最新高三上学期11月月考数学(理)试题
邱县第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
邱县第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）A ．π1492+B ．π1482+C ．π2492+D ．π2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.2． 已知f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0．现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0； ②f （0）f （1）＜0； ③f （0）f （3）＞0； ④f （0）f （3）＜0．其中正确结论的序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④3． 设直线x=t 与函数f （x ）=x 2，g （x ）=lnx 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B． C．D．4． 设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y轴上，则的值为（ ） A．B．C．D．5． 执行如图所示的程序框图，输出的z 值为（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．3B ．4C ．5D ．66． 下列函数中，a ∀∈R ，都有得()()1f a f a +-=成立的是（ ）A ．())f x x =B ．2()cos ()4f x x π=-C ．2()1x f x x =+D ．11()212xf x =+-7． 设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68． 设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n9． 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（ ）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N == 10．已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点M （0，2）的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．3B ．C ．D ．11．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 12．如图所示程序框图中，输出S=（ ）A ．45B ．﹣55C ．﹣66D ．66二、填空题13．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是 ．14．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.15．设m 是实数，若x ∈R 时，不等式|x ﹣m|﹣|x ﹣1|≤1恒成立，则m 的取值范围是 ．16．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．17．台风“海马”以25km/h 的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A 点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B 点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C 点，这时观测站与台风中心的距离AC 等于 km ．18．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111]三、解答题19．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。
岭东区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
岭东区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f （x+2）=f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）=x 2．若直线y=x+a 与函数y=f （x ）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（ ）A ．0B ．0或C ．或D ．0或2． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则异面直线EF 和BC 1所成的角是（）A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°3． 已知函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是（ ）A ．（﹣1，2]B ．（﹣2，2]C ．[﹣2，2]D ．[﹣2，﹣1）4． 抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ）A ．y=B ．y=2C ．x=D ．y=﹣2 5． 双曲线=1（m ∈Z ）的离心率为（）A ．B ．2C ．D ．36． 已知x ＞1，则函数的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．17． 已知a ，b 是实数，则“a 2b ＞ab 2”是“＜”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8． 分别是的中线，若，且与的夹角为，则=（ ）,AD BE ABC ∆1AD BE ==AD u u u r BE u u u r 120oAB AC ⋅u u u r u u u r （A ） （ B ） （C ） （D ）134923899． 某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x的图象是（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．①B ．②C ．③D ．④11．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6 102，b ＝2 016时，输出的a 为（）A ．6B ．9C ．12D ．1812．以下四个命题中，真命题的是（ ）A ．，(0,)x π∃∈sin tan x x=B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++<C ．，函数都不是偶函数R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+D ．中，“”是“”的充要条件ABC ∆sin sin cos cos A B A B +=+2C π=【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．二、填空题13．计算：×5﹣1= ．14．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．15．若x ，y 满足线性约束条件，则z=2x+4y 的最大值为 ．16．已知是定义在上函数，是的导数，给出结论如下：()f x R ()f x '()f x ①若，且，则不等式的解集为；()()0f x f x '+>(0)1f =()xf x e -<(0,)+∞②若，则；()()0f x f x '->(2015)(2014)f ef >③若，则；()2()0xf x f x '+>1(2)4(2),n n f f n N +*<∈④若，且，则函数有极小值；()()0f x f x x'+>(0)f e =()xf x 0⑤若，且，则函数在上递增．()()xe xf x f x x'+=(1)f e =()f x (0,)+∞其中所有正确结论的序号是．17．若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．()f x []1,2-(32)f x -18．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．三、解答题19．（本小题满分12分）设曲线:在点处的切线与轴交与点，函数．C ln (0)y a x a =≠00(,ln )T x a x x 0((),0)A f x 2()1xg x x=+（1）求，并求函数在上的极值；0()f x ()f x (0,)+∞（2）设在区间上，方程的实数解为，的实数解为，比较与的大小．(0,1)()f x k =1x ()g x k =2x 1x 2x 20．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程． 21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i （单位：千元）与月储蓄y i （单位：千元）的数据资料，计算得x i =80，y i =20，x i y i =184，x i 2=720．（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．22．已知函数．()21ln ,2f x x ax x a R =-+∈（1）令，讨论的单调区间；()()()1g x f x ax =--()g x（2）若，正实数满足，证明．2a =-12,x x ()()12120f x f x x x ++=12x x +≥23．已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。
方正县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
方正县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 设f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x ）的图象可能是（ ）A． B． C．D．2． 给出下列函数： ①f （x ）=xsinx ； ②f （x ）=e x +x ； ③f （x ）=ln（﹣x ）；∃a ＞0，使f （x ）dx=0的函数是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3． 函数y=2sin 2x+sin2x 的最小正周期（ ） A．B．C ．πD ．2π4． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}的元素个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．95． 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________6． 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P 使∠F 1PF 2=90°，且满足2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，那么双曲线C 的离心率为（ ）A ．+1B ．2C ．D ．7． 已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=，且f （x ）=f （x+2），g （x ）=，则方程g （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ） A ．12 B ．11C ．10D ．98． 在△ABC 中，，则这个三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角D ．等腰或直角三角形9． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．已知全集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个12．已知a ，b 是实数，则“a 2b ＞ab 2”是“＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为（ ）A ．B ．C ．D ．14．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为（ ） A ．1 B ．±1 C 2 D ．2±【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．15．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm ．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）16．设集合A={﹣3，0，1}，B={t 2﹣t+1}．若A ∪B=A ，则t= ．17．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则的值为 ．18．用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ．三、解答题19．（本小题满分12分）某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布直方图中的a 的值，并估计每天销售量的中位数；（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，千克每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．20．已知函数()x f x e x a =-+，21()x g x x a e=++，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求的取值范围； （3）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：121x x e +<．21．（本题满分12分）为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问 卷调查，得到了如下的22⨯（1（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率.（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量2K ，判断心肺疾病与性别是否有关？（参考公式：))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=）22．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 4=7，S 4=16． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．23．（本小题满分12分）已知椭圆C 的离心率为2，A 、B 分别为左、右顶点， 2F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的 动点，且PA PB 的最小值为-2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过左焦点1F 的直线交椭圆C 于M N 、两点，求22F M F N 的取值范围.24．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB=2，AA 1=2，D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，且CO ⊥ABB 1A 1平面． （1）证明：BC ⊥AB 1；（2）若OC=OA ，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．方正县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B故选D【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题2．【答案】B【解析】解：对于①，f（x）=xsinx，∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，∴xsinxdx=（sinx﹣xcosx）=2sina﹣2acosa，令2sina﹣2acosa=0，∴sina=acosa，又cosa≠0，∴tana=a；画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；在（0，）内，两函数的图象有交点，即存在a＞0，使f（x）dx=0成立，①满足条件；对于②，f（x）=e x+x，（e x+x）dx=（e x+x2）=e a﹣e﹣a；令e a﹣e﹣a=0，解得a=0，不满足条件；对于③，f（x）=ln（﹣x）是定义域R上的奇函数，且积分的上下限互为相反数，所以定积分值为0，满足条件；综上，∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是①③．故选：B．【点评】本题主要考查了定积分运算性质的应用问题，当被积函数为奇函数且积分区间对称时，积分值为0，是综合性题目．3．【答案】C【解析】解：函数y=2sin2x+sin2x=2×+sin2x=sin（2x﹣）+1，则函数的最小正周期为=π，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．4．【答案】B【解析】解：①x=0时，y=0，1，2，∴x﹣y=0，﹣1，﹣2；②x=1时，y=0，1，2，∴x﹣y=1，0，﹣1；③x=2时，y=0，1，2，∴x﹣y=2，1，0；∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共5个元素．故选：B．5．【答案】B【解析】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．6．【答案】A【解析】解：如图，∵∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，∴∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，2∴2a=，2c=2x，∴双曲线C的离心率e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．7．【答案】B【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，函数g（x）=，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）对称，函数f（x）与g（x）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称，设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d，则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，即函数y=f（x）﹣g（x）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．故选：B．【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．8．【答案】A【解析】解：∵，又∵cosC=，∴=，整理可得：b2=c2，∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形．故选：A．9．【答案】D【解析】解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=，所以e=．故选D．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．10．【答案】B【解析】考点：空间直线与平面的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．11．【答案】B【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，即M={x|﹣1≤x≤3}，在此范围内的奇数有1和3．所以集合M∩N={1，3}共有2个元素，故选B．12．【答案】C【解析】解：由a2b＞ab2得ab（a﹣b）＞0，若a﹣b＞0，即a＞b，则ab＞0，则＜成立，若a﹣b＜0，即a＜b，则ab＜0，则a＜0，b＞0，则＜成立，若＜则，即ab（a﹣b）＞0，即a2b＞ab2成立，即“a2b＞ab2”是“＜”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．二、填空题13．【答案】【解析】解：法1：取A1C1的中点D，连接DM，则DM∥C1B1，在在直三棱柱中，∠ACB=90°，∴DM⊥平面AA1C1C，则∠MAD是AM与平面AA1C1C所的成角，则DM=，AD===，则tan∠MAD=．法2：以C1点坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，则∵AC=BC=1，侧棱AA=，M为A1B1的中点，1∴=（﹣，，﹣），=（0，﹣1，0）为平面AA1C1C的一个法向量设AM与平面AA1C1C所成角为θ，则sinθ=||=则tanθ=故选：A【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．14．【答案】A【解析】15．【答案】10cm【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，∴A′B==10cm．故答案为：10．【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．16．【答案】0或1．【解析】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t2﹣t+1=﹣3①t2﹣t+4=0，①无解或t2﹣t+1=0②，②无解或t2﹣t+1=1，t2﹣t=0，解得t=0或t=1．故答案为0或1．【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．17．【答案】．【解析】解：已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，∴a 1+a 2 =1+9=10．数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，∴ =1×9，再由题意可得b 2=1×q 2＞0 （q 为等比数列的公比），∴b 2=3，则=，故答案为．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．18．【答案】 {（x ，y ）|xy ＞0，且﹣1≤x ≤2，﹣≤y ≤1} ．【解析】解：图中的阴影部分的点设为（x ，y ）则{x ，y ）|﹣1≤x ≤0，﹣≤y ≤0或0≤x ≤2，0≤y ≤1}={（x ，y ）|xy ＞0且﹣1≤x ≤2，﹣≤y ≤1}故答案为：{（x ，y ）|xy ＞0，且﹣1≤x ≤2，﹣≤y ≤1}．三、解答题19．【答案】（本小题满分12分）解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025)101a ++++⨯=得0.035a = （3分）每天销售量的中位数为0.15701074.30.35+⨯=千克 （6分） （Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180⨯-⨯=元；若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240⨯-⨯=元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300⨯=元， （10分） ∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270⨯+⨯+⨯=元. （12分）20．【答案】（１）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（２）1a >或0a <；（３）证明见解析． 【解析】试题解析： （1）'()1xf x e =-．令'()0f x >，得0x >，则()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；] 令'()0f x <，得0x <，则()f x 的单调递减区间为(,0)-∞． （2）记()()()F x f x g x =-，则21()2xx F x e x a a e=--+-， 1'()2x xF x e e =+-． ∵112220x x x x e e e e+-≥⋅-=，∴'()0F x ≥， ∴函数()F x 为(上的增函数， ∴当[]0,2x ∈时，()F x 的最小值为2(0)F a a =-．∵存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，∴()F x 的最小值小于0，即20a a -<，解得1a >或0a <．1（3）由（1）知，0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点，即最小值为(0)1f a =+， 则只有1a <-时，函数()f x 由两个零点，不妨设12x x <， 易知10x <，20x >，∴1222()()()()f x f x f x f x -=--2222()()xx e x a e x a -=-+-++2222x x e e x -=--，令()2x x h x e e x -=--（0x ≥），考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想． 21．【答案】【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型，突出了统计和概率知识的交汇，对归纳、分析推理的能力有一定要求，属于中等难度.22．【答案】【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意得…（2分）解得：a1=1，d=2a n=2n﹣1…（2）由①得…（7分）∴…（11分）∴…（12分）【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．23．【答案】（1）22142x y+=；（2）22[2,7)F M F N∈-.【解析】试题解析：（1）根据题意知2c a =，即2212c a =，∴22212a b a -=，则222a b =， 设(,)P x y ，∵(,)(,)PA PB a x y a x y =-----，2222222221()222a x x a y x a x a =-+=-+-=-，∵a x a -≤≤，∴当0x =时，2min ()22a PA PB =-=-， ∴24a =，则22b =.∴椭圆C 的方程为22142x y +=. 1111]设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则212212x x k+=-+，21224(1)12k x x k -=+，∵211(2,)F M x y =-，222()F N x y =，∴222121212)2(F M F N x x x x k x x =+++2221212(1))22k x x x x k =+++++22222224(1)42(1)2(1)221212k k k k k k k --=++-++++ 29712k =-+.∵2121k +≥，∴210112k<≤+. ∴297[2,7)12k-∈-+. 综上知，22[2,7)F M F N ∈-.考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.24．【答案】【解析】（I ）证明：由题意，因为ABB 1A 1是矩形，D 为AA 1中点，AB=2，AA 1=2，AD=，所以在直角三角形ABB 1中，tan ∠AB 1B==，在直角三角形ABD 中，tan ∠ABD==，所以∠AB 1B=∠ABD ，又∠BAB 1+∠AB 1B=90°，∠BAB 1+∠ABD=90°， 所以在直角三角形ABO 中，故∠BOA=90°， 即BD ⊥AB 1，又因为CO ⊥侧面ABB 1A 1，AB 1⊂侧面ABB 1A 1， 所以CO ⊥AB 1 所以，AB 1⊥面BCD ， 因为BC ⊂面BCD ， 所以BC ⊥AB 1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣，0），B （﹣，0，0），C （0，0，），B 1（0，，0），D （，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．。
安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考(11月)数学试题
安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考（11月）数学试题一、单选题1．已知复数()i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z =（）A ．1B ．2CD 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若38304S a ==,，则9S =（）A ．54B ．63C ．72D ．1353．已知平面向量,a b 满足4a = ，(1,b = ，且()()23a b a b +⊥- ．则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．在等比数列{}n a 中，已知13a =，48n a =，93n S =，则n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（）A ．-15B ．-14C ．-11D ．-66．已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP m AB AC =+，则AP AB ⋅=（）A ．29B ．19C ．23D ．17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（）A ．552B ．452C ．92D ．1028．已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB = ，1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=，则ABC ∠的最大值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2二、多选题9．已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则（）A ．OA OB =B ．OA OC⊥C ．AC BC = D ．OB AC∥10．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（）A ．当9n =时，n S 最大B ．使得0n S <成立的最小自然数18n =C ．891011a a a a +>+D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 11．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则下列说法错误．．的是（）A ．当01q <<时，数列{}n d 单调递减B ．当1q >时，数列{}n d 单调递增C ．当12d d >时，数列{}n d 单调递减D ．当12d d <时，数列{}n d 单调递增三、填空题12．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4210S S =，则62S S 的值为.13．已知数列{}n a 中，11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2024项的和为.14．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A -的最大值是.四、解答题15．设等比数列{an }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{an }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3an }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．16．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22a cb bc -=+.(1)求角A ；(2)若3,2a BA AC BD DC ⋅==，求AD 的长.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.(1)求证：数列{}n a 为等差数列；(2)在数列{}n b 中，1213,n n n n b a b a b ++==，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：92n T <.18．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列.(1)求证：21a d =，并求出数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；(2)设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92.19．已知函数()x f x e =.(1)当0x ≥时，求证：()()2f x f x x --≥；(2)若0k >，且()f x kx b ≥+在R 上恒成立，求2k b +的最大值；(3)设*2,n n ≥∈Nln n +.。
遂川县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
遂川县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞）D ．（0，1）2．不等式恒成立的条件是（ ）A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＜0或m ＞2D ．0＜m ＜23． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ） A ．725B ．725- C. 725± D ．24254． 已知函数f （x ）=xe x ﹣mx+m ，若f （x ）＜0的解集为（a ，b ），其中b ＜0；不等式在（a ，b ）中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．5． 函数y=2x 2﹣e |x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）A． B． C．D．6． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π7． 已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜2B ．﹣3＜a ＜6C ．a ＜﹣3或a ＞6D ．a ＜﹣1或a ＞28． 已知函数f （x ）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．y=2B ．y=log 3（x+1）C ．y=4﹣D ．y= 9． 已知表示数列的前项和，若对任意的满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ） A ．（4，1，1） B ．（﹣1，0，5）C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）11．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣或﹣12．设变量x ，y 满足，则2x+3y 的最大值为（ ）A ．20B ．35C ．45D ．55二、填空题13．已知集合M={x||x|≤2，x ∈R}，N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}，那么M ∩N= ．14．设x ，y 满足的约束条件，则z=x+2y 的最大值为 ．15．定义)}(),(min{x g x f 为)(x f 与)(x g 中值的较小者，则函数},2min{)(2x x x f -=的取值范围是16．设f （x ）是（x 2+）6展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[，]上恒成立，则实数m 的取值范围是 ．17．设MP 和OM 分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM ， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．18．若函数f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题19．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为e=，直线l ：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切．（1）求椭圆C1的方程；（2）抛物线C2：y2=2px（p＞0）与椭圆C1有公共焦点，设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上（R，S与Q不重合），且满足•=0，求||的取值范围．20．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，﹣＜φ＜）的最小正周期为π，图象过点P（0，1）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+cos2x﹣1，将函数g（x）图象上所有的点向右平行移动个单位长度后，所得的图象在区间（0，m）内是单调函数，求实数m的最大值．22．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．23．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（2≤x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．24．（1）化简：（2）已知tanα=3，计算的值．遂川县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】D【解析】解：∵方程x 2+ky 2=2，即表示焦点在y 轴上的椭圆∴故0＜k ＜1故选D ．【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．2． 【答案】D【解析】解：令f （x ）=x 2+mx+=（x+）2﹣+则f min （x ）=﹣+．∵恒成立，∴﹣+＞0解得0＜m ＜2． 故选D ．【点评】本题考查了函数恒成立问题，是基础题．3． 【答案】A 【解析】考点：正弦定理及二倍角公式.【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定理R CcB b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化. 4． 【答案】C【解析】解：设g （x ）=xe x ，y=mx ﹣m ，由题设原不等式有唯一整数解，即g（x）=xe x在直线y=mx﹣m下方，g′（x）=（x+1）e x，g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0），结合函数图象得K PA≤m＜K PB，即≤m＜，，故选：C．【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．5．【答案】D【解析】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D6．【答案】A【解析】考点：三角函数的图象性质．7．【答案】C【解析】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x﹣1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选：C．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．8．【答案】C【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线，函数y=2，y=log3（x+1），y=的值域均含4，即y=4不是它们的渐近线，函数y=4﹣的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），故y=4为函数图象的渐近线，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档．9．【答案】C【解析】令得，所以，即，所以是以1为公差的等差数列，首项为，所以，故选C答案：C10．【答案】C【解析】解：设C（x，y，z），∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，∴C（4，﹣3，1）．故选：C．11．【答案】B【解析】解：当a＞1时，f（x）单调递增，有f（﹣1）=+b=﹣1，f（0）=1+b=0，无解；当0＜a＜1时，f（x）单调递减，有f（﹣1）==0，f（0）=1+b=﹣1，解得a=，b=﹣2；所以a+b==﹣；故选：B12．【答案】D【解析】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．二、填空题13．【答案】{1，﹣1}．【解析】解：合M={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}，N={x∈R|（x﹣3）lnx2=0}={3，﹣1，1}，则M∩N={1，﹣1}，故答案为：{1，﹣1}，【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．14．【答案】 7 ．【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y ，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B 时，直线y=﹣的截距最大，此时z 最大．由，得，即B （3，2），此时z 的最大值为z=1+2×3=1+6=7， 故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．【答案】(],1-∞ 【解析】试题分析：函数(){}2min 2,f x x x =-的图象如下图：观察上图可知：()f x 的取值范围是(],1-∞。
肇东市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
肇东市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（ ）A．＜，乙比甲成绩稳定 B．＜，甲比乙成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定 D．＞，乙比甲成绩稳定2． 设函数f （x ）在R 上的导函数为f ′（x ），且2f （x ）+xf ′（x ）＞x 2，下面的不等式在R 内恒成立的是（ ） A ．f （x ）＞0 B ．f （x ）＜0C ．f （x ）＞xD ．f （x ）＜x3． “方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．A ．必要不充分B ．充要C ．充分不必要D ．不充分不必要4．已知，，那么夹角的余弦值（ ）A．B．C ．﹣2D．﹣5． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A． B． C． D．6． 若变量x ，y满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（ ）A ．﹣2＜t＜﹣ B ．﹣2＜t ≤﹣ C ．﹣2≤t ≤﹣ D ．﹣2≤t＜﹣7． 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的的值等于126，则判断框中的①可以是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A．i＞4？B．i＞5？C．i＞6？D．i＞7？8．设为虚数单位，则（）A． B． C． D．9．设函数f（x）=，f（﹣2）+f（log210）=（）A．11 B．8 C．5 D．210．下面各组函数中为相同函数的是（）A．f（x）=，g（x）=x﹣1 B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=ln e x与g（x）=e lnx D．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=11．函数的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应该是（）A．10 B．11 C．12 D．1312．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．250二、填空题13．已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，则△MNF 的重心到准线距离为．14．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是．15．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线；②若点P 到点A 的距离为，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）16．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ▲ ．17．已知x ，y 满足条件，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．18．若与共线，则y= ．三、解答题19．【徐州市2018届高三上学期期中】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其矩形附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为，半径为，矩形的一边在直径上，点、、、在圆周上，、在边上，且，设．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；（2）怎样设计才能符合园林局的要求？20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．21．已知复数z=． （1）求z 的共轭复数；（2）若az+b=1﹣i ，求实数a ，b 的值．22．（本题满分15分）如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM ．（1）求证：BM AD ⊥；（2）若)10(<<=λλDB DE ，当二面角D AM E --大小为3π时，求λ的值．【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．23．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，b=2求a，c的值．24．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，计算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720．（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．肇东市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：由茎叶图可知=（77+76+88+90+94）=，=（75+86+88+88+93）==86，则＜，乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，故选：A【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．2．【答案】A【解析】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A故选A．3．【答案】C【解析】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即﹣3＜m＜5且m≠1，此时﹣3＜m＜5成立，即充分性成立，当m=1时，满足﹣3＜m＜5，但此时方程+=1即为x2+y2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要性不成立．故“方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的充分不必要条件．故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．4．【答案】A【解析】解：∵，，∴=，||=，=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，∴cos＜＞===﹣，故选：A．【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．5．【答案】A【解析】解：由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确故A选项正确．故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．6．【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0，由，得，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（﹣2，1），则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可，即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，即（3t+4）（2t+4）≤0，解得﹣2≤t≤﹣，即实数t的取值范围为是[﹣2，﹣]，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．7．【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1S=2，i=2不满足条件，S=2+4=6，i=3不满足条件，S=6+8=14，i=4不满足条件，S=14+16=30，i=5不满足条件，S=30+32=62，i=6不满足条件，S=62+64=126，i=7由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出S的值为126，故判断框中的①可以是i＞6？故选：C．【点评】本小题主要考查循环结构、数列等基础知识．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基本知识的考查．8．【答案】C【解析】【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】故答案为：C9．【答案】B【解析】解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=1+log24=1+2=3，=5，∴f（﹣2）+f（log210）=3+5=8．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．【答案】D【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数；对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数；故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．11．【答案】D【解析】解：∵函数y=cos（x+）的最小正周期不大于2，∴T=≤2，即|k|≥4π，则正整数k的最小值为13．故选D【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．12．【答案】A【解析】解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．二、填空题13．【答案】．【解析】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点，∴F（1，0），准线方程x=﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，解得x1+x2=4，∴△MNF的重心的横坐标为，∴△MNF的重心到准线距离为．故答案为：．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．14．【答案】．【解析】解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外区域D：表示正方形OABC，（如图）其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）．因此在区域D内随机取一个点P，则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内，且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分∵S正方形OABC=22=4，S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•22=4﹣π∴所求概率为P==故答案为：【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．15．【答案】①②④【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1的点P应为以AM为轴，以AC1为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；对于④，P到直线C1D1的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，∴动点P的轨迹所在曲线是以C1为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．16．【答案】1 2考点：函数极值【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.17．【答案】4．【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．18．【答案】﹣6．【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0解得y=﹣6故答案为：﹣6【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．三、解答题19．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值（2）要符合园林局的要求，只要最小，由（1）知，令，即，解得或（舍去），令，当时，是单调减函数，当时，是单调增函数，所以当时，取得最小值.答：当满足时，符合园林局要求.20．【答案】【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=OC=，以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）所以=（1，，﹣2），设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知，设，则设平面PBC的法向量=（x，y，z）则=0，所以令，平面PBC的法向量所以，同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，所以=0，即﹣6+=0，解得t=，所以PA=．【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力21．【答案】【解析】解：（1）．∴=1﹣i．（2）a（1+i）+b=1﹣i，即a+b+ai=1﹣i，∴，解得a=﹣1，b=2．【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．22．【答案】（1）详见解析；（2）3λ=.【解析】（1）由于2AB =，AM BM ==，则AM BM ⊥，又∵平面⊥ADM 平面ABCM ，平面 ADM 平面ABCM ＝AM ，⊂BM 平面ABCM ，∴⊥BM 平面ADM ，…………3分又∵⊂AD 平面ADM ，∴有BM AD ⊥；……………6分23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a ﹣c ，利用正弦定理化简得： 2sinBcosC=2sinA ﹣sinC=2sin （B+C ）﹣sinC=2sinBcosC+2cosBsinC ﹣sinC ， 整理得：2cosBsinC ﹣sinC=0， ∵sinC ≠0，∴cosB=， 则B=60°；（Ⅱ）∵△ABC的面积为=acsinB=ac，解得：ac=4，①又∵b=2，由余弦定理可得：22=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，∴解得：a+c=4，②∴联立①②解得：a=c=2．24．【答案】【解析】解：（1）由题意，n=10，=x=8，=y i=2，i∴b==0.3，a=2﹣0.3×8=﹣0.4，∴y=0.3x﹣0.4；（2）∵b=0.3＞0，∴y与x之间是正相关；（3）x=7时，y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．。
江西省南昌市莲塘一中2021届高三上学期11月月考数学(理)试题 Word版含答案
莲塘一中2020－2021上学期高三11月质量检测理科数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．sin75cos45sin15sin 45︒︒-︒︒=（ ）A ．0B ．12C D ．12．已知函数()f x =()11f x x -+的定义城为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--3．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得不等式20202021n S >成立的正整数n 的最小值为（ ）． A ．12B ．11C ．10D ．94．已知函数()24cos f x x =，则下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 的值域为[]0,45．曲线sin y x =，[0,2]π∈x 与x 轴所围成的面积是（ ） A ．0B ．2C ．4D ．π6．已知集合3{|2}1=≤+xA x x ，{221}=-<<+B x a x a ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1)2B ．1(,1]2C ．1[,1]2D ．1[,1)27．已知a b c d ,,,都是常数，,a b c d <<.若()()()2020f x x a x b 的零点为,c d ，则下列不等式正确的是（ ）A ．a c d b <<<B ．c a b d <<<C ．a c b d <<<D ．c d a b <<<8．在ABC ∆中，向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+=，且22BA BC BA BC=，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等腰直角三角形9．已知函数3()242()x x f x x x e e -=-+-，若2(52)(3)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1[2,]3-B ．1[,2]3-C ．2[1,]3--D ．2[,1]310．已知函数()()210xf x x e x =+-<（e 是自然对数的底数）与()()2g =ln x x x a ++图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．(,)-∞eC ．(),1-∞D ．(1,)e11．已知()y f x =定义域为R 的偶函数，当0x ≥时2020sin(),0120192()1()1,12019x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩,若关于x 的方程22020[()](20202021)()20210f x a f x a -++=有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或20202019a = B ．01a ≤≤或20202019a = C ．01a <≤或20202019a =D ．202012019a <≤或0a = 12．已知函数221,1()|(1)|,1⎧-≤=⎨->⎩x x f x log x x ，若1234()()()()===f x f x f x f x （12,34,,x x x x 互不相等），则1234+++x x x x 的取值范围是（ ） A ．11(5,]2B ．11(0,]2C ．(0,5)D ．11[5,]2二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．已知函数()3213f x x bx cx bc =-+++在1x =处取得极值43-,则b =__________. 14．函数()cos =+f x x x 的单调递增区间为________．15．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3=AB ，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________.16．由数列{}n a 和{}n b 的公共项组成的数列记为{}n c ，已知32n a n =-，2nn b =，若{}n c 为递增数列，且4==m t c b a ，则m t +=________.三. 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．在①1n n a a +-=+；②184n n a a n --=-（2n ≥）两个条件中,任选一个，补充在下面问题中，并求解． 【问题】:已知数列{}n a 中，13a =，__________． （1）求n a ；（2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<．18．已知函数2()21x x af x +=-是奇函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()[()2][()1]g x f x f x =+-，求函数()g x 的值域.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，它的外心在三角形内部（不包括边），同时满足()()()222sin cos --+=+a b cA CBC ．（1）求内角B ；（2）若边长1c =，求ABC ∆面积的取值范围．20．给出如下两个命题：命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=；命题:q 已知函数8()|ln |1-=++a g x x x ，且对任意1x ，2(0,1]∈x ，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--. （1）若命题⌝p 为假，求实数a 的取值范围.（2）若命题p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围.21．已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点(),()e f e 处的切线方程为4y x e =-. (本题可能用的数据:ln 20.69≈, 2.71828e =是自然对数的底数）（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对任意(1,)x ∈+∞，不等式2[()1](1)f x t x ->-恒成立，求整数t 的最大值.22．已知R a ∈，函数()1=--x f x e ax ，()ln(1)=-+g x x x （e 是自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若()10=--≥xf x e ax 对任意的R ∈x 恒成立,求实数a 的值；（3）在第（2）小题的条件下，[)0,∃∈+∞x ，()()<f x kg x ，求实数k 的取值范围.莲塘一中2020－2021上学期高三11月质量检测理科数学答案1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．B 7．B 8．D 9．A 10．C 11．C 12．A 11．【解析】画出函数()y f x=的图象如图，由22020[()](20202021)()20210f x a f x a-++=，可得()()202120,20==f x f x a，有图象知当()20212020=f x时，由于12020202120192020<<，所以有四个根，关于x的方程22020[()](20202021)()20210f x a f x a-++=仅有个6不同实数根，所以()f x a=有两个根，由图象知，当01a<≤或20202019a=时，()f x a=有两个根，故选C.12．【解析】作出函数函数()()221,1|1|,1⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩x xf xlog x x的图象，如图，1x=时，()11f=，令()()()()1234====t f x f x f x f x，设1234<<<x x x x，则有121x x=+，34(1)(1)1x x--=,1234344413(1)(1)3(1)(1)+++=+-+-=++--x x x x x x xx,因为4112x<-≤,所以1234+++x x x x的取值范围是11(5,]2，故选A.13．【答案】1-14．【答案】4[2,2],33--∈Zk k kππππ15．【答案】31116．【答案】92 16．【解析】由已知1224c b a===，设n m tc b a==，即232mnc t==-，1122(32)3'2mmb t t++==-=-，62'3tt-=不是正整数，所以1mb+不是公共项.2224(32)3'2mmb t t++==-=-，'42t t=-故1242n m tc b a++-==，因为1224c b a===，所以246c b a==，3622c b a==，4886c b a==，故当4=n时，8=m，86=t，故94m t+=.17．【解析】（1）选①：由1n n a a +-=，13a =2=，2=，2=，所以是首项为2，公差为2的等差数列，2n =，所以241=-n a n ； 选②：由184n n a a n --=-（2n ≥）可得： 当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(84)(812)123n n =-+-+++[(84)12](1)32n n -+-=+241n =-，当1n =时，13a =，符合241=-n a n ，所以当*n N ∈时，241=-n a n ； （2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， 所以1111111213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11242n =-+， 因为1042n >+，所以12n T <， 又因为11242n T n =-+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<．18．【解析】（1）由于()f x 为奇函数且0≠x ，所以()()f x f x -=-，()()0f x f x -+=，即2202121x x x x a a --+++=--，12201221x x x x a a +⋅++=--，()()1212120212121xx x x x x a a a a -+-++⋅-==---， ()()1210xa a -+-=，得：1a =.所以()()21021x x f x x +=≠-.（2）由（1）得()2121221212121x x x x xf x +-+===+---，所以()[()2][()1]g x f x f x =+-()22302121x x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪--⎝⎭，令()2021xt x =≠-，由于211x ->-且210x -≠，所以2221x t =<--或2021x t =>-.则()g x 的表达式变为 ()22393324y t t t t t ⎛⎫=+⋅=+=+- ⎪⎝⎭，其中2t <-或0t >，二次函数的对称轴为32t =-，开口向上，()()22322-+⨯-=-，所以232y t t =+>-，也即()g x 的值域为()2,-+∞.19．【解析】(1)3B π=.(2) 因为ABC ∆的外心在三角形内部（不包括边）,所以ABC ∆是锐角三角形， 由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<， 故ABCS的取值范围是(8220.【解析】（1）若命题⌝p 为假,则命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=为真令1()426(5)x x f x a a a +=⋅-⋅+-则1()426(5)xx f x a a a +=⋅-⋅+-在区间[0,1]有零点令[]2,1,2xt t =∈，可得22()26(5)(1)530g t at at a a t a =-+-=-+-，其对称轴为1t =要使得1()426(5)x x f x a a a +=⋅-⋅+-在区间[0,1]有零点(1)(2)0g g ∴⨯≤ 解得：[5,6]a ∈，则当命题p 为真时，[5,6]a ∈（2）若命题q 为真时： 因为()()21211g x g x x x -<--，所以()()212110g x g x x x -+<-，()()2211210g x x g x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦<-。
尉氏县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
尉氏县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2则a ＞b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32． 使得（3x 2+）n （n ∈N +）的展开式中含有常数项的最小的n=（ ）A ．3B ．5C ．6D ．103． 在区间上恒正，则的取值范围为（）()()22f x a x a =-+[]0,1A ． B ． C ．D ．以上都不对0a>0a <<02a <<4． 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1C D5． 若复数z=（其中a ∈R ，i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．126． 已知集合，，若，则（ ）},052|{2Z x x x x M ∈<+=},0{a N =∅≠N M =a A ． B ．C ．或D ．或1-1-1-2-7． 已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，且双曲线C 过点P （﹣2，0），则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．y=±xB ．y=±C ．xy=±2xD ．y=±x8． 已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数()cos(3f x x π=+'()y f x =()y f x =的图象（ ）A ．向右平移个单位 B ．向左平移个单位2π2πC. 向右平移个单位D ．左平移个单位23π23π9． 设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．B ．C ．D ．10．不等式的解集为（ ）A ．或B ．C ．或D ．11．设命题p ：，则p 为（ ）A ．B ．C ．D ．12．过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交其抛物线于、22(0)y px p =>F 2218-=y x A 两点，若，且，则抛物线方程为（ ）B >AF BF ||3AF =A ．B ．C ．D ．2y x =22y x =24y x =23y x=【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．二、填空题13．等比数列{a n }的公比q=﹣，a 6=1，则S 6= ．14．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 15．△ABC 外接圆半径为，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A=60°，b=2，则c 的值为 ．16．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB 1的长均为1，回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…，若从点O 到点A 3的回形线为第1圈（长为7），从点A 3到点A 2的回形线为第2圈，从点A 2到点A 3的回形线为第3圈…依此类推，第8圈的长为 ．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，B=45°，面积S=2，则b 等于 ．18．过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为 ． 三、解答题19．已知函数f （x ）=，求不等式f （x ）＜4的解集．20．（本小题满分12分）某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：0.02频率组距千克（Ⅰ）求频率分布直方图中的的值，并估计每天销售量的中位数；a （Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．21．设a ＞0，是R 上的偶函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：f （x ）在（0，+∞）上是增函数．22．已知函数f（x）=在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R）（1）求m和t的值；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．23．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD 旋转一周所成几何体的表面积．24．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．尉氏县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则c 2＞0，则a ＞b ”为真命题；故其逆否命题也为真命题；其逆命题为“设a 、b 、c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”在c=0时不成立，故为假命题故其否命题也为假命题故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个故选C【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断，不等式的基本性质，其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同，是解答的关键． 2． 【答案】B【解析】解：（3x 2+）n （n ∈N +）的展开式的通项公式为T r+1=•（3x 2）n ﹣r •2r •x ﹣3r =•x 2n ﹣5r，令2n ﹣5r=0，则有n=，故展开式中含有常数项的最小的n 为5，故选：B ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 3． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数在区间上恒正，则()()22f x ax a =-+[]0,1，即，解得，故选C.(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩2020a a a >⎧⎨-+>⎩02a <<考点：函数的单调性的应用.4． 【答案】D【解析】由定积分知识可得，故选D 。
新乐市第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
新乐市第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）C ．D ．36,144ππ36,36ππ一定是（ ）D ．等腰三角形或直角三角形y=x+，三棱锥的三视图如图090=S ABC -C ．8D ．34意在考查学生空间想象能力和计算能6． 若x ，y 满足且z=y ﹣x 的最小值为﹣2，则k 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣27． 已知数列为等差数列，为前项和，公差为，若，则的值为（ ）{}n a n S d 201717100201717S S -=d A ．B ．C ．D ．12011010208． 已知命题p ：“若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直”，命题q ：“存在两个相交平面垂直于同一条直线”，则下列命题中的真命题为（ ）A ．p ∧qB ．p ∨qC ．￢p ∨qD ．p ∧￢q9． 复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）2(2)i z i-=i z A ． B ． C ． D ．43i -+43i +34i +34i-【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力．10．已知偶函数f （x ）满足当x ＞0时，3f （x ）﹣2f （）=，则f （﹣2）等于（）A ．B ．C ．D ．11．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则e 1•e 2+1的取值范围为（ ）A ．（1，+∞）B ．（，+∞）C ．（，+∞）D ．（，+∞）12．如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（）A ．i ≥7？B ．i ＞15？C ．i ≥15？D ．i ＞31？二、填空题13．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．14．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．15．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．16．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①m ，使曲线E 过坐标原点；∃ ②对m ，曲线E 与x 轴有三个交点；∀ ③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN的面积不大于m 。
阿拉善左旗第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
阿拉善左旗第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知集合（其中为虚数单位），，则（ ）23111{1,(,,}122i A i i i i -=-+-+2{1}B x x =<A B =I A ．B ．C ． {1}-{1}{-D ．2． 设集合A={x|x 2+x ﹣6≤0}，集合B 为函数的定义域，则A ∩B=（）A ．（1，2）B ．[1，2]C ．[1，2）D ．（1，2]3． 函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是（ ）2()45f x x x =-+[]0,m m A ． B ． C ．D ．[2,)+∞[]2,4(,2]-∞[]0,24． 已知随机变量X 服从正态分布N （2，σ2），P （0＜X ＜4）=0.8，则P （X ＞4）的值等于（）A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.65． 设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则的值为（）A ．B ．C ．D ．6． 抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ）A ．（0，）B ．（，0）C ．（0，4）D ．（0，2）7． 已知点M （﹣6，5）在双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）上，双曲线C 的焦距为12，则它的渐近线方程为（ ）A ．y=±x B ．y=±x C ．y=±xD ．y=±x8． 在△ABC 中，若a=2bcosC ，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形9． 已知函数f （x ）=若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）10．已知函数与轴的交点为，且图像上两对称轴之间的最()2sin()f x x ωϕ=+(02πϕ<<y (0,1)班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________小距离为，则使成立的的最小值为（）1111]2π()()0f x t f x t +--+=t A ．B ．C ．D ．6π3π2π23π11．满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的043=++m y x 0>m C 062222=--++y x y x C 距离的2倍，则.=m 14．设f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＞0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 ． 15．在中，角的对边分别为，若，的面积，ABC ∆A B C 、、a b c 、、1cos 2c B a b ⋅=+ABC ∆S =则边的最小值为_______．c 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．16．正六棱台的两底面边长分别为1cm ，2cm ，高是1cm ，它的侧面积为 ．17．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．18．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的''''O A B C cm 周长为．1111]三、解答题19．（本题满分12分）已知数列的前项和为，且，（）.}{n a n n S 332-=n n a S +∈N n （1）求数列的通项公式；}{n a （2）记，是数列的前项和，求.nn a n b 14+=n T }{n b n n T 【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前项和.重点突出对运算及化归能n 力的考查，属于中档难度.20．（本题满分14分）已知两点与是直角坐标平面内两定点，过曲线上一点作)1,0(-P )1,0(Q C ),(y x M y轴的垂线，垂足为，点满足，且.N E ME =0=⋅（1）求曲线的方程；C （2）设直线与曲线交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.l C B A ,O l 23AOB ∆【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．21．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？ 22．（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．23．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C 相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．24．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．阿拉善左旗第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】考点：1.复数的相关概念；2.集合的运算2．【答案】D【解析】解：A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]，要使函数y=有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，∴函数的定义域B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用函数成立的条件求出函数的定义域y以及利用不等式的解法求出集合A是解决本题的关键，比较基础3．【答案】B【解析】m m 试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知需从开始，要取得最大值为，由图可知m[]2,4的右端点为，故的取值范围是.考点：二次函数图象与性质．4．【答案】A【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2P（0＜X＜4）=0.8，∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1，故选A．5．【答案】C【解析】解：F1，F2为椭圆=1的两个焦点，可得F1（﹣，0），F2（）．a=2，b=1．点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1⊥F1F2，|PF2|==，由勾股定理可得：|PF1|==．==．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．6．【答案】D【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．7．【答案】A【解析】解：∵点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，∴，①又∵双曲线C的焦距为12，∴12=2，即a2+b2=36，②联立①、②，可得a2=16，b2=20，∴渐近线方程为：y=±x=±x，故选：A．【点评】本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．8．【答案】B【解析】解：由余弦定理得cosC=，把cosC代入a=2bcosC得：，∴a2=a2+b2﹣c2，∴c2=b2．又b和c都大于0，则b=c，即三角形为等腰三角形．故选B【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的形状判定，利用余弦定理表示出cosC是本题的突破点．9．【答案】A【解析】解：函数f（x）=的图象如下图所示：由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点，即方程f（x）=k有两个不同的实根，故选：A10．【答案】A【解析】考点：三角函数的图象性质．11．【答案】D【解析】解：由{0，1}∪A={0，1}易知：集合A ⊆{0，1}而集合{0，1}的子集个数为22=4故选D【点评】本题考查两个集合并集时的包含关系，以及求n 个元素的集合的子集个数为2n 个这个知识点，为基础题． 12．【答案】C 【解析】考点：三视图．二、填空题13．【答案】9【解析】考点：直线与圆的位置关系【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离.222d R l -=14．【答案】 （﹣2，0）∪（2，+∞） ．【解析】解：设g （x ）=，则g （x ）的导数为：g ′（x ）=，∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，即当x＞0时，g′（x）＞0，∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是减函数，又∵g（﹣2）==0=g（2），∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．15．【答案】116．【答案】 cm2 ．【解析】解：如图所示，是正六棱台的一部分，侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．根据正六棱台的性质得OC=，O1C1==，∴CC1==．又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm．∴正六棱台的侧面积：S=．==（cm2）．故答案为：cm2．【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．【答案】 75 【解析】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解，第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31C63=60，第二类，若从其他六门中选4门有C64=15，∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．故答案为：75．【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．18．【答案】8cm【解析】考点：平面图形的直观图．三、解答题19．【答案】【解析】（1）当时，；………………1分1=n 323321111=⇒=-=a a a S 当时，，2≥n 332,33211-=-=--n n n n a S a S ∴当时，，整理得.………………3分2≥n n n n n n a a a S S 2)(32211=-=---13-=n n a a ∴数列是以3为首项，公比为3的等比数列.}{n a ∴数列的通项公式为.………………5分}{n a nn a 3=20．【答案】【解析】（1）依题意知，∵，∴),0(y N )0,32()0,(32x x ME -=-==),31(y x E 则， …………2分)1,(-=y x QM )1,31(+=y x PE ∵，∴，即0=⋅PE QM 0)1)(1(31=+-+⋅y y x x 1322=+y x ∴曲线的方程为 …………4分C 1322=+y x21．【答案】【解析】解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C 103=120，奖金的可能取值是0，30，60，240，∴一等奖的概率P （ξ=240）=，P （ξ=60）=P （ξ=30）=，P （ξ=0）=1﹣∴变量的分布列是ξξ03060240P∴E ξ==20（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣四次抽奖是相互独立的∴中奖次数η～B （4，）∴D η=4×【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．22．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n +1，∴a n+1+1=2（a n +1），又∵a 1=1，∴数列{a n +1}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n +1=2n ，∴a n =﹣1+2n ； 6分（2）由（1）可知b n =n （a n +1）=n •2n =n •2n ﹣1，∴T n =1•20+2•2+…+n •2n ﹣1，2T n =1•2+2•22…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，错位相减得：﹣T n =1+2+22…+2n ﹣1﹣n •2n=﹣n •2n =﹣1﹣（n ﹣1）•2n ，于是T n =1+（n ﹣1）•2n ．则所求和为6分12nn 23．【答案】 【解析】解：（1）∵四边形AA 1C 1C 为平行四边形，∴AC=A 1C 1，∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，同理△ABC1是等边三角形，∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，∴BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，由题意可得，，则，所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），∴cosθ=．即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．24．【答案】【解析】【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF 和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）。
江西省南昌县莲塘第一中学2019届高三11月月考数学理试题(精品解析)
莲塘一中2018—2019学年上学期高三11月质量检测理科数学试题一、填空题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，故选B．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题化简所给复数根据复数的几何意义判断即可．因为,所以其在复平面对应的点的坐标为，故选C．考点：复数的运算及其几何意义3.已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，对四个选项逐一进行分析即可得到答案【详解】对于，令，，，满足，但不满足，故排除对于，令，，故排除对于，为减函数，当时，，故恒成立对于，令，，故排除故选【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。
4.若向量，则“”是“与夹角为锐角”的（）条件A. 充分不必要B. 充要C. 必要不充分D. 不充分不必要【答案】C【解析】【分析】先证明充分性，计算出结果后验证向量共线情况，然后再证明必要性【详解】充分性：当时，，但当时，，与共线，与夹角为，故充分性不成立必要性：与夹角为锐角，则，解得，故必要性成立故选【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，充分条件和必要条件的判定，在判断充分性的时候，要注意不要忽略与夹角为的情况，属于基础题。
5.函数的零点分别在区间与内，则的范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数零点所在区间得到关于的关系式，将其转化为线性规划求范围问题【详解】由题意可得：，即，转化为线性规划问题，如图：当时，当时，则的范围是故选【点睛】本题考查了函数零点问题，以及求范围问题，在解答过程中将其转化为线性规划问题，体现的转化思想，需要掌握解题方法6.某几何体的三视图如图，该几何体的外接球的表面积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先还原三视图，然后计算出几何体外接球的半径，从而计算出球的表面积【详解】根据题意，此几何体为底面边长为2的正三角形，高为2的正三棱柱，由底面三角形外接球有，则则球的半径，故该几何体的外接球的表面积为：故选【点睛】本题主要考查了三视图，还原几何体后找到其外接球的直径，继而计算出表面积，需要掌握解题方法 7.数列为等比数列，且，则（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】结合等比数列的下标性质进行求解 【详解】数列为等比数列，可得，，，，故选【点睛】本题结合了等比数列来求正切值，运用等比数列下标的运算性质，求出的值，代入即可计算出结果。
河北省九师联盟2023届高三上学期11月月考数学试题含答案
河北省九师联盟2023届高三上学期11月月考数学高三数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、复数、数列、立体几何．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P ={正奇数}，{,,}M x x a b a P b P ==⊕∈∈，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（）A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法2．在复平面内，复数z 对应的点)b 在第四象限，若||3z =，则z =（）A ．3-B 3i-C 2i+D 2i-3．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4623,12S S S =-=，则8S =（）A ．1275B ．51C ．1285D ．25654．设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(3)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于（）A ．直线1y =对称B ．直线2x =对称C ．直线2x =对称D ．直线2y =对称5．已知函数22()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()f x 取最大值时，x 的一个值为（）A ．6π-B ．6πC ．3πD ．56π6．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，“对任意正整数n ，均有0n a <”是“{}n S 为递减数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知点M 是ABC △所在平面内一点，若1123AM AB AC =+，则ABM △与BCM△的面积之比为（）A ．52B ．2C ．83D ．438．已知某四面体的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x ，则x 的取值范围是（）A ．B ．(4,7)C ．D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若函数()2()ln 1()f x x x =+∈R ，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．()f x 没有最小值D ．()f x 没有最大值10．给定平面α，设A ，B 是α外任意两点，则（）A ．在α内存在直线与直线AB 异面B ．在α内存在直线与直线AB 相交C ．在α内存在直线与直线AB 平行D ．存在过直线AB 的平面与α垂直11．已知sin sin αβ>，则下列命题正确的是（）A ．若角,αβ是第一象限角，则cos cos αβ>B ．若角,αβ是第二象限角，则tan tan βα>C ．若角,αβ是第三象限角，则cos cos βα>D ．若角,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1122AB AD AA ===，点P 为空间一点，若AP x AD y AB =++ 1(1)x y AA -- ，1BQ BD BB λμ=+，则下列判断正确的是（）A ．线段AP 长度的最小值为号43B ．当12μ=时，三棱锥1Q BDA -的体积为定值C ．无论,,,x y λμ取何值，点P 与点Q 不可能重合D ．当12λμ==时，四棱锥Q ABCD -的外接球的表面积为9π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量,a b满足||3,||5,1a a b a b =-=⋅= ，则||b = ____________．14．已知函数2222,0,()22,0,x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩若对任意[3,),()||x f x x ∈-+∞≤恒成立，则实数a 的取值范围是_____________．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222,sin 3sin 2sin a A B a C =+=，则cos C 的最小值为____________．16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若780,0S S ><，则65a a 的取值范围是___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，139,,a a a 成公比为3a 的等比数列，又数列{}n b 满足()2,21,2,2a n n k b k n n k*⎧=-=∈⎨=⎩N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，111,2,,AB CD AB BB BC CD BC BA AB ===⊥∥与1A B 交于点E．（1）求证：AD ∥平面1CEC ；（2）求直线1AB 与平面1CEC 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为钝角，且tan bB a=．（1）探究A 与B 的关系，并证明你的结论；（2）求cos cos cos A B C ++的取值范围．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足222111,321,12n n n n a a a b a +==+=-．（1）证明：数列{}n b 是等比数列，并求通项公式；（2）证明：数列{}n b 中的任意三项,,()i j k b b b i j k <<都不成等差数列；（3）若关于正整数n 的不等式n nb m >的解集中有且仅有三个元素，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==．（Ⅰ）求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值；（2）定义两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线PB 与CD 之间的距离．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)sin ()f x a x x a =+∈R ．（1）求()f x 的图象在0x =处的切线方程；（2）已知()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为ln 12π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，讨论关于x 的方程1()2f x =在[0,]π内的根个数，并加以证明．高三数学参考答案、提示及评分细则1．C 若3,1a b ==，则14,2,3b a b P a b P P a +=∉-=∉=∉，因此排除ABD ，故选C ．2．D由题意，得i(0)z b b =+<，则2222||3z b =+=，解得2b =-（2舍去），所以2i z =-．故选D ．3．B∵412346234563,12,0S a a a a S S a a a a q =+++=-=+++=>，∴()23113a q q q +++=，()2231112a q q q q +++=，解得11,25a q ==，则()8811255112S -==-．故选B ．4．C 设函数(3)y f x =-的图象上任意一点()00,P x y ，则()()00003,,y f x P x y =-关于直线2x =的对称点为()004,Q x y -．又函数(1)y f x =-中，当04x x =-时，()()00143y f x f x =--=-⎡⎤⎣⎦，所以()004,Q x y -在(1)y f x =-的图象上．故函数(3)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线2x =对称．故选C ．5．C222222153()sin sin sin sin cos sin cos 32244f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=++=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331cos23131113sin cos sin 21sin 2cos21sin 2124442222622x x x x x x x π⎛⎫-⎛⎫=++=+-=+-≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当,3x k k ππ=+∈Z 时，等号成立，取0k =，得x 的一个值为3π．故选C ．6．A 当0n a <时，则10n n n S S a --=<()2,n n *≥∈N，∴1nn SS -<，则“对任意正整数n ，均有0n a <”是“{}n S 为递减数列”的充分条件；如数列{}n a 为0,1,2,3,4,---- ，显然数列{}n S 是递减数列，但是n a 不一定小于零，还有可能大于或等于零，所以“对任意正整数n ，均有0n a <”不是“{}n S 为递减数列”的必要条件，因此“对任意正整数n ，均有0n a <”是“{}n S 为递减数列”的充分不必要条件．故选A ．7．B 如图，延长AM 交BC 于G ，则(1)AG AB AC λλ=+-，因为A ，M ，G 三点共线，所以AG t AM = ，即11(1)23AB AC t AB AC λλ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，所以12113λλ=-，则312λλ=-，故35λ=且65t =，又CG CB λ= ，故35CG CB = ，所以21,36BG GM GC GA ==，所以52BMC BGMS S==△△5125BAMS⨯=△12BAMS△．所以2BAMBMCSS=△△．故选B．8．D如图所示，设3,4AB AC==，四面体A ABC'-可以由ABC△和在同一平面的A BC'△沿着BC为轴旋转构成，前三个图讨论最短：当90ABC∠<︒向90︒趋近时，BC逐渐减少，AA BC'<，可以构成x AA BC='=的四面体；当90ABC∠≥︒时，构成的四面体AA BC'>，不满足题意；=当90BAC∠<︒向90︒趋近时，BC逐渐增大，AA BC'>，可以构成x AA BC='=的四面体；当90ABC∠≥︒时，构成的四面体AA BC'∠，不满足题意；5=．综上，x∈．故选D．9．BD易知()f x的定义域为R，且x∀∈R，都有()2()ln1()f x x f x-=+=，所以()f x 为偶函数，故B正确，A错误；因为211x+≥，所以()2()ln1ln10f x x=+≥=，所以()f x 没有最大值，有最小值0，故C错误，D正确．故选BD．10．AD因为A，B是α外的任意两点，所以直线AB与平面α相交或平行．若AB与平面α相交，设交点为O，则α内不过交点O的直线与AB异面，但平面α内不存在与AB平行的直线；若AB与平面α平行，则在α内存在直线b与AB平行，而在α内与b相交的直线与AB异面，但α内不存在直线与AB相交，由上知A正确，B、C均错误；无论AB与平面α平行还是相交，过A作平面α的垂线，则这条垂线与直线AB所在平面与平面α垂直（如果垂线与AB重合，则过AB的任意平面都与α垂直），D正确．故选AD．11．BCD设角,αβ的终边分别为射线OP，OQ．对于A ，如图1，sin sin MP NQ αβ=>=，此时cos ,cos ,OM ON OM ON αβ==<，所以cos cos αβ<，故A 错误；对于B ，如图2，sin sin MP NQ αβ=>=，此时tan ,tan AC AB αβ==，且AC AB <，所以tan tan αβ<，故B 正确；对于C ，如图3，sin sin MP NQ αβ=>=，此时cos ,cos OM ON αβ==，且OM ON <，所以cos cos βα>，故C 正确；对于D ，如图4，sin sin ,MP NQ AB AC αβ=>=<，即tan tan βα<，故D 正确．故选BCD ．12．ABD 由A 1(1)AP x AD y AB x y AA =++--得点P 在平面1BDA 内，故AP 的最小值为点A 到平面1BDA 的距离，利用等积法易求min 4()3AP =，故A 正确；当12μ=时，点Q 的轨迹为图中直线EF ，显然EF BD ∥，易得EF ∥平面1BDA ，故三棱锥1Q BDA -的体积为定值，故B 正确；由1BQ BD BB λμ=+，则点Q 在平面11BDD B 内，又点P 在平面1BDA 内，且平面1BDA 平面11BDD B BD =，故P ，Q 可能重合，故C 错误；当12λμ==时，点Q 为1DB 的中点，连接AC ，其与BD 的交点为1O ，连接1QO ，则12QO =，设四棱锥Q ABCD -的外接球的球心为O ，则O 在1QO 上，设球O 的半径为R ，则222(2)2AC R R ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得32R =．故球O 的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故D 正确．故选ABD ．13．由||5a b -= 得2()25a b -= ，即22225a a b b -⋅+= ，结合||3,1a a b =⋅= ，得22321||25b -⨯+= ，所以2||18b = ，即||b = ．14．1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦由题意，当0x >时，2()22f x x x a =-+-，只需222x x a x -+-≤恒成立，即22a x x ≥-+恒成立，因为0x >时，2y x x =-+的最大值为14，所以18a ≥；当30x -≤≤时，2()22f x x x a =++-，只需222x x a x ++-≤-恒成立，即232a x x ≤--+恒成立，因为30x -≤≤时，232y x x =--+的最小值为2，所以2a ≤．故a 的取值范围为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．342a =，则原等式为222sin 3sin 4sin A B C +=，由正弦定理得22234a b c +=，222cos 2a b c C ab+-==()22222213334284a b a b a b ab ab +-++=≥，当且仅当223b a =时取等号，所以cos C 的最小值为34．16．()2,3由题意可得171810,0,7670,28780,2a d d S a d S a ⎧><⎪⎪⨯⎪=+>⎨⎪⨯⎪=+<⎪⎩所以1732a d -<<-，令17,32a t d ⎛⎫=∈-- ⎪⎝⎭，61515544a a d t a a d t ++==++．令57()342t f t t t +⎛⎫=-<<- ⎪+⎝⎭，则224(5)1()0(4)(4)t t f t t t +-+-==<++'在7,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭上恒成立，故函数()f t 在7,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，7573523,(3)2723442f f -+-+⎛⎫-==-== ⎪-+⎝⎭-+，即65a a 的取值范围是(2,3)．17．解：（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 中，139,,a a a 成公比为3a 的等比数列，所以2319313,a a a a a a ==，所以()()2111128,1a d a a d a +=+=，解得11a d ==，所以,n a n n *=∈N ．（2）由（1）可得()2,21,2,2n n n k b k n n k*⎧=-=∈⎨=⎩N ，当n 为偶数时，()128322(48122)n n T n -=+++++++++ ()2214(42)221(2)214232nnn n n n ⎛⎫- ⎪+-+⎝⎭=+=+-；当n 为奇数时，()1221221(1)(1)27232326n n nn n n n n n T T b -+---+=+=++=+．所以()22221(2),,3227,.326n n n n n n T n n +⎧-++⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为偶数为奇数18．（1）证明：分别取线段1,AB CC 的中点F ，G ，连结,,CF EF EG，如图所示．因为点F 是线段AB 的中点，2,AB CD AB CD =∥，以,AF CD AF CD =∥，所以四边形AFCD 是平行四边形，所以AD CF ∥．在1ABB △中，点F 是线段AB 的中点，点E 是线段1AB 的中点，所以111,2EF BB EF BB =∥．因为点G 是线段1CC 的中点，所以1111,2CC BB CG BB =∥，所以,EF CG EF CG =∥，所以四边形EFCG 是平行四边形，所以CF GE ∥，又AD CF ∥，所以AD GE ∥．又AD ⊄平面1,CEC GE ⊂平面1CEC ，所以AD ∥平面1CEC ．（2）解：在直棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，又,AB BC ⊂平面ABCD ，所以11,BB AB BB BC ⊥⊥．又11111,,,BC BA BB BA B BB BA ⊥=⊂ 平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ，又BA ⊂平面11ABB A ，所以BC BA ⊥．不妨设2AB =，以B 为坐标原点，1,,BA BB BC 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则111(0,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(0,2,2),(2,0,0),(0,2,0)B A C C A B ，所以11(1,1,0),(2,2,0),(1,1,2),(1,1,2)E AB CE C E =-=-=--．设平面1CEC 的一个法向量(,,)n x y z = ，所以10,0,n CE n C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x y z x y z +-=⎧⎨--=⎩令4x =，解得0,2y z ==，所以平面1CEC 的一个法向量(4,0,2)n =．设直线1AB 与平面1CEC 成角的大小为θ，则11sin 5||n AB n AB θ⋅=== ，即直线1AB 与平面1CEC 所成角的正弦值是105．19．解：（1）A 与B 之间的关系是2A B π=+，证明如下：因为tan b B a =，由正弦定理，得sin sin sin cos B BA B=，所以sin cos A B =，即cos cos 2A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为2A ππ<<，所以0,,0,222A B πππ⎛⎫⎛⎫-∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是2A B π-=，所以2A B π=+．（2）由（1）知，2A B π=+，所以202C B π=->，所以04B π<<，所以cos cos cos sin cos sin 2A B C B B B ++=-++．令cos sin t B B =-，则(0,1)4t B π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭且2sin 21B t =-，所以2215cos cos cos 124A B C t t t ⎛⎫++=-++=--+ ⎪⎝⎭．当12t =时，21t t -++取得最大值，最大值为54，当1t =或0时，21t t -++的值为1，所以cos cos cos A B C ++的取值范围是51,4⎛⎤⎥⎝⎦．20．（1）证明：由221321n n a a +=+，得()()2213121n n a a +-=-，即123n n b b +=．又211113,124a b a ==-=．则有123n n b b +=，所以{}n b 是首项为34，公比为23的等比数列，所以13243n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．（2）证明：假设存在,,()i j k b b b i j k <<成等差数列，则2j i k b b b =+，即1113232322434343j i k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得22323j i j i k i j k ----⨯=+⨯，易知上式左侧为偶数，右侧3j i -为奇数，23k i j k --⨯不可能为奇数，则上式左侧与右侧不可能相等，故数列{}n b 中的任意三项,,()i j k b b b i j k <<都不成等差数列．（3）解：关于正整数n 的不等式n nb m >，即13243n n m -⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭，当1n =时，34m <；当2n =时，1m <；当3n =时，1m <；当4n =时，89m <，并且当3n ≥时，1(1)2(1)21811339n n n b n nb n n +++⎛⎫==+≤< ⎪⎝⎭．所以当3n ≥时，数列{}n nb 单调递减，要使关于正整数n 的不等式n nb m >的解集中有且仅有三个元素，则3849m ≤<，放实数m 的取值范围为38,49⎡⎫⎪⎢⎣⎭．21．解：以A 为原点，分别以棱,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则各点的坐标为(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)B C D P．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂面ABCD ，所以PA AD ⊥D ，又AB AD ⊥，且PA AB A = ，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD 是平面PAB 的一个法向量，(0,2,0)AD = ．因为(1,1,2),(0,2,2)PC PD =-=- ．设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z = ，则0,0m PC m PD ⋅=⋅= ．即20,220,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =，解得1,1z x ==，所以(1,1,1)m = 是平面PCD 的一个法向量．从而cos ,3||||AD m AD m AD m ⋅== ，所以平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值为33．（2）易知(1,0,2)BP =- ，设Q 为直线PB 上一点，且(,0,2)BQ BP λλλ==- ，又(1,1,0),(0,1,0)CD CB =-=- ，则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=-- ，所以点Q 到直线CD的距离d ==．因为22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，所以23d ≥．所以异面直线PB 与CD 之间的距离为23．22．解：（1）因为()ln(1)sin f x a x x =+，所以sin ()ln(1)cos 1x f x ax x x ⎡⎤=++'⎢⎥+⎣⎦，(0)0,(0)0,f f '==，所以()f x 的图象在0x =处的切线方程为00y -=，即0y =．（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有sin ln(1)cos 01x x x x ++>+．当0a =时，()0f x =，不符合题意；当0a <时，()0f x '<，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，即max ()(0)0f x f ==，不符合题意；当0a >时，()0f x '>．则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即max ()ln 1ln 1222f x f a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1a =．令1()()2g x f x =-，由（1）知()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．因为11(0)0,ln 102222g g ππ⎛⎫⎛⎫=-<=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内存在唯一的零点．当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin ()ln(1)cos 1x g x x x x =+++'，令()()h x g x '=，则222(1)cos 1(1)ln(1)sin ()(1)x x x x x h x x ⎡⎤+-+++⎣⎦+'=，所以当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()0h x '<，即()g x '在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为10,()ln(1)0212g g ππππ''⎛⎫=>=-+< ⎪⎝⎭+，所以()g x '在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内存在唯一零点0x ，即()00g x '=，所以当0,2x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0()0g x g x ''>=，即()g x 在0,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以有()02g x g π⎛⎫>>⎪⎝⎭，即()g x 在0,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内无零点，当[]0,x x π∈时，()0()0g x g x ''<=，所以()g x 在[]0,x π上单调递减．因为()00,()0g x g π><，所以()g x 在[]0,x π内有且仅有一个零点．综上，关于x 的方程1()2f x =在[0,]π内有两个不相等的实数根．。
河南省焦作市第一中学2024届高三上学期11月月考数学试题
河南省焦作市第一中学2024届高三上学期11月月考数学试题1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.若，则（）A．B．C．D．74.已知是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边的中点，连结并延长到点F，使得，则的值为（）A．B．C．1D．5.定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”.若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（）A．B．C．D．6.已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数x，y，使得”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（）A．0B．C．D．28.如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则（）A．5B．10C．13D．269.已知实数a满足，（i为虚数单位），复数，则（）A ．z 为纯虚数B ．为虚数C ．D ．10.已知不等式的解集是，则b 的值可能是（）A ．B ．3C ．2D ．011.关于函数有下述四个结论，则（）A ．是偶函数B ．的最小值为C ．在上有4个零点D ．在区间单调递增12.如图，正方形与正方形边长均为1，平面与平面互相垂直，P是上的一个动点，则（）A ．的最小值为B ．当P 在直线上运动时，三棱锥的体积不变C ．的最小值为D ．三棱锥的外接球表面积为13.已知曲线在处的切线方程为，则___________.14.已知数列是等差数列，，则使的最大整数n 的值为___________.15.某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道.要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为___________平方米.16.已知是定义在上的奇函数，且，则的最小正周期为___________；若对任意的，当时，都有，则关于x 的不等式在区间上的解集为___________.17.已知向量，向量，记.(1)求表达式；(2)解关于x 的不等式.18.记为数列的前n 项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．19.中，sin2A－sin2B－sin2C=sin B sin C．(1)求A；(2)若BC=3，求面积的最大值．20.已知数列满足．(1)若，证明数列为等比数列，并求通项公式；(2)数列的前项和为，求．21.有人收集了春节期间平均气温与某取暖商品销售额的有关数据，如下表所示．平均气温-3-4-5-6-7销售额/万元2023273050(1)根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程；(2)预测平均气温为时，该商品的销售额为多少万元．22.设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．。
2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．销售量千张经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共36分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝，整理得1cos sin 2λμθθ+==，解得cos λμθ==，则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λμ=+==，所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为：⎡⎢⎣四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+ （2）433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故143)74n n P --=-，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
上海市建平中学2023届高三上学期11月月考数学试卷(解析版)
所以平均数
，
解得 ．
故答案为: ，
4.已知 的展开式中，若第7项为常数项，则 的值为______．
【答案】9
【分析】根据二项式定理的通项展开即可.
【详解】由题知，
，
因为第7项为常数项.
所以当 时， ,
所以
故答案为：
5.已知函数 的图像与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 的值为______.
【答案】（1） ；（2）2．
【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知 ，再利用诱导公式化简 ，利用降幂公式化简 ，结合 ，求出 ；（2）由（1）可知 ，利用三角形面积公式求出 ，再利用余弦定理即可求出 .
试题解析：（1） ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）由（1）可知 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
则 的前20项和为
．
20.已知二次曲线 的方程： ．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件：
（2）若双曲线 与直线 有公共点且实轴最长，求双曲线方程：
（3） 、 为正整数，且 ，是否存在两条曲线 ，其交点 与点 满足 ？若存在，求 、 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） 时．方程表示椭圆； 时，方程表示双曲线；
故选：B.
【点睛】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．
15.已知抛物线 的焦点为 ， 、 、 为抛物线 上三点，当 时，称 为“特别三角形”，则“特别三角形”有（）
A.1个B.2个C.3个D.无数个
【答案】D
【分析】根据向量表达式可以确定 是 的重心，根据重心的性质进行判断即可.
【详解】抛物线方程为 ，A、B、C为抛物线E三点，当满足 时时，F为 的重心，连接 并延长至D，使 ，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦 ，则这样的三角形有无数个．故“特别三角形”有无数个，
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一、填空题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，故选B．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题化简所给复数根据复数的几何意义判断即可．因为,所以其在复平面对应的点的坐标为，故选C．考点：复数的运算及其几何意义3.已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，对四个选项逐一进行分析即可得到答案【详解】对于，令，，，满足，但不满足，故排除对于，令，，故排除对于，为减函数，当时，，故恒成立对于，令，，故排除故选【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。
4.若向量，则“”是“与夹角为锐角”的（）条件A. 充分不必要B. 充要C. 必要不充分D. 不充分不必要【答案】C【解析】【分析】先证明充分性，计算出结果后验证向量共线情况，然后再证明必要性【详解】充分性：当时，，但当时，，与共线，与夹角为，故充分性不成立必要性：与夹角为锐角，则，解得，故必要性成立故选【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，充分条件和必要条件的判定，在判断充分性的时候，要注意不要忽略与夹角为的情况，属于基础题。
5.函数的零点分别在区间与内，则的范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数零点所在区间得到关于的关系式，将其转化为线性规划求范围问题【详解】由题意可得：，即，转化为线性规划问题，如图：当时，当时，则的范围是故选【点睛】本题考查了函数零点问题，以及求范围问题，在解答过程中将其转化为线性规划问题，体现的转化思想，需要掌握解题方法6.某几何体的三视图如图，该几何体的外接球的表面积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先还原三视图，然后计算出几何体外接球的半径，从而计算出球的表面积【详解】根据题意，此几何体为底面边长为2的正三角形，高为2的正三棱柱，由底面三角形外接球有，则则球的半径，故该几何体的外接球的表面积为：故选【点睛】本题主要考查了三视图，还原几何体后找到其外接球的直径，继而计算出表面积，需要掌握解题方法7.数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合等比数列的下标性质进行求解【详解】数列为等比数列，可得，，，，故选【点睛】本题结合了等比数列来求正切值，运用等比数列下标的运算性质，求出的值，代入即可计算出结果。
8.设均为正实数，且，则的最小值为A. 4B.C. 9D. 16【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，即，所以，所以，应用基本不等式可得：，故应选．考点：1、基本不等式的应用．9.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则满足与平面平行的直线有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条【答案】D【解析】【分析】平移平面，能够与线段，同时有无数个交点，这些交点的连线即是满足题意的直线【详解】只需要将平面向上平移，平移至任意位置，平面与线段，的交点为，此时与原平面一定平行，故这样的直线有无数条故选【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系，较为基础10.已知为的外心，,，若，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：画出草图，如下图所示．因为，所以，又因为为的外心，点分别为的中点，分别为两中垂线，则，，所以，所以，故应选．考点：1、三角形的外心的性质；2、平面向量数量积的应用；【思路点睛】本题考查了三角形的外心的性质、平面向量数量积的运算和向量模的求解，渗透着转化与化归的数学思想，考查学生综合运用知识的能力和分析计算能力，属中档题．其解题的一般思路为：首先将已知变形为，然后根据向量数量积的几何意义分别求出，，进而可得出关于的代数式，最后利用整体求解即可得出所求的结果．11.数列的前项和为，，且，若，，则的最大值为（）A. 10B. 15C. 18D. 26【答案】C【解析】【分析】由已知条件求出数列的通项公式，根据数列特征求出最值【详解】,，，，，数列为等差数列，首项为，,,,,在数列中只有,,为正数的最大值为故选【点睛】本题主要考查了求数列的通项公式，并结合数列特征求和的最值问题，在解答时注意对已知条件的转化和运用，得到新数列为等差数列，继而求出通项公式12.设函数，其中，存在，使得成立，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数可视为动点M(x,2lnx)与动点N(a,2a)之间距离的平方,动点M在函数y=2lnx上,动点N在直线y=2x上,即直线上的动点到曲线的最小距离,由y=2lnx得,解得x=1,所以曲线上的点(1,0)到直线y=2x的距离最小,距离平方的最小值为,则,又存在使得成立,则,此时N为垂足, ,解得a=,故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知为锐角，，则_____________．【答案】【解析】【分析】根据题意求出的余弦值，利用两角和的余弦函数求出的余弦值，然后求出【详解】，为锐角，，，，为锐角，则故答案为【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，同角三角函数间的基本关系的应用，考查了计算能力，属于基础题。
14.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是_____________．【答案】【解析】【分析】先找出线面角，运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点，取中点，连接，则，连接为异面直线与所成角在中，，,同理可得,,异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题。
15.将奇数按如图所示的规律排列下去，且用表示位于从上到下第行，从左到右第列的数，比如，若，则_____________．【答案】71【解析】【分析】探究数列规律求出符合题意的结果【详解】奇数数列,则即为第个奇数，每行的项数记为，则其前项和为个奇数则第1行到第44行末共有990个奇数第1行到第45行末共有1035个奇数则位于第45行而第45行驶从右到左依次递增，且共有45个奇数故位于第45行，从右到左第20个，则故故答案为71【点睛】本题主要考查了探究数列的规律，求出满足题意的结果，探究数列的规律是本题的关键，找准奇数个数，运用数列知识进行求解16.已知曲线在点处的切线的斜率为，直线交轴、轴分别于点，且.给出以下结论：①；②当时，的最小值为；③当时，；④当时，记数列的前项和为，则.其中，正确的结论有__________．(写出所有正确结论的序号）【答案】①②④【解析】令，所以；①对；因为，所以；②对；令，所以，即，③错；因为，所以④对；点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.三、解答题（本大题共6小题，满分10+12+12+12+12+12=70分）17.如图，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若，，求异面直线与所成的角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）取PD的中点H，连接AH，NH，∵N是PC的中点，∴NH DC.∵M是AB的中点，且DC AB，∴NH AM，即四边形AMNH为平行四边形．∴MN∥AH.又MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.（2）连接AC并取其中点O，连接OM、ON，则OM BC，ON PA.∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由MN＝BC＝4，PA＝，得OM＝2，ON＝.∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，即异面直线PA与MN成30°的角．考点：线面平行的判定，异面直线所成的角.18.已知向量，函数，且当时，的最小值为2（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换，得到，再由当时，的最小值为2，求出．由此能求出f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由函数伸缩变换、平移变换得到，由此能求出方程在区间上所有根之和．试题解析：（Ⅰ）时，令，得单调增区间为.（Ⅱ）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的得，再把所得的图象向右平移个单位得又由得，解得或即或或，故所有根之和为.考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；函数的图象变换．19.已知我国华为公司生产某款手机的年固定成本为万元，每生产万只还需另投入万元.设公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且.(Ⅰ)写出年利润(万元）关于年产量(万只）的函数的解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．试题解析：（1）当时，，当时，，所以.（2）①当时，，所以；②当时，，由于，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为，综合①②可知，当时，取得最大值为.20.如图，在锐角中，，，，点在边上，且，点在边上，且，交于点．（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求及的长．【答案】(1)5(2)【解析】试题分析：（Ⅰ）在锐角中，，，，由正弦定理可得；（Ⅱ）由诱导公式、同角三角函数之间的关系以及两角和的余弦公式可得的值，根据直角三角形的性质可得，，利用余弦定理求得，再由余弦定理得.，根据可得结果.试题解析：（Ⅰ）在锐角中，，，，由正弦定理可得，所以．（Ⅱ）由，，可得，，所以，因为，所以，，在中，，，，由余弦定理可得，所以．由，得，所以．21.数列是等差数列，其前项和为，，，是等比数列，公比，，（1）求数列、的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）,（2）【解析】【分析】⑴利用等差数列，等比数列的通项公式即可求出答案⑵利用错位相减法求得答案【详解】解：（1）由已知，，所以，，则，，所以，（2），设的前项和为，由错位相减法得，所以当时，；当时，，故综上．【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的通项公式，运用错位相减法求和，需要掌握解题方法，能熟练运用错位相减法计算22.已知函数．（1）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）当时，恒成立，求整数的最大值；（3）试证明：（）．【答案】（1）在区间上是减函数；（2）3（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）求导，讨论导数的符号，导数大于0得增区间；导数小于0得减区间．（2）当时，恒成立，令可转化为求函数的最小值问题．将函数求导．讨论导数的符号得函数的单调性，根据其单调性求其最值即可．（3）由（2）可知时恒成立，即．通过放缩法可证得．由题意分析可令，则可得，再将变形上式可变形为．将分别取，可得个不等式，再将这个不等式相加，根据对数的运算法则即可证得命题．试题解析：（Ⅰ）由题故在区间上是减函数；（Ⅱ）当时，恒成立，即在上恒成立，取，则，再取则故在上单调递增，而，故在上存在唯一实数根，故时，时，故故（3）由（2）知：令，又即：考点：考点：用导数研究函数的性质．。