商不变的规律
数学教案-商不变的规律
数学教案－商不变的规律引言商是数学中的一个常见概念，它描述了两个数相除的结果。
在实际生活中，我们经常会遇到商不变的规律。
这个规律指的是，如果我们在分子和分母中都乘（或除）以一个同样的数，那么商的结果不会改变。
本文将介绍商不变的规律的概念和应用，并提供一些相关的例子和练习。
商不变的规律的概念商不变的规律是数学中的一个基本原理，也是我们运用除法操作时常常利用到的一条性质。
简而言之，商不变的规律指的是，如果我们在被除数和除数中都乘（或除）以一个同样的数，那么商的结果不会改变。
换句话说，我们可以对被除数和除数同时进行相同的乘（或除）操作，而不会改变最终的商。
商不变的规律的应用商不变的规律在解决实际问题中起到了重要的作用。
以下是一些常见的应用场景：比例问题在比例问题中，我们常常需要求解未知的比例关系。
这时，我们可以利用商不变的规律来简化问题。
例如，如果一辆车以每小时60公里的速度行驶，那么3小时行驶的距离是多少？我们可以通过将速度和时间都除以3，得到车辆每小时20公里的速度。
然后再将新的速度乘以行驶的小时数3，即可得到结果，即60公里。
这个例子展示了商不变的规律在求解比例问题中的应用。
分配问题在一些分配问题中，商不变的规律能够帮助我们简化计算。
例如，如果某个项目需要花费8000元，而这个项目的费用将由三个人平分。
我们可以通过将项目的费用8000元除以参与人数3，得到每个人平分的费用为2666.67元。
这个例子再次展示了商不变的规律在解决分配问题中的应用。
比较问题商不变的规律还可以用来比较不同数值的大小。
例如，如果我们需要比较两个小数的大小，我们可以将两个小数的分子和分母都乘以同样的数，使得两个小数的分母相等。
然后，我们只需要比较两个小数的分子大小即可判断它们的大小关系。
这个方法通过利用商不变的规律，简化了比较问题的计算。
示例与练习示例1：比例问题某个果汁店每瓶果汁售价为10元，一天能卖出100瓶果汁。
那么两天能够卖出多少瓶果汁？解法：我们可以利用商不变的规律来解决这个问题。
北师大版四年级上册数学商不变的规律教案5篇
北师大版四年级上册数学商不变的规律教案5篇《商不变的规律》是义务教育课程标准北师大版四年级数学上册第五单元“除法”中的的内容。
编者意图是在学生学会三位数除以两位数的基础上，引导学生探索、构建“商不变的规律”这一知识模型，下面是小编为大家整理的北师大版四年级上册数学商不变的规律教案5篇，希望大家能有所收获!北师大版四年级上册数学商不变的规律教案1教学目标：(1) 知识与技能：能运用商不变的规律口算有关除法。
(2)过程与方法：让学生经历探索的过程，学会并用类比迁移的方法探索新知，通过观察、分析、交流、合作总结被除数和除数同时发生变化，商不变的规律。
培养学生观察、比较、猜想、概括以及发现规律、探索新知的能力。
(3) 情感、态度与价值观：引导学生经历探索过程，体验数学知识的探索性，体验发现乐趣，增强成功体验。
教学重点：(1) 引导学生自己发现规律，掌握规律;(2) 通用简单的语言表述规律;(3) 利用商不变的规律进行简便计算。
教学难点：(1) 引探讨发现规律的过程;(2) 用语言正确表述变化的规律。
学生情况：兴趣是的老师。
而且课标明确指出：“数学学习活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
”四年级的小学生具有好动、好奇的心理特点，喜欢探究新的知识内容。
学生之前已分别掌握了被除数不变，商随除数的变化而变化的情况和除数不变，商随被除数的变化而发生变化的情况。
有了这些认识基础，再利用知识的迁移，他们一定能经过探索，发现并总结规律。
教学方法：根据本课教学内容的特点和学生的思维特点，我选择了引导发现法为主，辅以谈话法、小组合作等方法的优化组合。
充分调动学生各种感官参与学习，发挥学生的主观作用与老师的点拨作用，体现“学生是课堂的主体、教师是课堂的主导”，利用引人入胜的问题情境，生动有趣的故事激发学生学习的兴趣，调动学生学习的积极性，引导他们去发现规律、分析规律、解决实际问题、获取知识，从而达到训练思维、培养能力的目的。
积和商不变规律和变化规律
积和商不变规律和变化规律积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。
积不变规律：一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。
商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。
除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。
商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。
1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。
7.8×12＝（） 0.78×12＝（） 7.8×0.12＝（） 0.78×（）＝936 2、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。
4.14÷1.8＝（） 4140÷1.8＝（） 0.414÷0.18＝（） 41.4÷18＝（）3、根据45×63＝2835，填写下面各题的结果。
4.5×0.63＝（） 45×（）＝283.5 0.45×0.063＝（） 450×（）＝28.3510、两个因数的积是0.5，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积应该是（）。
11、两数相除，商是7.6，被除数扩大10倍，除数缩小到原数的1/100，商应该是（）。
12、26.87扩大到它的( )倍得到26870,再缩小到它的( )得268.7。
13、甲乙两数的和是418，甲数的小数点向右移到一位后就等于乙数，甲数是（），乙数是（）。
14、1000张纸叠起来厚9.2厘米,平均每张纸厚( )厘米,一厘米约有( )张纸.15、一吨海水含盐0.03吨,10吨海水含盐( )吨,1000吨海水含盐( )吨.16、由45到0.045缩小到原数的( ). 17、由0.08到80,扩大到原数的( ).17、两个数相除，除数缩小到原数的1/4，商就（）。
18、把一根粗细均匀的木头锯成两段用了0.24小时，如果把它锯成8段一共用（）小时。
商不变规律应用
商不变规律应用商业世界变化万千，但有一些规律是永恒不变的。
了解和应用这些规律可以帮助企业更好地发展和取得成功。
本文将介绍一些常见的商不变规律并探讨如何应用它们。
1. 顾客至上顾客是企业最重要的资源，顾客满意度直接影响企业的长期发展。
因此，企业应始终将顾客放在首位，了解他们的需求和喜好，并通过提供优质的产品和服务来满足顾客的要求。
2. 创新驱动不断创新是企业保持竞争力的关键。
商业世界变化迅速，企业必须不断寻求新的方法和解决方案，以满足市场需求并保持领先地位。
创新可以是产品创新、流程创新或者商业模式创新，企业应注重在各个方面的创新。
3. 效益至上企业的目标是实现长期盈利和可持续发展。
因此，企业应该注重效益，控制成本，提高生产效率，并寻求利润最大化的机会。
同时，企业也应该关注企业社会责任，维护良好的企业形象。
4. 合作共赢商业领域是一个互相依存的系统，企业之间的合作可以实现共赢。
通过与供应商、合作伙伴和其他利益相关者建立良好的合作关系，企业可以共同发展，分享资源和风险，并获得更多的机会。
5. 适应变化商业环境常常充满不确定性和变化，企业应该具备适应能力以应对挑战和机遇。
企业应该保持灵活性，及时调整策略和战略，以适应市场的变化和竞争的压力。
6. 优质品牌品牌是企业的重要资产，可以给企业带来竞争优势。
企业应该注重塑造和维护优质的品牌形象，通过提供高品质的产品和服务来赢得顾客的认可和信任。
结论商不变规律是企业成功的基石。
了解并应用这些规律可以帮助企业在竞争激烈的商业环境中取得成功。
企业应当遵循顾客至上、创新驱动、效益至上、合作共赢、适应变化和塑造优质品牌等规律，并灵活调整策略以适应不断变化的商业环境。
只有通过不断学习和应用这些规律，企业才能在商业竞争中立于不败之地。
四年级上商不变的规律
四年级上商不变的规律在我们四年级的数学学习中，有一个非常重要的规律叫做“商不变的规律”。
这个规律就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们更轻松地解决很多数学问题。
那什么是商不变的规律呢？咱们先来举个例子。
比如说，我们有 12 个苹果，要平均分给 3 个人，每个人能得到 4 个苹果，算式就是 12÷3 ＝ 4。
那如果现在有 24 个苹果，平均分给 6 个人，每个人能得到几个苹果呢？算一下，24÷6 ＝ 4。
你看，虽然被除数从 12 变成了 24，除数从 3 变成了 6，但商还是 4，没有变化。
再比如，60÷15 ＝ 4，那 120÷30 呢？答案还是 4。
通过这些例子，我们就能发现商不变的规律啦：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。
为什么 0 要除外呢？这是因为 0 不能做除数呀，如果除数是 0，这个算式就没有意义了。
那商不变的规律有什么用呢？用处可大啦！比如说，我们要计算 700÷25，直接算可能有点麻烦。
但我们可以根据商不变的规律，把被除数和除数同时乘 4，就变成了（700×4）÷（25×4）＝ 2800÷100 ＝ 28，这样是不是就简单多啦？再比如，我们计算 5600÷400，同样可以利用商不变的规律，被除数和除数同时除以 100，变成 56÷4 ＝ 14。
商不变的规律还能帮助我们检验计算的结果是否正确。
比如我们计算 36÷9 ＝ 4，那如果被除数和除数同时乘 2，变成 72÷18，按照商不变的规律，商也应该是4，如果我们算出来不是4，那就说明可能算错啦。
同学们在运用商不变的规律时，一定要注意同时乘或除以相同的数，而且这个数不能是 0。
为了更好地掌握商不变的规律，我们可以多做一些练习题。
比如：1、填空：（1）36÷9 ＝（）÷3 （2）480÷80 ＝（）÷82、简便计算：（1）800÷25 （2）9000÷125通过这些练习，我们就能更加熟练地运用这个规律，提高我们的计算能力和解题速度。
四年级上册数学商不变的规律笔记
四年级上册数学商不变的规律笔记一、概述在四年级的数学学习中，商不变的规律是一个非常重要的概念。
通过商不变的规律，我们可以更好地理解和运用乘法的相关知识，进而在解决实际问题时更加得心应手。
本文将从商不变的概念、规律的应用以及相关练习等方面展开讲解，帮助同学们更好地掌握这一部分知识。
二、商不变的概念商不变的概念指的是，在一个乘法运算中，无论先算乘法式中的哪两个数，最后得到的积是相同的。
对于乘法式3×4=12，不论先算3×4还是4×3，最终得到的积都是12，这就是商不变的规律。
在实际生活中，商不变的规律也有着广泛的应用。
我们去商场购物时，商品的价格和数量构成了乘法式，而不管我们是先看价格再看数量，还是先看数量再看价格，最终要支付的金额都是相同的，这就符合了商不变的规律。
三、商不变的规律及运用1. 乘法交换律商不变的规律与乘法交换律有着密切的关系。
乘法交换律是指，两个数相乘，交换两数的位置所得的积是相等的。
这也是商不变的规律的一个体现。
对于乘法式2×6=12，根据乘法交换律，也可以写成6×2=12。
而根据商不变的规律，不论是先算2×6还是6×2，最终得到的积都是12。
2. 商的分配律商不变的规律还与商的分配律有着密切的通联。
商的分配律是指，在一个乘法运算中，可以按照加法的性质把一个数分成几部分，然后分别与其他数相乘，最后将这些积相加得到的结果是相同的。
对于乘法式3×（4+2），按照商的分配律，可以得到3×4+3×2=12+6=18。
而根据商不变的规律，无论是先算3×4+3×2还是先算3×（4+2），最终得到的结果都是相同的。
3. 解决实际问题商不变的规律在解决实际问题时也非常有用。
小明去超市买了3斤苹果，每斤苹果6元，那么他一共需要支付多少钱呢？按照商不变的规律，我们可以先算3×6=18，也可以先算6×3=18，最终得到的结果都是18元，这就是商不变的规律在实际问题中的应用。
苏教版数学四年级上册+商不变的规律
商的性质
商的性质包括：商总是非负的，即如 果一个数除以另一个数的结果是负数 ，那么这个结果被称为“负商”，这 在数学中是不合法的。此外，任何非 零数除以自己都等于1，即a÷a=1（ a≠0）。
VS
例如，如果一个数x除以它自己得到 的结果是2，那么这个数是它的平方 根，即x÷x=2，x=√2。
与商不变规律相关的数学定理
在乘法中的应用
总结词
快速得出答案
详细描述
在乘法中，如果两个数的商是一个已知的数，那么可以利用商不变规律快速得 出答案。例如，当两个数相乘时，如果它们的商是10，那么直接将一个数乘以 10就可以得到另一个数。
在乘法中的应用
总结词：验证答案
详细描述：在乘法中，如果两个数的商不是整数，那么可以利用商不变规律来验证答案的正确性例 如，当两个数相乘时，如果它们的商是一个小数，那么可以通过将小数点移动来验证答案的正确性。
列举
总结词：难度有所提升，考 查学生的推理和问题解决能
力。
01
02
03
根据商不变的规律，推导并 证明以下等式：
a÷(b÷c)=(a÷b)÷c。
给出以下等式：a÷b=c，当 a和b同时扩大n倍时，求新
的商是多少？
04
05
思考题：如果一个除法的被 除数扩大10倍，除数缩小10
倍，商会如何变化？
综合练习题
03 总结词
解决实际问题
04
详细描述
利用商不变规律可以帮助我们解 决一些实际问题。例如，在制作 食品时需要按照一定的比例进行 配料，如果能够利用商不变规律 来计算比例关系，就可以保证食 品的质量和口感。
03
商不变规律的证明
通过乘法证明商不变规律
商不变规律的公式
商不变规律的公式在我们的数学世界里，有一个非常神奇且重要的规律，那就是商不变规律。
这规律就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门。
先来说说商不变规律的公式到底是啥。
简单来讲，就是被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。
这看起来好像挺简单的，可别小瞧它，里面的学问大着呢！我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我在黑板上写下了一组算式：6 ÷ 2 = 3，然后我问同学们，如果被除数乘以 3，除数也乘以 3，商会怎么样呢？大家都皱着眉头思考，这时候有个调皮的小男孩儿举起手说：“老师，我觉得商会变大！”我笑了笑，让他说说为啥这么想。
他一脸认真地说：“因为乘的数变大了呀！”其他同学听了有的点头，有的则露出疑惑的表情。
我没有直接否定他的想法，而是按照他说的，在黑板上写下了（6×3）÷（2×3）= 18÷6 = 3。
然后我问大家：“你们看，商变了吗？”同学们这才恍然大悟，原来商并没有改变。
咱们再深入地理解一下这个公式。
比如说，80÷20 = 4，如果被除数和除数同时乘以 5，那就变成了（80×5）÷（20×5）= 400÷100 = 4，商依然是 4。
反过来，如果被除数和除数同时除以 10，也就是（80÷10）÷（20÷10）= 8÷2 = 4，商还是不变。
商不变规律在我们解决实际问题的时候，可太有用啦！比如，在计算一些比较复杂的除法运算时，我们可以利用这个规律把被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，让计算变得更简单。
假设我们要计算 3600÷900，如果直接算，可能会觉得有点麻烦。
但是我们根据商不变规律，把被除数和除数同时除以 100，就变成了36÷9 = 4，是不是一下子就简单多啦？再比如说，在比较两个除法算式的大小时，如果商相同，我们就可以利用商不变规律把被除数或者除数转化成相同的数，这样比较起来就容易多了。
运用“商不变的规律”巧解数学问题
运用“商不变的规律”巧解数学问题□王凤菊小朋友，你知道商不变的规律吗？运用这个规律，可以解决以下问题：被除数和除数同时变，且变化相同，商的变化；被除数和除数同时变，且变化相同，余数的变化；被除数和除数仅一方变，商的变化；被除数和除数同时变，且变化不同，商的变化。
在学习时，你要注意掌握一些运算技巧和解决问题的策略方法，发展思维，提高计算能力、分析能力和解决问题的能力。
我是这样解的16406404024240竖式1一、被除数和除数同时变，且变化相同时，商的变化例1.计算：640÷40。
利用“商不变的规律”，可以简化整十、整百的数除以整十数的计算。
把被除数和除数同时除以10，商不变（如竖式1）。
例2计算：240÷5。
我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成10来计算。
因为除数是5，把被除数和除数同时乘2，商不变。
240÷5＝（240×2）÷（5×2）＝480÷10＝48例3.计算：300÷25。
我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成100来计算。
因为除数是25，把被除数和除数同时乘4，商不变。
300÷25＝（300×4）÷（25×4）＝1200÷100＝12例4.计算：750÷125。
我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成1000来计算。
因为除数是125，把被除数和除数同时乘8，商不变。
750÷125＝（750×8）÷（125×8）＝6000÷1000＝6我是这样解的我是这样解的二、被除数和除数同时变，且变化相同时，余数的变化例5.计算：650÷40。
利用“商不变的规律”，计算过程中，被除数和除数的末尾同时划掉一个0（如竖式2），也就是同时除以10，商不变，但余数发生变化。
商不变的规律
1、 除数不变，被除数乘几或除以几 ，商也乘几或除以几。
2、 被除数不变，除数乘几或除以几（0除
外）， 商就除以几或乘几。
二、探究新知
先从上往下观察，再从下 往上观察，你发现了什么？ （3）计算并观察下面的题。
6 60 600 ÷ ÷ ÷ ÷ 3 30 300 ＝ ＝ ＝ ＝
被除数 除 商 数
14 2
140 20
280 40
560 80
5600 800
通过今天的学习， 你有哪些收获？ 快告诉大家吧！
四、布置作业
作业：第89页练习十七，第1题、第4题。 第90页练习十七，第5题。
（36×4）÷（12 ÷ 4）………………… （ × （36×6）÷（12 ÷ 6）………………… （ × （36＋12）÷（12＋12）……………… （ × （36×5）÷（12×5）………………… （ √ （36 ÷ 2）÷（12 ÷2）……………… （ √
） ） ） ） ）
4、 填一填。
（1）在除法里，除数乘8，被除数乘8，商（不变 ），被除 数除以70，除数除以70，商（ 不变 ）。 （2）在除法里，被除数不变，除数乘20，商（除以20）， 除数除以12，商（乘12 ） （3）在除法里，被除数和除数同时乘15，商（ 不变 ）。 （4）如果被除数和除数都扩大100倍，那么商就( 不变 )。
2
2 2 2
6000
3000
被除数和除数都乘或除以一个 相同的数（0除外），商不变 。
二、探究新知
通过观察上组题，我们有了这个 发现，你能举例验证这发现吗？
被除数和除数都乘或除以一个相同的数 （0除外），商不变。
×7 20 140 ÷7 ÷ ÷ ×7 10 ＝2 ÷7 70 ＝2
《商不变的规律》ppt
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能 出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进 行计算，并核对计算结 果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩 大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质
01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何 形式的除法运算，无论是 整数、小数、分数还是代 数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数时，商保 持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或 缩小的倍数是多少，只要 倍数相同，商始终保持不 变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除 法运算的基础，是学习其 他代数知识和解决数学问 题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有 广泛的应用，如简化计算、 证明代数恒等式、解决方 程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的 乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中， 图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时 ，可以利用商不变规律来简化计 算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变 规律来研究图形之间的变换关系 ，例如相似、位似等。
商不变规律ppt
商不变规律是数学教育中一个 重要的知识点，是学生学习除 法运算的基础。
商不变规律的应用场景
在解决实际问题的过程中，如工 程、经济、科技等领域，常常需 要使用商不变规律来简化计算过
程。
在数学题目的解答中，商不变规 律也经常被用来简化复杂的除法
运算。
在学习其他数学知识点时，如乘 法分配律、分数的约分等，商不
变规律也是重要的基础。
02
商不变规律的证明
证明的思路
引入商不变规律的概念
商不变规律是指在除法运算中，如果被除数和除数同时扩 大或缩小相同的倍数，商保持不变。
确定证明方法
为了证明商不变规律，可以采用举例法和演绎推理相结合 的方法。首先通过具体的例子来直观理解规律，然后运用 数学推导来证明其正确性。
被除数和除数都不能为0，否则不符 合数学的基本定义和规则。
商不变规律的推广
指数法则
在高等数学中，商不变规律可以 推广为指数法则，即当底数相同 时，指数相加或相减保持不变。
矩阵运算
在矩阵运算中，当两个矩阵同时 进行相似变换时，它们的行列式 值保持不变，这也与商不变规律
有一定的联系。
分式运算
在分式运算中，如果两个分数的 分子和分母同时扩大或缩小相同 的倍数，分数值保持不变，这也
符合商不变规律的原理。
04
商不变规律的应用
在数学中的应用
简化计算
商不变规律可以用于简化计算，例如在除法中，如果被除数和除 数同时乘以或除以同一个非零数，商不变。
解决数学问题
商不变规律是数学中解决一些问题的重要工具，例如在分数的加减 法中，可以通过商不变规律进行分母的通分。
数学证明
商不变规律在数学证明中也有广泛应用，例如在证明一些等式或不 等式时，可以利用商不变规律进行推导。
使用商不变的规律
通过商不变规律，我们可以简化分数的加减法运算， 提高计算效率。
与比例关系综合运用
01
比例关系中，两组数的比值是 相等的，而商不变规律可以确 保在运算过程中比值保持不变 。
02
通过综合运用商不变规律和比 例关系，我们可以解决复杂的 比例问题，如比例分配、比例 缩放等。
03
在解决比例问题时，商不变规 律可以帮助我们快速找到等价 的比例表达式，从而简化问题 求解过程。
04
数学表达式与符号
数学表达式
如果被除数为a，除数为b，商为c，则有 a ÷ b = c。根据商不变规律，有 (a × k) ÷ (b × k) = c 或 (a ÷ k) ÷ (b ÷ k) = c，其中k为非零数。
符号
在数学表达式中，通常使用字母来表示未知数或变量，如a、b、c等。同时，使 用÷表示除法运算，×表示乘法运算。
05 总结归纳与拓展延伸
关键知识点回顾总结
商不变的规律定义
在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），商不变。
商不变的规律应用
利用商不变的规律，可以进行简便运算，解决一些实际问 题。
注意事项
在应用商不变的规律时，需要注意被除数和除数必须同时 扩大或缩小相同的倍数，且倍数不能为0。
拓展延伸：探索更广泛应用领域
在数学领域
商不变的规律不仅适用于整数除法，还可以推广到小数除法、分数除法等更广泛的数学领域中。
在实际生活中的应用
利用商不变的规律，可以解决一些实际问题，如分配问题、比例问题等。通过灵活运用商不变的 规律，可以提高解决问题的效率。
在其他学科中的应用
商不变的规律还可以应用到其他学科中，如物理、化学等。在这些学科中，可以利用商不变的规 律进行一些计算和分析。
积商变与不变的规律
积和商不变规律和变化规律积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。
积不变规律：一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。
一个数乘一个比1大的数，积比原数大；一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。
除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。
商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。
被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。
1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。
7.8×12＝（） 0.78×12＝（） 7.8×0.12＝（） 0.78×（）＝936 2、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。
4.14÷1.8＝（） 4140÷1.8＝（） 0.414÷0.18＝（） 41.4÷18＝（）8、两个数相除，被除数不变，除数缩小到原数的1/10，商（）；若除数不变，被除数扩大到原数的1/100，商就（）。
9、两数相乘，一个因数乘4，另一个因数不变，积就（）；若一个因数乘4，另一个因数除以4，积（）。
10、两个因数的积是0.5，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积应该是（）。
11、两数相除，商是7.6，被除数扩大10倍，除数缩小到原数的1/100，商应该是（）。
12、26.87扩大到它的( )倍得到26870,再缩小到它的( )得268.7。
13、甲乙两数的和是418，甲数的小数点向右移到一位后就等于乙数，甲数是（），乙数是（）。
14、1000张纸叠起来厚9.2厘米,平均每张纸厚( )厘米,一厘米约有( )张纸.15、一吨海水含盐0.03吨,10吨海水含盐( )吨,1000吨海水含盐( )吨.16、由45到0.045缩小到原数的( ). 17、由0.08到80,扩大到原数的( ).17、两个数相除，除数缩小到原数的1/4，商就（）。
商不变的规律
商不变的规律及扩展一、被除数与商的关系。
【图1】①被除数扩大6÷2=360÷2=30600÷2=300【结论】:在除法里，(除数)不变，(被除数)扩大多少倍，商(也扩大)相同的倍数。
②被除数缩小600÷2=30060÷2=306÷2=3【结论】:在除法里，(除数)不变，(被除数)缩小多少倍，商(也缩小)相同的倍数。
【强调】:不能扩大或缩小零倍。
③商与被除数的关系【总结】:在除法里，除数不变，被除数扩大(或缩小)多少倍(0除外)，商也扩大(或缩小)相同的倍数。
【结论】:商与被除数同向变化。
二、除数与商的关系①除数扩大800÷2=400800÷20=40800÷200=4【结论】:在除法里，(被除数)不变，(除数)扩大多少倍，商(反而缩小)相同的倍数。
②除数缩小800÷200=4800÷20=40800÷2=400【结论】:在除法里，(被除数)不变，(除数)缩小多少倍，商(反而扩大)相同的倍数。
【强调】:0除外。
③商与被除数的关系【总结】:在除法里，被除数不变，除数扩大(或缩小)多少倍(0除外)，商反而缩小(或扩大)相同的倍数。
【结论】:商与被除数反向变化。
三、商不变的规律①同时扩大8÷2=480÷20=4800÷200=4【结论】:在除法里，(被除数和除数)同时(扩大)多少倍(0除外)，商(不变)。
②同时缩小800÷200=480÷20=48÷2=4【结论】:在除法里，(被除数和除数)同时(缩小)多少倍(0除外)，商(不变)。
③商不变的规律【总结】:在除法里，(被除数和除数)同时(扩大或缩小)多少倍(0除外)，商(不变)。
【结论】:被除数与除数【同向变化】——商不变。
四、商不变的应用1，【图2】填空。
2，如果A÷B=12，下面各式应该是多少？【图3】3，①、填空。
商不变的规律简便计算
商不变的规律简便计算
商不变的规律在算术中有着广泛的应用，特别是在乘法运算中。
通过这个规律，我们可以将乘法交换律用于简化计算。
举例来说，假设我们要计算12乘以15的结果，根据商不变的规律，我们可以将乘法交换为15乘以12，这样可以更容易地进行计算。
另外，在除法运算中，商不变的规律也同样有效。
例如，当我们要计算36除以12时，可以根据商不变的规律将除数和被除数的位置交换，得到12除以36，这样就更容易计算了。
商不变的规律不仅适用于整数的乘除运算，也同样适用于分数的乘除运算。
当我们要计算两个分数的乘积时，可以将分子和分母的位置交换，然后进行乘法运算。
同样，当我们要计算两个分数的商时，也可以应用商不变的规律，将被除数和除数的位置交换，然后进行除法运算。
商不变的规律在数学中的应用非常广泛，可以简化计算过程，提高计算效率。
在实际生活中，我们也能够通过商不变的规律来简便计算，例如在购物时计算总价、在理财中计算收益等等。
这个简单而重要的规律不仅在数学中有着深刻的意义，也在我们日常的生活中起着重要的作用。
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商不变的规律
和四小陈英
教学目标：
1．理解并掌握被除数、除数和商的变化规律，并能运用规律口算有关除法。
2．经历观察、比较、发现、验证等数学活动过程，探索商不变的规律，渗透函数思想，逐步增强学生探索规律的意识。
3．培养学生善于观察、勇于发现、乐于探索的好习惯。
教学重点：
理解并掌握被除数、除数和商的变化规律，获得探索规律的经验和方法。
教学难点：
用数学语言表达数学思考、数学结论。
教学环节：
（一）故事设疑，发现问题（3分）
师：听故事，发现了什么数学问题呢？
引导学生列出算式，并结合板书把算式补充完整。
①6 ÷3 =2
②60 ÷30= 2
③600÷300=2
[设计意思：通过学生喜爱的故事，引入新课，激发学生投入学习的兴趣，也给学生创设一个宽松的课堂氛围，并引导学生在故事情境中发现问题，提出问题，从而为解决问题做好铺垫。
]
（二）探究规律（33分）
1、观察算式，初步发现规律（4分）
在除法里，除号前面的叫什么数？除号后面的呢？结果叫什么？（板书：被除数、除数、商）
师：用数学语言说说什么变了？什么没变？（板书：商不变）
师：这节课，我们就来研究“商不变的规律”。
为了便于研究，把算式编号。
请同学们仔细观察这组算式，被除数和除数发生了怎样的变化，商不变呢？
任选两个式子具体说说。
生：②式和①式比较……
师：比较哪两个式子？以①式为标准，
还有哪两个算式之间也有类似的关系？
不论选哪两个算式，都是从上往下看。
2、编写算式，初步感悟规律（4分）
根据这一组算式之间的联系和变化，（以①式为标准，）你还能写出商是2的除法算式吗？
生：在纸条上试写（举起来）汇报
预设生：6000÷3000=2 10÷5=2 8÷4=2 或有商不是2的，选择一个有联系的继续研究师：怎样编出来商是2的除法算式呢？（添0就是乘10）
谁看明白1200÷600=2这个算式是怎样编出来的？
3、大胆猜想（2分）
根据这组算式，大胆猜测，被除数和除数发生了怎样的变化，商不变。
预设生：被除数乘几，除数乘几，商不变。
被除数和除数都乘几，商不变。
4、合作学习，举例验证（15）
（1）被除数、除数乘相同的数
师：合理大胆的猜测是我们研究问题的重要的第一步，（板书猜想）
是不是其它除法算式之间也会存在这样的规律呢？我们下一步要进行验证（板书验证）师：你们打算怎样来验证？验证什么？
生：可以列算式来试一试。
学生小组合作验证，完成实验报告单。
验证活动建议：
写一写：写一组商不变的算式
标一标：标出算式之间的变化
说一说：得到什么结论
师：哪个小组愿意说说你们的验证结果？
汇报：生1：
生2：
师：有没有被除数、除数都乘几，商变了的？
小结：多组不同的例子，却都是商不变，说说验证后得到的结论。
（2）被除数、除数除以相同的数
师：从上到下观察，发现了一条规律，还可以怎样观察呢？你能得到提出什么样的猜想？刚才的算式，用红笔标出算式间的变化，验证猜想。
生：小组交流、汇报：生1：
生2：
师：有没有被除数、除数都除以几，商变了的？
小结：多组不同的例子，却都是商不变，说说验证后得到的结论。
5、抽象概括，归纳结论（4）
把我们发现的两条规律，用一句话概括出来吗？（板书归纳）
师：回顾我们怎样发现的商不变的规律？
生：通过观察猜想、举例验证、归纳概括。
师：观察时，既可以从上到下，有可以从下到上，说明观察要有？
生：有序观察
师：观察时，不仅1、2式比较，2、3式比较，还1、3式比较，说明观察要有？
生：整体观察
我们先发现商不变，又发现了算式之间被除数和除数的变化规律，今后在探索规律时要注意不变当中的变化。
6、再次质疑，完善规律（4）
出示：在中填数，在中填运算符号。
200÷40＝5
（200÷）÷（40÷ 2）＝5
师：为什么填2？规律中哪个词比较重要？（相同的数）
（200 ）÷（40×4）＝5
师：填除以4行不行？规律中哪个词比较重要？（同时）
（200 ÷A ）÷（40 ）＝5（补充A≠0）
师：A可以代表哪些数？A可以是“0”吗？为什么？
生：不能，因为“0”不能做除数！
（200 ×A ）÷（40 ）＝5（补充A≠0）
师：被除数乘“0”得“0”；除数乘“0”得“0”，那么“0”能不能除以“0”？
师：通过这个练习，你们觉得我们刚才总结的规律有什么需要补充？（板书：“0 除外”）
小结：补充完善规律“在除法里，被除数、除数同时乘或除以一个相同的数（“0”除外）商不变！
【设计意图】学生将过去学习过的探究方法，迁移到对商不变性质的探索中，培养了学生的探究能力，通过对规律的抽象概括，培养了学生的抽象概括能力]
（三）反馈练习，应用规律（4）
1、快速抢答
第94页第4题:从上到下，根据第1题的商写出下面两题的商.
72÷9=
720÷90=
7200÷900=
7200000÷900000=
7200…0÷900…0=
末尾1000个0
沟通联系：
师：这个规律在整十数的口算除法中已经用过。
【设计意图】规律的运用增加了难度，让学生体会到应用规律计算的方便：（计算器验证）
板书设计：商不变的规律
在除法里，被除数和除数同时乘（或除以）
相同的数（0除外），商不变。
猜测
验证归纳应用
6 ÷
3 = 2
60 ÷30 = 2
600 ÷= 2
×
×
×
×
10
10
10
10
÷
100。