上海实验学校2015_2016学年高二数学上学期期中试卷(含解析)

2015-2016学年上海实验学校高二（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共10题，每题4分，共40分）1．= ．2．过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程．3．已知，，则= ．4．若，，且与垂直，则向量与的夹角大小为．5．已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为．6．已知直线l1：6x+（t﹣1）y﹣8=0，直线l2：（t+4）x+（t+6）y﹣16=0，若l1与l2平行，则t= ．7．设无穷等比数列{a n}的公比q，若，则q= ．8．设等边三角形ABC的边长为6，若，，则= ．9．已知△ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC的外心，且=λ+（λ∈R），则△ABC的面积是．10．定义函数f（x）={x．{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4）=2，{﹣2.3}=﹣2．当x∈（0，n]（n∈N*）时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则（++…+）= ．二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）11．在边长为1的正六边形A1A2A3A4A5A6中，的值为（）A．B．﹣C．D．﹣12．已知a n=，S n是数列{a n}的前n项和（）A．和都存在B．和都不存在C．存在，不存在D．不存在，存在13．若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为（）A． B． C． D．14．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值是2，则（）A．若θ确定，则唯一确定B．若θ确定，则唯一确定C．若确定，则θ唯一确定D．若确定，则θ唯一确定三.解答题（本大题共4题，共10+10+12+12=44分）15．在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（4，﹣1），P（2，0），求：（1）的值；（2）∠APB的大小．16．己知两点A（2，1），B（m，4），求（1）直线AB的斜率和直线AB的方程；（2）已知m∈[2﹣，2+3]，求直线AB的倾斜角α的范围．17．数列{a n}满足a1=1，a2=7，令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q＞0）的等比数列，设c n=a2n+a2n；﹣1（1）求证：（n∈N*）；（2）设{c n}的前n项和为S n，求的值．18．定义x1，x2，…，x n的“倒平均数”为（n∈N*）．（1）若数列{a n}前n项的“倒平均数”为，求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：当n为奇数时，b n=1，当n为偶数时，b n=2．若T n为{b n}前n项的倒平均数，求；（3）设函数f（x）=﹣x2+4x，对（1）中的数列{a n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．四.附加题（本大题共2题，共10+10=20分）19．对于一组向量（n∈N*），令=+++…+，如果存在（p∈{1，2，3…，n}），使得||≥|﹣|，那么称是该向量组的“h向量”；（1）设=（n，n+x）（n∈N*），若是向量组的“h向量”，求x的范围；（2）若（n∈N*），向量组（n∈N*）是否存在“h向量”？给出你的结论并说明理由．20．等差数列{x n}的前n项和记为S n，等比数列{b n}的前n项和记为T n，已知x3=5，S3为9，b2=x2+1，∅（lim，n→∞） T n=16．（1）求数列{x n}的通项x n；（2）设M n=lgb1+lgb2+…+lgb n，求M n的最大值及此时的n的值；（3）判别方程sin2x n+x n cosx n+1=S n是否有解，说明理由．2015-2016学年上海实验学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共10题，每题4分，共40分）1．= 1 ．【考点】极限及其运算．【专题】导数的综合应用．【分析】变形利用数列极限的运算法则即可得出．【解答】解：原式==1，故答案为：1．【点评】本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．2．过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程x﹣2y﹣1=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于﹣1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程；方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程．【解答】解：方法一，直线2x+y=0的斜率是﹣2，则与这条直线垂直的直线方程的斜率是，∴过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线方程为y﹣0=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0；方法二，设与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+a=0，且该垂线过过点（1，0），∴1×1﹣2×0+a=0，解得a=﹣1，∴这条垂线的直线方程为x﹣2y﹣1=0．故答案为：x﹣2y﹣1=0．【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目．3．已知，，则= ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】计算题．【分析】先根据向量的基本运算得到2﹣的坐标表示，再代入向量的模长计算公式即可．【解答】解∵，，∴2﹣=2（﹣4，5）﹣（﹣2，4）=（﹣6，6）；∴==6．故答案为； 6．【点评】本题主要考察平面向量数量积的坐标表示、模长计算，考察计算能力，属于基础题．4．若，，且与垂直，则向量与的夹角大小为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】利用两个向量垂直的性质可得（）•=0，求得cosθ 的值，进而求得θ的值．【解答】解：设向量与的夹角大小为θ，则由题意可得（）•=++=1+1×2×cosθ=0，∴cosθ=﹣．再由0≤θ＜π可得θ=，故答案为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题．5．已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为．【考点】直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为α．利用=0，即可得出．【解答】解：设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为α．则=a﹣b=0，∴=tanα，∴α=，故答案为：．【点评】本题考查了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．6．已知直线l1：6x+（t﹣1）y﹣8=0，直线l2：（t+4）x+（t+6）y﹣16=0，若l1与l2平行，则t= ﹣5 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】由平行关系可得6×（t+6）=（t+4）（t﹣1），解方程验证排除重合可得．【解答】解：由题意可得6×（t+6）=（t+4）（t﹣1），解方程可得t=﹣5或t=8，经验证t=8时直线重合，应舍去故当t=﹣5时，两直线平行．故答案为：﹣5．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．7．设无穷等比数列{a n}的公比q，若，则q= ．【考点】数列的极限．【专题】极限思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】由于q为无穷等比数列{a n}的公比，即有0＜|q|＜1，由无穷等比数列的极限公式可得（a3+a4+…+a n）=，再由等比数列的通项公式，解方程可得公比q．【解答】解：由于q为无穷等比数列{a n}的公比，即有0＜|q|＜1，由，可得a1==，即为q2+q﹣1=0，解得q=（舍去），故答案为：．【点评】本题考查数列的极限的求法，注意运用无穷等比数列的极限公式，考查运算能力，属于中档题．8．设等边三角形ABC的边长为6，若，，则= ﹣18 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】由已知得=， =，由此能求出的值．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为6，，∴D为AC中点，∴ =，∵，∴ =，∴=（）（）=+++=﹣36+++=﹣36+6+9+3=﹣18．故答案为：﹣18．【点评】本题考查向量数量积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法和向量数量积公式的合理运用．9．已知△ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC的外心，且=λ+（λ∈R），则△ABC的面积是或．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】设AC的中点为D，根据条件和O是△ABC的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，求出，可得BD⊥AC和B、O、D三点共线，在直角三角形中求出sin∠BAC，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积；当λ=0时，AB⊥BC，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出△ABC的面积．【解答】解：如图：O是△ABC的外心，设AC的中点为D，∵，∴===，则，∴，即B、O、D三点共线．∵O是△ABC的外心，∴OD⊥AC，则BD⊥AC，∴sin∠BAC===，∴△ABC的面积S==；当λ=0时，此时，即AB⊥BC，∴△ABC的面积S===，综上可得，△ABC的面积是或故答案为：或．【点评】本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题．10．定义函数f（x）={x．{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4）=2，{﹣2.3}=﹣2．当x∈（0，n]（n∈N*）时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则（++…+）= 2 ．【考点】极限及其运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据{x}的定义、f（x）={x•{x}}，依次求出数列{a n}的前5项，再归纳出a n=a n﹣1+n，利用累加法求出a n，再利用裂项相消法求出1a1+1a2+…+1的值．进而能求出（++…+）．【解答】解：由题意易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以A1={1}，a1=1；当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以A2={1，3，4}，a2=3；当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，所以A3={1，3，4，7，8，9}，a3=6；当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，所以A4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a4=10；当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，所以A5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a5=15，由此类推：a n=a n﹣1+n，所以a n﹣a n﹣1=n，即a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1=n，以上n﹣1个式子相加得，a n﹣a1=（n﹣1）（n+2）2，解得an=n（n+1）2，所以1an=2n（n+1）=2（1n1n+1 ），则1a1+1a2 +…+1an=2[（1﹣12）+（12﹣13）+…+（1n﹣1n+1 ）]=n+1，∴（++…+）=（）=2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是分段函数，集合元素的个数，基本不等式在求函数最值时的应用，其中正确理解函数f（x）=[x[x]]，所表示的意义是解答本题的关键．二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）11．在边长为1的正六边形A1A2A3A4A5A6中，的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】连接A1A5，由正六边形的性质，可证出△A1A3A5是边长为的正三角形，再用向量数量积的定义，可计算出•的值．【解答】解：连接A1A5，∵A1A2A3A4A5A6是正六边形，∴△A1A2A3中，∠A1A2A3=120°又∵A1A2=A2A3=1，∴A1A3==同理可得A1A3=A3A5=∴△A1A3A5是边长为的等边三角形，由向量数量积的定义，得=•cos120°=﹣故选B【点评】本题给出正六边形的边长为1，叫我们求向量的数量积，着重考查了正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识，属于基础题．12．已知a n=，S n是数列{a n}的前n项和（）A．和都存在B．和都不存在C．存在，不存在D．不存在，存在【考点】数列的极限；数列的求和．【专题】计算题；函数思想；等差数列与等比数列．【分析】利用数列的通项公式，判断两个极限即可．【解答】解：a n=，S n是数列{a n}的前n项和，可得==0．=S2014+=S2014﹣，是定值．所以两个极限存在．故选：A；【点评】本题考查数列的极限的判断与应用，是基础题．13．若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为（）A．B． C． D．【考点】向量的投影．【专题】常规题型；计算题．【分析】先求得两向量的数量积，再求得向量的模，代入公式求解．【解答】解析：在方向上的投影为===．故选C【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．14．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值是2，则（）A．若θ确定，则唯一确定B．若θ确定，则唯一确定C．若确定，则θ唯一确定D．若确定，则θ唯一确定【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得=•t2﹣2•t+，它是关于变量t的一个二次函数，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：由题意可得=•t2﹣2•t+，它是关于变量t的一个二次函数，故当t===cosθ （其中，θ为、的夹角），取得最小值2，即||2sin2θ=2，故当θ唯一确定时，||唯一确定，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求向量的模的方法，属于基础题．三.解答题（本大题共4题，共10+10+12+12=44分）15．在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（4，﹣1），P（2，0），求：（1）的值；（2）∠APB的大小．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）运用向量的坐标运算可得=（0，﹣3），=（﹣2，1），再由数量积的坐标表示即可得到所求；（2）求得向量PA，PB的坐标和模，再由向量的夹角公式即可得到所求值．【解答】解：（1）A（2，3），B（4，﹣1），P（2，0），可得=（0，﹣3），=（﹣2，1），即有•=0×（﹣2）+（﹣3）×1=﹣3；（2）=（0，3），=（2，﹣1），||=3，||=，可得cos∠APB===﹣．则∠APB=．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和模的公式，考查向量的夹角的求法，考查运算能力，属于基础题．16．己知两点A（2，1），B（m，4），求（1）直线AB的斜率和直线AB的方程；（2）已知m∈[2﹣，2+3]，求直线AB的倾斜角α的范围．【考点】直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】（1）k=，分m=2和m≠2两种情况，可得直线AB的方程；（2）已知实数m∈[2﹣，2+3]，利用不等式的性质求出斜率tanα的范围，再利用正切函数的单调性求出倾斜角α的范围．【解答】解：（1）∵点A（2，1），B（m，4），当m=2时，直线的斜率不存在，直线AB的方程为x=2；当m≠2时，已知直线AB的斜率k==，直线AB的方程为：y﹣1=（x﹣2），即3x+（2﹣m）y+m﹣8=0；（2）已知实数m∈[2﹣，2+3]，∴∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞），则直线AB的倾斜角α∈[，]【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，以及用两点式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想．17．数列{a n}满足a1=1，a2=7，令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q＞0）的等比数列，设c n=a2n+a2n；﹣1（1）求证：（n∈N*）；（2）设{c n}的前n项和为S n，求的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】证明题；分类讨论；分类法；等差数列与等比数列．【分析】（1）令b n=a n•a n+1，则=q n﹣1，由此能证明，n∈N*．（2）根氢q=1、q∈（0，1）、q∈（1，+∞）三种情况分类讨论，能求出的值．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=1，a2=7，令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q＞0）的等比数列，c n=a2n﹣1+a2n，∴b1=a1a2=7，，∴==q，∴=q n﹣1，，∴，n∈N*．解：（2）当q=1时，c n=8，∴S n=8n， =0，当q≠1时，， =，当q∈（0，1）时， =，q∈（1，+∞）时， ==0．综上：．【点评】本题考查数列的通项公式的证明，考查数列的前n项和的极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．18．定义x1，x2，…，x n的“倒平均数”为（n∈N*）．（1）若数列{a n}前n项的“倒平均数”为，求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：当n为奇数时，b n=1，当n为偶数时，b n=2．若T n为{b n}前n项的倒平均数，求；（3）设函数f（x）=﹣x2+4x，对（1）中的数列{a n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．【考点】数列的极限；数列与不等式的综合．【专题】综合题；新定义．【分析】（1）设数列{a n}的前n项和为S n，由题意，，所以．由此能求出{a n}的通项公式．（2）设数列{b n}的前n项和为S n，则分n为偶数和n为奇数时，分别求出S n，从而求出T n．由此能求出．（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立，则﹣x2+4x≤对任意n∈N*恒成立，令，则数列{c n}是递增数列，由此能推导出存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立．【解答】解：（1）设数列{a n}的前n项和为S n，由题意，，所以．…所以a1=S1=6，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n+2，而a1也满足此式．…所以{a n}的通项公式为a n=4n+2．…（2）设数列{b n}的前n项和为S n，则当n为偶数时，，…当n为奇数时，．…所以．…所以．…（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立，则﹣x2+4x≤对任意n∈N*恒成立，…令，因为，所以数列{c n}是递增数列，…所以只要﹣x2+4x≤c1，即x2﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．…所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立．【点评】本题考查数列的通项公式、极限的求法，探索实数是否存在．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答．四.附加题（本大题共2题，共10+10=20分）19．对于一组向量（n∈N*），令=+++…+，如果存在（p∈{1，2，3…，n}），使得||≥|﹣|，那么称是该向量组的“h向量”；（1）设=（n，n+x）（n∈N*），若是向量组的“h向量”，求x的范围；（2）若（n∈N*），向量组（n∈N*）是否存在“h向量”？给出你的结论并说明理由．【考点】数列与向量的综合．【专题】新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列；平面向量及应用．【分析】（1）由题意可得，||≥|+|，运用向量的坐标运算和模的公式，解不等式即可得到所求范围；（2）是“h向量”．求得向量的模，讨论n为奇数和偶数，运用等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意可得，||≥|+|，又=（n，n+x），即为≥，解得﹣2≤x≤0，即x的范围是[﹣2，0]；（2）是“h向量”．理由： =（1，﹣1），||=，当n为奇数时， ++…+=（，0）=（，0），0≤＜，即有|++…+|=＜＜，即||＞|++…+|；当n为偶数时， ++…+=（，1）=（，1），0≤＜，即有|++…+|=＜＜，即|＞|++…+|．综上可得，是向量组（n∈N*）的“h向量”．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查向量的模的公式的运用，以及等比数列的求和公式的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题．20．等差数列{x n}的前n项和记为S n，等比数列{b n}的前n项和记为T n，已知x3=5，S3为9，b2=x2+1，∅（lim，n→∞） T n=16．（1）求数列{x n}的通项x n；（2）设M n=lgb1+lgb2+…+lgb n，求M n的最大值及此时的n的值；（3）判别方程sin2x n+x n cosx n+1=S n是否有解，说明理由．【考点】等差数列的通项公式；数列的应用．【分析】（1）先求出两个基本量x1和d．再求通项公式．（2）注意到lgb n是等差数列，再根据等差数列前n项和是二次函数的知识去解题．（3）判断方程无解时注意到范围的限制，可分情况讨论之．【解答】解：（理）（1）⇒解得∴x n=2n﹣1（2）由题意，b2=4=b1q结合无穷等比数列各项和， =16，解得易得b n=8n﹣1而{lgb n}是以lg8为首相，lg0.5为公差的等差数列，∴M n=lg8×n+0.5n（n﹣1）lg0.5﹣lg0.5=﹣0.5lg2[（n﹣3.5）2﹣49/4]∴n=3或4时有最大值6lg2；（3）sin2（2n﹣1）+（2n﹣1）cos（2n﹣1）+1=n21°n=1时，sin21+cos1=0不成立2°n=2时，sin23+3cos3+1=4，1﹣cos23+3cos3+1=4，解得cos3=1或cos3=2不成立3°n≥3放缩法sin2（2n﹣1）+（2n﹣1）cos（2n﹣1）+1＜1+2n﹣1+1＜1+2n＜n2综上，无解．【点评】本题中考查了等比数列和等差数列的基本知识点及两者的联系．第三问是对不等式放缩的运用技巧，根据所求结论的形式进行放缩．。