高高考数学集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，此时曲线y＝sin(2x＋φ)必过原点，但曲线y＝sin(2x＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．【答案】 A2．(2013·韶关模拟)设a＝log0.32，b＝log0.33，c＝20.3，d＝0.32，则这四个数的大小关系是()A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜cC．b＜a＜c＜d D．d＜c＜a＜b【解析】由函数y＝log0.3x是减函数知，log0.33＜log0.32＜0.又20.3＞1,0＜0.32＜1，所以b ＜a ＜d ＜c . 【答案】 B3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x ，x ∈R B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0 C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R【解析】 A 中，y ＝cos 2x 在(0，π2)上递减，A 不满足题意． C 中函数为奇函数，D 中函数非奇非偶．对于B ：y ＝log 2|x |(x ≠0)是偶函数，在(1,2)内是增函数． 【答案】 B4．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1， x ＜2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )＜2的解集为( ) A ．(10，＋∞) B ．(－∞，1)∪[2，10) C ．(1,2]∪(10，＋∞)D ．(1，10)【解析】 原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≥2，log 3(x 2－1)＜2，或⎩⎨⎧x ＜2，2e x －1＜2， 即⎩⎨⎧ x ≥2，0＜x 2－1＜9，或⎩⎨⎧x ＜2，x －1＜0， 解得2≤x ＜10或x ＜1. 【答案】 B5．(2013·山东高考)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )【解析】 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，则排除B ；当x ＝π2时，y ＝1＞0，排除C ；当x ＝π时，y ＝－π＜0，排除A ，故选D.【答案】 D6．(2013·江西高考)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1【解析】 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.【答案】 B7．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2【解析】 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2s sa ＋s b＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab .又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0，∴v>a.【答案】 A8．(2012·重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1所示，则下列结论中一定成立的是()图1A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【解析】当x＜－2时，y＝(1－x)f′(x)＞0，得f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，y＝(1－x)f′(x)＜0，得f′(x)＜0；当1＜x＜2时，y＝(1－x)f′(x)＞0，得f′(x)＜0；当x＞2时，y＝(1－x)f′(x)＜0，得f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．【答案】 D第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上)9．(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝________.【解析】当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，∴f(1)＝12＋11＝2.∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.【答案】 －210．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为________．【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋z 3－13，结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处取得最大值．由⎩⎨⎧ x ＋2y －5＝0，x －y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)． 此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10. 【答案】 1011．(2013·孝感模拟)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为________．【解析】 当x >1时，ln x >0，sgn(ln x )＝1， ∴f (x )＝1－ln 2x ，令f (x )＝0，得x ＝e. 当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x )＝0， ∴f (x )＝－ln 2x ，令f (x )＝0，得x ＝1满足． 当0<x <1时，ln x <0，sgn(ln x )＝－1， ∴f (x )＝－1－ln 2x <0，f (x )＝0无解． ∴函数f (x )的零点为x ＝1与x ＝e. 【答案】 212．(2013·烟台模拟)已知第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，则代数式2a ＋3b 的最小值为________．【解析】 由题意知2a ＋3b ＝1，a ＞0，b ＞0，则2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋26b a ·6a b ＝25，当且仅当a ＝b ＝15时取等号，即2a ＋3b 的最小值为25.【答案】 2513．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.【解析】 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1， ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3. 因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 【答案】 －114．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (2 013)＝________.【解析】 当x ＞0时，∵f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )， ∴f (x ＋6)＝f (x )，即当x ＞0时， 函数f (x )的周期是6.又∵f (2 013)＝f (335×6＋3)＝f (3)， 由已知得f (－1)＝log 22＝1，f (0)＝0， f (1)＝f (0)－f (－1)＝0－1＝－1， f (2)＝f (1)－f (0)＝－1－0＝－1， f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－(－1)＝0， ∴f (2 013)＝0. 【答案】 015．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．【解析】 若a ＝0，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在极值；若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a ＞0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值；若－1＜a ＜0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )＞0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a ＜－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，所以a ∈(－1,0)．【答案】 (－1,0)三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝{y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B . 【解】 A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎨⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－ 3.∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0， ∴－2≤a ≤2. ∴a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或y ＞5}． ∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}． ∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R . (1)若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)都有f (x )＞2－x 成立，求实数k 的取值范围． 【解】 (1)∵f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，x ∈R ， 即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，∴(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立，∴k＝－1.(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)＞2－x，即2x＋k·2－x＞2－x成立，∴1－k＜22x对x≥0恒成立，∴1－k＜(22x)min，∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x)min＝1，∴k＞0.∴实数k的取值范围是(0，＋∞)．18．(本小题满分12分)(2013·北京高考)设L为曲线C：y＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．【解】(1)设f(x)＝ln xx，则f′(x)＝1－ln xx2.所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝x2－1＋ln xx2.当0<x<1时，x2－1<0，ln x<0，所以g′(x)<0，故g(x)单调递减；当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．19．(本小题满分13分)(2013·济南图2模拟)已知函数f (x )＝13ax 3＋(a －2)x ＋c 的图象如图2所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)若g (x )＝kf ′(x )x －2ln x 在其定义域内为增函数，求实数k 的取值范围．【解】 (1)∵f ′(x )＝ax 2＋a －2，由图可知函数f (x )的图象过点(0,3)，且f ′(1)＝0. 得⎩⎨⎧ c ＝3，2a －2＝0，即⎩⎨⎧c ＝3，a ＝1. ∴f (x )＝13x 3－x ＋3. (2)∵g (x )＝kf ′(x )x －2ln x ＝kx －kx －2ln x ，∴g ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2＋k －2xx 2.∵函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴若函数y ＝g (x )在其定义域内为单调增函数，则函数g ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx 2＋k －2x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．即k ≥2x x 2＋1在区间(0，＋∞)上恒成立．令h (x )＝2xx 2＋1，x ∈(0，＋∞)， 则h (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤1(当且仅当x ＝1时取等号)． ∴k ≥1.∴实数k 的取值范围是[1，＋∞)．20．(本小题满分13分)(2013·烟台模拟)某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(128x ＋20)x 25k 元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y 元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； (2)当k ＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？ 【解】 (1)设转盘上总共有n 个座位，则x ＝k n 即n ＝kx ， y ＝3k 2x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(128x ＋20)x 25k 2x， 定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ≤k 2，kx ∈Z. (2)y ＝f (x )＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋(128x ＋20)25， y ′＝－125＋64x 3225x 2k 2，令y ′＝0得x ＝2516.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2516时，f ′(x )＜0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2516上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2516，25时，f ′(x )＞0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2516，25上单调递增，y 的最小值在x ＝2516时取到，此时座位个数为502516＝32个．21．(本小题满分13分)(2013·鄂州模拟)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1. (1)求x ＝1时，f (x )取得极值，求a 的值； (2)求f (x )在[0,1]上的最小值；(3)若对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围．【解】 (1)因为f ′(x )＝x 2－a ，当x ＝1时，f (x )取得极值，所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1. 又当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＝1符合题意． (2)当a ≤0时，f ′(x )＞0对x ∈(0,1)成立，所以f (x )在[0,1]上单调递增，f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1， 当a ＞0时，令f ′(x )＝x 2－a ＝0，x 1＝－a ，x 2＝a ，当0＜a＜1时，a＜1，x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3.当a≥1时，a≥1，x∈[0,1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1；当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3；当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.(3)因为∀m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a，所以－a＞－1，即a＜1.所以a的取值范围是(－∞，－1)．。