华工数学实验报告 特征值与特征向量
数学实验教程_实验12(特征值与特征向量)
实验12 特征值与特征向量实验目的1．理解方阵的特征值与特征向量的含义2．掌握求特征值与特征向量的方法3．理解矩阵相似对角化的含义4．掌握特征值与特征向量的应用实验准备1．特征值与特征向量的定义及其计算方法2．方阵相似的充分必要条件3．方阵的幂的计算实验内容1．特征值与特征向量的计算2．方阵相似的充分必要条件3．实对称矩阵的相似对角化软件命令表12-1 Matlab特征值与特征向量命令实验示例【例12.1】特征值与特征向量的定义及几何演示=。
几何上可理设λ是方阵A的特征值，ξ是对应于特征值λ的特征向量，则Aξλξλ≠时，非零向量ξ在线性变换A的作用下的像Aξ与向量ξ的方向平行解为当数0- 72 - 第一章 基础实验（方向相同或相反）；当数0λ=时，非零向量ξ在线性变换A 的作用下的像为零向量。
试用如下方阵验证。
（1）1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2） 0.5 1.20.1 1.5A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （3）1111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
【原理】：二维情况：依次取单位圆周：c o s ,s i n ,0x y θθθπ==≤≤上的向量cos ()sin r r θθθ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，分别绘制向量r 、Ar ，当它们共线时就绘制一条直线。
【程序】：主程序：Exm12Demo01.m ；子程序：EigDemo.m【输出】：略。
【例12.2】特征值与特征向量的计算计算下列方阵的特征值与特征向量：1．123213336A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；2．323111414A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；3．11231114561117891A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
【命令】：% 第一小题Clear;clcA1=[1 2 3;2 1 3;3 3 6]; [V1,D1]=eig(A1); % 第二小题A2=[-3 2 3;-1 1 1;-4 1 4]; [V2,D2]=eig(A2); % 第三小题A3=[1 1/2 1/3;1/4 1/5 1/6;1/7 1/8 1/9]; [V3,D3]=eig(A3); 【输出】：特征值分别为： 第一小题：-1 0 9；第二小题：1+i,1-i,0；第三小题：0.002178，0.11475，1.1942。
华工数学实验报告特征值与特征向量
《数学实验》报告学院：电子信息学院专业班级：信息工程电联班学号：姓名：实验名称：特征根与特征方程实验日期：2016/05/31特征根与特征方程1．实验目的掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程x k+1=Ax k；提高对离散动态系统的理解与分析能力。
2．实验任务1．当捕食者-被捕食者问题中的捕食系数p是0.125时，试确定该动态系统的演化（给出xk的计算公式）。
猫头鹰和森林鼠的数量随时间如何变化？该系统趋向一种被称为不稳定平衡的状态。
如果该系统的某个方面（例如出生率或捕食率）有轻微的变动，系统如何变化？2．杂交育种的目的是培养优良品种，以提高农作物的产量和质量。
如果农作物的三种基因型分别为AA，Aa，aa。
其中AA为优良品种。
农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知双亲基因型与其后代基因型的概率。
问经过若干年后三种基因型分布如何？要求：（1）建立代数模型，从理论上说明最终的基因型分布。
（2）用MATLAB求解初始分布为0.8，0.2，0时，20年后基因分布，是否已经趋于稳定？3．实验过程3.1实验原理1、特征值与特征向量2、特征值与特征向量的求法3、矩阵的对角化4、离散线性动态系统5、eig命令3.2算法与编程3.2.1clear, clca = -20*100;b = -a;c = a;d = b; p = 0.1;n = 100;xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')axis([0 b 0 d]),grid on,hold onx = linspace(a,b,30);A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda] = eig(A);[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp = diag(lambda);lambda = temp(I)pc = pc(:,I)pc = -pc;z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x;h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2')button = 1;while button == 1[xi yi button] = ginput(1);plot(xi,yi,'go'),hold onX0 = [xi;yi];X = X0;for i=1:nX = [A*X, X0];h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold ontext(X0(1,1),X0(2,1),'x0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]',p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend3.2.2clear;A=[1 0.5 0;0 0.5 1;0 0 0];X=[0.8;0.2;0];for i=1:20X=A*X;endX20=XX=[0.8;0.2;0];C=[1 1 1]';n=0;while norm(X-C,'fro')>1.0e-16C=X;n=n+1;X=A*X;endformat long;X,n结果分析1.2.>>X20 =0.9999998092651370.0000001907348630 X =1.0000000000000000.000000000000000n =524.实验总结和实验感悟通过本次实验，我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程xk+1=Axk；提高对离散动态系统的理解与分析能力。
2017年华工数学实验实验报告
2
实验一
地 点： 4 号楼 实验日期与时间： 预习检查纪录： 电子文档存放位置： 电子文档文件名：
Matlab 基础知识
4104 房； 实验台号： 评 分： 刘小兰 66
2017 年 3 月 8 日
实验教师：
卓越班-66-陈艺荣实验一
批改意见：
1 实验目的 - 掌握Matlab中的常用函数与变量、表达式的定义方法。 - 熟悉Matlab M文件的编写和运行方式。 2 问题 1
1 实验目的................................................................................................................ 3 2 问题 1..................................................................................................................... 3 3 问题 2..................................................................................................................... 7 4 实验总结和实验感悟.......................................................................................... 10 实验二 数据拟合...................................................................................................... 11
特征值和特征向量的几何和物理意义
特征值和特征向量的几何和物理意义我们知道，矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。
在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。
如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。
实际上，上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义（图形变换）也讲了其物理含义。
物理的含义就是运动的图景：特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。
特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量身形暴长；特征值大于0小于1，特征向量身形猛缩；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到0点那边去了。
注意：常有教科书说特征向量是在矩阵变换下不改变方向的向量，实际上当特征值小于零时，矩阵就会把特征向量完全反方向改变，当然特征向量还是特征向量。
我赞同特征向量不改变方向的说法：特征向量永远不改变方向，改变的只是特征值（方向反转特征值为负值了）。
这有点类似地说冬天深圳的室外“温度”是10℃，哈尔滨室外的“温度”是-30℃(称温度而不温)；也类似说无人飞机在海拔“高度”100米处飞行而核潜艇在海拔“高度”-50米（称高度而不高）处游弋一样。
关于特征值和特征向量，这里请注意两个亮点。
这两个亮点一个是线性不变量的含义，二个是振动的谱含义。
特征向量是线性不变量所谓特征向量概念的亮点之一是不变量，这里叫线性不变量。
因为我们常讲，线性变换啊线性变换，不就是把一根线（向量）变成另一根线（向量），线的变化的地方大多是方向和长度一块变。
而一种名叫“特征向量”的向量特殊，在矩阵作用下不变方向只变长度。
不变方向的特性就被称为线性不变量。
如果有读者坚持认为负方向的特征向量就是改变了向量的方向的想法的话，你不妨这样看线性不变量：特征向量的不变性是他们变成了与其自身共线的向量，他们所在的直线在线性变换下保持不变；特征向量和他的变换后的向量们在同一根直线上，变换后的向量们或伸长或缩短，或反向伸长或反向缩短，甚至变成零向量（特征值为零时），如下图。
华工数学实验七 特征值和特征向量
实验七特征值与特征向量地点：计算中心202房实验台号：30 实验日期与时间：2018年6月6日评分：预习检查纪录：实验教师：刘小兰电子文档存放位置：电子文档文件名：信息工程3班-30-邢靖-实验七.docx批改意见：1．实验目的-掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论;-掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;-理解由差分方程x k+1=Ax k所描述的动态系统的长期行为或演化;-提高对离散动态系统的理解与分析能力。
2．问题11.当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，试确定该动态系统的的计算公式).猫头鹰和森林鼠的数量随着时间如何变化?该系统趋向演化(给出xk一种被称为不稳定平衡的状态。
如果该系统的某个方面(例如出生率或捕食率)有轻微的变动，系统会如何变化?2.1实验原理1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的求法3.矩阵的对角化4.离散线性动态系统5.eig命令函数: d=eig(A)功能:求矩阵A的特征值。
说明:返回一列向量d，包含方阵A的所有特征值。
函数: [V,D]=eig(A)或[V,D]=eig(X,'nobalance') 功能:求矩阵A的特征值和特征向量。
说明:生成特征值矩阵D和特征向量构成的矩阵V,使得使得A*V=V*D。
矩阵D由A的特征值在主对角线构成的对角矩阵。
V是由A的特征向量按列构成的矩阵。
[V,D]=eig(A)中，先对A作相似变换再求A的特征值和特征向量;而[V,D]=eig(A,'nobalance)中，直接求矩阵A的特征值和特征向量。
2.2算法与编程% ex1.m求特征值与特征向量clcA = [0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda] = eig(A); %求A的特征值和对应的特征向量[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');%对特征值的绝对值降序排列temp = diag(lambda);lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值pc = pc(:,I) %与特征值对应的特%P8_1.m捕食者-被捕食者解的图像表示% P8_1.m%捕食者-被捕食者解的图像表示clear, clca = 0;b = 2000;c = a;d = b; p = 0.1; %确定画图范围n = 100; %序列迭代次数xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')axis([a b c d]),grid on,hold onx = linspace(a,b,30);A = [0.5 0.4;-0.125 1.1]; %特征值绝对值<1[pc,lambda] = eig(A); %求A的特征值和对应的特征向量[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend'); %对特征值的绝对值降序排列temp = diag(lambda);lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值pc = pc(:,I)pc = -pc;z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x; %特征向量v1z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x; %特征向量v2h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2') button = 1;while button == 1[xi yi button] = ginput(1); %用鼠标选初始点plot(xi,yi,'go'),hold onX0 = [xi;yi];X = X0;for i=1:nX = [A*X, X0]; %用这种方式迭代，并画图h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold on text(X0(1,1),X0(2,1),'x0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]', p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend2.3实验结果>>P8_1A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];平衡A = [0.5 0.41;-0.125 1.1];增加出生率A = [0.5 0.39;-0.125 1.1];降低出生率A = [0.5 0.4;-0.135 1.1]; 增加捕食参数A = [0.5 0.4;-0.135 1.1]; 降低捕食参数2.4结果分析答：该动态系统演化猫头鹰和森林鼠随时间数量趋于稳定，比值4：5。
特征值和特征向量、矩阵相似对角化
定理4.6 若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则 （1） R A = R B （2） Ａ与Ｂ有相同的特征多项式和特征值． （3） A B （4） tr ( A) tr ( B) 推论 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵 1 2 diag(1 , 2 , , n ) n 相似， 则 1 , 2 , , n 就是Ａ的ｎ个特征值．
二、特征值和特征向量的性质 定理 一个n阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值.
定理
设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1 , 2 ,
ann ;
, n
则 (1) 12
n A ; (2) 1 2 n a11 a22
证明① 当 1 , 2 ,
, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2
n
n
1 2
n
n
n
n 1
1 12
n
令 0, 得 A 1 12 即 12
n
n A .
证明② 因为行列式 a11
这个向量组称为正交向量组，简称正交组.
3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
1 , 2 ,, m
T i
是标准正交向量组
1, i j j [ i , j ] 0, i j i , j 1,2, , m
定理4.11 正交向量组必为线性无关组.
Ｐ中的列向量 p1 , p2 , , pn 的排列顺序要与 （ 1） 1 , 2 , , n 的顺序一致． （2） 因 pi 是 ( A E ) x 0的基础解系中的解向量， 因此Ｐ也是不唯一的． 故 pi 的取法不是唯一的，
特征值和特征向量的应用 数学毕业论文
河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书编号： 2013230论文（设计）题目；特征值和特征向量的应用学部：信息工程学部专业：数学与用用数学班级： 2009级2班学生姓名：学号：指导教师：职称：副教授1、论文（设计）研究目标及主要任务通过对特征向量与特征值的应用的研究，来充分利用的特征向量与特征值计算的简便解决相关问题，应用于数学解题计算中和生活实际的应用中。
主要是归纳研究出特征向量和特征值在不同类形的矩阵中，怎样帮助解决相关试题。
同时将特征值和特征向量应用到生活中的应用，如经济应用，环境污染的增长类型，莱斯利种群的相关问题。
2、论文（设计）的主要内容特征值和特征向量的相关概念，性质。
在数学中，按照分类矩阵来应用特征值与特征向量来解题。
在生活中的几个方面的应用。
3、论文（设计）的基础条件及研究路线首先，明白相关的定义，如特征值、特征向量、特征多项式、对角矩阵等相关的概念。
其次，了解他的相关性质，并应用到解题和相关的生活中。
4、主要参考文献[1] 王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 汤正华.关于矩阵的特征值与特征向量的探究[J].山东行政学院山东省经济管理干部学院学报，2008，（91）:46—48.[3] 向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究[J].重庆三峡学院学报，2009,25（117）：135—138.[4] 吴春生.浅议线性变换与矩阵的特征值与特征向量的关系[J].连云港师范高等专科学校学报，2004,（4）：75—76.[5] 何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法[J].铜仁学院学报，2009,11（3）：139—140.[6] 杨廷俊.矩阵特征值与特征向量的同步求解法[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2006,20（3）：20—22.[7] 李延敏.关于矩阵的特征值与特征向量同步求解问题[J].大学数学，2004,20（4）：92—95.[8] 姚幕生.高等代数[M].上海:复旦大学出版社,2002[9]邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究[J].菏泽学院学报，2006，（5）：20—23.[10]奚传志.矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用[J].枣庄师专学报，1991,（2）：26—30[11]郭华，刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用[J].渝州大学学报（自然科学版），2000,17（2）：72—75.[12]同济大学数学教研室.线性代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社.1993,115—137[13]矩阵的特征值、特征向量和应用[J].临沂师专学报，1994，（5）：1—7.教研室主任:年月日河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）开题报告书矩阵是数学领域中的一个重要的基本概念之一,是高等代数的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，还有在力学、信息、科技等方面都有十分广泛的应用.目前关于已经有很多专家学者在此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中，从线性空间V中的线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发，引入矩阵的特征值与特征向量的概念.郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中，从方阵的特征值与特征向量的性质着手，结合具体的例题阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶。
5-1 矩阵的特征值与特征向量
三、特征值和特征向量的性质
性质 若n阶矩阵 与B相似, 则A与B的特征多 1 A 项式相同从而A与B的特征值亦相同 , .
可逆阵P ,使得P 1 AP B 证明 A与B相似
I B P 1 I P P 1 AP
P 1 I AP P 1 I A P
它的属于任一特征值特征子空间的维数等于 的 该特征值的重数，即若 f A ( ) ( 1 ) ( k )
n1 nk
其 中 i , i 1,2, , k互 异, 则A可 对 角 化 当 且 仅 当 dimV ni , i 1,2, , k .
i
第一节
特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的计算 三、特征值和特征向量的性质
四、矩阵的对角化
一、特征值与特征向量的概念
概念的引入: 矩阵对角化问题 定 义1 设A, B都 是n阶 矩 阵 若 有 可 逆 矩 阵 , 使 , P
P 1 AP B , 则 称B是A的 相 似 矩 阵或 说 矩 阵 与B相 似 。 , A
A m x m x 再继续施行上述步骤 m-2次，就得
故 是矩阵A 的特征值, 且 x 是 A 对应于 的特
m m m m
征向量.
例 3 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则 (1) m是Am的特征值m是任意常数.
(2) 当A可逆时, 1是A1的特征值.
6 0 4 例2 设A 3 5 0 ，A能否对角化？ 3 6 1
若能对角化，则求出相似变换矩阵 P,
使P 1 AP为对角阵.
解
4 6 0 2 1 2 I A 3 5 0 3 6 1
特征值与特征向量的特点及应用
特征值与特征向量的特点及应用LT特征值与特征向量的特点及应用摘要：这篇文章阐述了特征值与特征向量的特点及应用，给出了特征值与特征向量、特征多项式、特征子空间等的概念和性质定理。
并且给出了特征值与特征向量在物理学当中的应用，提供了一些经典习题的解答方法。
还给出了特征值与特征向量在实际生产生活当中的应用。
关键词:特征值，特征向量，特征多项式，不变子空间，特征子空间Abstract: this article expounds the characteristics of the eigenvalue and eigenvector and applications of eigenvalue and eigenvector is given, and characteristic polynomial, such as feature subspace concept and nature of the theorem. And eigenvalue and eigenvector are givenin the application of physics, provides some classical problem solution method. Eigenvalues and eigenvectors are also in the actual application of production and living.Key words: eigenvalues, eigenvectors and characteristic polynomial, invariant subspace, feature subspace矩阵的特征值和特征向量在现实实际拥有广泛的应用，矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、信息科学、天文物理学、生命科学和环境保护等领域都有联系。
结合数学模型来研究等一系列问题，我们主要从三方面着手：线性变换的特征值与特征向量，特征多项式和特征子空间的定义；矩阵的公共特征向量与同时三角化；特征值与特征向量的运用。
第十一章特征值与特征向量ppt课件
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11
特征向量归一化
矩阵A的相应于特征值λ的特征向量V乘以一 个常量c仍然是特征值λ的特征向量
A(cV)=c(AV)=c(λV)=λ(cV)
为得到唯一的形式，可使用向量范数将特 征向量归一化
U=V/||V||p 则向量U的p-范数为1
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12
对角化
对角矩阵D的特征值容易求得
定理11.5 设A是一个方阵，λ1,λ2,…,λk是A的 互不相同的特征值，对应的特征向量分别 是V1,V2,…,Vk，则{V1,V2,…,Vk}是一组线性 无关的向量集合。
定理11.6 如果n×n矩阵A的特征值是互不相 同的，则存在n个线性无关特征向量Vj， 其中j=1,2,…,n。
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2
矩阵的特征值问题
设矩阵 A R nn ，如果存在数 C 及非零向量 x C n 满足 方程 Ax x ，则称 为矩阵 A 的一个特征值，x 称为矩阵 A 的相应于特征值 的特征向量。为简单起见，下称 ，x 为矩 阵 A 的一特征对。 和 x 分别是实（复）数和实（复）向量。
用单位矩阵 I 来重写上述方程，可以得到Ax=λIx，从而进 一步可以写成线性方程组的标准形式(A-λI)x=0，这是关于 向量 x 的齐次线性方程组。该齐次方程组因为存在非平凡 解x≠0，所以有det(A-λI)=0
具有n个不同特征值的矩阵A是可对角化的 例11.3
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15
对称性的优势
对于实对称矩阵，它一定有n个实特征向量， 对于重复度为mj的特征值，它有mj个线性无 关的特征向量，因此每一个实对称矩阵都 是可对角化的
但实非对称矩阵可具有复数特征值和特征 向量
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矩阵论—特征值和特征向量
矩阵论—特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念，被广泛应用于各个领域，如数学、物理、工程等。
在这篇文章中，我们将讨论特征值和特征向量的定义、性质以及它们在实际问题求解中的应用。
首先，我们来定义特征值和特征向量。
给定一个n×n的矩阵A，非零向量v被称为矩阵A的特征向量，如果满足以下条件：Av=λv其中，λ为实数，被称为矩阵A的特征值。
注意到，特征向量可以乘以一个非零常数而不改变其性质，因此特征向量通常是被归一化的。
接下来，我们来讨论特征值和特征向量的性质。
首先，特征值可以是实数或复数。
如果特征值是实数，那么对应的特征向量也是实数向量；而如果特征值是复数，那么对应的特征向量是复数向量。
其次，一个矩阵的特征值的个数为其阶数n。
特征向量可以有多个，也可以不存在。
特征向量不唯一，只要是与之相关的非零常数倍数的向量都可以作为特征向量。
此外，特征向量之间是线性无关的。
如果一个矩阵有n个不同的特征值，那么对应的特征向量也是线性无关的，从而可以构成一个线性无关的特征向量组。
特征值和特征向量在许多实际问题中有广泛的应用。
例如，特征值和特征向量可以用于求解线性方程组，并且可以简化矩阵的乘法运算。
一个矩阵可对角化的充要条件是它具有n个线性无关的特征向量，其中$n$为矩阵的阶数。
此外，特征值和特征向量还可以用于矩阵的相似变换。
两个相似矩阵具有相同的特征值，但对应的特征向量可能不同。
相似变换可以将一个矩阵转化成一个相似的矩阵，从而简化矩阵计算的过程。
特征值和特征向量还有一些重要的性质。
例如，对称矩阵的特征值是实数；正交矩阵的特征向量正交；特征值的和等于矩阵的迹，特征值的乘积等于矩阵的行列式。
总结起来，特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念，它们不仅具有数学上的意义，还被广泛应用于各个领域的实际问题求解中。
深入理解和应用特征值和特征向量的概念，将有助于我们更好地理解和解决复杂的问题。
华工数学实验报告特征值与特征向量
华工数学实验报告特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵论中的重要概念，在数学和工程中有着广泛的应用。
本文将通过实验来探究特征值与特征向量的概念及其特性。
实验原理：特征值与特征向量是矩阵理论中的基本概念，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零列向量X和一个数λ，使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的特征值，X为特征向量。
实验步骤：1.选择一个适当的n阶方阵A，确定其特征值和特征向量。
2.编写程序，利用代数解法求解矩阵A的特征值和特征向量。
3.利用程序计算矩阵A的特征值和特征向量，并与代数解法的结果进行对比。
4.对不同的n进行实验，并记录实验结果。
5.分析实验数据，总结特征值与特征向量的特性。
实验结果：1.经过实验，我们发现矩阵的特征值与特征向量具有以下特性：(1)对于一个n阶矩阵A，其特征值的个数等于矩阵的阶数n。
(2)对于相似矩阵，它们具有相同的特征值。
(3)对于特征值相同的矩阵，它们的特征向量可能不同。
(4)对于实对称矩阵，其特征值一定是实数。
(5)对于正交矩阵，其特征向量一定是正交的。
2.实验结果与代数解法的结果基本一致，验证了实验的准确性。
实验结论：通过对特征值与特征向量的实验，我们对于这一概念及其特性有了更深入的了解。
特征值与特征向量在数学和工程中有着广泛的应用，例如在矩阵的对角化、矩阵求逆等领域都起到了重要的作用。
因此，对于特征值与特征向量的研究具有重要的理论和实际意义。
总结：本实验通过实验数据的记录和分析，深入研究了特征值与特征向量的概念及其特性。
特征值与特征向量在数学和工程中有着广泛的应用，对于矩阵的性质和求解具有重要意义。
实验过程中利用代数解法和编程求解的方法，验证了实验的准确性。
通过本实验，我们对于特征值与特征向量有了更深入的认识，并且对于矩阵的理论和应用有了更加全面的了解。
矩阵论—特征值和特征向量
矩阵论—特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。
在线性代数中，矩阵可以视为线性变换的一种表示，而特征值和特征向量则是描述这种线性变换的特性的数学工具。
首先，我们来定义特征值和特征向量。
设A是一个n×n矩阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，那么称λ为矩阵A的特征值，x称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量的求解可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是指矩阵A减去λI后的行列式等于零，其中I是单位矩阵。
即，det(A-λI)=0。
求解特征方程可以得到矩阵A的所有特征值λ。
而对于每个特征值λ，通过求解(A-λI)x=0，可以得到对应的特征向量x。
特征值和特征向量的应用非常广泛。
一方面，它们可以用来判断一个矩阵的性质。
例如，对于对称矩阵，它的特征值都是实数；对于正定矩阵，所有特征值都是正数。
另一方面，特征向量可以用来描述矩阵的变换效果。
当一个向量x是矩阵A的特征向量时，它进行矩阵A的线性变换后，只发生了伸缩而没有发生旋转。
特征向量的长度（模）因子为特征值的绝对值。
特征值和特征向量还与矩阵的对角化有关。
如果一个n×n矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么A可以被相似对角化，即存在一个可逆矩阵P和对角矩阵D，使得A=PDP^(-1)，其中D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
对角化简化了矩阵的计算，并且提供了矩阵变换的直观理解。
特征值和特征向量还可以应用于解决线性方程组和矩阵的幂运算问题。
对于一个方阵A，求解Ax=b的解可以通过特征值和特征向量来实现。
当一个矩阵A对角化后，方程Ax=b可以转化为Dy=P^(-1)b，其中y是一个新的未知向量。
然后再求解Dy=P^(-1)b，最后通过y=P^(-1)b求得原方程的解x。
此外，矩阵的幂运算A^k可以通过特征值和特征向量来简化。
由于A=PDP^(-1)，所以A^k=(PDP^(-1))^k=PD^kP^(-1)，其中D^k是D中的每个元素都进行幂运算后的对角矩阵。
华南理工大学 线性代数与解析几何 课件 (21)
第五章 特征值与特征向量
§5.3 实对称矩阵的对角化
aibi 向量的内积 (, ) =i =1 设 = (a1, a2, …, an)， = (b1, b2, …, bn)
n
柯西不等式 三角不等式
|(, )| ||| | | + | ||+.1
(3) A, B为正交矩阵 AB为正交矩阵.
(AB)T(AB) = (BTAT)(AB) = BTEB = BTB = E
第五章 特征值与特征向量
§5.3 实对称矩阵的对角化
定理3.3 n阶矩阵A为正交矩阵
A的列(行)向量是Rn的标准正交基。 设A = [1, 2, …, n], a11 a12 a1n a21 a22 a2n , …, n = 其中1 = , 2 = ,
2
2 1 1 1 1 2 2 , ,0, , ,0,1 | 2 | 2 2 6 / 2 6 6 6 1 1 1 1 1 1 3 1 3 3 , , , , ,1, | 3 | 3 3 3 12 / 3 12 12 12 12 1
(1,3) (2,3) 3 = 3 1 2 (2, 2) (1, 1)
2 2
1 1
第五章 特征值与特征向量
§5.3 实对称矩阵的对角化
施密特正交化方法 将一组基构造成与之等价的正交基 n的一组基 , …, —— R 1 = 1, 1 n ( 1, 2 ) 2 = 2 1, (1, 1) 正交化 ……… (1,n) (n1,n) n = n 1 … n 1 . (n1, n1) (1, 1)
n
解：先用施密特方法正交化。 令：1 1 (1,1,0,0)
特征值与特征向量在数学研究领域的应用
特征值与特征向量在数学研究领域的应用特征值与特征向量在数学研究领域的应用在数学学科中，特征值与特征向量是一个非常基本且重要的概念，也是应用最为广泛的一个概念。
它具有在众多数学领域内的应用，包括线性代数、微分方程、物理学、工程学、金融学等。
本文将探讨特征值与特征向量在数学研究领域的应用。
一、特征值与特征向量的基本概念先介绍一下什么是特征值与特征向量。
在线性代数中，一个n阶方阵A如果满足存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，那么k被称为A的特征值，而x被称为A的特征向量。
因此，我们可以得到一个矩阵的所有特征值和特征向量。
二、应用2.1 微分方程在微分方程的研究中，特征值和特征向量可以被用来解决比较难以解决的问题。
考虑一个二阶常微分方程y'' + λy = 0，其中λ为常数。
我们可以尝试用常见的方法解这个方程，得到其解为y = A sin(√λx) + B cos(√λx)，A、B为常数。
然而，当我们遇到错误边界条件时，这种解法就无法使用了。
而利用特征值和特征向量的方法，我们可以得到y的通解为y = c1 x1 + c2 x2，其中x1和x2是矩阵A的不同特征向量，并且c1、c2为常数。
这样，我们就可以通过不同的初始条件，来解决更具挑战性的问题。
2.2 物理学在量子力学中，特征向量和特征值发挥着重要的作用。
在量子理论中，我们通常研究的是波函数，波函数的特性可以由其对应的特征值和特征向量来描述。
例如，在薛定谔方程中，我们需要求解系统的特征值和特征向量，以确定体系的各种属性的取值。
2.3 工程学在工程学中，矩阵和向量的应用非常广泛。
特征值与特征向量可以应用在结构分析、控制系统设计、信号处理、图像处理等领域，如有一个高斯噪声的图像需要处理时，就可以通过矩阵分解得到其特征值和特征向量，以去除噪声干扰，从而完整恢复出原始图像。
2.4 金融学在金融学中，特征值和特征向量可以应用在资产组合分析中。
特征值与特征向量定义与计算
特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，称为A的特征多项式，记ƒ(λ)=| λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。
ƒ(λ)=| λE-A|=λn+α1λn-1+…+αn= 0是一个n次代数方程，称为A 的特征方程。
特征方程ƒ(λ)=| λE-A|=0的根 (如：λ0) 称为A的特征根(或特征值)。
n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。
以A的特征值λ0代入 (λE-A)X=θ，得方程组 (λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。
因为 |λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于λ0的特征向量。
所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。
一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得：[λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式 |λ0E-A| =0的根，由代数基本定理有n个复根λ1, λ2,…, λn，为A的n个特征根。
当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λi E-A)X=θ是齐次方程，λi 均会使 |λi E-A|=0，(λi E-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λi E-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
例1. 求矩阵的特征值与特征向量。
解：由特征方程解得A有2重特征值λ1=λ2=-2，有单特征值λ3=4对于特征值λ1=λ2=-2，解方程组 (-2E-A)x=θ得同解方程组 x1-x2+x3=0解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)分别令自由未知量得基础解系所以A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为x=k1ξ1+k2ξ2 (k1,k2不全为零)可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。
华工数学实验报告材料特征值与特征向量
《数学实验》报告学院：电子信息学院专业班级：信息工程电联班学号：姓名：实验名称：特征根与特征方程实验日期：2016/05/31特征根与特征方程1．实验目的掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程x k+1=Ax k；提高对离散动态系统的理解与分析能力。
2．实验任务1．当捕食者-被捕食者问题中的捕食系数p是0.125时，试确定该动态系统的演化（给出xk的计算公式）。
猫头鹰和森林鼠的数量随时间如何变化？该系统趋向一种被称为不稳定平衡的状态。
如果该系统的某个方面（例如出生率或捕食率）有轻微的变动，系统如何变化？2．杂交育种的目的是培养优良品种，以提高农作物的产量和质量。
如果农作物的三种基因型分别为AA，Aa，aa。
其中AA为优良品种。
农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知双亲基因型与其后代基因型的概率。
问经过若干年后三种基因型分布如何？要求：（1）建立代数模型，从理论上说明最终的基因型分布。
（2）用MATLAB求解初始分布为0.8，0.2，0时，20年后基因分布，是否已经趋于稳定？代基因型Aa01/211/21/20 aa0001/41/213．实验过程3.1实验原理1、特征值与特征向量2、特征值与特征向量的求法3、矩阵的对角化4、离散线性动态系统5、eig命令3.2算法与编程3.2.1clear, clca = -20*100;b = -a;c = a;d = b; p = 0.1;n = 100;xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')axis([0 b 0 d]),grid on,hold onx = linspace(a,b,30);A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda] = eig(A);[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp = diag(lambda);lambda = temp(I)pc = pc(:,I)pc = -pc;z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x;h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2')button = 1;while button == 1[xi yi button] = ginput(1);plot(xi,yi,'go'),hold onX0 = [xi;yi];X = X0;for i=1:nX = [A*X, X0];h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold ontext(X0(1,1),X0(2,1),'x0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]',p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend3.2.2clear;A=[1 0.5 0;0 0.5 1;0 0 0];X=[0.8;0.2;0];for i=1:20X=A*X;endX20=XX=[0.8;0.2;0];C=[1 1 1]';n=0;while norm(X-C,'fro')>1.0e-16 C=X;n=n+1;X=A*X; endformat long;X,n结果分析1.2.>>X20 =0.9999998092651370.000000190734863X =1.0000000000000000.000000000000000n =524.实验总结和实验感悟通过本次实验，我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程xk+1=Axk；提高对离散动态系统的理解与分析能力。
特征值与特征向量及其应用
摘要特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论和学习和实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常重要的价值.正文共分四章来写，其中第一章介绍了写作背景以及研究目的.第二章介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且写出了线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系.第三章介绍了特征值与特征向量的几种解法：利用特征方程求特征值进而求特征向量、列行互逆变换法、利用矩阵的初等变换求特征值和特征向量.第四章重点介绍了特征值特征向量的应用，如n阶矩阵的高次幂的求解以及矩阵特征值反问题的求解等等.本文充分利用特征值与特征向量的特性求解相关问题，这带有一定的技巧性，但并不难想象，特别是跟其它方法相比，计算显得非常简洁，在解决具体问题上具有很大的优越性.当然关于矩阵的特征值和特征向量的内容很广，本文仅就特征向量的性质以及一些应用展开研究.关键词：特征值；特征向量；矩阵；递推关系；初等变换AbstractAs an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvector and its application.The text is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector;the method of reversible transform on Rows and columns;the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, comparing with other methods.Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application.Key words:eigenvalue；eigenvector；matrix；recursive relations；elementary；transformation目 录摘 要....................................................................................................................................... I Abstract .. (II)1 引 言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 研究现状 (1)1.3 本文研究目的及意义 (2)2 特征值与特征向量 (3)2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (3)2.1.1 线性变换的特征值与特征向量 (3)2.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量 (3)2.2 (),V p n 中线性变换ℜ的特征值、特征向量与矩阵R 的特征值与特征向量之间的关系 (3)3 特征值与特征向量的解法 (5)3.1 求数字方阵的特征值与特征向量 (5)3.2 列行互逆变换法 (6)3.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量 (10)4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究 (15)4.1 n 阶矩阵()1*,,,,,m kA aA bI A A A f A -+的特征值和特征向量. (15)4.2 n 阶矩阵的高次幂的求解 (16)4.3 矩阵特征值反问题的求解 (17)4.4 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用 (18)4.5 特征值法求解二次型的条件最值问题 (22)4.5.1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法 (22)4.5.2 应用举例 (25)4.6 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用 (26)4.6.1 特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质 (26)4.6.2 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 (26)总 结 (30)参考文献 (31)致 谢 (32)1 引言1.1研究背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论.对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.1.2研究现状在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中从线性空间V中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义.郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在《特征值问题的MATLAB 实践》中从实际案例入手，利用MATLAB软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法.张红玉在《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、马丽在《讨论矩阵的特征值与行列式的关系》中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.1.3本文研究目的及意义在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.2 特征值与特征向量2.1 特征值与特征向量的定义和性质2.1.1 线性变换的特征值与特征向量定义1：设．ℜ是数域．．．P 上的线性空间．．．．．V 的一个线性变换．．．．．．．，如果对于数域．．．．．．P 中一数．．．0λ，存在一个非零向量．．．．．．．．ξ，使得．．0ξλξℜ=那么．．0λ称为．．ℜ的一个．．．特征值．．．，而．ξ称为．．ℜ的属于特征值．．．．．．0λ的一个．．．特征向量．．．．. 2.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量定义2：设R 是n 阶方阵，如果存在数0λ和n 维非零向量X ，使得0RX X λ=成立，则称0λ为R 的特征值，X 是R 的对应特征值0λ的特征向量.性质1若i λ是R 的i r 重特征值，R 对应特征值i λ有i s 个线性无关的特征向量，则i i s r ≤.性质2 如果12,x x 都是矩阵R 的属于特征值0λ的特征向量,则当11220k x k x +≠时, 11220k x k x +≠仍是R 的属于特征值0λ的特征向量．性质3 如果12,,,n λλλ是矩阵R 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是12,,,n x x x ，则12,,,n x x x 线性无关．性质4 若()ij n n R r ⨯=的特征值为12,,,n λλλ，则 121122n nn r r r λλλ+++=+++，12n R λλλ=． 性质5 实对称矩阵R 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交． 性质 6 若i λ 是实对称矩阵R 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量，或()i i r R E n r λ-=-．性质7设λ为矩阵R 的特征值，()P x 为多项式函数，则()P λ为矩阵多项式()P R 的特征值．2.2 (),V p n 中线性变换ℜ的特征值、特征向量与矩阵R 的特征值与特征向量之间的关系定理：设12,,,n εεε是(),V p n 的一组基()L V ℜ∈,()()1212,,,,,,n n R εεεεεεℜ= 1）ℜ的特征值0λ必是R 的特征值，ℜ的属于0λ的特征向量1122n n x x x ξεεε=+++，则()12,,,n x x x 必是R 的属于特征值0λ的特征向量.2）设0λ是R 的一个特征值，且0λ∈P ，则0λ是ℜ的一个特征值.若()12,,,n x x x 是R 的一个属于特征值0λ的一个特征向量，则1122n n x x x ξεεε=+++是ℜ的一个属于0λ的特征向量.证明：1）设0λ是ℜ的特征值，于是有ξ≠0使得0ξλξℜ=，其中0λ∈P ，设1122n n x x x ξεεε=+++，则()12112212,,,n n n n x x x x x R x ξεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪ℜ=ℜ+ℜ++ℜ ⎪ ⎪⎝⎭ = ， 又0ξλξℜ=，所以有()()112212120,,,,,,n n n n x x x x R x x εεεεεελ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， 由他们的坐标列相等可得 ()120000n x x E R x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以其次线性方程组()00E R X λ-=有非零解，于是00E R λ-=，故0λ是R 的特征多项式的根，即0λ是R 的特征值，从而ξ的坐标是R 的属于0λ的特征向量.2）设0λ是R 的一个特征值，0λ∈P ，且00E R λ-=，于是()00E R X λ-=有非零解，()120,,,n n x x x ≠∈P ，令n n x x x V ξεεε≠=+++∈11220，()120000n x x E R x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11220=n n x x x x R x x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是0ξλξℜ=，故0λ是ℜ的一个特征值，且ξ是ℜ的属于0λ的特征向量.3 特征值与特征向量的解法3.1 求数字方阵的特征值与特征向量由方阵的特征值和特征向量的定义知:a ≠0是A 的属于λ的特征向量 因为Aa a λ=所以a 是齐次线性方程组()0E A x λ-=的非零解，所以λ是特征方程()0A f E A λλ-=的根。
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《数学实验》报告
学院: 电子信息学院
专业班级: 信息工程电联班
学号:
姓名:
实验名称: 特征根与特征方程
实验日期: 2016/05/31
特征根与特征方程
1．实验目的
掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念与理论; 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;
理解由差分方程x k+1=Ax k;
提高对离散动态系统的理解与分析能力。
2．实验任务
1．当捕食者-被捕食者问题中的捕食系数p就是 0、125时,试确定该动态系统的演化(给出xk的计算公式)。
猫头鹰与森
林鼠的数量随时间如何变化？该系统趋向一种被称为不稳
定平衡的状态。
如果该系统的某个方面(例如出生率或捕食
率)有轻微的变动,系统如何变化？
2．杂交育种的目的就是培养优良品种,以提高农作物的产量
与质量。
如果农作物的三种基因型分别为AA,Aa,aa。
其中AA为优良品种。
农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代,已知双亲基因型与其后代基
因型的概率。
问经过若干年后三种基因型分布如何？要求: （1）建立代数模型,从理论上说明最终的基因型分布。
（2）用MATLAB求解初始分布为0、8,0、2,0时,20年后基
概率父体－母体基因型
AA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa
后
代
基
因
型
AA11/201/400
Aa01/211/21/20
aa0001/41/21 3．实验过程
3、1实验原理
1、特征值与特征向量
2、特征值与特征向量的求法
3、矩阵的对角化
4、离散线性动态系统
5、eig命令
3、2算法与编程
3、2、1
clear, clc
a = -20*100;
b = -a;
c = a;
d = b; p = 0、1;
n = 100;
xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')
axis([0 b 0 d]),grid on,hold on
x = linspace(a,b,30);
A = [0、5 0、4;-0、125 1、1];
[pc,lambda] = eig(A);
[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');
temp = diag(lambda);
lambda = temp(I)
pc = pc(:,I)
pc = -pc;
z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x;
z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x;
h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),
text(x(7),z1(7)-100,'v1')
h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),
text(x(20),z2(20)-100,'v2')
button = 1;
while button == 1
[xi yi button] = ginput(1);
plot(xi,yi,'go'),hold on
X0 = [xi;yi];
X = X0;
for i=1:n
X = [A*X, X0];
h = plot(X(1,1),X(2,1),'R、
',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold on
text(X0(1,1),X0(2,1),'x0')
quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2, 1)-X(2,2),0]',p)
set(h,'MarkerSize',6),grid,
end
end
3、2、2
clear;
A=[1 0、5 0;0 0、5 1;0 0 0];
X=[0、8;0、2;0];
for i=1:20
X=A*X;
end
X20=X
X=[0、8;0、2;0];
C=[1 1 1]';n=0;
while norm(X-C,'fro')>1、0e-16 C=X;n=n+1;X=A*X;
end
format long;
X,n
结果分析
1、
2、
>>
X20 =
0、999999809265137
0、4863
0 X =
1、0000
0、0000
0 n =
52
4.实验总结与实验感悟
通过本次实验,我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念与理论;掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;理解由差分方程xk+1=Axk;提高对离散动态系统的理解与分析能力。
我们可以选取充分大的k使上述两式中的近似达到任意精度。
每次增长为原来的入倍,所以入决定了系统的最后增长率。
对于大的k,x屮任何两个元素的比值约等于屮对应元素的比值。
用Matlab软件可以方便地计算出矩阵的特征值与其对应的特征向量, 从而能更好地帮助我们去分析动态系统;xk+1=Axk 的演化过程、。