不可压缩流体动力学基础
不可压缩流体动力学基础
（c3）
mx my mz vx v y vz dxdydzdt （c） y z x
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化为：
mt
A
v x x v x y x 2 y 2
B
v y x v y y vy x 2 y 2
v x v x y vx x x 2 y 2
δx
vx
v x x v x y x 2 y 2
图 7-3 流体微团的平面运动速度分量
（1）平移运动：所有偏倒数为0，如图7-4（a）所示，矩形ABCD各角点 具有相同的速度 v x , v y 。导致矩形ABCD平移△x = v △t, △y = v y △t, x 其ABCD的形状不变。
如果在式（7-10）的第一式右端加入两组等于零的项：
1 v y 1 v y y y 和 2 x 2 x
1 v z 1 v z z z 2 x 2 x
其值不变。经过简单组合，可将该式写成 ：
v x 1 v y v x 1 v x v z 1 v y v x 1 v x v z v Ax v x x ( )y ( )z ( )y ( )z x 2 x y 2 z x 2 x y 2 z x
对于不可压缩流体
vr 1 v v z vr 0 r r z r
式中 r 为极径； 为极角。
球坐标系中的表示式为:
1 ( v ) 1 ( v r r 2 ) 1 ( v sin ) 0 2 r sin t r r r sin
在
（b）
第七章不可压缩流体动力学基础
刚体任意参考点的平移速度
刚体的运动速度
绕参考点的旋转速度
质点上任意参考点的平移速
流体任一质点速度 绕度通过该点的瞬时轴旋转速度
变形速度
流体力学 移动
流体微团的运动 转动
变形运动
流体力学
各点速度关系: M点速度: vx , vy C点速度:
BAMFra bibliotekCvCX
vx
vx x
dx 2
vCY
vy
流体力学
方程组的定解条件
初始条件 定解条件
边界条件
流体力学
1、初始条件
初始条件是指在起始瞬时t＝0所给定的流场中每一点的 流动参数。
也就是说，求得的解在t＝0时所应分别满足的 预先给定的坐标函数。
定常流动不需要给定初始条件。
流体力学
2、边界条件
边界条件是指任一瞬时运动流体所占 空间的边界上必须满足的条件。
根据质量守恒定律：
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
ρ t
净流入微元体质量流量＝流体质量增长率
ρt
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
0
将
dρ dt
ρt
Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρ z
引入
得
ρ t
dρ dt
(Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρz )
流体力学
代入上式
得
ddρt ρ(
vBx
vCx
vx x
dx
经过dt时间BC边伸长
流体力学热能第5章 不可压缩流体动力学基础讲解
本章讨论三元流动，主要内容是有关流体运动的基本概念和基本原理， 以及不可压缩流体流动的基本方程。 积分形式的基本方程用于解决控制面上的流动参数问题。 微分方程可用于解决流 动参数在流场中的分布问题。
一、运动形式
§7-1 流体微团运动的分析
1、流体微团：指体积微小，随流体一起运动的一团流体物质。与流体质点不 同，虽体积微小，但包含无数个流体质点。各质点间存在着相对位置的变化。
?x
?
?ux ?x
?y
?
?uy ?y
差值为正，发生伸长变形。
?z
?
?uz ?z
3、旋转角速度
逆时针为正
对角线EMF 的旋转角速度定义为
A
整个流体微团在oxy 平面上的旋转角速度。 E
? ?
?
?
z
?
1
?u (
y
2 ?x
?
?ux ) ?y
?
??
?
y
?
1 (?ux 2 ?z
?
?uz ) ?x
?
??
?
x
?
2、基本运动形式
平移运动
旋转运动
线变形、
变形运动
角变形
BF
二、运动分析
以二元流动的情况为例，研究几种
A
uy
ux C
dy
基本运动形式的速度表达式。
M
E
如图，方形流动微团
D
dx
各侧边中点A、B、C、D的流速分量分别为
M
A
ux
ux
?
?ux ?x
? dx 2
B
ux
?
?ux ?y
流体动力学基本原理的内容及成立条件
流体动力学基本原理的内容及成立条件一、流体动力学的基本概念流体动力学是研究流体在运动中所表现出来的各种力学现象的科学。
它是研究流体的物理性质、运动规律和应用的基础。
流体包括气体和液体，其特点是没有固定的形状，在受到外力作用时能够变形。
二、流体动力学基本方程1.连续性方程连续性方程描述了质量守恒原理，即在任意给定时刻，单位时间内通过任意给定截面积内的质量保持不变。
2.动量守恒方程动量守恒方程描述了牛顿第二定律，即物体受到外力作用时会发生加速度变化。
3.能量守恒方程能量守恒方程描述了能量守恒原理，即系统内总能量保持不变。
三、成立条件为了使上述基本方程成立，需要满足以下条件：1.连续性假设：假设流体是连续不断的介质，在微观尺度下不存在空隙或孔隙。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
2.牛顿第二定律适用：流体的运动速度相对于光速较慢，所以牛顿第二定律可以适用于流体运动。
3.稳态假设：假设流体的物理状态在空间和时间上是恒定不变的。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
4.不可压缩性假设：假设流体密度不随时间和位置而变化。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
5.粘性效应：粘性是流体内部分子之间相互作用力导致的，它会影响流体的运动规律。
当流体处于高速运动状态时，粘性效应可以忽略不计；但当流体处于低速运动状态时，粘性效应就会显著影响流体运动规律。
四、结论综上所述，流体动力学基本原理包括连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
为了使这些基本方程成立，需要满足一定条件，如连续性假设、牛顿第二定律适用、稳态假设、不可压缩性假设以及粘性效应等。
这些基本原理和条件对于研究流体的物理性质、运动规律和应用具有重要意义。
不可压缩粘性流体动力学基础_OK
uz y
u y z
zx
xz
1 ux 2 z
uz x
（7—3）
14
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
综上所述，可写出表示流体微团运动的基本形式如下：
表示平移的平移速度：u x、u、y u。z
表示线变形的线变形速度（又称线变率）：
x
u x x
y
u y y
z
u z y
表示角变形的角变形速度（又称角变率）：
一、流体微团（Material Elements of Fluid） 流体微团是由大量的流体质点所组成的一个微小质团，它
具有微小的体积，是研究流体运动的一个基本单元。
4
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流体力学与流体机械
流体微团的尺度在微观上足够大，大到能包含大量的 分子，使得在统计平均后能得到其物理量的确定值，质 点的尺度在宏观上又足够小，远小于所研究问题的特征 尺度，使得其平均物理量可看成是均匀的；而且可以把 流体微团看成是几何上的一个点。
dx dy dz
x y z
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流体力学与流体机械
在给定瞬时，在漩涡场中任取一个不是涡线的封闭曲线， 通过这条曲线上每一点作一根涡线，这些涡线就构成一个管 状曲面，称为涡管（Vortex Tube）；涡管中充满着作旋涡运 动的流体，称为涡束，或称为元涡（Vortex Filament）。 涡通量（Vortex Flux）或旋涡强度（Intensity of Vorticity），以 J表示。元涡的涡通量为微元涡的断面积和速度涡量（简称涡 量）的乘积，即
y
ux d yd t y
D
C
C
uy
u y y
dy
流体静力学流体动力学基础
有明确记载的最早的流体力学原理是在公元前250年， 希腊数学家及力学家阿基米德（Archimedes）发表
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了一篇“论浮体”的论文，提出了浮体定律，这是流体力 学的第一部著作。由于奴隶制、神权和宗教观念的束缚， 直到15世纪文艺复兴时期，尚未形成系统的理论。16世纪 以后，在欧洲由于封建制度的崩溃，资本主义开始萌芽， 生产力有了发展。在城市建设、航海和机械工业发展需要 的推动下，逐步形成近代的自然科学，流体力学也随之得 到发展。意大利的达·芬奇(Vinci，L. da)是文艺复兴时期 出类拔萃的美术家、科学家兼工程师，他倡导用实验方法 了解水流性态，并通过实验描绘和讨论了许多水力现象， 如自由射流、旋涡形成原理等等。1612年伽利略（Galilei） 提出了潜体的沉浮原理；1643年托里拆利(Torricelli，E．) 给出了孔口泄流的公式；1650年帕斯卡(Pascal，B．)提
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液体或气体界面处，不仅研究相互之间的作用力，而且还 需要研究它们之间的传热、传质规律。
工程流体力学是研究流体（液体、气体）处于平衡状 态和流动状态时的运动规律及其在工程技术领域中的应用。
流体力学的基础理论由三部分组成。一是流体处于平 衡状态时，各种作用在流体上的力之间关系的理论，称为 流体静力学；二是流体处于流动状态时，作用在流体上的 力和流动之间关系的理论，称为流体动力学；三是气体处 于高速流动状态时，气体的运动规律的理论，称为气体动 力学。工程流体力学的研究范畴是将流体流动作为宏观机 械运动进行研究，而不是研究流体的微观分子运动，因而
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流体力学作为一门独立的学科，同其他自然科学一样 是人类为了满足自身生活和生产的需要，在认识与改造自 然的斗争中，随着实践经验的不断积累，技术与知识水平 的不断提高才形成和发展起来的，有着漫长的发展历程。 其发展既依赖于科学实验和生产实践，又受到许多社会因 素的影响。我国是世界上三大文明古国之一，有着悠久的 历史和灿烂的文化，由于生产发展的需要，远在两三千年
流体力学基础知识概述
流体力学基础知识概述流体力学是研究流体运动及其力学性质的学科领域，它对于了解和分析自然界中的流体现象、工程设计和科学研究都具有重要的意义。
本文将对流体力学的基础知识进行概述，帮助读者对该领域有一个全面的了解。
一、流体的特性流体是一种连续变形的物质，其特性包括两个基本的属性：质量和体积。
质量是指流体的总重量，而体积则表示流体占据的空间。
流体还具有可压缩性和不可压缩性之分，可压缩流体如气体在受力时体积可变，不可压缩流体如液体则在受力时体积基本保持不变。
二、流体的力学性质1. 流体的静力学性质：静力学研究的是流体在静态平衡下的性质。
静力学方程描述了流体静力平衡的条件，在不同的情况下有不同的方程形式。
例如，对于不可压缩流体，静力平衡方程可以表示为斯托克斯定律。
2. 流体的动力学性质：动力学研究的是流体在运动状态下的性质。
根据流体的性质和流动条件，可以使用纳维-斯托克斯方程或欧拉方程来描述流体运动。
这些方程可以通过流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒得到。
三、流体的流动类型根据流体的运动方式，流体力学将流动分为两种基本类型：层流和湍流。
层流是指流体以有序、平稳的方式流动，流线相互平行且不交叉；而湍流则是流体运动不规则、混乱的状态，流线交叉、旋转和变化。
层流和湍流的转变由雷诺数决定，雷诺数越大，流动越容易变为湍流。
雷诺数是流体力学中一个无量纲的参数，通过流体的密度、速度和长度等特性计算而来。
四、流体的流速分布流体在管道或河流等容器中的流速分布可以通过速度剖面来描述，速度剖面是指流体速度随离开管道中心轴距离的变化关系。
一般情况下，流体在靠近管道壁面处速度较小，在中心位置处速度较大。
速度剖面可用来研究流体流动的特性，例如通过计算剖面的斜率可以确定流体的平均速度。
此外，流体的速度分布还受到管道壁面的摩擦力和流体性质的影响。
五、流体的流量计算流量是指单位时间内通过某一横截面的流体体积，计算流体流量是流体力学中的一项重要任务。
不可压缩流体动力学基础习题答案
不可压缩流体动力学基础1．已知平面流场的速度分布为xy x u x+=2，y xy u y 522+=。
求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。
解：（1）线变形速度：y x xu x x +=∂∂=2θ 54+=∂∂=xy y u yy θ 角变形速度：()x y y u x u x y z +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=222121ε 旋转角速度：()x y x u x u x y z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=222121ω 将点（1，-1）代入可得流体微团的1=x θ，1=y θ；23/z =ε；21/z =ω2．已知有旋流动的速度场为322+=y u x，x z u y 32+=，y x u z 32+=。
试求旋转角速度，角变形速度和涡线方程。
解：旋转角速度：2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y z x ω 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ω 2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x yz ω 角变形速度：2521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=z u y u y z x ε 2521=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ε 2521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x y z ε 由z y x dz dy dx ωωω==积分得涡线的方程为：1c x y +=，2c x z +=3．已知有旋流动的速度场为22z y c u x+=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量及涡线方程。
解：流场的涡量为： 0=∂∂-∂∂=zu y u y z x Ω 22z y cz xu z u z x y +=∂∂-∂∂=Ω 22z y cy y u x u x yz +-=∂∂-∂∂=Ω旋转角速度分别为：0=x ω222zy czy +=ω 222z y cyz +-=ω 则涡线的方程为：c dz dy z y +=⎰⎰ωω 即c y dz z dy +-=⎰⎰可得涡线的方程为：c c y =+22 4．求沿封闭曲线2 22b y x =+,0=z 的速度环量。
不可压缩流体方程及其解法
不可压缩流体方程及其解法在物理学和工程学中，流体力学是一个重要的研究领域。
流体力学主要研究液体和气体的运动规律，涉及到许多基本概念和数学工具。
其中，不可压缩流体方程是流体运动的基本方程之一。
本文将从不可压缩流体的物理特性出发，介绍不可压缩流体方程的含义与求解方法。
一、不可压缩流体的特性不可压缩流体是指其密度在运动时保持不变的流体。
简单来说，如果将一个不可压缩流体密封在一个可变形的容器中，并对容器进行变形，流体的密度不会发生任何变化。
这是与可压缩流体的最大区别。
研究不可压缩流体的运动时，需要考虑以下几个基本物理量：1. 流量（Volume flow rate）：在单位时间内，流体通过某一横截面的体积（如L/s）。
2. 速度（Velocity）：流体在单位时间内通过某一截面的体积与该截面的面积之比，即流量与面积的商（如m/s）。
3. 压力（Pressure）：在流体上施加的力所产生的单位面积的效应（如Pa）。
对于不可压缩流体，密度始终保持不变，即$\rho(t)$=常数，所以可将密度从运动方程中省去，即运动方程变为：$\rho \frac{\partial u}{\partial t} + \rho u\cdot \nabla u = -\nabla P +\mu \nabla^2 u$其中，$\rho$为密度常数，$u$为速度向量，$P$为压力，$\mu$为流体的黏度系数。
二、不可压缩流体方程的求解不可压缩流体方程是一组偏微分方程，求解不太容易。
常见的求解方法有以下几种：1.数值模拟法这种方法非常直观、有效，可以通过计算机模拟流体在一定条件下的运动规律。
数值模拟法一般基于有限体积法、有限元法、谱方法等。
它们的基本思想都是把流体空间分成网格，建立离散模型，并通过数值迭代求解流体动力学方程。
不过，数值模拟法的精度受到很多因素的影响，如网格大小、初始条件、粘度等。
此外，一些边界问题也很难在数值模拟中得到很好的处理。
不可压缩流体的平均运动动能方程、雷诺应力输运方程的推导。
我们首先考虑不可压缩流体的平均运动动能方程。
平均运动动能方程的推导：
1.定义：流体的动能为21ρv2，其中ρ是流体的密度，v是流速。
2.动量守恒定律：对于不可压缩流体，动量守恒定律为∂t∂ρv+∇⋅(ρv v)=0。
3.速度的散度：v=v(x,t)，则v⋅∇v=∂xi∂vi+vi∂xj∂vi。
4.应用散度定理：∫∇⋅(ρv v)dV=∫ρv v⋅d S。
5.积分：对整个流体体积进行积分，得到dtd∫21ρv2dV=−∫ρv(v⋅∇)v dV。
6.化简：由于是不可压缩流体，ρ为常数，因此dtd∫21ρv2dV=−∫(v⋅∇)(ρv2)dV。
7.应用散度定理：由于ρ为常数，所以∫(v⋅∇)(ρv2)dV=0。
8.结论：因此，不可压缩流体的平均运动动能方程为dtd∫21ρv2dV=0，即动能为常数。
接下来考虑雷诺应力输运方程的推导。
雷诺应力输运方程的推导：
1.定义：雷诺应力为τij=−pδij+2μsij，其中p是压力，μ是动力粘度，sij是应变率。
2.雷诺方程：对于不可压缩流体，雷诺方程为∂t∂vi+vj∂xj∂vi=−ρ1∂xi∂p+ν∂xj2∂2vi。
3.应变率：sij=21(∂xj∂vi+∂xi∂vj)。
4.应用散度定理：对整个流体体积进行积分，得到dtd∫τij dV=−∫sij(v⋅∇)vidV+∫(v⋅∇)(μsij)dV。
5.化简：由于是不可压缩流体，化简后得到dtd∫τij dV=−2∫(v⋅∇)(μsij)dV。
6.结论：因此，雷诺应力输运方程为dtd∫τij dV=−2∫(v⋅∇)(μsij)dV。
《流体力学》第七章不可压缩流体动力学基础分解
通常涡通量是利用速度环量这个概念来计算 的。
在流场中任取一封闭曲线s,则流速沿曲线s 的积分称为曲线s上的速度环量。
F B
F’
B’
B
F
B’ B’’ F’ F’’ C’’
C’’
A
M
A’’
C= A
A’
C’
MC
+ A’
A’’
D’’
C’
yE E’’
D
D’’
(a)
D
E
D’
E’
(b)
D’ E’’ E’
(c)
0
x
图7-2 流体徽团的旋转运动和变形运动
对于三元流动,可得流体微团旋转角速度分量为:
X
1 (uz 2 y
uy ) z
第七章 不可压缩流体动力学基础
许多实际流体的流动差不多都是空间的 流动。
流体的三元流动。
本章的主要内容是有关流体运动的基本 概念和基本原理，以及描述不可压缩流 体流动的基本方程和定解条件。
第一节 流体微团运动的分析
刚体的运动： 平移和旋转
流体的运动： 平移、旋转、变形（线变 A 形和角变形）
uds
s
s uxdx uydy uzdz
规定积分沿s逆时针方向绕行为 s的正方向
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过 以该曲线为边界的曲面A的涡通量。
汤姆逊定理
s J A
在理想流体的涡量场中，如果质量力具有 单值的势函数，那么，沿由流体质点所组 成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。
流体动力学基础习题答案
流体动力学基础习题答案流体动力学基础习题答案一、流体静力学1. 压力是流体静力学中的重要概念。
它定义为单位面积上的力的大小，可以用公式P = F/A表示，其中P表示压力，F表示作用在面积A上的力。
2. 流体静力学中的另一个重要概念是压强。
压强定义为单位面积上的压力大小，可以用公式P = F/A表示，其中P表示压强，F表示作用在面积A上的力。
3. 流体静力学中的重要定理之一是帕斯卡定律。
帕斯卡定律指出，在静止的流体中，任何一个点的压力改变都会传递到整个流体中。
这意味着，如果在一个封闭容器中施加了压力，那么容器中的每一个点都会受到相同大小的压力。
4. 流体静力学中的另一个重要定理是阿基米德原理。
阿基米德原理指出，浸没在流体中的物体所受到的浮力等于物体排开的流体的重量。
这一原理解释了为什么物体在浸没在流体中时会浮起来。
二、流体动力学1. 流体动力学是研究流体在运动状态下的行为和性质的学科。
与流体静力学不同，流体动力学关注的是流体在运动中的力学特性。
2. 流体动力学中的重要概念之一是流速。
流速定义为流体通过某一点的体积流量除以通过该点的横截面积。
可以用公式v = Q/A表示，其中v表示流速，Q表示体积流量，A表示横截面积。
3. 流体动力学中的另一个重要概念是雷诺数。
雷诺数定义为流体的惯性力与黏性力的比值。
雷诺数越大，流体的惯性力相对于黏性力越大，流体的流动趋向于湍流；雷诺数越小，流体的惯性力相对于黏性力越小，流体的流动趋向于层流。
4. 流体动力学中的伯努利定理是一个重要的定理。
伯努利定理指出，在不可压缩、黏性、稳定的流体中，沿着流线的总能量保持不变。
这一定理解释了为什么飞机的机翼能够产生升力，以及水管中的水流速度和压力之间的关系。
三、流体力学习题答案1. 问题：一个直径为0.1米的管道中的水流速度为2米/秒，求水流的体积流量。
解答：体积流量可以用公式Q = Av表示，其中Q表示体积流量，A表示横截面积，v表示流速。
流体动力学基础
第3章 流体动力学基础一、单项选择题1、当液体为恒定流时，必有（ ）等于零。
A ．当地加速度 B.迁移加速度 C.向心加速度 D.合加速度 2、均匀流过流断面上各点的（ ）等于常数。
A.p B.z+gpρ C.gpρ+gu22D. z+gpρ+gu223、过流断面是指与（ ）的横断面。
A ．迹线正交 B.流线正交 C.流线斜交 D.迹线斜交 4、已知不可压缩流体的流速场为Ux=f(y,z),Uy=f(x),Uz=0,则该流动为（ ）。
A.一元流 B.二元流 C.三元流 D.均匀流5、用欧拉法研究流体运动时，流体质点的加速度a=( ). A.22dtr d B.tu ∂∂ C.(u ·▽)u D.tu ∂∂+(u ·▽)u6、在恒定流中，流线与迹线在几何上（ ）。
A.相交 B.正交 C.平行 D.重合7、控制体是指相对于某个坐标系来说,( ).A .由确定的流体质点所组成的流体团 B.有流体流过的固定不变的任何体积 C.其形状,位置随时间变化的任何体积 D.其形状不变而位置随时间变化的任何体积.8、渐变流过流断面近似为( ).A.抛物面B.双曲面C.对数曲面D.平面 9、在图3.1所示的等径长直管流中,M-M 为过流断面,N-N 为水平面,则有( ). A.p1=p2 B.p3=p4 C.z1+gp ρ1=z2+gp ρ2D.z3+gp ρ3=z4+gp ρ410、已知突然扩大管道突扩前后管段的管径之比21d d =0.5, 则突扩前后断面平均流速之比v1:v2=( ).A. 4B.2C.1D.0.5 11、根据图3.2 所示的三通管流，可得（ ）。
A ．qv 1+qv 2=qv 3 B.qv 1-qv 2=qv 3 C.qv 1=qv 2+qv 3 D.qv 1+qv 2+qv 3=0 12、根据图3.3 所示的三通管流，可得（ ）。
A ．qv 1+qv 2=qv 3 B.qv 1-qv 2=qv 3 C.qv 1=qv 2+qv 3 D.qv 1+qv 2+qv 3=0 13、测压管水头坡度Jp=（ ）。
流体力学教学资料 3
V2 V1
V3
V4
设 ds =dxi+dyj+dzk 为流线上 A 点的一微元弧长
V = ui+vj+wk 为流体质点在 A 点的流速。
V A ds
速度矢量 V 与微元弧长 ds 相平行，所以
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
对应分量成比例
相续通过流场同一空间点的流体质点所连成的曲线又 称为脉线。
在实验中经常通过在水流中的一些特定点连续注入染 色液体或者在气流中的特定点连续施放烟气的方式来演示 流场，染色液体或者烟气所形成的曲线是脉线。
在定常流动中，通过同一空间点的所有流体质点具有 相同的运动轨迹，而且它们沿着流线行进，所以染色线或 者烟线同时也是流线和迹线。在非定常流动中，脉线与流 线和迹线都不重合，所以此时不能把染色线或烟线当成流 线和迹线。
(8,6)
x
解: u=Vcos=3 x2 y2
=3x
x2 y2
x
v=3y
ax=u/t+uu/x+vu/y=0+3x·3+3y·0=9x=72m/s2 ay= v/t+uv/x+vv/y=0+3y·0+3y·3=9y=54m/s2
a ax2 ay2 722 542 90m / s2
例
rr
3．积分形式的连续性方程
对控制体内的质量变化和通过控制面的质量流量用积分表 达，这样就得到积分形式的连续性方程：
ρ t
dτ
dx dy xt yt
dz 0
积分后得到：
ln x t ln y t ln C1
z C2
流体力学(热能)第5章 不可压缩流体动力学基础讲解
的下标表示发生角变形的所在平面的法线方向。
三、亥姆霍兹速度分解定理 （了解）
设流体微团内某点M0(x,y,z),速度为ux0 、u y0 、uz0 ，
则邻边M0的另一点M (x+dx,y+dy,z+dz)的速度为
ux ux0 dux uy uy0 duy
uz uz0 duz
了。
四、 N-S方程
把（7-5-1）式和（7-5-6）式代入（7-4-1）式，消去应力
ux
对不可压缩流体有 x
uy y
uz z
0
代入得
X
1
p x
(
2u x x 2
2u x y 2
2u x z 2
)
dux dt
Y
1
p y
(
2u y x 2
3 xx
yy
zz
(7-5-4)
（3）
p
1 3
(
pxx
pyy
pzz )
pt
2 3
( ux
x
u y y
uz z
)
(7-5-5)
式中， pxx 、 pyy 、 pzz表示法向应力，
p 表示压强，
pt 表示理想流体压强。
代入（7-5-4）
（4）
p xx
p
2
u x x
（2）
ur
2r
cos 2
1 r
u 2r sin 2
解： ur
流体力学第七章不可压缩流体动力学基础
第七章不可压缩流体动力学基础在前面得章节中,我们学习了理想流体与粘性流体得流动分析,按照水力学得观点,求得平均量。
但就是,很多问题需要求得更加详细得信息,如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上得分布情况。
本章得内容介绍流体运动得基本规律、基本方程、定解条件与解决流体问题得基本方法。
第一节流体微团得运动分析运动方式:①移动或单纯得位移(平移)②旋转③线性变形④角变形。
位移与旋转可以完全比拟于刚体运动,至于线性变形与脚变形有时统称为变形运动则就是基于液体得易流动性而特有得运动形式,在刚体就是没有得。
在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
、平移:如果图(a)所示得基体各角点得质点速度向量完全相同时,则构成了液体基体得单纯位移,其移动速度为。
基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动,但其方位与形状都与原来一样（立方基体各边得长度保持不变）。
二、线变形:从图（b）中可以瞧出,由于沿y轴得速度分量,B点与C点都比A点与D 点大了,而就代表时液体基体运动时,在单位时间内沿y 轴方向得伸长率。
、角变形（角变形速度）角变形:四、旋转（旋转角速度）那么,代入欧拉加速度表达式,得:各项含义:（1）平移速度（2）线变形运动所引起得速度增量（3）（4）角变形运动所引起得速度增量（5）（6）微团得旋转运动所产生得速度增量流体微团得运动可分解为平移运动,旋转运动,线变形运动与角变形运动之与。
——亥姆霍兹速度分解定理第二节有旋运动1、无涡流（势流）如在液体运动中,各涡流分量均等于零,即,则称这种运动为无涡流。
当满足无涡流条件时,,满足柯西条件,就有:存在。
即流速势。
满足此条件得流动（无涡流）就叫势流。
（下一章作详细介绍）2、有涡流 :如在液体运动中 ,涡流分量、及中间得任一个或全部不等于零 ,则这样 得液体运动就叫做旋流或有涡流。
自然界中得实际液体几乎都就是这种有涡得流 动。
涡线 :流场中一些假想得线 ,在所讨论得瞬时 ,涡线上各个质点得涡旋向量都 与此线在该点处相切。
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不可压缩流体动力学基础
1．已知平面流场的速度分布为xy x u x +=2，y xy u y 522+=。
求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。
解：（1）线变形速度：y x x
u x x +=∂∂=2θ
2由z y x dz dy dx
ωωω==积分得涡线的方程为：
1c x y +=，2c x z +=
3．已知有旋流动的速度场为22z y c u x +=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量及涡线方程。
解：流场的涡量为：
旋转角速度分别为：0=x ω 则涡线的方程为：c dz dy z y +=⎰⎰ωω 即c dz dy +-=⎰
4．0=y u ；（3在u x （2）涡量分布为：A z -=Ω
根据斯托克斯定理得：2b A dA z A
z s πΩΓ-==⎰ （3）由于0=r u ，r A u =θ
则转化为直角坐标为：22b Ay y r A u x -=-
=，2b Ax u y = 则22b
A y u x u x y
z =∂∂-∂∂=Ω 根据斯托克斯定理得：A dA z A
z s πΩΓ2==⎰ 5．试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件？
（1（2（3（4（5）0,,0===z r u kr u u θ 代入（2） 满足
（6）0,0,==-=
z r u u r k u θ 代入（2） 满足 （7）0,sin 2,cos sin 22=-==z r u r u r u θθθθ 代入（2） 满足
6．已知流场的速度分布为y x u x 2=，y u y 3-=，22z u z =。
求（3，1，2）点上流体质点的
加速度。
解：y x y x x y xy y x z u u y u u x u u t u a x z x y x x x x 22322320320-=+⋅-⋅+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 将质点（3，1，2）代入a x 、a y 、a z 中分别得：
27=x a ，9=y a ，64=z a
7．已知平面流场的速度分布为2224y x y t u x +-
=，222y
x x u y +=。
求0=t 时，在（1，1）点上流体质点的加速度。
解：
()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+=∂∂+∂∂+∂∂=2222222222222420222244y x y y x y x x y x y x y x y t y u u x u u t u a x y x x x x 当0=t 时，()()
2222222222284y x y x x y x xy a x +--+-= 将（1，1）代入得3=x a
当t=0时，将（1，1）代入得：1-=y a
8．设两平板之间的距离为2h ，平板长宽皆为无限大，如图所示。
试用粘性流体运动微分方程，求此不可压缩流体恒定流的流速分布。
解：z 方向速度与时间无关，质量力：g f x -=
运动方程：z 方向：2210dx
u d z p υρ+∂∂-=
x 方向：→∂∂--=x
p g ρ10 积分：)(z f gx p +-=ρ
∴p 对z 的偏导与x 无关，z 方向的运动方程可写为z p dy
u d ∂∂=μ122 积分：212
2
1C x C x z p u ++∂∂=μ 边界条件：h x ±=，0=u
得：01=C ，221h z p C ∂∂-
=μ ∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∂∂-=22)(12h x z p h u μ 9．沿倾斜平面均匀地流下的薄液层，试证明：（1）流层内的速度分布为()θμ
γsin y by u 222-=；（2）单位宽度上的流量为θμγsin 33b q =。
解：x 方向速度与时间无关，质量力θsin g f x =，θcos g f y -=
运动方程：x 方向：221sin 0dy
u d x p g υρθ+∂∂-= ① y 方向：y
p g ∂∂--=ρθ1cos 0 ② ②→积分)(cos x f gy p +-=θρ
∴θρcos )(y h g p p a -+=
∵=b 常数 ∴p 与x 无关 ①可变为μθρsin 22g dy
u d -= 积分)2
1(sin 212C y C y g u ++-=μθρ du
∴∴u 10.（a （b 抛物线族
（c ）y u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =
直线族
（d ）y u x 4=，3=y u ，代入流线方程，积分：c y x +=
232
抛物线族
（e ）y u x 4=，x u y 3-=，代入流线方程，积分：c y x =+2243
椭圆族
（f ）y u x 4=，x u y 4=，代入流线方程，积分：c y x =-22
（g （h （i （j 直线族
（k ）xy u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =
直线族
（l ）r c
u r =，0=θu ，由换算公式：θθθsin cos u u u r x -=，θθθcos sin u u u r y +=
2
20y x cx r x r c u x +=-=，220y x cy r y r c u y +=+= 代入流线方程积分：
c y x = 直线族
（m ）0=u ，c
u =，0cy x c u -=-=，0cx x c u =+=
11.（a （b ）23=ω （c ）2-=ω （d ）2-=ω （e ）2
7-=ω （g ）4-=ω （i ）2-=ω （k ）x 2-=ω
12.在上题流速场中，求出各有势流动的流函数和势函数。
解：势函数⎰+=dy u dx u y x ϕ
流函数⎰-=dx u dy u y x ψ
（a ）⎰+=+=y x dy dx 3434ϕ
（e ）⎰⎰⎰⎰-+=-+=y
y x x xdy dx y xdy ydx 0034340ϕ
取),(00y x 为)0,0(则 积分路线可选 其中0,0:0,0,0==→y dy x
其他各题略
13.流速场为r c
u u a r ==θ,0)(，r u u b r 2,0)(ωθ==时，求半径为1r 和2r 的两流线间流量的表达
式。
解：ψd dQ = ⎰⎰-=dr u rd u r θθψ
∴2
11212ln )ln (ln r r c r c r c Q =---=-=ψψ ∴)(222212
12r r Q -=-=ωψψ
14.流速场的流函数是323y y x -=ψ。
它是否是无旋流动？如果不是，计算它的旋转角速度。
证明任一点的流速只取决于它对原点的距离。
绘流线2=ψ。
解：xy x 6=∂∂ψ y x
622=∂∂ψ
∴+∂∂22x ψ022=∂∂y ψ 是无旋流 ∴222223)(3r y x u u u y x =+=+= 即任一点的流速只取决于它对原点的距离
流线2=ψ即2332=-y y x
用描点法：
15. A v 0=。
16.m 5.0=，即：11622=+y x
17.确定绕圆柱流场的轮廓线，主要取决于哪些量？已知m R 2=，求流函数和势函数。
解：需要流速0v ，柱体半径R
∵2=R ∴θψsin )4(0r
r v -=
∵2=R ∴θϕcos )(20r R r v += 18.等强度的两源流，位于距原点为a 的x 轴上，求流函数。
并确定驻点位置。
如果此流速场和流函数为vy =ψ的流速场相叠加，绘出流线，并确定驻点位置。
当x 19.强度同为s m /602的源流和汇流位于x 轴，各距原点为m a 3=。
计算坐标原点的流速。
计算通过)4,0(点的流线的流函数值，并求该点流速。
解：)(2a
x y arctg a x y arctg Q --+=πψ )4,0(的流函数：343434(2arctg Q arctg arctg Q ππψ=--=
20.为了在)5,0(点产生10的速度，在坐标原点应加强度多大的偶极矩？过此点的流函数值为何？
解：202R v M π=
将5,100==R v 代入得：π500=M 将
21. ,1(m 将将。