2.2一元二次方程的解法(4)
1.2一元二次方程的解法(4)公式法
课题：1.2一元二次方程的解法（4）班级 姓名： 课型：新授课 主备： 审核： 备课时间： 上课时间：1、 学习目标：经历探索求根公式的过程，培养抽象思维能力；2、 熟练地应用求根公式解一元二次方程；3、 在探索和应用求根公式中，进一步认识特殊与一般的关系。
学习重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误学习难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程自学探究问题：1、用配方法解下列方程：（1）x x 10152=+ （2）0311232=+-x x2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？你觉得哪一步最重要？探究：问题1：用配方法解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax问题2：在研究问题1中，你能得出什么结论？知识点一：用公式法解一元二次方程自学课本第14－15页内容，完成：1、一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax（1） 当_____________时，它的根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。
（2） 当_____________时，方程没有实数根。
2、尝试交流：在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，代数式ac b 42-有什么作用？〖基本题型一〗用公式法解一元二次方程例1 解下列方程()02312=++x x ()()x x 72222=-思考：用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？变式练习：（看谁算得快）解下列方程：（第一组）（1）0432=--x x （2）0122=-+x x()3232=-x x解下列方程：（第二组）()182012+=x x ()()662=-x x()()1143=-x x ()()071542=-+x x课后作业 补充习题课后反思。
《一元二次方程的解法》教案
2课 题教 学目 标教 学设 想2.2 一元二次方程（1）1、掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.2、会用因式分解法解一元二次方程.【教学重点】用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】例 3 方程中含有无理系数，需将常数项 2 看成( 2 ) ，才能分解因式，是本节教学的难点.教 学 程 序 与 策 略一、复习引入1、将下列各式分解因式：(1)y 2 - 3 y (2)4 x 2 - 9(3)(3x - 4)2 - (4 x - 3)2 (4) x 2 - 2 2 x + 2教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.2、你能利用因式分解解下列方程吗？（例 1）(1)x 2 - 3x = 0(2)25 x 2 = 16请中等学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.（板书课题）二、新课学习1、归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：教师首先指出：当方程的一边为 0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：（板书）① 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；② 将方程的左边分解因式；③ 根据若 M·N=0，则 M=0 或 N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.2、讲解例 2.（1）解下列一元二次方程：(1)(x - 5)(3x - 2) = 10(2) x - 2 = x ( x - 2) (3)(3x - 4)2 = (4 x - 3)2教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把 x-2 及 3x-4 和 4x-3 看成整体，还要突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要1 2用“或”，而不能用“且.（2）想一想：将第（ ），（2），（3）题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？教 学 程 序 与 策 略（3）归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型：①先变形成\一般形式，再因式分解：②移项后直接因式分解.在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能否分解因式.讲解例 3. 解方程 x 2 = 2 2 x - 2在本例中出现无理系数，要注意引导学生将将常数项 2 看成 ( 2 )，另外对于方程中出现两个相等的根，教师要做好板书示范.3、补充例 4 若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？首先让学生设出未知数，列出方程（ x 2 = x ），再让学生求解.根据学生的求解情况强调：对于此类方程不能两边同时约去 x ，因为这里的 x 可以是 0.三、巩固练习课本第 31 页课内练习.四、体会和分享能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？先由学生自由发言，教师再投影演示：1、能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积；2、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为零；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3、用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等于0.4、用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为零；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.5、数学思想：整体思想和化归思想.五、课后作业1、书本作业题2、作业本教后反思课题教学目标教学设想2.2一元二次方程的解法（2）(1)理解直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义。
23.2.4一元二次方程的解法(四) 学案
23.2 .3《一元二次方程的解法》学案(四)学习目标1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
重点难点难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
研讨过程一、复习旧知，提出问题1、用配方法解下列方程：（1）x x 10152=+ (2)2131203x x -+=2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、探索新知试一试：用配方法解方程x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0).问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠转化为2224()4b b ac x a a-+=呢？因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 移项，得配方，得 即2224()24b b ac x aa-+=问题2：当240b ac -≥，且0a ≠时，2244b ac a-大于等于零吗？得出结论：当240b ac -≥时，因为0a ≠，所以240a >，从而22404b ac a-≥。
问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？得出结论，当240b ac -≥时，一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为2422b b ac x aa-+=±，即242b b ac x a-±-=。
由以上研究的结果，得到了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式： 242b b ac x a-±-=（240b ac -≥）这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
2.2一元二次不等式的解法
刹车距离
在交通繁忙的路段,交通管理部门出于车辆安全和畅通的考 虑,对汽车的行驶速度有一定的限制,超速行驶被视为违规.因 为汽车在遇到紧急情况时,即使司机马上刹车,但由于惯性的作 用,刹车后的汽车仍会继续往前滑行一段距离后才会停下.这段 距离叫做刹车距离.车速越快,刹车距离越长.
代数方法： x 2x 1 0
x x
2 0••••
1 0
或
x 2 0 x 1 0
x 2
x 2
x 1
或
x 1
原不等式的解集是： •x | 1 x 2
想一想
y x2 x 2
x2 x 2 0
甲乙两辆汽车相向而行,在一个弯道上相遇,弯道限制 车速在40km/h以内,由于突发情况,两车相撞了,交警在现 场测得甲车的刹车距离接近但未超过12m,乙车的刹车距离 刚刚超过10m,又知两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h) 之间分别有以下函数关系:
S甲=0.01x2+0.1x
S乙=0.005x2+0.05x
2.解对应的方程。
3.画出相应函数的简图，根据图象确定所求不等 式的解集。
练习:
求下列不等式的解集 (1) x2-5x+6<0
(2)x2-x+2<0
(3) 3x2-x-4>0
(4)9x2-6x+1≤0
(5) -6x2-x+2<0
(6)2x2+4x>-3
小结
一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数的相互关系及其解法：
的解集是 R,求实数k的取值范围.
例3.写出一个一元二次不等式，使它的解
2.2一元二次方程的解法(4)公式法课件2004年浙教版八年级下
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 倍 速 课 时 学 练 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =)2 = +( )2
( x +
∴当b2-4ac≥0时, 解得 即 x= x= ±
x +
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理 得 x2+px=-q
3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+
)2 )2 =
= -q+( -q
)2
倍 速 课 时 学 练
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
公式法。
用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 ① ② X= ③ 3、代入求根公式 :
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 b=5 c= -3
倍 速 课 时 学 练
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解？
倍 速 课 时 学 练
当 b2-4ac=0 时，一元二 方程有两个相等的实数根。
一元二次方程的解法(4)
温馨提示：此材料是教师讲课的教案，学生学习的学案，上课时的笔记，课后的复习资料，请同学们装订保管。
发给同学们后请通过研读课本资料，并在同学和老师帮助下完成，并达到能讲的水平。
一元二次方程的解法（4）教学案一、学习目标：经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；会用公式法解简单系数的一元二次方程。
（学生课后体会）二、重难点：求根公式的推导和公式法的应用；一元二次方程求根公式法的推导．（学生课后检测是否到达要求）三、课前预习：阅读教材第26---27页（学生自行安排时间）四、教学准备：多媒体课件五、学习过程（一）、创设情景导入新课你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?（二）、讨论问题（1）用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)（2）求根公式是什么（3）公式法：（4）（练习）填空：1.方程3x2+5x-2=0 a= ，b= ，c = . b2_4ac=2.方程(2x-1)2-4=0 a= ，b= ，c = . b2_4ac=（三）、例题讲解例1、解下列方程：1、2x2+x-6=02、x2+4x=23、5x2-4x-12=04、4x2+4x+10=1-8x练习课本第28页，(四)、总结用公式法解一元二次方程的步骤。
你能用公式法解方程2x2-9x+8=0 吗?（五）、课堂测试用公式法解下列方程♦1). 2x2＋x－6＝0；♦2). x2＋4x＝2；♦3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;♦4). 4x2+4x+10 =1-8x ；♦5). x2－6x＋1＝0 ；♦6). 2x2－x＝6 ；♦7). 4x2- 3x - 1=x - 2；♦8). 3x(x-3)=2(x-1)(x+1);♦9). 9x2+6x+1 =0 ；♦10). 16x2+8x=3 ；（六）、大家都来说：我学了————————我学会了———————我还有待加强—————作业课本第31页第2题的（3）--（6）同学们请复习一元二次方程的解法。
一元二次方程的解
一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。
1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。
下面将介绍其中两种常用的解法。
1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。
求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。
对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。
1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。
配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。
首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。
例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。
接下来，利用开平方的性质求解方程。
对于上述方程，解为x = -3。
2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。
2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。
根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。
21.2.3 一元二次方程的解法((因式分解法)(4)
解下列方程
参考答案：
1.x1 2.x1
1
4
; x2 2 3 ; x2
7. 5 1.
• 因式分解法解一元二次方程的步骤是:
• (1)化方程为一般形式;
• (2)将方程左边因式分解;
• (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
• (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. • 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显
示了“二次”转化为“一次”的过程.
1.会用因式分解法（提公 因式法、运用公式） 解一元二次方程.
2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的 解法，体会解决问题方法的多样性.
学习重难点
重点 会用因式分解法解一元二次方程. 难点 理解并应用因式分解法解一 元二次方 程.
创设情景 明确目标
根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s秒 的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地高度（单位： 米）为10x-4.9x2你能根据上述规律求出物体经过多少 秒落回地面吗？（精确到0.01S）
r 5 2r r 5 2r 0.
于是得 r 2r 5 0或r 2r 5 0.
r1
5 2
1
,
r2
5 1 2
(舍去).
答：小圆形场地的半径是 5 m. 2 1
已知9 a2 4b2
0，求代数式
a b
b a
a2 b2 的值.
ab
我最棒
,用分解因式法解下列方
程
参考答案：
7.2(x 3)2 xx 3;
34576...x..xxxx111113; 2x3212;2,;;xxxx222225334.6...74 .
8.( x 1)2 3x 1 2 0; 8.x1 0; x2 1.
4.2一元二次方程的解法(4)
4.2一元二次方程的解法（4）[ 教案]备课时间: 主备人:【学习目标】:1、会用公式法解一元二次方程2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2－4ac ≥0 【重点和难点】：重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误【知识回顾】1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？2、用配方法解下例方程（1）02722=--x x （2）05422=+-x x【预习指导】请尝试用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）， 当 时，它的根是 。
这个公式叫做一元二次方程的 ，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做 。
【典型例题】例、请你利用求根公式解下列方程：⑴ x 2＋3x ＋2 = 0 ⑵ 2 x 2－7x = 4【知识梳理】1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。
3、若解一个一元二次方程时，b 2－4ac ＜0，请说明这个方程解的情况。
【课堂练习】1、把方程4-x 2=3x 化为ax 2+bx+c=0(a ≠0)形式为 ，b 2-4ac= .2、用公式法解下列方程：（1）x 2-2x-8=0； （2）x 2+2x-4=0； （3）2x 2-3x-2=0；（4）3x(3x-2)+1=0. （5）2260x x +-= （6）242x x +=3、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程210240x x -+=的一个根，求这个三角形的周长。
【课后练习】1、用公式法解下列方程： （1）2x -3x-4=0；（2）22x +x-1=0；（3）2x -2x=3；（4）x （x-6）=6；2、两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数。
1.2一元二次方程的解法(4)
1.2 一元二次方程的解法(4)学习过程：学习过程：2.解下例方程（1）02722=--x x （2）05422=+-x x3.阅读下面解方程)0(02≠=++a c bx ax 的过程：因为，0≠a 所以方程两边同除以a ，得 02=++ac x a b x 移项，得 a c x a b x -2=+ 配方，得 222)2(-)2a b a c a b x a b x +=++（ 22244)2(a ac b a b x -=+ 因为，0≠a 所以042>a . 当042≥-ac b 时，a ac b a b x 2422-±=+ 所以a ac b x 242a b -2-±=，即aac b b x 24-2-±=活动一：1.思考在解方程)0(02≠=++a c bx ax 的过程中，为什么要求240b ac -≥？ 2.式子aac b b x 24-2-±=说明了什么？ 3.总结：一般地，对于一般形式的一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，它的根是x =（240b ac -≥） 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法.4.如果042<-ac b ，那么方程20(0)ax bx c a ++=≠有实数根吗？为什么？ 活动二：尝试利用公式法解方程832-=x x活动三:尝试归纳利用公式法解一元二次方程的一般步骤.例题: 用公式法解下列方程（1）0232=++x x ⑵ x x 7)2(22=- 三、当堂检测1.把方程x x 3-42=化为一般形式为 ，=-ac b 42 .2.用公式法解方程x x 12432=+，下列代入公式正确的是（ ） A.=x 21214412-± B.=x 21214412-±- C.=x 21214412+± D.=x 64814412-± 3．方程2410x x +-=的根是________________________.4.当x =__________时，代数式265x x ++与1x -的值相等.5.用公式法解下列方程：（1）23210x x --= （2）2240y y --= 0212 (3)2=--y y 6.已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程02410-2=+x x 的一个根，求这个三角形的周长.。
青岛版数学七年级下册《一元二次方程的解法(4)公式法》课件
“4”代
“5”解
⑤当b2－4ac≥ 0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，
若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
一元二次方程 + + = ≠ ，根的情况由代数式 − 的值来决定。
因此 − 叫做一元二次方程的根的判别式，
用希腊字母“∆”表示，即 ∆= −
见负必括
27
（1）2x2-3x+1=0
（2）3x2-9x+ =0
解：a=2,b=-3,c=1
b2-4ac=(-3)2-4×
见负必括
4
2×1=1>0
2x2- 3x+1=0
a= 2,b=- 3,c=1
27
4
. b2-4ac=(-9)2-4× 3 ×
方程有两个不相等的实数根
（3） 2x2= 3x-1
a=3,b=-9,c=
满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
X2=
X1=
1、从两根的代数式结构上有什么特点？
2、根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？
x1+x2= -
-
= 0 (a ≠ 0),
.
.
b=0
7、若关于x的方程x2 -2nx +3n +4=0有两个相等的实数根，求n.
解：∆=
.
(-2n)2-4× 1 × (3 + 4) = 0
“3”求
b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1
.
x=
−（−）±
.
b2-4ac=42-4×4×1=0，
“4”代
−±
x=
×
2.2一元二次不等式的解法
8-0.62r
即3.1r2-41r+100≤0
=>100/31≤r≤10
因此，所求的r取值范围是[100/31，10]
练习1
某旅店有200张床位，若每床一晚上租金27元， 则可全部出租；若将出租收费标准每晚提高10 的整数倍，则出租的床位会将减少10的相应倍 数张。若要是该旅店某晚的收入超过10000元， 则每个床位的出租价格应定在什么范围内？
△
图
△＞0
x1=
不等式解集为 ｛x｜x＜x1 或x＞x2｝
不等式解集为 ｛x｜x1＜x＜ x2}
像
△=0 x 0=
b 2a
与
不等式解集 ｛x|x≠x0, x∈R｝
解集为
解
△＜0
方程无解
不等式解集为 R(一切实数)
解集为
a＜0的情况自己完成
二、典型习题——逆用解不等式
1. 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为 (-2,3)，求不等式cx2+ax-b<0的解集。 2. 求a,b满足的条件，使得ax2+2x+b>0 的解集为 （1）(-1，2) （2） (-∞,+∞)
不等式怎么解？ ax2＋bx＋c=0
三、解法
例1、解一元二次不等式：x² -x-2>0
(x-2)(x+1)>0
x 2 0 x 2 0 或 x 1 0 x 1 0
代数解法
x ， 1 2，
y=(x-2)(x+1)
几何解法
2
。
2.2一元二次不等式 的解法
(2)
解 不 等 式 x ( a 2) x 2 a 0
2.2一元二次方程的解法(4)
我们可以由一元二次方程的系数a、b、c 的值，直接 求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法解下列一元二次方程: 2 (1) 2 x 5 x 3 0
(2) 4 x 1 4 x
2
3 2 1 (3) x 2x 0 4 2 2 (4) x x 1 0
对于这个方程这种解法是否为 最好的方法? 你还有其它的方法吗?
鲜花为你盛开，你一定行！
一元二次方程的根的判别式
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0). 当a，b，c 满足什么条件时,方程的两根为互为
相反数？
2、m取什么值时,方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有
两个相等的实数解？
2
下列方程用什么方法来解的最合适？
1x
2
4 0
2
Hale Waihona Puke 2x2 4x 0
2
3x 1
4
59 x
2
12 x 4 0
4x 3 0
43x 2 4x 2 0 2 6x 4 x 1
72 x
2
既然配方法对所有的一元二次方程都适用
尝试用配方法解一元二次方程的一般式 ax2+bx+c=0（a≠0)？
当 b 4ac 0 时，方程有实数根吗？
2
一般地,对于一元二次方程
2
, ax bx c 0(a 0)
2
2 b b 4ac 如果 b 4ac 0 ,那么方程的两个根为 x 2a 这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式,
知识回顾：
2018年九年级数学上2.2一元二次方程的解法教案新版湘教版
2018年九年级数学上2.2一元二次方程的解法教案新版湘教版2．2 一元二次方程的解法2．2.1 配方法教学目标【知识与技能】1．知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程．2．学会用直接开平方法解形如(ax＋b)2－k＝0(k≥0)的方程．3．理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法．【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．【教学重点】运用配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x＋n)2＝d(d≥0)的过程．教学过程一、情景导入，初步认知1．根据完全平方公式填空：(1)x2＋6x＋9＝( )2(2)x2－8x＋16＝( )2(3)x2＋10x＋( )2＝( )2(4)x2－3x＋( )2＝( )22．前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)．由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 3．你会解方程x2＋6x－16＝0吗？你会将它变成(x ＋m)2＝n(n为非负数)的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础．二、思考探究，获取新知1．解方程：x2－2500＝0.问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程？把方程写成x2＝2500这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得 x＝2500或x＝－2500因此，原方程的解为x1＝50，x2＝－50【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根．2．解方程(2x＋1)2＝2解：根据平方根的意义，得2x＋1＝2或2x＋1＝－2因此，原方程的根为x1＝2－12，x2＝－2＋123．通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？【归纳结论】对于形如(x＋n)2＝d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解．直接开平方法的步骤是：把方程变形成(x＋n)2＝d(d≥0)，然后直接开平方得x＋n＝和x＋n＝－，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解．4．解方程x2＋4x＝12我们已知，如果把方程x2＋4x＝12写成(x＋n)2 ＝d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解．那么，如何将左边写成(x＋n)2的形式呢？我们学过完全平方式，你能否将左边x2＋4x添上一项使它成为一个完全平方式．请相互交流．写出解题过程．【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程x2＋4x ＝12的左边加上一次项系数的一半的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．5．如何用配方法解方程25x2＋50x－11＝0呢？如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流．试着写出解题过程．6．通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为(x＋n)2＝d(d≥0)的形式．三、运用新知，深化理解1．见教材P33例3、P34例4.2．列方程(注：学生练习，教师巡视，适当辅导．)(1)x2－10x＋24＝0；(2)(2x－1)(x＋3)＝5；(3)3x2－6x＋4＝0.解：(1)移项，得x2－10x＝－24配方，得x2－10x＋25＝－24＋25，由此可得(x－5)2＝1，x－5＝±1，∴x1＝6，x2＝4.(2)整理，得2x2＋5x－8＝0.移项，得2x2＋5x＝8二次项系数化为1得x2＋52x＝4，配方，得x2＋52x＋(54)2＝4＋(54)2(x＋54)2＝8916，由此可得x＋54＝±894，x1＝－5＋894，x2＝－5－(3)移项，得3x2－6x＝－4二次项系数化为1，得x2－2x＝－43，配方，得x2－2x＋12＝－43＋12，(x－1)2＝－13因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．3．解方程x2－8x＋1＝0分析：显然这个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式．解：x2－8x＋1＝0移项得：x2－8x＝－1配方得：x2－8x＋16＝－1＋16即(x－4)2＝15两边开平方得：x－4＝±15∴x1＝4＋15，x2＝4－．用配方法将下列各式化为a(x＋h)2＋k的形式．(1)－3x2－6x＋1；(2)23y2＋13y＋2；(3)0.4x2－0.8x－1.解：(1)－3x2－6x＋1＝－3(x2＋2x－13)＝－3(x2＋2x＋12－12－13)＝－3[(x＋1)2－43]＝－3(x＋1)2＋4(2)23y2＋13y－2＝23(y2＋12y－3)＝23[ y2＋12y＋(14)2－(14)2－3]＝23[(y＋14)2－4916]＝23(y＋14)2－4924.(3)0.4x2－0.8x－1＝0.4(x2－2x－2.5)＝0.4[(x2－2x＋12)－12－2.5]＝0.4(x－1)2－【教学说明】通过练习，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的认识．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题2.2”中第1、2、3题．教学反思在教学过程中，坚持由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师做学生学习的引导者，合作者，促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动．同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习．2．2.2 公式法教学目标【知识与技能】1．经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练． 2．会用公式法解简单系数的一元二次方程．【过程与方法】通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．【情感态度】让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】理解求根公式的推导过程．教学过程一、情景导入，初步认知1．用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.2．由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)使用这些步骤，然后求出解x的公式？【教学说明】这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．二、思考探究，获取新知1．用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2＋bx＝－c因为a≠0，所以方程两边同除以a得：x2＋bax＝－ca配方，得：x2＋bax＋(b2a)2＝－ca＋(b2a)2即(x＋b2a)2＝b2－4ac4a2∵a≠0，∴4a20当b2－4ac≥0，b2－4ac4a2≥0∴x＋b2a＝±b2－4ac2a即x＝－b±b2－4ac2a∴x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.当b2－4ac0时，方程无解．【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a、b、c代入式子 x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)就可求出方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：(1)将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错．(2)式子b2－4ac≥0是公式的一部分．【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)能否用配方法求出它的解？通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式．2．展示课本P36例5(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号．3．引导学生完成P37例．你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，再用求根公式求解．三、运用新知，深化理解1．用公式法解下列方程．2x2＋3＝7x分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．解：2x2－7x＋3＝0a＝2，b＝－7，c＝3∵b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝250∴x＝－b±b2－4ac2a＝7±252×2＝7±54即x1＝3，x2＝12.2．某数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0提出了下列问题．(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．(2)若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：(1)要使它为一元二次方程，必须满足m2＋1＝2，同时还要满足(m＋1)≠0.(2)要使它为一元一次方程，必须满足∶①m2＋1＝1（m＋1）＋（m－2）≠0或②m2＋1＝0m －2≠0或③m＋1＝0m－2≠0解：(1)存在．根据题意，得：m2＋1＝2m2＝1 m＝±1当m＝1时，m＋1＝1＋1＝2≠0当m＝－1时，m＋1＝－1＋1＝0(不合题意，舍去) ∴当m＝1时，方程为2x2－1－x＝0a＝2，b＝－1，c＝－1b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－1)＝1＋8＝9x＝－（－1）±92×2＝1±34x1＝1，x2＝－12.因此，该方程是一元二次方程时，m＝1，两根x1＝1，x2＝－12.(2)存在．根据题意，得：①m2＋1＝1，m2＝0，m＝0因为当m＝0时，(m＋1)＋(m－2)＝2m－1＝－1≠0 所以m＝0满足题意．②当m2＋1＝0，m不存在．③当m＋1＝0，即m＝－1时，m－2＝－3≠0所以m＝－1也满足题意．当m＝0时，一元一次方程是x－2x －1＝0，解得：x＝－1当m＝－1时，一元一次方程是－3x－1＝0解得x＝－13因此，当m＝0或－1时，该方程是一元一次方程，并且当m＝0时，其根为x＝－1；当m＝－1时，其一元一次方程的根为x＝－13.【教学说明】主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题2.2”中第4题．教学反思通过复习配方法使学生会对一元二次方程的定义及解法有一个熟悉的印象．然后让学生用配方法推导一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．使学生的推理能力得到加强．2．2.3 因式分解法教学目标【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法．【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．【情感态度】通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法．【教学重点】用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．教学过程一、情景导入，初步认知复习：将下列各式分解因式(1)5x2－4x(2)x2－4x＋4(3)4x(x－1)－2＋2x(4)x2－4(5)(2x－1)2－x2【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度．二、思考探究，获取新知1．解方程x2－3x＝0可用因式分解法求解方程左边提取公因式x，得x(x－3)＝0由此得x＝0或x－3＝0即x1＝0，x2＝3与公式法相比，哪种更简单？【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．用因式分解法解下列方程；(1)x(x－5)＝3x；(2)2x(5x－1)＝3(5x－1)；(3)(35－2x)2－900＝0.3．你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？【归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．4．说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程．【归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程．5．选择合适的方法解下列方程：(1)x2＋3x＝0；(2)5x2－4x－3＝0；(3)x2＋2x－3＝0.按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程． 6．如何选择合适的方法解一元二次方程呢？【归纳结论】公式法适用于所有一元二次方程．因式分解法(有时需要先配方)适用于所有一元二次方程．配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法．总之，解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化成为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．三、运用新知，深化理解1．用因式分解法解下列方程：(1)5x2＋3x＝0；(2)7x(3－x)＝4(x－3)．分析：(1)左边＝x(5x＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，7x(3－x)－4(x－3)＝0，找出(3－x )与(x－3)的关系．解：(1)因式分解，得x(5x＋3)＝0，于是得x＝0或5x＋3＝0，x1＝0，x2＝－35；(2)原方程化为7x(3－x)－4(x－3)＝0，因式分解，得(x－3)(－7x－4)＝0，于是得x－3＝0或－7x－4＝0，x1＝3，x2＝－472．选择合适的方法解下列方程：(1)2x2－5x＋2＝0；(2)(1－x)(x＋4)＝(x－1)(1－2x)．分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x)与(x－1)的关系用因式分解法；解：(1)a＝2，b＝－5，c＝2，b2－4ac＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，x＝5±92×2＝5±34，x1＝2，x2＝12(2)原方程化为(1－x)(x＋4)＋(1－x)(1－2x)＝0，因式分解，得(1－x)(5－x)＝0，即(x－1)(x－5)＝0，x－1＝0或x－5＝0，x1＝1，x2＝53．用因式分解法解下列方程：(1)10x2＋3x＝0；(2)7x(3－x)＝6(x－3)；(3)9(x－2)2＝4(x＋1)2.分析：(1)左边＝x(10x＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，7x(3－x)－6(x－3)＝0，找出(3－x)与(x－3)的关系；(3)应用平方差公式．解：(1)因式分解，得x(10x＋3)＝0，于是得x＝0或10x＋3＝0，x1＝0，x2＝－310；(2)原方程化为7x(3－x)－6(x－3)＝0，因式分解，得(x－3)(－7x－6)＝0，于是得x－3＝0或－7x－6＝0，x1＝3，x2＝－67；(3)原方程化为9(x－2)2－4(x＋1)2＝0，因式分解，得[3(x－2)＋2(x＋1)][3(x－2)－2(x＋1)]＝0，即(5x－4)(x－8)＝0，于是得5x－4＝0或x－8＝0，x1＝45，x2＝．已知(a2＋b2)2－(a2＋b2)－6＝0，求a2＋b2的值．分析：若把(a2＋b2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a2＋b2)为未知数的一元二次方程．解：设a2＋b2＝x，则原方程化为x2－x－6＝0. a＝1，b＝－1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×(－6)×1＝25＞0，x＝1±252，∴x1＝3，x2＝－2.即a2＋b2＝3或a2＋b2＝－2，∵a2＋b 2≥0，∴a2＋b2＝－2不合题意应舍去，取a2＋b2＝3.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“练习题2.2”中第5、6、9、10题．教学反思这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到这一目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法．。
2.2 一元二次方程的解法(4) 新浙教版
∴ b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1 ∴x= = 即 x1= - 3 x2= =
④
动手试一试吧！
1、方程3 +1=2 x中， 2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 -1或4 有两个相等的实数根，则n=------.
3、练习:用公式法解方程 （ 1） x2 - x -1= 0
有两个相等的实数解？
布置作业
1、作业本 2、课后练习
2 （x1 = 1x2 =- --） 3 （x1 = x 2 = ）
x2
b2-4ac=-----
0
（ 2） x2 - 2
x+2= 0
（3）X( X-1)=(X-2)2
（x1 = 4,x2 =2）
再试一试吧！
自编一个有解的一元二次方 程，让你的同桌解一解吧！
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法的一般步骤： 1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
c= 3 ① ② ③ 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X= 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
例1.用公式法解方程2x2-5x+3=0 解: a=2 b=-5
理一理：
解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
求根公式 : X=
若 b2-4ac>0
若 b2-4ac=0 若 b2-4ac>则原方程没有实数根；
m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0
义务教育课程标准实验教科书
浙教版《数学》八年级下册（2014版）
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解得
b b 2 4ac x 2a
一般地，对于一元二次方程
ax bx c 0(a 0) ，
2
2 b 如果 4ac 0 ，那么方程的两个根为
x
b
b 4ac 2a
2
这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 这个公式叫做一元二次方程的求根公式。
用公式法解下列一元二次方程：
b 4ac 0, 方程有两个相等的根
2
2 2 3 7 (3) x x 0 3 2 6
方程没有实数根
31 b 4ac 36
2
方程根的情况：
1、当 b 4ac 0 时，方程有两个不相等 的实数根；
2
2、当 b 4ac 0 时，方程有两个相等的 实数根；
2
一起用配方法解下面这 个一元二次方程吧~
2 x 12 x 2 0
2
2 x 2 12 x 2 0
步骤
两边ห้องสมุดไป่ตู้ 除以a
移项 两边同时 加上( b ) 2
2a
ax 2 bx c 0(a 0)
b c x x 0 a a
2
x 6x 1 0
2
x 6x 1
2
x
2
2
b c x a a
x 6x 9 1 9
2
b b 2 c b 2 x x( ) ( ) a 2a a 2a
b 2 b 2 4ac (x ) 2a 4a 2
( x 3) 10
2
整理
x 3 10
x 10 3
开方
b b 2 4ac 2 x b 4ac 0 2 2a 4a
运用公式法解一元二次方程的的解步骤：
（1）把方程化为一般形式，• 确定a、b、c的值； （2）求出的 b2 4ac 值； （3）若 b2 4ac 0 ，把a、b、c及
b 2 4ac 的值代入一元二次方程的求根
公式，求出方程的根；若 b 4ac 0 ，
2
此时方程无实数解。
用公式法解下列一元二次方程：
3、当 b 4ac 0 时，方程没 有实数根.
2
练习：
书38页课内练习第2题
1、小结一下解一元二次方程的几种方法？
解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开 平方法、因式分解法、配方法、求根公式法。
2、这节课我们学习的解法，你会了吗？
公式
b b 4ac x 2a
2
求解步骤
(1)2 x 5 x 3 0
2
解（1）对方程
2
2 x2 5x 3 0 ，
2
a 2, b 5, c 3,
b 4ac 5 4 2 3 1,
5 1 x , 2 2 4 5 1 3 5 1 x1 , x2 1. 4 2 4 5 1
(2) 4x +1=-4x (3)3/4x2 - 2x - 1/2=0
2
(4) x 1 x
2
(5)x(1/2x-1)=(x-2)
2
下列一元二次方程根的个数：
(1)2 x 5 x 3 0
2
b 4ac 1 0, 方程有两个不相等的根
2
2 3x
2
3 6 x