易错回顾(三)集合不等式函数

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集合、函数与导数、不等式

函数的定义与性质
包括函数的定义、函数的表示法（解析法、列表法、图像法）、函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、有界性）等。
不等式的性质与解法
包括不等式的性质（传递性、可加性、可乘性、正数可乘性等）、不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式等）。
易错难点剖析
集合运算中的错误
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
集合的基本概念与运算
包括集合的定义、表示法、元素与集合的关系、集合间的关系（子集、真子集、相等）、集合的运算（并集、交集、补集）等。
导数的定义与计算
包括导数的定义、导数的几何意义、导数的计算（基本导数公式、导数的四则运算、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导等）。
导数在经济学中的应用
导数在经济学中有广泛应用，如边际分析、弹性分析等。通过导数可以研究经济变量之间的变化关系，为经济决策提供数学支持。
不等式在优化问题中的应用
不等式在优化问题中有重要作用，如约束条件中的不等式可以限制变量的取值范围。同时，不等式也可以用于刻画目标函数的性质，如凸函数和凹函数的定义就与不等式密切相关。
反函数与复合函数
反函数
设函数$y=f(x)$的定义域为$D_f$，值域为$R_f$。如果存在一个函数$g:R_f rightarrow D_f$，使得对于任意的$x in D_f, y in R_f$，都有$g(y)=x Leftrightarrow y=f(x)$，则称函数$g(y)$ 为函数$f(x)$的反函数，记作$g=f^{-1}$。
如忽视空集的情况，对并集和交集的理解不清等。
函数性质理解不透彻
如对函数单调性的判断不准确，对函数奇偶性的判断方法掌握不牢等。

高考数学复习集合与函数易错知识点总结

2019年高考数学复习集合与函数易错知识点总结集合(简称集)是数学中一个基本概念, 下面是集合与函数易错知识点总结, 请考生学习掌握。

1.进行集合的交、并、补运算时, 不要忘了全集和空集的特殊情况, 不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。

2.在应用条件时, 易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗4.简单命题与复合命题有什么区别四种命题之间的相互关系是什么如何判断充分与必要条件5.你知道否命题与命题的否定形式的区别。

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。

7.判断函数奇偶性时, 易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时, 易忽略标注该函数的定义域。

9.原函数在区间[-a, a]上单调递增, 则一定存在反函数, 且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数, 此函数不一定单调。

例如: 。

10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗定义法(取值, 作差, 判正负)和导数法11.求函数单调性时, 易错误地在多个单调区间之间添加符号和或单调区间不能用集合或不等式表示。

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)。

这几种基本应用你掌握了吗14.解对数函数问题时, 你注意到真数与底数的限制条件了吗(真数大于零, 底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次)的关系及应用掌握了吗如何利用二次函数求最值16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性, 易忽略参数的范围。

17.实系数一元二次方程有实数解转化时, 你是否注意到：当时, 方程有解不能转化为。

若原题中没有指出是二次方程, 二次函数或二次不等式, 你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形。

总结初中代数中的易错知识点回顾

总结初中代数中的易错知识点回顾一、代数中的易错知识点回顾在初中代数学习过程中，学生常常会遇到一些易错的知识点，这些知识点如果没有充分理解和掌握，将会影响后续代数的学习。

本文将对初中代数中的易错知识点进行回顾总结，以帮助学生更好地掌握这些内容，并提高解题的准确性。

二、括号的运算顺序在代数中，括号是非常重要的符号，它可以改变运算的顺序。

然而，很多学生在括号的运算顺序上常常出错。

在进行代数式的运算时，我们需要先计算括号内的值，然后再进行其他运算。

例如，对于表达式1+（2×3），我们应该先计算括号内的值2×3得到6，然后再加上1，最后的结果为7。

而如果我们不遵守括号的运算顺序，可能会得到错误的结果。

三、多项式的合并与分解多项式的合并与分解也是初中代数中常见的易错知识点之一。

在合并多项式时，我们需要将同类项相加，并保持各项中的字母指数不变。

例如，合并多项式3x+2x时，我们将3x与2x相加，结果为5x。

而在分解多项式时，我们需要将多项式拆分成两个或多个乘积的形式。

例如，分解多项式4x^2+2x可以得到2x(2x+1)。

四、因式分解与配方法因式分解是初中代数中的重要内容，但也是容易出错的知识点之一。

在因式分解时，我们需要将多项式分解成两个或多个乘积的形式。

例如，对于多项式x^2+5x+6，我们可以因式分解成(x+3)(x+2)。

而在配方法中，我们需要将多项式进行变形，使其能够适应并应用公式进行因式分解。

例如，对于多项式x^2+7x+10，我们可以应用配方法，找到两个数相加为7，相乘为10，从而得到因式分解为(x+2)(x+5)。

五、方程的解的判断方程的解的判断也是初中代数中容易出错的知识点之一。

在解方程时，我们需要判断方程是否有解，并找到所有的解。

例如，对于方程x^2+6x+9=0，我们可以通过判断其判别式（b^2-4ac）的值来确定方程的解的情况。

当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易混淆知识点(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易混淆知识点单选题1、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A2、若关于x的不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是（）A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)答案：D分析：根据充分条件列不等式，由此求得a的取值范围.|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，则a>0，|x−1|<a⇒1−a<x<1+a，所以{1−a≤0⇒a≥3.1+a≥4故选：D的最小值为（）3、设实数x满足x>0，函数y=2+3x+4x+1A．4√3−1B．4√3+2C．4√2+1D．6答案：A解析：将函数变形为y=3(x+1)+4−1，再根据基本不等式求解即可得答案.x+1解：由题意x >0，所以x +1>0，所以y =2+3x +4x+1=2+3(x +1)−3+4x+1=3(x +1)+4x+1−1≥2√3(x +1)⋅4x+1−1=4√3−1，当且仅当3(x +1)=4x+1，即x =2√33−1>0时等号成立，所以函数y =2+3x +4x+1的最小值为4√3−1.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方4、关于x 的不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a 的取值范围为（）A ．[√24,+∞)B ．(−∞,√24]C ．[−√24,√24]D ．(−∞,−√24]∪[√24,+∞) 答案：A分析：不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2−|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，分x =0和a ≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.解：不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2−|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，当x =0时，a ≥0，当a ≠0时，a ≥|x |x 2+2=1|x |+2|x |，因为1|x |+2|x |≤2√|x |⋅|x |=√24，所以a≥√24，综上所述a∈[√24,+∞).故选：A.5、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 对于A，如果c=0，那么ac=bc，故错误；对于B，如果c=0，那么ac2=bc2，故错误；对于C，如果c<0，那么ac <bc，故错误；对于D，如果c<d，那么−c>−d，由a>b，则a−c>b−d，故正确. 故选：D.6、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B7、若a>0,b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当a>0,b>0时，a+b≥2√ab，则当a+b≤4时，有2√ab≤a+b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.8、当0<x<2时，x(2−x)的最大值为（）A．0B．1C．2D．4答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x<2，∴2−x>0，又x+(2−x)=2∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x=2−x，即x=1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1故选：B多选题9、若正实数a,b满足a+b=2，则下列说法正确的是（）A．ab的最大值为1B．√a+√b的最大值为2C．a2+b2的最小值为1D．2a2+b2的最小值为83答案：ABD分析：A．根据ab≤(a+b2)2进行计算然后直接判断即可；B．将√a+√b平方后再计算最大值并判断；C．将a 2+b 2变形为(a +b )2−2ab ，然后结合ab 的最大值求解出最小值并判断；D .利用消元法将2a 2+b 2变形为3(a −23)2+83，再根据二次函数的最值求解出最小值并判断.A ．因为ab ≤(a+b 2)2=1，取等号时a =b =1，故正确；B ．因为(√a +√b)2=a +b +2√ab =2+2√ab ≤2+2√1=4，所以√a +√b ≤2，取等号时a =b =1，故正确；C ．因为a 2+b 2=(a +b )2−2ab =4−2ab ≥4−2×1=2，取等号时a =b =1，故错误；D ．因为2a 2+b 2=2a 2+(2−a)2=3a 2−4a +4=3(a −23)2+83，当a =23,b =43时取最小值为83，故正确；故选：ABD.10、下列命题为真命题的是（）A ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dB ．若a >b ，c >d ，则ac >bdC ．若a >b ，则ac 2>bc 2D ．若a 0，c <0，ab >0，所以c a −c b <0，故正确；故选：AD11、如果a bdC ．ac 2>bc 2D ．d a <c a答案：BD分析：用不等式的性质推导和取值验证相结合可解.取a =c =−2,b =d =−1，则a +d =b +c =−3，ac 2=−8,bc 2=−4，故AC 不正确；因为−a >−b >0,−c >−d >0，所以ac >bd ，故B 正确；因为c<d,1a <0，所以da<ca，故D正确.故选：BD12、已知a∈R，关于x的不等式a(x−1)x−a>0的解集可能是（）A．{x|1<x<a}B．{x|x〈1或x〉a}C．{x|x〈a或x〉1}D．∅答案：BCD分析：分a<0,a=0,0<a<1,a=1,a>1，利用一元二次不等式的解法求解.当a<0时，不等式等价于(x−1)(x−a)<0，解得a<x<1；当a=0时，不等式的解集是∅；当0<a<1时，不等式等价于(x−1)(x−a)>0，解得x>1或x<a；当a=1时，不等式的解集为{x|x≠1}；当a>1时，不等式等价于(x−1)(x−a)>0，解得x>a或x<1．故选:BCD．13、若关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)=m有实数根x1,x2，且x1<x2，则下列结论中正确的说法是（）A．当m=0时，x1=2，x2=3B．m>−14C．当m>0时，2<x1<x2<3D．当m>0时，x1<2<3<x2答案：ABD解析：根据题意得，函数y=(x−2)(x−3)与y=m图象有两个交点，进而数形结合即可得答案.解：A中，m=0时，方程为(x−2)(x−3)=0，解为：x1=2，x2=3，所以A正确；B中，方程整理可得：x2−5x+6−m=0，由不同两根的条件为：Δ=25−4(6−m)>0，所以m>−14，所以B正确.当m>0时，在同一坐标系下，分别作出函数y=(x−2)(x−3)和y=m的图像，如图，可得x1<2<3<x2，所以C不正确，D正确，故选：ABD.小提示：关键点点睛：本题考查根据一元二次方程的实数根求参数问题，解题的关键是将问题转化为函数y= (x−2)(x−3)与y=m图象有两个交点问题，进而数形结合解决.考查数形结合思想和化归转化思想，是中档题.填空题14、若∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________.答案：[−2√6,2√6].分析：根据命题∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.由题意，命题∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立，可得Δ=m2−24≤0，解得−2√6≤m≤2√6，即实数m的取值范围为[−2√6,2√6].所以答案是：[−2√6,2√6].15、函数f(x)=x+9x(x>0)的值域为_________.答案：[6,+∞)分析：根据基本不等式即可解出．因为x>0，所以f(x)=x+9x≥2√9=6，当且仅当x=3时取等号．所以答案是：[6,+∞)．16、已知集合A={x|−5<−2x+3<7},B={x|x2−(3a−1)x+2a2−a<0} ,若B⊆A，则实数a的取值范围为______．答案：[−12,5 2 ]分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，B ={x |(x −a )(x −2a +1)<0}，当a <2a −1，即a >1时，B =(a,2a −1)，当a =2a −1，即a =1时，B =∅，当a >2a −1，即a <1时，B =(2a −1,a)，又A =(−2,4)，B ⊆A ，于是得{a >12a −1≤4，解得1<a ≤52，或{a <12a −1≥−2，解得−12≤a <1，而∅⊆A ，则a =1，综上得：−12≤a ≤52，所以实数a 的取值范围为[−12,52]．所以答案是：[−12,52] 解答题17、某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为R =5x −12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是产品生产并售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为产量的函数.（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；（3）产量为多少时，企业所得利润最大？答案：（1）y ={−12x 2+194x −12(0≤x ≤5)12−14x(x >5)；（2）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本；（3）年产量为475台时，企业所得利润最大.分析：（1）依题意对0≤x ≤5与x >5分类讨论，分别求出函数解析式，再写成分段函数形式即可；（2）要使企业不亏本，则y ≥0，根据（1）中函数解析式分类讨论，分别解得即可；（3）根据二次函数的性质计算可得；解：（1）设利润为y 万元，当0≤x ≤5时，y =5x −12x 2−0.25x −0.5，当x >5时y =5×5−12×52−0.25x −0.5=12−14x ，综上可得y ={−12x 2+194x −12(0≤x ≤5)12−14x(x >5) ；（2）要使企业不亏本，则y ≥0.即{0≤x ≤5,−12x 2+4.75x −0.5≥0或{x >5,12−0.25x ≥0,得0.11≤x ≤5或5<x ≤48，即0.11≤x ≤48.即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本.（3）显然当0≤x ≤5时，企业会获得最大利润，此时，y =−12(x −4.75)2+10.78125， ∴x =4.75，即年产量为475台时，企业所得利润最大.18、已知关于x 的不等式ax 2−x +1−a ≤0．（1）当a ∈R 时，解关于x 的不等式；（2）当a ∈[2,3]时，不等式ax 2−x +1−a ≤0恒成立，求x 的取值范围．答案：（1）答案见解析；（2）[−12,1]．分析：（1）不等式ax 2−x +1−a ≤0可化为(x −1)(ax +a −1)≤0，然后分a =0，a <0，0<a <12，a =12，a >12五种情况求解不等式；（2）不等式ax 2−x +1−a ≤0对a ∈[2,3]恒成立，把a 看成自变量，构造函数f (a )=(x 2−1)a +(−x +1)，则可得{f (2)≤0f (3)≤0，解不等式组可求出x 的取值范围解：（1）不等式ax 2−x +1−a ≤0可化为(x −1)(ax +a −1)≤0，当a =0时，不等式化为x −1≥0，解得x ≥1，当a <0时，不等式化为(x −1)(x −1−a a )≥0，解得x ≤1−a a ，或x ≥1；当a >0时，不等式化为(x −1)(x −1−a a )≤0； ①0<a <12时，1−a a >1，解不等式得1≤x ≤1−a a ， ②a =12时，1−a a =1，解不等式得x =1， ③a >12时，1−a a <1，解不等式得1−a a ≤x ≤1．综上，当a =0时，不等式的解集为{x|x ≥1}，当a <0时，不等式的解集为{x|x ≤1−a a 或x ≥1}， 0<a <12时，不等式的解集为{x|1≤x ≤1−a a }， a =12时，不等式的解集为{x|x =1}， a >12时，不等式的解集为{x|1−a a ≤x ≤1}．（2）由题意不等式ax 2−x +1−a ≤0对a ∈[2,3]恒成立，可设f (a )=(x 2−1)a +(−x +1)，a ∈[2,3]，则f (a )是关于a 的一次函数，要使题意成立只需： {f (2)≤0f (3)≤0⇒{2x 2−x −1≤03x 2−x −2≤0，解得：−12≤x ≤1，所以x 的取值范围是[−12,1]．。

高一数学集合与函数错题集锦

高一数学集合易错题汇总及详解一、混淆集合中元素的形成例1 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则AB = ．错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴ 剖析：产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而不是数集．{}(11)AB =-，∴（加强练习）1、集合{}{}2,,,A x x y y R B y y x x R==∈==∈，则A B ⋂= （）A 、{}0,1 B 、(){}0,1 C 、{}0yy ≥ D 、∅解析：A=R ，[)[)0,,0,B A B =+∞∴=+∞。

答案C2、已知集合}1|{2x y x A -==，},1|{A x x y y B ∈-==，则=⋂B A （） A 、}1,0{ B 、)}0,1{( C 、]0,1[- D 、]1,1[-解析：[1,1],[2,0],[1,0]A B A B =-=-∴=-。

答案C 二、忽视空集的特殊性例2 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为．错解：由(1)10m x -+= 得11x m=- 由2230x x --= 得1x =-或3x =1|1A x x m ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵ 111m =--∴或3 2m =∴或23m = 剖析：由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =．m ∴的值为2123，，．（加强练习）设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若B B A =⋂，求a 的值解析：∵ B B A =⋂∴ B ⊆A ,由A={0，-4}，∴B=Φ，或B={0},或B={-4}，或B={0,-4}当B=Φ时，方程01)1(222=-+++a x a x 无实数根，则 △ =0)1(4)1(422<--+a a 整理得01<+a 解得1-<a ；当B={0}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为0，则⎩⎨⎧=-=+-010)1(22a a 解得1-=a ；当B={-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为-4，则⎩⎨⎧=--=+-1618)1(22a a 无解；当B={0，-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 的两根分别为0，-4，则⎩⎨⎧=--=+-014)1(22a a 解得1=a 综上所述：11=-≤a a 或三、忽视集合中的元素的互异性．．．这一特征例3 已知集合{}22342A a a =++，，，{}207422B a a a =+--，，，，且{}37A B =，，求a 的值．错解： ∵{}37AB =，， ∴必有2427a a ++=2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a =剖析：由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5a =-应舍去．（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足{}37A B =，且集合B 中元素互异．a ∴的值为1．四、没有弄清全集的含义例4 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值．错解： ∵{}5S C A =5S ∈∴且5A ∉2235a a +-=∴2280a a +-=∴2a =∴或4a =- 剖析：没有正确理解全集．．的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验．（1）当2a =时，213a -=，此时满足3S ∈．（2）当4a =-时，219a S -=∉，4a =-∴应舍去，2a =∴．五、没有弄清事物的本质例5 若{}|2A x x n n ==∈Z ，，{}|22B x x n n ==-∈Z ，，试问A B ，是否相等．错解： 222n n ≠-∵A B ≠∴剖析：只看到两集合的形式区别，没有弄清事物的本质，事实上A 是偶数集，B 也是偶数集，两集合应相等，尽管形式不同．{}{}|2|2A x x n n x x ==∈==⨯Z 整数，{}{}|22|2(1)B x x n x x x n n ==-∈==-∈Z Z ，，{}|2x x ==⨯整数换句话说{}{}||C x x n n x x ==∈==Z ，整数， {}{}|1|D x x n n x x ==-∈==Z ，整数两集合中所含元素完全相同，C D A B =⇔= （加强练习）1. 已知2{1,},{1,}My y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是( A )A. M=PB.P R ∈ C . M ⊂≠P D. M ⊃≠P2、已知集合T S T S x x S ⋃=⋂<-=则使},1|12||{的集合T= ( )A 、{|01}x x <<B 、}210|{<<x x C 、}21|{<x xD 、}121|{<<x x解析：显然S=T ，1211,01x x ∴-<-<∴<<。

高职考试中集合不等式函数错题汇总

集合、不等式、函数（易错题汇总）1、集合{}{}2|2150,|141A x x x B x a x a =--≤=+≤≤+，若B A ⊆，求a 的取值范围。

2、已知0,0,a b >>若关于,x y 的方程11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是________. 3、方程13313xx-+=+的解是__________ 4、求函数()f x =的定义域。

5、函数1y x x=+的值域为_______________。

6、已知函数1()ln (,0)1kx f x k R k x -=∈>-且，求函数()f x 的定义域。

7、已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的减函数，（1）求函数(31)(1)f x f x ++-的定义域；（2）试比较(31)(1)f x f x +-与的大小。

8、已知函数()y f x =在其定义域()1,1-上是减函数，且(1)(21),f a f a -<-求实数a 的取值范围。

9、函数21()log 1f x x =-的定义域为__________。

10、函数12y ⎛= ⎪⎝⎭的值域为（） A. ()0,+∞ B. [)1,+∞ C. ()0,1 D. (]0,1 11、函数()3()24f x x -=++的定义域为（）A. []2,2- B. (]2,2- C. [)2,2- D. ()2,2-12、求函数21()322f x x x =+-的最大值。

13、已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b =+的最小值是_________. 14、已知函数2()53cos sin f x x x =+-，求最大值和最小值。

15、已知0x >，则43x x--有最大值为___________。

16、22121a a ++的最小值是_________。

集合与不等式(教师版)

集合与不等式一、集合部分知识梳理：二、典型例题：1、（集合的概念）若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.2、（集合间的基本关系）已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．思维启迪对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B ⊆A 不要忽略B ＝∅的情形．解析 (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．练习：（易错）若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为__________．易错分析从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅，易遗忘S ＝∅的情况．解析 P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如a ＝0时，S ＝∅；二是易忽略对字母的讨论．如－1a 可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.三、不等式部分知识梳理四、典型例题：1、设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c log a (b －c ).其中所有正确结论的序号是( )A.①B.①②C.②③D.①②③(1)∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0，∴c a >c b，故结论①正确；函数y ＝x c (c <0)为减函数，又a >b ，∴a c log b (b －c )>log a (b －c )，故③正确. ∴正确结论的序号是①②③.2、（不等式与函数的综合应用） (2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}3、（2014攀枝花模拟）已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}3、（两类恒成立问题）设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. 思维启迪 (1)分m ＝0和m ≠0讨论，m ≠0可结合图象看Δ的条件； (2)可分离参数m ，利用函数最值求m 的范围. 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3].当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}.方法二因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可.所以，m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m <67.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.练习：已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.解因为x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立.即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立.而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. 所以，实数a 的取值范围是{a |a >－3}.4、（线性规划含参问题）若不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34思维启迪画出平面区域，显然点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43在已知的平面区域内，直线系过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可.解析不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域.因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.思维升华二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：线定界，点定域. 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.练习:(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C.1D.2作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎨⎧x ＝1，y ＝a x －3 ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.5、（易错：含绝对值的约束条件）已知x ，y 满足约束条件|x |＋2|y |≤2，且z ＝y －mx (m >12)的最小值等于－2，则实数m 的值等于________.易错分析本题容易出现的错误主要有两个方面：没有将绝对值不等式转化为不等式组，画不出正确的可行域；解析原不等式等价于以下四个不等式组：⎩⎨⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y ≤2，⎩⎨⎧ x ≥0，y ≤0，x －2y ≤2，⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，－x ＋2y ≤2，⎩⎨⎧x ≤0，y ≤0，－x －2y ≤2，因此可画出可行域(如图)：由z ＝y －mx 得y ＝mx ＋z .当m >12时，由图形可知，目标函数在点A (2,0)处取得最小值，因此－2＝0－2m ，解得m ＝1.温馨提醒 (1)含绝对值不等式表示区域的画法含有绝对值的不等式所表示的平面区域，应该根据变量的取值情况，将不等式中的绝对值符号去掉，化为几个不等式组，把每一个不等式表示的平面区域画出后合并起来就是相应的含绝对值不等式所表示的平面区域. 6、(利用基本不等式求最值---对1的代换)(1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________. 思维启迪利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋2 2 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy时，取等号. (2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.7、(不等式与函数的综合问题)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是 ( )A.0B.－2C.－52D.－3解析方法一设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52， ∴－52≤a ≤－1.当－a2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0.当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.。

中考数学常见易错知识点汇总(方程组与不等式组)

中考数学常见易错知识点汇总（方程组与不
等式组）
方程（组）与不等式（组）
易错点1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。

易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0 的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。

（消元降次）主要陷阱是消除了一个带X 公因式要回头检验！
易错点3：运用不等式的性质３时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。

易错点4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。

易错点5：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。

易错点6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括
号，易忘记根检验，导致运算结果出错。

易错点7：不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。

易错点8：利用函数图象求不等式的解集和方程的解。

集合重点难点易错题完整版

集合与简易逻辑（重点、易错点）一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q中元素的有________个。

（答：8）（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________ （答：5,1<->n m ）；（3）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_ _个（答：7）二．遇到A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝__ _.（答：10,1,2a =）已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R}，若A∩R *=∅，则实数m 的取值范围是_________．（答：m>－4）三．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n.22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有___个。

（答：7）四．集合的运算性质：⑴A B A B A =⇔⊆； ⑵A B B B A =⇔⊆； ⑶A B ⊆⇔B C A C U U ⊇；⑷B A B C A U ⊆⇔Φ=⋂； ⑸B A U B A C U ⊆⇔=⋃； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C AB C A C B =.如：（1）设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝__ __，B ＝__ _. （答：{2,3}A =，{2,4}B =）（2）设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，则集合A 、B 是________．（答：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}）五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。

高中数学各章易错点精析1-集合

第1章集合【易错点1：集合的表示】0是一个实数，φ表示空集，{}0表示的是含一个元素0的单元素集，0 是向量，四者的含义要辩清。

例1、能够表示方程组⎩⎨⎧=-=+17y x y x 的解集的是。

错解：①{}4,3、②(){}4,3、③⎩⎨⎧==34y x 、④{}3,4==y x分析：①表示有2个元素的集合，②解错，③虽然是方程组的解，但不是集合的形式，④中的元素是两个方程。

【易错点2：集合代表元素的属性】例2. 已知集合{}{}R x y y Q R x x y y P x∈==∈==,2|,,|2，求Q P .【分析：集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P .】例3. 设集合211A y y x x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭R ，，{}B x y x =∈R ，则AB =___________.【分析：集合A 表示函数112+=x y 的定义在R 上的值域，即]1,0(=A ，B 表示1-=x y 的定义域，即[)+∞=,1b ，所以A B ={}1】【易错点3：忽视集合元素的性质】忽视集合元素的性质：互异性、无序性、确定性。

例4. 已知+∈∈R y R x ,，集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--=---++=1,2,,1,,12y y y B x x x x A ，若A=B ，则22y x +的值是（）A. 5B. 4C. 25D. 10【A 】例5. 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a ＝________. 【由∁U A ＝{5}，得5∈U 且5∉A ，a 2＋2a －3＝5且|2a －1|≠5，解得a ＝2，或a ＝－4. 当a ＝－4时，集合A ＝{9,2}，U ＝{2,3,5}，显然不符合题意．故a ＝2.另解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2a －1|＝3，a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2】【易错点4：忽视空集】例6. 若}2|{},|{2>=<=x x B a x x A 且∅=B A ，求a 的取值范围.【答案：4≤a 】【分析：集合A 有可能是空集.当0≤a 时，∅=A ，此时∅=B A 成立；当0>a 时，),(a a A -=，若∅=B A ，则2≤a ，有40≤<a .综上知，4≤a .注意：在集合运算时要注意学会转化B A A B A ⊆⇔= 等.】例7. a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的（）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.【分析：不要忘记两个不等式均无解。

不等式易错题分析

不等式易错题分析(总5页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除不等式易错题分析一、解一元二次不等式的易错题（一）、随意消项致误例题1：解不等式; 22(44)(43)0x x x x -+-+≥错解：原不等式可化为：2(2)(1)(3)0x x x ---≥解得2(2)0,(1)(3)0x x x -≥∴--≥所以31x x ≥≤或原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或剖析：错误是由于随意消项造成的，事实上，当2(2)0x -=时，原不等式亦成立正解：原不等式可化为：20x -≠且(1)(3)0(2)0x x x --≥-=或解得31x x ≥≤或或x=2所以原不等式的解集为：{}31x x ≥≤x|或或x=2（二）、函数不清致误例题2：已知函数22(45)4(1)3y m m x m x =+-+-+的图像都在x 轴的下方，求实数m 的取值范围。

错解：，依题意，对,0x R y ∈>恒成立，于是函数的图像开口方向向上，且图像与x 轴无交点。

故[]2224504(1)43(45)0m m m m m ⎧+->⎪⎨∆=--+-<⎪⎩ 解得119m <<即所求m 的取值范围为119m <<剖析：题设中的函数未必时二次函数，也就是说缺少对245m m +-是否为0的讨论。

正解：当2450m m +-≠时，同上述解答有119m <<，若2450m m +-=时，则m=1或m=5若m=1，,则已知函数化为3y =，则对,0x R y ∈>恒成立；若m=5，则已知函数化为243y x =+，对,0x R y ∈>不恒成立，故此情形舍去。

所以m 的取值范围为119m ≤<（三）、漏端点致误例题3：已知集合{}{}2|20,|3A x x x B x a a =--≤=<+，且A B φ=，则实数a 的取值范围是____________错解：{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤若使A B φ=，需满足231a a >+<-或，解得24a a ><-或，所以实数a 的取值范围是24a a ><-或。

不等式问题易错点分析佘维平

不等式问题易错点分析特级教师佘维平不等式是高中数学的重要内容，是一种主要的运算工具，也是解决生产实践和生活实际应用问题的常见数学方法，所以不等式是高考数学命题的重点，在高考中的直接、间接的考查量很大，不少同学在不等式内容上的高考失分很多！.下面结合同学们在不等式问题求解过程中常出现的一些典型错误,充分暴露错误的思维过程，使你认识到出错的原因，在比较中对正确的思路与方法留下深刻印象，从而有效地避免出错，提高解题准确率，这应是同学们在学习与复习时不可或缺的一个环节。

举例如下：一．忽视参变量的符号致误这是不等式问题上的最常见错误。

对于不等式xx -+11>0，解是x< -1或x>1吗？我们一些同学在这样很基础的题目上也会出错，错因就在于忽视了未知数x 前的符号！（xx -+11>0的解应为－1<x<1）. 又如不等式xx -+11>2，有同学不考虑分母的符号就去分母，解得x>31,这也是由于明显的符号问题而求解错误的例子（求解分式不等式()()()0≠>a a x g x f ，一般应移项通分，再用曲线标根法得到结果）。

那么，在含有字母参数的问题中，再不小心字母（或式子）中隐含的符号的话，错误会更多。

例1. 解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1).解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0. 当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解.若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞).当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.易错点分析：1. 对［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0.，未考虑a －1的值可正、可负、可为0三种情况；2.对12--a a ，未与2进行大小比较思维拓展：此题若去掉条件“(a ≠1).”，结果会有什么变化，请同学们思考。

(完整版)高中数学易错重点知识点梳理

高中数学知识易错点梳理一、集合、简易逻辑、函数1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=2．研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。

已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x∈R}求M ∩N 的区别。

3．集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集B A ⊆时是否忘记∅. 例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？4．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个5．解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6．两集合之间的关系。

},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ⊆⇒； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表:9、否原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数．④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数．⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=2)3lg()4(--x x x 的定义域是；复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。

不等式的易错点

汉川二中程涛一．不等式的性质易错点（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘，（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：1.已知a b c >>，且0a b c ++=则c a 的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）2.对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a>>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0；、⑥ba b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； 3.设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A1x y +≥ B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

4.下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（）A ．甲 a ＞b ，乙a 1 ＜b1 B 甲 ab ＜0，乙 ∣a+b ∣＜∣a －b ∣C 甲 a=b ，乙 a ＋b=2ab D 甲 ⎩⎨⎧<<<<1010b a ，乙 ⎩⎨⎧<-<-<+<2120b a b a正确答案： D 错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。

5.a,b ∈R ，且a>b ，则下列不等式中恒成立的是（）A.a 2>b 2B.(21) a <(21)bC.lg(a －b)>0D.ba>1 正确答案：B 。

高中数学一元二次函数方程和不等式易错题集锦

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式易错题集锦单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a +b =2b，如b =2时，a +b =22=1<4，所以选项C 不正确；对于选项D ：ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a =b =12时取等则ab 有最大值14，所以选项D 不正确；故选：B2、若对任意x >0,a ≥2xx 2+x+1恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[−1,+∞)B ．[3,+∞)C ．[23,+∞)D ．(−∞,1]答案：C分析：依题意a ≥(2xx 2+x+1)max，利用基本不等式求出2xx 2+x+1的最大值，即可得解；解：因为x >0，所以2x x 2+x+1=2x+1x+1≤2√x⋅1x+1=23，当且仅当x =1x 即x =1时取等号，因为a ≥2xx 2+x+1恒成立，所以a ≥23，即a ∈[23,+∞)；故选：C3、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞) 答案：D分析：设f(x)=x 2−6x +11，由题意可得a >f(x)min ，从而可求出实数a 的取值范围设f(x)=x 2−6x +11，开口向上，对称轴为直线x =3，所以要使不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2，5)内有解，只要a >f(x)min 即可，即a >f(3)=2，得a >2，所以实数a 的取值范围为(2,+∞)，故选：D4、已知集合M ={x |−4<x <2 }，N ={x |x 2−x −6 <0}，则M ∩N = A ．{x |−4<x < 3}B ．{x |−4<x < −2}C ．{x |−2<x < 2}D ．{x |2<x < 3} 答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M ={x |−4<x <2 },N ={x |−2<x <3 }，则 M ∩N ={x |−2<x <2 }．故选C ．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 5、设m ，n 为正数，且m +n =2，则4m+1+1n+1的最小值为（） A ．134B ．94C ．74D ．95 答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1，∴4m+1+1n+1 =(4m+1+1n+1)(m+14+n+14) =n+1m+1+m+14(n+1)+54≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54 =94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即 m =53，n =13时等号成立. 故选：B .6、下列命题正确的是（）A ．若ac >bc ，则a >bB ．若ac =bc ，则a =bC ．若a >b ，则1a<1bD ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可. 对于A ，若c <0，由ac >bc 可得：a 0>b 时，1a>0>1b，C 错误；对于D ，当ac 2>bc 2时，由不等式性质知：a >b ，D 正确. 故选：D.7、设实数x 满足x >0，函数y =2+3x +4x+1的最小值为（）A ．4√3−1B ．4√3+2C ．4√2+1D ．6 答案：A解析：将函数变形为y =3(x +1)+4x+1−1，再根据基本不等式求解即可得答案. 解：由题意x >0，所以x +1>0，所以y =2+3x +4x+1=2+3(x +1)−3+4x+1=3(x +1)+4x+1−1≥2√3(x +1)⋅4x+1−1=4√3−1，当且仅当3(x +1)=4x+1，即x =2√33−1>0时等号成立，所以函数y =2+3x +4x+1的最小值为4√3−1.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1答案：A分析：由已知得， a =2−1b代入得2ab +1a=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案.解：因为a +1b =2，所以a =2−1b >0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a=2t +t +12t=2t +12t+12≥2√2t ⋅12t+12=52，当且仅当2t =12t，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A.9、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0 或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可.解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①．又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−b a (−1)×2=c a，即{ba =−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+c a −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3．故选：A10、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，则2+6=−2ba，2×6=−ca ，得b =−4a ，c =−12a ，∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0，整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0，解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞). 故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解. 填空题11、若不等式ax 2+ax +a +3≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是______. 答案：{a |a ≥0 }分析：分a =0和a ≠0两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可. 当a =0时，不等式为3>0，满足题意；当a ≠0，需满足{a >0Δ=a 2−4a (a +3)≤0 ，解得a >0，综上可得，a 的取值范围为{a |a ≥0 }，所以答案是：{a |a ≥0 }.12、已知a ，b ∈R ，且a >b2>0，则a 2+1(2a−b)b 的最小值是 _____．答案：2分析：两次利用基本不等式即可得出结论. ∵a >b2>0， ∴a 2+1(2a−b)b ≥a 2+1(2a−b+b 2)2=a 2+1a 2≥2 ，当且仅当a ＝1＝b 时取等号，其最小值是2，所以答案是：2．13、某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5m，各试验区之间也空0.5m.则每块试验区的面积的最大值为___________m2.答案：6分析：设矩形空地的长为x m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果.设矩形空地的长为x m，则宽为32xm，依题意可得，试验区的总面积S=(x−0.5×4)(32x −0.5×2)=34−x−64x≤34−2√x⋅64x=18，当且仅当x=64x即x=8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为183=6m2.所以答案是：614、已知x>0，则2x+42x+1的最小值为__________.答案：3分析：将原式变形为2x+1+42x+1−1，然后利用基本不等式求最小值.解：2x+42x+1=2x+1+42x+1−1≥2√(2x+1)⋅42x+1−1=3，当且仅当2x+1=2，即x=12时，等号成立.所以答案是：3.15、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+1> 0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.16、已知实数x≥y>0,z>0，则2x+3y+4z2x+y +2xy+2z的最小值为_________．答案：4√33+1分析：依题意可得2x+3y+4z2x+y +2xy+2z=1+2(y+2z2x+y+xy+2z)，利用基本不等式及x与y的关系计算可得；解：因为x≥y>0,z>0，所以2x+3y+4z2x+y +2xy+2z=2x+y+2(y+2z)2x+y+2xy+2z=1+2(y+2z2x+y+xy+2z)≥1+2×2√y+2z2x+y⋅xy+2z=1+4√x2x+y=1+4√12+yx因为x≥y>0，所以yx≤1，所以原式≥1+4√12+1=1+43√3，当且仅当x=y=(√3+1)z时取等号．所以答案是：4√33+117、二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0，则1a +1c的最小值为______．答案：1分析：根据题意可得ac=4，利用基本不等式即可求解. 由二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0，则42−4ac=0，解得ac=4，所以1a +1c≥2√1a⋅1c=2√14=1，当且仅当a=c时取等号，所以答案是：118、设x1、x2、x3、y1、y2、y3是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：x1y1+x2y2+x3y3，x1y1+ x2y3+x3y2，x1y2+x2y3+x3y1，x1y2+x2y1+x3y3，x1y3+x2y2+x3y1，x1y3+x2y1+x3y2，能同时取到150的代数式最多有________个．答案：2分析：由作差法比较大小后判断不妨设x1<x2<x3，y1<y2<y3，记x1y1+x2y2+x3y3为①式，x1y1+x2y3+x3y2为②式，以此类推，由①−②=x2y2+x3y3−x2y3−x3y2=(x2−x3)(y2−y3)>0，故①>②，②−③=x1y1+x3y2−x1y2−x3y1=(x1−x3)(y1−y2)>0，故②>③，①−④=x1y1+x2y2−x1y2−x2y1=(x1−x2)(y1−y2)>0，故①>④，同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤，综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤，最多有②④或③⑥两项可同时取150，令x1y1+x2y3+x3y2=x1y2+x2y1+x3y3=150，得其一组解为{x1=−1x2=0x3=1，{y1=2y2=152y3=302所以答案是：219、已知x,y为正实数，则yx +16x2x+y的最小值为__________．答案：6分析：将原式变形为yx +162+yx，结合基本不等式即可求得最值.由题得yx +16x2x+y=yx+162+yx，设yx =t(t>0)，则f(t)=t+162+t=t+2+162+t−2≥2√(t+2)⋅162+t−2=8−2=6.当且仅当t=2时取等.所以yx +16x2x+y的最小值为6.所以答案是：620、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为___________.答案：10≤V≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V−10，第二次操作后，利下的纯药液为V−10−V−10V×8，由题意可知：V−10−V−10V×8≤V⋅60%⇒V2−45V+200≤0⇒5≤V≤40，因为V≥10，所以10≤V≤40，所以答案是：10≤V≤40解答题21、解关于x的不等式ax2−2≥2x−ax(a∈R)．答案：详见解析.分析：分类讨论a，求不等式的解集即可.原不等式变形为ax2+(a−2)x−2≥0．①当a=0时，x≤−1；②当a≠0时，不等式即为(ax−2)(x+1)≥0，当a>0时，x≥2a或x≤−1；由于2a −(−1)=a+2a，于是当−2<a<0时，2a≤x≤−1；当a=−2时，x=−1；当a<−2时，−1≤x≤2a．综上，当a=0时，不等式的解集为(−∞,−1]；当a>0时，不等式的解集为(−∞,−1]∪[2a,+∞)；当−2<a<0时，不等式的解集为[2a,−1]；当a=−2时，不等式的解集为{−1}；当a<−2时，不等式的解集为[−1,2a]．22、运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2+x 2360)升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.答案：(1) y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100] (或y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2) 当x ＝18√10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26√10元.分析：（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.(1)设所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×(2+x 2360)＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100] (或y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26√10，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝18√10时等号成立.故当x ＝18√10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26√10元.小提示：本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.。

高中数学选考易错题分类解析 1 .集合易错题含答案

高中数学易错题分类解析姓名：*** 教师：*** 授课时间:*** 课题：易错题分类解析考点1集合与简易逻辑集合的概念与性质集合与不等式集合的应用简易逻辑充要条件集合的运算逻辑在集合中的运用集合的工具性真假命题的判断充要条件的应用教学反馈教师评价本周作业建议经典易错题会诊命题角度1 集合的概念与性质1．(典型例题)设全集U=R，集合M=｛x|x＞1｝，P=｛x|x2＞1｝，则下列关系中正确的是( )A.M=P B．P⊂MC.M⊂P D．C UM P=ø[考场错解] D[专家把脉] 忽视集合P中，x＜-1部分．[对症下药] C ∵x2＞1 ∴x＞1或x＜-1．故M⊂P．2．(典型例题)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=｛a+b|a∈P，b∈Q｝，若P｛0，2，5｝，Q=｛1，2，6｝，则P+Q中元素的个数是（）A．9 B．8C．7 D．6[考场错解] A P中元素与Q中元素之和共有9个．[专家把脉]忽视元素的互异性，即和相等的只能算一个．[对症下药] B P中元素分别与Q中元素相加和分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个．3．(典型例题)设f(n)=2n+1(n∈N)，P=｛l，2，3，4，5｝，Q={3，4，5，6，7},记Pˆ=｛n∈N|f(n) ∈P｝，Qˆ=｛n∈N|f(n) ∈则(Pˆ C N Qˆ) (Qˆ C N Pˆ)等于 ( )A．｛0，3｝ B．｛1，7｝C．｛3，4，5｝ D．｛1，2，6，7｝[考场错解] D P C N Q=｛6，7｝．Q C N P=｛1，2｝．故选D．[专家把脉]未理解集合Pˆ的意义.[对症下药] B ∵Pˆ =｛1，3，5｝．Qˆ=｛3，5，7｝．∴Pˆ C N Qˆ=｛1｝. Pˆ C N Qˆ=｛7｝．故选B．4．(典型例题)设A、B为两个集合，下列四个命题：①A B⇔对任意x∈A,有x ∉B；②A B⇔ A B=ø;③A B ⇔ A B;④A B⇔存在x∈A, 使得x∉B.其中真命题的序号是_____.[考场错解]∵A B，即A不是B的子集，对于x ∈A，有x∉ B;A B=ø，故①②④正确．[专家把脉]对集合的概念理解不清．∵A B，即A不是B的子集，但是A，B可以有公共部分，即存在x∈ A，使得x∉ B.不是对任意x ∈A,有x ∉B，故④正确．“A B”是“任意x ∈A，有x∉B”的必要非充分条件．②同①.[对症下药]画出集合A，B的文氏图或举例A=｛1，2｝，B=｛2，3，4｝，故①、②均不成立，③A｛1，2，3｝，B=｛1,2｝,∴A B但B⊆A，故也错.只有④正确，符合集合定义．故填④5．(典型例题Ⅰ)设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是( ) A ．（C I A ） B=IB ．(C I A) (C I B)=I C ．A (C I B)=øD ．(C I A) (C I B)= C I B[考场错解] 因为集合A 与B 的补集的交集为A ，B 的交集的补集．故选D ． [专家把脉] 对集合A ，B ，I 满足A ⊆B ⊆I 的条件，即集合之间包含关系理解不清．[对症下药] 如图是符合题意的韦恩图.从图中可观察A 、C 、D 均正确，只有B 不成立．或运用特例法，如A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，3.4｝，I=｛1，2，3，4，5｝．逐个检验只有B 错误．专家会诊1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x ∈P}，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，充分运用数形结合(数轴，坐标系，文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题，直观地解决问题．2．注意空集ø的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A=ø或A ≠ø 两种可能，此时应分类讨论．考场思维训练1 全集U=R ，集合M={1，2，3，4}，集合N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤121|x x ，则M (C U N)等于 ( ) A ．{4} B ．{3，4} C ．{2，3，4} D ． {1，2，3，4} 答案：B 解析：由N={},12|,121|+≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤x x N x x 得C U N={}{}4,3)(,12|=⋂∴+N C M x x U 2 设集合M={x|x=3m+1，m ∈Z}，N=y|y{=3n+2，n ∈Z}，若x 0∈M,y 0∈N ，则x 0y 0与集合M,N 的关系是 ( )A.x 0y 0∈M B ．x 0y 0∉M MM C.x 0y 0∈N D ．x 0y 0∉N 答案： C 解析：∵x o..2)23(32369)23)(13(,23,,130C N n m mn n m mn n m y x n y N y m x M o o o o 故选∈+++=+++=++=∴+=∴∈+=∴∈3 设M={x|x4a ，a ∈R}，N={y|y=3x，x ∈R}，则 ( ) A ．M ∩N=Ø B ．M=NC. M ⊃ND. M ⊂N 答案：B 解析：M={}{}{}B N y y x x M R a x x a 选.0|0|,4|=>=>==∈=4 已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab,a 、b ∈A 且a ≠b}，则B 的子集的个数是 ( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．15答案：解析：{},6,0=B 它的子集的个数为22=4。

2024年高考数学教材知识一遍过(课本内容回顾+知识清单+易错易混点+考前提醒)

决战2024年高考考前必过知识清单教材知识一遍过一、集合与逻辑1、区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如：（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N＝{}2|1,y y x x M =+∈，则M N = ___（答：[1,)+∞（2）集合{}342+-==x x y x M ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+==3,6,cos 3sin ππx x x y y N M N =（答：}1{）2、条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况如：（1）若非空集合}5312/{-≤≤+=a x a x A ，}0)22)(3/({≤--=x x x B ，则使得B A A ⋂⊆成立的a 的集合是______（答：96≤≤a ）（2）集合M=},04/{2<++a x x x N =},02/{2>--x x x 若N M ⊆，则实数a 的取值范围为___________（答：3≥a ）（3）}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

（答：a≤0）3、}|{B x A x x B A ∈∈=且 ;}|{B x A x x B A ∈∈=或 C U A={x|x∈U 但x ∉A};B x A x B A ∈∈⇔⊆则;真子集怎定义？如：含n 个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n －1;如：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。

（答：7）4、C U (A∩B)=C U A∪C U B;C U (A∪B)=C U A∩C U B;5、A∩B=A ⇔A∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A∩C U B=∅⇔C U A∪B=U6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

集合中常见的几类易错问题

剖析：本题容易把集合Ａ，Ｂ看作两条曲线上的点
集而错选答案，事实上集合Ａ、表示数集，由均
剖析：上述解答忽视了 “ 空集是任何集合的子
离中２１０１年嚣９期
数学有数
２年高考广东文科数学填空题典型错解分析０１１
■ 张景辉
对而不全．因此解填空题，合理分析和判断的基础在
上，既要使得每一个步骤的推理和运算准确无误，又要保证答案的呈现形式满足完整和规范．今年参笔者
１．３为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮
球时间之间的关系，下表记录了小李某月１到５号号
篮命中率为 — — ．标准答案：０；０５．．．５３
Ａ＝ｙ＝－ＥＲ＝ｙ ≤ １｛ｌｌｘ｝｛ｌ，ｙｙｙ∈Ｒ，＝ｘ＝，Ｚ｝忸ｌ｝Ｂ｛ｌＸ１＝ｙ￣ｒ
１，｝当 ∈Ｚ时，． ≤１ｘ∈Ｚ，ＹＥＺｎＮ｛ｙ－，，｝＝ｙ＝Ｉ１．ｌ０
每天打篮球时间（单位：小时）与当天投篮命中率
Ｙ之间的关系：
加高考评卷，并负责文科数学填空题的批改．本文结
合自己在改卷过程中获取到考生填空题中出现的典型错解，并探究其发生原因，以便给２１０２年参加高考的考生一个警醒．
一
ｌ时间
ｌ
在利用集合的交集、并集或补集求某些元素的范
围时，一定要搞清楚题中的隐含条件．
例５已知Ｐ｛ｌｘ— ＋ＥＺ，｛ｌ－２２，．＝ｙｙ３｝Ｑ＝ｙｙｘ－ｘ＝＝
式，如数轴、坐标系和Ｖｎｅｎ图来解决集合问题．

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山西大学附中高中数学（必修1）易错题回顾（三）
意的3.函数()(1)f x a a =+⋅是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇且偶函数
4.若函数)1,0(1≠>-+=a a b a y x 的图象经过第一、三、四象限,则一定有( )
A ．1,1<>b a
B ．0,10<<<b a
5．函数22)
21(++-=x x y 得单调递增区间是( ) A ．]21,1[- B ．]1,(--∞ C ．),2[+∞ D ．]2,2
1[ 6．若21,x x 是方程02lg 3lg lg )2lg 3(lg lg 2=⋅+++x x 的两根，则21x x ⋅的值是
（）
A ．2lg 3lg ⋅
B ．6lg
C ．6
D ．
61 7．函数)176(log 22
1+-=x x y 的值域是（）
A ．R
B ．),8[+∞
C ．]3,(--∞
D ．),3[+∞7．已知函数
8.()3)1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +等于 ( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
9. 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若)1()3(2a f a f +>-，则a 的取值范围是（） A. (－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－1,2) C. (－2,1) D. (－∞，－2)∪(1，＋∞) 10．设)(x f 的定义域为R ，下列函数①|()|y f x =；②2
()y xf x =；③()y f x =--；④()()y f x f x =+-；⑤(||)y f x =中必为偶函数的是____ _____．
11．已知)(x f 是奇函数,定义域为}0,|{≠∈x R x x ,又)(x f 在区间),0(+∞上是增函数,且0)1(=-f ,则满足0)(>x f 的x 的取值范围是__________．
12．已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g ． 13．若函数()|2|(4)f x x x =-⋅-在区间(5,41)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围为__________．
14．若00x y ≥,≥,且21x y +=,则223x y +的最小值为．
15.已知函数()f x 的定义域是(1,2)，则函数)2(2
x f 的定义域是 . 16．若直线a y 2=与函数)10(1≠>-=a a a y x 且的图象有两个公共点，则a 的取值
范围是_______.
17.已知函数||)(a x e
x f -=（a 为常数）在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围
是 . 18．有下列五个命题：①若B A =Φ，则B A ,之中至少有一个为空集；②函数(1)y x x x =-{}1≥x x ；③集合{}2210A x R x x =∈-+=有两个元
素；④函数)(2Z x x y ∈=的图象是一直线；⑤不等式()
()06422≤--x x 的解集是{}622=≤≤-x x x 或.其中错误命题的序号是．
19.已知)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11=f ，若对任意
[]0,1,1,≠+-∈n m n m 都有()()0f m f n m n +>+．判断函数)(x f 的单调性并证明．
20．已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y ⋅=+，且当1x >时，()0f x <．证明()f x 在()0,+∞上单调递减．
21.设定义在R 上的函数()f x 满足：当0x >时,()1f x > ,且对任意,x y R ∈,有()()()f x y f x f y +=,()12f =,判断函数)(x f 的单调性并证明．。