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2020-2021学年上海市宝山区九年级(上)期末数学试卷(一模)

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2020-2021学年上海宝山区初三(上)中考一模英语试卷(pdf版,含答案)

2020-2021学年上海宝山区初三(上)中考一模英语试卷(pdf版,含答案)

2020学年第一学期期末考试九年级英语试卷Part2Phonetics,Grammar and Vocabulary Ⅱ.Choose the best answer.26.Did you read my filmreview in today’s school newspaper?Which of the following is correct for theunderlinedword in the sentence?A./riːˈvjuː/B./rɪˈvjuː/C./ˈrɪvjuː/D./ˈriːvjuː/27.It’s reported that more and more children learn to play___badminton at an early age.A.aB.anC.theD./28.The salesman came up____a brilliant idea for selling more products last month.A.inB.byC.withD.from29.Soccer star Diego Armando Maradona（马拉多纳）passed away____November25th,2020.A.inB.onC.atD.from30.It’s known to all t hat the Chinese are famous for____hard work and wisdom.A.theyB.themC.theirD.themselves31.Not only my cousins but also I____interested in reading detective stories.A.amB.isC.areD.be32.There are two types of memory.One is short-term memory and___is long-term memory.A.otherB.anotherC.the otherD.the others33.Thanks to the development of science and technology,our lives are much___than before.A.most convenientB.the most convenientC.convenientD.more convenient34.The retired professor sounded_____on the phone and he even invited us to his home.A.gentlyB.happilyC.lonelyD.friendly35.By the end of last month,Jessica____reading Harry Potter and the Sorcerer’s Stone.A.finishedB.has finishedC.had finishedD.would finish36.An official____by some reporters on the traffic problems in Shanghai last Friday.A.is interviewingB.is interviewedC.was interviewingD.was interviewed37.“Mr.Lin,you’d better___too much meat.It’s not good for your health.”said the doctor.A.not to eatB.not eatingC.not eatD.don’t eat38.After being questioned by the detective several times,he still denied____the jewellery.A.stealsB.stoleC.to stealD.stealing39.____amazing the animated movie,Legend of Deification《姜子牙》is!It has topped the Chinese box officerecently.A.WhatB.What aC.What anD.How40.If you buy your mum an iRobot floor cleaner,she____sweep the floor every day.A.can’tB.mustn’tC.needn’tD.shouldn’t41.“Jason,___afraid of speaking in public.Just believe in yourself.”said Mum.A.not beB.not to beC.be notD.don’t be42.There was something wrong with my car this morning,___I took a taxi to my office.A.forB.soC.andD.or43.___Matthew didn’t win speech contest,he was still wearing a smile on his face.A.SinceB.UnlessC.BecauseD.Although44.–Excuse me,are you the manager?I have to complain about the yogurt in your shop.–_____.学习是件很有意思的事A.You are welcome.B.Congratulations!C.Sorry.What’s wrong?D.Of course not.45.–______.–With pleasure.A.Take care when you travel abroad.B.Do you like dumplings or cak es?C.Thank you for showing me around.D.Could you help me carry the luggage?Ⅲ.Complete the following passage with the words or phrases in the box.Each one can only be used once.A.gainedB.charactersC.rulesD.adventuresE.madeComic books are an unusual kind of storybook.They tell a story using only pictures and speech bubbles or captions.The___46___of these stories are usually superheroes with special abilities.The Spider-Man comic books follow the___47___of a young man named Peter Parker.Peter’s parents died when he was very young.Peter accidentally___48___his spider-like abilities when he was15.After that,Peter ___49___many clever tools himself,such as his web-shooters.He uses his skills to fight evil enemies.Peter is very different when he is Spider-Man—He becomes strong and brave.A.exceptB.alsoC.femaleD.because ofE.besidesBatman is one of the world’s first superheroes.He wears special costume to make him look like a bat.He ___50___has many clever tools to help him fight against his enemies.Batman has a friend named Robin who always helps Batman when he is in danger.Very few people know who Batman really is___51___Robin. Storm is the name of a___52___superhero from the X-man comic books.The X-men are born with superhero abilities.They team together to fight their enemies.Storm got her name___53___her special ability to control the weather.Ⅳ.Complete the sentences with the given words in their proper forms.54.Two armed________took place on the same street on Monday afternoon.（robbery）55.I have already checked the bag________,but there is no sign of my wallet.（two）56.The boy was so clever that he could untie the knots and fool the kidnappers by________.（he）57.To tell you the________,I have worked very hard to prepare for the final exam.（true）58.The comic strip h as a dramatic plot to keep the readers________in reading it.（interest）59.The cities in this country have been________damaged after the war.（serious）puters were considered as one of the greatest________in the1920s though they were very huge at thattime.（invent）61.Eating food with strong smell on the underground usually makes people________.（comfort）Ⅴ.Rewrite the following sentences as required,62.The homeless people need a big meal to eat and a warm house to live in.（改为否定句）The homeless people________________a big meal to eat and a warm house to live in.63.Mrs.White told us to close all the windows before we left the lab.（改为反意疑问句）Mrs.White told us to close all the windows before we left the lab,__________________?64.It is one and a half hours’drive from my home to Shanghai Disneyland.（对划线部分提问）________________is it from your home to Shanghai Disneyland?65.“Will our lives be better without computers?”Joey asked me.（改为含宾语从句的复合句）Joey asked me________our lives________be better without computers.66.Jack worked so hard that he could catch up with others in such a short time.（改为简单句）Jack worked________________to catch up with others in such a short time.67.Did Professor Smith start any hobbies when he retired from the university?（保持句意基本不变）Did Professor Smith________________any hobbies when he retired from the university?68.Jimmy,helping,teaches,parents,responsibility and independence,with housework（连词成句）_____________________________________________________________________________Part3Reading and WritingⅥ.Reading Comprehension.A.Choose the best answer.Lead Guitarist WantedWe need a boy or girl who canplay lead guitar for our new rockband.You do not have to be goodat playing yet—we are all learningat the moment—but you must haveyour own guitar.You must be freeto practice on Tuesdays after school.Contact Scott,Phone:555-1967Email:scottrock@Cool Singer WantedWe are up-and-coming hip hopband for boys.We need anothersinger who can look cool with usonstage.We practice everySaturday at3p.m.If you join us,we will practice atyour housesometimes.Emall Troy:Lazyguy@Phone:555-1989Keyboardist for an All-girlR&B/Pop BandCan you play the Keyboard?Weare looking for a girl who likes songsby Mariah Carey,Britney Spears andJessica Simpson.You should be ableto play some tunes.You should havelong hair and like to dance.You donot need to have your own keyboard,but it will be helpful if you want topractice at home.We are meetingevery Sunday afternoon for practice.Call Wendy at555-1993or emailwendybee@Music Lovers NeededWe are a new group and weplay all kinds of music.Join usand play any instrument you like（even if you are not good atplaying it yet!）.We havepermission to use the music roomand we are free to use theinstruments for practice everyTuesday and Thursdayafternoons.There are now fourboys and three girls in thegroup—we are a bigband and we welcomenew people.Call Gary at555-1985Email:Garylovesmusic@69.Which advertisement says the band is for boys only?A.Lead Guitarist Wanted.B.Cool Singer Wanted.C.Keyboardist for an All-girl R&B/Pop Band.D.Music Lovers Needed.70.Which advertisement says you must have your own instrument?A.Lead Guitarist Wanted.B.Cool Singer Wanted.C.Keyboardist for an All-girl R&B/Pop Band.D.Music Lovers Needed.71.Judy is good at playing the piano and she is available on weekends.Besides,she is a big fan of Britney Spears.Now,she wants to join a band.She is probably going to call___.A.555-1967B.555-1989C.555-1993D.555-198572.Tom is a cool dresser who lives in a big house.He can sing very well and he is available on weekends.Now, hewants to join a band.He is probably going to email_____.A.scottrock@zyguy@C.wendybee@D.Garylovesmusic@73.The underlined word“permission”in the text probably means“____”.A.the state of sharing the same opinion of feelingB.an interesting or enjoyable thing to doC.an act of allowing somebody to do somethingD.an act of appearing in publicplaces74.The text above is written to____.A.make more students enjoy the beauty of musicB.introduce different bands toothersC.share better ways to practice musical instrumentsD.attract students to join theirbandB.Choose the words or expressions to complete the passage.Most people hate change,which is sad since we often go through changes in life.And for some of us,even the Smallest changes can upset our day.So,the question is:Why do most of us find making adjustments（调整）to our lives so hard?Why we dislike changeFear of change is___75___new.Over a century ago,people in Paris were unhappy over an unusual addition to their city:the Eiffel Tower.In fact,the citizens were so angry about the plans for the tower that they were against its construction（建造）.As strange as it may seem,their anger was completely___76___.They were given no choice about the huge change that was going to be made,so they became angry.But we get upset over changes evenwhen we do have to a say in the matter.Changes are brought about every day by the decisions we make:which school to attend,which job to take.Voluntary（出于自愿的）changes also make most of us uneasy because we don’t know how those changes will___77___our future.How we can overcome our fear of changePeople have discovered that the key to overcoming the fear of change is to be flexible.When people are flexible,they can___78___new situations more easily.Being flexible is especially important in the21st century as technology makes change occur faster than ever before.Those who were against change,especially with technologyin the workplace,may end up finding themselves out of a job.fact,the change may turn out to be the best thing for you.That new job you got may end up being much better thanyour old one.You may make the best friends of your life in the new city you moved to.___80___,don’t justfocuson how you feel about change.You should learn to accept the change.The change is the reality and it’s up to you todecide whether the change will be a success or a failure.You never know—your next change may be your life’sEiffel Tower!75.A.something B.anything C.everything D.nothing76.A.important B.natural C.unusual D.ordinary77.A.assist B.reward C.affect D.arrange78.A.be aware of B.get used to C.be interested in D.get rid of79.A.forget B.make C.face D.refuse80.A.However B.What’s more C.Besides D.ThereforeC.Read the passage and fill in the blanks with proper words.When you’re bored,what will you do first?If you’re like many,the answer is quite simple:You reach for your phone.Five minutes of short videos or funny pictures seem like a p___81___break.If that sounds familiar,a new study has bad news.Reaching for your phone is likely to leave you feeling more bored.The problem isn’t taking a break.The problem is your phone.A research shows using phones can’t help people r___82___from their heavy work.To figure out the r___83___between phones and boredom,the research team installed（安装）an app on the phones of83volunteers to find out how often they used their phones.They alsoasked these volunteers to keep diaries for three days,recording their level ofboredom every hour“Phone breaks were frequent（频繁的）：In the20minutes following eachquestionnaire,the volunteers pickedup their phones52percent of the time.They spent an average of around90secondson it each time,”reports the research team.“The more tired we are,the mostl___84___we are to reach for our phones.While we look to our phones to relieve（减轻）boredom,screen time seemed to i___85___feelings of boredom.The volunteers actually reported higher levels of boredom after having used their smartphones.”The research team pointed out that phone breaks may end up being more tiring than stimulating.In other words,watching the funny videos is very nice,but it’s now w___86___the cost to your brain in effort and concentration.In addition,picking up your phone might remind you that you have a better choice to do something else if you don’t have to finish the tasks immediately.Both your time and effort are easily wasted.What should we do i___87___?Taking a walk is good exercise.Calling someone can make your mood cheerful.Reading a book gives your brain a fresh start.You can do many things like that.Just remember,don’t reach for your phone!D.Answer the questions.It was a few years ago.A friend had sent me restaurant gift card for Christmas and I had picked a sunny Sunday afternoon to use it.It felt good taking my two grown sons and daughter to a nice sit-down restaurant instead of the fast-food places we usually ate at.The meal was delicious and we all had a good time just being together.When the waitress brought the check.I looked down at it.The gift card covered almost all of it.I reached into my wallet to get enough cash to cover the rest.I saw two bills in my wallet.The first would cover the rest of the bill and give the waitress a nice tip.The second bill was much larger so I reached down to pick out the first one.At that moment my mind flashed back to30years ago.I was working as a waiter in a restaurant much like the one we were in now.It was long hours of hard work for low pay.I went home just only making enough to feed my young family.I also remembered how more than once I saw the waitress counting their little tips worrying about how they were going to pay the rent and buy their kids things they needed.I remembered the pain in their eyes and sadness in their faces at the end of the day.I blinked(眨眼)and was back in the present again.My fingers touched the smaller bill in my wallet.I smiled, pushed it back down,and picked out the much larger bill.I folded it around the gift card and covered both of them with the check.As we all got up from the table,I handed them to the hard-working waitress.“You keep the change,”I said with a smile and a happy heart.We are all children of the same earth.Do your best to be kind then.88.Did the writer take his children to the fast-food places they usually ate at on the sunny Sunday afternoon?89.Why didn’t the writer choose the second bill in the first place?90.What made the writer change his mind in the end?91.Why are there always pain and sadness in the waitresses’faces at the end of the day?92.What does the underlined word“them”in paragraph6refer to?93.How do you understand the underlined sentence“We are all children of the same earth.”?VII.Writing(作文）（共20分）94.Write at least60words about the topic“An act of kindness”.(以“一个善意的举动”为题写一篇不少于60个词的短文，标点符号不占格。

上海市宝山区2020-2021学年九年级上学期期末(中考一模)数学试卷带讲解

上海市宝山区2020-2021学年九年级上学期期末(中考一模)数学试卷带讲解

上海市宝山区2021届初三一模数学试卷一、选择题1. 如果C 是线段AB 延长线上一点，且:3:1AC BC =，那么:AB BC 等于（ ）．A. 2:1B. 1:2C. 4:1D. 1:4 【答案】A【分析】先画出图形，设BC 为k ，然后用k 表示出AB ，最后求出:AB BC 即可．【详解】解：根据题意可画出下图：∵:3:1AC BC =，设BC 为k ，∴AC=3k ，∴AB=AC-BC=2k ，∴:AB BC =2k∴k=2∶1．故答案为A ．【点睛】本题主要考查了线段的和差，根据题意画出图形成为解答本题的关键．2. 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，那么sin A 的值为（ ）． A. 35 B. 34 C. 45 D. 43【答案】A【分析】根据正弦的定义解答即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=35BC AB =， 故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．3. 如图，//AB DE ，//BC DF ，已知::AF FB m n =，BC a =，那么CE 等于（ ）．A. am nB. an mC. am m n +D. an m n+【答案】D【分析】先证明：四边形DEBF 是平行四边形，可得DF BE =，利用::AF FB m n =，再求解AF m AB m n=+，再证明ADF ACB ∽，利用相似三角形的性质求解BE ，再利用线段的和差可得答案． 【详解】解： //AB DE ，//BC DF ，∴ 四边形DEBF 是平行四边形， DF BE ∴=，::AF FB m n =，AF m AB m n∴=+， //DF BC ，ADF ACB ∴∽AF DF AD AB BC AC∴==, //AB DE ，BE AD m BC AC m n∴==+， BC a =，ma BE m n∴=+， .ma na CE a m n m n ∴=-=++ 故选：.D4. 已知点M 是线段AB 的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）． A. AM BM = B. 12AM AB = C. 12BM AB = D. 0AM BM +=【答案】B【分析】根据题意画出图形，因为点M 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．【详解】解：A 、AM MB =，故本选项错误；B 、12AM AB =，故本选项正确；C 、12BM BA =，故本选项错误； D 、0AM BM +=，，故本选项错误．5. 若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（ ） A. 2(1)2y x =-+B. 2(1)2y x =--C. 2(1)2y x =++D. 2(1)2y x =+- 【答案】A【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线：()212y x =-+ 故答案为：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．6. 如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（ ）．A. 0ac <B. 抛物线的对称轴为直线1x =C. 0a b c -+=D. 点()12,y -和()22,y 在拋物线上，则12y y >【答案】B 【分析】根据图象分别求出a 、c 的符号，即可判断A ；根据抛物线与x 轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x =1，即可判断B ；把x =-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C ；将x =-2与x =2带入二次函数，可得出y 1与y 2的值，即可判断D ．【详解】解：∴二次函数图象开口向上，∴a ＞0，∴二次函数的图象交y 轴的负半轴于一点，∴c ＜0，∴ac ＜0 选项A 正确；∴由图像可看出，抛物线与x 轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称，∴抛物线的对称轴不是x=1 选项B 错误；把x=-1代入y=ax 2+bx+c 得：y=a-b+c ，由图像可知，x=-1时y=0，∴a-b+c=0 选项C 正确；把x=-2和x=2代入y=ax 2+bx+c 中，由图像可知，y 1＞0，y 2＜0，∴y 1＞y 2 选项D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a 、b 、c 之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型．二、填空题7. 如果2x ＝3y ，那么x y y+=___． 【答案】52【分析】直接利用已知得出x =32y ，进而代入得出答案． 【详解】解：∵2x =3y ，∴x =32y ， ∴3522y y x y y y ++==． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．8. 已知线段2a =厘米，8c =厘米，那么线段a 和c 的比例中项b 的长度为______厘米．【答案】4【分析】根据线段的比例中项可直接进行列式求解．【详解】解：由题意可得：22816b ac ==⨯=，∴4b =cm ；故答案为4．【点睛】本题主要考查比例中项，熟练掌握比例中项是解题的关键．9. 如果线段AB 的长为2，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较短的线段AP =______．【答案】3【分析】设较短的线段AP x =，则BP AB AP =-，根据黄金分割点的性质列方程并求解，即可得到答案．【详解】设较短的线段AP x =∵AB 的长为2∴2BP AB AP x =-=- ∴BP AP AB BP= ∴222x x x-=- ∴()222x x -=∴3x =+3（经检验均为方程的根）32+>，故舍去∵(22310x -=-=≠∴3x =-∴较短的线段3AP =故答案为：3【点睛】本题考查了黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．10. 计算：32a ba b ______． 【答案】54a b -【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．【详解】解：326354a ba b a b a b a b ， 故答案为：54a b -．【点睛】本题考查的是平面向量的知识，熟悉相关性质是解题的关键．11. 已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为35，那么其周长为______． 【答案】26【分析】作DF ⊥BC 于F ，AE ⊥BC 于E ，根据等腰梯形的性质就可以得出△AEB ≌△DFC 就可以求出FC=BE ，然后根据底角的余弦值为35，求得BE ，AB ，从而求出周长． 【详解】解：如图示，作DF⊥BC 于F ，AE⊥BC 于E ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴∠B=∠C ，AB=CD ，AD ∥BC ，∴∠ADF=∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°，∴四边形AEFD 是矩形，5EF AD ，△AEB 和△DFC 中BC AEBDFC AE DF ， ∴△AEB ≌△DFC （AAS ），∴BE=CF ； ∵35cos E ABB B ， 设3BE x =，则5AB x =， 根据勾股定理，有：2222534AE AB BE x x ，解之得：1x =（取正值），∴3BE =，5AB =，∴3FCBE ，5DC AB ==， ⊥周长AB BE EF FC CD AD 53535526，故答案是：26．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质的运用，三角函数，矩形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，能熟练应用相关性质是解题的关键．12. 某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______．【答案】()21001y x =+；【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率)n ,即可列方程求解．详解】依题意得：()21001y x =+故答案为：()21001y x =+【点睛】考查了一元二次方程的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率)n =现有量，n 表示增长的次数． 13. 如果抛物线()21y m x m =++（m 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向______． 【答案】向上【分析】根据解析式写出顶点，根据顶点坐标在第二象限求出m 的取值故可求解．【详解】∵抛物线()21y m x m =++的得到为（-1，m ）又顶点坐标在第二象限∴m ＞0∴开口向上故答案为：向上．【点睛】此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟知顶点式的特点．14. 已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y 轴左侧的部分，图像上升，在y 轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______．【答案】2y x =-（答案不唯一）【分析】设出符合条件的函数解析式，再根据二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的可知该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，再把()0,0A 代入，得出符合条件的函数解析式即可．【详解】解：设出符合条件的函数解析式为：()20y ax bx c a =++≠， ∵二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的，∴该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，∵函数图象经过()0,0A ，∴0c ，∴符合条件的二次函数解析式可以为：2y x =-（答案不唯一）．故答案为：2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，先根据题意设出函数解析式，再根据二次函数的性质判断出a 的符号及对称轴是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一．15. 如图，已知ABC 中，//EF AB ，12AF FC =，如果四边形ABEF 的面积为25，那么ABC 的面积为______．【答案】45【分析】根据//EF AB ，易得∴CFE ∽△CAB ，再依据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出三角形ABC 的面积．【详解】解：∵//EF AB∴△CFE ∽△CAB 又∵12AF FC = ∴32ACFC=， ∴94ABC FEC S S =△△ 设∴ABC 的面积为x 则9254x x =-， 解得，x=45，经检验x=45是原方程的根故答案为：45【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，依据相似三角形面积比是相似比的平方，构建方程，是解决问题关键．16. 在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt ABC △，90C ∠=︒，要截得的正方形EFGD 的边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，如果4AF =，9GB =，那么正方形铁皮的边长为______．【答案】6【分析】设正方形铁皮的边长为x ，证明△AEF ∽△DBG ，得到EF AF BG DG =，49x x=，求解即可． 【详解】设正方形铁皮的边长为x ，∵90C ∠=︒，∴∠A+∠B=90︒，在正方形EFGD 中，EF=DG=FG=x ，∠EFG=∠DGF=90︒,∴∠AFE=∠BGD=90︒，∴∠A+∠AEF=90︒,∴∠AEF=∠B ，∴△AEF ∽△DBG ， ∴EF AF BG DG=， ∴49x x =， 解得x=6（负值舍去），故答案为：6．【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，根据已知条件证明△AEF ∽△DBG 是解题的关键．17. 如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB 的长度为______米．【答案】15【分析】过点B 作BC ⊥AC 于C ，由迎水坡的坡度为1:0.75，得到tan ∠BAC=43=BC AC ，求出AC=9米，再利用勾股定理求出答案．【详解】过点B 作BC ⊥AC 于C ，∵迎水坡的坡度为1:0.75，∴tan ∠BAC=43=BC AC ， ∵BC=12米，∴AC=9米，∴米)，故答案为：15．．【点睛】此题考查坡度的定义，解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解迎水坡的坡度为1:0.75得到tan ∠BAC=43=BC AC 是解题的关键． 18. 在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan CAP ∠=______．1．【分析】分两种情形：⊥当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD ＝DC 即可解决问题．【详解】解：⊥如图2中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．⊥CE ＝EA ，CF ＝FB ，∴EF ∥AB ，∵AC ＝AB ，∠ACB ＝90°⊥⊥CEF ＝⊥CAB ＝45°，∵PD ＝P A ，∠APD ＝90°⊥⊥PAD ＝⊥PDA ＝45°，⊥⊥HDC ＝⊥PDA ＝45°，∵点E 是边CA 的中点，⊥EA ＝EP ＝EC⊥⊥EPC ＝⊥CEP ，∵∠HDC ＝∠DCA+∠DAC ＝45°，∠CEF ＝∠DCA+∠EPC ＝45°，⊥⊥DAC ＝⊥EPC ＝⊥ECP ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则DA DC =,∴)1PC a =∴)1tan 1a PC CAP PAa∠===②如图3中，当点P 在线段CD 上时，由①可知，EF ∥AB ，∠CAB ＝∠PDA ＝45°， ∴∠CAD ＝180°-∠ACD-45°， ∠COA ＝180°-∠ACO-45° ∴∠CAD ＝∠COA ， ∵EF ∥AB ， ∴∠CPE ＝∠COA ， ∴∠CPE ＝∠CAD ， ∵点E 是边CA 的中点， ⊥EA ＝EP ＝EC ∴∠ECP ＝∠CPE ， ∴∠ECP ＝∠CAD ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则PD ＝a ，DA DC ==,∴)1PC a =∴)1tan 1a PC CAP PAa∠===:点P 在线段EF 上，情况⊥不满足条件,情况⊥满足条件，综上所述，tan CAP ∠1．【点睛】本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键．三、解答题19. 计算：21cos 45cot 30sin 60tan 30-︒︒+︒⋅︒．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算求解．【详解】解：原式21112121112⎛- -=====． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．20. 如图，已知ABC 中，//DE BC ，且DE 经过ABC 的重心点G ，BD a =，BC b =．（1）试用向量a 、b 表示向量BE ； （2）求作向量()233a b -（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）． 【答案】（1）23BE a b =+；（2）见解析 【分析】（1）根据重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，分析得到DE=23BC ，再根据向量的加法法则，首尾顺次相连，由三角形法则即可求解；（2）取AD 的中点J ，延长CB 到I ，使BI=DE ，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，边接BK ，则BK 即是所求作的向量．【详解】解：（1）如图，连接AG 并延长交BC 于点F ，则GF=12AG ，AG 2=AF 3∴，DE//BC ，BC b = ADE ABC ∴△△∽， DE AG 2==BC AF 3∴， 23b DE BC =＝， 2a 3BE BD DE b ∴=+=+（2）BD a =，3BA a ∴=，作AD 的中点J ，2J=3a 23B a ∴⨯=，延长CB 到I ，使得BI=DE ，23BI b ∴=-，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，则()2223a 33BK BJ BI a b b =+=-=-， ∴BK 即是所求的求作的向量【点睛】本题考查了向量的知识，掌握法则向量的平行四边形法则，向量的三角形法则是解题的关键．21. 已知二次函数()20y ax ax a =-≠的图像经过点()1,2-．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线2132y x x =++？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）2yx x ，顶点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）可以，先向左平移2个单位，再向下平移32个单位【分析】（1）把点()1,2-代入函数解析式，求出a 的值即可得到解析式，再把一般式写成顶点式得到顶点坐标； （2）把所给的函数解析式化为顶点式，根据函数图象的平移法则进行求解． 【详解】解：（1）把点()1,2-代入函数解析式，得2a a +=，解得1a =， ∴2yx x ，写成顶点式：21124y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴顶点坐标是11,24⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）将2132y x x =++也写成顶点式，得23724y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，31222⎛⎫--= ⎪⎝⎭，713442-=， ∴把原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移32个单位． 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解和图象的平移，解题的关键是掌握解析式的求解方法和函数图象的平移方法．22. 如图，点O 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，联结AO 并延长，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：2AB DE BF =⋅； （2）如果1OE =，2EF =，求CFBF的长．【答案】（1）见解析；（2）33CF BF -=【分析】（1）根据菱形的性质证明ABO EDO ，BFO DAO ，得到AB BFED DA=，再由AB DA =，即可证明结论；（2）连接OC ，先证明()ADO CDO SAS ≅得到DAO DCO ∠=∠，就可以证明OEC OCF ，根据对应边成比例求出OC 的长，再根据ADE FCE ~，利用对应边成比例求出结果． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴//AB CD ，//AD BC ，AB DA =， ∴ABO EDO ，BFO DAO ，∴AB BO ED DO =，BF BODA DO =， ∴AB BFED DA=， ∵AB DA =， ∴2AB DE BF =⋅； （2）如图，连接OC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=DC ，ADO CDO ∠=∠， 在ADO △和CDO 中，AD CD ADO CDO DO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ADO CDO SAS ≅， ∴DAO DCO ∠=∠， ∵//AD BF ， ∴DAO OFC ∠=∠， ∴DCO OFC ∠=∠，∵COE FOC ∠=∠， ∴OEC OCF ，∴OE OCOC OF=，即2OC OE OF =⋅， ∵1OE =，2EF =， ∴123OF =+=，∴OC =∴AO OC == ∵//AD CF ， ∴ADE FCE ~，∴12AD AE FC FE ==，∴12BC AD FC +==，1322BF BC CF FC FC FC =+=+=，∴(236CF BF===． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．23. 某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼()AB 高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如下表：（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度． 【参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈】 【答案】（1）二；（2）36米【分析】（1）根据第二组只测了角度，未给出距离相关信息即可判断； （2）由锐角三角函数可求tan ABBC C =，tan AB BD ADB=∠，由BC BD CD -=，列出方程可求解． 【详解】（1）∴第二组中没有线段长度的数据，所以无法测出AB 的高度， ∴填第二组， 故答案为：二．（2）可选第一组的方案， 设AB xm =，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，tan =ABC BC， ∴4=tan tan 373AB x BC x C ==︒，在Rt ABD △中，90B ∠=︒，tan =ABADB BD∠， ∴tan tan 45AB xBD x ADB ===∠︒，∴BC BD CD -=， ∴4123x x -=， ∴36x =．答：教学大楼高36米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．24. 已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积． 【答案】（1）231255y x x =-，对称轴为2x =；（2）1,1E ；（3）当OA 为边时，1445S =；当OA 为对角线时，485S =． 【分析】（1）将()4,0A ，()1,3B -代入抛物线2y ax bx =+，求解即可；（2）过B 点作BF x ⊥轴叫x 轴与点F ，过E 点作EH x ⊥轴叫x 轴与点H ，根据B 点坐标是()1,3-，对称轴为2x =，易得BCF △是等腰直角三角形，ECH 也是等腰直角三角形，求出BC =CED OBD =∠∠，点D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，可证得OBCEDB ，DBE BCO ，则DBEBCO ，有DBEBBCOC，可得EB =EC =（3）分两种情况讨论：当OA 对角线时，当OA 为边时，分别求出N 点坐标，然后求解即可．【详解】解：（1）将()4,0A ，()1,3B -代入抛物线 2y ax bx =+，得：16403a b a b +=⎧⎨-=⎩，解之得： 35125a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴该抛物线的表达式是231255y x x =-， ∴22231233124255555y x x x xx ， ∴对称轴为2x =；（2）如图示：过B 点作BF x ⊥轴叫x 轴与点F ，过E 点作 EH x ⊥轴叫x 轴与点H ，∴B 点坐标是()1,3-，对称轴为2x =， ∴3BF CF ==，∴BCF △是等腰直角三角形，则ECH 也是等腰直角三角形， ∴22223332BCBF CF ,∴CED OBD =∠∠,CED EBD EDB ∠=∠+∠,OBDEBD OBC∴OBCEDB ,∴点D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，则D 点坐标是()5,3， ∴//BD FA∴DBE BCO ∴DBE BCO ∴DB EBBCOC, ∴6BD =,2OC =,2EB，即有EB =∴32222ECBCEB,∴ECH 是等腰直角三角形， ∴1EHHC∴1OH =即点E 的坐标是()1,1； （3）∴4OA =∴当OA 是平行四边形的边长时，如图2所示，则MN 必定在y 轴的上方，并有4MN OA ，∴点M 在对称轴上， ∴点N 的横坐标是6或-2， 又∴点N 在抛物线上， ∴当6x =时，23123666555y， ∴平行四边形OANM 的面积36144455；当2x =-时，23123622555y ， 同理可得平行四边形OANM 的面积36144455； ∴当OA 是平行四边形的对角线时，如图3所示，∵点M 在对称轴上，并MONA ∴点N 也在对称轴2x =上，∴当2x =时，23121222555y， ∴112244255OAN S ∴平行四边形OANM 的面积24482255OAN S ． 综上所述，平行四边形的面积为1445或485． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数坐标轴上的点，三角形的相似的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．25. 如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 、E 在边AB 上，∠DCE =45°，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当AC =3，AD =2BD 时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC =，tan ∠FMD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析； （2）4DE =； （3）1(02y x =<<． 【分析】（1）证明两个角相等证明△CDE ∽△BCE ，列比例式可得结论；（2）如图2，过D 作DN ⊥AC 于N ，根据△ADN 是等腰直角三角形，得AN =DN ，由平行线分线段成比例定理得23AD AN AB AC ==，计算DN 和CN 的长，利用勾股定理计算CD 和BD 的长，根据（1）中的相似三角形，列比例式得：DE CE DC CE BE BC ===，设DE ，CE =3x ，代入比例式可得结论； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，证明△AMC ≌△BPC （ASA ），得CM =CP ，证明△MCD ≌△PCD（SAS ），得∠MDC =∠PDC =∠BDC ，证明△BCD ∽△CMD ，列比例式得BD CD BC CM=，根据三角函数的定义和等量代换可得比例式，并根据D ，E 是AB 上一点，∠DCE =45°，可知当点E 与A 重合时，BD 最大为12AB ，可得x 的取值范围．【小问1详解】证明：如图1，∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠B =∠CAB =45°，∵∠DCE =45°，∴∠B =∠DCE ，∵∠CED =∠CEB ，∴△CDE ∽△BCE ， ∴CE DE BE CE=， ∴2CE BE DE =⋅；【小问2详解】解：如图2，过D 作DN ⊥AC 于N ，∴∠AND =90°，∵∠DAN =45°，∴△ADN 是等腰直角三角形，∵DN ∥BC ，AD =2BD ， ∴23AD AN AB AC ==， ∵AC =3，∴AB AN =DN =2，CN =1，∵AD =2BD ，∴BD由勾股定理得：DC =由（1）知：△CDE ∽△BCE ，∴3DE CE DC CE BE BC ===，设DE ，CE =3x ，3=，∴x ，∴DE ； 【小问3详解】解：如图3，过点C 作CP ⊥CM ，交AB 的延长线于点P ，∵∠DCE =45°，∠ACB =90°，∴∠ACM +∠BCD =45°=∠BCD +∠BCP ，∴∠BCP =∠ACM ，∵∠CBP =180°-45°=135°=∠CAM ，AC =BC ，∴△AMC ≌△BPC （ASA ），∴CM =CP ，∵∠DCM =∠DCP =45°，CD =CD ，∴△MCD ≌△PCD （SAS ），∴∠MDC =∠PDC =∠BDC ，∵∠ABC =45°=∠MCD ，∴△BCD ∽△CMD ， ∴BD BC CD CM =，即BD CD BC CM=， ∵FM ⊥FC ，∠DCE =45°，∴△CFM 是等腰直角三角形，∴CM FM ，∴y =tan ∠FMDDF MF CM==)CF CD CM-=CM -=1BD BC=x ；Rt △ABC 中，AC =BC ，∴AB BC ，∵D ，E 是AB 上一点，∠DCE =45°，∴当点E与A重合时，BD最大为12 AB，∵BDBC=x，∴0＜x∴y（0＜x＜2）．【点睛】本题是相似形的综合题，考查了全等和相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

【2020精品中考数学提分卷】上海宝山区初三一模数学试卷 +答案

【2020精品中考数学提分卷】上海宝山区初三一模数学试卷 +答案

2020年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2 2．下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似3．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣14．如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2 B．C．D．5．设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）＝m+nC．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是．8．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为．9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：．10．若2||＝3，那么3||＝．11．甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm 的两地之间的实际距离为千米．12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于．13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE＝1，那么DC＝．16．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是．17．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为．三、解答题（本大题共7题,满分78分)19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC ＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m 的值．25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB 交于点F．（1）若AP＝，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．2020年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（）A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE＝BD：DF＝1：2，然后利用比例性质对各选项进行判断．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE＝BD：DF＝1：2，即CE＝2AC，∴AC：CE＝1：3，CE：EA＝2：3．故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2．下列命题中，正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个矩形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个菱形一定相似【分析】根据相似三角形的判定方法对A、C进行判断；利用反例可对B、D进行判断．【解答】解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似，而两个等边三角形一定相似．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值．【解答】解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．4．如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2 B．C．D．【分析】过点P作PA⊥x轴于点A．由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定义得结论．【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A．由于点P（2，4），∴PA＝4，OA＝2∴cotα＝＝．故选：B．【点评】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．5．设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）＝m+nC．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝【分析】根据平面向量的性质，即可判断A、B，C正确，根据向量的计算法则即可得D错误．【解答】解：A、如果m、n为实数，那么m（n）＝（mn），故本选项结论正确；B、如果m、n为实数，那么（m+n）＝m+n，故本选项结论正确；C、如果m、n为实数，那么m（）＝m+m，故本选项结论正确；D、如果m为实数，那么若m＝，那么m＝0或＝，故本选项结论错误．故选：D．【点评】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键．6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），∴AP＝＝4＜5，∴点P在⊙A内，故选：A．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1）．【分析】形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x＝k．8．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为直线x＝3 ．【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式进而得出答案．【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得解析式为：y＝2（x﹣3）2，故其图象的对称轴为：直线x＝3．故答案为：直线x＝3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，2）得出即可．【解答】解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．10．若2||＝3，那么3||＝．【分析】实数的乘除运算法则同样适用于向量的运算．【解答】解：由2||＝3得到：||＝，故3||＝3×＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础题．11．甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm 的两地之间的实际距离为225 千米．【分析】依据甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，即可得到比例尺，即可得出图上4.5cm的两地之间的实际距离．【解答】解：∵甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，∴比例尺＝＝，设图上4.5cm的两地之间的实际距离为xcm，则＝，解得x＝22500000，∵22500000cm＝225km，∴图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米．故答案为：225．【点评】本题主要考查了比例线段，解题时注意：比例尺等于图上距离与实际距离的比值．12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于1：16 ．【分析】由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，∴它们的相似比为1：4，∴它们的面积的比等于1：16．故答案为：1：16．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边，可得答案．【解答】解：由题意，得sin B＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键．14．直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为12cm．【分析】根据三角形的重心的性质求出CD，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：由题意得，CG＝4，∵点G是△ABC的重心，∴CD＝CG＝6，CD是△ABC的中线，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，∴AB＝2CD＝12（cm），故答案为：12cm．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE＝1，那么DC＝．【分析】根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDC，推出△AEB∽△BDC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠CEA，∴∠AEB＝∠BDC，∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠ABE，∴∠EAB＝∠CBD，∴△AEB∽△BDC，∴＝，∵3AE＝2BD，BE＝1，∴CD＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解题的关键．16．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是2≤r≤8 ．【分析】利用⊙C与⊙O相切或相交确定r的范围．【解答】解：∵⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，∴CA＝8，∵⊙C与⊙O有公共点，即⊙C与⊙O相切或相交，∴r＝2或r＝8或2＜r＜8，即2≤r≤8．故答案为2≤r≤8．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于或．【分析】根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值．【解答】解：设等腰三角形的底边长为a，|5﹣a|＝3，解得，a＝2或a＝8，当a＝2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，当a＝8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，故答案为：或【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为．【分析】过点C'作C'D⊥BC于点D，通过题意可证四边形C'DCA是矩形，可得CD＝AC'，C'D ＝AC＝4，根据勾股定理可求BD＝3，即CD＝AC'＝2，根据勾股定理可求CP的长．【解答】解：过点C'作C'D⊥BC于点D，∵A'C∥BC，∠ACB＝90°，∴∠C'AC＝∠ACB＝90°，且C'D⊥BC，∴四边形C'DCA是矩形，∴CD＝AC'，C'D＝AC＝4，∵折叠∴BC'＝BC＝5，CP＝C'P，在Rt△BDC'中，BD＝＝3∴CD＝BC﹣BD＝2∴AC'＝2，在Rt△AC'P中，C'P2＝C'A2+AP2，∴CP2＝4+（4﹣CP）2，∴CP＝故答案为：【点评】本题是翻折变换，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．三、解答题（本大题共7题,满分78分)19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．【解答】解：原式＝×+×＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式．【解答】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE＝BF：AC，∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．【分析】（1）根据已知∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；（2）由三角形法则解答即可．【解答】解：（1）∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A∴△ADE∽△ACB，∴＝＝＝，即＝．（2）＝+＝﹣+．【点评】考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC ＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【分析】（1）证△ABC∽△FAC，得＝，将相关线段的长代入计算可得；（2）作CH⊥AB，先计算AB＝5，据此可得CH＝＝，AH＝＝，EH ＝AE﹣AH＝，依据tan D＝tan∠ECH＝可得答案．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△FAC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．【点评】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD＝，∴tan14°＝，即0.25＝，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC＝＝，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB＝＝19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m 的值．【分析】（1）先由直线解析式求出点B，C坐标，利用∠OCA正切值求得点A坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，知M（1，﹣），先得出S△ABP′＝AB•P′H＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝3|﹣m|，根据S△ABP＝S△BCP列出方程求解可得．【解答】解：（1）∵y＝x﹣3，∴x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时， x﹣3＝0，解得x＝6，∴点B（6，0），C（0，﹣3），∵tan∠OCA＝＝，∴OA＝2，即A（2，0），将A（2，0）代入y＝x2+bx，得4+2b＝0，解得b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，则抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点P的坐标为（1，﹣1）；（2）如图，由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，﹣），S△ABP′＝AB•P′H＝×4（m+1）＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝|﹣1﹣m+|×6＝3|﹣m|，∴2（m+1）＝3|﹣m|，解得m＝或m＝．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质及三角函数的应用等知识点．25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．（1）若AP＝，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．【分析】（1）如图，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H，在Rt△AHE中求出AE，即可求求解；（2）设：AP＝x，利用△APE∽△PEC，得出PC2＝CE•AP，利用勾股定理得出PC2＝PB2+BC2，即可求解；（3）利用△ADE∽△FGE，得到3α＝45°，进而求出相应线段的长度，再利相似比＝，即可求解．【解答】解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，∴四边形AHCB是矩形，∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，∴DH＝CH﹣CD＝2，∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，∴∠HAD＝∠HDA＝45°∴HD＝AH＝2，AE＝AP＝，根据勾股定理得，HE＝＝3，则ED＝1；（2）连接CP，设AP＝x．∵AB∥CD，∴∠EPA＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，∴△APE∽△PEC，∴＝，即：PE2＝AE•CE，而EC＝2PB＝2（5﹣x），即：PC2＝CE•AP＝2（5﹣x）x，而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，解得：x＝（不合题意值已舍去），即：AP＝；（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．设∠F＝α，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α，则：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝∠F＝α，由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°，在Rt△ADH中，AH＝DH＝2，在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°，∴HE＝AH•tan∠HAE＝2，∴DE＝HE﹣HD＝2﹣2，EC＝HC﹣HE＝5﹣2，∵△ADE∽△FGE，∴∠ADC＝∠EGF＝135°，则∠CEG＝45°，∴EG＝EC＝5﹣2，∴＝，即：＝，解得：FG＝3﹣1．【点评】本题属于三角形相似综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其中（3）中，利用三角形相似，确定α的大小，是本题的突破点，属于中考压轴题．。

2020-2021学年上海市黄浦区九年级数学试卷(一模)(附答案详解)

2020-2021学年上海市黄浦区九年级数学试卷(一模)(附答案详解)

2020-2021学年上海市黄浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.已知△ABC与△DEF相似，又∠A=40°，∠B=60°，那么∠D不可能是()A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°2.抛物线y=−x2+4x−3不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.对于锐角α，下列等式中成立的是()A. sinα=cosα⋅tanαB. cosα=tanα⋅cotαC. tanα=cotα⋅sinαD. cotα=sinα⋅cosα4.已知向量a⃗与非零向量e⃗方向相同，且其模为|e⃗|的2倍；向量b⃗ 与e⃗方向相反，且其模|e⃗|的3倍，则下列等式中成立的是()A. a⃗=23b⃗ B. a⃗=−23b⃗ C. a⃗=32b⃗ D. a⃗=−32b⃗5.小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表(如下表)，但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水(表中)，那么这个被蘸上了墨水的函数值是()x…−10123…y…3430…A. −1B. 3C. 4D. 06.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，对角线的交点为点O.如果梯形ABCD的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是()A. 点O到边AB的距离B. 点O到边BC的距离C. 点O到边CD的距离D. 点O到边DA的距离二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知三角形的三边长为a、b、c，满足a2=b3=c4，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为______ ．8.已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是______ ．9.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6，则该三角形的重心到其直角顶点的距离是______ ．10.已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是31，则这个锐角的正切值为3______ ．11.在△ABC中，AB=5，BC=8，∠B=60°，则△ABC的面积是______ ．12.已知点P位于第二象限内，OP=5，且OP与x轴负半轴夹角的正切值为2，则点P的坐标是______ ．13.如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为______ 度.14.已知二次函数图象经过点(3,4)和(7,4)，那么该二次函数图象的对称轴是直线______ ．15.如图，一个管道的截面图，其内径(即内圆半径)为10分米，管壁厚为x分米，假设该管道的截面(阴影)面积为y平方分米，那么y关于x的函数解析式是______ .(不必写定义域)16.如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，且DE//BC，EF//AB，如果△ADE的面积为2，△CEF的面积为8，那么四边形BFED的面积是______ ．17.如果抛物线y=x2+(b+3)x+2c的顶点为(b,c)，那么该抛物线的顶点坐标是______ ．18. 已知一个矩形的两邻边长之比为1：2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共78.0分） 19. 计算：3|tan30°−1|+2cot30∘−1−sin 260°cos 245∘．20. 将二次函数y =x 2+2x +3的图象向右平移3个单位，求所得图象的函数解析式；请结合以上两个函数图象，指出当自变量x 在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图象是上升的，而另一个的函数图象是下降的．21. 如图，一个3×3的网格，其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．(1)在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与△ABC 相似？请说明理由；(2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，写出向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于a ⃗ 、b ⃗ 的分解式．22.如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段AB为屋内地面，线段AE、BC为房屋两侧的墙，线段CD、DE为屋顶的斜坡.已知AB=6米，AE=BC=3.2米，斜坡CD、DE的坡比均为1：2．(1)求屋顶点D到地面AB的距离；(2)已知在墙AE距离地面1.1米处装有窗ST，如果阳光与地面的夹角∠MNP=β=53°，为了防止阳光通过窗ST照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙AE端点E处安装一个旋转式遮阳棚(如图中线段EF)，公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即0°<∠FET=α≤90°，长度为1.4米，即EF=1.4米.试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由.(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√10≈3.16，sin53°=0.8，cos53°=0.6，tan53°=43).23.某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则AMDM =CNBN；②如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则AKDK =BLCL．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．(1)经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的.请你结合图示(见答题卷)写出已知、求证，并给出你的证明；(2)小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD 同时平分.请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性(可以直接运用小智和小明得到的正确结论)．(注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂改.)24.如图，平面直角坐标系内直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段OB的中点．(1)求直线AC的表达式；(2)若抛物线y=ax2+bx+c经过点C，且其顶点位于线段OA上(不含端点O、A)．①用含b的代数式表示a，并写出1的取值范围；b②设该抛物线与直线y=x+4在第一象限内的交点为点D，试问：△DBC与△DAC能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式；如果不能，请说明理由．25.如图，四边形ABCD中，AB=AD=4，CB=CD=3，∠ABC=∠ADC=90°，点∠BCD，CM、CN与对角线BD分别交M、N是边AB、AD上的动点，且∠MCN=12于点P、Q．(1)求sin∠MCN的值；(2)当DN=DC时，求∠CNM的度数；(3)试问：在点M、N的运动过程中，线段比PQ的值是否发生变化？如不变，请求MN出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相应的位置．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵△ABC∽△DEF，∠A=40°，∠B=60°，∴∠A=∠D=40°或∠B=∠D=60°或∠C=∠D=180°−40°−60°=80°，故选：D．根据相似三角形的性质进行解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，关键是相似三角形的对应角相等解答．2.【答案】B【解析】解：y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1=−(x−1)(x−3)，顶点坐标是(2,1)，即函数图象的顶点在第一象限，抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)，(3,0)，当x=0时，y=−3，即与y轴的交点坐标是(0,−3)，所以抛物线y=−x2+4x−3的图象不经过第二象限，故选：B．根据函数的解析式求出函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，再逐个判断即可．本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．3.【答案】A【解析】解：如图，在Rt△ABC中，设∠C=90°，∠A=α，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，有sinα=ac ，cosα=bc，tanα=ab，cotα=ba，于是：A.cosα⋅tanα=bc ⋅ab=ac=sinα，因此选项A符合题意；B.tanα⋅cotα=ab ⋅ba=1≠cosα，因此选项B不符合题意；C.cotα⋅sinα=ba ⋅ac=bc=cosα，因此选项C 不符合题意；D.sinα⋅cosα=ac ⋅bc=abc2≠cotα，因此选项D不符合题意；故选：A．根据锐角三角函数的定义，分别验证每个选项的正误即可．本题考查锐角三角函数的定义，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键．4.【答案】Bb⃗ ，观察选项，只有选项B符【解析】解：根据题意知，a⃗=2e⃗，b⃗ =−3e⃗ .则a⃗=−23合题意．故选：B．根据平面向量的性质进行一一判断．此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．5.【答案】D【解析】解：∵x=0、x=2时的函数值都是3相等，=1．∴此函数图象的对称轴为直线x=0+22∴这个被蘸上了墨水的函数值是0，故选：D．由图表可知，x=0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，∵梯形ABCD的两底边长不变，腰长发生变化，∴设AB=3，DC=2，AD=b，∴A(0,0)，B(3,0)，D(0,b)，C(2,b)，x，∴直线AC解析式为：y AC=b2直线BC 解析式为：y BD =−b3x +b ， ∴{y =b2xy =−b3x +b，解得{ x =65y =35b，∴点O 到边DA 的距离为65， 所以点O 到边DA 的距离不变． 故选：D ．以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据梯形ABCD 的两底边长不变，腰长发生变化，可以设AB =3，DC =2，AD =b ，得A(0,0)，B(3,0)，D(0,b)，C(2,b)，可得直线AC 和BC 解析式，然后求出交点O 的坐标，进而可得结论． 本题考查了直角梯形，解决本题的关键是掌握直角梯形的性质．7.【答案】16【解析】解：设a2=b3=c4=k ，则a =2k ，b =3k ，c =4k ， ∵三角形的周长为36，∴a +b +c =36，即2k +3k +4k =36，解得k =4， ∴a =8，b =12，c =16， 即该三角形的最大边长为16． 故答案为16．设a2=b3=c4=k ，则a =2k ，b =3k ，c =4k ，根据周长的定义得到2k +3k +4k =36，解得k =4，然后计算出a 、b 、c ，从而得到最大边长．本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 a ：b =c ：d(即ad =bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．8.【答案】2√5−2【解析】解：∵线段MN 的长为4，点P 是线段MN 的黄金分割点，MP >NP ， ∴MP =√5−12MN =√5−12×4=2√5−2，故答案为：2√5−2．根据黄金分割的概念得到MP =√5−12MN ，把MN =4代入计算即可．本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的√5−12倍．9.【答案】2√5【解析】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为3和6，∴斜边的长度为√32+62=3√5，∴该三角形的重心到其直角顶点的距离是23×3√5=2√5，故答案为：2√5．先根据勾股定理求出斜边的长度，再利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1求解可得答案．本题主要考查三角形的重心和勾股定理，解题的关键是掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1及勾股定理． 10.【答案】3【解析】解：设这个锐角的正切值为t ，则这个锐角的余切值为1t ，根据题意得t +1t =313，整理得3t 2−10t +3=0，解得t 1=3，t 2=13，经检验t 1=3，t 2=13都为原方程的解，因为一个锐角的正切值比余切值大，所以t =3．即这个锐角的正切值为3．故答案为3．设这个锐角的正切值为t ，根据余切的定义得到这个锐角的余切值为1t ，则t +1t =313，解分式方程得到t 1=3，t 2=13，然后利用锐角的正切值比余切值大确定t 的值． 本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C =90°.锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA.锐角A 的邻边b 与对边b 的比叫做∠A 的余切，记作cot A ．11.【答案】10√3【解析】解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠B=60°，AB=5，∴sinB=AHAB，∴AH=AB⋅sinB=5×sin60°=5×√32=5√32，∴S△ABC=12AH⋅BC=12×5√32×8=10√3，故答案为：10√3．首先作过AAH⊥BC，再利用∠B=60°，AB=5，求出AH=5√32，即可得出结果．本题考查了解直角三角形以及三角形面积熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．12.【答案】(−5,10)【解析】解：过点P作PA⊥x轴于点A，如图所示．∵tanα=2，∴APAO=2，则AP=2AO．∵OP=5，∴由勾股定理知：OP=PA=√PA2+AO2=√4AO2+AO2=5，∴AO=5，∴PA=10，∴点P的坐标为(−5,10)．故答案是：(−5,10)．过点P作PA⊥x轴于点A，根据OP=5，tanα=2可求出OA、AP的数量关系，再根据勾股定理可求出PA，由此即可得出点P的坐标．本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，通过解直角三角形得到AP=2AO是解题的关键．13.【答案】54【解析】解：如图所示：∵视线AB与水平线AD之间的夹角为36°，∴视线AB与铅垂线AC之间的夹角为90°−36°=54°，故答案为：54．根据题意画出图形进而求出即可．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角与俯角的定义．14.【答案】x=5【解析】解：∵二次函数图象经过点(3,4)和(7,4)，=5，∴该二次函数的图象对称轴为直线：x=3+72故答案为：x=5．根据二次函数图象具有对称性，由二次函数的图象经过(0,3)、(4,3)两点，可以得到该二次函数的图象对称轴．本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数的图象关于对称轴对称．15.【答案】y=πx2+20πx【解析】解：由题意，y=π⋅(10+x)2−π⋅102，∴y=πx2+20πx．故答案为：y=πx2+20πx．根据圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，求解即可．本题考查圆的面积，函数关系式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16.【答案】8【解析】解：∵DE//BC，EF//AB，∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，∠EFC=∠B，∴∠ADE=∠EFC，∴△ADE∽△EFC．∴S△ADES△ABC =(AEAC)2，而S△ADE=2，S△CEF=8，∴AE：EC=1：2，设AE=k，则EC=2k，AC=3k．则AE：AC=k：3k=1：3，设S四边形BFED=S；∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(AEAC)2=19，即22+8+S =19，解得：S=8，即四边形BFED的面积为8．故答案是：8．证明∠AED=∠C，∠ADE=∠EFC推知△ADE∽△EFC.首先运用相似三角形的性质求出AE：EC的值，进而求出AE：AC的值；设S四边形BFED=S；证明△ADE∽△ABC，列出方程22+8+S，求出S问题即可解决．考查了相似三角形的判定与性质，该题以三角形为载体，以相似三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．17.【答案】(−1,1)【解析】解：根据顶点公式：b=−b+32×1，解得：b=−1，c=4×2c−(b+3)24×1=8c−44，解得：c=1．所以抛物线的顶点坐标是(−1,1)故答案为：(−1,1)．根据二次函数的顶点公式求出b、c的值即可．此题主要考查了根据二次函数的顶点公式求值，熟练记忆二次函数顶点公式是解题关键．18.【答案】2：1或1：2或1：1【解析】解：如图，设AB =a ，AD =2.5a ，AE =x ，则DE =2.5a −x ．∵矩形ABFE ∽矩形EDCF ，∴AE EF =EF DE ， ∴x a =a 2.5a−x， 整理得，x 2−2.5xa +a 2=0，解得x =2a 或0.5a ，∴矩形ABFE 与矩形EDCF 相似，相似比为2：1或1：2，当E.F 分别是AD ，BC 的中点时，两个矩形全等，也符合题意，相似比：1：1 故答案为：2：1或1：2或1：1．如图，设AB =a ，AD =2.5a ，AE =x ，则DE =2.5a −x.利用相似多边形的性质，构建方程求解，另外两个矩形全等也符合题意．本题考查相似多边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程求解，属于中考常考题型．19.【答案】解：原式=3(1−√33)+√3−1(√32)2(√22)=3−√3+√3+1−32=52．【解析】直接利用特殊角的三角函数值结合二次根式的性质化简得出答案． 此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键． 20.【答案】解：∵y =x 2+2x +3=(x +1)2+2，∴将二次函数y =x 2+2x +3的图象向右平移3个单位，得到函数y =(x +1−3)2+2，即y =(x −2)2+2，∵二次函数y =(x +1)2+2的图象在x >−1时，y 随x 的增大而增大，二次函数y =(x −2)2+2的图象在x <时，y 随x 的增大而减小，∴当−1<x <2时，两个函数中恰好其中一个的函数图象是上升的，而另一个的函数图象是下降的．【解析】根据平移的规律得到平移后的解析式，然后根据二次函数的性质即可求得． 本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21.【答案】解：(1)△NAB∽△ACB ．理由：∵AB =√2，BC =1，AC =√5，BN =2，AN =√10，∴NAAC =AB CB =BNBA =√2，∴△NAB∽△ACB ．(2)如图，向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于a ⃗ 、b ⃗ 的分向量分别为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a ⃗ ，AM =2b ⃗ ．【解析】(1)利用勾股定理求出三角形的边长，再利用三边成比例两三角形相似证明即可．(2)利用三角形法则求解即可．本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)连接EC ，则四边形ABCE 是矩形，过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，交EC 于点G ，∵斜坡CD 、DE 的坡比均为1：2，∴DG EG =12=DGCG ，又∵EG =CG =AH =BH =12AB =3，∴DG =1.5，∴DH =1.5+3.2=4.7(米)，即屋顶点D 到地面AB 的距离为4.7米；(2)公司设计的遮阳棚能够达到小明的要求，理由如下：过点S 作MN 的平行线交AB 于R ，过E 作EQ ⊥SR ，垂足为Q ，则∠QES =∠SRA =∠MNP =∠β=53°，在Rt△QES中，ES=AE−AS=3.2−1.1=2.1，∠QES=53°，∴QE=ES⋅cos∠QES=2.1×cos53°=1.26(米)，∵1.26<1.4，即QE<EF，∴公司设计的遮阳棚能够达到小明的要求，答：公司设计的遮阳棚能够达到小明的要求．【解析】(1)通过作辅助线，利用斜面的坡比为1：2，求出DH，进而求出DG即可；(2)过点S作MN的平行线交AB于R，过E作EQ⊥SR，在Rt△QES中，求出QE，比较QE与EF的大小即可得出答案．本题考查解直角三角形，理解坡比的意义、构造直角三角形是解决问题的关键．23.【答案】解：(1)已知：如图，四边形ABCD是梯形，AD//BC，AC与BD交于点O，EF经过点O，且EF//BC，求证：OE=OF．证明：∵EF//BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴OEBC =AOAC，OFBC=DODB，∵AD//BC，∴AOAC =DODB，∴EOBC =OFBC，∴EO=OF．(2)如图3中，点M，N即为所求作．【解析】(1)写出已知，求证，证明即可．(2)连接CA ，DB ，延长CA 交DB 延长线于点F ，连接AD ，BC 交于点F ，作直线EF 交AB 于点M ，交CD 于点N ，点M ，N 即为所求作．本题考查相似三角形的判定和性质，梯形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24.【答案】解：(1)∵直线y =x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴A(−4,0)，B(0,4)，∴OA =OB =4，∵BC =OC =2，∴C(0,2)，设直线AC 的解析式为y =mx +n ，则有{n =2−4m +n =0， 解得{m =12n =2， ∴直线AC 的解析式为y =12x +2．(2)①由题意，{c =2b 2−4ac =0−4<−b 2a <0， ∴a =18b 2，1>1b >0．②能相似．如图，在Rt △AOC 中，∠AOC =90°，OA =4，OC =2，∴AC =√OA 2+OC 2=√42+22=2√5，∵△△DBC 与△DAC 相似，∠CDB =∠ADC ，∴当∠BCD =∠DAC 时，△DCB∽△DAC ，∴DCDA =CBAC=2√5=√55，∵点D在直线y=x+4上，∴可以假设D(t,t+4)，∴√t2+(t+4−2)222=√55，解得t=1或−32(舍弃)，经检验，t=1是方程的根，∴D(1,5)，∵抛物线y=ax2+bx+2经过D(1,5)，∴a+b+2=5，∴a+b=3，∵a=18b2，∴3−b=18b2，∴b2+8b−24=0，∴b=−4+2√10或−4−2√10(舍弃)，∴a=7−2√10，∴抛物线的解析式为y=(7−2√10)x2+(−4+2√10)x+2．【解析】(1)求出A，C两点坐标，利用待定系数法解决问题即可．(2)①根据顶点的纵坐标为0，对称轴在线段OA上，构建方程与不等式即可解决问题．②能相似．利用相似三角形的性质构建方程，求出点D的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】解：(1)如图，连接AC交BD于H．∵AB=AD，CB=CD，∴AC垂直平分线段BD，∴BH=DH，∵AB=4，BC=3，∠ABC=90°，∴AC=√AB2+BC2=√42+32=5，∴CB=CD，CH⊥BD，∴∠BCH=∠DCH，∴sin∠BCH=ABAC =45，∵∠MCN=12∠BCD=∠BCH，∴sin∠MCN=45．(2)如图，延长AD到E，使得DE=BM，连接CE．∵BM=DE，∠CBM=∠CDE=90°，BC=DC，∴△CBM≌△CDE(SAS)，∴∠BCM=∠DCE，CM=CE，∴∠MCE=∠BCD，∵∠MCN=12∠BCD，∴∠MCN=∠ECN，∵CM=CE，CN=CN，∴△MCN≌△ECN(SAS)，∴∠CNM=∠CNE，∵DN=DC，∠NDC=90°，∴∠CND=∠DCN=45°，∴∠CNM=45°．(3)PQMN =35，值不变．理由：∵∠CHD=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CDH=90°，∠ADH+∠CDH=90°，∴∠ACD=∠ADH，∵∠MCN=12∠BCD=∠ACD，∴∠MCN=∠ADH，∵∠PQC=∠NQD，∴∠CPQ=∠QND，∵∠CNE=∠CNM，∴∠CPQ=∠CNM，∵∠PCQ=∠NCM，∴△PCQ∽△CNM，∵△NCM≌△NCE，∴△PCQ∽△NCE，MN=NE，∵CH⊥PQ，CD⊥NE，∴PQNE =CHCD=sin∠CDH，∵∠CDH+∠ADH=90°，∠CAD+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠CAD，∴sin∠CDH=sin∠CAD=35．∴PQMN =PQNE=35．【解析】(1)如图，连接AC交BD于H.利用勾股定理求出AC，证明∠MCN=∠ACB即可解决问题．(2)延长AD到E，使得DE=BM，连接CE.证明△MCN≌△ECN(SAS)，可得∠CNM=∠CNE，即可解决问题．(3)PQMN =35，值不变．利用相似三角形的相似比等于对应高的比解决问题即可．本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．第21页，共21页。

_上海市徐汇区2020——2021学年九年级上学期期末数学试卷(一模) 解析版

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2020-2021学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．将抛物线y＝2（x+1）2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后．所得抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2﹣2B．y＝2（x﹣2）2+2C．y＝2（x+4）2﹣2D．y＝2（x+4）2+22．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，那么下列结论正确的是（）A．tan C＝B．cot C＝C．sin C＝D．cos C＝3．已知抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）4．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里5．下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含30°角的直角三角形必相似6．定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．例如：[1.7]＝1，[]＝0，[﹣2]＝﹣3．根据你学习函数的经验，下列关于函数y＝[x]的判断中，正确的是（）A．函数y＝[x]的定义域是一切整数B．函数y＝[x]的图象是经过原点的一条直线C．点（2，2）在函数y＝[x]图象上D．函数y＝[x]的函数值y随x的增大而增大二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果a：b＝2：3，那么代数式的值是．8．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是．9．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是．10．已知二次函数y＝a（x+）2﹣1的图象在直线x＝﹣的左侧部分是下降的，那么a的取值范围是．11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△AED和四边形DECB的面积相等，BC＝2，那么DE的长是．12．在坡度为i＝1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是米．13．已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是米．14．如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tan C ＝，那么DP的长是．15．如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、AB上，点F、G在边BC上，那么AD的长是．16．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD 的面积是正方形EFGH面积的13倍，那么∠ABE的余切值是．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8，＝，那么MN的长是．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin ∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．三、（本大题共7感，第19--22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分：满分78分）19．（10分）计算：sin45°cot45°﹣tan60°+|2cos45°﹣cot30°|．20．（10分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F，AB＝1.2，BC＝1.8．（1）求BF：DF的值；（2）设＝，＝．求向量（用向量、表示）．21．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的表达式及点M的坐标；（2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由．22．（10分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）23．（12分）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD 与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．24．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x 轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t ＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G （1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；（3）当AG＝AE时，求CD的长．2020-2021学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．将抛物线y＝2（x+1）2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后．所得抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2﹣2B．y＝2（x﹣2）2+2C．y＝2（x+4）2﹣2D．y＝2（x+4）2+2【分析】先确定抛物线y＝2（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），再根据点平移的规律得到把点（﹣1，0）平移后得到对应点的坐标为（2，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为（2，﹣2），所以平移后的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2．故选：A．2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，那么下列结论正确的是（）A．tan C＝B．cot C＝C．sin C＝D．cos C＝【分析】画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：如图，由勾股定理得，AC＝＝＝8，∴tan C＝＝＝，cot C＝＝＝，sin C＝＝＝，cos C＝＝＝，因此选项D符合题意，故选：D．3．已知抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后计算出自变量为0所对应的函数值，再根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），∴﹣16+16+c＝3，∴c＝3，∴抛物线为y＝﹣x2+4x+3，当x＝0时，y＝﹣x2+4x+3＝3；所以点（0，3）在抛物线y＝﹣x2+4x+3上．故选：B．4．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．5．下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含30°角的直角三角形必相似【分析】直接利用相似图形的判定方法得出答案．【解答】解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项错误；B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项错误；C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项错误；D、两个含30°角的直角三角形必相似，故此选项正确．故选：D．6．定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．例如：[1.7]＝1，[]＝0，[﹣2]＝﹣3．根据你学习函数的经验，下列关于函数y＝[x]的判断中，正确的是（）A．函数y＝[x]的定义域是一切整数B．函数y＝[x]的图象是经过原点的一条直线C．点（2，2）在函数y＝[x]图象上D．函数y＝[x]的函数值y随x的增大而增大【分析】根据题意，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，函数y＝[x]的定义域是一切实数，故选项A错误；函数y＝[x]的图象是分段函数，故选项B错误；点（2，2）在函数y＝[x]图象上，故选项C正确；函数y＝[x]的函数值y随x的增大不一定增大，如x＝1.2时，y＝[1.2]＝1，x＝1.5时，y ＝[1.5]＝1，即x＝1.2和x＝1.5时的函数值相等，故选项D错误；故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果a：b＝2：3，那么代数式的值是．【分析】根据已知条件得出＝，再把要求的式子化成＝﹣1，然后代值计算即可．【解答】解：∵a：b＝2：3，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝．故答案为：．8．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是．【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，∴，即，解得：BF＝，故答案为：．9．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是2﹣2．【分析】先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP＝AB，把AB＝4代入计算即可．【解答】解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP，∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．10．已知二次函数y＝a（x+）2﹣1的图象在直线x＝﹣的左侧部分是下降的，那么a的取值范围是a＞0．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝a（x+）2﹣1，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣，∵二次函数y＝a（x+）2﹣1的图象在直线x＝﹣的左侧部分是下降的，∴a＞0，故答案为：a＞011．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△AED和四边形DECB的面积相等，BC＝2，那么DE的长是2．【分析】先根据题意得到＝，再证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质得＝（）2＝，然后利用比例的性质可求出DE的长．【解答】解：∵△AED和四边形DECB的面积相等，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，即＝，∴DE＝2．故答案为2．12．在坡度为i＝1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是2米．【分析】根据坡度的定义，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，过B作BC⊥AD于C，∵山坡AB的坡度为i＝1：3，株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，∴水平距离AC＝6米，铅垂高度BC＝2米，∴斜坡上相邻两树间的坡面距离AB＝＝2（米），故答案为：2．13．已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是（30﹣10）米．【分析】过C作CE⊥AB于E，先由矩形和含30°角的直角三角形的性质求出AE的长，再由等腰直角三角形的性质求出AB的长，即可得出结果．【解答】解：如图，甲楼为CD、乙楼为AB，BD＝30米，∠ADB＝45°，∠CAF＝30°，过C作CE⊥AB于E，则四边形BDCE为矩形，CE∥AF，∴CE＝BD＝30米，CD＝BE，∠ACE＝∠CAF＝30°，∴AE＝CE＝10（米），在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB＝30米，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝（30﹣10）米，即甲楼的高为（30﹣10）米，故答案为：（30﹣10）．14．如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tan C＝，那么DP的长是．【分析】由DP⊥AP，CD⊥DP，得AP∥CD，则∠C＝∠APB，由tan∠APB＝，求得BP＝4，PC＝6，在Rt△CDP中，tan C＝，CD＝，得出＝，即可得出结果．【解答】解：∵DP⊥AP，CD⊥DP，∴AP∥CD，∴∠C＝∠APB，∵AB⊥BC，∴tan∠APB＝，∵tan C＝，∴＝，∴BP＝4，∴PC＝BC﹣BP＝10﹣4＝6，在Rt△CDP中，tan C＝，CD＝＝，∴＝，解得：DP＝或DP＝﹣（不合题意舍去），故答案为：．15．如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、AB上，点F、G在边BC上，那么AD的长是4﹣6．【分析】过A点作AM⊥BC于M，交DE于N，如图，根据等边三角形的性质得到∠C ＝∠CAB＝60°，CM＝BM＝BC＝1，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AM ＝，设正方形DEFG的边长为x，则DG＝DE＝x，MN＝DG＝x，AN＝﹣x，接着证明△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质得＝，解得x＝4﹣6，然后证明△ADE为等边三角形，从而得到AD＝DE．【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，交DE于N，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠CAB＝60°，CM＝BM＝BC＝1，∴AM＝CM＝，设正方形DEFG的边长为x，则DG＝DE＝x，易得四边形DGMN为矩形，∴MN＝DG＝x，∴AN＝AM﹣MN＝﹣x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得x＝4﹣6，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE＝4﹣6．故答案为4﹣6．16．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD 的面积是正方形EFGH面积的13倍，那么∠ABE的余切值是．【分析】小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，则小正方形EFGH 边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，设AE＝BF＝x，利用勾股定理求出x，最后利用熟记函数即可解答．【解答】解：设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，∵图中的四个直角三角形是全等的，∴AE＝BF，设AE＝BF＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，即13a2＝x2+（x+a）2解得：x1＝2a，x2＝﹣3a（舍去），∴AE＝2a，BE＝3a，∴∠ABE的余切值＝，故答案为：．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8，＝，那么MN的长是4．【分析】先根据折叠的性质得DA＝DF，∠ADE＝∠FDE，再根据平行线的性质和等量代换得到∠B＝∠BMD，则DB＝DM，接着利用比例的性质得到FM＝DM，然后证明△FMN∽△FDE，从而利用相似比可计算出MN的长．【解答】解：∵△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，∴DA＝DF，∠ADE＝∠FDE，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠FDE＝∠BMD，∴∠B＝∠BMD，∴DB＝DM，∵＝，∴＝2，∴＝2，∴FM＝DM，∵MN∥DE，∴△FMN∽△FDE，∴＝＝，∴MN＝DE＝×8＝4．故答案为4．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin ∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是9﹣6．【分析】如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．解直角三角形求出BH，CH即可解决问题．【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABC＝120°，∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，∵AB＝12，∠H＝90°，∴BH＝AB•cos60°＝6，AH＝AB•sin60°＝6，∵EF⊥DF，DE＝5，∴sin∠ADE＝＝，∴EF＝4，∴DF＝＝＝3，∵S△CDE＝6，∴•CD•EF＝6，∴CD＝3，∴CF＝CD+DF＝6，∵tan C＝＝，∴＝，∴CH＝9，∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．故答案为：9﹣6．三、（本大题共7感，第19--22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分：满分78分）19．（10分）计算：sin45°cot45°﹣tan60°+|2cos45°﹣cot30°|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝×1﹣+|2×﹣|＝﹣+﹣＝﹣．20．（10分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F，AB＝1.2，BC＝1.8．（1）求BF：DF的值；（2）设＝，＝．求向量（用向量、表示）．【分析】（1）由平行四边形的性质得DC∥AB，从而△ABF∽△EDF，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得BF：DF；（2）先求出BF＝BD，再利用向量的加法可得答案．【解答】解：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝1.2，∵BC∥AD，∴△BEF∽△DAF，∴，∴；（2）∵BF：DF＝2：3，∴DF＝BD，∵＝﹣，∴＝，∴＝﹣．21．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的表达式及点M的坐标；（2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式求得顶点M的坐标；（2）设新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1﹣m，把（0，0）代入求得m的值，即可根据平移的原则得到顶点N的坐标，根据勾股定理求得OM2＝ON2＝2，MN2＝4，即可得到结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1．∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2+2x+2，∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴顶点M（﹣1，1）；（2）∵抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，∴设新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1﹣m，把（0，0）代入得，0＝1+1﹣m，∴m＝2，∴顶点N为（﹣1，﹣1），∵M（﹣1，1），∴OM2＝（﹣1）2+12＝2，ON2＝（﹣1）2+（﹣1）2＝2，MN2＝22＝4，∴OM＝ON，OM2＝（﹣1）2+ON2＝MN2，∴△MON是等腰直角三角形．22．（10分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】（1）由三角函数定义求出AE、AB，即可得出答案；（2）求出该汽车的速度，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意，得∠CAB＝37°，CD＝220米，∠DAB＝30°，∠DBA＝45°，如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，∵CD∥AB，∴四边形CDFE是矩形，∴CE＝DF，CD＝EF，∵∠DBA＝45°，∴DF＝BF，设DF＝BF＝CE＝x米，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，DF＝x米，∴AF＝DF＝x（米），∴AE＝AF﹣EF＝（x﹣220）米，在Rt△AEC中，∠CAE＝37°，∵CE＝AE•tan37°，∴x＝（x﹣220）×0.75，解得x＝60（3+4）＝（180+240）米，∴AE＝x﹣220＝（320+240）米，FB＝x＝（180+240）（米），∴AB＝AE+EF+FB＝320+240+220+180+240＝780+420≈1507（米），答：限速道路AB的长约为1507米；（2）∵1分20秒＝小时，∴该汽车的速度约为：1507÷≈67.8km/h＞60km/h，∴该车超速．23．（12分）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD 与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF ＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到＝，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，∴＝，而∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴∠AEF＝∠BDF，∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BEC；（2）∵△AFE∽△BFD，∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，∵EB＝EC，AB＝AD，∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，∴△AEF∽△CBA，∴＝，∴EF•AC＝AB•AF∵∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，∴EF•AC＝CD•AF，即AF•CD＝EF•AC．24．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x 轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t ＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．【分析】（1）用配方法配成顶点式，即可得出结论；（2）先判断出△CDH∽△BCO，得出，求出OC＝3，即可得出结论；（3）连接OM，利用三角形的面积的和差，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+4＝a（x2﹣2x+1）+4＝a（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点D（1，4），∵a＜0，∴抛物线的开口向下；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，∴A（1，0），对于y＝ax2﹣2ax+a+4，令x＝0，则y＝a+4，∴C（0，a+4），如图1，过点D作DH⊥y轴于H，∴∠CDH+∠DCH＝90°，∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠DCH+∠OCB＝90°，∴∠CDH＝∠BCO，∵∠BOC＝∠CHD＝90°，∴△CDH∽△BCO，∴，在Rt△BDC中，tan∠DBC＝，∵D（1，4），∴DH＝1，∴，∴CO＝3，∴a+4＝3，∴a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）如图2，由（2）知，a＝﹣1，∴C（0，3），∴OC＝3，连接OM，设点M的横坐标为t（t＞1），∴点M的纵坐标为﹣t2+2t+3，∵△ACM的面积是，∴S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△AOC＝×3t+×1×（﹣t2+2t+3）﹣×1×3＝，∴t＝，∴M（，）．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G （1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；（3）当AG＝AE时，求CD的长．【分析】（1）证明△ADE≌△BFE（ASA），推出AD＝BF，构建方程求出CD即可．（2）过点A作AM⊥BE于M，想办法求出AB，AM即可解决问题．（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠DEF＝90°，∴∠AED＝∠BEF，∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，∴△ADE≌△BFE（ASA），∴AD＝BF，∴AD＝5+CF＝5+CD，∵AC＝CD+AD＝12，∴CD+5+CD＝12，∴CD＝，∴正方形CDEF的面积为．（2）如图2中，∵∠ABG＝∠EBH，∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，∴△CBG∽△CAB，∴CB2＝CG•CA，∴CG＝，∴BG＝＝＝，∴AG＝AC﹣CG＝，过点A作AM⊥BE于M，∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，∴∠GAM＝∠CBG，∴cos∠GAM＝cos∠CBG＝＝＝，∴AM＝，∵AB＝＝＝13，∴sin∠ABM＝＝．（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．∵AE＝AG＝AN，∴∠GEN＝90°，由（1）可知，△NDE≌△BFR，∴ND＝BF，设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，在Rt△ADE中，∵AE2＝AD2+DE2，∴x2+（12﹣x）2＝（2x﹣7）2，∴x＝1+或1﹣（舍弃），∴CD＝1+．。

2020-2021学年上海市宝山区九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市宝山区九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市宝山区九年级上学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.若点C是线段AB的中点，则CA与BA的比值是()A. 1B. 2C. 12D. 232.设ab =32，下列变形正确的是()A. ba =32B. a2=b3C. 3a=2bD. 2a=3b3.在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加美感，按此比例，如果雕像的身高为3米，设雕像的上部为x米，根据其比例关系可得其方程应为()A. x2−9x+9=0B. x2−3x+9=0C. x2+9x−9=0D. x2−6x+9=04.下列命题中是真命题的是()A. 五边形的外角和等于360B. 如果，那么C. 同位角相等D. 一个锐角与一个钝角的和等于一个平角5.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE//BC.若AE∶EC=3∶1，AD=6，则BD等于…………………………()A. 2B. 4C. 6D. 86.下列四个命题中：①相等的角是对顶角；②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，其中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.如果x2=y3=z5，那么x+3y−zx−3y+z=______ ．8.在△ABC中，∠C=90°，AB=12.那么它的重心G到斜边中点的距离是______．9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF//BC交AB于点E，交AC于点F，OD⊥AC交AC于点D，连接AO.给出以下四个结论：①若∠BAC=80°，∠BOC=120°；②EOAE =FOAF；③AO平分∠BAC；④若AE+AF=8，OD=3，则S△AEF=12．其中正确的有______.(把所有正确结论的序号都选上)10.已知两个直角三角形的三边长分别为1、2、m和3、6、n，若这两个直角三角形不相似，则m+n的值为______ ．11.若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′的度数为______．12.如图，如果l1//l2//l3，AC=12，DE=3，EF=5，那么BC=______ ．13.已知点A(7,0)，B(0,m)，且直线AB与坐标轴围成的三角形面积等于14，则m的值是______．14.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，且点D，E分别在边AB，AC上，则BDAD的值为______．15.如图所示，两根竖直的电线杆AB长为6，CD长为3，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是______．16.如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为______ ．17.有一张长方形纸片ABCD，如图(1)，将它折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，如图(2)；再将∠A折叠，使点A与点B重合，折痕为MN，如图(3).如果AD=4cm，MD=1cm，那么DB= ______ cm．18.在▱ABCD中，E为CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AGE处，AG与CE交于点F.若∠B=50°，∠DAE=16°，则∠FEG度数为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.如图①，已知Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．(1)请直接写出：线段BG和AE的数量关系是；(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α(0°<α≤360°)，请问(1)中的结论是否仍然成立？利用图②证明你的结论。

2019-2020学年上海市宝山区初三数学一模(试卷+参考答案)

2019-2020学年上海市宝山区初三数学一模(试卷+参考答案)

2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷（满分150分，考试时间100分钟 2020.1）考生注意：1． 本试卷含四个大题，共25题；2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一. 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．符号A sin 表示………………………………………………………………… （ ） A ．∠A 的正弦； B ．∠A 的余弦； C ．∠A 的正切； D ．∠A 的余切．2．如果b a 32-=，那么ba=………………………………………………………（ ） A ．3-； B ．2-； C ．5； D ．1-．3．二次函数221x y -=的图像的开口方向…………………………………… （ ） A ． 向左； B ． 向右； C ．向上； D ．向下．4．直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC ⊥AB ，如果∠BCA =67°，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的……………… （ ） A ．俯角67°方向； B ．俯角23°方向； C ．仰角67°方向； D ．仰角23°方向． 5．已知a 、b 为非零向量，如果5b a =-，那么向量a 与b 的方向关系是……………………………………… （ ）a b a b a b a b C ．a 和b 方向互相垂直； D ．a 和b 之间夹角的正切值为5． 6．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以其 边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB =2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积………（ ） A ．3+π B ． 3-π C ．322-π D ．32-π第6题图第4题图ABDECCA BD 二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7． 已知1:2=3：x ，那么x = ▲ ．8．如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们某一对对应边上的高之比为 ▲ ． 9．如图，△ABC 中∠C =90°，如果CD ⊥AB 于D ，那么AC 是AD 和 ▲ 的比例中项． 10．在△ABC 中，AB BC CA ++= ▲ ．11．点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14°方向，那么从B 观察A ，A 在B 的 ▲ 方向．12．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BD 是∠ABC 的平分线．如果x AC =，那么=CD ▲ （用x 表示）．13．如图，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，联结BE ．如果BE =9，BC =12，那么cosC = ▲ ． 14．若抛物线2()(1)y x m m =-++的顶点在第二象限，则m 的取值范围为 ▲ ． 15．二次函数=y 322++x x 的图像与y 轴的交点坐标是__▲__．16. 如图，已知正方形ABCD 的各个顶点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，如果P 是AB 的中点，PD 与AB 交于E 点，那么PEDE＝ ▲ ． 17. 如图，点C 是长度为8的线段AB 上一动点，如果AC <BC ，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作等边△ACD 、△BCE ，联结DE ，当△CDE 的面积为33时，线段AC 的长度是 ▲ ．18. 如图，点A 在直线x y 43=上，如果把抛物线2x y =沿OA 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ▲ ．第9题图第18题图第16题图第17题图第12题图第13题图三、（本大题共7题，第19--22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19． （本题满分10分）计算：21245cos 260tan 6-︒-︒20．（本题满分10分，每小题各5分）已知：抛物线m x x y +-=22与y 轴交于点C(0,-2)，点D 和点C 关于抛物线对称轴对称． （1）求此抛物线的解析式和点D 的坐标；（2）如果点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，求△MCD 的周长．第20题图21．（本题满分10分，每小题各5分）某仓储中心有一个坡度为2:1=i 的斜坡AB ，顶部A 处的高AC 为4米，B 、C 在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB 的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG 的长方体货柜，其中长 DE =2.5米，高EF =2米.该货柜沿斜坡向下时，点D 离BC 所 在水平面的高度不断变化，求当BF =3.5米时，点D 离BC 所在水平面的高度DH ．22．（本题满分10分，每小题各5分）如图，直线l :3y x =，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，O 1B 为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 的垂线交直线l 于点2B ，以原点O 为圆心，O 2B 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去． 求：（1）点1B 的坐标和∠1A O 1B 的度数； （2）弦43A B 的弦心距的长度．第21题图第22题图23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，△ABC 中，AB=AC ，AM 为BC 边的中线，点D 在边A C 上，联结BD 交AM 于 点F ，延长BD 至点E ，使得DCADDE BD =，联结CE ． 求证：（1）∠ECD=2∠BAM ；（2） BF 是DF 和EF 的比例中项．24．（本题共12分，每小题各4分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数)1(2-+=x x a y 的图像交于点A （1，a ）和点B （﹣1，﹣a ）．（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，求a 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图像的顶点为Q ，当Q 在以AB 为直径的圆上时，求a 的值．第23题图25．（本题共14分，其中第（1）、（3）小题各4分，第（2）小题6分）如图，OC 是△ABC 中AB 边的中线，∠ABC=36°，点D 为OC 上一点，如果OD ＝k ·OC ，过D 作DE ∥CA 交于BA 点E ，点M 是DE 的中点．将△ODE 绕点O 顺时针旋转α度（其中︒<<︒1800α）后，射线OM 交直线BC 于点N ．（1）如果△ABC 的面积为26，求△ODE 的面积（用k 的代数式表示）；（2）当N 和B 不重合时，请探究∠ONB 的度数y 与旋转角α的度数之间的函数关系式； （3）写出当△ONB 为等腰三角形时，旋转角α的度数．第25题图2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． A ； 2．B ； 3．D ； 4．D ； 5． B ； 6．C ； 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．6； 8．1:2； 9．AB ； 10．0； 11．南偏西14°； 12．x 31-； 13．32；14．01<<-m ； 15．（3,0）； 16．212-； 17．2； 18．3)4(2+-=x y . 三、简答题（本大题共7题，第19--22题每题10分；第23、24题每题12分．第25题14分；满分78分） 19．解：原式=2236-- ……………………6分=2)23)(23()23(6-+-+⋅ ……………………2分=322221218+=-+ ……………………2分20．（1）∵点C(0,-2)在抛物线m x x y +-=22上，∴2-=m ，此抛物线的解析式为222--=x x y ……………………………2分 ∵222--=x x y =3)1(2--=x y ，∴对称轴为直线1=x ，………………1分 和点C 关于抛物线对称轴对称的点D 的坐标为：D （2，-2）．………………2分 （2）根据题意点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，∴M （1,0）……………2分 ∴MC=MD=52122=+， CD=2 …………………………2分 △MCD 的周长为252+． ……………………………………………………1分 21. 解：（1）根据题意斜坡高AC 为4m ，2:1=i ，∴水平宽度BC =8；……………2分坡面AB=5422=+BC AC ………………………………………………3分（2）过D 作DH ⊥BC 于H 交AB 于点M∵∠DMG =∠BAC ∠DGM =∠BCA∴△ DGM ∽△BCA …………………………1分 ∵ 矩形DEFG 中长DE =2.5m ，高EF =2m BF =3.5m∴GM=1， DM=5， FM=1.5， BM=5， MH=5 …………………3分 点D 离BC 所在水平面的高度为52米 。

上海市金山区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷(一模) 解析版

上海市金山区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷(一模) 解析版

2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．计算：+2（﹣）＝．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）10．正十边形的中心角等于度．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．20．（10分）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．22．（10分）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1【分析】根据抛物线的顶点式，可求抛物线的对称轴．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴对称轴是：直线x＝2．故选：A．2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）【分析】把x＝2代入抛物线解析式中，求得函数值，即可判断．【解答】解：把x＝2代入y＝2x2得y＝2×22＝8，故点（2，8）在抛物线上．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义得出答案即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的正弦表示的是锐角A的对边与斜边的比，即：，故选：B．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据特殊锐角三角函数值先得出α+15°，再求出α即可．【解答】解：∵sin45°＝，∴α+15°＝45°，∴α＝30°，故选：B．5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴DE＝BC，∵＝，∴＝，∴＝﹣，故选：D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴≤r≤4．故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．计算：+2（﹣）＝．【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．【解答】解：原式＝+3﹣2＝．故答案是：．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝﹣2．【分析】计算自变量为﹣2对应的函数值即可．【解答】解：把x＝﹣2代入f（x）＝x2+3x得f（﹣2）＝（﹣2）2+3×（﹣2）＝4﹣6＝﹣2．故答案为：﹣2．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是上升．（填“上升”或“下降”）【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，故答案为：上升．10．正十边形的中心角等于36度．【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可．【解答】解：正十边形的中心角为：＝36°．故答案为：36°．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于1．【分析】根据两圆内切，圆心距等于半径之差．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，⊙O1和⊙O2内切，∴圆心距O1O2的长＝4﹣3＝1，故答案为：1．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝12．【分析】根据正弦的定义得到sin A＝＝，然后把AB＝15代入计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴BC＝AB＝×15＝12．故答案为12．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝2．【分析】设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，根据勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义作答．【解答】解：根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．∴tan B＝＝＝2．故答案是：2．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．【分析】根据三角形中位线定理可得＝，再根据相似三角形的性质可得＝＝＝，设辅助常数，表示AG，AE，最后根据平行线分线段成比例得出答案．【解答】解：连接DE，∵AE、BD是△ABC的中线，∴AD＝DC，BE＝EC，∴DE∥AB，DE＝AB，∴∠DEG＝∠BAG，∠EDG＝∠ABG，∴△DEG∽△BAG，∴＝＝＝，设GE＝k，则AG＝2k，AE＝k+2k＝3k，又∵DF∥AE，AD＝DC，∴＝，∴DF＝k，∴＝＝，故答案为：．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为﹣．【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABCD是平行四边形，则可求得与，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB，∵BC＝2AD，∴AD＝EC．∵＝，＝，∴＝＝，＝＝，∴＝﹣＝﹣（+）＝﹣．故答案为：﹣．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．【分析】如图，过点O作OH⊥AB于H．直角三角形求出OA即可．【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于H．∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝9，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OA＝＝6．故答案为：6．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于4．【分析】根据平行四边形的性质证明△ADF∽△CEF，可得对应边成比例，根据CE＝2BE，△ABC的面积等于15，进而可得△FEC的面积．【解答】解：在▱ABCD中，AD∥CE，AD＝BC∴△ADF∽△CEF，∴＝＝，∵CE＝2EB，∴CE＝BC＝AD，∴＝＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝S△ADC＝15，∴S△ACD＝S△AFD+S△CFD＝15，∵＝，∴＝＝，∴S△AFD＝9，S△CFD＝6，∴S△FEC＝4．故答案为：4．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于2+．【分析】如图，过点A作AH⊥CE于H．想办法证明AK＝AC，推出HK＝CH，推出AK ＝AD＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AH⊥CE于H.∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，∴∠E＝∠BAC，∵CE＝EG，∴∠CGE＝∠ECG，∵∠BAC+∠GAK＝180°，∴∠E+∠GAK＝180°，∴∠AGE+∠AKE＝180°，∵∠AKE+∠AKC＝180°，∴∠AKC＝∠CGE，∴∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK＝2，∵AH⊥CK，∴KH＝CH，∵∠AHE＝∠DCK＝90°，∴AH∥CD，∴KA＝AD，∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴BD＝AB+AD＝2+，故答案为：2+．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．【分析】根据勾股定理求得AB，然后求得直角三角函数值，代入求得即可求得．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，∴，∴；；；，∴原式＝＝．20．（10分）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1A∥O2B，只需推知∠A＝∠B；（2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT 的值．【解答】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线，又∵⊙O1与⊙O2外切于点T，∴O1O2经过点T．∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．∵∠O1TA＝∠O2TB，∴∠A＝∠B．∴O1A∥O2B；（2）∵O1A∥O2B，∴．∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，∴，解得：．21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．【分析】（1）将点A（0，1）、B（1，﹣5）代入解析式求出b、c的值即可得；（2）将二次函数配方成顶点式后确定其顶点坐标与对称轴．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5），∴，解得：；∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2﹣4x+1；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为：（﹣1，3），对称轴为：直线x＝﹣1．22．（10分）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）【分析】（1）过点A作AD垂直HB于D，作AE∥BH交GH于点E，由坡度的定义和锐角三角函数定义分别计算出BD，根据勾股定理求出AD；（2）作AE∥BH交GH于点E，根据题意得到四边形ADHE是平行四边形，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）过点A作AD垂直HB，交HB的延长线于点D，即∠ADB＝90°，由题意得：i＝1：，AB＝60（米），∴，即；又∵AB2＝AD2+BD2，即，∴AD＝20（米），答：山坡的高度为20米；（2）作AE∥BH交GH于点E，∵AD⊥BH，GH⊥BH，∴AD∥GH，即：四边形ADHE是平行四边形，由题意可知：∠GAE＝30°，BH＝60（米），∵（米），∴（米），在Rt△AGE中，，∴（米），又∵EH＝AD＝20（米），∴（米），答：铁塔的高度GH为米．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则△AED∽△F AB，得，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则△BME∽△DAE，得，进而证出，则MN∥BD即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△F AB，∴，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴，∵，∴，∴，∴MN∥BD，∴EF∥MN．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案；（2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案；（3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，∴，解得：；∴点A的坐标为（4，﹣1）．（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（4，﹣1），∴16a+4b﹣1＝﹣1，即b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax﹣1，∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax2﹣4ax+1，∴﹣2＝a﹣4a+1，解得：a＝1，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x2﹣4x﹣1．（3）如图，∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴P（2，﹣4a﹣1），∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2﹣4ax﹣1关于x轴对称，∴P'（2，4a+1），∵a'＜0，∴a＞0，∴P'P＝8a+2，又∵OD＝2，S△OPP'＝×OD×PP'，∴，解得：a＝，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是y＝x﹣1．25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝BH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．【解答】解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理得：AH＝BH＝AC，在Rt△OAH中，，∴设OH＝3x，AH＝4x，∵OH2+AH2＝OA2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），∴OH＝3，AH＝4，∴AC＝2AH＝8；（2）如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，∵∠DEO＝∠AEC，∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：，∴∠ACD≠∠DOE∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，∴OD∥AC，∴，∵OD＝OA＝5，AC＝8，∴，∴，∵∠AGE＝∠AHO＝90°，∴GE∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴，∴，∴，，在Rt△CEG中，；（3）当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，由（1）可得OH＝3，AH＝4，AC＝8，∵OE＝1，∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴AG＝，EG＝，∴GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝2；当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E 作EG⊥AC于G，同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝，综上所述：AD的长是或．。

2020-2021学年上海市闵行区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市闵行区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列函数中，y是x二次函数的是()A. y=x+2B. y=2x2+1x−10C. y=x2+5xD. y2=x−12.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为()A. 7sin35°B. 7cos35°C. 7tan35°D. 7cos35∘3.二次函数y=ax2+bx−2(a≠0)的图象的顶点在第三象限，且过点(1,0)，设t=a−b−2，则t值的变化范围是()A. −2<t<0B. −3<t<0C. −4<t<−2D. −4<t<04.已知e⃗是单位向量，且a⃗=−2e⃗，b⃗ =4e⃗，那么下列说法错误的是()A. a⃗//b⃗B. |a⃗|=2C. |b⃗ |=−2|a⃗|D. a⃗=−12b⃗5.已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和6，若⊙O1与⊙O2相交，那么圆心距O1O2的取值范围是()A. 2<O1O2<4B. 2<O1O2<6C. 4<O1O2<8D. 4<O1O2<106.美是一种感觉，当人体下半身长与身高比值越接近0.618，越给人一种美感，某女士身高165厘米，下半身长X与身高I的比值是0.6，为尽可能达到好的效果，她应该穿的高跟鞋的高度大约为A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 10厘米第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果x2=y3≠0，那么xy=______．8.计算：32(a⃗−2b⃗ )−4b⃗ =______．9.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是______的(填“上升”或“下降”)10.将抛物线y=(x+2)2−3向右平移3个单位长度，得到的抛物线与y轴的交点坐标是()A.(0,−2)B.(0,−1)C.(0.2)D.(0,3)11.已知两个相似三角形的面积之比是1：4，那么这两个三角形的周长之比是______ ．12.如图所示，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，，则BC=______若AE=3，EC=1，且知DE=7213.在直角坐标系中，已知点P在第一象限内，点P与原点O的距离OP=2，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为60°，则点P的坐标是______ ．14.若B地在A地的南偏东50∘方向5km处，则A地在B地的方向处.15.已知正六边形的半径为4cm，则它的边长等于________cm．16.如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE//AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是．17.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径画圆．(1)若⊙C与线段AB没有公共点，则r满足的条件是____________；(2)若⊙C 与线段AB 只有一个公共点，则r 满足的条件是___________； (3)若⊙C 与线段AB 有两个公共点，则r 满足的条件是___________． 18. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，sinB =35，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C ，点A 、B 分别与点A 1、B 1对应，边A 1B 1分别交边AB 、BC 于点D 、E ，如果点E 是边A 1B 1的中点，那么BDB1C=______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：cos30°+sin60°−(tan45°−1)201820. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是对角线BD 上的两点，且BE =DF ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ． (1)用向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 表示下列向量：向量CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______； (2)求作：b ⃗ +c ⃗ ．21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BC=2，连接CD，求BD的长．22.某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米(即AD=BE=1米)，两台测角仪相距100米(即AB=100米).在某一时刻无人机位于点C(点C与点A、B在同一平面内)，A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°.求该时刻无人机的离地高度；(单位：米，结果保留整数)；(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73)23.已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，∠ADE=∠B，求证：AD2=AE⋅AB．24.已知：抛物线y=ax2+bx−3经过点A(7,−3)，与x轴正半轴交于点B(m,0)、C(6m、0)两点，与y轴交于点D．(1)求m的值；(2)求这条抛物线的表达式；(3)点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQD=90°且PQ=2DQ时，求点P、Q的坐标．25.已知锐角∠MBN的余弦值为3，点C在射线BN上，BC=25，点A在∠MBN的内部，5且∠BAC=90°，∠BCA=∠MBN.过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E.点F在线段BE上(点F不与点B重合)，且∠EAF=∠MBN．(1)如图1，当AF⊥BN时，求EF的长；(2)如图2，当点E在线段BC上时，设BF=x，BD=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3)联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数．根据二次函数的定义，可得答案．【解答】A. y=x+2，是一次函数，不合题意；−10，不是二次函数，不合题意；B.y=2x2+1xC.y=x2+5x，是二次函数，符合题意；D.y2=x−1，y不是x的二次函数，不合题意．故选C．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，cosB=BC，AB∴BC=AB⋅cosB=7cos35°，故选：B．根据余弦的定义列出算式，计算即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：y=ax2+bx−2，当x=0时，y=−2，即抛物线与y轴的交点是(0,−2)，过点(1,0)和点(0,−2)的直线的解析式是y=2x−2，当x=−1时，y=2x−2=−4，而x=−1时，y=ax2+bx+c=a−b+c，∵t=a−b−2，∴−4<a−b+c<0，即−4<t<0，故选：D．先利用待定系数法求出经过点(1,0)和(0,−2)的直线解析式为y=2x−2，则当x=−1时，y=2x−2=−4，再利用抛物线的顶点在第三象限，所以x=−1时，对应的二次函数值为负数，从而得到所以−4<a−b+c<0，再根据抛物线的顶点坐标得出即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．4.【答案】C【解析】解：∵a⃗=−2e⃗，b⃗ =4e⃗，b⃗ ，∴a⃗//b⃗ ，|a⃗|=2，a⃗=−12∴A、B、D正确，故选：C．根据平面向量的性质即可一一判断．本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．5.【答案】C【解析】解：两圆半径差为4，半径和为8，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，4<O1O2<8．故选C．本题直接告诉了两圆的半径及两圆相交，求圆心距范围内的可能取值，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R−r<P<R+r.(P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径)．本题考查了由数量关系及两圆位置关系确定圆心距范围内的数的方法，属于基础题，比较简单．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，解得：y≈8cm．故选C．7.【答案】23【解析】【试题解析】解：∵x2=y3≠0，∴xy =23．故答案为：23．直接利用已知将比例式变形得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．8.【答案】32a⃗−7b⃗【解析】【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．【解答】解：：32(a⃗−2b⃗ )−4b⃗ =32a⃗−32×2b⃗ −4b⃗ =32a⃗−7b⃗ ．a⃗−7b⃗ ．故答案是：329.【答案】下降【解析】解：∵在y=3x2+2x中，a=3>0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分y随x的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．10.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．直接利用二次函数的平移规律进而得出函数关系式，进而求出答案．【解答】解：将抛物线y=(x+2)2−3向右平移3个单位长度，得抛物线y=(x−1)2−3，当x=0时，y=−2，∴得到的抛物线与y轴的交点坐标是(0,−2)．故选A．11.【答案】1：2【解析】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴这两个相似三角形的相似比是1：2，∴它们的周长比是1：2．故答案为：1：2．由两个相似三角形的面积比是1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形周长的比等于相似比性质的应用．12.【答案】143【解析】解：∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，可知：AEAC =DEBC将AE=3，AC=3+1=4DE=7 2代入得：34=72BC∴BC=143故答案为：143根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．13.【答案】(1,√3)【解析】解：作PM⊥x轴于点M，如图所示：∵OP=2，∴sin60°=PMOP =√32，cos60°=OMOP=12，∴PM=√3，OM=1．故P点坐标为：(1,√3).故答案为：(1,√3).作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．本题考查了解直角三角形和坐标与图形性质的知识，难度不大，注意掌握一个角的余弦和正弦的计算方法．14.【答案】北偏西50°，5km【解析】【分析】本题考查的是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是解答此类题的关键．根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【解答】解：从图中发现∠CAB=50°，故A地在B地的北偏西50°方向5km．故答案为北偏西50°，5km．15.【答案】【解析】【分析】此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键.根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于4cm，则正六边形的边长是4cm．故答案为4．16.【答案】7【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，关键是根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长．【解答】解：∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB//DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF=9，AB=12，∴EF:AB=9:12=3:4，∴△CEF和△CBA的面积比=9:16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF=7k，∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比，∴DF:EF=7k:9k=7:9，∵EF=9，∴DF=7．故答案为：7．17.【答案】(1)0<r<2.4或r>4(2)3<r≤4或r=2.4(3)2.4<r≤3．【解析】【分析】(1)要使圆和斜边没有公共点，则有两种情况：①直线和圆相离；②直线和圆相交，但交点不在斜边上，根据题意，求出直角三角形斜边上的高，便可直观得出半径的取值范围；(2)两种情况：①圆与AB相切时；②点A在园内部，点B在圆上或圆外时；(3)要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC即可．【解答】(1)如图，根据勾股定理求得AB=5．∵BC>AC，r=CD=3×4÷5=2.4，若⊙C与线段AB没有公共点，0<r<2.4，或r>4．(2)以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，分两种情况：①圆与AB相切时，即r=CD=3×4÷5=2.4;②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC<r≤BC，即3<r≤4，∴r=2.4或3≤4;(3)以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，即r的取值范围是2.4<r≤3．故答案为(1)0<r<2.4或r>4；(2)3<r≤4或r=2.4；(3)2.4<r≤3．18.【答案】35【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，证△CEB1∽△DEB 是本题的关键．设AC=3x，AB=5x，可求BC=4x，由旋转的性质可得CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，由题意可证△CEB1∽△DEB，可得BDB1C =BEB1E=1.5x2.5x=35，即可求解．【解答】解：∵∠ACB=90°，sinB=ACAB =35，∴设AC=3x，AB=5x，∴BC=√AB2−AC2=4x，∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，∴CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，∵点E是A1B1的中点，∴CE=12A1B1=2.5x=B1E，∴BE=BC−CE=1.5x，∵∠B=∠B1，∠CEB1=∠BED∴△CEB1∽△DEB∴BDB1C =BEB1E=1.5x2.5x=35，故答案为：35．19.【答案】解：原式=√32+√32−(1−1)2018=√3．【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 20.【答案】(1)−c ⃗ a ⃗ −b ⃗ a⃗ −c ⃗ (2)延长EC 到K ，使得CK =EC ，连接BK ，则向量BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求；【解析】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ，AD =BC ， ∴∠ADF =∠CBE ， ∵DF =BE ， ∴△ADF≌△CBE ，∴∠AFD =∠CEB ，AF =CE ， ∴∠AFB =∠CED ， ∴AF//CE ，∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−c ⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −c ⃗ ， 故答案为−c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ ，a ⃗ −c ⃗ ．(2)见答案． 【分析】(1)根据平面向量的加法法则计算即可；(2)延长EC 到K ，使得CK =EC ，连接BK ，则向量BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求； 本题考查平行四边形的性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：∵∠A 和∠D 所对的弧都是弧BC ，∴∠D =∠A =45°， ∵BD 是直径，∴∠D=∠DBC=45°，∴CB=CD=2，由勾股定理得：BD=√BC2+CD2=2√2．【解析】根据圆周角定理求出∠D=∠A=45°，BD是直径，根据勾股定理计算即可．本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．22.【答案】解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，∵∠CBA=45°，∴BH=CH，设CH=x，则BH=x．∵在Rt△ACH中，∠CAB=30°，AH=√3CH=√3x∴.√3x+x=100解得：x=√3+1=36.6≈37∴37+1=38m.答：无人机的离地的高约为38m.【解析】本题考查解直角三角形的应用−仰角、俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.过点C作点CH⊥AB于H.设AH=CH=x，根据AB= 100，构建方程即可解决问题．23.【答案】证明：∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠DAE，又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△ADE，∴ABAD =ADAE，【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．证明△ABD∽△ADE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可证明．24.【答案】解：(1)当x=0时，y=−3，∴D(0,−3)．设抛物线的解析式为y=a(x−m)(x−6m)．把点D和点A的坐标代入得：6am2=−3①，a(7−m)(7−6m)=−3②，∴a(7−m)(7−6m)=6am2．∵a≠0，∴(7−m)(7−6m)=m2．解得：m=1．(2)∵6am2=−3，∴a=−36m2=−12．将a=−12，m=1代入得：y=−12x2+72x−3．∴抛物线的表达式为y=−12x2+72x−3．(3)如图所示：过点P作PE⊥x轴，垂足为E．设点Q的坐标为(a,0)则OQ=−a−∵∠DQP=90°，∴∠PQO+∠OQD=90°．又∵∠ODQ+∠DQO=90°，∴∠PQE=∠ODQ．又∵∠PEQ=∠DOQ=90°，∴△ODQ∽△EQP．∴QOPE =ODQE=QDQP=12，即−a3=PE6=12，∴QE=6，PE=−2a．∴P的坐标为(a+6,−2a)将点P的坐标代入抛物线的解析式得：−12(a+6)2+72(a+6)−3=−2a，整理得：a2+a=0，解得a=−1或a=0．当a=−1时，Q(−1,0)，P(5,2)；当a=0时，Q(0,0)，P(6,0)．综上所述，Q(−1,0)，P(5,2)或者Q(0,0)，P(6,0)．【解析】(1)先求得点D的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a(x−m)(x−6m)，把点D和点A的坐标代入可求得m的值；(2)由6am2=−3，m=1可求得a的值，然后代入抛物线的解析式即可；(3)过点P作PE⊥x轴，垂足为E.设点Q的坐标为(a,0)则OQ=−a，然后证明△ODQ∽△EQP，依据相似三角形的性质可求得QE=6，PE=−2a.，则P的坐标为(a+6,−2a)，将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，用含a的式子表示出点P的坐标是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴cos∠BCA=cos∠MBN=ACBC =35=，∴AC=3∴AC=15∴AB=√BC2−AC2=20∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，∴AF=20×1525=12，∵AF⊥BC∴cos∠EAF=cos∠MBN=35=AFAE∴AE=20∴EF=√AE2−AF2=16(2)如图，过点A作AH⊥BC于点H，由(1)可知：AB=20，AH=12，AC=15，∴BH=√AB2−AH2=16，∵BF=x，∴FH=16−x，CF=25−x，∴AF2=AH2+FH2=144+(16−x)2=x2−32x+400，∵∠EAF=∠MBN，∠BCA=∠MBN∴∠EAF=∠BCA，且∠AFC=∠AFC，∴△FAE∽△FCA∴AFFC =EFAF，∠AEF=∠FAC，∴AF2=FC×EF∴x2−32x+400=(25−x)×EF，∴EF=x2−32x+40025−x∴BE=BF+EF=400−7x 25−x∵∠MBN=∠ACB，∠AEF=∠FAC，∴△BDE∽△CFA∴BDFC=BEAC∴y=400−7x25−x∴y=400−7x15(0<x≤252)(3)如图，若△ADF∽△CEA，∵△△ADF∽△CEA，∴∠ADF=∠AEC，∵∠EAF=∠MBN，∠EAF+∠DAF=180°，∴∠DAF+∠MBN=180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠AEC=∠ABF，∴AB=AE，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，且∠ABF=∠AEC，∠ACB=∠MBN=∠EAF，∴∠AEC+∠EAF=90°，∠AEC+∠MBN=90°，∴∠BDE=90°=∠AFC，∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，∴AF=20×1525=12，∴BF=√AB2−AF2=16，∵AB=AE，∠AFC=90°，∴BE=2BF=32，∴cos∠MBN=BDBE =35，∴BE=965，如图，若△ADF∽△CAE，∵△ADF∽△CAE ，∴∠ADF =∠CAE ，∠AFD =∠AEC ，∴AC//DF∴∠DFB =∠ACB ，且∠ACB =∠MBN ，∴∠MBN =∠DFB ，∴DF =BD ，∵∠EAF =∠MBN ，∠EAF +∠DAF =180°，∴∠DAF +∠MBN =180°，∴点A ，点F ，点B ，点D 四点共圆，∴∠ADF =∠ABF ，∴∠CAE =∠ABF ，且∠AEC =∠AEC ，∴△ABE∽△CAE∴AB AC =AE CE =BE AE =2015=43设CE =3k ，AE =4k ，(k ≠0)∴BE =163k ，∵BC =BE −CE =25∴k =757∴AE =3007，CE =2257，BE =4007∵∠ACB =∠FAE ，∠AFC =∠AFE ，∴△AFC∽△EFA ，∴AF EF =CF AF =AC AE =153007=720， 设AF =7a ，EF =20a ，∴CF =4920a ，∵CE =EF −CF =35120a =2257，∴a =15007×117，∴EF =30000117×7， ∵AC//DF ，∴AC DF =CE EF ，∴15DF =2257300007×117， ∴DF =2000117，综上所述：当BD 为965或2000117时，△ADF 与△ACE 相似【解析】(1)由锐角三角函数可求AC =15，根据勾股定理和三角形面积公式可求AB ，AF 的长，即可求EF 的长；(2)通过证△FAE∽△FCA 和△BDE∽△CFA ，可得y 关于x 的函数解析式；(3)分△ADF∽△CEA ，△ADF∽△CAE 两种情况讨论，通过等腰三角形的性质和相似三角形性质可求BD 的长．本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．。

2024届上海市宝山区初三一模数学试题及答案

2024届上海市宝山区初三一模数学试题及答案

图3上海市宝山区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列各组中的四条线段成比例的是（）.A 2cm ，3cm ，4cm ，5cm ；.B 2cm ，3cm ，4cm ，6cm ；.C 1cm ，2cm ，3cm ，2cm ；.D 3cm ，2cm ，6cm ，3cm ．2.已知线段2AB ，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP ，则AP 的长是（）.A 3.50米，AB 与AC .A .50cos 24米．4.是（）.A 5.）.A .D 第四象限．6.如图，在正方形网格中，、、、、M 、N 都是格点，从A 、B 、、四个格点中选取三个构成一个与AMN 相似的三角形，某同学得到两个三角形：①ABC ；②ABD ．关于这两个三角形，下列判断正确．．的是（）.A 只有①是；.B 只有②是；.C ①和②都是；.D ①和②都不是．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知线段2a ，4b ，如果线段c 是a 和b 的比例中项，那么c ＝．8.比例尺为1:100000的地图上，A 、B 两地的距离为2cm ，那么A 、B 两地的实际距离为km ．9.计算：sin 30sin 45cos 45．图22b x a10.二次函数2y ax bx c （0a ）图像上部分点的坐标 ,x y 对应值如表1所示，那么该函数图像的对称轴是直线．表111.直径是2的圆，当半径增加x 时，面积的增加值s 与x 之间的函数关系式是．12.在ABC 中，90BAC ，点G 为重心，联结AG 并延长，交BC 于点F ，如果6BC ，那么GF 的长是．13.如图4，已知斜坡AB 的坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，如果坡比1:3i ，那么这个斜坡的长度AB14.ABC 中，如果2BC，7AB ，AC 15.2y ．16.6BC ，17.轴的“亲密点”的坐标是．18.AEC 与矩形的重叠部分是三角形ACF ，联结DE ．如果6AB ，2BF ，那么BDE 的正切值是．x01234 y313图4三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图6，在ABC 中，90C ，4sin 5B ，10AB ，点D 是AB 边上一点，且BC BD ．（1）求BD 的长；（2）求ACD 的余切值．20.如图7E ．（1）（2）21.（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点 4,E m 在该函数图像上，求ABE 的面积．图922.（本题满分10分）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高．测高仪ABCD 为矩形，CD30cm ，顶点D 处挂了一个铅锤H ．图8是测量塔高的示意图，测高仪上的点C 、D 与塔顶G 在一条直线上，铅垂线DH 交BC 于点M ．经测量，点D 距地面1.9m ，到塔EG 的距离13DF m ，20CM cm ．求塔EG 的高度．（结果精确到1m ）23.如图9AC 于点P 、Q ．（1）（2）图1024.（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）题满分4分，第（3）题满分4分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线212y x 平移，使平移后的抛物线仍经过原点O ，新抛物线的顶点为M （点M 在第四象限），对称轴与抛物线212y x 交于点N ，且4MN ．（1）求平移后抛物线的表达式；（2）如果点N 平移后的对应点是点P ，判断以点O 、M 、N 、P 为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）抛物线212y x上的点A 平移后的对应点是点B ，BC MN ，垂足为点C ，如果ABC 是等腰三角形，求点A 的坐标．图1125.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图11，已知ABC 中，1AB AC ，D 是边AC 上一点，且BD AD ，过点C 作//CE AB ，并截取CE AD ，射线AE 与BD 的延长线交于点F ．（1）求证：2AF DF BF ；（2）设AD x ，DF y ，求y 与x 的函数关系式；（3）如果ADF 是直角三角形，求DF 的长．2023学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ；2.D ；3.A ；4.D ；5.C ；6.B .二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.22；8.2；9.0；10.x ＝2；11.S ＝πx 2+2πx ；12.1；13.1030；14.37；15. ；16.2.417.），085( ；18.31或33.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.解：（1）∵在Rt △ABC 中，sinB ＝ABAC ，又∵sinB ＝54，AB ＝10，∴AC ＝8，…………………………………………………………………………2分∵ C ＝90 ，∴，222AB BC AC ∴BC ＝6，…………………………………………………………………………2分∵BC ＝BD ，∴BD ＝6.…………………………………………………………………………1分（2）过点D 作DE ⊥AC ,垂足为点E .………………………………………………………1分又由 C ＝90 ，可得DE ∥BC ，∴，ABAD BC DE ∵BC ＝6，AD ＝4，AB ＝10，∴DE ＝2.4，………………………………………………………………………1分同理可得EC ＝4.8，………………………………………………………………1分∵在Rt △DEC 中，cot ACD ＝DE EC ，…………………………………………1分∴cot ACD ＝ …………………………………………………………………1分20.解：（1）∵BD 平分∠ABC ，∴ 1＝ 2，∵DE ∥BC ，∴ 2＝ 3，∴ 1＝ 3，………………………………………………………………………1分∴DE ＝BE ，………………………………………………………………………1分设DE ＝BE ＝x ，则AE ＝5-x ,……………………………………………………1分∵DE ∥BC ，∴AB AE BC DE ，……………………………………………………1分∴554x x ………………………………………………………………………1分解得920 x ，所以，.920 DE …………………………………………………1分（2）BD ＝a b ，……………………………………………………………………2分BF ＝.149149a b …………………………………………………………………2分21.解：（1）由图像经过点B (0,3)，可知c ＝3，………………………………………2分再由图像经过点A (1,0)，可得0312b ，解得b ＝－4，……………………2分所以，该二次函数的表达式为.342x x y …………………………………1分（2）把x ＝4代入342x x y ，得y ＝3，……………………………………1分由B (0,3)、E (4,3)可知BE ∥x 轴，……………………………………………1分于是BE ＝4，BE 边上的高为3,…………………………………………………2分∴.63)04(21ABE S …………………………………………………1分22.解：在Rt △CDM 中，cot ∠CDM ＝CMCD ，……………………………………………1分又∵CD ＝30cm ，CM ＝20cm ，………………………………………………………1分∴cot ∠CDM ＝23，……………………………………………………………………1分∵DF ⊥EG ，∴∠DGF+∠GDF ＝90°，……………………………………………………………1分又由题意可得∠CDM+∠GDF ＝90°，∴∠CDM ＝∠DGF ，…………………………………………………………………1分在Rt △DGF 中，cot ∠DGF ＝DF GF ，…………………………………………………1分又∵DF ＝13m ，∴GF ＝m 239，………………………………………………………………………1分∴EG ＝GF+EF ＝m 219.1239 ，……………………………………………………2分答：塔EG 的高度约为21m .…………………………………………………………1分23.证明：（1）∵在正方形ABCD 中，∴CD ＝BC ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，…………………………………1分又∵CE ＝BF ，∴CD -CE ＝BC -BF ，即DE ＝CF ，…………………………………………………………………………1分∴△ADE ≌△CDF ，∴∠1＝∠2，…………………………………………………………………………1分∵∠ADE ＝90°∴∠1+∠3＝90°，∴∠2+∠3＝90°，……………………………………………………………………1分∵∠APQ ＝∠2+∠3，∴∠APQ ＝90°，………………………………………………………………………1分∴AE ⊥DF.（2）过点E 作EG ⊥AC ,垂足为点G .………………………………………………1分∵∠APQ ＝90°，∴∠APQ ＝∠AGE ，又∵∠PAQ ＝∠EAG ，∴△APQ ∽△AEG ，……………………………………………………………………1分∴EGAEPQ AQ，…………………………………………………………………………1分∵在正方形ABCD 中，∴ 45214 DCF ，在Rt △CDM 中，cot ∠4＝22 CE EG ，∴CE EG 22 ，………………………………………………………………………1分∵CE ＝BF ，∴BF EG 22 ，………………………………………………………………………1分∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝DF ，…………………………………………………………………………1分∴BF DF PQAQ 22，∴DF PQ BF AQ2.……………………………………………………………1分24.解：（1），，设)0)(21(2 t t t N )421(2t t M ，则，……………………………………………………1分于是平移后抛物线的表达式是421)(2122t t x y ，………………………………1分由平移后抛物线经过原点O (0，0)，可得t ＝2(负值不合题意舍去），………………1分所以，平移后抛物线的表达式是2)2(212 x y .……………………………………1分（2）四边形OMPN 是正方形.根据题意可得O (0，0)，M (2，-2)，N (2，2)，P (4，0)，…………………………1分记MN 与OP 交于点G ，则G (2，0)，∴OG ＝GP ＝2，MG ＝NP ＝2，MN ＝OP ＝4，22 NP NO ，∴四边形OMPN 是平行四边形，……………………………………………………1分∵MN =OP =4，∴四边形OMPN 是矩形，……………………………………………………………1分∵22 NP NO ，∴四边形OMPN 是正方形.……………………………………………………………1分（3），，设)21(2a a A ，，则)2212(2 a a B )2212(2a C ，，222,2)2(22a BC a AC AB ，可得，……………………………………1分；，（舍去①)84(),0,4,04,2)2(22,11222A a a a a a AC AB …………1分；，或，②)422()422(,22,22,22,112 A A a a a BC AB ………………1分；，，，③)22(2,2)2(222A a a a BC AC ……………………………………1分所以，点A 的坐标是)2,2()422()422()8,4(、，、，、 .25.（1）证明：∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠2，………………………………………………………………………………1分又∵AB ＝AC ，CE ＝AD ，∴△ABD ≌△AEC ，………………………………………………………………………1分∴∠3＝∠4，又∵∠AFB ＝∠AFD ，∴△ABF ∽△ADF ，………………………………………………………………………1分∴AFBF DF AF ，∴BF DF AF 2.…………………………………………………………………………1分解：（2）过点D 作DG ∥AB ，交AE 于点G.………………………………………………1分又∵CE ∥AB ，∴DG ∥CE ，∴AC AD CE DG ，……………………………………………………………………………1分由AD ＝x ，则CE ＝x ，CD ＝1-x ，∴2x DG ，………………………………………………………………………………1分∵DG ∥AB ，∴BF DF AB DG ，……………………………………………………………………………1分∴y x y x 12，∴231x x y .……………………………………………………………………………1分（3）①∠DAF ＝ABD ≠90°，………………………………………………………………1分②如果∠AFD ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3+∠4＝90°，可得∠3＝∠4＝30°，……………………1分设DF ＝m ，则AD ＝BD ＝2m ，在Rt △ABF 中，cos ∠3＝ABBF ，∴2312 m m ，63 m .………………………………………………………………1分③如果∠ADF ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3＝90°，可得∠3＝∠4＝45°，……………………………1分设DF ＝m ，AD ＝BD ＝m ，在Rt △ABF 中，cos ∠3＝BFAB ，∴221 m m ，22 m .………………………………………………………………1分所以,当△ADF 是直角三角形时，DF 的长为63或22.。

2021年上海市金山区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2021年上海市金山区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市金山区九年级第一学期期末数学试卷（一模）一、选择题（共6小题）.1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4二、填空题（共12小题）.7．计算：+2（﹣）＝．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）10．正十边形的中心角等于度．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于．三、解答题（共7题，满分78分）19．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．20．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A 和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．21．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．22．如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）23．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y ＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．25．定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．参考答案一、选择题（共6小题）.1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴对称轴是：直线x＝2．故选：A．2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）解：把x＝2代入y＝2x2得y＝2×22＝8，故点（2，8）在抛物线上．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的正弦表示的是锐角A的对边与斜边的比，即：，故选：B．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°解：∵sin45°＝，∴α+15°＝45°，∴α＝30°，故选：B．5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴DE＝BC，∵＝，∴＝，∴＝﹣，故选：D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴≤r≤4．故选：C．二、填空题（共12小题）.7．计算：+2（﹣）＝．【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．解：原式＝+3﹣2＝．故答案是：．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝﹣2．【分析】计算自变量为﹣2对应的函数值即可．解：把x＝﹣2代入f（x）＝x2+3x得f（﹣2）＝（﹣2）2+3×（﹣2）＝4﹣6＝﹣2．故答案为：﹣2．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是上升．（填“上升”或“下降”）解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，故答案为：上升．10．正十边形的中心角等于36度．解：正十边形的中心角为：＝36°．故答案为：36°．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于1．解：∵⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，⊙O1和⊙O2内切，∴圆心距O1O2的长＝4﹣3＝1，故答案为：1．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝12．解：∵∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴BC＝AB＝×15＝12．故答案为12．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝2．解：根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．∴tan B＝＝＝2．故答案是：2．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．解：连接DE，∵AE、BD是△ABC的中线，∴AD＝DC，BE＝EC，∴DE∥AB，DE＝AB，∴∠DEG＝∠BAG，∠EDG＝∠ABG，∴△DEG∽△BAG，∴＝＝＝，设GE＝k，则AG＝2k，AE＝k+2k＝3k，又∵DF∥AE，AD＝DC，∴＝，∴DF＝k，∴＝＝，故答案为：．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为﹣．【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABCD是平行四边形，则可求得与，再利用三角形法则求解即可求得答案．解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB，∵BC＝2AD，∴AD＝EC．∵＝，＝，∴＝＝，＝＝，∴＝﹣＝﹣（+）＝﹣．故答案为：﹣．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．解：如图，过点O作OH⊥AB于H．∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝9，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OA＝＝6．故答案为：6．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于4．解：在▱ABCD中，AD∥CE，AD＝BC∴△ADF∽△CEF，∴＝＝，∵CE＝2EB，∴CE＝BC＝AD，∴＝＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝S△ADC＝15，∴S△ACD＝S△AFD+S△CFD＝15，∵＝，∴＝＝，∴S△AFD＝9，S△CFD＝6，∴S△FEC＝4．故答案为：4．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于2+．解：如图，过点A作AH⊥CE于H.∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，∴∠E＝∠BAC，∵CE＝EG，∴∠CGE＝∠ECG，∵∠BAC+∠GAK＝180°，∴∠E+∠GAK＝180°，∴∠AGE+∠AKE＝180°，∵∠AKE+∠AKC＝180°，∴∠AKC＝∠CGE，∴∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK＝2，∵AH⊥CK，∴KH＝CH，∵∠AHE＝∠DCK＝90°，∴AH∥CD，∴KA＝AD，∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴BD＝AB+AD＝2+，故答案为：2+．三、解答题（共7题，满分78分）19．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．【分析】根据勾股定理求得AB，然后求得直角三角函数值，代入求得即可求得．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，∴，∴；；；，∴原式＝＝．20．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A 和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1A∥O2B，只需推知∠A＝∠B；（2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT 的值．【解答】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线，又∵⊙O1与⊙O2外切于点T，∴O1O2经过点T．∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．∵∠O1TA＝∠O2TB，∴∠A＝∠B．∴O1A∥O2B；（2）∵O1A∥O2B，∴．∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，∴，解得：．21．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．【分析】（1）将点A（0，1）、B（1，﹣5）代入解析式求出b、c的值即可得；（2）将二次函数配方成顶点式后确定其顶点坐标与对称轴．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5），∴，解得：；∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2﹣4x+1；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为：（﹣1，3），对称轴为：直线x＝﹣1．22．如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）解：（1）过点A作AD垂直HB，交HB的延长线于点D，即∠ADB＝90°，由题意得：i＝1：，AB＝60（米），∴，即；又∵AB2＝AD2+BD2，即，∴AD＝20（米），答：山坡的高度为20米；（2）作AE∥BH交GH于点E，∵AD⊥BH，GH⊥BH，∴AD∥GH，即：四边形ADHE是平行四边形，由题意可知：∠GAE＝30°，BH＝60（米），∵（米），∴（米），在Rt△AGE中，，∴（米），又∵EH＝AD＝20（米），∴（米），答：铁塔的高度GH为米．23．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△FAB，∴，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴，∵，∴，∴，∴MN∥BD，∴EF∥MN．24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y ＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案；（2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案；（3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，∴，解得：；∴点A的坐标为（4，﹣1）．（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（4，﹣1），∴16a+4b﹣1＝﹣1，即b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax﹣1，∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax2﹣4ax+1，∴﹣2＝a﹣4a+1，解得：a＝1，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x2﹣4x﹣1．（3）如图，∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴P（2，﹣4a﹣1），∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2﹣4ax﹣1关于x轴对称，∴P'（2，4a+1），∵a'＜0，∴a＞0，∴P'P＝8a+2，又∵OD＝2，S△OPP'＝×OD×PP'，∴，解得：a＝，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是y＝x﹣1．25．定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝BH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理得：AH＝BH＝AC，在Rt△OAH中，，∴设OH＝3x，AH＝4x，∵OH2+AH2＝OA2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），∴OH＝3，AH＝4，∴AC＝2AH＝8；（2）如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，∵∠DEO＝∠AEC，∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：，∴∠ACD≠∠DOE∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，∴OD∥AC，∴，∵OD＝OA＝5，AC＝8，∴，∴，∵∠AGE＝∠AHO＝90°，∴GE∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴，∴，∴，，在Rt△CEG中，；（3）当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，由（1）可得OH＝3，AH＝4，AC＝8，∵OE＝1，∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴AG＝，EG＝，∴GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝2；当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E 作EG⊥AC于G，同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝，综上所述：AD的长是或．。

2020-2021学年上海市普陀区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市普陀区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市普陀区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列函数中，y关于x的二次函数是()A. y=ax2+bx+cB. y=1x2+1C. y=x(x+1)D. y=(x+2)2−x22.如果点A(3,m)在x轴上，那么点B(m+2,m−3)所在的象限是()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，那么tan B的值等于()A. 23B. √53C. √52D. 2√554.在下列对抛物线y=−(x−1)2的描述中，正确的是()A. 开口向上B. 顶点在x轴上C. 对称轴是直线x=−1D. 与y轴的交点是(0,1)5.已知a⃗是非零向量，b⃗ =−2a⃗，下列说法中错误的是()A. b⃗ 与a⃗平行B. b⃗ 与a⃗互为相反向量C. |b⃗ |=2|a⃗|D. a⃗=−12b⃗6.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OAOB =ODOC，由此推得的正确结论是()A. OAOD =ABCDB. OAOC =ADBCC. OBOD =ABCDD. ABCD =ADBC二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知xy =52，那么x+yx−y=______ ．8.如果正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，那么y的值随着x的值增大而______ .(填“增大”或“减小”)9. 沿着x 轴正方向看，如果抛物线y =(a −2)x 2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 的取值范围是______ ．10. 二次函数y =2x 2+4x 图象的顶点坐标为______ ．11. 如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点A(1,0)，那么f(−1) ______0.(填“>”、“<”或“=”)12. 在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．13. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠AED =∠B.如果AB =12，AE =6，EC =2，那么AD 的长等于______ ．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，CD =BD ，CE =12AB ，AD 与CE交于点F ，如果AB =6，那么CF 的长等于______ ．15. 如图，小明在教学楼AB 的楼顶A 测得：对面实验大楼CD 的顶端C 的仰角为α，底部D 的俯角为β.如果教学楼AB 的高度为m 米，那么两栋教学楼的高度差CH 为______ 米.16. 如图，△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE =60°，如果BD ：DC =1：2，AD =2，那么DE 的长等于______ ．17. 勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形ABCD ，同时留下一个小正方形EFGH 的空隙(如图)，利用面积证明了勾股定理.如果小正方形EFGH 的面积是4，sin∠GBC =√1010，那么大正方形ABCD 的面积等于______ ．18. 如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，将△ABE 沿着直线AE 翻折得到△AFE ，点B 的对应点F 恰好落在线段DE 上，线段AF 的延长线交边CD 于点G ，如果BE ：EC =3：2，那么AF ：FG 的值等于______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分） 19. 计算：cos30°−2sin 245°+22sin60∘+tan45∘．20. 如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB//DE ，AC//DF ，AC 与DE 相交于点G ，AGGC =DGGE =12，BE =2． (1)求BF 的长；(2)设EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ (用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示)．21.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=6的图象与一次函数y=kx−1的图象相交于横坐标为3的x点A．(1)求这个一次函数的解析式；(2)如图，已知点B在这个一次函数图象上，点C在反比例函数y=6的图象上，直线BC//x轴，且在点xA上方，并与y轴相交于点D.如果点C恰好是BD的中点，求点B的坐标．22.如图，在△ABC中，BC上的一点D在边AB的垂直平分线上，AB2=BD⋅BC．(1)求证：∠B=∠C；(2)如果AB=2√10，BC=10，求cos∠ADC的值．23.已知：如图，AD//BC，∠ABD=∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点E、F分别为垂足．(1)求证：AEDF =BDBC；(2)联结EF，如果∠ADB=∠BDF，求证：DF⋅DC=EF⋅BC．24.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=ax2+bx+1与y轴交于点A，顶点B的坐标为(2,−1)．(1)直接写出点A的坐标，并求抛物线的表达式；(2)设点C在x轴上，且∠CAB=90°，直线AC与抛物线的另一个交点为点D．①求点C、D的坐标；②将抛物线y=ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上；点A的对应点为点P.设线段AB与x轴的交点为点Q，如果△ADP与△CBQ相似，求点P的坐标．25.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=3，点E是边BC上一个动点(不与点B、C重合)，AE的垂线AF交CD的延长线于点F.点G在线段EF上，满足FG：GE=1：2.设BE=x．(1)求证：ADAB =DFBE；(2)当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；(3)当∠FGD=∠AFE时，求线段BE的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、当a=0时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；C、y=x(x+1)=x2+x，是二次函数，故此选项符合题意；D、y=(x+2)2−x2=4x+4，不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：C．利用二次函数定义进行分析即可．此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.【答案】D【解析】解：∵A(3,m)在x轴上，∴m=0，∴m+2=2，m−3=−3，∴B(m+2,m−3)所在的象限是第四象限．故选：D．根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，然后计算即可得解．本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：如图，由勾股定理得，AC=√AB2−BC2=√32−22=√5，∴tanB=ACBC =√52，故选：C．画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=−(x−1)2中a=−1<0，∴抛物线开口向下，故A错误；∵抛物线的解析式为：y=−(x−1)2，∴抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为(1,0)，故B正确，C错误；令x=0，则y=−1，∴与y轴的交点是(0,−1)，故D错误．故选：B．根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征进行解答即可．本题考查了二次函数的性质，要会用顶点式确定抛物线开口方向，顶点坐标，对称轴；会求与y轴交点坐标．5.【答案】B【解析】解：A、由b⃗ =−2a⃗知，a⃗与b⃗ 方向相反，所以b⃗ 与a⃗平行，故本选项说法正确．B、由b⃗ =−2a⃗知，|a⃗|≠|b⃗ |，所以b⃗ 与a⃗不互为相反向量，故本选项说法不正确．C、由b⃗ =−2a⃗知，|b⃗ |=2|a⃗|，故本选项说法正确．D、由b⃗ =−2a⃗知，a⃗=−12b⃗ ，故本选项说法正确．故选：B．根据共线向量的判定与性质进行解答．本题主要考查了平面向量的知识，属于基础题，注意：平面向量既有大小，又有方向．6.【答案】A【解析】解：∵OAOB =ODOC，∴OAOD =OBOC，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴OAOD =ABCD，所以A选项的结论正确；OB OC =ABCD，所以C选项的结论错误；∵OAOB =ODOC，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴OAOB =ADBC，所以B选项的结论错误；∵OAOD =ABCD，OAOB=ADBC，∴ABCD =ADBC不一定成立，所以D选项的结论错误．故选：A．由OAOB =ODOC得到OAOD=OBOC，加上∠AOB=∠DOC，则可判断△AOB∽△DOC，利用相似比可对A、C选项进行判断；证明△AOD∽△BOC，根据相似三角形的性质可B选项进行判断；利用OAOD =ABCD，OAOB=ADBC可对D选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．7.【答案】73【解析】解：∵xy=52，∴x=52y，∴x+yx−y =52y+y52y−y=73．故答案为：73．利用比例的性质计算即可得到答案．本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键．8.【答案】增大【解析】解：函数y=kx(k≠0)的图象经过第一、三象限，那么y的值随x的值增大而增大，故答案为：增大．根据正比例函数的性质进行解答即可．此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当k<0时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．9.【答案】a>2【解析】解：∵抛物线y=(a−2)x2在对称轴左侧的部分是下降的，∴抛物线开口向上，∴a−2>0，解得a>2．故答案为a>2．利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则a−2>0，然后解不等式即可．本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．10.【答案】(−1,−2)【解析】解：y=2x2+4x=2(x2+2x)=2(x+1)2−2，则二次函数图象的顶点坐标为：(−1,−2)．故答案为：(−1,−2)．直接利用配方法将原式变形，进而求出顶点坐标．此题主要考查了配方法求二次函数的顶点坐标，正确进行配方是解题关键．11.【答案】>【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0)，对称轴在y轴的左侧，∴当x=−1，y>0，∴f(−1)>0，故答案为>．根据图象可知当x=−1，y>0．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．12.【答案】0⃗【解析】解：如图，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． 故答案是：0⃗ ． 利用三角形法则解答．本题主要考查了平面向量，熟记三角形法则解题即可，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：∵∠AED =∠B.∠EAD =∠BAC ， ∴△ADE∽△ACB ， ∴AD AC=AEAB，即AD 6+2=612， ∴AD =4． 故答案为4．先证明∴△ADE∽△ACB ，然后利用相似比计算AD 的长．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．14.【答案】2【解析】解：以E 为圆心，CE 为半径画圆， ∵∠ACB =90°， ∴AB 是⊙E 的直径， ∵CE =12AB ， ∴点E 是AB 的中点， 连接DE ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CE =12AB ， ∴AE =BE ，∵CD =BD ， ∴DE 是Rt △ABC 的中位线， ∴DE =12AC ，DE//AC ， ∴△ACF∽△DEF ，∴EF CF=DE AC=12， ∵AB =6， ∴CE =12AB =3，∴CF =23CE =2， 故答案为：2．连接DE ，根据已知条件得到DE 是Rt △ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质得到DE =12AC ，DE//AC ，由相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理，正确的识别图形是解题的关键．15.【答案】m⋅tanαtanβ【解析】解：连接AD ，过点A 作AH ⊥CD 于点H ，则四边形ABDH 是矩形，∴AB =DH =m 米， 在Rt △ADH 中，∠DAH =β， ∴tanβ=DHAH ， ∴AH =m tanβ，在Rt △ACH 中，∠CAH =α， ∴CH =AH ⋅tanα=m tanβ⋅tanα=m⋅tanαtanβ(米)，答：两栋教学楼的高度差CH 为m⋅tanαtanβ米．故答案为：m⋅tanαtanβ．根据正切的定义分别求出DH 、CH ，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16.【答案】43【解析】解∵△ABC为等边三角形，∴AB=DC，∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠ADB=180°−60°=120°，∠ADE=60°，∵∠CDE+∠ADB=180°−60°=120°，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴ABDC =ADDE，∵BD：DC=1：2，∴BCCD =32，∴ABCD =32，∴32=2DE，∴DE=43．故答案为：43．由等边三角形的性质得出AB=DC，∠B=∠C=60°，证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得出ABDC =ADDE，则可求出答案．本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17.【答案】10【解析】解：在Rt△CBG中，sin∠GBC=√1010，∴设BC=√10x，CG=x，∴BG=√BC2−CG2=√10x2−x2=3x，∵小正方形EFGH的面积是4，∴FG=2，∴x+2=3x，∴x=1，∴BC=√10，∴大正方形ABCD的面积等于10，故答案为：10．设BC=√10x，CG=x，根据勾股定理得到BG=√BC2−CG2=√10x2−x2=3x，根据正方形的面积公式即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，正方形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．18.【答案】21：4【解析】解：如图，延长BC，AG交于点H，∵BE：EC=3：2，∴设BE=3x，EC=2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5x，AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，∴∠AEB=∠AEF，BE=EF=3x，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=5x，∴DF=2x，∵AD//BC，∴△ADF∽△HEF，∴ADEH =DFEF=AFFH，∴5xEH =23=AFFH，∴EH=15x2，AF=23FH，∴CH=EH−EC=112x，∵AD//BC，∴△ADG∽△HCG，∴ADCH =AGGH，∴5x112x=AGGH=1011，∴设AG=10y，GH=11y，∴AH=21y，∴AF=21y5×2=425y，∴FG=AG−AF=8y5，∴AF：FG=21：4，故答案为21：4．延长BC，AG交于点H，设BE=3x，EC=2x，由平行四边形的性质可得AD=BC=5x，AD//BC，由折叠的性质可得∠AEB=∠AEF，BE=EF=3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF=425y，FG=AG−AF=8y5，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．19.【答案】解：原式=√32−2×(√22)2+2×√32+1=√32−2×12+√3+1=√32−1+√3−1=3√32−2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．20.【答案】4b ⃗ −32a ⃗ +3b ⃗【解析】解：(1)∵AB//DE ， ∴AGGC =BEEC =12， ∵BE =2， ∴EC =4， ∵AC//DF ， ∴DG GE =CF EC=12，∴CF =2，∴BF =BE +EC +CF =2+4+2=8．(2)∵AB//DE ， ∴AGGC =BEEC =12， ∵AC//DF ， ∴DGGE =CFEC =12， ∴EC =2BE =2CF ， ∴BF =4BE ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4b ⃗ ，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ ， ∵CG//DF ，∴CG ：DF =EG ：ED =2：3， ∴DF =32GC ，∵GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +2b ⃗ ， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32a ⃗ +3b ⃗ ．故答案为：4b ⃗ ，−32a ⃗ +3b ⃗ ． (1)利用平行线分线段成比例定理求出EC ，CF 即可．(2)证明BF =4BE ，DF =32GC ，利用三角形法则求出GC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可解决问题． 本题考查相似三角形的性质，平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)∵横坐标为3的点A在反比例函数y=6x的图象上，∴y=63=2，∴点A的坐标为(3,2)，∴2=3k−1，∴k=1，∴一次函数的解析式为y=x−1；(2)设点B(m,m−1)，则点C(12m,m−1)，∵点C在反比例函数y=6x的图象上，∴12m(m−1)=6，解得m1=4，m2=−3，∵点B在第一象限∴点B的坐标为(4,3)．【解析】(1)把点A的横坐标代入直线解析式y=6x，可求得点A的纵坐标，把点A的横纵坐标代入y=kx−1，即可求得所求的一次函数解析式；(2)设点B(m,m−1)，则点C(12m,m−1)，代入y=6x即可求得m的值，从而求得B的坐标．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．求出反比例函数的解析式是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵AB2=BD⋅BC，∴ABBD =BCAB，又∵∠ABD=∠ABC，∴△ABD∽△CBA，∴∠BAD=∠C，∵D在边AB的垂直平分线上，∴BD=AD，∴∠B=∠C；(2)解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=2√10，BC=10，AB2=BD⋅BC，∴(2√10)2=BD×10，∴BD=4，∴AD=4，DC=6，∵∠B=∠C，∴AC=AB=2√10，设DE=x，则CE=6−x，∵AD2−DE2=AE2，AC2−CE2=AE2，∴42−x2=(2√10)2−(6−x)2，解得x=1，∴DE=1，∴cos∠ADC=DEAD =14．【解析】(1)证明△ABD∽△CBA，由相似三角形的性质得出∠BAD=∠C，由中垂线的性质得出BD=AD，可得出∠BAD=∠B，则可得出结论；(2)过点A作AE⊥BC于点E，求出BD=4，设DE=x，则CE=6−x，由勾股定理得出42−x2=(2√10)2−(6−x)2，解方程求出DE=1，则可得出答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，中垂线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵AE⊥BD，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵∠ABD=∠C，∴AEDF =ABDC，∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△ABD∽△DCB，∴ABDC =BDBC，∴AEDF =BDBC；(2)证明：∵∠ADB=∠DBF，∠ADB=∠BDF，∠BFD=90°，∴∠DBF=∠BDF，∴∠DBF=ADE=45°，∴△AED和△BFD都是等腰直角三角形，∴ADDE =BDDF=√2，又∵∠ADE=∠BDF，∴△ADB∽△EDF，∴∠ABD=∠EFD，∵∠ABD=∠C，∴∠EFD=∠C，∵∠EDF=∠DBC，∴△EDF∽△DBC，∴DFBC =EFDC，∴DF⋅DC=EF⋅BC．【解析】(1)证明△ABD∽△DCB，由相似三角形的性质得出ABDC =BDBC，证明△ABD∽△DCB，由相似三角形的性质得出ABDC =BDBC，则可得出结论；(2)证明△ADB∽△EDF，由相似三角形的性质得出∠ABD=∠EFD，证明△EDF∽△DBC，得出DFBC =EFDC，则可得出结论．本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)当x =0时，y =1，∴A(0,1)，设抛物线的解析式为：y =a(x −2)2−1，把A(0,1)代入得：1=a(0−2)2−1，∴a =12，∴抛物线的表达式为：y =12(x −2)2−1；(2)①如图1，∵A(0,1)，B(2,−1)，∴∠BAO =45°，∵∠CAB =90°，∴∠CAO =45°，∴OC =OA =1，∴C(−1,0)，设AC 的解析式为：y =kx +b ，则{−k +b =0b =1，解得：{k =1b =1， ∴AC 的解析式为：y =x +1，则{y =x +1y =12(x −2)2−1，解得：{x 1=0y 1=1或{x 2=6y 2=7， ∴D(6,7)；②∵A(0,1)，B(2,−1)，同理得AB的解析式为：y=−x+1，∴Q(1,0)，∴CQ=2，BC=√32+12=√10，∵D(6,7)，A(0,1)，∴AD=√62+(7−1)2=6√2，如图2，同理得：BD的解析式为：y=2x−5，由平移得：AP//BD，则AP的解析式为：y=2x+1，∴∠PAD=∠ADB，∵tan∠BCQ=13=ABAD=tan∠ADB，∴∠PAD=∠BCQ，设抛物线平移后的顶点为B′，P(m,2m+1)，则AP=√5m，B′(m+2,2m−1)，∵抛物线y=ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上，∴0≤m≤4，如果△ADP与△CBQ相似，有以下两种情况：i)当APCQ =ADBC时，即√5m2=√210，解得：m=2.4，∴P(2.4,5.8)；ii)当APBC =ADCQ时，即√5m10=6√22，解得：m =6(不符合题意，舍去)，综上，P(2.4,5.8)．【解析】(1)先令x =0可得y =1，得点A 的坐标，根据抛物线的顶点B(2,−1)，利用待定系数法可得抛物线的表达式；(2)①根据点A 和B 的坐标得∠BAO =45°，所以∠CAO =45°，可知△ACO 是等腰直角三角形，可得C 的坐标，从而得AC 的解析式，联立方程组可得直线AC 与抛物线的交点D 的坐标；②先证明∠PAD =∠ADB =∠BCQ ，设P(m,2m +1)，根据平移后B 的对称点B′在线段BD 上可知0≤m ≤4，如果△ADP 与△CBQ 相似，存在两种情况：AP CQ =AD BC 或AP BC =ADCQ ，列方程可得结论．本题是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，两点的距离公式，相似三角形的性质和判定，平移的性质等知识，解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度． 25.【答案】(1)证明：如图1中，∵AE ⊥AF ，∴∠EAF =90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAD =∠ADC =∠ADF =90°，∵∠BAD =∠EAF =90°，∴∠BAE =∠DAF ，∵∠B =∠ADF ，∴△ABE∽△ADF ，∴AD AB =DF BE ．(2)解：如图1中，过点G 作GN ⊥BC 于N 交AD 于M ，则四边形MNCD 是矩形．∵AD AB =DF BE ，∴31=DFx ，∴DF =3x ，CF =3x +1，∵GN//CF ，∴△ENG∽△ECF ， ∴EN EC =GN CF =EG EF =23， ∴EN =23(3−x)，GN =23(1+3x)，∴GM =GN −MN =23(1+3x)−1=2x −13，DM =CN =EC −EN =3−x −23(3−x)=13(3−x)，∴cot∠ADG =DM GM =13(3−x)2x−13=3−x 6x−1．(3)如图2中，过点G 作GH ⊥CD 于H ．∵∠AFE =∠DGF ，∴AF//DG ，∴∠FAD =∠ADG ，∵AD//GH ，∴∠ADG =∠DGH ，∴∠FAD =∠DGH ，∵GH//EC ，∴△FGH∽△FEC ，∴GHEC =FHFC=FG FE =13， ∴GH =13(3−x)，FH =13(3x +1)，∴DH =FH −DF =13(3x +1)−3x =13−2x ，∵tan∠FAD =tan∠DGH ，∴3x3=13−2x 13(3−x)，整理得，x 2−9x +1=0，解得x =9−√772或9+√772(舍弃)，经检验x =9−√772是分式方程的解， ∴BE =9−√772．【解析】(1)证明△ABE∽△ADF，可得结论．(2)如图1中，过点G作GN⊥BC于N交AD于M，则四边形MNCD是矩形．用x表示出GM，DM即可解决问题．(3)如图2中，过点G作GH⊥CD于H.证明∠FAD=∠DGH，可得tan∠FAD=tan∠DGH，由此构建方程求解即可．本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

2020-2021学年上海市嘉定区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市嘉定区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市嘉定区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（共6小题）.1．如果实数a，b，c，d满足＝，下列四个选项中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，3），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么tanα的值是（）A．B．C．D．33．抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）4．已知单位向量与非零向量，，下列四个选项中，正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，下列四个选项中，不正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（）A．m＜0，k＜0B．m＜0，k＞0C．m＞0，k＞0D．m＞0，k＞0二、填空题（共12小题）.7．正方形的边长与它的对角线的长度的比值为．8．已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AP＞BP，那么AP：AB的比值为．9．如图，点D在△ABC的AB边上，当＝时，△ACD与△ABC相似．10．已知向量关系式2+6（﹣）＝，那么向量＝（用向量与向量表示）．11．如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么∠APB的度数为°．12．已知一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角的度数是度．13．如果抛物线y＝（2a﹣1）x2的开口向下，那么实数a的取值范围是．14．二次函数y＝（x+1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标为．15．如果抛物线y＝（x+m）2+k﹣2的顶点在x轴上，那么常数k为．16．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，那么2a+b0．（从＜，＝，＞中选择）17．如图，正方形ABEF和正方形BCDE的边长相等，点A、B、C在同一条直线上，联结AD、BD，那么cot∠ADB的值为．18．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为．三、解答题（共7题，满分78分）19．计算：2sin45°+2sin60°﹣tan60°•tan45°．20．我们已经知道二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，研究二次函数的图象与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示．（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．21．如图，已知AC与BD相交于点O，联结AB．（1）如果AD∥BC，S△AOD＝4，S△BOC＝9，求：S△ABO；（2）分别将△AOD、△AOB、△BOC记为S1、S2、S3，如果S2是S1与S3的比例中项，求证：AD∥BC．22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin B＝．（1）求边BC的长度；（2）求cos A的值．23．如图，已知矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB、AC上，△ABC的高AH交GF于点l．（1）求证：BD•EH＝DH•CE；（2）设DE＝n•EF（n为正实数），求证：＝．24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，2），点B（1，6），点C（1，4），如果抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由；（2）求常数a与b的值；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x轴平行的方向向右平移t（t＞0）个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点C（1，4），设这个新抛物线的顶点是D，试探究△ABD的形状．25．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在CD边上，tan∠EAD＝．点F是线段AE 上一点，联结BF，CF．（1）如图1，如果tan∠CBF＝，求线段AF的长；（2）如图2，如果CF＝BC，①求证：∠CFE＝∠DAE；②求线段EF的长．参考答案一、选择题（共6小题）.1．如果实数a，b，c，d满足＝，下列四个选项中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：A、∵＝，∴＝，故选项正确；B、当a+b＝c+d＝0时，等式不成立，故选项错误；C、当b+d＝0时，等式不成立，故选项错误；D、无法得到＝，故选项错误．故选：A．2．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，3），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么tanα的值是（）A．B．C．D．3解：如图，过P点作P A⊥x轴于A，则∠POA＝α，∵点P的坐标为（1，3），∴OA＝1，P A＝3，∴tan∠POA＝＝＝3，即tanα＝3．故选：D．3．抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）解：∵抛物线y＝2x2﹣3，∴抛物线顶点坐标为（0，﹣3），故选：C．4．已知单位向量与非零向量，，下列四个选项中，正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝解：A、当单位向量与非零向量的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．B、当单位向量与非零向量的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．C、当单位向量与非零向量的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．D、＝，故本选项符合题意．故选：D．5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，下列四个选项中，不正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠B＝60°，∵CD⊥AB，∴∠BAC＝30°，∴BC＝2BD，设BD＝x，则BC＝2x，AB＝4x，∴AC＝＝2x，CD＝＝x，∵＝＝，∴A不合题意；∵＝＝，∴B符合题意；∴C不合题意；∵＝＝，∴D不合题意；故选：B．6．二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（）A．m＜0，k＜0B．m＜0，k＞0C．m＞0，k＞0D．m＞0，k＞0解：∵二次函数y＝a（x+m）2+k∴顶点为（﹣m，k），∵顶点在第四象限，∴﹣m＞0，k＜0，∴m＜0，k＜0，故选：A．二、填空题（共12小题）.7．正方形的边长与它的对角线的长度的比值为．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC＝BD，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝AB，故答案为：．8．已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AP＞BP，那么AP：AB的比值为．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AD＝AB，∴＝，故答案为：．9．如图，点D在△ABC的AB边上，当＝时，△ACD与△ABC相似．解：∵∠A＝∠A，∴当＝时，△ACD与△ABC相似，故答案为：．10．已知向量关系式2+6（﹣）＝，那么向量＝+（用向量与向量表示）．解：∵2+6（﹣）＝，∴＝+，故答案为：+．11．如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么∠APB的度数为60°．解：根据题意可知：∠P AB＝90°，∠B＝30°，∴∠APB＝90°﹣30°＝60°．故答案为：60．12．已知一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角的度数是30度．解：∵tanα＝1：＝，∴坡角＝30°．13．如果抛物线y＝（2a﹣1）x2的开口向下，那么实数a的取值范围是a．解：∵抛物线y＝（2a﹣1）x2的开口向下，∴2a﹣1＜0，即a＜．故答案为a＜．14．二次函数y＝（x+1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）．解：∵y＝（x+1）2﹣3，∴当x＝0时，y＝﹣2，即二次函数y＝（x+1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．15．如果抛物线y＝（x+m）2+k﹣2的顶点在x轴上，那么常数k为2．解：∵抛物线y＝（x+m）2+k﹣2的顶点在x轴上，∴k﹣2＝0，解得：k＝2，故答案为：2．16．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，那么2a+b＝0．（从＜，＝，＞中选择）【解答】解∵对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，故答案为＝．17．如图，正方形ABEF和正方形BCDE的边长相等，点A、B、C在同一条直线上，联结AD、BD，那么cot∠ADB的值为3．解：连接BF交AD于G，设正方形的边长为a，∴BD＝BF＝a，∵AB∥DF，∴△ABG∽△DFG，∴＝，∴BG＝BF＝a，∴cot∠ADB＝＝＝3，故答案为：3．18．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为2或6．解：分两种情况：①当点B'在线段AC上时，△AA′C为直角三角形，∵∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝，∴BC＝AB×＝10×＝2，∴B'C＝2，AC＝＝4，∴AB'＝AC﹣B'C＝﹣2＝2；②当点B'在线段AC的延长线上时，△AA′C为直角三角形，同理可得，B'C＝2，AC＝4，∴AB'＝AC+B'C＝+2＝6；综上所述，点A与点B'的距离为2或6．故答案为：2或6．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：2sin45°+2sin60°﹣tan60°•tan45°．解：原式＝2×+2×﹣×1＝+﹣＝．20．我们已经知道二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，研究二次函数的图象与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示．（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．解：（1）由图象可得，该函数图象的对称轴是直线x＝2；抛物线开口向下；抛物线有最高点，最高点的坐标为（2，7）；当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小；（2）依据目前的信息，不可以求出这个二次函数的解析式，补充条件，点C的坐标为（0，3），设该函数解析式为y＝a（x﹣2）2+7，则3＝a（0﹣2）2+7，解得a＝﹣1，即该函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+7．21．如图，已知AC与BD相交于点O，联结AB．（1）如果AD∥BC，S△AOD＝4，S△BOC＝9，求：S△ABO；（2）分别将△AOD、△AOB、△BOC记为S1、S2、S3，如果S2是S1与S3的比例中项，求证：AD∥BC．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝（）2，即（）2＝，解得，＝，∴＝＝，即＝，解得，S△ABO＝6；（2）证明：∵S2是S1与S3的比例中项，∴＝，∴＝，∴AD∥BC．22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin B＝．（1）求边BC的长度；（2）求cos A的值．解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝10，∴BC＝2BD，在Rt△ABD中，∵sin B＝，∴AD＝AB sin B＝10×＝8，∴BD＝＝＝6，则BC＝2BD＝12；（2）如图，过B作BH⊥AC于H，∵S△ABC＝AC•BH＝BC•AD，∴BH＝＝＝，∴AH＝＝＝，∴cos∠BAC＝＝＝．23．如图，已知矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB、AC上，△ABC的高AH交GF于点l．（1）求证：BD•EH＝DH•CE；（2）设DE＝n•EF（n为正实数），求证：＝．【解答】（1）证明：∵四边形DEFG是矩形，∴GD⊥BC，FE⊥BC，DG＝EF，∵AH⊥BC，∴GD∥AH∥FE，∴△BDG∽△ABH，△FEC∽△ACH，∴＝＝，＝＝，∵GD＝FE，∴＝，∴BD（CE+EH）＝CE（BD+DH），∴BD•EH＝DH•CE；（2）证明：∵DF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴+＝+＝＝1，∵GF＝DE＝n•EF，∴+＝1，∴＝．24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，2），点B（1，6），点C（1，4），如果抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由；（2）求常数a与b的值；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x轴平行的方向向右平移t（t＞0）个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点C（1，4），设这个新抛物线的顶点是D，试探究△ABD的形状．解：（1）抛物线与y轴的交点记作点E，针对于抛物线y＝ax2+bx+3，当x＝0时，y＝3，∴抛物线与y轴的交点E的坐标为（0，3），∵点B（1，6），点C（1，4），∴BC∥y轴，∴抛物线y＝ax2+bx+3经过点B、C两点中其中的一点，而点A（﹣1，2），E（0，3），C（1，4），∴点A，E，C从左到右，横坐标依次增加1，纵坐标也依次增加1，∴点A，E，C再同一条直线上，∴点C不在物线y＝ax2+bx+3上，即抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C之中的A、B两个点；（2）将点A（﹣1，2）、B（1，6）代入抛物线y＝ax2+bx+3中，得，∴，即a，b的值分别为1，2；（3）由（2）知，a＝1，b＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，由平移得，平移后新抛物线的解析式为y＝（x+1﹣t）2+2﹣2，即新抛物线的解析式为y＝（x+1﹣t）2，∵抛物线经过点C（1，4），∴4＝（1+1﹣t）2，∴t＝0（舍）或t＝4，∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2，∴顶点D（3，0），∵点A（﹣1，2）、B（1，6），∴AB＝＝2，AD＝＝2．BD＝＝2，∴AB＝AD，AB2+AD2＝20+20＝40＝BD2，∴△ABD是等腰直角三角形．25．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在CD边上，tan∠EAD＝．点F是线段AE 上一点，联结BF，CF．（1）如图1，如果tan∠CBF＝，求线段AF的长；（2）如图2，如果CF＝BC，①求证：∠CFE＝∠DAE；②求线段EF的长．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC＝∠ABC＝90°，过点F作FG⊥AB于G，∴AD∥GF∥BC，∴∠DAE＝∠AFG，∵tan∠EAD＝，∴tan∠AFG＝，在RtAGF中，tan∠AFG＝＝，设AG＝m，则FG＝2m，∵FG∥BC，∴∠BFG＝∠CBF，∵tan∠CBF＝，∴tan∠BFG＝，在RtBGF中，tan∠BFG＝＝，∴，∴BG＝m，∵AB＝AG+BG＝6，∴m+m＝6，∴m＝，∴AG＝，FG＝2m＝，根据勾股定理得，AF＝＝＝；（2）①如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6，∠D＝90°，在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝，∴DE＝AD＝×8＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2，延长AE，BC相交于点H，∵AD∥BC，∴△ADE∽△HCE，∴，∴，∴CH＝4，∵CF＝BC＝4，∴CF＝CH，∴∠H＝∠CFE，∵AD∥BC，∴∠H＝∠DAE，∴∠CFE＝∠DAE；②如图3，过点F作FP⊥CD于P，∴AD∥FP，∴∠PFE＝∠DAE，∵tan∠DAE＝，∴tan∠PFE＝，在Rt△EPF中，tan∠PFE＝＝，设PE＝n，则PF＝2n，由①知，CE＝2，∴CP＝n+2，在Rt△CPF中，CF＝4，根据勾股定理得，CF2＝PF2+CP2，∴42＝（2n）2+（n+2）2，∴n＝﹣2（舍）或n＝，∴PE＝，PE＝2n＝，根据勾股定理得，EF＝＝＝．。

2020-2021学年上海市奉贤区九年级(上)期末数学试卷(一模)(附解析)

2020-2021学年上海市奉贤区九年级(上)期末数学试卷(一模)(附解析)

2020-2021学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.将抛物线y=2x2向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是()A. y=2x2−1B. y=2x2+1C. y=2(x+1)2D. y=2(x−1)22.下列两个图形一定相似的是()A. 两个菱形B. 两个正方形C. 两个矩形D. 两个梯形3.已知a⃗、b⃗ 和c⃗都是非零向量，下列结论中不能确定a⃗//b⃗ 的是()A. |a⃗|=|b⃗ |B. 2a⃗=3b⃗C. a⃗//c⃗，c⃗//b⃗D. a⃗=12c⃗，b⃗ =3c⃗4.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=3，cosA=34，那么AB的长为()A. 94B. 4 C. 5 D. 2545.如果⊙O1和⊙O2内含，圆心距O1O2=4，⊙O1的半径长是6，那么⊙O2的半径r的取值范围是()A. 0<r<2B. 2<r<4C. r>10D. 0<r<2或r>106.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=3AD，对角线AC、BD交于点O，EF是梯形ABCD的中位线，EF与BD、AC分别交于点G、H，如果△OGH的面积为1，那么梯形ABCD的面积为()A. 12B. 14C. 16D. 18二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果2a=5b，那么ab=______ ．8.如果4是a与8的比例中项，那么a的值为______ ．9.如果二次函数y=mx2+2x+m−1的图象经过点P(1,2)，那么m的值为______ ．10.如果二次函数y=(x−1)2的图象上有两点(2,y1)和(4,y2)，那么y1______ y2(填“>”、“=”或“<”)．11.如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为______ ．12.如果两个相似三角形的周长之比为1：4.那么这两个三角形对应边上的高之比为______ ．13.已知点P是线段AB上的点，且BP2=AP⋅AB，如果AB=2cm，那么BP=______cm．14.已知某斜坡的坡度i=1：3，当铅垂高度为3米时，水平宽度为______ 米.15.如果点G是△ABC的重心，且AG=6，那么BC边上的中线长为______ ．16.如图，已知点D在△ABC的边BC上，联结AD，P为AD上一点，过点P分别作AB、AC的平行线交BC于点E、F，如=______ ．果BC=3EF，那么APPD17.当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线.如果抛物线C1：y=x2−2x与抛物线C2是关于直线x=−1的对称曲线，那么抛物线C2的表达式为______ ．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，点B落在点E处，联结DE，那么∠AED的正切值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.已知a：b=2：3，b：c=3：4，且2a+b−c=6，求a、b、c的值．20. 如图，已知抛物线y =−x 2+ax +3与y 轴交于点A ，且对称轴是直线x =1．(1)求a 的值与该抛物线顶点P 的坐标；(2)已知点B 的坐标为(1,−2)，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 如图，在△ABC 中，AB =AC =√5，BC =2.过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ．(1)求cos∠ACB 的值；(2)点E 是BD 延长线上一点，联结CE ，当∠E =∠A 时，求线段CE 的长．22.如图1是一个手机的支架，由底座、连杆AD、BC、CD和托架组成(连杆AB、BC、CD始终在同一平面内)，连杆AB垂直于底座且长度为8.8厘米，连杆BC的长度为10厘米，连杆CD的长度可以进行伸缩调整．(1)如图2，当连杆AB、BC在一条直线上，且连杆CD的长度为9.2厘米，∠BCD=143°时，求点D到底座的高度(计算结果保留一位小数)．(2)如图3，如果∠BCD=143°保持不变，转动连杆BC，使得∠ABC=150°，假如AD//BC时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆CD的长度(计算结果保留一位小数)．(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，cot53°≈0.75)23.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠DCB，联结AC，点E在边BC上，且∠CDE=∠CAD，DE与AC交于点F，CE⋅CB=AB⋅CD．(1)求证：AD//BC；(2)当AD=DE时，求证：AF2=CF⋅CA．x2+bx+c与x轴正半轴交于点24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12A(4,0)，与y轴交于点B(0,2)，点C在该抛物线上且在第一象限．(1)求该抛物线的表达式；(2)将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD=3BD时，求m的值；(3)联结BC，当∠CBA=2∠BAO时，求点C的坐标．25.已知⊙O的直径AB=4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点(点C不与点A、P重合)，联结BC交PA、PO于点D、E．(1)如图，当cos∠CBO=7时，求BC的长；8(2)当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；(3)当AD=2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=2x2向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=2(x+1)2，故选：C．根据“左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．2.【答案】B【解析】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；C、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；D、两个梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；故选：B．根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：A、由|a⃗|=|b⃗ |只能推知a⃗与b⃗ 的模相等，无法推知这两个向量的方向，无法确定a⃗//b⃗ ，故本选项符合题意．B、由2a⃗=3b⃗ 可以确定a⃗与b⃗ 的方向相同，可以确定a⃗//b⃗ ，故本选项不符合题意．C、由a⃗//c⃗，c⃗//b⃗ 可以确定a⃗、b⃗ 和c⃗的方向相同，则确定a⃗与b⃗ 的方向相同，可以确定a⃗//b⃗ ，故本选项不符合题意．c⃗，b⃗ =3c⃗可以确定a⃗、b⃗ 和c⃗的方向相同，则确定a⃗与b⃗ 的方向相同，可以确D、由a⃗=12定a⃗//b⃗ ，故本选项不符合题意．故选：A．根据平行向量的定义判断即可．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=34，则ACAB =34，即3AB=34，解得，AB=4，故选：B．根据余弦的定义列式计算即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据题意两圆内含，故知r−6>4或者6−r>4，解得0<r<2或r>10．故选：D．首先由题意知⊙O1与⊙O2两圆内含，则知两圆圆心距d<R−r，分两种情况进行讨论．本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．两圆外离，则P>R+r；外切，则P=R+r；相交，则R−r<P<R+r；内切，则P=R−r；内含，则P<R−r．6.【答案】C【解析】解：∵AD//BC，EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=12(AD+BC)，EF//AD=BC，∵BC=3AD，设AD=x，则BC=3AD=3x，EF=2x，∵EF//AD，且E，F为AB，DC的中点，∴EG=12AD=12x，FH=12AD=12x，∴GH=x，∵GH//BC，∴△OGH∽△OBC，∴S△OGHS△OBC =(GHBC)2=x2(3x)2=19，∵△OGH的面积为1，∴S△OBC=9，同理，△OAD∽△OBC，∴S△OADS△OBC =19，∴S△OAD=1，∵OB=3OD，∴S△AOB=3S△AOD=3，∵OC=3OA，∴S△COD=3S△AOD=3，∴梯形ABCD的面积为：9+1+3+3=16．故选：C．根据梯形中位线定理可得EF=12(AD+BC)，EF//AD=BC，根据BC=3AD，设AD=x，则BC=3AD=3x，EF=2x，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△OBC=9，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得△AOB和△DOC的面积，进而可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形，梯形中位线定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．7.【答案】52【解析】解：∵2a=5b，∴ab =52．故答案为：52．根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”即可变形得出a与b的比．此题考查了比例的基本性质的应用，是基础题，比较简单．8.【答案】2【解析】解：∵4是a与8的比例中项，∴a：4=4：8，∴8a=16，解得a=2．故答案为：2．先根据比例中项的定义列出比例式，再利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．本题主要考查了比例线段，关键是学生对比例中项这一知识点的理解和掌握，属于基础题，难度适中．9.【答案】12【解析】解：∵二次函数y=mx2+2x+m−1的图象经过点P(1,2)，∴m+2+m−1=2，，解得m=12．故答案为：12将点P(1,2)代入二次函数解析式，列方程求m即可．此题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，点的坐标适合解析式是解题的关键．10.【答案】<【解析】解：∵二次函数的解析式为y=(x−1)2，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵2<4，∴y1<y2．故选：<．根据二次函数的性质即可判断y1、y2的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质上解题的关键．11.【答案】x(17−3x)=24【解析】解：设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为(17−3x)米，根据题意，得x(17−3x)=24．故答案是：x(17−3x)=24．设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为(17−3x)米，根据长方形的面积公式列出方程即可．本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．12.【答案】1：4【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：4，∴这两个三角形的相似比为1：4，∴两个相似三角形对应边上的高之比1：4；故答案为：1：4．根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．13.【答案】√5−1【解析】【分析】此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解决问题的关键．根AB，代入数据即可得出BP的长度．据黄金分割点的定义，可得BP=√5−12【解答】解：∵点P在线段AB上，BP2=AP⋅AB，∴点P为线段AB的黄金分割点，AB=2cm，=(√5−1)cm．∴BP=2×√5−12故答案为：(√5−1)．14.【答案】9=1：3，铅垂高度=3米【解析】解：∵斜坡的坡度i=铅直高度水平宽度∴水平宽度=3×铅垂高度=3×3=9(米)，故答案为：9．直接利用坡度的定义进行解答即可．本题考查了解直角三角形的应用−坡度问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．15.【答案】9【解析】解：延长AG交BC于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴DG=12AG=12×6=3，AD为BC边上的中线，∵AD=AG+DG=6+3=9，∴BC边上的中线长为9．故答案为9．延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得DG=12AG=3，AD为BC边上的中线，然后AG+DG即可．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．16.【答案】2【解析】解：∵PE//AB，PF//AC，∴PDAD =DEBD=DFCD=DE+DFBD+CD=EFBC=13，∴AD=3PD，∴APPD=2，故答案为：2．利用平行得出比例，进而利用比例性质解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．17.【答案】y=(x+3)2−1【解析】解：抛物线C1：y=x2−2x=(x−1)2−1，其顶点坐标是(1,−1)．∴点(1,−1)关于直线x=−1对称的点的坐标为(−3,−1)．∵抛物线C1：y=x2−2x与抛物线C2是关于直线x=−1对称，∴抛物线C2的顶点坐标是(−3,−1)，其开口方向与大小均与抛物线C1一致，∴抛物线C2的表达式为y=(x+3)2−1．故答案是：y=(x+3)2−1．根据题意知，抛物线C1与抛物线C2的开口方向、大小均一致，且顶点坐标关于直线x=−1对称，据此解答．本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．解题的关键是根据题意得到抛物线C2的顶点坐标是(−3,−1)．18.【答案】37【解析】解：如图，设点C落在射线CD上的点C′处，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√9+16=5，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=∠DCB=45°，∵将Rt△ABC绕点A旋转，∴∠ACD=∠AC′C=45°=∠DCB，∠EAB=∠CAC′，∴∠CAC′=90°=∠EAB，∴AC′//BC，∴ADDB =AC′BC=34，∴AD=157，∴tan∠AED=ADAE =37，故答案为：37．设点C落在射线CD上的点C′处，由勾股定理可求AB=5，由旋转的性质可得∠ACD=∠AC′C=45°=∠DCB，∠EAB=∠CAC′，由平行线分线段成比例可求AD的长，即可求解．本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．19.【答案】解：∵a：b=2：3，b：c=3：4，∴设a=2k，b=3k，c=4k(k≠0)，∵2a+b−c=6，∴4k+3k−4k=6，∴k=2，∴a =2k =2×2=4，b =3k =3×2=6，c =4k =4×2=8．【解析】根据已知条件设a =2k ，b =3k ，c =4k(k ≠0)，再根据2a +b −c =6，求出k 的值，从而得出a 、b 、c 的值．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵抛物线y =−x 2+ax +3的对称轴是直线x =1．∴−a 2×(−1)=1， ∴a =2，∴抛物线为y =−x 2+2x +3，∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴顶点P 的坐标为(1,4)；(2)∵抛物线y =−x 2+ax +3与y 轴交于点A ，∴A(0,3)，∵P(1,4)，B(1,−2)，∴PB//OA ，PB =2OA ，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ ，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +b ⃗ ．【解析】(1)利用对称轴公式即可求得a 的值，然后把解析式化成顶点式，即可求得P 的坐标；(2)有P 、B 的坐标可知PB//OA ，PB =2OA ，即可得出PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ ，从而得到OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +b ⃗ ．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，向量的加、减法的运算法则，熟练掌握二次函数的性质上解题的关键． 21.【答案】解：(1)过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，∵AB =AC =√5，BC =2．∴BF =FC =12BC =1，在Rt △ACF 中，cos∠ACB =CFAC =√5=√55；(2)∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，在Rt△BDC中，∴cos∠ACB=CDBC，∴CD=BC⋅cos∠ACB=2×√55=2√55，BD=√BC2−CD2=√4−45=4√55，又∵∠A=∠E，∠ADB=∠EDC=90°，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC =BDCD=21，∴EC=12AB=√52，答：EC的长为√52．【解析】(1)通过作高，构造直角三角形，利用锐角三角函数可求出答案；(2)在Rt△BDC中，由锐角三角函数求出CD，由勾股定理求出BD，再利用三角形相似即可求出答案．本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质以及相似三角形等知识，构造直角三角形是解决问题的关键．22.【答案】解：(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，如图2，∵∠BCD=143°，∴∠ECD=37°，∴∠EDC=53°，∴EC=CD×45=7.36(cm)，∴AE=AB+BC+CE=8.8+10+7.36=26.16≈26.2(cm)，∴D到底座高度为26.2cm；(2)作BE⊥AD于点E，CF⊥CD于点F，如图3，∵∠ABC=150°，BC//AD，∴∠BAE=30°，∴BE=12AB=4.4(cm)，∴CF=BE=4.4cm，∴CD=CF×53≈7.3(cm)，∴CD的长度为7.3cm．【解析】(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，解直角三角形求出EC即可解决问题；(2)作BE⊥AD于点E，CF⊥CD于点F，解直角三角形求出CF、CD即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23.【答案】证明：(1)∵CE⋅CB=AB⋅CD，∴ABEC =BCDC，又∵∠B=∠DCB，∴△ABC∽△ECD，∴∠CDE=∠ACB，∵∠CDE=∠CAD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD//BC；(2)∵AD//BC，∴∠ADF=∠DEC，在△ADF和△DEC中，{∠DAC=∠CDE AD=DE∠ADF=∠DEC，∴△ADF≌△DEC(ASA)，∴AF =CD ，∵∠CDE =∠DAC ，∠DCA =∠DCF ，∴△ADC∽△DFC ，∴CD AC =CF CD ，∴CD 2=CF ⋅CA ，∴AF 2=CF ⋅CA ．【解析】(1)通过证明△ABC∽△ECD ，可得∠CDE =∠ACB =∠CAD ，可得结论；(2)由“ASA ”可证△ADF≌△DEC ，可得AF =CD ，通过证明△ADC∽△DFC ，可得CD AC =CF CD ，可得结论． 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AF =CD 是本题的关键．24.【答案】解：(1)把点A(4,0)和点B(0,2)代入抛物线y =−12x 2+bx +c 中得： {−12×16+4b +c =0c =2， 解得：{b =32c =2， ∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+32x +2；(2)如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于G ，∴DG//OB ，∴△ADG∽△ABO ，∴AD AB =DG OB =AGOA ，∵AD =3BD ，∴OG =3AG ，∵A(4,0)，B(0,2)，∴OA =4，OB =2，∴OG =3，DG =12， ∵D(3,12)， 由平移得：点C 的横坐标为3，当x =3时，y =−12×9+32×3+2=2，∴m =2−12=32；(3)∵∠CBA =2∠BAO ，点C 在该抛物线上且在第一象限，∴点C 在AB 的上方，如图2，过A 作AF ⊥x 轴于A ，交BC 的延长线于点F ，过B 作BE ⊥AF 于点E ，∴BE//OA ，∴∠BAO =∠ABE ，∵∠CBA =2∠BAO =∠ABE +∠EBF ，∴∠FBE =∠ABE ，∵∠BEF =∠AEB =90°，∴∠F =∠BAF ，∴AB =BF ，∴AE =EF =OB =2，∴F(4,4)，设BF 的解析式为：y =kx +n ，则{4k +n =4n =2， 解得：{k =12n =2， ∴BF 的解析式为：y =12x +2，∴{y =12x +2y =−12x 2+32x +2，解得{x =0y =2或{x =2y =3， ∴C(2,3)．【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式即可；(2)如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于G ，利用平行证明△ADG∽△ABO ，列比例式可以计算OG 和DG 的长，从而得D(3,12)，最后由平移的性质可得m 的值； (3)如图2，作辅助线，构建等腰△ABF ，确定点F 的坐标，计算BF 的解析式，联立抛物线和BF 的解析式，方程组的一个解就是点C 的坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求抛物线和一次函数的解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用数形结合的思想解决数学问题． 25.【答案】解：(1)解法一：如图1，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，∴BG =12BC ，∵AB =4，∴OB =2，∵cos∠CBO =78=BG OB ，∴BG =74，∴BC =2BG =72； 解法二：如图2，连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴cos∠ABC =BC AB =78，∴BC4=78，∴BC=72；(2)如图3，连接OC，∵∠P=∠P，△EDP与△AOP相似，∴△DPE∽△OPA，∴∠DPE=∠PAO，∵C是AP⏜的中点，∴∠AOC=∠COP，设∠ABC=α，则∠AOC=∠COP=2α，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=α，∵C是AP⏜的中点，∴OC⊥AP，∴∠PAO=90°−2α，∴∠DEP=∠OEB=90°−2α，在△OEB中，∠AOP=∠OEB+∠ABC，∴4α=90°−2α+α，∴α=18°，∴∠ABC=18°；(3)分两种情况：①如图4，当∠EOB=90°时，过D作DH⊥AB于H，∴DH//PO，第21页，共22页 ∴AD PD =AH OH ，∵AD =2PD ，∴AH =2HO ，∵AB =4，∴AH =43，OH =23，BH =83，∵AO =OP ，∠AOP =90°，∴∠A =45°，∴AH =DH =43，∵OE//DH ，∴OE DH =OB BH ，即OE 43=283， ∴OE =1，∴S 四边形AOED =S △ABD −S △OEB=12×4×43−12×2×1 =8−1 =53；②如图5，当∠OEB =90°时，连接AC ，∵∠C =∠OEB =90°，∴AC//OE ，CE =BE ，∵AD =2DP ，同理得AC =2PE ，∵AO =BO ，∴AC =2OE ，∴OE =PE =12OP ，∴AC =12AB ，第22页，共22页 ∴∠ABC =30°，∵AB =4，∴OB =2=AC ，OE =1，BE =√3，BC =√42−22=2√3，∴CE =√3，∵AC//PE ，∴CD DE =AD DP =2，∵CD +DE =√3，∴CD =2√33， ∴S 四边形AOED =S △ABC −S △OEB −S △ACD=12×2×2√3−12×1×√3−12×2×2√33 =5√36． 综上，四边形AOED 的面积是53或5√36．【解析】(1)解法一：如图1，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，根据垂径定理和余弦的定义可得BC 的长；解法二：如图2，连接AC ，根据圆周角定理可得∠ACB =90°，根据cos∠CBO =78可得BC 的长；(2)如图3，如图3，连接OC ，根据题意可知：△EDP 与△AOP 相似只存在一种情况：△DPE∽△OPA ，得∠DPE =∠PAO ，设∠ABC =α，则∠AOC =∠COP =2α，在△OEB 中根据三角形外角的性质列方程可得结论；(3)当△BEO 为直角三角形时，∠OBE 不可能是直角，所以分两种情况：①如图4，当∠EOB =90°时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH ，OH ，BH 的长，根据面积差可得结论；②如图5，当∠OEB =90°时，连接AC ，证明∠ABC =30°，分别计算各边的长，根据面积差可得结论．本题是圆的综合题，考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，勾股定理，三角形和四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，所以中考压轴题．。

2020-2021学年上海市宝山区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市宝山区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.如果线段a=2cm，b=10cm，那么ab的值为()A. 15B. 5 C. 2 D. 122.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=12，则BC∶AC∶AB等于()A. 1∶2∶5B. 1∶√3∶√5C. 1∶√3∶2D. 1∶2∶√33.如图，AB//CD，AB=6，CD=9，AD=10，则OD的长为()A. 4B. 5C. 6D. 74.已知|a⃗|=1,|b⃗ |=3，而且b⃗ 和a⃗的方向相反，那么下列结论中正确的是()A. a⃗=3b⃗B. a⃗=−3b⃗C. b⃗ =3a⃗D. b⃗ =−3a⃗5.抛物线y=5x2+6向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为()A. y=5(x−3)2+6B. y=5x2C. y=5(x+3)2+6D. y=5x2+96.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是()A. c>0B. 2a+b=0C. b2−4ac>0D. a−b+c>0第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知2x=5y，那么xx+2y=______．8.线段长度为3cm和4cm的比例中项是______ cm．9.已知线段MN=2，点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，则MP=______．10.计算：3(a⃗−2b⃗ )−2(a⃗−3b⃗ )=______．11.已知等腰梯形的两底分别为4cm和6cm，将它的两腰分别延长6cm后可相交，那么此等腰梯形的腰长是______cm．12.如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是______(不写定义域)．13.抛物线y=−4(x+1)2+1的开口方向向______，对称轴是______，顶点的坐标是______．14.抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,4)，B(6,4)两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为______．15.如图，在△ABC在，DE//BC，ADDB =23，S△ADE=8，则四边形BDEC的面积为______ ．16.如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是______．17.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10√2米，背水坡CD的坡度i=1：√3，则背水坡的坡长CD为______米．18. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =10cm ，点D 为△ABC 内一点，∠BAD =15°，AD =6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点为点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为______cm ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：4cos 230°−cot45°tan60∘+2sin45∘．20. 如图，在△ABC 中，点E 在边AB 上，点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长交BC 于点D ．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示向量AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若∠B =∠ACE ，AB =6，AC =2√6，BC =9，求EG 的长．21.已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点(1,0)，(0,32).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线y=−12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．22.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于H，交AO于G，连接OH．(1)求证：AG⋅GO=HG⋅GD；(2)若AC=8，BD=6，求DG的长．23.如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°，A处高度为20m，C处高度为10m.求建筑物EF的高度(精确到1m)．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37≈0.75，√2≈1.4)24.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(1,0)，B(3,0)，C(0,6)三点．(1)求抛物线的解析式．(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25.已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P是边BC的中点，点D、E分别是射线AC、射线BA上一个动点，且∠DPE=90°，联结DE，设BE=x，CD=y．(1)如图1，当D、E分别在边AC、边BA上时，试求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．(2)若△BEP为等腰三角形，求出CD的长．(3)若△DEP与△ABC相似，求出AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】此题考查比例线段问题，关键是根据比例线段解答．根据比例线段计算即可．【解答】解：因为线段a=2cm，b=10cm，所以ab 的值=210=15，故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了锐角三角函数．根据正弦的定义和勾股定理可得比值．【解答】解：∵sinA=BCAB =12，∴设∠A的对边BC=x，则斜边AB=2x，根据勾股定理可得AC=√3x，∴BC:AC:AB=x:√3x:2x=1:√3:2．故选C．3.【答案】C【解析】解：∵AB//CD，∴△AOB∽△DOC，∴ABCD =AOOD，∵AB=6，CD=9，AD=10，∴69=10−ODOD，∴OD=6，故选：C．根据相似三角形的判定和性质列比例式即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的性质即可解决问题．本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：∵|a⃗|=1,|b⃗ |=3，而且b⃗ 和a⃗的方向相反，∴b⃗ =−3a⃗，故选：D．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先确定抛物线y=5x2+6的顶点坐标为(0,6)，再利用点平移的坐标特征得到点(0,6)平移后对应点的坐标为(3,6)，然后根据顶点式写出平移后的新抛物线的表达式．【解答】解：抛物线y=5x2+6的顶点坐标为(0,6)，点(0,6)向右平移3个单位长度后的对应点的坐标为(3,6)，所以平移后的新抛物线的表达式为y=5(x−3)2+6．故选：A．6.【答案】D【解析】解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c>0，正确；=1，得2a+b=0，正确；B、由已知抛物线对称轴是直线x=−b2aC、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2−4ac>0，正确；D、直线x=−1与抛物线交于x轴的下方，即当x=−1时，y<0，即y=a−b+c<0，故选：D．本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判断．在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．7.【答案】59【解析】解：∵2x=5y，∴设x=5a，则y=2a，那么xx+2y =5a5a+4a=59．故答案为：59．直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8.【答案】2√3【解析】解：设比例中项是xcm，则：3：x=x：4，x2=12，x=±2√3，∵线段是正值，∴负值舍去，故答案为：2√3．根据比例中项的概念，a：b=b：c，设比例中项是xcm，则列比例式可求．本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念，求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数是解答此题的关键．9.【答案】√5−1【解析】【分析】本题考查了黄金分割的概念；熟练掌握黄金分割值是解题的关键．根据黄金分割的概念得到MP=√5−12MN，把MN=2代入计算即可．解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，∴MP=√5−12MN=√5−12×2=√5−1；故答案为：√5−1．10.【答案】a⃗【解析】【分析】实数的运算法则同样适用于该题．考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题．【解答】解：3(a⃗−2b⃗ )−2(a⃗−3b⃗ )=3a⃗−3b⃗ −2a⃗+3b⃗=(3−2)a⃗+(−3+3)b⃗=a⃗．故答案是：a⃗．11.【答案】3【解析】解：如图，等腰梯形ABCD中，AD=4cm，BC=6cm，AE=DE=6cm，求AB、CD．∵AD//BC∴△EAD∽△EBC∴EAEB=ADBC∵AD=4cm，BC=6cm，AE=DE=6cm，EB=EA+AB ∴AB=CD=3cm．由AD//BC，可知△EAD∽△EBC，则EAEB =ADBC，根据AD=4cm，BC=6cm，AE=DE=6cm，EB=EA+AB，可求得AB=CD=3cm．根据等腰梯形的性质，结合相似三角形求解．12.【答案】S=−2x2+10x【解析】解：设平行于墙的一边为(10−2x)米，则垂直于墙的一边为x米，根据题意得：S=x(10−2x)=−2x2+10x，故答案为：S=−2x2+10x根据题意列出S与x的二次函数解析式即可．此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解本题的关键．13.【答案】下直线x=−1(−1,1)【解析】解：抛物线y=−4(x+1)2+1的开口方向、对称轴和顶点坐标是：开口向下，对称轴为直线x=−1，顶点(−1,1)．故答案为：下，直线x=−1，(−1,1)．利用a=−4得出图象的开口方向，再利用顶点式得出抛物线的对称轴和顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，正确利用顶点式得出函数顶点坐标是解题关键．14.【答案】y=14x2−x+1【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,4)，B(6,4)两点，∴抛物线的对称轴是直线x=6+(−2)2=2，即顶点坐标为(2,0)，设y=ax2+bx+c=a(x−2)2+0，把(−2,4)代入得：4=a(−2−2)2+0，解得：a=14，即y=14(x−2)2+0=14x2−x+1，故答案为：y=14x2−x+1．先根据点A、B的坐标求出对称轴，求出顶点坐标，设顶点式，把A点的坐标代入求出a，即可得出函数解析式．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质、用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出顶点坐标是解此题的关键．15.【答案】42【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．由于DE//BC ，则可判断△ADE∽△ABC ，根据相似的性质得S △ADES△ABC=(AD AB )2=425，则可计算出S △ABC =50，然后利用四边形BDEC 的面积=S △ABC −S △ADE 求解． 【解答】 解：∵ADDB =23， ∴AD AB=22+3=25， ∵DE//BC ， ∴△ADE∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC=(AD AB )2，即8S△ABC=425，∴S △ABC =50，∴四边形BDEC 的面积=S △ABC −S △ADE =50−8=42． 故答案为42．16.【答案】13【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．根据正方形的性质可得到△AME∽△CDE ，根据相似三角形的边对应边成比例，求得EH ，EF 的长，从而即可求得阴影部分的面积． 【解答】解：如图，过点E 作HF ⊥AB ，∵AM//CD，∴∠DCE=∠EAM，∠CDE=∠EMA，∴△AME∽△CDE，∴AM：DC=EH：EF=1：2，FH=AD=1，∴EH=13，EF=23．∴阴影部分的面积=S正方形ABCD −S△AME−S△CDE−S△MBC=1−112−13−14=13．故答案为13．17.【答案】20【解析】解：∵迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10√2米，∴AE=10√2×sin45°=10(米)，∵背水坡CD的坡度i=1：√3，∴tan∠C=DFFC =√3=√33，∴∠C=30°，则DC=2DF=2AE=20(米)，故答案为：20．由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α=45°，得出AE的长，利用背水坡CD的坡度i=1：√3得出∠C的度数，即可求解．此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．18.【答案】(10−2√6)【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED=∠ADG=45°，∠AFD=60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CF=AC−AF=10−2√6．【解答】解：过点A 作AG ⊥DE 于点G ，由旋转知：AD =AE ，∠DAE =90°，∠CAE =∠BAD =15°， ∴∠AED =∠ADG =45°， ∠AFD =∠AED +∠CAE =60°， 在Rt △ADG 中，AG =DG =√2=3√2，在Rt △AFG 中，GF =√3=√6，AF =2FG =2√6，∴CF =AC −AF =10−2√6， 故答案为：10−2√6．19.【答案】解：原式=4×(√32)2−13+2×√22=3+2=2√3−2√2．【解析】把30°、45°、60°角的各种三角函数值代入计算即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的各种三角函数值是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12(b ⃗ −a ⃗ )=12a ⃗ +12b ⃗ ，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +13b ⃗ ．(2)∵∠B =∠ACE ，∠CAE =∠BAC ， ∴△ACE∽△ABC ， ∴AEAC =ACAB ， ∴AE =4，此时AEAB =23=AGAD ，∵∠EAG =∠BAD ， ∴△AEG∽△ABD ，∴EG =23BD =13BC =3．【解析】(1)由点G 是△ABC 的重心，推出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据三角形法则求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题；(2)想办法证明△AEG∽△ABD ，可得EG =23BD =13BC =3；本题考查三角形的重心、平面向量、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)把(1,0)，(0,32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32， 解得：{b =−1c =32，则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32；(2)抛物线解析式为y =−12x 2−x +32=−12(x +1)2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y =−12x 2，其顶点恰好落在原点．【解析】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． (1)把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可； (2)指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， ∵DH ⊥AB 于H ， ∴∠DHA =∠DOG =90°， ∵∠AGH =∠DGO ， ∴△AGH∽△DGO ， ∴AGDG =HGOG ，∴AG ⋅GO =HG ⋅GD ；(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，AC =8，BD =6，∴AO=CO=4，BO=DO=3，∴AB=AD=√42+32=5，∵S菱形ABCD =12⋅AC⋅BD=AB⋅DH，∴DH=245，∵∠DOG=∠DHB=90°，∠ODG=∠HDB，∴△DOG∽△DHB，∴ODDH =DGBD，∴3245=DG6，∴DG=154．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．(1)根据菱形的性质得到AC⊥BD，由于DH⊥AB于H，于是得到∠DHA=∠DOG=90°，推出△AGH∽△DGO，根据相似三角形的性质得到AGDG =HGOG，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到AO=CO=4，BO=DO=3，根据勾股定理得到AB=AD=√42+32=5，根据菱形的面积公式得到DH=245，根据相似三角形的判定与性质即可得到结论．23.【答案】解：设AG⊥EF于G，CH⊥EF于H设CH=xm，由题意得，四边形ACHG为矩形，∴AG=CH=x，GH=AC=20−10=10，∵∠ECH=45°，∴EH =CH =x ，在Rt △EAG 中，tan∠EAG =EGAG ，即tan37°=EG x，解得，EG ≈34x ， 则x −34x =10， 解得，x =40， ∴EF =FH +EH =50， 故建筑物EF 的高度约为50m ．【解析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．设CH =xm ，根据矩形的性质得到AG =CH =x ，根据正切的定义用x 表示出EH 、EG ，结合图形列式计算即可．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象经过A(1,0)，B(3,0)，∴设抛物线解析式为：y =a(x −1)(x −3)，∵抛物线y =a(x −1)(x −3)(a ≠0)的图象经过点C(0,6)， ∴6=a(0−1)(0−3)， ∴a =2，∴抛物线解析式为：y =2(x −1)(x −3)=2x 2−8x +6； (2)∵y =2x 2−8x +6=2(x −2)2−2， ∴顶点M 的坐标为(2,−2)，∵抛物线的顶点M 与对称轴l 上的点N 关于x 轴对称， ∴点N(2,2)，设直线AN 解析式为：y =kx +b ， 由题意可得：{0=k +b 2=2k +b，解得：{k =2b =−2，∴直线AN 解析式为：y =2x −2， 联立：{y =2x −2y =2x 2−8x +6，解得：{x 1=1y 1=0，{x 2=4y 2=6，∴点D(4,6)，∴S △ABD =12×2×6=6， 设点E(m,2m −2)，∵直线BE 将△ABD 的面积分为1：2两部分， ∴S △ABE =13S △ABD =2或S △ABE =23S △ABD =4，∴12×2×(2m −2)=2或12×2×(2m −2)=4，∴m =2或m =3， ∴点E(2,2)或(3,4)；(3)若AD 为平行四边形的边，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD =PQ ，∴x D −x A =x P −x Q 或x D −x A =x Q −x P ， ∴x P =4−1+2=5或x P =2−4+1=−1， ∴点P 坐标为(5,16)或(−1,16)； 若AD 为平行四边形的对角线，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD 与PQ 互相平分， ∴x A +x D2=x P +x Q2，∴x P =3， ∴点P 坐标为(3,0)，综上所述：当点P 坐标为(5,16)或(−1,16)或(3,0)时，使A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形．【解析】【试题解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，属于较难题．(1)设抛物线解析式为：y =a(x −1)(x −3)，把点C 坐标代入解析式，可求解；(2)分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；(3)分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．25.【答案】解：(1)如图1中，作EF⊥BC于F．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵EF//AC，∴BEBA =BFBC=EFAC，∴x5=BF4=EF3，∴EF=35x，BF=45x，∵PC=PB=2，∴PF=2−45x，∵∠C=∠EFP=∠DPF=90°，∴∠DPC+∠EPF=90°，∠EPF+∠PEF=90°，∴∠DPC=∠PEF，∴△PDC∽△EPF，∴EFPC =PFCD，∴35x2=2−45xy，∴y=20−8x3x，当y=4时，x=1，当y=0时，x=52，∴1≤x≤52．(2)①如图2−1中，当EP=EB时，作EF⊥PB于F．∵EP=EB，EF⊥PB，∴PF=BF，∴45x=1，∴x=54，∴CD=y=20−8×5 43×54=83．②如图2−2中，当BP=BE时，x=2，CD=y=20−8×23×2=23③如图2−3中，当PE=PB时，点D在AC的延长线上，同法可得y=8x−103x．作PM⊥BE于M，则BM=BE=3×45=85，∴x=165，∴CD =y =8×165−203×165=712． 综上所述，满足条件的CD 的值为83或23或712．(3)①如图3−1中，当△DPE∽△BCA 时，则有DP PE =BC AC =43，∵△DCP∽△PFE ，∴PDPE =PCEF=43， ∴EF =32，∴35x =32，∴x =52，此时CD =y =0，∴AD =AC =3．②如图3−2中，当大王E 在BA 的延长线上时，△EPD∽△BCA ，则有EP PD =BC AC =43，同法可得EFPC =43，∴EF=83，∴35x=83，∴x=409，∴CD=y=8×409−203×409=76，∴AD=AC+CD=3+76=256，综上所述，满足条件的AD的值为3或256．【解析】(1)如图1中，作EF⊥BC于F.利用相似三角形的性质构建关系式即可．(2)分三种情形：①如图2−1中，当EP=EB时．②如图2−2中，当BP=BE时．③如图2−3中，当PE=PB时，点D在AC的延长线上，分别求解即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，当△DPE∽△BCA时，则有DPPE =BCAC=43，构建方程即可解决问题．②如图3−2中，当大王E在BA的延长线上时，△EPD∽△BCA，则有EPPD=BC AC =43，构建方程即可解决问题．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2020-2021学年上海市宝山区九年级(上)期末数学试卷及参考答案

2020-2021学年上海市宝山区九年级(上)期末数学试卷及参考答案

2020-2021学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．（4分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：42．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sin A的值为（）A．B．C．D．3．（4分）如图，AB∥DE，BC∥DF，已知AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE等于（）A．B．C．D．4．（4分）已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．＝0 5．（4分）将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x+1）2+26．（4分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（）A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．a﹣b+c＝0D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y2二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．（4分）如果2x＝3y，那么＝．8．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是厘米．9．（4分）如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP ＝．10．（4分）计算：3＝．11．（4分）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为，那么其周长为．12．（4分）某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x ＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为．（不要求写定义域）13．（4分）如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向．14．（4分）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：．15．（4分）如图，已知△ABC中，EF∥AB，＝，如果四边形ABEF的面积为25，那么△ABC的面积为．16．（4分）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为．17．（4分）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为米．18．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心点G，，．（1）试用向量、表示向量；（2）求作向量（3﹣）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．21．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．22．（10分）如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AB2＝DE•BF；（2）如果OE＝1，EF＝2，求的值．23．（12分）某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表：课题测量教学大楼（AB）的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一组第二组第三组测量方案示意图说明点C 、D 在点B 的正东方向GH 是教学大楼旁的居民住宅楼EF 是教学大楼正南方向的“校训石”，借助EF 进行测量，使P 、E 、A 三点在一条直线上，点P 、F 在点B 的正南方向．测量数据从点C 处测得A 点的仰角为37°，从点D 处测得A点的仰角为45°，CD ＝12米从点G 处测得A 点的仰角为37°，测得B 点的俯角为45°EF ＝9米，从点P 处测得A 点的仰角为37°，从点F 处测得A 点的仰角为45°（1）根据测量方案和所得数据，第小组的数据无法算出大楼高度？（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]24．（12分）已知抛物线y ＝ax 2+bx （a ≠0）经过A （4，0），B （﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当∠CED ＝∠OBD 时，求点E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE ＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD．（1）求证：CE2＝BE•DE；（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长；（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．2020-2021学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．【分析】设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x，据此即可求解．【解答】解：∵AC：BC＝3：1，∴设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x，则AB：BC＝2：1．故选：A．【点评】本题考查了比例线段，正确设出线段的长度是关键．2．【分析】根据正弦的定义解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝＝，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．3．【分析】由平行线分线段成比例可求＝，通过证明△DEC∽△ABC，可得，即可求解．【解答】解：∵DF∥BC，∴＝，∴＝，∵AB∥DE，∴△DEC∽△ABC，∴，∴，∴CE＝，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的性质是解题的关键．4．【分析】根据点M是线段AB的中点，可以判断||＝|，但它们的方向相反，继而即可得出答案．【解答】解：如图所示，点M是线段AB的中点，A、，故本选项不符合题意．B、，故本选项符合题意．C、，故本选项不符合题意．D、＝，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的知识，注意向量包括长度及方向，及0与的不同．5．【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1，2），所以新抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6．【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线上的特殊点利用图象即可判断正误．【解答】解：A、∵抛物线开口向上，交y轴的负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，故A正确；B、∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，故B不正确；C、当x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，故C正确；D、点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，∵y1＞0，y2＝0，∴y1＞y2，故D正确；故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．【分析】直接利用已知得出x＝y，进而代入得出答案．【解答】解：∵2x＝3y，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．8．【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝16，故b的值可求．【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，∴b2＝ac＝16，解得b＝±4，又∵线段是正数，∴b＝4．故答案为4．【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．9．【分析】先由黄金分割点的定义求出BP的长，即可得出AP的长．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AB＝2，AP＜BP，∴BP＝AB＝﹣1，∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．10．【分析】实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算．【解答】解：原式＝3×2﹣3﹣﹣＝5﹣4．故答案是：5﹣4．【点评】本题主要考查了平面向量的知识，属于基础计算题．11．【分析】根据题意作出图形，利用三角函数的知识求出BE、CF的值，然后根据等腰梯形的性质解答即可．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由题意得，AE＝DF＝4，cos∠B＝，AD＝5，设BE＝3x，则可得AB＝5x，AE＝4x，∴x＝1，∴BE＝3，AB＝5，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝CD＝5，BC＝BE+EF+FC＝3+3+5＝11，∴梯形ABCD的周长＝5+5+5+11＝26，故答案为：26．【点评】此题考查了等腰梯形的性质，解答本题的关键是掌握等腰梯形几个性质，这是解答此类题目的关键，同学们一定要熟记．12．【分析】利用该厂九月份的产值＝该厂七月份的产值×（1+增长率）2，即可得出结论．【解答】解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x，∴该厂九月份的产值是10（1+x）2万元，∴y＝10（1+x）2．故答案为：y＝10（1+x）2．【点评】本题考查了由根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键．13．【分析】根据二次函数性质，通过顶点坐标即可求解．【解答】解：由抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）可知顶点为（﹣1，m），∵顶点坐标在第二象限，∴m＞0，∴抛物线开口向上，故答案为：向上．【点评】本题考查的是二次函数顶点式表达式，是中等难度的基本题．14．【分析】根据条件（1）知c＝0，根据特征（2）确定对称轴为y轴，图象开口向下，取a为负数，b＝0．【解答】解：设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，∵经过原点，∴c＝0，∵在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降，∴a＜0，﹣＝0，即：b＝0，只要满足a＜0，b＝0，c＝0就行，如：a＝﹣1，所以二次函数的解析式是y＝﹣x2．故答案为：y＝﹣x2．【点评】此题是一个开放型的题目，主要考查了对二次函数的性质的理解和掌握，理解条件（1）（2），进一步正确确定a，b，c的值是解此题的关键．15．【分析】通过证明△EFC∽△BAC，可得＝（）2＝，即可求解．【解答】解：∵，∴，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝，＝4x，S△ABC＝9x，∴设S△EFC∴四边形ABEF的面积5x＝25，∴x＝5，∴△ABC的面积＝45，故答案为：45．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．16．【分析】首先根据题意判定△AEF∽△DBG，然后结合相似三角形的对应边成比例求得答案．【解答】解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．∴△AEF∽△DBG，∴＝．又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，∴＝．∴EF＝6．即正方形铁皮的边长为6．故答案是：6．【点评】此题主要考查了正方形的性质和相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．17．【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，再根据勾股定理即可求出该大坝迎水坡AB的长度．【解答】解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，∵BC：AC＝1：0.75，∴12：AC＝1：0.75，∴AC＝9（米），∴AB＝＝＝15（米），答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．故答案为：15．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．18．【分析】分两种情形：①当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．②当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．【解答】解：如图1，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a＝AP，∴tan∠CAP＝＝＝+1；如图2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴tan∠CAP＝＝＝﹣1，∵点P在线段EF上，∴情形1，不满足条件，情形2满足条件，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．20．【分析】（1）利用三角形重心的性质，求出，再利用三角形法则求解即可．（2）证明＝＝（3﹣），可得结论．【解答】解：（1）连接BE．∵G是△ABC的重心，DE∥BC，∴＝＝＝，∵＝，∴＝，∴＝+＝+．（2）∵＝+，＝3，∴＝3﹣，∴＝＝（3﹣），∴如图即为所求作．【点评】本题考查三角形的重心，平面向量，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，然后将解析式转化为顶点式，直接写出顶点坐标；（2）根据抛物线间顶点坐标的变化规律解答．【解答】解：（1）把点（﹣1，2）代入y＝ax2﹣ax（a≠0），得a+a＝2．解得a＝1．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x．由y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣知，该抛物线的顶点坐标是（，﹣）；（2）可以，理由如下：由y＝x2+3x+，得y＝（x+）2﹣．则平移后抛物线顶点坐标是（﹣，）．而抛物线y＝x2﹣x的顶点坐标是（，﹣），所以将抛物线y＝x2﹣x先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到抛物线y＝x2+3x+．【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质以及二次函数图象与几何变换，掌握平移的原则上“加下减左加右减”是解题的关键．22．【分析】（1）通过证明△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，可得，，可得结论；（2）利用相似三角形的性质可得，可求AO＝，即可求解．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴，，∴，∴AB2＝DE•BF；（2）∵△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴＝，＝，∴1﹣＝1﹣，∴，∴，∴AO＝，∴＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．23．【分析】（1）第二小组没有测量有关的线段长度；（2）先证△ABD是等腰直角三角形，得AB＝BD，设AB＝x米，则AB＝BD＝x米，BC ＝（x+12）米，在Rt△ABC中，由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）第二小组的数据无法算出大楼高度，理由如下：第二小组只测量了有关仰角和俯角的度数，没有测量有关的线段长度，所以第二小组的数据无法算出大楼高度，故答案为：二；（2）选择第一小组的数据测量，理由如下：由题意得：∠ABD＝90°，∠ACB＝37°，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，设AB＝x米，则AB＝BD＝x米，BC＝BD+CD＝（x+12）米，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan37°≈0.75，∴≈，解得：x≈36，即教学大楼AB的高度约为36米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题仰角等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义．24．【分析】（1）待定系数法可求解析式；（2）先求出BC的解析式，通过证明△OBC∽△EDB，可得，可求BE的长，由两点距离公式可求解；（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x，∴对称轴为直线x＝2；（2）∵点D与点B关于抛物线的对称轴对称，∴点D（5，3），∴BD＝6，∵点C（2，0），点B（﹣1，3），∴BC＝3，直线BC解析式为y＝﹣x+2，如图，连接BO，∵BD∥OC，∴∠DBE＝∠BCO，∵∠CED＝∠OBD，∠CED＝∠EBD+∠BDE，∠OBD＝∠OBC+∠DBE，∴∠OBC＝∠BDE，∴△OBC∽△EDB，∴，∴＝，∴BE＝2，设点E（x，﹣x+2），∴2＝，∴x＝1或x＝﹣3（舍去），∴点E（1，1）；（3）当OA为边时，∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴OA＝MN＝4，OA∥MN，∴点N横坐标为6或﹣2，∴点N的纵坐标为，∴平行四边形的面积＝4×＝，当OA为对角线，∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴MN与OA互相平分，∴，∴N x＝2，∴点N（2，﹣），∴平行四边形的面积＝4×＝，综上所述：平行四边形的面积为或．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，两点距离公式等知识，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键．25．【分析】（1）证明两个角相等证明△CDE∽△BCE，列比例式可得结论；（2）如图2，过D作DN⊥AC于N，根据△ADN是等腰直角三角形，得AN＝DN，由平行线分线段成比例定理得，计算DN和CN的长，利用勾股定理计算CD和BD的长，根据（1）中的相似三角形，列比例式得：，设DE＝x，CE＝3x，代入比例式可得结论；（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，证明△AMC≌△BPC（ASA），得CM＝CP，证明△MCD≌△PCD（SAS），得∠MDC＝∠PDC＝∠BDC，证明△BCD∽△CMD，列比例式得，根据三角函数的定义和等量代换可得比例式，并根据D，E是AB上一点，∠DCE＝45°，可知当点E与A重合时，BD最大为AB，可得x的取值范围．【解答】（1）证明：如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵∠DCE＝45°，∴∠B＝∠DCE，∵∠CED＝∠CEB，∴△CDE∽△BCE，∴，∴CE2＝BE•DE；（2）解：如图2，过D作DN⊥AC于N，∴∠AND＝90°，∵∠DAN＝45°，∴△ADN是等腰直角三角形，∵DN∥BC，AD＝2BD，∴，∵AC＝3，∴AB＝3，AN＝DN＝2，CN＝1，∵AD＝2BD，∴BD＝，由勾股定理得：DC＝＝＝，由（1）知：△CDE∽△BCE，∴，设DE＝x，CE＝3x，∴＝，∴x＝，∴DE＝x＝；（3）解：如图3，过点C作CP⊥CM，交AB的延长线于点P，∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°∴∠ACM+∠BCD＝45°＝∠BCD+∠BCP，∴∠BCP＝∠ACM，∵∠CBP＝180°﹣45°＝135°＝∠CAM，AC＝BC，∴△AMC≌△BPC（ASA），∴CM＝CP，∵∠DCM＝∠DCP＝45°，CD＝CD，∴△MCD≌△PCD（SAS），∴∠MDC＝∠PDC＝∠BDC，∵∠ABC＝45°＝∠MCD，∴△BCD∽△CMD，∴，即，∵FM⊥FC，∠DCE＝45°，∴△CFM是等腰直角三角形，∴CM＝FM，∴y＝tan∠FMD＝＝＝＝＝1﹣＝1﹣x；Rt△ABC中，AC＝BC，∴AB＝BC，∵D，E是AB上一点，∠DCE＝45°，∴当点E与A重合时，BD最大为AB，∵＝x，∴0＜x＜，∴y＝1﹣x（0＜x＜）．【点评】本题是相似形的综合题，考查了全等和相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

上海市宝山区2021-2022学年九年级(上)期末数学试卷(一模)及答案解析

上海市宝山区2021-2022学年九年级(上)期末数学试卷(一模)及答案解析

2021-2022学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（）A．B．C．D．2．（4分）在比例尺为1：5000的地图上，如果A、B两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是（）A．50000米B．5000米C．500米D．50米3．（4分）已知为非零向量，＝2，＝﹣3，那么下列结论中，不正确的是（）A．||＝||B．C．D．∥4．（4分）如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（）A．CD＝AB•tan B B．CD＝AD•cot A C．CD＝AC•sin B D．CD＝BC•cos A 5．（4分）把抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2+5B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x+1）2+3D．y＝（x﹣3）2+3 6．（4分）下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知点B在线段AC上，AB＝2BC，那么AC：AB的比值是．8．（4分）如果的值是黄金分割数，那么的值为．9．（4分）计算：sin230°+cos245°＝．10．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，那么sin A的值是．11．（4分）已知二次函数y＝x2+x﹣1，当x＝﹣3时，函数y的值是．12．（4分）据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨，如果2019年至2021年蔬菜产重的年平均增长率为x（x＞0），那么y关于x的函数解析式为．13．（4分）如果抛物线y＝x2+2x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m的值是．14．（4分）已知△ABC的两条中线AD、BE相交于点F，如果AF＝10，那么AD的长为．15．（4分）如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD为3米，路基高为1米，斜坡AB的坡度＝1：1.5，那么路基的下底宽BC是米．16．（4分）如图，已知一张三角形纸片ABC，AB＝5，BC＝2，AC＝4，点M在AC边上．如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM＝x，那么x的取值范围是．17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P在CD边上，联结AP．如果将△ADP沿直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上，那么的值为．18．（4分）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y＝x2+bx（b＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b的值为．三、解答题：（本大题共7小题，共78分）19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．（1）求tan B的值；（2）延长BC至点D，联结AD，如果∠ADB＝30°，求CD的长．20．（10分）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝．（1）设＝，＝，用向量、表示向量＝，＝．（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象的顶点为A（﹣1，2），且经过B （﹣3，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．22．（10分）如图，小杰在湖边高出水面MN约10m的平台A处发现一架无人机停留在湖面上空的点P处，该无人机在湖中的倒影为点P′，小杰在A处测得点P的仰角为45°，点P′的俯角为60°，求该无人机离开湖面的高度（结果保留根号）．23．（12分）如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，联结BD交AC边于点F．（1）如果∠ABD＝∠CAD，求证：BF2＝DF•DB；＝18，求S△DCE的值．（2）如果AF＝2FC，S四边形ABCD24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结BD、CD，试判断△BCD与△AOC是否相似，并证明你的结论；（3）抛物线上是否存在点P，使得∠PAC＝45°，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．25．（14分）如图，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针方向旋转n°（0＜n＜90）到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP，DF⊥BP，垂足分别为点E、F．（1）求证：CE＝EF；（2）联结CF，如果＝，求∠ABP的正切值；（3）联结AF，如果AF＝AB，求n的值．2021-2022学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．【解答】解：∵，b是a和c的比例中项，即a：b＝b：c，∴＝．故选：D．【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项是解题的关键．2．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离．要注意统一单位．【解答】解：设甲乙两地的实际距离为x厘米，根据题意得，1：5000＝10：x，解得x＝50000，50000厘米＝500米．即甲乙两地的实际距离为500米．故选：C．【点评】本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换．3．【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵＝2，＝﹣3，∴||＝||，＝﹣，故A正确，B错误；∵＝2，＝﹣3，∴3＝6﹣6＝，故C正确；∵＝2，＝﹣3，∴＝﹣，∴，故D正确，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．4．【分析】利用直角三角形的边角间关系，计算得结论．【解答】解：∵CD是斜边AB边上的高，∴△ACD、△BCD都是直角三角形．在Rt△ACD中，∵CD＝sin A•AC＝tan A•AD＝，故选项B不正确；在Rt△BCD中，∵CD＝sin B•BC＝tan B•BD，故选项A、C不正确．在Rt△ABC中，∵∠A+∠B＝90°，∴cos A＝sin B．∴CD＝sin B•BC＝cos A•BC，故选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．5．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：把抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣1+2）2+3，即y＝（x+1）2+3，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．【分析】设小正方形的边长是1，先求出△ABC的三边长，再分别求出每个选项中三角形的三边的长度，求出对应的边的比值，看看是否相等，再根据相似三角形的判定定理判定即可．【解答】解：设小正方形的边长是1，由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，A．三角形的三边的长度分别为：＝2，2，4，∵＝，＝，＝，∴＝＝，所以与格点△ABC相似，故本选项符合题意；B．三角形的三边的长度分别为：2，＝，＝3，∵＝1，＝，＝，∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；C．三角形的三边的长度分别为：＝，＝，3，∵＝1，＝，＝，∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；D．三角形的三边的长度分别为：＝，＝3，＝2，∵＝1，＝，＝，∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】设BC＝k，则AB＝2BC＝2k，根据线段和的定义得出AC＝AB+BC＝3k，即可求出AC：AB的比值．【解答】解：如图，设BC＝k，则AB＝2BC＝2k，∵点B在线段AC上，∴AC＝AB+BC＝2k+k＝3k，∴AC：AB＝3k：2k＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例线段，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．8．【分析】由黄金分割的定义得＝，则2x＝（+1）y，即可得出答案．【解答】解：∵的值是黄金分割数，∴＝，∴2x﹣2y＝（﹣1）y，∴2x＝（+1）y，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割值是解题的关键．9．【分析】由特殊锐角三角函数值，代入计算即可．【解答】解：原式＝（）2+（）2＝+＝，故答案为：．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．10．【分析】根据题意设AC＝3k，则BC＝4k，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：由于在Rt△ABC中，∠C＝90°，，可设AC＝3k，则BC＝4k，由勾股定理可得，AB＝＝5k，∴sin A＝＝，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键．11．【分析】将x＝﹣3代入解析式求解．【解答】解：把x＝﹣3代入y＝x2+x﹣1得y＝9﹣3﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的值，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，将x的值代入求解．12．【分析】2019到2021是两年时间，2019年蔬菜产量为100万吨，所以y＝100（1+x）2．【解答】解：y＝100（1+x）2．故答案为：y＝100（1+x）2．【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握求平均变化率的方法．13．【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解．【解答】解：∵y＝x2+2x+m﹣1＝（x+1）2+m﹣2，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，m﹣2），当抛物线顶点落在x轴上时，m﹣2＝0，∴m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握配方法求二次函数顶点式．14．【分析】先根据三角形的重心的定义得出点F是△ABC的重心，再利用重心的性质得出AD＝AF，即可求解．【解答】解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点F，∴点F是△ABC的重心，∴AF：FD＝2：1，∴AD＝AF＝×10＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了三角形的重心的定义及性质，重心是三角形三边中线的交点．掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．15．【分析】过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，根据矩形的性质求出EF，根据坡度的概念求出BE、FC，计算即可．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD为矩形，∴EF＝AD＝3米，AE＝DF＝1米，∵坡AB的坡度＝1：1.5，∴BE＝1.5米，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴FC＝BE＝1.5米，∴BC＝BE+EF+FC＝1.5+3+1.5＝6（米），故答案为：6．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．16．【分析】依据相似三角形的对应边成比例，即可得到x的取值范围．【解答】解：如图所示，过M作MD∥AB交BC于D或ME∥BC交AB于E，则△MCD ∽△ACB或△AME∽△ACB，此时0＜x＜4；如图所示，过M作∠AMF＝∠B交AB于F，则△AMF∽△ABC，此时0＜x≤4；如图所示，过M作∠CMG＝∠CBA交BC于G，则△CMG∽△CBA，此时，△CMG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2＝CM×CA，即22＝CM×4，∴CM＝1，AM＝3，∴此时，3≤AM＜4；综上所述，x的取值范围是3≤x＜4．故答案为：3≤x＜4．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．17．【分析】根据折叠性质，用勾股定理列方程，求出CP和PD的长度，即可得到S△ADP ＝，从而可得答案．＝和S四边形ABCP【解答】解：如图：∵将△ADP沿直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上的D'，∴AD'＝AD＝5，PD＝PD'，∠AD'P＝∠D＝90°，在Rt△ABD'中，BD'＝＝＝4，∴CD'＝BC﹣BD'＝5﹣4＝1，设CP＝x，则PD＝PD'＝3﹣x，在Rt△CPD'中，CD'2+CP2＝PD'2，∴12+x2＝（3﹣x）2，解得x＝，∴CP＝，PD＝，＝AD•PD＝×5×＝，∴S△ADPS四边形ABCP＝S矩形ABCD﹣S△ADP＝3×5﹣＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质及熟练运用勾股定理．18．【分析】根据抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形建立方程求解即可．【解答】解：设抛物线y＝x2+bx与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，∴A（0，0），B（﹣b，0），D（﹣，﹣），∵抛物线y＝x2+bx对应的“特征三角形”是等腰直角三角形，∴AB2＝AD2+BD2＝2AD2，∴b2＝2（+），解得：b＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点和抛物线的“特征三角形”的特点，关键是利用“特征三角形”是等腰直角三角形建立等量关系．三、解答题：（本大题共7小题，共78分）19．【分析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E．先利用等腰三角形的性质求出BE，再利用勾股定理求出AE，最后在Rt△ABE中求出tan B的值；（2）先利用直角三角形的边角间关系求出DE，再利用线段的和差关系求出CD..【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E．∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BE＝CE＝BC＝3．在Rt△ABE中，∵AE＝＝＝4，∴tan B＝＝；（2）在Rt△ADE中，∵∠ADB＝30°，AE＝4，tan∠ADB＝，∴DE＝＝＝＝4．∴CD＝DE﹣CE＝4﹣3．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．20．【分析】（1）根据平面向量的加减运算法则即可求解；（2）先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵AF＝2DF，∴AF＝，∵，∴，∴＝，∵＝，∴，∴＝，故答案为：，；（2）∵＝，∴AF∥BC，AF＝，∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，∵AD＝3，AF＝2DF，∴AF＝2，∴BC＝8，在Rt△ABF中，BF＝＝2，又∵，∴△ABF∽△BCA，∴∠ABF＝∠BCA，∴△ABF∽△ECB，∴，∴，∴BE＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABF∽△ECB是解第（2）问的关键．21．【分析】（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（﹣1，2），∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+2，把点B（﹣3，0）代入二次函数解析式，得：0＝a（﹣3+1）2+2，解得：a＝﹣，∴二次函数解析式为y＝﹣（x+1）2+2，即y＝﹣x2﹣x+；（2）令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解方程得：x1＝﹣3，x2＝1，∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（﹣3，0）和（1，0），∴二次函数图象上的点（﹣3，0）向右平移3个单位后经过坐标原点，故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．22．【分析】作点P关于湖面MN的对称点P′，通过作垂线构造直角三角形，在两个直角三角形中，由边角关系求出AB，进而求出CP即可．【解答】解：如图，作点P关于湖面MN的对称点P′，过点A作AB∥MN交PP′于点B，连接AP，AP′，则∠BAP＝45°，∠BAP′＝60°，AM＝10m，在Rt△ABP中，∠BAP＝45°，∠ABP＝90°，∴AB＝BP，在Rt△ABP′中，∠BAP′＝60°，∠ABP′＝90°，∴BP′＝AB，由对称可知，PC＝P′C，即BP+BC＝BP′﹣BC，设AB＝x，则BP＝x，BP′＝x，∴x+10＝x﹣10，解得x＝10+10，∴PC＝BP+BC＝（10+20）m，答：该无人机离开湖面的高度为（10+20）m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．23．【分析】（1）证明△ABF≌△CAD（ASA），由全等三角形的性质可得出BF＝AD，证明△ADF∽△BDA，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；＝x，（2）证明△DCF∽△BAF，由相似三角形的性质得出＝，设S△DCF ＝S△BCF＝2x，S△ABF＝4x，由四边形ABCD的面积可得出x+2x+2x+4x＝18，求则S△ADF出x＝2，求出三角形ABC的面积，证明△ABC∽△DCE，由相似三角形的性质得出＝，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，又∵∠ABD＝∠CAD，∴△ABF≌△CAD（ASA），∴BF＝AD，∵∠ADF＝∠BDA，∠ABD＝∠CAD，∴△ADF∽△BDA，∴，∴AD2＝DF•BD，∴BF2＝DF•BD；（2）解：∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴AB∥CD，∴△DCF∽△BAF，∴＝，∴，，，＝x，则S△ADF＝S△BCF＝2x，S△ABF＝4x，设S△DCF＝18，∵S四边形ABCD∴x+2x+2x+4x＝18，解得x＝2，＝8，S△BCF＝4，∴S△ABF＝S△ABF+S△BCF＝8+4＝12，∴S△ABC∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴△ABC∽△DCE，∴＝，＝＝×12＝3．∴S△DCE【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△DCF∽△BAF是解题的关键．24．【分析】（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）先判断△BCD是直角三角形，在Rt△BCD中求tan∠CBD＝＝，在Rt△ACO 中，tan∠ACO＝，可得∠ACO＝∠CBD，即可证明△ACO∽△DBC；（3）设AP与y轴交于点E，过E点作EF⊥AC交于F，则EF＝AF，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，设EF＝x，则CF＝3x，AF＝x，则AC＝4x＝，求得x＝，则可求CE＝x＝，EO＝，所以E（0，），即可求出直线AE的解析式为y＝x+，联立，可求P（，）．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4）；（2）相似，理由如下：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D（1，4），∴BC＝3，CD＝，BD＝2，∴BD2＝CD2+BC2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠CBD＝＝，∵OC＝3，OA＝1，∴tan∠ACO＝，∴∠ACO＝∠CBD，∴△ACO∽△DBC；（3）存在，理由如下：设AP与y轴交于点E，过E点作EF⊥AC交于F，∵∠CAP＝45°，∴EF＝AF，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝，∴＝，设EF＝x，则CF＝3x，AF＝x，∴AC＝4x，∵AO＝1，CO＝3，∴AC＝，∴4x＝，∴x＝，∴CE＝x＝，∴EO＝3﹣＝，∴E（0，），设直线AE的解析式为y＝kx+t，∴，∴，∴y＝x+，联立，解得x＝﹣1（舍）或x＝，∴P（，）．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，直角三角形三角函数的应用是解题的关键．25．【分析】（1）作DG⊥CE于G，证明△BCE≌△CDG，进一步命题得证；（2）设∠ABP＝α，设PD＝a，CF＝3a，通过角的运算推出∠BPD＝45°，进而计算出EG，CG，EF，DG，进一步求得结果；（3）连接AF，CF，证得∠AFC＝90°，再证得AF平分∠PAD，进一步求得结果．【解答】（1）证明：如图1，作DG⊥CE于G，∵CE⊥PB，∴∠DGC＝∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，∴∠BCE+∠DCG＝90°，∴∠CBE＝∠DCG，∴△BCE≌△CDG（AAS），∴DG＝CE，∵CE⊥PB，DF⊥PB，DG⊥CE，∴∠GEF＝∠DFE＝∠DGE＝90°，∴四边形EFDG是矩形，∴EF＝DG，∴CE＝CF；（2）解：如图2，设∠ABP＝α，设PD＝a，CF＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，∵AP＝AD，∴AB＝AP，∴∠APB＝∠ABP＝α，∴∠BAP＝180°﹣∠ABP﹣∠APB＝180°﹣2α，∴∠PAD＝∠PAB﹣∠BAD＝90°﹣2α，∵AP＝AD，∴∠APB＝∠ADP＝＝45°+α，∴∠FPD＝∠APD﹣∠APB＝45°，∴△PDF是等腰直角三角形，∴EG＝DF＝PD＝，由（1）得：EF＝CE，∴△EFC也是等腰直角三角形，∴DG＝EF＝CE＝＝，∴CG＝CE﹣EG＝﹣a＝，∴tan∠CDG＝＝，同理（1）可证：∠BCE＝∠ABP＝α，∵∠BCE＝∠CDG，∴∠ABP＝∠CDG，∴tan∠ABP＝；（3）解：如图3，连接AF，CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠CFE＝45°，∴∠CFE＝∠BAC，∴点A、B、C、F共圆，∴∠AFE+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠AFE＝90°，∵AF＝，AB＝AC，∴，即：cos∠CAF＝，∴∠CAF＝60°，∴∠DAF＝∠CAF﹣∠DAC＝60°﹣45°＝15°，由（2）得：△PFD是等腰直角三角形，∴FD＝FP，∵AP＝AD，∴AF是PD的垂直平分线，∴∠PAD＝2∠DAF＝30°．【点评】本题考查了正方形性质，矩形的判定和性质，锐角三角形函数，确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是通过角的转化，发现特殊角．第17页（共17页）。

2019-2020年上海市宝山区宝山实验学校第一学期九年级月考数学试卷(有答案).docx

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2019-2020学年上海市宝山区宝山实验学校第一学期九年级月考数学试卷一、选择题（共6题，每题4分）1.已知:2:3x y =，下列等式中正确的是（）.A ():1:3x y y -=.B ():2:1x y y -=.C ():(1):3x y y -=-.D ():(1):2x y y -=-2.下列各组图形中，一定相似的是（）.A 两个矩形.B 两个菱形.C 两个正方形.D 两个等腰三角形3.在一张比例尺为1:20000的地图上，量得A 、B 两地的距离是5cm ，那么A 、B 两地的实际距离是（）.A 500m.B 1000m.C 5000m.D 10000m4.在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，下列比例式中不能判定DE BC 的是（）.A AD AE AB AC = .B AD BD AE CE = .C BD CE AB AC = .D AD DE AB BC= 5.已知D 是ABC ∆的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，那么下列结论中正确的是（）.A 2AC CD CB =∙.B 2AB BD BC =∙.C 2AD BD CD =∙.D 2BD AD CD =∙6.在下列四个三角形中，与图3中ABC ∆相似的是（）二、填空题（本题共12题，每小题4分，满分48分）7.已知x 是2和6的比例中项，则x = .8.已知：，234a b c ==，且6a b c +-=，则a b c -+的值为 . 9.已知线段2AB cm =，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP PB >，则线段AP = cm10.已知, 111~ABC A B C ∆∆，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，若0=40A ∠,0=60C ∠则1=B ∠ 度 11.如果两个相似三角形周长之比为4:9，那么它们对应的中线之比为 12.如图，ABC ∆的两条中线AD 、BE 相交于点G ,如果2AGE s ∆=，那么ABC s ∆=13.如图，在ABC ∆中, 0=90C ∠,=12C A ,.则它的重心G 到C 点的距离是14、如图，梯形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、DC 上，AD BC EF ////，:1:2BE EA =。

2021届宝山区一模数学试卷

2021届宝山区一模数学试卷

2020学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题;4.可使用符合规定的计算器答题.一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分.)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.若集合A=(—00, —3), B=(—4, +oo),贝ljACB= _________ ・2.抛物线护=&的准线方程为___________ .3.已知复数z满足77 为虚数单位)，则戸 __________ •4.设向S7=(l, 2), ~b=(2, 1),则；7与了的夹角的大小为(结果用反三角函数值表示) _________ .5.已知二项式，则其展开式中的常数项为__________ •xMO,6・若实数x, y满足2丫一応0,则z=2x+y的最大值为_____________ ・&+)—3冬0,7.已知圆锥的底而半径为1，髙为羽，则该圆锥的侧而展开图的圆心角&的大小为 _________8.方程cos2x・- sinx=0在区间［0,兀］上的所有解的和为______ ・99.已知函数/⑴的周期为2,且当0时，.f(x)=log严那么/(去= __________________ ・10.设数列｛£｝的前“项和为，对任意朋心均有+兀=一1，则____________ .11.设函数f(x)=“・sin2x+b・cos2x (a, bGR〉,给出下列结论:①当"=o, b=l时，f(x)为偶函数：②当“=i, go时，/(加)在区间(0,令上是单调函数：③当a=羽,2-1时,川剳)在区间(-2兀，2兀)上恰有3个零点：④当b=\时，设/(x)在区间［f, f+彳］(/GR)上的最大值为卩⑴，最小值为叭/),贝衍⑴一 0(f)W2返・则所有正确结论的序号是 _________ .12. 若左义在N 上的函数f(x)、g(x)满足：存在％GM 使得/'(©)＜曲0)成立，则称/'⑴与g(x)在—1N 上具有性质P ⑺g).设函与g(x)=,英中“＞0,已知f(x)与g(x)在N 上不具有性质Pf g),将“的最小值记为％.设有穷数列｛｝满足®=1, b”尸1+人”W5O4x["o]),这里[勺]表示不超过“°的最大整数.若去掉｛｝中的一项后，剩下的所有 项之和恰可表为SGV*),贝IJ+加的值为 ___________ .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13・直线A +3＞，-1=0的一个法向量可以是()⑷(3, 一 1) (B) (3, 1) (C) (L 3) (D) (一 1, 3)14. “函^f(x)=sin(cox) (x, co^R.且oHO)的最小正周期为2”是“力=充”的()(A )充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件15. 从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数 的中位数为4的概率为()16. 下列结论中错误的是() 3 5(A) 57(B)钉(C)訂(D)7 2T存在实数川y 满足 (B)存在实数x, LdWl, Jx+ylWl, 满足 Ix+ylWl,kIW 1, Jx+ylWl,并使得4U+ l)(y +1 )> 9成立; 并使得4(x+1)®+1)=7成立: 且使得4(x+I)(y+l)=-9成立的实数十y 不存在;且使得4(x+l)(y+l)V-9成立的实数廿y 不存在.满足 (D)三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分.如图，在长方体ABCD—儿BC0中，T为D上一点,已知DT=2, AB=4. BC=2,A=6・(1)(2) 求点到平而7C的距离.求直线TC与平而ABCD所成角的大小(用反三角函数值表示);18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分. 已知函数/•(x)=x+“ 5WR).(1)当加=1时，解不等式;f(x)+l>/(x+l)：(2)设兀曰3, 4],且函数〉=/(x)+3存在零点，求实数加的取值范囤・19・(本题满分14分)本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分.设函数/'(x)=sin3+®) (°>0, -号<0<翁最小正周期为2兀，且/(x)的图象过坐标原点•(1 )求3、0的值；(2)在错误!未定义书签。

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2020-2021学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．（4分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：42．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sin A的值为（）A．B．C．D．3．（4分）如图，AB∥DE，BC∥DF，已知AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE等于（）A．B．C．D．4．（4分）已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．＝0 5．（4分）将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x+1）2+26．（4分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（）A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．a﹣b+c＝0D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y2二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．（4分）如果2x＝3y，那么＝．8．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是厘米．9．（4分）如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP＝．10．（4分）计算：3＝．11．（4分）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为，那么其周长为．12．（4分）某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x ＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为．（不要求写定义域）13．（4分）如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向．14．（4分）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：．15．（4分）如图，已知△ABC中，EF∥AB，＝，如果四边形ABEF的面积为25，那么△ABC的面积为．16．（4分）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为．17．（4分）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为米．18．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心点G，，．（1）试用向量、表示向量；（2）求作向量（3﹣）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．21．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．22．（10分）如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AB2＝DE•BF；（2）如果OE＝1，EF＝2，求的长．23．（12分）某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表：课题测量教学大楼（AB）的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一组第二组第三组测量方案示意图说明点C、D在点B的正东方向GH是教学大楼旁的居民住宅楼EF是教学大楼正南方向的“校训石”，借助EF进行测量，使P、E、A三点在一条直线上，点P、F在点B的正南方向．测量数据从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝12米从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45°EF＝9米，从点P处测得A点的仰角为37°，从点F处测得A点的仰角为45°（1）根据测量方案和所得数据，第小组的数据无法算出大楼高度？（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE ＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD．（1）求证：CE2＝BE•DE；（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长；（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．2020-2021学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．（4分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4【解答】解：∵AC：BC＝3：1，∴设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x，则AB：BC＝2：1．故选：A．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sin A的值为（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝＝，故选：A．3．（4分）如图，AB∥DE，BC∥DF，已知AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵DF∥BC，∴＝，∴＝，∵AB∥DE，∴△DEC∽△ABC，∴，∴，∴CE＝，故选：D．4．（4分）已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．＝0【解答】解：如图所示，点M是线段AB的中点，A、，故本选项不符合题意．B、，故本选项符合题意．C、，故本选项不符合题意．D、＝，故本选项不符合题意．故选：B．5．（4分）将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x+1）2+2【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1，2），所以新抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+2，故选：C．6．（4分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（）A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．a﹣b+c＝0D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y2【解答】解：A、∵抛物线开口向上，交y轴的负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，故A正确；B、∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，故B不正确；C、当x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，故C正确；D、点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，∵y1＞0，y2＝0，∴y1＞y2，故D正确；故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．（4分）如果2x＝3y，那么＝．【解答】解：∵2x＝3y，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．8．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是4厘米．【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，∴b2＝ac＝16，解得b＝±4，又∵线段是正数，∴b＝4．故答案为4．9．（4分）如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP＝3﹣．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AB＝2，AP＜BP，∴BP＝AB＝﹣1，∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．10．（4分）计算：3＝5﹣4．【解答】解：原式＝3×2﹣3﹣﹣＝5﹣4．故答案是：5﹣4．11．（4分）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为，那么其周长为26．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由题意得，AE＝DF＝4，cos∠B＝，AD＝5，设BE＝3x，则可得AB＝5x，AE＝4x，∴x＝1，∴BE＝3，AB＝5，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝CD＝5，BC＝BE+EF+FC＝3+3+5＝11，∴梯形ABCD的周长＝5+5+5+11＝26，故答案为：26．12．（4分）某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x ＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为y＝10（1+x）2．（不要求写定义域）【解答】解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x，∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元，∴y＝10（1+x）2．故答案为：y＝10（1+x）2．13．（4分）如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向向上．【解答】解：由抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）可知顶点为（﹣1，m），∵顶点坐标在第二象限，∴m＞0，∴抛物线开口向上，故答案为：向上．14．（4分）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：y＝﹣x2（答案不唯一）．【解答】解：设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，∵经过原点，∴c＝0，∵在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降，∴a＜0，﹣＝0，即：b＝0，只要满足a＜0，b＝0，c＝0就行，如：a＝﹣1，所以二次函数的解析式是y＝﹣x2．故答案为：y＝﹣x2．15．（4分）如图，已知△ABC中，EF∥AB，＝，如果四边形ABEF的面积为25，那么△ABC的面积为45．【解答】解：∵，∴，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝，∴设S△EFC＝4x，S△ABC＝9x，∴四边形ABEF的面积5x＝25，∴x＝5，∴△ABC的面积＝45，故答案为：45．16．（4分）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为6．【解答】解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．∴△AEF∽△DBG，∴＝．又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，∴＝．∴EF＝6．即正方形铁皮的边长为6．故答案是：6．17．（4分）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为15米．【解答】解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，∵BC：AC＝1：0.75，∴12：AC＝1：0.75，∴AC＝9（米），∴AB＝＝＝15（米），答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．故答案为：15．18．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝﹣1．【解答】解：如图1，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠P AO＝45°，∴∠P AO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EP A＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a＝AP，∴tan∠CAP＝＝＝+1；如图2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴tan∠CAP＝＝＝﹣1，∵点P在线段EF上，∴情形1，不满足条件，情形2满足条件，故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．（10分）计算：．【解答】解：原式＝＝＝＝．20．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心点G，，．（1）试用向量、表示向量；（2）求作向量（3﹣）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．【解答】解：（1）连接BE．∵G是△ABC的重心，DE∥BC，∴＝＝＝，∵＝，∴＝，∴＝+＝a+．（2）∵＝+，＝3，∴＝3﹣，∴＝＝（3﹣），∴如图即为所求作．21．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）把点（﹣1，2）代入y＝ax2﹣ax（a≠0），得a+a＝2．解得a＝1．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x．由y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣知，该抛物线的顶点坐标是（，﹣）；（2）可以，理由如下：由y＝x2+3x+，得y＝（x+）2﹣．则平移后抛物线顶点坐标是（﹣，）．而抛物线y＝x2﹣x的顶点坐标是（﹣，﹣），所以将抛物线y＝x2﹣x先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到抛物线y＝x2+3x+．22．（10分）如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AB2＝DE•BF；（2）如果OE＝1，EF＝2，求的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴，，∴，∴AB2＝DE•BF；（2）∵△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴＝，＝，∴1﹣＝1﹣，∴，∴，∴AO ＝，∴＝＝．23．（12分）某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表：测量教学大楼（AB）的高度课题测量角度的仪器，皮尺等测量工具第一组第二组第三组测量小组测量方案示意图说明点C、D在点B的正东方向GH是教学大楼旁的居民住宅楼EF是教学大楼正南方向的“校训石”，借助EF进行测量，使P、E、A三点在一条直线上，点P、F在点B的正南方向．测量数据从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝12米从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45°EF＝9米，从点P处测得A点的仰角为37°，从点F处测得A点的仰角为45°（1）根据测量方案和所得数据，第二小组的数据无法算出大楼高度？（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]【解答】解：（1）第二小组的数据无法算出大楼高度，理由如下：第二小组只测量了有关仰角和俯角的度数，没有测量有关的线段长度，所以第二小组的数据无法算出大楼高度，故答案为：二；（2）选择第一小组的数据测量，理由如下：由题意得：∠ABD＝90°，∠ACB＝37°，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，设AB＝x米，则AB＝BD＝x米，BC＝BD+CD＝（x+12）米，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan37°≈0.75，∴≈，解得：x≈36，即教学大楼AB的高度约为36米．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x，∴对称轴为直线x＝2；（2）∵点D与点B关于抛物线的对称轴对称，∴点D（5，3），∴BD＝6，∵点C（2，0），点B（﹣1，3），∴BC＝3，直线BC解析式为y＝﹣x+2，如图，连接BO，∵BD∥OC，∴∠DBE＝∠BCO，∵∠CED＝∠OBD，∠CED＝∠EBD+∠BDE，∠OBD＝∠OBC+∠DBE，∴∠OBC＝∠BDE，∴△OBC∽△EDB，∴，∴＝，∴BE＝2，设点E（x，﹣x+2），∴2＝，∴x＝1或x＝﹣2（舍去），∴点E（1，1）；（3）当OA为边时，∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴OA＝MN＝4，OA∥MN，∴点N横坐标为6或﹣2，∴点N的纵坐标为，∴平行四边形的面积＝4×＝，当OA为对角线，∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴MN与OA互相平分，∴，∴N x＝2，∴点N（2，﹣），∴平行四边形的面积＝4×＝，综上所述：平行四边形的面积为或．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD．（1）求证：CE2＝BE•DE；（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长；（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．【解答】（1）证明：如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵∠DCE＝45°，∴∠B＝∠DCE，∵∠CED＝∠CEB，∴△CDE∽△BCE，∴，∴CE2＝BE•DE；（2）解：如图2，过D作DN⊥AC于N，∴∠AND＝90°，∵∠DAN＝45°，∴△ADN是等腰直角三角形，∵DN∥BC，AD＝2BD，∴，∵AC＝3，∴AB＝3，AN＝DN＝2，CN＝1，∵AD＝2BD，∴BD＝，由勾股定理得：DC＝＝＝，由（1）知：△CDE∽△BCE，∴，设DE＝x，CE＝3x，∴＝，∴x＝，∴DE＝x＝；（3）解：如图3，过点C作CP⊥CM，交AB的延长线于点P，∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°∴∠ACM+∠BCD＝45°＝∠BCD+∠BCP，∴∠BCP＝∠ACM，∵∠CBP＝180°﹣45°＝135°＝∠CAM，AC＝BC，∴△AMC≌△BPC（ASA），∴CM＝CP，∵∠DCM＝∠DCP＝45°，CD＝CD，∴△MCD≌△PCD（SAS），∴∠MDC＝∠PDC＝∠BDC，∵∠ABC＝45°＝∠MCD，∴△BCD∽△CMD，∴，即，∵FM⊥FC，∠DCE＝45°，∴△CFM是等腰直角三角形，∴CM＝FM，∴y＝tan∠FMD＝＝＝＝＝1﹣＝1﹣x；Rt△ABC中，AC＝BC，∴AB＝BC，∵D，E是AB上一点，∠DCE＝45°，∴当点E与A重合时，BD最大为AB，∵＝x，∴0＜x＜，∴y＝1﹣x（0＜x＜）．。

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