实验2 动态规划算法

南京信息工程大学 算法设计与分析 实验(实习)报告 实验(实习)名称 实验2 动态规划算法 实验(实习)日期 2016.10 得分 指导老师 宣文霞 系 计算机 专业 网络工程 班级 2 姓名 刘信言 学号 201423460741） 矩阵连乘问题：（以P66例题的5个矩阵连乘问题为测试数据）用动态规划算法求下面6个矩阵的连乘积问题，求解最少数乘次数和最优解。

步骤1：分析最优解的结构将矩阵连乘积简记为A[i:j] ，这里i≤j,Ai 是pi-1×pi 的矩阵。

考察计算A[1:n]的最优计算次序。

设这个计算次序在矩阵Ak 和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k<j ，则其相应完全加括号方式为计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量。

关键特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。

矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。

这种性质称为最优子结构性质。

步骤2：建立递归关系设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n ，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n] 当i=j 时，A[i:j]=Ai ，只有一个矩阵Ai ，没有矩阵元素相乘，因此，m[i,i]=0，i=1,2,…,n当i<j, 设矩阵连乘A[i:j]最优全括号的分割点位于Ak 与Ak+1之间，则…m[i,j] = 计算A[i:k]的最小代价+计算A[k+1:j]的最小代价+ A[i:k] and A[k+1:j]相乘的代价Ai 维数pi-1×pi , 则计算A[i:k]*A[k+1:j]需要数乘次数为：pi-1pkpj ，有：m[i,j]=m[i,k]+m[k+1,j]+ pi-1pkpj递归方程假设已知矩阵连乘最优全括号问题的分隔点是k ，实际上k 是未知的 k 的位置只有j-i 种可能，必定使用{i, i+1, ..., j-1} 中的一个值作为k ，递归地定义m[i,j]为将对应于m[i,j]的断开位置k 记为s[i,j],在计算出最优值m[i,j]后，可递归的由s[i,j]构造出相应的最优解。

步骤3：计算最优值代码：package suanfa;j i i A A A ...1+))...)(...((211j k k k i i A A A A A A +++public class MatrixChain{int[] p;int[][] m;int[][] s;int length;public MatrixChain(int[] p,int[][] m,int[][] s){this.p = p;this.length = p.length/2;this.m = m;this.s = s;init();clac();printM();}public void init(){for (int i=0;i<length;i++){m[i][i] = 0;}}public void clac(){for (int i=1;i<length;i++){for (int j=0;j<length-i;j++){int r = j+i;int t = Integer.MAX_VALUE;for (int k = j;k<r;k++){int temp = m[j][k] + m[k+1][r] + p[j*2]*p[k*2+1]*p[r*2+1];if (t > temp){t = temp;m[j][r] = temp;}}}}}public void printM(){for (int i=0;i<length;i++){for (int j=0;j<length;j++){System.out.print(m[i][j]+ " ");}System.out.println();}}public static void main(String args[]){int p[] = {30,35,35,15,15,5,5,10,10,20,20,25};int length = 6;int[][] m = new int[6][6];int[][] s = new int[6][6];new MatrixChain(p,m,s);}}运行结果：2）0-1背包问题：物品数量n=5，w[n]={2,2,6,5,4},v[n]={6,3,5,4,6},背包总重量c=10。

对于一种物品，要么装入背包，要么不装。

所以对于一种物品的装入状态可以取0和1。

设物品i的装入状态为xi,xi∈ (0,1)，此问题称为0-1背包问题。

列的1~5表示5个物品，横向的1~10表示背包的容量，绿色的列表示相对应物品的的重量，浅蓝色的一列表示相对应物品的价值。

假设新建一个5*10的数组对应图片中的棕色部分，棕色部分即为求解的过程，具体求解过程如下：图上所示的求解过程是从下往上求解，也就是说先分析第5个物品，最后分析第一个物品。

当背包中为空的时候，考虑第5个物品，当背包容量为1, 2, 3的时候这个背包都是装不下物品5的，因为物品5的重量是4，因此对应的当背包容量为1, 3, 3的时候背包里面东西的价值(棕色表格里面的值)也是为0，当背包容量大于等于4的时候背包可以放下物品5，所以背包里面东西的价值就是6（因为这里先只考虑只有一件物品5的时候），到此只有物品5的情况已经分析完毕；接下来分析同时拥有物品5和物品4的情况，当背包容量为1, 2, 3的时候，背包里面既放不下4物品也放不下5物品，所以背包里面物品的价值为0，当背包容量大于等于4的时候，至少可以放下物品5了，这个时候就要取舍了，到底是将物品5放进去价值大还是将物品4放进去价值大，当背包容量为4的时候，只能放进去物品5，价值为6，当背包容量为5的时候如果选择房屋物品4，那么剩余的背包容量为0，查找背包重量为0的列（在前面步骤已经填充过的部分，这里只填充了第5行第1列的位置），找这一列的最大值为0，所以选择放物品4的时候背包价值最大为4<不放物品4（剩余背包容量为5，查找背包容量5对应的填充过的部分，其最大值为6）时候的6，所以在背包容量为5的时候的最优值是放物品5而不放物品4，一直分析到背包容量为9的时候当选择放入物品4的时候，剩余背包容量为4，再查找背包容量为4时候已经填充过的部分（即最后一行），可以查得最大值为6，所以这个时候选择放入物品4可以获得的最大价值为10。

...通过上面的分析过程，可以归结为：先考虑这个物品放入的时候可以获得的最大价值（这个物品的价值+剩余背包(背包总容量-该物品重量)容量可以获得的最大价值），再考虑不放入这个物品的时候可以获得的最大价值（剩余背包容量(此时就是背包总重量)可以获得的最大价值），然后将2者进行比较，那种结果的价值大就将哪种结果的价值保存下来，依次类推。

package suanfa;import java.util.Collections;import java.util.LinkedList;class WuPin implements Comparable{public String toString(){return weight + " " +value;}private int weight;private int value;public WuPin(int weight, int value) {super();this.weight = weight;this.value = value;}public int getValue() {return value;}public int getWeight() {return weight;}public int compareTo(Object o){WuPin obj =(WuPin)o;return this.weight>obj.getWeight()?1:(this.weight==obj.getWeight()?0:-1);}}public class Beibao {public static void main(String[] args){LinkedList<WuPin> wuPinList = new LinkedList<WuPin>();wuPinList.add(new WuPin(2,6));wuPinList.add(new WuPin(2,3));wuPinList.add(new WuPin(6,5));wuPinList.add(new WuPin(5,4));wuPinList.add(new WuPin(4,6));final int N = 6;//代表共有几个物品LinkedList p = new LinkedList();p.add(new WuPin(0,0));//添加第一个为零的值for(int i =4;i>=0;i--){jisuan(p,wuPinList.get(i));System.out.println("p"+(i+1));for(int ii = 0;ii<p.size();ii++)System.out.println((WuPin)p.get(ii));}}private static void jisuan(LinkedList p, WuPin pin) {LinkedList q = new LinkedList();for(int i = 0;i<p.size();i++){q.add(newWuPin(((WuPin)p.get(i)).getWeight()+pin.getWeight(),((WuPin)p.get(i)).getValue()+pin. getValue()));}for(int m = 0;m<q.size();m++){p.add((WuPin)q.get(m));}Collections.sort(p);for(int m = 0;m<p.size();m++){if(m+1<=p.size()-1)if(((WuPin)p.get(m)).getValue()>=((WuPin)p.get(m+1)).getValue()){p.remove(m+1);m=0;}if(((WuPin)p.get(m)).getWeight()>10){p.remove(m);m=0;}}}}运行截图：。