1.2.1 绝对值三角不等式 课件(人教A选修4-5)(2)

(2)当|a|>|b|时，有|a|－|b|>0， ∴|a＋b|≥||a|－|b||＝|a|－|b|. |a＋b| ∴必有 ≥1. |a|－|b| |a＋b| 即|a|>|b|是 ≥1 成立的充分条件． |a|－|b| |a＋b| 当 ≥1 时，由|a＋b|>0， |a|－|b| 必有|a|－|b|>0. |a＋b| 即|a|>|b|，故|a|>|b|是 ≥1 成立的必要条件． |a|－|b| 故所求为：|a|>|b|.
[小问题· 大思维]
1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？
提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. 2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？ 提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是 ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－
法二：把函数看作分段函数． 4，x＜－1， y＝|x－3|－|x＋1|＝2－2x，－1≤x≤3， －4，x＞3. ∴－4≤y≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4. (2)|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1 ∴ymin＝1.
本课时主要考查绝对值三角不等式的应用，2012年 江苏高考以解答题的形式考查绝对值三角不等式在证明中 的应用，是高考模拟的一个新亮点．
[答案] (1)A
(2)|a|＞|b
[悟一法] (1)定理|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是：
三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于
第三边． (2)对| 定理的构 a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释： 大小 特征 等号成立的条件 成部分 关系 中间部分为|a＋b|时， ab≤0 ， 且|a|≥|b|时，左边的等号成 立 ； 中 间 部 分 为 | a － b| 时 ，
③利用绝对值不等式性质定理．
[通一类] 3．(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值；(2)求函
数y＝|x－4|＋|x－3|的最小值． 解：(1)法一：||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4， ∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.
[悟一法] (1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直
接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，
及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理， 达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已． (2)求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主 要方法有： ①借助绝对值的定义，即零点分段； ②利用绝对值几何意义；
|a|－|b| ∴左边≥ ＝右边． 2 ②若|a|<|b|， 左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立． ③若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立．
[悟一法] 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较
简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转
化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定 理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项 证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式， 往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，
(2)∵|a|－|b|≤|a± b|≤|a|＋|b|， |a|－|b| |a－b| ∴m＝ ≤ ＝1， |a－b| |a－b| |a|＋|b| |a|＋|b| n＝ ≥ ＝1， |a＋b| |a|＋|b| ∴m≤1≤n.
答案：(1)④
(2)D
[研一题]
[例 2] 已知 a，b∈R 且 a≠0， |a2－b2| |a| |b| 求证： ≥ － . 2|a| 2 2
1 1 |y|＞3，∴ ＜ . |y| 3 |x| 2 又∵|x|＜2，∴ ＜ .③正确； |y| 3 |A|＋|B| 2 1 2 ( ) ＝ (|A| ＋|B|2＋2|A||B|)， 2 4 1 ≥ (2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|， 4 |A|＋|B| ∴2lg ≥lg|A||B|. 2 |A|＋|B| 1 ∴lg ≥ (lg|A|＋lg|B|)，④正确． 2 2
或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
[通一类] 2．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|＜1， 求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．
证明：|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|
＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|· |x ＋a－1|＜|x＋a－1| ＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1| ≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1).
|a|－|b| |a|＋|b| (2)已知|a|≠|b|，m＝ ，n＝ ，则 m，n 之间的 |a－b| |a＋b| 大小关系是 A．m＞n B．m＜n D．m≤n ( )
n 解析：(1)∵0＜ ＜1. n＋1 n ∴lg ＜0. n＋1
C．m＝n
由 x＜5，并不能确定|x|与 5 的关系， n ∴可以否定①②③，而|x|lg ＜0，④成立． n＋1
|a＋b| (2)不等式 ≥1 成立的充要条件是________． |a|－|b|
[解析] 本题考查绝对值三角不等式定理的应用及充要
条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值三角不等式定理，结 合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a| ＞|b|与|a|<|b|两类讨论． (1)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| ＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； 1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确；
左端
可能是
≤中间
部分
|a|－|b| 负的
ab≥0，且|a|≥|b|时，左边等
号成立．
定理的构 成部分
特征
大小 关系
等号成立的条件
用“＋”连接时，ab≥0，右端取 等号，ab≤0，且|a|≥|b|时，左
中间部分 肯定是 ≥左端 端取等号；用“－”连接时， |a± | b 非负的 ≤右端 ab≥0 ，
[读教材· 填要点] 1．绝对值的几何意义
(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为 a 的点A到 原点 的
距离．
(2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分
别为A、B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的 距离 ，即线段AB的 长度 ．
2．绝对值三角不等式
(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时， 等号成立． (2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a，b换成向量a， b，则它的几何意义是 三角形两边之和大于第三边 ． 3．三个实数的绝对值不等式 如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5 ≤3＋2×4＋5＝16. ①若 ab≥0，则|a|＋|b|＝|a＋b|≤2； ②若 ab＜0，则|a|＋|b|＝|a－b|≤16.
a＋b＋1＝1 而当 a＋2b＋4＝－4
Hale Waihona Puke ，即 a＝8，b＝－8 时，
|a|＋|b|取得最大值，且|a|＋|b|＝|a－b|＝16.
|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立
的条件是ab≥0且|a|≥|b|.
3．绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？ 提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C， 当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B 不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.
[考题印证]
1 (2012· 江苏高考)已知实数 x，y 满足：|x＋y|＜ ，|2x－y| 3 1 5 ＜ ，求证：|y|＜ . 6 18
[命题立意]
本题综合考查不等式的性质和绝对值三角
不等式的的应用．
[证明] ＋|2x－y|，
因为 3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|
1 1 由题设知|x＋y|＜ ，|2x－y|＜ ， 3 6 2 1 5 从而 3|y|＜ ＋ ＝ ， 3 6 6 5 所以|y|＜ . 18
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[研一题] [例 1] (1)以下四个命题：
①若 a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1； x 2 ③若|x|＜2，|y|＞3，则|y|＜ ； 3 |A|＋|B| 1 ④若 AB≠0，则 lg ≥ ( lg|A|＋lg|B|)． 2 2 其中正确的命题有 A．4 个 C．2 个 B．3 个 D．1 个 ( )
①若|a|＞|b|， |a＋b||a－b| 左边＝ 2|a| |a＋b||a－b| |a＋b||a－b| ＝ ≥ |a＋b＋a－b| |a＋b|＋|a－b| ＝ . 1 1 ＋ |a＋b| |a－b| 1
1 1 1 1 ∵ ≤ ， ≤ ， |a＋b| |a|－|b| |a－b| |a|－|b| 1 1 2 ∴ ＋ ≤ . |a＋b| |a－b| |a|－|b|
[研一题]
[例3] 已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b
＋4|≤4.
求|a|＋|b|的最大值． [精讲详析] 本题考查绝对值三角不等式的应 用．解答本题可先求出|a＋b|，|a－b|的最值，再通过|a| ＋|b|与它们相等时进行讨论求出最大值．
|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|