苏教版2016-2017学年高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.1.1 Word版含解析
苏教版高中数学必修4检测：第1章1.3-1.3.2第2课时正切函数的图象与性质含解析
第1章 三角函数1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质 第2课时 正切函数的图象与性质A 级 基础巩固1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.答案：D2．f(x)＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z解析：令－π2＋k π<x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，解得－3π4＋k π<x<π4＋k π，k ∈Z. 所以函数f(x)的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z.答案：C3．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数的是( )A ．y ＝sin x2B ． y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4解析：由函数周期为π可排除A.x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π，此时B 、C 中函数均不是增函数，D 中在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且周期为π. 答案：D4．若直线x ＝kx 2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( )A.14 B ．－34C.14或－34 D ．－14或34解析：由题意得2×k π2＋π4＝π2＋m π，m ∈Z. 则k ＝14＋m ，m ∈Z.由于－1≤k ≤1，所以k ＝14或－34.答案：C5．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为( )A ．(0，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π18，0，k ∈Z D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z 解析：由函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ，令3x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，则x ＝k π6－π18(k ∈Z)．所以y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z.答案：D6．函数y ＝lg(3－tan x)的定义域为____________________． 解析：因为3－tan x>0，所以tan x< 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z)，根据正切函数图象，得k π－π2<x<k π＋π3(k ∈Z)，所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x<k π＋π3，k ∈Z.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x<k π＋π3，k ∈Z 7．若函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝______．解析：因为π|3a|＝π2，所以|a|＝23.所以a ＝±23. 答案：±238．函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3的最大值是________．解析：因为函数y 1＝sin x 与y 2＝tan x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上都是递增函数，所以y ＝sin x ＋tan x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上是单调递增函数，y max ＝sin π3＋tan π3＝332.答案：3329．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．解：定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z ；值域为R.最小正周期T ＝π2.对应图象如图所示：。
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.3.3.2 含解析
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.3.3.2 含解析学业分层测评(十二)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知f (x )＝sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫－7π12，0，则φ＝________.【解析】 把x ＝－712π代入sin(3x ＋φ)＝0， 得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝⎛⎭⎪⎫－712π＋φ＝0，∴φ－74π＝k π，又|φ|＜π2，所以令k ＝－2，得φ＝－2π＋74π＝－π4.【答案】 －π42．三角函数式：①y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6；②y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6；③y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π12；④y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.其中在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的图象如图1-3-11所示的函数是________．图1-3-11【解析】 代入⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，3检验．【答案】 ①②④3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图1-3-12所示，则ω＝________；φ＝________.图1-3-12【解析】 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2. 当x ＝5π12时，2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3. 【答案】 2 －π34．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则正确的序号有________.【导学号：06460035】①f (x )的最小正周期是π；②f (x )的值域为0,4]；③f (x )的初相φ＝π3；④f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，2π上单调递增．【解析】由题意，⎩⎨⎧－π6ω＋φ＝k π(k ∈Z )①，m ＝2，且函数的最小正周期为T ＝4×π2＝2π，故ω＝2πT ＝1.代入①式得φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2.故函数f (x )的值域为1,3]，初相为π6，排除①②③项，选④项．【答案】 ④5.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图1-3-13所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________.图1-3-13【解析】 由图象可得最小正周期为23π，于是f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，注意到23π与π2关于7π12对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝23.【答案】236．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．【解析】 f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|的最小值为2. 【答案】 27．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【解析】 由于函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3或3.【答案】 ±38．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数，所有正确结论的编号为________． 【解析】 ∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2， ∴φ＝k π＋π3.∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由图象及性质可知②④正确．【答案】 ②④ 二、解答题9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f (x )的最值． 【解】 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2是图象的一个最低点，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.能力提升]1．方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2a －1＝0在0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x ∈0，π]，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，2sin x ＋π3∈－3，2]．画出函数图象可知，当3≤1－2a ＜2时，原方程有两个不相等的实数根，故－12＜a ≤1－32. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－32 2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图1-3-14所示．图1-3-14(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？【解】 (1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，故ω＝25. 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫25x ＋φ的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)设把f (x )的图象向左至少平移m (m ＞0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25(x ＋m )－π10＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2.∵m ＞0，∴m 取最小值3π2. 故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.。
2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.2.3
学业分层测评(十) 正切函数的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列正确命题的序号为________． ①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω； ③在x ∈－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1.【解析】 函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω，故②错误；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．【答案】 ④2．比较大小：tan π5________tan 13π10. 【解析】 tan 13π10＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋3π10＝tan 3π10.∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数且0＜π5＜3π10＜π2，∴tan π5＜tan 3π10，即tan π5＜tan 13π10. 【答案】 ＜ 3．函数f (x )＝tan 2xtan x的定义域为________． 【解析】 函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k π，x ≠k π，2x ≠k π＋π2(k ∈Z )，∴x ≠k π2且x ≠k π2＋π4，∴x ≠k π4，k ∈Z .【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z4．函数y ＝6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－6x 的对称中心为________．【解析】 y ＝6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－6x＝－6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －π8，由6x －π8＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π12＋π48，k ∈Z ， 故对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12＋π48，0，k ∈Z .【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12＋π48，0(k ∈Z )5．函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x ≤π4且x ≠0的值域为________．【解析】 ∵－π4≤x ≤π4且x ≠0， ∴－1≤tan x ≤1且tan x ≠0， ∴1tan x ≥1或1tan x≤－1， 故所求函数的值域为(－∞，－1]∪1，＋∞)． 【答案】 (－∞，－1]∪1，＋∞)6．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________.【解析】 由π|ω|＝π2，可知ω＝±2. 【答案】 ±27．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是________．【解析】 ∵y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，∴T ＝π|ω|≥π， ∴|ω|≤1.∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内为增函数，∴ω<0，∴－1≤ω<0. 【答案】 －1≤ω<08．若f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，试比较f (－1)，f (0)，f (1)，并按从小到大的顺序排列：________.【解析】 ∵f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4上单调递增，且T ＝π，∴f (1)＝f (1－π)， 又－3π4＜1－π＜－1＜0＜π4，∴f (1－π)＜f (－1)＜f (0)，即f (1)＜f (－1)＜f (0)． 【答案】 f (1)＜f (－1)＜f (0) 二、解答题9．设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．【导学号：06460029】【解】 (1)由x 2－π3≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠5π3＋2k π，∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠5π3＋2k π，k ∈Z . ∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝2π. 由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π，k ∈Z 得 －π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间是－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π，k ∈Z ，解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z ，∴不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z. 10．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，求f (x )的解析式．【解】 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2， 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝k π2π，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π4(k ∈Z )． ∵0＜φ＜π2，∴φ只能取π4. 故f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.能力提升]1．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan x 2，则下列说法中：①周期是π且有一条对称轴x ＝0；②周期是2π且有一条对称轴x ＝0；③周期是2π且有一条对称轴x ＝π；④非周期函数但有无数条对称轴．上述结论正确的有________(填以上所有正确的结论的序号)．【解析】 如图是函数的图象，由图象可知函数周期为2π，对称轴为x ＝k π(k ∈Z )．【答案】 ②③2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．【解析】 T ＝π4，∴πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan 4x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.【答案】 03．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是________．(只填相应序号)图1-3-6【解析】 当π2＜x ＜π时，tan x ＜sin x ，y ＝2tan x ＜0； 当x ＝π时，y ＝0；当π＜x ＜32π时，tan x ＞sin x ，y ＝2sin x . 故填④. 【答案】 ④4．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间－1，3]上是单调函数．【解】 函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.因此，θ角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π21.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.3.1 Word版含解析
学业分层测评(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．【解析】 y ＝cos x ―――――――――→ 横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .【答案】122．将y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为________．【解析】 y ＝cos 2x →y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.【答案】 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π33．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3向右平移________个单位长度得到y ＝sin x 的图象．【解析】 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象变换为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象应向右平移π6个单位．【答案】π64．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．【解析】 y ＝sin 2xy ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ―――→向上平移1个单位y ＝cos 2x ＋1.【答案】 y ＝cos 2x ＋1 5．某同学给出了以下论断： ①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)． 【解析】 由图象平移变换可知①③正确． 【答案】 ①③6．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－2，⎝⎛⎭⎪⎫5π6，0，则ω＝________.【解析】 周期T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴2πω＝π，ω＝2. 【答案】 27．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是________．【解析】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6化为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，相位x ＋5π6，初相5π6.【答案】 x ＋5π6，5π68．(2016·南京高一检测)设ω>0，函数y ＝sin ωx ＋π3＋2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________． 【解析】 由题意知4π3是函数周期的整数倍，又ω>0， ∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )， ∴ω的最小值为32.【答案】32二、解答题9．用“五点法”画函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的图象. 【导学号：06460032】【解】 ①列表：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0. ③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的简图，如图所示．10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x (x ∈R )．(1)求f (x )的单调减区间．(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)【解】 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )， ∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12.∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度即可．[能力提升]1．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象，则f (x )＝________.【解析】 将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4＝2sin4x ＋13π12的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin4x ＋13π12－1. 【答案】 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1 2．某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内简图时，列表如下：则A ＝【解析】 由表格得A ＝2，34π－π12＝2πω，∴ω＝3，∴ωx ＋φ＝3x ＋φ. 当x ＝π12时，3x ＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4. 【答案】 2 3 －π43．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所有点的________．①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度；②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度；③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度； ④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度． 【解析】 y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2.法一：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin 2(x ＋π8)y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2――――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 法二：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4―――――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 【答案】 ②4．已知f (x )＝2sin 2x ，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．【解】 f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3， 故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋π3＝43π3.15×。
苏教版数学高一必修四 作业 第一章《三角函数》章末检测
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．若sin α<0且tan α>0，则α是第________象限角． 答案：三2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan α的值为________． 解析：tan α＝－21＝－2.答案：－23．(2011·山东高考改编)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为________．解析：由3a ＝9得，a ＝2. 所以tan a π6＝tan π3＝ 3.答案： 3 4．tan 300°＋cos 405°sin 405°的值是________．解析：tan 300°＋cos 405°sin 405°＝tan(360°－60°)＋cos (360°＋45°)sin (360°＋45°)＝tan(－60°)＋cos 45°sin 45°＝－tan 60°＋1＝1－ 3. 答案：1－ 35．若α是第三象限角，且tan α＝512，则cos α的值为________．解析：∵tan α＝512，∴sin αcos α＝512，即sin α＝512cos α.又∵cos 2α＋sin 2α＝1， ∴(512cos α)2＋cos 2α＝1∴169144cos 2α＝1，即cos 2α＝144169. 又∵α为第三象限角，∴cos α<0. ∴cos α＝－1213.答案：－12136．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值等于________． 解析：由已知得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案：－137．若(sin θ＋cos θ)2＝2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则θ＝________. 解析：由(sin θ＋cos θ)2＝2，∴sin θ cos θ＝12∴sin θ cos θsin 2θ＋cos 2θ＝12即tan θ1＋tan 2 θ＝12，又tan θ＞0， ∴tan θ＝1，又θ∈(0，π2)．∴θ＝π4.答案：π48．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的递增区间是________． 解析：令k π－π2<x 2＋π3<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－5π3<x <2k π＋π3(k ∈Z)，故所求函数的单调递增区间是(2k π－5π3，2k π＋π3)(k ∈Z)．答案：(2k π－5π3，2k π＋π3)(k ∈Z) 9．(2012·新课标全国卷改编)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则 φ＝________.解析：由题意得周期T ＝2(54π－14π)＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f (π4)＝sin(π4＋φ)＝±1，f (5π4)＝sin(5π4＋φ)＝±1. ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<54π，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.答案：π410．函数y ＝cos 2x －sin x 的最大值是________． 解析：∵y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x ＝－(sin x ＋12)2＋54，又∵－1≤sin x ≤1， ∴当sin x ＝－12时，y max ＝54.答案：5411．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.解析：由图象可知A ＝2，32T ＝π，从而可知T ＝2πω＝2π3，ω＝3，得f (x )＝2sin(3x ＋φ)， 又由f (π4)＝0可取φ＝－3π4，于是f (x )＝2sin(3x －3π4)，则f (7π12)＝2sin(7π4－3π4)＝0.答案：012．sin 2，cos 1，tan 2的大小顺序是________． 解析：sin 2>0，cos 1>0， tan 2<0.∵cos 1＝sin(π2－1)，sin 2＝sin(π－2)，又0<π2－1<π－2<π2且y ＝sin x 在(0，π2)上是增函数，从而sin(π2－1)<sin(π－2)，即cos 1<sin 2. ∴tan 2<cos 1<sin 2. 答案：tan 2<cos 1<sin 213．在函数①y ＝sin |x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3中，最小正周期为π的函数为________．解析：y ＝sin |x |不是周期函数，其余三个函数的最小正周期均为π. 答案：②③④14．将函数y ＝cos(x －π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的对称轴为________．解析：y ＝cos(x －π3)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y 1＝cos(12x －π3)的图象，再向左平移π6个单位，得函数y 2＝cos[12(x ＋π6)－π3]＝cos(12x －π4)的图象．由x 2－π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z)即为所求的全部对称轴． 答案：x ＝2k π＋π2(k ∈Z)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知单位圆上一点P ⎝⎛⎭⎫－32，y ，设以OP 为终边的角为θ(0＜θ＜2π)，求θ的正弦值、余弦值．解：∵P 在单位圆上，∴y 2＋34＝1.∴y ＝±12.当y ＝12时，sin α＝12，cos α＝－32.当y ＝－12时，sin α＝－12，cos α＝－32.16．(本小题满分14分)已知f (x )＝a sin(3π－x )＋b tan(π＋x )＋1(a 、b 为非零常数)．(1)若f (4)＝10，求f (－4)的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫π5＝7，求f ⎝⎛⎭⎫995π的值． 解：∵f (x )＝a sin(2π＋π－x )＋b tan(x ＋π)＋1 ＝a sin x ＋b tan x ＋1，∴f (－x )＝a sin(－x )＋b tan(－x )＋1 ＝－a sin x －b tan x ＋1， ∴f (x )＋f (－x )＝2.(1)∵f (4)＝10， f (4)＋f (－4)＝2， ∴f (－4)＝2－f (4)＝2－10＝－8. (2)∵f (π5)＝7，f (π5)＋f (－π5)＝2，∴f (－π5)＝2－f (π5)＝2－7＝－5.∴f (99π5)＝f (20π－π5)＝a sin(20π－π5)＋b tan(20π－π5)＋1＝a sin(－π5)＋b tan(－π5)＋1＝f (－π5)＝－5.17．(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)． (1)求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值；(2)求sin 2α＋2sin αcos α－cos 2α＋2的值． 解：由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)． ∴sin α＝－2cos α. ∵cos α≠0，∴tan α＝－2.(1)原式＝sin α＋5cos α－2sin (π2－α)＋sin α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝tan α＋5－2＋tan α＝－2＋5－2－2＝－34.(2)原式＝sin 2 α＋2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋2tan α－1tan 2α＋1＋2 ＝4＋2×(－2)－14＋1＋2＝95.18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a ＋2b sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象过点(0,1)，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为22－1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值． 解：(1)由f (0)＝1，∴a ＋2b sin π4＝1即a ＋b ＝1.①又x ＋π4∈[π4，34π]，∴x ＋π4＝π2时，f (x )有最大值．∴a ＋2b ＝22－1.②由①②知a ＝－1，b ＝2， f (x )＝22sin(x ＋π4)－1.(2)可以，因为将图象沿x 轴右移π4个单位再向上平移一个单位得函数f (x )＝22sin x 的图象．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值． 解：(1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M (2π3，－2)在图象上，得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1.所以4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)．故φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．又φ∈(0，π2)，所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)因为x ∈[0，π12]，所以2x ＋π6∈[π6，π3]．所以当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.20．(本小题满分16分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调减区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)因为x ＝π8是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一条对称轴，所以sin(2×π8＋φ)＝±1，所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin(2x －3π4)，由题意得2k π＋π2≤2x －3π4≤2k π＋3π2，k ∈Z.故k π＋5π8≤x ≤k π＋9π8，k ∈Z.所以函数y ＝sin(2x －3π4)的单调减区间为[k π＋5π8，k π＋9π8]，k ∈Z.(3)由y ＝sin(2x －3π4)知：x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π y－22－11－22[]故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象如图所示．。
苏教版高中数学必修4第一章 三角函数章末练测卷.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 三角函数章末练测卷建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、填空题（每小题5分，共80分）1. ⎪⎭⎫⎝⎛-π 623sin 的值等于 .2. 下列角中终边与 330°相同的角是 .3. 函数y =||x x sin sin +x x cos cos ||+||x x tan tan 的值域是 .4. 如果αα αα cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么tan α的值为 .5. 如果 sin α + cos α =43，那么 sin 3α – cos 3α 的值为 .6. 若 a 为常数，且a ＞1，0≤x ≤2π，则函数f (x )=cos 2x + 2a sin x - 1的最大值为 .7.函数y = sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2 4π的单调增区间是 .8. 若函数y = f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x轴向左平移2π个单位；沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y =21sin x 的图象，则函数y =f (x )是 .9. 如图是函数y =2sin(ωx +φ)，＜2π的图象，那么ω=，φ= .10. 如果函数 f (x )是定义在(-3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，函数 f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是 .(第9题)11.若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 .12. 若扇形的半径为R ，所对圆心角为α，扇形的周长为定值c ，则这个扇形的最大面积为_ _ _.13. 函数y =2sin(2x +6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 .14. 若 cos(75° + α)=31，其中α为第三象限角，则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)= __ _.15. 函数y = lg (sin x ) +216x -的定义域为 .16. 关于函数f (x )= 4 sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x (x ∈R )，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x- π6)； ②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数 y = f (x )的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 6π，对称； ④函数 y = f (x )的图象关于直线x = - π6 对称.其中正确的是__ _. 二、解答题（共70分） 17. （12分）已知角α是第三象限角， 求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角2α终边的位置.18.（16分）(1)已知角α的终边经过点P (4，- 3)，求2sin α + cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y轴的距离之比为3 : 4，求2sin α + cos α的值.19.（12分）已知tan α，αtan 1是关于x 的方程x 2-kx+k 2-3=0的两实根，且3π＜α＜27π，求cos(3π + α)- sin(π + α)的值.20.（14分）已知0≤x ≤2π，求函数y = cos 2x – 2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a ).21. （16分）已知N (2,2)是函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.第一章三角函数章末练测卷答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．11． 12．13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.第一章 三角函数章末练测卷答案一、选择题1. 解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛-π623sin =216πsin 2π2π623sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-. 2. -30° 解析：与 330° 终边相同的角为{α|α = 330° + k ∙ 360°，k ∈Z }. 当 k = - 1时，α = - 30°.3. {- 1，3} 解析：将x 分为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限四种情况分别讨论，可知值域为{- 1，3}.4.- 1623 解析：∵ sin α - 2cos α = - 5(3sin α + 5cos α)，∴ 16sin α = - 23cos α，∴ tan α = -1623. 5. 2312825或-2312825 解析：由已知易得 sin α cos α = -327. ∴ |sin 3 α - cos 3 α| = |(sin α- cos α)(sin 2 α + cos 2α sin α cos α)|=ααcos sin 21- ∙ |1 + sin α cos α| = 1282325. ∴ sin 3α - cos 3α = ±1282325. 6. 12-a 解析：f (x )= 1 - sin 2 x + 2a sin x - 1= - sin 2x + 2a sin x . 令sin x = t ，∴ t ∈[-1，1].∴ f (t )= - t 2 + 2at = -(t - a )2 + a 2，t ∈[-1，1]. ∵a >1,∴ 当t = 1时，函数 f (t )取最大值为2a - 1.7. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++87ππ 83ππk k ，，k ∈Z 解析：∵ y = sin(4π- 2x )= - sin(2x -4π)，∴ 2π+ 2k π ≤ 2x -4π≤23π+ 2k π，∴ 83π+ k π ≤ x ≤87π+ k π. 8. y =12π2sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛-x9. 2，6π解析：因为函数图象过（0，1），所以1=2sin φ，所以sin φ=.因为|φ|＜，所以φ=.故函数y=2sin （ωx+）. 又函数图象过点（，0），所以0=2sin （ω•+）.由五点法作图的过程知，ω•+=2π，所以ω=2.综上，φ=，ω=2.10. 1 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛--，∪(0，1)∪ 3 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛， 解析：由图象可知：0＜x ＜1时，f （x ）＜0；当1＜x ＜3时，f （x ）＞0．再由f （x ）是奇函数，知：当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＞0；当﹣3＜x ＜﹣1时，f （x ）＜0． 又∵当﹣3＜x ＜，或＜x ＜3时，cosx ＜0；当＜x ＜时，cos x ＞0. ∴ 当x ∈（，1）∪（0，1）∪（，3）时，f （x ）•cos x ＜0. 11. -112. 162c 解析：设扇形面积为S ，弧长为 .∴ S = 21R = 21(c -2R )· R = -R 2+21cR . c - 2R ＞0， R ＞0，∵∴ 0＜R ＜2c .当 R = 4c 时，S max =162c .13. ［56π-,3π-］ 14.3122- 解析：cos(105°-α)+ sin(α -105°) = - cos(75°+α)- sin(α+75°). ∵ 180°＜α＜270°，∴ 255°＜α+75°＜345°. 又cos(α75°)=31，∴ sin(α75°)= -232. ∴ 原式 =312223231-=+-. 15.[-4，-π)∪(0，π)解析：由已知得∴ x ∈[- 4，- π)∪(0，π).16. ①③解析：① f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2x .② T =22π= π，最小正周期为π.③ 令2x +3π= k π，当 k = 0时，x =6π-，∴ 函数 f (x )关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称. ④ 令2x +3π= k π+2π，当 x = -6π时，k =21-，与 k ∈Z 矛盾.∴ ①③正确. 二、解答题17.解：(1)由2k π + π＜α＜2k π +23π，k ∈Z ，得k π +2π＜2α＜k π +43π，k ∈Z .将整数 k 分奇数和偶数进行讨论，易得角2α为第二象限或第四象限的角.(2)由2k π + π＜α＜2k π +23π，k ∈Z ，得4k π + 2π＜2α＜4k π + 3π，k ∈Z .∴ 2α终边位置可能在第一象限、第二象限或y 轴的非负半轴.18.解：(1)∵ 22y x r += = 5，∴ sin α =53-=r y ，cos α =54=r x ，∴ 2sin α + cos α =525456-=+-.(2)∵ a y x r 522=+=， ∴ 当＞0时，∴ r = 5a ，sin α =5353-=-a a ，cos α =54.∴ 2sin α + cos α =52-； sin x ＞0， 2k π＜x ＜2k π + π， 16 - x 2≥0， -4≤x ≤4. ∴当 a ＜0时，∴ r = -5a ，sin α =5353=--a a ，cos α = -54， ∴ 2sin α + cos α =52. (3)当点P 在第一象限时， sin α =53，cos α =54，2sin α + cos α = 2； 当点P 在第二象限时， sin α =53，cos α =54-，2sin α + cos α =52；当点P 在第三象限时，sin α =53-，cos α =54-，2sin α + cos α = - 2；当点P 在第四象限时，sin α =53-，cos α =54，2sin α + cos α =52-.19.解：由已知得 tan α· αtan 1= k 2- 3=1，∴ k =±2.又 ∵ 3π＜α＜27π，∴ tan α＞0，αtan 1＞0.∴ tan α +αtan 1= k = 2＞0 (k = -2舍去),∴ tan α= 1,∴ sin α = cos α = -22, ∴ cos(3π +α) - sin(π +α) = sin α - cos α = 0.20.解：y = cos 2 x - 2a cos x = (cos x -a )2 - a 2， 令 cos x = t ，∵ 0≤x ≤2π，∴ t ∈[0，1].∴ 原函数可化为f (t ) = (t - a )2 - a 2，t ∈[0，1].①当 a ＜0 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (0) = 0.②当 0≤a ＜21 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (a ) = –a 2.③当 21≤a ≤1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (a ) = –a 2.④当 a ＞1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (1) = 1–2a .21. 解：∵N （2，2）是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一个最高点 ， ∴A=2. ∵N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴相交于A 、B ，B 点坐标为（6，0），∴4T=|x B －x N |=4，∴T=16.又∵T=ωπ2,∴ω=T π2=8π.∵x N =2B A x x +，∴x A =2x N －x B =－2，∴A(-2,0)，∴y=2sin 又∵ 图象过点N （2，∴ ∴ ∴。
高中数学 第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学案 苏教版必修4
1．2.2 同角三角函数关系1.理解同角三角函数的两种基本关系．2.了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式．3．学会应用同角三角函数的基本关系化简、求值与证明．同角三角函数的基本关系式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin 24α＋cos 24α＝1都成立．( ) (2)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立．( )(3)对任意的角α，β有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (4)sin 2α与sin α2所表达的意义相同．( )解析：(1)正确．当角α∈R 时，sin 24α＋cos 24α＝1都成立，所以正确．(2)错误．当α2＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝2k π＋π，k ∈Z 时，tan α2没意义，故sinα2cosα2＝tanα2不成立，所以错误．(3)错误．当α＝π2，β＝0时，sin 2α＋cos 2β≠1，故此说法是错误的．(4)错误．sin 2α是(sin α)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sin α2表示角α2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于( )A ．45B ．－45C ．－17D ．35答案：B3．化简：(1＋tan 2 α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：C4．已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝________．解析：原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.答案：12已知一个三角函数值求其他三角函数值已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．【解】 因为cos α<0且cos α≠－1， 所以α是第二或第三象限角． 所以当α为第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－43.当α为第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝ －45，tan α＝sin αcos α＝43.已知角α的某一三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论．1.(1)已知α是第二象限角，且tan α＝－724，则cos α＝________．(2)已知sin θ＝a (a ≠0)，且tan θ>0，求cos θ、tan θ. 解：(1)因为α是第二象限角， 故sin α＞0，cos α＜0， 又tan α＝－724，所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.故填－2425.(2)因为tan θ＞0，则θ在第一、三象限，所以a ≠±1. ①若θ在第一象限，sin θ＝a ＞0，且a ≠1时， cos θ＝1－sin 2θ＝1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝a1－a2. ②若θ在第三象限，sin θ＝a ＜0，且a ≠－1时， cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝－a1－a2. 利用同角三角函数关系化简化简下列各式： (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°； (2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin αtan α＜0.【解】 (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. (2)由于sin αtan α＜0，则sin α，tan α异号， 所以α是第二、三象限角，所以cos α＜0.所以1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝（1－sin α）21－sin 2α＋ （1＋sin α）21－sin 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.(1)三角函数式的化简过程中常用的方法①化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．②对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)对三角函数式化简的原则 ①使三角函数式的次数尽量低． ②使式中的项数尽量少． ③使三角函数的种类尽量少． ④使式中的分母尽量不含有三角函数． ⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号．⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.2.化简：1－sin 4x －cos 4x1－sin 6x －cos 6x.解：原式＝1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x cos 2x ]1－（sin 2x ＋cos 2x ）（sin 4x ＋cos 4x －sin 2x cos 2x ） ＝1－1＋2sin 2x cos 2x1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－3sin 2x cos 2x ] ＝2sin 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x ＝23. 利用同角三角函数关系式证明求证：(1)1＋tan 2α＝1cos 2α；(2)sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 【证明】 证明：(1)因为1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝ cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， 所以原式成立．(2)法一：由sin α≠0知，cos α≠－1， 所以1＋cos α≠0.于是左边＝sin α（1＋cos α）（1－cos α）（1＋cos α）＝sin α（1＋cos α）1－cos 2α＝sin α（1＋cos α）sin 2α＝1＋cos αsin α＝右边． 所以原式成立．法二：因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝1－cos 2α， 即sin 2α＝(1－cos α)(1＋cos α)． 因为1－cos α≠0，sin α≠0， 所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α.证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．3.(1)求证：1－2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－tan x1＋tan x. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明：(1)左边＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2xcos 2x －sin 2x＝tan 2x －2tan x ＋11－tan 2x＝（tan x －1）2（1－tan x ）（1＋tan x ）＝1－tan x1＋tan x ＝右边． 所以原式成立．(2)因为右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2αsin 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α ＝左边， 所以原等式成立．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1.2．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan 90°＝sin 90°cos 90°不成立．3．注意公式的变形，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝cos αtan α，cosα＝sin αtan α等． 4．在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．已知sin α＋cos α＝13，其中0＜α＜π，求sin α－cos α的值．【解】 因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，可得：sin α·cos α＝－49.因为0＜α＜π，且sin α·cos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＞0， 又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.(1)在处得到sin α·cos α＜0，为判断sin α，cos α的具体符号提供了条件，是解答本题的关键；若没有判断出处的关系式，则下一步利用平方关系求解sin α－cos α的值时，可能会出现两个，是解答本题的易失分点；若前边的符号问题都正确，但在处书写不正确，没有考虑前面的符号而出现sin α－cos α＝±173，则是解答本题的又一易失分点． (2)在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所求的三角函数式的符号．1．已知sin α＝23，tan α＝255，则cos α＝( )A ．13 B ．53 C ．73D ．55解析：选B ．因为tan α＝sin αcos α，所以cos α＝sin αtan α＝23255＝53.2．化简：⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ．⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin α. 3．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为________．解析：因为θ为第四象限角， 所以tan θ＜0，sin θ＜0，sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－434．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，所以cos α＝－35，sin α＝－45.[学生用书P83(单独成册)])[A 基础达标]1．若cos α＝13，则(1＋sin α)(1－sin α)等于( )A ．13B ．19C ．223D ．89解析：选B ．原式＝1－sin 2α＝cos 2α＝19，故选B ．2．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A ．15B ．－14C ．513D ．－513解析：选D ．因为tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±513.因为α是第四象限角，所以sin α＝－513.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A ．由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝( ) A ．73 B ．75 C ．54D ．53解析：选B ．法一：1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.法二：tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 所以(2cos θ)2＋cos 2θ＝1， 所以cos 2θ＝15.又tan θ＝2>0，所以θ为第一或第三象限角． 当θ为第一象限角时，cos θ＝55，此时sin θ＝1－cos 2θ＝255，则1＋sin θcos θ＝1＋255×55＝75；当θ为第三象限角时，cos θ＝－55， 此时sin θ＝－1－cos 2θ＝－255，则1＋sin θcos θ＝1＋(－255)×(－55)＝75.5．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A ．12 B ．2C ．－12D ．－2解析：选B ．由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0. 所以sin α＝－255，cos α＝－55.所以tan α＝2.6．已知tan α＝m ⎝⎛⎭⎪⎫π＜α＜3π2，则sin α＝________．解析：因为tan α＝m ，所以sin 2αcos 2α＝m 2，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1m 2＋1，sin 2α＝m 2m 2＋1.又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m ＞0.因而sin α＝－mm 2＋1. 答案：－m1＋m27．已知sin α－cos αsin α＋cos α＝2，则sin αcos α的值为________．解析：由sin α－cos αsin α＋cos α＝2，等式左边的分子分母同除以cos α，得tan α－1tan α＋1＝2，所以tanα＝－3，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－310. 答案：－310 8．已知α是第二象限角，则sin α1－cos 2 α＋21－sin 2 αcos α＝________． 解析：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α1－cos 2α＋21－sin 2αcos α＝sin αsin α＋－2cos αcos α＝－1. 答案：－19．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1. 解：原式＝sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x sin 2xcos 2x－1 ＝sin 2x sin x －cos x －cos 2x （sin x ＋cos x ）sin 2x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x＝sin x ＋cos x . 10．已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9 ＝2×22－34×22－9＝57. (2)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35. [B 能力提升]1．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( ) A ．153 B ．－153 C ．53 D ．－53解析：选A ．因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．解析：因为tan θ＝2，所以cos θ≠0，则原式可化为sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2cos 2θcos 2θsin 2θcos 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案：453．已知2sin θ－cos θ＝1，3cos θ－2sin θ＝a ，记数a 形成的集合为A ，若x ∈A ，y ∈A ，则以点P (x ，y )为顶点的平面图形是什么图形？解：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θ－cos θ＝1，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以a ＝3cos θ－2sin θ＝－3或15，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，15.因此，点P (x ，y )可以是P 1(－3，－3)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，15，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－3.经分析知，这四个点构成一个正方形．4．(选做题)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cosθ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m2，②Δ＝4＋23－8m ≥0.③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34.又由②，得m 2＝34，所以m ＝32，由③，得m ≤2＋34， 所以m ＝32符合题意； (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12. 又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝π3或π6.。
第1章1.2.3三角函数的诱导公式(一)作业练习含解析苏教版必修4高中数学
[学业水平训练]1．sin 330°等于________．解析：sin 330°＝sin(360°－30°)＝－sin 30°＝－12. 答案：－122．sin ⎝⎛⎭⎫－196π的值为________． 解析：sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝－sin 19π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋7π6 ＝－sin 7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12. 答案：123．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________． 解析：sin(225°＋α)＝sin(180°＋45°＋α)＝－sin(45°＋α)＝－513. 答案：－5134．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________． 解析：由cos(α－π)＝－513，易得cos α＝513， 又因为sin(－2π＋α)＝sin α，所以只需求出sin α即可．∵α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 答案：－12135．在△ABC 中，若cos A ＝32，则sin(π－A )＝________；若sin A ＝12，则cos A ＝________． 解析：∵A 是△ABC 中的内角，∴sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝12， cos A ＝±1－sin 2A ＝±32. 答案：12 ±326．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为________． 解析：∵sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23， ∴tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－－231－sin 2α＝255. 答案：2557．求下列三角函数式的值：(1)sin(－330°)·cos 210°；(2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．解：(1)sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)＝sin 30°·(－cos 30°)＝12×(－32)＝－34. (2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)＝－3sin 1 200°·(－33)－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°) ＝32－(－22)×(－1)＝3－22. 8．化简下列各式．(1)sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin [α－（2n ＋1）π]sin （α＋2n π）·cos （α－2n π）(n ∈Z )； (2)cos 190°·sin （－210°）cos （－350°）·tan （－585°）. 解：(1)原式＝sin （π＋α）＋sin （α－π）sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α. (2)原式＝cos （180°＋10°）[－sin （180°＋30°）]cos （360°－10°）[－tan （360°＋225°）]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan （180°＋45°）]＝－12－tan 45°＝12. [高考水平训练]1．已知tan(3π－α)＝2，则sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值为________． 解析：∵tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2，原式可化为：－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝2－12＋1＝13. 答案：132．(2014·抚州质检)若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 013)＝2，则f (2 014)＝________．解析：∵f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝2，∴f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＝a sin [π＋(2 013π＋α)]＋b cos [π＋(2 013π＋β)]＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝－2.答案：－23．化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.解：原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （2×360°＋70°） ＝1＋2sin （－70°）cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝（sin 70°－cos 70°）2cos 70°－sin 70° ＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70° ＝－1. 4．已知tan(x ＋87π)＝a . 求证：sin （157π＋x ）＋3cos （x －137π）sin （207π－x ）－cos （x ＋227π）＝a ＋3a ＋1. 证明：sin （157π＋x ）＋3cos （x －137π）sin （207π－x ）－cos （x ＋227π） ＝sin [π＋（x ＋87π）]＋3cos （x ＋87π－3π）sin [4π－（x ＋87π）]－cos [2π＋（x ＋87π）] ＝－sin （x ＋87π）＋3cos [（x ＋87π）－π]sin [－（x ＋87π）]－cos （x ＋87π） ＝－sin （x ＋87π）－3cos （x ＋87π）－sin （x ＋87π）－cos （x ＋87π） ＝tan （x ＋87π）＋3tan （x ＋87π）＋1＝a ＋3a ＋1.。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.2.2 Word版含解析
学业分层测评(四) 同角三角函数关系(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(2016·南通高一检测)若sin θ＝－35，tan θ＜0，则cos θ＝________. 【解析】 ∵sin θ＝－35＜0，tan θ＜0，∴θ为第四象限角，∴cos θ＝1－sin 2θ ＝45. 【答案】 452．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α＝________.【解析】 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1. 【答案】 13．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝________. 【解析】 ∵sin α＝55， ∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1 ＝－35. 【答案】 －354．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 【导学号：06460011】【解析】 ∵tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－2sin α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴54cos 2α＝1， 又α为第二象限角，∴cos α＜0， ∴cos α＝－255. 【答案】 －255 5．(2016·扬州高一检测)化简：1－cos 2 4＝________.【解析】 1－cos 2 4＝sin 2 4＝|sin 4|，∵π<4<3π2，∴sin 4<0，∴|sin 4|＝－sin 4. 【答案】 －sin 46．(2016·泰州高一检测)已知cos x sin x －1＝12，则1＋sin x cos x等于________． 【解析】 由1－sin 2x ＝cos 2x ，可得1＋sin xcos x＝－cos xsin x－1＝－12.【答案】－1 27．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为________．【解析】tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.又sin α＋cos α＝2，∴sin αcos α＝1 2，∴tan α＋1tan α＝2.【答案】 28．已知0<α<π，sin α·cos α＝－60169，则sin α－cos α的值等于________．【解析】∵sin α·cos α<0,0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289 169，∴sin α－cos α＝17 13 .【答案】17 13二、解答题9．已知tan x＝2，求：(1)cos x＋sin xcos x－sin x的值；(2)23sin2x＋14cos2x的值．【解】(1)cos x＋sin xcos x－sin x＝1＋tan x1－tan x＝1＋21－2＝－3.(2)23sin2x＋14cos2x＝23sin2x＋14cos2xsin2x＋cos2x＝23tan2x＋14tan2x＋1＝23×4＋144＋1＝712.10．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 【证明】因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，所以sin2αcos2α＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin2βcos2β＋1，所以1cos2α＝2cos2β，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.能力提升]1．(2016·无锡高一检测)若角α的终边在直线x＋y＝0上，则sin α1－cos2α＋1－sin2αcos α＝________.【解析】∵sin α1－cos2α＋1－sin2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α. 又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限．当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0， 当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0. 【答案】 02．(2016·常州高一检测)化简：1－2sin 20°cos 20°sin 20°－1－sin 2 20°＝________. 【解析】 原式＝－2sin 20°－cos 2 20°＝|sin 20°－cos 20°|sin 20°－|cos 20°|＝cos 20°－sin 20°sin 20°－cos 20°＝－1. 【答案】 －13．若A ∈(0，π)，且sin A ＋cos A ＝713，则5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A＝________. 【解析】 (sin A ＋cos A )2＝49169，∴1＋2sin A cos A ＝49169，∴2sin A cos A ＝－120169<0， ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，cos A <0，∴(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝289169，∴sin A －cos A ＝1713， ∴sin A ＝1213，cos A ＝－513，故5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A ＝843. 【答案】 8434．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m的值．(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值⎝⎛⎭⎪⎫其中cot θ＝1tan θ.(3)方程的两根及此时θ的值．【解】(1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m.②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝3 4，代入②得m＝3 4.(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin2θsin θ－cos θ＋cos2θcos θ－sin θ＝sin2θ－cos2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(3)因为已求得m＝34，所以原方程化为2x2－(3＋1)x＋32＝0，解得x1＝32，x2＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32. 又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.。
高一数学苏教版必修4学业分层测评1.2.1 任意角的三角函数 Word版缺答案
学业分层测评(三) 任意角的三角函数(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题.已知α＝，α＝－，则角α终边在第象限．【解析】由α＝＞得，角α的终边在第一或第二象限；由α＝－＜得，角α的终边在第二或第三象限，故角α的终边在第二象限．【答案】二.若角α的终边落在＝－上，则α的值为．【解析】设(，－)是角α上任意一点，若>，点在第四象限，α＝＝－，若<，点在第二象限，α＝＝－.【答案】－.有三个结论：①与的正弦线相等；②与的正切线相等；③与的余弦线相等．其中正确的是．【解析】在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线，余弦线，分析可知①正确，②正确，③错误．【答案】①②.在△中，若 · ·＜，则△是三角形．【解析】∵，，是△的内角，∴＞.∵ · ·＜，∴ ·＜，∴和中必有一个小于，即，中必有一个钝角，故△是钝角三角形．【答案】钝角.如果α的终边过点( °，－ °)，则α的值等于．【解析】∵(，－)，∴＝＝，∴α＝－.【答案】－.在(π)内，使α＞α成立的α的取值范围是. 【导学号：】【解析】如图所示，当α∈时，恒有＞，而当α∈∪时，则是＜.【答案】.若α为第二象限角，则αα)－αα)＝.【解析】由已知α>，α<，∴αα)－αα)＝αα)－α,(－α()＝＋＝.【答案】.已知角α的终边经过点(－，＋)，且α＞，α≤，则α的取值范围是．【解析】因为α≤，α＞，所以角α的终边在第二象限或轴非负半轴上．因为α的终边过点(－，＋)，所以(\\(－≤，＋＞，))所以－＜≤.【答案】(－]二、解答题.判断下列各式的符号：() ° °；()θ(( θ()(θ为第二象限角). 【导学号：】【解】()∵°是第四象限角，°是第三象限角，∴ °＜，°＜，∴ ° °＞.()∵θ为第二象限角，∴＜θ＜＜，－＜－＜θ＜，∴( θ)＜，( θ)＞，∴θ(( θ()＜..已知α)＝－α)，且α有意义．()试判断角α所在的象限；()若角α的终边上一点，且＝(为坐标原点)，求的值及α的值．【解】()由α)＝－α)可知α＜，∴α是第三或第四象限角或终边在轴的负半轴上的角．由α有意义可知α＞，∴α是第一或第四象限角或终边在轴的正半轴上的角．综上可知角α是第四象限的角．。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.2.3.1 Word版含解析
学业分层测评(五)三角函数的诱导公式(一～四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝________. 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos π3＝12. 【答案】 122．若sin(π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________. 【解析】 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴α＝－π6，tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33. 【答案】 －333．(2016·南京高一检测)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan(π－α)＝－34，则sin α＝________. 【解析】 由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝34，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0， 所以sin α＝35.【答案】 354．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为________． 【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝32. 【答案】 325．设tan(5π＋α)＝m (α≠k π＋π2，k ∈Z )，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．【解析】 ∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m ，原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 【答案】 m ＋1m －1 6．已知f (x )＝sin x ，下列式子中成立的是________(填序号)．①f (x ＋π)＝sin x ；②f (2π－x )＝sin x ；③f (－x )＝－sin x ；④f (π－x )＝f (x )．【解析】 正确的是③④，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )．【答案】 ③④7．tan 300°＋sin 450°＝________.【解析】 tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3.【答案】 1－ 38．(2016·苏州高一检测)若cos 100°＝k ，则tan 80°的值为________.【导学号：06460014】【解析】 cos 80°＝－cos 100°＝－k ，且k ＜0.于是sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，从而tan 80°＝－1－k 2k .【答案】－1－k2 k二、解答题9．若cos(α－π)＝－2 3，求sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π)cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π)的值．【解】原式＝－sin(2π－α)－sin(3π＋α)cos(3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－2 3，∴cos α＝23，∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝2 3，sin α＝1－cos2α＝5 3，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝2 3，sin α＝－1－cos2α＝－5 3，∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52.综上，原式＝±5 2.10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．【解】由条件得sin A＝2sin B，3cos A＝2cos B，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32＜0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6， ∴C ＝712π.能力提升]1．(2016·盐城高一检测)已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为________．【解析】 ∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310. 【答案】 3102．(2016·南通高一检测)已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为________．【解析】 由于tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，又tan 600°＝－3a ，∴3＝－3a ，即a ＝－ 3.【答案】 － 33．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－15，则tan α＝________.【解析】 cos(－α)－sin(－α)＝cos α＋sin α＝－15，①∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425<0，又∵sin α>0，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，∴sin α－cos α＝75，②由①②得sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝－34.【答案】 －344．已知tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，且3π＜α＜7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值． 【解】 因为tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，所以tan α·1tan α＝13×(3k 2－13)＝1， 可得k 2＝163.因为3π＜α＜7π2，所以tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，又tan α＋1tan α＝－－3k 3＝k ，所以k ＞0，故k ＝433，所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433，所以sin αcos α＝3 4，所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32.因为cos α＋sin α＜0，所以cos α＋sin α＝－3＋1 2，所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋1 2.。
苏教版必修4第一章三角函数测试题
第一章三角函数单元测验（一）高一年级数学一、选择题：每小题5分，共40分。
1．下列各式中,值为12的是 （ ）A ．sin15cos15B ．22cos112π- C D ．2tan 22.51tan 22.5-2．若α是锐角，且满足1sin()63πα-=，则cos α的值为 （ ）A ．16B ．16C ．14D ．143．下列四个命题中的假命题是（ ）A ．不存在无穷多个角α和β,使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=-B ．存在这样的角α和β,使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+C ．对于任意角α和β,都有cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-D ．不存在这样的角α和β,使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+≠+4．如果3tan()4αβ+=，1tan()42πβ-=，那么tan()4πα+的值为 （ ）A ．1011B ．211C ．25D ．25．已知1tan 21A -=++cot()A π+的值为 （ ）A ．2-B ．2-C ．2D ．2+6．已知1cos()cos()444ππθθ+-=，则44sin cos θθ+的值等于（ ）A ．58B ．56C ．34D ． 327．把sin cos cos sin αβαβ-中的α换成4πα+，β换成4πβ-后，可化简为 （ ）A ．sin()αβ-B ．sin()αβ+C ． cos()αβ-D ．cos()αβ+8．函数12sin cos y x x=++的最大值为（ ）2222二、填空题：每小题5分，共20分。
9．已知4sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，且β是第三象限角,则 2sin 22cos ββ- 的值等于 ．10．若锐角α,β满足(1)(1)4αβ=，则αβ+= ．11．计算sin10sin 20cos30cos10sin 20sin 30+-，其值为 ．12．已知函数212cos 2()2tan sin cos 22xf x x x x -=-，那么()12f π的值等于 ． 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.1.1 Word版含解析
学业分层测评(一) 任意角(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．与405°终边相同的角的集合为________．【解析】与405°角终边相同的角，可表示为k·360°＋45°，k∈Z.【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}2．(2016·如东高一检测)下面各组角中，终边相同的有________．(填序号)①390°，690°；②－330°，750°；③480°，－420°；④3 000°，－840°.【解析】－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，均与30°角终边相同．【答案】②3．在－390°，－885°，1 351°，2 016°这四个角中，其中第四象限内的角有________. 【导学号：06460002】【解析】－390°＝－360°－30°，显然终边落在第四象限；－885°＝－720°－165°，其角的终边落在第三象限；1 351°＝1 080°＋271°，其角的终边落在第四象限；2 016°＝2 160°－144°，其角的终边落在第三象限，故满足题意的角有－390°，1 351°.【答案】－390°，1 351°4．(2016·泰州高一检测)下列命题正确的是________(填序号)．①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③第四象限角一定是负角；④钝角比第三象限角小．【解析】 只有②正确．对于①，如A ＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．【答案】 ②5．(2016·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．【解析】 与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝k ·360°－3 000°，k ∈Z }，与θ终边相同的最小正角是当k ＝9时，θ＝9×360°－3 000°＝240°，所以与α终边相同的最小正角为240°.【答案】 240°6．(2016·宿迁高一检测)若角α的终边与240°角的终边相同，则α2的终边在第________象限．【解析】 角α满足的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，故有⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2⎪⎪⎪ α2＝k ·180°＋120°，k ∈Z ， ∴α2终边落在第二象限或第四象限．【答案】 二或四7．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．【解析】如图所示，α是第四象限角，则－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．【答案】三8．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________.【解析】7α＝k·360°＋2α(k∈Z)，∴α＝k·72°，又α为第二象限角，∴在0°～360°内符合条件的角为144°，故α＝k·360°＋144°(k∈Z)．【答案】α＝k·360°＋144°(k∈Z)二、解答题9．(2016·无锡高一检测)将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.【解】(1)420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．(3)1 020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．10．写出终边在如图115所示阴影部分(包括边界)的角的集合．图115【解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．(2){α|k·360°－210°≤α≤k·360°＋30°，k∈Z}．能力提升]1．下列说法中正确的是________．(填序号)①120°角与420°角的终边相同；②若α是锐角，则2α是第二象限的角；③－240°角与480°角都是第三象限的角；④60°角与－420°角的终边关于x轴对称．【解析】对于①，420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以①不正确；对于②，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以②不正确；对于③，480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以③不正确；对于④，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x 轴对称，故④正确．【答案】④2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是________．图116【解析】令k＝0得，45°≤α≤90°，排除②④，令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除①.故填③.【答案】③3．已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则以下关系式你认为正确的是________(填序号)．①M P；②M∩P＝N；③N∪P⊆P.【解析】对于①：390°是第一象限角，但390°>90°.对于②：－330°是第一象限角且－330°<90°，但－330°不是锐角．对于③：锐角一定小于90°，所以N P，故N∪P⊆P.【答案】③4．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？【解】∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°(k∈Z)．(1)－k·360°－90°＜－α＜－k·360°(k∈Z)，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．(2)2k ·360°＜2α＜2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二 象限角或终边在y 轴的非负半轴上．(3)k ·120°＜α3＜k ·120°＋30°(k ∈Z )．法一：(分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°＜α3＜n ·360°＋30°(n ∈Z )， ∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°＜α3＜n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°＜α3＜n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角． 综上可知：α3是第一、二或第三象限角．法二：(几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角.。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.3.2 Word版含解析
学业分层测评(十二)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知f (x )＝sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，0，则φ＝________.【解析】 把x ＝－712π代入sin(3x ＋φ)＝0， 得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－712π＋φ＝0， ∴φ－74π＝k π，又|φ|＜π2，所以令k ＝－2，得φ＝－2π＋74π＝－π4. 【答案】 －π4 2．三角函数式：①y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6；②y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6；③y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π12；④y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.其中在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的图象如图1-3-11所示的函数是________．图1-3-11【解析】 代入⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，3检验．【答案】 ①②④3．(2016·南京高一检测)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图1-3-12所示，则ω＝________；φ＝________.图1-3-12【解析】 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.当x ＝5π12时，2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3. 【答案】 2 －π34．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则正确的序号有________.【导学号：06460035】①f (x )的最小正周期是π；②f (x )的值域为0,4]；③f (x )的初相φ＝π3；④f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，2π上单调递增． 【解析】 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧－π6ω＋φ＝k π(k ∈Z )①，m ＝2，且函数的最小正周期为T ＝4×π2＝2π，故ω＝2πT ＝1.代入①式得φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2.故函数f (x )的值域为1,3]，初相为π6，排除①②③项，选④项．【答案】 ④5.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图1-3-13所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________.图1-3-13【解析】 由图象可得最小正周期为23π，于是f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，注意到23π与π2关于7π12对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝23.【答案】 236．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．【解析】 f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|的最小值为2. 【答案】 27．(2016·南通高一检测)若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【解析】 由于函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3或3.【答案】 ±38．(2016·苏州高一检测)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数，所有正确结论的编号为________．【解析】 ∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2， ∴φ＝k π＋π3.∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由图象及性质可知②④正确．【答案】 ②④ 二、解答题9．(2016·无锡高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f (x )的最值． 【解】 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2是图象的一个最低点，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.能力提升]1．(2016·南通高一检测)方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2a －1＝0在0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x ∈0，π]，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，2sin x ＋π3∈－3，2]．画出函数图象可知，当3≤1－2a ＜2时，原方程有两个不相等的实数根，故－12＜a ≤1－32.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－32 2．(2016·常州高一检测)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图1-3-14所示．图1-3-14(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？【解】 (1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，故ω＝25. 由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)设把f (x )的图象向左至少平移m (m ＞0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25(x ＋m )－π10＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2.∵m ＞0，∴m 取最小值3π2. 故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.2.2 Word版含解析
学业分层测评(九)正弦、余弦的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y ＝2cos x －1的最大值是________，最小值是________．【解析】 ∵cos x ∈－1,1]，∴y ＝2cos x －1∈－3,1]．∴最大值为1，最小值为－3.【答案】 1 －32．函数y ＝cos x 在区间－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．【解析】 y ＝cos x 在－π，0]上为增函数，在0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]．【答案】 (－π，0]3．函数f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是________(填“奇函数”或“偶函数”)． 【解析】 f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋3π2 ＝－7cos 23x ，∴f (x )是偶函数．【答案】 偶函数4．y ＝sin x 的定义域为________，单调递增区间为________．【解析】 ∵sin x ≥0，∴2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .当x ∈0，π]时，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增， ∴其递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈Z . 【答案】 2k π，π＋2k π]，k ∈Z ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈Z5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ＝________.【解析】 由题意，当x ＝π8时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1， 故π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．【答案】 k π＋π4(k ∈Z )6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是________．(只填序号) 【导学号：06460026】①函数f (x )的最小正周期为2π；②函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称；④函数f (x )是奇函数．【解析】 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，即①正确．y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，则y ＝－cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，即②正确．由图象知y ＝－cos x 的图象关于x ＝0对称，即③正确．y ＝－cos x 为偶函数，即④不正确．【答案】 ④7．(2016·南京高一检测)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 【解析】 因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数， 即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.【答案】 328．(2016·连云港高一检测)函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为________．【解析】 令t ＝cos x ，由于x ∈R ，故－1≤t ≤1.y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，当t ＝－1时，即cos x ＝－1时函数有最大值10；当t ＝1，即cos x ＝1时函数有最小值2.所以该函数的值域是2,10]．【答案】 2,10]二、解答题9．比较下列各组三角函数值的大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9；(3)sin 11°，cos 10°，sin 168°.【解】 (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°＜250°＜260°＜270°，∴sin 250°＞sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在0，π]上单调递减，且0＜π8＜4π9＜π，∴cos π8＞cos 4π9，∴cos 15π8＞cos 14π9.(3)sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.又因为y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数， 所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.10．(2016·苏州高一检测)已知函数f (x )＝2cos3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值．【解】 (1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.能力提升]1．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 【解析】 由题意知0≤x ≤π3时，0≤ωx ≤ωπ3＜π3，f (x )取最大值2sinωπ3＝2时，sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，ω＝34. 【答案】 342．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈0,2π])是偶函数，则φ＝________.【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈0,2π]，∴φ＝3π2.【答案】 3π23．(2016·南通高一检测)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为________．【解析】 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) 4．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．【解】 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω＞0，解得0＜ω≤32.故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.1.2 Word版含解析
学业分层测评(二) 弧度制(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列命题中，是假命题的序号为________． ①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位； ②1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π； ③1 rad 的角比1°的角要大；④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．【解析】 ①②③正确，④错误，角的大小与圆的半径无关． 【答案】 ④2．下列各式正确的是________． ①－270°＝－3π2；②405°＝9π4； ③335°＝23π12；④705°＝47π12. 【解析】 －270°＝－270×π180＝－3π2； 405°＝405×π180＝9π4； 335°＝335×π180＝67π36；705°＝705×π180＝47π12.故①②④正确． 【答案】 ①②④3．下列表示中不正确的是________．①终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }；②终边在y轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z； ③终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z ；④终边在直线y ＝x 上的角的集合是α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z .【解析】 ④错误，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z. 【答案】 ④4．(2016·南通高一检测)如图1-1-10所示，图中公路弯道处AB 的弧长l ＝________(精确到1 m)．图1-1-10【解析】 根据弧长公式，l ＝αr ＝π3×45≈47(m)． 【答案】 47 m5．(2016·泰州高一检测)已知扇形的周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．【解析】 设圆心角为α，半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2，∴α＝lr ＝1或4. 【答案】 1或46．已知角α的终边与π3的终边相同，在0,2π)内终边与α3角的终边相同的角为________. 【导学号：06460005】【解析】 由题意得α＝2k π＋π3(k ∈Z )， 故α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )，又∵0≤α3<2π，所以当k ＝0,1,2时，有α3＝π9，79π，139π满足题意． 【答案】 π9，79π，139π7．(2016·扬州高一检测)如图1-1-11，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是________．图1-1-11【解析】 ∵40°＝40×π180＝2π9，30°＝30×π180＝π6， ∴S ＝12r 2·2π9＋12r 2·π6＝175π36. 【答案】175π368．(2016·镇江高一检测)圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为________．【解析】 设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，弧长等于3R 的圆心角的弧度数为α＝3RR ＝ 3. 【答案】 3二、解答题 9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈0,2π))的形式． (2)θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．求θ. 【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝469π.10．如图1-1-12所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．图1-1-12【解】 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪3π4＋2k π＜α＜4π3＋2k π，k ∈Z. (2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为α⎪⎪⎪－π6＋2k π＜α≤5π12＋2k π，k∈Z .(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π≤α≤π2＋k π，k ∈Z. (4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3＋k π＜α＜5π6＋k π，k ∈Z. 能力提升]1．(2016·泰州高一检测)已知某上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是________．【解析】 8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即π6，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是π6×4＝2π3.【答案】 2π32．若角α的终边与π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.【解析】 与α终边相同的角的集合为α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z .∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2k π＋π3＜4π，化简得：－136＜k ＜116，∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1， ∴α＝－113π，－53π，π3，73π. 【答案】 －113π，－53π，π3，73π3．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.【解析】 如图所示，∴A ∩B ＝－4，－π]∪0，π]． 【答案】 －4，－π]∪0，π]4．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解】 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254.又∵r ＞0，且l ＝30－2r ＞0，∴0＜r ＜15，∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15(cm)，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr ＝2 rad ，∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，最大面积为2254 cm 2.。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.2.3.2 Word版含解析
学业分层测评(六)三角函数的诱导公式(五～六)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos α＋π2＝________.【解析】 由已知得，sin α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－265＝265. 【答案】 2652．(2016·天水高一检测)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为________．【解析】 易知|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝－45. 【答案】 －453．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－13.【答案】 －134．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________. 【导学号：06460017】【解析】 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α) ＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 【答案】 －sin 2α5．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．【解析】 ∵(A ＋45°)＋(45°－A )＝90°，∴sin(45°－A )＝cos(45°＋A )， ∴sin 2(A －45°)＝sin 2(45°－A )＝cos 2(45°＋A )，∴sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)＝1.【答案】 16．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin(π＋θ)＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋2sin(6π－θ)的值是________．【解析】 由已知条件知(－sin θ)＋(－sin θ)＝－m ，∴sin θ＝m 2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋2sin(6π－θ)＝(－sin θ)＋2·(－sin θ)＝－3sin θ＝－3m 2. 【答案】 －3m 27．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________. 【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 【答案】 －28．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝________.【解析】 由已知3cos A ＝3sin A ，∴tan A ＝33，又∵A ∈(0，π)∴A ＝π6.又cos A ＝－3·(－cos B )＝3cos B ，由cos A ＝32知cos B ＝12，∴B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π2.【答案】 π2二、解答题9．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ＝72，求sin 4π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ的值． 【解】 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12(sin θ＋cos θ)2－1] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ ＝cos 4θ＋sin 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫382＝2332. 10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值． 【解】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335. 能力提升]1．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos 30°)＝________.【解析】 f (cos 30°)＝f (sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝72或f (cos 30°)＝f (sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝72.【答案】 722．计算sin 2 1°＋sin 2 2°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.【解析】 ∵1°＋89°＝90°，2°＋88°＝90°，…，44°＋46°＝90°， ∴sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，…sin 244°＋sin 246°＝sin 244°＋cos 244°＝1，∴sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44＋sin 245°＝44＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222 ＝892.【答案】 8923．(2016·盐城高一检测)已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．【解析】 ∵(75°＋α)＝(α－15°)＋90°，∴sin(α－15°)＝sin (75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－13.又(75°＋α)＋(105°－α)＝180°，∴cos(105°－α)＝cos 180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，∴原式＝－13－13＝－23.【答案】 －234．(2016·南京高一检测)已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α). (1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．【解】 (1)f (α)＝sin α·cos α·cos α(－cos α)·(－sin α)＝cos α.(2)由(1)可知f (A )＝cos A ＝35，又A 是△ABC 的内角，∴0°＜A＜90°，∴sin A＝45，tan A＝43，∴tan A－sin A＝43－45＝815.。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.4 Word版含解析
学业分层测评(十三) 三角函数的应用(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为________．【解析】 最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T ＝2π100π s ＝150 s.【答案】 150 s2．如图1-3-20所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断错误的是________．①该简谐运动的振动周期为0.7 s ； ②该简谐运动的振幅为5 cm ；③该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大； ④该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零．图1-3-20【解析】 由图象知，振幅为5 cm ，T2＝(0.7－0.3)s ＝0.4 s ，故T ＝0.8 s ，故①错误；该质点在0.1 s 和0.5 s 离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故③错误；该质点在0.3 s 和0.7 s 时正好回到平衡位置，而不是加速度为零，故④错误．【答案】 ①③④3．如图1-3-21是一机械振动的传播图，图中甲、乙、丙、丁四点经半个周期后到最低点的是________．图1-3-21【解析】 半个周期后，丁由最高点到最低点． 【答案】 丁4．已知某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续________分钟. 【导学号：06460038】【解析】 依题意，即40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50≥70，即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为2π3≤π6t ≤4π3，4≤t ≤8，即持续时间为4分钟．【答案】 45．已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1-3-22所示，此图可以视为y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象的一部分，此函数解析式是________．图1-3-22【解析】 由已知，信号最大、最小时的波动幅度分别为3和－3. ∴A ＝3.由图象知， T 2＝5π6－π3＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．由图象知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是第三个关键点，∴π3×2＋φ＝π，∴φ＝π3，∴所求函数解析式为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.【答案】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 6．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________．【解析】 由题意可知，y ＝sin(ωt ＋φ)． 又t ＝0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴φ＝π3，又由T ＝12可知，ω＝2πT ＝π6， ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3.令2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z,12k －5≤t ≤12k ＋1，k ∈Z ，∵0≤t ≤12，∴令k ＝0,1，得0≤t ≤1或7≤t ≤12，故动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递增区间为0,1]，7,12]． 【答案】 0,1]，7,12]7．如图1-3-23所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________．图1-3-23【解析】 将其看成y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，由图象知：A ＝6，T ＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，下面确定φ，将(6,0)看成函数第一特殊点，则π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π.∴函数关系式为： y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π＝－6sin π6x .【答案】 y ＝－6sin π6x8．(2016·南京高一检测)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图1-3-24所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为________．图1-3-24①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6；③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6；④y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3. 【解析】 由题意可得，sin φ＝12，∴函数的初相是φ＝π6，排除④.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针方向旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，ω＜0，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选③.【答案】 ③ 二、解答题9．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)假若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃，当x ＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃，所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈4,16]， 所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈4,16]，所以x ＝343.故该细菌的存活时间为：343－263＝83小时．能力提升]1．一个大风车的半径为8 m,12分钟旋转一周，它的最低点离地面2 m(如图1-3-25所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h (米)与时间t (分钟)之间(h (0)＝2)的函数关系式为________．图1-3-25【解析】 那么，风车上翼片端点所在位置P 可由函数x (t )、y (t )来刻画，而且h (t )＝y (t )＋2.所以，只需要考虑y (t )的解析式．又设P 的初始位置在最低点即y (0)＝0.在Rt △O 1PQ 中，cos θ＝8－y (t )8，y (t )＝－8cos θ＋8.而2π12＝θt ，所以θ＝π6t ，y (t )＝－8cos π6t ＋8，h (t )＝－8cos π6t ＋10. 【答案】 h (t )＝－8cos π6t ＋102．下表是某地某年月平均气温(单位：华氏).(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是． ①y A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；②y －46A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6；③y －46－A＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；④y －26A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x .【解】 (1)(2)如图所示；(3)1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为73.0华氏，据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12.(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得yA＝26.025.8＞1≠cosπ6，∴①错误；代入②，得y－46A＝26.0－4625.8＜0≠cosπ6，∴②错误；同理④错误，③正确．。
2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评 1.2.1 任意角的三角函数 含解析
学业分层测评(三) 任意角的三角函数(建议用时：45分钟)[学业达标］一、填空题1．已知sin α＝错误!,cos α＝－错误!，则角α终边在第________象限．【解析】 由sin α＝错误!＞0得，角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45＜0得,角α的终边在第二或第三象限,故角α的终边在第二象限．【答案】 二2．若角α的终边落在y ＝－x 上，则tan α的值为________．【解析】 设P （a ，－a ）是角α上任意一点，若a >0，P 点在第四象限，tan α＝错误!＝－1，若a 〈0，P 点在第二象限，tan α＝错误!＝－1.【答案】 －13．有三个结论：①错误!与错误!的正弦线相等；②错误!与错误!的正切线相等;③错误!与错误!的余弦线相等．其中正确的是________．【解析】 在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线,余弦线，分析可知①正确，②正确，③错误．【答案】①②4．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C＜0，则△ABC是________三角形．【解析】∵A，B,C是△ABC的内角,∴sin A＞0。
∵sin A·cos B·tan C＜0，∴cos B·tan C＜0，∴cos B和tan C中必有一个小于0,即B，C中必有一个钝角，故△ABC是钝角三角形．【答案】钝角5．（2016·扬州高一检测）如果α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°),则sin α的值等于________．【解析】∵P(1,－错误!），∴r＝错误!＝2，∴sin α＝－错误!。
【答案】－错误!6．（2016·南通高一检测)在（0，2π)内，使sin α＞cos α成立的α的取值范围是________．【解析】如图所示，当α∈错误!时，恒有MP＞OM，而当α∈错误!∪错误!时,则是MP＜OM。
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学业分层测评(一)任意角
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．与405°终边相同的角的集合为________．
【解析】与405°角终边相同的角，可表示为k·360°＋45°，k∈Z.
【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
2．(2016·如东高一检测)下面各组角中，终边相同的有________．(填序号)
①390°，690°；②－330°，750°；③480°，－420°；
④3 000°，－840°.
【解析】－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，均与30°角终边相同．
【答案】②
3．在－390°，－885°，1 351°，2 016°这四个角中，其中第四象限内的角有________. 【导学号：06460002】
【解析】－390°＝－360°－30°，显然终边落在第四象限；
－885°＝－720°－165°，其角的终边落在第三象限；
1 351°＝1 080°＋271°，其角的终边落在第四象限；
2 016°＝2 160°－144°，其角的终边落在第三象限，
故满足题意的角有－390°，1 351°.
【答案】－390°，1 351°
4．(2016·泰州高一检测)下列命题正确的是________(填序号)．
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③第四象限角一定是负角；
④钝角比第三象限角小．
【解析】 只有②正确．对于①，如A ＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．
【答案】 ②
5．(2016·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．
【解析】 与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝k ·360°－3 000°，k ∈Z }，与θ终边相同的最小正角是当k ＝9时，θ＝9×360°－3 000°＝240°，所以与α终边相同的最小正角为240°.
【答案】 240°
6．(2016·宿迁高一检测)若角α的终边与240°角的终边相同，则α2的终边在
第________象限．
【解析】 角α满足的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，故有⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫α2⎪⎪⎪ α2＝k ·180°＋120°，k ∈Z ， ∴α2终边落在第二象限或第四象限．
【答案】 二或四
7．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．
【解析】 如图所示，α是第四象限角，则－α是第一象
限角，∴180°－α是第三象限角．
【答案】 三
8．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________.
【解析】 7α＝k ·360°＋2α(k ∈Z )，∴α＝k ·72°，又α为第二象限角，∴在0°～360°内符合条件的角为144°，故α＝k ·360°＋144°(k ∈Z )．
【答案】 α＝k ·360°＋144°(k ∈Z )
二、解答题
9．(2016·无锡高一检测)将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.
【解】(1)420°＝360°＋60°，
而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．
(2)－510°＝－2×360°＋210°，
而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．
(3)1 020°＝2×360°＋300°，
而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．
10．写出终边在如图1-1-5所示阴影部分(包括边界)的角的集合．
图1-1-5
【解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则
(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－210°≤α≤k·360°＋30°，k∈Z}．
能力提升]
1．下列说法中正确的是________．(填序号)
①120°角与420°角的终边相同；
②若α是锐角，则2α是第二象限的角；
③－240°角与480°角都是第三象限的角；
④60°角与－420°角的终边关于x轴对称．
【解析】对于①，420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以①不正确；对于②，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以②不正确；
对于③，480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以③不正确；对于④，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x轴对称，故④正确．【答案】④
2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是________．
图1-1-6
【解析】令k＝0得，45°≤α≤90°，排除②④，
令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除①.
故填③.
【答案】③
3．已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则以下关系式你认为正确的是________(填序号)．
①M P；②M∩P＝N；③N∪P⊆P.
【解析】对于①：390°是第一象限角，但390°>90°.
对于②：－330°是第一象限角且－330°<90°，但－330°不是锐角．
对于③：锐角一定小于90°，所以N P，
故N∪P⊆P.
【答案】③
4．若α是第一象限角，问－α，2α，α
3是第几象限角？
【解】 ∵α是第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°(k ∈Z )．
(1)－k ·360°－90°＜－α＜－k ·360°(k ∈Z )，
∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．
(2)2k ·360°＜2α＜2k ·360°＋180°(k ∈Z )，
∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二 象限角或终边在y 轴的非负半轴上．
(3)k ·120°＜α3＜k ·120°＋30°(k ∈Z )．
法一：(分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，
n ·360°＜α3＜n ·360°＋30°(n ∈Z )，
∴α3是第一象限角；
当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°＜α3＜n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象
限角；
当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°＜α3＜n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象
限角．
综上可知：α3是第一、二或第三象限角．
法二：(几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1
的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限
角.。