角的平分线总结
八年级数学角平分线的性质知识点总结
角平分线的性质是八年级数学中的重要内容之一，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
下面是关于角平分线的性质的总结，包括定义、性质和应用：一、定义：角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
角平分线是角的重要构造之一二、性质：1.角平分线将角分成两个相等的角。
即如果一条线段是一个角的平分线，则它将这个角分成两个度数相等的角。
2.角平分线与角的两边相交于一个点。
即角平分线与角的两边交于角的顶点。
3.角平分线与角的两边垂直相交于角平分线的中点。
即角平分线与角的两边垂直相交于角平分线上的一个点，该点同时也是角平分线的中点。
4.角平分线上的点到角的两边的距离相等。
即角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
5.两条平行线与角的顶点与顶边所在的线段构成的两个相似三角形，它们的角平分线平行。
即如果一条线段是一个角的平分线，另一条与之平行的线段也是这个角的平分线。
三、应用：1.判断角平分线。
当我们需要判断一个线段是否为一个角的平分线时，可以使用角平分线的定义和性质进行判断，即判断这个线段能否将角分成两个相等的角。
2.利用角平分线的性质解决问题。
当我们遇到需要将角分成两个相等的角的问题时，可以使用角平分线的性质进行解决。
例如，在解决相似三角形的问题中，可以利用角平分线的性质进行角的划分。
3.构造角平分线。
当我们需要构造角的平分线时，可以利用直尺和圆规进行构造。
常见的构造方法有尺规作图法和五线谱法等。
四、例题：1.已知角ABC，其中角平分线AD交角的两边于E、F两点，证明：AE=AF。
证明：根据角平分线的性质4，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即DE=DF，又因为AD为角ABC的平分线，所以∠DAE=∠DAF。
再根据等腰三角形的性质，得知AE=AF。
2.已知直角三角形ABC中，角A=90°，角B的平分线BD与AC相交于点D，求证：∠ADB=45°。
证明：由直角三角形的性质，角B=90°-角A=90°-90°=0°，即角B为零角。
七年级角平分线知识点总结
七年级角平分线知识点总结在七年级的数学学习中，我们学习了很多新知识，其中包括角平分线的知识。
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在本文中，我将为大家总结七年级角平分线的知识点，让大家更好地掌握这一知识。
一、角平分线的定义角平分线指的是将一个角分成两个相等的角的线段。
通常情况下，我们将这个线段称为这个角的平分线。
二、角平分线的性质角平分线有很多性质，下面我们来一一介绍。
1、角平分线上的点角平分线上的点必须满足点到角两边的距离相等。
也就是说，如果一条线段在角内，并且到角两边的距离相等，那么这条线段就是这个角的平分线。
2、角平分线相交于一点一个角的两条平分线必定相交于一个点，我们称这个点为这个角的内心。
3、内角平分线定理内角平分线定理是指，如果一个点在角内，并且到角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。
三、角平分线的应用角平分线在数学中有很多应用，下面我们来介绍一下角平分线的常见应用。
1、求角平分线的长度在图形中，如果已知角的大小和角平分线所在两边的长度，那么可以通过余弦定理或正弦定理来求角平分线的长度。
2、利用角平分线证明线段比例当一个角的内部有两个点与角的两边垂直相交时，可利用角平分线来证明线段比例。
四、角平分线的练习题为了更好地掌握角平分线的知识，在此为大家推荐两道练习题，供大家练习。
1、如图，∠A=97.5°,AD为∠A的平分线，AB=6cm，BC=10cm，则AD约等于____cm。
（结果保留一位小数）A、6.6B、5.8C、8.4D、7.2解：根据余弦定理，我们可以得出：AD≈7.2cm。
2、如图，求MN∶KL的值。
解：由角平分线定理可知：$\quad \frac{MK}{AK}=\frac{NL}{AL}\quad $又因为$AK=AL$，所以$MK=NL$又由题可知：$MK+NL=20$，所以$MK=NL=10$所以：$MN∶KL=MK-LM∶NL-LK=10-6∶10-5=4∶5$以上就是本文对七年级角平分线知识点的总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
角平分线知识点+经典例题
第四讲 角平分线【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD于点F ，则PE ＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC 即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质例1．如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．例2、如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2 B．3:2C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵:3:2AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．例3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC 上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD ＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.【答案与解析】解：DF＝EF．理由如下：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，∴PD＝PE，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ， ∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定例4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.【变式】已知：如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF=PG ，DF=EG ．求证：OC 是∠AOB 的平分线．【答案】证明：在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，，∴Rt △PFD ≌Rt △PGE （HL ），∴PD=PE ，∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴OC 是∠AOB 的平分线．。
角平分线四大模型总结+习题+解析（最全版）
⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）⾓平分线四⼤辅助线模型⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。
⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:163．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB ，另⼀把直尺压住射线OA 并且与第⼀把直尺交于点P ，⼩明说：“射线OP 就是BOA ∠的⾓平分线．”他这样做的依据是( )A ．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B ．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C ．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确6．（2019秋?梁平区期末）如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=?，130ADG ∠=?，则DGF ∠=．7．（2018春?开江县期末）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆⼼，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆⼼，⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ．下列说法错误的是( ) A ．CAD BAD ∠=∠B ．若2CD =，则点D 到AB 的距离为2C ．若30B ∠=?，则CDA CAB ∠=∠D ．2ABD ACD S S ??=8．（2014秋?西城区校级期中）如图，点E 是AOB ∠的平分线上⼀点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂⾜分别是C ，D ．下列结论中正确的有( )（1）ED EC =；（2）OD OC =；（3）ECD EDC ∠=∠；（4）EO 平分DEC ∠；（5）OE CD ⊥；（6）直线OE 是线段CD 的垂直平分线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．（2019春?杜尔伯特县期末）如图：在ABC ?中，90C ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =，证明：（1）CF EB =．（2）2AB AF EB =+．10．（2019秋?垦利区期中）如图，ABC⊥⊥且平分BC，DE AB中，AD平分BAC∠，DG BC于E，DF AC⊥于F．（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；（2）如果8AB=，6AC=，求AE、BE的长．11．（2017秋?遂宁期末）某地区要在区域S内（即COD∠内部）建⼀个超市M，如图所⽰，按照要求，超市M到两个新建的居民⼩区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【核⼼考点⼆】⾓平分线+⾓两边垂线12．（2019秋?肥城市期末）如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直，垂⾜为A ，交CD 于D ，若8AD =，则点P 到BC 的距离是．13．（2015?湖州）如图，已知在ABC ?中，CD 是AB 边上的⾼线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE ?的⾯积等于( )A ．10B ．7C ．5D ．414．（2010秋?涵江区期末）如图所⽰，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC CD =+．15．（2012秋?蓬江区校级期末）如图，已知90∠=∠=?，M是BC的中点，DM平分B C∠．求证：ADC（1）AM平分DAB∠；（2）DM AM⊥．16．（2016秋?西城区校级期中）已知：如图，12∠=∠，P为BN上的⼀点，PF BC⊥于F，=，PA PC（1）求证：180∠+∠=?；PCB BAP（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．【核⼼考点三】⾓平分线+垂线17．（2017秋?和平区校级⽉考）如图．在ABC ?中，BE 是⾓平分线，AD BE ⊥，垂⾜为D ，求证：21C ∠=∠+∠．18．（2013秋?昌平区期末）已知：如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于点D ，DCB B ∠=∠，若10AC =，6AD=，求AB 的长．19．如图所⽰，ABC ?中，ACB ABC ∠>∠，AE 平分BAC ∠，CD AE ⊥于D ，求证：ACD B ∠>∠．20．已知：如图，在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21．（2019秋?下陆区期中）如图，BD 是ABC ∠的⾓平分线，AD BD ⊥，垂⾜为D ，20DAC ∠=?，38C ∠=?，则BAD ∠=．22．（2019秋?曲⾩市校级⽉考）如图，在ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，过C 作CE BD ⊥交BD 延长线于E ．求证：12CE BD =．23．（2019?沂源县⼀模）（1）如图（a）所⽰，BD、CE分别是ABC的外⾓平分线，过点A作AD BD⊥，AE CE⊥，垂⾜分别为D、E，连接DE，求证：1() 2DE AB BC AC=++；（2）如图（b）所⽰，BD、CE分别是ABC的内⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所⽰，BD为ABC的内⾓平分线，CE为ABC的外⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边⼜有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．24．（2017秋?夏⾢县期中）如图，在ABC ?中，ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于F ，过F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ?、CEF ?都是等腰三⾓形；②DE DB CE =+；③AD DE AE AB AC ++=+；④BF CF =．正确的有．25．（2019秋?垦利区期末）如图，平⾏四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =；，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ，则DE DF +的长度为．26．（2010秋?海淀区期末）如图，BD 是ABC ?的⾓平分线，//DE BC ，DE 交AB 于E ，若AB BC =，则下列结论中错误的是( )A ．BD AC ⊥B ．A EDA ∠=∠C ．2AD BC =D ．BE ED =27．如图，若BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过D 作//DE AB 交BC 于E ，作//DF AC 交BC 于F ，求证：BC 的长等于DEF ?的周长．28．（2018秋?邳州市期中）如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD >，∠，AB AD 下列结论正确的是()A．AB AD CB CD->-B．AB AD CB CD-=-C．AB AD CB CD-<-D．AB AD-与CB CD-的⼤⼩关系不确定29．（2012?⿇城市校级模拟）在ABC∠的外⾓平分线，P是AD上的任意中，AD是BAC⼀点，试⽐较PB PC+与AB AC+的⼤⼩，并说明理由．30．（2018秋?万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD ∠，CE AB⊥于=+．E，且180B D∠+∠=?，求证：AE AD BE31．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是BAC∠=?，C=+，31的⾓平分线，AC AB BD 求B∠的度数．32．（2019秋?平⼭县期中）如图，90∠=?，OM平分AOB∠，将直⾓三⾓板的顶点PAOB在射线OM上移动，两直⾓边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．33．（2016秋?丰宁县期中）如图，在ABC ?中，100A ∠=?，40ABC ∠=?，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD ⾄E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+．34．（2018秋?丰城市期中）在ABC ?中，2ACB B ∠=∠，（1）如图1，当90C ∠=?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，当90C ∠≠?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；（3）如图3，当AD 为ABC ?的外⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．35．（2019春?利津县期末）如图，在ABC∠平分线，AD的垂直平分线分中，AD是BAC别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）EAD EDA∠=∠；（2）//DF AC；（3）EAC B∠=∠．36．（2014?西城区⼆模）在ABC>，AD平分BAC∠交BC于点∠为锐⾓，AB AC，BACD．（1）如图1，若ABC是等腰直⾓三⾓形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若60∠=?，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；ABE②如图3，若AC AB+，求BAC∠的度数．⾓平分线四⼤辅助线模型--解析⼀．⾓平分线的性质与判定（共11⼩题）1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．【分析】⾸先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据⾓平分线的性质，即可求得PB 的值，⼜由垂线段最短，可求得PQ 的最⼩值．【解答】解：过点P 作PB OM ⊥于B ， OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，3PB PA ∴==，PQ ∴的最⼩值为3．故选：C ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利⽤⾓平分线的性质，可得出ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼相等，估计三⾓形的⾯积公式，即可得出ABD ?与ACD ?的⾯积之⽐等于对应边之⽐．【解答】解：AD 是ABC ?的⾓平分线，∴设ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼分别为1h ，2h ，12h h ∴=，ABD ∴?与ACD ?的⾯积之⽐:8:64:3AB AC ===，故选：B ．3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【分析】根据⾓平分线的性质得到ED EC =，计算即可．【解答】解：BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90ACB ∠=?， ED EC ∴=，3AE DE AE EC AC cm ∴+=+==，故选：B ．4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，根据⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等可得DE CD =，然后根据三⾓形的⾯积公式即可得到结论．【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，BD 是ABC ∠的平分线，90C ∠=?，DE CD m ∴==，ABD ∴?的⾯积122n m mn =??=，故选：A．5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB，另⼀把直尺压住射线OA并且与第⼀把直尺交于点P，⼩明说：“射线OP就是BOA∠的⾓平分线．”他这样做的依据是()A．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点C作CE AO=，再根据⾓⊥，CF BO⊥，根据题意可得CE CF的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上可得OP平分AOB∠；【解答】解：（1）如图所⽰：过两把直尺的交点P作PE AO⊥，⊥，PF BO两把完全相同的长⽅形直尺，PE PF∴=，∠（⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上），OP∴平分AOB故选：A．。
八年级角平分线知识点总结
八年级角平分线知识点总结角平分线是几何知识中的一个重要概念，也是初中数学中常见的考点之一。
在八年级中学习了角平分线的相关知识后，许多同学还存在一定的困惑。
因此，本文将对八年级角平分线的知识点做一个总结，以帮助大家更好地掌握该知识。
一、角平分线的定义和性质1. 定义所谓“角平分线”，是指将一个角平分为两个角的线段。
在角上下方形成两个新的角，它们的大小相等。
2. 性质(1) 角平分线把原来的角分成两个大小相等的角。
(2) 角平分线的两侧所对的两个角相等。
(3) 在三角形中，若一条线段是一个角的平分线，则它所在的线段所对的两侧角的大小之比等于它所在的线段所对的两侧边的长度之比。
二、与角平分线有关的定理1. 外角定理所谓“外角”，是指一个三角形的一个内角所对的另一个角。
外角定理是指一个三角形的一个外角等于它的不相邻两个内角之和。
2. 内角定理一个多边形的内角和等于这个多边形的狄利克雷函数乘以180°。
三、角平分线的应用了解了角平分线的定义和性质以及与角平分线有关的定理，我们就可以在解题过程中灵活应用，其中最常见的就是角平分线定理的应用。
在三角形中，若已知一条角平分线及其所分割的两边长度，则可以利用角平分线定理求解三角形中其它角的大小。
例如，已知在三角形ABC中，角BAD的平分线交BC边于点E，且BE=7，EC=5，则可以利用角平分线定理求解角DAB和角DAC的大小。
根据角平分线定理，有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$因此，$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{7}{5}$又有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}$因此，$\dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC}=\dfrac{7}{5}$由于$\angle DAB+\angle DAC=180^\circ$，因此可以列出以下方程组：$\begin{cases} \dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angleDAC}=\dfrac{7}{5} \\ \sin \angle DAB+\sin \angle DAC=1\end{cases}$解得$\sin \angle DAB=\dfrac{7}{12}$，$\sin \angleDAC=\dfrac{5}{12}$，$\angle DAB=\sin^{-1} \dfrac{7}{12}$，$\angle DAC=\sin^{-1} \dfrac{5}{12}$，即$\angle DAB \approx 36.87^\circ$，$\angle DAC \approx 26.57^\circ$。
九年级角平分线知识点总结
九年级角平分线知识点总结角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的小角的线段。
在九年级的几何学中，学生需要学习角平分线的性质和应用。
以下是对九年级角平分线知识点的总结。
一、角平分线的定义和性质角平分线的定义：从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的小角的线段被称为角的平分线。
角平分线的性质：1. 角平分线将角分成两个相等的小角。
2. 角平分线与所分角的两边相交于一个点，并且与所分角的两边垂直相交。
3. 一个角的平分线只有一个。
二、角平分线的应用1. 找出角平分线：当需要找出一个角的平分线时，可以使用直尺和量角器进行作图。
首先，绘制出所给角；然后，在顶点处使用量角器测量出等分的角度，然后沿着顶点指示的方向绘制角平分线。
2. 角平分线的性质应用于证明：角平分线的性质可以在证明中起到重要的作用。
例如，可以利用角平分线的性质证明两个角相等。
3. 解题中的应用：角平分线的性质也可以在解题中应用。
例如，当需要计算一个角的度数时，可以利用角平分线将角分成两个相等的小角，从而更方便计算角的度数。
三、角平分线相关定理1. 角平分线定理：如果一条线段将一个角分成两个相等的小角，那么这条线段就是这个角的平分线。
2. 角平分线的角度关系：当一条角平分线与另外一个角的两边相交时，所形成的角与原角之间存在着特定的关系。
具体而言，两个原角与所形成的两个小角互为补角，并且两个小角之间互为互补角。
四、综合练习1. 练习题一：在下图中，角ABC被角平分线AD分成两个小角，若∠BAC = 40°，求∠BAD和∠DAC的度数。
2. 练习题二：如下图所示，∠ABC的角平分线AD交边BC于点D，若∠A = 120°，求∠BAD的度数。
五、总结本文总结了九年级角平分线的相关知识点，包括角平分线的定义和性质、角平分线的应用、角平分线相关定理以及综合练习题。
通过掌握这些知识，可以更好地理解和应用角平分线相关的概念，在几何学中取得更好的成绩。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
九年级角平分线知识点总结
九年级角平分线知识点总结一、角平分线的定义在平面几何中，如果一条射线恰好把一个角分成两个相等的角，那么这条射线就称为这个角的平分线。
二、角平分线的性质1. 角平分线的定义性质：角平分线将一个角分成两个相等的角。
2. 角平分线定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么这条射线上的任意一点与角的两边构成的两个角相等。
3. 两条角平分线的交点：如果两条不同的角平分线相交于一个点，那么这两条角平分线所构成的角是相等的。
4. 角平分线的唯一性：一个角的两边上有且仅有一条角平分线。
5. 角平分线的夹角定理：角的平分线所平分的角，与角的两边构成的角互补。
6. 角平分线的垂直平分线：在一个直角三角形中，直角的平分线即为直角边的垂直平分线。
7. 角平分线的应用：在一些证明题目中，角平分线可以被运用，简化证明的过程。
三、角平分线的构造方法1. 利用直尺和圆规来画出一个角的角平分线。
2. 利用三角形特点来寻找角平分线，如利用等腰三角形的特点来构造角平分线。
3. 利用角平分线的性质来构造角平分线，如利用角平分线与直线的相交得到的相等角来构造角平分线。
四、角平分线的应用1. 利用角平分线进行角的三等分。
如在一个40度的角中，通过画出其角平分线，再进行角的三等分。
2. 利用角平分线进行证明。
如在一个几何问题中，可以利用角平分线的性质来简化证明的过程。
3. 利用角平分线进行角的构造。
如在画出一个特定角度的角时，可以利用角平分线来准确地构造。
五、角平分线的相关定理1. 角平分线的交叉定理：如果两条角平分线相交于一点，那么这两条角平分线所构成的角相等。
2. 角平分线的三线共点定理：在任意的三角形中，角的外角平分线、内角平分线和中垂线三条线相交于一点。
3. 角平分线的内切定理：三角形内切圆的切点与三角形的顶点连线所成的角等于这个角的角平分线与这个角的两边所成的角。
4. 角平分线的外角平分线定理：在一个三角形中，三个外角平分线所构成的三个角互补。
数学上册角的平分线的性质
计算角度
在已知三角形两个角的情况下，可以利用三角形内角和定理计算出第三个角的大小。
证明全等三角形
在证明两个三角形全等时，如果两个三角形有两组对应的角分别相等，并且其中一组等角的 对边相等，那么这两个三角形全等（AAS）。此时，可以通过作角的平分线来构造全等的条 件。
解决实际问题
在实际问题中，如测量、建筑等领域，经常需要利用三角形内角和定理和角的平分线性质 来解决相关问题。例如，在测量一个角度时，可以通过测量另外两个角度并利用三角形内 角和定理来计算出目标角度的大小。
04 角的平分线与三角形面积 关系
04 角的平分线与三角形面积 关系
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
三角形面积公式是计算三角形面积的 基础，适用于任何类型的三角形。
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
应用二
利用角的平分线性质解决与三角形面积相关的问题。例如， 在三角形中作一条角平分线，可以将原三角形划分为两个面 积相等的小三角形，从而简化问题或找到新的解题思路。
05 角的平分线在几何变换中 性质
05 角的平分线在几何变换中 性质
平移、旋转、对称变换下性质
01
02
03
平移不变性
角的平分线在平移变换下 保持其性质不变，即平移 后的角平分线仍然是原角 的平分线。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
证明方法
通过平行线的性质或外角定理等方式证明。
角的平分线与内角和关系
角的平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平 分线。
角平分线的性质及应用
利用角平分线定理求角度
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与角度相关的几何问题。
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解某个角度的大小。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求 解两个相等的线段之间的夹角。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这个 角被平分线分为两个相等的部分，因此可以利用这个性质来求解角度。
总结词
角平分线定理是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明 各种几何命题，如三角形中的角平分线性质、平行线性质等 。
详细描述
角平分线定理指出，角平分线将相对边分为两段相等的线段 。利用这个定理，我们可以证明一些与角平分线相关的几何 命题。例如，如果一个角的平分线与另一个角的两边相交， 那么这两个交点到角平分线的距离相等。
利用角平分线定理证明三角恒等式
总结词
通过构造角平分线，可以将复杂的三角恒等式证明问题转化为简单的几何问题，从而证 明三角恒等式。
详细描述
在证明三角恒等式时，我们可以根据题目的特点，构造角平分线，将问题转化为几何问 题。然后利用角平分线定理和三角形的性质，推导出恒等式。这种方法可以简化证明过
程，使证明更加直观和简单。
利用角平分线定理求距离
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解 一些与距离相关的几何问题。
VS
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解两个 点之间的距离。利用角平分线定理，我们 可以将问题转化为求解两个相等的线段之 间的距离。例如，如果一个角的平分线将 相对边分为两段相等的线段，那么这两个 相等的线段之间的距离就是所求的距离。 因此，可以利用这个性质来求解距离。
详细描述
这是角平分线的一个非常重要的性质。在几何学中，我们可以通过这个性质来证明一些与角平分线相关的命题。 例如，如果我们从一个固定点向一个角的两边画线，那么这些线中最短的一条必定是角的平分线。这个性质在解 决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到最短的路径或线段。
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2.角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。
初中角平分线知识点总结与巧用
初中角平分线知识点总结与巧用角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段，也可以说是从角的顶点出发，将角内部一分为二的线段。
角平分线的性质和应用是初中数学中重要的内容之一，下面我们来总结一下初中角平分线的知识点以及一些巧妙的应用。
一、角平分线的定义及性质1.角平分线的定义：角平分线是从一个角的顶点出发，将角内部一分为二的线段。
2.角平分线的性质：（1）角平分线被分成的两个小角相等；（2）在平面内，从一个角的顶点出发，将这个角平分为两个相等的角的直线只有一条。
二、角平分线的判定定理1.角平分线判定定理：一个线段能够作为一个角的平分线，当且仅当它等于这个角的对边的一半。
2.角平分线的作法：（1）将这个线段的两个端点与角的两条边的一个顶点连接；（2）若两个连线相等，则这个线段是角的平分线；（3）若两个连线不相等，则这个线段不是角的平分线。
三、角平分线的应用1.直角三分线：在直角三角形中，角平分线特殊的性质是直角三角形的其中一个角的三分线。
（1）设直角三角形ABC中∠B=90°，AB=BC，AD是∠A的平分线；则∠DAB=∠DAC=∠BAC=45°。
（2）在一个直角三角形中，利用角平分线可以将角平分为两个相等的角，从而简化问题的求解过程。
2.角平分线的应用于构造等腰三角形：（1）在已知等腰三角形的等边或等角的情况下，可以通过作角平分线来构造等腰三角形。
（2）构造等腰三角形的步骤：a.画出底边；b.在底边的两端点上作两个相等的角；c.两个角的平分线交于一点，连接该点与底边的另一端点，得到等腰三角形。
3.相关定理及定律的证明：（1）锐角与锐角平分线的相关定理：在锐角ABC中，AD是∠BAC的平分线，那么∠BAD=∠CAD；（2）对称性：如果角平分线上的一部分角等于角的一半，那么角平分线的整体也是角的平分线。
四、优化问题中的角平分线的应用1.角平分线和最大值最小值问题：通过构造合适的角平分线，可以将一个问题化简为一个或多个已知的最值问题，从而求解出最优解。
初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用
初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用初中数学知识归纳：角平分线和垂直平分线的性质和应用角平分线和垂直平分线是初中数学中两个重要的概念。
它们具有各自独特的性质和应用。
本文将对这两个概念进行归纳总结，并分析它们在数学问题中的实际应用。
一、角平分线的性质和应用角平分线是指把一个角平分成两个相等的角的线段。
下面我们来归纳角平分线的性质和应用。
1. 性质：（1）角平分线把一个角分成两个相等的角。
（2）角平分线上的点到角的两边距离相等。
（3）角平分线是角的内切线。
2. 应用：（1）角平分线的性质可以用于解决角度相等或相似的证明问题，例如证明两条线段的夹角相等，证明两个三角形相似等。
（2）利用角平分线的性质，可以快速求解角平分线在三角形中的位置，从而解决与三角形相关的计算问题。
以上是角平分线的性质和应用的简要介绍。
二、垂直平分线的性质和应用垂直平分线是指垂直于线段并将其平分的线段。
下面我们来归纳垂直平分线的性质和应用。
1. 性质：（1）垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
（2）垂直平分线与线段的两个端点和中点连线垂直。
（3）垂直平分线是线段的中垂线。
2. 应用：（1）垂直平分线的性质可用于证明线段的平分线与垂直平分线相交于线段的中点。
（2）利用垂直平分线的性质，我们可以求解线段的中点坐标，从而解决与平面几何相关的计算问题。
以上是垂直平分线的性质和应用的简要介绍。
三、角平分线和垂直平分线的实际应用举例角平分线和垂直平分线不仅在数学问题中有重要的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
以下是两个实际问题的举例：1. 实际问题1：假设我们要设计一个广告牌，使其以某个角度正好对准太阳光的照射方向。
根据角平分线的性质，我们可以确定广告牌的角度，并根据此角度来安装广告牌，以获取最佳的阳光照射效果。
2. 实际问题2：在制作家具的过程中，如果要确保家具的一条边是水平的，可以利用垂直平分线的性质，通过测量线段两个端点到垂直平分线的距离来调整线段的位置，以保证家具制作的精准度。
角平分线的性质kejia
02
多边形一条边的两个端点与不相邻的顶点的连线，将多边形划分为n-2个三角形， 每个三角形的内角和为180°。
03
多边形一条边的两个端点与不相邻的两个顶点的连线，是多边形的两条角平分线， 它们将多边形划分为n-1个三角形，每个三角形的内角和为180°。因此，多边形的 内角和也可以表示为（n-1）×180°-2×角平分线的夹角。
在平行四边形中，相邻两角的角 平分线互相垂直。
角平分线所在的直线是平行四边 形的对称轴。
梯形中角平分线特点
梯形中的角平分线将梯形的一个角平分为两个相等的小角。 梯形两腰的角平分线长度相等。
梯形中一组对角的角平分线互相平行。
多边形内角和与角平分线关系
01
多边形的内角和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
证明垂直或平行问题
1 2
利用角平分线与垂线的性质
角平分线与垂线重合时，可证明两条直线垂直。
构造平行四边形
通过角平分线构造平行四边形，利用平行四边形 的性质证明直线平行。
3
应用同位角、内错角等性质
结合同位角、内错角等相关性质，可证明直线平 行或垂直。
05
角平分线在实际问题中应 用举例
测量问题中角平分线应用
之间的角度关系。
如机械臂的运动轨迹规划、机器人的路
径规划等。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
角平分线的定义：角平分线是从一个角 的顶点出发，将该角平分为两个相等的 小角的射线。
角平分线的构造：通过角的顶点，使用 圆规和直尺可以构造出角的平分线。
角平分线将相对边分为两段，这两段与 角的两边所构成的三角形面积相等。
在测量角度时，如果无法直接测量或者测量难度较大，可以 利用角平分线的性质，将原角平分，然后分别测量两个较小 的角，再通过计算得到原角的度数。
角平分线原理总结
角平分线原理总结
角平分线原理是解决与角度和线段相关问题的重要工具。
该原
理指的是将一个角平分为两个相等的角的直线，称为角平分线。
角平分线的性质：
1. 角平分线将角分为两个相等的角。
例如，若一条线段被一条
角平分线分为两个角A和B，则角A和角B的度数相等。
2. 角平分线将角的两边分为相等的线段。
如果一条线段被一条
角平分线分为两段C和D，则线段C的长度与线段D的长度相等。
3. 一条线段可以同时作为多个角的平分线。
如果一条线段被两
个不同的角平分成相等的部分，则该线段同时也是这两个角的平分线。
角平分线的应用：
1. 三角形内角平分线定理。
根据内角平分线定理，一条角平分
线将三角形的内角分为相等的两部分。
这一原理在解决三角形相关
问题时非常有用。
2. 角平分线的作图。
通过作出一个角的角平分线，我们可以得到两个相等的角，可以帮助我们进行精确的角度测量。
3. 证明两条线段平行。
如果一条线段与另一条角平分线相交且与该角的另一边相垂直，那么这两条线段一定是平行的。
总结：
角平分线原理是一个有用的工具，可以帮助我们解决与角度和线段相关的问题。
它可以帮助我们测量角度、证明平行关系，以及解决三角形相关问题。
在使用角平分线原理时，需要注意角平分线的性质以及其应用场景，以充分发挥其作用。
角平分线算法汇总
角平分线算法汇总1.什么是角平分线算法？角平分线算法是一种数学算法，用来求解一个角的平分线（即将角划分为两个相等的部分）。
这种算法可以应用于许多几何问题和实际应用中。
2.基本原理角平分线算法的基本原理是根据角的定义和性质来确定角的平分线。
根据三角形的性质，角的平分线可以通过连接角的顶点和对边上的等距点来构造。
具体的步骤如下：将给定角的两条边的端点对应连接起来，形成一个三角形。
在三角形对边上选择等距点，然后将这些等距点连接起来。
连接角的顶点与等距点的连接线，即为角的平分线。
3.应用领域角平分线算法在几何学和实际应用中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：地图绘制：角平分线算法可以应用于绘制地图上的路线，以确保两个地点之间的角度保持一致。
相机校准：角平分线算法可以用于相机校准，确保图像中的物体位置和角度的准确表示。
机器人导航：角平分线算法可以用于机器人导航，以确定机器人应该采取的方向和角度。
4.实例分析以下是一个实例分析，演示角平分线算法的应用：假设有一个直角三角形，其中一个角的度数为90度。
我们需要确定这个角的平分线。
首先，将直角三角形的两个边的端点连接起来，形成一个三角形。
在对边AB和AC上选择等距点D和E。
然后，将顶点A和等距点D、E连接起来，即可得到角的平分线。
通过这个实例分析，我们可以看到角平分线算法的应用过程。
5.总结角平分线算法是一种用来求解角的平分线的数学算法。
它通过连接角的顶点和对边上的等距点来构造平分线。
该算法在几何学和实际应用中有广泛的应用，比如地图绘制、相机校准和机器人导航等领域。
以上是有关角平分线算法的汇总文档。
参考文献：Smith。
J。
(2018)。
___。
111(2)。
124-130.Johnson。
R。
(2017)。
Geometry and Beyond。
Wiley.。
5道判定平分线
5道判定平分线五道判定平分线一、什么是平分线平分线是指将一个角平分为两个相等的角的线段。
在几何学中，平分线是一种重要的概念，它可以帮助我们解决一些与角度有关的问题。
二、如何判定平分线1. 通过角度相等判定：如果一条线段将一个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。
2. 通过垂直相等判定：如果一条线段与另外两条垂直线段相交，且与其中一条垂直线段的两个交点到另一条垂直线段的距离相等，那么这条线段就是这两条垂直线段所夹角的平分线。
3. 通过三角形内角相等判定：如果一条线段与三角形的两边相交，且与其中一条边的两个交点到另一条边的距离相等，那么这条线段就是这个三角形内角的平分线。
4. 通过三角形外角相等判定：如果一条线段与三角形的一边相交，且与另一条边的延长线上的一点和这条边的另一点连线的角度相等，那么这条线段就是这个三角形外角的平分线。
5. 通过对称性判定：如果一条线段与一个图形的两个对称点相连，那么这条线段就是这个图形的平分线。
三、平分线的性质1. 平分线与所分角的两边相交的点与角的顶点在同一直线上。
2. 平分线将所分角分成两个相等的角。
3. 平分线与所分角的两边相交的角度相等。
4. 平分线与所分角的两边相交的点到顶点的距离相等。
5. 平分线与所分角的两边相交的点与角的对顶点的距离相等。
6. 平分线与所分角的两边相交的点与两边的交点到顶点的距离的比等于所分角两边的比值。
四、平分线的应用1. 在解决角度问题时，可以利用平分线的性质来简化计算，减少出错的概率。
2. 在解决三角形问题时，平分线可以帮助我们判断三角形的形状和性质，进而推导出一些结论。
3. 在解决对称性问题时，平分线可以帮助我们找到图形的对称中心，从而分析图形的对称性质。
4. 平分线的概念也可以应用于其他几何图形，如四边形、多边形等，帮助我们解决与角度有关的问题。
5. 平分线的概念还可以应用于物理学和工程学等领域，例如在光学中，平分线可以用来解决光线的反射和折射问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两边的距离相等。
D
A
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； O
C P
（3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。
E 推理的理由有三个， B
应用定理的书写格式：
∵ OP 是 AOB 的平分线
必须写完全，不能少 了任何一个。
PD OA PE OB
\ PD = PE （在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）
证明：延长AC至E，使AE=AB，连结DE， 易证△ADB≌△ADE， ∴∠B=∠E 又∵∠ACD=∠E+∠CDE，∠ACD=2∠B ∴∠ACD=2∠E，∴∠E=∠CDE， ∴CD=CD ∴AB=AE=AC+CE=AC+CD
二、利用角的平分线的判定及性质解和差关系
如图,在四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,O为 BD的中点,且AO平分∠BAC. 求证:(1)CO平分∠ACD; (2)OA⊥OC; (3)AB + CD =AC.
想一想：题中BC 被AE垂直平分吗？
∵∠ABE＝∠ACE＝Rt∠
又∵EB=EC
∠1＝∠ 2 ∴∠3＝∠4
∴ AE垂直平分BC
例2 已知：如图 DB⊥AB，DC⊥AC，B，C分别为
垂足，DB=DC。
B
求证：DA平分∠BDC
证明： ∵ DB⊥AB，DC⊥AC，
1
3
A2
4D
DB=DC
∴ DA平分∠BAC（到一个角的两边的距离相等的点，C
用途：判定一条射线是角平分线
A C
P B
例1 已知：如图、E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，
EC⊥AC，B，C分别是垂足。
B
求证：∠EBC＝∠ECB
证明：∵ E是∠BAC平分线上的一点，A
1 2
3 4
E
EB⊥AB，EC⊥AC
C ∴EB=EC （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
∴∠EBC＝∠ECB （在一个三角形中，等边对等角）
定理 2 到一个角的两边的距离相等 的点， 在这个角的平分线上。
D
A
已知：如图，PD OA，PE OB ，
垂足分别是 D、E，PD=PE，
O
求证：点P在 AOB的角平分线上。
证明： 作射线OP
∵ PD OA PE OB
\ PDO PEO 90
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
∴∠1=∠2
在这个角的平分线上）
∵∠B=∠C=90° ∴∠3=90°－∠1
∠4=90°－∠2 ∴ ∠3=∠4
∴ DA平分∠BDC
角平分线问题的求解策略
几何问题中，若出现角平分线这一条件，可联 想角平分线的特性，利用如下求解策略。
一. 利用角平分线的对称性，翻折构造全等三角形
例1 如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2， 求证：AB=AC+CD
三、利用角的平分线的判定与三角形全等证角 的平分线
如图,已知BF与CE相交于点D, BD=CD,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E. 求证:点D在∠BAC的平分线上
四、过角平分线上一点，可以作一边的平行线Fra bibliotek构造等腰三角形
例3 如图，△ABC中，点O是∠BAC与 ∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平 行的直线分别交AB、AC于D、E。已知 △ABC的周长为2004，BC的边长为704， 求△ADE的周长。
复习提问 1、角平分线的概念
一条射线 把一个角 分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
2、点到直线距离的意义。
角平分线的性质定理:
定理 1 在角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。
定理 2 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
角平分线的性质定理：
定理 1 在角的平分线上的点到这个角的
定理用途：
D
定理 1 在角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。
∵ OP 是 AOB 的平分线 O
PD OA PE OB
\ PD = PE
E
用途：证线段相等
定理 2 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
∵ PD OA PE OB
PD = PE
\ OP 是 AOB的平分线
小结：
（1）角平分线的性质定理及其逆定理及作用；
（2）用这两个定理，一定要具备两个垂直距离 （即点到直线的距离），证明过程中要直接应 用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这 样做实际是重新证了一次定理）。
解：连接OC ∵O是∠ABC和∠BAC角平分线的交点 ∴OC平分∠ACB（三角形角平分线交于 一点） ∴∠OCE=∠OCB 又∴DE∥BC ∴∠EOC=∠OCB（两直线平行，内错角 相等） ∴∠OCE=∠EOC ∴OE=EC（等角对等边） 同理可证：OD=DB
∴AD=DE=AE=（AD+DB）+（CE+AE） =AB+AC =2004-704=1300
OP = OP （公共边）
PD = PE （ 已 知 ）
P E
B
\ RtPDO≌ RtPEO （ HL）
\ AOP BOP （全等三角形的对应角相等）
\ 点P在 AOB 角的平分线上
定理 2的应用书写格式：
PD OA
∵ PE OB
O
PD= PE
DA P
\OP 是 两A边O的B距的离平相分等线的（点到，一在个这角个的角的E平分线B 上）