角平分线的性质和判定

角的平分线的性质及判定

一. 教学内容：

1. 角平分线的作法．

2. 角平分线的性质及判定．

3. 角平分线的性质及判定的应用．

二. 知识要点：

1. 角平分线的作法（尺规作图）

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；

②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

2. 角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导

已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，

垂足分别为点A、点B．

求证：PA＝PB．

证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON

∴∠PAO＝∠PBO＝90°

∵OC平分∠MON

∴∠1＝∠2

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌△PBO

∴PA＝PB

②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，

∴PA＝PB．

（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导

已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．

证明：连结OP

在R t△PAO和R t△PBO中，

∴R t△PAO≌R t△PBO（HL）

∴∠1＝∠2

∴OP平分∠MON

即点P在∠MON的平分线上．

②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）

如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB

∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）

3. 角平分线性质及判定的应用

①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；

②实际生活中的应用．

例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．

4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．

三. 重点难点：

1. 重点：角平分线的性质及判定

2. 难点：角平分线的性质及判定的应用

【考点分析】

本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的．

【典型例题】

例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．

求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；

（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．

分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．

证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），

∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．

又∵AC＝AC′（已知），

∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．

∴∠ABC＝∠ABC′．

（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，

∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）．即∠BAC＝∠BAC′，

∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，

∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．

评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．

分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证．

解：AD平分∠BAC．

∵D到PE的距离与到PF的距离相等，

∴点D在∠EPF的平分线上．

∴∠1＝∠2．

又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．

同理，∠2＝∠4．

∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．

评析：由角平分线的判定判断出PD平分∠EPF是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．

例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．

解：AP平分∠BAC．

结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．

理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．

∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，

∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．

同理PF＝PE，∴PD＝PF．

∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．

例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．

（1）学校距铁路的距离是多少？

（2）请写出学校所在位置的坐标．

分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号．解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上，

∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，

又∵点P到公路的距离是400m，

∴点P（学校）到铁路的距离是400m．

（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．

评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．

例5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．

分析：由于点D在∠CAB的平分线上，若过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝AC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论．

解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴DC＝DE．

在R t△ACD和R t△AED中，，