第12章第2节排列与组合新高考数学自主复习PPT

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二项式定理及其应用新高考数学自主复习ppt

方法二(因式分解)：
(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5＝(1－5x＋10x2－10x3＋5x4－x5)·(1＋15x ＋90x2＋270x3＋405x4＋243x5)，所以x5的系数为1×243－5×405＋10×270－
10×90＋5×15－1＝92.
第3节二项式定理及其应用
【答案】3
第3节二项式定理及其应用
考点3 有关二项展开式中的最值问题的解法
8．[福建厦门第一中学2019期中]二项式(2x－1)5的展开式的各项中，二项式系数最大的项为( ) A．20x B．20x和－40x2 C．－40x2和80x3 D．80x3
【答案】C
第3节二项式定理及其应用
必备知识整合提升
第3节二项式定理及其应用
【答案】B
第3节二项式定理及其应用
5．[江西宜春高安中学2019期末](1－x)(1－2x)5展开式中x4的系数为( ) A．－160 B．－80 C．0 D．160
【答案】D
第3节二项式定理及其应用
【答案】B
第3节二项式定理及其应用
【答案】B
第3节二项式定理及其应用
【答案】8
第3节二项式定理及其应用
【答案】B
第3节二项式定理及其应用
16．[浙江台州2019高二下期末]在(1－x)7的展开式中，系数最大的项是( ) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【答案】C
第3节二项式定理及其应用
【答案】A
第3节二项式定理及其应用
【答案】A
第3节二项式定理及其应用
14．[甘肃兰州一中2019期中]若(1－2x)2019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019x2019(x∈R)，

11.2排列组合-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共36张PPT)

题型二组合问题[自主练透] 1．[2020·山东新高考预测卷]北京园艺博览会期间，安排 6 位志愿者到 4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中小李和小王不在一起，不同的安排方案共有( ) A．168 种 B．156 种 C．172 种 D．180 种
类题通法 “至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解.
题型三排列与组合的综合问题[师生共研] [例 1] (1)若由 3 人组成的微信群中有 4 个不同的红包，每个红包只能被抢一次，且每个人至少抢到 1 个红包，则红包被抢光的方式共有( ) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C12A44＝24 种不同的着舰方法．则一共有 24＋24＝48 种不同的着舰方法，故选
C.
类题通法解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).
6．[2018·全国Ⅰ卷]从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
答案：16 解析：解法一按参加的女生人数分两类，共有 C12C42＋C22C41＝16(种)．解法二 C63－C43＝20－4＝16(种)．
A．240 种 B．188 种 C．156 种 D．120 种
答案：D 解析：当 E，F 排在前三位时，共有 A22A22A33＝24 种安排方案；当 E，F 排在后三位时，共有 C31A23A22A22＝72 种安排方案；当 E、F 排在三、四位时，共有 C12A13A22A22＝24 种安排方案，所以不同安排方案共有 24＋72＋24＝120 种，故选 D.

高考数学复习：排列与组合

【解析】(1)选C.至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的取法有 C52C14 C15C24 =70种.
【一题多解微课】解决本题(1)还可以采用以下方法: 选C.至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有 C39 C34=7C035 种.
【解析】方法一:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前
排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人
坐法”两类情况.应当使用分类加法计数原理,在每类
情况下,划分“乙丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”
三个步骤,又要用到分步乘法计数原理,这样可有如下
算法:
A24
A12
A55
A
2 4
A14
A55
=8
640(种).
捆绑法
插空法除法
间接法
相邻问题捆绑处理,即可以把相邻几个元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列
不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后, 再除以已定元素的全排列
对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化的方法
1
Cm n1
【常用结论】 1.排列与组合的区别
排列
排列与顺序有关
两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同
组合
组合与顺序无关
两个组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同
2.巧记组合数的性质
性质
Cmn
Cnm n
记忆策略
从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n-m个元素的方法数.

高中数学1.2排列与组合课件新人教A版选修2-3

二、问题展示、合作探究
Ⅱ 辨析讨论—深化概念
辨析
有无顺序
判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)从50个人中选3个人去参加同一种劳动,有多少种不同的选法? (2)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼, 有多少种选法? (3)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个? (4)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和共有多少个?
3 4
可分为哪两步？
二、问题展示、合作探究
概念讲解
一般地，求从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这 n 个不同元素中取出m 个元素 m 的组合数 Cn ． m m 第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数An ． n m m m 根据分步计数原理，得到： An Cn Am
排列与组合的概念有什么共同点与不同点？
二、问题展示、合作探究
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列有无顺序组合
排列是选择后再排序的结果
转化组合数公式
组合是选择的结果
五、预习指导新课链接
学习目标： 1.通过课后练习进一步熟练组合数公式. 2.通过探究理解并掌握组合数的性质. 3.通过实例练习，能够运用组合数公式及两个性质解决有关问题
三、达标检测、巩固提升
梯度三：定义公式的灵活应用 C1（2012年· 山东卷）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3 张，要求这卡片不能是同一种颜色，且红色卡片 C 至多1张，不同取法的种数为( ) A.232 B.252 C.472 D.484

2020高考数学一轮复习第二讲排列与组合课件新人教版精品

●基础知识 1．排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A
(2009·全国Ⅰ，7)甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
A．150种 C．300种答案：D
B．180种 D．345种
●易错知识一、排列和组合混淆 1．一段铁路上共有12个车站，需要为这些车站准备 132种不同的车票．这些车票中共有__________种不同的票价．答案：66
●易错知识一、排列和组合混淆 1．一段铁路上共有12个车站，需要为这些车站准备 132种不同的车票．这些车票中共有__________种不同的票价．答案：66 二、分类错误造成的混淆 2．在3000至8000中有__________个无重复数字的奇数．答案：1232
答案：24
【例3】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生 5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选．
[思路点拨] 从13人中选5人，与顺序无关是组合问题．
●回归教材 1．4·5·6·7·…·(n－1)·n等于
()
解析：由排列数公式知：4·5·6·…·(n－1)·n＝A，故选B.
答案：B
2．下列等式不正确的是
()
3．(教材改编题)从4名男生和3名女生中选出4人参加

高中数学选修1.2排列与组合人教版ppt课件

普2.1 排列
一、复习引入
1.分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办
法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的
方法。 2.分步乘法计数原理：完成一件事，需要有n个步骤，做第1步中有m1
三、概念形成
概念2.排列数
A
A
m n
m n
n ( n 1) ( n 2)
( n m 1)
3 2 1
n (n 1) ( n 2) ( n m 1)(n m)(n m 1) (n m)(n m 1) 3 2 1
A
m n
n! ( n m)!
怀山天下，求知无，学做天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！什么也不问的奋，努人真什么也学不到 !!! 人书路勤为径，学海崖苦作舟勤劳的孩子展望未来但懒惰的孩子享受现在 !!! 少成功天小才 =有艰苦的劳动不在学于习，老勤 +,正确的方法来徒力伤才 + 少谈空话悲能成功！
种不同的方法，做第2步中有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种
不同的方法。那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
二、提出问题
问题：有红球、黄球、白球各一个，先从三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里，有多少中不同的放法？甲盒子乙盒子相应选放顺序共有
3×2=6
种
二、提出问题
四、应用举例
例2.求证：证明：

高考数学一轮复习 10-2 排列与组合课件理新人教A版

(4)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有
A33A44＝144(种)．
(5) 插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有
A
4 4
A
3 5
＝
1
440(种)．
(6)定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数
为 N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为 7 个人的全排列，因此
答案：B
排列应用题(师生共研)
例1 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，男生不能排在一起； (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (7)排成前后两排，前排3人，后排4人； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
解析 (1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有 A13种，其余 6 人全排列，有 A66种．
由分步乘法计数原理得 A13A66＝2 160(种)． (2)位置分析法(特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲外，有 A16种，余下的 6 个位置全排有 A66种，但应剔除乙在最右边的排法数 A15A55种．则符合条件的排法共有 A16A66－A51A55＝3 720(种)． (3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有 A33A55＝720(种)．
定序问题对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以

高中数学课件-第2讲排列与组合

叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn 表示.
(2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有_□_3__不__同__组__合__的个数，
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cmn 表示.
6
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
3.排列数、组合数的公式及性质
要比 5 000 000 大，则百万位上选 5 或 6，故得个数为 A12A66＝1440. 答案：1440
02
突破核心命题
13
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
考点一排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
7
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
常用结论
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法 (排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
8
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
夯基诊断
1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × ) (3)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立.( × ) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √ ) (5)kCkn＝nCkn－－11.( √ )

排列与组合课件-2025届高三数学一轮复习

×
（4） .( )
×
2.（易错题）若把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为_____.
240
【易错点】本题易混淆“排列”与“组合”.
解析由题意知，其中一人分两张，先分后排，共有种不同的分法.
题组2 走进教材
3.（人教A版选修③P27 · T17改编）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则共有_____种不同的着色方法.
命题分析预测
从近几年高考的情况来看，选择题、填空题都出现过，属于基础题型，与概率知识结合的可能性较大.预计2025年高考的命题情况变化不大，但命题背景会比较新颖
基础知识·诊断
一、排列与组合的概念
名称
定义
排列
从个不同元素中取出个元素
按照①____________排成一列
组合
作为一组
一定的顺序
二、排列数与组合数
240
解析不同的分配方案共有（种）.
变式设问若将本题条件“花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目”改为“花样滑冰、冰球和冰壶3个项目”，则不同的分配方案有_____种.
150
解析由题可知有1，1，3和2，2，1两种分配方案，则不同的分配方案有（种）.
2. 现有6个大学保送名额，计划分到4个班级，每班至少1个名额，则有____种不同的分法.
插空法
针对不相邻元素的排列（间隔排列）
整体法
针对元素分成多排问题，可归结为一排考虑
定序法
可先不考虑顺序限制进行排列，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化处理
考点二组合问题［自主练透］
（一题练透）有3名男生，4名女生，现从中选3人.在下列不同条件下，求不同的选法总数.

2025年高中数学高考精品备课教案：排列与组合

排列与组合课标要求命题点五年考情命题分析预测理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.排列问题2022新高考卷ⅡT5本讲每年必考，主要以实际问题为情境考查计数问题，有时单独命题，以小题为主，有时作为工具应用于概率的计算，以大题为主，难度中等偏易.预计2025年高考仍会以创新实际生活情境为载体进行命题.组合问题2023新高考卷ⅠT13；2023新高考卷ⅡT3；2020新高考卷ⅠT3排列与组合的综合应用2023全国卷甲T9；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅡT14学生用书P2261.排列、组合的定义名称定义排列从n 个不同元素中取出m（m ≤n ）个元素并按照①一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.组合作为一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.注意排列有序，组合无序.2.排列数、组合数的定义、公式及性质（n ，m ∈N *，且m ≤n ）排列数组合数定义从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有不同排列的个数，用符号②A表示.从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有不同组合的个数，用符号③C表示.公式A＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）＝！（－p!.规定0！＝1.C ＝AA＝（－1)(－2）…（－r1）！＝④！h(－p!.规定C 0＝1.性质A ＝n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×…×2×1；A ＝（n －m ＋1）A －1＝n A－1－1.C ＝C－；C r1＝C＋C－1.说明C ＝C－的应用主要是两个方面：一是简化运算，当m ＞2时，通常将计算C 转化为计算C－；二是列等式，由C ＝C可得x ＝y 或x ＋y ＝n .1.5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（B）A.85种B.85种C.58种D.85种解析由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有C85种不同的放法.2.[教材改编]从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（B）A.12B.24C.64D.81解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人1本，则不同的分配方法种数为A43=24.3.[教材改编]某班举行了“弘扬中华文化”演讲比赛，有6人参加，并决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从回答分析，6人的名次排列情况可能有（D）A.216种B.240种C.288种D.384种解析由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性，乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性，所以6人的名次排列情况可能有4×4×A44＝384（种）.4.[多选]下列说法正确的是（BD）A.所有元素完全相同的两个排列为相同排列B.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同C.若C＝C，则x＝mD.A r1＝A＋m A－15.[易错题]计算C73＋C74＋C85＋C96的值为210.（用数字作答）解析原式＝C84＋C85＋C96＝C95＋C96＝C106＝210.6.若C r13＝C3＋C4，则n＝6.解析∵C r13＝C3＋C4＝C r14，∴n＋1＝3＋4，解得n＝6.学生用书P227命题点1排列问题例1有3名男生、4名女生.（1）若排成前、后两排，前排3人，后排4人，则不同的排列方法总数为5040.（2）若全体排成一排，女生必须站在一起，则不同的排列方法总数为576.（3）若全体排成一排，男生互不相邻，则不同的排列方法总数为1440.（4）若全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，则不同的排列方法总数为3600.（5）若全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排列方法总数为3720.（6）若全体排成一排，其中甲、乙、丙三人从左到右顺序一定，则不同的排列方法总数为840.解析（1）分两步完成，先选3人站前排，有73种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A73·A44＝5040（种）.（2）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有44种方法，再将女生全排列，有44种方法，共有A44·A44＝576（种）.（3）先排女生，有A44种方法，然后在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位安排男生，有A53种方法，共有A44·A53＝1440（种）.（4）解法一先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3600（种）.解法二左、右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有A62种排法，剩下的5人有A55种排法，共有A62A55＝3600（种）.（5）解法一甲在最右边时，其他人可全排列，有A66种方法；甲不在最右边时，因为甲也不在最左边，所以可从余下的5个位置中任选1个，有C51种，而乙可从除去最右边的位置后剩下的5个位置中任选1个，有C51种，其余人全排列，有A55种不同排法，共有A66＋C51C51A55＝3720（种）.解法二7人全排列，有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形（A55种方法），故共有A77－2A66+A55＝3720（种）.（6）7人全排列，有A77种方法，由于甲、乙、丙的顺序一定，则不同的排列方法总数为A77A33=840.方法技巧求解排列问题的常用方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算.优先法优先安排特殊元素或特殊位置.捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列.插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列空位中.定序问题定序问题，可先不考虑顺序限制进行排列，再除以定序元素的全排列.除法处理间接法正难则反，等价转化处理.训练1（1）[2022新高考卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（B）A.12种B.24种C.36种D.48种解析先将丙和丁捆在一起，有A22种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A33种排列方式，最后将甲插入中间两空，有2种排列方式，所以不同的排列方式共有2A22A33＝24（种），故选B.（2）[2023济南市统考]由3个2，1个0，2个3组成的六位数中，满足有相邻4位恰好是2023的六位数的个数为（B）A.3B.6C.9D.24解析2023用了2个2，1个0，1个3，还余下1个2，1个3，故将2023视作一个整体与余下的1个2，1个3全排列，有A33＝6（种）不同的排法.故选B.命题点2组合问题例2（1）[多选]从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（CD）A.若4人全部为男生，则有30种不同的选法B.若4人中男生、女生各有2人，则有30种不同的选法C.若男生中的甲和女生中的乙被选，则有28种不同的选法D.若男生中的甲和女生中的乙至少有1人被选，则有140种不同的选法解析4人全部为男生，选法有C64＝15（种），故A错误；如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C62＝15（种），女生的选法有C42＝6（种），则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90（种），B错误；如果男生中的甲和女生中的乙被选，在剩下的8人中再选2人即可，有C82＝28（种）不同的选法，故C正确；在10人中任选4人，有C104＝210（种）不同的选法，甲、乙都不在其中的选法有C84＝70（种），故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人被选的选法有210－70＝140（种），故D正确.（2）[2023新高考卷Ⅰ]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种（用数字作答）.解析解法一由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C42C41种方案.综上，不同的选课方案共有C41C41＋C41C42＋C42C41＝64（种）.解法二若学生从这8门课中选修2门课，则有C82－C42－C42＝16（种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C83－C43－C43＝48（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有16＋48＝64（种）.方法技巧组合问题常见的两类题型（1）“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由剩下的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.（2）“至少”与“最多”的问题：解这类题的关键是理解“至少”与“最多”这两个词的含义，通常用直接法或间接法处理，分类复杂时，用间接法更容易处理.训练2（1）[2023福州5月质检]“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，龙舟比赛的划手分划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（C）A.15种B.18种C.19种D.36种解析按照从全能者（既会划左桨又会划右桨）中选多少人参与划左桨分类：①2名全能者中选2人划左桨，有C22C22＝1（种）不同的选派方法；②2名全能者中选1人划左桨，有C21C21C32＝12（种）不同的选派方法；③2名全能者中选0人划左桨，有C22C42＝6（种）不同的选派方法.所以共有1＋12＋6＝19（种）不同的选派方法.故选C.（2）[2023南京市、盐城市二模]编号为1，2，3，4的四位同学，就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每个座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学的编号和座位编号一致的坐法种数为6.解析先选择两位同学坐对编号，有C42种方法，余下的两位同学只能交叉坐，只有1种方法，故共有C42×1＝6（种）不同坐法.命题点3排列与组合的综合应用角度1有限制条件的排列、组合问题例3（1）[2023沈阳市质监]甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在最中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（C）A.24种B.36种C.72种D.96种解析如图所示，当甲在3的位置时，乙、丙可能排在（1，2），（4，5），（5，6），先从这三种中选出一种安排乙、丙，然后在剩下的3个位置安排余下的3人，所以不同的排队方法有C31A22A33＝36（种）；当甲在4的位置时，由对称性可知不同的排队方法也有36种.所以不同的排队方法共有36×2＝72（种），故选C.123456（2）[2023重庆市名校联考]某校从8名教师中选派4名教师去4个偏远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案的种数是600.（用数字作答）解析分为两步，第一步，先选4名教师，第一步又分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C52＝10（种）不同的选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64＝15（种）不同的选法.所以选4名教师，不同的选法有10＋15＝25（种）.第二步，4名教师去4个偏远地区支教，有A44＝24（种）分配方法.所以不同的选派方案的种数是25×24＝600.方法技巧有限制条件的排列、组合问题的解题策略（1）先分析每个限制条件，然后考虑是分类还是分步，对于分类过多的问题可以采用间接法；（2）采用特殊元素（位置）优先原则，即先满足有限制条件的元素（位置），再考虑其他元素（位置）.角度2分组、分配问题例4（1）有5个大学保送名额，计划分到3个班级，每班至少一个名额，有6种不同的分法.解析一共有5个保送名额，分到3个班级，每个班级至少1个名额，即将名额分成3份，每份至少1个，（定份数）将5个名额排成一列，中间有4个空，（定空位）即只需在中间4个空中插入2个隔板，不同的方法共有C42＝6（种）.（插隔板）（2）若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有360种不同的分法.解析先将6名教师分组，共有C61C52C33＝60（种）分法.再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6（种）分法.故不同的分法共有60×6＝360（种）.（3）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有1560种.（用数字作答）解析把6本不同的书分成4组，故有“3，1，1，1”和“2，2，1，1”两种不同的分组方法.若按“3，1，1，1”的分组方法，则不同的分法共有C63C31C21C11A33＝20（种）.（有三组元素个数相同，因与顺序无关，故需除去重复情况）若按“2，2，1，1”的分组方法，则不同的分法共有C62C42A22·C21C11A22＝45（种）.（四组元素中，分别有两组元素个数相同，分别为“2，2”和“1，1”，因与顺序无关，故需除去重复情况）所以不同的分组方法共有20＋45＝65（种）.然后把分好的4组书分给4个人，分法共有A44＝24（种），所以不同的分法共有65×24＝1560（种）.方法技巧分组、分配问题的解题思路是先分组后分配.1.常见的分组整体均匀分组分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数.部分均匀分组若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.不等分组分组时任何组中元素的个数都不相等.注意关于分组问题，应注意无论分成几组，只要其中某些组中的元素个数相等，就存在均分现象.2.常见的分配（1）相同元素的分配问题，常用“隔板法”求解.（2）不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配.（3）有限制条件的分配问题，采用分类讨论法或间接法求解.训练3（1）[多选/2023重庆八中模拟]将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A，B，C 3个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能被安排到1个社区，则下列选项正确的是（BD）A.共有72种安排方法B.若甲、乙被安排在同一个社区，则有6种安排方法C.若A社区需要2名志愿者，则有24种安排方法D.若甲被安排在A社区，则有12种安排方法解析对于A选项，将4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法种数为C42C21C11A 22×A33＝36，所以A选项不正确.对于B选项，甲、乙被安排在同一个社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，再把剩余2个社区进行全排列，所以安排方法种数为C31A22＝6，所以B选项正确.对于C选项，A社区需要2名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余2名志愿者进行全排列，所以安排方法种数为C42A22＝12，C选项不正确.对于D选项，甲被安排在A社区，分为两种情况，（对甲安排在A社区进行分类讨论，讨论A社区是甲单独一人还是甲与另外一人）第一种为A社区安排了2名志愿者，则从剩余3名志愿者中再选择1名，分到A社区，然后把剩余2名志愿者进行全排列，安排方法共有C31A22种；第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为2组，再分配到剩余的2个社区中，此时安排方法有C32A22种.（这两组是不均匀分组，故不需除以任何数）所以安排方法种数一共为C31A22＋C32A22＝12，D选项正确.故选BD.（2）将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有1680种.（用数字作答）解析先选出3人，有C93种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C63种选法，最后剩下的3人为一组，有C33种选法.由分步乘法计数原理以及整体均匀分组方法，可知不同的安排方案共有C93C63C33A33·A33＝1680（种）.1.[命题点1/2023大同学情调研]现有高中数学新教材必修一、二，选择性必修一、二、三，共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是（A）A.72B.144C.48D.36解析解法一先将选择性必修一、二、三这3本书排成一排，有A33＝6（种）排列方法，再将必修一、必修二这2本书插入两端或3本书间的两个空隙中，有A42＝12（种）排列方法，由分步乘法计数原理得，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是6×12＝72.解法二5本书放在书架上排成一排的排列方法共有55种，其中必修一、必修二相邻的排列方法有A22A44种，所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数为A55－A22A44＝72.2.[命题点2/2023合肥市二检]某高中学校在新学期增设了“传统文化”“数学文化”“综合实践”“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若小明必须选报“数学文化”课程，两位同学所选的课程至多有一门相同，则不同的选课方案有（B）A.24种B.36种C.48种D.52种解析解法一当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，若相同的课程为“数学文化”，则不同的选课方案有C41C31＝12（种）；若相同的课程不是“数学文化”，则不同的选课方案有C41C31＝12（种）.所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有12＋12＝24（种）选课方案.当小明和小华两位同学所选的课程都不相同时，不同的选课方案有C41C32＝12（种）.所以不同的选课方案有24＋12＝36（种），故选B.解法二小明在“数学文化”课程外任选一门课程，小华任选2门课程时，不同的选课方案有C41C52＝40（种），其中小明和小华2门课程都相同时，选课方案有C41＝4（种），故两位同学所选的课程至多有一门相同时，不同的选课方案有40－4＝36（种），故选B.3.[命题点3角度1]某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有两辆不同的白色车和两辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（B）A B C DE F G HA.288B.336C.576D.1680解析由题意知，每行停放一辆白色车和一辆黑色车.第一步：取一辆白色车和一辆黑色车停放到第一行，共有C21C21C42A22＝48（种）方法.第二步：把剩下的两辆车停放到第二行.若白色车与第一行的黑色车在同一列，此时黑色车有3种停放方法；若白色车与第一行的黑色车不在同一列，则白色车有2种停放方法，黑色车也有2种停放方法，所以共有2×2＝4（种）停放方法.所以把剩下的两辆车停放到第二行共有3＋4＝7（种）方法.由分步乘法计数原理可知，满足题意的停车方法总数为48×7＝336.4.[命题点3角度2/2021全国卷乙]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（C）A.60种B.120种C.240种D.480种解析根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C52种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A44种安排方法.故满足题意的分配方案共有C52×A44＝240（种）.5.[命题点3/2023福建适应性测试]中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命做出了重要贡献，很好地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排一支救援队，其中甲救援队只能去B，C2个受灾点中的一个，则不同的安排方法种数是（D）A.72B.84C.88D.100解析解法一（间接法）将5支救援队分成3组，有两种分法：3∶1∶1和2∶2∶1，再将这3组分配到A，B，C3个受灾点，有A33种分配方法，故共有C53A33＋C52C32C11A22×A33＝150（种）安排方法，其中含有甲救援队去A受灾点的情形.当甲救援队去A受灾点时，变为余下4支救援队随机去A，B，C3个受灾点，则A受灾点可以再去0支或1支或2支救援队，B，C受灾点均至少去1支救援队，当A受灾点再去0支救援队时，余下4支救援队分成两组（3∶1或2∶2）去B，C2个受灾点，不同的安排方法种数为C43A22＋C42；当A受灾点再去1支救援队时，余下3支救援队只能按2∶1分组去B，C2个受灾点，不同的安排方法种数为C41C32A22；当A受灾点再去2支救援队时，余下2支救援队只能1支去B受灾点，1支去C受灾点，不同的安排方法种数为C42A22.故满足题意的不同的安排方法种数为150－（C43A22＋C42＋C41C32A22＋C42A22）＝100.故选D.解法二（直接法）将5支救援队分成3组，有两种分法：3∶1∶1和2∶2∶1，再将这3组分配到A，B，C3个受灾点.①按3∶1∶1分组，若甲救援队单独一组，且甲救援队去B，C2个受灾点中的一个，则有C21C43A22种不同的安排方法；若甲救援队不单独一组，则甲救援队所在的组还需2支救援队，有C42种选法，甲救援队所在的组去B，C2个受灾点中的一个，有C21种方法，余下的2支救援队分成两组各去一个受灾点，有22种方法，故有C42C21A22种不同的安排方法.②按2∶2∶1分组，若甲救援队单独一组，且甲去B，C2个受灾点中的1个，则有C21×C42C22A22×A22种不同的安排方法；若甲救援队不单独一组，则甲救援队所在的组还需1支救援队，有41种选法，甲救援队所在的组去B，C2个受灾点中的1个，有21种方法，余下的3支救援队按2∶1分成两组各去一个受灾点，有C32A22种方法，故有C41C21C32A22种不同的安排方法.故满足题意的不同的安排方法种数为C21C43A22＋C42C21A22＋C21×C42C22A22×A22＋C41C21C32A22＝16＋24＋12＋48＝100.故选D.学生用书·练习帮P3831.[新高考卷Ⅰ]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（C）A.120种B.90种C.60种D.30种解析第1步，抽1名志愿者安排到甲场馆，有C61种安排方法；第2步，从剩下的5名志愿者中抽取2名安排到乙场馆，有C52种安排方法；第3步，将剩下的3名志愿者安排到丙场馆.由分步乘法计数原理得，不同的安排方法共有C61C52＝60（种），故选C.2.[2024吉林市田家炳高级中学模拟]从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则不同的安排方法有（D）A.56种 B.64种 C.72种 D.96种解析解法一（优先特殊元素）根据题意可知，按A是否入选进行分类.若A入选，则先从乙、丙、丁3个岗位上安排1个岗位给A，有C31＝3（种）安排方法，再给剩下3个岗位安排人，有A43＝24（种）安排方法，共有3×24＝72（种）安排方法.若A不入选，则4个人4个岗位，有A44＝24（种）安排方法.综上，共有72＋24＝96（种）安排方法.故选D.解法二（优先特殊位置）先安排去甲岗位的，A不能去，其他4人中选1人，因而有C41种安排方法，再选3人安排其他岗位，有43种安排方法，从而共有C41A43＝96（种）安排方法.故选D.3.[2024北京市第十二中学模拟]4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（D）A.10B.20C.24D.30解析解法一不考虑限制条件，将6位同学排成一排准备照相，共有A66种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有A66A44＝30（种）排法，故选D.解法二插入2位同学后变成6位同学6个位置，原4位同学占4个位置，但相对顺序没变，因而有C64种排法，再排新插入的2位同学有A22种排法，从而共有C64A22＝30（种）排法，故选D.解法三6个位置可以先排后加入的2位同学，有A62＝30（种）排法，剩下4个位置原4位同学按原顺序排入即可，只有1种方法，因而共有30种排法，故选D.4.[2024湖南衡阳模拟]2023年春节，在北京工作的五个家庭开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为A，B，C，D，E，五辆车随机排成一列，则A车与B车相邻，且A车与C 车不相邻的排法有（A）A.36种B.42种C.48种D.60种解析将A车与B车捆在一起当成一个元素使用，有A22种不同的捆法，将其与除C车外的2个元素全排列，有A33种排法，将C车插入，不与A车相邻，有A31种插法，故共有A22×A33×A31＝36（种）排法.故选A.5.5个小朋友站成一圈，不同的站法一共有（D）A.120种B.60种C.30种D.24种解析先将5个小朋友编为1～5号，然后让他们按1～5的顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列.分别以1，2，3，4，5号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到5种排列：12345，23451，34512，45123，51234.这就是说，这个圆排列对应了5个排列.因此，要求圆排列数，只需要求出全排列数再除以5就可以了，即这些小朋友不同的站法一共有A555＝A44＝24（种），故选D.6.[多选]下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（ABD）A.（n＋1）A＝A r1r1B.m C＝n C－1－1C.C ＝A！D.1－A r1＝A解析对于A ，（n ＋1）A ＝（n ＋1）n （n －1）…（n －m ＋1）＝A r1r1，故A 正确；对于B ，C －1－1＝（－1)!（－1)!(－p!，C ＝！h(－p!＝·（－1)!·（－1)!(－p!＝·（－1)!（－1)!(－p!＝·C－1－1，所以m C ＝n C －1－1，故B 正确；对于C ，C＝＝！，故C 错误；对于D ，1－Ar1＝1－·n （n －1）·…·（n －m ）＝n （n －1）…（n －m ＋1）＝A ，故D 正确.故选ABD.7.[多选/2024湖南湘潭联考]从10名男生和8名女生中选出3人去参加创新大赛，则至少有1名女生的选法种数为（AC）A.C 183－C 103 B.C 81C 172C.C 81C 102＋C 82C 101＋C 83D.C 102C 81＋C 101C 82解析对于A ，从18名学生中选取3人，有183种不同的选法，从18名学生中选取3人，选的都是男生有103种不同的选法，所以至少有1名女生的选法有C 183－C 103＝696（种），A正确；对于B ，C 81C 172＝1088≠696，故B 错误；对于C ，至少有1名女生的选法有三种情况：1名女生，2名女生，3名女生，所以至少有1名女生的选法有C 81C 102＋C 82C 101＋C 83＝360＋280＋56＝696（种），C 正确；对于D ，C 102C 81＋C 101C 82＝360＋280＝640≠696，故D 错误.8.[2024上海市华东师范大学第二附属中学质检]7个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有15种不同的分配方法（用数字作答）.解析7个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额，其实就是在7个志愿者的名额产生的6个空位中插入2个“档板”，共有C 62＝15（种）不同的分配方法.9.高考期间，为保证考生能够顺利进入某考点，交管部门将6名交警分配到该考点周边3个不同路口疏导交通，每个路口2人，则不同的分配方法共有90种.解析根据题意，分两步进行分析.第一步，将6名交警分成“2，2，2”的三组，有C 62C 42C 22A 33＝15（种）分组方法；第二步，将分好的三组全排列，对应3个路口，有A 33＝6（种）情况，则共有15×6＝90（种）分配方法.10.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是20（用数字作答）.解析解法一（特殊元素优先法）丙、丁相邻且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，则6项工程可视为5个元素.分成两步来完成：第一步，从5个位置中选择3个位置排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素，又甲、乙、丙丁的相对顺序固定，故不同的排法有C 53。

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：排列与组合

先排甲、乙，有 A24种排法，再排丙，有 A14种排法，其余 5 人有 A55种排法，故不同的排法共有 A24A14A55＝5 760(种).
题型二组合问题
例2 (1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有 A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法
如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的 8 人中再选 2 人即可，有 C28＝28(种)，故 C 正确；
在 10 人中任选 4 人，有 C410＝210(种)，甲、乙都不在其中的选法有 C48 ＝70(种)，故男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内的选法有 210 － 70 ＝ 140(种)，故D正确.
第
二部分
探究核心题型
题型一排列问题
例1 (1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技
巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名
女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项
目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为
√ A.576
教材改编题
1.A24＋C37等于
A.35
√B.47
C.45
D.57
A24＋C37＝4×3＋73××62××51＝47.
教材改编题
2.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的
选法种数是
A.18
B.24
√C.30
D.36
选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 C24C13＝18(种)，选出的 3 人中有 1 名男同学 2 名女同学的方法有 C14C23＝12(种)，故 3 名学生中男、女生都有的选法有 C24C13＋C14C23＝30(种).

第2节排列与组合-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

(2)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾;
(3)全体排成一排,女生必须站在一起;
(4)全体排成一排,男生互不相邻;
(5)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人.
解 (1)(直接法)从 7 个人中选 5 个人来排列,有A57 =2 520(种).
(2)(优先法)甲为特殊元素.先排甲,有 5 种方法,其余 6 人有A66 种方法,故共有
物学4门科目中选择2门,考试成绩计入考生总分,作为高考招生录取的依据.
某学生想在物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理这6门课程中选
三门作为选考科目,下列说法正确的是( BD )
A.若任意选科,选法总数为42
B.若化学必选,选法总数为21 31
C.若思想政治和地理至少选一门,选法总数为21 21 31
场馆的 1 名同学,即C31 =3;最后安排 2 名同学到丙场馆,即C22 =1.所以不同的安
排方法有 20×3×1=60(种).
变式探究
(变条件)本例若改为“三个场馆分别安排1名、2名、3名志愿者”,其余条件
不变,则不同的安排方法共有多少种?
解因为没有指明哪个场馆安排几名,所以不同的安排方法有
[对点训练1](多选题)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计
划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续
开设六周,则( CD )
A.某学生从中选3门,共有30种选法
B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法
C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法
考点三分组、分配问题(多考向探究预测)
考向1不等分问题
例36名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场

第12章第2节排列与组合新高考数学自主复习ppt

第2节排列与组合
某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课方法．
第2节排列与组合
第2节排列与组合
7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少不同的排法？
第2节排列与组合
1．[浙江十校2019联考]用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位奇数的个数为( ) A．72 B．144 C．150 D．180
第2节排列与组合
【答案】D
第2节排列与组合
2．[宁夏六盘山高级中学2019二模]某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的4个车位连在一起，那么不同的停放方法种数为( ) A．18 B．24 C．32 D．64
【答案】B
第2节排列与组合
考点2 组合问题
第2节排列与组合
2．分组分配问题
第2节排列与组合
[辽宁省实验中学、东北育才学校、大连八中、鞍山一中等2019期末]2019 年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演．学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1 名学生，中间两个窗户各安排2名学生，不同的安排方案共有( ) A．720 B．360 C．270 D．180
第2节排列与组合
考点2 组合问题
1．解决组合问题的几种常见的方法
正难则反、穷举法(即树状图法)、隔板法和分类讨论．
2．组合问题常见的两类题型
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，空缺的再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．解这类题必须十分重视“至少”与 “最多”这两个关键词的含义，谨防元素的重复与遗漏，若直接法分类复杂时，可逆向思维，间接求解．

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第2节排列与组合
2．分组分配问题
第2节排列与组合
[辽宁省实验中学、东北育才学校、大连八中、鞍山一中等2019期末]2019 年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演．学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1 名学生，中间两个窗户各安排2名学生，不同的安排方案共有( ) A．720 B．360 C．270 D．180
3．[江西临川一中2019考前模拟]十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两市代表团)安排至a，b， c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为( ) A．6 B．12 C．16 D．18
第2节排列与组合
不同排列的个数
1
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
第2节排列与组合
(3)排列数的性质
第2节排列与组合
2．组合与组合数
(1)组合：一般地，从n个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素合__成__一__组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
①如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． ②从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关，即有序排列，无序组合．
第2节排列与组合
【答案】D
第2节排列与组合
2．[宁夏六盘山高级中学2019二模]某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的4个车位连在一起，那么不同的停放方法种数为( ) A．18 B．24 C．32 D．64
【答案】B
第2节排列与组合
考点2 组合问题
第2节排列与组合
3．解决组合问题的基本原则
(1)特殊元素优先考虑； (2)合理分类与准确分步．
第2节排列与组合
[河南十校2019阶段性测试]小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院．相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法种数为( ) A．72 B．56 C．48 D．40
方法二(间接法)：不考虑数字0时，共可以组成.
＝1440(个)；当0在首位时，
有
＝180(个)．故满足题意的数共有1440－180＝1260(个)．
【答案】1260
第2节排列与组合
7．[天津2017·14]用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________个．(用数字作答)
(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算． (2)优先法：优先安排特殊元素或特殊位置． (3)捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列． (4)插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中． (5)先整体后局部：“小集团”排列问题中，先整体后局部．
【答案】D
第2节排列与组合
9．[四川教考联盟2019三诊]从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取 2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为( )
A．7200 B．2880 C．120 D．60
【答案】B
第2节排列与组合
10．[江西高安中学2019期末]某单位安排甲、乙、丙、丁、戊5名工作人员从周日到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天，且安排值班两天的人员提出安排在不连续的两天，则不同的安排方法种数为( ) A．600 B．1200 C．1800 D．2400
第2节排列与组合
(6)定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． (7)间接法：正难则反，等价转化的方法．
(8)分排问题直排处理：分排后排列问题，可以忽略分排，看成一排问题处理．
2．无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； (3)先不考虑限制条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．
【答案】D
第2节排列与组合
6．[浙江2018·16]从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
【解析】方法一：第一类，含有0时有
＝540(个)；第二类，不含0时，
有
＝720(个)．由分类加法计பைடு நூலகம்原理得共有四位数540＋720＝1260(个)．
【答案】B
第2节排列与组合
11．[山东师范大学附属中学2019期中]从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作．若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有( ) A．9种 B．12种 C．54种 D．72种
【答案】C
第2节排列与组合
12．写有字母a，b的两类卡片(每类不少于4张)，有4个空格，将每个空格内填且只填1张卡片，其中字母a，b分别至少都出现一次，这样的填法共有________种．(用数字作答)
【答案】B
第2节排列与组合
4．[课标全国Ⅰ2018·15]从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
【答案】16
第2节排列与组合
考点3 排列、组合的综合问题
5．[课标全国Ⅱ2017·6]安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
第2节排列与组合
4．[广东广州天河区2020届一模]2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是( )
A．72 B．60 C．36 D．24
【答案】A
第2节排列与组合
5．某师范大学数学学院在2019年元旦联欢会上要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目，则同类节目不相邻的演出顺序有( ) A．72种 B．168种 C．144种 D．120种
第2节排列与组合
某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课方法．
第2节排列与组合
第2节排列与组合
7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少不同的排法？
第2节排列与组合
1．[浙江十校2019联考]用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位奇数的个数为( ) A．72 B．144 C．150 D．180
【答案】D
第2节排列与组合
6．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法．(用数字作答)
【答案】1260
第2节排列与组合
7．[吉林五地六市联盟2019期末]7人站成两排队列，前排3人，后排4人． (1)一共有多少种站法？ (2)现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法？
第12章
目录
第1节两个计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理及其应用
第2节排列与组合
真题自测考向速览必备知识整合提升考点精析考法突破
第2节排列与组合
真题自测考向速览
考点1 排列问题
1．[四川双流中学2020届月考]为迎接双流中学建校80周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件．区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行6个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这6个项目的不同安排方案共有( ) A．240种 B．188种 C．156种 D．120种
【答案】16
第2节排列与组合
一次国际大会，从某大学外语系选出11名翻译，其中5人只会英语，4人只会日语，2人既会英语也会日语．现从这11名中选出4名当英语翻译，4名当日语翻译，不同的选法有__________种．
【答案】185
第2节排列与组合
8.[河北临漳一中2019月考]某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( ) A．720 B．520 C．600 D．264
【答案】B
第2节排列与组合
2. [四川遂宁2019一诊]5名同学站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有( ) A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
【答案】D
第2节排列与组合
3．某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A．720种 B．600种 C．360种 D．300种
【答案】1080
第2节排列与组合
必备知识整合提升
1．排列与排列数
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，___按__照__一__定__的__顺__排__成__一__列_________，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．