图形与几何(张宝坤)
北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章441 空间图形基本关系的认识42 空间图形的公理一 含
§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理(一)1．空间图形的基本位置关系的认识(1)空间图形的基本关系主要指的是：空间中点与直线，点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．(2)空间点与直线的位置关系点与直线的位置关系图形表示符号表示点在直线上B∈l点在直线外B∉l(3)空间点与平面的位置关系点与平面的位置关系图形表示符号表示点在平面内B∈α点在平面外A∉α2.空间图形的公理(1)公理1①文字语言：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．②图形语言：③推论：推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面．推论2：两条相交直线确定一个平面．推论3：两条平行直线确定一个平面．④结论：公理1及其推论给出了确定平面的依据．(2)公理2①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．②图形语言：③符号语言：若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则lα.④直线与平面的位置关系：直线AB在平面α内，即AB平面α；直线AB与平面α相交于点B，即直线AB∩平面α＝B；直线AB与平面不相交，即平行，表示为AB∥平面α.(3)公理3①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．②图形语言：③符号语言：若点P∈α，且P∈β，则存在直线l，使得α∩β＝l，且P∈l.④平面与平面的位置关系：两个平面重合，两个平面相交于一条直线(相交平面)，两个平面不相交(称这两个平面平行)．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)四边形一定是平面图形．()(2)两条相交直线确定一个平面．()(3)若直线l上有无数个点在平面α外，则直线l∥α.()(4)若两个平面平行，则在两个平面内的直线一定没有公共点．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．点P在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示为()A．P l，lαB．P∈l，l∈αC．P l，l∈αD．P∈l，lα答案：D3．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是()答案：D4．根据图填入相应的符号：A__________平面ABC，A__________平面BCD，BD__________平面ABC，平面ABC__________平面ACD＝AC.答案：∈∉⊆/∩1．从集合角度认识点、线、面之间的关系点、线、面之间的关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．故点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号∈，∉表示，直线与平面之间的关系用,⊆/表示．2．公理1的意义及推论(1)意义：公理1及三个推论是空间里确定一个平面的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，是立体几何中解决一部分问题的主要的思想方法．(2)三点注意：①“确定”的含义和“有且只有”的含义是一样的，“有”表示“存在”，“只有”表示“唯一”．②推论1和2实际上是公理1的等价形式，是由公理1直接推出来的．③推论3要结合初中已学过的平行线的概念和公理1来得出．3．公理2的意义及作用(1)意义：公理2说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它是判断直线在平面内的依据．(2)作用：公理2常常与公理1结合起来证明多线共面问题．应用时，先用公理1确定一个平面，再用公理2证明其他的线也在这个平面内．4．公理3的意义及作用(1)意义：公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法，结合公理2我们知道两个平面只要有了2个交点，就可以确定交线了．(2)作用：公理3也常常用来作为证明“多点共线问题”和“多线共点问题”的依据．即证明“点”在“直线”上时，常常要说明“点”是两个平面的“交点”，而“直线”是两个平面的“交线”．空间图形的基本关系观察长方体ABCD-A′B′C′D′，回答下列问题．(1)直线B′C′和BC；直线AB和BC；直线AB和B′C′，分别是什么关系？(2)直线AB和平面ABCD；直线A′A和平面ABCD；直线A′B′和平面ABCD，分别是什么关系？(3)平面AA′D′D和平面BB′C′C；平面ABCD和平面BB′C′C，分别是什么关系？[解](1)直线B′C′和BC在同一个平面内，但没有公共点，所以B′C′∥BC；直线AB和BC只有一个公共点，所以直线AB和BC相交；直线AB和B′C′不同在任何一个平面内，所以直线AB和B′C′既不平行也不相交．(2)直线AB和平面ABCD有无数个公共点，所以AB平面ABCD；直线A′A和平面ABCD 只有一个公共点，所以A′A与平面ABCD相交；直线A′B′和平面ABCD没有公共点，所以A′B′∥平面ABCD.(3)平面AA′D′D和平面BB′C′C没有公共点，所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C；平面ABCD 和平面BB′C′C不重合，但有公共点，所以平面ABCD和平面BB′C′C相交．(1)空间的两条直线有如下三种关系：①共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；②异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．(2)直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作l⊆/α.(3)两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交——有一条公共直线．1.(1)下列说法正确的是()A．线段AB在平面α内，直线AB不在α内B．平面α和β有时只有一个公共点C．三点确定一个平面D．过一条直线可以作无数个平面(2)①根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：a．A∈α，B∉α；b．lα，m∩α＝A，A∉l.②将“直线l不在平面α内，过l的平面β与平面α交于直线a”表示为符号语言，并画出相应的图形．解：(1)选D.线段AB在平面α内，直线AB一定在α内，故A错；平面α和β若有一个公共点，则平面α和β要么重合，要么相交，故公共点有无数个，B错；若三点共线，则此三点可确定无数个平面，C错，故选D.(2)①a.点A在平面α内，点B不在平面α内，如图所示．b．直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图所示．②符号语言：l⊆/α，lβ，α∩β＝a.图形如图：点、线共面问题已知直线a，b，c两两平行，但不共面，求经过其中2条直线的平面个数．[解]根据公理1的推论3：两条平行直线确定一个平面，又a，b，c两两平行但不共面，故可确定3个平面．若本例中条件改为“直线a，b，c两两平行”，则经过其中2条直线的平面有多少个？解：若三条平行线在同一个平面内，则经过其中2条的平面只有一个；若三条平行线不共面，则经过其中2条直线的平面有3个，故有1个或3个．解决点、线共面问题的基本方法2.已知：如图，直线a ∥b ，直线l ∩a ＝A ，直线l ∩b ＝B .求证：直线a ，b ，l 共面．证明：法一：(纳入法)：⎭⎪⎬⎪⎫直线a ∥b ⇒a ，b 确定平面αl ∩a ＝A ⇒A ∈a l ∩b ＝B ⇒B ∈b⇒⎭⎪⎬⎪⎫A ∈α，B ∈αA ∈l ，B ∈l ⇒lα⇒a ，b ，l 共面．法二：(重合法)：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b ⇒a ，b 确定平面αa ∩l ＝A ⇒a ，l 确定平面βα，β都经过点B 和直线a ，点B ∉a ⇒平面α，β重合⇒a ，b ，l 共面．多点共线、多线共点问题如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 、E 、F 分别是棱CD 、AB 、DD 1、AA 1上的点，若MN 与EF 交于点Q ，求证：D 、A 、Q 三点共线．[证明] 因为MN ∩EF ＝Q ， 所以Q ∈直线MN ，Q ∈直线EF ， 又因为M ∈直线CD ，N ∈直线AB ， CD平面ABCD ，AB平面ABCD .所以M、N∈平面ABCD，所以MN平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．(1)证明多点共线问题的两种常用方法①首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．②选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点也在直线上．(2)空间中证明三线共点的两种方法①先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，从而该点在它们的交线上，得到三线共点．②先将其中一条直线看作是某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于一点，再证这两点重合，从而得到三线共点．3.(1)已知P在平面α外，A，B，C在平面α内且不共线，A′，B′，C′分别在P A，PB，PC上，若直线A′B′，B′C′，A′C′与平面α分别交于D，E，F三点，则D，E，F三点()A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上(2)如图，α∩β＝l，在梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ.求证：AB，CD，l交于一点．解：(1)选D.如图，设平面A′B′C′∩平面α＝l，有D∈l，E∈l，F∈l，故D，E，F三点共线．(2)证明：如图，在梯形ABCD中，设AB∩CD＝E，因为ABα，CDβ，所以E∈α，E∈β.又α∩β＝l，所以E∈l，即AB，CD，l交于一点．思想方法分类讨论思想在确定平面问题中的运用两两相交的四条直线a，b，c，d能够确定几个平面？[解](1)当四条直线a，b，c，d相交于一点时，能确定1个平面或6个平面．(2)当四条直线a，b，c，d不共点时，有两种情形：①当四条直线中有三条相交于一点时，a，b，c，d在同一平面内．②当四条直线中任何三条都不共点时，如图所示：因为这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α.设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α.又H，K∈c，所以cα.同理可证dα.所以a，b，c，d四条直线在同一平面α内．综上可知：当四条直线a，b，c，d两两相交共点时，能确定1个或6个平面．当四条直线a，b，c，d两两相交不共点时，能确定一个平面．(1)分类讨论也是一种“化整为零，各个击破”的解题策略，关键在于认识到引起讨论的原因，确定分类标准，多级分类讨论时，注意分类的层次．(2)分类讨论是一种重要的数学思想，它适用于从整体上难以解决的数学问题，运用分类讨论来解决问题时，必须遵循不重不漏和最简的原则．1．下列叙述中错误的是()A．若P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则P∈lB．一点和一条直线只能确定一个平面C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面D．圆上三点可以确定一个平面答案：B2．对不重合的平面α，β，下列结论错误的是()A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lαB．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝ABC．若l⊆/α，A∈l，则A∉αD．若A∉α，A∈l，则l⊆/α解析：选C.C错误，当l∩α＝A时，l⊆/α，A∈l，A∈α.3．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为________个．解析：由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．答案：14.如图，已知：E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：FE，HG，DC三线共点．证明：连接HE，C1B，由题意知HC1═∥EB，所以四边形HC1BE是平行四边形，所以HE∥C1B.又C1G＝GC，CF＝BF，故GF═∥12C1B，所以GF∥HE，且GF≠HE，所以HG与EF相交．设交点为K，因为K∈HG，HG平面D1C1CD，所以K∈平面D1C1CD.因为K∈EF，EF平面ABCD，所以K∈平面ABCD.因为平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC.所以K∈DC，所以FE，HG，DC三线共点．,[学生用书P93(单独成册)])[A基础达标]1．若直线aα，直线bα，M∈l，N∈l，且M∈a，N∈b，则()A．lαB．l⊆/αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A.由M∈a，N∈b，aα，bα知M∈α，N∈α，由公理2知lα.故选A.2．三个平面可把空间分成()A．4部分B．4或6部分C．4或6或8部分D．4或6或7或8部分解析：选D.由平面的无限延展性可知：图(1)中的三个平面把空间分成4部分；图(2)中的三个平面把空间分成6部分；图(3)中的三个平面把空间分成7部分；图(4)中的三个平面把空间分成8部分．3．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线解析：选B.若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D.故选B.4．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4C．5 D．6解析：选C.如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5．给出以下三个命题：①若直线a平面α，直线b平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；②若α∩β＝l，直线a平面α，直线b平面β，且a∩b＝P，则P∈l；③若n条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是()A．①②B．②③C．③D．②解析：选D.对于①，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，a与b 异面；对于②，正确；对于③，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故③错．所以正确的是②.6．文字语言叙述“平面内有一条直线a，则这条直线上一点A必在这个平面内α”用符号表述是________．解析：点与线或面之间的关系是元素与集合之间的关系，用“∈”表示，线与面之间的关系是集合与集合之间的关系，用“”表示．故应表示为⎭⎪⎬⎪⎫aαA ∈a ⇒A ∈α.答案：⎭⎬⎫aαA ∈a ⇒A ∈α7．在空间中：①球面上任意三点可以确定一个平面； ②圆心和圆上任意两点确定一个平面； ③平行四边形是平面图形．正确的说法是________(将你认为正确的说法的序号都填上)．解析：球面上的三点一定不共线，可以确定一个平面，①正确；圆心与圆上两点可能共线，不一定能确定一个平面，②错；平行四边形对边平行，可以确定一个平面，③正确．答案：①③ 8．给出下列说法：①和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； ②三条两两相交的直线一定在同一个平面内； ③有三个不同公共点的两个平面重合； ④两两相交且不过同一点的四条直线共面． 其中正确说法的序号是__________．解析：和直线a 都相交的两直线不一定在同一个平面内，故①错误；当三条直线共点时，三条直线不一定在同一平面内，故②错误；当三个点共线时，即使两个平面有在同一条直线上的三个公共点，这两个平面也不一定重合，故③错误；对于④可以证明，只有④正确．答案：④ 9.如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c ，β∩γ＝a ，γ∩α＝b ，若直线a 和b 不平行，求证：a ，b ，c 三条直线必过同一点．证明：因为α∩γ＝b ，β∩γ＝a ，所以aγ，bγ.由于直线a 和b 不平行，所以a ，b 必相交．设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.因为aβ，bα，所以P∈β，P∈α.又α∩β＝c，所以P∈c，即交线c经过点P.所以a，b，c三条直线必过同一点．10．如图所示，G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA，交A1D1于点M；连接GC，交C1D1于点N；连接MN，AC.则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．图①(2)画法：连接EF交DC延长线于点P，交DA延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1即为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．图②[B能力提升]11.如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l，又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上均错解析：选C.因为C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，所以R∈γ.而C∈β，lβ，R∈l，所以R∈β，所以点C，点R为γ与β的公共点，所以β∩γ＝CR.故选C.12．平面α，β的公共点多于两个，则以下三个判断中不成立的有________个．①α，β至少有三个公共点；②α，β至少有一条公共直线；③α，β至多有一条公共直线．解析：由条件知当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①成立；②成立；③不成立．故不成立的有1个．答案：113．如图，已知有公共边AB的两个全等的正方形ABCD和ABEF不在同一平面内，M，N分别是对角线AC，BF上的点，求证：A，C，M，N四点共面，并作出它们所确定的平面与平面CBE的交线．解：连接AN，CN.由题意可知AC∩AN＝A，所以直线AC与直线AN确定平面ACN.又M∈AC，所以M∈平面ACN，即A，C，M，N四点共面，该平面即为平面ACN.要确定两个平面的交线，可以先确定交线上的两个点，然后连接即可得到．延长AN交BE的延长线于点G.因为G∈BE，BE平面CBE，所以G∈平面CBE.又G∈AN，AN平面ACN，所以G∈平面ACN，即G为平面ACN和平面CBE的公共点．又C∈平面CBE，C∈平面ACN，所以CG为两个平面的交线．14．(选做题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，BB1的中点，试作出过M，N，P三点的截面．解：设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1＝R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1＝Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线，如图所示，NQ是平面α与平面A1B1C1D1的交线．设MP∩A1A＝F，则FN是平面α与平面A1D1DA的交线，设FN∩AD＝H，连接HM，则HM是平面α与平面ABCD的交线，HN是平面α与平面A1D1DA的交线．综上可知，平面PMHNQ就是过M，N，P三点的截面．。
图形与几何二级培训讲稿
《小学数学教学指导意见》继续教育二级培训讲稿青铜峡市教研室田淑珍第二模块：《图形与几何》总述图形与几何是小学数学四大内容领域之一，是小学数学教学中的重要组成部分。
在《数学课程标准（2011版）》中，“图形与几何”内容包括四个方面：图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置。
图形与几何的内容主要是研究现实世界中物体的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间、解决生活问题并进行交流的必备工具。
小学阶段图形与几何的学习最重要的目标是培养学生具有初步的空间观念和空间想像能力。
图形与几何的教学对学生的发展具有重要意义，是学生进一步学习的必要基础，其教育价值主要体现在以下四个方面：第一，图形与几何的学习与学生的生活体验密切联系，它是学生更好地适应人类生活空间的必由之路，有助于学生更好地认识和理解人类赖以生存的现实空间。
第二，图形与几何的学习，有助于培养学生的创新精神。
第三，图形与几何的学习，有助于学生获得必需的知识和必要的几何技能，并初步发展空间观念，学会推理。
第四，图形与几何不仅包括推理论证和相关的计算等内容，而且包括直观感知、操作确认以及由此发展起来的几何直觉、学习情感等，因此，学习图形与几何有助于促进学生全面、持续、和谐的发展。
学习“图形与几何”重要的是要让学生经历探索物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，从中掌握相应的基础知识和基本技能，学会解决简单的实际问题，丰富对现实图形与几何的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。
空间观念、几何直观、模型思想、推理能力、应用意识和创新意识这几个关键词是图形与几何领域的核心概念。
而初步建立空间观念，发展几何直观是《数学课程课标（2011版）》在小学阶段图形与几何领域学习的基本要求，因此，空间观念、几何直观、推理能力是图形与几何领域的三个主要的核心概念。
【空间观念是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体。
几何直观是《数学课程标准（2011版）》中新增的核心概念，主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
《圆锥的认识》`《三角形的面积》两节课带给我们的思考北京教育科学研究院
第二次学生活动：进行立体与平 面的相互转换，深入认识圆锥。
• (1)判断哪个圆能和扇形组成圆锥，认识圆锥的侧 面及与底面的关系。 • (2)判断哪些图形可以旋转成圆锥，感知圆锥是旋 转体。 • (3)切圆锥，认识圆锥的截面。 • (4)制作圆锥，感悟圆锥的高与组成圆锥侧面扇形 的半径长短无关，与扇形圆心角的大小有关。在 半径相同的情况下，圆心角越小，做成的圆锥越 高。
• （1）两个直角三角形：学生在教师的指导 下操作，拼摆，转化成学过的长方形与平 行四边形。 • （2）两个锐角三角形和钝角三角形，学生 独立操作，验证自己的猜想：所有三角形 的面积都等于底×高÷2.
• 经受曲折，去独立发现。整个学习过程教 师讲解不多，学生动手操作兴趣得到保持 和发展，始终处于积极探究状态。不但学 会了三角形面积公式的推导，理解了数学 知识的内在联系，而且学会了探索，学活 了分析与归纳。
从两位老师的课中,可以看出：在数学教学 中,必须通过学生主动的活动,包括观察、描 述、画图、操作、猜想、实验、收集整理 数据、思考、推理、交流和应用等等,让学 生亲身体验如何“做数学”、如何实现数 学的“再创造”,并从中感受到数学的力量。 教师在学生进行数学学习的过程中应当给 他们留有充分的思维空间,使学生能够真正 地从事数学的思维活动。
• 基本的数学活动经验可以细化为下面四种： • 直接的活动经验（与学生日常生活直接联系的数 学活动中所获得的经验如购物、校园设计等）； • 间接的活动经验（学生在教师创设的情景、构建 的模型中所获得的数学经验，如鸡兔同笼、顺水 行舟）， • 设计的活动经验（学生从教师特意设计的数学活 动中所获得的经验，如随机摸球、地面拼图） • 思考的活动经验（通过分析、归纳等思考获得的 数学经验，预测结果、探究成因）。
小学数学能力训练系列：图形与几何
内容简介
《小学数学能力训练系列:图形与几何(第1册)(1\2年级学生适用)(套装共2册)》由浙江教育出版社出版。
图书目录
《小学数学能力训练图形与几何系列第一册》目录： 一、认识物体和图形 （1）玩积木（1） （2）立体图形（4） （3）平面图形（8） 二、图形辨认 （1）相同图形（10） （2）模仿画图（13） （3）图形比较（16） （4）图形补缺（19） 与几何(第2册)(2、3年级学生适用)(套装共2册)》由浙江教育出版社出版。
目录
《小学数学能力训练系列：图形与几何》目录： 一、图形的辨认 相同与不同（1） 比眼力（5） 图形配对（8） 正方形拼图（12） 找隐蔽图形（17） 图形的重叠（22） 二、图案的欣赏与制作 图形的对称（28） 图案的欣赏（32）
作者简介
张天孝，特级教师、功勋教师，50年如一日，潜心研究小学数学教学。编写了《现代小学数学》《义务教育 小学实验教科书数学》等5套教材。获曾宪梓教育基金会全国中等师范学校教师奖一等奖，全国基础教育课程改革 研究成果二等奖，多次获得浙江省人民政府基础教育教学成果一等奖，出版专著《小学新思维数学研究》等150 多部，发表文章130余篇。被教育部确定为“国培计划”首批专家。
小学数学能力训练系列：图形与几 何
2013年浙江教育出版社出版的图书
01 内容简介
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目录
02 图书目录 04 目录
《小学数学能力训练系列:图形与几何(第1册)(1\2年级学生适用)(套装共2册)》坚持能力为重，要以促进学 生的发展为目标。小学阶段通过数学学习获得“发展”，主要是在掌握数学知识和技能的过程中，感悟数学思想， 积累数学活动经验，培养思维能力和创新能力。同时，在数学学习活动中，激发学习兴趣，形成良好的学习习惯 和积极的情感态度。
《空间图形的公理》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《空间图形的公理》教学设计◆教材分析本节课为北师大版《必修2》第一章4.2节的第二课时，是在学习了简单几何体、直观图、三视图和空间图形基本关系的基础上，来进一步研究空间四个公理和等角定理，属“概念分类型课”，培养学生归纳能力、三种数学语言的转换能力和空间想象能力，对学生学习立体几何意义很大，是对前面所学内容的延续，同时为后面具体研究空间线面、面面的平行和垂直等做好铺垫，具有承前启后的作用。
◆教学目标【知识与能力目标】①通过学生动手实验、动态图片演示，使学生了解空间图形的四个公理和等角定理的概念；②让学生在探究的过程理解三个公理，并能将文字语言、符号语言和图形语言的相互转化；【过程与方法目标】让学生体会从整体到局部，具体到抽象、抽象到具体的过程，培养学生类比归纳的能力；【情感态度价值观目标】使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，提高学生的观察能力。
◆教学重难点【教学重点】①空间四个公理和等角定理概念的生成与理解；②空间四个公理和等角定理概念的应用；【教学难点】空间四个公理和等角定理概念的应用。
◆课前准备◆教学过程一、复习导入部分用文字语言、符号语言和图形语言表述空间点线面的位置关系几种情况 二、探究新知： 探究问题一：①用一段较长拉直的棉线的两个端点固定在教室弧形黑板的上，让学生观察棉线与黑板的置关系 ②把一把直尺边缘紧贴在桌面上，观察直尺的整个边缘与桌面的位置关系设计意图：通过两个具体的实验，让学生直观感受棉线、直尺与两种面的位置关系，比较两种情况，引导学生过渡到抽象的线面位置关系，让学生体会具体到抽象的过程，培养学生类比归纳的能力，引导学生归纳出公理1公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
符号语言：A AB B αα∈⎫⇒⎬∈⎭⊂α． 图形语言：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB ⊂α新知提炼：公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． 探究问题二①给出一只四条不是一样长腿的小凳子和一只三条腿的小凳子，让两个学生来观察那种凳子摆放平稳？②让学生观察以下三张生活中常见的图片，为什么这样设计？实例:(1) 自行车的撑脚； (2)摄像机的三角支架； (3)三轮车设计意图：用身边常见的现象和具体的模型给学生直观印象，动手比较两种凳子摇摆的情况，以及比较第二组图片中常见的设计，从具体物体摆放平稳过渡到抽象的点面的关系，使学生在课堂上有动脑思索和探究和数学思维活动，培养学生的抽象思维能力和归纳概括能力，引导学生归纳出公理 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面符号语言：,,,,,,A B CA B CA B Cααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合图形语言：或者：∵,,A B C不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B Cα∈.新知提炼：有且只有一个”的含义分两部分理解----①存在性②唯一性公理2应用：①确定平面；②证明两个平面重合思考交流：1.经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（推论1）2.经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？（推论2）3.经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？（推论3）注：讲解公理2的三个推论时重在理解，淡化证明公理2及三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法。
《立体几何初步》--§4--空间图形的基本关系与公理省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
课堂小结 正方体(或长方体)既是立体几何中的一个重要的， 又是最基本的模型，而且立体几何的直线与平面的 位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们 给它以“百宝箱”之称．本例中的命题就是利用这 个“百宝箱”来判定它们的真假的.
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1.思索题：
（1）没有公共点两条直线叫做平行直线，对吗？ （2）空间两条没有公共点直线叫做异面直线，对吗？ （3）分别在两个平面内两条直线一定是异面直线吗？ （4）平面内一直线与这个平面外一条直线一定是异面直线吗？
∴B1D1 平面 A1C1.
∵B1∈平面 BC1，D1∉平面 BC1， ∴直线 B1D1∩平面 BC1＝B1. ∴直线 B1D1 与平面 BC1 相交． 同理直线 B1D1 与平面 AB1、平面 AD1、平面 CD1 都相 交．
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在平行四边形 B1BDD1 中，B1D1∥BD， B1D1 与 BD 无公共点， ∴B1D1 与平面 AC 无公共点，∴B1D1∥平面 AC.
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4．下列命题中正确的是
(D )
A．若直线 l 上有无数个点不在平面α内,则 l∥α
B．若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任
意一条直线都平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行
D．若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α没有公
共点
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理论迁移
知识点三 直线与平面位置关系 例 3 已知下列命题：
①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α；
②若直线 a 在平面α外，则 a∥α；
③若直线 a∥直线 b，直线 b 平面α，则 a∥α； ④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
苏教版初中数学教材
从运动的视角审视“图形与几何”领域两个主题之间的关联
2022年版课标中，“图形与几何”领域包括“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”两个主题，这两个主题之间有着密切的联系。
比如刻画图形，一是要从图形特征的维度认识图形，关注构成图形的要素与要素之间的关系、图形与图形之间的关系；二是要从度量的维度认识图形；三是要从运动的角度认识图形，研究图形的性质。
本文尝试从运动的视角重新审视上述两个主题，希望对教师把握结构化的课程内容、体会数学的基本思想、发展学生核心素养有所帮助。
一、从运动的视角刻画图形的特征，发展空间观念在认识图形的过程中，可以从运动的视角直观地刻画图形的特征。
例如，对于长方形、正方形、圆、长方体、正方体、圆柱和圆锥等图形，可以通过平移、旋转、轴对称，发现并认识它们的特征。
如将一个点沿同一个方向进行平移运动，运动后的轨迹是一条线段，这叫点动成线。
将一条长5厘米的线段沿着垂直于自身的方向平移3厘米，平移后的轨迹是长方形，这是线动成面。
当这条线段运动的距离与其自身的长度相等时，运动轨迹是正方形；继续平移线段，运动轨迹又变成长方形，说明正方形是特殊的长方形。
平行四边形对边平行且相等，是因为当平行四边形的一条边平移至对边时，没有改变这条边的长短，也没有改变这条边原有的方向，而这条边的两个端点是沿着相同方向进行平移运动的，因此平行四边形对边不仅平行而且相等。
一个长方形，沿着垂直于自身的方向平移一定的距离，其轨迹就是长方体。
为什么一个只有4条边、4个角的长方形运动后就变成有6个面、12条棱和8个顶点的长方体了呢？可以引导学生想象运动的过程：长方形原来有4个顶点，它从起始位置平移运动到终止位置后，顶点数变为原来的2倍，也就是8个；棱在起始位置和终止位置各有4条，4个顶点运动过程中又产生了4条，因此长方体有12条棱；长方形在起始位置和终止位置各有1个面，长方形的4条边运动过程中又产生4个面，因此长方体有6个面。
正方体也是如此。
圆是一条线段绕着它的一个端点（旋转中心）旋转360°形成的曲边图形，蕴含着到定点的距离等于定长的点的运动轨迹；当旋转的角度不够360°时就是扇形，扇形的大小和圆心角大小有关。
数学北师大版必修第二册6.3.1空间图形基本位置关系的认识6.3.2刻画空间点、线、课件
激趣诱思
知识点拨
解(1)符号语言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.图形表示如图 ①.
(2)符号语言:平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.图 形表示如图②.
激趣诱思
知识点拨
二、平面的基本性质及其推论 1.平面的基本性质
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
探究四
当堂检测
证明点共线 例3已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.
求证:P,Q,R三点共线.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
证明(证法一)因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.
又AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.
所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
证明线共点
例4如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即
α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过
同一点.
证明因为α∩γ=b,β∩γ=a,
所以a⊂γ,b⊂γ.
因为直线a和b不平行,所以a,b必相交.
如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b.
2.三个推论
激趣诱思
知识点拨
微思考 两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗? 提示不能.要么没有公共点,要么有无数个公共点. 微判断 判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.( ) (2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作
α∩β=A.( ) (3)空间不同的三点确定一个平面.( ) (4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) 答案(1)× (2)× (3)× (4)√
一种平面几何入门教学模型的应用
教育教学收稿日期：2019-01-17作者简介：张昆，安徽合肥人，博士，淮北师范大学数学科学学院副教授，硕士生导师（安徽淮北235000）.一种平面几何入门教学模型的应用张昆摘要：学生平面几何证明入门学习不易，教师平面几何证明入门施教更难.以等腰三角形的相关性质为例，介绍平面几何证明入门的一种施教模型，这种模型可以辅助教师对于具体的平面几何证明题的施教准备及其在课堂上的实施，具有很好的参考价值.关键词：平面几何；入门教学；教学模型中图分类号：G642文献标志码：A文章编号：1008-7974（2020）02-0089-06DOI ：10.13877/22-1284.2020.02.019为了发挥平面几何课程资源的教学价值，借助于平面几何课程资源中图形直观特征，培养学生理解平面几何图形的性质.教师在向学生提供信息、启发学生从信息中发现问题、选择合适的途径提出问题、分析问题与解决问题（探究证明题的思路）的过程中，培养学生的逻辑思维能力，进而体悟理性精神，这是平面几何知识教学价值的集中体现.为了实现这种教学目标，在义务教育初中阶段课堂教学中，如何处理进入教科书上的知识内容，选择怎样的技术手段进行教学设计及其在课堂上的实施，教师的首要任务就是需要整理出一个简单的教学步骤，以此引领自己的教学行为，才能获得比较好的教学效果.这是本研究的主旨.平面几何中各种不同知识内容的教学步骤，不是依据时代优势教育教学理论推导出来的（理论家只能教导你怎样教，当你给他一个具体的知识点，要求他按照他自己提出的理论作出一种教学示范性的课例时，他往往会无能为力），而是必须要适应于所选的教科书呈现平面几何知识的内容、要实现的教学目标、具体学生的心理特点、教学实践中的需要与所能达到的教学技术手段等的不同要求，没有固定格式可言，是具体情境具体分析的结果.虽然如此，还是可以大致地提出以下的课堂教学具体步骤，如图1所示.图1课堂教学的具体步骤1提出问题数学教学设计就是数学问题及其序列的设计.它的中心任务是要设计出一组问题，从而把课堂教学过程组织成为提供数学化信息，启发学生从信息中（或者教师自己直接向学生）提出问题、分析问题与解决问题的连续探究活动过程，2020年第2期第41卷总第299期（自然科学）2020年第2期（自然科学）以此在课堂上为学生营造出有效思维活动的场域.启发学生在提出问题、分析问题与解决问题的过程中做数学，学数学，从而增长知识、发展能力、提高素质、形成经验与养成素养.［1］平面几何推理论证入门教学也不例外，平面几何知识教学提出初始问题的方式之一，可以借助于原有的图形，将所要探讨的结论向前稍加延伸，如此往往会形成较好的初始问题.例如，我们以等腰三角形相关知识为基础提出如下问题：设E 、F 分别为等腰△ABC 的两腰AB 、AC 边上的中点，BF 、CE 交于点D .如图2所示，于是，在这个等腰△ABC 中，两腰上的中线及其交点将它添置了许多线段，请你思考这些线段具有怎样的相等关系？图2提出问题的基础图这个问题刺激了具有不同“数学现实”［2］的学生，引起了他们的兴趣与思考，他们依据各自学习平面几何知识的经验、观察能力、理解水平与言之有据、事出有因的思维习惯，经由个性化地思考，可能做出不同的回答，据此，可以培养不同学生的创新能力、观察能力、选择能力、探究能力、判断能力与推理能力等，可以使具有不同个性差异的学生得到各自的知识、能力、观念、经验、处理平面几何问题的方法与养成探究证明思路的素养等，如此，使教师的教学具有更大范围的适应性，从而产生出适应于整个班级所有学生的个性差异的教学活动过程.基于此，笔者在一个班教学实践中发现，有些学生只能发现AE =BE ，AF =BF ；或进一步发现AE =AF 等，这些是直接从已知条件产生的相关结论；有些学生根据已知条件，通过猜测活动，间接地得到BE =CF ，DE =DF ，CD =BD 等结论.于是，可以依据具有心理差异的不同学生各自的情况，组织生动活泼的课堂教学过程，尤其是教师根据学生在发现活动过程中所显现的“最近发展区”［3］，依据学生通过过去学习已经掌握了的内容与经验，选择具有针对性的教学方式，如此，一定会引起学生的兴趣，增加课堂教学的有效性.还可以在学生已经发现了的这些线段的相等关系的基础上，结合问题作图，这也是深入地理解这些问题及其产生原因的具体途径，由此培养学生多维的发现探究平面几何问题的能力.2图形实验教师在向学生提供相关的信息时，鼓励学生变动图形的某些要素，探究图形某些量的变化与不变关系，从图形直观上，启发学生得出新的结论，进而由此诱导学生针对自己提出的问题而产生的结论需要加以逻辑证明等要求，以此促进学生“卷入问题”［4］，调动学生学习平面几何相关知识的主动性与积极性，引导学生想方设法地探究证明这些结论的思路，从中生成探究能力、逻辑思维能力与符号表达能力.这又可以分为两个方面.（1）对图形进行具体的实际操作，对于提出问题环节中的那些抽象思维能力较差的学生，指导他们考虑具体的问题较好，对于那些仅仅发现结论AE =BE ，AF =BF 的同学，可以指导他们通过对这些相关的线段加以测量，从测量结果的量度上找到得出结论的依据，也可以通过将图形加以剖分，利用折叠、重合的办法，经由观察找到线段相等事实性的依据，由此逐步上升到逻辑性的（即线段中点的定义）依据，这是培养学生言之有据的证明活动的最初的环节，由此培养学生养成正确的判断事物的态度与通过实际操作的方法，最终启发学生认识到通过逻辑证明的需要，由此鼓励学生实现证明的途径；对于那些通过间接的手段得到某些结论的同学，我们将引导他们思考推理证明的途径（后文详加说明）.（2）使图形适应于某些条件的变动操作，上述具体的实际操作是静止的，不变动图形中的某种要素，这样的操作很难构成对等腰三角形要素（变动量与不变量）之间的关系等深刻的、全面的认识.从运动观点出发，例如，通过改变这个等腰△ABC 的底边BC 的长度，引导学生观察图3、张昆：一种平面几何入门教学模型的应用图4、图5中的所有线段相等关系的变化情况；同样还可以观察当等腰△ABC 底边BC 不变，而它高变动时的所有相等线段的变化情况，如此，可以得到一般性结论.最后，从提出问题环节与图形实验环节的情况进行分析、归纳、类比等推理方法的认识中，对这个图形及其变动状况进行直观解释，进行定性分析，进行定量研究，可以得出一些有价值的结论.图3将图2等腰三角形图4将图3等腰三角形底边缩短底边伸长图5将图4等腰三角形底边伸长3严格证明平面几何证明要求学生具有严谨的逻辑能力，专业而严密的符号语言表述能力和较强的作图识图能力，但这是很多学生难以逾越的障碍，因此，它是培养学生探究能力，逻辑思维能力等的重要课程资源，而且这种资源几乎是不可由其他知识所替代的.［5］在平面几何的课堂教学中，证明能力的培养是重头戏，因为，证明能力要求其他相应能力的支持，因此，证明能力其实是对学生的一种综合性能力的要求，构成了本研究的要旨之所在.它要求我们从以下几个环节展开教学活动.3.1明确平面几何证明的必要性一方面，所谓证明就是把不明白的事物弄明白的过程，证明其实是探求真理的一种手段.如果学生觉得对本已明确（通过观察与猜想）的东西再去证明，就会使他们对平面几何命题的严格证明的必要性产生怀疑，认为它没有真正的意义与价值.要启发学生认识到，通过感官觉察到的东西（感性认识）未必靠得住，只有通过推理证明了的东西（理性认识）才靠得住，只要推理的前提是正确的，经由正确的思维逻辑的作用，结论也就是绝对可靠的（由此体悟“公理化”思想），如此，才能体现平面几何证明的价值与意义.学生通过小学学习活动，就以现实的几何图形的实践探究为基础，对几何图形的性质有了初步了解与认识，也具备猜测、归纳、发现这些性质的能力，但这些不是建立在严格的逻辑推理论证的基础上的.因此，在义务教育初中阶段平面几何内容的学习中，至关重要的是抓住那些应用观察、类比推理、对比推理、归纳推理与猜想等得到了的、不能确定其真实性的命题，从而引导学生追问在任何情况下，对于这些命题都必须要具备普遍正确的要求，这就构成了逻辑推理论证的意义.因此，首先必须要把证明的意义，即为什么要证明，引导学生加以深刻地理解，然后才讲证明与推理的基本方法.另一方面，教师必须带领学生处理好从提出问题、图形实验中使用类比推理、归纳推理、对比推理与猜测等发现正确的几何命题与性质关联起来，用以阐述证明的价值与意义.3.2形成探究证明思路的习惯与方法弄清楚平面几何证明的必要性，只是为学生理解证明的价值铺垫了基础，促进学生产生证明平面几何的动机，这是平面几何教学中必须要解决好的问题.那么，对于具体要求证明的平面几何命题，证明活动的技术手段是什么？如何探究它的证明思路呢？笔者多年平面几何教学经验表明：初中生学习定理（公理）及其逻辑推理是必要的，也是完全可能的.一方面，大多数学生在定理学习及其应用中，对定理的理解很难一次性地达到准确地步，对定理结构层次也难于精确把握，对几何定理（公理等命题的形式）中各种元素所处位置与关系也不能准确辨别清楚，这些就给它的应用造成巨大困难.另一方面，他们在应用定理（公理）解决问题时，对问题的把握也往往是混沌一片：2020年第2期（自然科学）分不清命题题设条件和结论，作不出比较准确的几何图形等.有时，他们虽然可以很好地解决这当中的一些外围问题，但却选择不出主攻方向，往往只能将条件进行无目的地堆砌和拼凑，即使得到了正确结果，也实在是存在着几分的侥幸，而对已经解决了的问题过程并不是真正理解与正确把握.所有这些都不利于平面几何学习的进一步发展.为此，分析一下证明一个命题的一般过程是必要的（见图6）.［6］图６几何证明思路的逻辑推理链从图6可以看出，所要证明命题结论，最终都由已知构成，但在寻找这些已知时，对于稍微复杂一点的命题，学生不可能一次性地就成功达到目的，而是要配合所用定理（或公理）的结构构成要素，首先寻找出“需知”，利用这些“需知”来调控已知对结论的决定性作用.这些“需知”便组成了从“结论”到要求的“题设”的“中途点”，它至关重要，正是这些作为“中途点”使已知和结论形成了证明环节的“接龙”，也就是大数学家彭加莱所说的“序的安置”.由此把学生寻找问题思路从混沌一片转换成了线性序列，从而为辅助线方法的实现奠定了现实的基础，于是，大大降低了学生逻辑思维强度，使他们对逻辑推理论证不再畏之如虎.［7］上述我们主要强调的是分析法，从结论出发寻找产生结论的条件（即所谓的“执果索因”的方法），当作为“中途点”的条件不够用时，可以通过辅助线制造出一些新的条件来；事实上，在探究证明思路时，还有从题设条件直接导出结论的综合法（即所谓的“由因导果”的方法）；当单独使用“执果索因”或“由因导果”的方法都难以为续的时候，我们一般可以将这两种方法结合使用（从两头向中间靠拢，指引着证明者在思维中产生“中途点”），就形成了所谓的“探索性分析法”.［8］在探究稍复杂一点的平面几何证明思路时，“探索性分析法”是一种强有力的手段.例如，在我们所提供的例子中，如图2，有同学发现了CD =BD 这个结论，那么，如何探索这个结论的证明思路呢？（1）由条件AB =AC 可以获得几种途径证明∠ABC =∠ACB （由于AB =AC ，AC =AB ，BC =CB ，知△ABC ≌△ACB ），同时，在AB =AC 与“E 、F 分别为等腰△ABC 的两腰AB 、AC 边上的中点”的条件下，不难证明AE =BE =AF =CF .（2）由（1）产生了这些新条件之后，可以证明CD =BD 这个结论吗？（3）为了证明CD =BD 这个结论，我们想到，①证明△DBC 是等腰三角形；或者②证明△BDE ≌△CDF .（4）从（1）中所产生的一些新条件出发，要证明①成立，希望证明③∠DBC =∠DCB .（5）为了证明③成立，可否为两个全等三角形的一组对应角，由图形的直观，可知证明了△EBC ≌△FCB 就达到目的了；或者由于∠ABC =∠ACB ，只要证明④∠ABF =∠ACE也可以达到目的.（6）从条件及其图2的直观中，发现为了证明③成立，寻找证明它成立的三个条件，从已知条件及其开拓出来的新已知条件中，可以寻获EB =FC ，∠EBC =∠FCB ，还有公共边相等，即BC =CB .（7）由（6）可知，在△DBC 与△DCB 中，满足判定三角形全等的“两边及其夹角对应相等”的“边角边”判定公理的形式，于是可得△DBC ≌△DCB .如此，在这个例子中，搜寻结论CD =BD 证明思路的过程，就是采用的“探索性分析法”，从条件与结论两方面入手，搜索到了证明这个结论的思路，每一个“中途点”最终都被搭建了起来.这就是比较好的分析思考平面几何证明问题的课堂教学方法，教师在课堂教学活动中，一定要重视这种方法的引进，并且通过适当的典型例题，促进学生自觉地使用这种方法探究平面几何证明题的思路，它是提高学生索解证明思路能力，提出问题、分析问题、解决问题能力与自学能力的重要课程资源.张昆：一种平面几何入门教学模型的应用3.3证明过程的表达格式与形式对于初中学生而言，即使他们成功地探究得到了证明的思路，但从探究证明思路到严格的证明表达格式与形式往往会感到十分困难.产生这种结果的原因在于：第一，是由在“形成探究证明思路的习惯与方法”的论述中的综合与分析两方面的交叉思考（“探索性分析法”）的特征造成的，分析法是从未知结论出发寻找结论成立的已知条件，而严格的几何证明过程是从已知条件抵达未知结论，因此，学生比较容易地在证明的表达过程中把已知条件与未知结论这两者混为一谈；第二，由于学生接触平面几何证明表达的时间不长，而前面学习“全等三角形”时，证明的表达又都是具有非常固定的格式，不像这道题所需要的如此多的变化与转折，从复杂的图形中提取所需要的特征图形也不是一件容易的事情，同时，又采用了许多符号，需要引入长链推理等的新的式，因此，对平面几何证明题的书写格式相应地提出了很高要求.这些在学生头脑中的数学现实都是不稳定的，出现了许多不熟悉的新要素，学生驾驭这些要素必定需要一个积累经验的过程.具体证明思路的发现与证明过程的表达如图7所示.图7探究思路与形成证明表达关联图从探究思路活动到探究证明表达的过程的实现中，就是基于从A 1，A 2出发，整合A 1，A 2从而形成了“既考虑已知条件，又考虑要证结论”，引导学生形成从图形中思考条件与结论两个方面的习惯与观念（“探索性分析法”），这样有助于促进学生统整探究证明思路与形成证明表达的解决问题的活动，有利于学生形成整理“从合到分”与“从分到合”的双向活动过程，从而促使学生形成整体地把握平面几何证明时的探究思路、交流讨论、使用符号严格表达等能力，为学生解决较难的平面几何证明问题打下基础.有了这样的分析，我们可以获得前面的关于图2中证明CD =BD 这个结论的严格的证明表达过程：从③出发加上（1）中的假设，到达（6），到达（7），到达（4），到达（3）中的①，最后到达结论（2）.这是一个证明表达的层次分明的逻辑链条.从而，将索解证明思路的分析与综合过程形成了序列化，经由一定题量的适当训练加以巩固，学生是可以达到如此目的的，于是，我们解决了由第一个原因产生的问题.关于第二个原因产生的问题，教师在教学时，应随着学生学习过程的各个发展阶段与教学所应达到目标的要求，按照B 1，B 2，B 3的次序逐渐提高，其一，充分利用B 1中直观解释，逐步使用符号代替直观解释中所使用的专有名词；其二，充分利用B 2的文字表达，注意符号的逐步准确运用，书写要求也逐步严格化，促使学生从探究思路活动进入到证明表达活动，并且逐步理解既简单又明确的证明方法；其三，逐步促进学生灵活运用几何知识，清晰有力地写出平面几何证明题的严格证明的纯粹的符号表达过程.例如，（5）中证明△EBC ≌△FCB 的活动，可以在课堂上如此进行教学，“在△EBC 与△FCB 中，△EBC 中的边EB 与△FCB 中的边FC 相等，△EBC 中的∠EBC 与△FCB 中的∠FCB 相等，△EBC 中的边BC 与△FCB 中的边CB 相等，于是，这两个三角形△EBC 与△FCB 满足‘两边夹一角对应相等’的条件，从而△EBC 与△FCB 全等.”这是一种以语言为主，以符号为辅的解释活动；接下来可以进一步提升为“在△EBC 与△FCB 中，EB =FC ，∠EBC =∠FCB ，BC =CB ”等这样比较纯粹的符号表达，它形成了严格的平面几何证明方法与途径.为了有利于学生的平面几何证明入门的学习，教师必须与学生进行“心理换位”，理解学生的艰难，不厌其烦地训练学生从言语的解释到使用几何符号的严格表达过程，而不应将教师自己的精2020年第2期（自然科学）致的符号证明表达过程强加于学生.4归纳总结课后总结非常重要，它可以序化学生学习了的知识及其产生的思维活动本身，由知识的外在信息化的自然结构过渡到学生心理上以观念形式存在的认知结构，并且从这个过程中，形成相关的处理数学化信息的经验，这种经验以清晰的或不清晰的数学观念形态存储于意识结构之中.在初学平面几何证明时，学生依靠自己的数学现实可能难以自觉地进行总结，特别是总结中形成相关有价值的要素.教师随着教学的进展，循循善诱地启发学生，帮助他们形成总结的能力.关于这道例题总结归纳应该从以下两点展开.（1）通过总结归纳促使学生体会图形中的美.数学的主观性与抽象性所具有的特点在于，经由数学观念的运动作用，把复杂的问题变得简单化，把含糊的问题变得明确化，把凌乱的信息系统化，通过这种途径处理了的问题，可以将数量关系与空间形式的相关要素进行美化的取向，因此，数学的思考具有美化的作用，产生审美意向.在归纳阶段中，特别是系统归纳方法，促进学生将先后学习的内容联系起来，解决问题之后，通过反思进行归纳与整理非常有价值.在图2及其条件中，变动点E、F在两腰上的位置，例如，将E、F这个等腰△ABC两腰上的中线与两腰的交点变成为等腰△ABC的两腰上的高与两腰的交点，或者是两底角的平分线与两腰的交点，再或者更为一般的情形，只要满足AE=AF这个条件，DB=DC这个结论都是依然成立的.为什么会出现这样的情况呢？这是因为等腰三角形是以顶角的平分线为对称轴的轴对称图形，而上述条件的所有出现的两腰上的点E、F都相应地是两腰上的以顶角平分线为对称轴的对称点，而点D是自对称点，如此，所有满足DB= DC的条件的E、F都可以统一起来了.此时，我们会认识到，图2具有匀称的美，统一的美，对称的美与和谐的美.（2）通过总结归纳促使学生体会图形的妙处.在课堂教学中，应当想方设法地促使学生认识到一些平面几何的基本图形中的相关元素的功能，还要促进学生细心地领悟基本图形的妙处，如此，教师通过长期的引领，对学生学习好平面几何（特别是探究证明思路）会产生很大的帮助.因此，应当带领学生逐个地解决相似的问题，要重视培养学生的逻辑思维能力，也要和探究证明思路与严格证明的符号表达结合起来.把平面几何图形的性质视作客观真理，这也是平面几何学习的非常重要的一个侧面.5结论总之，笔者通过三十余年的教学经验发现，这种教学模型及其环节或多或少地在课堂教学中都得到了不同程度的应用.在平面几何教学中培养学生的逻辑思维能力时，不能忽视教学技艺与方法的选择，教师不仅要考虑促进学生理解平面几何知识，考虑引领学生探究证明思路的途径，而且还要考虑教学活动对于学生的心理适应性，不了解学生的数学现实、学生面对几何问题时的心理活动过程、学习的疑难是什么、问题在哪里，只是把传授逻辑推理的思考方法原封不动地奉献于学生，这种教学效果是不会理想的，应该纠正这种脱离学生数学现实的教学方法.本文的研究为此提供了一种有价值的视野.参考文献：［1］张昆，张乃达.设计结构性初始问题的实践与探索［J］.中学数学（初中版），2017（6）：58-61.［2］［荷兰］弗赖登塔尔.作为教学任务的数学［M］.陈昌平，唐瑞芬，等，译.上海：上海教育出版社，1995.［3］［前苏联］维果斯基.维果斯基教育论著选［M］.余震求，译.北京：人民教育出版社，2005.［4］［美］乔治·波利亚.数学的发现：对解题的理解、研究与讲授［M］.刘景麟，曹之江，邹清莲，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1980.［5］张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径［J］.数学教育学报，2015，24（1）：33-37.［6］张昆.整合数学教学设计的取向：基于逻辑取向与心理取向的视角［J］.中国教育学刊，2011（6）：52-55.［7］张昆，张乃达.探究辅助线方法的教学设计研究：平面几何命题证明入门教学的视点［J］.中学数学杂志，2017（8）：9-12.［8］张乃达.数学思维教育学［M］.南京：江苏教育出版社，1990.（责任编辑：陈衍峰）。
部编六年级数学《图形与几何—图形的认识》张菊花PPT课件 一等奖新名师优质课获奖比赛公开北京
▪ （1）长方体和正方体是由（平）面围成的 立体图形。而圆柱和圆锥都有一个（ 曲）面。
▪ （2）一个正方体，棱长扩大2倍，表面积 扩大（ 4 ）倍，体积扩大（8）倍。
▪ （3）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们 的体积之和是36立方厘米，圆锥体积是（ 9 ） 立方厘米。
▪ （4）圆柱是由（长方形）旋转而得到的， 圆锥是由（直角三角形）旋转而得到的。
名师PPT课灵件活处理：
▪ 把下面的展开图折成一个 长方体。
▪ （1）如果A面在底部， 那么（ D ）面在上面。
▪ （2）如果F面在前面， 从左面看是B面，那么 （ A）面在上面。
▪ （3）如果要求这个长方 体的表面积和体积，至少 要量出（长、宽、高）的长 度。
名师PPT课件
课堂小结：
谢谢观赏！
名师PPT课件仔细判断：
1、计算圆柱形油桶能装多少升油就是求这个油桶
的容积。（ √）
2、圆柱底面直径扩大2倍，高不变，它的体积也扩
大2倍。（ ×）
3、圆柱的底面周长和高相等，沿高剪开侧面展开图一
定是正方形。（ √）
4、求做一个圆柱形的通风管需要多少铁皮，就是求
圆柱的表面积。（ ×）
名师PPT课件谨慎填空：
正方体
①有6个面，每个面都是正方形，每个面面积都相等。 ②有12条棱，每条棱长度都相等。 ③有8 个顶点。
圆柱体 圆锥体
①有两个底面，是相等的两个圆。 ②有一个侧面，是个曲面，沿高展开一般是个长方形。 （当底面周长和高相等时是正方形。） ③有无数条高，每条高长度都相等。（两底面间的距离）
①有一个底面，是个圆形。 ②有一个侧面，是个曲面，展开是个扇形。 ③有一个顶点， ④有一条高。（顶点到底面圆心的距离）
部编六年级数学《图形与几何—图形的认识》毛森林PPT课件 一等奖新名师优质课获奖比赛公开北京
(× )
(2)两个面积相等的梯形一定能拼成一个平行四边形。( × ) (3)一个长方形的长和宽都增加4 cm，面积就增加16 cm2 。
(× ) (4)一个长方形，长增加10%，条边的长度分别是5厘米和12厘米，这
个等腰三角形的周长可能是22厘米。
四边形后，周长( 不变 )，面积( 变小 )。 (3)一个直角三角形三条边的长度分别是10 cm、8 cm、6
cm，这个三角形的面积是( 24 ) cm2 ，斜边上的高 是( 4.8 )cm。
名师PPT课件
(4)如下图，把平行四边形分成3个三角形，则甲、乙、丙 三个三角形的面积比是( 2∶3∶5 )。
( ×)
名师PPT课件
3．计算下面图形的面积。
5×7＝35(cm2)
12×10－5×(10－4)＝90(cm2)
名师PPT课件
易错辨析
4．一个平行四边形相邻两边的长度分别是15 cm和8 cm，已知一条边上的高是10 cm，求平行四边形的 面积。 8×10＝80(cm2) 答：平行四边形的面积是80cm2。
名师PPT课件
(900＋900)÷3＝600(m)，(900－600)÷2＝150(m)， 900÷2＝450(m)，故连接A点与对边的六等分点(左、右 分别有一个)即为所求。
4×4÷2－2×2÷2＝6(cm2)
名师PPT课件
8．如图，求四边形ABCD的面积。(单位：cm)
1 2
×52－12×22＝10.5(cm2)
名师PPT课件
9．把一个直角梯形的上底延长5 cm就可以得到一个边长 是12 cm的正方形。这个直角梯形的面积是多少平方 厘米？
[12＋(12－5)]×12÷2＝114(cm2) 答：这个直角梯形的面积是114 cm2。
部编六年级数学《图形与几何—图形的认识》印彦彦教案课件 一等奖新名师优质课获奖比赛公开北京
《平面图形的复习》教学设计北正乡中心小学印彦彦一、教学目标：1、知识目标：使学生进一步理解平面图形的周长和面积的含义和计算方法，能正确、应用公式解决一些简单的实际问题。
2、能力目标：在回顾面积公式推导的过程中，进一步体会转化的思想和方法，理解和形成平面图形面积公式推导的网络。
进一步渗透数学思维方法，发展学生揭示事物之间内在联系的能力。
3、情感目标：使学生在系统复习的过程中，体验与同学合作交流以及获取知识的乐趣，增进对数学学习的积极情感，增强学好数学的信心。
二、教学重点1、回顾平面图形周长和面积计算公式的推导过程，尤其是面积公式的推导过程。
2、整理相关知识，形成知识网络，探索知识间的内在联系。
三、教学难点：引导学生找出公式推导的内在联系，形成知识网络。
四、教学准备教具：多媒体课件、长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆各一个。
学具袋、剪刀五、教学过程：（一）创设情境，激趣导入同学们，春天来了，我们的校园姹紫嫣红，非常美丽。
学校准备做一些警示牌来提醒同学们，爱护花草树木。
假如把这个任务交给我们班，你想把警示牌设计成什么形状的呢？（长方形、正方形、平行四边形、三角形、圆形、梯形）同学们的想法可真多，那么做这些警示牌需要多少材料求的是什么呢？（面积）我在警示牌周围加一圈金边需要多长的框条求的是什么呢？（周长）为了出色的完成这项任务，我们这一节课来共同复习平面图形的周长和面积。
（板书课题）（二）复习旧知，梳理知识师：想一想什么是平面图形的周长？什么是面积？（封闭图形一周的长度叫做平面图形的周长。
物体所占平面的大小叫做面积。
）这些平面图形的周长计算公式是什么呢？学生汇报。
（平行四边形和三角形梯形周长没有计算公式，怎么计算呢？关于这些平面图形的面积，你都知道哪些知识？预设：①计算公式（谁能把你课前整理的面积计算公式汇报一下）②推导过程（如果有学生能回答某图形的推导过程要及时表扬）请同学们把平面图形的周长和面积公式整理到课本上师：学习知识不仅要“知其然，更要知其所以然”这些平面图形面积计算公式是如何推导出来的呢？小组合作出示合作要求：选择你们小组感兴趣的平面图形，和小组同学交流面积公式的推导过程。
北师版数学五年级上册第3课时 图形与几何(一)——轴对称和平移课件牛老师
12 cm2
14 cm2
24 cm2
二、知识应用
比较规则的图形，数 的时候可以将有些部分拼 成完整格数；不规则的图 形数的时候半格及超过半 格算一格，不足半格忽略 不计。
二、知识应用
如果想估算得更准确 一些，可以将方格纸上的 每个小方格分成更小的正 方形，就可以得到更接近 实际面积的估计值。
二、知识应用
总复习
第3课时 图形与几何（一） ——轴对称和平移
一、回顾整理
轴对称图形 轴对称的概念
把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图 形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形 成轴对称，这条直线叫作对称轴。
一、回顾整理
轴对称图形的画法 （1）找关键点。 （2）数出或量出关键点到对称轴的距离。 （3）在对称轴另一侧找出关键点的对称点。 （4）按所给图形的顺序连接各点，画出所给图形的另一半。
三、巩固练习
1. 下面哪些图形是轴对称图形？
①√
②√
③
④√
⑤√
⑥
⑦
⑧
三、巩固练习
2.先画出下面轴对称图形的另一半，然后画出将这个轴对称图形向 右平移8格，再向下平移6格后得到的图形.
三、巩固练习
3. 估计下面不规则图形的面积。（每个小方格的面积表示1 cm2）
59 cm2
47.5 cm2
四、课堂小结
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场面， 苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这里是 仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺等， 店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正享受 着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠 叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷叶 上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。 它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
洞头县实验小学五年级数学上册 总复习 第2节 图形与几何教案 北师大版
第2节图形与几何教材第106～107页，第111～112页。
1.理解轴对称与平移的意义，能画出轴对称图形的对称轴，并在方格纸上画出简单的轴对称图形。
2.能按水平或垂直方向将简单图形平移。
3.掌握平行四边形、三角形及梯形的面积公式，会求简单的组合图形的面积，会用方格纸估计不规则图形的面积，并能解决简单的实际问题。
重点：梳理有关“图形与几何”的相关知识，加深学生对知识的理解和认识。
难点：在梳理知识的过程中，构筑知识体系，提高解决实际问题的能力。
师：教材中的情境图制成的课件。
生：课前整理多边形面积知识点。
师：同学们回忆一下，本学期我们学习了哪些关于“图形与几何”的内容？生1：轴对称和平移。
生2：多边形的面积。
生3：组合图形的面积。
师相机板书。
师：这节课我们就来一起回顾有关“图形与几何”的相关知识。
（板书课题）（一）复习轴对称和平移的知识课件出示：①举例说说：什么样的图形是轴对称图形？②如何得到一个轴对称图形？③什么是对称轴？④平移的方法。
完成教材第106页图形与几何独立思考第2题。
说清楚自己是怎样平移的。
（二）复习多边形的面积计算方法1.师：请同学们回顾我们本学期探究了哪些多边形的面积。
生：平行四边形、三角形、梯形。
2.我们是怎样推导出这几种平面图形面积公式的？请同桌交流，说清楚推导过程。
汇报交流。
3.在小组讨论的基础上，全面整理多边形面积的相关知识。
①注意选择比较好的整理方式。
如，文字、表格或画图等方法。
②重新仔细地阅读教材，防止有遗漏。
③简单地交流知识之间的联系与学习中的重点、难点。
4.学生分小组展示，适当给予评价。
设计意图：学生互相之间的交流补充，保证知识点的全面性，还提高了学生运用恰当的方式对知识进行复习整理的能力。
（三）复习简单组合图形面积的知识。
1.课件出示图形，结合图形说一说求组合图形面积的方法。
小组交流。
2.小结：计算组合图形的面积主要采用“分割”和“添补”的方法。
3.复习不规则图形面积的估计方法。
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增加了需要 学生进行想 象、猜测和 推理探究的 活动，培养 学生的空间 想象和思维 能力。
注意联系 生活实际， 更加重视 对概念的 理解。
具 体 特 点
宜兴埠第一小学
具体写特点
体验图形 的平移、 旋转以及 加强动手 转化的数 实践、自 学思想方 主探究， 法，促进 让学生经 空间观念 历知识的 形成过程。 发展。
尝试从日常生活中发 现并提出简单的数学 问题，并运用一些知 识加以解决。 能探索分析和解决简 单问题的有效方法， 了解解决问题方法的 多样性。 在运用数学知识和方 法解决问题的过程中， 认识数学的价值。
掌握测量、识图和 画图的基本方法。
数学思考
体验简单图形的运动 过程，能在方格纸上 画出简单图形运动后 的图形，了解确定物 体位置的基本方法。
问题解决
知识与技能
情感态度
探索一些图形的形状、 大小和位置关系，了 解一些几何体和平面 图形的基本特征。
学 段 目 标
初步养成乐于思考、 勇于质疑、言必有据 等良好品质。
宜兴埠第一小学
一、说课标
2.课程内容
宜兴埠第一小学
课程内容 测量 图形的运动
图形的认识
具 体 内 容 分 析 宜兴埠第一小学
图形与位置
课程内容
1、结合实例了解线段、射线和直线。 2、体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。 3、知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之 间的大小关系。 4、结合生活情境了解平面上两条直线的平行和垂直关系。
图 形 的 认 识
5、通过观察、操作认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形， 会用圆规画圆。 6、认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于 第三边、内角和180度。 7、认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、 钝角三角形。 8、能辨认从不同方向看到的物体的形状图。 9、通过观察、操作，认识长、正方体、圆柱和圆锥，认识长、 正方体和圆柱的展开图。
图 形 的 运 动
2、通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的平移与旋转， 能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格纸 上将简单图形旋转90度。 3、能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小。
4、能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运 用它们在方格纸上设计简单的图案。
宜兴埠第一小学
宜兴埠第一小学
课程内容 测量 图形的运动
○结合实际例子体会度量单位的大小。 ○能测量一些不规则图形的周长。
图形的认识
○关注估测问题。
○体验某些实物体积的测量方法。 具 体 内 容 分 析 宜兴埠第一小学
图形与位置
课程内容
1、通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称 轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补 全一个简单的轴对称图形。
四边形 垂直、平行 三边形
角
从一点引出的两 条射线所组成的 图形叫做角。
位置、对称 平移、旋转
直线、射线
点
知 识 延 展
长方体、 正方体 圆柱、圆锥
宜兴埠第一小学
知识延展
四边形 垂直、平行 三边形
角
角可以分为：锐 角、直角、钝角 和平角。渗透垂 直和平行
位置、对称 平移、旋转
直线、射线
点
知 识 延 展
宜兴埠第一小学
课程内容 测量 图形的运动
图形的认识
图形与位置
具 体 ○在方格的基础上，进一步定量地刻画物体的位置。 内 容 ○方格在具体问题中的应用。 分 ○用有序数对确定物体的位置。 析 宜兴埠第一小学
二、说教材
1.编写特点
①教材总的特点
②编写形式的特点 ③具体编写特点
宜兴埠第一小学
教材总的特点
》
巩固练习
应用拓展
新授课型
课堂小结
反思升华
亲身实践
感知探究 编 写 形 式 的 特 点
创境引趣 激思迁移
布置作业 巩固提高
宜兴埠第一小学
编写形式的特点
巩固练习
应用拓展 重视从情境 图中抽象出 亲身实践 几何图形 感知探究 编 写 形 式 的 特 点
课堂小结
反思升华
创境引趣 激思迁移 提供丰富的 生活素材
增加了需要 学生进行想 象、猜测和 推理探究的 活动，培养 学生的空间 想象和思维 能力。
注意联系 生活实际， 更加重视 对概念的 理解。
对一些 内容进 行了调 整。
具 体 特 点
宜兴埠第一小学
具体编写特点
长、正方体的引出，直 接从实物中抽象出相应 的图形，不再从与平面 图形的对比中引出。
由于体积和表面积等概 念注意从各方面进行认 识，所以体积和表面不 再安排例题进行对比。
宜兴埠第一小学
知识延展
四边形 垂直、平行 三边形
角
建立了四边形 之间的联系。
位置、对称 平移、旋转
直线、射线
点
知 识 延 展
长方体、 正方体 圆柱、圆锥
宜兴埠第一小学
知识延展
平行四边形
长方形 正方形
梯形
四边形
宜兴埠第一小学
知识延展
四边形 垂直、平行 三边形
？
位置、对称 平移、旋转
角
为什么先认 识四边形再 探究三边形
具 体 特 点
宜兴埠第一小学
具体编写特点 底
高
长方形面积＝ 长 × 宽 平行四边形面积＝ 底 × 高
宜兴埠第一小学
具体编写特点
三角形面积＝底×高÷2
梯形面积＝（上底+下底）× 高÷2
宜兴埠第一小学
具体编写特点
渗透转化思想
长方形面积 转
化 三角形面积 化 转
转化
转化
梯形面积
平行四边形面积
转化
宜兴埠第一小学
加强动手实践，自 主探究，经历知识 形成过程。 注重知识间的相 互关联，由浅入 深，阶梯式上升。
教 材 总 的 特 点
发展空间观念，体 会图形在生活中的 广泛应用。
宜兴埠第一小学
二、说教材
1.编写特点
①教材总的特点
②编写形式的特点 ③具体编写特点
宜兴埠第一小学
编写形式的特点
《
北 辰 区 课 堂 教 学 基 本 要 求
课程内容 测量 图形的运动
○按要求在方格纸上画出一个图形经过平移或旋转后所 得的图形，会补全一个轴对称图形。 ○研究图形的相似运动，即将图形放大或缩小。 ○综合运用图形的运动进行图案的欣赏与设计。 具 体 内 容 分 析 宜兴埠第一小学
图形的认识
图形与位置
课程内容
图 形 与 位 置
1、了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距 离与实际距离的换算。 2、能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置。 3、会描述简单的路线图。 4、在具体情境中，能在方格纸上用数对（限于正整数）表示 位置，知道数对与方格纸上点的对应。
及时反馈 适当提升
宜兴埠第一小学
编写形式的特点
在观察、想象、 推理和图形的相 互转化过程中发 展空间观念
巩固练习
应用拓展
重视知识形成过 程的回顾，方法 的反思
亲身实践
感知探究
从已有生活经 验和知识基础 出发，注重方 法的指导 创境引趣
课堂小结
反思升华 编 写 形 式 的 特 点
布置作业 巩固提高 及时反馈 适当提升
激思迁移 提供丰富的 生活素材
宜兴埠第一小学
二、说教材
1.编写特点
①教材总的特点
②编写形式的特点 ③具体编写特点
宜兴埠第一小学
具体编写特点
增加了需要 学生进行想 象、猜测和 推理探究的 活动，培养 学生的空间 想象和思维 能力。
具 体 特 点
宜兴埠第一小学
具体编写特点
加强动手 实践、自 主探究， 让学生经 历知识的 形成过程。
宜兴埠第一小学
编写特点 编写形式的特点
在观察、想象、 推理和图形的相 互转化过程中发 展空间观念
巩固练习
应用拓展
亲身实践
感知探究
从已有生活经 验和知识基础 出发，注重方 法的指导 创境引趣
课堂小结
反思升华 编 写 形 式 的 特 点 重在解决生 活中的实际 问题
布置作业 巩固提高
激思迁移 提供丰富的 生活素材
宜兴埠第一小学
课程内容 测量 图形的运动
图形的认识
图形与位置
具 体 ○通过对实物的观察与操作认识图形。 内 容 ○关注基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念。 分 ○注重以知识为载体渗透数学思想。 析 宜兴埠第一小学
课程内容
1、能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角。
2、探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，并解决 简单的问题。 3、知道面积单位平方千米、公顷。
布置作业 巩固提高
宜兴埠第一小学
编写特点 编写形式的特点
在观察、想象、 推理和图形的相 互转化过程中发 展空间观念
巩固练习
应用拓展
亲身实践
感知探究
从已有生活经 验和知识基础 出发，注重方 法的指导 创境引趣
课堂小结
反思升华 编 写 形 式 的 特 点
布置作业 巩固提高
激思迁移 提供丰富的 生活素材
调 整 部 分
宜兴埠第一小学
二、说教材
2.教学主线和知识延展
宜兴埠第一小学
教学主线
教学主线
图形 位置 和 运动
点
线
面
体
宜兴埠第一小学
知识延展
四边形 垂直、平行 三边形
面
角
线 点 知 识 延 展
位置 运动
位置、对称 平移、旋转
直线、射线
体
长方体、 正方体