2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习课时闯关：2.6 指数与指数函数 Word版含解析]
2014 年大纲版全国卷高考文科数学试卷及答案(word版)
2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．45 B ．35 C ．35- D ．45- 3.不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ） A ．{|21}x x -<<- B ．{|10}x x -<< C ．{|01}x x << D ．{|1}x x >4.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．16BC ．13D5.函数1)(1)y x =+>-的反函数是（ ）A ．3(1)(1)x y e x =->-B ．3(1)(1)x y e x =->-C ．3(1)()x y e x R =-∈D ．3(1)()x y e x R =-∈ 6.已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ）A ．31B ．32C ．63D ．649. 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，过2F 的直线交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y += 10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 11.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则C 的焦距等于（ ）A ．2 B． C ．4 D．12.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）14.函数cos 22sin y x x =+的最大值为 . 15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+.（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.18. （本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知13cos 2cos ,tan 3a C c A A ==，求B. 19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.20.（本小题满分12分）（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(II)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用。
2014年高考文科数学大纲卷及答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,4,6,8}M =,{1,2,3,5,6,7}N =,则M N 中元素的个数为( )A .2B .3C .5D .7 2.已知角α的终边经过点(4,3)-,则cos α=( )A .45B .35C .35- D .45- 3.不等式组(x 2)0,||1,x x +>⎧⎨<⎩的解集为( )A .{|21}x x -<<-B .{|10}x x -<<C .{|01}x x <<D .{|1}x x >4.已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A .16BC .13D5.函数1)(1)y x =>-的反函数是( )A .3(1e )(1)x y x =->-B .3(e 1)(1)x y x =->-C .3(1e )()x y x =-∈R D .3(e 1)()x y x =-∈R6.已知a 、b 为单位向量,其夹角为60,则(2a -b )b =( )A .1-B .0C .1D .27.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A .60 种B .70 种C .75 种D .150 种 8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23S =,415S =,则6S =( )A .31B .32C .63D .649.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ,,过2F 的直线l 交C 于A ,B 两点.若1AF B △的周长为,则C 的方程为( )A .22132x y+= B .2213x y +=C .221128x y +=D .221124x y += 10.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A .81π4B .16πC .9πD .27π411.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,则C 的焦距等于( )A .2B.C .4 D.12.奇函数()f x 的定义域为R .若(2)f x +为偶函数,且(1)1f =,则(8)(9)f f += ( ) A .2- B .1-C .0D .1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.共20分,把答案填写在题中的横线上. 13.6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答） 14.函数cos22sin y x x =+的最大值为 .15.设x ,y 满足约束条件02321x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≤,则4z x y =+的最大值为 .16.设直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线.若1l 与2l 的交点为(1,3),则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）数列{}n a 满足11a =,22a =,2122n n n a a a ++=-+. （Ⅰ）设1n n n b a a +=-,证明{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式.18.（本小题满分12分）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知3cos 2cos a C c A =,1tan 3A =,-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________求B .19.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上,90ACB ∠=,1BC =,12AC CC ==.（Ⅰ）证明：11AC A B ⊥；（Ⅱ）设直线1AA 与平面11BCC B求二面角1A AB C --的大小.20.（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1,求k 的最小值.21.（本小题满分12分）函数32()33(0)f x ax x x a =++≠. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ,直线4y =与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且5||||4QF PQ =. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点,若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M 、N 两点,且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上,求l 的方程.2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）数学（文科）答案解析{1,2,4,6,8}{1,2,3,5,6,7}{M N==M N{1,2,6=M N3.与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可.CE EF =11cos60a b=⨯⨯21b=，22(2)22||||||0a b b a b b a b b-=-=-=，故选：B．【提示】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得a b、2b的值，可得(2)a b b-的值.【考点】平面向量数量积的运算.2981π44⎛⎫=⎪⎝⎭故选：A．2323a c ac a a=【提示】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论662r r r rC x-333362C x =-，即3x 的系数是根据题意，由二项式定理可得6(2)x -代入通项，计算可得⎩x y -=⎧∴二面角1A AB C--的大小为arctan15.0.60.5⨯⨯(0,)⎫+∞⎪⎭：（Ⅰ）函0，则∆=(0,)⎫+∞⎪⎭.通过导数为0，344(2y m=-的坐标为⎛⎝。
2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习课时闯关第二章函数2.2函数的定义域、值域(含答案解析)
一、选择题 1．函数f (x )＝lg(x －1)的定义域是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选B.由对数的定义知x －1>0，故x >1.2．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A.∵3x ＋1>1，∴log 2(3x ＋1)>0.3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(1－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0.则f (2 013)的值为() A ．－1 B ．0C ．1D ．2解析：选B.∵当x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，∴f (x ＋3)＝－f (x )．∴f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )为周期为6的周期函数，∴f (2 013)＝f (6×335＋3)＝f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－log 2(1－0)＝0.4．(2012·高考课标全国卷)已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x ，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选B.函数的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)，所以其图象为B.5．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ， x ≥g (x )，则f (x )的值域是( ) A ．[－94，0]∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)解析：选D.由x <g (x )得x <x 2－2，∴x <－1或x >2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，y >2；当x >2时，y >8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤y ≤0. ∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]． 综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)． 二、填空题6．函数f (x )＝1sin x ＋x －3＋lg(4－x )的定义域为________． 解析：由sin x ≠0知x ≠k π，k ∈Z ，又⎩⎪⎨⎪⎧ x －3≥0，4－x >0， ∴3≤x <4，∴x ∈[3，π)∪(π，4)．答案：[3，π)∪(π，4)7．(2011·高考北京卷改编)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧C x ，x <A ，C A ，x ≥A ， (A ，C 为常数)，已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是________．解析：∵C A ＝15，故组装第4件新产品所用时间为C 4＝15，∴C 2＝30，解得C ＝60，A ＝16.答案：60,168．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是________． 解析：y ＝(x －32)2－254.结合图象， 当x ＝32时，y ＝－254； 当x ＝0或x ＝3时，y ＝－4.由x ∈[0，m ]时，y ∈[－254，－4]，知m ∈[32，3]． 答案：[32，3] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋1－a a －x(x ∈R 且x ≠a )．当f (x )的定义域为[a ＋13，a ＋12]时，求f (x )的值域．解：f (x )＝－(a －x )＋1a －x ＝－1＋1a －x. 当a ＋13≤x ≤a ＋12时，－a －12≤－x ≤－a －13，－12≤a －x ≤－13，－3≤1a －x≤－2， 于是－4≤－1＋1a －x≤－3， 即f (x )的值域为[－4，－3]．10．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域． 解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤9，1≤x 2≤9， 解得1≤x ≤3，即定义域为[1,3]．∴0≤log 3x ≤1.又y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x ＋2)2＋log 3x 2＋2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3，∵0≤log 3x ≤1.∴当log 3x ＝0，即x ＝1时，y min ＝9－3＝6，当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝42－3＝13.∴y 的值域为[6,13]．11．(探究选做)已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R .(1)求实数m 的取值范围；(2)当m 变化时，若y 的最小值为f (m )，求函数f (m )的值域． 解：(1)当m ＝0时，y ＝22，定义域为R .当m ≠0时，y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8定义域为R ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0Δ≤0 解得0<m ≤1，∴0≤m ≤1，即m 的取值范围是[0,1]．(2)当m ＝0时，y min ＝22＝f (m )．当0<m ≤1时，y min ＝f (m )＝m ·32－6×3m ＋m ＋8＝8(1－m )，即f (m )＝8(1－m )(0≤m ≤1)，∴f (m )∈[0,22]．。
2014届高三数学一轮复习：指数与指数函数
指数式的化简与求值
[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
2
(a 3
(1)
.b
1
)
1 2
.a
1 2
6 a.b5
1
.b 3
；
(2)2790.5＋0.1－
2＋21207
2 3
－3π0＋3478.
1 1 1 1
[自主解答]
(1)原式＝ a
3b 2 ·a 2b 3
15
a6b6
＝a
1 3
1 2
1 6
三、指数函数的图象和性质
[动漫演示更形象，见配套课件]
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0<a<1
a>1
图象
图象 特征
在x轴上方 ，过定点
(0,1)
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
减函数
增函数
性
质 函数
当x＝0时，y＝1
y>1
0<y<1
值变 当x<0时， ； 当x<0时，
[例3] 已知函数f(x)＝3x－31|x|. (1)若f(x)＝2，求x的值； (2)判断x>0时，f(x)的单调性．
[自主解答] (1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0， ∴f(x)＝2无解． 当x>0时，f(x)＝3x－31x，令3x－31x＝2， ∴(3x)2－2·3x－1＝0，∴3x＝1± 2. ∵x>0,3x>1，∴3x＝1－ 2(舍)．∴3x＝1＋ 2. ∴x＝log3(1＋ 2)．
1，x≥1， 解析：(1)由y＝e|ln x|－|x－1|＝x＋1x－1，0<x<1， 可判断图像为D. (2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图 像可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共 点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． 答案：(1)D (2)[－1,1]
2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)数学试题(文科)解析版
2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．45 B ．35 C ．35- D ．45-3.不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >4.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ） A ．16 B ．36 C ．13D ．335.函数3ln(1)(1)y x x =+>-的反函数是（ ） A ．3(1)(1)x y e x =->- B ．3(1)(1)xy e x =->- C ．3(1)()x y e x R =-∈ D ．3(1)()xy e x R =-∈6.已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．649. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π11.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为23，则C的焦距等于（ ）A ．2B ．22C ．4D ．4212.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）14.函数cos 22sin y x x =+的最大值为 .15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为.16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本小题满分10分）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.解：（1）由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2- a n+1=a n+1-a n +2，即b n+1=b n +2,又b 1=a 2-a 1=1. 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列；（1） 由（1）得b n =1+2（n-1），即a n+1-a n =2n-1.于是111()(21)nnk k k k a a k +==-=-∑∑于是a n -a 1=n 2-2n ，即a n =n 2-2n +1+a 1.又a 1=1，所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.（18）（本小题满分10分）△ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知3acosC=2ccosA,tanA=13,求B.解：由题设和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA, 所以3tanAcosC=2sinC.因为tanA=13，所以cosC=2sinC.tanC=1 2 .所以tanB=tan[180︒-(A+C)]=-tan(a+c)=tan tan1tan tanA CA C+--=-1,即B=135︒.（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90︒，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1-AB-C的大小.解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC, A1D⊂平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.(2) BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,又直线A A1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离，A13，因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D=A13作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，由AD=1=,得D 为AC 的中点，DF=125AC BC AB ⨯⨯=,tan ∠A 1FD=1A DDF=,所以二面角A 1-AB-C 的大小为解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-x y z ，由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内. （1）设A 1（a ，0，c ），由题设有a ≤2，A （2,0,0）B （0,1,0），则AF =(-2，1，0),1(2,0,0),(2,0,)AC AA a c =-=-，111(4,0,),(,1,)AC AC AA a c BA a c =+=-=-，由12AA =2=，即2240a a c -+=，于是11AC BA ⋅=2240a a c -+=①,所以11AC BA ⊥.（2）设平面BCC 1B 1的法向量(,,)m x y z =，则m CB ⊥，1,m CB m BB ⊥⊥,即10,0m CB m BB ⋅=⋅=，因11(0,1,0),(2,0,)CB BB AA a c ==-，故y=0，且（a-2）x -c z =0，令x =c ，则z =2-a ，(,0,2)m c a =-，点A到平面BCC 1B 1的距离为cos ,CA m CA m CA c mc ⋅⋅<>===，又依题设，点A 到平面BCC 1B 1的距c= .代入①得a=3（舍去）或a=1.于是1(1AA =-，设平面ABA 1的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB⊥⊥,即10,0n AA n AB ⋅=⋅=.0p-=且-2p +q =0，令p =，则q =2，r=1，(3,2n =，又(0,0,1)p =为平面ABC 的法向量，故cos 1,4n p n p n p⋅<>==，所以二面角A 1-AB-C 的大小为arccos 1420. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值.解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i=0,1,2.B 表示事件：甲需使用设备.C 表示事件：丁需使用设备.D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E 表示事件：同一工作日4人需使用设备.F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k. （1）D=A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·CP(B)=0.6，P(C)=0.4，P(A i )=220.5,0,1,2i C i ⨯=.所以P(D)=P(A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·C )= P(A 1·B ·C)+P(A 2·B)+P(A 2·B ·C ) = P(A 1P)·P(B)·P(C)+P(A 2)·P(B)+P(A 2)·p (B )·p (C )=0.31. (2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.又E=B ·C ·A 2,P(E)=P(B ·C ·A 2)= P(B)·P(C)·P(A 2)=0.06； 若k=4，则P(F)=0.06<0.1. 所以k 的最小值为3.21. （本小题满分12分）函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).（1）讨论函数f(x )的单调性；（2）若函数f(x )在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.解：（1）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a ≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1，x =-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a ≠0，故当a<1时，()0f x '=有两个根：1211x x a a---==， 若0<a<1,则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '>，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '<，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；（2）当a>0，x >0时, ()0f x '>，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数.若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<. 综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-+∞. 22. （本小题满分12分）已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.解：（1）设Q （x 0，4），代入由22(0)y px p =>中得x 0=8p， 所以088,22p p PQ QF x p p ==+=+，由题设得85824p p p+=⨯，解得p =－2（舍去）或p =2.所以C 的方程为24y x =.（2）依题意知直线l 与坐标轴不垂直，故可设直线l 的方程为1x my =+，（m ≠0）代入24y x =中得2440y my --=，设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=－4，故AB 的中点为D （2m 2+1,2m ），2124(1)AB y m =-=+，有直线l '的斜率为－m ，所以直线l '的方程为2123x y m m=-++，将上式代入24y x =中，并整理得2244(23)0y y m m+-+=. 设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则234344,4(23)y y y y m m+=-=-+. 故MN的中点为E（223422224(23,),m m MN y m m m+++-=-=）. 由于MN 垂直平分AB ，故A,M,B,N 四点在同一个圆上等价于12AE BE MN ==,从而2221144AB DE MN +=,即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=，化简得m 2-1=0，解得m =1或m =－1，所以所求直线l 的方程为x -y-1=0或x +y-1=0.。
2014届高三数学(文)一轮总复习指数与指数函数
| x| a
.
(1)求 f(x)的单调区间;
9 (2)若 f(x)的最大值等于 4
,求 a 的值.
思维导引:(1)函数 f(x)是一个怎样的复合 函数?外层函数的单调性如何?内层函数的 单调区间确定吗?怎样得到 f(x)的单调区
2 间?(f(x)由 y= 3
t
和 t=|x|-a 复合而成,
x
2
法二 因为当 x=2 或 4 时,2 -x =0,所以排除选
x
2
1 项 B、C;当 x=-2 时,2 -x = -4<0,故排除选项 4
x 2
D.故选 A.
(2)函数 y=a +b-1 的图象经过第二、三、四象 限,大致图象如图所示.所以函数必为减函数.
x
故 0<a<1.又当 x=0 时,y<0,即 a +b-1<0,∴b<0.
2 4
2 4 1 2
(1)
4
2
=1,而 ( 1)
1 2
1
(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂 的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,再利用 幂的运算性质进行运算. (4)结果要求:①若题目以根式形式给出,则结果 用根式表示;②若题目以分数指数幂的形式给出, 则结果用分数指数幂的形式表示;③结果不能同 时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又有 负分数指数幂.
x
x
. .
解析:(1)法一 由于 2 -x =0 在 x<0 时有一解; 在 x>0 时有两解,分别为 x=2 和 x=4.因此函数 y=2 -x 有三个零点,故应排除选项 B、C.又当 x→-∞时,2 →0,而 x →+∞,故 y=2 -x →-∞, 因此排除选项 D,故选 A.
2014高考数学一轮汇总训练《指数与指数函数》理 新人教A版
第六节 指数与指数函数[备考方向要明了]的意主要以选择题或填空题的形式考查指数函[归纳·知识整合]1．根式(1)根式的概念：(2)两个重要公式：①na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a ＜0，n 为偶数；②(na )n＝a (注意a 必须使na 有意义)． [探究] 1.na n＝a 成立的条件是什么？提示：当n 为奇数时，a ∈R ；当n 为偶数时，a ≥0. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：am n -＝1a m n＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质[探究] 2．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝dx的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？提示：图中直线x ＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1，所以，c >d >1>a >b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．函数y ＝a x ，y ＝a |x |，y ＝|a x|(a >0，a ≠1)，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 之间有何关系？提示：y ＝a x与y ＝|a x|是同一个函数的不同表现形式；函数y ＝a |x |与y ＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y 轴对称，当x ≥0时两函数图象相同；y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 的图象关于y 轴对称．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．－10 C ．9D ．7解析：选D [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8－1＝7.2．化简a 3b 23ab 2a 14b 1243ba(a >0，b >0)的结果是( )A.b aB ．abC ．a 2bD.a b解析：选D 原式＝a 3b 2a 13b 23ab 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 13＝11082332733a b a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝54332733·ab a b ＝ab －1＝a b . 3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，∴根据分段函数即可画出函数图象． 4．(教材习题改编)函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为________． 解析：要使函数有意义，需1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，∴x ≥0，即定义域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)5．若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a >1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数又∵f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3. 答案：3[例1] 求值与化简：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3213-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42＋(32×3)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________；(2)a35b 2·35b34a 3＝________；(3)4133223384a a b a b-+÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ·3a ＝________.[自主解答] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214＋⎝⎛⎭⎫213×3126－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2＋4×27＝110. (2)a35b 2·35b 34a 3＝a33212-·b321510-＝a 54＝a 4a .(3)令a 13＝m ，b 13＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n m ·m＝m m 3－8n 3m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n＝m 3m －2n m 2＋2mn ＋4n 2m 2＋2mn ＋4n 2m －2n ＝m 3＝a .[答案] (1)110 (2)a 4a (3)a ———————————————————指数幂的运算规律指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．1．化简下列各式(其中各字母均为正数)．121121332···a b a b ---⎛⎫ ⎪； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a 12-b －1÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －312. 解：(1)原式＝111133221566·a b a b a b--＝＝a111326---·b115236+-＝1a.(2)原式＝－52a 16-b －3÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －312＝－54a 16-·b －3÷⎝⎛⎭⎫a 13b 32-＝－54a 12-·b 32-.＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.[例2] (1)已知函数f (x )＝(x －a )·(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． [自主解答] (1)由已知并结合图象可知0<a <1，b <－1.对于函数g (x )＝a x＋b ，它一定是单调递减的．且当x ＝0时g (0)＝a 0＋b ＝1＋b <0，即图象与y 轴交点在负半轴上．(2)曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[答案] (1)A (2)[－1,1]若将本例(2)中“|y |＝2x＋1”改为“y ＝|2x－1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围．解：曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．———————————————————指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . 2与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.3一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.2．(2012·四川高考)函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0， ∴函数y ＝a x－a 的图象过定点(1,0)， 结合图象可知选C.3．(2013·盐城模拟)已知过点O 的直线与函数y ＝3x的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可得，C (x 1，y 2)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝3x1，y 2＝3x2，y 2＝9x 1.又A ，O ，B 三点共线，所以k AO ＝k BO ，即y 1x 1＝y 2x 2，代入可得，3x 13x 2＝x 1x 2＝12，即3x132x 1＝12，所以x 1＝log 32.答案：log 32[例3] 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3 (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [自主解答] (1)当a ＝－1时， f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0. ——————————————————— 利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．4．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 解：令t ＝a x(a >0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)． ①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12＝16，即a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或a ＝3.1个关系——分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2个应用——指数函数单调性的应用(1)比较指数式的大小若两个指数式的底数相同、指数不同，则根据底数与1的大小，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小；若两个指数式的底数不同、指数也不同，则常借助1,0等中间量进行比较．(2)解指数不等式形如a x>a b的不等式，借助于函数y＝a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论，而形如a x>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式． 3个注意——指数式的化简及指数函数的应用需注意的问题(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．(2)指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研究．(3)对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.创新交汇—指数函数与不等式的交汇问题1．高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．2．解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解．[典例] (2012·浙江高考)设a＞0，b＞0( )A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b[解析] ∵a>0，b>0，∴2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b.令f(x)＝2x＋2x(x>0)，则函数f(x)为单调增函数．∴a>b.[答案] A[名师点评]1．本题有以下创新点(1)命题方式的创新：本题没有直接给出指数函数模型，而是通过观察题目特点构造相应的函数关系式．(2)考查内容的创新：本题将指数函数、一次函数的单调性与放缩法、导数法的应用巧妙结合，考查了考生观察分析问题的能力及转化与化归的数学思想．2．解决本题的关键有以下两点(1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题． (2)构造函数，并利用其单调性解决问题． [变式训练]1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为( )A ．[－1,2)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞D ．(1， 3 ]∪[3，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0和函数g (x )＝±13的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间．当x <0时，是区间(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－13≤f (x )≤13的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．2．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数：f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤K ，K ， f x >K .取函数f (x )＝a－|x |(a >1)．当K ＝1a时，函数f K (x )在下列区间上单调递减的是( )A ．(－∞，0)B ．(－a ，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选D 函数f (x )＝a－|x |(a >1)的图象为右图中实线部分，y ＝K ＝1a的图象为右图中虚线部分，由图象知f K (x )在(1，＋∞)上为减函数.1．化简－x3x的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x解析：选A 依题意知x <0，∴－x3x＝－－x3x 2＝－－x .2．(2012·天津高考)已知a ＝212，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.5，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选A ∵a ＝212，b ＝2，c ＝log 54， ∵1<b <2,0<c <1，∴a >b >c . 3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2 的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,1) C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：选C ∵x 2≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2≤1，即值域是(0,1]． 4．(2013·广州模拟)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b b a >b ，则f (x )＝2x ⊕2－x的图象是( )解析：选C x ≥0时，2x≥1≥2－x>0；x <0时，0<2x <1<2－x .∴f (x )＝2x ⊕2－x＝⎩⎨⎧2－x，x ≥0，2x，x <0.5．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选B 由题设知，当x ≥1时，f (x )＝3x－1单调递增，因其图象关于直线x ＝1对称，∴当x ≤1时，f (x )单调递减．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.6．(2013·四平模拟)已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)解析：选B 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx始终与函数y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x >0)的图象有两个公共点，即方程mx＝12x 2＋1在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知函数f (x )＝4＋ax －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．解析：令x －1＝0，即x ＝1，则f (1)＝5. ∴图象恒过定点P (1,5)．答案：(1,5)8．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －3x在区间[－1,1]上的最大值等于________．解析：由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 是减函数，y ＝3x是增函数，可知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －3x 是减函数，故当x ＝－1时函数有最大值143.答案：1439．对于函数f (x )，如果存在函数g (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数)，使得对于区间D 上的一切实数x 都有f (x )≤g (x )成立，则称函数g (x )为函数f (x )在区间D 上的一个“覆盖函数”，设f (x )＝2x，g (x )＝2x ，若函数g (x )为函数f (x )在区间[m ，n ]上的一个“覆盖函数”，则|m －n |的最大值为________．解析：因为函数f (x )＝2x与g (x )＝2x 的图象相交于点A (1,2)，B (2,4)，由图可知，[m ，n ]⊆[1,2]，故|m －n |max ＝2－1＝1. 答案：1三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x(e ＝2.718 28…)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值； (2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋y g x －y 的值．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x＋e －x )2＝(e 2x－2＋e－2x)－(e 2x ＋2＋e－2x)＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x－e －x)(e y －e －y) ＝ex ＋y＋e－x －y－ex －y－e－x ＋y＝[ex ＋y＋e－(x ＋y )]－[ex －y＋e －(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y )， ∴g (x ＋y )－g (x －y )＝4.①同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2，∴g x ＋y g x －y ＝3.11．若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值及相应的x 的值．解：y ＝lg (3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3.∴M ＝{x |x <1，或x >3}．f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2.∴y ＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数性质可知： 当0<t <2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，43， 当t >8时，f (t )∈(－∞，－160)， ∴当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．12．已知函数f (x )＝3x－13|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立，求m 的取值范围．解：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x－3x＝0， ∴f (x )＝2无解．当x >0时，f (x )＝3x －13x ，令3x－13x ＝2.∴(3x )2－2·3x－1＝0，解得3x ＝1± 2. ∵3x>0，∴3x＝1＋ 2. ∴x ＝log 3(1＋2)．(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x－13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (t )＝3t－13t >0.∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为 3t ⎝⎛⎭⎪⎫32t－132t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －13t ≥0，即3t ⎝⎛⎭⎪⎫3t ＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t－1.令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )解析：选A 先通过平移变换作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图象，再作关于直线y ＝x 对称的图象即可．2．已知x 12＋x12-＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x32-－3的值．解：∵x 12＋x12-＝3，∴x ＋x －1＝7.∴x 2＋x －2＝(x ＋x －1)2－2＝72－2＝47. 又x 32＋x32-＝(x 12＋x12-)3－3(x 12＋x12-)＝27－9＝18.∴原式＝47－218－3＝3.3．比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1.解：(1)考察函数y ＝1.7x，因为1.7>1，所以指数函数y ＝1.7x在R 上是增函数．因为2.5<3，所以1.72.5<1.73.(2)考察函数y ＝0.8x ，因为0<0.8<1，所以指数函数y ＝0.8x在R 上是减函数．因为－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.(3)1.70.3,0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值，因此在这两个数中间找一个量．由指数函数的性质可知1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1. 4．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.。
2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习课时闯关第一章集合与简易逻辑1.2含绝对值的不等式及一元二次不等
一、选择题1．不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥－2}D ．{x |x ≤－2}解析：选B.令x ＋3＝0得x ＝－3；令x －2＝0得x ＝2.当x ≤－3时，原不等式可化为－x －3＋x －2≥3，解集为∅；当－3<x <2时，原不等式可化为x ＋3＋x －2≥3，解得x ≥1，∴1≤x <2；当x ≥2时，原不等式可化为x ＋3－x ＋2>3，解集为R ，综上可知，原不等式的解集为{x |x ≥1}．2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ||x －1|≤2}，则∁U M ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1≤x ≤3}C ．{x |x <－1或x >3}D ．{x |x ≤－1或x ≥3}解析：选C.∵U ＝R ，M ＝{x ||x －1|≤2}＝{x |－1≤x ≤3}，∴∁U M ＝{x |x <－1或x >3}．3．(2011·高考上海卷改编)不等式x ＋1x≤3的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≥12 B.{}x | x <0 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 0<x ≤12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥12或x <0 解析：选D.原不等式等价于x ＋1x －3≤0⇔1－2x x ≤0⇔2x －1x≥0⇔x (2x －1)≥0且x ≠0，解得x ≥12或x ＜0. 4．设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}．则下列关系中成立的是( )A ．P QB ．Q ⊆PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅解析：选A.∵Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}，对集合Q 中元素分析： ①当m ＝0时，－4<0，恒成立．②当m <0时，需Δ＝(4m )2－4×m ×(－4)<0，解得－1<m <0.综合①②知，－1<m ≤0.∴Q ＝{m ∈R |－1<m ≤0}，故选A.5．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3解析：选D.A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝{x |x >b ＋2或x <b －2}，由A ⊆B 得b ＋2≤a －1或b －2≥a ＋1，即a －b ≥3或a －b ≤－3，即|a －b |≥3.二、填空题6．已知不等式x 2＋px ＋q <0的解集是{x |－3<x <2}，则p ＋q ＝________.解析：－3＋2＝－p ，－3×2＝q .∴p ＋q ＝－6＋1＝－5.答案：－57．若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1(x ≤－1)，3(－1＜x ＜2)，2x －1(x ≥2)，∴f (x )≥3.∵|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，∴a ≤3.答案：(－∞，3]8．(2013·西安模拟)已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是__________．解析：|x －1|＋|x |表示x 到点1和0的距离之和．其最小值为1，即|x －1|＋|x |≥1，当k <1时，不等式无解．答案：k <1三、解答题9．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |1<x <3}，求cx 2＋bx ＋a <0的解集．解：法一：注意到一元二次不等式的解集与相应二次方程的根之间的关系，可以知道ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实根为1,3，即原不等式与(x －1)(x －3)<0同解，即x 2－4x ＋3<0与－ax 2－bx －c <0同解，因此－a 1＝－b －4＝－c 3＝k >0， 这样目标不等式cx 2＋bx ＋a <0可变成3x 2－4x ＋1>0,3x 2－4x ＋1＝0的根为13，1， 因此所求不等式的解集为{x |x <13或x >1}． 法二：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |1<x <3}，可知ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实根为1,3，且a <0，根据根与系数关系－b a ＝4，c a＝3. 因a <0，不等式cx 2＋bx ＋a <0可变成c a x 2＋b ax ＋1>0，即3x 2－4x ＋1>0， 解得{x |x <13或x >1}． 10．(2012·高考辽宁卷)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2. (2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h (x )＝⎩⎨⎧ 1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.11．(探究选做)当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是全体实数？解：①a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1<0，Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0. 解之得－35<a <1. ②当a 2－1＝0，即a ＝±1时，当a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不符合题目要求，舍去．综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解集为全体实数．。
文科数学高考第一轮复习 指数与指数函数(课堂PPT)
[易错与防范] 1．指数函数的单调性取决于底数 a 的大 小，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应分 0 ＜a＜1 和 a＞1 两种情况分类讨论． 2．对与复合函数有关的问题，要弄清复 合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一 定要注意函数的定义域． 3．对可化为 a2x＋b·ax＋c＝0 或 a2x＋b·ax ＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元 法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
13
例 2、(1)函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( A )
A
B
C
D
(2)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图，其中 a，b 为常数，
则下列结论正确的是( D )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
14
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则 下列关系式中一定成立的是( )
∵f(x)在[-1,1]上是增函数
1 f(x)minf(1)
a2a1(a1
a)
a g1 a2 a2 1 a
b1 ∴b的取值范围是（-∞，-1）
27
[思想与方法] 1．根式与分数指数幂的实质是相同的， 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指 数幂进行根式的化简运算． 2．判断指数函数图象上底数大小的问题， 可以先通过令 x＝1 得到底数的值再进行比较．
29
DC．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2．
讨论函数f(x)=|3x－1|的单调性.
o
x
18
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则
文科数学高考第一轮复习 指数与指数函数(课堂PPT)
例 1、 化简求值：
(1)2350＋2－2·214－ －(0.01)0.5；
16 15
1 a
(3)(0.027) －17－2＋279 －( 2－1)0； -45
5 (4)6a
·b－2·(－3a－
b－1)÷(4a ·b－3)
.
5 ab 4ab2
【新坐标】
12
考点 2 指数函数的图象及应用 1、画指数函数 y＝ax 的图象，应抓住三个关键点: (1，a)，(0,1)，(－1，1a)， 2、熟记指数函数 y＝10x，y＝2x，y＝(110)x，y＝(12)x 在同一坐标系中 图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系． 3、对于图像问题的选择题，可以考虑特殊值法； 4、对于指数型复合函数的图像问题，一般从最基本的指数函数的 图像入手，通过平移、伸缩、对称变化而得到； 5、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函 数图像数形结合求解. 6、需特别注底数 a>1 与 0<a<1 两种不同情况;
y
要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，
则有c<0且a>0.
o
x
16
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则
下列关系式中一定成立的是( D )
A．3c>3a
B．3c>3b
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2．
【解析】画出 f(x)＝|3x－1|的图象
关于y轴对称
8
问题2：如图是指数函数
(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底 数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？
2014年高考一轮复习数学教案27指数与指数函数
2014年高考一轮复习数学教案：2.7 指数与指数函数 [1000字]2.7 指数与指数函数●知识梳理 1.指数（1）n次方根的定义若xn=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n为奇数时，an=a. ②当n为偶数时，an=|a|=?（3）分数指数幂的意义①a②amn=?mn?a??a(a?0),(a?0).am（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）. =1man=1am（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象）a> 1(0底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.（3）指数函数的性质①定义域：R. ②值域：（0，＋≦）.③过点（0，1），即x=0时，y=1.④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数. ●点击双基 1.·等于 A.－B.－C.D.1=－（－a）2解析：·答案：A11=a3·（－a）611?=－（－a）36.2.（2003年郑州市质量检测题）函数y=2的图象与直线y=x 的位置关系是x3解析：y=2=（）x. ≧2＞1，≨不可能选D.又≧当x=1时，2＞x，而当x=3时，2＜x，≨不可能选A、B.答案：C3.（2004年湖北，文5）若函数y=ax+b－1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有A.0＜a＜1且b＞0B.a＞1且b＞0C.0＜a＜1且b＜0 D.a＞1且b＜0 解析：作函数y=ax+b－1的图象.答案：C4.（2004年全国Ⅱ，理6）函数y=－ex的图象 A.与y=ex 的图象关于y轴对称 B.与y=ex的图象关于坐标原点对称－－C.与y=ex的图象关于y轴对称D.与y=ex的图象关于坐标原点对称解析：图象法. 答案：D5.（2004年湖南，文16）若直线y=2a与函数y=|ax－1|（a ＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是___________________.解析：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜答案：0＜a ＜6.函数y=（x3x3x31. 21 21x2?2x?2）的递增区间是___________. 2解析：≧y=（1x）在（－≦，+≦）上是减函数，而函数y=x2－2x+2=（x－1）2+1的2递减区间是（－≦，1］，≨原函数的递增区间是（－≦，1］.答案：（－≦，1］●典例剖析【例1】下图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是A.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜cC.1＜a＜b＜c＜dD.a＜b＜1＜d＜c 剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小.解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b＜a＜1＜d＜c.解法二：令x=1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，≨b＜a＜1＜d ＜c. 答案：B【例2】已知2x解：≧2x22?x≤（1x－2－），求函数y=2x－2x的值域. 4－x?x≤2－2（x－2），≨x2+x≤4－2x，即x2+3x－4≤0，得－4≤x≤1.又≧y=2x－2－－是［－4，1］上的增函数，≨24－24≤y≤2－21.故所求函数y的值域是［－2553，］. 162【例3】要使函数y=1+2x+4xa在x∈（－≦，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围.1?2x解：由题意，得1+2+4a＞0在x∈（－≦，1］上恒成立，即a＞－在x∈（－x4xx1?2x12x1x1x121≦，1］上恒成立.又≧－=－（）－（）=－［（）+］+，当x ∈（－≦，x2222441］时值域为（－≦，－33］，≨a＞－. 44评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法.●闯关训练夯实基础1.已知f（x）=ax，g（x）=－logbx，且lga+lgb=0，a≠1，b≠1，则y=f（x）与y=g（x）的图象A.关于直线x+y=0对称B.关于直线x－y=0对称C.关于y轴对称 D.关于原点对称解析：lga+lgb=0?ab=1.≨g（x）=－logbx=－loga－1x=logax.≨f（x）与g（x）的图象关于y=x对称. 答案：B2.下列函数中值域为正实数的是 A.y=－5xB.y=（11－x） 3C.y=()x?112D.y=?2x解析：≧y=（答案：B 3.化简1x1－）的值域是正实数，而1－x∈R，≨y=（）1x的值域是正实数. 33a3b2ab211(a4b2)4?a（a＞0，b＞0）的结果是___________________.解析：原式=1132a2b?[(ab)3]2bab?()3a21=113a2b?a6b327a3b3=104a6b327a3b3 =a. b答案：a b24.满足条件mm＞（mm）2的正数m的取值范围是___________________.解析：≧m＞0，≨当m＞1时，有m2＞2m，即m＞2；当0＜m＜1时，有m2＜2m，即0＜m＜1. 综上所述，m＞2或0＜m＜1. 答案：m＞2或0＜m＜15.（2004年湖北，理7）函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a，则a的值为A.141. 2B.12C.2D.4解析：（fx）在［0，1］上是单调函数，由已知（f0）+（f1）=a?1+loga1+a+loga2=a?loga2=－1?a=答案：B6.已知9x－10·3x+9≤0，求函数y=（1x－11）－4（）x+2的最大值和最小值. 421）2解：由9x－10·3x+9≤0得（3x－1）（3x－9）≤0，解得1≤3x≤9.≨0≤x≤2.令（x=t，则111≤t≤1，y=4t2－4t+2=4（t－）2+1.当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，422ymax=2.培养能力11·ax－≤0（a＞0且a≠1），求y=2a2x－3·ax+4的值域. 22111解：由a2x+·ax－≤0（a＞0且a≠1）知0＜ax≤.2221令ax=t，则0＜t≤，y=2t2－3t+4.借助二次函数图象知y ∈［3，4）.27.若a2x+8.（2004年全国Ⅲ，18）解方程4x+|1－2x|=11. 解：当x ≤0时，1－2x≥0. 原方程?4x－2x－10=0?2x=1知x＞0（无解）.当x＞0时，1－2x＜0.原方程?4x+2x－12=0?2x=－41111〒＜0（无解）或2x=+＞?2x=－22222217〒?2x=－4（无解）或2x=3?x=log23（为原方程22的解）.探究创新－－9.若关于x的方程25|x+1|－4·5|x+1|－m=0有实根，求m 的取值范围.－解法一：设y=5|x+1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－m=0在（0，1］内有实根.设f（y）=y2－4y－m，其对称轴y=2，≨f（0）＞0且f（1）≤0，得－3≤m＜0.－解法二：≧m=y2－4y，其中y=5|x+1|∈（0，1］，≨m=（y －2）2－4∈［－3，0）. ●思悟小结1.利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程.2.指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象和性质受a的影响，要分a＞1与0＜a＜1来研究.3.指数函数的定义重在“形式”，像y=2·3，y=2，y=3x1x，y=3x+1等函数都不符合形式y=ax（a＞0，a≠1），因此，它们都不是指数函数.●教师下载中心教学点睛1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.2.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0（≤0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后”新元”的范围.拓展题例【例1】若60a＝3，60b＝5.求121?a?b2(1?b)的值.解：a=log603，b＝log605， 1－b＝1－log605＝log6012，1－a－b＝1－log603－log605＝log604，log6041?a?b＝＝log124，1?blog6012121?a?b2(1?b)＝121log1242＝12log122＝2.【例2】方程2x=2－x的解的个数为______________.解析：方程的解可看作函数y=2x和y=2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（如下图）.由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.答案：1评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想.荐小学数学教案[1000字] 荐初二数学教案(800字) 荐生活中的数学教案[1000字] 荐人教版初一上数学教案(全册) [1500字] 荐工程数学教案 (500字)。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)
）
A．
B ．16π
C． 9π
D．
4，底面边长
11．（5 分）（ 2014? 大纲版）双曲线 C： ﹣ ＝ 1（ a＞ 0， b＞ 0）的离心率为 2，焦点到
渐近线的距离为 ，则 C 的焦距等于（
）
A．2
B．2
C．4
D．4
12．（ 5 分）（ 2014? 大纲版）奇函数 f（ x）的定义域为 R ，若 f（ x+2）为偶函数，且 f（ 1）
4 人需使用某种设备的概率分别
（Ⅰ）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买 k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设
备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值．
21．（ 12 分）（ 2014? 大纲版）函数 f（ x）＝ ax3+3x2+3x（ a≠ 0）． （Ⅰ）讨论 f（ x）的单调性；
离心率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△ AF1B 的周长为 4 ，则 C 的方程
为（ ）
第 1页（共 17页）
A． + ＝1
B ． +y2＝ 1
C． + ＝1
D． + ＝1
10．（5 分）（2014? 大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为
为 2，则该球的表面积为（
18．（ 12 分）（ 2014? 大纲版）△ ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，已知 3acosC ＝ 2ccosA， tanA＝ ，求 B．
19．（ 12 分）（2014 ? 大纲版）如图，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中，点 A1 在平面 ABC 内的射影 D
2014版高考一轮复习-第4讲-指数与指数函数
【2014年高考指会数这样与考】指数函数
1．考查指数函数的图象与性质及其应用．
2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用．
3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或幂的比较大小 ．
4．考查指数函数与函数、方程、不等式等内容结合的综合问题.
第1页，共26页。
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 限时规范训练
性)进行判断．
【方法锦囊】
(1)与指数函数有关的 函数的图象的研究， 往往利用相应指数函 数的图象，通过平移 、对称变换得到其图 象．
(2)一些指数方程、不
等式问题的求解，往 往利用相应的指数型 函数图象数形结合求 解．
第11页，共26页。
考向三 指数函数的性质及应用
【例 3】►已知 f(x)＝a2－a 1(ax－a－x)(a>0 且 a≠1)．
为 对 数 ； (4) 注 意
整体代换思想在指 数式运算中的应用 ．
考向一 指数幂的化简与求值
[审题视点]
熟记有理数指数幂
【训练 1】 (1)32 －13×－760＋814×4 2＋(3 2× 3)6－
－2323＝________；
的运算性质是化简 的关键．
(2)
a3 3 ·
5 b3＝________；
n ±a
(2)两个重要公式
①n
a，n为奇数，
an＝|a|＝
a a≥0， －a a<0，
n为偶数.
②n an＝ a (注意 a 必须使n a有意义)．
备注 n>1 且 n∈N* 零的 n 次方根是零
负数没有偶次方根
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考点梳理
高考数学 2.6 指数与指数函数课时闯关 理(含解析)人教版
【优化方案】2014届高考数学一轮复习 2.6 指数与指数函数课时闯关 理（含解析）人教版一、选择题1．函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析：选D.所给图象是由f (x )＝a x 的图象左移得到的，故b <0，又因递减性知，0<a <1，所以选D.2．已知f (x )是R 上的偶函数，且x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x 12，又2<2a<4，则f (－2)，f (a )，f (1)的大小关系是( )A ．f (1)<f (a )<f (－2)B ．f (－2)<f (1)<f (a )C ．f (a )<f (1)<f (－2)D ．f (1)<f (－2)<f (a ) 解析：选A.∵2<2a <4，∴1<a <2，又∵f (x )为偶函数，f (－2)＝f (2)．且f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (1)<f (a )<f (2)．3．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：选B.∵f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴令f (x )>0，得x >2.又f (x )为偶函数且f (x －2)>0，∴f (|x －2|)>0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0，∴{x |x <0或x >4}．4．(2012·高考天津卷)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选A.a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8， 所以1<b <2，c ＝2log 5 2＝log 5 4<1，所以c <b <a ，选择A.5．已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( )A ．[2,4]B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]解析：选D.y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝(2x －32)2＋34∈[1,7]， ∴(2x －32)2∈[14，254]．∴2x －32∈[－52，－12]∪[12，52]，∴2x ∈(0,1]∪[2,4]．∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]．故选D.二、填空题6．函数f (x )＝1－ 12x 的值域为__________． 解析：∵1≥(12)x >0，∴0≤1－(12)x <1. 答案：[0,1)7．已知f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)，且f (1)＝3，则f (0)＋f (1)＋f (2)的值是________．解析：f (1)＝a ＋a －1＝3，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＝a 0＋a 0＋a 1＋a －1＋a 2＋a －2＝2＋3＋(a＋a －1)2－2＝12.答案：128．设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为________．解析：∵f (x )＝1－12x ＋1－12＝12－12x ＋1， 又2x >0，∴－12<f (x )<12. ∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}．答案：{－1,0}三、解答题9．若函数y ＝f －1(x )是奇函数f (x )＝3x －a 3x ＋1的反函数，试求f －1(13)的值． 解：f (x )＝3x －a 3x ＋1是奇函数，则f (0)＝1－a 2＝0，a ＝1， f (x )＝3x －13x ＋1.令3x －13x ＋1＝13， ∴3x ＝2，∴x ＝log 32.∴f －1(13)的值为log 32. 10．要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．解：由题意，得1＋2x ＋4x a >0，在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x 4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立． 只需a >(－1＋2x 4x )max ， 又∵－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x ＝－[(12)x ＋12]2＋14， 当x ∈(－∞，1]时值域为(－∞，－34]，∴a >－34. 11．(探究选做)已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0，当x ≥0时，f (x )＝2x －12x . 由条件可知2x －12x ＝2， 即22x －2·2x －1＝0，解得2x＝1± 2.∵2x ＞0，∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t∈[1,2]时，2t(22t－122t)＋m(2t－12t)≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)．∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．。
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.5指数函数
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.5指数函数一、幂的运算的一般规律及要求 1．相关链接(1)分数指数幂与根式根据*,,,)=∈m naa 0m n N n 1＞且＞可以相互转化.(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将24a 写成12a 等必须认真考查a 的取值才能决定,如(),-==2411而()12-=1无意义.(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.(4)指数幂的一般运算步骤：有括先算括里的,无括先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.指数幂的化简与求值的原则及结果要求 （1）化简原则①化根式为分数指数幂； ②化负指数幂为正指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序.注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算（2）结果要求①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； ③结果不能同时含有根和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。
2．例题解析〖例1〗（1）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--；（2）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---分析：（1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。
（2）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。
解：（1）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+-23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=；（2）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+- 922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-= 〖例2〗已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值解：∵11223x x -+=，∴11222()9x x-+=，∴129x x -++=，∴17x x-+=，∴12()49x x -+=， ∴2247x x-+=，又∵331112222()(1)3(71)18x xx x x x ---+=+⋅-+=⋅-=， ∴223322247231833x x x x--+--==-+-二、指数函数的图象及应用 1．相关链接（1）图象的变换（2）从图象看性质函数的图象直观地反映了函数的基本性质①图象在x轴上的身影可得出函数的定义域；②图象在y轴上的身影可得出函数的值域；③从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；④由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；⑤由两个图象交战的横坐标可得方程的解。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）（2014•大纲版）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）（2014•大纲版）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1} 4．（5分）（2014•大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）（2014•大纲版）函数y＝ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y＝（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y＝（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y＝（1﹣e x）3（x∈R）D．y＝（e x﹣1）3（x∈R）6．（5分）（2014•大纲版）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•＝（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）（2014•大纲版）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）A．31B．32C．63D．649．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝110．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5分）（2014•大纲版）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）（2014•大纲版）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（8）+f（9）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）（2014•大纲版）函数y＝cos2x+2sin x的最大值是．15．（5分）（2014•大纲版）设x，y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．16．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n+2＝2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n＝a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．18．（12分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．22．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．7【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，∴M∩N＝{1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2014•大纲版）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．∴cosα＝＝＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）（2014•大纲版）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）（2014•大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE＝CF．设正四面体的棱长为2a，则EF＝a，CE＝CF＝．在△CEF中，由余弦定理得：＝．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）（2014•大纲版）函数y＝ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y＝（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y＝（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y＝（1﹣e x）3（x∈R）D．y＝（e x﹣1）3（x∈R）【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y＝ln（+1），∴+1＝e y，即＝e y﹣1，∴x＝（e y﹣1）3，∴所求反函数为y＝（e x﹣1）3，故选：D．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5分）（2014•大纲版）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，＝1×1×cos60°＝，＝1，∴（2﹣）•＝2﹣＝0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62＝15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51＝5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5分）（2014•大纲版）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）A．31B．32C．63D．64【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2＝a1+a2，S4﹣S2＝a3+a4＝（a1+a2）q2，S6﹣S4＝a5+a6＝（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122＝3（S6﹣15），解得S6＝63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a＝，根据离心率为，可得c＝1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴，c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为+＝1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2＝（4﹣R）2+（）2，∴R＝，∴球的表面积为4π•（）2＝．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5分）（2014•大纲版）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e＝，双曲线的渐近线方程为y＝，不妨取y＝，即bx﹣ay＝0，则c＝2a，b＝，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay＝0的距离为，∴d＝，即，解得c＝2，则焦距为2c＝4，故选：C．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）（2014•大纲版）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（8）+f（9）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）＝f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）＝f（x+2），则g（﹣x）＝g（x），即f（﹣x+2）＝f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（x﹣2），即f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝f（x+4+4）＝﹣f（x+4）＝f（x），则f（8）＝f（0）＝0，f（9）＝f（1）＝1，∴f（8）+f（9）＝0+1＝1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160．（用数字作答）【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r＝3，将r＝3代入通项，计算可得T4＝﹣160x3，即可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T r+1＝C6r x6﹣r（﹣2）r＝（﹣1）r•2r•C6r x6﹣r，令6﹣r＝3可得r＝3，此时T4＝（﹣1）3•23•C63x3＝﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．14．（5分）（2014•大纲版）函数y＝cos2x+2sin x的最大值是．【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y＝cos2x+2sin x＝1﹣2sin2x+2sin x＝，结合﹣1≤sin x≤1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：∵y＝cos2x+2sin x＝1﹣2sin2x+2sin x＝又∵﹣1≤sin x≤1当sin x＝时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sin x≤1的条件．15．（5分）（2014•大纲版）设x，y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z＝x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max＝1+4×1＝5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ＝的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ＝，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA＝＝，圆的半径为r＝，∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，tanθ＝＝，∴tan2θ＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n+2＝2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n＝a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）将a n+2＝2a n+1﹣a n+2变形为：a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n+2，再由条件得b n+1＝b n+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b n，代入b n＝a n+1﹣a n并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a n}的通项公式a n．【解答】解：（Ⅰ）由a n+2＝2a n+1﹣a n+2得，a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n+2，由b n＝a n+1﹣a n得，b n+1＝b n+2，即b n+1﹣b n＝2，又b1＝a2﹣a1＝1，所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，由b n＝a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n＝2n﹣1，则a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝5，…，a n﹣a n﹣1＝2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1＝1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1＝＝（n﹣1）2，又a1＝1，所以{a n}的通项公式a n＝（n﹣1）2+1＝n2﹣2n+2．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．【分析】由3a cos C＝2c cos A，利用正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，再利用同角的三角函数基本关系式可得tan C，利用tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3a cos C＝2c cos A，由正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，∴3tan A＝2tan C，∵tan A＝，∴2tan C＝3×＝1，解得tan C＝．∴tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝﹣1，∵B∈（0，π），∴B＝【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC＝C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D＝A1E＝，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D＝A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD＝＝1可知D为AC中点，∴DF＝＝，∴tan∠A1FD＝＝，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k＝2，不满足条件．若k＝3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）＝0.31．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k＝2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．若k＝3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06＜0.1，满足条件．故k的最小值为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ax3+3x2+3x，∴f′（x）＝3ax2+6x+3，令f′（x）＝0，即3ax2+6x+3＝0，则△＝36（1﹣a），①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）＝0方程有两个根，x1＝，x2＝，当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）＝3ax2+6x+3＞0故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，a的取值范围[）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．22．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0＝，根据|QF|＝|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2＝2px（p ＞0），可得x0＝，∵点P（0，4），∴|PQ|＝．又|QF|＝x0+＝+，|QF|＝|PQ|，∴+＝×，求得p＝2，或p＝﹣2（舍去）．故C的方程为y2＝4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2＝4x的焦点F（1，0），设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x＝﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）＝0，∴y3+y4＝，y3•y4＝﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|＝|y3﹣y4|＝，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，∴+DE2＝MN2，∴4（m2+1）2++＝×，化简可得m2﹣1＝0，∴m＝±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。
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一、选择题
1．函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )
A ．a >1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0<a <1，b >0
D ．0<a <1，b <0
解析：选D.所给图象是由f (x )＝a x 的图象左移得到的，故b <0，又因递减性知，0<a <1，
所以选D.
2．已知f (x )是R 上的偶函数，且x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x 12，又2<2a <4，则f (－2)，f (a )，f (1)的大小关系是( )
A ．f (1)<f (a )<f (－2)
B ．f (－2)<f (1)<f (a )
C ．f (a )<f (1)<f (－2)
D ．f (1)<f (－2)<f (a )
解析：选A.∵2<2a <4，∴1<a <2，
又∵f (x )为偶函数，f (－2)＝f (2)．
且f (x )在(0，＋∞)上为增函数，
∴f (1)<f (a )<f (2)．
3．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )
A ．{x |x <－2或x >4}
B ．{x |x <0或x >4}
C ．{x |x <0或x >6}
D ．{x |x <－2或x >2}
解析：选B.∵f (x )＝2x －4(x ≥0)，
∴令f (x )>0，得x >2.
又f (x )为偶函数且f (x －2)>0，
∴f (|x －2|)>0，
∴|x －2|>2，解得x >4或x <0，
∴{x |x <0或x >4}．
4．(2012·高考天津卷)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，
c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <b
C ．b <a <c
D ．b <c <a
解析：选A.a ＝21.2>2，而b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，
所以1<b <2，c ＝2log 5 2＝log 5 4<1，
所以c <b <a ，选择A.
5．已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( )
A ．[2,4]
B ．(－∞，0]
C ．(0,1]∪[2,4]
D ．(－∞，0]∪[1,2]
解析：选D.y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝(2x －32)2＋34
∈[1,7]， ∴(2x －32)2∈[14，254]．∴2x －32∈[－52，－12]∪[12，52
]，∴2x ∈(0,1]∪[2,4]．∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]．故选D.
二、填空题
6．函数f (x )＝ 1－(12)x 的值域为__________．
解析：∵1≥(12)x >0，∴0≤1－(12
)x <1. 答案：[0,1)
7．已知f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)，且f (1)＝3，则f (0)＋f (1)＋f (2)的值是________．
解析：f (1)＝a ＋a －1＝3，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＝a 0＋a 0＋a 1＋a －1＋a 2＋a －2＝2＋3＋(a ＋a －1)2
－2＝12.
答案：12
8．设函数f (x )＝2x 1＋2x －12
，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为________．
解析：∵f (x )＝1－12x ＋1－12＝12－12x ＋1
， 又2x >0，∴－12<f (x )<12
. ∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}．
答案：{－1,0}
三、解答题
9．若函数y ＝f －1(x )是奇函数f (x )＝3x －a 3x ＋1
的反函数，试求f －1(13)的值． 解：f (x )＝3x －a 3x ＋1
是奇函数，则f (0)＝1－a 2＝0，a ＝1， f (x )＝3x －13x ＋1.令3x －13x ＋1＝13
， ∴3x ＝2，∴x ＝log 32.
∴f －1(13
)的值为log 32. 10．要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围． 解：由题意，得1＋2x ＋4x a >0，在x ∈(－∞，1]上恒成立，
即a >－1＋2x
4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立． 只需a >(－1＋2x
4x )max ， 又∵－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x ＝－[(12)x ＋12]2＋14
， 当x ∈(－∞，1]时值域为(－∞，－34]，∴a >－34
. 11．(探究选做)已知函数f (x )＝2x －12
|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；
(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．
解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0，当x ≥0时，f (x )＝2x －12x . 由条件可知2x －12x ＝2， 即22x －2·2x －1＝0，解得2x ＝1±2.
∵2x ＞0，∴x ＝log 2(1＋2)．
(2)当t ∈[1,2]时，2t (22t －122t )＋m (2t －12t )≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)．
∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)．
∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]，
故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。