优秀的中职数学高三三角函数基本概念导学案

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【四维备课】高中数学第一章《三角函数》导学案新人教A版必修4

第一章《三角函数》导学案（复习课）【学习目标】１．任意角的概念与弧度制；任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2．同角三角函数的关系（22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=）,诱导公式； 3．正弦、余弦、正切函数的图象与性质；4．利用三角函数的图象求三角函数的定义域、值域等;5．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换）;6.会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题. 【导入新课】复习回顾本章知识新授课阶段一、同角三角函数基本关系式的运用例1 若tan α=，求（1）sin cos cos sin αααα+-的值；（2）222sin sin cos cos αααα-+的值．解例2 若1sin cos ,,,cos sin 842ππθθθθθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭求的值．解：例3 已知sin()cos(2)tan(3)2()tan()sin()2f παπααπαππαα---+=++．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos()25πα-=，求()f α的值；（3）若01860α=-，求()f α的值．解：二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用例4 求下列函数的定义域：（1）()f x =；（2）()tan(sin )f x x =；（3）()f x =．解：例5 求下列函数的周期：（1）sin 2sin(2)3cos 2cos(2)3x x y x x ππ++=++；（2）2sin()sin 2y x x π=-；（3）cos 4sin 4cos 4sin 4x x y x x +=-．解：例6 已知函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π12) (x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合．解:例7 判断下列函数的奇偶性：（１）()sin 2tan f x x x =-； (2 ) 1sin cos ()1sin cos x xf x x x+-=++；(3 ) ()cos(sin )f x x =；(4 ) ()f x =解：例8 已知:函数()()x x x f cos sin log 21-=．(1)求它的定义域和值域； (2)判断它的奇偶性； (3)求它的单调区间；（4）判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期. 解:例9 已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间．解三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换例10已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3x π=为其一条对称轴.（1）试求ω的值（2）作出函数()f x 在区间[,]ππ-上的图象．解：例11 已知函数2()sin ()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）．（I ）求ϕ；（II ）计算(1)(2)(2008)f f f +++．解：例12设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈）.且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,]36ππ-a 的值．解：四、三角函数的运用例13 某港口水的深度y （米）是时间240(≤≤t t ，单位：时）的函数，记作)(t f y =，下面是某日水深的数据：经长期观察，)(t f y =的曲线可以近似地看成函数sin y A x b ω=+的图象. （1）试根据以上数据，求出函数)(t f y =的近似表达式，（2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？解：例14 如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处（点P 与摩天轮中心Ｏ高度相同）时开始计时.（1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米. 解：t 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0例15 如图,ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS 上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值.解：例16 将一块圆心角为1200，半径为20㎝的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.解：课堂小结主要掌握正弦函数与余弦函数的图象与性质，这是本章的核心知识点，主要的思想方法就是数形结合思想和分类讨论思想. 作业见同步练习拓展提升1．34sin ,cos ,255θθθ=-=若则角的终边在（） A ．第一象限 B ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限２．已知sin 1,cos 43k k θθ=-=-，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．43k >Ｂ．1k = Ｃ．85k = Ｄ．1k > ３．已知1sin 1cos ,cos 2sin 1x xx x +=--那么的值是（） A ．12 B ．12- Ｃ．２Ｄ．－２4. 给出四个函数，则同时具有以下两个性质的函数是：①最小正周期是π；②图象关于点（6π，0）对称（）（A ）)62cos(π-=x y （B ）)62sin(π+=x y （C ）)62sin(π+=x y （D ）)3tan(π+=x y5．为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（）（A ）π98 （B ）π2197 （C ）π2199（D ）π100 6.函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－4π，4π］上的最小值是（） A.212- B.－221+ C.－1 D.221- 7．函数f (x )=sin(2x+φ)+3cos(2x +φ)的图像关于原点对称的充要条件是（）A ．φ=2k π－π6 ，k ∈ZB ．φ=k π－π6 ，k ∈ZC ．φ=2k π－π3 ，k ∈ZD ．φ=k π－π3 ，k ∈Z8．在ABC ∆中，2π>C ，若函数)(x f y =在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是（A ）)(cos )(cos B f A f > （B ）)(sin )(sin B f A f >（C ）)(cos )(sin B f A f > （D ）)(cos )(sin B f A f < 9.同时具有性质“⑴ 最小正周期是π；⑵ 图象关于直线3x π=对称；⑶ 在[,]63ππ-上是增函数”的一个函数是( ) A ．)62sin(π+=x y B.)32cos(π+=x yC ．)62cos(π-=x y D.)62sin(π-=x y10．若把一个函数的图象按a =（3π-，－2）平移后得到函数x y cos =的图象，则原图象的函数解析式是（）（A ）2)3cos(-+=πx y （B ）2)3cos(--=πx y （C ）2)3cos(++=πx y （D ）2)3cos(+-=πx y11．为了得到函数y =sin （2x －6π）的图象，可以将函数y =cos2x 的图象（） A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D.向左平移3π个单位长度12．若函数f （x ）=sin （ωx +ϕ）的图象（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是（）A.ω=1，ϕ=3π B.ω=1，ϕ=－3π C.ω=21，ϕ=6π D.ω=21，ϕ=－6π 13．若函数()f x 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移2π个单位，向下平移3个单位，恰好得到1sin 2y x =的图象，则()f x = ．14．函数sin(),(0,0)y A x A ωϕω=+>>为奇函数的充要条件是；为偶函数的充要条件是．15．一正弦曲线的一个最高点为1(,3)4，从相邻的最低点到这最高点的图象交x 轴于1(,0)4-，最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为 .16．已知方程sinx+cosx=k 在0≤x≤π上有两解，求k 的取值范围.17．数)2||,0,0(),sin(π<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A y 的最小值是-2，其图象相邻最高点与最低点横坐标差是3π，又：图象过点(0,1)，求函数解析式.18．已知函数f （x ）=A sin ωx +B cos ωx （A 、B 、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，并当x =31时，2)(max =x f .（1）求f （x ）. （2）在闭区间［421，423］上是否存在f （x ）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由.参考答案例1解：（1）cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++===----（2）原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++41533--== 例2解：222(cos sin )cos sin 2sin cos θθθθθθ-=+-13144=-=,,cos sin ,42cos sin ππθθθθθ⎛⎫∈∴< ⎪⎝⎭∴-=例3 解：（1）cos cos (tan )()cos tan cos f ααααααα-==-（2）3cos()sin2παα-=- 1sin ,5αα∴=-又是第三象限的角()f αα∴==∴=cos （3）0186********α=-=-⨯+00()(1860)cos(1860)f f α∴=-=--1cos(6360300)cos602=--⨯+=-=- 二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用例4 解：（1tan 0x ≥，得tan x ≤()23k x k k Z ππππ-<≤+∈．∴()f x 的定义域为(,]()23k k k Z ππππ-+∈．（2）∵1sin 122x ππ-<-≤≤<，∴x R ∈．即()f x 的定义域为R ．（3）由已知2cos 10lg(tan 1)0tan 10()2x x x x k k Z ππ-≥⎧⎪+≠⎪⎪⎨+>⎪⎪≠+∈⎪⎩，得1cos 2tan 0tan 1()2x x x x k k Z ππ⎧≥⎪⎪≠⎪⎨>-⎪⎪≠+∈⎪⎩，∴223342k x k x k k x k πππππππππ⎧-≤≤+⎪⎪≠⎨⎪⎪-<<+⎩()k Z ∈， ∴原函数的定义域为(2,2)(2,2)()43k k k k k Z ππππππ-+∈．例5解：（1）1)sin 2sin 2cos 26tan(2)6)6x x x xy x x πππ+++===++， ∴周期2T π=．（2）2sin cos sin 2y x x x =-=-，故周期T π=．（3）1tan 4tan(4)1tan 44x y x x π+==+-，故周期4T π=．例6 解:(1) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12) = 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1= 2sin(2x －π3) +1∴ T=2π2=π(2)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有2x －π3 =2k π+π2即x=k π+ 5π12 (k∈Z)，∴所求x 的集合为{x∈R|x= kπ+ 5π12, k∈Z}例7 解：（1）()f x 的定义域为()2x k k Z ππ≠+∈，故其定义域关于原点对称，又()sin(2)tan()sin 2tan ()f x x x x x f x -=---=-+=-()f x ∴为奇函数（2）2x π=时，1sin cos 2x x ++=，而1sin cos 02x x x π=-++=时,，()f x ∴的定义域不关于原点对称，()f x ∴为非奇非偶函数. （3）()f x 的定义域为R ，又()cos(sin())cos(sin )()f x x x f x -=-==()f x ∴为偶函数.（4）由lgcos 0x ≥得cos 1x ≥，又cos 1x ≤ cos 1x ∴=，故此函数的定义域为 2()x k k Z π=∈，关于原点对称，此时()0f x = ()f x ∴既是奇函数，又是偶函数.例8 解:(1).由0cos sin >-x x 04sin 2>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒πxππππ+<-<∴k x k 242 ()k Z ∈∴定义域为()Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,452,42ππππ, (]2,04sin 2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx∴值域为.,21⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-(2). 定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数（3） sin cos 04x x x π⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭()f x ∴的递增区间为35[2,2)()44k k k Z ππππ++∈ 递减区间为3(2,2]()44k k k Z ππππ++∈ (4).()()()122log sin 2cos 2f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎣⎦()12log sin cos x x =-()f x =()f x ∴是周期函数,最小正周期T π2=.例9解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 22)224x x f x x x x x π-+=++=++=++∴当2242x k πππ+=+,即()8x k k Z ππ=+∈时, ()f x 取得最大值2+函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+∈.(II) ()2)4f x x π=+由题意得: 222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即: 3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-+∈. 三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换例10 解：（1）2()2cos 21cos 22f x x x x x ωωωω=+=+2sin(2)16x πω=++3x π=是()y f x =的一条对称轴2sin()136ωππ∴+=±2,362k k Z ωππππ∴+=+∈13()22k k Z ω∴=+∈1012ωω<<∴=（2）用五点作图例11解：（I ）2sin ()cos(22).22A Ay A x x ωϕωϕ=+=-+ ()y f x =的最大值为2，0A >.2, 2.22A AA ∴+== 又其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，12()2,.224ππωω∴==22()cos(2)1cos(2)2222f x x x ππϕϕ∴=-+=-+. ()y f x =过(1,2)点，cos(2) 1.2πϕ∴+=-22,,2k k Z πϕππ∴+=+∈22,,2k k Z πϕπ∴=+∈ ,,4k k Z πϕπ∴=+∈ 又0,2πϕ<<4πϕ∴=.（II ）4πϕ=，1cos()1sin .222y x x πππ∴=-+=+(1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.又()y f x =的周期为4，20084502=⨯，(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=例12解：（I ）1()2sin 2sin(2)22232f x x x x a πωωαω=+++=+++ 依题意得 126322πππωω⋅+=⇒=．（II ）由（I ）知，()sin()32f x x πα=+++．又当5[,]36x ππ∈-时， 7[0,]36x ππ+∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为12a =-++，故a =四、三角函数的运用例13解：（1）由已知数据，易知函数)(t f y =的周期T=12，振幅A=3，b=10，3sin 106y t π∴=+（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米13sin1011.5,sin662t t ππ∴+≥∴≥,解得:)(652662Z k k t k ∈+≤≤+πππππ )(512112Z k k t k ∈+≤≤+,在同一天内,取0 1.15,1317.k k t t ==∴≤≤≤≤或或∴该船可在当日凌晨1时进港,下午17时出港,在港口内最多停留16个小时. 例14解：（1）以Ｏ为坐标原点，以OP 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q 处，则在t 秒内OQ 转过的角为220t π，所以t 秒时，Q 点的纵坐标为220t π，故在t 秒时此人相对于地面的高度为10sin1210y t π=+（米）（2）令10sin121210y t π=+≤，则1sin105t π≤- 020t ≤≤10.6419.36t ∴≤≤，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米例15解：如图，连结AP ，设0(090)PAB θθ∠=<<，延长RP 交AB 于M ，则90cos ,90sin AM MP θθ==，10090cos PQ MB AB AM θ==-=-10090sin PR MR MP θ=-=-，故矩形PQCR 的面积(10090cos )(10090sin )S PQ PR θθ=⋅=--100009000(sin cos )8100sin cos θθθθ=-++设21sin cos (12),sin cos (1)2t t t θθθθ+=<≤=-则，2810010()95029S t ∴=-+，故当109t =时，2min 950()S m =当2t =时，2max 1405090002()S m =-例16．解：按图(1)的裁法：矩形的一边OP 在OA 上，顶点M 在圆弧上，设MOA θ∠=，则20sin ,20cos MP OP θθ==，所以矩形OPMN 的面积400sin cos 200sin 2S θθθ==即当4πθ=时，max 200S =按图(2)的裁法：矩形一边PQ 与弦AB 平行，设MOQ α∠=，在△MOQ 中，0009030120OQM ∠=+=，则正弦定理得：020sin 403sin sin1203MQ αα==又002sin(60)40sin(60)MN OM αα=-=-0sin(60)S MQ MN αα∴=⋅=-1sin )2ααα=-1cos 22)4αα-=-030)α=+∴ 当030α=时，max 3S =由于2003>，所以用第二种裁法得面积最大的矩形，最大面积为32cm拓展提升1．Ｄ提示；由24sin 22sin cos 0,25θθθ==-< 227cos 2cos sin 025θθθ=-=>可得 2．Ｃ提示：由22sin 0,cos 0sin cos 1θθθθ><+=及可得．3．Ａ提示：221sin sin 1sin 11cos cos cos x x x x x x+--⋅==- 4．D 5．B 提示:4941×T ≤1，即4197×ωπ2≤1，∴ω≥2π197. 6．提示：f （x ）=1－sin 2x +sin x =－（sin x －21）2+45，当x =－4π时，()f x 取最小值7．D 提示：()sin(2))2sin(2)3f x x x x πϕϕϕ=++=++,令3k πϕπ+=可得8．C 提示：根据00222A B A B πππ<+<<<-<得,所以sin sin()cos 2A B B π<-=9．D 提示：由性质(1)和(2)可排除 A 和C ,再求出)62sin(π-=x y 的增区间即可10．D 提示：将函数x y cos =的图象按a -平移可得原图象的函数解析式 11．B 提示：∵y =sin （2x －6π）=cos ［2π－（2x －6π）］=cos （3π2－2x ）=cos （2x －3π2）=cos ［2（x －3π）］，∴ 将函数y =cos2x 的图象向右平移3π个单位长度 12．C 提示：由图象知，T =4（3π2+3π）=4π=ωπ2，∴ ω=21. 又当x =3π2时，y =1，∴ sin （21×3π2+ϕ）=1，3π+ϕ=2k π+2π，k ∈Z ，当k =0时，ϕ=6π. 13．()f x =11sin(2)3cos 23222x x π++=+ 14．()k k Z ϕπ=∈ ；()2k k Z πϕπ=+∈15．3sin()4y x ππ=+16解：原方程sinx+cosx=k ⇔2sin（x+4π）=k ，在同一坐标系内作函数y 1=2sin （x+4π）与y 2=k 的图象.对于y=2sin （x+4π），令x=0，得y=1. ∴当k∈［1，2在［0，π］上有两交点，方程有两解 17．解：易知：A = 2,半周期π=32T , ∴T = 6π ,即π=ωπ62,从而：31=ω. 设：)31sin(2ϕ+=x y ,令x = 0,有1sin 2=ϕ.又：2||π<ϕ,∴6π=ϕ.∴所求函数解析式为)631sin(2π+=x y 18．解：（1）由22,T πωπω===得.()sin cos f x A x B x ππ∴=+.由题意可得sin cos 2,332,A B ππ⎧+=⎪= 解得 1.A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩()cos 2sin()6f x x x x ππππ∴=+=+.（2）令,62x k k Z ππππ+=+∈,所以1,.3x k k Z =+∈由21123434k ≤+≤,得 59651212k ≤≤. 5.k ∴= 所以在［421，423］上只有f （x ）的一条对称轴x =316。

高三一轮复习三角函数导学案

高三一轮复习导学案《三角函数》第1课三角函数的概念考试注意：理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．掌握终边相同角的表示方法．掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义．掌握三角函数的符号法则．知识典例：1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成．2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y=x上D．在直线y=－x上．3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cosα} ，tanα= ．4．tan(－3)cot5cos8的符号为．5．若cosθtanθ＞0，则θ是( ) A．第一象限角B．第二象限角C．第一、二象限角D．第二、三象限角【讲练平台】例1 已知角的终边上一点P（－ 3 ，m），且sinθ= 24m，求cosθ与tanθ的值．例2 已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．例3 设θ是第二象限角，且满足｜sinθ2|= －sinθ2，θ2是哪个象限的角?【知能集成】注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式．【训练反馈】1．已知α是钝角，那么α2是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一与第二象限角D．不小于直角的正角2．角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是（）A．35B．45C．－35D．－453．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是( ) A．(π2，3π4)∪(π，5π4) B．(π4，π2)∪(π，5π4)C．(π2，3π4)∪(5π4，3π2) D．(π4，π2)∪(3π4，π)4．若sinx= －35，cosx =45，则角2x的终边位置在( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．若4π＜α＜6π，且α与－2π3终边相同，则α= ．第 1 页共 14 页第 2 页共 14 页6．角α终边在第三象限，则角2α终边在象限．7．已知｜tanx ｜=－tanx ，则角x 的集合为． 8．如果θ是第三象限角，则cos(sin θ)²sin(sin θ)的符号为什么？9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．第2课同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津】掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1，sin αcos α=tan α，掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题．【知识在线】1．sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2225°的值是 ( ) A ． 14 B ． 34 C ． 114 D ． 942．已知sin(π+α)=－35，则 ( )A ．cos α= 45B ．tan α= 34C ．cos α= －45D ．sin(π－α)= 353．已tan α=3，4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值为．4．化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ．5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ= 59，那么sin2θ等于 ( )A ．2 23 B ．－2 2 3 C ．23 D ．－ 23【讲练平台】例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)cos(π-α)tan(3π-α) ．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．变式1 条件同例，求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= －32，求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求cos 2θ+sin θcos θ的值．【知能集成】第 3 页共 14 页1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos 2θ．3．要注意观察式子特征，关于sin θ、cos θ的齐次式可转化成关于tan θ的式子． 4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题．【训练反馈】 1．sin600°的值是（） A ．12 B ．－ 12 C ． 3 2 D ．－ 322． sin(π4+α)sin （π4－α）的化简结果为（）A ．cos2αB ．12cos2αC ．sin2αD ． 12sin2α3．已知sinx+cosx=15，x ∈［0，π］，则tanx 的值是（）A ．－34B ．－ 43C ．±43D ．－34或－434．已知tan α=－13，则12sin αcos α+cos 2α = ．5．1－2sin10°cos10° cos10°－1－cos 2170°的值为．6．证明1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α1－tan α．7．已知2sin θ+cos θsin θ－3cos θ=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．8．已知锐角α、β、γ满足sin α+sin γ=sin β，cos α－cos γ=cos β，求α－β的值．第3课两角和与两角差的三角函数（一）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．【知识在线】 1．cos105°的值为（） A ．6 ＋ 2 4 B ． 6 － 2 4 C ． 2 － 6 4 D ．－ 6 － 242．对于任何α、β∈（0，π2），sin(α+β)与sin α+sin β的大小关系是（） A ．sin(α+β)＞sin α+sin β B ．sin(α+β)＜sin α+sin β C ．sin(α+β)=sin α+sin β D ．要以α、β的具体值而定 3．已知π＜θ＜3π2，sin2θ=a ，则sin θ+cos θ等于（）A ． a+1B ．－ a+1C ． a 2+1D ．±a 2+1 4．已知tan α=13，tan β=13，则cot(α+2β)= ．5．已知tanx=12，则cos2x= ．【讲练平台】第 4 页共 14 页例1 已知sin α－sin β=－ 13 ，cos α－cos β=12，求cos(α－β)的值．例2 求 2cos10°-sin20°cos20°的值．例3 已知：sin(α+β)=－2sin β．求证：tan α=3tan(α+β)．【知能集成】审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想．【训练反馈】1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sin α=35，cos(α+β)=－45，则sin β等于（）A ．0B ．0或2425C ． 2425D ．0或－24252． sin7°+cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°的值等于（）A ．2+ 3B ．2+ 32 C ．2－3 D ． 2－ 3 23． △ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为（）A ．π6 B ． 5π6 C ． π6或5π6 D ． π3或2π34．若α是锐角，且sin(α－π6)= 13，则cos α的值是．5．cos π7cos 2π7cos 3π7= ．6．已知tan θ=12，tan φ=13，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．7．已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)= 45，且（α－β）∈（π2，π），α+β∈（3π2，2π），求cos2α、cos2β的值．8．已知sin(α+β)= 12，且sin(π+α－β)= 13，求tan αtan β．第4课两角和与两角差的三角函数（二）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题．【知识在线】第 5 页共 14 页求下列各式的值1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ． 2．12（cos15°+ 3 sin15°）= ． 3．化简1+2cos 2θ－cos2θ= ．4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ． 5．11－tan θ－ 11＋tan θ= ．【讲练平台】例1 求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+ 3 tan10°tan50°；(2) （ 3 tan12°-3）csc12° 4cos 212°-2．例2 求证1+sin4θ-cos4θ2 tan θ = 1+sin4θ+cos4θ1-tan 2θ ．例3 已知cos(π4+x)= 35，17π12＜x ＜ 7π4，求sin2x ＋sin2xtanx 1-tanx的值．【知能集成】在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式：tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB ］； asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用．【训练反馈】1．cos75°+cos15°的值等于（） A ． 6 2 B － 6 2 C ．－ 2 2 D ． 2 2 2．a=2 2（sin17°+cos17°），b=2cos 213°－1，c= 2 2，则（） A ．c ＜a ＜b B ． b ＜c ＜a C ． a ＜b ＜c D ． b ＜a ＜c 3．化简1+sin2θ-cos2θ1+sin2θ+cos2θ= ．4．化简sin(2α+β)－2sin αcos(α+β)= ．5．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2+tan C 2+ 3 tan A 2tan C2的值为．6．化简sin 2A+sin 2B+2sinAsinBcos(A+B)．7 化简sin50°(1+ 3 tan10°)．第 6 页共 14 页8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．第5课三角函数的图象与性质（一）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质．【知识在线】1．若 3 +2cosx ＜0，则x 的范围是． 2．下列各区间，使函数y=sin(x+π)的单调递增的区间是（）A ．[π2，π]B ．［0，π4］C ．［－π，0］D ． [π4，π2]3．下列函数中，周期为π2的偶函数是（）A ．y=sin4xB ． y=cos 22x －sin 22xC ． y=tan2xD ． y=cos2x 4．判断下列函数的奇偶性（1）y=xsinx+x 2cos2x 是函数；（2）y=｜sin2x ｜－xcotx 是函数；（3）y=sin(7π2+3x)是函数． 5．函数f(x)=cos(3x+φ)是奇函数，则φ的值为．【讲练平台】例1 （1）函数y=xx sin 21)tan 1lg(--的定义域为(2)若α、β为锐角，sin α＜cos β，则α、β满足（）A ．α＞βB ．α＜βC ．α+β＜π2D ． α+β＞π2例2 判断下列函数的奇偶性： (1)y=x x x cos 1cos sin +-； (2)y=.cos sin 1cos sin 1xx xx +--+例3 求下列函数的最小正周期：（1）y=sin(2x －π6)sin(2x+ π3) ；(2)y= .)32cos(2cos )32sin(2sin π++++x x x x第 7 页共 14 页例4 已知函数f(x)=5sinxcosx －53cos 2x+235 (x ∈R) ．(1)求f(x)的单调增区间；（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心．【知能集成】讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题．讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用．注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决．【训练反馈】1．函数y=lg(2cosx －1)的定义域为（） A ．{x ｜－π3＜x ＜π3} B ．{x ｜－π6＜x ＜π6｝C ．{x ｜2k π－π3＜x ＜2k π+π3，k ∈Z}D ．{x ｜2k π－π6＜x ＜2k π+π6，k ∈Z}2．如果α、β∈（π2，π），且tan α＜cot β，那么必有（）A ．α＜βB ． β＜αC ． α+β＜3π2 D ． α+β＞3π23．若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（）A ．sinxB ． cosxC ． sin2xD ． cos2x 4．下列命题中正确的是（）A ．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sin α＞sin βB ．函数y=sinxcotx 的单调递增区间是（2k π－π2，2k π+π2），k ∈ZC ．函数y=1－cos2xsin2x的最小正周期是2πD ．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y 轴对称，则φ=k π2＋π4，k ∈Z5．函数y=sin x 2+cos x2在（－2π，2π）内的递增区间是．6．y=sin 6x+cos 6x 的周期为．7．比较下列函数值的大小：（1）sin2，sin3，sin4；(2)cos 2θ，sin 2θ，tan 2θ（π4＜θ＜π2）．8．设f(x)=sin(k 5x+π3) (k ≠0) ．(1)写出f(x)的最大值M ，最小值m ，以及最小正周期T ；（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个M 与m ．第 8 页共 14 页第6课三角函数的图象与性质（二）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A 、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．【知识在线】1．将y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是（） A ．y=cosx+1 B ．y=cosx －1 C ．y=－cosx+1 D ．y=－cosx －1 2．函数f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是（） A ． (12k π，0)， k ∈Z B ．（13k π，0）， k ∈ZC ．（14k π，0）， k ∈ZD ．（k π，0），k ∈Z3．函数y=cos(2x+π2)的图象的一个对称轴方程为（） A ．x=－－π2 B ．x=－ π4 C ．x= π8 D ．x=π4．为了得到函数y=4sin(3x+π4)，x ∈R 的图象，只需把函数y=3sin(x+π4)的图象上所有点（） A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．5．要得到y=sin(2x －π3)的图象，只需将y=sin2x 的图象（）A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位【讲练平台】例1 函数y=Asin （ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．例3 已知函数y=12cos 2x+32sinxcosx+1 (x ∈R)． (1)当y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？第 9 页共 14 页【知能集成】已知三角函数y=Asin(ωx+φ）的图象，欲求其解析式，必须搞清A 、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sin ωx 和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．【训练反馈】1．函数y= 12sin(2x+θ)的图象关于y 轴对称的充要条件是（）A ．θ=2k π+π2B ．θ=k π+π2C ．θ=2k π+πD ．θ=k π+π(k ∈Z)2．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为（）A ．y=sin(－2x+π3 )B ．y=sin(－2x －π3)C ．y=sin(－2x+ 2π3 )D ． y=sin(－2x －2π3)3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（）A ．sin(1+x)B ． sin(－1－x)C ．sin(x －1)D ． sin(1－x)4．y=tan(12x －π3)在一个周期内的图象是（）5．已知函数y=2cosx(0≤x ≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是．6．将y=sin(3x － π6)的图象向（左、右）平移个单位可得y=sin(3x+π3）的图像．7．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=π9时取得最大值12，当x=4π9时取得最小值－ 12，若A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2，求该函数的解析表达式．8．已知函数y= 3 sinx+cosx ，x ∈R ．(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？A C D第 10 页共 14 页9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b ．（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．第7课三角函数的最值【考点指津】掌握基本三角函数y=sinx 和y=cosx 的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题．【知识在线】1．已知（1）cos 2x=1.5 ；(2)sinx －cosx=2．5 ；(3)tanx+1tanx =2 ；(4)sin 3x =－ π4．上述四个等式成立的是（）A ．（1）（2）B ．（2）（4）C ．（3）（4）D ．（1）（3）2．当x ∈R 时，函数y=2sin(2x+π12)的最大值为，最小值为，当x∈〔－5π24， π24〕时函数y 的最大值为，最小值为 .3．函数y=sinx － 3 cosx 的最大值为，最小值为． 4．函数y=cos 2x+sinx+1的值域为．【讲练平台】例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值．例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π4+θ）+sin2θ的最小值．例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx的关系，令sinx+cosx=t ，则sinxcosx=t 2－12．【训练反馈】 1．函数y =12+sinx+cosx的最大值是（）第 11 页共 14 页A ．2 2 －1 B ． 2 2 ＋1 C ． 1－ 2 2 D ．－1－ 2 22．若2α+β=π，则y=cos β－6sin α的最大值和最小值分别为（）A ．7，5B ． 7，－112 C ． 5，－112D ． 7，－5 3．当0≤x ≤π2时，函数f(x)= sinx+1cosx+1的（）A ．最大值为2，最小值为12B ．最大值为2，最小值为0C ．最大值为2，最小值不存在D ．最大值不存在，最小值为04．已知关于x 的方程cos 2x －sinx+a=0，若0＜x ＜π2时方程有解，则a 的取值范围是（）A ．［－1，1］ B ．（－1，1） C ．［－1，0］ D ．（－∞，－54）5．要使sin α－ 3 cos α=4m －64－m有意义，则m 的取值范围是．6．若f(x)=2sin ωx(0＜ω＜1），在区间［0，π3］上的最大值为 2 ，则ω= ．三、解答题7．y=sinxcosx+sinx+cosx ，求x ∈［0，π3］时函数y 的最大值．8．已知函数f(x)=－sin 2x －asinx+b+1的最大值为0，最小值为－4，若实数a ＞0，求a ，b 的值．9．已知函数f(x)=2cos 2x+ 3 sin2x+a ，若x ∈［0，π2］，且｜f(x)｜＜2，求a 的取值范围．第8课解斜三角形【考点指津】掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形．能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数．能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题．【知识在线】1．△ABC 中，若sinAsinB ＜cosAcosB ，则△ABC 的形状为． 2．在△ABC 中，已知c=10，A=45°，C=30°，则b= ．3．在△ABC 中，已知a= 2 ，b=2，∠B=45°，则∠A 等于（）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150° 4．若三角形三边之比为3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为（） A ．60° B ． 90° C ． 120° D ． 150°5．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有灯塔，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测灯塔A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C 需航行半小时，则C 到灯塔A 的距离是（） A ．10 6 km B ．10 2kmC．10( 6 － 2 ) km D．10（ 6 ＋ 2 ）km 【讲练平台】例1 在△ABC中，已知a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C及b ．例2 在△ABC中，已知acosA=bcosB，判断△ABC的形状．例3 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．．．例4下端距水平视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．【知能集成】运用正弦定理或余弦定理，有时将有关式子转化成仅含有边的或仅含有角的式子，然后进行代数或三角恒等变形，问题往往可以得解．在解决较复杂的几何问题时，要注意两个三角形公用边的运用．【训练反馈】1．△ABC中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB，sinAcosA=34，则该三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形或直角三角形2．在△ABC中，已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为（）A．120°B．150°C．60°D．90°3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，则cosA= ．5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为．6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，s=5 3 ，求c的长度．7．在△ABC中，sin2A－sin2B+sin2C=sinAsinC，试求角B的大小．第 12 页共 14 页第 13 页共 14 页8．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC ，问B 点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出这个最大面积．单元练习（三角函数）（总分100分，测试时间100分钟）一、选择题：本大题共12小时，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若角α满足sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若f(x)sinx 是周期为π的偶函数，则f(x)可以是（） A ．sin2x B ． cosx C ． sinx D ． cox2x3．若sinx=m －3m+5，cosx=4－2 m m+5，且x ∈［π2，π］，则m 的取值范围为（）A ．3＜m ＜9B ． m=8C ． m=0D ． m=0或m=8 4．函数f(x)=log 13(sin2x+cos2x)的单调递减区间是（）A ．（k π－π4，k π+π8）(k ∈Z)B ．（k π－π8，k π+π8）(k ∈Z)C ．（k π+π8，k π+3π8）(k ∈Z)D ．（k π+π8，k π+ 5π8）(k ∈Z)5．在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6．△ABC 中，∠A=60°，b=1，其面积为 3 ，则a+b+csinA+sinB+sinC 等于（）A ．3 3B ．239 3C ．26 3 3D ．3927．已知函数y= 2 cos(ωx+φ)(0＜φ＜π2）在一个周期内的函数图象如图，则（）A ．T=6π5，φ= π4B ．T=3π2，φ=π4C ．T=3π，φ=－ π4D ．T=3π，φ= π48．将函数y=f(x)sinx 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数y=1－2sin 2x 的图象，则f(x)可以是（） A ．cosx B ．2cosx C ．sinx D ．2sinx9．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间［a ，b ］上是增函数，且f(a)=－M ，f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在区间［a ，b ］上（） A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M10．在△ABC 中，∠C ＞90°，则tanA ²tanB 与1的关系适合（）A ．tanA ²tanB ＞1 B ．anA ²tanB ＜1C ．tanA ²tanB=1D ．不确定 11．设θ是第二象限角，则必有（ A ）A ．cot θ2＜tan θ2B ．tan θ2＜cot θ2C ．sin θ2＞cos θ2D ．sin θ2＜cos θ212．若sin α＞tan α＞cot α(－π2＜α＜π2}，则α∈ （）A ．（－π2，－ π4 ）B ．（－π4，0）C ．（0，π4）D ．（π4，π2）第 14 页共 14 页二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上． 13．sin390°+cos120°+sin225°的值是． 14．sin39°－sin21°cos39°－cos21°= ．15．已知sin θ+cos θ= 15，θ∈（０，π），cot θ的值是．16．关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x ∈R)，有下列命题：（1）y=f(x)的表达式可改写为y=4²cos(2x －π6)；(2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；（3）y=f(x)的图象关于点（－π6，0）对称；（4）y=f(x)的图象关于直线x=－π6对称．其中正确的命题序号是（注：把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 17．（本小题8分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P （－1，2），求sin(2α+2π3)的值．18．（本小题8分）已知sin 22α+sin2αcos α－cos2α=1，α∈(0，π2)，求sin α、tanα的值．19．(本小题9分)设f(x)=sin 2x －asin 2x2，求f(x)的最大值m ．20．(本小题9分)已知α、β∈（0，π4），且3sin β=sin(2α+β)，4tan α2 =1－tan 2α2，求α+β的值．21．（本小题9分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．若b 2=ac ，求y=1+sin2BsinB+cosB的取值范围．。

《三角函数的概念》教案与导学案

《第五章三角函数》《5.2.1三角函数的概念》教案【教材分析】三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。

三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。

三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。

紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。

三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。

三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。

【教学目标与核心素养】1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.【教学重难点】重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

中职数学-三角函数教案设计

三角函数一、任意角1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角ABαO⑵“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。

2100-15006600特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。

记法：角α或α∠ 可以简记成α。

2. “象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。

{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ二、弧度制1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0（2）角α 的弧度数的绝对值公式：lrα= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算：∵ 360︒＝2π rad ∴180︒＝π rad∴ 1︒＝rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad3. 两个公式1）弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系正角零角负角正实数零负实数任意角的集合实数集R三、任意角三角函数的定义1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x ，y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx rry)(x,α（1）把比值r y叫做α的正弦记作： ry =αsin （2）把比值r x叫做α的余弦记作： rx =αcos（3）把比值x y叫做α的正切记作： xy =αtan上述三个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。

(完整word版)中职数学-三角函数教案

三角函数一、任意角1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角⑵“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负2. “象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。

{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ二、弧度制1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0（2）角α 的弧度数的绝对值公式：lrα= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算：∵ 360︒＝2π rad ∴180︒＝π rad∴ 1︒＝rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad3. 两个公式1）弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0π/6π/4π/3π/22π/3 3π/4 5π/6π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°弧度7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/411π/62π5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系正角零角负角正实数零负实数任意角的集合实数集R三、任意角三角函数的定义1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x ，y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx rry)(x,α（1）把比值r y叫做α的正弦记作： ry =αsin （2）把比值r x叫做α的余弦记作： rx =αcos（3）把比值x y叫做α的正切记作： xy =αtan上述三个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。

高三文科数学《三角函数导学案》

教学课题三角函数导学案课型：复习课复习目标：掌握同角的三角函数基本关系式；掌握诱导公式；掌握两角和与差的三角函数公式以及倍角公式；掌握三角函数的图像及其性质；掌握正弦定理及余弦定理和三角形的面积公式. 重点：两角和与差的三角函数公式以及倍角公式；三角函数的图像及其性质；正弦定理及余弦定理和三角形的面积公式.难点：三角函数的图像及其性质；正弦定理及余弦定理和三角形的面积公式的应用.教学方法：练习辅导法教学时数：14 【高考题型：小题和解答题】∙本章中，要会公式的正用、逆用、变形用。

●本章解题思路：1.化同名函数；2.化同次函数；3.化同角函数；4.升、降次；2211sin (1cos 2),cos (1cos 2)22αααα=-=+5.“1”的变换：220sin cos 1;tan cot 1;tan 45 1.αααα+===6.切化弦：sin tan cos ααα=.§7.1三角函数概念，诱导公式，同角三角函数基本关系【知识点】1.终边相同的角：与α角终边相同的角的集合（连同α角），记为{ββ|＝2k π＋α，k ∈Z }．2.终边在x 轴上的角：()k k Z απ=∈3.终边在y 轴上的角：()2k k Z παπ=+∈4.弧长公式：r l ⋅=||α.5.扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形6.三角函数的定义：在平面直角坐标系中，设角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，终边在坐标平面内，点(,)P x y 是终边上异于原点的任意一点，||OP r =。

则(1)sin ;(2)cos ;(3)tan .y x y rrxααα===7. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）8.同角三角函数的关系平方和关系：22sin cos 1αα+=商数关系：sin tan cos ααα=倒数关系：tan cot 1αα= 9.诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限. 【课前练习】 1.求下列的值: 1)sin 225=_____ 2)cos()4π-=______3)3tan4π=_____ 4)5cos 6π=______5) 3sin()4π-=___ 6)5tan()6π-=_____ 2.已知4sin 5x =,则cos x =____,tan x =____.3. 化简：)2cos()2sin()sin()cos(αππααππα-⋅-⋅--＝__________.4.tan 300tan 405+ 的值为＿＿＿＿。

中职数学三角函数教案.pdf

一、任意角
1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角
三角函数
B
α
A O
⑵“正角”与“负角”“0 角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负
角，如图，以 OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫
2. 角度制与弧度制的换算：
1
∵ 360＝2 rad ∴180＝ rad
∴ 1＝ rad 0.01745 rad 180
1rad
=
180
57.30
=
5718'
3. 两个公式
1）弧长公式： l = r
由公式： = l l = r r
比公式 l = nr 简单 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
3. 角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是
4. 角α是第二象限角，则 180°＋α是第
象限角；－α是第象限角；
180°－α是第________象限角．
5. 一个扇形 OAB 的面积是 1 平方厘米，它的周长是 4 厘米，求∠AOB 和弦 AB 的长.
6. 确定下列各式的符号（1）sin100°·cos240°
2）扇形面积公式 S = 1 lR 其中 l 是扇形弧长， R 是圆的半径 2
4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度
0
π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π

中职数学三角函数教案

中职数学三角函数教案一、教学目标1、理解正弦、余弦、正切等函数的定义和性质。

2、掌握三角函数的恒等变换和图像绘制。

3、能够利用三角函数解决实际问题，如测量、工程、物理等问题。

4、培养学生的数学思维和解决问题的能力。

二、教学内容1、三角函数的定义和性质2、三角函数的恒等变换3、三角函数的图像绘制和应用实例三、教学难点与重点难点：理解三角函数的恒等变换和应用实例的解决。

重点：掌握三角函数的定义和性质，以及三角函数的图像绘制。

四、教具和多媒体资源1、黑板和粉笔。

2、投影仪和PPT。

3、教学软件：GeoGebra或Desmos图形计算器。

五、教学方法1、激活学生的前知：复习初中所学的锐角三角函数。

2、教学策略：讲解、示范、小组讨论、案例分析。

3、学生活动：小组讨论、绘制函数图像、解决实际问题。

六、教学过程1、导入：故事导入，以实际应用案例引入三角函数的概念。

2、讲授新课：通过讲解、示范和PPT展示，引导学生理解三角函数的定义和性质，掌握恒等变换的运用，并能够绘制三角函数的图像。

3、巩固练习：提供几个实际应用案例，让学生利用所学知识解决，加深对三角函数的理解和应用。

4、归纳小结：回顾本节课的重点和难点，总结三角函数的基本概念、性质和恒等变换的应用。

七、评价与反馈1、设计评价策略：测试、小组讨论、观察学生的表现。

2、为学生提供反馈，针对不同学生给出具体的建议和指导，以便学生更好地掌握所学内容。

八、作业布置1、完成教材上的练习题。

2、自己寻找一个实际应用案例，写出解决方案并绘制出相关的图像。

中职数学三角函数试卷一、选择题1、以下哪个是三角函数？（）A.正弦B.余弦C.正切D.以上都是2、三角函数的定义域是什么？（）A.实数集B.有理数集C.正实数集D.单位圆上的点3、下列哪个选项的三角函数值为正？（）A. sin(0)B. cos(π/2)C. tan(π/4)D.以上都是二、填空题4、写出下列角度的正弦、余弦和正切值（精确到小数点后两位）：角度1：30度；角度2：45度；角度3：60度；角度4：90度；角度5：180度。

三角函数的定义导学案

课后作业： A 组一、选择题1．以下四个命题中，正确的是( )A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等B ．｛α｜α＝k π＋6π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6π，k ∈Z ｝C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋23π＜α＜2k π，k ∈Z ｝ 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则( )A ．sin α tan α＞0B ．cos α tan α＞0C ．sin α cos α＞0D ．sin α cot α＞0 3．角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ．22B ．-22C ．±22D ．14.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42x ，则sin α的值为（）A ．410B ．46C ．42D ．－410 5.使()θθtan cos lg ⋅有意义的角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一、二象限角或终边在y 轴上6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角二、填空题7．已知角α的终边落在直线y ＝3x 上，则sin α＝________． 8．已知P (-3，y )为角α的终边上一点，且sin α＝1313，那么y 的值等于________． 9．已知锐角α终边上一点P (1，3)，则α的弧度数为________．10．（1）sin49πtan 37π_________ 三、解答题11．已知角α的终边过P (-3 ，4)，求α的六种三角函数值12．已知角β的终边经过点P (x ，-3)(x >0)．且cos β＝2x，求sin β、cos β、tan β的值． B 组一、选择题1.设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有（）A.①B.②C.③D.④3.02120sin 等于（）A.23±B.23C.23- D.214.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（）A .43-B .34-C .43D .345．若θ∈（5π4 ，3π2），则1－2sin θcos θ 等于A.cos θ－sin θB.sin θ＋cos θC.sin θ－cos θD.－cos θ－sin θ6．若tan θ＝13，则cos 2θ＋sin θcos θ的值是A.－65B.－45C.45D.65二、填空题7.设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限.8．若角α的终边在直线y ＝－x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-＝.9．使tan x －xsin 1有意义的x 的集合为. 10．已知α是第二象限的角，且cos α2 ＝－45 ，则α2是第象限的角.三、解答题11.已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值.12.设cos θ＝m －nm ＋n（m ＞n ＞0)，求θ的其他三角函数值.C 组：1．证明(1)1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ ＝1＋tan θ1－tan θ(2)tan 2θ－sin 2θ＝tan 2θsin 2θ2.已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且，求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +的值.课后作业参考答案： A 组：一，1.c 2.c 3.A 4.A 5.C 6.C 二. 7.10103±8.21 9.3π 10.26三．11.=a sin 5453cos -=a ，34tan -=a ， 43cot -=a ， 35sec -=a ，45csc =a 12. 3tan ,21cos ,23sin -==-=βββ B 组：一、选择题 1.C 22,(),,(),2422k k k Z k k k Z ππαππαππππ+<<+∈+<<+∈当2,()k n n Z =∈时，2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2α在第三象限；而coscoscos0222ααα=-⇒≤，2α∴在第三象限；2.C 0sin(1000)sin800-=>；000cos(2200)cos(40)cos400-=-=>tan(10)tan(310)0π-=-<；77sincos sin 7171010,sin 0,tan 01717109tan tan 99πππππππ-=>< 3.B0sin1202==4.A 43sin 4sin ,cos ,tan 55cos 3ααααα==-==- 5. A6. D二、填空题7.四、三、二当θ是第二象限角时，sin 0,cos 0θθ><；当θ是第三象限角时，sin 0,cos 0θθ<<；当θ是第四象限角时，sin 0,cos 0θθ<>；8.②1717sin0,cos 01818MP OM ππ=>=<9．{x |x ∈R 且x ≠2πk ，k ∈Z} 10．三三、解答题 11．解：21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±，而παπ273<<，则1tan 2,tank αα+== 得tan 1α=，则sin cos 2αα==-，cos sin αα∴+=. 12.解：∵m ＞n ＞0，∴cos θ＝m －nm ＋n＞0∴θ是第一象限角或第四象限角. 当θ是第一象限角时：sin θ＝222)()(1cos 1n m n m +--=-θ＝mn n m n m n m n m +=+--+2)()()(222 tan θ＝mn nm -=2cos sin θθ 当θ是第四象限角时： sin θ＝－mn nm +-=-2cos 12θtan θ＝mn nm --=2cos sin θθ C 组：1.（1）证明：左＝)sin )(cos sin (cos cos sin 2cos sin 22θθθθθθθθ-+++＝)sin )(cos sin (cos )cos (sin 2θθθθθθ-++＝θθθθsin cos sin cos -+＝θθθθθθcos sin cos cos sin cos -+(∵cos θ≠0，∴分子、分母可同除以cos θ) ＝1＋tan θ1－tan θ＝右，证毕.还可用其他证法.(2)证明：左＝θθ22cos sin －sin 2θ＝θθθθ2222cos cos sin sin -＝θθθ222cos )cos 1(sin -＝θθθ222cos sin sin ＝tan 2θsin 2θ＝右，证毕. 2.解：由sin cos ,x x m +=得212sin cos ,x x m +=即21sin cos ,2m x x -=（1）23 3313sin cos(sin cos)(1sin cos)(1)22m m m x x x x x x m--+=+-=-=（2）242 44222121 sin cos12sin cos12()22m m m x x x x--++ +=-=-=。

导学案三角函数 1

三角函数 1§1.1.1 任意角学习目标1.了解任意角的定义，知道正角、负角、零角与象限角的概念.2.掌握终边相同角的表示方法，并能解决一些简单问题..学习重点、难点1.将0°—360°范围的角推广到任意角,象限角的概念；.学习过程一．阅读与思考请阅读课本P2-5，“成才之路”P1-4，然后思考如下问题：1.初中对角是怎样定义的？2.在日常生活中，你能举出几个旋转角度大于360度的例子吗？3.按____逆时针________方向旋转形成的角叫做正角；按____顺时针_______方向旋转形成的角叫做负角；如果__没有转动__________________________，我们称它形成了一个零角；综上，我们把角的概念推广到__________，任意角包括_____________________.4.①你的手表慢了5分钟,你将怎样最快把它调整准确？假如你的手表快了1.3小时，你应当怎样最快将它调整准确?这时，分针转过的角度可表示为4680，时针转过的角度可表示为390 .②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?5.象限角：在平面直角坐标系中讨论角时，为了讨论问题的方便，我们__________________，角的始边与x轴的__________重合，那么，___________________，我们就说这个角是_______________；如果角的终边在坐标轴上，我们则认为______________________.【说明】若角的终边落在坐标轴上时，我们称其为轴线角(或象间角).【思考1】600角、7400角、-1350角、-5100角，分别在哪一象限？1；1；3；2.【思考2】在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一一条边与这个角相对应吗？反之，在直角坐标系中，给定一条终边，就有唯一一个角与之相对应吗？为什么？【思考3】{锐角}、{小于900的角}、{终边在第一象限的角}是一回事吗？【探索——终边相同角的表示】1.在直角坐标系中标出210°，-150°，5700角的终边，你有什么发现？它们之间有何数量关系？2.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个集合表示出来？即任一与角α终边相同的角，都可以表示成_________________________________.【合作探究——终边相同角的应用】再阅读课本例题1至例题3，你有何不明白的地方？小组讨论解决.1.对于例1，我们可以用所给的角作为被除数，用360作除数，做带余除法来解决，也可以通过直接加或减去3600的整数倍解决.试一试：请用此种方法做P5练习4.2.仔细分析例2可以发现，当角α的终边落在一条直线上时，其终边相同的集合可以写成：{|=k×1800+}的形式，那么当角的终边落在一条射线上呢？并由此写出终边在x轴负半轴上的角的集合；写出终边在坐标轴上的角的集合.{|=k×900.k∈Z }.3.对于例3，写出给定范围内的所有角的步骤是：先写出中终边相同角的一般形式，然后令k=0.±1, ±2…，直到写出满足条件的所以角.由此解课本P5练习5.4.请图示如下集合(用阴影表示)：(1){| k×3600+450<≤1350+k×3600.k∈Z}. (2){| k×1800-450<≤450+k×1800.k∈Z}.5. (口答)课本P5练习2.【拓展练习】1.若角α与β终边相同,则一定有( )CA.α+β=1800B.α+β=00C.α-β=k·360° (k∈Z)D.α+β=k·360° (k∈Z)2.集合A={α｜α=k·90°-36°,k∈Z},B={β｜-180°<β<180°},则A∩B等于( )CA.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}3.在直角坐标系中,若角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系是( )DA.β=α+900B.β=α±900C.β=α+90°+k·360°(k∈Z)D.β=α±90°+k·360°(k∈Z)4.集合Z={x｜x=(2n+1)·180°,n∈Z},Y={x｜x=(4k±1)·180°,k∈Z}之间的关系是( )CA.Z ⊂YB.Z⊃YC.Z=YD.Z与Y之间的关系不确定5.已知角θ的终边与168°角的终边相同,则在(0°,360°)范围内终边与角的终边相同的角是____.6.若集合A={α｜k·180°+30°<α<k·180°+90°,k∈Z},集合B={β｜k·360°+315°<β<k·360°+405°, k∈Z},求A∩B.{α| k·360°+30°<α<k·360°+45°,k∈Z }7.写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.{α|α=k·900+450 k∈Z }作业：1.课本P9习题1.1 1～4.2.“成才之路”“课后强化作业一”.导学案三角函数 1§1.1.2 弧度制(1)学习目标1.理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；2.能用弧度表示终边相同角的角.学习重点、难点熟练的进行角度与弧度的转换；熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式.学习过程二．阅读与思考请阅读课本P2-5，“成才之路”P82-84，然后思考如下问题：1.初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．有了它，可以计算弧长，公式为 . 说明：在角度制下，当把带着度、分、秒各单位的角进行运算时，由于进位制是六十进制，给我们的运算带来了不少麻烦．那么我们能否考虑重新确定角的单位，使在该单位制下角的运算与常规实数运算的十进制一样去进行呢？由弧长公式：，可知，当角n 一定时，是一个与半径r 无关的常数. 既然如此，角的大小与间就建立了一个对应关系. 我们就有理由用来度量角n 的大小了.同时，为了与实数的单位“1”一致，我们取l =r 时的比值1作为新的单位制的基本单位.于是就有了：2.弧度制的概念：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做 .在实际运算中，常常将rad单位省略．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αradr r r1rad 2r r 2rad 3r r 3rad l rα rad3.弧度制的性质. ①半圆所对的圆心角为 . ②整圆所对的圆心角为π2. ③正角的弧度数是一个正数.④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零.⑥角α的弧度数的绝对值等于 .4.角度与弧度互化的基本链接点1800=π，是怎样得到的∵ 周角等于3600，又 ∵ 圆周长为l =2R ，∴ 周角的弧度数= 2R ÷R= 2，故 3600= 2，即 1800=.①将角度化为弧度： =︒1 ；。

高考数学教材知识点复习三角函数的基本概念导学案

2015届高考数学教材知识点复习三角函数的基本概念导学案【课题】第四章三角函数第1课时三角函数的基本概念【学习目标】1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化． 3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．4．理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及意义．预习案【课本导读】1．角的概念(1)象限角：角α的终边落在就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限．(2)终边相同的角：．(3)与α终边相同的角的集合为(4)各象限角的集合为，，，2．弧度制(1)什么叫1度的角：(2)什么叫1弧度的角：(3)1°＝弧度；1弧度＝度．(4)扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝，面积S＝＝．任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ .(2)三角函数在各象限的符号是：αcosαtanαⅠⅡⅢⅣ4．三角函数线如图所示，正弦线为；余弦线为；正切线为 . 【教材回归】1．下列命题为真命题的是( )A．角α＝kπ＋π3(k∈Z)是第一象限角 B．若sinα＝sinπ7，则α＝π7C．－300°角与60°角的终边相同 D．若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A ＝B2．若600°角的终边上有一点P(－4，a)，则a的值为( )A．43 B．－43 C．±43 D．已知锐角α终边上一点A的坐标是(2sinπ3，2cosπ3)，则α弧度数是( ) A．2 B.π3 C.π6 D.2π34．已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为______．5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________探究案题型一：角的有关概念例1 设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．思考题1 (1)在区间内找出所有与45°角终边相同的角β；(2)设集合M＝{x|x＝k2×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k4×180°＋45°，k∈Z}，那么两集合的关系是什么？例2已知角α是第三象限角，试判断①π－α是第几象限角？②α2是第几象限角？③2α是第几象限角？思考题2 (1)如果α为第一象限角，那么①sin2α，②cos2α；③sinα2；④cosα2中必定为正值的是________．(2)若sinθ2＝45，且sinθ0，则θ所在象限是( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型二：三角函数的定义例3 已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，则sinα＋1tanα的值为________．思考题3 (1)若角θ的终边与函数y＝－2|x|的图像重合，求θ的各三角函数值．(2)如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为( ) 题型三：利用三角函数线解三角不等式例4 (1)不等式sinx≥32的解集为__________ ．(2)不等式cosx≥－12的解集为__________．(3)函数f(x)＝2sinx＋1＋lg(2cosx－2)的定义域为_____．思考题4 (1)求函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域．(2)已知sinαsinβ，那么下列命题成立的是( ) A．若α、β是第一象限的角，则cosαcosβB．若α、β是第二象限的角，则tanαtanβC．若α、β是第三象限的角，则cosαcosβD．若α、β是第四象限的角，则tanαtanβ题型四：弧度制的应用例5 已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？思考题5 若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？训练案1．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sinα0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－xx2＋y2.其中正确的命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．42．sin 2cos 3tan 4的值( )A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在3．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )A．2 B．－2 C．2－π2 D.π2－25．若π4θπ2，则下列不等式成立的是( ) A．sinθcosθtanθ B．cosθtanθsinθC．sinθtanθcosθD．tanθsinθcosθ。

高中数学教案《三角函数的概念》

教学计划：《三角函数的概念》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够准确理解三角函数（正弦、余弦、正切）的基本定义，并能识别其在直角三角形中的表示。

o学生能够掌握三角函数值与角度之间的对应关系，理解三角函数是周期函数的特点。

o学生能够运用三角函数的基本性质进行简单的计算与推导。

2.过程与方法：o通过观察、比较和归纳，引导学生从实际情境中抽象出三角函数的概念。

o借助图像直观展示三角函数的周期性，培养学生的数形结合能力。

o通过小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流与合作，共同探索三角函数的性质。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。

o培养学生的探究精神和创新思维，鼓励他们勇于提出问题并尝试解决。

o引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。

二、教学重点和难点●重点：三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、图像及基本性质。

●难点：理解三角函数值与角度之间的对应关系，以及三角函数周期性的概念。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过展示如钟摆运动、海浪波动等自然界中的周期性现象，引导学生思考这些现象背后的数学规律，从而引出三角函数的概念。

●复习旧知：回顾直角三角形的相关知识，如勾股定理、锐角与钝角的定义，为学习三角函数做好铺垫。

●明确目标：简要介绍本节课的学习目标，即掌握三角函数的基本概念、图像及基本性质。

2. 讲授新知（15分钟）●定义讲解：详细讲解正弦、余弦、正切三种三角函数在直角三角形中的定义，强调它们与边长的比例关系。

●图像展示：利用多媒体设备展示三种三角函数的图像，引导学生观察图像特征，如正弦、余弦函数的周期性，正切函数的间断性等。

●性质归纳：结合图像，引导学生归纳出三角函数的基本性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。

3. 互动探究（10分钟）●小组讨论：将学生分成若干小组，每组分配一个探究任务，如“探究正弦函数在哪些区间内是增函数？”、“尝试用三角函数表示一个圆上某点的坐标”。

中职数学第五章《三角函数》全部教学设计7份教案（高教版）

【课题】5.1角的概念推广【教学目标】知识目标：(1)了解角的概念推广的实际背景意义；(2)理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念.能力目标：(1)会判断角所在的象限；(2)会求指定范围内与已知角终边相同的角；(3)培养观察能力和计算技能.【教学重点】终边相同角的概念.【教学难点】终边相同角的表示和确定.【教学设计】(1)以丰富的生活实例为引例，引入学习新概念一一角的推广；(2)在演示——观察一一思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角;(3)在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；(4)在反思交流中，总结知识，品味学习方法.【教学备品】教学课件、学习演示用具(两个硬纸条一个扣钉).【课时安排】2课时.(90分钟)【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间*揭示课题利用5.1角的概念推广介绍了解实际*创设情景兴趣导入问题问题1引起游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小质疑思考学生教学教师学生教学时过程行为行为意图间华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，的好小华继续乘坐一圈.那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是奇心多少呢？提问和求问题2求解知欲用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由旋转到OB位置时，就形成一个角___；在扳手由OA逆时针旋转一生活周的过程中，就形成了。

到360。

之间的角；扳手继续旋转下去，讨论实例就形成大于______的角.如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按说明有助顺时针方向旋转，形成与上述方向____的角.于学归纳交流生理通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360。

范围的解角10角，己经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的总结的推概念进行推广.理解广的意义*动脑思考探索新知概念一条射线由原来的位置。

A,绕着它的端点。

，按逆时针说明思考结合（或顺时针）方向旋转到另一位置。

3就形成角a.旋转开始图形位置的射线OA叫角a的始边，终止位置的射线OB叫做角a讲解的终边，端点。

职高《三角函数的性质》教学设计(公开课)

职高《三角函数的性质》教学设计(公开课)目标本节课的目标是让职高学生了解和掌握三角函数的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

教学内容1. 三角函数的定义回顾- 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及图像- 周期性、奇偶性的特点2. 三角函数的基本性质- 正弦函数、余弦函数的范围和最值- 正切函数的增减性和范围- 三角函数的周期和相位3. 应用题解析- 利用三角函数性质求解实际问题，例如测量建筑物的高度、计算角度等教学步骤1. 引入课题- 引导学生回顾三角函数的定义及图像，并提出相关问题，引发学生的思考和兴趣。

2. 介绍三角函数的基本性质- 使用实际例子说明正弦函数、余弦函数的最大最小值，正切函数的增减性和范围等性质。

3. 示范解题- 选取一到两个简单的应用题，结合课堂实际，通过解题过程展示如何利用三角函数的性质求解。

4. 学生练- 提供一定数量的练题，让学生自主完成，并及时纠正和解答疑问。

5. 总结和讨论- 对本节课的重点内容进行总结，并与学生一起讨论研究过程中遇到的问题和困难，引导学生深入理解三角函数的性质。

6. 练巩固- 布置一些课后题，巩固学生对三角函数性质的掌握程度，并鼓励学生积极思考和探索。

教学资源1. PPT演示文稿：包括三角函数的定义、性质、应用题等内容的图示和解析。

2. 教材和练册：提供相关的练题和参考答案，供学生练和巩固知识。

教学评估1. 学生课堂参与度：观察学生是否积极主动地回答问题、提问和参与讨论。

2. 学生练情况：检查学生完成的练题，评估他们对三角函数性质的掌握程度。

3. 学生问题解决能力：通过课堂讨论和回答学生提出的问题，评估学生对三角函数性质的理解程度和应用能力。

教学延伸1. 拓展性应用题：引导学生思考更复杂的实际问题，例如船上观测角度、天文测量等，让他们进一步应用三角函数性质解决问题。

2. 数学软件辅助教学：引导学生使用数学软件如GeoGebra等进行动态几何演示，加深对三角函数性质的理解。

北师大中职数学《三角函数》单元-教学设计

北师大中职数学《三角函数》单元教学设计一、教学目标1.知识与技能：-学生能够正确理解角的概念推广，包括正角、负角、零角以及象限角的概念。

-学生能够掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、基本性质及在单位圆上的表示。

-学生能够利用三角函数的性质进行恒等变换，并绘制三角函数的图像。

2.过程与方法：-培养学生通过实例、图形和数值等多种方式理解三角函数概念的能力。

-提高学生运用三角函数解决实际问题的能力，如测量、工程、物理等领域的应用。

3.情感态度与价值观：-激发学生对三角函数学习的兴趣和好奇心，培养他们主动探究和解决问题的能力。

-培养学生的逻辑思维能力和数学素养，提升他们运用数学工具解决实际问题的意识。

二、教学内容1.角的概念推广：介绍正角、负角、零角的概念，以及象限角的划分和表示方法。

2.三角函数的概念：定义正弦、余弦、正切函数，介绍其单位圆上的表示方法和基本性质。

3.三角函数的图像与性质：利用五点法绘制三角函数的图像，分析函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。

4.三角函数的恒等变换：介绍基本的三角恒等式，如和差公式、倍角公式、半角公式等，并进行相关证明和应用。

三、教学方法与手段1.教学方法：-采用启发式教学法，通过提出问题引导学生思考，鼓励他们自主探索和发现。

-结合案例分析，让学生在实际问题中感受三角函数的应用价值。

-组织小组讨论，促进学生之间的合作与交流，培养他们的协作精神。

2.教学手段：-利用多媒体教学设备，展示三角函数的图像和性质，帮助学生形成直观认识。

-利用GeoGebra或Desmos等教学软件，引导学生进行函数的图像绘制和性质分析。

-提供丰富的练习题和实际应用案例，让学生在实践中巩固所学知识。

四、教学评价1.过程性评价：关注学生在课堂上的表现，包括参与度、思维活跃度、合作能力等方面，及时给予反馈和指导。

2.结果性评价：通过作业、测验和考试等形式，检查学生对三角函数知识的掌握程度和应用能力。

2020届高三数学一轮教学资料三角函数的概念活动导学案

2020届高三数学一轮《三角函数的概念》活动导学案【学习目标】1、理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算；2、理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.3、掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．【重难点】任意角三角函数定义【课时安排】1课时【活动过程】一、自学质疑终边相同的角：所有与角α终边相同的角的集合弧度角度的换算：360°＝弧度；180°＝弧度；②弧长公式： ③扇形面积公式三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边上一点P (x ，y )（不同于原点），则sin α＝，cos α＝，tan α＝．1． 885-化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是．2．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是． 3．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是______________．4．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ．5．若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限．二、互动研讨：探究一1. 若角α是第二象限角，则sin 2α，cos2α，sin2α，cos 2α，tan 2α中能确定是正值的有__ 个．2.若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________． 3.tan(3)sin 5cos8-的符号为． 4.一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？探究二 1.角α的终边过点)2,1(-，则=αsin .2.已知扇形的周长是cm 6，面积是22cm ，则此扇形的圆心角的弧度数是 .3.已知角α的终边经过点)0)(12,5(<-m m m ，则=+ααcos 3sin .4.已知角α的终边在直线x y 3=上，则=αcos .5.已知α是第一象限角，问：（1）α2是第几象限角？（2）2α是第几象限角？6.已知542cos ,532sin -==αα，试判断角α的终边在第几象限？7.若一扇形的周长是cm 16，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大值为多少？8.已知角α是第二象限角，且点)5,(x P 是角α终边上一点，且x 42cos =α，求αsin 的值.探究三1.已知角θ的终边上一点)2,(-m P ，且4=OP ，则=θtan .2.已知角α的终边经过点)2,93(+-a a ，若0sin ,0cos >≤αα，则实数a 的取值范围是 .3.函数x y sin lg =的定义域为 .4.若x x --=432cos α，且角α是第二或第三象限角，则实数x 的取值范围是 .5.已知角α终边上一点),3(y P -，且y 42sin =α，求αcos 和αtan .6.已知0tan ,0sin ><αα.（1）求角α的取值集合；（2）求角2α所在的象限；（3）是判断2cos 2sin 2tan ααα的符号.探究四（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值；（2）已知角α的终边在一条直线3y x =上，求sin α，tan α的值．(3)已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝25，且cos α<0，求k 的值．(4)如图,O 为坐标原点,点,,A B C 均在O Θ上,点 A 34(,)55,点B 在第二象限,点C (1,0). （Ⅰ）设COA θ∠=,求sin 2θ的值；（Ⅱ）若AOB ∆为等边三角形,求点B 的坐标.检测反馈1．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则O x yC A B点P 的坐标是________．2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．5．(2014·南京期末)已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________． 6．(2014·扬州质检)已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝______.。

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三角函数基本概念导学案
课题：三角函数基本概念
执课时间：学习小组：
学习目标
高考要求：
1. 理解正弦、余弦、正切函数的定义,了解余切、正割、余割函数的定义;
2. 熟记三角函数在各象限的符号,牢记特殊角的三角函数值.
重点难点预测
重点难点
学习过程疑难梳理、方法总结
三角函数基本概念
一、高考要求：
3. 理解正弦、余弦、正切函数的定义,了解余切、正割、余割函数的
定义;
4. 熟记三角函数在各象限的符号,牢记特殊角的三角函数值. 二、知识要点：
1. 终边相同的角:两个角的始边重合,终边也重合时,称两个角为终边相同的角.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合: {360,}S k k Z β
βα==+⋅∈.
2. 弧度制:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用“弧度”作单位来度量角的制度叫做弧度制,用“度”作单位来度量角的制度叫做角度制.
任一已知角α的弧度数的绝对值r
α=,其中为以角α作为圆心
角时所对圆弧的长,r 为圆的半径. 3. 弧度与角度的换算:
180
180,10.01745,1()571857.30.
180
rad rad rad rad π
ππ
'==
≈=≈=
1. 任意角三角函数的定义:直角坐标系中任意大小的角α终边上一点
P(x,y),它到原点的距离是22r x y =
+,那么
sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x r r
r r x y x y
ααααα=
=====分别是α的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数,这六个函数统称三角函数.
2. 三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
3. 特殊角三角函数值:
α
6
π
4
π 3
π 2
π π
32
π 2π sin α cos α
tan α 4
．
同
角
三
角
函
数
的
两
个
基
本
关
系
式:22
sin cos 1αα+=,sin tan cos α
αα
=
. 1. 下列四个命题中正确的是( )
A.第一象限角必是锐角
B.锐角必是第一象限角
C.终边相同的角必相等
D.第二象限角必大于第一象限角
2. 若α、β的终边相同,则αβ-的终边在( )
A.x 轴的正半轴上
B. y 轴的正半轴上
C. x 轴的负半轴上
D. y 轴的负半轴上
3. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( ) A.
3
π B.23π C.3
D.2
1. 已知4
sin 5
α=
,并且α是第二象限的角,则tan α的值等于( ) A.43- B.34- C.34
D.43
1. 已知58
π
α=,则点P(sin α,tan α)所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2. 若sin α=2-m ,则实数m 的取值范围是( )
A.1≤m≤9
B.0≤m≤9
C.0≤m≤1
D.m=1或m=9 3. 函数cos cot sin tan sin cos tan cot x x
x x y x x x x
=
+++
的值域是( ) A.{-2,4} B.{-2,0,4} C.{-2,0,2,4} D.{-4,-2,0,4} 4. 已知23
cos 4a a
θ-=
-,θ为第二、三象限的角,则a 的取值范围是 .
5. 已知:1tan 3α=,求221cos 2sin cos 5sin αααα
-+的值.
6. 已知5sin 12cos 0αα+=,求:
sin 9cos 23sin αα
α
+-的值.
学后反思
我学到的知识
我学到的方法与思想我今后还需努力做好。