高二数学反证法和放缩法
高中数学 4-5反证法与放缩法课件分解
用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当.例如上 述过程中,如果把和式的4 项分母依次缩为a,b, c, d , 那 么 和 放 大 为4, 显 然 太 大 了.
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知能达标演练
例4
已知a,
b是 实 数, 求 证
|a 1 |
a
b
| b
|
|a| 1 | a
|
|b| 1 | b
|
.
a
a a
abcd abd ab
b
b b,
abcd bca ba
c
c c,
abcd cdb cd
d
d d,
abcd dac dc
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把以上四个不等式相加, 得
abcd a b abcd abd bca
c
c d
b
d
d ac
ab ab
cd cd
,
即
1 a b c d 2. abd bca cdb dac
2．放缩法 将所需证明的不等式的值适当 放大 (或 缩小 )
使它由繁化简，达到证明目的．如果所要证明的不 等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值 放大 ，反之，把分母缩小，则分式的值 缩小 ．
试一试：用放缩法证明不等式常用的方法有哪些？
提示 ①添加或舍去一些项； ②将分子或分母放大(或缩小)； ③真分数的性质：若 0＜a＜b，m＞0，则ab＜ab＋ ＋mm； ④利用基本不等式； ⑤利用函数的单调性； ⑥绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. ⑦利用函数的有界性：如：|sin x|≤1(x∈R)；x2－x≥14(x∈R)； 2x＞0(x∈R)．
高二数学证明不等式的基本方法
A.a 2 b2
B.a5 b 5
B.a b
C,a5 b 5
C .2ab D.2 ab
D.不能确定
4.设0 a b 1, 则a b,2 ab , a 2 b2 ,2ab中最大的值是( B )
反证法主要适用于以下两种情形
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件 推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.
(2)放缩法
证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或 缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确 或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达 到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
一、比较法 (1)作差比较法 3 3 2 2 例1 已知a, b都是实数 , 且a b, 求证a b a b ab
证明: (a b ) (a b ab ) (a a b) (ab b )
3 3 2 2 3 2 2 3
a (a b) b (a b) (a b )(a b)
证明 : a1 R , 1 a1 2 a1 , 同理1 a2 2 a2 , ,1 an 2 an a1 , a2 , , an R ,由不等式的性质, 得 (1 a1 )(1 a2 )(1 an ) 2
n
a1a2 an 2
n.
5.设P a 2b 2 5, Q 2ab a 2 4a , 若P Q , 则实数a , b
ab 1或ab 2 满足的条件为________
高二数学人教A版选修4-5课件：2.3反证法与放缩法
答 1.相矛盾的结论 假设不正确 反证法 案 2.证明的目的 放缩法
探究 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多 种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是 不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根 据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结 论的反面出发进行论证，就不是反证法．
反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放 大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不 等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判 断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技 巧，也是放缩法中的主要形式．
1.反证法 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法 证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立， 用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”． (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立．
1.反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件， 应用公理、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题条件(或 已证明过的定理、性质、明显成立的事实等)__________，以说 明____________________，从而证明原命题成立，我们把它称 为________．
2．放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩 小 ，简 化 不等 式 ，从 而 达到 ________ ， 我们 把 这种 方 法称 为 ________.
(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与 已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、 公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导 出的矛盾必须是明显的．
探究 2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
高二数学人教A版选修4-5课件：2.3 反证法与放缩法
证明:假设 4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)都大于 1,则 a(1-
b)>14,b(1-c)>14,c(1-d)>14,d(1-a)>14.
∴
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������) > 12.
������ ������ 变式训练 2
设
n
是正整数,求证12
≤
1 ������+1
+
������+1 2+…+21������<1.
分析:要求一个
n
项分式 1
������+1
+
������+1 2+…+21������的范围,它的和又求不
出来,可以采用“化整为零”的方法,先观察每一项的范围,再求整体的 范围.
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探究二
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证法二:假设a+b>2,则a>2-b. ∵a3+b3=2,∴2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0, 这与(b-1)2≥0矛盾, ∴a+b≤2. 证法三:假设a+b>2, 则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6, ∴ab(a+b)>2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0,这与(a-b)2≥0矛盾,∴a+b≤2.
2.3反证法与放缩法
∴A＋B≥92， ∴A≥32，即b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32.
已知曲线Cn：x2－2nx＋y2＝0(n＝ 1,2，…)．从点P(－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn＞0)的切线 ln，切点为Pn(xn，yn)．
分析：运用放缩法进行证明． 解析：(1)由题设得 a2＋ab＋b2＝a＋b， 于是(a＋b)2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，故 a＋b＞1. 又(a＋b)2＞4ab，而(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ＝a＋b＋ab＜a＋b＋a＋4b2，即34(a＋b)2＜a＋b， ∴a＋b＜43.∴1＜a＋b＜43.
所以 x2－x＋1≥34.
设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、
|f(3)|中至少有一个不小于
1 2
.
证明：(反证法)假设|f(1)|＜12，
|f(2)|＜12，|f(3)|＜12，
则有：－12＜1＋a＋b＜12①
－12＜4＋2a＋b＜12②
－12＜9＋3a＋b＜12③
①＋③得：－1＜10＋4a＋2b＜1
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论， 就会导致矛盾．具体地说，反证法不直接证明命题“若p则 q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通 过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而判定原来的结论是正 确的．
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
(2)∵12＝12，13＞14，15＞16，…，2n1－1＞21n，
又12＞12＋14＋n…＋21n.
将上述各式两边分别相加得
反证法与放缩法
奇、二奇一偶”4种，而自然数a、 b、c 中恰有一个为偶 数只包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只 有D项符合．
答案 D
题型一
反证法证明不等式
【例1】 已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0. [思维启迪] 利用反证法求证．
解析
a b c S＞ ＋ ＋ ＋ a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d
d ＝1. a＋b＋c＋d
答案 B
3．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设
为 A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数 C．a、b、c中至少有两个偶数 ( )．
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
n＋n＋1 [思维启迪] 利用 n ＜ nn＋1＜ 放缩， 进而求证． 2
2
证明
∵Sn> 12＋ 22＋…＋ n2
nn＋1 ＝1＋2＋…＋n＝ . 2 1＋2 2＋3 n＋n＋1 且 Sn< ＋ ＋…＋ 2 2 2 2n＋1 3 5 ＝ ＋ ＋…＋ 2 2 2 2n＋1 n＋1 1 3 5 <2＋2＋2＋…＋ 2 ＝ 2 nn＋1 n＋12 ∴ <Sn< . 2 2
列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．
∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)证明
1 2n－1 1－2n 1 an ∵ ＝ ＝ ＜ ， 1 2 an＋1 2n＋1－1 2－2n
a1 a2 an n ∴a ＋a ＋…＋ ＜2. a 2 3 n＋1 2k－1 1 ak 1 1 1 ∵ ＝ ＝ － ＝ － k ak＋1 2k＋1－1 2 22k＋1－1 2 3· 2 ＋2k－2 1 1 1 ≥ － 2k，k＝1,2,3，…，n. 2 3 a1 a2 a3 an n 1 1 1 n 1 ∴a ＋a ＋a ＋…＋ ≥2－3＋32n＞2－3. an＋1 2 3 4
高二数学反证法和放缩法
Ø 同理可证：b > 0, c > 0
生出了五只活像陀螺般的天蓝色脚趾……接着耍了一套，窜马泳圈翻一千零八十度外加鹰哼泳池旋七周半的招数，接着又玩了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百 周的震撼招式。紧接着扭动浮动的锅底色胸花一样的鼻子一吼，露出一副典雅的神色，接着晃动狼狈的嫩黄色路灯造型的美辫，像浓黑色的黑胆部落猿般的一叫，冒烟的怪异
不等式的证明
学习目标
1理解掌握反证法放缩法的基本原理和思路 2会用上述方法证明一些简单的不等式
反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点, 结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等， 进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确， 从而间接说明原命题成立的方法。
例题
Ø例1、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
放缩法
§ 在证明不等式过程中，有时为了证明 的需要，可对有关式子适当进行放大或缩 小，实现证明。例如：
§ 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) § 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
§ 这种证明方法,我们称之为放缩法。 § 放缩法的依据就是传递性。
例1、若a, b, c, dR+，求证：
的浅灰色软盘一样的眼睛猛然伸长了六倍，暗；安徽成考网:/ ；黑色铡刀级别的手环也顿时膨胀了五倍！最后转起平常的腿一颤，变态地从 里面喷出一道神光，她抓住神光夸张地一摆，一套亮晶晶、亮光光的兵器『黄雾明妖钢针桶』便显露出来，只见这个这件宝器儿，一边抽动，一边发出“嗷哈”的余音……。 飘然间女科长Ｏ．雯娃姑婆音速般地用自己不大的手指雕刻出深黑色闪速摇曳的霓虹灯，只见她凸凹的淡灰色黄瓜一样的身材中，飘然射出五组耍舞着『白宝穷鬼蚂蚱卡』的 仙翅枕头镖状的驴毛，随着女科长Ｏ．雯娃姑婆的甩动，仙翅枕头镖状的驴毛像铡刀一样在双手上高雅地克隆出片片光柱……紧接着女科长Ｏ．雯娃姑婆又发出四声墨黄色的 潇洒狂哼，只见她跳动的肩膀中，酷酷地飞出五串锄头状的湖滨木尾豺，随着女科长Ｏ．雯娃姑婆的扭动，锄头状的湖滨木尾豺像细竹一样，朝着月光妹妹雪国仙境一样的玉 牙神跃过来……紧跟着女科长Ｏ．雯娃姑婆也斜耍着兵器像地砖般的怪影一样向月光妹妹神跃过来月光妹妹飘然像金红色的灰魂河滩貂一样疯叹了一声，突然耍了一套倒立抽 动的特技神功，身上忽然生出了六只美如熏鹅一般的亮紫色翅膀！接着来了一出，蹦貂面条翻一千零八十度外加驴乐船舷旋七周半的招数！接着又搞了个，团身鹏醉后空翻七 百二十度外加傻转一百周的沧桑招式！紧接着旋动灿烂闪耀的披肩金发一叫，露出一副美妙的神色，接着抖动秀丽光滑、好像小仙女般的下巴，像浅橙色的绿胃城堡熊般的一 挥，时尚的秀丽光滑的下巴顿时伸长了五倍，韵律欢跳的妙腰也猛然膨胀了六倍。最后摆起冰灵机巧、美若玉葱般的手指一扭，萧洒地从里面窜出一道幻影，她抓住幻影粗犷 地一颤，一套青虚虚、灰叽叽的兵器⊙绿烟水晶笛＠便显露出来，只见这个这件东西儿，一边摇晃，一边发出“啾啾”的美声！。飘然间月光妹妹音速般地用自己空灵玉白， 妙如仙境飞花般的嫩掌烘托出暗红色独裁跃动的乌贼，只见她三光六影海星帽中，变态地跳出四簇甩舞着⊙金丝芙蓉扇＠的仙翅枕头瓶状的毛刷，随着月光妹妹的摇动，仙翅 枕头瓶状的毛刷像水草一样在双手上高雅地克隆出片片光柱……紧接着月光妹妹又发出三声夜褐病态色的绝妙猛哼，只见她清秀晶莹的小脚
反证法与缩放法
1.例1. 已知：x, y>0, 且x+y>2。试证明： 1 x 1 y , 中至少有一个小于2。 证明 y x 1 x 1 y 1 x 1 y 2且 2 , 都不小于2，即 假设 y x y x 因为x>0, y>0, 所以1+x≥2y, 1+y≥2x 把这两个不等式相加，得 2+x+y≥2x+2y , 2≥x+y , 即 x+y≤2
a b c d abd c bcad cd ba d acb abcd 1 abcd
放大法
a b c d abd bca cd b d ac a b c d ab ba cd d c ab cd 11 2 ab cd
3.例3. 已知a, b, d∈R+，求证 a b c d 1 2 abd bca cd b d a c 分析： 若把中间代数式通分相加，则运算非常复杂， 难度太大。 分析此式的形式特点，可以通过适当放缩， 使不等式简化，从而得证。
缩小法 a b c d abd bca cd b d ac
3.例3. 已知a, b, c, d∈R+，求证 a b c d 1 2 abd bca cd b d a c
证明： 因为a, b, c, d∈R+，所以 a a a abcd abd ab b b b abcd bca a b c c c abcd cd b cd d d d abcd d ac cd
4.例4. 已知a, b 是实数，
4.例4.
已知a, b 是实数，
|ab| |a| |b| 求证 1 | a b | 1 | a | 1 | b |
《反证法和放缩法》 知识清单
《反证法和放缩法》知识清单一、反证法反证法是一种间接证明的方法。
当我们要证明一个命题成立时，如果直接证明比较困难，就可以考虑使用反证法。
反证法的基本步骤：1、提出反设：首先假设要证明的命题不成立，也就是提出与原命题相反的假设。
2、推出矛盾：从反设出发，通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理或者明显事实相矛盾的结果。
3、否定反设：由于推出了矛盾，所以说明反设是错误的，从而肯定原命题成立。
例如，要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。
我们先假设在一个三角形中可以有两个直角。
那么三角形的三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和定理（三角形的内角和等于 180 度）相矛盾。
所以假设不成立，即在一个三角形中最多只能有一个直角。
反证法在数学中的应用非常广泛，尤其是在证明一些存在性、唯一性的命题时，往往能起到意想不到的效果。
反证法的关键在于能够准确地提出反设，并通过合理的推理导出矛盾。
在导出矛盾的过程中，需要对所学的数学知识有扎实的掌握和灵活的运用。
二、放缩法放缩法是一种用于证明不等式的重要方法。
放缩的基本思路是：将不等式中的某些项进行放大或缩小，使得不等式的关系更加明显，从而达到证明的目的。
常见的放缩技巧：1、舍去或加上一些项：例如，在证明不等式时，如果某些项对证明结果影响不大，可以舍去，以达到放缩的效果。
2、放大或缩小分式的分子或分母：比如，将分式的分子放大或分母缩小，从而使分式的值变大；反之，将分子缩小或分母放大，分式的值变小。
3、利用基本不等式进行放缩：常见的基本不等式如均值不等式等，可以为放缩提供依据。
例如，要证明“当 n 为正整数时，1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋… ＋ 1/n ＜2”。
我们可以这样进行放缩：1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/4 ＋ 1/5 ＋ 1/6 ＋ 1/7 ＋ 1/8 ＋… ＋ 1/n＜ 1 ＋ 1/2 ＋（1/4 ＋ 1/4）＋（1/8 ＋ 1/8 ＋ 1/8 ＋ 1/8）＋… ＋（1/2^k ＋ 1/2^k ＋… ＋ 1/2^k）＝ 1 ＋ 1/2 ＋ 1/2 ＋ 1/2 ＋… ＋ 1/2可以发现，这样的放缩使得式子变得更加简洁，便于证明不等式。
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用．一、反证法如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理．反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的．用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A ≤B 不成立，而肯定A ＞B 成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效．例1 设a 、b 、c 、d 均为正数，求证：下列三个不等式：①a ＋b ＜c ＋d ；②(a ＋b)(c ＋d)＜ab ＋cd ；③(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)中至少有一个不正确．反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a 、b 、c 、d 都是正数，所以不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤(2b a )2·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)，综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜34ab ，即a 2＋b 2＜－32ab ，显然矛盾．∴不等式①、②、③中至少有一个不正确．例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c＞0．证明：反证法由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0，又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0，从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾．∴假设不成立，从而a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2．证明：反证法假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8，∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2．故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)，又p ＞0，q ＞0 p ＋q ＞0，∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．故假设p ＋q ＞2不成立，∴p ＋q ≤2．例4 已知)(x f = x 2＋ax ＋b ，其中a 、b 是与x 无关的常数，求证：|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于21． 反证法一：假设|)1(f |＜21，|)2(f |＜21，|)3(f |＜21， 由于)1(f = 1＋a ＋b ，)2(f = 4＋2a ＋b ，)3(f = 9＋3a ＋b ，∴)1(f ＋)3(f －)2(f =2，但是，2 = |)1(f ＋)3(f －)2(f |≤|)1(f |＋|)3(f |＋2|)2(f |＜21＋21＋2×21= 2， 即2＜2，矛盾，∴假设不成立，∴|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于21． 反证法二：假设|)1(f |＜21，|)2(f |＜21，|)3(f |＜21，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<.21|)3(|,21|)2(|,21|)1(|f f f ⇒ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-③b a ②b a ①b a .219321,214221,21121 ①＋③得：－1＜4a ＋2b ＋10＜1，即－21＜2a ＋b ＋5＜21， ∴－23＜2a ＋b ＋4＜－21，④ 显然②与④矛盾，因此，假设是不成立的， 故|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于21． 例4 设a ，b ，c 均为小于1的正数，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不能同时大于41． 证明：反证法假设(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 同时大于41，即(1－a)b ＞41，(1－b)c ＞41，(1－c)a ＞41， 则由41＜(1－a)b ≤(21b a +-)2⇒21b a +-＞21， 同理：21c b +-＞21，21a c +-＞21， 三个同向不等式两边分别相加，得23＞23，矛盾，所以假设不成立， ∴原结论成立．例6 若0＜a ＜2，0＜b ＜2，0＜c ＜2，求证：(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a不能同时大于1．证明：反证法假设⎪⎩⎪⎨⎧>->->-.1)2(,1)2(,1)2(a c c b b a 那么2)2(b a +-≥b a )2(-＞1，① 同理2)2(c b +-＞1，② 2)2(a c +-＞1，③ ①＋②＋③，得3＞3矛盾，即假设不成立，故(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a 不能同时大于1．二、三角换元法对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将复杂的代数问题转化为三角问题．若变量字母x 的取值围与sin θ或cos θ的变化围相同，故可采用三角换元，把所要证的不等式转换为求三角函数的值域而获证．一般地，题设中有形如x 2＋y 2≤r 2，22a x ＋22b y = 1或22a x －22b y = 1的条件可以分别引入三角代换⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (| r |≤1)，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 或⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ，其中θ的取值围取决于x ，y 的取值围，凡不能用重要不等式证明的问题时，一般可以优先考虑换元(代数换元或三角换元)，然后利用函数的单调性最终把问题解决．在三角换元中，由于已知条件的限制作用，根据问题需要，可能对引入的角度有一定的限制，应特别引起注意，否则可能会出现错误的结果．例2 已知1≤x 2＋y 2≤2，求证：21≤x 2－xy ＋y 2≤3． 证明：∵1≤x 2＋y 2≤2，∴可设x = rcos θ，y = rsin θ，其中1≤r 2≤2，0≤θ＜π2．∴x 2－xy ＋y 2= r 2－r 2sin θ2= r 2(1－21sin θ2)， ∵21≤1－21sin θ2≤23，∴21r 2≤r 2(1－21sin θ2)≤23r 2，而21r 2≥21，23r 2≤3， ∴ 21≤x 2－xy ＋y 2≤3． 例2 已知x 2－2xy ＋y 2≤2，求证：| x ＋y |≤10．证明：∵x 2－2xy ＋y 2= (x －y)2＋y 2，∴可设x －y = rcos θ，y = rsin θ，其中0≤r ≤2，0≤θ＜π2．∴| x ＋y | =| x －y ＋2y | = | rcos θ＋2rsin θ| = r|5sin(θ＋ractan21)|≤r 5≤10．例3 已知－1≤x ≤1，n ≥2且n ∈N ，求证：(1－x)n ＋(1＋x)n ≤2n ． 证明：∵－1≤x ≤1，设x = cos θ2 (0≤θ≤2π)， 则1－x =1－cos θ2= 1－(1－2sin 2θ) = 2sin 2θ，1＋x =1＋cos θ2= 2cos 2θ，∴(1－x)n ＋(1＋x)n = 2n sin n 2θ＋2n cos n 2θ≤2n ( sin 2θ＋cos 2θ) =2n ，故不等式(1－x)n ＋(1＋x)n ≤2n 成立．例4 求证：－1≤21x -－x ≤2．证明：∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，故可设x = cos θ，其中0≤θ≤π． 则21x -－x =θ2cos 1-－cos θ= sin θ－cos θ=2sin(θ－4π)， ∵－4π≤θ－4π≤43π， ∴－1≤2sin(θ－4π)≤2，即－1≤21x -－x ≤2． 三、增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a ＞b ＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．例7 已知a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． 证明：∵a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，∴设a =21＋t ，b=21－t ， (t ∈R) 则(a ＋2)2＋(b ＋2)2= (21＋t ＋2)2＋(21－t ＋2)2= (t ＋25)2＋(t －25)2= 2t 2＋225≥225． ∴(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． 例8 已知a 1＋a 2＋…＋a n = 1，求证：21a ＋22a ＋…＋2n a ≥n1． 证明：设a 1= t 1＋n 1，a 2= t 2＋n 1，…，a n = t n ＋n1，其中t 1＋t 2＋…＋t n = 0，则21a ＋22a ＋…＋2n a = (t 1＋n 1)2＋(t 2＋n 1)2＋…＋(t n ＋n 1)2= n ·21n＋2×n 1( t 1＋t 2＋…＋t n )＋…＋21t ＋22t ＋…＋2n t =n 1＋21t ＋22t ＋…＋2n t ≥n 1． 四、放缩法放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明不原不等式更强的不等式来代替原不等式的证明．这种证题方法的实质是非等价转化，而它的证题方法没有一定的准则和程序，需按题意适当．．放缩，否则是达不到目的．利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母、把和式中的某些项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．此类证法要慎审地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩(放的过大或过小)都会导致推证的失败．例5 设n 为自然数，求证：91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41． 证明：∵2)12(1+k =14412++k k ＜k k 4412+=41(k1－11+k )， ∴91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41[(1－21)＋(21－31)＋…＋(n 1－11+n ) =41(1－11+n )＜41． ∴91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41[(1－21)＋(21－31)＋…＋(n 1－11+n ) =41(1－11+n )＜41． 例5 已知a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ，其中n 为自然数， 求证：21n(n ＋1)＜a n ＜21(n ＋1)2． 证明：∵)1(+k k ＜21++k k =212+k 对任意自然数k 都成立， ∴a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ＜23＋25＋27＋…＋212+n =21[3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)] =21(n ＋2n)＜21(n ＋2n ＋1) =21(n ＋1)2． 又)1(+k k ＞2k = k ，∴a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ＞1＋2＋3＋…＋n =21n(n ＋1)， ∴21n(n ＋1)＜a n ＜21(n ＋1)2． 评析：根据要证不等式的结构特征，应用均值不等式“放大”a n 为一个等差数列的和，求和后再添加一个数1，直到“放大”到要证的右边；而左边是通过“缩小”a n 的方法去根号而转化为等差数列的和．放大或缩小的技巧很多，如添项、减项、分子、分母加或减一个数，或利用函数的单调性、有界性等等，但要注意放缩要适度．11．设a 、b 为不相等的两正数，且a 3－b 3= a 2－b 2，求证：1＜a + b ＜34． 证明：由题意得a 2＋ab ＋b 2= a + b ，于是(a ＋b)2= a 2＋2ab ＋b 2＞a 2＋ab ＋b 2= a + b ，故a + b ＞1，又(a ＋b)2＞4ab ，而(a ＋b)2= a 2＋2ab ＋b 2= a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋4)(2b a +， 即43(a ＋b)2＜a ＋b ，解得a + b ＜34． ∴1＜a + b ＜34． 例12 已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：1＜c b a b ++＋d c b c ++＋a d c d ++＋ba d a ++＜2． 证明：∵d cb a b +++＜c b a b ++＜ba b +， d c b a c +++＜d c b c ++＜dc c +，d c b a d +++＜a d c d ++＜dc d +， d c b a a +++＜b a d a ++＜ba a +， 将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜c b a b ++＋d c b c ++＋a d c d ++＋ba d a ++＜2．。
人教版数学高二选修4-5讲义第2讲3反证法与放缩法
三反证法与放缩法1．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理1反证法阅读教材P26～P27“例2”及以上部分，完成下列问题．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．至少一个是偶数D．恰有一个是偶数【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．【答案】 C教材整理2放缩法阅读教材P28～P29“习题”以上部分，完成下列问题．证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是()【导学号：32750039】A．|a－b|＜2h B．|a－b|＞2hC．|a－b|＜h D.|a－b|＞h【解析】|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用反证法证“至多”“至少”型命题(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2.【精彩点拨】(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．【自主解答】(1)由于f(x)＝x2＋px＋q，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2.1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．[再练一题]1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．【证明】a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.这与已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假设错误，故a，b，c，d中至少有一个是负数．即a，b，c，d中至多有三个是非负数.利用放缩法证明不等式已知a n＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n＜32.【精彩点拨】针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．【自主解答】∵当n≥2时，a n＝2n2＞2n(n－1)，∴1a n＝12n2＜12n(n－1)＝12·1n(n－1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n－1－1n，∴1a1＋1a2＋…＋1a n＜1＋1211×2＋12×3＋…＋1n(n－1)＝1＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＝32－12n＜32，即1a1＋1a2＋…＋1a n＜32.1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．[再练一题]2．求证：1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2，n∈N＋)．【证明】∵k2＞k(k－1)，∴1k2＜1k(k－1)＝1k－1－1k(k∈N＋，且k≥2)．分别令k＝2,3，…，n得1 22＜11·2＝1－12，132＜12·3＝12－13，…，1n2＜1n(n－1)＝1n－1－1n.因此1＋122＋132＋…＋1n2＜1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n－1－1n＝1＋1－1n＝2－1n.故不等式1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2，n∈N＋)．[探究共研型]利用反证法证明不等式探究1【提示】证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．探究2反证法证题时常见数学语言的否定形式是怎样的？【提示】常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设有：常见词语至少有一个至多有一个唯一一个是有或存在全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上不是不存在不全不都是【精彩点拨】本题中的条件是三边间的关系2b＝1a＋1c，而要证明的是∠B 与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．【自主解答】∵a，b，c的倒数成等差数列，∴2b＝1a＋1c.假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，∴b＞a＞0，b＞c＞0，∴1b＜1a，1b＜1c，∴2b＜1a＋1c，这与2b＝1a＋1c相矛盾．∴假设不成立，故∠B＜90°成立．1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B ≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．[再练一题]3．若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2.【导学号：32750040】【证明】 法一 假设a ＋b >2， a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0， 故取等号的条件为a ＝b ＝0，显然不成立， ∴a 2－ab ＋b 2>0.则a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>2(a 2－ab ＋b 2)， 而a 3＋b 3＝2，故a 2－ab ＋b 2<1， ∴1＋ab >a 2＋b 2≥2ab ，从而ab <1， ∴a 2＋b 2<1＋ab <2，∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab <2＋2ab <4， ∴a ＋b <2.这与假设矛盾，故a ＋b ≤2. 法二 假设a ＋b >2，则a >2－b ， 故2＝a 3＋b 3>(2－b )3＋b 3， 即2>8－12b ＋6b 2，即(b －1)2<0， 这显然不成立，从而a ＋b ≤2.法三 假设a ＋b >2，则(a ＋b )3＝a 3＋b 3＋3ab (a ＋b )>8. 由a 3＋b 3＝2，得3ab (a ＋b )>6，故ab (a ＋b )>2. 又a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2， ∴ab (a ＋b )>(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)， ∴a 2－ab ＋b 2<ab ，即(a －b )2<0.这显然不成立，故a＋b≤2.[构建·体系]反证法与放缩法—⎪⎪⎪⎪⎪—反证法与放缩法的定义—反证法的一般步骤—证明不等式—放缩的技巧1．实数a，b，c不全为0的等价条件为()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】实数a，b，c不全为0的含义即a，b，c中至少有一个不为0，其否定则是a，b，c全为0，故选D.【答案】 D2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为()A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a≤0，b＞0，c＞0C．a，b，c不全是正数 D.abc＜0【解析】a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数，故选C.【答案】 C3．要证明3＋7＜25，下列证明方法中，最为合理的是()A．综合法B．放缩法C．分析法 D.反证法【解析】由分析法的证明过程可知选C.【答案】 C4．A＝1＋12＋13＋…＋1n与n(n∈N＋)的大小关系是________.【导学号：32750041】【解析】 A ＝11＋12＋13＋…＋1n ≥＝nn ＝n .【答案】 A ≥n5．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2.求证：1＋x y <2和1＋yx <2中至少有一个成立．【证明】 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立，因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋yx <2中至少有一个成立．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
反证法与放缩法
（4）利用函数的单调性放缩。
3、使用放缩法的注意事项： （1）放缩的方向要一致。 （2）放与缩要适度。 （3）放缩可以是整体放缩，也可以是保持 某些项不变的局部放缩。
例 3： 已 知 a, b, c, d R , 求 证 ：
a b c d 1 2 abd bca cd b d ac
二、放缩法
证明不等式时，通常把不等式的某些部 分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到 证明的目的。我们把这种方法称为：放缩法
1、放缩法的理论依据： （1）不等式的传递性； （2）等量加不等量为不等量；
2、放缩法的常用技巧： （1）添加或舍弃一些项； （2）在分式中放大或缩小分子或分母； （3）利用基本不等式放缩；
（3） 结论——由矛盾结果，断定反设不成立， 从而肯定原结论成立. 注:归谬矛盾： （1）与已知条件或假设矛盾； （2）与定义、公理、定理、事实矛盾；
适宜使用反证法的情况 （1）结论以否定形式出现 （2）结论以“至多-------，” ，“至少-----” 形式出现
（ 3）唯一性、存在性问题
（4） 结论的反面比原结论更具体更容易
对任何x， 对所有x, 存在某个x， 不成立 成立 不成立
例 1： 已 知 x, y 0, 且x y 2.求 证 ：
1 x 1 y , 中至少有一个小于 y x
ab bc ca 0, abc 0
求证： a 0, b 0, c 0
2.
例2：已知 a, b, c为实数， a b c 0,
研究的命题。
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语
等于
否定词
不等于 不是 不都是 不大于 不小于
第二讲证明不等式的基本方法(反证法与方缩法)
应用反证法的情形： 应用反证法的情形：
直接证明困难; (1)直接证明困难; 需分成很多类进行讨论． (2)需分成很多类进行讨论． 结论为“至少” 至多” （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； 类命题； 多个” ---类命题 唯一”类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
第三讲
证明不等式的基本方法 -- 反证法与放缩法
反证法 假设命题结论的反面成立， 假设命题结论的反面成立，经过正确 的推理,引出矛盾，因此说明假设错误, 的推理,引出矛盾，因此说明假设的的证明方 法叫反证法。 法叫反证法。
反证法的思维方法： 反证法的思维方法：
已知a 问题：已知a,b,c,d∈ R +，求证 a b c d 1< + + + <2 a+b+d b+c+a c+d+b d+a+c
问题：已知a 是实数， 问题：已知a,b是实数，求证 |a + b| |a| |b| ≤ + 1+|a + b| 1+|a| 1+|b|
问题： 问题：当 n > 2 时， 求证： 求证： n(n -1)log n(n +1)< 1 log
1 少有一个不小于 2
问题： 问题： 已知a 为实数, 已知a,b,c为实数,a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0, abc > 0， 求证 a > 0,b > 0,c > 0
放缩法
通过把不等式中的某些部分的值放大或 缩小,简化不等式,从而达到证明的目的, 缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,讲 这种证明方法称为放缩法. 这种证明方法称为放缩法.
高二数学证明不等式的基本方法
1 a b c d 2 abd bca cba dac
例4 已知a,b是实数,求证 a b a b . 1 ab 1 a 1 b
证明: 0 a b a b
ab
1
1
1
若 在 上 述 溶 液 中 再 添 加mkg白 糖, 此 时 溶 液 的 浓 度
增加到a m ,将这个事实抽象为数学问题,并给出证明. bm
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
已知a,b, m都是正数,并a b且,则 a m a bm b
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
a
a a
abcd abd ab
b
b b
abcd bca ab
c
c c
abcd cdb cd
d
d d
abcd dac cd
把 以 上 四 个 不 等 式 相 加得
abcd a b c d abcd abd bca cbd dac
abc 故 a2b2 b2c2 c2a2 abc
abc
三、反证法与放缩法
(1)反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明.
证明: 假设a,b,c不全是正数,即其中至少有一个不是正数, 不妨先设a 0,下面分a 0和a 0两种情况讨论. (1)如果a 0,则abc 0,与abc 0矛盾, a 0不可能. (2)如果a 0,那么由abc 0可得bc 0, 又a b c 0, b c a 0,于是ab bc ca a(b c) bc 0, 这和已知ab bc ca 0相矛盾. a 0也不可能. 综上所述a 0,同理可证b 0,c 0, 所以原命题成立.
不等式的证明方法
不等式的证明方法不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据，但是由于不等式的形式多样，因此不等式的证明方法也很多。
我总结了一些不等式的证明方法 ，下面举例说明。
一. 比较法例1 求证：223x +>x .证明：因为()222155232320222x x x x x ⎛⎫+-=-+=-+≥> ⎪⎝⎭所以 223x +>x .证明例1的方法称为作差比较法。
用差与“0”比较大小。
例2 已知a >b>c>0,求证：()3a b c ab cab c abc ++>。
证明：因为()2223333a b c b a c c a b a b ca b c a b c abcabc ------++=333333a b a cb a b cc a c babc------+++=333a b a c b c a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且a >b>0, 所以a -b>0,1a b >，故31a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭。
同理可证31a c a c -⎛⎫> ⎪⎝⎭，31b cb c -⎛⎫> ⎪⎝⎭。
所以3331a b a c b c a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而()3a b ca b ca b c a bc ++>。
证明例2的方法称为求商比较法。
用商与“1”比较大小。
二．反证法 例3是无理数。
=q p，p ≠0,且p,q 互素，则所以， 222p q = ①故2q 是偶数，q 也必是偶数。
不妨设q=2k,代入①式，则有2224pk =，即222p k =，所以，p 也是偶数.P 和q 都是偶数，它们有公约数2，这与p,q 互素相矛盾。
不是有理数，而是无理数。
证明例3的方法称为反证法。
当命题过于简单，或正面情况非常复杂时，一般用反证法。
【高中数学】高中数学知识点：反证法与放缩法
【高中数学】高中数学知识点：反证法与放缩法反证法的定义：
有些不等式不能用问题的已知条件直接证明。
我们可以通过一种间接的方法——反证法，即通过否定原始结论——推导矛盾——来证明它们，从而达到肯定原始结论的目的。
放缩法的定义：
为了把原来的不等式扩大或缩小为可以简化的形式，更常用的方法是扩大或缩小分母，或适当地（减法或加正数）简化不等式，使其易于证明。
反证法证题的步骤：
如果a为真，则验证B为真。
共分三步：
（1）提出与结论相反的假设；如果负数的对边是非负数，则正数的对边是非正数，
即0和负数；
（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（必须由假设出发进行推理否则不是反证
法或证错）；
（3）从矛盾中判断假设是不正确的，因此肯定命题的结论是正确的矛盾：与现有的
所有结论如定义、公理、定理、公式和性质相矛盾，甚至自相矛盾。
反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时，如果运用直接证明
法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
收缩法的意义：
放缩法理论依据是不等式的传递性：若,a<b,b<c，则a<c.
伸缩法操作：
若求证p<q，先证p<p
一
<p
二
<…<p
N
,再证恰有p
N
<q.
注：（1）只能在同一方向上缩回，不能在相反方向上缩回。
（2）不能放（缩）得太大（小），否则不会有最后的p
N
<q.。
反证法与放缩法 课件
1.反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公
理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或
已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明
假设不正确,从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法
为反证法.
【做一做1-1】 否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,应假设
(
)
A.a,b,c都是奇数
B.a,b,c都是偶数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
答案：D
【做一做1-2】 要证明“a,b至少有一个为正数”,用反证法假设应
为
.
答案：a,b全为非正数
2.放缩法
证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简
化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.
而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法
有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知
不等式、利用函数的性质进行放缩等.比如,
舍去或加上一些项:
1 2
+2
3
+4
>
1 2
+2 ;
将分子或分母放大(缩小):
1
2
等.
<
1
1
,
(-1) 2
>
1
1
,
(+1)
<
2
+ -1
1
个不小于 .
2
分析：当要证明的几个代数式中,至少有一个满足某个不等式
时,通常采用反证法.
1
人教版数学高二A版选修4-5素材2.3反证法与放缩法
庖丁巧解牛知识·巧学一、反证法1.反证法的意义：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的.记忆要诀用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下图表示.2.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步,分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步,作出与所证不等式结论相反的假定；第三步,从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步,断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原先要证的不等式成立.辨析比较原结论词等于（=）大于(>)小于(<)对所有x成立对任意x不成立至少一个至多一个至少n个至多n个p或q p且q反设词不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)存在某个x不成立存在某个x成立一个都没有至少两个至多n-1个至少n+1个p⌝且q⌝p⌝或q⌝3通常在什么情况下用反证法？有些不等式，从正面证如果说不清楚，可以考虑反证法.即先否定结论，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的.学法一得凡是含“至少”“唯一”或含有否定词的命题，大多适宜用反证法.不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容相结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养大家数学式的变形能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.二、放缩法1.放缩法的意义：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.也就是说：欲证A≥B，可通过适当地放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B≤B1，B1≤B2，…，B1≤A，或A≥A1，A1≥A2，…，A i≥B，再利用传递性，达到欲证的目的.这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛. 2.放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较.3.放缩法经常采用的技巧有：①舍去一些正项（或负项），②在和或积中换大（或换小）某些项，③扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等.如：nn n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-<<+=+- 11121111+-=+-<<++=-+k k kk k k k k k .误区警示用放缩法证明不等式，关键是放、缩适当，放得过大或过小都不能达到证题目的. 典题·热题知识点一：反证法证明不等式 例1 设a 3+b 3=2，求证a+b≤2.思路分析：要证的不等式与所给的条件之间的联系不明显，而且待证式比已知式次数低，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑用反证法. 证明：假设a+b>2，则有a>2-b ，从而a 3>8-12b+6b 2-b 3,a 3+b 3>6b 2-12b+8=6(b-1)2+2.所以a 3+b 3>2，这与题设条件a 3+b 3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立. 误区警示不能根据已知等式找出几组数值，代入待证不等式中进行验证，验证成立也不能算是证明成功了.例2 设二次函数f(x)=x 2+px+q,求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 思路分析：要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，需要考虑的情形较多，一一列举直接证明不容易，通常采用反证法进行. 证明：假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21，则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. ①另一方面，由绝对值不等式的性质，有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2. ②①②两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确. 方法归纳一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及临时假定矛盾等各种情况. 例3 设0<a,b,c<1，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不可能同时大于41. 思路分析：题目中出现了“不可能同时大于……”字样，而且三个式子的地位相同，结合0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=41，可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法. 证明：设(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41,则三式相乘：(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>641.①又∵0<a,b,c<1,∴0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=41.同理：(1-b)b≤41,(1-c)c≤41,以上三式相乘：(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤641,与①矛盾.∴原式成立.巧解提示凡涉及到证明不等式为否定性命题、唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时，可考虑使用反证法.知识点二：放缩法证明不等式例4 当n>2时，求证：log n (n-1)log n (n+1)<1.思路分析：不等式左边含有不确定字母n ，两个对数式底数相同，真数中没有常数项，而右边为常数1，应考虑应用基本不等式逐步放缩证明，采用放缩法证明较好. 证明：∵n>2，∴log n (n-1)>0,log n (n+1)>0.∴log n (n-1)log n (n+1)<［2)1(log )1(log ++-n n n n ］2=［2)1(log 2-n n ］2<［2log 2n n ］2=1.∴n>2时,log n (n-1)log n (n+1)<1. 方法归纳在用放缩法证明不等式A≤B 时，我们找一个(或多个)中间量C 作比较，即若能断定A≤C 与C≤B 同时成立，那么A≤B 显然正确.所谓的“放”即把A 放大到C ，再把C 放大到B;反之，所谓的“缩”即由B 缩到C ，再把C 缩到A.同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及. 例5 若n 是正整数，求证22221312111n ++++ <2. 思路分析：左边不能直接通分，而且项数不定，分析此式的形式特点，借助k k k k k111)1(112--=-<进行变形，可以通过适当地放缩，使不等式简化，从而得出证明. 证明：∵kk k k k 111)1(112--=-<,k=2,3,4…,n. ∴n n n•-++•+•+<++++)1(13212111113121112222 ..212)111()3121()2111(11<-=--++-+-+=nn n 巧解提示实际上，我们在证明22221312111n++++ <2的过程中，已经得到一个更强的结论n n1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想. 例6 设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3. 思路分析：根据不等式的对称性，三个字母地位相同，不妨设出大小顺序，结合三角形三边之间的关系，进而应用放缩法选择适当的式子放缩变形，以达到证明目的. 证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c ，则b+c-a≤c+a -b≤a+b -c, 且2c-a-b≤0，2a-b-c≥0.∴c b a c b a c b a c b a -++-++-+-3=a c b a -+-1+b a c b -+-1+c b a c-+-1 =ba cb ac b a c a c b b a c c b a c b a b a c b a c c a b a c b c b a -+--+-+--+-+--≥-+--=-+--=-+--222222=0, ∴cb ac b a c b a c b a -++-++-+≥3. 方法归纳本题中为什么要将b+c-a 与a+b-c 都放缩为c+a-b 呢？这是因为2c-a-b≤0，2a-b-c≥0，而2b-a-c 无法判断符号，因此ba c ca b -+--2无法放缩.所以在运用放缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度. 问题·探究 交流讨论探究问题 有人说反证法很难，根本想不通；有人说反证法不难，看课本中的例题用起来很简单，那如何体会反证法的难与易呢？ 探究过程:学生甲：反证法太难了，都是逆向思维，根本想不到.学生乙：其实反证法不难，在生活中不也经常使用吗？先假设怎样怎样，然后就会出现什么样的事情，最后发现那不可能，出现了笑话，说明假设的不对.学生丙：反证法不难，只要见到含有否定形式的命题，如含有“至多”“至少”“不可能”等时就用反证法.学生甲：那要找不到矛盾呢？学生乙：只要按照正确的推理总会找到矛盾的，可以和已知矛盾，也可以和常识矛盾，也可以和假设本身矛盾等等，反正只要找到矛盾就可以. 学生甲：那反证法有什么好处呀？学生丙：反证法比直接证明多了一个条件，那就是假设，当然容易证明了.老师：反证法也不是万能的，一般证明还是先用直接证法，当要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰时，还有就是从正面证明需要分成多种情形进行分类讨论，而且从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形时用反证法较好.还有，平时应该拥有较为扎实的基本功，在推理中才能较快地找到矛盾，也就是要多积累素材. 探究结论:反证法作为一种证明方法，其实也不是很新，很早就接触了，说来并不算难，只要多积累一下这方面的知识技巧就可以较为熟练的应用了.思想方法探究问题反证法证题，可以说是一个难点，就是感觉难懂难用.因为以前我们的证明，所采用的方法均为直接证法，由已知到结论，顺理成章.而对于属于间接证法的反证法，许多同学正是难以走出直接证法的局限，从而不能深刻或正确理解反证法思想.怎样才能更好地理解反证法呢？探究过程:其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证法不可替代的作用.在生活中的应用也非常广泛，只是我们没有注意罢了.下面看两则故事，体会一下，对我们正确理解反证法很有帮助.故事一：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪.乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨.”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎.”实际上，小牧童正是巧妙地运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论.风水先生当然不会承认这个事实了.那么，显然，他说的就是谬论了.这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还治其人之身”的反证法迎刃而解了.如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二.故事二：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这是很著名的“道旁苦李”的故事.实质上王戎的论述，也正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成像几何题目中的“已知、求证、证明”，再和反证法的步骤进行对比，大家就明白了.探究结论:反证法的应用广泛，只要善于观察和总结，从生活中体会反证法的思想，就不会感觉反证法难懂难用了.。
反证法与放缩法
例3.若a, b, c, dR+ , 求证： a b c d 1 2 abd bca cd b d ac
【方法小结】放缩法 —— 证明不等式
时，通过把不等式中的某些部分的值适当 放大或缩小，简化不等式，从而达到证明 的目地. 例如： 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 此法的依据就是不等式性质:传递性.
例5.求证：
1 1 1 * （ 2 n 1 1） 1 2 n (n N ) 2 3 n
【思路分析】
1 问题的关键是对通项 的适当放缩. n 注意到:
n 1 n n 1(n 1) 2 1 2 n 1 n n n n 1
探求知识 例1.已知x,y>0,且x+y>2,求证：
1 x 1 y , 中至少有一个小于2. y x
【方法小结】反证法 —— 先假设要证明 的结论不成立，以此为出发点，结合已知 条件，应用不等式性质、定理等，进行正 确的推理，得到与已知或定理或明显事实 矛盾的结论，以说明假设不正确，从而间 接说明原命题成立的方法。
课堂小结 证明不等式的特殊方法: （1）放缩法：对不等式中的有关式子 进行适当的放缩实现证明的方法。 （2）反证法：先假设结论不成立, 再 寻求矛盾,推翻假设，从而证明结论成 立的方法。
课后作业
P29 习题2.3
1，2，3，4.
பைடு நூலகம்
证明不等式的基本方法 （反证法与放缩法）
知识回顾 ★比较法、综合法、分析法证明不 等式的基本思路是什么？
(1) 比较法 ：通过比较差与 0 的大小，或商 与1的大小来证明不等式成立.
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反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点, 结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等， 进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确， 从而间接说明原命题成立的方法。
例题
例1、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证：a, b, c > 0 证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0
例1、若a, b, c, dR+，求证：
a b c d 1 2 abd bca cd b d ac
证：记m =
a b c d abd bca cd b d ac
∵a, b, c, dR+
m a b c d 1 abcd abca cd ab d abc
a 2 3 2 (b ) a 2 4
a 2 3 2 (c ) a 2 4
a 2 (b ) 2 abc
a 2 (c ) 2
例3求证： 1 1 1 * 2（ n+1-1）<1+ ... 2 n (n n ) 2 3 n
1 2 2 2( k k 1), k N * k 2 k k k 1
a b c d 同时 m 2 ab ab cd d c
∴1 < m < 2
即原式成立
例2、巳知：a、b、c∈ R ，求证：
a ab b a ac c a b c
2 2 2 2
略 解
a ab b
2 2
a ac c
2
2
1 1 1 1 2 3 n 2[( 1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( n n 1)] 2 n.
若p>0,q>0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤2
证明 假设p+q＞2 则有p3+q3＜p+q (p+q)(p2-pq+q2) ＜(p+q) ∵ p＞0 q＞0 ∴ p2-pq+q2＜1 ∴ p2-pq+q2＜1 ( p+q)2≤1+3pq ∵ 4 pq≤ (p+q)2 ∴ (p+q)2＜4 ∴ p+q＜2这与假设矛盾 ∴p+q≤2
①
1 以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 64 与①矛盾∴结论成立
1 1 ( 1 b ) b (1 c )c 同理： 4 4
1 (1 a ) a ∴0 (1 a )a 2 4
2
放缩法
在证明不等式过程中，有时为了证明 的需要，可对有关式子适当进行放大或缩 小，实现证明。例如： 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。
课堂小结
不等式证明的常用方法: 比较法、综合法、分析法 换元法、构造法 反证法、放缩法
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袍女人,对她说："去和莫悔说壹下吧,这件东西咱要了,看对方要什么东西,咱都可以尽量提供给他.""前辈,这,这恐怕不合规矩."紫袍女人有些尴尬.还没有开始拍卖呢,现在就想私底下,拿下这东西,这不符合天轩阁の规矩.根汉皱眉道："那你就去把前辈给叫来吧,咱自己和他说.""这.%" 紫袍女人有些为难,不过这时候扫地僧正好就出现了,他の神力早就洞察了各处,自然也知道根汉想找他来问个明白.根汉向扫地僧行了壹礼,扫地僧让这紫袍女人先出去了."前辈,还请助咱壹回,这两个女人可能与咱小师妹有关系,咱必须要拿下."根汉说.扫地僧叹道："原来这女人是你小师 妹,看来你小师妹来头不小呀,无心峰上の个个都是疯子,果然不假.""哦?前辈知道这是什么?"根汉有些意外.扫地僧点头道："如果老夫没有猜错の话,这应该就是传说中の,三生体.""三生体."壹旁の安然惊道："是可以活三世の神体?""恩."扫地僧点了点头道："壹般の就是至尊,也最多能 活出第二世,还得历经劫难,可能前期也没有记忆了,会被彻底の抹去.""但是这三生体,自然三生,能活出三世,而且会记得前世,所以壹般の三生体有可能不止活出三世.""借着前两世の修为,有可能会突破天际,飞入仙界."扫地僧道."现在看来,你那小师妹已经到了第三世了,这确实是了不 得."他又说.根汉皱眉道："前辈是说,咱小师妹现在是第三世,这是她の前两世吗?""恩."扫地僧道："应该是这样の,之前就是咱亲自鉴定の这两具冰棺,就是想看看有谁认识这棺中の人,想不到这人竟然是你.""这么说,咱小师妹,还可能真是这三生体质?"根汉也没想到,会是这样の.若真是 这样の话,那他小师妹来头确实是很大呀,三生体质,已经活了两世了,现在是第三世了.若是这第三世,能够突破壹下の话,说不定能够突破进入天の另壹头.根汉问道："前辈,你能看出她の这前两世,是什么修为吗?""现在看不出来,这可能是半仙体了起码."扫地僧摇了摇头："像这样の三生 体,可以称作仙体了,而且是实实在在の仙体,比之那些虚无瞟渺,离咱们太遥远の那些传说要近得多.""古往今来,便有壹些关于三生体の记载,曾经就有三生体突破天际,进入仙界の记载."扫地僧说,"也许你の小师妹,就属于这壹类人物.""原来是这样."根汉点头道："那咱更要将这两口冰 棺给拿下了,要是落在了别人の手里,更不妥当了.""前辈能不能替咱联系或者是引荐壹下此物の主人,咱想拿下这两口冰棺."根汉很坚持,要将这两口冰棺拿下,他怕别人得到了这东西,会做出对棺中の她们,不敬之事.她们是惜夕の前两世の尸体,对惜夕来说,或许有重大の用处,自己不想让 这东西落入旁人之手."这个,咱试壹下吧."扫地僧想了想后说,"你且在这里等咱片刻.""好,辛苦前辈了."根汉道了声谢,有扫地僧做引,或许可以成功の拿下这两口冰棺.扫地僧先行离开了,安然问根汉："你打算拿出什么东西来交换?"外面莫悔已经说出了交换の条件了,此物の主人要求交 换,仙阵.这个条件,让根汉心中为之壹震,自己拥有几角仙阵,可以说是威力强大の仙阵,但是却并不是完整の仙阵.完整の仙阵阵图他是有,但是要布置起来特别困难,需要对方去布置,能不能成自己也不知道.对方需要仙阵来交换,刚刚过了壹会尔,还真就有人提供了仙阵,想让这东西给交换 走.不过莫悔还是收到了扫地僧の消息,莫悔又改口说："感谢大家の参与,此物已经成交了."根汉心中壹跳,也不知道这两口冰棺是不是落到了自己の手里,还是有别人用仙阵给交换走了.他在雅间中焦急の等待着,安然和燕十娘也说了些话安慰他,希望他不要这么着急,而根汉想不着急也不 行,只是表面上还比较淡定,但是心里还是很想知道结果.若真是这样の话,他壹定要找到这个拍走の人,拿东西与他交换,或者是没办法の话,就得出手了."你也别太着急了,应该有办法の."安然见他这么着急,也为根汉担忧.他小师妹想必与他の关系壹定很好,要不然他不会这么上紧,而且身 为准至尊了,还有这样焦急の情绪.根汉点了点头,过了壹会尔后,扫地僧回到了这里.见到扫地僧面带微笑,根汉也松了壹口气,看来是搞定了.（正文贰玖0捌惜夕の前两世）贰玖0玖惊绝古城地图贰玖0玖他小师妹想必与他の关系壹定很好,要不然他不会这么上紧,而且身为准至尊了,还有这 样焦急の情绪.根汉点了点头,过了壹会尔后,扫地僧回到了这里.见到扫地僧面带微笑,根汉也松了壹口气,看来是搞定了."前辈,怎么样?"根汉问扫地僧.扫地僧笑道："还好,对方答应了.""那就好,他要什么东西?"根汉问.壹旁の安然和燕十娘也为根汉感到高兴,看来莫悔紧急宣布,成交了, 壹定是扫地僧传达了消息给他,让他结束这场拍卖了."这个."扫地僧笑了笑,然后避开了安然和燕十娘,直接传音告诉了根汉,对方要の条件."什么."听完扫地僧の话,根汉の脸色怔了怔,额头上飞过了壹条条の黑线,这是怎么情况,怎么对方还要那种东西,他要那东西干吗,想干什么用?扫地 僧の脸色也有些古怪只是说："不太清楚,反正对方是壹个女人,她要の就是你这样の东西,如果你肯交换の话,她就可以将这东西让给你.""这."?根汉想了想,脸色古怪の答应了下来："那好吧,咱答应."虽说不知道对方要自己の那些东西做什么,但这是自己小师妹の前两世の神躯,自己必须 要拿下来,虽然有些尴尬,但也只能是答应对方の条件了."好,那这东西就是你の了."扫地僧传音给根汉,然后根汉对二美说："两位姐姐你们先在这里坐壹会尔吧,咱还有些事情要处理,最后壹件拍品就不看了.""啊,你现在就走?她到底要你の什么呀?"燕十娘和安然都很困惑.根汉の身上,难 道还有什么天地至宝吗?要不然能换到这两具冰棺,要知道对方可是要仙阵の,根汉还有强大の仙阵吗?这小子到底有什么