识要点
一、概率的古典定义
如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果； ⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．
这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件 A ，它的概率定义为： P A m ， n 表示该试验中
n 所有可能出现的基本结果的总数目， m 表示事件 A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于 古典概率．其中的 m 和 n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．
小学奥数 7-9-1 概率.教师版
,7-9-1.概率教学目标“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象 兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算．知识要点一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件 A ，它的概率定义为： P (A ) = m ， n 表示该试验中 n 所有可能出现的基本结果的总数目， m 表示事件 A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于 古典概率．其中的 m 和 n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件如果事件 A 和 B 为对立事件（互斥事件），那么 A 或 B 中之一发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B发生的概率之和，为 1，即： P (A ) + P (B ) = 1．三、相互独立事件事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．如果事件 A 和 B 为独立事件，那么 A 和 B 都发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率之 积，即： P (A ⋅ B ) = P (A )⋅ P (B ) ．例题精讲模块一、概率的意义【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是 80%”．对此信息，下列说法中正确的是________． ①本市明天将有 80%的地区降水． ②本市明天将有 80%的时间降水．③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比较大．【考点】概率的意义 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯，决赛1【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间． 80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．【答案】④【例 2】 约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续 两次掷得的结果相同，则记 1 分，否则记 0 分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有 1 次硬币的正面向上，则记 1 分，否则记 0 分．谁先记满 10 分谁就赢． 赢的可能性较大（请填汤 姆或约翰）．【考点】概率的意义 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 7 题【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。
小学奥数：概率.专项练习及答案解析
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算．一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()m P A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．三、相互独立事件事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即：()()()P A B P A P B ⋅=⋅．模块一、概率的意义【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．教学目标例题精讲知识要点7-9-1.概率①本市明天将有80%的地区降水．②本市明天将有80%的时间降水．③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．【考点】概率的意义【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，决赛【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．【答案】④【例 2】约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。
小学奥数7-9-1 概率.专项练习
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算．一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()m P A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．三、相互独立事件事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即：()()()P A B P A PB ⋅=⋅．模块一、概率的意义【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．教学目标例题精讲 知识要点7-9-1.概率①本市明天将有80%的地区降水．②本市明天将有80%的时间降水．③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．【考点】概率的意义【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，决赛【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．【答案】④【例 2】约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。
小学奥数模块教程概率(ABC级)
一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()mP A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件 如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．三、相互独立事件事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即：()()()P A B P A P B ⋅=⋅．【例 1】 约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢． 赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．【巩固】 一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔例题精讲知识框架概率放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．【例 2】一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.【巩固】有两个骰子A和B,骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6掷出的两枚骰子朝上的数字之和不是12的可能性是＿＿＿。
小学奥数教程之概率原理
小学奥数教程之概率原理什么是概率原理？概率原理是数学中一个非常重要的概念，用来描述事件发生的可能性。
在小学奥数中，研究概率原理可以帮助孩子们更好地理解和预测事件发生的概率，提高他们的数学思维能力。
事件和概率在概率原理中，我们将待研究的事情称为“事件”，而事件发生的可能性称为“概率”。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示肯定发生。
概率的计算方法对于简单事件，即只有一种可能发生的事件，概率可以通过计算“有利结果的数量”除以“总结果的数量”来得到。
例如，抛一枚硬币，想知道正面朝上的概率，可以将正面朝上的情况数除以总情况数。
对于复杂事件，即有多种可能发生的事件，概率的计算稍微复杂一些。
可以使用排列组合和计数的方法来计算概率。
例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，想知道抽到红心的概率，可以将红心牌的数量除以总牌数。
事件间的关系在概率原理中，我们还可以研究多个事件之间的关系。
常见的事件关系有“与”、“或”和“非”。
- “与”表示两个事件同时发生的情况，概率可以通过两个事件发生概率相乘得到。
- “或”表示两个事件发生其中一个的情况，概率可以通过两个事件发生概率相加再减去两个事件同时发生的概率得到。
- “非”表示某个事件不发生的情况，概率可以通过1减去该事件发生概率得到。
实际应用概率原理在日常生活中有着广泛的应用。
我们可以通过研究概率原理来更好地了解和预测各种事件的发生概率。
例如，在购买彩票时，我们可以计算中奖的概率，从而可以有理性地决定是否购买。
在游戏中，我们可以利用概率原理来制定策略，提高获胜的可能性。
在实验和调查中，我们可以利用概率原理来分析数据，得出相应的结论。
概率原理是数学中的重要概念，掌握概率原理可以帮助孩子们提高数学思维能力，培养逻辑思维和分析问题的能力，对他们的研究和生活都有着积极的影响。
小结概率原理是数学中的重要概念，通过学习可以帮助孩子们更好地理解和预测事件发生的可能性。
可以通过计算简单事件和复杂事件的概率，以及研究事件之间的关系来应用概率原理。
7-9-1 概率.教师版
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容． 1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题． 2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算．一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()mP A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件 如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．三、相互独立事件事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即：()()()P A B P A P B ⋅=⋅．模块一、概率的意义【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．①本市明天将有80%的地区降水． ②本市明天将有80%的时间降水． ③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比较大． 【考点】概率的意义 【难度】1星 【题型】填空教学目标例题精讲知识要点7-9-1.概率【关键词】希望杯，决赛【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．【答案】④【例 2】约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。
小学奥数盈亏问题题库教师版
盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈亏)两次分得之差人数或单位数(盈盈)两次分得之差人数或单位数(亏亏)两次分得之差人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意 1.条件转换 2.关系互换板块一、直接计算型盈亏问题【例1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两次搬砖，每人相差541（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：729（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员919（人）．共有砖：49743（块）．【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？【解析】“多8元”与“多4元”两者相差844（元），每个人要多出871（元），因此就知道，共有414（人），蛋糕价钱是84824（元）．【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是927（个），两次分配之差是11101（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：717（只），老猴子有710979（个）桃子.【巩固】有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？【解析】由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案分配结果相差：701060（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：752（本），相差60本的学生有：60230（人）．练习本有：30570220（本）（或30710220）．【例2】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多只．【详解】当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．也就是说在大猴分5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下201010个，所以大猴比小猴多10只．【巩固】学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？【解析】“差9本”和“差2本”两者相差927（本），每个人要多发1091（本），因此就知道，共有老师717（人），书有710961（本）．【巩固】幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？【解析】由题意知：两次的分配结果相差：241212（块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：963（块），多少人相差12块呢？1234（人），糖果数是：641212（块）（或942412）．【巩固】王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？【解析】本题购物的两个方案，第一个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多30元，从买7把变成买5把，少买了752（把），而钱的差额为：11030140（元），即140元可以买2把小提琴，可见小提琴的单价是每把70元，王老师一共带了707110380（元）.【巩固】工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？【解析】本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差10020120（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费202505000（元）．这样比实际多得50004400600（元）．就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶．根据以上分析，可得损坏了202504400100205（）（）（个）．【例3】某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?【解析】由已知条件每间5人少14个床位每间7人多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住(75)2人，一共要多出(144)18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数．解：(414)(75)=9(间)591459(人)，或79459(人)【巩固】学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？【解析】如果30间都是小宿舍，那么只能住430120（人），而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每（）（间）．（这是一个鸡兔同笼，放在这里间多住642（人），所以大宿舍有168120224做对比）【巩固】智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【解析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）.【巩固】秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？【解析】题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多出48个到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜了．吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：6×28－8＝160（个）或 4×28＋48＝160（个）．板块二、条件关系转换型盈亏问题【例4】猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？【解析】猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是11101（条），由盈亏问题公式得，有小猫：818（只），猫妈妈有810888（条）鱼．【巩固】学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？【解析】第一种分配方案亏9个小玩具，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9个，两次分配之差是：431（个），由盈亏问题公式得，参与分玩具的同学有：919（人），有小玩具9327（个）．【巩固】学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？【解析】第一种分配方案亏66个球，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是66个，两次分配之差是422（个），由盈亏问题公式得，朝阳小学有：66233（个）班，买来足球33266（个）.【巩固】一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？【解析】第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是541（粒），由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：919（人），有糖果9545（粒）．【巩固】实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？【解析】没辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为：（65+15）÷5=80÷5=16（辆）.学生人数为：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.【例5】甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用 2 张信纸，乙每封信用 3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【解析】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)张信纸，两次分配的差为(3－2)张信纸，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(个)，有信纸2×50＋20＝120(张)．【例6】幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。
小学奥数7-9-1 概率.专项练习(精品)
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算．一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()m P A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．三、相互独立事件事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即：()()()P A B P A P B⋅=⋅．模块一、概率的意义【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．①本市明天将有80%的地区降水． ②本市明天将有80%的时间降水．教学目标例题精讲 知识要点7-9-1.概率③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．【考点】概率的意义【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，决赛【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．【答案】④【例 2】约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。
小学奥数 概率问题 知识点+例题+练习 (分类全面)
【巩固】工厂质量检测部门对某一批次的 件产品进行抽样检测，如果这 件产品中有两件产品是次品，那么质检人员随机抽取 件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？
【例 5】一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由 、 、 、 、 五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______．
【巩固】在标准英文字典中，由2个不同字母组成的单词一共有55个.如果从26个字母中任取2个不同的排列起来，那么恰好能拍成一个单词的概率是多少？
1、冬冬与阿奇做游戏：由冬冬抛出3枚硬币，如果抛出的结果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝上，冬冬就获胜；否则阿奇获胜。请问：这个游戏公平吗？
2、分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少?
3、一只普通的骰子有6个面，分别写有1、2、3、4、5、6。掷出这个骰子，它的任何一面朝上的概率都是六分之一。假设你将某一个骰子连续投掷了9次，每次的结果都是1点朝上。那么第十次投掷后，朝上的面上的点数恰好是奇数的概率是多少？
1、
2、
3、
【例9】在某个池塘中随机捕捞 条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞 尾，发现其中有 条鱼是被做过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？
小学数学4年级培优奥数讲义 第24讲 还原问题(教师版)
第24讲还原问题教学目标①学习了解加、减、乘、除运算的变化规律；②利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题；③通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。
知识梳理一、还原问题已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果,要求原数,这类问题叫做还原问题,还原问题又叫逆运算问题。
解决这类问题通常运用倒推法。
二、解题策略遇到比较复杂的还原问题,可以借助画图和列表来解决这些问题。
典例分析例1、小刚的奶奶今年年龄减去7后,缩小9倍,再加上2之后,扩大10倍,恰好是100岁。
小刚的奶奶今年多少岁？【解析】从最后一个条件恰好是100岁向前推算,扩大10倍后是100岁,没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁,没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁,没有减去7前应是72＋7=79岁。
所以,小刚的奶奶今年是79岁。
例2、一个数的3倍加上6,再减去9,最后乘上2,结果得60。
这个数是多少？【解析】运用逆推的思想：60除以2得30,加上9得39,减去6得33,除以3得11.例3、某商场出售洗衣机,上午售出总数的一半多10台,下午售出剩下的一半多20台,还剩95台。
这个商场原来有洗衣机多少台？【解析】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推,从图中可以看出,剩下的95台和下午多卖的20台合起来,即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半,那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。
而230台和10台合起来,即230＋10=240台又正好是总数的一半。
那么,240×2=480台就是原有洗衣机的台数。
例4、粮库内有一批大米,第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半多5吨,还剩下4吨。
粮库原有大米多少吨？【解析】第一次运出后剩下总数的一半为4+5=9第一次运出后剩下总数为9x2=18粮库原有大米吨数的一半为18+3=21粮库原有大米吨数21x2=42例5、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。
五年级奥数余数性质(一)教师版
1. 五年级奥数余数性质（一）教师版2. 理解弃9法,并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数。
例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16＝39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23－16＝7除以5的余数等于2,两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时,补上除数再减。
例如：23,14除以5的余数分别是3和4,23－14＝9除以5的余数等于4,两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数的积,或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同,那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为1知识点拨 教学目标5-5-3.余数性质（三）1898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。
【机构秘籍】小学奥数题库《计算》公式类塔数公式-0星题(含详解)全国通用版
计算-公式类计算-塔数公式-0星题课程目标知识提要塔数公式•公式112=1211112=1232111112=1234321⋯⋯11⋯12⏟n个1(n⩽9)=123⋯n⋯321精选例题塔数公式1. 计算：12345678987654321×9=．【答案】111111110888888889【分析】原式=(111111111)2×9=999999999×111111111=111111111000000000−111111111=1111111108888888892. 计算：1234567654321×9=【答案】11111108888889【分析】原式=(1111111)2×9=9999999×1111111=11111110000000−1111111=111111088888893. 计算：123454321×9=【答案】1111088889【分析】原式=(11111)2×9=99999×11111=1111100000−11111=11110888894. 计算：12321×9=【答案】110889【分析】原式=(111)2×9=999×111=111000−111=1108895. 111111112=【答案】123456787654321【分析】根据塔数公式：2=123⋯n⋯32111⋯1⏟n个1(n⩽9)所以111111112=123456787654321.6. 1112=【答案】12321【分析】根据塔数公式：2=123⋯n⋯32111⋯1⏟n个1(n⩽9)所以1112=12321.7. 11112=【答案】1234321【分析】根据塔数公式：2=123⋯n⋯32111⋯1⏟n个1(n⩽9)所以11112=1234321.8. 1111112=【答案】12345654321【分析】根据塔数公式：2=123⋯n⋯32111⋯1⏟n个1(n⩽9)所以1111112=12345654321.9. 11111112=【答案】1234567654321【分析】根据塔数公式：2=123⋯n⋯32111⋯1⏟n个1(n⩽9)所以11111112=1234567654321.10. 111112=【答案】123454321【分析】根据塔数公式：2=123⋯n⋯32111⋯1⏟n个1(n⩽9)所以111112=123454321.11. 1111111112=【答案】123465678987654321【分析】根据塔数公式：2=123⋯n⋯32111⋯1⏟n个1(n⩽9)所以1111111112=12345678987654321.12. 12345679×999999999【答案】12345678987654321【分析】粗看起来，本题应该是利用了999999999=1000000000−1这个知识点．于是有：12345679×999999999=12345679×(1000000000−1)=12345679000000000−12345679=12345678987654321注意12345679到这个数字的特殊性质，12345679×9=111111111，可以得到12345679×999999999=12345679×9×111111111=111111111×111111111=1234567898765432113. 我们定义完全平方数A2=A×A，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方？【答案】7777777【分析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推（找规律）的方法来求解：。
湖北小学奥数考试题及答案
湖北小学奥数考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 一个数的三倍加上4等于这个数的五倍减去6，这个数是多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B解析：设这个数为x，则根据题意可得方程3x + 4 = 5x - 6，解得x = 5。
2. 一个两位数，十位数字比个位数字大3，且这个两位数比由这两个数字交换位置后组成的两位数大18，这个两位数是多少？A. 41B. 52C. 63D. 74答案：C解析：设十位数字为x，则个位数字为x-3，根据题意可得方程10x + (x-3) = 10(x-3) + x + 18，解得x = 6，所以这个两位数是63。
3. 一个数除以3余1，除以4余2，除以5余3，这个数是多少？A. 57B. 58C. 59D. 60答案：C解析：根据题意，这个数加2后能被3、4、5整除，即这个数是3、4、5的最小公倍数减去2，3、4、5的最小公倍数是60，所以这个数是58。
4. 一个数的5倍与3的和等于这个数的7倍减去9，这个数是多少？A. 6B. 7C. 8D. 9答案：A解析：设这个数为x，则根据题意可得方程5x + 3 = 7x - 9，解得x = 6。
二、填空题（每题5分，共20分）5. 一个数的4倍与3的差等于这个数的6倍与5的和，这个数是______。
答案：2解析：设这个数为x，则根据题意可得方程4x - 3 = 6x + 5，解得x = 2。
6. 一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，且这个两位数比由这两个数字交换位置后组成的两位数大27，这个两位数是______。
答案：48解析：设十位数字为x，则个位数字为2x，根据题意可得方程10x + 2x = 10(2x) + x + 27，解得x = 4，所以这个两位数是48。
7. 一个数除以4余3，除以5余4，除以6余5，这个数是______。
答案：59解析：根据题意，这个数加1后能被4、5、6整除，即这个数是4、5、6的最小公倍数减去1，4、5、6的最小公倍数是60，所以这个数是59。
小学奥数7-4-1简单的排列问题.教师版
⼩学奥数7-4-1简单的排列问题.教师版1.使学⽣正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运⽤，培养学⽣的抽象能⼒和逻辑思维能⼒；通过本讲的学习，对排列的⼀些计数问题进⾏归纳总结，并掌握⼀些排列技巧，如捆绑法等．⼀、排列问题在实际⽣活中经常会遇到这样的问题，就是要把⼀些事物排在⼀起，构成⼀列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，⽽且与各事物所在的先后顺序有关．⼀般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照⼀定的顺序排成⼀列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做⼀个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取⼀个元素排在第⼀位，有n 种⽅法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取⼀个元素排在第⼆位，有(1n -)种⽅法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取⼀个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)⽅法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ?-?-??-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这⾥，m n ≤，且等号右边从n 开始，后⾯每个因数⽐前⼀个因数⼩1，共有m 个因数相乘．⼆、排列数⼀般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-（）（）．表⽰从n 个不同元素中取n 个元素排成⼀列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式⼦右边是从n 开始，后⾯每⼀个因数⽐前⼀个因数⼩1，⼀直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-（）（） ．模块⼀、排列之计算【例 1】计算：⑴ 25P ；⑵ 4377P P -．【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】由排列数公式121m P n n n n m =---+（）（）（）知：教学⽬标例题精讲知识要点7-4-1.简单的排列问题⑴ 255420P =?=⑵ 477654840P ==,37765210P =??=，所以4377840210630P P -=-=．【答案】⑴20 ⑵630【巩固】计算：⑴ 23P ；⑵ 32610P P -．【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】⑴ 23326P =?= ⑵ 326106541091209030P P -=??-?=-=．【答案】⑴6 ⑵30【巩固】计算：⑴321414P P -；⑵53633P P -．【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】⑴32141414131214132002P P -=??-?=；⑵536333(65432)3212154P P -=-??=．【答案】⑴2002 ⑵2154模块⼆、排列之排队问题【例 2】有4个同学⼀起去郊游，照相时，必须有⼀名同学给其他3⼈拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照相时3⼈站成⼀排)【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】由于4⼈中必须有⼀个⼈拍照，所以，每张照⽚只能有3⼈，可以看成有3个位置由这3⼈来站．由于要选⼀⼈拍照，也就是要从四个⼈中选3⼈照相，所以，问题就转化成从四个⼈中选3⼈，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：3443224P =??=(种)不同的拍照情况．也可以把照相的⼈看成⼀个位置，那么共可能有：44432124P ==(种)不同的拍照情况．【答案】24【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成⼀排，问：共有多少种不同的排法？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】 4个⼈到照相馆照相，那么4个⼈要分坐在四个不同的位置上．所以这是⼀个从4个元素中选4个，排成⼀列的问题．这时4n =，4m =．由排列数公式知，共有44432124P ==(种)不同的排法．【答案】24【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4⼈，后排5⼈，共有多少种站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】如果问题是9名同学站成⼀排照相，则是9个元素的全排列的问题，有99P 种不同站法．⽽问题中，9个⼈要站成两排，这时可以这么想，把9个⼈排成⼀排后，左边4个⼈站在前排，右边5个⼈站在后排，所以实质上，还是9个⼈站9个位置的全排列问题．⽅法⼀：由全排列公式，共有99987654321362880P ==(种)不同的排法．⽅法⼆：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个． 4595987654321362880p p ?==【答案】362880【巩固】 5个⼈并排站成⼀排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个⼈去站其余四个位置的问题，是⼀个全排列问题，且4n=．由全排列公式，共有4【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥⼀起照“全家福”，5⼈并排站成⼀排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个⼈去站其余四个位置的问题，是⼀个全排列问题，且n=4．由全排列公式，共有44432124P==(种)不同的站法．【答案】24【例3】5个同学排成⼀⾏照相，其中甲在⼄右侧的排法共有_______种？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学⽽思杯，4年级，第8题【解析】5个⼈全排列有5!120=种，其中甲在⼄右侧应该正好占⼀半，也就是60种【答案】60种【例4】⼀列往返于北京和上海⽅向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】2141413182P=?=(种)．【答案】182【例5】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、⽣活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分⼯⽅式？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】55120P=(种)．【答案】120【例6】有五⾯颜⾊不同的⼩旗，任意取出三⾯排成⼀⾏表⽰⼀种信号，问：共可以表⽰多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】这⾥五⾯不同颜⾊的⼩旗就是五个不同的元素，三⾯⼩旗表⽰⼀种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗⼦的颜⾊有关，⽽且与不同旗⼦所在的位置有关，所以是排列问题，且其中5n=，3m=．由排列数公式知，共可组成3【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两⾯上、下挂在旗杆上都可以表⽰⼀种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】23326P=?=．【答案】6【巩固】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利⽤不同颜⾊的旗⼦发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三⾯不同颜⾊的旗⼦，按⼀定顺序同时升起表⽰⼀定的信号，问这样总共可以表⽰出多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】⽅法⼀：这⾥三⾯不同颜⾊的旗⼦就是三个不同的元素，红、黄、绿三⾯旗⼦按⼀定顺序的⼀个排由排列数公式，共可以组成333216P =??=(种)不同的信号．⽅法⼆：⾸先，先确定最⾼位置的旗⼦，在红、黄、绿这三⾯旗⼦中任取⼀个，有3种⽅法；其次，确定中间位置的旗⼦，当最⾼位置确定之后，中间位置的旗⼦只能从余下的两⾯旗中去取，有2种⽅法．剩下那⾯旗⼦，放在最低位置．根据乘法原理，⽤红、黄、绿这三⾯旗⼦同时升起表⽰出所有信号种数是：3216??=(种)．【补充说明】这个问题也可以⽤乘法原理来做，⼀般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以⽤排列数公式做，⽤排列数公式解决问题时，可避免⼀步步地分析考虑，使问题简化．【答案】6模块三、排列之数字问题【例 7】⽤1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】这是⼀个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知8n =，4m =，根据排列数公式，⼀共可以组成4887651680P ==(个)不同的四位数．【答案】1680【巩固】由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】36120P =．【答案】120【例 8】⽤0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】（法1）本题中要注意的是0不能为⾸位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择⼀个，有4种⽅法；⼗位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进⾏排列，有24P 种⽅法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：24448P ?=(个)．（法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进⾏排列，再减去其中不合要求的，即⾸位是0的．从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ，其中⾸位是0的三位数有24P 个．三位数的个数是：32545434348P P -=??-?=(个)．本题不是简单的全排列，有⼀些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【答案】48【例 9】⽤1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n =，2m =，根据排列数公式，⼀共可以组成255420P =?=(个)符合题意的三位数．【答案】20【巩固】⽤1、2、3、4、5、6六张数字卡⽚，每次取三张卡⽚组成三位数，⼀共可以组成多少个不同的偶数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选⼀张，有3种选法；⼗位和百位上的数可以从剩下的5张中选⼆张，有255420P =?=(种)选法．由乘法原理，⼀共可以组成32060?=(个)不同的偶数．．【答案】60【例10】由0，2，5，6，7，8组成⽆重复数字的数，四位数有多少个？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】⽅法⼀：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为466543360P==，由于0不能在千位上，⽽以0为千位数的四位数有3554360P=??=，它们的差就是由0，2，5，6，7，8组成⽆重复数字的四位数的个数，即为：36060300-=个．⽅法⼆：完成这件事——组成⼀个四位数，可分为4个步骤进⾏，第⼀步：确定千位数；第⼆步：确定百位数；第三步：确定⼗位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成⼀个四位数”这件事也就完成了，从⽽这个四位数也完全确定了，思维过程如下：根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5543300=(个)．【答案】300【例11】⽤1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】按位数来分类考虑：⑴⼀位数只有1个3；⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每⼀组可以组成22212P=?=(个)不同的两位数，共可组成248=(个)不同的两位数；⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每⼀组可以组成3 33216P=??=(个)不同的三位数，共可组成6424=(个)不同的三位数；⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有44432124P==(个)不同的四位数；⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5554321120P==(个)不同的五位数．由加法原理，⼀共有182424120177++++=(个)能被3整除的数，即3的倍数．【答案】177【例12】⽤1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个⽐20000⼤且百位数字不是3的⽆重复数字的五位数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以分两类来看：⑴把3排在最⾼位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有44432124P ==(种)放法，对应24个不同的五位数；⑵把2，4，5放在最⾼位上，有3种选择，百位上有除已确定的最⾼位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P =种选择．由乘法原理，可以组成33654??=(个)不同的五位数．由加法原理，可以组成245478+=(个)不同的五位数．【答案】78【巩固】⽤0到9⼗个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从⼩到⼤的顺序排列，则5687是第⼏个数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】从⾼位到低位逐层分类：⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，⽽百、⼗、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、⼗、个位可有39987504P =??= (种)排列⽅式．由乘法原理，有45042016?=(个)．⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，⼗、个位可以从剩下的⼋个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即288756P =?=，由乘法原理，有1556280??=(个)．⑶千位上排5，百位上排6，⼗位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有116742=(个)．⑷千位上排5，百位上排6，⼗位上排8时，⽐5687⼩的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．综上所述，⽐5687⼩的四位数有20162804252343+++=(个)，故5687是第2344个四位数．【答案】2344【例 13】⽤数字l ～8各⼀个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数．共有___种组成⽅法．【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】填空【关键词】⾛美杯，六年级，初赛，第7题【解析】 l ～8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题⽬条件可以推导，符合条件的排列，⼀定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余数的安排上共有2种⽅法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，⼀共有3！×3！×2！=144种⽅法.【答案】144种【例 14】由数字0、2、8（既可全⽤也可不全⽤）组成的⾮零⾃然数，按照从⼩到⼤排列．2008排在个．【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】⽐2008⼩的4位数有2000和2002，⽐2008⼩的3位数有23318??=（种），⽐2008⼩的2位数有236?=（种），⽐2008⼩的1位数有2（种），所以2008排在第21862129++++=（个）．【答案】29【例 15】千位数字与⼗位数字之差为2（⼤减⼩)，且不含重复数字的四位数有多少个? 【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】千位数字⼤于⼗位数字，千位数字的取值范围为29:，对应的⼗位数字取07:，每确定⼀个千位数字，⼗位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就⾏了，因此总共有288P ?个这样的四位数．⑵千位数字⼩于⼗位数字，千位数字取17:，⼗位数字取39:，共有287P ?个这样的四位数．所以总共有228887840P P ?+?=个这样的四位数．【答案】840模块四、排列之策略问题【例16】某管理员忘记了⾃⼰⼩保险柜的密码数字，只记得是由四个⾮0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜⾄少要试⼏次？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】四个⾮0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种．第⼀种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的⼀个，其余位置放1，共有4种选择；第⼆种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312=(种)选择同样的⽅法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后⼀种，与第⼀种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，⼀共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜⾄少要试56次．【答案】56【例17】幼⼉园⾥的6名⼩朋友去坐3把不同的椅⼦，有多少种坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】在这个问题中，只要把3把椅⼦看成是3个位置，⽽6名⼩朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．由排列数公式，共有：36654120P=??=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】幼⼉园⾥3名⼩朋友去坐6把不同的椅⼦(每⼈只能坐⼀把)，有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】与例5不同，这次是椅⼦多⽽⼈少，可以考虑把6把椅⼦看成是6个元素，⽽把3名⼩朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅⼦中选出3把，排在3名⼩朋友⾯前的排列问题．由排列公式，共有：36654120P=??=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】10个⼈⾛进只有6辆不同颜⾊碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐⼀个⼈，那么共有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置，⽽10个⼈作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取6个，排在6个不同位置的排列问题．共有6101098765151200P==(种)不同的坐法．【答案】151200【例18】⼀个篮球队有五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，E不能做中锋，⽽其余4个⼈可以分配到五个位置的任何⼀个上，问⼀共有多少种不同的站位⽅法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】⽅法⼀：此题先确定做中锋的⼈选，除E以外的四个⼈任意⼀个都可以，则有4种选择，确定下来以后，其余4个⼈对应4个位置，有44432124P==(种)排列．由乘法原理，42496=，故⼀共有96种不同的站位⽅法．⽅法⼆：五个⼈分配到五个位置⼀共有5554321120P==(种)排列⽅式，E能做中锋⼀共有4 4432124P==(种)排列⽅式，则E不能做中锋⼀共有54541202496P P-=-=种不同的站位⽅法．【答案】96【例19】⼩明有10块⼤⽩兔奶糖,从今天起,每天⾄少吃⼀块.那么他⼀共有多少种不同的吃法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将10块⼤⽩兔奶糖从左⾄右排成⼀列,如果在其中9个间隙中的某个位置插⼊“⽊棍”,则将lO 块糖分成了两部分．我们记从左⾄右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表⽰第⼀天吃了3粒,第⼆天吃了剩下的7粒：○○○○ | ○○○| ○○○表⽰第⼀天吃了4粒,第⼆天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每⼀种插⼊⽅法对应⼀种吃法,⽽9个间隙,每个间隙可以插⼈也可以不插⼊,且相互独⽴，故共有29=512种不同的插⼊⽅法,即512种不同的吃法．【答案】512。
小学奥数7-9-1 概率.专项练习
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算．一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()m P A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．三、相互独立事件事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即：()()()P A B P A PB ⋅=⋅．模块一、概率的意义【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．教学目标例题精讲 知识要点7-9-1.概率①本市明天将有80%的地区降水．②本市明天将有80%的时间降水．③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．【考点】概率的意义【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，决赛【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．【答案】④【例 2】约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。
六年级奥数和倍问题(三)教师版
1. 六年级奥数和倍问题〈三〉教师版2. 掌握寻找和倍的方法解决问题．知识点说明：和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系,求这两个数各是多少的问题． 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题,画出线段图,使数量关系一目了然,从而找出解题规律,正确迅速地列式解答。
和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍,要求两个数,一般是把较小数看作1倍数,大数就是几倍数,这样就可知总和相当于小数的几倍了,可求出小数,再求大数. 和倍问题的数量关系式是：和÷〈倍数+1〉=小数小数×倍数=大数 或 和一小数=大数如果要求两个数的差,要先求1份数：l 份数×〈倍数－1〉=两数差.解决和倍问题,关键是学会画线段图,这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。
【例 1】 某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖,每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍,每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍．如果评出一、二、三等奖各2人,那么每个一等奖的奖金是308元．如果评出1个一等奖,2个二等奖,3个三等奖,那么一等奖的奖金是多少元?【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 我们把每个三等奖奖金看作1份,那么每个二等奖奖金是2份,每个一等奖奖金则是4份．当一、二、三等奖各评2人时,2个一等奖的奖金之和是(3082)⨯元,2个二等奖的奖金之和等于1个一等奖的奖金308元,2个三等奖的奖金等于1个二等奖奖金(3082)÷元．所以奖金总额是：308230830821078⨯++÷=元．当评1个一等奖,2个二等奖,3个三等奖时,1个一等奖奖金看做4份,2个二等奖奖金224⨯=〈份〉,3个三等奖奖金的份数是133⨯=〈份〉,总份数就是：44311++=〈份〉．这样,可以求出1份数为10781198÷=元,一等奖奖金为：984392⨯=〈元〉．【答案】392元【例 2】 有5堆苹果,较小的3堆平均有18个苹果,较大的2堆,苹果数之差为5个；又较大例题精讲知识点拨 教学目标6-1-5.和倍问题的3堆平均有苹果26个,较小的2堆苹果之差为7个；最大堆与最小堆平均有22个苹果,问：各堆各有多少个苹果？【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 方法二：作图表示题目各个量之间的关系能让复杂的关系看起来简洁明了且不易混乱,用下图表示它们的关系：最大堆与最小堆平均22个,那么最大堆与最小堆一共有22244⨯=〈个〉；较大的2堆,苹果数之差为5个,得知次大堆比最大堆少5个苹果；较小的2堆苹果之差为7个,说明次小堆比最小堆多7个苹果,因此,得知次小堆和次大堆之和为：445746-+=〈个〉,这样最大堆、最小堆、次大堆、次小堆四堆苹果数量之和是：444690+=〈个〉,较大的3堆苹果之和：26378⨯=〈个〉,较小的3堆苹果之和：18354⨯=〈个〉,较大的3堆苹果和较小的3堆苹果总和等于最大堆、次大堆、最小堆、次小堆以及2个中间堆的数量之和．所以,中间堆的数量是：785490221（）+-÷=〈个〉,最大堆与次大堆的和是：782157-=〈个〉,最大堆有苹果：575231（）+÷=〈个〉,次大堆有：573126-=〈个〉,同理最小堆有苹果：5421（- 7213）-÷=〈个〉,次小堆有苹果：13720+=〈个〉．方法一：最大堆与最小堆共22244⨯=个苹果．较大的2堆与较小的2堆共4427590⨯+-=个苹果．所以中间的一堆有：(18326390)221⨯+⨯-÷=个苹果； 较大的2堆有：2632157⨯-=个苹果；最大的一堆有：(575)231+÷=个苹果；次大的一堆有：573126-=个苹果；较小的2堆有：1832133⨯-=个苹果；次小的一堆有：(337)220+÷=个苹果；最小的一堆有：20713-=个苹果．【答案】最小的有13个,次小的有20个,中间的有21个,次大的有26,最大的有31【例 3】 食堂买来5只羊,每次取出两只合称一次重量,得到10种不同重量〈单位：千克〉：47,50,51,52,53,54,55,57,58,59．问：这五只羊各重多少千克？【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 可以设定羊的重量从轻到重分别为A ,B ,C ,D ,E ．则47+=A B ,59+=D E ．同时不难整体分析得到()475051525354555758594134++++=+++++++++÷=A B C D E 千克．则134475928=--=C 千克．不难有50+=A C ,58+=E C ．则22=A 千克,30=E 千克,25=B 千克,29=D 千克．【答案】这五只羊重为：22,25,28,29,30【例 4】 某小学五年级和六年级参加创新杯数学邀请赛共有16人,其中：五年级的学生比六年级的学生多；六年级的男生比五年级的男生多；五年级的男生比五年级的女生多；六年级的女生至少有1人．那么六年级的男生有 人．【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2008年,湖北省,第六届,创新杯【解析】 因“五年级的学生比六年级的学生多”,故五年级学生至少有9人,而六年级学生至多有7人；因“五年级男生比五年级的女生多”,所以五年级男生至少有5人；因“六年级男生比五年级男生多”,所以六年级男生至少有6人,而六年级男生不能多于6人,否则再加上六年级的女生至少有1人,则六年级的学生人数就会多于7人,这不可能．因此,六年级的男生恰好有有6人．【关键词】6人【例 5】某校师生共为地震灾区捐款462000元,经统计发现,他们各自所捐的钱数,共有10种不同档次．最低档次共有10人,而每上升一个档次,捐款人数就减少1人；且从第二档次开始,以后各档次的捐款钱数,分别为最低档次的2倍、3倍、4倍……10倍,那么捐款最多的人捐款___ ____元．【考点】和倍问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯,四年级,初试,9题【解析】本题是一道和倍问题,最高档次是1个人,恰好是最低档次10人合捐的10倍,则把最低档次10人看作"1"份,则共10×1+9×2+8×3+7×4+5×6+……++2×9+1×10=220份,462000÷220=2100元,则最高档次即捐款最多的人捐款为2100×10=21000元【答案】21000元【例 6】〈〉、、、、A B C D E五人坐在一起聊天．小明想知道这五个人的年龄和．可五人都没有直接回答．E说：“、、、B C EA B C D四个人的年龄和101岁”．D说：“、、三个人的年龄和105岁”．C说：“、、、A B D E四个人的年龄和115岁”．B说：“、、A C D三个人的年龄和66岁”．请A D E三个人的年龄和80岁”．A说：“、、问：五人的年龄和是岁。
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7-9-1.概率教学目标“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算．知识要点一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：()mP An=，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m和n需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件如果事件A和B为对立事件（互斥事件），那么A或B中之一发生的概率等于事件A发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B+=．三、相互独立事件事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．如果事件A和B为独立事件，那么A和B都发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即：()()()P A B P A P B⋅=⋅．例题精讲模块一、概率的意义【例1】气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．①本市明天将有80%的地区降水．②本市明天将有80%的时间降水．③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．【考点】概率的意义【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，决赛【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．【答案】④【例2】约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。
约翰扔的话，两种情况记1分，两种情况记0分；汤姆扔的话三种情况记1分，一种情况记0分。
所以汤姆赢得的可能性大。
【答案】汤姆【例3】在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞200尾，发现其中有25【解析】条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？【考点】概率的意义【难度】2星【题型】解答200尾鱼中有25条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125÷=，所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800÷=尾．【答案】800【例4】一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人扔100【解析】次，______得分高的可能性比较大．【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．【答案】小亮得分高的可能性较大【例5】一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12【解析】时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.【考点】概率的意义【难度】4星【题型】填空掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）．当总点数是8时，再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大．当总点数在9至12之间时，再掷一次，总点数是13的可能性不比总点数是14，15，16，17的可能性小．例如，总点数是11时，再掷一次，出现05的可能性相同，所以总点数是1116的可能性相同，即总数是13的可能性不比总数点数分别是14，15，16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性最大．【答案】总点数是13的可能性最大．【例6】从小红家门口的车站到学校，有1路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆．小红到车站后，只要看见1路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后3分钟就来9路车，而9路车过去以后7分钟才来1【解析】路车．小红乘坐______路车的可能性较大．【考点】概率的意义【难度】4星【题型】填空首先某一时刻开来1路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：分钟12345678910111213141516171819车号1999111111199911111显然由上表可知每10分钟乘坐1路车的几率均为710，乘坐9路车的几率均为310，因此小红乘坐1路车的可能性较大．【答案】1路车的可能性较大模块二、计数求概率【例7】如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______．【解析】【考点】计数求概率【难度】3星【题型】填空每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为116、14、38、14、116．【答案】左至右落到底部的概率依次为116、14、38、14、116．【例8】一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2、3、5、7、9【解析】五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______．【考点】计数求概率【难度】3星【题型】填空警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是2、3、5、7、9中的任何一个，有5种可能，第二位数字有4种可能，……，第五位数字有1种可能，所以一共有54321120⨯⨯⨯⨯=种可能，则输入正确车牌号的可能性是1120．【答案】1120【解析】【例9】分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少?【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有6636⨯=．将点数为6的情况全部枚举出来有：()1,5()2,4()3,3()4,2()5,1点数之积为6的情况为：()()()()1,62,33,26,1两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是536；点数之积为6的概率为41369=．【答案】（1）536，（2）19【例10】甲、乙两个学生各从09 这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的差不超过2的概率，⑵两个数字的差不超过6的概率．【解析】【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答⑴两个数相同（差为0）的情况有10种，两个数差为1有2918⨯=种，两个数的差为2的情况有2816⨯=种，所以两个数的差不超过2的概率有10181611101025++=⨯．⑵两个数的差为7的情况有23⨯种．两个数的差为8的情况有224⨯=种．两个数的差为9的情况有2种．所以两个数字的差超过6的概率有6423101025++=⨯.两个数字的差不超过6的概率有32212525-=.【答案】（1）1125，（2）2225【例11】工厂质量检测部门对某一批次的10件产品进行抽样检测，如果这10件产品中有两件产品是次品，那么质检人员随机抽取2【解析】件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答从10件产品中选择2件一共有21045C =种情况.所以这两件产品恰好都是次品的概率为145．两件产品中有一件次品的情况有112816C C ⨯=种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为1645.两件产品中都不是次品的概率有2828C =种情况，所以两件产品都不是次品的概率为2845.【答案】（1）145，（2）1645，（3）2845【解析】【例12】一个班有女生25人,男生27人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答从25名女生中任意抽出两个人有25243002⨯=种不同的方法．从全体学生中任意抽出两个人有525113262⨯=种不同的方法．计算概率：300501326221=．【答案】50221【解析】【例13】从6名学生中选4人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答法一：从6名学生中选4人的不同组合有6543154321⨯⨯⨯=⨯⨯⨯种．其中，4人中包括甲的不同组合相当于在5名学生中选3人所以一共有54310321⨯⨯=⨯⨯种．所以甲被选择上的概率为102153=．法二：显然这6个人入选的概率是均等的．即每个人作为一号选手入选的概率为16，作为二号入选的概率为16，作为三号入选的概率为16，作为四号入选的概率为16，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是互斥事件，所以他被入选的概率为1111266663+++=．【答案】23【例14】一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点和半夜12点都显示为12:00．如【解析】果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______．【考点】计数求概率【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，1试，第8题一天当中，手表上显示的时刻一共有1260720⨯=种．其中冒号之前不出现1的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种，冒号之后不出现1的情况有()()6110145-⨯-=种，所以不出现1的情况有458360⨯=种．所以至少看到一个数字“1”的情况有720360360-=种，所以至少看到一个数字“1”的概率为36017202=种．【答案】12【例15】从立方体的八个顶点中选3【解析】个顶点，你能算出：⑴它们能构成多少个三角形？⑵这些三角形中有多少个直角三角形？⑶随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答从8个顶点中任取3个顶点都能构成三角形，所以应该有()87632156⨯⨯÷⨯⨯=个．如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有8个不是直角三角形．所以直角三角形共有56848-=个．构成直角三角形的可能性有486567=．【答案】（1）56，（2）48，（3）67【例16】一个标准的五角星（如图）由10个点连接而成，从这10个点随机选取3个点，则这三个点在同一条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？如果选取4个点，则这四个点恰好构成平行四边形的概率为多少？【解析】【考点】计数求概率【难度】4星【题型】解答10个点中任意取3个的情况为1098120321⨯⨯=⨯⨯种，其中涉及到5条直线，每条直线上各有4个点，其中任意3点都共线，所以取这3点不能够成三角形，这样的概率是34511206C ⨯=,所以3点构成三角形的概率为15166-=．10个点中取4个点的情形为410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种，10个点中平行四边形有10个，所以构成平行四边形的概率为10121021=．【答案】（1）16，（2）56，（3）121【例17】如图9个点分布成边长为2厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为1厘米），在这9个点中任取3个点，则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为12平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为1平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为32平方厘米的概率为多少？构成面积为2平方厘米的三角形的概率为多少？【解析】【考点】计数求概率【难度】4星【题型】解答从9个点中任取3个点一共有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯种情况．三个点共线一共有3328++=种情况．所以三个点能够成三角形的概率为81918421-=．9个点中能构成面积为12的三角形一共有444432⨯+⨯=种情况．所以三个点能够成面积为12平方厘米的三角形的概率为3288421=．9个点中能够成面积为1平方厘米的三角形的情况有46832⨯+=种情况．所以三个点能够成面积为1平方厘米的三角形的概率为3288421=．9个点中能够成面积为32平方厘米的三角形的情况有4种情况．所以三个点能够成面积为32平方厘米的三角形的概率为418421=．9个点中能够成面积为2平方厘米的三角形的情况有8种情况．所以三个点能够成面积为2平方厘米的三角形的概率为828421=．【答案】（1）1921，（2）821，（3）821，（4）121，（6）221【解析】【例18】甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中选择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少？【考点】计数求概率【难度】4星【题型】解答对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有3种可能，所以四次传球的总路线有4381=种可能，每一种之间都是互斥的等概率事件.而恰好传回到甲的情况，以第一步为→甲乙为例有如下7种情况：⎧→→⎧⎪⎪→→→⎨⎪⎪⎪→→⎩⎪⎪→⎨→→⎧⎪→⎨⎪→→⎩⎪⎪→→⎧→⎪⎨→→⎪⎩⎩乙甲甲丙甲丁甲甲乙乙甲丙丁甲乙甲丁丙甲所以第4次传回甲的概率为3778127⨯=．【答案】727模块三、对立事件与相互独立事件【例19】一张圆桌旁有四个座位，A 、B 、C 、D 四人随机坐到四个座位上，求A 与B 不相邻而坐的概率．【解析】【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答四人入座的不同情况有432124⨯⨯⨯=种．A 、B 相邻的不同情况，首先固定A 的座位，有4种，安排B 的座位有2种，安排C 、D 的座位有2种，一共有42216⨯⨯=种，所以A 、B 相邻而座的概率为216243÷=，那么A 、B 不相邻而座的概率为21133-=．【答案】13【例20】某小学六年级有6个班，每个班各有40名学生，现要在六年级的6个班中随机抽取2个班，参加电视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，将抽取4名幸运观众，那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为多少？【解析】【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答小宝所在班级被抽中参加娱乐活动的概率为152651153C C ==，如果小宝参加了娱乐活动，那么小宝成为幸运观众的概率为4140220=⨯，所以小宝成为幸运观众的概率为11132060⨯=.【答案】160【解析】【例21】从装有3个白球，2个黑球的口袋中任意摸出两球，全是白球的概率．【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答法一：5个球任意取出两个有25541021C ⨯==⨯种情况，互相之间都是互斥事件，且出现概率均等，而两个球都是白球有2332321C ⨯==⨯种情况，全是白球的概率为310．法二：将摸出两个球视作两次行为，摸出第一个球是白球的概率为35，再摸出一个白球的概率为311512-=-，所以两次摸出两个白球的概率为3135210⨯=．（建议讲完独立事件再讲这一方法）【答案】310【例22】A 、B 、C 、D 、E 、F 【解析】六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答A 抽中的概率为16，没抽到的概率为56，如果A 没抽中，那么B 有15的概率抽中，如果A 抽中，那么B 抽中的概率为0，所以B 抽中的概率为511656⨯=.同理，C 抽中的概率为54116546⨯⨯=，D 抽中的概率为5431165436⨯⨯⨯=，E 抽中的概率为543211654326⨯⨯⨯⨯=，F 抽中的概率为5432111654326⨯⨯⨯⨯⨯=.由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.【答案】六个人抽中的概率相同为16【巩固】如果例题中每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概【解析】率为多少？【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答抽中的概率依次为：16、5166⨯、511666⨯⨯、51116666⨯⨯⨯、5111166666⨯⨯⨯⨯、511111666666⨯⨯⨯⨯⨯，在这种情况下先抽者，抽中的概率大．【答案】抽中的概率依次为：16、5166⨯、511666⨯⨯、51116666⨯⨯⨯、5111166666⨯⨯⨯⨯、511111666666⨯⨯⨯⨯⨯，【解析】在这种情况下先抽者，抽中的概率大．【例23】在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为0.5，0.4，0.2，考试结束后，最容易出现几个人优秀？【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答注意他们的优秀率是互不影响的．三人都优秀的概率是0.50.40.20.04⨯⨯=，只有甲乙两人优秀的概率为()0.50.410.20.16⨯⨯-=，（或0.50.40.040.16⨯-=）．只有甲丙二人优秀的概率()0.510.40.20.06⨯-⨯=，只有乙丙二人优秀的概率()10.50.40.20.04-⨯⨯=，所以有两人优秀的概率为0.160.060.040.26++=，甲一人优秀的概率()()0.510.410.20.24⨯-⨯-=，乙一人优秀的概率()()10.50.410.20.16-⨯⨯-=，丙一人优秀的概率()()10.510.40.20.06-⨯-⨯=，所以只有一人优秀的概率为0.240.160.060.46++=全都不优秀的概率为()()()10.510.410.20.24---=，最容易出现只有一人优秀的情况．【答案】1【解析】个人优秀【巩固】在某次的考试中，甲、乙两人优秀（互不影响）的概率为0.5，0.4，考试结束后，只有乙优秀的概率为多少？【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答只有乙优秀的概率为()0.410.50.2⨯-=．【答案】0.2【例24】某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为40%【解析】，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少?【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答⑴全部射中靶心的概率为0.40.40.40.064⨯⨯=．⑵第一箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=．第二箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=．第三箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=．有一箭射中的概率为0.1440.1440.1440.432++=.⑶第一箭射空，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=．第二箭射空，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=．第三箭射空，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=．有两箭射空的概率为0.960.960.960.288++=.【答案】（1）0.064，（2）0.432，（3）0.288【例25】设每门高射炮击中敌机的概率为0.6,今欲以99%的把握击中敌机,则至少应配备几门高射炮同时射击？【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3星【题型】解答【解析】【解析】如果只配一门高射炮，那么未击中的概率为0.4，配备两门高射炮那么未击中的概率为0.40.40.16⨯=，如果配备三门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.064⨯⨯=，如果配备四门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.40.0256⨯⨯⨯=，如果配备五门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.40.40.01024⨯⨯⨯⨯=，如果配备六门高射炮，那么未击中的概率为60.40.004096=．所以至少配备6门高射炮，同时射击．【答案】6【例26】某地天气变化的概率是：如果今天晴天，那么明天晴天的概率是34．如果今天下雨，那么明天晴天的概率是13【解析】．今天是星期三，天气温暖晴好．小明一家想在星期六去泡温泉，那么星期六晴天的概率是多少？【考点】对立事件与相互独立事件【难度】4星【题型】解答根据题意，每天的天气应该只有晴、雨两种可能，不需要考虑阴天等情况，否则是把问题复杂化，而且这道题也没法做了．如果今天晴天，那么明天晴天的概率是3/4．如果今天下雨，那么明天晴天的概率是1/3．也就是说：晴——晴概率为34；晴——雨概率为14；雨——晴概率为13；雨——雨概率为23；可以画一个树状图把星期六是晴天的各种情况都列出来：星期六晴晴晴晴星期五晴雨雨晴星期四雨晴晴星期三然后再分别计算四种情况的概率：3332744464⨯⨯=；311144316⨯⨯=；113143416⨯⨯=；121143318⨯⨯=；所以星期六晴天的概率是2711134764161618576+++=【答案】347576。