2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学理
2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)(数学理) word版无答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+ 9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i i a i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a n b n 221 .若{}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c n n n 11。
【精校】2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学文
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学文一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（ ） A.B.C.D.解析：由题意得，，所以，故选A.答案：A2.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A.B.12C.D.{}223x x x P =-≥{}Q 24x x =<<Q P =I [)3,4(]2,3()1,2-(]1,3-{}|31P x x x =≥≤或[3,4)P Q =Icm 83cm 3cm 3233cm 4033cm解析：由三视图可如，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为V=32312222233cm +⨯⨯=.故选 C. 答案：C3.设a ，b 是实数，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：本题采用特殊值法，当a=3，b=-1时，a-b ＞0，但ab ＜0，故是不充分条件；当a=-3，b=-1时，ab ＞0，但a-b ＜0，故是不必要条件.所以“a-b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件.故选D.答案：D4.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则解析：采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当时，可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，时，可以相交；选项D 中，时，也可以异面.故选A.答案：A5.函数（且）的图象可能为（ ） 0a b +>0ab >αβl m l α⊂m β⊂l β⊥αβ⊥αβ⊥l m ⊥//l β//αβ//αβ//l m αβ⊥,l m //l β,αβ//αβ,l m ()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭x ππ-≤≤0x ≠A.B.C.D.解析：因为，故函数是奇函数，所以排除A, B ；取，则，故选D. 答案：D6.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A.B.C.D.解析：由x ＜y ＜z ，a ＜b ＜c ，所以ax+by+cz-（az+by+cx ）=a （x-z ）+c （z-x ）=（x-z ）11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x -=-+=--=-x π=11()()cos ()0f ππππππ=-=--<2m x y z x y z <<2m a b c a b c <<ax by cz ++az by cx ++ay bz cx ++ay bx cz ++（a-c ）＞0，故ax+by+cz ＞az+by+cx ；同理，ay+bz+cx-（ay+bx+cz ）=b （z-x ）+c （x-z ）=（x-z ）（c-b ）＜0，故ay+bz+cx ＜ay+bx+cz.因为az+by+cx-（ay+bz+cx ）=a （z-y ）+b （y-z ）=（a-b ）（z-y ）＜0，故az+bx+cx ＜ay+bz+cx.故最低费用为az+by+cx.故选B.答案：B7.如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支解析：由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.答案：C8.设实数，，满足（ ）A.若确定，则唯一确定B.若确定，则唯一确定C.若确定，则唯一确定D.若确定，则唯一确定解析：因为，所以，所以，故当确定时，确定，所以唯一确定.故选B.AB α60o B αP 30∠PAB =oP 60o a b t 1sin a b t +==t 2b t 22a a +t sin 2b t 2a a +1sin a b t +==222(1)sin a b t +==2221a a t +=-t21t -22a a +答案：B二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）9.计算： ， . 解析：答案：10.已知是等差数列，公差不为零.若，，成等比数列，且，则 ， .解析：由题可得，，故有，又因为，即，所以. 答案：11.函数的最小正周期是 ，最小值是 .解析： ，所以；. 答案：12.已知函数，则 ，的最小值是 .2log 2=24log 3log 32+=12-{}n a d 2a 3a 7a 1221a a +=1a =d =2111(2)()(6)a d a d a d +=++1320a d +=1221a a +=131a d+=121,3d a =-=2,13-()2sin sin cos 1f x x x x=++()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3sin(2)242x π=-+22T ππ==min 3()22f x =-3,2π-()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩()2f f -=⎡⎤⎣⎦()f x解析：，所以.当x ≤1时，；当x ＞1时，，当6x x =，6x=时取到等号.因为26-6＜1，所以函数的最小值为26-6.答案：13.已知，是平面单位向量，且.若平面向量满足，则 .解析：由题可知，不妨，，设，则，，所以，所以答案：14.已知实数，满足，则的最大值是 . 解析：试题分析：由图可知当时，满足的是如图的劣弧，则在点处取得最大值5；当时，满足的是如图的优弧，则与该优弧相切时取得最大值，故，所以，故该目标函数的最大值为. 162-1e r 2e r 1212e e ⋅=r r b r 121b e b e ⋅=⋅=r r r r b =r 1(1,0)e =u r 21(2e =u u r (,)b x y =r 11b e x ⋅==r r 21122b e x y ⋅=+=r r (1,)3b =r b ==r 3x y 221x y +≤2463x y x y +-+--22,2224631034,22x y y x z x y x y x y y x+-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩22y x ≥-AB 22z x y =+-(1,0)A 22y x <-AB 1034z x y =--1015z d -==15z =15答案：1515.椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 .解析：设F(c ，0)关于直线的对称点为Q （m ，n ），则有，解得，所以在椭圆上，即有，解得222a c =，所以离心率2c e a ==. 答案：三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本题满分14分）在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为.已知. （1）求的值； （2）若，求的面积.解析：（1）利用两角和与差的正切公式，得到tanA=13，利用同角三角函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.答案：（1）由，得tanA=13， 所以22221x y a b +=0a b >>()F ,0c b y x c=Q 2ABC ∆,,a b c tan(A)24π+=2sin 2sin 2cos A A A+B ,34a π==ABC ∆（2）由tanA=13，可得，a=3，B= 4π，由正弦定理知：b= 由，所以. 17. （本题满分15分）已知数列和满足， . （1）求与;（2）记数列的前n 项和为，求.解析：(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.答案：（1）18. （本题满分15分）如图，在三棱锥中，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为的中{}n a {}n b *1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈L n a n b {}n n a b n T n T 111ABC A B C -11B C点.(1)证明: ；(2)求直线和平面所成的角的正弦值.解析：（1）利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直；（2）通过添加辅助线，证明1A F ⊥平面11BB C C ，以此找到直线与平面所成角的平面角∠1A BF ，在直角三角形1A BF 中通过确定边长， 计算∠1A BF 的正弦值. 答案： （1 ）设E 为 BC 中点.由题意得1A E ⊥平面ABC ，所以1A E ⊥AE.因为AB=AC ，所以AE ⊥BC.所以AE ⊥平面1A BC .由1D E 分别为11B C ，BC 的中点，得DE//1BB ，从而 DE //1AA ,且DE=1AA ， 所以1AA DE 是平行四边形，所以1A D//AE.因为AE ⊥平面1A BC ，所以1A D ⊥平面1A BC .(2)作，垂足为F ，连结BF.因为平面，所以.11D A BC A ⊥平面1A B 11B C B C 1A F DE⊥AE ⊥1A BC 1BC A E ⊥因为，所以平面.所以平面.所以为直线与平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得. 所以19. （本题满分15分）如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线和圆相切，A ，B 为切点.(1)求点A ，B 的坐标；(2)求的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.解析：( 1）设定直线PA 的方程，通过联立方程，判别式为零，得到点A 的坐标；根据圆的性质，利用点关于直线对称，得到点B 的坐标；（2）利用两点求距离及点到直线的距离公式，得到三角形的底边长与底边上的高，由此计算三角形的面积答案：（1）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y=k （x-t ）. 所以，消去y ，整理得：. BC AE ⊥BC ⊥1AA DE 11,BC A F A F ⊥⊥11BB C C 1A BF ∠1A B 11BB C C 2,90AB AC CAB ==∠=o EA EB ==AE ⊥1A BC 1114,A A A B A E ===1114,90DE BB DA EA DA E ====∠=o 1A F =1sin A BF ∠=211C 4x ：y=222C (y 1)1x +-=：P(t,0)(t>0)1C 2C PAB ∆因为直线PA 与抛物线相切，所以，解得.所以，即点.设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点B,O 关于直线PD 对称，故有， 解得.即点. (2)由(1)知，，直线AP 的方程为，所以点B 到直线PA 的距离为.所以的面积为. 20. （本题满分15分）设函数.(1)当时，求函数在上的最小值的表达式； (2)已知函数在上存在零点，，求b 的取值范围.解析：（1）将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；（2）设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数b 的取值情况，利用并集原理得到参数b 的取值范围.答案：（1）216160k kt ∆=-=k t =2x t =2(2,)A t t 2C (0,1)D B 00(,)x y 00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩2002222,11t t x y t t ==++22222(,)11t t B t t++AP =20tx y t --=2d =PAB ∆3122t S AP d =⋅=2(),(,)f x x ax b a b R =++∈214a b =+()f x [1,1]-()g a ()f x [1,1]-021b a ≤-≤考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
15年高考真题——理科数学(浙江卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（浙江卷）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|20P x x x =-≥，{}|12Q x x =<≤，则()R P Q = ð（ ）（A ）[)0,1 （B ）(]0,2 （C ）()1,2 （D ）[]1,22．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）（A ）38cm （B ）312cm （C ）3323cm （D ）3403cm 3．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ） （A ）10a d >，0n dS >（B ）10a d <，0n dS < （C ）10a d >，0n dS < （D ）10a d <，0n dS >4．命题“n N +∀∈，()f n N +∈且()f n n ≤”的否定形式是（ ） （A ）n N +∀∈，()f n N +∈且()f n n > （B ）n N +∀∈，()f n N +∈或()f n n > （C ）0n N +∃∈，()0f n N +∈且()00f n n > （D ）0n N +∃∈，()0f n N +∈或()00f n n >5．如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ） （A ）||1||1BF AF -- （B ）22||1||1BF AF -- （C ）||1||1BF AF ++ （D ）22||1||1BF AF ++ 6．设,A B 是有限集，定义()()(),d A B card A B card A B =- ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(),0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，()()(),,,d A C d A B d B C ≤+。
2015年普通高等学校全国统一招生考试模拟卷理科数学(浙江)
2015年普通高等学校全国统一招生考试模拟卷理科数学(浙江)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项：1．答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a}，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2 D ．2 2．复数z 满足z ＝2－i 1－i，则z 等于( )A ．1＋3iB ．3－i C.32＋12i D.12＋32i3．如图，在平行四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－3,2)，则AD →·AC →等于( )A ．1B ．3C ．5D ．6 4．已知函数y ＝f(x)sinx 的一部分图象如图所示，则函数f(x)的表达式可以是( )A ．2sinxB ．2cosxC ．－2sinxD ．－2cosx 5．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2 D.326．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．－18 B.18 C.578 D.5587．已知 a 、b 、l 表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同平面，有下列四个命题： ①若α∩β＝a ，β∩γ＝b 且a ∥b ，则α∥γ；②若a 、b 相交且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α；④若a ⊂α，b ⊂β，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x>0，若f(x)≥1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)9．已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a)的定义域为R ，命题q ：函数y ＝－(5－2a)x 是减 函数．若p 或q 为真命题，p 且 q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2)C ．(1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)10．定义max{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥b )b (a<b )，已知实数x ，y 满足|x|≤2，|y|≤2，设z ＝max{4x ＋y,3x －y}，则z 的取值范围是( )A ．[－7,10]B ．[－6,10]C ．[－6,8]D ．[－7,8]第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项：1．答题前，考生先在答题纸上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共6页，请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题纸上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 11．如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图相同， 是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的 半径为 3.则该组合体的表面积等于________．12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如右 图)，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出 100人 作进一步调查，则在(2 500,3 000)(元)月收入段应抽出的 人数为________．13．一排7个座位，甲、乙两人就座，要求甲与乙之间至少 有一个空位，则不同的坐法种数是________．14． 若在(x 2－13x)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_____．15．执行下面的程序框图，输出的结果是________．16．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线相切，则p ＝________. 17．定义矩阵变换：⎝⎛⎭⎪⎫a b cd ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫am ＋bn cm ＋dn .对于矩阵变换 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 120⎝ ⎛⎭⎪⎫sinαcosα＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u ′v ′，函数y ＝12(u ′＋v ′)的最大值为________． 三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝(4,2cos2A)，b ＝(1＋cosA,1)，a·b ＝1.若a ＝19，b ＋c ＝5. (1)求角A 的大小； (2)求b 、c 的长．19． (本小题满分14分) 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .20．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E 、F 分别为PC 、CD 的中点． (1)试证：AB ⊥平面BEF(2)设PA ＝k·AB ，且二面角E －BD －C 的平面角大于45°，求k 的取值范围．21．(本小题满分15分)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，它的离心率为255.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 、B 为椭圆上的两个动点，OA →·OB →＝0，过原点O 作直线AB 的垂线OD ，垂足 为D ，求点D 的轨迹方程．22．(本小题满分15分)已知f(x)＝lnx －x 2＋bx ＋3.(1)若函数f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线2x ＋y ＋2＝0垂直，求函数f(x)在区间[1,3] 上的最小值；(2)若f(x)在区间[1，m]上单调，求b 的取值范围．数学模拟卷(1)1．D 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.故选D 项．2．C 解析：由题意得z ＝2－i 1－i ＝(2－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3＋i 2＝32＋12i.3．B 解析：令AB →＝a ，AD →＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝(1，2)－a ＋b ＝(－3，2)⇒a ＝(2,0)，b ＝(－1,2)，所以AD →·AC→＝b ·(1,2)＝3.4．D 解析：由题意易知f (x )sin x ＝－sin2x ，∴f (x )＝－2cos x .5．C 解析：由题知，双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，由a b ·(－ab)＝－1，得a 2＝b 2，∴c ＝2a ，e ＝ 2.6．B 解析：∵S 3＝8，S 6＝7，又∵(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)， ∴(7－8)2＝8(S 9－S 6)，∴S 9－S 6＝18，∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝18.7．B 解析：①在正方体A1B 1C 1D 1－ABCD 中，平面A 1B 1CD ∩平面DCC 1D 1＝CD .平面A 1B 1C 1D 1∩平面DCC 1D 1＝C 1D 1，且CD ∥C 1D 1，但平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1不平行，错误．②因为a ，b 相交，可设其确定的平面为γ，根据a ∥α，b ∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，正确．③根据平面与平面垂直的判定定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，正确．④当直线a ∥b 时，l 垂直于平面α内两条不相交直线，得不出l ⊥α，错误．8．D 解析：当x ≤0时，由x 2≥1，得x ≤－1；当x >0时，由2x －1≥1，得x ≥1.综上可知，x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．9．D 解析：命题p 为真命题时，x 2＋2x ＋a >0恒成立，故函数g (x )＝x 2＋2x ＋a 的判别式Δ＝4－4a <0，从而a >1；命题q 为真命题时，5－2a >1，即a <2.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 和q 中一个是真命题，一个是假命题．若p 为真命题，q 为假命题时，a ≥2；若p 为假命题，q 为真命题时，a ≤1，故选D 项．10．A 解析：由题设，z ＝max{4x ＋y,3x －y }＝⎩⎨⎧4x ＋y (y ≥－12x )3x －y (y <－12x )，且|x |≤2，|y |≤2.作可行域，由图知，目标函数z ＝4x ＋y 在点(2,2)处取最大值10，在点(－2,1)处取最小值－7.目标函数z ＝3x －y 在点(2，－2)处取最大值8，在点(－2,1)处取最小值－7.所以z 的取值范围是[－7,10]，故选A 项．11．答案：21π解析：由三视图可知，该几何体是圆锥与等底面的圆柱组合而成的组合体，所以该几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积的和，所以该几何体的表面积为S ＝π×23×23＋2π×3×3＋π×(3)2＝21π.12．答案：25解析：抽出的人数为0.000 5×500×100＝25.13．答案：30解析：甲坐首尾两个座位时，乙各有5种坐法，故共有2×5＝10(种)．甲坐另外5个座位时，乙各有4种不同的坐法，共有5×4＝20(种)．故共有30种坐法．14．答案：7解析：所给二项式的展开式只有第5项的二项式系数最大，∴n ＝8，T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (－13x)r ＝C r 8(12)8－r ·(－1)rx 8－43r ， 令8－43r ＝0，得r ＝6，∴T 7＝C 68(12)2(－1)6＝7. 15．答案：9解析：由程序框图可知，当i ＝1时，执行S ＝S ×2i 得S ＝2；当i ＝3时，执行S ＝S ×2i得S ＝24；当i ＝5时，执行S ＝S ×2i 得S ＝29；当i ＝7时，执行S ＝S ×2i 得S ＝216，执行i ＝i ＋2得i ＝9；检验不满足条件，所以输出i ＝9.16．答案：2解析：由题知，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝42，∴圆心坐标为(3,0)，半径r ＝4.∴与圆相切且垂直于x 轴的两条切线是x ＝－1，x ＝7.而y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，∴由－p 2＝－1得p ＝2，由－p2＝7得p ＝－14与题设矛盾(舍去)．∴p ＝2. 17．答案：102解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 0⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u ′v ′可知u ′＝sin α＋cos α，v ′＝2sin x ，所以y ＝12(u ′＋v ′)＝12[(sin α＋cos α)＋2sin α]＝102sin(α＋φ)，所以y max ＝102. 18．解：(1)因为a ＝(4,2cos2A )，b ＝(1＋cos A,1)， 所以a·b ＝1＝4(1＋cos A )＋2cos2A ，2分 即：4＋4cos A ＋2(2cos 2A －1)＝1， 可化为4cos 2A ＋4cos A ＋1＝0，5分解得cos A ＝－12，所以A ＝120°.7分(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·(－12)＝(b ＋c )2－2bc ＋bc ，9分所以19＝25－bc ，解得bc ＝6，11分 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝5bc ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝2.14分 19．解：(1)设公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知有⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2(1a 1＋1a 1q)a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64(1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q4).2分化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2a 21q 6＝64. 4分又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1.所以a n ＝2n －1. 7分(2)由(1)知b n ＝(a n ＋1a n )2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2. 10分因此T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝4n－14－1＋1－14n 1－14＋2n＝13(4n －41－n )＋2n ＋1. 14分 20．解：(1)由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故四边形ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF .2分又P A ⊥底面ABCD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD .3分 因为AB ⊥AD ，故AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥PD .4分在△PDC 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF ∥PD ，所以AB ⊥EF . 由此得AB ⊥平面BEF .6分(2)以A 为原点，以AB 、AD 、AP 为Ox 、Oy 、Oz 正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，则BD →＝(－1,2,0)，BE →＝(0,1，k 2)，8分设平面CDB 的法向量为n 1＝(0,0,1)，平面EDB 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·BD →＝0n 2·BE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0y ＋kz 2＝0，取y ＝1，可得n 2＝(2,1，－2k).10分设二面角E －BD －C 的大小为θ， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2k 22＋1＋4k2<22，12分 化简得k 2>45，则k >255.14分21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意可得：b ＝1，c a ＝255，∴a ＝5，∴x 25＋y 2＝1.4分(2)(ⅰ)当直线AB 的斜率k 存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则由⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1y ＝kx ＋m得(5k 2＋1)x 2＋10kmx ＋5m 2－5＝0.∴x 1＋x 2＝－10km5k 2＋1，x 1x 2＝5m 2－55k 2＋1，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.6分 ∵OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， (k 2＋1)(5m 2－5)5k 2＋1－10k 2m 25k 2＋1＋m 2＝0. ∴6m 2－5k 2－5＝0，①又∵OD ⊥AB ，设D (x ，y )，∴k ＝－xy.②又∵点D (x ，y )在直线AB 上，∴y ＝kx ＋m ，∴m ＝y －kx ＝y ＋x 2y，③把②③代入①得6(y ＋x 2y )2－5x2y2－5＝0，∴x 2＋y2y2[6(x 2＋y 2)－5]＝0.∴点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝56(y ≠0).10分(ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，D (±306，0)，满足x 2＋y 2＝56.13分综上所述，点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝56.15分22．解：(1)f ′(x )＝1x－2x ＋b ，直线2x ＋y ＋2＝0的斜率为－2，令f ′(2)＝12，得b ＝4，2分∴f (x )＝ln x －x 2＋4x ＋3.令f ′(x )＝1－2x ＋4＝－2x 2＋4x ＋1＝0，得x ＝2±6.5分∵6＋ln3>6，∴x ＝1时，f (x )在[1,3]上的最小值为6.9分(2)令f ′(x )＝1x －2x ＋b ≥0得b ≥2x －1x ，在[1，m ]上恒成立．而y ＝2x －1x 在[1，m ]上单调递增，最大值为2m －1m ，∴b ≥2m －1m .12分令f ′(x )＝1x －2x ＋b ≤0得b ≤2x －1x ，在[1，m ]上恒成立．而y ＝2x －1x 在[1，m ]上单调递减，最小值为y ＝1，∴b ≤1.故b ≥2m －1m或b ≤1时f (x )在[1，m ]上单调.15分。
2015年高考理科数学全国卷1(含答案解析)
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2 2．sin20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2n n n ∀∈N 2，＞B ．2n n n ∃∈N 2，≤C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212x C y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A ．33()33-， B ．33()66-， C ．2222()33-， D ．2323()33-， 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________A ．3[)21,e-B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数2()=()ln f x x a x x +＋为偶函数，则a =________. 14．一个圆经过椭圆22=1164x y+的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】由1=i 1z z+-，得1i (1i)(1i)=i 1i (1i)(1i)z -+-+-===++-，故1z =，故选C ． 【提示】先化简复数，再求模即可． 【考点】复数的运算． 2.【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=+==，故选D ． 【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【考点】三角函数的运算． 3.【答案】C【解析】命题的否定是：22n n n ∀∈≤N ，．【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【考点】命题． 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6=0.648.⨯+【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【考点】概率． 5.【答案】A【解析】由题知12(F F ，，220012x y -=，所以222120000000(3,)(3,)331MF MF x y xy x y y =-----=+-=-<，解得0y <<，故选A ． 【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定0y 的取值范围． 【考点】双曲线． 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则116238,43r r ⨯⨯=⇒=所以米堆的体积为 2111632035,4339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故堆放的米约为320 1.6222,9÷≈故选B ． 【考点】圆锥体积．【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 7.【答案】A【解析】由题知1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+【提示】将向量AD 利用向量的三角形法则首先表示为AC CD +，然后结合已知表示为AC AC ，的形式．【考点】向量运算． 8.【答案】D【解析】由五点作图知，1π42,53π42ωϕωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得ππ,4ωϕ==，所以π()cos π,4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2ππ2ππ,,4k x k k π<+<+∈Z 解得1322,,44k x k k -<<+∈Z故()f x 的单调递减区间为132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选D ．【提示】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间． 【考点】三角函数运算． 9.【答案】C【解析】执行第1次，0.01,1,t S ==10,0.5,2n m === 0.5,0.25,2mS S m m =-===1,0.50.01n S t ==>=，是，循环，执行第2次， 0.25,0.125,2mS S m m =-===2,0.250.01n S t ==>=，是，循环，执行第3次，0.125,0.0625,2mS S m m =-===3,0.1250.01n S t ==>=，是，循环，执行第4次，0.0625,0.03125,2mS S m m =-===4,0.06250.01n S t ==>=，是，循环，执行第5次，0.03125,0.015625,2mS S m m =-===5,0.031250.01n S t ==>=，是，循环，执行第6次，0.015625,0.0078125,2mS S m m =-===6,0.0156250.01n S t ==>=，是，循环，执行第7次，0.0078125,S S m =-=2mm =0.00390625=， 7,0.00781250.01n S t ==>=，否，输出7,n =故选C ．【提示】由题意依次计算，当7,0.00781250.01,n S t ==>=停止由此可得结论． 【考点】程序框图． 10.【答案】C【解析】在25()x x y ++的五个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为212532C C C 30,=故选C ．【提示】利用展开式的通项进行分析，即可得出结论． 【考点】二项式展开式． 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是r ，圆柱的高为2r ，其表面积为222214ππ2π225π41620π2r r r r r r r r ⨯+⨯++⨯=+=+，解得r=2，故选B ．【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【考点】空间几何体的表面积． 12.【答案】D【解析】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()e (21)xg'x x =+，所以当12x <-时，'()0g x <，当12x >-，()0,g'x >所以当12x =-时，12min [()]2e g x -=-．当0x =时(0)1g =-，(1)e 0g =>，直线y ax a =-恒过(1,0)且斜率a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3e g a a --=-≥--，解得312ea ≤<，故选D ．【提示】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，由导数可得函数的极值，数形结合可得(0)1a g ->=-且1(1)3e g a a --=-≥--，解关于a 的不等式组可得．【考点】带参函数．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以22ln(ln(ln()ln 0x x a x x a +-=+-==，解得 1.a =【提示】由题意可得，()()f x f x -=，代入根据对数的运算性质即可求解 【考点】函数奇偶性．14.【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭【解析】设圆心为(,0)a ，则半径为4a -，则222(4)2,a a -=+解得32a =±， 故圆的标准方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭．【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【考点】圆的标准方程． 15.【答案】3【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值3.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定y x的最大值．【考点】线性规划问题．16.【答案】【解析】如下图所示：延长BACD ，交于点E ，则可知在△ADE 中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30,E ∠=︒∴设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =，2BC =，sin151m ⎫∴+︒=⎪⎪⎝⎭⇒m +=∴04x <<，而2AB m x +-,2x∴AB的取值范围是．【提示】如图所示，延长BACD ，交于点，设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =m +=AB 的取值范围． 【考点】平面几何问题． 三．解答题17.【答案】（Ⅰ）21n + （Ⅱ）11646n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（1）知，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以数列{}n b 前n 项和为121111111=235572123n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11646n -+． 【提示】（Ⅰ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和．【考点】数列前n 项和与第n 项的关系，等差数列定义与通项公式． 18.【答案】（Ⅰ）答案见解析 【解析】（Ⅰ）连接BD ，设,BDAC G =连接EG FG EF ，，，在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由∠ABC=120°，可得AG GC ==由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =， 又∵AE EC ⊥，∴EG EG AC =⊥，在Rt EBG △中，可得BE，故DF =在Rt FDG △中，可得FG =在直角梯形BDEF 中，由2BD =，BE，2DF =，可得2EF =， ∴222EG FG EF +=， ∴EG FG ⊥， ∵ACFG G =，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂平面AEC ， ∴平面AFC ⊥平面AEC ．（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得0,A （，(E，2F ⎛- ⎝⎭，C ，∴AE =，1,CF ⎛=- ⎝⎭．故cos ,3||||AE CFAE CF AE CF <>==-，所以直线AE 与CF ．【提示】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG EF FG ，，，运用线面垂直的判定定理得到EG ⊥平面AFC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到.（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB GC ，为x 轴，y 轴，GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，求得AE F C ，，，的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【考点】空间垂直判定与性质，异面直线所成角的计算．19.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）答案见解析 （Ⅲ）(i )66.32 (ii )46.24【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型．(Ⅱ)令w =先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8=68,16()iii ii w w yy d w w ==--==-∑∑ ∴56368 6.8100.6.==c y d w -⨯=-∴y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68y w ，y ∴关于x 的回归方程为y （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销量y的预报值576.6y =， 年利润z 的预报值=576.60.249=66.32z ⨯-（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值20.12z x =x +--，∴13.66.8,2=即46.24x =，z 取得最大值，故宣传费用为46.24千元时，年利润的预保值最大．【提示】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出．（Ⅱ）先建立中间量w =y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以解决．（Ⅲ）（Ⅰ）年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可． （ii ）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【考点】线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测． 20.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）由题设可得)Ma ，()N a -，或()M a-，)N a ．∵12yx '=，故24x y =在x =C在)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=，故24x y =在x =-处的导数值为，C 在()a -处的切线方程为y a x -=+，0y a ++=0y a --=0y a ++=． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)P b 为符合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，．将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=．∴12124,4x x k x x a +==-．∴1212121212122()()()=y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+． 当b a =-时，有12k k + =0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以(0,)P a -符合题意．【提示】（Ⅰ）求出C在)a 处的切线方程，故24x y =在x =-即可求出方程．（Ⅱ）存在符合条件的点(0,)P b ，11(,)M x y，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，直线方程与抛物线方程联立化为2440x kx a --=，利用根与系数的关系，斜率计算公式可得12()=k a b k k a++=即可证明． 【考点】抛物线的切线，直线与抛物线位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）34a =- （Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-，因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在(1,)+∞无零点． 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数．(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点．(ⅱ)若30a -<<，则()f x在⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故当x =()f x取的最小值，最小值为14f =．①若0f >，即304x -<<，()f x 在(0,1)无零点．②若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时， ()f x 在(0,1)有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．【提示】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=解出即可． （Ⅱ）对x 分类讨论：当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，可得函数(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，即可得出零点的个数．当1x =时，对a 分类讨论利用导数研究其单调性极值即可得出．【考点】利用导数研究曲线的切线，分段函数的零点． 22.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）60ACB ∠=【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，AE BC AC AB ⊥⊥，，在Rt AEC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠，连接OE ，OBE OEB ∠=∠， ∵90ACB ABC ∠+∠=， ∴90DEC OEB ∠+∠=，∴90OED ∠=，∴DE 是圆O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由已知得AB =，BE =，由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =x = ∴60ACB ∠=．【提示】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=，可得DE 是O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由射影定理可得关于x的方程2x =，解方程可得x 值，可得所求角度．【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理． 23.【答案】(Ⅰ)22cos 4sin 40ρρθρθ--+= (Ⅱ)12【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（Ⅱ）将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ12=MN ρρ-，因为2C 的半径为1，则2C MN △的面积111sin 45=22⨯．【提示】（Ⅰ）由条件根据cos sin x y ρθρθ==，求得12C C ，的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，求得12ρρ，的值，从而求出2C MN △的面积．【考点】直角坐标方程与极坐标互化，直线与圆的位置关系．24.【答案】（Ⅰ）22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）(2)+∞，【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，∴不等式()1f x >的解集为22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以ABC △的面积为22(1)3a +， 由题设得22(1)63a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为(2)+∞，． 【提示】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。
2015年浙江省高考理科数学试卷及答案
绝密★考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件,A B互斥，那么如果事件,A B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率台体的体积公式侧视图其中1S,2S分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高柱体体积公式V Sh=其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式24S Rπ=球的体积公式343V Rπ=其中R表示球的半径一、选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 共40分, 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P={x|x2-2x≥0}, Q={x|1<x≤2}, 则(C R P)I Q =( )A.[0, 1)B.(0, 2]C.(1, 2)D.[1, 2]2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则该几何体的体积是( )A.8cm3B.12cm3C.332cm3 D.340cm33.已知{a n}是等差数列, 公差d不为零, 前n项和是S n, 若a3, a4, a8成等比数列, 则( )A. a1d>0, dS4>0B. a1d<0, dS4<0C. a1d>0, dS4<0D. a1d<0, dS4>0xAyFOB C4.命题“*)(*,N n f N n ∈∈∀ 且f (n )≤n ” 的否定形式是( ) A.*)(*,N n f N n ∉∈∀且f (n )>n B.*)(*,N n f N n ∉∈∀或f (n )>n C.*)(*,00N n f N n ∉∈∃且f (n 0)>n 0 D.*)(*,00N n f N n ∉∈∃或f (n 0)>n 05.如图, 设抛物线y 2=4x 的焦点为F , 不经过焦点的直线上有三个不同的点A , B , C , 其中点A , B 在抛物线上, 点C 在y 轴上, 则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.1||1||--AF BFB.1||1||22--AF BFC.1||1||++AF BFD.1||1||22++AF BF6.设A , B 是有限集, 定义d (A , B )=card(A Y B )-card(A I B ), 其中card(A )表示有限集A 中的元素个数,命题①：对任意有限集A , B , “A ≠B ”是“d (A , B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A , B , C , d (A , C )≤d (A , B )+ d (B , C ), 则( ) A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立, 命题②不成立 D.命题①不成立, 命题②成立 7.存在函数f (x )满足, 对任意x ∈R 都有( ) A.f (sin2x )=sin x B. f (sin2x )=x 2+xC.f (x 2+1)=|x +1|D.f (x 2+2x )=|x +1|8.如图, 已知△ABC , D 是AB 的中点, 沿直线CD 将△ACD 折 成△CD A ', 所成二面角B CD A --'的平面角为α, 则( ) A.DB A '∠≤α B.DB A '∠≥α C.CB A '∠≤α D.CB A '∠≥α二、填空题：本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分。
2015年高考理科数学浙江卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意:1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式:球的表面积公式 锥体的体积公式24S R π= 13V Sh =球的体积公式其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 334V R π=台体的体积公式其中R 表示球的半径121(S )3V h S =柱体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,V Sh = h 表示台体的高其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高选择题部分（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22{|}=0P x x －≥,{}12|Q x x =＜≤,则R ()P Q =ð ( )A .[0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .[1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积是( ) A .8 cm 3 B .12 cm 3 C .323 cm 3 D .403cm 3 3.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S .若3a ,4a ,8a 成等比数列,则 ( ) A .10a d >,40dS > B .10a d <,40dS < C .10a d >,40dS <D .10a d <,40dS >4.命题“*n ∀∈N ,()*f n ∈N 且)(f n n ≤”的否定形式是( )A .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 且)(f n n >B .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 或)(f n n >C .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 且00)(f n n >D .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 或00)(f n n >5.如图,设抛物线24y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有 三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF △与A CF △的面积之比是( )A .||1||1BF AF --B .22||1||1BF AF --C .||1||1BF AF ++ D .22||1||1BF AF ++ 6.设A ,B 是有限集,定义:((,))()d A B card AB card AB =－,其中()card A 表示有限集A 中元素的个数.( )命题①:对任意有限集A ,B ,“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A ,B ,C ,(,)(,)(,)d A C d A B d B C +≤. A .命题①和命题②都成立 B .命题①和命题②都不成立 C .命题①成立,命题②不成立D .命题①不成立,命题②成立 7.存在函数()f x 满足:对任意x ∈R 都有( )A .(sin 2)sin f x x =B .2(sin 2)f x x x =+C .2(1)|1|f x x +=+D .2(2)|1|f x x x +=+8.如图,已知ABC △,D 是AB 的中点,沿直线CD 将ACD △翻折成A CD '△,所成二面角A CDB '－－的平面角为α,则( )A .A DB α∠'≤ B .A DB α∠'≥C .A CB α∠'≤D .A CB α∠'≥非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.9.双曲线2212x y -=的焦距是 ,渐近线方程是 .10.已知函数223, 1,()lg(1),1,x x x f x x x ⎧+-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩≥＜,则(())3f f =－ ,)(f x 的最小值是 .11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ,单调递减区间是 . 12.若4log 3a =,则22a a +=－ .13.如图,在三棱锥A BCD －中,3AB AC BD CD ====,2AD BC ==,点M ,N 分别是AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是 .14.若实数x ,y 满足221x y +≤,则22|||6|3x y x y +-+--的最小值是 .15.已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52,且对于任意,x y ∈R ,|b －(x e 1+y e 2)|≥|b －(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0= ,y 0= ,|b |= .三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ．已知π4A =,22212b ac -=. （Ⅰ）求tan C 的值;（Ⅱ）若ABC △的面积为3,求b 的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）17.（本小题满分15分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,90BAC ∠=︒,2AB AC ==,14A A =,1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是11B C 的中点.（Ⅰ）证明:1A D ⊥平面1A BC ;（Ⅱ）求二面角11A BD B －－的平面角的余弦值.18.（本小题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ,记(,)M a b 是|()|f x 在区间[]1,1－上的最大值. （Ⅰ）证明:当||2a ≥时,(,)2M a b ≥;（Ⅱ）当a ,b 满足(,)2M a b ≤时,求||||a b +的最大值.19.（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ,B 关于直线12y mx =+对称. （Ⅰ）求实数m 的取值范围;（Ⅱ）求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且21*)(n n n a a a n +-=∈N . （Ⅰ）证明:112(*)nn a n a +∈N ≤≤; （Ⅱ）设数列2{}na 的前n 项和为n S ,证明:11()2(2)2(1)*n S n n n n ∈++N ≤≤.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】由题意得，()(0,2)P =R ð，()(1,2)P Q ∴=R ð，故选C ．【提示】求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积323132222c m33V =+⨯⨯=，故选C ． 【提示】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可 【考点】三视图 3.【答案】B 【解析】等差数列{}n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，211115(3)(2)(7)3a d a d a d a d ∴+=++⇒=-，4141122()2(3)3S a a a a d d ∴=+=++=-，21503a d d ∴=-<，24203dS d =-<故选B ．【提示】由3a ，4a ，8a 成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断1a d 和4dS 的符号 【考点】等差数列的通项公式及前n 项和，等比数列的概念 4.【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D ． 【提示】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论 【考点】命题的否定5.【答案】A【解析】||1||1BCF B ACF A S x BC BF S AC x AF -===-△△，故选A ． 【提示】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为||||BC AC 的关系进行求解即可 【考点】抛物线的标准方程及其性质 6.【答案】A【解析】命题①显然正确，通过下面文氏图亦可知(,)d A C 表示的区域不大于(,)(,)d A B d B C +的区域，故命题②也正确，故选A ．第6题图【提示】①命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可 【考点】集合的性质 7.【答案】D【解析】A ：取0x =，可知(sin0)sin0f =，即(0)0f =，再取π2x =，可知π(sin π)sin 2f =，即(0)1f =，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取1x =，可知(2)2f =，再取1x =-，可知(2)f =，矛盾，∴C 错误，D ：令|1|(t x t =+≥，2(1)(0)()f t t t f x ∴-=≥⇔=D ．【提示】利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可 【考点】函数的概念 8.【答案】B【解析】根据折叠过程可知A CB '∠与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得A DB α'∠≥，当且仅当AC BC =时，等号成立，故选B ．【提示】解：画出图形，分AC BC =，AC BC ≠两种情况讨论即可 【考点】立体几何中的动态问题 二、填空题9.【答案】2y x =±【解析】由题意得：a =1b =，c ===焦距为2c =线方程2b y x x a =±=± 【提示】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程 【考点】双曲线的标准方程及其性质 10.【答案】0，3【解析】[(3)](1)0f f f -==，当1x ≥时，()3f x ≥，当且仅当x =立，当1x <时，()0f x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，故()f x最小值为3 【提示】根据已知函数可先求(3)1f -=，然后代入可求[(3)]f f -；由于1x ≥时，2()3f x x x=+-，当1x <时，2()lg(1)f x x =+，分别求出每段函数的取值范围，即可求解【考点】分段函数11.【答案】π，3π7ππ,π88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ， 【解析】π3()s i n 2242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故最小正周期为π，单调递减区间为3π7ππ,π88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，【提示】由三角函数公式化简可得π3()2242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，易得最小正周期，解不等式ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+可得函数的单调递减区间 【考点】三角恒等变形，三角函数的性质 12.【解析】4log 3a =Q，432a a ∴=⇒22a a-∴+==【提示】直接把a 代入22a a -+，然后利用对数的运算性质得答案 【考点】对数的计算 13.【答案】78【解析】如下图，连结DN，取DN中点P，连结PM，PC，则可知PMC∠即为异面直线AN，CM所成角（或其补角）易得：12P M A==，PC==，CM=，7cos8PMC∴∠==，即异面直线AN，CM所成角的余弦值为78第13题图【提示】连结ND，取ND的中点为E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是EMC∠通过解三角形，求解即可【考点】异面直线的夹角14.【答案】3【解析】221x y+≤表示圆221x y+=及其内部，易得直线63x y--与圆相离，故|63|63x y x y--=--，当220x y+-≥时，|22||63|24x y x y x y+-+--=-+，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数24z x y=-+，则可知当35x=，45y=时，min3z=，当220x y+-<时，|22||63|834x y x y x y+-+--=--，可行域为大的弓形内部，目标函数834z x y=--，同理可知当35x=，45y=时，min3z=，综上所述，|22||63|x y x y+-+--的最小值为3.第14题图【提示】根据所给x，y的范围，可得|22||63|x y x y+-+--，再讨论直线220x y+-=将圆221x y+=分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值【考点】线性规划的运用，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系15.【答案】12【解析】问题等价于12()||b xe ye-+r u r u r当且仅当x x=，y y=时，取得最小值1，两边平方，即22245b x y x y xy++--+r，在x x=，y y=时，取得最小值1，2222222224345(4)5(2)724yb x y x y xy x y x y y b x y b-⎛⎫++--+=+-+-+=++--+⎪⎝⎭r r r，0024012202||71yx xy ybb-⎧+=⎧⎪=⎪⎪∴-=⇒=⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎪⎩rr【提示】由题意和数量积的运算可得12π3e e=u r u rg，不妨设112e⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u r，2(1,0,0)e=u r，由已知可解52b t⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭r，可得2222143||(2()24)b xe yeyx y t-⎛⎫=++-+⎪⎝⎭-+r u r u r，由题意可得当1x x==，2y y==时，22243(2)24yx y t-⎛⎫++-+⎪⎝⎭取最小值1，由模长公式可得||br【考点】平面向量的模长，函数值的最值三、解答题16.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）由22212b a c-=及正弦定理得2211sin sin22B C-=，2cos2sinB C∴-=，又由π4A=，即3π4B C+=，得cos2sin22sin cosB C C C-==，解得tan2C=；（Ⅱ）由tan2C=，(0,π)C∈，得sin C=cos C=又πsin sin()sin4B AC C⎛⎫=+=+⎪⎝⎭Q，sin B∴=，由正弦定理得c=，又π4A=Q，1sin72bc A=，bc∴=故3b=【提示】（Ⅰ）由正弦定理可得：2211sin sin22B C-=，已知22212b a c-=．由π4A=．可得cos2sin22sin cosB C C C-==，即可得出答案．（Ⅱ）由πsin sin()sin4B AC C⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，可得c，即可得出b【考点】正弦定理17.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）18-【解析】（Ⅰ）设E为BC中点，由题意得1A E⊥平面ABC，1A E AE∴⊥，AB AC=Q，AE BC∴⊥，故AE⊥平面1A BC，由D，E分别为11B C，BC的中点，得1DE B B∥且1DE B B=，从而1DE A A∥，所以四边形1A AED为平行四边形，故1A D AE∥，又Q AE⊥平面1A BC，数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）∴1A D ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）作1A F BD ⊥，且1A FBD F =，连结1B F ，由AE EB ==1190A EA A EB ∠=∠=︒， 得114A B A A ==，由11A D B D =，11A B B B =， 得11A DB B DB △≌△， 由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，由1143A FB F ==，且112A B =， 由余弦定理得，111cos 8A FB ∠=-第17题图【提示】（Ⅰ）设E 为BC 中点，解得四边形1A AED 为平行四边形，故1A D AE ∥，又AE ⊥平面1A BC ，∴1A D ⊥平面1A BC（Ⅱ）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可【考点】线面垂直的判定与性质，二面角的求解 18.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）由22()24a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥得2a-≥1，故()f x 在[]1,1-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由(1)(1)24f f a --=≥， 得max{|(1)|,|(1)|}2f f -≥，即(,)2M a b ≥； 当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥， 得max{|(1)|,|(1)|}2f f --≥，即(,)2M a b ≥， 综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（Ⅱ）由(,)2M a b ≥，得|1|(1)2a b f ++=≤，|1|(1)2a b f -+=-≤， 故||3a b +≤，||3a b -≤由||0||||||0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，，，得||||3a b +≤， 当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且221||x x +-在[]1,1-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，所以||||a b +的最大值为3．【提示】（Ⅰ）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（Ⅱ）讨论0a b ==以及分析(,)2M a b ≤得到31a b -≤+≤且31b a -≤-≤，进一步求出||||a b +的求值【考点】二次函数的性质，分类讨论的思想19.【答案】（Ⅰ）m <m >（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，由22121x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112102bx x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， Q 直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点， 224220b m∴∆=-++>①将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-②由①②得m <m >；（Ⅱ）令160,22tm ⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2||2AB t +，且O 到直线AB 的距离为212d=设AOB △的面积为()S t ，1()||2S t AB d ∴=≤g 212t =时，等号成立， 故AOB △面积的最大值为2【提示】（Ⅰ）由题意，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，代入椭圆方程可得222112102b x x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程，解出答案． （Ⅱ）令160,t m ⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且O 到直线AB 的距离为21t d +=设△AOB 的面积为()S t ，即可得出答案【考点】直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，求函数最值 20.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意得，21n n n a a a +-=-≤0，即1n n a a +≤，12n a ≤， 由11(1)n n n a a a --=-，得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--->，由102n a ≤≤，得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--， 即112nn a a +≤≤； （Ⅱ）由题意得21n n n a a a +=-，11n n S a a +∴=-①，数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）由1111n n n n a a a a ++-=和112n n a a +≤≤，得11112n na a +≤-≤， 1112n nn n a a +∴≤-≤，因此()111()212n a n n n *+≤≤∈++N ②， 由①②得112(2)2(1)n S n n n ≤≤++【提示】（Ⅰ）通过题意易得102n a ≤≤()n *∈N ，利用21n n n a a a +=-可得11n n a a +≥，利用21121n n n n n na a a a a a +==≤--，即得结论； （2）通过21n n n a a a +=-累加得112n n S a +∴=-，利用数学归纳法可证明11(2)12n a n n n≥≥≥+，从而11111122(1)222n a n n n n n+---++≥≥，化简即得结论【考点】数列与不等式结合综合题。
2016年浙江省高考数学试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U PQ （）ð= A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}2.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n3.函数y =sin x 2的图象是4.若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 A.355 B.2 C.322 D.55.已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则A.(1)(1)0a b --<B. (1)()0a a b -->C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a -->6.已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .A.若()f a b ≤，则a b ≤B.若()2b f a ≤，则a b ≤C.若()f a b ≥，则a b ≥D.若()2b f a ≥，则a b ≥8.如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且 *1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则A.{}n S 是等差数列B.{}2n S 是等差数列C.{}n d 是等差数列D.{}2n d 是等差数列二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.10.已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是cm 3.12．设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a ≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______． 13．设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD =5，∠ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是______．15．已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ． （Ⅰ）证明：A =2B ；（Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值．17.（本题满分15分）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈.（I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.18.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.19.（本题满分15分）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.20.（本题满分15分）设函数()f x =311x x ++，[0,1]x ∈.证明：（I ）()f x 21x x ≥-+；（II ）34<()f x 32≤.2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题1.【答案】C2. 【答案】C3. 【答案】D4.【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】A二、填空题9. 【答案】80 ；40．10.【答案】(2,4)--；5．11. 【答案】2；1．12．【答案】－2；1．13．【答案】(27,8)． 14．【答案】6915．【答案】7 三、解答题16．【答案】（1）证明详见解析；（2）22cos 27C =. 【解析】试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力． 试题解析：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是，sin sin()B A B =-，又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-，因此，A π=（舍去）或2A B =，所以，2A B =.（2）由2cos 3B =，得5sin 3B =，21cos 22cos 19B B =-=-， 故1cos 9A =-，45sin 9A =， 22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【结束】17. 【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈；（2）2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩. 【解析】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力．试题解析：（1）由题意得：1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，则1213a a =⎧⎨=⎩， 又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=，得13n n a a +=，所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈.（2）设1|32|n n b n -=--，*n N ∈，122,1b b ==.当3n ≥时，由于132n n ->+，故132,3n n b n n -=--≥.设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.当3n ≥时，229(13)(7)(2)351131322n n n n n n n T --+---+=+-=-， 所以，2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.考点：等差、等比数列的基础知识.【结束】18.【答案】（1）证明详见解析；（2）217. 【解析】试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．试题解析：（1）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF AC ⊥，又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以BCK ∆为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥，所以BF ⊥平面ACFD .（2）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角，在Rt BFD ∆中，33,2BF DF ==，得21cos 7BDF ∠=， 所以直线BD 与平面ACFD 所成的角的余弦值为217.考点：空间点、线、面位置关系、线面角.【结束】19.【答案】（1）p=2；（2）()(),02,-∞+∞ .【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离. 由抛物线的第一得12p =，即p=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =，可设()2,2,0,1A t t t t ≠≠±. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠,由241y x x sy ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又直线AB 的斜率为212tt -，故直线FN 的斜率为212t t --， 从而的直线FN:()2112t y x t-=--，直线BN:2y t =-， 所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+---， 于是2221t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意. 综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞ .考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【结束】20.【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤，再结合第一问的结论，得到()34f x >，从而得到结论. 试题解析：(Ⅰ)因为()()4423111,11x x x x x x x----+-==--+ 由于[]0,1x ∈，有411,11x x x-≤++即23111x x x x -≤-++， 所以()21.f x x x ≥-+ (Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤，故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以()32f x ≤. 由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >， 综上，()33.42f x <≤ 考点：函数的单调性与最值、分段函数.【结束】。
2015年高考浙江理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ） （A ）[0,1) （B ）(0,2] （C ）(1,2) （D ）[1,2] 【答案】C【解析】(][),02,P =-∞+∞，()0,2R P =，()()1,2R P Q ∴=，故选C ．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ）（A ）38cm （B ）312cm （C ）332cm 3 （D ）340cm 3【答案】C【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱锥底面边长2，高为2，所以该几何体的体积3213222233V =+⨯⨯=，故选C ．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． （3）【2015年浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）（A ）10,0n a d dS >> （B ）10,0n a d dS << （C ）10,0n a d dS >< （D ）10,0n a d dS <>【答案】B【解析】因为245,,a a a 成等比数列，所以()()()211134a d a d a d +=++，化简得2150a d d =-<，()224114646140dS d a d a d d d =+=+=-<，故选B ．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题． （4）【2015年浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（ ）（A ）**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > （B ）**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >（C ）**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > （D ）**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 【答案】D【解析】全称命题:p x M ∀∈，()p x 的否定是0:p x M ⌝∃∈，()0p x ⌝，所以命题的否定为：*0n N ∃∈，()*0f n N ∉或()00f n n >，故选D ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． （5）【2015年浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则n a 与ACF ∆的面积之比是（ ） （A ）11BF AF --（B ）2211BF AF --（C ）11BF AF ++（D ）2211BF AF ++【答案】A【解析】如图所示，抛物线的准线DE 的方程为1x =-，又由抛物线定义知BF BD =，AF AE =，11BM BD BF ∴=-=-，11AN AE AF =-=-，11BCF ACF BMBF S BC S AC AN AF ∆∆-∴===-，故选A ． 【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．（6）【2015年浙江，理6】设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+．（A ）命题①和命题②都成立 （B ）命题①和命题②都不成立 （C ）命题①成立，命题②不成立 （D ）命题①不成立，命题②成立 【答案】A【解析】由题意，()()()(),20d A B card A card B card A B =+-≥，命题①：()()(),0A B card AB card AB d A B =⇔=⇔=，(),0A B d A B ∴≠⇔>，命题①成立．命题②：由维恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：()()(),,,d A C d A B d B C ≤+()()()()()()()()()222card A card C card A C card A card B card AB card B cardC card BC ⇔+-≤+-++-()()()()card A C card A B card B C card B ⇔≥+-()()()()card AC card AC B card A B C card B ⇔≥--⎡⎤⎣⎦，因为()0card A C ≥且()()()0card A C B card ABC card B --≤⎡⎤⎣⎦，故命题②成立，故选A ．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．（7）【2015年浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）（A ）(sin 2)sin f x x = （B ）2(sin 2)f x x x =+ （C ）2(1)1f x x +=+ （D ）2(2)1f x x x +=+ 【答案】D【解析】选项A ：当4x π=时，()212f =；当54x π=时，()212f =-； 选项B ：当4x π=时，()21164f ππ=+；当54x π=时，()22551164f ππ=+； 选项C ：当1x =-时，()20f =；当1x =时，()22f =；或()21f x +为偶函数，然而1y x =+并不是偶函数；选项D ：()()222111f x x f x x +=+-=+，令1t x =+得()21f t t -=，0t ≥，再令21t m -=，则1t m =+，()1f m m =+，故函数()1f x x =+可以满足要求，故选D ．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．（8）【2015年浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）（A ）A DB α'∠≤ （B ）A DB α'∠≥ （C ）A CB α'∠≤ （D ）A CB α'∠≤ 【答案】B【解析】解法一：考查特殊值，用排除法，若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ，当0α=时， 0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A ，C ，故选B ． 解法二：①当AC BC =时，A DB α'∠=； ②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，A OE α'=∠，连接AA '，易得ADA AOA ''∠<∠，A DB A OE ''∴∠>∠，即A DB α'∠>． 综上所述，A DB α'∠≥，故选B ．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（9）【2015年浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．【答案】23；22y x =±【解析】2a =，1b =，焦距223c a b =+=，∴焦距为23，渐近线22b y x x a =±=±．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（10）【2015年浙江，理10】已知函数221,1()2lg(1),1x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 【答案】0；223-【解析】()()((3))log1011230f f f f -===+-=；当1x ≥时，()23223f x x x=+-≥-（当2x =时取最小值）当2x =时取最小值，当1x <时，()()2log 1log10f x x =+≥=，2230-<，()f x ∴的最小值为223-．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题． （11）【2015年浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π；37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】()21cos 2123sin sin cos 1sin 21sin 222242x f x x x x x x π-⎛⎫=++=++=-+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期T π=； 单调递减区间：3222242k x k πππππ+≤-≤+，化简得3788k x k ππππ+≤≤+， ∴单调递减区间：37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． （12）【2015年浙江，理12】若2log 3a =，则22a a -+= ． 【答案】433【解析】由2log 3a =可知43a =，即23a =，所以14322333a a -+=+=． 【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题． （13）【2015年浙江，理13】如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 __．【答案】78【解析】取ND 的中点E ，因为//ME AN ，则EMC ∠为异面直线AN ，CM 所成的角．22AN =，2ME NE ∴==，22MC =，又EN NC ⊥，223EC EN NC ∴=+=，2837cos 82222EMC +-∴∠==⨯⨯．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （14）【2015年浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．【答案】3【解析】221x y +≤，630x y ∴-->，即6363x y x y --=--，如图，直线220x y +-=将直线221x y +=分成了两部分：①在阴影区域内的(),x y 满足220x y +-≥，即2222x y x y +-=+-， 此时()()2263226324x y x y x y x y x y +-+--=+-+--=-+，利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3；②在阴影区域外的(),x y 满足220x y +-≤，即()2222x y x y +-=-+-， 此时()()22632263834x y x y x y x y x y +-+--=-+-+--=--，利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3．综上，当35x =，45y =时，2263x y x y +-+--的最小值为3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．（15）【2015年浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ． 【答案】01x =，02y =，22b ==． 【解析】121212121cos ,cos ,2e e e e e e e e ⋅===，12,3e e π∴=，不妨设113,,022e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()21,0,0e =，(),,b m n t =，则由题意知113222b e m n ⋅=+=，252b e m ⋅==，解得52m =，32n =，53,,22b t ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭， ()125133,,2222b xe ye x y x t ⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭，()22221251332222b xe ye x y x t ⎛⎫⎛⎫∴-+=--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222243457224y x xy y x y t x y t -⎛⎫=++--++=++-+ ⎪⎝⎭，由题意，当1e x x ==，2e y y ==时，()22243224y x y t -⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭取到最小值1，此时21t =，故2225382222b t ⎛⎫⎛⎫=++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2015年浙江，理16】（本小题满分14分）在()nf n n ≤中，内角**,()n N f n N ∀∈∉所对边分别为**,()n N f n N ∀∈∉．已知4A π=，22212b ac -=-． （Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若()nf n n ≤的面积为7，求b 的值．解：（Ⅰ）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，故2cos2sin B C -=．又由4A π=，即34B C π+=， 得cos2sin22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =．（Ⅱ）由tan 2C =得25sin 5C =，5cos 5C =，又()sin sin sin 4B A C C π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故310sin 10B =，由正弦定理得223c b =，又4A π=，1sin 32bc A =，故62bc =，故3b =．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（17）【2015年浙江，理17】（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点．（Ⅰ）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值． 解：解法一：（Ⅰ）设E 为BC 的中点，连1,A E AE ．由题1A E ⊥平面ABC ，故1A E AE ⊥．因AB AC =，故AE BC ⊥， 从而AE ⊥平面1A BC ．由,D E 分别11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =， 从而1//DE A A ，且1DE A A =，所以1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ．又AE ⊥平面1A BC ， 故1A D ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）作1A F BD ⊥于F ，连1B F ，由题2AE EB ==，01190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==．由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆．由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠ 为二面角11A BD B --的平面角．由12A D =，14A B =，0190DA B ∠=，得32BD =，1143A F B F ==，由余弦定理得111cos 8A FB =-．解法二：（Ⅰ）如图，以BC 中点为原点O ，CB 方向为x 轴正方向，OA 为y 轴正方向，1OA 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．2BC =，22AC =，221114AO AA AO =+=，易知 ()10,0,14A ，()2,0,0B，()2,0,0C -，()0,2,0A ，()0,2,14D -，()12,2,14B -， ()10,2,0A D =-，()2,2,14BD =--，()12,0,0B D =-，()22,0,0BC =-， ()10,0,14OA =，110A D OA ∴⋅=，11A D OA ∴⊥，又10A D BC ⋅=，1A D BC ∴⊥，又1OA BC O =，1A D ∴⊥平面1A BC ．（Ⅱ）设平面1A BD 的法向量为()1111,,n x y z =，知11120n A D y ⋅=-=，111122140n BD x y z ⋅=--+=，则取()17,0,1n =，设平面1B BD 的法向量为()2222,,n x y z =，则2122222140n B D x y z ⋅=--+=，2220n BD x ⋅=-=，则取()20,7,1n =，12121211cos ,82222n n n n n n ⋅∴===⨯⋅，又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为18-．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． （18）【2015年浙江，理18】（本小题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记(),M a b 是()||f x 在区间[]1,1-上的最大值．（Ⅰ）证明：当||2a ≥时，(),2M a b ≥；（Ⅱ）当,a b 满足(),2M a b ≤，求||||a b +的最大值．解：（Ⅰ）由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得||12a -≥，故()f x 在[]1,1-上单调，因此()()(){},max |1|,|1|M a b f f =-．当2a ≥时，()()1124f f a --=≥，故()()4|1||1|f f ≤+-，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥；当2a ≤-时，()()1124f f a --=-≥，故()()4|1||1|f f ≤-+，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥．综上，当||2a ≥时，(),2M a b ≥．（Ⅱ）由(),2M a b ≤得()|1||1|2a b f ++=≤，()|1||1|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由()()||0||||||0a b ab a b a b ab ⎧+≥⎪+=⎨-<⎪⎩，得||||3a b +≤．当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[]1,1-的最大值为2，即()2,12M -=，故||||a b +的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解(),M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值，以及利用三角不等式变形．（19）【2015年浙江，理19】（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）． 解：（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB ：1y x b m=-+，代入椭圆方程并整理得()()222224210m x mbx m b +-+-=． 因直线AB 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，故()2222820m m m b ∆=+-> ①．将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+得2222m b m +=-②．由①②得m <m > （Ⅱ）令2130,2t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则||AB =，且O 到AB的距离为1t d +=，故AOB ∆的面积()1||2S t AB d =⋅≤，当且仅当12t =时，等号成立，故AOB ∆． 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（20）【2015年浙江，理20】（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且()21n n n a a a n N ++=-∈，数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明：（Ⅰ）()112n n an N a ++≤≤∈；（Ⅱ）()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 解：（Ⅰ）由题210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤． 由()111n n n a a a --=-得()()()12111110n n n a a a a a --=--->，故102n a <≤，从而(]111,21n n n a a a +=∈-，即112n n a a +≤≤． （Ⅱ）由题21n n n a a a +=-，故11n n S a a +=- ①．由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤，故11112n n n a a +≤-≤，因此()()111212n a n N n n ++≤≤∈++ ②， 由①②得()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析
2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D 是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ． [0，1） B ． （0，2] C ． （1，2） D ． [1，2] 考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析： 求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可．解答： 解：由P 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0， 解得：x ≤0或x ≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2）， ∵Q=（1，2]，∴（∁R P ）∩Q=（1，2）， 故选：C ． 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 8cm 3B ． 12cm 3C ．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2答： 的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ． 点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列． 分析： 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号． 解答： 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ，由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0．故选：B ．点评： 本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分根据全称命题的否定是特称命题即可得到析： 结论． 解答： 解：命题为全称命题， 则命题的否定为：∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f（n 0）＞n 0， 故选：D ． 点评： 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：直线与圆锥曲线的关系．专圆锥曲线的定义、性质与方程．题： 分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可． 解答： 解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x=﹣1，过A ，B 分别作AE ⊥DE 于E ，交y 轴于N ，BD ⊥DE 于E ，交y 轴于M ， 由抛物线的定义知BF=BD ，AF=AE ， 则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1， |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1， 则===，故选：A点评： 本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析： 命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可． 解答： 解：命题①：对任意有限集A ，B ，若“A ≠B ”，则A ∪B ≠A ∩B ，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），故“d （A ，B ）＞0”成立，若d （A ，B ）＞0”，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），则A ∪B ≠A ∩B ，故A ≠B 成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立， 故选：A 点评： 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答： 解：A ．取x=0，则sin2x=0，∴f （0）=0； 取x=，则sin2x=0，∴f （0）=1；∴f （0）=0，和1，不符合函数的定义； ∴不存在函数f （x ），对任意x ∈R 都有f （sin2x ）=sinx ；B ．取x=0，则f （0）=0； 取x=π，则f （0）=π2+π；∴f （0）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；C ．取x=1，则f （2）=2，取x=﹣1，则f （2）=0；这样f （2）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；D ．令|x+1|=t ，t ≥0，则f （t 2﹣1）=t ； 令t 2﹣1=x ，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f （x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D ． 点评： 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析： 解：画出图形，分AC=BC ，AC ≠BC 两种情况讨论即可．解答： 解：①当AC=BC 时，∠A ′DB=α； ②当AC ≠BC 时，如图，点A ′投影在AE上，α=∠A ′OE ，连结AA ′， 易得∠ADA ′＜∠AOA ′，∴∠A ′DB ＞∠A ′OE ，即∠A ′DB ＞α 综上所述，∠A ′DB ≥α， 故选：B ．点评： 本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2 ，渐近线方程是 y=±x ． 考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=， ∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x ．故答案为：2；y=±x ． 点评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= 0 ，f （x ）的最小值是 ．考函数的值．点： 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：根据已知函数可先求f （﹣3）=1，然后代入可求f （f （﹣3））；由于x ≥1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=lg （x 2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解 解答：解：∵f （x ）=，∴f （﹣3）=lg10=1，则f （f （﹣3））=f （1）=0， 当x ≥1时，f （x ）=，即最小值，当x ＜1时，x 2+1≥1，（x ）=lg （x 2+1）≥0最小值0，故f （x ）的最小值是． 故答案为：0；．点评： 本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [k π+，k π+]（k ∈Z ） ． 考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析： 由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间． 解答： 解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π， 由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ） 点本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的评： 周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log 43，则2a +2﹣a = ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析： 直接把a 代入2a +2﹣a ，然后利用对数的运算性质得答案．解答： 解：∵a=log 43，可知4a =3， 即2a =，所以2a +2﹣a =+=．故答案为：．点评： 本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M ，N分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析： 连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME 说明异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可． 解答： 解：连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME ，则ME ∥AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC ， ∵AN=2，∴ME==EN ，MC=2， 又∵EN ⊥NC ，∴EC==，∴cos ∠EMC===．故答案为：．点评： 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ． 考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆． 分析： 根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值． 解答： 解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ， 如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0， 即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3． 故答案为：3．点评： 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x ，y ∈R ，，则x 0=1 ，y 0=2 ，|= 2 ． 考点： 空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t ），可得|﹣（|2=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1，由模长公式可得|．解答： 解：∵•=||||cos ＜•＞=cos ＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m ，n ，t ）， 则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t ）， ∵﹣（）=（﹣x ﹣y ，，t ）， ∴|﹣（|2=（﹣x ﹣y ）2+（）2+t 2 =x 2+xy+y 2﹣4x ﹣5y+t 2+7=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1， 此时t 2=1，故|==2故答案为：1；2；2 点评： 本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分）（2015•浙江）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，b 2﹣a 2=c 2．（1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析： （1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=． （2）由=×=3，可得c ，即可得出b ． 解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2， 又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π）， ∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评： 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可． 解答： （1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1， 又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ； （2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（0，，1）， ∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评： 本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=x 2+ax+b （a ，b ∈R ），记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M （a ，b ）≥2； （2）当a ，b 满足M （a ，b ）≤2时，求|a|+|b|的最大值． 考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析： （1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明； （2）讨论a=b=0以及分析M （a ，b ）≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，进一步求出|a|+|b|的求值． 解答： 解：（1）由已知可得f （1）=1+a+b ，f （﹣1）=1﹣a+b ，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f （x ）在[﹣1，1]上单调， 所以M （a ，b ）=max{|f （1），|f （﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M （a ，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b ）﹣（1﹣a+b ）|≥|2a|≥|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x ∈[﹣1，1]．有﹣2≤x 2+ax+b ≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，易知|a|+|b|=max{|a ﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3． 点评： 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M （a ，b ）是|f（x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A ，B 关于直线y=mx+对称． （1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．可得△＞0，设线段AB 的中点P （x 0，y 0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P ，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，可得S △OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答： 解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由题意，△=4m 2n 2﹣4（m 2+2）（n 2﹣2）=8（m 2﹣n 2+2）＞0， 设线段AB 的中点P （x 0，y 0），则．x 0=﹣m ×+n=， 由于点P 在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m 4+4m 2﹣4＞0， 解得m 2，∴或m ．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n 2（m 2﹣n 2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n 2=m 2﹣n 2+2，即2n 2=m 2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *），又∵a 2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a 1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n ∈N *）．点评： 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年高考理科数学(全国二卷)真题
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）(青海、西藏、甘肃、贵州、内蒙古、新疆、宁夏、吉林、黑龙江、云南、辽宁、广西、海南等)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={X|（X-1）（X+2）<0}，则A I B=（）A．{-1,0}B．{0,1}C．{-1,0,1}D．{0,1,2} 2.若a为实数，且（2+ai）（a-2i）= - 4i，则a=（）A．-1B．0C．1D．23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4.已知等比数列{} 满足=3，+=21，则++=（）A．21B．42C．63D．845.设函数f（x）=则f（-2）+f（）=（）A．3B．6C．9D．126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则IMNI=（）A．2B．8C．4D．108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入的a , b分别为14 ，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90o，C 为该球上的动点，若三棱锥O-ABC的体积最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10.如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=，将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．3D ．212.设函数f’(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，x f’(x)- f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（，-1）∪（0,1）B ．（，0）∪（1,+）C ．（，-1）∪（-1,0）D ．（，1）∪（1,+）二、填空题13.设向量a,b 不平行，向量λ a+b 与a+2b 平行，则实数 λ =14.若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为15.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=16.设S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且1111,n n n a a s s ++=-=，则S n =三、解答题17.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍 （I ）求Csin Bsin ∠∠ （II ）若AD=1，DC=22，求BD 和AC 的长18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立。
2015年浙江省高考数学试卷及答案(文科)完整版.doc
绝密★考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 台体的体积公式11221()3V h S S S S =++其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P =I （ ） A ．[)3,4 B ．(]2,3 C ．()1,2- D ．(]1,3- 2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A ．83cm B ．123cmC ．3233cm D ．4033cm3、设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m5、函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++ 7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60o ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =o ，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支 8、设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin 2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9、计算：22log 2= ，24log 3log 32+= ． 10、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．11、函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．12、已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．13、已知1e r ，2e r 是平面单位向量，且1212e e ⋅=r r ．若平面向量b r 满足121b e b e ⋅=⋅=r r r r ，则b =r．14、已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ．15、椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.17.（本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈L .（1）求n a 与n b ;（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .18.（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABC A B C -中，011ABC=90=AC2,AA 4,A ?=，AB 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. (1)证明: 11D A BC A ⊥平面； (2)求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.19.（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4x ：y=，圆222C (y 1)1x +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.(1)求点A ，B 的坐标； (2)求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点， 且与抛物线的对称轴不平行，则该直线 与抛物线相切，称该公共点为切点.20.（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.(1)当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； (2)已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）参考答案一、 选择题1. A2.C3.D4.A5.D6.B7.C8.B二、 填空题9.1,332- 10.2,13- 11.32,2π- 12.1;2662-- 13.23314.15 15.22三、解答题16. 【答案】(1)25；(2)9（1）利用两角和与差的正切公式，得到tan 13A =,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论； （2）利用正弦原理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积 试题解析：（1）由tan 12,tan ,43A A π⎛⎫+==⎪⎝⎭得所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++(2) 由tan 13A =可得，sin 10310;cos 1010A A ==. 3,,4a B π==由正弦定理知：b=35又()25sin sin sin cos ,5C A B A B =+==所以S ∆ABC =11sin 22ab C =×3×35×255=9 17. 【答案】(1)2;n n n a b n==；(2)1*(1)22()n n T n n N +=-+∈（1）由112,2,n n a a a +==得2.nn a =当n=1时，121,b b =-故22b = 当n 2≥时，11,n n n b b b n+=-整理得11,n n b n b n ++=所以n b n =（2）由（1）知，2nn n a b n =g所以23n 222322n T n =+++⋅⋅⋅+g gg ()4231n 222222122n n T n n +=+++⋅⋅⋅+-+g g g g所以()1n 122n T n +=-+18. 【答案】(1)略；(2)78（1）设E 为BC 中点，由题意得1A E ⊥平面ABC,所以1.A E AE ⊥ 因为,AB AC =所以AE BC ⊥ 所以AE ⊥平面1A BC由D,E 分别为11.B C BC 的中点，得1//,DE BB 从而DE//1AA 且DE=A 1A 所以1AA DE 是平行四边形，所以1//A D AE 因为AE ⊥平面1,A BC 所以1A D ⊥平面1A BC(2)作1A F DE⊥，垂足为F ，连结BF.因为AE ⊥平面1A BC，所以1BC A E⊥. 因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE.所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C.所以1A BF∠为直线1A B与平面11BB C C所成角的平面角.由2,90AB AC CAB ==∠=o，得2EA EB ==.由AE ⊥平面1A BC，得1114,14A A A B A E ===.由1114,2,90DE BB DA EA DA E ====∠=o，得172A F =.所以17sin 8A BF ∠=19. 【答案】(1)222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；(2)32t（1）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为().y k x t =-所以()214y k x t y x =-=⎧⎨⎩消去y,整理得：2440x kx kt -+=因为直线PA 与抛物线相切，所以216160k kt ∆=-=，解得k t =.所以2x t =，即点2(2,)A t t . 设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B,O 关于直线PD 对称，故有00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩，解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t ++. (2)由(1)知，21AP t t =+，直线AP 的方程为20tx y t --=， 所以点B 到直线PA 的距离为221t d t =+.所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=.20. 【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,945]--（1） 当214a b =+时，()21,2a f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故其对称轴为2a x =- 当2a ≤-时，()()2124a g a f a ==++ 当-2<a 2≤时，g ()12a a f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当a >2时，g ()()2124a a f a =-=-+ 综上所述，222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩（2）设s,t 为方程()0f x =的解，且-11t ≤≤，则{s t ast b+=-=由于021b a ≤-≤，因此()2121122t ts t t t --≤≤-≤≤++ 当01t ≤≤时，2222.22t t t b t t --≤≤++ 由于222032t t --≤≤+和21294 5.32t t t t--≤≤-+ 所以29453b -≤≤- 当-122220,22t t t t b t t --≤≤≤≤++ 由于2222t t --≤+<0和232t t t --≤+<0，所以-3b ≤<0.综上可知，b 的取值范围 是3,945⎡⎤--⎣⎦高考。
2015年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理数
2015年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理数2015年的普通高等学校招生全国统一考试即将到来，对于浙江卷的理数部分，考生需要做好充分的准备。
本文将就2015年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理数部分的考试要点和备考建议进行论述。
一、考试要点1. 数学部分数学部分主要考察考生对于数学知识的掌握与应用能力。
其中重点包括数与式、函数与方程、图形与几何、数据与概率四个方面。
考生需要深入理解各个知识点，并能够熟练运用于解题中。
2. 理科综合部分理科综合部分主要考察考生对于物理、化学、生物方面的综合运用与分析能力。
考生需要掌握相关知识，并能够根据题目要求进行综合运用，解决问题。
同时，做好常见实验现象的归纳总结也是备考重点。
二、备考建议1. 制定合理学习计划备考前，考生需要制定合理的学习计划。
同时，考生需要合理安排时间，保证每个知识点都能得到充分的复习。
要避免“重点马虎，非重点刻苦”的情况发生，全面复习所有知识点。
2. 练习题目与模拟考试备考过程中，考生需要通过做题来提高自己的解题能力。
可以选择做一些历年真题，还可以参加一些模拟考试来检测自己的备考情况。
通过做题，可以更好地了解自己的薄弱环节，并进行有针对性的复习。
3. 合理安排休息时间备考期间，考生不可忽视休息时间。
适当的休息可以帮助考生调整状态，提高学习效率。
每天保证充足的睡眠时间，合理运动，保持良好的身体状况。
4. 积极参加辅导班或自习课程如果考生对于某些知识点掌握有困难，可以考虑参加辅导班或自习课程。
这样可以通过专业老师的指导，对困难知识点进行深入学习与理解。
同时，也可以和其他备考学生进行交流和讨论，相互促进提高。
总结：以上就是对于2015年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理数部分的考试要点和备考建议的综合论述。
希望考生能够根据自身情况，制定合理的备考计划，并严格按照计划进行复习与准备。
相信通过努力，考生一定能够在考试中取得优异的成绩！。
2015年普通高等学校全国统一招生考试(新课标版)模拟试卷理科数学
2015年普通高等学校全国统一招生考试（新课标版）模拟试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1．答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝1－1i的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合M ＝{x|0＜|x －1|＜2}，N ＝{x|x(x －3)＜0}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A ．f(x)＝|x|xB ．f(x)＝12x －1＋12C ．f(x)＝e x －e －xe x ＋e－x D ．f(x)＝lg(sinx) 4．某地区为了了解小学生的身高发育情况，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若a ∶b ＝7，由图中可知，身高落在[110,130)范围内的学生人数是A ．35B ．24C ．46D ．655．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向左平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A ．0B ．1 C.32D ．3 6．下列四个结论：①两条直线都和第三条直线异面，则这两条直线异面；②两条直线和某个平面只有一个公共点，则这两条直线可能平行；③两条直线都和第三条直线没有公共点，则这三条直线中至少有两条直线是异面的； ④一条直线和一个平面内无数条直线都有公共点是这条直线在这个平面内的充要条件． 其中正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．37．已知向量a ＝(x ，y 3)，向量b ＝(x ，－y 3)，曲线a·b ＝1上一点P 到F(2,0)的距离为4，Q 为PF 的中点，O 为坐标原点，则|OQ|的值是A ．1或2B ．2或3C ．3或2D ．1或38．设k 是一个正整数，(1＋x k )k 的展开式中第四项的系数为116，则函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为A.．343 B ．323 C ．10 D ．2839．下列区间(其中k ∈Z)为函数f(x)＝1＋3tanx 1＋tan 2x单调递增区间的是 A ．[kπ＋π6，kπ－π2] B ．[kπ－π3，kπ＋π6] C ．(kπ－π3，kπ＋π6) D ．(kπ－2π3，kπ＋π3] 10．当实数x 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x>0y ≥x 2x ＋y ＋k ≤0(其中k<0)时，y ＋2x 的最小值为3，则实数k 的值是A ．－3B ．3C ．－23D ．2311．抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N ＋，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于A ．64B ．42C ．32D ．2112．若函数f(x)，g(x)分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e x ，则有A ．f(2)＜f(3)＜g(0)B ．g(0)＜f(3)＜f(2)C ．f(2)＜g(0)＜f(3)D ．g(0)＜f(2)＜f(3)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项：1．答题前，考生先在答题纸上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2015年高考理科数学全国卷2(含答案解析)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)数学（理科）使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则AB =（ ）A ．{1,0}A =-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2} 2．若a 为实数，且(2i)(2i)4i a a +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{}n a 满足13a =，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数211log (2),1,()2, 1,x x x f x x -+-⎧=⎨⎩＜≥则2(2)(log 12)f f -+=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A．18B ．17C ．16D ．157．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．108．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．149．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°， C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的 最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ ）ABCD11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．2 12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=________.14．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为________.15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =________. 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍.（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长. 18．（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.19．（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆222 9(0)C x y m m +=>：,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.21．（本小题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e --≤，求m 的取值范围.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF BC ∥；（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0πα≤＜.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:23cos C ρθ=. （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+； （Ⅱ）a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{AB -=，故选A ．【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B【解析】设等比数列公比为q ，则24111++21a a q a q =，又因为13a =，所以42+60q q -=，解得22q =，所以2357135++(++)42a a a a a a q ==，故选B ．【提示】由已知，13a =，135++21a a a =，利用等比数列的通项公式可求q ，然后在代入等比数列通项公式即可求．【考点】等比数列通项公式和性质．5.【答案】C【解析】由已知得2(2)1+log 43f -==，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)+(log 12)9f f -=．【提示】先求2(2)1+log (2+2)1+23f -===，再由对数恒等式，求得2(log 12)6f =，进而得到所求和．【考点】函数定义域以及指数对数的运算． 6.【答案】D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15．故选D ．【提示】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【考点】几何图形的三视图． 7.【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，2+7341CB k ==-，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)+(+2)25x y -=，令0x =，得2y =±，所以||MN =，故选C ．【提示】设圆的方程为22+++0x y Dx Ey F =，代入点的坐标，求出D ，E ，F ，令0x =，即可得出结论．【考点】直线与圆的相交，距离的计算． 8.【答案】B【解析】程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ．【提示】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a ，b 的值，即可得到结论．【考点】程序框图． 9.【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -体积最大，设球O 的半径为R ，此时23--11136326O ABC C ABC V V R R R ==⨯⨯==，故R ＝6，则球O 的表面积为：24π144πS R ==，选C ．【提示】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，利用三棱锥O ABC -体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．【考点】球面的表面积和锥体的体积． 10.【答案】B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即π04x ≤≤时，P A ＋PBtan x ； 当点P在CD边上运动时，即π3π44x ≤≤，π2x ≠时，+PA P B =当π2x =时，+PA PB = 当点P 在AD 边上运动时，3ππ4x ≤≤时，P A ＋PB＝tan +P A P x B =， 从点P 的运动过程可以看出轨迹关于直线π2x =对称，且ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且轨迹非线型，故选B ．【提示】根据函数图像关系，利用排除法进行求解即可． 【考点】动点的函数图像． 11.【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，如图所示，||||AB BM =，120ABM ∠=︒，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN △中，||BN a =，||MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b c a ==-，即222c a =，所以e 故选D ．【提示】设M 在双曲线22221x ya b -=的左支上，由题意可得M的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程可得a b =，再由离心率公式即可得到所求值． 【考点】双曲线离心率． 12.【答案】A 【解析】记函数()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(,+)∞0单调递减，又因为函数()f x ()x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递增，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．【提示】由已知当0x >时总有()()0xf x f x '-<成立，可判断函数()()f x g x x=为减函数，由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，可证明()g x 为(,0)(0,+)-∞∞上的偶函数，根据函数()g x 在(0,+)∞上的单调性和奇偶性，模拟()g x 的图像，而不等式()0f x >等价于()0x g x >，数形结合解不等式组即可．【考点】奇函数，导数，定义域的求解．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】12【解析】因为向量+a b λ与+2a b 平行，所以+(+2)a b k a b λ=，则12k k λ=⎧⎨=⎩，，所以12λ=．【提示】利用向量平行即共线的条件，得到向量+a b λ与+2a b 之间的关系，利用向量相等解析【考点】平面向量的基本定理．14.【答案】32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为+y x z =，当z 取最大时，直线+y x z=的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到11,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，则+z x y =的最大值为32．【提示】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值【考点】线性规划问题的最值求解． 15.【答案】3【解析】由已知得4234(1+)1+4+6+4+x x x x x =，故4(+)(1+)a x x 的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为4+4+1+6+132a a =，解得3a =． 【提示】给展开式中的x 分别赋值1，1-，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【考点】排列组合． 16.【答案】1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=，两边同时除以+1n n S S ，得+1111n nS S -=-，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n n n S =---=-，所以1n S n =-． 【提示】通过111n n n n n a S S S S +++=-=，并变形可得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项和公差均为1-的等差数列，进而可得结论． 【考点】数列的求和运算． 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）BD =1AC =【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD =∠△，1sin 2ADC S AC AD CAD =∠△． 因为2ABD ADC S S =△△，BAD CAD ∠=∠， 所以2AB AC =． 由正弦定理得：sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为:ABD ADC S S BD DC ==△△所以BD =．在ABD △和ADC △，由余弦定理知：222+2cos AB AD BD AD BD ADB =-∠，222+2cos AC AD DC AD DC ADC =-∠，故22222+23++26AB AC AD BD DC == 由（Ⅰ）知2AB AC =， 所以1AC =．【提示】（Ⅰ）过A 作AE BC ⊥于E ，由已知及面积公式可得2BD DC =，由AD 平分BAC ∠及正弦定理可得sin sin AD BAD B BD ⨯∠∠=，sin sin AD DAC C DC ⨯∠∠=，从而得解sin sin BC∠∠．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求BD =D 作DM AB ⊥于M ，作DN AC ⊥于N ，由AD平分BAC ∠，可求2AB AC =，利用余弦定理即可解得BD 和AC 的长． 【考点】正弦定理，余弦定理． 18.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）0.48【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． （Ⅱ）记1AC 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或不满意”； 记2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 记1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 记2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =，112211221122()()()+()()()+()()B A B A B A B A B A B A P C P C C C C P C C P C C P C P C P C P C ===由所给数据的1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820，故116()20A P C =，24()20A P C =，110()20B P C =，28()20B PC =，101684()+202020200.48P C =⨯⨯=.【提示】（Ⅰ）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可； （Ⅱ）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可． 【考点】茎叶图，古典概型的相关运算． 19.【答案】（Ⅰ）见如图（Ⅱ）15【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==.因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是6MH ==，所以10AH =.以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图示空间直角坐标系D xyz -， 则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ．(0,6,8)HE =-，(10,0,0)FE =． 设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则00n FE n HE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1006+80x y z =⎧⎨-=⎩，所以可取(0,4,3)n =又(10,4,8)AF -=．故||45sin |cos ,|=15||||n AF n AF n AF θ==．所以AF 与平面EHGF ． 【提示】（Ⅰ）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（Ⅱ）分别以直线DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A ，H ，E ，F 几点的坐标．设平面EFGH 的法向量为(,,)n x y z =，根据n FE n HE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即可求出法向量n ，AF 坐标可以求出，可设直线AF 与平面EFGH 所成角为θ，由sin |cos ,|n AF θ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【考点】线面平行、相交，线面夹角的求解． 20.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）能4【解析】（Ⅰ）设直线l ：+(00)y kx b k b =≠≠，，11(,)A x y ，22(,)B x y (,)M M M x y ．将+y kx b =代入2229+x y m =得2222(+9)+2+0k x kbx b m -=．故122+2+9M x x kb x k -==，29++9M M by kx b k ==， 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，9OM k k =-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． 由22299+y x k xy m⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22229+81P k m x k =，即P x = 将点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入l 的方程得(3)3m k b -=，因此()233+9M kk m x k -=（）四边形OAPB 为平行四边形且当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =， 于是()2323+9k k m k =－（），解得14k =-2k =因为0i k>，3i k ≠，12i =，， 所以当l 的斜率为4OAPB 为平行四边形．【提示】（Ⅰ）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（Ⅱ）四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =，建立方程关系即可得到结论．【考点】直线的点斜式方程，平行四边形的判定． 21.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）(1,1)-【解析】（Ⅰ）因为2()e mx f x x mx =+-，所以()e 2mx f x m x m '=+-，2()e +20mxf x m ''=≥在R 上恒成立， 所以()e 2mxf x m x m '=+-在R 上单调递增，而(0)0f '=，所以0x >时，()0f x '>； 所以0x <时，()0f x '<．所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()(0)1f x f ==，当0m =时，2()1+f x x =， 此时()f x 在[]1,1-上的最大值是2. 所以此时12()()|e 1f x f x -≤-|成立．当0m ≠时，(1)e +1+m f m --=，(1)e +1mf m =-，令()(1)(1)e e 2m mg m f f m -=--=--在R 上单调递增，而(0)0g =，所以0m >时，()0g m >，即(1)(1)f f >-， 0m <时，()0g m <，即(1)(1)f f <-．当0m >时，12|()()|(1)1e e 101mf x f x f m m -≤-=-≤-⇒<<，当0m <时，12|()()|(1)1e +e ()e 110m mf x f x f m m m ---≤--=≤--≤-⇒-<<．所以，综上所述m 的取值范围是(1,1)-．【提示】（Ⅰ）利用()0f x '≥说明函数为增函数，利用()0f x '≤说明函数为减函数．注意参数m 的讨论；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[]1,0-单调递减，在[0,1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m 的取值范围． 【考点】导数的运算，单调性的判别，分类讨论，运算求解能力． 22.【答案】（Ⅰ）见解析【解析】（Ⅰ）由于ABC △是等腰三角形，AD BC ⊥， 所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，故AD EF ⊥． 所以EF BC ∥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =，AD EF ⊥， 故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 为O 的弦， 所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥． 由AG 等于O 的半径的2AO OE =，所以30OAE ∠︒＝，因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE = 所以4AO =，2OE =．因为2OE OM ==，12DM MN == 所以1OD =.于是5AD =，AB =．所以四边形EBCF的面积为221122⨯-⨯=⎝⎭（．【提示】（Ⅰ）通过AD 是CAB ∠的角平分线及圆O 分别与AB ．AC 相切于点E 、F ，利用相似的性质即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）知AD 是EF 的垂直平分线，连结OE 、OM ，则OE AE ⊥，利用ABC AEF S S -△△计算即可．【考点】等腰三角形，线线平行的判别，运算求解能力，面积的求解 23.【答案】（Ⅰ）(0,0)32⎫⎪⎪⎝⎭（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为22+0x y -=．联立2222+20+0x y y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)和32⎫⎪⎪⎝⎭．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θα=(0)ρρ∈≠R ，，其中0πα≤<． 因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以π|||2sin |4sin 3AB ααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．当5π6α=时，||AB 取得最大值，最大值为4. 【提示】（Ⅰ）由曲线C 2：2sin ρθ=，化为22sin ρρθ=，把222s n +i x y y ρρθ⎧=⎨=⎩代入可得直角坐标方程．同理，由C 3：ρθ=，可得直角坐标方程，联立解出可得C 2与C 3交点的直角坐标． （Ⅱ）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，化为普通方程：tan y x α=，其中0πα≤<，其极坐标方程为：θα=(0)ρρ∈≠R ，，利用|||2sin |AB αα=-即可得出． 【考点】极坐标与参数方程，求解交点坐标，最大值的求解24.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）因为2+a b =2+c d = 由题设++a b c d =，ab cd >得22>>（Ⅱ）(ⅰ)若||||a b c d -<-则22()()a b c d -<-，即22(+)4(+)4a b ab c d cd -<-．因为++a b c d =，所以ab cd >．>(ⅱ)22>，即2++a b c d >． 因为++a b c d =，所以ab cd >，于是2222()(+)4(+)4()a b a b ab c d cd c d -=-<-=-因此||||a b c d -<-．||||a b c d-<-的充要条件．【提示】（Ⅰ）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且++a b c d=，ab cd>，即可得证；（Ⅱ）从两方面证，>证得||||a b c d-<-，②若||||a b c d-<-，证>【考点】不等式的证明和判定，充分、必要条件．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(浙江卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试浙江理科数学本试题卷分选择题和非选择题两部分,全部共4页,选择题部分第1页至第2页,非选择题部分第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意: 1. 2.参考公式:选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015浙江,理1)已知集合P={x|x 2-2x ≥0},Q={x|1<x ≤2},则(∁R P )∩Q=( ) A .[0,1) B .(0,2] C .(1,2) D .[1,2] 答案:C解析:∵P={x|x (x-2)≥0}={x|x ≥2或x ≤0},∴∁R P=(0,2).又∵Q=(1,2],∴(∁R P )∩Q=(1,2),故选C .2.(2015浙江,理2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A .8 cm 3B .12 cm 3C .323 cm 3 D .403cm 3 答案:C解析:由三视图知该几何体是一个正方体与正四棱锥的组合体,其中正方体与正四棱锥的底面边长为2 cm,正四棱锥的高为2 cm,则该几何体的体积V=2×2×2+13×2×2×2=323(cm 3),故选C .3.(2015浙江,理3)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( ) A .a 1d>0,dS 4>0 B .a 1d<0,dS 4<0 C .a 1d>0,dS 4<0 D .a 1d<0,dS 4>0 答案:B解析:设{a n }的首项为a 1,公差为d ,则a 3=a 1+2d ,a 4=a 1+3d ,a 8=a 1+7d.∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴(a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+7d ),即3a 1d+5d 2=0.∵d ≠0,∴a 1d=-53d 2<0,且a 1=-53d. ∵dS 4=4d(a 1+a 4)2=2d (2a 1+3d )=-23d 2<0,故选B .4.(2015浙江,理4)命题“∀n ∈N *,f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A .∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B .∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C .∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D .∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案:D解析:命题“∀n ∈N *,f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”,故选D .5.(2015浙江,理5)如图,设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是 ( )A .|BF|−1|AF|−1B .|BF|2−1|AF|2−1C .|BF|+1|AF|+1D .|BF|2+1|AF|2+1答案:A解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由抛物线定义,得|AF|=x 1+1,|BF|=x 2+1,则S △BCF S △ACF=BC AC=x 2x 1=|BF|−1|AF|−1,故选A .6.(2015浙江,理6)设A ,B 是有限集,定义:d (A ,B )=card(A ∪B )-card(A ∩B ),其中card(A )表示有限集A 中元素的个数. 命题①:对任意有限集A ,B ,“A ≠B ”是“d (A ,B )>0”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A ,B ,C ,d (A ,C )≤d (A ,B )+d (B ,C ). A .命题①和命题②都成立 B .命题①和命题②都不成立 C .命题①成立,命题②不成立 D .命题①不成立,命题②成立 答案:A7.(2015浙江,理7)存在函数f (x )满足:对于任意x ∈R 都有 ( )A .f (sin 2x )=sin xB .f (sin 2x )=x 2+xC .f (x 2+1)=|x+1| D .f (x 2+2x )=|x+1| 答案:D解析:∵|x+1|=√(x +1)2=√x 2+2x +1,∴存在函数f (x )=√x +1,使f (x 2+2x )=|x+1|对∀x ∈R 成立,故选D .8.(2015浙江,理8)如图,已知△ABC ,D 是AB 的中点,沿直线CD 将△ACD 翻折成△A'CD ,所成二面角A'-CD-B 的平面角为α,则( )A .∠A'DB ≤α B .∠A'DB ≥αC .∠A'CB ≤αD .∠A'CB ≥α答案:B 解析:设∠ADC=θ,设AB=2,则由题意AD=BD=1.在空间图形中,设A'B=t. 在△A'BD 中,cos ∠A'DB=A′D 2+DB 2−AB 22A′D×DB=12+12−t 22×1×1=2−t 22. 在空间图形中,过A'作A'N ⊥DC ,过B 作BM ⊥DC ,垂足分别为N ,M. 过N 作NP MB ,连结A'P ,所以NP ⊥DC. 则∠A'NP 就是二面角A'-CD-B 的平面角, 所以∠A'NP=α.在Rt △A'ND 中,DN=A'D cos ∠A'DC=cos θ,A'N=A'D sin ∠A'DC=sin θ. 同理,BM=PN=sin θ,DM=cos θ.故BP=MN=2cos θ. 显然BP ⊥面A'NP ,故BP ⊥A'P.在Rt △A'BP 中,A'P 2=A'B 2-BP 2=t 2-(2cos θ)2=t 2-4cos 2θ.在△A'NP 中,cos α=cos ∠A'NP=A′N 2+NP 2−A′P 22A′N×NP=sin 2θ+sin 2θ−(t 2−4cos 2θ)2sinθ×sinθ=2+2cos 2θ−t 22sin 2θ=2−t 22sin 2θ+cos 2θsin 2θ=1sin 2θcos ∠A'DB+cos 2θsin 2θ.因为1sin 2θ≥1,cos 2θsin 2θ≥0,所以cos α≥cos ∠A'DB (当θ=π2时取等号),因为α,∠A'DB ∈[0,π],而y=cos x 在[0,π]上为递减函数, 所以α≤∠A'DB.故选B .非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9.(2015浙江,理9)双曲线x 22-y 2=1的焦距是 ,渐近线方程是 . 答案:2√3 y=±√22x解析:由双曲线的方程x 22-y 2=1可知,a=√2,b=1.所以c=√a 2+b 2=√3.故双曲线的焦距为2c=2√3;双曲线的渐近线方程为y=±b ax=±√2x ,即y=±√22x. 10.(2015浙江,理10)已知函数f (x )={x +2x−3,x ≥1,lg(x 2+1),x <1,则f (f (-3))= ,f (x )的最小值是 .答案:0 2√2-3解析:f (-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,f (f (-3))=f (1)=1+21-3=0.当x ≥1时,f (x )=x+2x-3≥2√2-3,当且仅当x=2x,即x=√2时取得最小值,当x<1时,x 2+1≥1,lg(x 2+1)≥0,综上所述,f (x )的最小值为2√2-3.11.(2015浙江,理11)函数f (x )=sin 2x+sin x cos x+1的最小正周期是 ,单调递减区间是 . 答案:π [3π8+kπ,7π8+kπ],k ∈Z 解析:f (x )=sin 2x+sin x cos x+1=1−cos2x 2+12sin 2x+1 =12(sin 2x-cos 2x )+32 =√22sin (2x −π4)+32. 故T=2π2=π.令2k π+π2≤2x-π4≤2k π+3π2,k ∈Z ,解得k π+3π8≤x ≤k π+7π8,k ∈Z ,故f (x )的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k ∈Z .12.(2015浙江,理12)若a=log 43,则2a +2-a = . 答案:4√33解析:由a=log 43,知2a +2-a =2log 43+2−log 43=2log 2√3+2log 2√33=√3+√33=4√33. 13.(2015浙江,理13)如图,在三棱锥A-BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M ,N 分别为AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是 .答案:78解析:连结DN ,取DN 的中点P ,连结PM ,CP ,因为M 是AD 的中点,故PM ∥AN ,则∠CMP 即为异面直线AN ,CM 所成的角,∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,可得AN=CM=DN=2√2,故MP=PN=√2.在Rt △PCN 中,CP=√PN 2+CN 2=√2+1=√3,由余弦定理可得,cos ∠CMP=CM 2+MP 2−CP 22·CM·MP=2×2√2×√2=78,故异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值为78. 14.(2015浙江,理14)若实数x ,y 满足x 2+y 2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 . 答案:3解析:画出直线2x+y-2=0和x+3y-6=0以及圆x 2+y 2=1的图形,如图.(1)如图,当点(x ,y )在区域Ⅰ(阴影部分)时,{2x +y −2≥0,x +3y −6<0,所以|2x+y-2|+|6-x-3y|=2x+y-2+6-x-3y=x-2y+4.令t=x-2y+4,则y=12x+2-t 2,画出直线l 1:y=12x ,平移l 1经过点B 时,t 取得最小值. 由{2x +y −2=0,x 2+y 2=1得{x =1,y =0或{x =35,y =45,即A (1,0),B (35,45).所以t min =35-2×45+4=3.(2)如图,当点(x ,y )在区域Ⅱ时,{2x +y −2≤0,x +3y −6<0,所以|2x+y-2|+|6-x-3y|=-2x-y+2+6-x-3y=-3x-4y+8. 令S=-3x-4y+8,则y=-34x+2-S 4,画出直线l 2:y=-34x ,平移l 2经过点B 时,S 取得最小值, 所以,S min =-3×35-4×45+8=3.综上,|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3.15.(2015浙江,理15)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2=12.若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52,且对于任意x ,y ∈R ,|b -(x e 1+y e 2)|≥|b -(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0= ,y 0= ,|b |= . 答案:1 2 2√2解析:设e 3为空间单位向量,且满足e 3⊥e 2,e 3⊥e 1,∵|b -(x 0e 1+y 0e 2)|=1,故设b =x 0e 1+y 0e 2+e 3, ∵b ·e 1=2,即(x 0e 1+y 0e 2+e 3)·e 1=2,得x 0+12y 0=2,又∵b ·e 2=52,即(x 0e 1+y 0e 2+e 3)·e 2=52,得12x 0+y 0=52,解{2x 0+y 0=4,x 0+2y 0=5得x 0=1,y 0=2,此时,b =e 1+2e 2+e 3,|b |=√e 12+4e 22+e 32+4e 1·e 2+2e 1·e 3+4e 2·e 3=√1+4+1+4×12+0+0=√8=2√2.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分14分)(2015浙江,理16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知A=π4,b 2-a 2=12c 2. (1)求tan C 的值;(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.满分14分. 解:(1)由b 2-a 2=12c 2及正弦定理得sin 2B-12=12sin 2C ,所以-cos 2B=sin 2C. 又由A=π4,即B+C=34π,得-cos 2B=sin 2C=2sin C cos C , 解得tan C=2.(2)由tan C=2,C ∈(0,π)得sin C=2√55,cos C=√55. 又因为sin B=sin(A+C )=sin (π4+C), 所以sin B=3√1010. 由正弦定理得c=2√23b , 又因为A=π4,12bc sin A=3,所以bc=6√2,故b=3. 17.(本题满分15分)(2015浙江,理17)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A 1A=4,A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是B 1C 1的中点.(1)证明:A 1D ⊥平面A 1BC ;(2)求二面角A 1-BD-B 1的平面角的余弦值.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.满分15分. (1)证明:设E 为BC 的中点,由题意得A 1E ⊥平面ABC ,所以A 1E ⊥AE.因为AB=AC ,所以AE ⊥BC. 故AE ⊥平面A 1BC.由D ,E 分别为B 1C 1,BC 的中点,得DE ∥B 1B 且DE=B 1B ,从而DE ∥A 1A 且DE=A 1A , 所以A 1AED 为平行四边形. 故A 1D ∥AE.又因为AE ⊥平面A 1BC ,所以A 1D ⊥平面A 1BC. (2)解:方法一:作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD=F ,连结B 1F. 由AE=EB=√2,∠A 1EA=∠A 1EB=90°,得A 1B=A 1A=4. 由A 1D=B 1D ,A 1B=B 1B ,得△A 1DB 与△B 1DB 全等.由A 1F ⊥BD ,得B 1F ⊥BD ,因此∠A 1FB 1为二面角A 1-BD-B 1的平面角.由A 1D=√2,A 1B=4,∠DA 1B=90°,得BD=3√2,A 1F=B 1F=43, 由余弦定理得cos ∠A 1FB 1=-18. 方法二:以CB 的中点E 为原点,分别以射线EA ,EB 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz ,如图所示. 由题意知各点坐标如下:A 1(0,0,√14),B (0,√2,0),D (-√2,0,√14),B 1(-√2,√2,√14).因此A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√14),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,√14),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0).设平面A 1BD 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),平面B 1BD 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2). 由{m ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{√2y 1−√14z 1=0,−√2x 1−√2y 1+√14z 1=0,可取m =(0,√7,1).由{n ·DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{√2y 2=0,−√2x 2−√2y 2+√14z 2=0,可取n =(√7,0,1). 于是|cos <m ,n >|=|m·n||m|·|n|=18.由题意可知,所求二面角的平面角是钝角,故二面角A 1-BD-B 1的平面角的余弦值为-18.18.(本题满分15分)(2015浙江,理18)已知函数f (x )=x 2+ax+b (a ,b ∈R ),记M (a ,b )是|f (x )|在区间[-1,1]上的最大值. (1)证明:当|a|≥2时,M (a ,b )≥2;(2)当a ,b 满足M (a ,b )≤2时,求|a|+|b|的最大值.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力.满分15分.(1)证明:由f (x )=(x +a 2)2+b-a 24,得对称轴为直线x=-a 2.由|a|≥2,得|−a 2|≥1,故f (x )在[-1,1]上单调,所以M (a ,b )=max{|f (1)|,|f (-1)|}.当a ≥2时,由f (1)-f (-1)=2a ≥4,得max{f (1),-f (-1)}≥2,即M (a ,b )≥2.当a ≤-2时,由f (-1)-f (1)=-2a ≥4, 得max{f (-1),-f (1)}≥2,即M (a ,b )≥2. 综上,当|a|≥2时,M (a ,b )≥2.(2)解:由M (a ,b )≤2得|1+a+b|=|f (1)|≤2,|1-a+b|=|f (-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|={|a +b|,ab ≥0,|a −b|,ab <0,得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x 2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M (2,-1)=2. 所以|a|+|b|的最大值为3.19.(本题满分15分)(2015浙江,理19)已知椭圆x 22+y 2=1上两个不同的点A ,B 关于直线y=mx+12对称.(1)求实数m 的取值范围;(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分.解:(1)由题意知m ≠0,可设直线AB 的方程为y=-1mx+b.由{x 22+y 2=1,y =−1m x +b,消去y ,得(12+1m 2)x 2-2bmx+b 2-1=0.因为直线y=-1m x+b 与椭圆x 22+y 2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b 2+2+4m 2>0,① 将AB 中点M (2mb m 2+2,m 2b m 2+2)代入直线方程y=mx+12,解得b=-m 2+22m 2.②由①②得m<-√63或m>√63.(2)令t=1m∈(−√62,0)∪(0,√62),则|AB|=√t 2+1·√−2t 4+2t 2+32t 2+12, 且O 到直线AB 的距离为d=t 2+12√t +1.设△AOB 的面积为S (t ),所以S (t )=12|AB|·d=12√−2(t 2−12)2+2≤√22,当且仅当t 2=12时,等号成立.故△AOB 面积的最大值为√22.20.(本题满分15分)(2015浙江,理20)已知数列{a n }满足a 1=12且a n+1=a n -a n 2(n ∈N *).(1)证明:1≤a na n+1≤2(n ∈N *); (2)设数列{a n 2}的前n 项和为S n ,证明:12(n+2)≤S n n≤12(n+1)(n ∈N *). 本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力.满分15分.证明:(1)由题意得a n+1-a n =-a n 2≤0,即a n+1≤a n ,故a n ≤12.由a n =(1-a n-1)a n-1得a n =(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12得a n a n+1=a n a n −a n2=11−a n∈[1,2], 即1≤a na n+1≤2. (2)由题意得a n 2=a n -a n+1, 所以S n =a 1-a n+1.①由1a n+1−1a n =a n a n+1和1≤a n a n+1≤2得1≤1a n+1−1a n≤2, 所以n ≤1a n+1−1a 1≤2n ,因此12(n+1)≤a n+1≤1n+2(n ∈N *).②由①②得12(n+2)≤S n n ≤12(n+1)(n ∈N *).。
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又∵该二面角为钝角， ∴二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值为﹣ .
18.（15 分）（2015•浙江）已知函数 f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记 M（a，b）是|f（x）| 在区间[﹣1，1]上的最大值. (1)证明：当|a|≥2 时，M（a，b）≥2； (2)当 a，b 满足 M（a，b）≤2 时，求|a|+|b|的最大值. 解析： (1)明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由 a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及 三角不等式变形所求得到证明； (2)讨论 a=b=0 以及分析 M（a，b）≤2 得到﹣3≤a+b≤1 且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b| 的求值. 答案：
则 BC= AC=2 ，A1O=
=，
易知 A1（0，0， ），B（ ，0，0），C（﹣ ，0，0）， A（0， ，0），D（0，﹣ ， ），B1（ ，﹣ ， ），
=（0，﹣ ，0）， =（﹣ ，﹣ ， ），
=（﹣ ，0，0）， =（﹣2 ，0，0）， =（0，0， ），
∵ • =0，∴A1D⊥OA1，
由 a3，a4，a8 成等比数列，得
，整理得：
.
∵d≠0，∴
，
∴
，
=
＜0.
答案：B 4.（5 分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且 f（n）≤n”的否定形式是（ ） A.∀n∈N*，f（n）∉N*且 f（n）＞n B.∀n∈N*，f（n）∉N*或 f（n）＞n C. ∃n0∈N*，f（n0）∉N*且 f（n0）＞n0 D. ∃n0∈N*，f（n0）∉N*或 f（n0）＞n 解析：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或 f（n0）＞n0， 答案：D
答案：3
15.（6 分）（2015•浙江）已知
是空间单位向量，
，且对于任意 x，y∈R，
，若空间向量 满足
，则 x0=
，
y0=
， |=
.
解析：∵ • =| || |cos＜ • ＞=cos＜ • ＞= ，
∴＜ • ＞= ，不妨设 =（ ， ，0）， =（1，0，0）， =（m，n，t），
则由题意可知
.
解析：连结 ND，取 ND 的中点为：E，连结 ME，则 ME∥AN，异面直线 AN，CM 所成的角就是 ∠EMC，
∵AN=2 ， ∴ME= =EN，MC=2 ，
又∵EN⊥NC，∴EC=
=，
∴cos∠EMC= 答案：
=
=.
14.（4 分）（2015•浙江）若实数 x，y 满足 x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值
∴ b= c.可得
，
∴a2=b2﹣
=
，即 a=
.
∴cosC=
=
∵C∈（0，π），
∴sinC=
=.
∴tanC= =2.
(2)∵
=
解得 c=2 .
=. × =3，
∴
=3.
17.（15 分）（2015•浙江）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4， A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B1C1 的中点. (1)证明：A1D⊥平面 A1BC； (2)求二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值.
2.（5 分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A. 8cm3 B.12cm3
C.
D.
解析：由三视图可知几何体是下部为棱长为 2 的正方体，上部是底面为边长 2 的正方形奥为 2 的正四棱锥，
所求几何体的体积为：23+ ×2×2×2=
.
答案：C
3.（5 分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn，若 a3，a4， a8 成等比数列，则（ ） A.a1d＞0，dS4＞0 B.a1d＜0，dS4＜0 C.a1d＞0，dS4＜0 D.a1d＜0，dS4＞0 解析：设等差数列{an}的首项为 a1，则 a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，
此时 t2=1，故 |=
=2
答案：1；2；2
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（14 分）（2015•浙江）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A= ，
b2﹣a2= c2. (1)求 tanC 的值； (2)若△ABC 的面积为 3，求 b 的值.
= m+ n=2，
=m= ，解得 m= ，n= ，∴ =（ ， ，t），
∵ ﹣（
）=（ ﹣ x﹣y，
，t），
∴| ﹣（
|2=（ ﹣ x﹣y）2+（
）2+t2
=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+
）2+ （y﹣2）2+t2，
由题意当 x=x0=1，y=y0=2 时，（x+
）2+ （y﹣2）2+t2 取最小值 1，
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.
9.（6 分）（2015•浙江）双曲线
=1 的焦距是
，渐近线方程是
.
解析：双曲线
=1 中，a= ，b=1，c= ，
∴焦距是 2c=2 ，渐近线方程是 y=± x.
答案：2 ；y=± x
10.（6 分）（2015•浙江）已知函数 f（x）=
在直线的下方（含直线），即有 2x+y﹣2≤0， 即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2）， 此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y， 利用线性规划可得在 A（ ， ）处取得最小值 3.
综上可得，当 x= ，y= 时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为 3.
则
=
=
=
，
答案：A
6.（5 分）（2015•浙江）设 A，B 是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B）， 其中 card（A）表示有限集 A 中的元素个数（ ） 命题①：对任意有限集 A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集 A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C） A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立，命题②不成立 D.命题①不成立，命题②成立 解析：命题①：对任意有限集 A，B，若“A≠B”，则 A∪B≠A∩B，则 card（A∪B）＞card （A∩B），故“d（A，B）＞0”成立， 若 d（A，B）＞0”，则 card（A∪B）＞card（A∩B），则 A∪B≠A∩B，故 A≠B 成立，故命 题①成立， 命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C）， ∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card （A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）] ≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立， 答案：A
又∵ • =0，∴A1D⊥BC， 又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面 A1BC； (2)设平面 A1BD 的法向量为 =（x，y，z），
由
，得
，
取 z=1，得 =（ ，0，1）， 设平面 B1BD 的法向量为 =（x，y，z），
由
，得
，
取 z=1，得 =（0， ，1），
∴cos＜ ， ＞=
=
=，
2015 年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 2015 年普通高等学校招生全国统一考 试（浙江卷）数学（理科） 1.（5 分）（2015•浙江）已知集合 P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（ ） A.[0，1） B. (0，2] C. (1，2） D. [1，2] 解析：由 P 中不等式变形得：x（x﹣2）≥0， 解得：x≤0 或 x≥2，即 P=（﹣∞，0]∪[2，+∞）， ∴∁RP=（0，2）， ∵Q=（1，2]， ∴（∁RP）∩Q=（1，2）， 答案：C.
解析： (1)由余弦定理可得：
利用余弦定理可得 cosC.可得 sinC=
，已知 b2﹣a2= c2.可得
，a=
.
，即可得出 tanC=
.
(2)由
=
答案： (1)∵A= ，∴由余弦定理可得：
∴b2﹣a2= bc﹣c2， 又 b2﹣a2= c2.
∴ bc﹣c2= c2.
× =3，可得 c，即可得出 b. ，
7.（5 分）（2015•浙江）存在函数 f（x）满足，对任意 x∈R 都有（ ） A.f（sin2x）=sinx B.f（sin2x）=x2+x C.f（x2+1）=|x+1| D.f（x2+2x）=|x+1| 解析：A.取 x=0，则 sin2x=0， ∴f（0）=0；
取 x= ，则 sin2x=0，
这样 f（2）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误； D.令|x+1|=t，t≥0，则 f（t2﹣1）=t；
令 t2﹣1=x，则 t=
；
∴
；
即存在函数 f（x）=
，对任意 x∈R，都有 f（x2+2x）=|x+1|；