辽宁省沈阳市高二数学上学期第二次阶段考试试题文

2016—2017学年度上学期高二年级第二阶段测试
数学(文科)试卷
答题时间：120分钟满分：150分
一、选择题：（每题5分，满分60分）
1．的顶点，的周长为22，则顶点的轨迹方程是
A．B．C．D．
2．如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前4项，则的通项公式可以是
A．B．C．D．
3．若函数f(x)＝ax－ln x在x＝
2
2
处取得极值，则实数a的值为
A. 2
B.
2
2
C．2 D.
1
2
4．已知数列满足，前项的和为，关于叙述正确的是A．都有最小值B．都没有最小值
C．都有最大值D．都没有最大值
5．已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前9项和等于
A．9 B．18 C．36 D．72
6．数列……的前项的和为
A．B．C．D．
7．已知f′(x)是f(x)的导数，且y＝xf′(x)的图象如图所示，则下列关于f(x)说法正确的是
A．在(－∞，0)上是增函数 B．在(－1,1)上是增函数
C．在(－1,0)上是增函数D．在(1，＋∞)上是减函数
8．已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为
A．6 B．C．D．
9．已知为椭圆的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于轴右侧的两交点为，若为等边三角形，则椭圆的离心率为A．B．C．D．
10．设函数（）的导函数为，满足，则当时，与的大小关系为
A. B. C. D.不能确定
11．已知圆的方程为，若抛物线过点，，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为
A．B．
C．D．
12．椭圆的两个焦点分别为和，若该椭圆与直线有公共点，则其离心率的最大值为
A．B．C．D．
二、填空题：（每题5分，满分20分）
13．数列的通项公式，它的前项和，则．
14．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆
上，则．
15．若曲线y ＝x －
12
在点(a ，a －
12
)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝
________. 16． 已知
为双曲线的左右焦点，抛物线与双曲线有公共的焦点
，且与双曲线交于不同
的两点
，若，则双曲线的离心率为 .
三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17．（本小题满分10分）
若数列的前项和为
，
，
，求
以及
．
18．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝ax 3
－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )取得极值－43.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若函数f (x )＝k 有3个解，求实数k 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，是等差数列，且．（I）求数列和的通项公式；
（II）令，求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，焦距为，抛物线
的焦点是椭圆的顶点．
（I）求与的标准方程；
（II）已知直线与相切，与交于，两点，且满足，求的值．
21．（本小题满分12分）
已知．
（1）若函数的图象在点处的切线平行于直线，求的值；
（2）讨论函数在定义域上的单调性；
（3）若函数在上的最小值为，求的值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的短轴长等于焦距，长轴长为等于圆的直径，过点的直线与椭圆交于两点，，与圆交于两点，
（I）求椭圆的方程；
（II）求的取值范围．
2016—2017学年度上学期高二年级第二阶段测试
数学(文科)试卷答案
一、选择题：（每题5分，满分60分） CAAAB BDCBB CC
二、填空题：（每题5分，满分20分） 13． 99 14．
15． 64 16．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
若数列
的前项和为
，
，
，求
以及
．
解：（1）∵S n +a n =2n ，①
∴S n ﹣1+a n ﹣1=2（n ﹣1），n ≥2②
由①﹣②得，2a n ﹣a n ﹣1=2，n ≥2， …………………………3分 ∴2（a n ﹣2）=a n ﹣1﹣2，n ≥2， ∵a 1﹣2=﹣1，
∴数列{a n ﹣2}以﹣1为首项，为公比的等比数列．……………………6分 ∴
， ∴
， ……………………8分 ∵S n +a n =2n ， ∴
……………………10分
18．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝ax 3
－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )取得极值－43.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若函数f (x )＝k 有3个解，求实数k 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2
－b ，所以f ′(2)＝0，f (2)＝－43，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－4
3，由此可解得a ＝1
3
，b ＝4.
所以函数f (x )的解析式为f (x )＝13
x 3
－4x ＋4.
(2)由(1)知f (x )＝13
x 3
－4x ＋4，
由f ′(x )＝x 2
－4＝(x －2)(x ＋2)＝0，解得x ＝2或x ＝－2.
所以f (x )在x ＝－2处取得极大值283，在x ＝2处取得极小值－4
3，要满足函数f (x )＝k 有3个
解，需有－43<k <28
3.
19．（本小题满分12分）
已知数列
的前项和为，是等差数列，且
．
（Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）令
，求数列
的前项和
．
解：（Ⅰ）S n =3n 2+8n ， ∴n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=6n+5， n=1时，a 1=S 1=5，∴
； …………3分
设公差为 ∵a n =b n +b n+1， ∴a n ﹣1=b n ﹣1+b n ，
∴a n ﹣a n ﹣1=b n+1﹣b n ﹣1． ∴2d=6， ∴d=3， ∵a 2=b 2+b 3， ∴17=2b21+3， ∴b 2=7，
∴b n =3n+1； ……………………6分 （Ⅱ）c n =3（n+1）•2n
，
∴T n =3[2•2+3•22
+…+（n+1）•2n
]①， ∴2T n =3[2•22
+3•23
+…+n•2n
+（n+1）•2n+1
]②，
①﹣②可得﹣T n=3[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=6+3×﹣63（n+1）•2n+1=（﹣3n）•2n+1
∴T n=3n•2n+1．………………12分
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，焦距为，抛物线
的焦点是椭圆的顶点．
（Ⅰ）求与的标准方程；
（Ⅱ）已知直线与相切，与交于，两点，且满足，求的值．
解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，
解得，b=1，故椭圆C1的标准方程为．………………3分
又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，
∴F（0，1），∴p=2，
故抛物线C2的标准方程为x2=4y．………………4分
（II）由，得
则，即①………………6分
由，得
则②
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则所以………………8分
又
∴
即
∴，解得或，………………10分
代入①可得，此时满足②
故………………12分
21．（本小题满分12分）
已知．
（1）若函数的图象在点处的切线平行于直线，求的值；
（2）讨论函数在定义域上的单调性；
（3）若函数在上的最小值为，求的值．
解析：（1）
由题意可知，故
（2）
当时，因为，，故在为增函数；
当时，由；由，
所以增区间为，减区间为，
综上所述，当时，在为增函数；当时，的减区间为，增区
间为．
（3）由（2）可知，
当时，函数在上单调递增，
故有，所以不合题意，舍去．
当时，的减区间为，增区间为．
若，则函数在上单调递减，
则不合题意，舍去．
若时，函数在上单调递增，
，所以不合题意，舍去．
若时，，
解得，
综上所述，．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的短轴长等于焦距，长轴长为等于圆的直径，过点的直线与椭圆交于两点，，与圆交于两点，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围．
解：（Ⅰ）因为椭圆C长轴长等于圆R：x2+（y﹣2）2=4的直径，
所以2a=4，a=2；又
所以
所以椭圆C的方程为+=1；……………………（3分）
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，|AB|=2，|MN|=4，|AB|•|MN|=8；……4分
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，与+=1联立，
消去y，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0；
由，可得………………5分
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
|AB|=
=•|x1﹣x2|
=•
=•
=•，………………7分
|MN|=2=2，……………………9分所以|AB|•|MN|=•×2
=4•=
综上，|AB|•|MN|的取值范围是[4，8]．…………12分。