第1章 (72)教材配套课件

(1.2.2)
第1章 线性方程组与矩阵
再将第二个方程乘7/5与第三个方程相加，消去y，于是 又形成了阶梯形的结构：
x y z ４

5y 3z 5

2.8z 14
(1.2.3)
接着开始回代。先由方程组(1.2.3)中的第三个方程知 z = -5，将其代入第二个方程，解得y = -2；再将z、y代入第 一个方程，解得x = 1。
采用同样的步骤求解方程组(b)，将第二个方程加上第 一个方程，得到的方程是，这是一个矛盾的无解方程组，也 称为不相容的方程组。可以在平面上画出代表两个方程的两 条直线，它们平行且不重合，因此没有交点，如图1-2(b)所 示。
第1章 线性方程组与矩阵
采用同样的步骤求解方程组(b)，将第二个方程加上第 一个方程，得到的方程是 0x1 0x2 2，这是一个矛盾的无解 方程组，也称为不相容的方程组。可以在平面上画出代表两 个方程的两条直线，它们平行且不重合，因此没有交点，如 图1-2(b)所示。
的变量x1，得

3x1 + 2x2 2x3 4

x2 + x3 1

2 3
x2

1 3
x3

20 3
(1.3.3)
第1章 线性方程组与矩阵
将方程组(1.3.3)中的第二个方程乘以 -2/3，加到第三个 方程中，消去x2，得

3x1 2x2 2x3 4
本节将讨论二元和三元线性方程组解的几何意义。 例1.2 求解下列四个线性方程组：
(a)
x1x1 2
x2 1 3x2 3
(b) x1x12x22x231
(c)

x1 x1
2
x2 2x2
1 1
(d)

x1 x1

x2 x2

1 3
x1 2x2 3
解 方程组(a)～(c)都是由两个二元一次方程组成的，方 程数等于变量数，容易用消元法求解。
第1章 线性方程组与矩阵
先解方程组(a)，将第二个方程加第一个方程，消去x1，得到 x2=2，即原方程组变为，这是消元法的第一步，其结果是形 成一个阶梯形的方程组。对于这样的方程组，可以从下而上 求解：由第二个方程得知x2=2，把它代入第一个方程，得到。 这一过程称为回代。本例虽然是一个最简单的二元方程，但 是这样规范的方法却可以用来解任意多未知元的方程组，并 且可以编成程序，便于用户直接调用。
x yz4
x y z 4
x y z 4
2x 3y z 3 4x y z 11
r2 2r1
r3 4r1

5 y 3 z 5 r3r2 5y 3 z 5

5y 3 z 5 00
图来表述线性代数研究的问题。从工程角度看，在有解的情 况下要找到合理的唯一解，在无精确的数学解时要找到近似 解。
第1章 线性方程组与矩阵
线性方程组 解的情况
有解 无解
有无穷多组解 有唯一解
找出近似解
解集的性质 有合理解 无合理解
图1-1 线性方程组的解的情况
第1章 线性方程组与矩阵
1.2 二元和三元线性方程组解的几何意义
方程组(1.2.1)的三个方程对应于三维空间的三个平面， 若这三个平面有公共交点，则该交点就是方程组的解，如 图1-4所示。
第1章 线性方程组与矩阵
60
40
20
0
－20
－40
－60
10
5
10
0
－5 －10
－10
－5
0
5
图1-4 三阶线性方程组求解的图形
第1章 线性方程组与矩阵
如果把方程组(1.2.1)中的第三个方程改为4x y z 1 1， 则消元变换的过程如下(其中的ri表示第i个方程，如表示第 二个方程减去第一个方程的2倍)：
第1章 线性方程组与矩阵
x2 x2 x2
4 2 x2＝2 0 －2
－4 －5
0 (a) 有解
4 2 0 －2 5 x1 －4 －5
4
2
0
－2
0 (b) 无解
5 x1 －4 －5
0
5 x1
(c) 有无穷多组解
图1-2 例1.2中方程组(a)～(c)解的情况
第1章 线性方程组与矩阵
方程组(c)消元后的结果是0x1 + 0x2 = 0，满足第一个方程的解 必然也满足第二个方程。即这两个方程中的一个可由另一个导出， 我们称它是不独立的。独立方程只有一个，少于变量数，这样的 方程组称为欠定方程组，它有无穷多组解。从几何图形看，这两 个方程所对应的直线重合，此直线上处处都是解，如图1-2(c)所 示。
也会出现解为一条直线的方程组。当两个平面平行，或者两 个平面的交线与第三个平面平行时，三个平面也没有公共交 点。图1-6给出了一些三个平面没有公共交点的例子，这些 方程组都是无解或无唯一解的。
z 10
0 －10
－20 y5
5x
0
－5
－5
图1-5 三个平面交于同一条直线的欠定情况
第1章 线性方程组与矩阵
第1章 线性方程组与矩阵
例1.4 求解线性方程组：
3x1 2x2 2x3 = 4 3x1 3x2 x3 = 5 2x1 2x2 x3 = 4
(1.3.2)
解 将方程组(1.3.2)中的第一个方程分别乘以-3/3(-a21/a11)
及 -2/3(-a31/a11)，加到第二、三个方程中，消去后两个方程中
第1章 线性方程组与矩阵
现在用图解法来理解线性方程组解的几何意义。方程组 (a)的解为，x1 3 ，x2 2，它是由原始方程组表示的两条直线 的交点，如图1-2(a)所示。由两个方程恰好解出两个变量， 这样的线性方程组称为适定方程组。消元过程把第二个方程 变为，图形上成为一条水平线，但交点不变。
方程组(d)有三个独立方程，只有两个变量。它们所对应的三 条直线没有公共交点，因而无解，如图1-3所示。独立方程数目多 于变量数目的方程组称为超定方程组，它是无解的。这里的无解 应理解为没有精确地满足数学方程的解。因为工程实践上往往容 许误差存在，所以寻找超定方程组的近似解也是实用线性代数必 不可少的任务之一。第4章会求出点(0.71，-1.43)是方程组(d)的一 个近似解。
x1 x2 x3 x4 1

20x1 16x2 10x3 15x4 3x1 8x2 2x3 5x4 5
15
10%x1 25%x2 20%x3 5%x4 12%
10x1 25x2 20x3 5x4 12
方程组(1.1.1)左边后三个方程中的各项原来都带百分号，
可见，原来的三个方程只有两个是独立的，方程数少于变量 数，因此无法求得它们的唯一解。画出这三个方程的图形(见 图1-5)，可以看出，三个平面交于同一条直线而不是交于一 个点，所以得不出唯一的解。这个方程组是欠定方程组，它 有无穷多组解，这些解的集合是一条直线。
第1章 线性方程组与矩阵 除了三个平面相交于同一条直线外，如有两个平面重合，
第1章 线性方程组与矩阵 线性方程组的一般形式如下：
a11x1 a12 x2

a21x1 a22 x2

am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(1.3.1)
式(1.3.1)称为n元线性方程组。其中：, , …, 是n个变量； m是方程的个数；(i = 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n)是方程组的系 数；(j = 1, 2, …, m)是方程组的常数项。系数表示第i个方程是 变量的系数。一般情况下，变量的个数n与方程的个数m不一 定相等。
例1.1 食品配方的应用问题。某食品厂收到某种食品的订单， 要求这种食品由甲、乙、丙、丁四种原料做成，且该食品中含蛋 白质、脂肪和碳水化合物的比例分别为15%、5% 和12%。而甲、 乙、丙、丁原料中含蛋白质、脂肪和碳水化合物的百分比由表1-1 给出。那么，如何用这四种原料配置出满足要求的食品呢？
第1章 线性方程组与矩阵
(1.2.1)
解 从第二个方程中减去第一个方程的2倍，得到x系数为
零的新的第二方程；再从第三个方程中减去第一个方程的 -5
倍，得到x系数为零的新的第三个方程。此时，方程组(1.2.1)
的后两式就化为消去了变元x的二元联立方程：
x y z ４

5y 3z 5
7 y 7z 21
图1-6 三阶方程组多解和无解时的几何解释
第1章 线性方程组与矩阵
1.3 高斯消元法与阶梯形方程组
本节将把对二元、三元一次方程组求解的方法，推广到 m个方程、n个变量的高阶多元线性方程组。原理上，它和 中学的消元法或代入法本质上并无差别，但为了便于向高阶 系统推广，一是系数的位置要清晰；二是计算的步骤要规范； 三是能够编成由计算机执行的程序。这就要借助于1.4节引 入的矩阵，用计算机解决高阶联立方程问题，这是线性代数 与初等代数的最大区别。

x2 x3 1


1 3
x3

22 3
(1.3.4)
形如式(1.3.4)的方程组称为行阶梯形方程组。这样的阶梯 形方程组可以用回代法方便地逐个求出它的解。回代过程如
第1章 线性方程组与矩阵
线性方程组(1.3.1)中解的全体称为它的解集合。解方程 组就是求其全部解，亦即求出其解集合。如果两个方程组有 相同的解集合，就称它们为同解方程组。存在解(包括一个 解及无穷多组解)的方程组称为相容方程组，否则称为不相 容方程组。