高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题5 平面解析几何 突破点15 圆锥曲线中的综合问题(酌情自选)课件 理
(全国通用版)高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线文-2022年学习资料
考情考向分析]-1.以选择题、填空题形式考查圆推曲线的方程、几何性质（特别-是离心率.-2以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系（弦长、中点等）
内容索引-热点分类突破-真题押题精练
热点分类突破(全国通用版)2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线文
2已知双曲线C:广-芳=1c0,>0的焦距为2c,直线/过点，0l日-与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为-4V2-半径 圆与直线1交于M,N两点，若MN=3C,-则双曲线C的渐近-线方程为-A.y=±V2x-B=±V3x-C.y=±2x-D.y=±4x-解析-答案
热点三-直线与圆锥曲线-判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法-代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组，-消 y或x得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的-解即为交点坐标，-2几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数，
利32018衡水金卷调研已知椭圆+点=1a>b>0的左、右焦点分别-为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点-1若直线AB与椭圆的长轴垂直，A =20,求椭圆的离心率；-解由题意可知，直线AB的方程为x=-C,-2b21-∴.AB1=-a=24,直线AB的斜率为1，AB1=a十，-求椭圆的短轴与长轴的比值.-解答
,2-例112018：乌鲁木齐诊断椭圆的离心率为2，F为椭圆的一个焦-点，若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称，则椭圆方程为-x2 y2-A 8+=1-B+的=1-+-1号+-1-解析-答案
22018龙岩质检已知以圆C:x-12+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1-与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点，BM与 直线y=-2垂直，垂足为M,则BMI-AB的最大值为-B.2-C.-1-D.8-解析-答案
高考高三二轮复习计划策略模板(7篇)
高考高三二轮复习计划策略模板（7篇）高考高三二轮复习计划策略模板篇1一二轮复习指导思想：高三第一轮复习一般以知识技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。
而第二轮复习承上启下，是知识系统化条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质能力发展的关键时期，因而对讲练检测等要求较高。
二二轮复习形式内容：以专题的形式，分类进行。
具体而言有以下几大专题。
(1)集合函数与导数。
此专题函数和导数应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。
每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况在客观题中考查的导数的几何意义和导数的计算属于容易题;二在解答题中的考查却有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等。
(预计5课时)(2)三角函数平面向量和解三角形。
此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。
近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点，我们可以关注。
平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的只是交汇点，它与三角函数解析几何都可以整合。
(预计2课时)(3)数列。
此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。
例如，主要是数列与方程函数不等式的结合，概率向量解析几何为点缀。
数列与不等式的综合问题是近年来的热门问题，而数列与不等式相关的大多是数列的前n项和问题。
(预计2课时)(4)立体几何。
此专题注重几何体的三视图空间点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点(理科)。
(预计3课时)(5)解析几何。
此专题中解析几何是重点，以基本性质基本运算为目标。
直线与圆锥曲线的位置关系轨迹方程的探求以及最值范围定点定值对称问题是命题的主旋律。
2019届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分 二轮课时专题5 解析几何 2 圆锥曲线
第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第45~47页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2， 所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a 2-2ac-5c 2=0，所以5c 2+2ac-3a 2=0.所以5e 2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2019·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即22因为离心率e=ca=32，所以ba21-ca⎛⎫⎪⎝⎭12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2. ②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(20)的距离与点P到定直线l：x=2222，求动点P的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358ca AF AF=⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.ca=⎧⎨=⎩，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为216x+212y=1.(2)设点P(x，y)，依题意，得22(-2)|-22|x yx+=22，整理，得24x+22y=1，所以动点P的轨迹C'的方程为24x+22y=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(1)(2019·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2分别为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.(例2(1))(2)(2019·临川一中质检)如图(2)，已知点A，F分别是2 2 xa-22yb=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS=2S△POQ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2019·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是.【点拨】依题设得出关于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】75(2)2(3)13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A1B2的方程为-xa+yb=1，直线B1F的方程为xc+-yb=1.联立方程组解得T2()--ac b a ca c a c+⎛⎫⎪⎝⎭，.又M()-2(-)ac b a ca c a c⎛⎫+⎪⎝⎭，在椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上，故22(-)ca c+22()4(-)a ca c+=1，即e2+10e-3=0，解得e=275.(2)由题意，得A(-a，0)，F(c，0)，直线PQ，RS的方程分别为x=-a，x=c，与渐近线y=±ba x 联立，可求得P(-a，b)，Q(-a，-b)，R-bcca⎛⎫⎪⎝⎭，，Sbcca⎛⎫⎪⎝⎭，，则S△ROS=12·2bca·c=2bca，S△POQ =12a·2b=ab，于是由S△ROS=2S△POQ，得2bca=2ab，即22ca=2，所以e=2.(3)设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c=PF2=2a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=5cc+·5-cc=2225-cc=2125-1c.又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c<4，0<225c-1<3，所以e1e2=2125-1c>13.变式1(2019·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2Mayc⎛⎫⎪⎝⎭，.由2ABk=k AM，得ba=2Myaac+，所以y M=b1ac⎛⎫+⎪⎝⎭.由1FBk=k FM，得bc=2-Myacc，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2019·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2019·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 .(变式3)【答案】112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF=FA ，而FA=2a c -c ，PF ≤a+c ，所以2a c -c ≤a+c ，即a 2≤ac+2c 2.又e=ca，所以2e 2+e ≥1，所以2e 2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2019·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a =32，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB uuu r ·A C uuu r =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2019·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l的斜率为12，求APAQ的值；(2)若PQu u u r=λAPuuu r，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知2222422acaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得22.ab=⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x+22y=1，圆的方程为x2+y2=4.由题知直线l的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得3y2-4y=0，所以y P=4 3.由222-24x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得5y2-8y=0，所以y Q=85.所以APAQ=PQyy=43×58=56.(2)因为PQu u u r=λAPuuu r，且APuuu r，PQu u u r同向，则λ=PQAP=-AQ APAP=AQAP-1，设直线l：y=k(x+2)，联立方程组224(2)x yy k x⎧+=⎨=+⎩，，消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421k k +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2019·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为 .【答案】22【解析】根据双曲线的方程知a=22a=22.(2019·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x 为双曲线的渐近线，则b a =1，又a 2+b 2=c 2，所以a 2=12，b 2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2019·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】92【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2019·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】33【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=3所以e=ca=1212F FAF AF=33nn=33.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第23~24页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2019·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2019·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2019·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2019·普陀区调研)离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2019·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2019·盐城中学)设椭圆22xm+..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2019·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2019·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、 解答题9.(2019·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M u u u u r =λMP u u u r(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2019·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB u u u r=1，|OF u u u r |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎭，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(22)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x ，即y=±2x.3. 43 【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1，焦点F (1，0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0+1=5，所以x 0=4，所以20y=4x 0=16，y 0=4，从而点A (4，4)，直线AF 的斜率k=4-04-1=43.4.2 【解析】不妨设椭圆方程为22x a +22y b =1(a>b>0)，则有222-1b a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221b a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF 2+AF 2+AB=4a=8，因为BF 2+AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A 3-2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B3--2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c +294b =1.又c 2=a 2-b 2=4-b 2，所以24-4b +294b =1，即1-24b +294b =1，所以24b =294b ，解得b 2=3，所以6.4【解析】由题意可知抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以47.【解析】由题意知A (-a ，0)，B (a ，0)，取P (0，b )，则k AP ·k BP =b a×-b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=3.8. 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1=F 1F 2=2c 时，PF 2=2a-PF 1=2a-2c ，即2c>2a-2c ，解得e=c a >12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF 2=F 1F 2=2c 时，PF 1=2a-PF 2=2a-2c ，即2a-2c>2c ，且2c>a-c ，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、 解答题9. (1) 因为28x +24y =1，所以F 1(-2，0)，F 2(2，0)，所以k OP=22F Mk1F M k=4，所以直线F 2M 的方程为x-2)，直线F 1M 的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M 的横坐标为65.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM u u u u r=2MPuuu r ，所以1FM u u u u r =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M u u u u r =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P uuu r=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )， 所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF uuu r ·F B uuu r=1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP uuu r·FQ u u u r=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件， 所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)， 直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)， 解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +.由24m+23n=1，得n2=321-4m⎛⎫⎪⎝⎭，代入上式得24x+23y=1.所以点M恒在椭圆C上.。
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质核心考点1圆锥曲
第2讲 圆锥曲线的方程和性质高频考点高考预测椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程 重点考查椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；抛物线定义和性质的应用，常与三角、平面向量、圆相结合，以选择填空为主.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质直线和椭圆、抛物线、双曲线的位置关系1. (2023·全国新高考Ⅰ卷)设椭圆C 1：x2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，C 2：x24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝( A )A.233B ． 2C ． 3D ． 6【解析】 由椭圆C 2：x 24＋y 2＝1可得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝4－1＝3，∴椭圆C 2的离心率为e 2＝32，∵e 2＝3e 1，∴e 1＝12，∴c 1a 1＝12，∴a 21＝4c 21＝4(a 21－b 21)＝4(a 21－1)，∴a ＝233或a ＝－233(舍去)．故选A.2. (2023·全国新高考Ⅱ卷)已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2，直线y ＝x ＋m 与C 交于点A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍，则m ＝( C )A.23 B ．23C ．－23D ．－23【解析】 记直线y ＝x ＋m 与x 轴交于M (－m,0)，椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由△F 1AB 面积是△F 2AB 的2倍，可得|F 1M |＝2|F 2M |，∴|－2－x M |＝2|2－x M |，解得x M ＝23或x M ＝32，∴－m ＝23或－m ＝32，∴m ＝－23或m ＝－32，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1y ＝x ＋m可得，4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∵直线y ＝x ＋m 与C 相交，所以Δ＞0，解得m 2＜4，∴m ＝－32不符合题意，故m ＝－23.故选C. 3. (多选)(2023·全国新高考Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( AC )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形【解析】 直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，可得p2＝1，所以p＝2，所以A 正确；抛物线方程为：y 2＝4x ，与C 交于M ，N 两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x 2－10x ＋3＝0，x M ＋x N ＝103，所以|MN |＝x M ＋x N ＋p ＝163，所以B 不正确；M ，N 的中点的横坐标为53，中点到抛物线的准线的距离为：1＋53＝83，所以以MN 为直径的圆与l 相切，所以C 正确；3x 2－10x ＋3＝0，不妨可得x M ＝3，x N ＝13，y M ＝－23，y N ＝233，|OM |＝9＋12＝21，|ON |＝19＋129＝133，|MN |＝163，所以△OMN 不是等腰三角形，所以D 不正确．故选AC.4. (2022·全国甲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→·BA 2→＝－1，则C 的方程为( B )A.x 218＋y 216＝1 B ．x 29＋y 28＝1C.x 23＋y 22＝1 D ．x 22＋y 2＝1【解析】 因为离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝13，解得b 2a 2＝89，b 2＝89a 2，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，则A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 为上顶点，所以B (0，b )．所以BA 1→＝(－a ，－b )，BA 2→＝(a ，－b )，因为BA 1→·BA 2→＝－1，所以－a 2＋b 2＝－1，将b 2＝89a 2代入，解得a 2＝9，b 2＝8，故椭圆的方程为x 29＋y 28＝1.故选B.5. (2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( B )A ．2B ．2 2C ．3D ．3 2【解析】 由题意得，F (1,0)，则|AF |＝|BF |＝2，即点A 到准线x ＝－1的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A (1,2)，所以|AB |＝3－12＋0－22＝2 2.故选B.6. (2022·全国甲卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( A )A.32B ．22C ．12D ．13【解析】 A (－a,0)，设P (x 1，y 1)，则Q (－x 1，y 1)，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a，故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21－x 21＋a 2＝14，又x 21a 2＋y 21b 2＝1，则y 21＝b 2a 2－x 21a2，所以b 2a 2－x 21a2－x 21＋a2＝14，即b 2a 2＝14，所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.7. (2022·全国甲卷)若双曲线y 2－x 2m2＝1(m >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0相切，则m ＝33. 【解析】 双曲线y 2－x 2m 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±xm，即x ±my ＝0，不妨取x ＋my ＝0，圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，所以圆心为(0,2)，半径r ＝1，依题意圆心(0,2)到渐近线x ＋my ＝0的距离d ＝|2m |1＋m2＝1，解得m ＝33或m ＝－33(舍去)． 8. (2021·全国新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±3x .【解析】 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .故答案为y ＝±3x .9. (2022·全国新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE的周长是_13__.【解析】 ∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，∴不妨可设椭圆C ：x 24c 2＋y 23c2＝1，a ＝2c ，∵C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，∴△AF 1F 2为等边三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，∴k DE ＝tan 30°＝33，由等腰三角形的性质可得，|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，设直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将其与椭圆C 联立化简可得，13x 2＋8cx －32c 2＝0，由韦达定理可得，x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c213，|DE |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝13＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132＋128c 213＝4813c ＝6，解得c ＝138，由椭圆的定义可得，△ADE 的周长等价于|DE |＋|DF 2|＋|EF 2|＝4a ＝8c ＝8×138＝13.10. (2023·全国新高考Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为 355.【解析】 方法一：如图，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，n )，设A (x ，y )，则F 2A →＝(x －c ，y )，F 2B →＝(－c ，n )，又F 2A →＝－23F 2B →，则⎩⎪⎨⎪⎧x －c ＝23c ，y ＝－23n ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53c ，－23n ，又F 1A →⊥F 1B →，且F 1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83c ，－23n ，F 1B →＝(c ，n )，则F 1A →·F 1B →＝83c 2－23n 2＝0，化简得n 2＝4c 2.又点A在C 上，则259c 2a 2－49n 2b 2＝1，整理可得25c 29a 2－4n 29b 2＝1，代入n 2＝4c 2，可得25c 2a 2－16c 2b 2＝9，即25e2－16e 2e 2－1＝9，解得e 2＝95或15(舍去)，故e ＝355.方法二：由F 2A →＝－23F 2B →，得|F 2A →||F 2B →|＝23，设|F 2A →|＝2t ，|F 2B →|＝3t ，由对称性可得|F 1B →|＝3t ，则|AF 1→|＝2t ＋2a ，|AB →|＝5t ，设∠F 1AF 2＝θ，则sin θ＝3t 5t ＝35，所以cos θ＝45＝2t ＋2a 5t ，解得t ＝a ，所以|AF 1→|＝2t ＋2a ＝4a ，|AF 2→|＝2a ，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ＝16a 2＋4a 2－4c 216a 2＝45，即5c 2＝9a 2，则e ＝355.核心考点1 圆锥曲线的定义及标准方程核心知识· 精归纳1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：|MF 1|－|MF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)． 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px (p ＞0)；y 2＝－2px (p ＞0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)．多维题组· 明技法角度1：椭圆的定义及标准方程1. (2023·浙江二模)已知F 是椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左焦点，点M 在C 上，N 在⊙P ：x2＋(y －3)2＝2x 上，则|MF |－|MN |的最大值是( A )A ．2B ．10－1 C.13－1D ．13＋1【解析】 由⊙P ：x 2＋(y －3)2＝2x ，可得(x －1)2＋(y －3)2＝1，可得圆⊙P 的圆心坐标为P (1,3)，半径r ＝1，由椭圆C ：x 24＋y 23＝1，可得a ＝2，设椭圆的右焦点为F 1，根据椭圆的定义可得|MF |＝2a －|MF 1|，所以|MF |－|MN |＝2a －(|MF 1|＋|MN |)，又由|MN |min ＝|MP |－r ，如图所示，当点P ，M ，N ，F 1四点共线时，即为P ，N ′，M ′，F 1时，|MF 1|＋|MN |取得最小值，最小值为(|MF 1|＋|MN |)min ＝(|MF 1|＋|MP |－r )＝|PF 1|－r ＝3－1＝2，所以(|MF |－|MN |)max ＝2×2－2＝2.故选A.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 【解析】 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.角度2：双曲线的定义及标准方程3.设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( C )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2【解析】 由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝8 2.故选C.4. (多选)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( AB )A.x 24－y 22＝1 B ．y 24－x 28＝1C.x 24－y 28＝1 D ．y 24－x 22＝1【解析】 由题意，设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)，又2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，则m ＝2；当m <0时，－m ＝4，则m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.故选AB.角度3：抛物线的定义及标准方程5. (2023·新乡三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，C 上一点M (x 0，x 0)(x 0≠0)满足|MF |＝5，则p ＝( D )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】 依题意得x 20＝2px 0，因为x 0≠0，所以x 0＝2p .由|MF |＝x 0＋p2＝5，解得p ＝2.故选D.6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_x 2＝4y __.【解析】 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .方法技巧· 精提炼1.求解圆锥曲线标准方程的方法(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2和p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．2.焦点三角形的面积公式(1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中两焦点F 1，F 2；点P 为椭圆上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2·tan θ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(3)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦(即焦点弦)，焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S △AOB ＝p 22sin α＝12|AB ||d |＝12|OF |·|y 1－y 2|.加固训练· 促提高1. (2023·未央区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M为C 上一点，若MF 1的中点为(0,1)，且△MF 1F 2的周长为8＋42，则C 的标准方程为( A )A.x 216＋y 28＝1 B ．x 28＋y 24＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 232＋y 216＝1 【解析】 ∵M 1F 的中点为B (0,1)，∴OB 是△MF 1F 2的中位线，则MF 2＝2OB ＝2，且△MF 1F 2为直角三角形，∵△MF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝8＋42，∴a ＋c ＝4＋22①，∵MF 2＝2，∴MF 1＝2a －2，∵(MF 1)2－(MF 2)2＝4c 2，∴(2a －2)2－4＝4c 2，即(a －1)2－1＝c 2②，由①②得，a ＝4，c ＝22，b 2＝16－8＝8，∴C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.故选A.2.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为_9__.【解析】 因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9.。
高考数学二轮复习 专题知识突破 解答题六大题型解答策略 2133 立体几何课件(文、理)新人教A版
类型二
线面位置关系的证明、空间角的计算
【例 2】 (理)如图，在多面体 ABCDEF 中，ABCD 为正方形，
ED⊥平面 ABCD，FB∥ED，且 AD＝DE＝2BF＝2.
第十八页，共39页。
(1)求证：AC⊥EF； (2)求二面角 C－EF－D 的大小； (3)设 G 为 CD 上一动点，试确定 G 的位置使得 BG∥平面 CEF， 并证明你的结论．
第八页，共39页。
[标准解答] (1)证明：连接 AD1， ∵AD1 綊 BC1 綊 B1E，
∴四边形 AB1ED1 是平行四边形． 则 D1E∥AB1， 又 AB1⊂平面 AB1C，D1E⊄平面 AB1C， ∴D1E∥平面 ACB1.(4 分)
第九页，共39页。
(2)证明：由已知得 B1C2＋B1E2＝4＝CE2， 则 B1E⊥B1C， 由长方体的特征可知：CD⊥平面 B1BCE 而 B1E⊂平面 B1BCE， 则 CD⊥B1E， ∴B1E⊥平面 DCB1.
第三十三页，共39页。
易知平面 ADB 的法向量为O→C＝(0,0,2) 设平面 ACD 的一个法向量为 m＝(x，y，z)，
m·A→C＝0， 则m·A→D＝0，
即2y3＋x＋2zy＝＝00，，
取 x＝1，则 y＝－ 3，z＝ 3，
即 m＝(1，－ 3， 3)，
第三十四页，共39页。
→
∴cos〈O→C，m〉＝|OO→CC|·|mm|＝22×
第一部分(bù fen) 高考专题串串讲
第一页，共39页。
第二(dìèr)版块 考前抢分策略
第二页，共39页。
专题一 备战(bèi zhàn)技法指导
第三页，共39页。
第三讲 解答题六大(liù dà)题型解答策略
备战2023年高考数学二轮复习专题提能 破解解析几何中重、难点策略
破解解析几何中重、难点策略
1
二轮·数学
(一)用向量破解圆锥曲线中的夹角与共线问题 1．利用向量解决两直线的平行或点共线问题 证明两直线平行有两种方法：一是利用a与b共线的充要条件：当且仅 当存在实数λ，使a＝λb成立；二是利用向量的坐标形式，即利用两个 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件x1y2－x2y1＝0解答，其中， a，b为两直线的方向向量．证明三点共线可转化为两个向量共线来证 明．
[例 2] 已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)过点(0， 2)， 且离心率为 22． (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线 l：x＝my－1(m∈R)交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G－94，0与 以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
9
b＝ 2， [解析] (1)由已知得ac＝ 22，
a2＝b2＋c2，
a＝2，
解得b＝ 2， c＝ 2.
所以椭圆 E 的方程为x42＋y22＝1．
10
二轮·数学
(2)点 G 在以线段 AB 为直径的圆外．理由如下： 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则G→A＝x1＋94，y1，G→B＝x2＋94，y2．
x＝my－1， 由x42＋y22＝1，
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二轮·数学
[对点训练] 设椭圆 E 的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (a,0)，点 B 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|＝2|MA|，直线 OM 的斜率为105． (1)求 E 的离心率 e； (2)设点 C 的坐标为(0，－b)，点 N 为线段 AC 的中点，求证：MN⊥AB．
15
高考数学二轮复习专题
高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。
此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。
每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。
2专题二：数列、推理与证明。
数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。
3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。
平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。
近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。
平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。
4专题四：立体几何。
注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。
5专题五：解析几何。
直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。
近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。
我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。
6专题六：概率与统计、算法与复数。
要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。
高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。
高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。
培优提能课(五) 解析几何 2023高考数学二轮复习课件
由题意，Δ＝0，即[4k(y0－kx0)]2－4(1＋2k2)[2(y0－kx0)2－4]＝0 且 x02＋2y20
＝4， 整理得(x20－4)k2－2x0y0k＋y20－2＝0.
3.
因为点 B，B′关于 x 轴对称，所以 B′－38＋34kk2，4
3k2－3 3＋4k2
3，
所以直线 PB′的方程为 y＝
3－4
3k2－3 3＋4k2
8 3k
3 x＋
3＝43kx＋
3，
3＋4k2
令
y＝0，得
x＝－4
33k，所以
M－4
33k，0.
令 y＝kx＋
3＝0，得
x＝－
k3，所以
N－
k3，0.
目录
02
提能2 隐圆问题
目录
隐圆问题在近几年各地模考和高考的填空题和解答题中都出现过，难 度为中、高档题．在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目 中，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来 求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．
目录
角度一 利用圆的定义(垂直)确定隐圆
所以|BM|＝
1＋2xy002x0（x204＋－42yy2020）＋x0
＝ x20＋8 4y20，
目录
|AM|＝
1＋－2xy002x0（x204＋－42yy2002）－x0
＝ 2x|02x＋0y40|y20，
即 S△ABM＝12|AM||BM|＝x820|＋x0y40y|02≤2， 当且仅当xx0202＝ ＋42yy2200， ＝4，即 x02＝38，y02＝23时取等号． 故△ABM面积的最大值为2.
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题
设 kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2).
kx－y－(k＋2)＝0，
联立x32＋y42＝1，
得
(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0，
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x1＋x2＝63kk(22＋＋4k)， 可得x1x2＝33kk(42＋＋4k)，
专题五 解析几何
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【解析】 (1)因为点 A(2，1)在双曲线 C：ax22－a2y－2 1＝1(a>1)上， 所以a42－a2－1 1＝1，解得 a2＝2， 即双曲线 C：x22－y2＝1， 易知直线 l 的斜率存在，
专题五 解析几何
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专题五 解析几何
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若要使 α－β 最大，则 β∈0，π2， 设 kMN＝2kAB＝2k>0，则， tan (α－β)＝1＋tantaαn－tαatnanβ β＝1＋k2k2＝1k＋12k≤2
1 1
＝ 42，
k·2k
当且仅当1k＝2k 即 k＝ 22时，等号成立，
所以当 α－β 最大时，kAB＝ 22，
专题五 解析几何
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直线 MD：x＝x1y－1 2·y＋2， 代入抛物线方程可得 y2－4(x1y－1 2)·y－8＝0， Δ>0，y1y3＝－8，所以 y3＝2y2，同理可得 y4＝2y1， 所以 kAB＝y3＋4 y4＝2(y14＋y2)＝kM2N， 又因为直线 MN、AB 的倾斜角分别为 α，β， 所以 kAB＝tan β＝kM2N＝tan2 α，
所以椭圆方程为x42＋y2＝1.
高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题5解析几何微专题解析几何问题的方法技巧课件
典例1 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x42＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共
焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2
为矩形，则 C2 的离心率是( D )
A. 2
B． 3
C．32
D．
6 2
【解题欣赏】 由已知，得 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，设双曲线 C2 的实半轴长为 a，由椭圆及双曲线的定义和已知，
技法三 巧设参数 换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、 不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解 题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍． 常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在 换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值 范围或改变原题条件．
可得 3－t2＞0，即 0＜t2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即 d＝ |51－＋mt2| ＝ 2＋1＋2tt22＝2 1＋t2＝r， 而由 0＜t2＜3 可得 2＜r＜4. 故 r 的取值范围为(2,4)．
技法四 妙借向量 平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、 形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份， 是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效 提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．
整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是 x0＝1－＋2ka2， 代入②，得(1＋k2)·1＋4ak222＜a2， 解得 k2＞3，所以|k|＞ 3.
方法三：设 P(acos θ，bsin θ)(0≤θ＜2π)，则线段 OP 的中点 Q 的坐
标为a2cos
θ，b2sin
(山东专版)高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题5 平面解析几何 突破点14 圆锥曲线的定义、
专题限时集训(十四)圆锥曲线的定义、方程、几何性质[A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·全国甲卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1C.32D ．2 D [∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)． 将点P (1,2)的坐标代入y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.故选D.]2．(2016·某某一模)过点A (0,1)作直线，与双曲线x 2－y 29＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( )A ．0B ．2C ．4D ．无数C [过点A (0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A (0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]3．(2016·某某二模)椭圆y 2＋x 2m2＝1(0＜m ＜1)上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则m 的取值X围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B [当点P 是短轴的顶点时∠F 1PF 2最大，因此若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则∠F 1PF 2≥90°，所以∠F 2PO ≥45°(O 是原点)，从而c a ≥22，即1－m 2≥12，又0＜m ＜1，所以0＜m ≤22.] 4．(2016·某某模拟)设点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＋S △IPF 2＝2S △IF 1F 2，则该椭圆的离心率为( )A.12B.22 C.32D.3－12A [因为S △IPF 1＋S △IPF 2＋S △IF 1F 2＝S △PF 1F 2，所以3S △IF 1F 2＝S △PF 1F 2，设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则有32×2c ×r ＝12×(|PF 1|＋|PF 2|＋2c )×r ，整理得|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，即2a ＝4c ，所以e ＝12.]5．(2016·某某模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) 【导学号：67722052】A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 D [椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.因为双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，所以渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，所以b 2＝5，所以a 2＝4b 2＝20.所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.故选D.]二、填空题6．(2016·某某二模)双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则P 点的横坐标为________．3＋12[根据双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，又|PF 1|＝c ＋2，所以|PF 2|＝c ，由勾股定理得(c ＋2)2＋c 2＝4c 2，即c 2－2c －2＝0，解得c ＝3＋1，根据△OPF 2是等边三角形得P 点的横坐标为3＋12.] 7．(2016·某某二模)已知F 1，F 2为x 2a 2＋y 216＝1的左、右焦点，M 为椭圆上一点，则△MF 1F 2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则a 2＝________.【导学号：67722053】25 [由题意得内切圆的半径等于32，因此△MF 1F 2的面积为12×32×(2a ＋2c )＝3a ＋c 2，即3a ＋c2＝12×|y M |×2c ，因为满足条件的点M 恰好有2个，所以M 为椭圆短轴端点，即|y M |＝4，所以3a ＝5c 而a 2－c 2＝16，所以a 2＝25.]8．(2016·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)交于第一、二象限内的两点分别为A ，B ，若△OAB 的外接圆的圆心为(0，2a )，则双曲线C 1的离心率为________．6－ 2 [由双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1，可得渐近线为y ＝±ba x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba x ，x 2a 2＋y2b 2＝1，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫a 2，b 2， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－2a 2＝2a ， 化为b 2－4ab ＋a 2＝0， 解得b a＝2－ 3.∴双曲线C 1的离心率为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝6－ 2.]三、解答题9．(2016·莱芜模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(2，2)，其焦点在⊙O ：x 2＋y 2＝4上，A ，B 是椭圆的左右顶点．图141(1)求椭圆C 的方程；(2)M ，N 分别是椭圆C 和 ⊙O 上的动点(M ，N 不在y 轴同侧)，且直线MN 与y 轴垂直，直线AM ，BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，求证：PN ⊥QN .[解] (1)由椭圆焦点在⊙O ：x 2＋y 2＝4上可知，c ＝2，1分∴b 2＝a 2－4，将点(2，2)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得4a 2＋2a 2－4＝1，即a 4－10a 2＋16＝0，解得a 2＝8，或a 2＝2(舍)，3分 ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.4分(2)证明：设M (x 0，y 0)，直线AM 的斜率显然存在，设直线AM 方程为y ＝k (x ＋22)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝k x ＋22，可得(1＋2k 2)x 2＋82k 2x ＋16k 2－8＝0.6分∴－22x 0＝16k 2－81＋2k 2，得x 0＝22－42k 21＋2k 2，y 0＝42k 1＋2k 2，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－42k 21＋2k 2，42k 1＋2k 2，8分直线BM 的斜率为42k1＋2k222－42k 21＋2k2－22＝－42k 82k2＝－12k ，9分∴直线BM 的方程为y ＝－12k (x －22)．令x ＝0，可得P (0,22k )，Q ⎝⎛⎭⎪⎫0，2k ，10分设N (x N ，y 0)，则PN →＝(x N ，y 0－22k )，QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x N ，y 0－2k ，PN →·QN →＝x 2N ＋y 20－⎝⎛⎭⎪⎫22k 2＋2ky 0＋4，11分又x 2N ＋y 20＝4，y 0＝42k 1＋2k2，∴PN →·QN →＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫22k 2＋2k 42k 1＋2k 2＋4＝8－8＝0，12分∴PN ⊥QN .13分10．(2016·全国甲卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值X 围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0).2分由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.4分因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.5分(2)由题意t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t 3－tk 23＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t 1＋k23＋tk2.7分由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t 1＋k23k 2＋t.由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k 2k －1k 3－2.9分t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝k －2k 2＋1k 3－2＜0，即k －2k 3－2＜0.10分 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2＞0，k 3－2＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2＜0，k 3－2＞0，解得32＜k ＜2.因此k 的取值X 围是(32，2).12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·某某二模)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，O 为坐标原点，若以点M (0,8)为圆心，|OA |的长为半径的圆交抛物线C 于A ，B 两点，且△ABO 为等边三角形，则p 的值是( )A.38B ．2C ．6 D.23D [由题意知|MA |＝|OA |，所以点A 的纵坐标为4，又△ABO 为等边三角形，所以点A 的横坐标为433，又点A 是抛物线C 上一点，所以163＝2p ×4，解得p ＝23.]2．(2016·某某二模)已知焦点在x 轴上的椭圆方程为x 24a ＋y 2a 2＋1＝1，随着a 的增大该椭圆的形状( )A ．越接近于圆B ．越扁C ．先接近于圆后越扁D ．先越扁后接近于圆D [由题意知4a ＞a 2＋1且a ＞0，解得2－3＜a ＜2＋3，又e 2＝1－b 2a 2＝1－a 2＋14a＝1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .因此当a ∈(2－3，1)时，e 越来越大，当a ∈(1,2＋3)时，e 越来越小，故选D.]3．(2016·某某二模)如图142，已知点P 在以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为( )图142A. 3B.3＋12C ．2D ．23－1B [由题意知四边形F 1F 2PQ 的边长为2c ，连接QF 2(图略)，由对称性可知，|QF 2|＝|QF 1|＝2c ，则三角形QPF 2为等边三角形．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则∠PF 2H ＝60°，因为|PF 2|＝2c ，所以在直角三角形PF 2H 中，|PH |＝3c ，|HF 2|＝c ，则P (2c ，3c )，连接PF 1，则|PF 1|＝23c .由双曲线的定义知，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝23c －2c ＝2(3－1)c ，所以双曲线的离心率为c a＝13－1＝3＋12.] 4．(2016·某某二模)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) 【导学号：67722054】A.33B ．1C.233D ．2 A [设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2.∵a ＋b ＝AF ＋BF ＝2MN ，∴|AB |2≥34|2MN |2，∴|MN ||AB |≤33.] 二、填空题5．(2016·某某二模)设F 1，F 2是椭圆x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，且AF 2⊥x 轴，则b 2＝________.23[由题意F 1(－c,0)，F 2(c,0)，AF 2⊥x 轴，∴|AF 2|＝b 2，∴A 点坐标为(c ，b 2)，设B (x ，y )，则|AF 1|＝3|F 1B |，∴(－c －c ，－b 2)＝3(x ＋c ，y )，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c ，－13b 2，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b 22b2＝1.∵1＝b 2＋c 2，∴b 2＝23.]6．过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交其于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．322[设直线AB 的倾斜角为θ(0＜θ＜π)及|BF |＝m ， ∵|AF |＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3， ∴2＋3cos θ＝3，即cos θ＝13，则sin θ＝223.∵m ＝2＋m cos(π－θ)，∴m ＝21＋cos θ＝32，∴△AOB 的面积为S ＝12×|OF |×|AB |×sin θ＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322.] 三、解答题7．如图143，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |.图143(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1617，217在椭圆C 内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ .求直线l 的方程及椭圆C 的方程．[解] (1)由已知|AB |＝52|BF |，即a 2＋b 2＝52a ，2分 4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2， ∴e ＝ca ＝32.4分 (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b 2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x 214b 2＋y 21b 2＝1，x 224b 2＋y 22b2＝1， 可得x 21－x 224b 2＋y 21－y 22b 2＝0， 即x 1＋x 2x 1－x 24b2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，即－3217x 1－x 24＋417(y 1－y 2)＝0，从而k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，6分 ∴直线l 的方程为y －217＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1617，即2x －y ＋2＝0.8分 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b2＝1⇒x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0，9分Δ＝322＋16×17(b 2－4)＞0⇔b ＞21717，x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0,5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0，11分从而516－4b 217－12817＋4＝0，解得b ＝1，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.12分 8．(2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.2分 (1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .4分(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.6分 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，8分 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，9分 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1).10分当AB 与x 轴垂直时，E 与D (1,0)重合.11分 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.12分word 11 / 11。
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②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由①知直线 PA 的方程为 y＝kx＋m，则直线 QB 的方程为 y＝－3kx＋m.
y＝kx＋m， 联立x42＋y22＝1， 整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0.8 分 由 x0x1＝22mk22＋－14，可得 x1＝22km2＋2－12x0， 所以 y1＝kx1＋m＝22kk2m＋2－12x0＋m.9 分
①设直线 PM，QM 的斜率分别为 k，k′，证明k′k 为定值；
②求直线 AB 的斜率的最小值．
[解] (1)设椭圆的半焦距为 c. 由题意知 2a＝4,2c＝2 2，所以 a＝2，b＝ a2－c2＝ 2. 所以椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1.2 分 (2)①证明：设 P(x0，y0)(x0>0，y0>0)． 由 M(0，m)，可得 P(x0,2m)，Q(x0，－2m).3 分 所以直线 PM 的斜率 k＝2mx－0 m＝xm0，4 分 直线 QM 的斜率 k′＝－2mx0－m＝－3xm0 .5 分 此时k′k ＝－3.所以k′k 为定值－3.6 分
的离心率是 22，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且P→C·P→D＝－1.
(1)求椭圆 E 的方程；
图 15-2
(2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点．是否存在常
数 λ，使得O→A·O→B＋λP→A·P→B为定值？若存在，求 λ 的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，－b)，(0，b)． 又点 P 的坐标为(0,1)，且P→C·P→D＝－1，
1－b2＝－1，
于是ac＝ 22， a2－b2＝c2.
解得 a＝2，b＝ 2.
所以椭圆 E 的方程为x42＋y22＝1.4 分
(2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋1，A，B 的坐标 分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立x42＋y22＝1， 得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0. y＝kx＋1，
[解] (1)由题意有 a2a－b2＝ 22，a42＋b22＝1，2 分 解得 a2＝8，b2＝4.3 分 所以 C 的方程为x82＋y42＝1.4 分 (2)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1，得
由 m>0，x0>0，可知 k>0，
所以 6k＋1k≥2 6，等号当且仅当 k＝ 66时取得．
此时 4－m8m2＝ 66，即 m＝ 714，符合题意．
所以直线
AB
的斜率的最小值为
6 2 .14
分
回访 3 与圆锥曲线有关的探索性问题
3．(2015·四川高考)如图 15-2，椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)
同理 x2＝128mk22＋－12x0，y2＝－168kk2m＋2－1x20＋m.10 分 所以 x2－x1＝128mk22＋－12x0－22km2＋2－12x0＝18－k23＋2k12m2k22－＋21x0，11 分 y2－y1＝－168kk2m＋2－1x20＋m－22kk2m＋2－12x0－m＝－188kk26＋k21＋21k2m＋2－ 1x20，12 分 所以 kAB＝yx22－－yx11＝6k42＋k 1＝146k＋1k.
2017版高三二轮复习与策略
与圆锥曲线有关的探索性问题 (1)给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的 正确性．通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律． (2)对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般_要__先__对__结__论__作__出____ _肯__定__存__在__的__假__设__，__然__后__由__假__设__出__发__，__结__合__已__知__条__件__进__行__推__理__，若推出相符的结 论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在．
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回访 1 圆锥曲线的定值、定点问题 1．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 22，点(2， 2) 在 C 上． (1)求 C 的方程； (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
核
心
知
识
·
聚
焦
专
题
专题五 平面解析几何
限 时
集
热 点
突破点 15 圆锥曲线中的综合问题(酌情自选)
训
题
型
·
探
究
解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握 (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关． (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值． (3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并 令其＋2b2－8＝0.6 分 故 xM＝x1＋2 x2＝2－k22＋kb1，yM＝k·xM＋b＝2k2b＋1.8 分 于是直线 OM 的斜率 kOM＝yxMM＝－21k， 即 kOM·k＝－12.11 分 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.12 分
回访 2 圆锥曲线中的最值与范围问题
2．(2016·山东高考)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的
长轴长为 4，焦距为 2 2.
(1)求椭圆 C 的方程．
(2)过动点 M(0，m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N，交 C
于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中点．过
图 15-1
点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长 QM 交 C 于点 B.
用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手 (1)若直线和圆锥曲线有两个不同的交点，则可以利用判别式求范围． (2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线 的性质(性质中的范围)求解． (3)利用隐含或已知的不等关系式直接求范围． (4)利用基本不等式求最值与范围． (5)利用函数值域的方法求最值与范围.