高考数学复习专题三立体几何第2讲空间点、线、面的位置关系练习

第2讲空间点、线、面的位置关系高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透.真题感悟1.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.图(1) 图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项中直线AB与平面MNQ不平行.答案 A2.(2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334B.233 C.324D.32解析 如图，依题意，平面α与棱BA ，BC ，BB 1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB 1C 符合题意，进而所有平行于平面AB 1C 的平面均符合题意.由对称性，知过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中心的平面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ .正六边形EFGHIJ 的边长为22，将该正六边形分成6个边长为22的正三角形.故其面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334. 答案 A3.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.(1)证明 ∵∠BAP ＝∠CDP ＝90°， ∴AB ⊥PA ，CD ⊥PD . ∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PD .又∵PA ∩PD ＝P ，PA ，PD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD . ∵AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD . (2)解 取AD 的中点E ， 连接PE .∵PA ＝PD ，∴PE ⊥AD .由(1)知，AB ⊥平面PAD ，PE ⊂平面PAD ，故AB ⊥PE ，又AB ∩AD ＝A ，可得PE ⊥平面ABCD . 设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ， 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22， 可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 考 点 整 合1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α. (2)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b .(3)面面平行的判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b . 2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . (3)面面垂直的判定定理：a ⊂β，a ⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.热点一 空间点、线、面位置关系的判定【例1】 (2018·成都诊断)已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β.有下列命题： ①若α∥β，则m ∥n ； ②若α∥β，则m ∥β；③若α∩β＝l ，且m ⊥l ，n ⊥l ，则α⊥β； ④若α∩β＝l ，且m ⊥l ，m ⊥n ，则α⊥β. 其中真命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析 ①若α∥β，则m ∥n 或m ，n 异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m ∥β，正确；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l与n不一定相交，不能推出α⊥β，不正确.答案 B探究提高 1.判断与空间位置关系有关的命题真假的方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.2.两点注意：(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中；(2)当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.【训练1】(1)(2018·石家庄调研)如图，在三棱台ABC－A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α，设α∩平面ABC＝l，若l∥A1C1，则这3个点可以是( )A.B，C，A1B.B1，C1，AC.A1，B1，CD.A1，B，C1(2)(2018·菏泽模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列正确的是( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC.若m∥α，n∥β，则α∥βD.若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析(1)在棱台中，AC∥A1C1，l∥A1C1，则l∥AC或l为直线AC.因此平面α可以过点A1，B，C1，选项D正确.(2)结合长方体模型，易判定选项A，B，C不正确.由线面垂直的性质，当m⊥α，n⊥α时，有m∥n，D项正确.答案(1)D (2)D热点二空间平行、垂直关系的证明【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，PA ⊂平面PAD ， ∴PA ⊥底面ABCD .(2)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， ∴AB ∥DE ，且AB ＝DE . ∴四边形ABED 为平行四边形. ∴BE ∥AD .又∵BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BE ∥平面PAD .(3)∵AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形. ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，由(1)知PA ⊥底面ABCD ，且CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，且PA ∩AD ＝A ，PA ，AD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥PD .∵E 和F 分别是CD 和PC 的中点，∴PD ∥EF . ∴CD ⊥EF ，又BE ⊥CD 且EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面BEF ⊥平面PCD .【迁移探究1】 在本例条件下，证明平面BEF ⊥平面ABCD .证明 如图，连接AC ，设AC ∩BE ＝O ，连接FO ，AE . ∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，CE ＝12CD ，∴AB 綉CE .∴四边形ABCE 为平行四边形.∴O 为AC 的中点，又F 为PC 的中点，则FO ∥PA ，又PA ⊥平面ABCD ， ∴FO ⊥平面ABCD .又FO ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面ABCD .【迁移探究2】 在本例条件下，若AB ＝BC ，求证：BE ⊥平面PAC . 证明 连接AC ，设AC ∩BE ＝O .AB∥CD，CD＝2AB，且E为CD的中点.∴AB綉CE.又∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形，∴BE⊥AC.又∵PA⊥平面ABCD，又BE⊂平面ABCD，∴PA⊥BE，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC.探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直. 【训练2】(2018·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，且PD⊂平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形. 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .热点三 平面图形中的折叠问题【例3】 (2016·全国Ⅱ卷)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置. (1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积.(1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ， 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，故EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)解 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4， 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2， 故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ， 所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′， 又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ， 所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92.五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D ′－ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322.探究提高 1.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.一般地翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化，不在同一个平面上的图形的性质发生变化.2.在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解. 【训练3】 (2018·全国Ⅰ卷)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA . (1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积.(1)证明 由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝D ，AC ，AD ⊂平面ACD ， 所以AB ⊥平面ACD . 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)解 由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝AM ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綉13DC .由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1. 因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin 45°＝1.1.空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.3.解决平面图形的翻折问题，关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”，即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.一、选择题1.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面.故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.答案 A2.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC解析如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案 C3.(2018·湖南师大联考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线C1B上的动点，则CM＋MD1的最小值为( )A.2＋ 2B.2＋ 2C.2＋ 6D.2解析 将△CBC 1沿BC ，CC 1剪开，并沿BC 1折起，使平面CBC 1和平面BC 1D 1A 共面如图.连D 1C ″交BC ′于点M .则CM ＋MD 1最短(即线段C ″D 1)，在△D 1C 1C ″中，∠D 1C 1C ″＝135°，由余弦定理，得C ″D 21＝12＋12－2×12·cos 135°＝2＋ 2.故CM ＋MD 1的最小值为2＋ 2. 答案 A4.(2018·全国Ⅱ卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A.22B.32C.52D.72解析 如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以异面直线AE 与CD 所成的角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即∠EAB .不妨设正方体的棱长为2，则CE ＝1，BC ＝2，由勾股定理得BE ＝ 5.又由AB ⊥平面BCC 1B 1及BE ⊂平面BCC 1B 1，可得AB ⊥BE ，所以tan ∠EAB ＝BE AB ＝52.答案 C5.(2018·安徽江南联考)对于四面体ABCD ，有以下命题：①若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等；②若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的内心；③四面体ABCD 的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体ABCD 的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为π6.其中正确的命题是( )A.①③B.③④C.①②③D.①③④解析 ①正确，若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 在底面的射影相等，即与底面所成角相等； ②不正确，如图(1)，点A 在平面BCD 的射影为点O ，连接BO ，CO ，可得BO ⊥CD ，CO ⊥BD ，所以点O 是△BCD 的垂心；图(1) 图(2)③正确，如图(2)，若AB ⊥平面BCD ，∠BCD ＝90°，则四面体ABCD 的四个面均为直角三角形；④正确，正四面体的内切球的半径为r ，棱长为1，高为63，根据等体积公式13×S ×63＝13×4×S ×r ，解得r ＝612，那么内切球的表面积S ＝4πr 2＝π6. 故正确的命题是①③④.答案 D二、填空题6.如图，在空间四边形ABCD 中，点M ∈AB ，点N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是______.解析 由AM MB ＝AN ND，得MN ∥BD .而BD ⊂平面BDC ，MN ⊄平面BDC ，所以MN ∥平面BDC .答案 平行7.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号).①AC ⊥BE ；②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E －ABC 的体积为定值；④直线B 1E ⊥直线BC 1.解析 因AC ⊥平面BDD 1B 1，而BE ⊂平面BDD 1B 1，故①正确；因B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝16V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误. 答案 ①②③8.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是________(填序号).①平面ABD ⊥平面ABC ②平面ADC ⊥平面BDC③平面ABC ⊥平面BDC ④平面ADC ⊥平面ABC解析 因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC .答案 ④三、解答题9.(2018·江苏卷)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ；(2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .证明 (1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C .(2)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形.又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B .又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC .又因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC .因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .10.(2018·潍坊三模)如图所示，五面体ABCDEF 中，四边形ACFD是等腰梯形，AD ∥CF ，∠DAC ＝π3，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G 为AC 的中点.(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G －ECD 的体积.解 (1)存在点H ，H 为AD 中点.证明如下：连接GH ，在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ，又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴GH ∥平面BCD .(2)由题意知：AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ，∴CF ∥平面ADEB ，又CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ，∴CF ∥BE ，∴V G －ECD ＝V E － GCD ＝V B － GCD ，∵四边形ACFD 为等腰梯形，且∠DAC ＝π3. ∴∠ACD ＝π2， 又∵CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，∴CD ＝3，CG ＝12， 又BC ⊥平面AFCD ，∴V B － GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312. ∴三棱锥G －ECD 的体积为312. 11.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .(1)当AB ＝2时，求三棱锥M －BCD 的体积；(2)求证：BM ⊥AD .(1)解 取AM 的中点N ，连接DN (如图).∵在矩形ABCD 中，M 为DC 的中点，AB ＝2AD ，∴DM ＝AD .又N 为AM 的中点，∴DN ⊥AM .又∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，DN ⊂平面ADM ，∴DN ⊥平面ABCM .∵AD ＝1，∴DN ＝22. 又S △BCM ＝12·CM ·CB ＝12， ∴V 三棱锥M －BCD ＝V 三棱锥D －BCM ＝13S △BCM ×DN ＝212. (2)证明 由(1)可知，DN ⊥平面ABCM .又BM ⊂平面ABCM .∴BM ⊥DN .在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，M 为MC 的中点，∴△ADM ，△BCM 都是等腰直角三角形，且∠ADM ＝90°，∠BCM ＝90°， ∴BM ⊥AM .又DN ，AM ⊂平面ADM ，DN ∩AM ＝N ，∴BM ⊥平面ADM .又AD ⊂平面ADM ，∴BM ⊥AD .。