6.5解直角三角形应用举例( 四)课堂练习
解直角三角形应用举例
海洋100海里以内的区域,如图,设A、B
是我们的观察站,A和B 之间的距离为
157.73海里,海岸线是过A、B的一条直
线,一外国船只在P点,在A点测得
∠BAP=450,同时在B点测得∠ABP=600,
问此时是否要向外国船只发出警告,令
其退出我国海域.
P
A
B
——坡度、坡角
学习目标
1、知道坡角、坡比(坡度)的意义。 2、能将h、l、c、i各量的计算问题转化 为解直角三角形的问题,这些量中若已知 两个量,可求其他量. 3、在有些实际问题中没有直角三角形, 学会添加辅助线构造直角三角形.
Ex
x
100 2xD
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知 相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角 形时,要通过作辅助线构筑直角三角形(作某 边上的高是常用的辅助线);当问题以一个实 际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实 际问题化归为直角三角形中的边角关系。
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联 系,所以在复习时要形成知识结构,要把解直 角三角形作为一种工具,能在解决各种数学问 题时合理运用。
65° P
C 34°
B
例4.海中有一个小岛A,它的周围8海里范围内 有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测 得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达 D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上,如 果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁 的危险?
A
60°
B 12
30°
DF
3.国外船只,除特许外,不得进入我国
___1 :__3__。
h
α
L
例1.水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高
23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度
人教版九年级下册数学《解直角三角形应用举例》锐角三角函数研讨复习说课教学课件
学以致用
如图水坝的横断面是梯形,迎水坡的坡角∠B=30°,背
水坡的坡度为1: 2 (坡面的铅直高度DF与水平宽度AF的
比),坝高CE(DF)是45米,求AF、BE的长,迎水坡BC的长,
以及BC的坡度.
AF=45 2 m BE=45 3
BC=90m
= 1: 3
知识点二:坡度、坡角的实际应用
角三角形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案.
课堂小结
1.坡度:我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度 l 的比
叫坡度(或叫坡比)用字母 i 表示:
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课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历:课件/jianli/
课件
课件
手抄报:课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
D.500
米
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
探索新知
例 1.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔
80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯
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个人简历:课件/jianli/
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手抄报:课件/shouchaobao/
典例讲评
水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡
AB的坡度i=1:3,斜坡CD的坡度i' =1:2.5,求坝底宽AD和斜坡AB
的长.
(精确到0.1m,tan18°26′ ≈0.3333,sin18°26′≈0.3162)
课件
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解直角三角形的应用中考练习题含答案
解直角三角形的应用练习题参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.(2012•襄阳)在一次数学活动中,李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD.如图,已知小明距假山的水平距离BD为12m,他的眼镜距地面的高度为1.6m,李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C,此时,铅垂线OE经过量角器的60°刻度线,则假山的高度为()A.(4+1.6)m B.(12+1.6)m C.(4+1.6)m D.4m考点:解直角三角形的应用.分析:根据已知得出AK=BD=12m,再利用tan30°==,进而得出CD的长.解答:解:∵BD=12米,李明的眼睛高AB=1.6米,∠AOE=60°,∴DB=AK,AB=KD=1.6米,∠CAK=30°,∴tan30°==,解得CK=4(米),即CD=CK+DK=4+1.6=(4+1.6)米.故选:A.点评:本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意得出tan30°==解答是解答此题的关键.2.(2014•随州)如图,要测量B点到河岸AD的距离,在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=100米,则B点到河岸AD的距离为()A.100米B.50米C.米D.50米考点:解直角三角形的应用.专题:几何图形问题.分析:过B作BM⊥AD,根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°,再根据等角对等边可得BC=AC,然后再计算出∠CBM的度数,进而得到CM长,最后利用勾股定理可得答案.解答:解:过B作BM⊥AD,∵∠BAD=30°,∠BCD=60°,∴∠ABC=30°,∴AC=CB=100米,∵BM⊥AD,∴∠BMC=90°,∴∠CBM=30°,∴CM=BC=50米,∴BM=CM=50米,故选:B.点评:此题主要考查了解直角三角形的应用,关键是证明AC=BC,掌握直角三角形的性质:30°角所对直角边等于斜边的一半.3.(2014•衡阳)如图,一河坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝顶宽10米,坝高12米,斜坡AB 的坡度i=1:1.5,则坝底AD的长度为()A.26米B.28米C.30米D.46米考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.专题:几何图形问题.分析:先根据坡比求得AE的长,已知CB=10m,即可求得AD.解答:解:∵坝高12米,斜坡AB的坡度i=1:1.5,∴AE=1.5BE=18米,∵BC=10米,∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米,故选:D.点评:此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况,将相关的知识点相结合更利于解题.4.(2014•西宁)如图1,某超市从一楼到二楼有一自动扶梯,图2是侧面示意图.已知自动扶梯AB的坡度为1:2.4,AB的长度是13米,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°,则二楼的层高BC约为(精确到0.1米,sin42°≈0.67,tan42°≈0.90)()A.10.8米B.8.9米C.8.0米D.5.8米考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题.专题:几何图形问题.分析:延长CB交PQ于点D,根据坡度的定义即可求得BD的长,然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长,则BC即可得到.解答:解:延长CB交PQ于点D.∵MN∥PQ,BC⊥MN,∴BC⊥PQ.∵自动扶梯AB的坡度为1:2.4,∴==.设BD=5k米,AD=12k米,则AB=13k米.∵AB=13米,∴k=1,∴BD=5米,AD=12米.在Rt△CDA中,∠CDA=90゜,∠CAD=42°,∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米,∴BC≈5.8米.故选:D.点评:本题考查仰角和坡度的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.5.(2014•临沂)如图,在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处,若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行,航行半小时后到达C处,在C处观测到B在C的北偏东60°方向上,则B、C之间的距离为()A.20海里B.10海里C.20海里D.30海里考点:解直角三角形的应用-方向角问题.专题:几何图形问题.分析:如图,根据题意易求△ABC是等腰直角三角形,通过解该直角三角形来求BC的长度.解答:解:如图,∵∠ABE=15°,∠DAB=∠ABE,∴∠DAB=15°,∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°.又∵∠FCB=60°,∠CBE=∠FCB,∠CBA+∠ABE=∠CBE,∴∠CBA=45°.∴在直角△ABC中,sin∠ABC===,∴BC=20海里.故选:C.点评:本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题.解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形.二.填空题(共5小题)6.(2009•仙桃)如图所示,小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°、35°,则广告牌的高度BC 为 3.5米(精确到0.1米).(sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70;sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈1.28)考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.专题:应用题;压轴题.分析:图中有两个直角三角形△ABD、△ACD,可根据两个已知角度,利用正切函数定义,分别求出BD 和CD,求差即可.解答:解:根据题意:在Rt△ABD中,有BD=AD•tan52°.在Rt△ADC中,有DC=AD•tan35°.则有BC=BD﹣CD=6(1.28﹣0.70)=3.5(米).点评:本题考查仰角的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.7.(2009•安徽)长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了2()m.考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.专题:压轴题.分析:利用所给角的正弦函数求两次的高度,相减即可.解答:解:由题意知:平滑前梯高为4•sin45°=4•=.平滑后高为4•sin60°=4•=.∴升高了2()m.点评:本题重点考查了三角函数定义的应用.8.(2014•宁波)为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位.(≈1.4)考点:解直角三角形的应用.专题:调配问题.分析:如图,根据三角函数可求BC,CE,由BE=BC+CE可求BE,再根据三角函数可求EF,再根据停车位的个数=(56﹣BE)÷EF+1,列式计算即可求解.解答:解:如图,BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米,CE=5×sin45°=5×≈3.5米,BE=BC+CE≈5.04,EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.14米,(56﹣5.04)÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17(个).故这个路段最多可以划出17个这样的停车位.故答案为:17.点评:考查了解直角三角形的应用,主要是三角函数及运算,关键把实际问题转化为数学问题加以计算.9.(2014•十堰)如图,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上,轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行,1小时后到达码头B处,此时,观测灯塔C位于北偏西25°方向上,则灯塔C与码头B 的距离是24海里.(结果精确到个位,参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.4)考点:解直角三角形的应用-方向角问题.专题:几何图形问题.分析:作BD⊥AC于点D,在直角△ABD中,利用三角函数求得BD的长,然后在直角△BCD中,利用三角函数即可求得BC的长.解答:解:∠CBA=25°+50°=75°.作BD⊥AC于点D.则∠CAB=(90°﹣70°)+(90°﹣50°)=20°+40°=60°,∠ABD=30°,∴∠CBD=75°﹣30°=45°.在直角△ABD中,BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×=10.在直角△BCD中,∠CBD=45°,则BC=BD=10×=10≈10×2.4=24(海里).故答案是:24.点评:本题主要考查了方向角含义,正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键.10.(2014•抚顺)如图,河流两岸a、b互相平行,点A、B是河岸a上的两座建筑物,点C、D是河岸b上的两点,A、B的距离约为200米.某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°,∠BPD=30°,则河流的宽度约为100米.考点:解直角三角形的应用.专题:几何图形问题.分析:过点P作PE⊥AB于点E,先求出∠APE及∠BPE、∠ABP的度数,由锐角三角函数的定义即可得出结论.解答:解:过点P作PE⊥AB于点E,∵∠APC=75°,∠BPD=30°,∴∠APB=75°,∵∠BAP=∠APC=75°,∴∠APB=∠BAP,∴AB=PB=200m,∵∠ABP=30°,∴PE=PB=100m.故答案为:100.点评:本题考查的是解直角三角形的应用,熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键.三.解答题(共5小题)11.(2014•南昌)图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成,每相邻两个菱形均成30°的夹角,示意图如图2.在图2中,每个菱形的边长为10cm,锐角为60°.(1)连接CD,EB,猜想它们的位置关系并加以证明;(2)求A,B两点之间的距离(结果取整数,可以使用计算器)(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)考点:解直角三角形的应用.分析:(1)连接DE.根据菱形的性质和角的和差关系可得∠CDE=∠BED=90°,再根据平行线的判定可得CD,EB的位置关系;(2)根据菱形的性质可得BE,DE,再根据三角函数可得BD,AD,根据AB=BD+AD,即可求解.解答:解:(1)猜想CD∥EB.证明:连接DE.∵中国结挂件是四个相同的菱形,每相邻两个菱形均成30°的夹角,菱形的锐角为60°∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°,∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°,∴∠CDE=∠BED,∴CD∥EB.(2)BE=2OE=2×10×cos30°=10cm,同理可得,DE=10cm,则BD=10cm,同理可得,AD=10cm,AB=BD+AD=20≈49cm.答:A,B两点之间的距离大约为49cm.点评:此题考查了解直角三角形的应用,菱形的性质和平行线的判定,主要是三角函数的基本概念及运算,关键是运用数学知识解决实际问题.12.(2014•铁岭)如图,小丽假期在娱乐场游玩时,想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度.她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°,然后,她沿着坡度是i=1:1(即tan∠CED=1)的斜坡步行15分钟抵达C处,此时,测得A点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分,图中点A、B、E、D、C在同一平面内,且点D、E、B在同一水平直线上.求出娱乐场地所在山坡AE的长度.(参考数据:≈1.41,结果精确到0.1米)考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析:根据速度乘以时间得出CE的长度,通过坡度得到∠ECF=30°,作辅助线EF⊥AC,通过平角减去其他角从而得到∠AEF=45°即可求出AE的长度.解答:解:作EF⊥AC,根据题意,CE=18×15=270米,∵tan∠CED=1,∴∠CED=∠DCE=45°,∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°,∴EF=CE=135米,∵∠CEF=60°,∠AEB=30°,∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°,∴AE=135≈190.35米点评:本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是作辅助线EF⊥AC,以及坡度和坡角的关系.13.(2014•抚州)如图1所示的晾衣架,支架主视图的基本图形是菱形,其示意图如图2,晾衣架伸缩时,点G在射线DP上滑动,∠CED的大小也随之发生变化,已知每个菱形边长均等于20cm,且AH=DE=EG=20cm.(1)当∠CED=60°时,求C、D两点间的距离;(2)当∠CED由60°变为120°时,点A向左移动了多少cm?(结果精确到0.1cm)(3)设DG=xcm,当∠CED的变化范围为60°~120°(包括端点值)时,求x的取值范围.(结果精确到0.1cm)(参考数据≈1.732,可使用科学计算器)考点:解直角三角形的应用;菱形的性质.分析:(1)证明△CED是等边三角形,即可求解;(2)分别求得当∠CED是60°和120°,两种情况下AD的长,求差即可;(3)分别求得当∠CED是60°和120°,两种情况下DG的长度,即可求得x的范围.解答:解:(1)连接CD(图1).∵CE=DE,∠CED=60°,∴△CED是等边三角形,∴CD=DE=20cm;(2)根据题意得:AB=BC=CD,当∠CED=60°时,AD=3CD=60cm,当∠CED=120°时,过点E作EH⊥CD于H(图2),则∠CEH=60°,CH=HD.在直角△CHE中,sin∠CEH=,∴CH=20•sin60°=20×=10(cm),∴CD=20cm,∴AD=3×20=60≈103.9(cm).∴103.9﹣60=43.9(cm).即点A向左移动了43.9cm;(3)当∠CED=120°时,∠DEG=60°,∵DE=EG,∴△DEG是等边三角形.∴DG=DE=20cm,当∠CED=60°时(图3),则有∠DEG=120°,过点E作EI⊥DG于点I.∵DE=EG,∴∠DEI=∠GEI=60°,DI=IG,在直角△DIE中,sin∠DEI=,∴DI=DE•sin∠DEI=20×sin60°=20×=10cm.∴DG=2DI=20≈34.6cm.则x的范围是:20cm≤x≤34.6cm.点评:本题考查了菱形的性质,当菱形的一个角是120°或60°时,连接菱形的较短的对角线,即可把菱形分成两个等边三角形.14.(2014•宿迁)如图是某通道的侧面示意图,已知AB∥CD∥EF,AM∥BC∥DE,AB=CD=EF,∠AMF=90°,∠BAM=30°,AB=6m.(1)求FM的长;(2)连接AF,若sin∠FAM=,求AM的长.考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.专题:几何图形问题.分析:(1)分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N,DG⊥BC延长线于点G,FH⊥DE延长线于点H,根据AB∥CD∥EF,AM∥BC∥DE,分别解Rt△ABN、Rt△DCG、Rt△FEH,求出BN、DG、FH的长度,继而可求出FM的长度;(2)在Rt△FAM中,根据sin∠FAM=,求出AF的长度,然后利用勾股定理求出AM的长度.解答:解:(1)分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N,DG⊥BC延长线于点G,FH⊥DE延长线于点H,在Rt△ABN中,∵AB=6m,∠BAM=30°,∴BN=ABsin∠BAN=6×=3m,∵AB∥CD∥EF,AM∥BC∥DE,同理可得:DG=FH=3m,∴FM=FH+DG+BN=9m;(2)在Rt△FAM中,∵FM=9m,sin∠FAM=,∴AF=27m,∴AM==18(m).即AM的长为18m.点评:本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形,利用三角函数解直角三角形,注意勾股定理的应用.15.(2014•邵阳)一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以40海里每小时的速度前往救援,求海警船到大事故船C处所需的大约时间.(温馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)考点:解直角三角形的应用-方向角问题.专题:几何图形问题.分析:过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里,再解Rt△CBD 中,得出BC=≈50,然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间.解答:解:如图,过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=80海里,∴CD=AC=40海里.在Rt△CBD中,∵∠CDB=90°,∠CBD=90°﹣37°=53°,∴BC=≈=50(海里),∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为:50÷40=(小时).点评:本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.。
解直角三角形及应用 (4)
28.2.1 解直角三角形
创设情景 明确目标
在Rt△ABC中,共有六个元素(三条边,三个角),
其中∠C=90°,那么其余五个元素之间有怎样的关系呢? B
(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c_2__
c a
(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=__9_0°__ A
b
C
a
你能求出这个三角形的其他元素吗?
你发现 了什么
(3)根∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元 素吗? 不能
两角
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元 素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直 角三角形.
在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:
【解析】一边上的高=6×sin60°= 3 3 【答案】3 3
4.“卡努” 台风将一棵大树刮断,经测量,大树刮断一端
的着地点A到树根部C的距离为4米,倒下部分AB与地平面AC的夹 角为400,你知道这棵大树有多高吗? 参考数据: (sin40°≈0.643; cos40° ≈0.766; tan40° ≈0.839)
40°
A
4米
• 上交作业:教科书习题
28.2第1,2题 .
• 课后作业:同步练习册78 至81.
(1)三边之间的关系 a2 b2 c2 (勾股定理) A
(2)两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系
b
c
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
解直角三角形的应用举例课件[原创]
(2)示意图如右图
(3)BD=a , ∠ACE=ą (4)AB = a tgą+ 1.5
M
C D ą N E B
例
3 校数学兴趣小组同学打算去测量始丰溪岸一铁塔的
高度,他们带了以下工具皮尺一根教学三角板一副高度 为1.5米的测角仪(能测仰角和俯角的仪器)一架。 若测量的铁塔位于始丰溪的对岸,假如人又无法直接到达 对岸,该如何设计测量方案? 方案1 (1)测量工具 (2)示意图如右图 A
(3)CD=1.5 ,DF=a a (4) AB= + 1.5
ctgą- ctgβ
C ą D F
β
E B
例
3 校数学兴趣小组同学打算去测量始某铁塔的高度,
他们带了以下工具皮尺一根教学三角板一副高度为1.5 米的测角仪(能测仰角和俯角的仪器)一架。 若测量的铁塔位于始一河流的对岸,假如人又无法直接到 达对岸,该如何设计测量方案? 方案2 (1)测量工具 (2)示意图如右图 A
h α
l
(2)仰角和俯角
铅 直 线 仰角
视线
水平线 俯角
北
30° 东
视线
A
(3)方向角 如图:点A在O的北偏东30°
西
点B在点O的南偏西45°(西南方向)
B
O 45° 南
例
1
如图学校里有一块三角形形状的花圃ABC,现测得∠A=30°, AC=40m,BC=25m,请你帮助计算一下这块花圃的面积? 解:过点C作CD⊥AB于D C 在Rt△ADC中, ∠A=30°, AC=40, ∴CD=20,AD=AC•cos30° =20√ 3 B D 在Rt△CDB中, CD=20 , CB=25, A √CB2 – CD2 = 15 ∴DB= 思考1、在上述条件不改 ∴S△ABC= 1 AB•CD= 1 (AD+DB)•CD 变的情况下,如果没有 2 2 给出图形,那么上述的 √3 +150)(m2) =(200 解法是否正确? 思考2、若例题中已知条件为∠A=30°, AC=40m,BC=25m,如何计算花圃面积?
专题训练 解直角三角形的实际应用
题型专项(六)解直角三角形的实际应用历年来解直角三角形的实际应用在云南各地的中考中都有考查,几乎都以解答题的形式出现.解题的一般步骤为:画出平面图形,将实际问题转化为解直角三角形的数学问题,即根据条件特征,选用勾股定理或适当的三角函数解直角三角形,得出数学问题的答案,然后作答(回归实际问题).模型1 单一直角三角形1.(2019·昆明西山区二模)如图是云梯升降车示意图,其点A 位置固定,AC 可伸缩且可绕点A 转动,已知点A 距离地面BD 的高度AH 为3.4米.当AC 长度为9米,张角∠HAC 为119°时,求云梯升降车最高点C 距离地面的高度.(结果保留一位小数,参考数据:sin29°≈0.48,cos29°≈0.87,tan29°≈0.55)解:过点C 作CE ⊥BD 于点E ,过点A 作AF ⊥CE 于点F ,易得四边形AHEF 为矩形.∴EF =AH =3.4 m ,∠HAF =90°.∴∠CAF =∠CAH -∠HAF =119°-90°=29°.在Rt △ACF 中,∵sin ∠CAF =CF AC, ∴CF =9×sin29°≈9×0.48=4.32.∴CE =CF +EF =4.32+3.4≈7.7(m ).答:云梯升降车最高点C 距离地面的高度约为7.7 m.模型2 背靠背型及其变式2.(2019·十堰)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD ,AD =3 m ,坝高AE =DF =6 m ,坡角α=45°,β=30°,求BC 的长.解:由题意知四边形AEFD 是矩形.∴AD =EF =3.∵α=45°,β=30°,∴BE =AE =6,CF =3DF =6 3.∴BC =BE +EF +CF =6+3+63=9+6 3.答:BC 的长为(9+63)m.3.(2019·昆明官渡区二模)如图,C 地在A 地的正东方向,因有大山阻隔,由A 地到C 地需经B 地绕行,已知B 地位于A 地北偏东67°方向,距A 地390 km ,C 地位于B 地南偏东30°方向.若打通穿山隧道,建成两地直达公路,求公路AC 的长(结果保留整数).(参考数据:sin67°≈1213,cos67°≈513,tan67°≈125,3≈1.73)解:过点B 作BD ⊥AC 于点D.在Rt △ABD 中,∠ABD =67°,AB =390 km ,∴AD =AB ·sin67°≈390×1213=360(km ), BD =AB ·cos67°≈390×513=150(km ). 在Rt △BDC 中,∠CBD =30°,∴CD =BD ·tan30°=150×33=503(km ). ∴AC =AD +CD =360+503≈447(km ).答:公路AC 的长约为447 km.4.(2019·新疆)如图,一艘海轮位于灯塔P 的东北方向,距离灯塔80海里的A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处.(1)求海轮从A 处到B 处的途中与灯塔P 之间的最短距离(结果保留根号);(2)若海轮以每小时30海里的速度从A 处到B 处,试判断海轮能否在5小时内到达B 处?并说明理由.(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)解:(1)过点P作PC⊥AB,垂足为C.由题意,得∠APC=45°,AP=80.在Rt△APC中,PC=AP·cos45°=40 2.∴海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为402海里.(2)由题意得,∠CPB=60°.在Rt△PCB中,BC=PC·tan60°=40 6.在Rt△APC中,AC=AP·sin45°=40 2.∴AB=AC+BC=402+406≈154.4.∵154.430≈5.15>5,∴海轮不能在5小时内到达B处.模型3 母子型及其变式5.(2019·昆明五华区模拟)如图,一渔船自西向东追赶鱼群,在A处测得某无名小岛C在北偏东60°方向上,前进2海里到达B点,此时测得无名小岛C在东北方向上.已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁,问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)解:过点C作CD⊥AB于点D.根据题意,得∠CAD=30°,∠CBD=45°.在Rt △ACD 中,AD =CD tan30°=3CD. 在Rt △BCD 中,BD =CD tan45°=CD. ∵AB =AD -BD ,∴3CD -CD =2,解得CD =3+1≈2.732>2.5.答:渔船继续追赶鱼群没有触礁危险.6.(2019·昆明十县区一模)如图,线段AB ,DC 分别表示甲、乙两建筑物的高,AB ⊥BC 于点B ,DC ⊥BC 于点C ,从点C 测得A 点的仰角α为60°,从D 点测得A 点的仰角β为30°,已知乙建筑物高DC =30 m ,求甲建筑物的高AB.解:过点D 作DE ⊥AB 于点E.由题意得,∠ACB =60°,∠ADE =30°,DE =BC ,BE =DC =30.在Rt △ACB 中,tan ∠ACB =AB BC,则AB =BC ·tan ∠ACB =3BC. 同理,AE =BC ·tan ∠ADE =33BC. 则3BC -33BC =30, 解得BC =15 3.∴AB =3BC =45.答:甲建筑物的高AB 为45 m.7.(2019·昆明五华区二模)如图,AB 是长为10 m ,倾斜角为30°的自动扶梯,平台BD 与大楼CE 垂直,且与扶梯AB 的长度相等,在B 处测得大楼顶部C 的仰角为65°,求大楼CE 的高度(结果保留整数,参考数据:sin65°≈0.91,tan65°≈2.14)解:过点B作BF⊥AE于点F,则BF=DE.在Rt△ABF中,sin∠BAF=BFAB,则BF=AB·sin∠BAF=10×12=5(m).在Rt△CDB中,tan∠CBD=CDBD,则CD=BD·tan65°≈10×2.14≈21(m).∴CE=DE+CD=BF+CD=5+21=26(m).答:大楼CE的高度大约是26 m.。
解直角三角形的典型例题
一、知识概述1、仰角、俯角仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角.如图所示.说明:仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角,即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角.2、坡角和坡度坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母α表示.坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度,用字母i表示.则.如图所示说明:(1)坡角的正切等于坡度,坡角越大,坡度也越大,坡面越陡.(2)在解决实际问题时,遇到坡度、坡角的问题,常构造如图所示的直角三角形.3、象限角象限角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫象限角,如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,北偏西60°,南偏西80°,如:东南方向,指的是南偏东45°角的方向上.如图所示.二、重点难点疑点突破1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题在解决实际问题时,解直角三角形有着广泛的应用.我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决,具体地说,要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系,这样就可运用解直角三角形的方法了.一般有以下三个步骤:(1)审题,通过图形(题目没画出图形的,可自己画出示意图),弄清已知和未知;(2)找出有关的直角三角形,或通过作辅助线产生有关的直角三角形,把问题转化为解直角三角形的问题;(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形.其中,找出有关的直角三角形是关键,具体方法是:(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题;(2)作辅助线产生直角三角形,再把条件和问题转化到这个直角三角形中,使问题解决.2、在学习中应注意两个转化(1)把实际问题转化成数学问题这个转化分两个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形,画出正确的平面或截面示意图,并赋予字母;二是将已知条件转化成示意图中的边或角.(2)把数学问题转化成解直角三角形问题.如果示意图形不是直角三角形,可添加适当的辅助线,把它们分割成一些直角三角形和矩形,把实际问题转化为解直角三角形问题,把可解的直角三角形纳入基本类型,确定合适的边角关系,细心推理,按要求精确度作近似计算,最后写出答案并注明单位.三、典型例题讲解1、测量河宽例1、如图,河边有一条笔直的公路l,公路两侧是平坦的草地.在数学活动课上,老师要求测量河对岸B点到公路的距离,请你设计一个测量方案.要求:(1)列出你测量所使用的测量工具;(2)画出测量的示意图,写出测量的步骤;(3)用字母表示测得的数据,求出B点到公路的距离.分析:这是一个实际问题,要求B到CD的距离,可转化为直角三角形,然后在两个直角三角形中,可分别用含有AB的式子表示AC和AD,而AC+AD=m,可运用解方程的方法求出AB即可.解:(1)测角器、尺子;(2)测量示意图如下图所示;测量步骤:①在公路上取两点C,D,使∠BCD,∠BDC为锐角;②用测角器测出∠BCD=α,∠BDC=β;③用尺子测得CD的长,记为m米;④计算求值.(3)解:设B到CD的距离为x米,作BA⊥CD于点A,在△CAB中,x=CAtanα,点评:运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题,要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题).2、仰角、俯角问题例2、为申办2010年冬奥会,须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中,要伐掉一棵树AB.在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°,树的底部B的俯角为30°(如图).问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?分析:解决测量问题要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术语.要考查距离B点8米远的保护物是否在危险区内,关键的一点是要测算树AB的高度.解:过点C作CE⊥AB,垂足为E.在Rt△CBE中,在Rt△CAE中,故AB=AE+BE=≈4×1.73=6.92(米)<8(米).因此可判断该保护物不在危险区内.3、坡角、坡度(坡比)例3、如图,一水坝横断面为等腰梯形ABCD,斜坡AB的坡度为,坡面AB的水平宽度为上底宽AD为4m,求坡角B,坝高AE和坝底宽BC各是多少?分析:首先将实际问题转化为数学问题,如图所示,实际上已知求∠B、AE、BC.此题实质转化为解直角三角形的问题.点评:(1)解应用题时,解题过程中可以不写各数量的单位,但最后作答时务必写清单位名称.(2)应用问题尽管题型千变万化,但关键是设法化归为解直角三角形问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形,梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形.(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角,运用坡度的概念求出梯形高,运用等腰梯形性质求出底边.4、象限角例4、如图,一轮船自西向东航行,在A处测得某岛C,在北偏东60°的方向上,船前进8海里后到达B,再测C岛,在北偏东30°的方向上,问船再前进多少海里与C岛最近?最近距离是多少?分析:将实际问题转化为数学问题,并构造出与实际问题有关的直角三角形,如图所示.船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近,此问题实质就是已知∠CAB=90°-60°=30°,∠ABC=90°+30°=120°,AB=8海里,求BD和CD的解直角三角形问题.解:根据题设可知△ABC中,∠CAB=30°,∠ABC=120°,∴∠ACB=180°-30°-120°=30°,AB=BC=8,作CD⊥AB于D.∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度.在Rt△CBD中,BC=8,∠CBD=60°,点评:根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障.5、开放探究题例5、(荆州市)某海滨浴场的沿岸可以看作直线,如图,1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救,便立即向前跑300米到离B点最近的D点,再跳入海中游到B点救助;若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒,在水中游泳的速度都是2米/秒,∠BAD=45°.(1)请问1号救生员的做法是否合理?(2)若2号救生员从A跑到C,再跳入海中游到B点救助,且∠BCD=65°,请问谁先到达点B?(所有数据精确到0.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,)分析:(1)比较1号救生员从点A直接游到点B所用时间与从点A跑到点D再游到点B的时间即可作出判断.(2)分别计算出1号救生员、2号救生员所用时间,再作判断.点评:掌握探究题的探究方法非常重要,本题中救生员赶到点B的时间是我们探究的核心问题,如何准确求出救生员赶到点B所用时间是解决本题的关键.。
解直角三角形及其应用(第4课时)教学PPT
性质4
射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜 边上射影的比例中项;每一条直角边是这条直角边在斜边 上的射影和斜边的比例中项。
03
解直角三角形方法论述
利用相似三角形法求解
01
02
03
04
寻找相似三角形
在已知直角三角形中,通过寻 找与待求三角形相似的三角形 ,建立相似关系。
设定未知数
在相似三角形中,设定待求的 边长或角度为未知数。
建立比例关系
根据相似三角形的性质,建立 已知边长与未知边长的比例关 系。
求解未知数
通过解比例关系式,求出未知 数的值。
利用三角函数法求解
确定已知量
在已知直角三角形中,确定已知的角度或边长。
建立三角函数关系式
将已知量与待求量通过三角函数关系式联系起来 。
选择三角函数
根据已知量,选择合适的三角函数(正弦、余弦 、正切等)。
分组讨论,分享解题思路和方法
学生分组讨论,分享各自的解题思路 和方法。
教师巡视各组讨论情况,给予必要的 指导和帮助。
鼓励学生互相学习、互相帮助,共同 进步。
教师点评,总结易错点和注意事项
教师对学生的练习和讨论进行点评,肯定优点和进 步。
针对学生在练习和讨论中出现的易错点和问题,进 行总结和归纳。
水坝设计
在水坝设计中,需要计算水坝的 高度和倾斜角度。通过测量水坝 顶部和底部的夹角以及水坝的长 度,可以利用解直角三角形的方
法进行计算。
其他领域应用举例
航海
物理
在航海中,需要确定船只的航向和距离。 通过测量船只与目标之间的夹角和距离, 可以利用解直角三角形的方法进行计算。
在物理学中,需要计算物体的运动轨迹和 速度。通过测量物体运动的夹角和距离, 可以利用解直角三角形的方法进行计算。
解直角三角形应用题(方位角、仰角与俯角、坡度)分类汇编
:i h l=hlα基础知识2解直角三角形的应用举例1.仰角与俯角:仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
2.坡度与坡角:坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示,即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan hi lα== 3.方位角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方位角.如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向),南偏东45°(东南方向),南偏西60°(西南方向),北偏西60°(西北方向).【题型1】仰角与俯角如图,两幢建筑物AB 和CD ,AB ⊥BD ,CD ⊥BD ,AB =15m ,CD =20m ,AB 和CD 之间有一观景池,小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°,在C 点测得E 点的俯角为45°(点B 、E 、D 在同一直线上),求两幢建筑物之间的距离BD (结果精确到0.1m ).(参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)【变式训练】1.如图,宁宁在家里楼顶上的点A处,测量建在与自家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°,在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m,则电梯楼的高BC为多少米(精确到0.1).2.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距离(结果精确到0.1m).(参考数据:≈1.414,≈1.732)3.如图,热气球的探测器显示,从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°,看这栋大楼底部C的俯角为60°,热气球A的高度为240米,求这栋大楼的高度.4.如图,曦曦在M处用高1米(DM=1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°,再向旗杆方向前进10米到F处,又测得旗杆顶端B的仰角为60°,请求出旗杆AB的高度.【题型2】坡度与坡角如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1,堤坝高BC=50m,则应水坡面AB的长度是多少?【变式训练】1.如图,在坡度为1∶2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米?2.如图,为了缓解交通拥堵,方便行人,在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥,若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°,斜坡CD的坡度为i=1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比),上底BC=10 m,天桥高度CE=5 m,求天桥下底AD的长度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin35°≈ 0.57,cos35°≈ 0.82,tan35°≈ 0.70)3.如图,一楼房AB后有一假山,其坡度为i=1∶3,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米,与亭子距离CE=20米,小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°,求楼房AB的高.(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比).4.如图,曦曦在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60° ,沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45° ,已知OA=100米,山坡坡度为i=1:2, 且O 、A 、B 在同一条直线上。
2023年中考数学解直角三角形填空题专项练习
2023学年中考数学解直角三角形填空题专项练习第一部分:知识点精准记忆一.锐角三角函数的概念:如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c.正弦:sinA =∠A 的对边斜边=a c ;余弦:cosA =∠A 的邻边斜边=b c ;正切:tanA =∠A 的对边∠A 的邻边=a b;二.特殊角的三角函数值:在直角三角形中,由已知元素求其余未知元素的过程叫做解直角三角形.(或b =c 2-a 2在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.(2)坡角与坡度坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫坡度(坡比),用字母i 表示;坡面与水平线的夹角α叫坡角.i =tanα=h l.(3)方位角方位角一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向,旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角),通常表示成北(南)偏东(西)几度.2.解直角三角形的常见模型及辅助线的作法:(1)母子型及其变形(2)背靠背型及其变形1、如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=,则AB的长为.2、如图,先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB为______ 米.3、如图,小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米,此时,他离地面高度为h=2米,则这个土坡的坡角∠A=.4、如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米(用含α的代数式表示).5、如图,一人乘雪橇沿坡比1:的斜坡笔直滑下72米,那么他下降的高度为米.6、如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,AC=6,CD=5,则sin A等于________.7、如图所示,一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离AC=3米,cos∠BAC=0.75,则墙高BC=______米.8、如图,从坡上建筑物AB观测坡底建筑物CD.从A点测得C点的俯角为45°,从B点测得D点的俯角为30°.已知AB的高度为10m,AB与CD的水平距离是OD=15m,则CD的高度为m(结果保留根号)9、如图,从一艘船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC(观测点A与灯塔底部C在一个水平面上),测得灯塔顶部B的仰角为35°,则观测点A到灯塔BC的距离为.(精确到1m)【参考数据:sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7】10、4月26日,2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道A处的俯角为30°,B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是米.11、如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为.12、在△ABC中,AD是BC边上的高,∠C=45°,sinB=,AD=1.则BC的长.13、如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,则AB=.14、如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18cm,深为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1:5,则AC的长度是 cm.15、从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼,探测器显示,看到教学楼底部点C处的俯角为45°,看到楼顶部点D处的仰角为60°,已知两栋楼之间的水平距离为6米,则教学楼的高CD 是.16、如图,热气球的探测器显示,从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底部C 的俯角为60°,热气球A与高楼的水平距离为120m,这栋高楼BC的高度为__________米.17、某轮船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东75°,又继续航行7海里后,在B 处测得小岛P的方位是北偏东60°,则此时轮船与小岛P的距离BP=__________海里.18、如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,那么山高AD为米(结果保留整数,测角仪忽略不计,≈1.414,≈1.732)19、全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外,如图,张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′,测得塑像顶部A处的仰角为45°,点D在观测点C正下方城墙底的地面上,若CD=10米,则此塑像的高AB约为___米.(参考数据:tan78°12′≈4.8)20、如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为 m(结果保留根号)21、如图,传送带和地面所成的斜坡的坡度为1:,它把物体从地面送到离地面9米高的地方,则物体从A到B所经过的路程为米.22、如图,李明在一块平地上测山高,现在B出测得山顶A的仰角为30°,然后再向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为60°,那么山高AD为米.23、如图,为测量某塔AB的高度,在离塔底部10米处目测其塔顶A,仰角为60°,目高1.5米,则求该塔的高度为米.(参考数据:≈1.41,≈1.73)24、如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,那么山高AD为米(结果保留整数,测角仪忽略不计,≈1.414,,1.732)25、如图,已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上,与基地A相距10海里,货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上,那么货轮C与小岛B的距离是海里.26、如图,小明在A时测得某树的影长为2 m,B时又测得该树的影长为8 m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为_________m.27、如图,小明从路灯下,向前走了5米,发现自己在地面上的影子长DE是2米,如果小明的身高为1.6米,那么路灯离地面的高度AB是米.28、轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在观测灯塔A北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是海里.29、如图,一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD.小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB垂直于视线AD,AB=20米,AE=30米,则这块宣传牌CD的高度为_ _.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:≈1.414,≈1.732).。
解直角三角形应用举例
【例】 某灯塔B 在观测点A 的北30°的方向,船M 在灯塔正东方向,且在观测点A 的北60°东的方向距A 30海里,求若船M 在上午11点10分出发,下午1点40分时驶抵灯塔B 处,求船的速度(精确到0.1海里).分析 只需延长MB ,归结为解直角三角形问题来加以解决. 解:延长MB 和正北的方向线相交于C ,得︒=∠90ACB .在MCA ∆Rt 中,有︒=∠60CAM ,所以.315233060sin ;15213060cos 30cos =⨯=︒⋅==⨯=︒⋅=∠⋅=AM MC CAM AM AC又,在ABC ∆Rt 中,︒=∠90ACB ,所以35331530tan =⨯=︒⋅=AC BC . 于是,有31035315=-=-=BC MC MB .据题意,船M 行驶到B 只用时2.5小时,所以,船的速度为9.673.143425310≈⨯≈=(海里/时) 答:这艘船的速度是6.9海里/时.说明 由于南北方向线和东西方向线互相垂直.所以航海问题大都能归结为解直角三角形问题;本例由于所给的已知角都是特殊角,所以也可用平面几何图形的性质和勾股定理来解.如设x BM =(海里),证,1521212121=====AM AC x BM AB BC于是,根据勾股定理,有,67549,301522222==+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 由于0>x ,所以得310=x .下同.【例】 某水坝的断面是梯形,上宽6=DC (米),底角︒=∠60A ,坡BC 的坡比2.1:1=i ,坝高为20米,求坝底的宽(精确到0.1米).分析 分别解FBC AED ∆∆Rt ,Rt . 解:在AED ∆Rt 中,有3320332060cot =⨯=︒⋅=DE AE ; 在BFC ∆Rt 中,有2.11=FB CF ∴ ,242.120=⨯=BF 又,DC EF =,所以5.4153.11302463320≈+=++=AB (米) 答:坝底宽约为41.5米.【例3】 在距山坡脚B 100米的测点A 测山顶上高压输电铁塔顶端M 的仰角为6328'︒,测底端N 的仰角为2434'︒,求铁塔的高(精确到0.1米,如图).分析 ABM ∆和ABN ∆都是直角三角形,且2434,6328'︒=∠'︒=∠BAM BAN .解:在ABN ∆Rt 中,有52.545452.01006328tan ≈⨯='︒⋅=AB BN , 在ABM ∆Rt 中,有,24.696924.01002434tan ≈⨯='︒⋅=AB BM所以,铁塔的高度为7.1472.1452.5424.69≈=-≈-=BN BM MN (米)说明 应当注意,MAN ∠不是视线和水平线的夹角,所以它既不是仰角,也不是俯角.【例】 某直升飞机在我迫击炮阵地M 上方测得敌军雷达站P 的俯角为15°,在向点P 的迎面沿仰角30°的方向飞行,升高100米后再测点P 的俯角为30°,分别求原飞行高度和点M 到点P 的水平距离(3215cot +=︒).分析 据题意,画出图形.如图,仰角︒=∠30FAB ,俯角100,15,30=︒=∠︒=∠BH FAP EBP (m ).解ABG ∆Rt 可得AG 的长.由于BNP ∆Rt 和AMP ∆Rt 都没有已知的边长所以都不能独立解出,所以应列方程组求解.解:在ABG ∆Rt 中,100=BG ,所以310030cot 100=︒=AG ,设y NP x AM ==,,于是分别在AMP ∆Rt 和BNP ∆Rt 中,有⎩⎨⎧︒+=︒=+.30cot )100(,15cot 3100x y x y 消去y ,整理,得,3100,32002)32(31003)100(=∴=+=++x x x x把3100=x 代入②,得31003003)1003100(+=+=y ,于是,有)m (32003003100)3100300()m (3100+=++=+=+==AGPN MN PN PM AM答:我直升机的原飞行高度为3100米,炮兵阵地M 到P 的距离为(3200300+)米.说明 在解题时,首先要准确画图,理解题意,确定可解的直角三角形.如果没有直接可解的三角形,不能用一元方程求解,则应考虑到方程组求解.典型例题五例 如图,在电线杆上离地面高度5m 的C 点处引两根拉线固定电线杆,一根拉线AC 和地面成60°角,另一根拉线BC 和地面成45°角.求两根拉线的总长度(结果用带根号的数的形式表示).分析:分别在两个直角三角形ADC 和BDC 中,利用正弦函数的定义,求出AC 和BC 。
中考专题复习解直角三角形(含答案)
中考专题复习解直⾓三⾓形(含答案)中考数学专题解直⾓三⾓形第⼀节锐⾓三⾓函数1、勾股定理:直⾓三⾓形两直⾓边、的平⽅和等于斜边的平⽅。
2、如下图,在Rt△ABC中,∠C为直⾓,则∠A的锐⾓三⾓函数为(∠A可换成∠B):定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐⾓)余弦(∠A为锐⾓)正切(∠A为锐⾓)(倒数)余切(∠A为锐⾓)3、任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值;任意锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值。
4、任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值;任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值。
5、30°、45°、60°特殊⾓的三⾓函数值(重要)三⾓函数30°45°60°116、正弦、余弦的增减性:当0°≤≤90°时,sin随的增⼤⽽增⼤,cos随的增⼤⽽减⼩。
7、正切、余切的增减性:当0°<<90°时,tan随的增⼤⽽增⼤,cot随的增⼤⽽减⼩。
第⼆节解⾓直⾓三⾓形1、解直⾓三⾓形的定义:已知边和⾓(两个,其中必有⼀条边)→求所有未知的边和⾓。
依据:①边的关系:;②⾓的关系:∠A+∠B=90°;③边⾓关系:(见前⾯三⾓函数的定义)。
2、应⽤举例:(1)仰⾓:视线在⽔平线上⽅的⾓;俯⾓:视线在⽔平线下⽅的⾓。
(2)坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐叫做坡度(坡⽐)。
⽤字母表⽰,即。
坡度⼀般写成的形式,如等。
把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓记作(叫做坡⾓),那么。
【重点考点例析】考点⼀:锐⾓三⾓函数的概念例1 如图所⽰,△ABC的顶点是正⽅形⽹格的格点,则sinA的值为()A.12B.55C.1010D.255对应训练1.在平⾯直⾓坐标系中,已知点A(2,1)和点B(3,0),则sin∠AOB的值等于()A.55B.52C.32D.12考点⼆:特殊⾓的三⾓函数值例2 计算:cos245°+tan30°?sin60°=.对应训练(2012?南昌)计算:sin30°+cos30°?tan60°.考点三:化斜三⾓形为直⾓三⾓形例3 如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长.对应训练3.如图,在Rt △ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三⾓形.若AB=2,求△ABC 的周长.(结果保留根号)考点四:解直⾓三⾓形的应⽤例4 黄岩岛是我国南海上的⼀个岛屿,其平⾯图如图甲所⽰,⼩明据此构造出该岛的⼀个数学模型如图⼄所⽰,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千⽶,CD=32千⽶,请据此解答如下问题:(1)求该岛的周长和⾯积;(结果保留整数,参考数据2≈1.414,3≈1.73 ,6≈2.45)(2)求∠ACD的余弦值.对应训练6.超速⾏驶是引发交通事故的主要原因之⼀.上周末,⼩明和三位同学尝试⽤⾃⼰所学的知识检测车速.如图,观测点设在A 处,离益阳⼤道的距离(AC)为30⽶.这时,⼀辆⼩轿车由西向东匀速⾏驶,测得此车从B处⾏驶到C处所⽤的时间为8秒,∠BAC=75°.(1)求B、C两点的距离;(2)请判断此车是否超过了益阳⼤道60千⽶/⼩时的限制速度?(计算时距离精确到1⽶,参考数据:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千⽶/⼩时≈16.7⽶/秒)【聚焦中考】1.如图,在8×4的矩形⽹格中,每格⼩正⽅形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为()A.13B.12C.22D.32.把△ABC三边的长度都扩⼤为原来的3倍,则锐⾓A的正弦函数值()A.不变B.缩⼩为原来的13C.扩⼤为原来的3倍D.不能确定3.计算:tan45°+ 2cos45°= .4.在△ABC中,若∠A、∠B满⾜|cosA- 12|+(sinB-22)2=0,则∠C= .5.校车安全是近⼏年社会关注的重⼤问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动⼩组设计了如下检测公路上⾏驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取⼀点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21⽶,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.(1)求AB的长(精确到0.1⽶,参考数据:3=1.73,2=1.41);(2)已知本路段对校车限速为40千⽶/⼩时,若测得某辆校车从A到B⽤时2秒,这辆校车是否超速?说明理由.6.如图,某校教学楼AB的后⾯有⼀建筑物CD,当光线与地⾯的夹⾓是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下⾼2⽶的影⼦CE;⽽当光线与地⾯夹⾓是45°时,教学楼顶A在地⾯上的影⼦F与墙⾓C有13⽶的距离(B、F、C在⼀条直线上)(1)求教学楼AB的⾼度;(2)学校要在A、E之间挂⼀些彩旗,请你求出A、E之间的距离(结果保留整数).(参考数据:sin22°≈38,cos22°≈1516,tan22°≈25)【备考真题过关】⼀、选择题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则sinB的值是()A.23B.35C.34D.452.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=5,AC=6,则tanB的值是()A.45B.35C.34D.433.如图,在Rt △ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB= 23,则BC的长为()A.4 B.25C.181313D.1213134.2cos60°的值等于()A.1 B.2C.3D.25.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sinB的值为()A.12B.22C.32D.16.如图,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则C( )A.点B到AO的距离为sin54°B.点B到AO的距离为tan36°C.点A到OC的距离为sin36°sin54°D.点A到OC的距离为cos36°sin54°.7.在“测量旗杆的⾼度”的数学课题学习中,某学习⼩组测得太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为27°,此时旗杆在⽔平地⾯上的影⼦的长度为24⽶,则旗杆的⾼度约为()A.24⽶B.20⽶C.16⽶D.12⽶8.如图,某⽔库堤坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1:3,堤坝⾼BC=50m,则应⽔坡⾯AB的长度是()A.100m B.1003m C.150m D.503m1.如图,为测量某物体AB的⾼度,在D点测得A点的仰⾓为30°,朝物体AB⽅向前进20⽶,到达点C,再次测得点A的仰⾓为60°,则物体AB的⾼度为()A.10⽶B.10⽶C.20⽶D.⽶2.⼩明想测量⼀棵树的⾼度,他发现树的影⼦恰好落在地⾯和⼀斜坡上,如图,此时测得地⾯上的影长为8⽶,坡⾯上的影长为4⽶.已知斜坡的坡⾓为30°,同⼀时刻,⼀根长为1⽶、垂直于地⾯放置的标杆在地⾯上的影长为2⽶,则树的⾼度为()A.(6+)⽶B.12⽶C.(4﹣2)⽶D.10⽶3.如图,从热⽓球C处测得地⾯A、B两点的俯⾓分别是30°、45°,如果此时热⽓球C处的⾼度CD为100⽶,点A、D、B在同⼀直线上,则AB两点的距离是()A.200⽶B.200⽶C.220⽶D.100()⽶⼆、填空题9.在△ABC中∠C=90°,AB=5,BC=4,则tanA= .10.tan60°= .11.若∠a=60°,则∠a的余⾓为,cosa的值为.12.如图,为测量旗杆AB的⾼度,在与B距离为8⽶的C处测得旗杆顶端A的仰⾓为56°,那么旗杆的⾼度约是⽶(结果保留整数).(参考数据:sin56°≈0.829,cos56°≈0.559,tan56°≈1.483)三、解答题13.如图,定义:在直⾓三⾓形ABC中,锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切,记作ctanα,即ctanα== ACBC,根据上述⾓的余切定义,解下列问题:(1)ctan30°= ;(2)如图,已知tanA=34,其中∠A为锐⾓,试求ctanA的值.14.⼀副直⾓三⾓板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=30°,∠A=45°,AC=122,试求CD的长.15.为促进我市经济的快速发展,加快道路建设,某⾼速公路建设⼯程中需修隧道AB,如图,在⼭外⼀点C测得BC距离为200m,∠CAB=54°,∠CBA=30°,求隧道AB的长.(参考数据:sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan54°≈1.38,3≈1.73,精确到个位)16.如图,某⾼速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地⾯1500m,⾼度C处的飞机,测量⼈员测PABQ24.5°49°41°北东南西得正前⽅A 、B 两点处的俯⾓分别为60°和45°,求隧道AB 的长.17.如图,⾃来⽔⼚A 和村庄B 在⼩河l 的两侧,现要在A ,B 间铺设⼀知输⽔管道.为了搞好⼯程预算,需测算出A ,B 间的距离.⼀⼩船在点P 处测得A 在正北⽅向,B 位于南偏东24.5°⽅向,前⾏1200m ,到达点Q 处,测得A 位于北偏东49°⽅向,B 位于南偏西41°⽅向.(1)线段BQ 与PQ 是否相等?请说明理由;(2)求A ,B 间的距离.(参考数据cos41°=0.75)练习作业:1. 已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,根据表中的数据求其它元素的值:a b c ∠A ∠B 12 30° 4 45° 260°5 35 4 28 CD=3,AD=12,求证:AD ⊥BD .3.计算ooo5sin 302cos60tan 45-- oo o o2cos 45tan 30sin 45tan 60-+?4.如图所⽰,已知:在△ABC中,∠A=60°,∠B=45°,AB=443,?求△ABC的⾯积(结果可保留根号).例5.已知:如图所⽰,在△ABC中,AD是边BC上的⾼,E?为边AC?的中点,BC=14,AD=12,sinB=45,求:(1)线段DC的长;(2)tan∠EDC的值.例6.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=10,AC=5,求sinB?sinC的值.。
解直角三角形及其应用
l
α为坡角
h
α
l
铅
α =tan
垂 线
仰角 俯角
水平线
视线
(3)方位角
北
A
30°
西
O
东
45°
B
南
二、题型探究:
问题导入1: 直接考查解直角三角形知识 例 1 如图 X3-1,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,
AC=2 3,求 AB 的长.
图 X3-1
例2: 如图,为了测出某塔CD的高度,在塔前的平地上选 择一点A,用测角仪测得塔顶D的仰角为30°;在A、C之间 选择一点B(A、B、C三点在同一直线上),用测角仪测得塔 顶D的仰角为75°,且A、B间的距离为40 m.求塔高CD(结 果用根号表示).
考点聚焦
归Hale Waihona Puke 探究回归教材三、综合运用
A
D
4
B
CQ E
总结:本节课你学到了那些知识?
作业:完成练习册P130-131(2,3,4, 5)
中考探究:
D A
B
C
专题复习 解直角三角形及应用
一、知识点回顾:
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
解 2.三边之间的关系:
直 a2+b2=c2
角 三 角
A
sinA=
a c
形
3.边角之间
cosA=
b c
的关系
tanA=
a b
B
c a
bC
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
(1)仰角和俯角
视线
h
(2)坡度 i =
中考数学解直角三角形
中考数学解直角三角形一、定义:在一个直角三角形中,斜边上的高分两个直角三角形,其中一个与原三角形相似,另一个与原三角形轴对称。
二、解直角三角形的步骤:1、判断三角形的形状:在一个三角形中,最大的角是90°,所以只要有一个角是90°的三角形就是直角三角形。
2、已知直角边a和斜边c,求另一条直角边b:公式: a2 + b2 = c2或 b = √c2 – a2 (在实数范围内进行运算)。
3、已知直角三角形的一个锐角α和斜边c,求另一直角边b:公式: sinα = a / c或 a = c × sinα,求b: tanα = a / b 或 b = a / tanα。
4、判断一个三角形是否是直角三角形的方法:①有一个角是90°的三角形是直角三角形;②两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形;③一边的中线等于这条中线的二分之一的三角形是直角三角形。
解直角三角形中考题在平面几何中,解直角三角形是中考必考知识点之一,也是初中数学的重点内容之一。
下面从以下几个方面来探讨解直角三角形在中考中的常见题型和解法。
一、锐角三角函数锐角三角函数是解直角三角形的基础知识,主要考查学生对三角函数的掌握程度。
一般题型为:已知一个锐角,求其它锐角的三角函数值。
例题:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,则sinA=____,cosA=____,tanA=____。
解析:根据勾股定理可求得AB=5,再根据锐角三角函数的定义可求得答案。
二、解直角三角形解直角三角形是解直角三角形中最重要的题型,主要考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握以及应用能力。
一般题型为:已知一直角三角形中的两个边长或一个边长和另一个角的三角函数值,求未知边的长度。
例题:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,sinA=0.6,求AC的长。
解析:根据已知条件可求得∠B的三角函数值,再利用勾股定理可求得AC的长。
解直角三角形方位角问题
市一中
九年级数学组
你还记得方位角吗?
Hale Waihona Puke D 40° O 45°A
20°
30° C B
例1、 今年入夏以来,松花江哈尔滨段水
位不断下降,达到历史最低水位.一条船 在松花江某水段自西向东沿直线航行,在 A处测得航标C在北偏东60°的方向 上.前进100米到达B处,又测得航标C在 北偏东45°方向上(如图4).在以航标C 为圆心,120米长为半径的圆形区域内有 浅滩.如果这条船继续前进,是否有被浅 滩阻碍的危险?( 3 ≈1.73).
60 2 30 6 30 2
答:O,B的距离为 60 2 m, A,B的距离为 (30 6+30 2 ) m.
C
30 2
60
图2
如图3,海中有一小岛P,在其距8海里 范围内有暗礁,一轮船自西向东航行, 它在A处时测得小岛P位于北偏东60°, 且A、P之间的距离为16海里,若轮船继 续向东方向航行,请计算轮船有无触礁 的危险,如有危险,轮船自A处开始至 少沿东偏南多少度方向航行,才能安全 通过这一海域.
解:如图1,过点S作AB的垂线,交直线 AB于点C,得到Rt△SBC与Rt△SAC. 由题意知∠SBC=45°,∠SAC=75°-45°=30°. 设SC=x海里,在Rt△SBC中,BC=SC= x. 在Rt△SAC中,∵tan∠SAC= SC , AC
SC ∴AC= tan SAC
12 ∵AC-BC=AB,∴ 3 x-x=30× ,∴x≈8.2>8. 60
AP 16 2
∴∠PAC=45°,从而知∠BAC=15°. 故轮船自A开始,至少应沿东偏南15°的方向航行,才 能安全通过此海域.
1.(南充)如图4,一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º 的方 向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西10º 的方向行驶40海里 到达C地,则A、C两地相距( ). (A)30海里 (B)40海里 (C)50海里 (D)60海里 C 北 A 北
解直角三角形的应用举例
例:我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向,楼高都 是16米,某时太阳光线与水平线的夹角为30 °,如果南 北两楼间隔仅有20米,试求:(1)此时南楼的影子落 在北楼上有多高?(2)要使南楼的影子刚好落在北楼 的墙脚,两楼间的距离应当是多少米?
例:我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向,楼高都 是16米,某时太阳光线与水平线的夹角为30 °,如果南 北两楼间隔仅有20米,试求:(1)此时南楼的影子落 在北楼上有多高?(2)要使南楼的影子刚好落在北楼 的墙脚,两楼间的距离应当是多少米?
[2015· 义乌]如图35-10,从地面上的 点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶 端点P的仰角是45°,向前走6 m到达B 点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角
分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数; (2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m).
备用数据: 3≈1.7, 2≈1.4.
图35-10
小明在距离建筑物BC底部11.4 m
的点F处,测得视线与水平线夹角
∠AED=60°,∠BED=45°.小明
的观测点与地面的距离EF为1.6 m.
(1)求建筑物BC的高度;
(2)求旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m).
(参考数据:
≈1.41,
≈1.73.)
类型之一
利用解直角三角形测量物体的高度(或宽度)
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过 作辅助线构筑直角三角形(作某边上的高是常用的辅 助线);当问题以一个实际问题的形式给出时,要善 于读懂题意,把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系, 所以在复习时要形成知识结构,要把解直角三角形作 为一种工具,能在解决各种数学问题时合理运用。
6.5解直角三角形应用举例(一)课堂练习
6.5解直角三角形应用举例课堂练习(一)(编制:莫大勇)例1.如图1,我直升机于空中A处探测到敌坦克B,此时飞行高度AC=800米,从飞机上看B点的俯角α=25°34′,求飞机A到目标物B的距离。
(精确到1米)例2.敌机在离出地面1255米的上空飞行,此时从地面的高射炮上观测它的仰角为25°5′,求高射炮和敌机的水平距离。
(精确到1米)练习:1.如图,某海岛上的观察所发现海上某船只A,并测得其俯角α=12°28′,已知观察所B的标高为57.34m,当时水位为+1.84m,求观察所B到船只A的水平距离AC。
(精确到1m)2.在同一平面上有两个建筑物AB和CD,它们之间的水平距离为48.4米,从其中一个较高的建筑物的顶端A测得它到另一建筑物顶点C的俯角是34°36′,到其底部D的俯角是42°48′,求这两个建筑物的高。
(精确到1米)3.在高200米的山顶上测得正东两船的俯角为15°和75°,求两船间的距离。
4.如图,由D点测塔顶A点和塔基B点,仰角分别为60°和30°,已知塔基高出地面20米(即BC为20米)求塔身AB的高。
5.有一底部不能到达的建筑物,在地面上A点,测得其顶点C的仰角为30°,向建筑物前进50米到达B点,又测得C的仰角为45°,求建筑物的高。
(精确到米)6.如图,从地面C看学校旗杆顶端A的仰角为α=35°16′,测得C点到旗杆底端B 的距离为17米,求旗杆高AB的长。
(精确到0.1米)7.如图,在高出海平面500米的直升机上,测得两艘船的俯角分别是45°和30°,这两船一个在正东,一个在正西,求它们的距离。
8.在河西A处,测得河东某高为120米的建筑物顶C的仰角为28°18′,求河宽AB。
(精确到1米)9.如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得A点的俯角β=45°,已知塔高60米,求山高CD。
全国优质课一等奖人教版九年级数学下册《解直角三角形及其应用》公开课课件
仰角
而AD是水平线,所以AD⊥BC
∴△ABD, △ACD为直角三角形
且∠C= ∠ α=30°, ∠B= ∠ β =60°
勾股定理( + = )
∠A+∠B=90°
sin A=
直角三角形除直角外五个元素只要
知道其中的2个元素(至少有1个是边),
就可以求出其余的3个未知元素。
cos A=
tan A=
∠所对的边
斜边
∠所邻的边
斜边
∠所对的边
邻边
∠所对的边
=
sin B=
=
=
=
=
30°
【问题】尝试说出A,B关于坐标原点O的位置?
点A位于点O北偏东30°位置,点B位于点O南偏西45°位置
A
西
O
45°
B
南
东
02
解直角三角形应用举例
热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,
热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)。
3
2
2
2
1
2
tan a
3
3
1
sin a
3
A
b
邻边
a 对边
C
01
解直角三角形
一般地,直角三角形中,除直角外共有五个元素,即三条边和两个锐角。
由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫解直角三角形。
【问题】在直角三角形中,除直角外的五个元素之间有哪些关系?
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6.5解直角三角形应用举例课堂练习(四)(编制:莫大勇)
重要概念:(1)坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫
做坡比)用字母i表示,即i
=如下图所示:
坡度一般写成1:m形式,如i=1:5
(2)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,常用字母α表示。
因为
i ==tgα,显然,坡度越大(于是α角越大)坡面就越徒。
例1:如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽20米,坝高85米,斜坡AB的坡度i=1:2,斜坡CD的坡度i′=1:1.5,求斜坡AB的坡角α,坝底宽AD和斜坡AB的长。
(精确到0.1m)
例2:如图,要挖一条横断面为等腰梯形,深1.6m,渠底宽0.8m的水渠,设计渠道内坡度为1:1.5(图中三是挖去部分的横断面,(一)(二)是用挖出来的土填在两旁的填土部分的横断面)求:(1)横断面(等腰梯形)ABCD的面积。
(2)修一条长500米的渠道要挖出的土方数。
(2)(3)
练习:
一、选择题:
1.一直角三角形的周长是2+,斜边上中线长为1,则它的面积是:
A . 2 B.1 C .D .(2+)
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC 的长等于斜边中线的,则较大锐角的斜切值是:
A .
B .
C .
D .
二、解答题:
3.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,已知:DC=3m,CE=4m,AD=5m,CB的坡度i=1:,则坡底AB的长是多少?
4.已知梯形ABCD中,AB∥CD,上底AB=4,一腰AD=5,且tgC =2,sinD=0.8,求梯形的面积。
5.水坝的横断面是梯形ABCD,迎水坡BC的坡角为32°,背水坡AD 的坡度i=1:1.2,坝顶宽DC=2.5米,坝高CE=4.5米,求:(1)坝底宽AB。
(精确到0.1米)(2)50米长的水坝需要多少土方?
(7)
6.如图(8)所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,DE⊥AC,若∠DAE=α,AE=1,求AB的长。
7.涌泉乡准备沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽2.0米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米,坝长90米。
(如图9所示),问完成这一工程需多少方土。
(保留两个有效数字)
8.如图,水库大坝横断面是梯形,坝顶BC宽为6米,坝高为23米,斜坡AB的坡度i=1:,斜坡CD的坡度i′=1:1,求斜坡AB的长,坡角α和坝底宽AD。
(结果保留根号)
9.有一段防洪大堤,其横断面为梯形ABCD,AB∥DC,斜坡AD为坡度i1=1:1.2,斜坡BC的坡度i2=1:0.8,大坝顶宽DC为6米,为了增强抗洪能力,现将大堤加高,加高部分的横断面为梯形DCFE,EF∥DC,点E、F分别在AD、BC的延长线上(如图11),当新大堤宽EF为3.8米时,大坝加高了几米?
10.如图,某水库大坝的横断面是等腰梯形,坝顶宽6米,坝高10米,斜坡AB的坡度为1:2(AR:BR),现要加高2米,在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下,加固一条长为50米的大坝,需要多少土方?。