专题04 三角函数的图象和性质-2017年高考数学文母题题源系列新课标1专版 含解析 精品
高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析
高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.函数的最小正周期为．【答案】π【解析】因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为【考点】三角函数的周期2.已知函数，下面结论错误的是（）A．函数的最小正周期为2B．函数在区间［0，］上是增函数C．函数的图象关于直线＝0对称D．函数是奇函数【答案】D.【解析】A：最小正周期，∴A正确；B：当时，，∴B正确；C：∵，∴C正确；D：∵，∴是偶函数，∴D错误.【考点】三角函数的图象和性质.3.已知函数f(x)＝4sinxcos(x－)－1(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当x∈[－π，]时，求函数f(x)的取值范围．【答案】(1)π；(2)[－2，1]【解析】(1)先化简函数表达式，利用T＝求周期；(2)根据已知条件，先确定出整体变量(2x－)的范围，然后根据正弦函数的性质求出f(x)的取值范围．试题解析：(1)∵函数f(x)＝4sinxcos(x－)－1＝4sinx(cosxcos＋sinxsin)－1＝2sinxcosx＋2sin2x－1＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，∴T＝，∴函数f(x)的最小正周期π；(2)∵x∈[－，]，∴2x∈[－，]，∴2x－∈[－π，]，∴f(x)∈[－2，1]．【考点】两角和与差的三角函数，正弦型函数的性质，最小正周期，值域4.函数的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由周期公式，又,所以函数的周期，故选B.【考点】三角函数的最小正周期.5.设函数f(x)＝3sin(x＋)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．【答案】2【解析】f(x)＝3sin(x＋)的最小正周期T＝2π×＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2．6.已知函数(1)求的值；（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）2 ；（2）.【解析】本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式、三角函数值域等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用倍角公式和两角和的正弦公式化简表达式，使之化简成的形式，将代入解析式，用诱导公式化简得到数值；第二问，利用第一问化简的表达式，将代入，先得到角的范围，再利用数形结合得到函数的值域.（1） .2分4分6分（2）， 8分， 10分，即的值域是 12分【考点】倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式、三角函数值域.7.江西高考设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】由于f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2sin，则|f(x)|＝2≤2，要使|f(x)|≤a恒成立，则a≥2.8.已知函数的部分图象如图所示，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：，又，，所以.【考点】三角函数图像与性质9.已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的图象在轴右侧的第一个对称轴为，所以，关于对称的直线为，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为的点平移到，所以，故应选A.10.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值。
超实用高考数学重难点专题复习：专题四 三角函数 第一讲 三角函数的图像及性质
,又因为 f ( x) 2 tan 3x 1
6
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的图象是由 f ( x) 2 tan 3 x 的图象向上平移1个单
6
位得到的，所以对称中心可以为 ,1 .故选D.
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考点3：三角函数 y A sin( x ) 的图像及性质
6
12
6
且为单调递减时候零点，∴
5π π
π 2kπ, k Z
12 6
24k
12
, k Z ，由图象知 T 2π 2 5π ，∴
，又∵
(
n
)
12
5
5
0 ，∴ 2
∴ 2
π
∴ f ( x) 2 sin 2 x ，∵函数 f x 的图象可由 y A sin x
[解析] 由 1 tan( x ) 0 ,得
4
2
4
4
4
解得 k
x k , k Z ,故所求函数的定义域为
4
2
k
,
k
,k Z
4
2
,故选C.
考点2：三角函数的性质
1.三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性
[典型例题]
π
1.函数 y 2sin 2 x 是( )
应用
2.根据图象求解析式或参数
（三）核心知识整合
考点1：三角函数的定义域、值域、最值
1.三角函数的图像
三角函数的图像与性质-2017年高考数学(文)备考学易黄金易错点无答案
专题06 三角函数的图像与性质2017年高考数学(文）备考学易黄金易错点1．为了得到函数y＝sin错误!的图象，只需把函数y ＝sin2x的图象上所有的点( )A．向左平行移动π3个单位长度B．向右平行移动错误!个单位长度C．向左平行移动错误!个单位长度D．向右平行移动π6个单位长度2．若将函数y＝2sin2x的图象向左平移错误!个单位长度,则平移后图象的对称轴为（）A．x＝错误!－错误!(k∈Z) B．x＝错误!＋错误!(k∈Z)3．已知函数f(x)＝sin（ωx＋φ）错误!，x＝－错误!为f （x)的零点，x＝错误!为y＝f（x）图象的对称轴，且f(x）在错误!上单调，则ω的最大值为（)A．11B．9C．7D．54．已知函数f（x）＝sin错误!(x∈R，ω>0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2。
为了得到函数g(x）＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( ）A．向左平移错误!个单位长度B．向右平移错误!个单位长度C．向左平移错误!个单位长度D．向右平移π5个单位长度5．如图，函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)（其中A>0，ω>0,|φ｜≤错误!)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR ＝错误!,M为QR的中点，PM＝2错误!，则A的值为（）A.错误!错误!B.错误!错误!C．8 D．166．义在区间0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cos x 的图象的交点个数是________．7．已知函数f（x)＝2a sinωx·cosωx＋23cos2ωx－错误!（a>0，ω>0）的最大值为2，x1，x2是集合M＝｛x∈R|f （x）＝0｝中的任意两个元素，且|x1－x2｜的最小值为6。
（1）求函数f(x）的解析式及其图象的对称轴方程；（2）将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g （x ）的图象，当x ∈（－1,2］时，求函数h （x ）＝f (x ）·g (x ）的值域．易错起源1、 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1、（1）点P 从（1，0）出发,沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为（ ）A ． (－错误!，错误!）B ．（－错误!，－错误!）C ．(－错误!，－错误!）D ．（－错误!,错误!）（2）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．【变式探究】（1）已知点P 错误!落在角θ的终边上，且θ∈0，2π）,则θ的值为（ ）A.π4B 。
03三角函数的图象与性质-2017年高考数学(理)母题题源系列(新课标1专版)含解析
母题三三角函数的图象与性质【母题原题1】【2017新课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin （2x+2π),则下面结论正确的是3A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,个单位长度，得到曲线C2再把得到的曲线向右平移π6B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，个单位长度，得到曲线C2再把得到的曲线向左平移π12倍，纵坐标不变，C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12再把得到的曲线向右平移π个单位长度，得到曲线C26倍，纵坐标不变，D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12再把得到的曲线向左平移π个单位长度，得到曲线C212【答案】D【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图像变换时,提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x 而言.【母题原题2】【2016新课标1，理12】已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的 零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为（A)11 （B)9 （C ）7 （D ）5【答案】B【考点】三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查，题目新颖，是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-。
【母题原题3】【2015新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ,所以()cos()4f x x ππ=+,令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈,解得124k -＜x ＜324k +,k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 【考点】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数cos()y A x ωϕ=+的图像与性质，先利用五点作图法列出关于ωϕ，方程，求出ωϕ，,或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω,利用特殊点求出ϕ，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求ωϕ，使解题的关键.【命题意图】 高考主要考查函数y ＝Asin （ωx＋φ）的图象变换，考查函数y ＝Asin （ωx＋φ）解析式中参数φ的求法.【命题规律】 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1。
(完整版)高中数学必修一三角函数图像性质总结(精华版)
正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy xy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx（一）三角函数的性质 1、定义域与值域2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性 奇函数：y ＝sinx ，y ＝tanx ； 偶函数：y ＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性（ⅰ）g （x ）＝ （x ∈R ）g （x ）为偶函数由此得 ； 同理， 为奇函数.（ⅱ）为偶函数； 为奇函数.3、周期性（1）基本公式（ⅰ）基本三角函数的周期 y ＝sinx ，y ＝cosx 的周期为 ； y ＝tanx ，y ＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期的周期为 ；的周期为 .（2）认知（ⅰ）型函数的周期的周期为；的周期为 .（ⅱ）的周期的周期为；的周期为 .均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.（ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.（3）特殊情形研究（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；（ⅱ）的最小正周期为；（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.（2）y＝型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u ＝，将所给函数分解为内、外两层：y ＝f （u ），u ＝；②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f （u ）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u 的不等式； ③还原、结论：将u ＝ 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间形成结论.()ϕω+=x A y sin （A 、ω＞0）定义域 R R R 值域 ]1,1[+- ]1,1[+-R R []A A ,-周期性 π2 π2ππωπ2 奇偶性 奇函数偶函数 奇函数 奇函数当,0≠ϕ非奇非偶 当,0=ϕ奇函数单调性]22,22[ππππk k ++-上为增函数；]223,22[ππππk k ++上为减函数（Z k ∈）()]2,12[ππk k -；上为增函数()]12,2[ππ+k k上为减函数（Z k ∈）⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2上为增函数（Z k ∈）()()ππ1,+k k 上为减函数（Z k ∈）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--)(212),(22A k A k ωϕππωϕππ上为增函数；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-+)(232),(22A k A k ωϕππωϕππ上为减函数（Z k ∈）注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）. ②x y sin =与xy cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .2tanxy =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,21ππ+k ）；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且{}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且xy cot =x y tan =x y cos =xy sin =▲Oyxx x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）；xy cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（π=T ）；212cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22有y b a ≥+22.二、形如sin()y A x ωϕ=+的函数：1、几个物理量：A ―振幅；1f T=―频率（周期的倒数）；x ωϕ+―相位；ϕ―初相；2、函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，如()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，||)2πϕ<＝_____（答：15()2sin()23f x x π=+）；3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，最小正周期||2ωπ=T 频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡y=cos |x|图象y=|cos2x +1/2|图象是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习：第2部分专题2第1讲三角函数的图象与性质含答案
课时作业1．(2016·广州市五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2xA [解析] y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A.2．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝( )A ．－12B ．1 C.12D ．－32A [解析] 由题意知当x ＝12时，y 0＝－32或y 0＝32，即sin α＝－32或sin α＝32，又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝1－2×34＝－12.3．(2016·福建省毕业班质量检测)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( )A.2425 B.1225 C ．－1225D ．－2425D [解析] 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin α·cos α＝－2425，选项D 正确．4．(2016·沈阳市教学质量监测(一))某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x ＋3π5B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫65x －2π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫65x ＋3π5 D ．y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x ＋3π5C [解析] 不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，由图知A ＝1，T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，π3是函数的图象递减时经过的零点，于是65×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ可以是3π5，选C.5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0，2]A [解析] 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.6．(2016·山西考前质量检测)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32D ．1C [解析] 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π3＋k π，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，所以2x 1＋π3，2x 2＋π3∈(0，π)，所以2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.7．已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则sin α－cos α＝________．[解析] sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝－75.[答案] －758．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．[解析] 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.[答案] π69．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，π6，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈(－3，1]， 所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3.[答案] [3，＋∞)10．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2满足f (x )＝－f (x ＋π)，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为________．[解析] 由f (x )＝－f (x ＋π)可得f (x ＋2π)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2π，所以ω＝2π2π＝1.由f (0)＝12得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，因为g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，且0≤x ≤π2，所以π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，因此g (x )max ＝ 3.[答案] 311．已知a ＝(sin 2x ，2cos 2x －1)，b ＝(sin θ，cos θ)(0<θ<π)，函数f (x )＝a ·b的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1.(1)求θ及f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4时，求f (x )的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝a ·b ＝sin 2x sin θ＋cos 2x cos θ＝cos(2x －θ)， 所以f (x )的最小正周期为T ＝π.因为y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1.因为0<θ<π，所以θ＝π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为－π6≤x ≤π4，所以－2π3≤2x －π3≤π6.故当2x －π3＝0，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x －π3＝－2π3，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－12.12．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．[解] (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )． 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间． (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，π4≤2x ＋π4≤7π12， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .13．(2016·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．[解] (1)f (x )＝2sin x ＋6cos x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z .于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12.(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z .由于y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.14．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x . (1)作出y ＝f (x )的图象；(2)求y ＝f (x )的解析式；(3)若关于x 的方程f (x )＝a 有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能的值及相应的a 的取值范围．[解] (1)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)任取x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2， 因为函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，则f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ， 则f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝－cos x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2.(3)当a ＝－1时，f (x )＝a 的两根为0，π2，则M a ＝π2；当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22时，f (x )＝a 的四根满足x 1<x 2<π4<x 3<x 4，由对称性得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M a ＝π；当a ＝－22时，f (x )＝a 的三根满足x 1<x 2＝π4<x 3，由对称性得x 3＋x 1＝π2，则M a ＝3π4；当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1时，f (x )＝a 的两根为x 1，x 2，由对称性得M a ＝π2.综上，当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22时，M a ＝π； 当a ＝－22时，M a ＝3π4； 当a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－22，1∪{－1}时，M a ＝π2.。
三角函数的图像及其性质
三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。
三角函数的图象与性质-2017年高考数学(理)母题题源系列(新课标2专版)含解析
【母题原题1】【2017新课标卷II ，理14】函数23()sin 34f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是 ____________． 【答案】1 【解析】化简得()22311cos 3cos 344f x x x x x =-+-=-+=23(cos 12x --+,由 [0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈,当3cos x =时,函数()f x 取得最大值1．【考点】 三角变换、复合型二次函数的最值【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题，数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置;③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析．【母题原题2】【2016新课标卷II,理7】若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度,则平移后图像的对称轴为(A ）x =26k ππ-（k ∈Z ) （B ）x =26k ππ+（k ∈Z )（C ）x =212k ππ-（k ∈Z ） （D)x =212k ππ+(k ∈Z ）【答案】B【考点】三角函数图像的变换与对称性【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加或减多少值，而不是依赖于ωx 加或减多少值．【命题意图】 三角函数的图象与性质,高考重点考查三角函数的性质、图象及平移变换、运算能力、等价转化及数学结合思想.【命题规律】 高考对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等或中等以下，热点是三角函数的值域、最值、单调性、对称性及三角函数解析式的确定，且常常与三角变换结合在一起考查.【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下三步：第一步：把所给函数化为最简 化简的思路一般是化分式为整式,化高次为低次，且是项数尽可能的少,配方与辅助角公式是常用的2种方法。
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专题四 三角函数的图象和性质【母题来源一】【2017全国卷1文数8】 【母题原题】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【考点】函数图像【名师点睛】函数图象问题首先关注定义域，从图象的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【母题来源二】【2016全国卷1文数6】【母题原题】将函数y =2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 （A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)【答案】D 【解析】试题分析：函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图像向右平移14个周期即4π个单位，所得图像对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-，故选D. 【考点】三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x 而言的,不要忘记乘以系数. 【母题来源三】【2015全国卷1文数8】【母题原题】函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数cos()y A x ωϕ=+的图象与性质，先利用五点作图法列出关于ωϕ，方程，求出ωϕ，，或利用利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求ωϕ，使解题的关键.【命题意图】考查函数()y Asin x ωϕ＝＋的图象变换、解析式中参数,ωϕ的求法，考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性.考查函数式化简变形能力及数形结合思想.【命题规律】三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，高考中比较重视考查三角函数图象变换及三角函数的周期性、最值、奇偶性、单调性、对称性等，同时往往注重考查三角函数和差倍半公式的应用.从历年高考题目看，以选择题、填空题为主，少有解答题. 【答题模板】(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移【方法总结】1.一个区别——两种图像变换的区别由y ＝sin x 的图像变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度。
原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值。
2. 三种方法——由函数图像求解析式的方法(1)如果从图像可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y ＝Asin(ωx ＋φ)中的参数A 和ω，再选取 “第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ。
(2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ，依据是五点法。
(3)运用逆向思维的方法，根据图像变换可以确定相关的参数。
3.确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2(2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)。
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口。
具体如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π。
4.解答有关平移伸缩变换的题目时，向左（或右）平移m 个位时，用x+m(或x-m)代替x,向下（或上）平移n 个单位时，用y+n(或y-n)代替y,横（或纵）坐标伸长或缩短到原来的k 倍，用k x 代替x(或ky代替y),即可获得解决.5.解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时，通常是利用三角函数的有关公式，将三角函数化为“只含”一个函数名称且角度唯一，最高次数为一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答．1.【2017广东佛山二模】为了得到函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin2y x =图象上所有的点（ ）A. 向左平移12π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度【答案】C【解析】2sin22cos 22cos 2266y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以向左平移6π个单位长度，选C.2.【2017湖南娄底二模】已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>， 0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A. 有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. 有一条对称轴6x π=C. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B3.【2017重庆二诊】已知函数()2sin (0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【答案】B【解析】由图象得，25221212πππωω⎡⎤⎛⎫=⨯--⇒= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数的解析式为()2sin 2y x ϕ=+，将点212π⎛⎫⎪⎝⎭，代入得， 2sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，又0ϕπ<<，所以623πππϕϕ+=⇒=，故选C.4．【2017四川资阳4月模拟】已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0ω>）图象的一条对称轴方程为12x π=，则ω的最小值为A. 2B. 4C. 10D. 16 【答案】B【解析】解：由三角函数的性质可知，当12x π=时：(),12462x k k k Z ππωπω+=+∴=+∈ ，取0k = 可得ω 的最小值为4ω= . 本题选择B 选项.5.【2017福建漳州5月质检】为了得到函数cos2y x =的图象，只要把函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（ ）A. 向右平行移动512π个单位长度B. 向左平行移动512π个单位长度C. 向右平行移动56π个单位长度D. 向左平行移动56π个单位长度【答案】B6．【2017河北唐山三模】函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足（ ） A. 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 图象关于直线6x π=对称C. 3f π⎛⎫=⎪⎝⎭当512x π=时有最小值1- 【答案】D【解析】由函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π得2ω=，则()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 52,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然此时()f x 不单调递增，A 错误； 当6x π=时， cos 062f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，B 错误；5cos 36f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭C 错误；故选择D.7.【2017河北武邑四模】已知函数()cos2f x x x =-的图象在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和42,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则正数的取值范围是（ ） A. 5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B8.【2017安徽马鞍山三模】已知函数()cos 2sin26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()f x 的一个单调递减区间是（ ） A. ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】()3sin2226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ， ()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ，当0k =时， 263x ππ≤≤ ，故选D.9.【2017福建4月质检】已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是__________． 【答案】3,34⎛⎫⎪⎝⎭【解析】函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，但没有最小值，所以33(,3)12423424ππππππωωω+<<+≤⇒∈.10.【2017北京丰台5月综合测试】已知函数()2πsin 2f x xsin x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间． 【答案】（1）最小正周期为（2）5ππ[π,π]()1212k k k Z -++∈（Ⅱ）由πππ2π22π()232k x k k Z -+≤+≤+∈求得5ππππ()1212k x k k Z -+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k Z -++∈。