第14章动能定理

再计算 F 的功：


20 0
200N cm
W WT WF 200150 50N cm
例：卷筒B重为Q,半径为R,作用一变力偶矩M=aφ,(a为 常数)。Φ为卷筒的转角。重量为P的物块A沿倾角为α 的光滑斜面运动，其上作用一大小为F=bsinφ，方向 与水平线夹角为φ的主动力F，b为常数，φ与卷筒同 步。弹簧常数为k。若φ=0时，绳对物块A的拉力为零， 系统处于平衡状态。试求：卷筒转过φ角时，系统上 所有力的功。
M2

z2
z1
(mg)dz mg( z1 z2 )
M1
Xdx Ydy Zdz
x
z1
mg
z2 y
对于质点系，其重力所作的功为
W12 mi g ( zi1 zi 2 ) ( mi zi1 mi zi 2 ) g ( MzC1 MzC 2 ) g Mg ( zC1 zC 2 )
由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而 与重心走过的路径无关。
二、常见力的功
15.1 2、弹力的功 M 设质点M在弹性力作用下 M r 1 r1 沿图示轨迹运动，设弹簧原长 r0 r 2 为 l0 ，弹性系数为 ，在弹性 k l 0 O 范围内，弹性力 F 为 F k (r l0 )r0 M2 M2 由 W12 得 W12 k (r l0 )r0 dr M1 F dr M1 1 2 1 1 d (r r ) dr dr 因为 r0 dr r dr r 2r 2 r r r 1 于是 W12 k (r l0 )dr k (r l0 ) 2
例2 长为 l ，重 P 的均质杆OA绕通 O Oz 过球形铰链的竖直轴 以等角速度 转 C 动。如杆与铅直线的夹角为 ，求杆的动 能。 P A 解：在杆上距O为 r 处取一微段 dr ， z P dm dr，该微段到 Oz 的 如图。其质量 r O gl dr 距离为r sin ，则该微段的动能为 C
z
F
O1 F Fn M
O
W12
其中 所以
M2
M1
F ds F O1M d 1 M z (F ) F O1M
W12
2 1
2
Fb
当 M z (F ) 为常量时
W12 M z ( F ) (2 1 ) 若作用在刚体上为力偶，矩矢为 m ，则力偶所
第十四章 动能定理
• • • • 力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例
引
言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。
1
2 2
F
力 的 功
2
M2
r1
2
1 k (r1 l0 ) 2 (r2 l0 ) 2 2

1 2 或 W12 k ( 12 2 ) 2

r1
二、常见力的功
15.1
力 的 功
如图，作用在定轴转动刚体上的力F 当刚体从1 位置转到 2 位置所作的功为
3、定轴转动刚体上作用力的功
C
F
N
例1 如图所示滑块 P 9.8 N 15 cm A k 0.5 N cm 重 ，弹簧刚度系 B ，滑块在A位置 15.1 数 20cm 20 N ， 时弹簧对滑块的拉力为 2 .5 N 滑块在 的绳 子拉力作用下沿光滑水平槽从位置 A运动到位置B， 力 求作用于滑块上所有力的功的和。 T P 的 解：滑块在任一瞬时受力如图。由 F 于 P 与 N 始终垂直于滑块位移，因此， N 与 功 它们所作的功为零。所以只需计算 T F 的功。先计算 T 的功： 在运动过程中， T 的大小不变，但方向在变，因 此 T 的元功为 W T cosdx
z
O
mg
力
的 当 f N为常量时 W12 f Ns 功 其中 s为质点所经过的弧长。由此可见，摩擦力所作
的功与质点所走过的路径有关。
W12 Fds f Nds
s1 s1
s2
s2
x
M1
F
s
N
M2
y
如图，当刚体在固定平面上作纯滚 动时，摩擦力和法向反力作用在瞬心上， 由于瞬心速度等于零，故瞬心没有位移。 因此摩擦力和法向反力不作功。
A
vA

l

B

C
vA vCA vC vA
2 2 2 B vA vCA 2vAvCA cos(180 ) 系 vC 2 2 2 1 1 2 2 的 vA (1 l ) 2 v l cos v A 2 A 2 4 l lv A cos 动 2 2 1 1 则杆的动能 T 2 mvC 2 J C 能 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 m(v A 4 l lv A cos ) 2 ( 12 ml ) 2 1 1 2 2 2 m(v A 3 l lv A cos )
的 功
M2 W12 R dr ( F1 F2 Fn ) dr M1 M1 M2 M2 M2 F1 dr F2 dr Fn dr
M2
W1 W2 Wn Wi
M1
M1
M1
即：汇交力系的合力在任一路程中所作的功等于各 分力在同一路程中所作功的代数和。
二、常见力的功
1、重力的功 15.1 设质点的质量为 m，在重力作用 下从 M 1运动到 M 2。建立如图坐标，则 力 X 0, Y 0, Z mg 由
z
O
M1
M
M2
的 功
W12
得 W12
F
φ
F
F k
α
一、质点的动能 15.2 为
设质点的质量为 m ，速ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为 v ，则质点的动能
1 2 T mv 2
质 点 因速度为瞬时量，所以动能也为瞬时量，它是恒正的 及 标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳（J）。 质 二、质点系的动能 点 质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能， 系 1 2 的 即 T mi vi 2 动 能 刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动
在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。
一、功的概念
1、常力的功 15.1 设物体在常力 F 作用下沿直 线走过路程S，如图，则力所作的 力 功W定义为
M1
s
F
M2

F
W F cos s F s
的 功是代数量。它表示力在一段路程上的累积作用效应，
取质点运动微分方程的矢量形式
即：质点动能的微分等于作用在质点上的力的元功， 这就是质点动能定理的微分形式。
一、质点的动能定理
15.3 积分上式，得

v2
v1
动 能 定 理
或
1 2 1 2 mv 2 mv1 W12 2 2
一、质点的动能定理
15.3
动 能 定 理
dv m F dt 在方程两边点乘 dr ，得 dv m dr F d r dt 因 dr v dt ，于是上式可写成 mv dv F dr 1 2 d ( mv ) W 或 2
一、功的概念
15.1
力 上式称为自然法表示的功的计算公式。
于是在整个路程中，力F 所作的功为 M2 M2 W12 F cos ds F ds
M1 M1
M dr
ds
M M2
设对应微小弧段ds 的位移为dr ，则 M 1 的 力的元功的表达式为 W F dr M2 功 力 F 从 M 1到 M 2本所作的功为 W F dr 12
15.2
质 点 及 质 点 系 的 动 能
1 1 P 2 2 dT dm v dr(r sin ) P 2 2 gl P sin 2 2 2 r dr 2 gl 所以整个杆的动能为 2 2 T P sin l 2 P 2 2 2 T dT r dr l sin 0 0 2 gl 6g
W12 mz d
1 2
M z ( F )d
作的功为 当mz为常量时
W12 mz ( 2 1 )
平面运动刚体上的力的功等于作用其上所有力做 功之和；或将力平移到质心上所得到的力及力偶 矩的做功之和。 内力做功不一定为零。
二、常见力的功
4、摩擦力的功 15.1 如图，当物体在固定面上滑动 时，则滑动摩擦力的功为
F

M1
上式称为矢径法表示的功的计算公式。
设：F Xi Yj Zk
则
dr dxi dyj dzk W Xdx Ydy Zdz M2 W12 Xdx Ydy Zdz
M1
一、功的概念
上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为 15.1 功的解析表达式。 3、合力的功 力 R Fi ， 若在质点上作用有 n 个力，其合力为 则当质点从 M 1运动到 M 2时，合力 R 所作的功为
因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：J 功 （焦耳），1J 1N m 。 M M2 ds 2、变力的功 M dr 设质点M在变力 的作用下沿曲 F F 线运动，如图。力 F 在微小弧段上所 M1 作的功称为力的元功，记为W ，于是 有