2020高考数学刷题首秧专题突破练3三角函数与其他知识的综合应用文含解
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料一、选择题1.函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为( ) ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ,求导数,利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭, 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈,()3261g t t t =--+为减函数,且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以当03x π<<时,()11,02t g t <<<,从而()'0f x <; 当32x ππ<<时,()10,02t g t <<>,从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选:A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换,利用导数求函数的最小值,换元法,属于中档题.2.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足,222b c a bc +-=,0AB BC ⋅>,2a =,则b c +的取值范围是( ) A .31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C .13,22⎛⎫⎪⎝⎭D .31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=,可得3A π=,由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->,可得B为钝角,由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+,结合B 的范围,可得解【详解】由余弦定理有:222cos 2b c a A bc+-=,又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角,故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅-> 故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)2o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈,可得130(120150)sin(30)(2o o o o B B +∈∴+∈,330))2o b c B ∴+=+∈ 故选:B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算能力,属于中档题3.已知函数f (x )=2x -1,()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩(a ∈R ),若对任意x 1∈[1,+∞),总存在x 2∈R ,使f (x 1)=g (x 2),则实数a 的取值范围是()A .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C .[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】对a 分a=0,a <0和a >0讨论,a >0时分两种情况讨论,比较两个函数的值域的关系,即得实数a 的取值范围. 【详解】当a =0时,函数f (x )=2x -1的值域为[1,+∞),函数()g x 的值域为[0,++∞),满足题意. 当a <0时,y =22(0)x a x +<的值域为(2a ,+∞), y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2>2a , 所以此时函数g (x )的值域为(2a ,+∞), 由题得2a <1,即a <12,即a <0. 当a >0时,y =22(0)x a x +<的值域为(2a ,+∞),y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥23时,-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0<a <23时,-a +2>2a ,由题得2a <1,所以a <12.所以0<a <12. 综合得a 的范围为a <12或1≤a ≤2, 故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质,考查指数函数和三角函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.在△ABC 中,7b =,5c =,3B π∠=,则a 的值为 A .3 B .4C .7D .8【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件两边一角,由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-,代入计算即可得到所求的值.因为7,5,3b c B π==∠=,由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-,即214925252a a =+-⨯⨯,整理得25240a a --=, 解得8a =或5a =-(舍去),故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有余弦定理,解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理,结合题中的条件,选择适当的方法求得结果.5.将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后,所得图象关于y 轴对称,且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则当ω取最小值时,函数()f x 的解析式为( )A .()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B .()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D .()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律,可得所得函数的解析式,由12f πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求出φ,再根据所得图象关于y 轴对称求出ω,可得()f x 的解析式.【详解】解:将函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的图象向右平移6π个单位长度后,可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象;∵所得图象关于y 轴对称,∴62k ωππφπ-+=+,k Z ∈.∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭,即1sin 2φ=,26ππφφ<=,. ∴63k ωπππ-=+,620k ω=-->, 则当ω取最小值时,取1k =-,可得4ω=, ∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律,正弦函数的性质,属于中档题.6.已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->,若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素,则实数ω的取值范围是( )A .35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C .725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】化简f (x )的解析式,作出f (x )的函数图象,利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f (x )在(0,+∞)上的交点坐标,则π介于第4和第5个交点横坐标之间. 【详解】 f (x )=2sin (ωx ﹣3π), 作出f (x )的函数图象如图所示:令2sin (ωx ﹣3π)=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ,或ωx ﹣3π=76π+2kπ, ∴x=6πω+2k πω,或x=32πω+2k πω,k ∈Z , 设直线y=﹣1与y=f (x )在(0,+∞)上从左到右的第4个交点为A ,第5个交点为B , 则x A =322ππωω+,x B =46ππωω+, ∵方程f (x )=﹣1在(0,π)上有且只有四个实数根, ∴x A <π≤x B ,即322ππωω+<π≤46ππωω+,解得72526ω≤<. 故选B . 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,三角函数的图象与性质,属于中档题.7.在ABC ∆中,060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点,2,CD CBD =∆的面积为1,则BD 的长为( )A .32B .4C .2D .1【答案】C 【解析】 11210sin 1sin 25BCD BCD ⨯⨯⨯∠=∴∠= 22222102210425BD BD ∴=+-⨯⨯⨯=∴=,选C8.如图,在等腰直角ABC ∆中,D ,E 分别为斜边BC 的三等分点(D 靠近点B ),过E 作AD 的垂线,垂足为F ,则AF =( )A .3155AB AC + B .2155AB AC + C .481515AB AC + D .841515AB AC + 【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长,由此结合余弦定理求得各边长,并求得cos DAE ∠,由此得到45AF AD =,进而利用平面向量加法和减法的线性运算,将45AF AD =表示为以,AB AC 为基底来表示的形式. 【详解】设6BC =,则2AB AC BD DE EC =====,AD AE ===,101044cos 2105DAE +-∠==⨯, 所以45AF AF AD AE ==,所以45AF AD =. 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-2133AB AC =+, 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭. 故选:D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,考查利用基底表示向量,属于中档题.9.在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,已知cos cos 2b C c B b +=,则ab=( )A .B .2CD .1【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及题设可知,sin cos sin cos 2sin B C C B B +=,即sin()2sin B C B +=,又A B C π++=,可得sin 2sin A B =,再由正弦定理,可得解【详解】由正弦定理:2sin sin b cR B C==,又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=,即sin()2sin B C B +=在ABC ∆中,A B C π++=故sin()2sin A B π-=,即sin 2sin A B =故sin 2sin a A b B == 故选:B 【点睛】本题考查了正弦定理在边角互化中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算能力,属于中档题10.已知函数f (x )=sin 2x +sin 2(x 3π+),则f (x )的最小值为( )A .12B .14C.4D.2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,再求最值. 【详解】已知函数f (x )=sin 2x +sin 2(x 3π+), =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+,=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭, 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭, 所以f (x )的最小值为12. 故选:A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.11.已知1tan 4,tan θθ+=则2sin ()4πθ+=( )A .15 B .14C .12D .34【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系化简1tan 4tan θθ+=成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与诱导公式化简2sin ()4πθ+求解即可.【详解】由题, 1tan 4,tan θθ+=则22sin cos sin cos 444sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=⇒=⇒=,故1sin 22θ=. 所以2sin ()4πθ+=1cos 222πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1sin 2324θ+==. 故选:D 【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.12.已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos2α=( )A .725B .725-C .2325D .2325-【答案】C 【解析】 【分析】由已知根据三角函数的诱导公式,求得sin α,再由余弦二倍角,即可求解. 【详解】 由π1cos α25⎛⎫-=⎪⎝⎭,得1sin α5=,又由2123cos2α12sin α122525=-=-⨯=. 故选C . 【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值,其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.13.已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则tan 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A .53-B .35C .35D .53【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,故3tan tan 1472πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,解得答案. 【详解】由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭. 故选:B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换,意在考查学生的计算能力和转化能力.14.函数()22sin 3cos 2f x x x =+-,2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为( ) A .40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++,设sin t x =,利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=,得()23sin 2sin 1f x x x =-++,2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 令sin t x =,由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 故[]0,1t ∈,有2321y t t =-++,[]0,1t ∈,二次函数对称轴为13t =, 当13t =时,最大值43y =;当1t =时,最小值0y =, 综上,函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选:A . 【点睛】本题考查了三角函数值域,换元可以简化运算,是解题的关键.15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( )A.y =B.3y x =± C .y x =± D .2y x =±【答案】A【解析】【分析】 因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 121222MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅可得:2221(2)(4)(2)2424c a a a a =+-⋅⋅⋅化简可得:2c a =由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-=可得:b =双曲线渐近线方程为:b y x a=± 则双曲线渐近线方程为: y =故选:A.【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.16.函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称,则()f x 的最大值为( )A .2BC.D或【答案】D【解析】【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称,则有()(0)2f f π-=,解得a ,得到函数再求最值. 【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称, 所以()(0)2f f π-=, 即220a a +-=,解得2a =-或1a =,当2a =-时,()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭,此时()f x 的最大值为;当1a =时,()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭,此时()f x ;综上()f x 或.故选:D【点睛】本题主要考查三角函数的性质,还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力,属于中档题.17.在三角形ABC 中,给出命题:p “2ab c >”,命题:q “3C π<”,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-,整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>,求出C 范围,即可判断充分性,取4a =,7b =,6c =,则可判断必要性不成立,两者结合可得正确的选项.【详解】充分性:由余弦定理,2222cos c a b ab C =+-,所以2ab c >,即222cos ab a b ab C >+-, 整理得,2212cos a b C ab++>,由基本不等式,222a b ab ab+≥=, 当且仅当a b =时等号成立,此时,12cos 2C +>,即1cos 2C >,解得3C π<, 充分性得证; 必要性:取4a =,7b =,6c =,则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯, 故3C π<,但228ab c =<,故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立; 故p 是q 的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用,考查学生分析转化能力,属于中档题.18.若θ是第二象限角,则下列选项中能确定为正值的是( ) A .sinB .cosC .tanD .cos2θ【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可.【详解】由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角,所以tan >0.故选C【点睛】本题考查三角函数值的符号的判断,是基础题.19.化简21sin 352sin 20︒︒-=( )A .12B .12-C .1-D .1【答案】B【解析】【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式,由此求得正确结论.【详解】依题意,原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202--==-⨯=-⨯=-,故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式,考查三角函数诱导公式,属于基础题.20.关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论:①()f x 是奇函数;②()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增; ③π是()f x 的周期;④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是( )A .4B .3C .2D .1【答案】C【解析】【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误,根据复合函数单调性判断法则判断②正确,()()f x f x π+=③正确,假设()f x 的最大值为2,取()2f a =,得到矛盾,④错误,得到答案.【详解】 ()()()sin tan cos tan f x x x =-,()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--,所以()f x 为非奇非偶函数,①错误; 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,令tan t x =,()0,1t ∈, 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增,cos y t =单调递减,根据复合函数单调性判断法则, 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()sin tan y x =,()cos tan y x =-均为增函数, 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,所以②正确; ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=, 所以π是()f x 的周期,所以③正确;假设()f x 的最大值为2,取()2f a =,必然()sin tan 1a =,()cos tan 1a =-, 则tan 22a k ππ=+,k Z ∈与tan 2a k ππ=+,k Z ∈矛盾,所以()f x 的最大值小于2,所以④错误.故选:C.【点睛】本题考查了三角函数奇偶性,单调性,周期,最值,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。
2020高考数学必刷题含解析
专题突破练(1) 函数的综合问题一、选择题1.函数f (x )=Error!的零点个数为( ) A .3 B .2 C .7 D .0 答 B解 解法一:由f (x )=0得Error!或Error!解得x =-2或x =e . 因此函数f (x )共有2个零点. 解法二:函数f (x )的图象如图所示, 由图象知函数f (x )共有2个零点.故选B .2.已知A (2,5),B (4,1),若点P (x ,y )在线段AB 上,则的最大值为( ) y2xA .B .1C .D . 185472答 C解 由题意,得线段AB :y -1=(x -4)⇒y =-2x +9(2≤x ≤4),所以=5-12-4y2x=-1+≤,当x =2时等号成立,即的最大值为.故选C . -2x +92x 92x 54y 2x 543.若变量x ,y 满足|x |-ln =0,则y 关于x 的函数图象大致是( )1y答 B解 由|x |-ln =0得y ==Error!画出图象可知选B .1y 1e|x |4.(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=log 2(2+x )-1,则f (-6)=( )A .2B .4C .-2D .-4 答 C解 因为f (x )是R 上的奇函数,所以f (-x )=-f (x ).而在x ≥0时,f (x )=log 2(2+x )-1,所以f (-6)=-f (6)=-[log 2(2+6)-1]=-(log 28-1)=-2.故选C .5.(2018·唐山模拟)已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,若f (-2)=0,则满足xf (x )>0的x 的取值范围是( )A .(-∞,-2)∪(0,2)B .(-2,0)∪(2,+∞)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-2,0)∪(0,2) 答 A解 因为f (x )是偶函数且在[0,+∞)上单调递减,所以f (x )在(-∞,0]上单调递增,又f (-2)=0,所以f (2)=0,即在区间(-∞,-2)和(2,+∞)上,f (x )<0;在区间(-2,2)上,f (x )>0,所以xf (x )>0等价于Error!和Error!即得x <-2或0<x <2.故选A .6.(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )=,则使得f (x 2-2x )>f (3x -6)成立的x1+|x |x 的取值范围是( )A .(-∞,2)∪(3,+∞)B .(2,3)C .(-∞,2)D .(3,+∞) 答 A解 易得函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )==1-为单x1+x11+x调增函数,故函数f (x )在R 上为增函数,依题意得x 2-2x >3x -6,解得x <2或x >3.故选A .7.(2018·佛山质检一)已知函数f (x )=Error! 则下列函数为奇函数的是( ) A .f (sin x ) B .f (cos x ) C .xf (sin x ) D .x 2f (cos x ) 答 C解 易知f (x )为偶函数,即满足∀x ∈R ,f (-x )=f (x )恒成立.研究g (x )=xf (sin x ),g (-x )=-xf [sin(-x )]=-xf (-sin x )=-xf (sin x )=-g (x ),故g (x )=xf (sin x )为奇函数.故选C .8.(2019·青岛质检)已知a >b >1,则下列结论正确的是( ) A .a a <b b B .a ln b >b ln a C .a ln a >b ln b D .a b <b a 答 C解 取a =e ,b =,则B 项明显错误;对于D 项,若a b <b a 成立,则ln a b <ln b a ,e 则b ln a <a ln b ,由B 项错误得D 项错误;因为a >b >1,所以ln a >ln b >0,由同向不等式相乘得a ln a >b ln b ,进一步得ln a a >ln b b ,所以a a >b b ,所以A 项错误,C 项正确.故选C .9.若x ,y ∈R ,且满足Error!则x +y =( ) A .-4 B .-3 C .3 D .4 答 B解 函数f (t )=t 3+2018t (t ∈R )是奇函数,且在R 上是增函数,故若f (u )+f (v )=130,则必有u +v =0,本题中,u =x +4,v =y -1,∴x +4+y -1=0⇒x +y =-3.故选B .10.(2018·长沙统考)函数f (x )=2x +的图象大致为( )x x +1答 A 解 f (x )=2x +=2x -+1,其定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).令u (x )x x +11x +1=2x ,v (x )=-.由于u (x )和v (x )都在(-∞,-1)和(-1,+∞)上单调递增,所以1x +1f (x )在(-∞,-1)上和(-1,+∞)上单调递增,排除C ,D ;又当x 趋向负无穷时,2x 趋近于0,-趋近于0,所以f (x )接近于1,所以选A . 1x +111.(2018·大庆质检一)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ∈[0,+∞)时,f ′(x )<0.若a =f ln ,b =f ln -,c =f (e 0.1),则a ,b ,c 的大小关系为( )121e 1e2A .b <a <c B .b <c <a C .c <a <b D .a <c <b 答 C解 依题意,有f (x )在[0,+∞)上单调递减,而且f (x )是定义在R 上的奇函数,则由其图象知f (x )在(-∞,0]上单调递减,从而奇函数f (x )在R 上单调递减.则由ln -1e =ln 1-<ln =-1,0>ln >ln =-1,e0.1>0,知ln -<ln <e 0.1,从而结合1e 21e 1e 1e 121e 1e 1e 212f (x )的单调性,有f ln ->f ln >f (e 0.1),即c <a <b .故选C .1e 1e 21212.(2018·长沙统考)设平行于x 轴的直线l 分别与函数y =2x 和y =2x +1的图象相交于点A ,B ,若函数y =2x 的图象上存在点C ,使得△ABC 为等边三角形,则这样的直线l ( )A .不存在B .有且只有一条C .至少有两条D .有无数条 答 B解 如图,设直线l 的方程为y =a (a >0),则点A (log 2a ,a ),B (log 2a -1,a ). 因为直线AB 平行于x 轴,所以|AB |=1.取AB 中点D ,连接CD ,因为△ABC 是等边三角形,所以CD ⊥AB ,且|AD |=,|CD |=,所以点C log 2a -,a -.因为点C 在y =2x12321232的图象上,所以a -=2log2a -=,解得a =,所以直线l 只有一条.故选B .3212a232-2二、填空题13.若关于x 的不等式x 2-4x -2-a >0在区间[1,4]内有解,则实数a 的取值范围是________.答 (-∞,-2)解 不等式x 2-4x -2-a >0在区间[1,4]内有解等价于a <(x 2-4x -2)max ,令g (x )=x 2-4x -2,x ∈[1,4],∴g (x )≤g (4)=-2,∴a <-2.14.若存在b ∈[1,2],使得2b (b +a )≥4,则实数a 的取值范围是________. 答 [-1,+∞)解 由题可得2b (a +b )≥4⇒a +b ≥4b ⇒a ≥4b -b ,即存在b ∈[1,2]使得a ≥4b (12)(12)(12)-b ,因为y =4x-x 在R 是单调递减的,所以4b-b 在区间[1,2]上的范围为[-1,(12)(12)1],则a ≥-1,故填[-1,+∞).15.已知函数g (x )的图象与函数f (x )=log 3x (x >0)的图象关于直线y =x 对称,若g (a )·g (b )=3(其中a >0且b >0),则+的最小值为________. 1a 4b答 9解 依题意可知g (x )=3x ,∴g (a )·g (b )=3a ·3b =3a +b =3即a +b =1,∴+=1a 4b·(a +b )=5++≥9当且仅当a =,b =取“=”. (1a +4b )b a 4a b 132316.如图,在第一象限内,矩形ABCD 的三个顶点A ,B ,C 分别在函数y =log x ,y22=x ,y =x 的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A 的纵坐标是2,则点D1232的坐标是________.答 ,12916解 由2=log x 可得点A ,2,由2=x 可得点B (4,2),因为4=,所以点C22121232916的坐标为4,,所以点D 的坐标为,.91612916三、解答题17.(2018·湖北荆州摸底)已知定义在(0,+∞)上的函数f (x ),满足f (mn )=f (m )+f (n )(m ,n >0),且当x >1时,有f (x )>0.(1)求证:f =f (m )-f (n );(mn)(2)求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数; (3)比较f与的大小.(m +n2)f (m )+f (n )2解 (1)证明:∵f (m )=f =f +f (n ),(m n ·n )(mn)∴f=f (m )-f (n ). (mn)(2)证明:任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=f .(x 2x1)∵0<x 1<x 2,∴>1,∴f >0,x 2x1(x 2x 1)∴f (x 2)>f (x 1),∴f (x )在(0,+∞)上是增函数.(3)f-(m +n 2)f (m )+f (n )2=f +f - 12(m +n 2)12(m +n 2)f (m )+f (n )2=+ 12[f (m +n 2)-f (m )]12[f (m +n2)-f (n )]=f +f12(m +n 2m )12(m +n 2n )=f12[(m +n )24mn ]∵≥1,∴f≥0,(m +n )24mn [(m +n)24mn ]故f≥. (m +n 2)f (m )+f (n )218.(2018·浙江宁波统考)已知函数f (x )=log 2(x +1),g (x )=x |x -a |. (1)若g (x )为奇函数,求a 的值并判断g (x )的单调性(单调性不需证明);(2)对任意x 1∈[1,+∞),总存在唯一的x 2∈[2,+∞),使得f (x 1)=g (x 2)成立,求正实数a 的取值范围.解 (1)∵g (x )为奇函数,∴g (x )+g (-x )=x (|x -a |-|x +a |)=0恒成立. ∴a =0.此时g (x )=x |x |,在R 上单调递增. (2)x 1∈[1,+∞),f (x )=log 2(x +1), ∴f (x 1)∈[1,+∞),g (x )=Error!①当a ≤2时,g (x 2)在[2,+∞)上单调递增, ∴g (2)=4-2a ≤1,a ≥,∴≤a ≤2.3232②当2<a <4时,g (x 2)在[2,a ]上单调递减,在[a ,+∞)上单调递增. ∴g (2)=-4+2a <1,a <,∴2<a <.5252③当a ≥4时,g (x 2)在2,上单调递增,在,a 上单调递减,在[a ,+∞)上单调递a 2a2增.∴g =-2+<1,-2<a <2,不成立.a2a 2a 22综上可知≤a <.325219.(2018·福建四校联考)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P 与日产量x (万件)之间满足关系:P =Error!(其中c 为小于6的正常数).(注:次品率=次品数/生产量,如P =0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品.)已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润? 解 (1)当x >c 时,P =,23∴T =x ·2-x ·1=0;1323当1≤x ≤c 时,P =,16-x∴T =·x ·2-·x ·1=.(1-16-x )(16-x )9x -2x 26-x综上,日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为T =Error! (2)由(1),当x >c 时,每天的盈利额为0,∴1≤x ≤c ,①当3≤c <6时,T ==15-2(6-x )+≤15-12=3(当且仅当x =3时取等9x -2x 26-x 96-x 号),T max =3,此时x =3;②当1≤c <3时,由T ′==知函数T =在[1,3]上2x 2-24x +54(6-x )22(x -3)(x -9)(6-x )29x -2x 26-x递增,∴当x =c 时,∴T max =.9c -2c 26-c综上,若3≤c <6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润; 若1≤c <3,则当日产量为c 万件时,可获得最大利润.20.(2018·天津模拟)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为y =x 3-x +8(0<x <120).1128000380(1)当x =64千米/小时时,行驶100千米耗油量多少升? (2)若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米? 解 (1)当x =64千米/小时时,要行驶100千米需要=小时, 100642516要耗油×643-×64+8×=11.95(升). 11280003802516(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a 千米,由题意得, x 3-x +8×=22.5, 1128000380ax 所以a =,22.51128000x 2+8x -380设h (x )=x 2+-, 11280008x 380则当h (x )最小时,a 取最大值, h ′(x )=x -=,1640008x 2x 3-80364000x 2令h ′(x )=0⇒x =80,当x ∈(0,80)时,h ′(x )<0,当x ∈(80,120)时,h ′(x )>0,故当x ∈(0,80)时,函数h (x )为减函数,当x ∈(80,120)时,函数h (x )为增函数, 所以当x =80时,h (x )取得最小值,此时a 取最大值为=200.22.51128000×802+880-380所以若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶200千米.专题突破练(1) 函数的综合问题一、选择题1.函数f (x )=Error!的零点个数为( ) A .3 B .2 C .7 D .0 答 B解 解法一:由f (x )=0得Error! 或Error!解得x =-2或x =e . 因此函数f (x )共有2个零点.解法二:函数f (x )的图象如图所示,由图象知函数f (x )共有2个零点.故选B .2.已知A (2,5),B (4,1),若点P (x ,y )在线段AB 上,则的最大值为( )y2xA .B .1C .D . 185472答 C解 由题意,得线段AB :y -1=(x -4)⇒y =-2x +9(2≤x ≤4),所以=5-12-4y2x=-1+≤,当x =2时等号成立,即的最大值为.故选C . -2x +92x 92x 54y 2x 543.若变量x ,y 满足|x |-ln =0,则y 关于x 的函数图象大致是( )1y答 B解 由|x |-ln =0得y ==Error!画出图象可知选B .1y1e |x |4.(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=log 2(2+x )-1,则f (-6)=( )A .2B .4C .-2D .-4 答 C解 因为f (x )是R 上的奇函数,所以f (-x )=-f (x ).而在x ≥0时,f (x )=log 2(2+x )-1,所以f (-6)=-f (6)=-[log 2(2+6)-1]=-(log 28-1)=-2.故选C .5.(2018·唐山模拟)已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,若f (-2)=0,则满足xf (x )>0的x 的取值范围是( )A .(-∞,-2)∪(0,2)B .(-2,0)∪(2,+∞)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-2,0)∪(0,2) 答 A解 因为f (x )是偶函数且在[0,+∞)上单调递减,所以f (x )在(-∞,0]上单调递增,又f (-2)=0,所以f (2)=0,即在区间(-∞,-2)和(2,+∞)上,f (x )<0;在区间(-2,2)上,f (x )>0,所以xf (x )>0等价于Error!和Error!即得x <-2或0<x <2.故选A .6.(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )=,则使得f (x 2-2x )>f (3x -6)成立的x1+|x |x 的取值范围是( )。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形(含答案)
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数,它是描述周期现象的一个重要函数模型,可以加深对函数的概念和性质的理解和运用.其主要内容包括:三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分.在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上,能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明;理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题;运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形.重点考查相关的数学思想方法,如方程的思想、数形结合、换元法等.§3-1 三角函数的概念【知识要点】1.角扩充到任意角:通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数.2.弧度rad 以及度与弧度的互化: 3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α. 3.三角函数的定义:在平面直角坐标系中,任意角α 的顶点在原点,始边在x 轴正半轴上,终边上任意一点P (x ,y ),|OP |=r (r ≠0),则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xy αtan5.三角函数线:正弦线MP ,余弦线OM ,正切线AT6.同角三角函数基本关系式:⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 227.诱导公式:任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系,可以统一为“k ·2π±α ”形式,记忆规律为“将α 看作锐角,符号看象限,(函数名)奇变偶不变”.【复习要求】1.会用弧度表示角的大小,能进行弧度制与角度制的互化;会表示终边相同的角;会象限角的表示方法. 2.根据三角函数定义,熟练掌握三角函数在各个象限中的符号,牢记特殊角的三角函数值, 3.会根据三角函数定义,求任意角的三个三角函数值. 4.理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式. 【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (-1,-2),求sin α ,cos α ,tan α 的值;(2)设角α 的终边上一点),3(y P -,且1312sin =α,求y 的值和tan α . 解:(1)5||==OA r ,所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ,解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握,同时应关注其中变量的符号.例2 (1)判断下列各式的符号:①sin330°cos(-260°)tan225° ②sin(-3)cos4 (2)已知cos θ <0且tan θ <0,那么角θ 是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角 (3)已知α 是第二象限角,求角αα2,2的终边所处的位置.解:如图3-1-1,图3-1-2 (1)①330°是第四象限角,sin330°<0;-260°是第二象限角,cos(-260°)<0;225°是第三象限角,tan225°>0;所以sin330°cos(-260°)tan225°>0.②-3是第三象限角,sin(-3)<0;5是第四象限角,cos5>0,所以sin(-3)cos5<0或:-3≈-3×57.3°=-171.9°,为第三象限角;5≈5×57.3°=286.5°,是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断,图3-1-1,图3-1-2两个坐标系应予以重视.(2)cos θ <0,所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ <0,所以角θ 终边在第二或第四象限中,所以角θ 终边在第二象限中,选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握,(3)分析:容易误认为2α是第一象限角,其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角,所以2k π+2π<α <2k π+π,(k ∈Z ),所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3-1-3,可得2α是第一象限或第三象限角,又4k π+π<2α <4k π+2π,2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角.【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角,结合图3-1-1,图3-1-2,从角度制和弧度制两个角度处理; (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理; (3)在考虑角的终边位置时,应注意考虑终边在坐标轴上的情况. (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练. 如第一象限角:)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α,注意防止2π0<<α的错误写法.例3 (1)已知tan α =3,且α 为第三象限角,求sin α ,cos α 的值; (2)已知31cos -=α,求sin α +tan α 的值;(3)已知tan α =-2,求值:①ααααcos sin cos sin 2-+;②sin 2α +sin α cos α .解:(1)因为α 为第三象限角,所以sin α <0,cos α <0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα,得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α,且不等于-1,所以α 为第二或第三象限角, 当α 为第二象限角时,sin α >0,,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时,sin α <0,,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα 综上所述:当α 为第二象限角时,324tan sin -=+αα,当α 为第三象限角时,⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值,求其余的三角函数值的步骤:(1)先定所给角的范围:根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式,求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时,应对角的范围进行分类讨论(3)(法一):因为tan α =-2,所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα,②原式=(-2cos α )2+(-2cos α )cos α =2cos 2α ,因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα,得到51cos 2=α,所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二):①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值,求含正弦、余弦的齐次式的值:(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦,使得问题得以解决; (2)1的灵活运用,也可以利用sin 2α +cos 2α =1,αααcos sin tan =,将弦化为切.例4 求值:(1)tan2010°=______; (2))6π19sin(-=______; (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解:(1)tan2010°=tan(1800°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=3330tan =(2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角,符号看象限,(函数名)奇变偶不变”,6π2π26ππ-⨯-=--,可以看出是2π的-2倍(偶数倍),借助图3-1-2看出6ππ--为第二象限角,正弦值为正. (3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3,将α 看做锐角,借助图3-1-2看出α-2π3为第三象限角,正弦值为负,2π的3倍(奇数倍),改变函数名,变为余弦,所以可得ααcos )2π3sin(-=-,同理可得ααsin )2πcos(=+-,所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律,对于“将α 看做锐角,符号看象限,(函数名)奇变偶不变”要灵活运用,否则容易陷入公式的包围,给诱导公式的应用带来麻烦.例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-,则α 的值为( ) A .5π- B .5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D .)(,π25π4Z ∈+k k解:因为05πsin ,05πcos >>,所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中,由三角函数定义得,5πtan 5πcos 5πsin tan -=-==x y α,因为角α 的终边在第二象限, 所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α,所以,)(,π25π4Z ∈+=k k α,选D .例6 化简下列各式:(1)若θ 为第四象限角,化简θθ2sin1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解:(1)原式=|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===, 因为θ 为第四象限角,所以cos θ >0,原式=θθθθsin cos cos sin ==⋅,(2)原式=⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时,cos θ <0,所以原式1cos cos -=-=θθ,当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时,cos θ >0,所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角,所以sin4<0,cos4<0, 所以原式=-(sin4+cos4)=-sin4-cos4.【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法: (1)函数名称有弦有切:切化弦;(2)分式化简:分式化整式;(3)根式化简:无理化有理(被开方式凑平方),运用||2x x =,注意对符号的分析讨论;(4)注意公式(sin α ±cos α )2=1±2sin α cos α =1±sin2α 的应用.例7 扇形的周长为定值L ,问它的圆心角θ (0<θ <π)取何值时,扇形的面积S 最大?并求出最大值. 解:设扇形的半径为)20(Lr r <<,则周长L =r ·θ +2r (0<θ <π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r . 因为844244=+⨯≥++θθθθ,当且仅当θθ4=,即θ =2∈(0,π)时等号成立.此时16812122L L S =⨯≤,所以,当θ =2时,S 的最大值为162L .练习3-1一、选择题1.已知32cos -=α,角α 终边上一点P (-2,t ),则t 的值为( ) A .5 B .5± C .55 D .55±2.“tan α =1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A .充分而不必要条件B .必要不而充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知点P (sin α -cos α ,tan α )在第一象限,则在[0,2π]上角α 的取值范围是( )A .)4π5,π()4π3,2π( B .)4π5,π()2π,4π(C .)2π3,4π5()4π3,2π(D .)π,4π3()2π,4π(4.化简=+170cos 10sin 21( ) A .sin10°+cos10° B .sin10°-cos10° C .cos10°-sin10°D .-sin10°-cos10°二、填空题5.已知角α ,β 满足关系2π0;<<<βα,则α -β 的取值范围是______. 6.扇形的周长为16,圆心角为2弧度,则扇形的面积为______.7.若2π3π,sin <<=ααm ,则tan(π-α )=______. 8.已知:2π4π,81cos sin <<=ααα,则cos α -sin α =______.三、解答题9.已知tan α =-2,且cos(π+α )<0,求 (1)sin α +cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22--的值10.已知21tan =α,求值: (1)ααααcos sin cos 2sin -+; (2)cos 2α -2sin α cos α .11.化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3-2 三角变换【知识要点】1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β ;sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β ; cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β ;cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β ;⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2.正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α =2sin α cos α :cos2α =cos 2α -sin 2α =1-2sin 2α =2cos 2α -1;⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1.牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用; 2.掌握三角变换的通法和一般规律; 3.熟练掌握三角函数求值问题. 【例题分析】例1 (1)求值sin75°=______;(2)设54sin ),π,2π(=∈αα,则=+)4πcos(α______; (3)已知角2α的终边经过点(-1,-2),则)4πtan(+α的值为______;(4)求值=+-15tan 115tan 1______.解:(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯ 21⨯426+=. (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以, 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得,342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα, 所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1o【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握,灵活运用,这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心.注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用. 例2 求值: (1)=-12πsin 12πcos3______; (2)cos43°cos77°+sin43°cos167°=______;(3)=++37tan 23tan 337tan 23tan o ______. 解:(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式:,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握,另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系:77°+43°=120°,167°=90°+77°,原式=cos43°cos77°+sin43°cos(90°+77°)=cos43°cos77°-sin43°sin77° =cos(43°+77°)=cos120°=⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系:37°+23°=60°,函数名均为正切,而且出现两角正切的和tan a +tan β 与两角正切的积tan α tan β ,所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=∴,37tan 23tan 3337tan 23tan-=+∴337tan 23tan 337tan 23tan =++o .【评析】三角变换的一般规律:看角的关系、看函数名称、看运算结构.以上题目是给角求值问题,应首看角的关系:先从所给角的关系入手,观察所给角的和、差、倍是否为特殊角,然后看包含的函数名称,以及所给三角式的结构,结合三角公式,找到题目的突破口.公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α +tan β =tan(α+β )(1-tan α tan β )应予以灵活运用.例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα,则tan2α =______; (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα,求)4πcos(+α的值.解:(1)分析所给的两个已知角α +β ,α -β 和所求的角2α 之间有关系(α +β )+(α -β )=2α ,=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα, (2)∵)π,4π3(,∈βα,∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα,又∵53)sin(-=+βα,∴54)cos(=+βα; ∵1312)4πsin(=-β,∴135)4πcos(-=-β.)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系,主要是指看两角之间的和、差、倍的关系,如αββαααββα2)(,4π)4π()(,+-=+=--+++=)(βα)(βα-等,找到它们的关系可以简化运算,同时在求三角函数值时应关注函数值的符号.例4 如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边做两个锐角α ,β ,它们的终边分别与单位圆相交于A ,B 两点,已知A ,B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α +β )的值; (Ⅱ)求α +2β 的值.解:由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα, 又因为α ,β 为锐角,所以55sin ,1027sin ==βα,因此tan α =7,21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα;(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ,所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα, ∵α ,β 为锐角,∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查,要求基础知识掌握牢固,灵活运用;根据三角函数值求角,注意所求角的取值范围.例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα;(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解:(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα(2)法一:原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二:,2π)4π()4π(=--+x x 原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时,应从三个角度:角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手,注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用,此类变换是处理三角问题的基础.例6 (1)已知α 为第二象限角,且415sin =α,求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值. (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ,求sin2x 的值. 解:(1)因为α 为第二象限角,且415sin =α,所以41cos -=α, 原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题,从分析已知和所求的三角式关系入手,如角的关系,另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简,可降低运算量.(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时,应从三个角度:角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手,注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用,此类变换是处理三角问题的基础,因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换.练习3-2一、选择题1.已知53sin ),π,2π(=∈αα,则)4πtan(+α等于( ) A .71 B .7 C .71-D .-72.cos24°cos54°-sin24°cos144°=( ) A .23-B .21 C .23 D .21-3.=-o30sin 1( ) A .sin15°-cos15° B .sin15°+cos15° C .-sin15°-cos15° D .cos15°-sin15°4.若22)4πsin(2cos -=-αα,则cos α +sin α 的值为( ) A .27-B .21-C .21 D .27 二、填空题 5.若53)2πsin(=+θ,则cos2θ =______. 6.=-10cos 310sin 1______.7.若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα,则tan α tan β =______. 8.已知31tan -=α,则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______. 三、解答题 9.证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10.已知α 为第四象限角,且54sin -=α,求ααcos )4π2sin(21--的值.11.已知α 为第三象限角,且33cos sin =-αα. (1)求sin α +cos α 的值;(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值.§3-3 三角函数【知识要点】12π 2π π Z2.三角函数图象是研究三角函数的有效工具,应熟练掌握三角函数的基本作图方法.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y =A sin(ω x +ϕ)(A >0,ω >0)的简图.3.三角函数是描述周期函数的重要函数模型,通过三角函数体会函数的周期性.函数y =A sin(ω x +ϕ)(ω ≠0)的最小正周期:||π2ω=T ;y =A tan(ω x +ϕ)(ω ≠0)的最小正周期:||πω=T .同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念,带三角函数符号的函数不一定是周期函数,周期函数不一定带三角函数符号.【复习要求】1.掌握三角函数y =sin x ,y =cos x ,y =tan x 的图象性质:定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等.2.会用五点法画出函数y =sin x ,y =cos x ,y =A sin(ω x +ϕ)(A >0,ω >0)的简图,掌握图象的变换方法,并能解决相关图象性质的问题.3.本节内容应与三角恒等变换相结合,通过变换,整理出三角函数的解析式,注意使用换元法,转化为最基本的三个三角函数y =sin x ,y =cos x ,y =tan x ,结合三角函数图象,综合考察三角函数性质 【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=;(2)x y 2sin =.解:(1)cos x ≠0,定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x (2)sin2x ≥0,由正弦函数y =sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限,x 轴,y 轴正半轴上) 可得2k π≤2x ≤2k π+π, 定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=;(2))4π2πtan(+=x y ;x y 2cos )3(2=; (4)y =2sin 2x +2sin x cos x ;(5)y =|sin x |.解:(1)π|2|π2=-=T .(2)22ππ==T .(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ,所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ,所以T =π.(5)y =|sin x |的图象为下图,可得,T =π.【评析】(1)求三角函数的周期时,通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简,然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期. (2)对于含绝对值的三角函数周期问题,可通过函数图象来解决周期问题.例3 (1)已知函数f (x )=(1+cos2x )sin 2x ,x ∈R ,则f (x )是( ) A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数 C .最小正周期为2π的奇函数 D .最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )=2sin(2x +ϕ)为R 上的奇函数,则ϕ=______. (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解:(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x x x x x x x x f 周期为2π,偶函数,选D (2)f (x )为奇函数,f (-x )=-f (x ),所以2sin(-2x +ϕ)=-2sin(2x +ϕ)对x ∈R 恒成立, 即sin ϕcos2x -cos ϕsin2x =-sin2x cos ϕ-cos2x sin ϕ, 所以2sin ϕcos2x =0对x ∈R 恒成立, 即sin ϕ=0,所以ϕ=k π,k ∈Z .【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决.如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外,还可以从公式sin(x +π)=-sin x ,sin(x +2π)=sin x 得到当ϕ=2k π+π或ϕ=2k π+π,k ∈Z ,即ϕ=k π,k ∈Z 时,f (x )=2sin(2x +ϕ)可以化为f (x )=sin x 或f (x )=-sin x ,f (x )为奇函数.(3)分析:首先考虑奇偶性,f (-x )=lncos(-x )=lncos x =f (x ),为偶函数,排除掉B ,D 选项 考虑(0,2π)上的函数值,因为0<cos x <1,所以lncos x <0,应选A 【评析】处理函数图象,多从函数的定义域,值域,奇偶性,单调性等方面综合考虑.例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ; (3) x x y 2sin 32cos -=;(4))23πsin(2x y -=解:(1)y =cos x 的增区间为[2k π+π,2k π+2π],k ∈Z ,由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[,(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[-π,0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-,(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ,转化为问题(1),增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ,需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间,2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ,得12π11π12π5π+≤≤+k x k , )23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y =A sin(ω x +ϕ)+k ,(ω <0)的函数单调性时,可以利用诱导公式将x 的分数化正,然后再求相应的单调区间.求三角函数单调区间的一般方法:(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式,利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题. (2)对于给定区间上的单调性问题,可采用问题(2)中的方法,求出所有的单调增区间,然后与给定的区间取交集即可.例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合 (2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)y =cos2x -2sin x解:(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时,1)6π21cos(-=+x ,函数的最大值为3,此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得:当)3π2,6π(-∈x 时,1sin 21≤<-x该函数的值域为(-1,2](3)分析:利用换元法,转化为题(2)的形式.)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ,,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x设3π2+=x t ,则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ,结合余弦函数图象得:1cos 21≤<-t ,所以函数的值域为(-1,2].(4)y =-2sin 2x -2sin x +1,设t =sin x ,则函数变为y =-2t 2-2t +1,t ∈[-1,1], 因为⋅++-=23)21(22t y结合二次函数图象得,当t =1时,函数最小值为-3,当21-=t 时,函数最大值为23,所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法:(1)转化为只含有一个三角函数名的形式,如y =A sin(ω x +ϕ)+k ,y =A cos(ω x +ϕ)+k ,y =A tan(ω x +ϕ)+k 等,利用换元法,结合三角函数图象进行处理.(2)转化为二次型:如A sin 2x +B sin x +C ,A cos 2x +B cos x +C 形式,结合一元二次函数的图象性质求值域. 例6 函数y =sin(ω x +ϕ)的图象(部分)如图所示,则ω 和ϕ的取值是( )A .3π,1==ϕω B .3π,1-==ϕω C .6π,21==ϕω D .6π,21-==ϕω解:π)3π(3π24=--=T ,即ωπ2π4==T ,所以21=ω, 当3π-=x 时,0])3π(21sin[=+-⨯ω,所以Z ∈+=k k ,6ππω,选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y =sin x 的图象,将它怎样变换,可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解:(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一:y =sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二:y =sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin =−−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y =sin x 的图象变换为y =A cos(ω x +ϕ)(ω >0)的图象时,特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同,其横向平移过程中左右平移的距离不同.例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A .3π4-=x B .6π5-=x C .3π-=x D .3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解:(1)法一:)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21, 即Z ∈+=k k x ,3π5π2,当k =-1时,3π-=x ,选C法二:将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中,寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时,22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ,选C(2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2,即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心:,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点,对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点,处理选择题时可以灵活运用.例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. (1)求ω 的值. (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域. (3)画出函数y =2f (x )-1在一个周期[0,π]上的简图.(4)若直线y =a 与(3)中图象有2个不同的交点,求实数a 的取值范围. 解:(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω >0,所以π2π2=ω,解得ω =1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ,因为3π20≤≤x ,所以6π76π26π≤-≤-x ,结合正弦函数图象,得1)6π2sin(21≤-≤-x因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ,即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y列表(4)由图象可得,-2<a <2且a ≠-1.【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合,利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式,整理、变形为只含有一个函数名的解析式,如y =A sin(ω x +ϕ)(ω >0)或y =A cos(ω x +ϕ)(ω >0)的形式,利用换元法,结合y =sin x 、y =cos x 的图象,再研究它的各种性质,如求函数的周期,单调性,值域等问题,这是处理三角函数问题的基本方法.练习3-3一、选择题1.设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ,则f (x )是( ) A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数 C .最小正周期为2π的奇函数 D .最小正周期为2π的偶函数 2.把函数y =sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ) A .R ∈-=x x y ),3π2sin( B .R ∈+=x x y ),6π2sin(C .R ∈+=x x y ),3π2sin(D .R ∈+=x x y ),32π2sin(3.函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A .关于点(3π,0)对称B .关于直线4π=x 对称C .关于点(4π,0)对称D .关于直线3π=x 对称4.函数y =tan x +sin x -|tan x -sin x |在区间)2π3,2π(内的图象大致是( )二、填空题5.函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______. 6.函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______. 7.函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示,则该函数的解析式为y =______.8.函数y =cos2x +cos x 的值域为______. 三、解答题9.已知函数f (x )=2cos x (sin x -cos x )+1,x ∈R . (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程; (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间. 10.已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值; (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ,判断函数g (x )的奇偶性,并说明理由.11.已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω,a 为常数),且满足条件f (x 1)=f (x 2)=0的|x 1-x 2|的最小值为2π. (Ⅰ)求ω 的值; (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3,求a 的值.§3-4 解三角形【知识要点】1.三角形内角和为A +B +C =πA CB -=+π,2π222=++C B A ,注意与诱导公式相结合的问题. 2.正弦定理和余弦定理正弦定理:r CcB b A a 2sin sin sin ===,(r 为△ABC 外接圆的半径). 余弦定理:abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= . a 2=b 2+c 2-2bc cos A ;b 2=a 2+c 2-2ac cos B ;c 2=a 2+b 2-2ab cos C .3.在解三角形中注意三角形面积公式的运用:21=∆ABC S ×底×高. 21=∆ABCS ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4.解三角形中注意进行“边角转化”,往往结合三角变换处理问题.【复习要求】1.会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化;2.会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角,求边,求面积问题. 【例题分析】例1 (1)在△ABC 中,3=a ,b =1,B =30°,则角A 等于( )A .60°B .30°C .120°D .60°或120°(2)△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a 、b 、c ,满足等式(a +b )2=ab +c 2,则角C 的大小为______. (3)在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =5∶7∶8,则∠B 的大小是______. (4)在△ABC 中,若31tan =A ,C =150°,BC =1,则AB =______. 解:(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a 又∵a >b ,∴A >B =30°,∴A =60°或120°,(2)∵(a +b )2=ab +c 2,∴a 2+b 2-c 2=-ab ,∴,120,2122cos 222 =∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==,sin A ∶sin B ∶sin C =5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c =5∶7∶8,∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ,∴B =60°. (4)分析:已知条件为两角和一条对边,求另一条对边,考虑使用正弦定理,借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A . 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握,应清楚它们各自的使用条件,做到合理地选择定理解决问题. 例2 (1)在△ABC 中,a cos A =b cos B ,则△ABC 一定是( )A .直角三角形B .等边三角形C .等腰三角形D .等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中,2sin B ·sin C =1+cos A ,则△ABC 的形状为( ) A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形 解:(1)法一:BbA a sin sin =,a cos A =b cos B , ∴sin A cos A =sin B cos B ,∴sin2A =sin2B ,∵2A ,2B ∈(0,2π),∴2A =2B 或2A +2B =π, ∴A =B 或2π=+B A ,选D . 法二:∵a cos A =b cos B ,∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+,整理得(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0.所以:a =b 或a 2+b 2=c 2,选D .(2)∵2sin B ·sin C =1+cos A ,cos(B +C )=cos(π-A )=-cos A , ∴2sin B ·sin C =1-(cos B cos C -sin B sin C ), ∴cos B cos C +sin B ·sin C =1, ∴cos(B -C )=1,∵B ,C ∈(0,π),∴B -C ∈(-π,π), ∴B -C =0,∴B =C ,选C .【评析】判断三角形形状,可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系,进而判断三角形形状,(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系,进而判断三角形形状,通常情况下,以将边的关系转化为角的关系为主要方向,特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化.例3 已知△ABC 的周长为12+,且sin A +sin B =2sin C (1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为C sin 61,求角C 的度数. 解:(1)由题意及正弦定理,得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212,解得AB =1. (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=,得31=⋅AC BC ,因为2=+AC BC ,所以(BC +AC )2=BC 2+AC 2+2AC ·BC =2,可得3422=+AC BC ,由余弦定理,得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C , 所以C =60°.例4 在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ,设a 、b 、c 满足条件b 2+c 2-bc =a 2和bc=321+,求∠A 和tan B 的值. 解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ,所以∠A =60°. (2)分析:所给的条件是边的关系,所求的问题为角,可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系.在△ABC 中,sin C =sin(A +B )=sin(60°+B ),因为B BB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin +⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ,cos α )转化,充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程.例5 在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ,已知c =2,3π=C . (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3,求a ,b ;(Ⅱ)若sin C +sin(B -A )=2sin2A ,求△ABC 的面积.解:(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得,a 2+b 2-ab =4,又因为△ABC 的面积等于3,所以3sin 21=C ab ,得ab =4.联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a =2,b =2.(Ⅱ)由题意得sin(B +A )+sin(B -A )=4sin A cos A ,(sin B cos A +cos B sin A )+(sin B cos A -cos B sin A )=4sin A cos A , 即sin B cos A =2sin A cos A , 当cos A =0时,332,334,6π,2π====b a B A ,当cos A ≠0时,得sin B =2sin A ,由正弦定理得b =2a ,联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力.以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用.同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系,合理选择定理公式,综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化.例6 如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ,现测得∠BCD =α ,∠BDC =β ,CD =s ,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ,求塔高AB .解:在△BCD 中,∠CBD =π-α -β . 由正弦定理得.sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC .在Rt △ABC 中,⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中,sin A (sin B +cos B )-sin C =0,sin B +cos2C =0,求角A ,B ,C 的大小. 解:sin A sin B +sin A cos B -sin(A +B )=0,sin A sin B +sin A cos B -(sin A cos B +cos A sin B )=0, sin A sin B -cos A sin B =sin B (sin A -cos A )=0, 因为sin B ≠0,所以sin A -cos A =0,所以tan A =1,4π=A ,可得BC +=4π3, 所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ,sin B +2sin B cos B =0,因为sin B ≠0,所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系,同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用. 练习3-4一、选择题1.在△ABC 中,若A ∶B ∶C =1∶2∶3,则a ∶b ∶c =( ) A .1∶2∶3B .2:3:1C .1∶4∶9D .3:2:12.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,3,3π==a A ,b =1,则c =( ) A .1B .2C .13-D .33.△ABC 中,若a =2b cos C ,则△ABC 的形状一定为( ) A .等边三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形4.△ABC 的三内角A ,B ,C 的对边边长分别为a ,b ,c ,若b a 25=,A =2B ,则cos B =( )A .35 B .45 C .55 D .65 二、填空题5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =1,3π,3==C c ,则A =______. 6.在△ABC 中,角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若ac B b c a 3tan )(222=-+,则角B 的值为______.7.设△ABC 的内角6π=A ,则2sinB cosC -sin(B -C )的值为______. 8.在三角形ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若b cos C =(2a -c )cos B ,则∠B 的大小为______. 三、解答题9.在△ABC 中,53tan ,41tan ==B A . (Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若AB 的边长为17,求边BC 的边长.10.如图,某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处,小区里有两条笔直的小路AD ,DC ,且拐弯处的转角为120°.已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟,从D 沿DA 走到A 用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米. 求该扇形的半径OA 的长(精确到1米).11.在三角形ABC 中,5522cos ,4π,2===B C a ,求三角形ABC 的面积S .专题03 三角函数参考答案练习3-1一、选择题:1.B 2.B 3.B 4.C 二、填空题 5.)0,2π(-6.16 7.21mm - 8.23- 三、解答题9.解:(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα (2)原式=222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10.解:(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11.解:当k 为偶数时,原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα当k 为奇数时,原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα,综上所述,原式=0.练习3-2一、选择题1.A 2.C 3.D 4.C 二、填空题 5257-6.4 7.21 8.65- 三、解答题9.解:左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos 2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10.解:原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=, 因为α 为第四象限角,且54sin -=α,所以53cos =α, 所以原式514=. 11.解:(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-=31可得32cos sin 2=αα,所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+=35, 因为α 为第三象限角,所以sin α <0,cos α <0,sin α +cos α <0, 所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α,因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα,所以2531515tan -=+-=α, 所以原式.52932534-=+-⨯= 练习3-3一、选择题1.B 2.C 3.A 4.D 二、填空题5.2 6.2 7.)3π2sin(+=x y 8.]2,89[- 三、解答题9.解:x x x x x x f 2cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2-=+-==)4π2sin(2-x . (1)Z ∈+=-k k x ,2ππ4π2,对称轴方程为Z ∈+=k k x ,8π32π, (2)Z ∈+≤-≤+k k x k ,2π3π24π22ππ2,即Z ∈+≤≤+k k x k ,8π7π8π3π,f (x )的单调减区间为Z ∈++k k k ],8π7π,8π3π[.10.解:(I)∵⋅+=+=-+=)3π2sin(22cos 32sin )4sin 21(32sin )(2x x x x x x f∴f (x )的最小正周期.π421π2==T当1)3π2sin(-=+x 时,f (x )取得最小值-2;当1)3π2sin(=+x 时,f (x )取得最大值2.(Ⅱ)由(I)知⋅+=+=)3π()().3π2sin(2)(x f x g x x f 又⋅=+=++=∴2cos 2)2π2sin(2]3π)3π(21sin[2)(xx x x g).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-∴函数g (x )是偶函数.11.解:(1)12cos 2sin 32sin 322cos 12)(+++=+++⨯=a x x a x xx f ωωωω。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》全集汇编附答案解析
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考知识点一、选择题1.设函数()3sin(2)cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<,且其图像关于直线0x =对称,则( )A .()y f x =的最小正周期为π,且在(0,)2π上为增函数B .()y f x =的最小正周期为2π,且在(0,)4π上为增函数 C .()y f x =的最小正周期为π,且在(0,)2π上为减函数D .()y f x =的最小正周期为2π,且在(0,)4π上为减函数【答案】C 【解析】试题分析:()3sin(2)cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++,∵函数图像关于直线0x =对称,∴函数()f x 为偶函数,∴3πϕ=,∴()2cos 2f x x =,∴22T ππ==, ∵02x π<<,∴02x π<<,∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.考点:1.三角函数式的化简;2.三角函数的奇偶性;3.三角函数的周期;4.三角函数的单调性.2.小赵开车从A 处出发,以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶,30分钟后到达B 处,此时,小王发来微信定位,显示他自己在A 的南偏东70︒方向的C 处,且A 与C 的距离为153千米,若此时,小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王,则小赵到达C 处所用的时间大约为( )()7 2.6≈A .10分钟B .15分钟C .20分钟D .25分钟【答案】B【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件,得到30BAC ∠=︒,20AB =,AC =,两边和夹角,之后应用余弦定理求得13BC =≈(千米),根据题中所给的速度,进而求得时间,得到结果. 【详解】根据条件可得30BAC ∠=︒,20AB =,AC =, 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=,则13BC =≈(千米), 由B 到达C 所需时间约为130.2552=(时)15=分钟. 故选:B . 【点睛】该题是一道关于解三角形的实际应用题,解题的关键是掌握余弦定理的应用,属于简单题目.3.函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象( ) A .向右平移3π个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变得到 B .向右平移6π个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变得到 C .向左平移3π个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12,横坐标不变得到 D .向左平移6π个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12,横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】合并cos2y x x =-得:2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用平移、伸缩知识即可判断选项。
2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练含答案解析
2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1 (1)点P 从(1,0)出发,沿单位圆x 2+y 2=1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为( )A .(-12,32)B .(-32,-12) C .(-12,-32)D .(-32,12) (2)已知角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边上一点P(-4,3),则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为________. 【答案】(1)A (2)-34【解析】(1)设Q 点的坐标为(x ,y), 则x =cos 2π3=-12,y =sin 2π3=32.∴Q 点的坐标为(-12,32).(2)原式=-sin α·sin α-sin α·cos α=tan α.根据三角函数的定义, 得tan α=y x =-34,∴原式=-34.【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练【思维点拨】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关.(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等. 题型二 三角函数的图象及应用例1已知曲线1cos C y x =:,22πsin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭:,则下面结正确的是( ).A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C 【答案】D【解析】(1) 1:cos C y x =,22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ,首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名,可将1:cos C y x =用诱导公式处理.πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x .横坐标变换需将1=ω变成2=ω,即112πππsin sin 2sin 2224y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−→=+=+→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 注意ω的系数,在右平移需将2=ω提到括号外面,这时π4+x 平移至π3+x ,根据“左加右减”原则,“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12,即再向左平移π12.故选D. 【易错点】函数图像水平方向平移容易出错 【思维点拨】平移变换理论 (1)平移变换:①沿x 轴平移,按“左加右减”法则; ②沿y 轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换:①沿x 轴伸缩时,横坐标x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 倍(纵坐标y 不变); ②沿y 轴伸缩时,纵坐标y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A 倍(横坐标x 不变). 2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.例2函数sin 21cos xy x=-的部分图像大致为( ).【答案】C【解析】由题意知,函数sin 21cos xy x =-为奇函数,故排除B ;当x =π时,0y =,排除D ;当1x =时,sin 21cos 2y =>-,排除A.故选C.【易错点】函数图形判断通过过排除法 【思维点拨】例3函数f(x)=2sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( ) A .2,-π3B .2,-π6C .4,-π6D .4,π3【答案】A【解析】 (1)因为T 2=11π12-5π12,所以T =π.又T =2πω(ω>0),所以2πω=π,所以ω=2.又2×5π12+φ=π2+2kπ(k ∈Z ),且-π2<φ<π2,故φ=-π3.【易错点】求φ时,容易忽略讨论k 【思维点拨】题型三 三角函数性质例1 (1)已知函数f(x)=sin(ωx +φ)+3cos(ωx +φ)(ω>0,0<|φ|<π2)为奇函数,且函数y =f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2.(1)求f(π6)的值;(2)将函数y =f(x)的图象向右平移π6个单位后,得到函数y =g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间.【答案】(1)f(π6)=2sin π3=3(2)[kπ-π12,kπ+5π12](k ∈Z ).【解析】(1)f(x)=sin(ωx +φ)+3cos(ωx +φ) =2[12sin(ωx +φ)+32cos(ωx +φ)]=2sin(ωx +φ+π3).因为f(x)为奇函数,所以f(0)=2sin(φ+π3)=0,又0<|φ|<π2,可得φ=-π3,所以f(x)=2sin ωx ,由题意得2πω=2·π2,所以ω=2.故f(x)=2sin 2x. 因此f(π6)=2sin π3= 3.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后,得到f(x -π6)的图象,所以g(x)=f(x -π6)=2sin[2(x -π6)]=2sin(2x -π3).当2kπ-π2≤2x -π3≤2kπ+π2(k ∈Z ),即kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k ∈Z )时,g(x)单调递增,因此g(x)的单调递增区间为[kπ-π12,kπ+5π12](k ∈Z ).【易错点】 【思维点拨】题型四三角函数范围问题例1函数()23sin 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 . 【答案】1【解析】()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,,令cos x t =且[]01t ∈,,214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭,则当t =时,()f x 取最大值1. 【易错点】换元之后转化为二次函数在定区间上的定义域及最值 【思维点拨】 例2函数()cos sin =2+fx x x 的最大值为 .【解析】2()21f x +=【易错点】【思维点拨】辅助角公式运用 例3【2017年Ⅲ】函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为( ). A .65B .1C .35D .15【答案】A 【解析】11()sin sin sin sin 5362533f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6sin 53x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选A. 【易错点】本题属于中档题,基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题,三角恒等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点,对于老师教学来说是一个重点,选择合适的公式能起到事半功倍的效果!【思维点拨】题型五三角函数求值问题 例1已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,tan 2α=,则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .【解析】由tan 2sin 2cos ααα==得 又22sin cos 1αα+=,所以21cos 5α=.因为0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 5α=,sin 5α=.因为cos cos cos sin sin 44αααππ⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭,所以cos 4525210πα⎛⎫-=+⨯= ⎪⎝⎭. 【易错点】【思维点拨】例2(1)若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+=( ) (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625(2)sin 20cos10cos160sin10-=( )A .-B C .12- D .12【答案】(1)A (2)12【解析】(1)由sin 3tan cos 4ααα==,22cos sin 1αα+=,得3sin 5α=,4cos 5α=或3sin 5α=-, 4cos 5α=-,所以24sin 22sin cos 25ααα==,则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=,故选A(2)原式=1sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302+=+==【易错点】 【思维点拨】例3已知函数f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫π2-x sin x -3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论f(x)在⎣⎡⎦⎤π6,2π3上的单调性.【答案】(1)f(x)的最小正周期为π,最大值为2-32,(2)f(x)在⎣⎡⎦⎤π6,5π12上单调递增;在⎣⎡⎦⎤5π12,2π3上单调递减【解析】 (1)f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫π2-x sin x -3cos 2x =cos xsin x -32(1+cos 2x)=12sin 2x -32cos 2x -32=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3-32, 因此f(x)的最小正周期为π,最大值为2-32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6,2π3时,0≤2x -π3≤π,从而当0≤2x -π3≤π2,即π6≤x≤5π12时, f(x)单调递增,当π2≤2x -π3≤π,即5π12≤x≤2π3时, f(x)单调递减.综上可知,f(x)在⎣⎡⎦⎤π6,5π12上单调递增;在⎣⎡⎦⎤5π12,2π3上单调递减. 【易错点】【思维点拨】解答技巧,方法策略等 题型六 简单的三角恒等变换 例1(2018·新疆第二次适应性检测)cos10(13tan 30)cos50︒+︒︒的值是________.【答案】2【解析】依题意得cos 10°1+3tan 10°cos 50°=cos 10°+3sin 10°cos 50°=2sin 10°+30°cos 50°=2sin 40°sin 40°=2.【易错点】【思维点拨】解答技巧,方法策略等 例2已知tan α=2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α+π4的值; (2)求sin 2αsin 2α+sin αcos α-cos 2α-1的值.【答案】(1)-3(2)1【解析】(1)tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=tan α+tanπ41-tan αtanπ4=2+11-2×1=-3. (2)sin 2αsin 2α+sin αcos α-cos 2α-1 =2sin αcos αsin 2α+sin αcos α-2cos 2α=2tan αtan 2α+tan α-2=2×24+2-2=1.【易错点】 【思维点拨】解三角函数的给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或所给条件; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系; (3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 例3若sin 2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈⎣⎡⎦⎤π4,π,β∈⎣⎡⎦⎤π,3π2,则α+β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4【答案】A【解析】选A ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4,π,∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2,2π,∵sin 2α=55,∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2,π. ∴α∈⎣⎡⎦⎤π4,π2且cos 2α=-255,又∵sin(β-α)=1010,β∈⎣⎡⎦⎤π,3π2,∴β-α∈⎣⎡⎦⎤π2,5π4,cos(β-α)=-31010, ∴cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α=⎝⎛⎭⎫-31010×⎝⎛⎭⎫-255-1010×55=22,又α+β∈⎣⎡⎦⎤5π4,2π,所以α+β=7π4. 【易错点】 【思维点拨】对于给值求角问题,通过先求角的某个三角函数值来求角,在选取函数时,遵循以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是⎝⎛⎭⎫0,π2,选正弦或余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为⎝⎛⎭⎫-π2,π2,选正弦函数较好.【巩固训练】题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1. 已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若()4,P y 是角θ终边上一点,且sin θ=则y = . 【答案】-8.【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ=1-tanθ1+tanθ=12,得tanθ=13,∴sinθcosθ=sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tanθtan 2θ+1=1319+1=310.故填310. 2. (1)已知tan α=2,求值: ①2sin α-3cos α4sin α-9cos α;②4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α.(2)已知θ∈(0,π),且sin θ+cos θ=13,求sin θ-cos θ的值.【答案】(1)①-1②1(2)173【解析】(1)①2sin α-3cos α4sin α-9cos α=2tan α-34tan α-9=2×2-34×2-9=-1.②4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α=4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2αsin 2α+cos 2α=4tan 2α-3tan α-5tan 2α+1=4×4-3×2-54+1=1.(2)∵sin θ+cos θ=13,∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=19,∴sin θcos θ=-49.∵θ∈(0,π),θ∈⎝⎛⎭⎫π2,θ, ∴sin θ>0>cos θ,sin θ-cos θ>0.由(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1+89=179,得sin θ-cos θ=173.3.若cos(π-α)=53且α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,则sin(π+α)=( ) A .-53B .-23C .-13D .±23【答案】B【解析】cos (π-α)=-cos α=53,∴cos α=-53. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,∴sin α=1-cos 2α=1-⎝⎛⎭⎫-532=23, ∴sin (π+α)=-sin α=-23,故选B .题型二 三角函数图像1.为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图象,可以将函数y =2cos 3x 的图象( A ) A .向右平移π12个单位B .向右平移π4个单位C .向左平移 π12个单位 D .向左平移π4个单位【答案】A【解析】因为y =sin 3x +cos 3x =2cos ⎝⎛⎭⎫3x -π4,所以将y =2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y =2cos ⎝⎛⎭⎫3x -π4的图象. 2.函数f(x)=Asin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,若x 1,x 2∈⎝⎛⎭⎫-π6,π3,且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)=( )A .1B .12C .22D .32【答案】D【解析】 观察图象可知,A =1,T =π,∴ω=2,f(x)=sin(2x +φ). 将⎝⎛⎭⎫-π6,0代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫-π3+φ=0. 由|φ|<π2,得φ=π3,则f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3.函数图象的对称轴为x =-π6+π32=π12.又x 1,x 2∈⎝⎛⎭⎫-π6,π3,且f(x 1)=f(x 2),∴x 1+x 22=π12, ∴x 1+x 2=π6,∴f(x 1+x 2)=sin ⎝⎛⎭⎫2×π6+π3=32,故选D . 3.已知函数f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的单调性. 【答案】(1) ω=1(2) f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0,π8上单调递增, 在区间⎝⎛⎦⎤π8,π2上单调递减.【解析】 (1)因为f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π4的最小正周期为π,且ω>0.从而有2π2ω=π,故ω=1. (2)因为f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. 若0≤x≤π2,则π4≤2x +π4≤5π4.当π4≤2x +π4≤π2,即0≤x≤π8时,f(x)单调递增; 当π2<2x +π4≤5π4,即π8<x≤π2时,f(x)单调递减. 综上可知,f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0,π8上单调递增, 在区间⎝⎛⎦⎤π8,π2上单调递减. 题型三 三角函数性质1. 已知ω>0,函数f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4在⎝⎛⎭⎫π2,π上单调递减,则ω的取值范围是( ) A .⎣⎡⎦⎤12,54 B .⎣⎡⎦⎤12,34 C .⎣⎡⎦⎤0,12 D .[0,2]【答案】A【解析】由π2<x<π,ω>0得,ωπ2+π4<ωx +π4<ωπ+π4.又y =sin x 在⎝⎛⎭⎫π2,3π2上递减,所以⎩⎨⎧ωπ2+π4≥π2,ωπ+π4≤3π2,解得12≤ω≤54,故选A .2.设函数f(x)=cos ⎝⎛⎭⎫x +π3,则下列结论错误的是( ) A .f(x)的一个周期为-2πB .y =f(x)的图象关于直线x =8π3对称C .f(x +π)的一个零点为x =π6D .f(x)在⎝⎛⎭⎫π2,π单调递减 【答案】D【解析】根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π,所以函数一个周期为-2π,A 项正确;当x =8π3时,x +π3=3π,所以cos ⎝⎛⎭⎫x +π3=-1,所以B 项正确;f(x +π)=cos ⎝⎛⎭⎫x +π+π3=cos ⎝⎛⎭⎫x +4π3,当x =π6时,x +4π3=3π2,所以f(x +π)=0,所以C 项正确;函数f(x)=cos ⎝⎛⎭⎫x +π3在⎝⎛⎭⎫π2,23π上单调递减,在⎝⎛⎭⎫23π,π上单调递增,故D 项不正确,故选D .3.已知函数①y =sin x +cos x ,②y =22sin xcos x ,则下列结论正确的是( ) A .两个函数的图象均关于点⎝⎛⎭⎫-π4,0中心对称 B .两个函数的图象均关于直线x =-π4对称C .两个函数在区间⎝⎛⎭⎫-π4,π4上都是单调递增函数 D .将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数①的图象【答案】C【解析】函数①y =sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,②y =22·sin xcos x =2sin 2x ,由于①的图象关于点⎝⎛⎭⎫-π4,0中心对称,②的图象不关于点⎝⎛⎭⎫-π4,0中心对称,故A 项不正确;由于函数①的图象不可能关于直线x =-π4对称,故B 项不正确;由于这两个函数在区间⎝⎛⎭⎫-π4,π4上都是单调递增函数,故C 项正确;将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数y =2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π4的图象,而y =2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π4≠2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,故D 项不正确,故选C .题型四三角函数范围问题1.已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .【答案】3√32【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x -2.令f'(x)=0,可得cos x=12或cos x=-1,x ∈[0,2π)时,解得x=π3或x=5π3或x=π.因为f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在x=π3,x=5π3,x=π或x=0时取到,且f (π3)=3√32,f (5π3)=-3√32,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-3√32.2.已知y =3-sin x -2cos 2x ,x ∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6,求y 的最大值与最小值之和. 【答案】238【解析】 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6,∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤-12,1. 又y =3-sin x -2cos 2x =3-sin x -2(1-sin 2x) =2⎝⎛⎭⎫sin x -142+78, ∴当sin x =14时,y min =78;当sin x =-12或sin x =1时,y max =2.故函数的最大值与最小值的和为2+78=238.3.已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4,0对称. (1)求ω,φ的值; (2)求f(x)的单调递增区间;(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤-3π4,π2,求f(x)的最大值与最小值, 【答案】(1)ω=23.(2) ⎣⎡⎦⎤3kπ-3π2,3kπ,k ∈Z (3) 函数f(x)的最大值为1,最小值为0. 【解析】(1)因为f(x)=sin(ωx +φ)是R 上的偶函数,所以φ=π2+kπ,k ∈Z ,且0≤φ≤π,则φ=π2,即f(x)=cos ωx.因为图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π,0对称, 所以ω×34π=π2+mπ,m ∈Z ,ω=23+4m3,又0<ω<1,所以ω=23.(2)由(1)得f(x)=cos 23x ,由-π+2kπ≤23x≤2kπ,且 k ∈Z 得,3kπ-3π2≤x≤3kπ,k ∈Z ,所以函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤3kπ-3π2,3kπ,k ∈Z . (3)因为x ∈⎣⎡⎦⎤-3π4,π2,所以23x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,π3, 当23x =0时,即x =0,函数f(x)的最大值为1, 当23x =-π2时,即x =-3π4,函数f(x)的最小值为0.题型五三角函数求值问题 1.设α,β为钝角,且sin α=55,cos β=-31010,则α+β的值为( ) A .3π4B .5π4C .7π4D .5π4或7π4【答案】 C【解析】∵α,β为钝角,sin α=55,cos β=-31010,∴cos α=-255,sin β=1010, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=22>0. 又α+β∈(π,2π),∴α+β∈⎝⎛⎭⎫3π2,2π,∴α+β=7π4. 2.已知函数f(x)=2cos 2ωx -1+23sin ωxcos ωx(0<ω<1),直线x =π3是函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)已知函数y =g(x)的图象是由y =f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移2π3个单位长度得到的,若g ⎝⎛⎭⎫2α+π3=65,α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求sin α的值. 【答案】(1)f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ-2π3,2kπ+π3(k ∈Z )(2) 【解析】 (1)f(x)=cos 2ωx +3sin 2ωx =2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π6,(2)43-310由于直线x =π3是函数f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π6的图象的一条对称轴,所以sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω+π6=±1,因此2π3ω+π6=kπ+π2(k ∈Z ),解得ω=32k +12(k ∈Z ),又0<ω<1,所以ω=12,所以f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫x +π6.由2kπ-π2≤x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z ),得2kπ-2π3≤x≤2kπ+π3(k ∈Z ), 所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ-2π3,2kπ+π3(k ∈Z ). (2)由题意可得g(x)=2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x +2π3+π6,即g(x)=2cos x 2, 由g ⎝⎛⎭⎫2α+π3=2cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫2α+π3=2cos ⎝⎛⎭⎫α+π6=65,得cos ⎝⎛⎭⎫α+π6=35, 又α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,故π6<α+π6<2π3,所以sin ⎝⎛⎭⎫α+π6=45, 所以sin α=sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α+π6-π6=sin ⎝⎛⎭⎫α+π6cos π6-cos ⎝⎛⎭⎫α+π6sin π6=45×32-35×12=43-310.3.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6-α=33,求cos ⎝⎛⎭⎫5π6+α-sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6的值. 【答案】-3+23 【解析】 cos ⎝⎛⎭⎫56π+α-sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6 =cos ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫π6-α-sin 2⎝⎛⎭⎫π6-α =-cos ⎝⎛⎭⎫π6-α-⎣⎡⎦⎤1-cos 2⎝⎛⎭⎫π6-α =-33-⎝⎛⎭⎫1-13=-3+23. 题型六 简单的三角恒等变换1.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6-α=cos ⎝⎛⎭⎫π6+α,则cos 2α=( ) A .1 B .-1 C.12D .0【答案】选D【解析】 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6-α=cos ⎝⎛⎭⎫π6+α, ∴12cos α-32sin α=32cos α-12sin α,即⎝⎛⎭⎫12-32sin α=-⎝⎛⎭⎫12-32cos α, ∴tan α=sin αcos α=-1,∴cos 2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2αtan 2α+1=0.2.计算cos 10°-3cos -100°r(1-sin 10°)=________(用数字作答).【答案】2【解析】cos 10°-3cos -100°r(1-sin 10°)=cos 10°+3cos 80°1-cos 80°=cos 10°+3sin 10°2sin 40°=2sin10°+30°r(2sin 40°)=2.3.已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2,则β=________.【答案】π3【解析】由cos α=17,0<α<π2,得sin α=1-cos 2α=1-⎝⎛⎭⎫172=437,由0<β<α<π2,得0<α-β<π2,又∵cos(α-β)=1314,∴sin(α-β)=1-cos 2α-β=1-⎝⎛⎭⎫13142=3314.由β=α-(α-β),得cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =17×1314+437×3314=12. ∴β=π3.。
2020年高考理科数学三角函数与解三角形备考艺体生百日冲刺系列典型试题答案解析(27页)
2020年高考理科数学三角函数与解三角形备考艺体生百日冲刺系列典型试题命题规律三角函数与解三角形这部分内容,高考一般命制一大两小或一大一小. 考查的主要方向有:1.三角恒等变换为主的化简、求值问题;2.三角函数的图象和性质;3.三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查,先化简、后研究函数的性质;4.正弦定理、余弦定理的应用问题,往往与三角恒等变换相结合,近几年,综合考查正弦定理与余弦定理应用问题,呈现一种新趋势. 本专题主要围绕主观题进行讲练.基本技能一、同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1(α∈R ). (2)商数关系:tan α=sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π+π2,k ∈Z 二、六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k 为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号” 三、三角函数的图象和性质 1.三角函数的基本性质:2.三角函数图象变换(1)平移变换:(2)周期变换:(3)振幅变换:四、两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β; C (α+β):cos(α+β)=cos αcos_β-sin_αsin β; S (α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;sin y x =0)((0))||ϕϕϕ><u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向左(向右平移单位sin()y x ϕ=+sin y x ω=(0)ω>0)((0))||ϕϕϕω><u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r向左(向右平移单位sin()y x ωϕ=+sin y x =1ωu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u uu u u u u u u u r向横坐标变为原来的单位,纵坐标不变sin y x ω=(0)ω>sin y x =A u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 纵坐标变为原来的单位,横坐标不变sin (0)y A x A =>S (α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos αsin β; T (α+β):tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β;T (α-β):tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β.变形公式:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);.sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β, cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β,函数f(α)=acos α+bsin α(a,b 为常数),可以化为f(α)=a 2+b 2sin(α+φ)或f(α)=a 2+b 2cos(α-φ),其中φ可由a ,b 的值唯一确定. 五、二倍角的正弦、余弦、正切公式: S 2α:sin 2α=2sin_αcos_α;C 2α:cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α; T 2α:tan 2α=2tan α1-tan 2α.变形公式:降幂公式:cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2配方变形:1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)21±sin α=⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α22,1+cos α=2cos 2α2,1-cos α=2sin 2α2六、正弦定理 正弦定理:a sin A =b sin B =csin C=2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为: a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C ;a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R 等形式,以解决不同的三角形问题.面积公式S =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B七、余弦定理余弦定理: , , .)4sin(2cos sin πααα±=±2222cos a b c ab C +-=2222cos b c a ac A +-=2222cos c a b ac B +-=变形公式cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,os C =a 2+b 2-c 22ab技能点拨【典例1】(2018·浙江高考真题)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (3455--,). (Ⅰ)求sin (α+π)的值;(Ⅱ)若角β满足sin (α+β)=513,求cos β的值. 【答案】(Ⅰ)45;(Ⅱ)5665- 或1665.【解析】分析:(Ⅰ)先根据三角函数定义得sin α,再根据诱导公式得结果,(Ⅱ)先根据三角函数定义得cos α,再根据同角三角函数关系得()cos αβ+,最后根据()βαβα=+-,利用两角差的余弦公式求结果. 详解:(Ⅰ)由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-, 所以()4sin πsin 5αα+=-=. (Ⅱ)由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-,由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++, 所以56cos 65β=-或16cos 65β=.【典例2】(2018·江苏高考真题)已知,αβ为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=. (1)求cos2α的值;(2)求tan()αβ-的值. 【答案】(1)725-;(2)211- 【解析】分析:先根据同角三角函数关系得2cos α,再根据二倍角余弦公式得结果;(2)先根据二倍角正切公式得tan2α,再利用两角差的正切公式得结果.详解:解:(1)因为4tan 3α=,sin tan cos ααα=,所以4sin cos 3αα=. 因为22sin cos 1αα+=,所以29cos 25α=,因此,27cos22cos 125αα=-=-.(2)因为,αβ为锐角,所以()0,παβ+∈.又因为()cos αβ+=()sin αβ+== 因此()tan 2αβ+=-. 因为4tan 3α=,所以22tan 24tan21tan 7ααα==--,因此,()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+. 【规律方法】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.【典例3】(2019·北京北理工附中高三)已知函数()22sin cos 23f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(I)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最大值.【答案】(Ⅰ) πT =1. 【解析】分析:(Ⅰ)利用降幂公式和两角和的余弦公式把()f x 化成3sin 2cos 2122x x -+,再用辅助角公式把213x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,从而可求()f x 的最小正周期等.(Ⅱ)直接计算出22333x πππ-≤-≤,利用正弦函数的性质得到()f x 的最大值. 详解:(Ⅰ)因为2()2sin sin(2)3f x x x π=-+1cos 2(cos 2cossin 2sin )33x x x ππ=---32cos2122x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,所以()f x 的最小正周期22T ππ==.(Ⅱ)因为02x π≤≤,所以22333x πππ-≤-≤.当232x ππ-=,即512x π=时,()f x1. 【典例4】(2019·浙江高考真题)设函数()sin ,f x x x =∈R . (1)已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数,求θ的值; (2)求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 【答案】(1)3,22ππ;(2)1⎡+⎢⎣⎦. 【解析】分析:(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定θ的值;(2)首先整理函数的解析式为()sin y a x b ωϕ=++的形式,然后确定其值域即可. 详解:(1)由题意结合函数的解析式可得:()()sin f x x θθ+=+,函数为偶函数,则当0x =时,()02k k Z πθπ+=+∈,即()2k k Z πθπ=+∈,结合[)0,2θ∈π可取0,1k =,相应的θ值为3,22ππ.(2)由函数的解析式可得:22sin sin 124y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 21cos 26222x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+ 11cos 2cos 2226x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦111cos 2sin 2sin 2222x x x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭1312sin 222x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭1226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.据此可得函数的值域为:1,122⎡-+⎢⎣⎦. 【总结提升】①在求解三角函数的基本性质时,首先一般要将三角函数解析式利用和差角公式、降幂公式和辅助角公式将三角函数解析式化为或,然后利用整体法并借助正弦函数或余弦函数进行求解;②已知三角函数图象求解析式问题,常有两种思路,思路1:先根据图象求出周期和振幅,利用周期公式求出,再由特殊点(常用最值点)求出;思路2:先根据图象求出振幅,再利用“五点点作图法”列出关于的方程,即可求出.③在处理图象变换问题时,先把函数化成系数为正同名三角函数,再利用图象变换知识解题,注意用“加左减右,加上减下”判定平移方向,先平移后周期变换和先周期变换后平移平移单位不同. 【典例5】(2019·全国高考真题(理))ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sinsin 2A Ca b A +=. (1)求B ;(2)若ABC ∆为锐角三角形,且1c =,求ABC ∆面积的取值范围. 【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】分析:(1)利用正弦定理化简题中等式,得到关于B 的三角方程,最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅V ,又根据正弦定理和1c =得到ABC S V 关于C 的函数,由于ABC V 是锐角三角形,所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域,最后求解()ABC S C V 的值域.详解:(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=,由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=,因为0A π<<,故sin 0A >,消去sin A 得sin sin 2A CB +=. ()sin A x b ωϕ++()cos A x b ωϕ++u x ωϕ=+ωϕA sin()y A x ωϕ=+ωϕ,ωϕ,0<B π<,02A C π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=,而根据题意A BC π++=,故2A C B π++=不成立,所以2A C B +=,又因为A B C π++=,代入得3B π=,所以3B π=. (2)因为ABC V 是锐角三角形,由(1)知3B π=,A B C π++=得到23A C π+=,故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩,解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=,1c =, 由三角形面积公式有:222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<故82ABC S <<V . 故ABC S V的取值范围是 【典例6】(2019·全国高考真题(理))V ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.(1)求A ;(22b c +=,求sin C . 【答案】(1)3A π=;(2)sin 4C =【解析】分析:(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:222b c a bc +-=,从而可整理出cos A ,根据()0,A π∈可求得结果;(2sin 2sin A B C +=,利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程,结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 详解:(1)()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即:222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得:222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈Q 3A π\=(2)2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+,3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得:3sin C C =22sin cos 1C C +=Q (()223sin 31sin C C ∴=-解得:sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==->所以sin C >,故sin C =(2)法二:2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+,3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得:3sin C C =,即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-,所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=. 【规律方法】利用正弦定理与余弦定理解三角形,要根据题中边角的已知条件类型选择合适的定理求解.在已知条件中,若等式或分式中边的次数相同或正弦值的次数相等时,可以利用正弦定理将边与对应的角的正弦值进行互化,结合余弦定理或三角变换等知识进行计算;已知条件中,若给定的是三条边的平方关系或或两边的和,一般选择余弦定理进行求解;在已知三角形给定的条件中,若给定的条件是一边与其对角以及另外一边,一般选择余弦定理求解三角形较为方便;求三角形的面积时,要选择一个角及其两条邻边,围绕这三个元素来进行计算.【典例7】(2020·天津南开中学高三月考)设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan a b A =,且B 为钝角. (1)证明:2B A π-=; (2)求sin sin A C +的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)9]28. 【解析】(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理,得sin sin cos sin A a AA b B==,∴sin cos B A =, 即sin sin()2B A π=+,又B 为钝角,因此(,)22A πππ+∈, 故2B A π=+,即2B A π-=;(Ⅱ)由(1)知,()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->,∴(0,)4A π∈,于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+,∵04A π<<,∴0sin 2A <<,因此21992(sin )2488A <--+≤,由此可知sin sin A C +的取值范围是9]8.【典例8】(2019·北京北师大实验中学高三月考)已知向量(cos ,sin )x x =a ,(3,=b ,[0,]x π∈. (1)若a b ∥,求x 的值;(2)记()f x a b =⋅,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1) 56x π=.(2) 0x =时,()f x 取到最大值3;当56x π=时,()f x 取到最小值- 【解析】(1)因为(cos ,sin )x x =a ,(3,=b ,a b ∥,所以3sin x x =. 若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠.于是tan x =又[0,]x π∈,所以56x π=.(2)()(cos ,sin )(3,3cos 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅=⋅==+⎪⎝⎭a b .因为[0,]x π∈,所以7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,从而1cos 62x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 于是,当66x ππ+=,即0x =时,()f x 取到最大值3;当6x ππ+=,即56x π=时,()f x 取到最小值-【方法技巧】确定y =A sin(ωx +φ)+b (A >0,ω>0)的步骤和方法:(1)求A ,b ,确定函数的最大值M 和最小值m ,则A =2M m -,b =2M m +;(2)求ω,确定函数的最小正周期T ,则可得ω=2πω;(3)求φ,常用的方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A ,ω,b 已知)或代入图象与直线y =b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②特殊点法:确定φ值时,往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下:“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx +φ=2π;“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx +φ=32π. 【典例9】(2018·天津高考真题(理))在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求角B 的大小;(2)设a =2,c =3,求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π;(Ⅱ)b =【解析】分析:(Ⅰ)由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =,则B =π3.(Ⅱ)在△ABC 中,由余弦定理可得b .结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()2sin A B -= 详解:(Ⅰ)在△ABC 中,由正弦定理a bsinA sinB=,可得bsinA asinB =, 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭,得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即π6sinB cos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭,可得tanB = 又因为()0πB ∈,,可得B =π3. (Ⅱ)在△ABC 中,由余弦定理及a =2,c =3,B =π3,有22227b a c accosB =+-=,故b .由π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可得sinA =a <c ,故cosA =.因此22sin A sinAcosA ==212217cos A cos A =-=.所以,()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=11727214⨯-⨯= 【典例10】(2017·上海高考真题)已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?. (1)求()f x 的单调递增区间;(2)设ABC V 为锐角三角形,角A 所对边a =,角B 所对边5b =,若()0f A =,求ABC V 的面积.【答案】(1),2p p 轹÷ê÷÷êøë;(2【解析】(1)依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?,由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤,令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë. (2)由于a b <,所以A 为锐角,即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =,得11cos 20,cos 222A A +==-,所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅,2560c c -+=,解得2c =或3c =.当2c =时,222cos 02a c b B ac +-==<,则B 为钝角,与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 532224bc A =⨯⨯⨯=. 【规律方法】1.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面: (1)利用三角恒等变形化简三角函数式进行解三角形。
2020年山东新高考三角函数和解三角形精选模拟试题(含解析)
专题6 三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时,对三角函数图象与性质的考查力度有所加强,往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查,先利用三角公式进行化简,然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象,难度以中档以下为主.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变,往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理,以解答题的形式综合考查定理的综合应用,多与三角形周长、面积有关;有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查,试题难度控制在中等或以下,主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等.预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1.(2020届山东省高考模拟)若()sin 753α︒+=,则()cos 302α︒-=( ) A .49B .49-C .59D .59-2.(2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试)设(0,),(0,22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则( ) A .32παβ-=B .32παβ+=C .22παβ-=D .22παβ+=3.(2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考)直线:20l x y e -+=的倾斜角为α,则()sin sin 2ααπ⎛⎫π-+ ⎪⎝⎭的值为( )A .25-B .15-C .15D .254.(2020·2020届山东省烟台市高三模拟)刘徽(约公元225年-295年),魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,这可视为中国古代极限观念的佳作,割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示),当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,运用割圆术的思想,得到sin 2o 的近似值为( )A .π90B .π180C .π270D .π3605.(2020·山东高三模拟)设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点,则ω的取值范围为( ) A .1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C .1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D .1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 6.(2020届山东省六地市部分学校高三3月线考)《九章算术》是我国古代数学名著,其中有这样一个问题:“今有宛田,下周三十步,径十六步,问为田几何?”意思说:现有扇形田,弧长三十步,直径十六步,问面积多少?书中给出计算方法:以径乘周,四而一,即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是( ) A .415B .158C .154D .1207.(2020·山东高三下学期开学)函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为( ) A .4π B .2πC .2π D .π8.(2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟)已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47),则sin(013α-)=A .12B 3C .12-D .3 9.(2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟)函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π,则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是( ) A .4x π=B .3x π=C .56x π=D .1912x π=10.(2020届山东省六地市部分学校高三3月线考)泉城广场上矗立着的“泉标”,成为泉城济南的标志和象征.为了测量“泉标”高度,某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒,沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ,在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒,则“泉标”的高度为( ) A .50 m B .100 mC .120 mD .150 m二、多选题11.(2020届山东省高考模拟)已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩,则下列结论正确的是( )A .()f x 不是周期函数B .()f x 奇函数C .()f x 的图象关于直线4x π=对称D .()f x 在52x π=处取得最大值12.(2020届山东省烟台市高三模拟)在ABC V 中,D 在线段AB 上,且5,3AD BD ==若52,cos CB CD CDB =∠=,则( ) A .3sin 10CDB ∠=B .ABC V 的面积为8 C .ABC V 的周长为85+D .ABC V 为钝角三角形13.(2020届山东省济宁市高三3月月考)已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<,若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后,所得图象关于y 轴对称,则下列结论中正确的是( ) A .56πϕ= B .,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C .()2fϕ=-D .6x π=-是()f x 图象的一条对称轴14.(2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考)已知向量(()2sin 3,cos ,cos m x n x x ==u r r,函数()231f x m n =⋅+u r r,下列命题,说法正确的选项是( )A .2()6f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭B .6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的图像关于4x π=对称C .若1202x x π<<<,则12()()f x f x <D .若123,,,32x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则123()()()f x f x f x +>15.(2020届山东省菏泽一中高三2月月考)要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A .将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B .将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C .先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D .先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位16.(2020届山东省潍坊市高三模拟一)已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称,则( ) A .函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B .函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C .若()()122f x f x -=,则12x x -的最小值为3πD .函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 17.(2020届山东省潍坊市高三模拟二)已知函数f (x )=|sinx ||cosx |,则下列说法正确的是( ) A .f (x )的图象关于直线2x π=对称B .f (x )的周期为2π C .(π,0)是f (x )的一个对称中心 D .f (x )在区间42,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增18.(2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数()g x 的图象,则下列关于函数()g x 的说法正确的是( )A ,图象关于直线12x π=对称B .图象关于y 轴对称C .最小正周期为πD .图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 19.(2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测)已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+,给出下列四个结论,其中正确的结论是( ). A .函数()f x 的最小正周期是2π B .函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C .函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D .函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 20.(2020届山东省青岛市高三上期末)要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A .将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B .将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位C .先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D .先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位21.(2020·山东曲阜一中高三3月月考)已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<,若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后,所得图象关于y 轴对称,则下列结论中正确的是( ) A .56πϕ= B .,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C .()2fϕ=-D .6x π=-是()f x 图象的一条对称轴22.(2020届山东省泰安市肥城市一模)设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()f x ( ) A .是偶函数B .在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C .最大值为2 D .其图像关于直线2x π=对称23.(2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试)关于函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭,下列命题正确的是( )A .由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B .()y f x =的表达式可改写成5()3cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C .()y f x =的图象关于点3,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D .()y f x =的图象关于直线12x π=-对称三、填空题24.(2020·2020届山东省淄博市高三二模)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =,1c =,则b =__,ABC ∆面积的最大值为___.25.(2020届山东省六地市部分学校高三3月线考)已知函数(),()f x x g x x ωω=,其中0>ω,,,A B C 是这两个函数图像的交点,且不共线.①当1ω=时,ABC ∆面积的最小值为___________;②若存在ABC ∆是等腰直角三角形,则ω的最小值为__________.26.(2020届山东省潍坊市高三模拟二)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (e +x )=f (e ﹣x ),且f (0)=0,当x ∈(0,e ]时,f (x )=lnx 已知方程122f x sin x eπ=()在区间[﹣e ,3e ]上所有的实数根之和为3ea ,将函数2314g x sin x π=+()的图象向右平移a 个单位长度,得到函数h (x )的图象,,则h (7)=_____.四、解答题27.(2020·山东高三模拟)在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知c =sin 2C =. (1)若1a =,求sin A ; (2)求ABC V 的面积S 的最大值.28.(2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测)已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?. (1)求()f x 的单调递增区间;(2)设ABC V 为锐角三角形,角A 所对边a =,角B 所对边5b =,若()0f A =,求ABC V 的面积. 29.(2020届山东省高考模拟) 在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设ABC V 的面积为S ,()2223163c S b a +=-.(1)求tan B 的值;(2)若42S =,10a =,求b 的值.30.(2020届山东省菏泽一中高三2cos )sin b C a c B -=;②22cos a c b C +=;③sin sin2A Cb A += 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答相应的问题.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足________________,b =4a c +=,求ABC ∆的面积.31.(2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟)在①()2223163c S b a +=-;②5cos 45b C c a +=,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设ABC V 的面积为S ,已知________. (1)求tan B 的值;(2)若42,S =10a =,求b 的值.32.(2020届山东省泰安市肥城市一模)已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x -(1)求()f x 的单调递增区间; (2)求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合. 33.(2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且22233423b c bc a +-=. (1)求sin A ; (2)若3sin 2sin c A a B =,ABC ∆的面积为2,求ABC ∆的周长34.(2020届山东省淄博市高三二模)已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,满足3sin cos 0A A +=.有三个条件:①1a =;②3b =;③34ABC S ∆=.其中三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件完成下面两个问题: (1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.35.(2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试)已知ABC ∆中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,sin 1cos sin 2cos A AB B+=- (1)求证:2a b c =+; (2)若4cos 5A =,6ABC S =V ,求a 的值. 36.(2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测)已知分别在射线(不含端点)上运动,,在中,角所对的边分别是.(Ⅰ)若依次成等差数列,且公差为2.求的值; (Ⅱ)若,,试用表示的周长,并求周长的最大值37.(2020届山东省烟台市高三模拟)已知函数()2123sin cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3.(1)求m 的值及函数()f x 的单调递增区间;(2)若锐角ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、,且()0f A =,求b c的取值范围.38.(2020届山东省济宁市高三3月月考)现给出两个条件:①232cos c b a B -=,②()23cos 3cos b c A a C -=,从中选出一个条件补充在下面的问题中,并以此为依据求解问题:(选出一种可行的条件解答,若两个都选,则按第一个解答计分)在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边( ).(1)求A ;(2)若31a =-,求ABC ∆面积的最大值.39.(2020届山东省潍坊市高三模拟一)在平面四边形ABCD 中,ABD ∆中边BD 所对的角为A ,BCD ∆中边BD 所对的角为C ,已知2AB BC CD ===,23AD =.(13cos A C -是否是定值,若是定值请求出;若不是请说明理由;(2)记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ,求出2212S S +的最大值.40.(2020届山东省潍坊市高三模拟二)现在给出三个条件:①a =2;②B 4π=;③c 3=.试从中选出两个条件,补充在下面的问题中,使其能够确定△ABC ,并以此为依据,求△ABC 的面积.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且满足233b c cosA acosC =(),求△ABC 的面积(选出一种可行的方案解答,若选出多个方案分别解答,则按第一个解答记分)41.(2020届山东省六地市部分学校高三3月线考)在锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin sin 3b A a B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求角B 的大小;(2)求ca的取值范围 42.(2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考)如图,在四边形ABCD 中,645,105,,2,32ADB BAD AD BC AC ∠=︒∠=︒===(1)求cos ABC ∠的值;(2)若记ABC α∠=,求sin 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 43.(2020·山东高三下学期开学)在①cos 2320B B +=,②2cos 2b C a c =-,③3sin b a A=三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若_____,且a ,b ,c 成等差数列,则ABC ∆是否为等边三角形?若是,写出证明;若不是,说明理由. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.一、单选题1.(2020届山东省高考模拟)若()sin 753α︒+=,则()cos 302α︒-=( ) A .49B .49-C .59D .59-【答案】D 【解析】令75αθ︒+=,则75αθ︒=- 由()sin 75α︒+=sin θ= ()()cos 302cos 30275θα︒︒︒---⎡⎤=⎣⎦()()2cos 1802cos 212sin θθθ︒=-=-=--251239⎡⎤⎛⎫⎢⎥=--⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 故选D .2.(2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试)设(0,),(0,22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则( ) A .32παβ-=B .32παβ+=C .22παβ-=D .22παβ+=【答案】C 【解析】由已知得,sin 1sin tan cos cos αβααβ+==,去分母得,sin cos cos cos sin αβααβ=+,所以 sin cos cos sin cos ,sin()cos sin()2παβαβααβαα-=-==-,又因为22ππαβ-<-<,022ππα<-<,所以2παβα-=-,即22παβ-=,选C3.(2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考)直线:20l x y e -+=的倾斜角为α,则()sin sin 2ααπ⎛⎫π-+ ⎪⎝⎭的值为( )A .25-B .15-C .15D .25【答案】D 【解析】由已知得tan 2α=, 则()2222sin cos tan 22sin sin sin cos 2sin cos tan 1215ααααααααααπ⎛⎫π-+===== ⎪+++⎝⎭. 故选:D.4.(2020·2020届山东省烟台市高三模拟)刘徽(约公元225年-295年),魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,这可视为中国古代极限观念的佳作,割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示),当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,运用割圆术的思想,得到sin 2o 的近似值为( )A .π90B .π180C .π270D .π360【答案】A 【解析】由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒, 所以每个等腰三角形的面积为21360sin2r n ︒, 所以圆的面积为221360sin2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ︒=︒==, 故选:A5.(2020·山东高三模拟)设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点,则ω的取值范围为( )A .1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .1229,510⎛⎤⎥⎝⎦C .1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D .1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】当[0,2]x πÎ时,,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦, ∵()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点, ∴5265ππωππ≤+<,∴1229510ω≤<. 故选:A.6.(2020届山东省六地市部分学校高三3月线考)《九章算术》是我国古代数学名著,其中有这样一个问题:“今有宛田,下周三十步,径十六步,问为田几何?”意思说:现有扇形田,弧长三十步,直径十六步,问面积多少?书中给出计算方法:以径乘周,四而一,即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是( ) A .415B .158C .154D .120【答案】C 【解析】由题意,根据给出计算方法:以径乘周,四而一,即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4, 再由扇形的弧长公式,可得扇形的圆心角301584l r α===(弧度),故选C. 7.(2020·山东高三下学期开学)函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为( ) A .4π B .2πC .2π D .π【答案】D 【解析】因为22cos 211213()cos cos 232232x f x x x πππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以最小正周期为π.故选:D8.(2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟)已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47),则sin(013α-)=A .12BC .12-D. 【答案】A 【解析】由题意可得三角函数的定义可知:22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+o o o o ,22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+o oo o,则: ()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==o o o o o o o o o o本题选择A 选项.9.(2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟)函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π,则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是( ) A .4x π=B .3x π=C .56x π=D .1912x π=【答案】D 【解析】函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π,则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由24()392x k k πππ+=+∈Z , 得3()212x k k ππ=+∈Z ,当1k =时,1912x π=. 故选D.10.(2020届山东省六地市部分学校高三3月线考)泉城广场上矗立着的“泉标”,成为泉城济南的标志和象征.为了测量“泉标”高度,某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒,沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ,在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒,则“泉标”的高度为( )A .50 mB .100 mC .120 mD .150 m【答案】A 【解析】如图,CD 为“泉标”高度,设高为h 米,由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ︒∠=,,4530CAD CBD ︒∠=∠=o.在CBD V 中,BD 3h =,在CAD V中,AD h =, 在ABD △中,3,BD h AD h ==,,100AB =,60BAD ︒∠=,由余弦定理可得223100002100cos 60(50)(100)0h h h h h ︒=+-⨯∴-+=, 解得50h =或100h =- (舍去), 故选:B. 二、多选题11.(2020届山东省高考模拟)已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩,则下列结论正确的是( )A .()f x 不是周期函数B .()f x 奇函数C .()f x 的图象关于直线4x π=对称D .()f x 在52x π=处取得最大值 【答案】AC 【解析】作出函数()f x 的图象如图:则由图象知函数()f x 不是周期函数,故A 正确; 不是奇函数,故B 错误,若0x >,2()cos()cos cos sin sin (cos sin )4444f x x x x x x ππππ+=+=-=-,2()sin()sin cos cos sin (cos sin )44442f x x x x x x ππππ-=-=-=-, 此时()()44f x f x ππ+=-,若0x …,2()sin()sin cos cos sin (cos sin )4444f x x x x x x ππππ+=+=+=+,2()cos()cos cos sin sin (cos sin )44442f x x x x x x ππππ-=-=+=+,此时()()44f x f x ππ+=-, 综上恒有()()44f x f x ππ+=-,即图象关于直线4x π=对称,故C 正确,()f x 在52x π=处55()()cos022f x f ππ===不是最大值,故D 错误, 故选:A C .12.(2020届山东省烟台市高三模拟)在ABC V 中,D 在线段AB 上,且5,3AD BD ==若52,cos CB CD CDB =∠=,则( ) A .3sin 10CDB ∠=B .ABC V 的面积为8 C .ABC V 的周长为85+D .ABC V 为钝角三角形【答案】BCD 【解析】 因为5cos CDB ∠=,所以225sin 1cos CDB CDB ∠=-∠=,故A 错误; 设CD a =,则2BC a =,在BCD V 中,2222cos BC CD BD BC CD CDB =+-⋅⋅∠,解得5a =,所以1125sin 35322DBC S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯=V ,所以3583ABC DBC S S +==V V ,故B 正确;因为ADC CDB π∠=-∠,所以()cos cos cos 5ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=,在ADC V 中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠,解得AC =所以()358ABC C AB AC BC =++=++=+V 故C 正确;因为8AB =为最大边,所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅,即C ∠为钝角,所以ABC V 为钝角三角形,故D 正确. 故选:BCD13.(2020届山东省济宁市高三3月月考)已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<,若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后,所得图象关于y 轴对称,则下列结论中正确的是( ) A .56πϕ= B .,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C .()2fϕ=-D .6x π=-是()f x 图象的一条对称轴【答案】ABD 【解析】由题意,()()2sin 2f x x ϕ=+向右平移6π, 得2sin 22sin 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Q 的图象关于y 轴对称,所以32k ππϕπ-=+,k Z ∈6k k Z πϕπ5∴=+∈,,又0ϕπ<< 506k πϕ∴==,即()52sin 26x x f π⎛⎫+⎝=⎪⎭50221266f ff πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,, 则,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心,6x π=-是()f x 图象的一条对称轴而()2fϕ=,则C 错,A,B,D 正确故选:ABD14.(2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考)已知向量(()2sin ,cos ,cos m x n x x ==u r r,函数()21f x m n =⋅+u r r,下列命题,说法正确的选项是( )A .2()6f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭B .6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的图像关于4x π=对称C .若1202x x π<<<,则12()()f x f x <D .若123,,,32x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则123()()()f x f x f x +>【答案】BD 【解析】函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,A :当0x =时,166f x f ππ⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()2201f x f -=-=+A 错; B :()2sin 216f x x π⎛⎫-=-+⎪⎝⎭,当4x π=时,对应的函数值取得最小值为1-,所以B 正确;C :0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,23x π-2,33ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ,所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭不单调,故C 错;D :因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以23x π-()2,1,333f x ππ⎡⎤⎤∈∴∈⎢⎥⎦⎣⎦,,又)213>,即2()()min max f x f x >()()()123123,,,32x x x f x f x f x ππ⎡⎤∈+>⎢⎥⎣⎦,恒成立,故D 对;故选:BD.15.(2020届山东省菏泽一中高三2月月考)要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A .将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B .将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C .先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D .先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【答案】ABC 【解析】对于A ,将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位,可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ,故选项A 正确;对于B ,将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位也可得到, 113sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ,故选项B 正确; 对于C ,先作2C 关于x 轴对称,得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位,得到5sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ,故选项C 正确; 对于D ,先作2C 关于x 轴对称,得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位,得到的sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象,故选项D 不正确. 故选:ABC .16.(2020届山东省潍坊市高三模拟一)已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称,则( ) A .函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B .函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C .若()()122f x f x -=,则12x x -的最小值为3πD .函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确; 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误; 对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确;对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误 故选:AC17.(2020届山东省潍坊市高三模拟二)已知函数f (x )=|sinx ||cosx |,则下列说法正确的是( ) A .f (x )的图象关于直线2x π=对称B .f (x )的周期为2πC .(π,0)是f (x )的一个对称中心D .f (x )在区间42,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】AB 【解析】因为函数f (x )=|sinx ||cosx |=|sinxcosx |12=|sin 2x |, 画出函数图象,如图所示;由图可知,f (x )的对称轴是x 4k π=,k ∈Z ; 所以x 2π=是f (x )图象的一条对称轴, A 正确;f (x )的最小正周期是2π,所以B 正确; f (x )是偶函数,没有对称中心,C 错误; 由图可知,f (x )12=|sin 2x |在区间42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是单调减函数,D 错误. 故选:AB.18.(2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)将函数()3213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数()g x 的图象,则下列关于函数()g x 的说法正确的是( )A ,图象关于直线12x π=对称B .图象关于y 轴对称C .最小正周期为πD .图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【解析】将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度,得到()21212133y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++-=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象;再向上平移1个单位长度,得到函数()g x x =的图象,对于函数()g x 于当12x π=时,()32g x =-,不是最值,故()g x 的图象不关于直线12x π=对称,故A 错误; 由于该函数为偶函数,故它的图象关于y 轴对称,故B 正确; 它的最小正周期为22ππ=,故C 正确; 当4x π=时,()0g x =,故函数()g x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称,故D 正确. 故选:BCD19.(2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测)已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+,给出下列四个结论,其中正确的结论是( ). A .函数()f x 的最小正周期是2π B .函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C .函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D .函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 【答案】BC 【解析】2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项,因为2ω=,则()f x 的最小正周期T π=,结论错误;B 选项,当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数,结论正确;C 选项,因为8f π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 的最大值,则()f x 的图象关于直线8x π=对称,结论正确;D 选项,设()2g x x =n ,则()222442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n ,结论错误.故选:BC .20.(2020届山东省青岛市高三上期末)要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A .将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位 B .将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C .先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D .先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【答案】ABC 【解析】对于A ,将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位,可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ,故选项A 正确;对于B ,将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位也可得到, 113sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ,故选项B 正确; 对于C ,先作2C 关于x 轴对称,得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位,得到5sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ,故选项C 正确; 对于D ,先作2C 关于x 轴对称,得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位,得到的sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象,故选项D 不正确. 故选:ABC .21.(2020·山东曲阜一中高三3月月考)已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<,若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后,所得图象关于y 轴对称,则下列结论中正确的是( ) A .56πϕ= B .,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C .()2fϕ=-D .6x π=-是()f x 图象的一条对称轴【答案】ABD 【解析】由题意,()()2sin 2f x x ϕ=+向右平移6π, 得2sin 22sin 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Q 的图象关于y 轴对称,所以32k ππϕπ-=+,k Z ∈6k k Z πϕπ5∴=+∈,,又0ϕπ<< 506k πϕ∴==, 即()52sin 26x x f π⎛⎫+⎝=⎪⎭50221266f ff πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,, 则,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心,6x π=-是()f x 图象的一条对称轴而()2fϕ=,则C 错,A,B,D 正确故选:ABD22.(2020届山东省泰安市肥城市一模)设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()f x ( ) A .是偶函数B .在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C .最大值为2 D .其图像关于直线2x π=对称【答案】ABD 【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A :()2))()f x x x f x -=-==,它是偶函数,本说法正确;选项B :0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()20,x π∈,因此()f x 是单调递减,本说法正确;选项C :()2f x x =,本说法不正确;选项D :当2x π=时,()22f x π=⨯=因此当2x π=时,函数有最小值,因此函数图象关于2x π=对称,本说法正确. 故选:ABD23.(2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试)关于函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭,下列命题正确的是( )A .由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B .()y f x =的表达式可改写成5()3cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C .()y f x =的图象关于点3,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D .()y f x =的图象关于直线12x π=-对称【答案】BD 【解析】函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭, 周期22T ππ==, 对于A :当16x π=,223x π=时,满足()()121f x f x ==,但是不满足12x x -是π的整数倍,故A 错误;对于B :由诱导公式,53sin 213cos 213cos 213623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎡⎤⎢⎝⎥⎭⎣⎦⎭,故B 正确; 对于C :令34x π=,可得33153213144322f sin πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故C 错误; 对于D :当12x π=-时,可得3sin 113121263f πππ⎛⎫⎛⎫-=--+=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()f x 的图象关于直线12x π=-对称;故选:BD . 三、填空题24.(2020·2020届山东省淄博市高三二模)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =,1c =,则b =__,ABC ∆面积的最大值为___.【答案】112【解析】因为sin sin b A a C =,所以由正弦定理可得ba ac =,所以1b c ==;所以111S 222ABC bcsinA sinA ∆==≤,当1sinA =,即90A =︒时,三角形面积最大. 故答案为(1). 1 (2). 1225.(2020届山东省六地市部分学校高三3月线考)已知函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==,其中0>ω,,,A B C 是这两个函数图像的交点,且不共线.①当1ω=时,ABC ∆面积的最小值为___________;②若存在ABC ∆是等腰直角三角形,则ω的最小值为__________.【答案】2π 2π【解析】函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==,其中0>ω,,,A B C 是这两个函数图象的交点, 当1ω=时,()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==.所以函数的交点间的距离为一个周期2π,高为22 222⋅+⋅=. 所以:()121122ABC S ππ∆⋅⋅+==. 如图所示:①当1ω=时,ABC ∆面积的最小值为2π;②若存在ABC ∆是等腰直角三角形,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,则22222222πω⎫⎪⎪⎭⋅=, 解得ω的最小值为 2π. 故答案为:2π, 2π.26.(2020届山东省潍坊市高三模拟二)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (e +x )=f (e ﹣x ),且f (0)=0,当x ∈(0,e ]时,f (x )=lnx 已知方程122f x sin x eπ=()在区间[﹣e ,3e ]上所有的实数根之和为3ea ,将函数2314g x sin x π=+()的图象向右平移a 个单位长度,得到函数h (x )的图象,,则h (7)=_____.【答案】33104+ 【解析】因为f (e +x )=f (e ﹣x ),所以f (x )关于x =e 对称,又因为偶函数f (x ), 所以f (x )的周期为2e .当x ∈(0,e ]时,f (x )=lnx ,于是可作出函数f (x )在[﹣e ,3e ]上的图象如图所示, 方程1()22f x sin x e π=的实数根是函数y =f (x )与函数122y sin x eπ=的交点的横坐标, 由图象的对称性可知,两个函数在[﹣e ,3e ]上有4个交点,且4个交点的横坐标之和为4e ,所以4e =3ea ,故a 43=, 因为235()314222g x sin x cos x ππ=+=-+, 所以345325()()()22322232h x cos x cos x πππ=--+=--+, 故3253310(7)232h sin π+=+=. 故答案为:3310+.四、解答题27.(2020·山东高三模拟)在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知42c =25sin 25C =. (1)若1a =,求sin A ; (2)求ABC V 的面积S 的最大值.【答案】(1)sin A =(2)4 【解析】(1)∵23cos 12sin25C C =-=-,∴4sin 5C =,由正弦定理sin sin a c A C =得sin sin a C A c ==(2)由(1)知3cos 5C =-,2222266162cos 2555c b a b a C b a ba ab ba ba =+-⋅⋅=++≥+=, 所以16325ba ≥,10ba ≥,114sin 104225S ba C =≤⨯⨯=, 当且仅当a b =时,ABC V 的面积S 有最大值4.28.(2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测)已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?. (1)求()f x 的单调递增区间;(2)设ABC V 为锐角三角形,角A 所对边a =,角B 所对边5b =,若()0f A =,求ABC V 的面积.【答案】(1),2p p 轹÷ê÷÷êøë;(2 【解析】(1)依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?,由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤,令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë. (2)由于a b <,所以A 为锐角,即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =,得11cos 20,cos 222A A +==-,所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅,2560c c -+=,解得2c =或3c =.当2c =时,222cos 02a c b B ac +-==<,则B 为钝角,与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=29.(2020届山东省高考模拟) 在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设ABC V 的面积为S ,()2223163c S b a +=-.(1)求tan B 的值;(2)若42S =,10a =,求b 的值.【答案】(1)34;(2)b =【解析】(1)在ABC V 中, 由三角形面积公式得,1sin 2S ac B =, 由余弦定理得,222cos 2c a b B ac +-=,Q ()2223163c S b a +=-, ∴()222316S c a b =+-, 整理可得()22233sin cos 84c a b B B ac+-==, 又()0,B π∈,∴sin 0B >,故cos 0B >,∴sin 3tan cos 4B B B ==. (2)由(1)得3tan 4B =, Q ()0,B π∈, ∴3sin 5B =, Q 42S =,10a =, ∴113sin 10342225S ac B c c ==⨯⋅==, 解得14c =,Q ()2223163c S b a +=-,∴b ===.30.(2020届山东省菏泽一中高三2cos )sin b C a c B -=;②22cos a c b C +=;③sin sin2A Cb A += 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答相应的问题.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足________________,b =4a c +=,求ABC ∆的面积.【解析】在横线上填写cos )sin b C a c B -=”.cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<,得sin 0C ≠.所以sin B B =.又cos 0B ≠(若cos 0B =,则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾),所以tan B =又0B π<<,得23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-, 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入,解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解:由22cos a c b C +=及正弦定理,得2sin sin 2sin cos A C B C ++=.又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+, 所以有2cos sin sin 0B C C +=.因为(0,)C π∈,所以sin 0C ≠. 从而有1cos 2B =-.又(0,)B π∈, 所以23B π=由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+- 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入, 解得4ac =.所以11sin 422ABC S ac B ==⨯=V在横线上填写“sin sin2A Cb A +=”解:由正弦定理,得sin sin sin 2BB A A π-=.由0A π<<,得sin A θ≠,所以sin 2B B =由二倍角公式,得2sincos 222B B B =.由022B π<<,得cos 02B ≠,所以sin 22B =. 所以23B π=,即23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-. 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入, 解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△1422=⨯⨯=31.(2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟)在①()2223163c S b a +=-;②5cos 45b C c a +=,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设ABC V 的面积为S ,已知________. (1)求tan B 的值;(2)若42,S =10a =,求b 的值.【答案】(1)34;(2) 【解析】(1)选择条件①.()2223163c S b a +=-,所以()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a , 整理得:()2228sin 3ac B a c b=+-.即2224sin 32a c b B ac+-=⋅. 整理可得3cos 4sin B B =,又sin 0B >.所以cos 0B >,所以sin 3tan cos 4B B B ==. 选择条件②.因为5cos 45bC c a +=,由正弦定理得,5sin cos 4sin 5sin B C C A +=,5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+,即sin (45cos )0C B -=, 在ABC V 中,sin 0C ≠,所以cos 45B =,3sin 5B ==,所以3tan 4B =. (2)由3tan 4B =,得3sin 5B =,又42,S =10a =,则113acsin 1042225S B c ==⨯⨯=,解得14c =.将42,S =10,a =14c =代入()222261636c S c a =++-中,得()2222614164231410b ⨯=⨯++-,解得b =32.(2020届山东省泰安市肥城市一模)已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x -(1)求()f x 的单调递增区间;。
2020年高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题04三角函数的应用文(含解析)(最新整理)
专题04三角函数的应用一、本专题要特别小心:1。
图象的平移(把系数提到括号的前边后左加右减)2。
图象平移要注意未知数的系数为负的情况3。
图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几4.五点作图法的步骤5.利用图象求周期6。
已知图象求解析式二【学习目标】1.理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性.2.会判断简单三角函数的奇偶性,会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期.3.理解三角函数的对称性,并能应用它们解决一些问题.三.【方法总结】1。
三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致:(1)首先看定义域是否关于原点对称;(2)在满足(1)后,再看f(-x)与f(x)的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y=A sin ωx或y=A tan ωx,偶函数一般可化为y=A cos ωx+b的形式。
2.三角函数的单调性(1)函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思想是把ωx+φ看作一个整体,比如:由2kπ-错误!≤ωx+φ≤2kπ+错误!(k∈Z)解出x的范围,所得区间即为增区间。
若函数y=A sin(ωx+φ)中A>0,ω<0,可用诱导公式将函数变为y=-A sin(-ωx-φ),则y=A sin(-ωx-φ)的增区间为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间.对函数y=A cos(ωx+φ),y=A tan(ωx+φ)等单调性的讨论同上。
(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小,而比较三角函数值大小的一般步骤:①先判断正负;②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数;③再利用单调性比较。
3。
求三角函数的最值常见类型:(1)y=A sin(ωx+φ)+B或y=A tan(ωx+φ)+B,(2)y=A(sin x-a)2+B,(3)y=a(sin x±cos x)+b sin x cos x(其中A,B,a,b∈R,A≠0,a≠0)。
2020年高考数学一轮复习重点突破必刷题——三角函数解三角形【解析版】
2020年高考数学一轮复习重点突破必刷题——三角函数解三角形1.在ABC △中,若2sin b a B =,则A 等于 A .30︒或60︒ B .45︒或60︒ C .120︒或60︒D .30︒或150︒【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a bA B=,即b =2a sin B ,得sin B =2sin A sin B , ∵sin B ≠0,∴在等式两边同时除以sin B 得1sin 2A =,又A 为三角形的内角,则A =30°或150°. 故选D .【名师点睛】本题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键,同时在求值时注意三角形内角的范围.利用正弦定理化简已知的等式,根据B 为三角形的内角,得到sin B 不为0,在等式两边同时除以sin B ,得到sin A 的值,然后再由A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可得到A 的度数.2.在锐角三角形ABC 中,角A ,B 所对的边分别为a ,b .若2sin a B =,则A =A .π3 B .π4 C .π6D .π12【答案】A【解析】由2sin a B =及正弦定理可得2sin sin A B B =,因为sin 0B ≠,所以sin A =,又A 为锐角,所以π3A =.故选A .3.ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若(sin sin )()(sin sin )A B a b C B c +-=-,则角A =A .π6 B .π3 C .2π3D .5π6【答案】B【解析】已知(sin sin )()(sin sin )A B a b C B c +-=-,由正弦定理可得222a b c bc -=-,所以2221cos 22b c a A bc +-==,所以A =π3.故选B .【名师点睛】利用正弦定理将角转化为边,化简后利用余弦定理求角A 即可.解三角形问题多为边角互化,主要用到的知识点是正、余弦定理以及三角形面积公式,在化解过程中要根据已知条件的提示进行合理转化,从而达到解决问题的目的.4.如图,有一建筑物OP ,为了测量它的高度,在地面上选一长度为40米的基线AB ,在点A 处测得点P 的仰角为30︒,在点B 处测得点P 的仰角为45︒,若30AOB ∠=︒,则建筑物OP 的高度h =A .20米B .C .D .40米【答案】D【解析】由题可得tan30h OA ==︒米,tan45hOB h ==︒米,在AOB △中,由余弦定理可得240=22)2cos30h h +-⨯⨯︒,解得40h =米. 故选D .5.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若π3C =,c =3b a =,则ABC △的面积为ABC D 【答案】A【解析】由余弦定理得:2222π71cos 7322a b a b ab ab +-==∴+-=,,又3b a =,所以221110731,3,sin 132,224ABC a a a b S ab C -=∴==∴==⨯⨯⨯=△. 故选A .6.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos cos A aB b=,则ABC △是 A .直角三角形 B .等腰直角三角形 C .等腰三角形D .等边三角形【答案】C 【解析】根据cos cos A aB b=及正弦定理可得sin cos cos sin A B A B =, 所以sin cos cos sin A B A B -=sin()0A B -=,因为A ,B 为三角形内角,所以0A B -=, 即A B =,所以ABC △为等腰三角形. 故选C .7.已知ABC △的一个内角为120︒,且三边长构成公差为2的等差数列,则ABC △的面积为A BC .D .【答案】A【解析】由题意可设ABC △的三边长分别为a ,2a +,4a +,由余弦定理可得22(4)a a +=+222()(2cos120)a a a +-+︒,解得3a =,所以ABC △的面积S =12sin120(2)a a +︒=. 故选A .8.在ABC △中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若222s in s i n s i n 0A B C +-=,2220a c b ac +--=,2c =,则a =AB .1C .12D .2【答案】B【解析】因为222sin sin sin 0A B C +-=,所以2220a b c +-=,即C 为直角,因为2220a c b ac +--=,所以2221πcos ,223a cb B B ac +-===,因此πcos 13a c ==.故选B .【名师点睛】正弦定理、余弦定理在解三角形中,求基本量起关键作用,但是它在三角形中相等关系的转化中也有十分重要的作用,主要有两个转化方向,一是把条件中的边化为角,二是把条件中的角的关系化为边.根据条件222sin sin sin 0A B C +-=,角化边,可得C 为直角;由条件2220a c b ac +--=,并结合余弦定理,可得π3B =,运用直角三角形边角关系可求结果.9.已知ABC △的等比数列,则其最大角的余弦值为A .4-B .4C .3D .3-【答案】A【解析】根据题意设三角形的三边长分别为a ,2a ,∵2a a >>,∴长度为2a 的边所对的角为最大角,设为θ,则根据余弦定理得222cos4θ==-. 故选A .10.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2a =,c =,tan 2tan B A =,则ABC△的面积为 A .2B .3C .D .【答案】B【解析】由tan 2tan B A =可得sin 2sin cos cos B AB A=,即2sin cos cos sin A B A B =, 所以sin sin cos C A B =cos sin 3sin cos A B A B +=,由正弦定理可得3cos c a B =,因为2a =,c =,所以cos B =,所以sin B =所以ABC △的面积为11sin 23222ABC S ac B ==⨯⨯=△. 故选B .11.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,60A =︒,1b =,若ABC △,则c =______________. 【答案】4【解析】∵A =60°,b =1,12bc sin A =12×1×c c =4. 【名师点睛】由已知利用三角形面积公式可求c .在解三角形面积时有三个公式可选择,但是题上已知角A ,所以我们需抓取S =12bc sin A . 12.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若tan 3tan A c bB b-=,则c o s A =______________. 【答案】13【解析】因为tan 3tan A c b B b -=,所以sin cos 3sin sin cos A BC B A=-, 所以sin()3sin cos A B C A +=,所以1cos 3A =.13.在ABC △中,已知sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C ,则A 的取值范围是______________.【答案】π(0,]3【解析】因为sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C ,所以222a b c bc ≤+-,即222bc b c a ≤+-.所以2221cos 22b c a A bc +-=≥,因为(0,π)A ∈,所以π(0,]3A ∈.【名师点睛】在三角形中,已知边和角或边、角关系,求角或边时,注意正弦、余弦定理的运用.条件只有角的正弦时,可用正弦定理的推论sin ,sin 22a b A B R R==,将角化为边.由正弦定理将sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C 变为222b c b c a≤+-,然后用余弦定理推论可求得2221cos 22b c a A bc +-=≥,进而根据余弦函数的图象性质可求得角A 的取值范围.14.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ABC △的面积S =60A =︒,1b =,则a =______________.【解析】因为S =60A =︒,1b =,所以11sin 1sin6022bc A c =⨯⨯⨯︒=4c =.在ABC △中,由余弦定理可得22214214cos6013a =+-⨯⨯⨯︒=,所以a =.15.在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos (3)cos b C a c B =-,则B cos 的值为______________. 【答案】31【解析】因为cos (3)cos b C a c B =-,所以由正弦定理可得sin cos (3sin sin )cos B C A C B =-,即sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-,即sin 3sin cos A A B =,又sin 0A ≠,所以.16.在ABC △中,已知3AB =,2BC =,若1cos()2C A -=,则sin B =______________.【解析】在线段AB 上取点D ,使得CD AD =,设AD x =,则3BD x =-, 因为cos()C A -=12,即1cos 2BCD ∠=, 所以在BCD △中,由余弦定理可得221(3)442x x x -=+-⨯,解得54x =, 在BCD △中,由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠, 因为54CD =,734BD x =-=,sin 2BCD ∠=,所以sin 14B = 17.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若s i n ()c o s4A B π+==,2b =,则ABC △的面积为______________.1或231cos =B【解析】因为sin()cos 42A B π+==,所以43A ππ+=或32π,6B π=,所以12A π=或125π.当12A π=时,4C 3π=,由正弦定理可得sin 22sin 2b Cc B ==⨯=此时11sin 21224ABC S bc A ==⨯⨯=△;当12A 5π=时,12C 5π=,由正弦定理可得sin 22sin b C c B ===此时11sin 2222ABC S bc A ==⨯⨯=△综上,ABC △1或2.18.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan 21tan A cB b+=-,若ABC △则a 的最小值为______________.【答案】【解析】由tan 21tan A c B b +=-可得sin()2sin cos A B cB A b+=-, 又A B C ++=π,所以sin 2sin cos C c B A b =-,由正弦定理可得2cos c cb A b=-,所以1cos 2A =-,所以sin 2A =.因为ABC △11sin 222bc A bc =⨯=4bc =, 所以222312a b c bc bc =++≥=,当且仅当2b c ==时取等号,所以a ≥a 的最小值为19.在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC △的面积为S ,且1a =,2241S b c =+-,则ABC △外接圆的面积为 A .4πB .2πC .πD .π2【答案】D【解析】由余弦定理得,2222cos b c a bc A +-=,1a =,所以2212cos b c bc A +-=,又1sin 2S bc A =,2241S b c =+-,所以有14sin 2cos 2bc A bc A ⨯=,即s in c o s A A =,所以π4A =, 由正弦定理得12πsin 4R =,得2R =,所以ABC △外接圆的面积为π2. 故选D .【名师点睛】解三角形问题多为边角求值的问题,这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件,灵活选择,它的作用除了直接求边角或边角互化之外,它还是构造方程(组)的重要依据,把正、余弦定理,三角形的面积结合条件形成某个边或角的方程组,通过解方程组达到求解的目标,这也是一种常用的思路.由余弦定理及三角形面积公式可得2222cos b c a bc A +-=和1sin 2S bc A =,结合条件2241S b c =+-,可得sin cos A A =,进而得π4A =,由正弦定理可得结果. 20.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin 2sin cos 0B A C +=,则当cos B 取最小值时,a c= ABCD.2【答案】C【解析】由题可得222+202a b c b a ab -+⋅=,即22220a b c +-=,即2222c a b -=, 所以cos B=222223324442a cb ac a c ac ac c a +-+==+≥=, 当且仅当344a c c a =,即3a c =时取等号,所以当cos B取最小值时,3a c =, 故选C .21.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若A ,B ,C 成等差数列,且75C =︒,a =则ABC △的面积等于A .32- B .32+C .34- D .34+ 【答案】D【解析】因为A ,B ,C 成等差数列,所以2A C B +=,又180A B C ++=︒,所以60B =︒,因为75C =︒,所以45A =︒,由正弦定理sin sin a b A B =,可得sin 45sin 60b=︒︒,解得b =所以ABC △的面积11sin 7545)22ABC S ab C ==︒=︒+︒=△, 故选D .22.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量),(a b =m 与cos () ,sin A B =n 平行.若a =b =c =A .1B .2C .D .3【答案】D【解析】因为m n ,所以sin cos 0a B b A -=,由正弦定理可得sin sin sin cos 0A B B A -=,又sin 0B ≠,所以sin cos 0A A -=,即tan 1A =,因为0A <<π,所以4A π=,因为a =,b =,所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-,可得2222cos 4c π=+-,即2230c c --=,解得3c =(负值舍去), 故选D .23.已知ABC △为钝角三角形,其中角C 为钝角,若2π3A C +=,则AB BC的取值范围是 A .(1,2)B .(2,)+∞C .(3,)+∞D .[3,)+∞【答案】B【解析】根据题意,ABC △为钝角三角形,2π3A C +=,由正弦定理得,2π2π2πsin()sin cos cos sin sin 11333sin sin sin 2tan 2A A AAB C BC AA A A --====+,又由C 为钝角,且2π3A C +=,所以π06A <<,则0tan A <<,则112tan 2AB BC A =+>,则AB BC 的取值范围是(2,)+∞. 故选B .【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用,涉及三角函数的恒等变形,关键是对ABBC的变形.根据题意,结合正弦定理分析可得2π2π2πsin()sin cos cos sin sin 333sin sin sin A A A AB C BC AA A--====11tan 2A +,分析A 的范围,可得tan A 的范围,进而代入上式中计算可得答案. 24.已知锐角ABC △的内角,,ABC 的对边分别为,,a b c ,若3c =,6sin A =,ABC △的面积S =a b +=ABCD .5【答案】A6sin A =,所以sin A a =,由正弦定理可得sin sin 362c A C a ==⨯=, 因为ABC △是锐角三角形,所以π3C =. 因为ABC △的面积1sin 24S ab C ab ===4ab =. 由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-,即2213a b +=, 又4ab =,所以222()2132421a b a b ab +=++=+⨯=,所以a b +=故选A .25.已知ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且222s i n s i ns i n A B Cc+-s i n s i n c o s c o s A Ba Bb A=+,若4a b +=,则c 的取值范围为 A .(0,4) B .[2,4) C .[1,4)D .(2,4]【答案】B【解析】∵222sin sin sin A B Cc+-sin sin cos cos A B a B b A =+, ∴根据正弦定理可得222sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin A B C A B A BC A B B A C+-==+, ∴222sin sin sin sin sin A B C A B +-=,即222a b c ab +-=,∵4a b +=,∴22222(4)(4)312163(2)4c a a a a a a a =+---=-+=-+, ∵04a <<,∴2416c ≤<,即24c ≤<. 故选B .26.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知π3A =,2b =,ABC S =△,则2sin sin 2sin a b cA B C+-=+-A BC .4D 【答案】B【解析】由三角形面积公式可得:1sin 2bc A =1π2sin 23c ⨯⨯⨯=6c =,结合余弦定理可得22222π2cos 26226cos 283a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,则a =由正弦定理有2sin sin sin a b c R A B C ====,所以22(sin sin 2sin )2sin sin 2sin sin sin 2sin 3a b c R A B C R A B C A B C +-+-===+-+-. 故选B .【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先求得外接圆半径,然后求解2sin sin 2sin a b cA B C+-+-的值即可.27.在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若()()(2a b c a c b ac +++-=,则cos sin A C +的取值范围为A .3)22B .(2C .3(2D .3(2【答案】A【解析】由()()(2a b c a c b ac +++-=+可得22()(2a c b ac +-=+,即222a c b +-=,所以222cos 22a cb B ac +-==,所以6B π=,56C A π=-,所以5cos sin cos sin()6A C A A π+=+-553cos sincos cos sin cos sin )66223A A A A A A πππ=+-=+=+,又02A π<<,506A π<-2π<,所以32A ππ<<,所以25336A πππ<+<3)62A π<+<,故cos sin A C +的取值范围为3)2.故选A .28.在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若πs i n ()3A C ++=且2a c +=,则ABC △周长的取值范围是A .(2,3]B .[24)+C .(4,5]D .[5,6)【答案】B【解析】因为在三角形ABC 中,πA C B +=-,所以ππ4πsin()sin(π)sin()3332A CB B ++=-+=-=, 由诱导公式及三角形中B 的取值范围可求得2π3B =, 由余弦定理可得2222π2cos3b ac ac =+-,化简得2222()b a c ac a c ac =++=+-, 即22()ac a c b =+-,根据不等式可知2()4a c ac +≤,结合2a c +=,代入上述等式可得23b ≥,因为b 为边长,所以为正数,即b ≥又根据三角形构成原则,两边之和大于第三边,所以2b a c <+=,所以b 2b ≤<,所以周长的取值范围为24a b c +≤++<, 故选B .【名师点睛】本题考查了解三角形的综合应用,余弦定理、不等式及三角形的边角关系,属于中档题.由三角形的内角和定义,结合条件求得角B 的值;利用余弦定理求得ac 与b 的等量关系,再根据不等式即可求得b 的取值范围,且满足三角形三条边的大小关系即可.29.在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos 2cos b A a B =,且cos 3cos c A a C =,则cos A =______________.【答案】2【解析】因为cos 2cos b A a B =,cos 3cos c A a C =,所以由正弦定理可得sin cos 2sin cos B A A B =,sin cos 3sin cos C A A C =, 整理得tan 2tan B A =,tan 3tan C A =,所以2tan tan 5tan tan tan()1tan tan 16tan B C AA B C B C A +=-+=-=---, 又tan 0A ≠,所以25116tan A=--,解得tan 1A =(负值舍去),所以4A π=,所以cos 2A =. 30.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设ABC △的面积为S ,若22232a b c =+,则222Sb c+的最大值为______________.【答案】24【解析】由22232a b c =+可得22223b c a +=,所以222222223cos 22b c b c b c a A bc bc++-+-===222663b c bc bc +≥=,所以tan 2A =≤=,当且仅当b =时取等号,所以2222sin sin tan 22(2)12cos 1224S bc A bc A A b c b c bc A ===≤++. 故222S b c +的最大值为24. 31.在锐角ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,cos cos )2sin a B b A c C +=,1b =,则c 的取值范围为______________.【答案】(2222222)22a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=2sin c C ,2sin c C =,所以sin C =又ABC △为锐角三角形,所以3C π=.由正弦定理可得sin sin b C c B ==. 由02B π<<且2032B ππ<-<可得62B ππ<<, 所以1sin 12B <<<<c << 故c的取值范围为.32.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2cos 3cos 6cos a b cA B C==,则c o s c o s c o s A B C =______________. 【答案】110【解析】由2cos 3cos 6cos a b c A B C ==及正弦定理可得sin sin sin 2cos 3cos 6cos A B CA B C==,即tan tan 23A B =tan 6C=,设tan 2A m =,则tan 3B m =,tan 6C m =, 可知tan A ,tan B ,tan C 同号,则角A ,B ,C 均为锐角, 在ABC △中,tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+=-+=--,即tan tan tan A B C ++=tan tan tan A B C ,所以31136m m =,解得6m =,所以tan 3A =,tan 2B =,tan C =所以cos A =cos B =,cos C =所以1cos cos cos 10A B C ==. 33.如图,设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,cos cos sin a C c A b B +=,且π6CA B ∠=.若点D 是ABC △外一点,2,3DC DA ==,则当四边形ABCD 面积最大值时,sin D =______________.【答案】7【解析】因为cos cos sin a C c A b B +=,所以由正弦定理可得2sin cos cos sin sin()sin sin A C A C A C B B +=+==, 所以sin 1B =,所以90B ∠=︒,又π6CAB ∠=,所以1,22BC AC AB AC ==, 由余弦定理可得22223cos 233AC D +-=⨯⨯,可得21312cos AC D =-,四边形面积11123sin 222S D AC AC =⨯⨯⨯+⨯3sin 12cos )D D =-3sin )2D D D ϕ=-++tan ϕ=π2D ϕ+=时四边形面积最大,此时π1tan tan()2tan 3D ϕϕ=-==-,可得sin 7D =.34.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A −b sin B =4c sin C ,cos A =−14,则b c=A .6B .5C .4D .3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=,由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=,故选A . 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.先利用余弦定理推论得出a ,b ,c 关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果.35.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a ,b ,c ,若ABC △的面积为2224a b c +-,则C =A .π2B .π3 C .π4D .π6【答案】C【解析】由题可知 △,所以 ,由余弦定理 ,得 , 因为 ,所以,故选C .36.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin sin (sin B A C +-cos )0C =,a =2,c ,则C =A .π12 B .π6 C .π4D .π3【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=,即πsin (sin cos )sin()04C A A C A +=+=,所以3π4A =.由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin sin 4C =,即1sin 2C =, 因为c <a ,所以C<A ,所以π6C =,故选B . 【名师点睛】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.37.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b sin A +a cos B =0,则B =______________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理,得sin sin sin cos 0B A A B +=.(0,),(0,)A B ∈π∈π,sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=,即tan 1B =-,3.4B π∴=38.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,已知sin sin b C c B +=4sin sin a B C ,2228b c a +-=,则△ABC 的面积为______________.【答案】【解析】根据题意,结合正弦定理可得 ,即,结合余弦定理可得 ,所以A 为锐角,且,从而求得,所以ABC △的面积为,故答案是. 39.【2019年高考浙江卷】在ABC △中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =______________,cos ABD ∠=______________.【答案】510【解析】如图,在ABD △中,由正弦定理有sin sin AB BD ADB BAC =∠∠,而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ,34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==,所以BD =ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=. 【名师点睛】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理,建立方程,进而得解.解答解三角形问题,要注意充分利用图形特征. 40.【2018年高考江苏卷】在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为______________. 【答案】9【解析】由题意可知,ABC ABD BCD S S S =+△△△, 由角平分线的性质和三角形的面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒, 化简得ac a c =+,即111a c +=,因此1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=++≥+=, 当且仅当23c a ==时取等号,则4a c +的最小值为9.41.【2018年高考浙江卷】在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2b =,60A =︒,则sin B =______________,c =______________.3【解析】由正弦定理得sin sin a A b B =,所以πsin sin ,37B == 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以2742c c =+-,解得3c =(负值舍去).42.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知C =60°,b,c =3,则A =______________. 【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b c B C=,得sin 2sin 32b C Bc ===, 结合b c <可得45B =,则18075A B C =--=.【名师点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理,结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果.43.【2017年高考浙江卷】已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2.点D 为AB 延长线上一点,BD =2,连结CD ,则△BDC 的面积是______________,cos ∠BDC =______________.【答案】24【解析】取BC 中点E ,由题意可知AE BC ⊥, 在△ABE 中,1cos 4BE ABC AB ∠==,∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=. ∵2ABC BDC ∠=∠,∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=,解得cos 4BDC ∠=或cos 4BDC ∠=-(舍去). 综上可得,△BCDcos BDC ∠=. 44.【2016年高考上海卷文数】已知ABC △的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于______________.【解析】由已知可设,∴, ∴,∴. 45.【2016年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若4co s 5A =,5cos 13C =,a =1,则b =______________. 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==,且,A C 为三角形的内角,所以312sin ,sin 513A C ==,63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=, 又sin sin a b A B =,所以sin 21sin 13a Bb A ==.3,5,7a b c ===2221cos 22a b c C ab +-==-sin C2sin c R C =。
2020年高考数学二轮复习热点难点全面突破 专题04 三角比、解三角形的综合应用试卷及答案
2ac
2bc
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c
2c
2c
所以 a cos B bcos A c .
由题意得 (a bi) ( cos A i cos B) 3i ,
即 (a cos A-b cos B) (a cos B b cos A)i 3i ,
由复数相等的定义可得
B. 10 10
C. - 10 10
D. - 3 10 10
【答案】C
【解析】 设△ ABC 中角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,由题意可得
1 / 13
1a
c sin
2 c ,则 a 3 2 c .在△ ABC 中,由余弦定理可得
3
42
2
b2 a2 c2 2ca 9 c2 c2 3c2 5 c2 ,则 b 10 c .
1t2 1 t
故 l CP CQ PQ 1 t 2t 1 t 2 1 t 1 t 2 1t 1t
所以△ CPQ 的周长 l 是定值 2
(2) S
S正方形ABCD
SABP
SADQ
1
t 2
1 1t 2 1t
当且仅当 t 2 1 时,等号成立
2
1 2
(t
1
1
2
t
)
2
2
所以摄像头能捕捉到正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为 2 2 hm2
,∴4α∈(π,2π),∴4α=5π,得α=5π.
3
12
∴2sin2α + tanα - cotα - 1 = - cos2α + sin2α-cos2α = - cos2α + -2cos2α = - (cos2α +
2023年高考数学真题分训练 三角函数的综合应用(含答案含解析)
专题 13 三角函数的综合应用十年大数据x 全景展示年 份2023 卷 1卷 1 题 号考 点考 查 内 容理 16 文 16 主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函 数的最值问题三角函数最值与值域三角函数的实际应用 理 6 主要考查利用三角函数的应用及三角公式 主要考查三角公式及三角函数最值理 14 文 14 理 16 文 12卷 2三角函数最值与值域2023卷 2 卷 1三角函数的实际应用 主要考查圆的相关知识、正弦定理等根底知识三角函数图象与性质 主要考查三角函数的零点、对称性、单调性及最值,考查理 12的综合应用 运算求解能力.2023三角函数图象与性质 主要考查三角函数图像的平移变换与三角函数得到对称 的综合应用轴.卷 2 卷 2 卷 2理 7 文 11 理 14 文 13 文 6三角函数最值与值域 主要考查诱导公式、二倍角余弦公式、换元法求最值 主要考查同角三角函数根本关系、三角函数图像与性质、 三角函数最值与值域换元法求最值.2023 卷 2卷 3三角函数最值与值域 主要考查辅助角公式及三角函数的最值. 主要考查诱导公式与三角函数的最值,考查转化与化归思 三角函数最值与值域想.主要考查三角函数的二倍角公式、三角函数的图像与性质、 三角函数最值与值域利用导数研究函数的单调性、极值与最值.卷 12023理 16 文 8三角函数图象与性质 主要考查降幂公式、三角函数的周期与最大值,考查转化卷 1的综合应用与化归思想与运算求解能力三角函数图象与性质 的综合应用2023 卷 1 理 11主要考查三角函数的奇偶性、单调性、零点、最值等问题.大数据分析x 预测高考考 点出现频率2023 年预测三角函数最值与值域7/13 2023 年仍将重点考查三角函数图像与性质的 综合应用及 三角函数图象与性质的综合应用4/13三角函数的最值与值域问题,题型仍为选择题或填空题,三角函数的实际应用 2/13 难度为中档题或压轴题.十年真题分类x 探求规律考点 42 三角函数最值与值域π f (x ) cos 2x 6 cos( x ) 1.(2023 全国新课标卷 2,文 11) 函数 的最大值为( ) 2(A)4 (B)5(C)6(D)7(答案)B 3 112 (解析)因为f (x ) 1 2sin 2 x 6sin x 2(sin x ) 2 ,而sin x 1,1],所以当sin x 1时, f (x ) 取2得最大值 5,选 B .12.(2023 新课标卷 3,文 6)函数 f (x )= sin(x + )+cos(x − )的最大值为5 3 6653 51 5A .B .1C .D .(答案)A 6 2 33 (解析)因为cos x cos x sin x, 所 以1 533 636f xsin x sin x sin x ,函数的最大值为 ,应选 A .5 5 x6 33.(2023 山东) 函数 y 2sin (0 x9) 的最大值与最小值 之和为A .2 3 D . 1 3B .0C .-1(答案)A7 30 x 9,x , sin( x ) 1, (解析) 3 6 3 6 2 6 3y 2, y 3. 应选 8.max min 4.(2023•新课标Ⅰ,理 16)已知函数 f (x ) 2sin x sin 2x ,则 f (x ) 的最小值是 .3 3(答案)2(解析)由题意可得T 2 是 f (x ) 2sin x sin 2x 的一个周期,故只需考虑 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ,2 ) 上 的 值 域 , 先 来 求 该 函 数 在 0 , 2 ) 上 的 极 值 点 , 求 导 数 可 得 1 f (x ) 2 c os x 2cos 2x 2cos x 2(2cos 2 x 1) 2(2cos x 1)(cos x 1) , 令 f (x ) 0 可 解 得 cos x 或 25, x , f (x ), f (x )在在0 ,2 ) 上的变化情况如下表所示:cos x 1,可得此时 x , 或33x25 5 35(0, ) ( , ) ( , ) ( ,2 ) 33333f (x ) f (x )+ 0—0 —↘+↗极大值 ↘ 极 小 值 ↗ 03 23 3 23 3y 2sin x sin 2x 的最小值为. 2f x =2cos x sin x 5.(2023 新课标卷 2,文 13).函数 (答案) 5的最大值为.(解析)因为 f (x ) 5 sin(x ),其中 tan 2 ,所以 f (x ) 的最大值 为 5 . 3 26.(2023 新课标卷 2,理 14).函数 f x sin 2 x 3 cos x ( x 0, )的最大值是.4 (答案)13 14 2cos 2 x 3 cos x(解析) f x 1 cos x3 cos x 423 1, x 0, 3cos x ,那么cos x 0,1 ,当cos x 时,函数取得最大值 1. 的最大值为_________.2 2 27.(2023 新课标Ⅱ,理 14)函数 f xsin x 2(答案)12sin cos x(解析)∵ f (x ) sin(x 2 ) 2sin cos(x ) sin (x )] 2sin cos(x )sin cos(x ) cos sin(x ) 2 s in cos(x ) cos sin(x ) sin cos(x ) =sin x ∴ f (x ) 的最大值为 18.(2023新课标Ⅰ,理15)设当x =θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cosθ=______ 2 5 (答案)55 2 5 5 5 2 5 5(解析)∵ f (x ) =sin x 2 c os x = 5(sin x cos x ) ,令cos = ,sin ,则 5 5f (x ) = 5(sin x cos sin cos x ) = 5 sin(x ) ,当 x = 2k ,k z ,即 x = 2k ,k z2 22 55时, f (x ) 取最大值,此时 = 2k ,k z ,∴cos = cos(2k ) =sin =. 2 23 sin 3x cos 3x ,假设对任意实数 x 都有 f x ≤a ,则实数 a 的取值范围 9.(2023 江西)设 f x 是 .(答案)a 2f (x ) 3 sin 3x cos 3x 2sin(3x ) | f (x ) | 2 a 2.(解析)得 故 f (x ) sin x , x R f (x ) 10.(2023 浙江 18)设函数 (1)已知0, 2 ),.是偶函数,求 的值;函数(2)求函数 y f (x) f (x )]2 的值域. 2 12 4(解析)(1)因为 f (x ) sin(x ) 是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x ) sin( x ) , 即sin x cos cos x sin sin x cos cos x sin , 故2sin x cos 0 , 所以cos 0 .π 3π 2又 0, 2π),因此 或. 2 22π π π π 4 y f x f x sin 1 2 x sin 12 2 x (2)12 4π π1 cos 2x 1 cos 2x6 2 1 3 3 3 π 3 cos 2x sin 2x 1 cos 2x . 2 2 2 2 2 23 ,13].因此,函数的值域是12 2 考点 43 三角函数图象与性质的综合应用1.(2023•新课标Ⅰ,理 11)关于函数 f (x ) sin | x | | sin x | 有下述四个结论: ① f (x ) 是偶函数② f (x ) 在区间( , ) 单调递增2 ③ f (x ) 在 , 有 4 个零点 ④ f (x ) 的最大值为 2 其中全部正确结论的编号是( )A .①②④ (答案)C(解析)∵ f ( x ) sin | x | | sin( x ) | sin | x | | sin x | f (x ) ,∴函数 f (x ) 是偶函数,故①正确;B .②④C .①④D .①③当 x ( , ) 时,sin | x | sin x ,| sin x | sin x ,则 f (x ) sin x sin x 2sin x 为减函数,故②错误;2 当 0 x 时, f (x ) sin | x | | sin x | sin x sin x 2sin x ,由 f (x ) 0 得 2sin x 0 得 x 0 或 x ,由 f (x ) 是偶函数,得在 ,) 上还有一个零点 x ,即函数 f (x ) 在 , 有3 个零点,故③错误, 当sin | x | 1,| sin x | 1 时, f (x ) 取得最大值 2,故④正确,故正确是①④,应选C . 2.(2023•新课标Ⅰ,文 8)已知函数 f (x ) 2 c os A . f (x ) 的最小正周期为 ,最大值为 3 B . f (x ) 的最小正周期为 ,最大值为4 C . f (x ) 的最小正周期为2 ,最大值为 3 D . f (x ) 的最小正周期为2 ,最大值为 4 (答案)B2x sin 2x 2 ,则()(解析)函数 f (x ) 2 c oscos 2x 1 2x sin 2 x 2 2 c os 2 x sin 2 x 2sin 2 x 2 c os 2 x 4 c os 2 x sin 2 x3cos 2x 5 3 53cos 2 x 1 3 1 ,故函数的最小正周期为 ,函数的最大值为 4,应选 B .2 2 2 2 23.(2023 新课标卷 1,理 12)12.已知函数 f (x ) sin( x+ )( 0, ), x 为 f (x ) 的零点,x 2 4 45 18 36为 y f (x ) 图像的对称轴,且 f (x ) 在 , 单调,则 的最大值为( )(A)11(B)9 (C)7(D)5(答案)B .11 9 ,所以 , (解析)当 11时,由k ,k Z ,∴ k ,k Z ,因为| | 4 2 4 4 45 13 23 13 23 , 不36 18 所以 f (x ) =sin(11x ) ,当 x 时,11x ( , ) ,因为 y sin x 在〔 418 36 4 36 18 97单调,故 A 错;当 9 时,由k ,k Z ,∴ k ,k Z ,因为| | ,所以 4 24 45 3 3 3 3,所以 f (x ) =sin(9x ),当 x时,9x ( , ) ,因为 y sin x 在〔 , 〕 4 4 1836 4 4 2 4 2单调,应选 B .4.(2023•新课标Ⅱ,理 7)假设将函数 y 2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,则平移后的图象的对称轴为12 ()kkA . x(k Z ) B . x(k Z ) 2 62 6kkC . x (k Z )D . x(k Z ) 2 122 12(答案)B(解析)将函数 y 2sin 2x 的图象向左平移个单位长度,得到 y 2sin 2(x ) 2sin(2x ) ,由 12 12 6k k2x k (k Z ) 得:x (k Z ) ,即平移后的图象的对称轴方程为 x (k Z ) ,应选 B .6 2 2 6 2 6 5.( 2023 山东)函数 f (x ) ( 3 sin x cos x )( 3 cos x sin x ) 的最小正周期是3 A .B .πC .D .2π22(答案)B( 解 析 ) 由 题 意 得 f (x ) 2 s in(x ) 2 cos(x ) 2sin(2x ) , 故 该 函 数 的 最 小 正 周 期6 632 T.应选 B . 26.(2023 安徽)假设将函数 f (x ) sin 2x cos 2x 的图象向右平移 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 的最小正值是 3 3 A .B .C .D .8484(答案)C(解析) f (x ) 2 sin(2x ) ,将函数 f (x ) 的图象向右平移 个单位得4f (x ) 2 sin(2x 2 ) ,由该函数为偶函数可知2 k ,k Z ,4 4 2k 3 3即,所以 的最小正值是为. 2 8 87.(2023 福建)将函数 y sin x 的图象向左平移 个单位,得到函数 yf x的函数图象,则以下说法正 2确的是 A . yf x 是奇函数B . y f x 的周期是的图象关于直线x 对称 D . y f x 的图象关于点 ,0C . y f x 2 2 (答案)D(解析)函数 y sin x 的图象向左平移个单位,得到函数 f (x ) sin(x ) cos x 的图象,22f (x ) cos x 为偶函数,排解 A ; f (x ) cos x 的周期为2 ,排解 B ;因为 f ( ) cos 0 ,所以2 2f (x ) cos x 不关于直线 x 对称,排解 C ;应选 D .28.(2023 辽宁)将函数 y 3sin(2x )的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数3 277A .在区间, 上单调递减 B .在区间, 上单调递增 12 12 12 12 C .在区间 , ]上单调递减 D .在区间 , ]上单调递增6 36 3(答案)B(解析) 将 y 3sin(2x ) 的图象向有右移个单位长度后得到 y 3sin2(x ) ,即32 2 32 2y 3sin(2x ) 的 图 象 , 令 2k ≤2x≤ 2k , k Z , 化 简 可 得 3 2 3 2 7x k , 12k ],k Z , 2 12 7即 函 数 y 3sin(2x) 的 单 调 递 增 区 间 为 k ,k , k Z , 令 k 0 . 可 得 3 12 122 7y 3sin(2x ) 在区间 , 上单调递增,应选 B .3 12 12y sin 2x 的图像沿x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图像,则 的 9.(2023 山东)将函数 8一个可能取值为3 A .B .C .0D .444(答案)B(解析)将函数 y=sin(2 x + )的图像沿 x 轴向左平移 个单位,得到函数,因为此时函数为偶函数,所以 ,即,所以选 B .10.(2023 北京)在平面直角坐标系中,记d 为点 P (cos , s in ) 到直线 x my 2 0的距离,当 ,m 变化时,d 的最大值为 A .1B .2C .3D .4(答案)C| cos m sin 2 | | m sin cos 2 |(解析)由题意可得dm 212 m 1m 1 | m 21( sin cos ) 2 | 2 1 m 2 1 | m 2 1sin( ) 2 | 1 mm 2 1 m2 m1(其中cos,sin),∵ 1≤sin( )≤1,m 21m 21| 2 m 2 1 | 2 m 2 1 2 m 2 12∴ ≤d ≤, 1 ,m 2 1 m 2 1 m 2 12m 1∴当m 0时,d 取得最大值 3,应选 C .f (x ) sin 2x b sin x c ,则 f (x ) 的最小正周期11.(2023 年浙江)设函数 A .与 b 有关,且与 c 有关 C .与 b 无关,且与 c 无关 B .与 b 有关,但与 c 无关 D .与 b 无关,但与 c 有关(答案)B 1 cos 2xf (x ) sin 2 x b sin x cb sin xc . (解析)由于2当b 0 时, f (x ) 的最小正周期为 ; 当b 0 时, f (x ) 的最小正周期2 ;c 的变化会引起 f (x )的图象的上下平移,不会影响其最小正周期.应选 B .2x sin x cos x 1 的最小正周期是________,单调递减区间是_______.12.(2023 浙江)函数 f (x ) sin 7 3(答案) 、k , k k Z() 8 8 23 3 7(解析)f (x )sin(2x ) ,故最小正周期为 ,单调递减区间为 k , k ] k Z ( ).2 4 28 8 3 y sin 2x cos 2x 的最小正周期为 .13.(2023 山东)函数 2(答案) 3 3 1 1 1 ysin 2x cos 2x = y sin 2x cos 2x sin(2x ) ,所以其最小正周期为 (解析)2 2 2 2 6 22. 24f x sin 2x y 14.(2023 安徽)假设将函数 的图象向右平移 个单位,所得图象关于 轴对称,则 的最小正值是________. 3 (答案)8( 解 析 ) f (x ) sin2(x ) sin(2x 2 ) , ∴2 k (k Z ) , ∴ 444 2k3(k Z ) ,当k 1时 min . 8 2 82 cos 2x sin 2x A sin( x b (A > 0) ,则 A =__,b =__.15.(2023 年浙江)已知 (答案) 2 1(解析)2cos2x sin 2x 2 sin(2x ) 1,所以 A 2,b 1.4,向量a sin 2 ,cos ,b cos ,1,假设a ∥b 16.(2023 陕西)设0,2则tan _______. 1(答案)2(解析)∵a ∥b ,∴sin 2 cos 2,∴2 s in cos cos2,∵ (0, ) ,21 ∴tan .217.(2023 江苏)已知向量a (cos x , s in x ) ,b (3, 3) , x 0, ].(1)假设a ∥b ,求 x 的值;(2)记 f (x ) a b ,求 f (x ) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值. (解析)(1)因为a (cos x , s in x ) ,b (3, 3) ,a ∥b , 所以 3 cos x 3sin x .假设cos x 0,则sin x 0,与sin 2 x cos x 1矛盾,故cos x 0. 2 3于是 tan x. 35 又 x 0, ],所以 x. 6π f (x ) a b (cos x , s in x ) (3, 3) 3cos x 3 sin x 2 3 cos(x ) (2) . 6π π 7π x 0, ],所以 x ,, 6 6因为 6π 6 3 从而 1 cos(x ). 2π πx x 0时, f (x )取到最大值 3;于是,当 ,即 6 6π5πx xf (x ) 当 ,即 时, 取到最小值 2 3 .6618.(2023 山东)设函数 f (x ) sin( x ) sin( x ),其中0 3.6 2已知 f ( ) 0 . 6(Ⅰ)求 ;(Ⅱ)将函数 y f (x ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移 个 43单位,得到函数 y g (x ) 的图象,求 g (x ) 在 ,]上的最小值. 4 4 (解析)(Ⅰ)因为 f (x ) sin( x ) sin( x ),623 1所以 f (x )sin x cos x cos x 2 23 3sin x cos x 2 213 3( sin x cos x )2 2 3(sin x )3由题设知 f ( ) 0 ,6k ,k Z . 所以6 3故 6k 2,k Z ,又03, 所以 2.(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f (x ) 3 sin(2x) 3所以 g (x ) 3 sin(x ) 3 sin(x). 124 33因为 x , ], 4 42 所以 x, , 12 3 3当 x , 12 3 即 x 时, g (x ) 取得最小值 . 3 4 219.(2023 年天津)已知函数 f (x ) 4 tan x cos x cos(x ) 3 .3(Ⅰ)求 f (x )的定义域与最小正周期; (Ⅱ)商量 f (x )在区间 , ]上的单调性. 4 4(解析)(Ⅰ) f (x )的定义域为(x | xk ,k Z ). 2f (x ) 4 tan x cos x cos(x ) 334 s in x cos(x ) 33 13 4 s in x ( cos x sin x ) 32 2 2 s in x cos x 23 sin 2 x 3 sin 2x 3(1 cos 2x ) 3sin 2x 3 cos2x 2sin(2x )32 所以 f (x )的最小正周期T. 225令 z 2x , 函数 y 2 s in z 的单调递增区间是 2k , 2k ,k Z . 32由 2k 2x 2k ,得k x k ,k Z . 2 3 2 12124 4 5设 A ,,B x k x k ,k Z , 12 1212 4易知 A B, .所以, 当 x ,时, f (x )在区间 4 12, 上单调递增, 在区间 , 上单调递减. 4 4 12 4x xx 20.(2023 北京)已知函数 f (x ) 2 sin cos 2 sin2. 2 22(Ⅰ) 求 f (x ) 的最小正周期;(Ⅱ) 求 f (x ) 在区间 π,0上的最小值. 2 2 2(解析)(Ⅰ)因为 f (x )sin x (1 cos x ) sin(x ) 2 2 4 2 所以 f (x ) 的最小正周期为2 . 3x (Ⅱ)因为 x 0,所以 . 4 4 43当 x,即 x 时, f (x ) 取得最小值. 4 2 432 所以 f (x ) 在区间 ,0 上的最小值为 f ( ) 1. 42π21.(2023 湖北)某同学用“五点法〞画函数 f (x ) A sin( x ) ( 0, | | ) 在某一个周期内的图象时,列2表并填入了局部数据,如下表:π 2 3π 2 x 0π2ππ 35π 6 xA sin( x )50 5 (Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f (x ) 的解析式;(Ⅱ)将 y f (x ) 图象上全部点向左平行移动 ( 0) 个单位长度,得到 y g (x ) 的图象.假设 y g (x ) 图象 5π的一个对称中心为( , 0) ,求 的最小值.12π(解析)(Ⅰ)依据表中已知数据,解得 A 5, 2, . 数据补全如下表:6π 2 3π 2 x 0 π2π 13 π π 3 7π 12 5π 6 xπ 12 12 A sin( x )55π且函数表达式为 f (x ) 5sin(2x ) .6π π(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x ) 5sin(2x ) ,得 g (x ) 5sin(2x 2 ) .6 6 因为 y sin x 的对称中心为(k π, 0) ,k Z . π k π π令2x 2 k π ,解得 x ,k Z .6 2 12 5π 由于函数 y g (x ) 的图象关于点( , 0) 成中心对称,令12k π π 5π12 , 2 12 k π π π解得,k Z . 由 0可知,当 k 1时, 取得最小值 . 2 3 622.(2023 福建)已知函数 f (x ) 2 c os x (sin x cos x ). 5(Ⅰ)求 f ()的值; 4(Ⅱ)求函数 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间. 55 5 5 (解析)解法一:(Ⅰ) f () 2 cos (sin cos ) 44 4 42 cos ( sin cos ) 24 4 42x sin 2x cos 2x 1 2 sin(2x ) 1.(Ⅱ)因为 所以Tf (x ) 2 s in x cos x 2 cos 42. 2 由2k 2x 2k ,k Z , 2423得kx k ,k Z , 8 83 所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z .8 8f (x ) 2 s in x cos x 2 cos x sin 2x cos 2x 12 解法二:因为2 sin(2x ) 145 (Ⅰ) f ( ) 2 sin111 2 sin 1 2. 4 4 42(Ⅱ)T. 2 由2k 2x 2k ,k Z ,2423得kx k ,k Z , 8 83所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z . 8 8123.(2023 福建)已知函数 f (x ) cos x (sin x cos x ) .22 (Ⅰ)假设0 ,且sin,求 f ( ) 的值; 22 (Ⅱ)求函数 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间. 2 2(解析)解法一:(Ⅰ)因为0, sin , 所以cos. 2 2 22 2 2 1 1所以 f ( )( ) . 2 2 2 2 21 11 cos 2x 1f (x ) sin x cos x cos 2 x sin 2x(Ⅱ)因为 2 22 21 12 sin 2x cos 2x sin(2x ) ,2 2 2 4 2 3所以T.由 2k 2x 2k ,k Z , 得k x k ,k Z .2 2 4 2 8 83 所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z .8 81 1 1 cos 2x 1f (x ) sin x cos x cos 2 x sin 2x解法二: 2 22 21 12 sin 2x cos 2x sin(2x ) 2 2 2 42(Ⅰ)因为0 , sin, 所以 2 2 42 23 12从而 f ( ) 2 sin(2 ) sin 2 4 2 4 (Ⅱ)T2 3x k ,k Z . 由2k 2x 2k ,k Z , 得k 2428 83所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z . 8 8624.(2023 北京)函数 f x 3sin2x 的局部图象如下图. (Ⅰ)写出 f x 的最小正周期及图中 x 、 y 的值; 0 0 2 12,(Ⅱ)求 f x 在区间 上的最大值和最小值.7, y 0 3. (解析):(I) f x 的最小正周期为 , x 0 65(II)因为 x , ,所以2x 12 ,0,于是 2 6 6当2x 0,即 x 时, f x 取得最大值 0; 6 12当2x,即 x 时, f x 取得最小值 3.6 2 33 3 cos 2 x 25.(2023 天津)已知函数 f x cos x sinx , x R .34(Ⅰ)求 f x 的最小正周期; 4 4 (Ⅱ)求 f x 在闭区间 , 上的最大值和最小值.13 3 1 = sin2x 3(解析)(Ⅰ)由已知, f (x ) = sin cos x xcos 2 x cos 2x 22 4 4 41= sin(2x ) ,2 32所以 f (x ) 的最小正周期T . 2(Ⅱ)∵ x, 4 45 t 2x ∴, 6 3 61 2由 y sin t 的图像知,-1 sin(2x ) 31 1 ∴ f (x ) ,2 4∴函数 f (x ) 在闭区间 , 1 -1 2 上的最大值为 ,最小值为 4 . 4 42 f x3 sin x 0,x的图像关于直线26.(2023 重庆)已知函数 对称,且图 23象上相邻两个最gao 点的距离为 .(I)求 和 的值;324 62 3 32 fcos 的值. ,求 (II)假设 (解析):(I)因 f x 的图象上相邻两个最gao 点的距离为 ,所以 f x 的最小正周期 T ,从而22 .又因 f x 的图象关于直线x 对称, T 3所以2 k ,k 0, 1, 2, ,因得k 0.32222 所以 . 23 6236 1 (II)由(I)得 f 3 sin 2,所以sin . 2 6 4 42 由得0 , 6 3 6 26 61 215 4 所以 cos 1 sin 2 1 4.3 2 6 6因此cossin sin 66sin cos cos sin6 6 13 15 13 15 =. 4 2 4 2 83f (x )3 sin 2 x sin x cos x ( 0) y f (x ) ,且 的图象的一个对称 27.(2023 山东)设函数 2中心到最近的对称轴的距离为 . 4(Ⅰ)求 的值;3 f (x ) 在区间 ,]上的最大值和最小值.(Ⅱ)求 2 3(解析)(1) f (x ) =3 sin 2ωx -sin ωx cos ωx 23 1 cos 2 x 1 sin 2 x = 3 1 π 3=3 cos 2ωx - sin 2ωx = sin 2 x . 2 2 2 2 2 π因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ,42π 2 π又ω>0,所以=4 .因此ω=1. 4π 3(2)由(1)知 f (x ) = sin 2x .3π 2 5π 3 π 8π 3 π 3.所以 sin 2x 1 当π ≤x ≤时, ≤ 2x, 3 3 2 3 因此-1≤ f (x ) ≤. 23π故 f (x ) 在区间 π,3 上的最大值和最小值分别为 ,-1. 224 28. (2023 天津)已知函数 f (x ) 2 sin 2x 6sin x cos x 2 cos 2 x 1, x R .(Ⅰ) 求 f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求 f (x )在区间 0, 上的最大值和最小值.2π π (解析)(1) f (x ) = 2 sin 2x · cos 2cos 2x sin +3sin 2x -cos 2x 4 4π 4=2sin 2x -2cos 2x =2 2sin 2x .2π2所以, f (x ) 的最小正周期 T ==π.3π (2)因为 f (x ) 在区间 0, 3π π8 2 上是增函数,在区间 , 上是减函数. 83π 8 π2 又 f (0)=-2, f2 2 , f 2 , π 故函数 f (x ) 在区间 0, 上的最大值为2 2 ,最小值为-2.2329.(2023 湖南)已知函数 f x cosx cos x 2 f ()的值; (1)求 314f (x )(2)求使 成立的 x 的取值集合.1 2 3 1 1 4(解析)(1) f (x ) cos x (cos x cos sin x sin3) (sin 2x cos 2x )32 2 1 1 2 13 1 1 2 14 sin(2x ) f ( ) sin .所以f ( ) .2 6 43 2 24 4 3(2)由(1)知,11 1 f (x ) sin(2x ) sin(2x ) 0 (2x ) (2k ,2k )2 6 4 4 6 67 7x (k,k ),k Z .所以不等式的解集是:(k ,k ),k Z . 1212 12 12 2f (x )cos(2x ) sin x 2 30.(2023 安徽) 设函数 2 4(I)求函数 f (x ) 的最小正周期;(II)设函数 g (x ) 对任意 x R ,有 g (x ) g (x ),且当 x 0, ]时,2 21g (x ) f (x ) ; 求 g (x ) 在 , 0]上的解析式.22 1 1 1f (x )cos(2x ) sin 2 x cos 2x sin 2x (1 cos 2x ) (解析)2 4 2 2 21 1sin 2x . 2 22(I)函数 f (x ) 的最小正周期T. 21 1 (Ⅱ)当 x 0, ]时, g (x ) f (x ) sin 2x .2 221 1 当 x ,0时,(x ) 0, ], g (x ) g (x ) sin 2(x ) sin 2x2 2 2 2 2 2 21 1 当 x , ) 时,(x ) 0, ) , g (x ) g (x ) sin 2(x ) sin 2x2 2 2 21sin 2x ( x 0) 2 2 得:函数 g (x ) 在 ,0]上的解析式为 g (x ). 1 sin 2x ( x )22f (x ) A sin( x ) 1 A 0, 0 31.(2023 陕西)函数 ()的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间 6的距离为. 2f (x ) (1)求函数 的解析式; (0, ) f ( ) 2,求 的值.(2)设 ,则 2 2(解析)(Ⅰ)∵函数 f (x ) 的最大值是 3,∴A 1 3,即 A 2 .∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期T ,∴ 2. 2f (x ) 2sin(2x ) 1 故函数 f (x ) 的解析式为. 61 2f ( ) 2 s in( ) 1 2 sin( ) (Ⅱ)∵ ,即 ,∴ , 2 6 6 ∵0 ,∴,故 . 2 6 6 3 6 6 32 (x ).32.(2023 山东)设 (Ⅰ)求 f (x ) 的单调区间;(Ⅱ)在锐角△ ABC 中,角 A , B ,C ,的对边分别为a ,b ,c ,假设 f ( ) 0,a 1,求△ ABC 面积的最f (x ) sin x cos x cos 4A 2大值.1 cos(2x )1 1 1 12 (解析)(Ⅰ)由题意 f (x ) sin 2x sin 2x sin 2x2 2 2 2 2 1sin 2x .2由 2k 2x 2k ( k Z ),可得 k x k ( k Z ); 2 2 4 43 3 由 2k 2x2k ( k Z ),得 k x k ( k Z ); 2 2 4 4所以 f (x )的单调递增区间是 k , k ( k Z ); 443单调递减区间是 k ,k ]( k Z ). 4 4A 1 1 (Ⅱ) f ( ) sin A 0, sin A ,2 223 由题意 A 是锐角,所以 cos A. 2由余弦定理:a 2 b 2 c 2 2bc cos A ,可得1 3bc b 2 c 2bc21bc2 3 ,且当b c 时成立.2 32 3 2 3bc sin A .ABC 面积最大值为 . 4 4f (x ) sin( x )( 0,0)的周期为 ,图像的一个对称中心为 ( ,0),33.(2023福建)已知函数 4f (x ) 将函数 图像上的全部点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移 个单位长 2g (x ) 度后得到函数 的图像.(1)求函数f (x ) 与g (x )的解析式;x ( , ) (2)是否存在 ,使得 f (x ), g (x ), f (x )g (x ) 按照某种顺序成等差数列?假设存在,请确定6 4x 0 的个数;假设不存在,说明理由.a nF (x ) f (x ) ag (x ) 在(0,n )(3)求实数 与正整数 ,使得 内恰有 2023 个零点.f (x ) sin( x )0,得 2 的周期为 ,(解析)(Ⅰ)由函数y f (x ) ( ,0) (0, ), 又曲线 的一个对称中心为 4f ( ) sin(2 ) 0 ,得 f (x ) cos 2x 故 ,所以 4 4 2f (x )2y cos x图象上全部点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将将函数y cos x g (x ) sin x的图象向右平移 个单位长度后得到函数 2 x ( , )122 1 sin x ,0 cos 2x (Ⅱ)当 时, , 6 4 2 2 所以sin x cos 2x sin x cos 2x .在 问题转化为方程2cos 2x sin x sin x cos 2x ( , )内是否有解6 4设G (x ) sin x sin x cos 2x 2cos 2xx ( , ),6 4 G(x ) cos x cos x cos 2x 2 s in 2x (2 sin x ) 则x ( , ) G(x ) 0 G (x ) ( , ) 在 ,因为 ,所以 内单调递增6 4 6 41 42 G ( ) 0 G ( )0 又 , 6 4 2且函数G (x ) 的图象连续不断,故可知函数G (x ) 在( , ) 内存在唯—零点 x 0, 6 4x ( , ) 即存在唯—的 满足题意. 0 6 4F (x ) a sin x cos 2xF (x ) a sin x cos 2x 0,令(Ⅲ)依题意, 当sin x 0 ,即 x k (k Z ) 时, cos 2x 1,从而 x k (k Z ) cos 2xF (x ) 0不是方程的解,所以方程F (x ) 0x 等价于关于 的方程ax k (k Z ),sin x 现研究x (0, ) U ( ,2 ) 时方程解的情况cos 2x令h (x )x (0, ) U ( ,2 ) , sin xy a 与曲线y h (x ) 在x (0, ) U ( ,2 ) 的交点情况则问题转化为研究直线 2 x 1) 3 cos x (2sin h (x ) ,令 h (x ) 0 ,得 x x 或 . sin 2x2 2h (x )h (x )和变化情况如下表 x当 变化时, x33 3(0, )( , ) ( , )( ,2 ) 2 2 2 2 2 2h (x )h (x )0 010 Z]]1Zx 0 x h (x ) 趋向于当 且 趋近于 时,x x且 趋近于 时,h (x ) 趋向于 h (x ) 趋向于 当 当 当 x x且 趋近于 时,x 2 x 2 时,h (x ) 趋向于且 趋近于 故当a 1时,直线y a 与曲线 y h (x ) 在(0, ) 内有无交点,在( ,2 )a 1内有 个交点;当 时,2 y a y h (x ) 在(0, ) 2 内有 个交点,在 ( ,2 ) 1 a 1y a 时,直线 与直线 曲线 直线 与曲线 内无交点;当 y h (x ) 在(0, )2内有 个交点,在 ( ,2 ) 2内有 个交点由函数h (x ) 的周期性,可知当a 1时, y a y h (x ) 在(0,n )n y a 内总有偶数个交点,从而不存在正整数 ,使得直线 与曲线与曲线 y h (x ) 在(0,n ) 内恰有2023个交点;当a 1时,直线 y a 3个交点,由周期性,2023 3 671,所以n 671 2 1342y h (x ) 在(0, )U ( ,2 ) 与曲线 内有综上,当a 1,n 1342 时,函数F (x ) f (x ) ag (x ) 在(0,n ) 内恰有2023个零点 考点 44 三角函数的实际应用1.(2023 新课标Ⅰ,理 6)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线OA , 终边为射线OP ,过点 P 作直线OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线OP 的距离表示为 x 的函数 f (x ) , 则 y = f (x ) 在0, ]上的图像大致为()(答案)B(解析)如图:过 M 作 MD ⊥OP 于D,则 PM=sin x ,OM= cos x ,在 Rt OMP 中, OM PM cos x sin x 1 21sin 2x ,∴ f (x ) sin 2x (0 x ),选 B . MD=cos x sin x OP 1 2 2.(2023 陕西)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin( x ) k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为6A .5B .6C .8D .10(答案)C(解析)由图象知: y2 ,因为 y3 k ,所以 3 k 2,解得:k 5,所以这段时间水深的minmin 最大值是 y max 3 k 3 5 8 ,应选 C .3.(2023 新课标Ⅱ,理 16)设点 M( x 0 ,1),假设在圆 O :x 的取值范围是________. 2y 1上存在点 N ,使得∠OMN=45°,则 x 02 (答案) 1 x 0 1( 解 析 ) 由 图 可 知 点 M 所 在 直 线 y 1 与 圆 O 相 切 , 又 ON 1 , 由 正 弦 定 理 得 :ON OM1 OM sin ONM,∴ ,即:OM 2 sin ONM ,又∵0 ONM , sin OMN sin ONM2 2∴OM 2 ,即 x 0 1 2 ,解之: 1 x 0 12 4 .(2023 湖北) 某实验室一天的温度( 单位:℃) 随时间 t ( 单位:h) 的变化近似满足函数关系:π πf (t ) 10 3cos t sin t ,t 0, 24) .12 12 (Ⅰ)求实验室这一天上午 8 时的温度; (Ⅱ)求实验室这一天的最大温差.π π2π 3 2π 3(解析)(Ⅰ) f (8) 10 3cos ( 8) sin ( 8) 10 3cossin 12 12 13 10 3 ( ) 10 .2 2 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃.(Ⅱ)因为 f (t ) 10 2( cos t 1sin t ) =10 2sin( t π) ,3 π π π 2 12 2 12 12 3 π π π 7π 3 π π又0 t 24 ,所以 t 12 , 1 sin( t ) 1.3 3 12 3 π ππ π 当t 2 时,sin(t ) 1;当t 14 时,sin( t ) 1. 12 312 3于是f(t) 在0, 24) 上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最gao温度为12 ℃,最di温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.5.(2023 江苏)某农场有一块农田,如下图,它的边界由圆O的一段圆弧MPN( P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40 米,点P到MN的距离为50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为 .(1)用 分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sin 的取值范围;(2)假设大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3 .求当 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.(解析)(1)连结PO并延长交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10.过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以 COE ,故OE 40 c os ,EC 40sin ,则矩形ABCD的面积为2 40 cos (40sin 10) 800(4sin cos cos ) ,1CDP的面积为 2 40 cos (40 40sin ) 1600(cossin cos ) .2过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK KN 10.1 4令 GOK 0 ,则sin0 , (0, ) .0 6, ) 时,才能作出满足条件的矩形ABCD,当0 21所以sin 的取值范围是,1).4答:矩形ABCD的面积为800(4sin cos cos ) 平方米, CDP的面积为11600(cos sin cos ) ,sin 的取值范围是 ,1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ,乙的单位面积的年产值为3k (k 0) , 则年总产值为4k 800(4sin cos cos ) 3k 1600(cos sin cos )8000k (sin cos cos ) , , ) .0 2设 f ( ) sin cos cos ,, ) , 0 2f () cos 2 sin 2 sin (2sin 2 sin 1) (2sin 1)(sin 1) . 则 π 令 f () 0 ,得 , 6当 ( , )时, f ′( )>0,所以 f ( )为增函数;0 6当 ( , ) 时, f ′( )<0,所以 f ( )为减函数,6 2π因此,当 时, f ( )取到最大值.6π 答:当 时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.66.(2023 江苏)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm ,容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm ,容器Ⅱ的两底面对角线 EG , E G 的长分别为 14cm 和 62cm . 分 1 1 别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为 12cm . 现有一根玻璃棒l ,其长度为 40cm .(容器厚度、玻 璃棒粗细均忽略不计)(1)将l 放在 容器Ⅰ中,l 的一端置于点 A 处,另一端置于侧棱CC 1 上,求l 没入水中局部的长度; (2)将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点 E 处,另一端置于侧棱GG 1 上,求l 没入水中局部的长度.(解析)(1)由正棱柱的定义,CC 1 平面 ABCD , 所以平面 A ACC 平面 ABCD ,CC AC . 1 1 1 记玻璃棒的另一端落在CC 1 上点 M 处. 因为 AC 10 7 , AM 40.3MN 40 2 (10 7) 2 30,从而sin MAC .所以 4记 AM 与水平的交点为 P ,过 P 作 PQ AC ,Q 为垂足, 1 1 1 1 1 则 PQ 平面 ABCD ,故 PQ 12,1 1 1 1 P 1Q sin MAC1 从而 AP 1 16.答:玻璃棒 没入水中局部的长度为 16cm . l( 如果将“没入水中局部〞理解为“水面以上局部〞,则结果为 24cm)(2)如图,O ,O 是正棱台的两底面中心.1由正棱台的定义,OO ⊥平面EFGH ,1E 1EGG ⊥. EFGH ,OO EG1 所以平面 ⊥平面 1E 1EGG EFGH ,OO E 1G 同理,平面 ⊥平面 ⊥ .1 1 1 1 1 1 1 记玻璃棒的另一端落在GGN上点 处.1G GK E G K,1为垂足, 则GK =OO 1 =32. 过 作 ⊥ 1EG = 14 E G= 62 因为 , , 24 ,从而GG 1 KG 1 162 14 KG 2 1 GK 2 24 2 32 40 2 所以 = . 124 ∠EGG 1 ,∠ENG , sin sin( ∠KGG ) cos ∠KGG 设 则 . 1 1253 5因为,所以cos. 240 14 7 在△ENG 中,由正弦定理可得,解得sin . sin sin 2524 因为0 ,所以cos. 2 25于是sin ∠NEG sin( ) sin( ) sin cos cos sin4 24 3 7 3 5( ) . 5 25 5 25 EN P P 2PQ 2 EG ,Q P 2QEFGH⊥平面P Q,故=12,从而2 2记 与水面的交点为 ,过 作 为垂足,则 2 2 22 P 2Qsin ∠NEG2EP 20. = 2 答:玻璃棒 没入水中局部的长度为 20cm . (如果将“没入水中局部〞理解为“水面以上局部〞,则结果为 20cm)7.(2023 湖北)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t (单位: h )的变化近似满足函数关系:lπ πf (t ) 10 3cos t sin t ,t 0, 24) .12 12 (Ⅰ)求实验室这一天的最大温差; (Ⅱ)假设要求实验室温度不高于 ,则在哪段时间实验室需要降温?31 (解析)(Ⅰ)因为 f (t ) 10 2( cos t sin t ) 10 2sin( t ),2 12 2 12 12 37又0 t 24,所以 t , 1 sin( t ) 1, 3 12 3 3 12 3当t 2时,sin(t ) 1;当 t 14时,sin( t ) 1; 12 3 12 3于是 f (t )在0,24) 上取得最大值 12,取得最小值 8.故实验室这一天最gao 温度为12 C ,最di 温度为8 C ,最大温差为4 C (Ⅱ)依题意,当 f (t ) 11时实验室需要降温. 1由(Ⅰ)得 f (t ) 10 2 s in( t ),所以10 2 s in( t ) 11 ,即sin( t ) , 12 3 12 3 12 3 27 11又0 t 24,因此t,即10 t 18,故在 10 时至 18 时实验室需要降温. 6 12 3 6。
2020年高考数学(理数)选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数含答案
(理数)选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数一、选择题(本大题共20小题,共100.0分)1.若双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线x2+y2-4x+2=0所截得的弦长为2.则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过焦点F与抛物线C分别交于A,B两点,且直线l不与x轴垂直,线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),则S△AOB=()A. B. C. D.3.已知椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为M,上顶点为N,右焦点为F,若•=0,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.4.若直线x-my+m=0与圆(x-1)2+y2=1相交,且两个交点位于坐标平面上不同的象限,则m的取值范围是()A. (0,1)B. (0,2)C. (-1,0)D. (-2,0)5.已知P为双曲线C:(a>0,b>0)上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点,若|PF1|=|F1F2|,且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切,则C的渐近线方程为()A. B. C. D.6.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是()A. 若m∥α,n∥α,则m∥nB. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC. 若m∥α,n∥α,且m⊂β,n⊂β,则α∥βD. 若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n7.如图,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,且PA=AD,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为()A.B.C.D.8.已知正方体的棱长为1,平面α过正方体的一个顶点,且与正方体每条棱所在直线所成的角相等,则该正方体在平面α内的正投影面积是()A. B. C. D.9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=8,AD=6,异面直线BD与AC1所成角的余弦值为,则该长方体外接球的表面积为()A. 98πB. 196πC. 784πD.10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语,“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵,AC⊥BC,若A1A=AB=2,当阳马B-A1ACC1体积最大时,则堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积为()A.B.C.D.11.已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值为()A. B. C. D.12.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数f(x)的一个单调减区间为()A. B. C. D.13.△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=,b cos A=sin B,则A=()A. B. C. D.14.如图所示,函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象过点,若将f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度,然后再向上平移1个单位长度,所得图象对应的函数为g(x),则g(0)=()A. 1B. 1C. 1或1D.15.在△ABC中,AB+AC=8,BC=4,D为BC的中点,当AD长度最小时,△ABC的面积为()A. B. 4 C. D.16.若,则的大小关系为()A. B. C. D.17.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=,则函数g(x)=8f2(x)-6f(x)+1的零点个数为()A. 20B. 18C. 16D. 1418.设函数f(x)的定义域为R,满足2f(x+1)=f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=-x(x-1).若对任意x∈[m,+∞),都有,则m的取值范围是()A. B. C. D.19.已知曲线在区间内存在垂直于轴的切线,则的取值范围为()A. B. C. D.20.已知f(x)=(ax+ln x+1)(x+ln x+1)与g(x)=x2的图象至少有三个不同的公共点,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.答案和解析1.【答案】B【解析】解:双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为:bx+ay=0,圆x2+y2-4x+2=0即为(x-2)2+y2=2的圆心(2,0),半径为,双曲线的一条渐近线被圆x2+y2-4x+2=0所截得的弦长为2,可得圆心到直线的距离为:=1=,,解得:e==,故选:B.通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离,列出关系式,然后求解双曲线的离心率即可.本题考查双曲线的简单性质的应用,主要是离心率的求法,考查圆的方程的应用,考查计算能力.2.【答案】A【解析】【分析】如图所示,F(1,0).设直线l的方程为:y=k(x-1),(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点E(x0,y0).线段AB的垂直平分线的方程为y=-(x-5).直线l的方程与抛物线方程联立化为:ky2-4y-4k=0,利用根与系数的关系、中点坐标公式、可得E坐标.把E代入线段AB的垂直平分线的方程可得:k.再利用S△OAB==即可得出.本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【解答】解:如图所示,F(1,0).设直线l的方程为:y=k(x-1),(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点E(x0,y0).线段AB的垂直平分线的方程为:y=-(x-5).联立,化为:ky2-4y-4k=0,∴y1+y2=,y1y2=-4,∴y0=(y1+y2)=,x0=+1=+1,把E(,+1)代入线段AB的垂直平分线的方程:y=-(x-5).可得:=-(+1-5),解得:k2=1.S△OAB====2.故选:A.3.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用,向量的垂直,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.利用椭圆的性质,通过•=0,推出a、c关系,求解即可.【解答】解:椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为M(-a,0),上顶点为N(0,b),右焦点为F(c,0),若•=0,可知NM⊥NF,可得:a2+b2+b2+c2=(a+c)2,又a2=b2+c2,所以a2-c2=ac,即e2+e-1=0,e∈(0,1),解得e=,故选:D.4.【答案】D【解析】解:根据题意,圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径r=1,与x轴的交点为(0,0),(2,0),设B为(2,0);直线x-my+m=0,即x-m(y-1)=0,恒经过点(0,1),设A(0,1);当直线经过点A、B时,即m=-2,若直线与圆相交,且两个交点位于坐标平面上不同的象限,必有-2<m<0,即m的取值范围为(-2,0);故选:D.根据题意,分析圆的圆心与半径,进而可得圆与x轴的交点坐标为(0,0),(2,0),设交点(2,0)为B,求出同时过点(0,1)与(2,0)时的m值,结合直线与圆的位置关系即可得答案.本题考查直线与圆的位置关系,注意分析直线所过的定点,属于基础题.5.【答案】A【解析】解:设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M,则|OM|=a,OM⊥PF2,取PF2的中点N,连接NF2,由于|PF1|=|F1F2|=2c,则NF1⊥PF2,|NP|=|NF2|,由|NF1|=2|OM|=2a,则|NP|==2b,即有|PF2|=4b,由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,即4b-2c=2a,即2b=c+a,4b2-4ab+a2=b2+a2,4(c-a)=c+a,即3b=4a,则=.则C的渐近线方程为:.故选:A.设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M,取PF2的中点N,连接NF2,由切线的性质和等腰三角形的三线合一,运用中位线定理和勾股定理,可得|PF2|=4b,再由双曲线的定义和a,b,c的关系,计算即可得到渐近线方程.本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法.中位线定理和双曲线的定义是解题的关键.6.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.在A中,m与n相交、平行或异面;在B中,α与β相交或平行;在C中,α与β相交或平行;在D中,由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n.【解答】解:由m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,知:在A中,若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故A错误;在B中,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行,故B错误;在C中,若m∥α,n∥α,且m⊂β,n⊂β,则α与β相交或平行,故C错误;在D中,若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n,故D正确.故选D.7.【答案】C【解析】解:如图,取BC的中点G,连结FG,EG,则BD∥FG,通过异面直线所成角的性质可知∠EFG是异面直线EF与BD所成的角,设AD=2,则EF==,同理可得EG=,又FG==,∴在△EFG中,cos∠EFG==,∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为.故选:C.取BC的中点G,连结FG,EG,则BD∥FG,∠EFG是异面直线EF与BD所成的角,由此能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值.本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.8.【答案】B【解析】解:正方体的所有棱中,实际上是3组平行的棱,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,如图:所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面α时,满足平面α与正方体每条棱所成的角均相等,并且如图所示的正三角形,为平面α截正方体所形成的三角形截面中,截面面积最大者.因为正三角形的边长为,正方体ABCD-A1B1C1D1的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形(如图所示),可以看成两个边长为的等边三角形,所以正方体在平面α内的正投影面积是S=2×=.故选:B.利用正方体棱的关系,判断平面α所成的角都相等的位置,正方体ABCD-A1B1C1D1的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形,可以看成两个边长为的等边三角形,由此求出正方体在平面α内的正投影面积.本题考查直线与平面所成角的大小关系,考查空间想象能力以及计算能力,属于难题.9.【答案】B【解析】解:由题意建立如图所示的空间直角坐标系,DA为x轴,DC为y轴DD1为z轴,D为坐标原点,由题意知A(6,0,0),B(6,8,0),D(0,0,0),设D(0,0,a),则C1(0,8,a),∴=(6,8,0),=(-6,8,a),∴cos===,由题意可得:=,解得:a2=96,由题意长方体的对角线等于外接球的直径,设外接球的半径为R,则(2R)2=82+62+a2=196,所以该长方体的外接球的表面积S=4πR2=196π,故选:B.由题意建立空间直角坐标系,由异面直线的余弦值求出长方体的高,由题意长方体的对角线等于外接球的直径,进而求出外接球的半径,求出外接球的表面积.考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式,属于中档题.10.【答案】B【解析】解:设AC=x,BC=y,由题意得x>0,y>0,x2+y2=4,∵当阳马B-A1ACC1体积最大,∴V=×2x×y=xy取最大值,∵xy≤=2,当且仅当x=y=时,取等号,∴当阳马B-A1ACC1体积最大时,AC=BC=,以CA、CB、CC1为棱构造长方体,则这个长方体的外接球就是堑堵ABC-A1B1C1的外接球,∴堑堵ABC-A1B1C1的外接球的半径R==,∴堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积V==.故选:B.设AC=x,BC=y,由阳马B-A1ACC1体积最大,得到AC=BC=,由此能求出堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积.本题考查几何体的外接球的体积的求法,考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.11.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了根据角终边过点可得出角的正弦和余弦值,再利用二倍角公式计算可得,属于基础题.【解答】解:∵角的终边经过点,∴,∴.故选D.12.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,正弦型函数的性质的应用,考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题.利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果.【解答】解:函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,即:把函数的图象,向左平移个单位,即得到f(x)的图象,故:=sin(2x+),∴令:(k∈),解得:(k∈),当k=0时,,故选A.13.【答案】D【解析】解:∵a=,b cos A=sin B,∴b cos A=a sin B,∴由正弦定理可得sin A sin B=sin B cos A,∵B是三角形内角,sin B≠0,∴tan A=,∴由A是三角形内角,可得:A=.故选:D.利用正弦定理化简已知条件,通过三角形内角求解A的大小即可.本题考查正弦定理,同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用,考查计算能力和转化思想,属于基础题.14.【答案】A【解析】解:∵函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象过点,且在递减区间内,2×+φ=π+2k,,,∴φ=,f(x)=sin(2x+).若将f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度,可得y=sin(2x-+)=sin(2x+)的图象,然后再向上平移1个单位长度,可得y=sin(2x+)+1的图象.故所得图象对应的函数为g(x)=sin(2x+)+1,则g(0)=sin(0+)+1=1+,故选:A.根据函数的图象经过点,求得φ的值,再利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,从而求得g(0)的值.本题主要考查正弦函数的图象和性质,函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题.15.【答案】D【解析】解:在△ABC中,设AB=x,AC=y,AD=m,∠ADB=θ,则∠ADC=π-θ,在△ABD中,由余弦定理得:m2+4-4m cosθ=x2(1),在△ACD中,由余弦定理得:m2+4-4m cos(π-θ)=y2,即m2+4+4m cosθ=y2(2),由(1)(2)得:2m2+8=x2+y2,又x+y=8,所以2m2+8=(8-y)2+y2=2y2-16y+64,所以m2=y2-8y+28,所以当y=4时,m的最小值为,即AD长度的最小值为,此时AB=AC=BC=4,△ABC是等边三角形,易得其面积为.故选D.另解:由BC=4,AB+AC=8,则点A在以B,C为焦点,焦距2c=4,长轴长2a=8的椭圆上运动,易知当点A运动到短轴端点时,AD最短为,此时AD⊥BC,.故选:D.法一:由已知结合余弦定理及二次函数的性质可求面积的最小值;法二:由已知结合椭圆的定义及椭圆的性质可求面积的最小值.本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用,要注意解法二中椭圆定义的灵活应用.16.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数值的大小比较,考查指数函数、对数函数的性质,是基础题.对a、b、c三个数,利用指数函数、对数函数的性质进行估算,和0、1比较即可.【解答】解:,,,所以.故选B.17.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数与方程的关系,分段函数的应用,函数的解析式的应用,考查计算能力.利用分段函数画出函数的图象,利用数形结合转化求解即可.【解答】解:∵x∈(0,2]时,f(x)=(x-1)2,又,∴当x∈(0,+∞)时,即将f(x)在区间(0,2]图象依次向右移2个单位的同时再将纵坐标缩短为原来的倍,得到函数f(x)在(0,+∞)上的图象.关于y轴对称得到(-∞,0)的图象.如图所示:令g(x)=0,得或,即与两条直线截函数y=f(x)图象共16个交点,所以函数g(x)共有16个零点.故选:C.18.【答案】D【解析】解:作出当x∈(0,1]时,f(x)=-x(x-1)的图象,由2f(x+1)=f(x),可得将y=f(x)在(0,1]的图象向左平移1个,2个,3个单位,同时点的纵坐标伸长到原来的2倍,4倍,8倍,将y=f(x)在(0,1]的图象每向右平移1个,2个,3个单位,同时点的纵坐标缩短到原来的倍,倍,倍,作出直线y=,如图所示:对任意x∈[m,+∞),都有,可得只要找直线y=与f(x)(-2<x<-1)的右边的交点,由-4(x+1)(x+2)=,解得x=-(-舍去),则m≥-,故选:D.作出当x∈(0,1]时,f(x)=-x(x-1)的图象,由图象变换,作出y=f(x)的图象,以及直线y=,通过图象观察,解方程可得所求m的最小值.本题考查不等式恒成立问题解法,注意运用数形结合思想和图象变换,考查运算能力和观察能力、推理能力,属于中档题.19.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义,属于中档题.依题意可得在区间内有解,求出的值域即可得解.【解答】解:依题意,可得,即在区间内有解,设,由题意函数为增函数,且所以,故选D.20.【答案】B【解析】解:方程f(x)=g(x)即为(ax+ln x+1)(x+ln x+1)=x2,则方程至少有三个不相等的实根,令得t2+(a+1)t+a-1=0①,且,∴函数t(x)在(0,1)上单增,在(1,+∞)上单减,故t(x)max=t(1)=1,且t→+∞时,t(x)→0,∴方程①的两个根t1,t2的情况是:(i)若t1,t2∈(0,1),t1≠t2,则f(x)与g(x)的图象有四个不同的公共点,则,此时无解;(ii)若t1∈(0,1)且t2=1或t2=0,则f(x)与g(x)的图象有三个不同的公共点,则a无解;(iii)若t1∈(0,1)且t2<0,则f(x)与g(x)的图象有三个不同的公共点,令h(t)=t2+(a+1)t+a-1,则,解得.故选:B.依题意,方程至少有三个不相等的实根,令,利用导数研究函数t(x)的单调性及最值情况,再分类讨论得解.本题考查函数零点与方程根的关系,考查分类讨论思想,旨在锻炼学生的推理论证能力,属于中档题.。
2020高考数学核心突破《专题三 三角函数、解三角形与平面向量》(含往年真题分析)
专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象1.(1)要得到函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象,只需将函数g (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象( C ) A .向左平移π2个单位长度B .向右平移π2个单位长度C .向左平移π4个单位长度D .向右平移π4个单位长度(2) (2017·山西朔州模拟)函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为__-1__.突破点拨(1)先利用诱导公式将两函数化为同名三角函数,再利用平移法则求解. (2)先求函数f (x )的解析式,再利用解析式求最值. 解析 (1)因为f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2-π6 =sin ⎝⎛⎭⎫π6-2x =sin ⎝⎛⎭⎫2x +5π6=sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π4+π3, 所以要得到函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象,只需将函数g (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象向左平移π4个单位长度.故选C. (2)由函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象,可得A =2,14·2πω=5π6-7π12,解得ω=2.再根据图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12,0, 可得2·7π12+φ=π+2k π,k ∈Z .因为|φ|<π2,所以φ=-π6,故函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,所以2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-π6,5π6, 故函数f (x )的最小值为2×⎝⎛⎭⎫-12=-1. 2. 某同学用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)(2)将y =f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y =g (x )的图象.若y=g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12,0,求θ的最小值.突破点拨(1)由表中数据先写出A ,ω,φ的值,再由ωx +φ=0,π,2π,求出其余值. (2)写出函数y =g (x )的解析式,由y =sin x 图象的对称中心为(k π,0),k ∈Z ,利用整体思想建立关于θ的方程,根据k ∈Z 及θ>0,求出θ的最小值.解析 (1)根据表中已知数据,解得A =5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表.且函数表达式为f (x )=5sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. (2)由(1)知f (x )=5sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6, 得g (x )=5sin ⎝⎛⎭⎫2x +2θ-π6. 因为y =sin x 的对称中心为(k π,0),k ∈Z . 令2x +2θ-π6=k π,解得x =k π2+π12-θ,k ∈Z .由于函数y =g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12,0中心对称, 令k π2+π12-θ=5π12,解得θ=k π2-π3,k ∈Z . 由θ>0可知,当k =1时,θ取得最小值π6.(1)三角函数图象平移问题需注意三点:一是函数名称是否一致;二是弄清由谁平移得到谁;三是左右的平移是自变量本身的变化.(2)对于由三角函数的图象确定函数解析式的问题,一般由函数的最值可确定A ,由函数的周期可确定ω,由对称轴或对称中心和φ的范围确定φ.题型二 三角函数的性质1. 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫π2-x sin x -3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值; (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6,2π3上的单调性. 突破点拨(1)先将已知解析式化简,然后求解.(2)根据y =A sin(ωx +φ)+k (A >0,ω>0)与y =sin x 的关系求解. 解析 (1)f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫π2-x sin x -3cos 2x =cos x sin x -32(1+cos 2x ) =12sin 2x -32cos 2x -32=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3-32. 因此f (x )的最小正周期为π,最大值为2-32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6,2π3时,0≤2x -π3≤π,从而当0≤2x -π3≤π2,即π6≤x ≤5π12时,f (x )单调递增; 当π2<2x -π3≤π,即5π12<x ≤2π3时,f (x )单调递减.综上可知,f (x )在⎣⎡⎦⎤π6,5π12上单调递增;在⎝⎛⎦⎤5π12,2π3上单调递减. 2. 设函数f (x )=sin ωx +sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π2,x ∈R . (1)若ω=12,求f (x )的最大值及相应x 的集合;(2)若x =π8是f (x )的一个零点,且0<ω<10,求ω的值和f (x )的最小正周期.突破点拨(1)先用公式化简,再利用三角函数的性质求解. (2)将x =π8代入,求ω,则周期可求.解析 由已知得f (x )=sin ωx -cos ωx =2sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π4. (1)若ω=12,则f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫12x -π4. 又x ∈R ,则2sin ⎝⎛⎭⎫12x -π4≤2,所以f (x )max =2,此时12x -π4=2k π+π2,k ∈Z ,即f (x )取最大值时,x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =4k π+3π2,k ∈Z .(2)∵x =π8是函数f (x )的一个零点,∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω-π4=0,∴π8ω-π4=k π,k ∈Z . 又0<ω<10,∴ω=2,∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4,其最小正周期为π.求解函数y =A sin(ωx +φ)的性质的三种意识(1)转化意识:利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )=A sin(ωx +φ)的形式. (2)整体意识:类比y =sin x 的性质,只需将y =A sin(ωx +φ)中的“ωx +φ”看成y =sin x 中的“x ”,采用整体代入的方法求解.(3)讨论意识:当A 为参数时,求最值应分情况讨论.三角函数的综合应用【预测】 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2ωx -π6-4sin 2ωx +2(ω>0),其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度,得到的函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫-π3,0,求当m 取得最小值时,g (x )在⎣⎡⎦⎤-π6,7π12上的单调递增区间. 思维导航(1)解题导引:①先化简函数f (x )的解析式,再利用图象与x 轴相邻两个交点的距离是半个周期求解析式;②先求函数g (x )的解析式,再求在⎣⎡⎦⎤-π6,7π12上的单调递增区间. (2)方法指导:三角函数的综合应用主要是将三角函数的图象和性质与三角变换相结合,通过变换将函数化为y =A sin(ωx +φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意整体思想的应用.规范解答(1)函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2ωx -π6-4sin 2ωx +2 =32sin 2ωx -12cos 2ωx -4×1-cos 2ωx 2+2 =32sin 2ωx +32cos 2ωx =3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π3(ω>0). 根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2,可得函数f (x )的最小正周期为2×π2=2π2ω,得ω=1. 故函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数 g (x )=3sin ⎣⎡⎦⎤2(x +m )+π3=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +2m +π3的图象.根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫-π3,0, 可得3sin ⎝⎛⎭⎫-2π3+2m +π3=0, 即sin ⎝⎛⎭⎫2m -π3=0, 所以2m -π3=k π(k ∈Z ),m =k π2+π6(k ∈Z ).因为m >0,所以当k =0时,m 取得最小值,且最小值为π6.此时,g (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3. 令2k π-π2≤2x +2π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-7π12≤x ≤k π-π12,k ∈Z ,故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-7π12,k π-π12,k ∈Z . 结合x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,7π12,可得g (x )在⎣⎡⎦⎤-π6,7π12上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π6,-π12和⎣⎡⎦⎤5π12,7π12. 【变式考法】 已知向量a =(m ,cos 2x ),b =(sin 2x ,n ),函数f (x )=a·b ,且y =f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12,3和点⎝⎛⎭⎫2π3,-2. (1)求m ,n 的值;(2)将y =f (x )的图象向左平移φ (0<φ<π)个单位后得到函数y =g (x )的图象,若y =g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y =g (x )的单调递增区间.解析 (1)由题意,知 f (x )=a·b =m sin 2x +n cos 2x .因为y =f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12,3和⎝⎛⎭⎫2π3,-2, 所以⎩⎨⎧3=m sin π6+n cos π6,-2=m sin 4π3+n cos 4π3,即⎩⎨⎧3=12m +32n ,-2=-32m -12n ,解得m =3,n =1.(2)由(1)知f (x )=3sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6. 由题意知g (x )=f (x +φ)=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +2φ+π6. 设y =g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2),由题意知x 20+1=1,所以x 0=0,即y =g (x )的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2). 将其代入y =g (x )并整理得sin ⎝⎛⎭⎫2φ+π6=1, 因为0<φ<π,所以φ=π6.因此g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=2cos 2x . 由2k π-π≤2x ≤2k π,k ∈Z ,得k π-π2≤x ≤k π,k ∈Z ,所以函数y =g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-π2,k π,k ∈Z .1.(教材回归)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2 B .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2 C .y =sin 2x +cos 2xD .y =sin x +cos x解析 y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2=-sin 2x ,符合题意,故选A. 2.(2017·广西南宁质检)将函数y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象向左平移π6个单位长度后,得到f (x )的图象,则( B )A .f (x )=-sin 2xB .f (x )的图象关于直线x =-π3对称C .f ⎝⎛⎭⎫7π3=12D .f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12,0对称 解析 将函数y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象向左平移π6个单位长度,得到的图象对应的解析式为f (x )=cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π6+π3=cos ⎝⎛⎭⎫2x +2π3.函数f (x )的图象的对称轴满足2x +2π3=k π(k ∈Z ),即对称轴方程为x =k π2-π3(k ∈Z ),所以f (x )的图象关于直线x =-π3对称;令2x +2π3=k π+π2,得x =k π2-π12(k ∈Z ),即f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫-π12,0对称;f ⎝⎛⎭⎫7π3=-12.故选B. 3.(2017·湖北襄阳模拟)同时具有性质“①最小正周期是4π;②直线x =π3是图象的一条对称轴;③在区间⎝⎛⎭⎫2π3,5π6上是减函数”的一个函数是( D )A .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6B .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π6 C .y =cos ⎝⎛⎭⎫x 2+π3D .y =sin ⎝⎛⎭⎫x 2+π3解析 对于A 项,B 项,∵T =2π2=π,故A 项,B 项不正确.对于C 项,若直线x =π3为其图象的一条对称轴,则π3×12+π3=k π,k ∈Z ,得π2=k π,k ∈Z ,k 不存在,不满足题意,故C 项不正确.对于D 项,因为T =2π12=4π,且由x 2+π3=k π+π2,k ∈Z ,解得图象的对称轴方程为x =2k π+π3,k ∈Z ;当k =0时,x =π3为图象的一条对称轴.由2k π+π2≤x 2+π3≤2k π+3π2,k ∈Z ,解得单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π+π3,4k π+7π3,k ∈Z ,所以函数在区间⎝⎛⎭⎫2π3,5π6上是减函数,故D 项正确.故选D.4.(2017·山西晋中考前测试)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,将函数y =f (x )的图象向左平移4π3个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,则函数y =g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2,5π2上的最大值为( C )A .3B .332C.322D .22解析 由图象可知函数y =f (x )的周期为2⎝⎛⎭⎫7π3-π3=4π, ∴ω=12.又点⎝⎛⎭⎫π3,0,⎝⎛⎭⎫0,-32在函数y =f (x )的图象上, ∴⎩⎨⎧A sin ⎝⎛⎭⎫π6+φ=0,A sin φ=-32,且|φ|<π2.∴φ=-π6,A =3,则f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫12x -π6, ∴g (x )=3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x +4π3-π6=3cos 12x . 由x ∈⎣⎡⎦⎤π2,5π2,可得12x ∈⎣⎡⎦⎤π4,5π4,则3cos 12x ∈⎣⎡⎦⎤-3,322,即g (x )的最大值为322.5.(书中淘金)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y =a +A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x -6)(x =1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温为__20.5__℃.解析 依题意知,a =28+182=23,A =28-182=5,所以y =23+5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x -6),当x =10时,y =23+5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4=20.5. 答案 20.56.(高考改编)把函数y =sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y =f (x )的图象,对于函数y =f (x )有以下四个判断:①该函数的解析式为y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6;②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3,0对称;③该函数在⎣⎡⎦⎤0,π6上是增函数;④若函数y =f (x )+a 在⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为3,则a =2 3. 其中,正确判断的序号是__②④__.解析 将函数y =sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y =sin 2⎝⎛⎭⎫x +π6=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象,然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象,所以①不正确.f ⎝⎛⎭⎫π3=2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3+π3=2sin π=0,所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3,0对称,所以②正确.由-π2+2k π≤2x +π3≤π2+2k π,k ∈Z ,得-5π12+k π≤x ≤π12+k π,k ∈Z ,∴函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤-5π12+k π,π12+k π,k ∈Z ,而⎣⎡⎦⎤0,π6⃘⎣⎡⎦⎤-512π+k π,π12+k π(k ∈Z ),所以③不正确.y =f (x )+a =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3+a ,当0≤x ≤π2时,π3≤2x +π3≤4π3,所以当2x +π3=4π3,即x =π2时,函数取得最小值,y min =2sin 4π3+a =-3+a ,令-3+a =3,得a =23,所以④正确.所以正确的判断为②④.7.(考点聚焦)设函数f (x )=32-3sin 2ωx -sin ωx ·cos ωx (ω>0),且y =f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值;(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π,3π2上的最大值和最小值. 解析 (1)f (x )=32-3sin 2ωx -sin ωx cos ωx =32-3·1-cos 2ωx 2-12sin 2ωx =32cos 2ωx -12sin 2ωx =-sin ⎝⎛⎭⎫2ωx -π3=sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +2π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,又ω>0,所以2π2ω=4×π4.因此ω=1.(2)由(1)知f (x )=-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3. 当π≤x ≤3π2时,5π3≤2x -π3≤8π3,所以-32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3≤1. 因此-1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π,3π2上的最大值和最小值分别为32,-1. 8.(2018·山东青岛调考)已知函数f (x )=2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x +π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间; (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,求函数f (x )的值域. 解析 (1)f (x )=2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x +12cos x=3×1-cos 2x 2+12sin 2x=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+32. 函数f (x )的最小正周期为T =π. 由-π2+2k π≤2x -π3≤π2+2k π,k ∈Z ,解得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤-π12+k π,5π12+k π,k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,2x -π3∈⎣⎡⎦⎤-π3,2π3, sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3∈⎣⎡⎦⎤-32,1, 可得函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0,1+32. 9.(母题营养)已知函数f (x )=sin x cos x +12cos 2x .(1)若tan θ=2,求f (θ)的值;(2)若函数y =g (x )的图象是由函数y =f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到,且g (x )在区间(0,m )内是单调函数,求实数m 的最大值.解析 (1)因为tan θ=2,所以sin θ=2cos θ. 代入sin 2θ+cos 2θ=1,得cos 2θ=15.所以f (θ)=sin θcos θ+12cos 2θ=2cos 2θ+12(2cos 2θ-1)=3cos 2θ-12=110.(2)由已知得f (x )=12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. 依题意,得g (x )=22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π4+π4, 即g (x )=22sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4. 因为x ∈(0,m ),所以2x -π4∈⎝⎛⎭⎫-π4,2m -π4. 又因为g (x )在区间(0,m )内是单调函数,所以-π4<2m -π4≤π2,即0<m ≤3π8,故实数m的最大值为3π8.10.(母题营养)设函数f (x )=sin 2ωx +23sin ωx ·cos ωx -cos 2ωx +λ(x ∈R )的图象关于直线x =π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈⎝⎛⎭⎫12,1.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若y =f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4,0,求函数f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2上的值域. 解析 (1)因为f (x )=sin 2ωx +23sin ωx ·cos ωx -cos 2ωx +λ=-cos 2ωx +3sin 2ωx +λ=2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx -π6+λ,由直线x =π是y =f (x )图象的一条对称轴,可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ-π6=±1,所以2ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z ),即ω=k 2+13(k ∈Z ).又ω∈⎝⎛⎭⎫12,1,k ∈Z ,所以k =1,从而ω=56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y =f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4,0,得f ⎝⎛⎭⎫π4=0, 即λ=-2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2-π6=-2sin π4=-2, 即λ=- 2.故f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫53x -π6-2, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴53x -π6∈⎣⎡⎦⎤-π6,2π3, ∴函数f (x )的值域为[-1-2,2-2].1.函数f (x )=cos(w x +φ)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π-14,k π+34,k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π-14,2k π+34,k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k -14,k +34,k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k -14,2k +34,k ∈Z 解析 由题图可知T 2=54-14=1,所以T =2.结合题图可知,在⎣⎡⎦⎤-34,54(f (x )的一个周期)内,函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫-14,34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知,f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k -14,2k +34,k ∈Z ,故选D. 2.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2 B .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2 C .y =sin 2x +cos 2xD .y =sin x +cos x解析 y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2=-sin 2x 是奇函数,图象关于原点对称,且最小正周期为π,A 项正确.y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=cos 2x ,是偶函数,B 项错误.y =sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4,非奇非偶,C 项错误.y =sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,非奇非偶,D 项错误.故选A. 3.为了得到函数y =sin(2x +1)的图象,只需把函数y =sin 2x 的图象上所有的点( A ) A .向左平行移动12个单位长度B .向右平行移动12个单位长度C .向左平行移动1个单位长度D .向右平行移动1个单位长度 解析 ∵y =sin(2x +1)=sin 2⎝⎛⎭⎫x +12, ∴只需把y =sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y =sin(2x +1)的图象.故选A.4.将函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B .π2C.π4D .-π4解析 y =sin(2x +φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π8+φ=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+φ是偶函数,即π4+φ=k π+π2(k ∈Z )⇒φ=k π+π4(k ∈Z ),当k =0时,φ=π4,故选C.5.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫π6x +φ+k ,据此函数可知,这段时间水深的最大值为( C )A .5 mB .6 mC .8 mD .10 m解析 由题意可知,当sin ⎝⎛⎭⎫π6x +φ=-1时,函数取得最小值2,即3×(-1)+k =2,∴k =5.因此,函数的最大值是8,故水深的最大值为8 m.6.将函数y =3cos x +sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( B )A.π12 B .π6C.π3D .5π6解析 y =3cos x +sin x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3,向左平移m 个单位长度后得到y =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3+m ,由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3+m =±1,∴π3+m =k π+π2,k ∈Z ,∴m =k π+π6,k ∈Z ,又m >0,∴m 的最小值为π6.7.已知函数f (x )=A sin(w x +φ)(A ,w ,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x =2π3时,函数f (x )取得最小值,则下列结论正确的是( A )A .f (2)<f (-2)<f (0)B .f (0)<f (2)<f (-2)C .f (-2)<f (0)<f (2)D .f (2)<f (0)<f (-2)解析 ∵ω>0,∴T =2πω=π,∴ω=2.又A >0,∴f ⎝⎛⎭⎫2π3=-A , 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3+φ=-1,得φ+4π3=2k π+32π(k ∈Z ), 即φ=2k π+π6(k ∈Z ).又∵φ>0,∴可取f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6, ∴f (2)=A sin ⎝⎛⎭⎫4+π6, f (-2)=A sin ⎝⎛⎭⎫-4+π6,f (0)=A sin π6. ∵π<4+π6<3π2,∴f (2)<0.∵-7π6<-4+π6<-π,且y =sin x 在⎝⎛⎭⎫-7π6,-π上为减函数, ∴sin ⎝⎛⎭⎫-4+π6<sin ⎝⎛⎭⎫-7π6=sin π6,且sin ⎝⎛⎭⎫-4+π6>sin(-π)=0,从而有0<f (-2)<f (0).故有f (2)<f (-2)<f (0).故选A.8.将函数f (x )=sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2,有|x 1-x 2|min =π3,则φ=( D )A.5π12B .π3C.π4D .π6解析 g (x )=sin[2(x -φ)] =sin(2x -2φ). ∵|f (x )|≤1,|g (x )|≤1, ∴|f (x )-g (x )|≤2,当且仅当f (x 1)=1,g (x 2)=-1或f (x 1)=-1,g (x 2)=1时,满足|f (x 1)-g (x 2)|=2. 不妨设A (x 1,-1)是函数f (x )图象的一个最低点,B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点, 于是x 1=k 1π+3π4(k 1∈Z ),x 2=k 2π+π4+φ(k 2 ∈Z ).∴|x 1-x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4-⎝⎛⎭⎫π4+φ=⎪⎪⎪⎪π2-φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,|x 1-x 2|min =π3, ∴π2-φ=π3,即φ=π6,故选D. 9.已知函数f (x )=2sin x +φ2cos x +φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2,且对于任意的x ∈R ,f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6,则( C ) A .f (x )=f (x +π) B .f (x )=f ⎝⎛⎭⎫x +π2 C .f (x )=f ⎝⎛⎭⎫π3-xD .f (x )=f ⎝⎛⎭⎫π6-x解析 f (x )=sin(x +φ).由题意,可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立,即sin(x +φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6+φ.又因为|φ|<π2,所以π6+φ=π2,所以φ=π3,所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π3.f ⎝⎛⎭⎫π3-x =sin ⎝⎛⎭⎫π3-x +π3=sin ⎣⎡⎦⎤-⎝⎛⎭⎫π3+x +π=sin ⎝⎛⎭⎫x +π3=f (x ).故选C. 10.已知函数f (x )=3sin w x +cos w x (w >0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列,把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位,得到函数g (x )的图象.下列说法正确的是( D )A .g (x )在⎣⎡⎦⎤π4,π2上是增函数B .g (x )的图象关于直线x =-π4对称C .函数g (x )是奇函数D .当x ∈⎣⎡⎦⎤π6,2π3时,函数g (x )的值域是[-2,1]解析 f (x )=3sin ωx +cos ωx =2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6,由题意知T 2=π2,∴T =π,∴ω=2πT=2,∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位,得到g (x )=2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π6+π6=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=2cos 2x 的图象,易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4,π2上是减函数,其图象不关于直线x =-π4对称,所以A 项,B 项,C 项错误.当x ∈⎣⎡⎦⎤π6,2π3时,2x ∈⎣⎡⎦⎤π3,4π3,则g (x )min =2cos π=-2,g (x )max =2cos π3=1,即函数g (x )的值域为[-2,1],故选D.11.函数f (x )=2x -4sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,π2的图象大致是( D )解析 因为函数f (x )是奇函数,所以排除A ,B 项,f ′(x )=2-4cos x ,令f ′(x )=2-4cos x =0,得x =±π3,故选D.12.函数f (x )=A sin w x (A >0,w >0)的部分图象如图所示,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)的值为( A )A .2+2B .32C .62D .-2解析 由题图可知,A =2,T =8,2πω=8,ω=π4,∴f (x )=2sin π4x ,∴f (1)=2,f (2)=2,f (3)=2,f (4)=0,f (5)=-2,f (6)=-2,f (7)=-2,f (8)=0,而2 018=8×252+2,∴f (1)+f (2)+…+f (2 018)=f (1)+f (2)=2+ 2.故选A.第2讲 三角变换与解三角形题型一三角恒等变换1.(1)(2018·河南郑州模拟)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=( A )A.17 B .16C .57D .56(2) (2017·河北唐山中学模拟)已知α是三角形的内角,sin ⎝⎛⎭⎫α+π3=45,则cos ⎝⎛⎭⎫5π12-α=( D )A.210B .-210C .-7210D .7210突破点拨(1)注意到β=(α+β)-α,再结合已知条件求tan β的值. (2)注意到cos ⎝⎛⎭⎫5π12-α=-cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α+π3+π4,再实施运算. 解析 (1)tan β=tan[(α+β)-α] =tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)·tan α=12-131+12×13=17.故选A.(2)∵α是三角形的内角,sin ⎝⎛⎭⎫α+π3=45<32, ∴α+π3是钝角,∴cos ⎝⎛⎭⎫α+π3=-35,cos ⎝⎛⎭⎫5π12-α=-cos ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫5π12-α=-cos ⎝⎛⎭⎫712π+α=-cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α+π3+π4=-cos ⎝⎛⎭⎫α+π3·cos π4+sin ⎝⎛⎭⎫α+π3sin π4=7210.故选D. 2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6+α·cos ⎝⎛⎭⎫π3-α=-14,α∈⎝⎛⎭⎫π3,π2. (1)求sin 2α的值; (2)求tan α-1tan α的值. 突破点拨(1)利用诱导公式转化为二倍角公式,再利用同角三角函数基本关系式求解. (2)切化弦,转化为二倍角公式,再利用(1)的结论求解. 解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6+α·cos ⎝⎛⎭⎫π3-α =cos ⎝⎛⎭⎫π6+α·sin ⎝⎛⎭⎫π6+α=12sin ⎝⎛⎭⎫2α+π3=-14, 即sin ⎝⎛⎭⎫2α+π3=-12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3,π2,∴2α+π3∈⎝⎛⎭⎫π,4π3, ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α+π3=-32, ∴sin 2α=sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α+π3-π3=sin ⎝⎛⎭⎫2α+π3cos π3-cos ⎝⎛⎭⎫2α+π3sin π3=12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3,π2,∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3,π, 又由(1)知sin 2α=12,∴cos 2α=-32.∴tan α-1tan α=sin αcos α-cos αsin α=sin 2α-cos 2αsin α cos α=-2cos 2αsin 2α=-2×-3212=2 3.利用三角恒等变换公式解题的常用技巧(1)项的分拆与角的配凑:如sin 2α+2cos 2α=(sin 2α+cos 2α)+cos 2α,α=(α-β)+β等. (2)降幂与升幂:通过二倍角公式得到. (3)弦、切互化:一般是切化弦. 题型二 解三角形1. 已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B =2sin A sin C . (1)若a =b ,求cos B ;(2)设B =90°,且a =2,求△ABC 的面积. 突破点拨(1)根据正弦定理把已知条件转化为边的关系,然后利用余弦定理求解.(2)利用勾股定理得到边的一个方程,结合已知条件解方程组求得边长,然后求面积.解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2=2ac . 又a =b ,可得b =2c ,a =2c . 由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =14.(2)由(1)知b 2=2ac . 因为B =90°,由勾股定理得a 2+c 2=b 2,故a 2+c 2=2ac ,进而可得c =a = 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2=1.【变式考法】 (1)在本例条件下,求角B 的范围. (2)在本例条件下,若B =60°,b =2,求a 的值. 解析 (1)因为b 2=2ac ,所以cos B =a 2+c 2-b 22ac ≥2ac -2ac2ac =0,又因为0<B <π,所以0<B ≤π2.(2)因为b 2=2ac ,b =2,所以ac =1, 又因为b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以a 2+c 2=3, 所以a +c =5, 所以a =5+12或5-12. 2. △ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin ∠B sin ∠C; (2)若AD =1,DC =22,求BD 和AC 的长. 突破点拨(1)利用面积关系得边的关系,再利用正弦定理求解. (2)先利用面积比求BD ,再利用余弦定理求解. 解析 (1)S △ABD =12AB ·AD sin ∠BAD ,S △ADC =12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD =∠CAD ,所以AB =2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C =AC AB =12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC ,所以BD = 2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知 AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD cos ∠ADB , AC 2=AD 2+DC 2-2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6. 由(1)知AB =2AC ,所以AC =1.利用正、余弦定理解三角形的技巧解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理,正弦定理可以将角转化为边,也可以将边转化成角,当涉及边的平方关系时,一般利用余弦定理,要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式,灵活选用.有关解三角形的综合问题(1)求∠ACP ;(2)若△APB 的面积是332,求sin ∠BAP .思维导航(1)由已知条件选择余弦定理求得AP .(2)由三角形的面积和(1)结论解得PB ,再由余弦定理及正弦定理求得AB 和sin ∠BAP . 规范解答(1)在△APC 中,因为∠P AC =60°,PC =2,AP +AC =4, 由余弦定理得PC 2=AP 2+AC 2-2AP ·AC ·cos ∠P AC ,所以22=AP 2+(4-AP )2-2AP ·(4-AP )·cos 60°,整理得AP 2-4AP +4=0,解得AP =2,所以AC =2.所以△APC 是等边三角形,所以∠ACP =60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角,所以∠APB =120°.因为△APB 的面积是332,所以12AP ·PB ·sin ∠APB =332,所以PB =3.在△APB 中,AB 2=AP 2+PB 2-2AP ·PB ·cos ∠APB =22+32-2×2×3×cos 120°=19,所以AB =19.在△APB 中,由正弦定理得AB sin ∠APB =PBsin ∠BAP,所以sin ∠BAP =3sin 120°19=35738.【变式考法】 (2017·广州模拟)如图,在△ABC 中,∠ABC =30°,AB =3,AC =1,AC <BC ,P 为BC 右上方一点,满足∠BPC =90°.(1)若BP =2,求AP 的长; (2)求△BPC 周长的最大值.解析 由题意知1=AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos ∠ABC =3+BC 2-3BC ,解得BC =2(BC =1舍去,则∠CAB =90°.又∠BPC =90°,且BP =2,所以∠PBC =45°,从而∠ABP =75°.连接AP ,由余弦定理得AP =3+2-2×3×2×6-24=6+22. (2)由(1)可知BC =2或BC =1,又因为求△BPC 周长的最大值,所以BC =2,设BP =m ,PC =n ,则m 2+n 2=4.由于BC 长为定值,因此求△BPC 周长的最大值只需求BP +PC =m +n 的最大值即可. 又4=m 2+n 2≥(m +n )22,则m +n ≤22, 当且仅当m =n =2时取等号,此时△BPC 的周长取得最大值,为2+2 2.1.(教材回归)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( D ) A .-32B .32C .-12D .12解析 原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=12,故选D.2.(2017·“江南十校”模拟)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若C=2B ,则sin Bsin A=( D )A.c 2a 2+b 2-c 2 B .b 2a 2+b 2-c 2C.a 2a 2+b 2-c2 D .c 2a 2+c 2-b2解析 由已知,得sin C =sin 2B =2sin B cos B , 所以sin C sin B =2cos B .由正弦定理及余弦定理,得c b =2×a 2+c 2-b 22ac ,则b a =c 2a 2+c 2-b2. 再由正弦定理,得sin B sin A =c 2a 2+c 2-b 2,故选D.3.已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为__3__.解析 tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan α=17-(-2)1+17×(-2)=3.4.(2017·河南郑州调考)已知△ABC 中,角C 为直角,D 是边BC 上一点,M 是AD 上一点,且CD =1,∠DBM =∠DMB =∠CAB ,则MA =__2__.解析 如图,设∠DMB =θ,则∠ADC =2θ,∠DAC =π2-2θ,∠AMB =π-θ,∠ABM =π2-2θ,在Rt △ABC 中,cos θ=cos ∠CAB =ACAB ;在△CDA 中,由正弦定理得CD sin ⎝⎛⎭⎫π2-2θ=ACsin 2θ; 在△AMB 中,由正弦定理得MA sin ⎝⎛⎭⎫π2-2θ=ABsin (π-θ), ∴CD MA =AC ·sin θAB ·sin 2θ=AC ·sin θ2AB ·sin θcos θ=12,从而MA =2. 5.在△ABC 中,a =4,b =5,c =6,则sin 2Asin C=__1__.解析 在△ABC 中,由余弦定理的推论可得cos A =b 2+c 2-a 22bc =52+62-422×5×6=34,由正弦定理可知sin 2A sin C =2sin A cos A sin C =2a ·cos Ac =2×4×346=1.6.(书中淘金)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD解析 依题意有AB =600,∠CAB =30°,∠CBA =180°-75°=105°,∠DBC =30°,DC ⊥CB . ∴∠ACB =45°,在△ABC 中,由AB sin ∠ACB =CB sin ∠CAB ,得600sin 45°=CBsin 30°, 有CB =3002,在Rt △BCD 中,CD =CB ·tan 30°=1006, 则此山的高度CD =100 6 m.7.(考点聚焦)已知函数f (x )=2sin ωx +m cos ωx (ω>0,m >0)的最小值为-2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2=65,θ∈⎝⎛⎭⎫π4,3π4,求f ⎝⎛⎭⎫θ+π8的值. 解析 (1)易知f (x )=2+m 2sin(ωx +φ)(φ为辅助角), ∴f (x )min =-2+m 2=-2,∴m = 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π,∴2πω=π,∴ω=2.(2)由(1)得f (x )=2sin 2x +2cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2=2sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=65, ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=35, ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4,3π4,∴θ+π4∈⎝⎛⎭⎫π2,π,∴cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=-1-sin 2⎝⎛⎭⎫θ+π4=-45, ∴f ⎝⎛⎭⎫θ+π8=2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ+π8+π4=2sin ⎝⎛⎭⎫2θ+π2 =2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ+π4=4sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4 =4×35×⎝⎛⎭⎫-45=-4825. 8.(教材回归)在△ABC 中,已知AB =2,AC =3,A =60°. (1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.解析 (1)由余弦定理知,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =4+9-2×2×3×12=7,所以BC =7.(2)由正弦定理知sin C =AB BC ·sin A =2sin 60°7=217.因为AB <BC ,所以C <A ,所以C 为锐角, 则cos C =1-sin 2C =1-37=277. 因此sin 2C =2sin C ·cos C =2×217×277=437. 9.(2017·河北唐山二模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a 2+b 2=λab . (1)若λ=6,B =5π6,求sin A ;(2)若λ=4,AB 边上的高为3c6,求C . 解析 (1)已知B =5π6,a 2+b 2=6ab ,结合正弦定理得4sin 2A -26sin A +1=0,解得sin A =6±24. 因为0<A <π6,所以sin A <12,所以sin A =6-24.(2)由题意可知S △ABC =12ab sin C =312c 2,得12ab sin C =312(a 2+b 2-2ab cos C )=312(4ab -2ab cos C ). 从而有3sin C +cos C =2,即sin ⎝⎛⎭⎫C +π6=1. 又π6<C +π6<7π6,所以C =π3.10.(2017·山东淄博模拟)已知a ,b ,c 分别为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边,且a cos C +3a sin C -b -c =0.(1)求A ;(2)若a =2,求△ABC 面积的最大值.解析 (1)由a cos C +3a sin C -b -c =0及正弦定理, 得sin A cos C +3sin A sin C -sin B -sin C =0. 因为B =π-A -C ,所以3sin A sin C -cos A sin C -sin C =0. 易知sin C ≠0,所以3sin A -cos A =1, 所以sin ⎝⎛⎭⎫A -π6=12.又0<A <π,所以A =π3. (2)方法一 由(1)得B +C =2π3⇒C =2π3-B ⎝⎛⎭⎫0<B <2π3,因为a sin A =2sin π3=43, 所以由正弦定理得b =43sin B ,c =43sin C . 所以S △ABC =12bc sin A =12×43sin B ×43sin C ·sin π3=433sin B ·sin C =433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3-B =433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B +12sin 2B =sin 2B -33cos 2B +33=233sin ⎝⎛⎭⎫2B -π6+33.易知-π6<2B -π6<7π6, 故当2B -π6=π2,即B =π3时,S △ABC 取得最大值,最大值为233+33= 3.方法二 由(1)知A =π3,又a =2,由余弦定理得22=b 2+c 2-2bc cos π3,即b 2+c 2-bc =4⇒bc +4=b 2+c 2≥2bc ⇒bc ≤4,当且仅当b =c=2时,等号成立.所以S △ABC =12bc sin A =12×32bc ≤34×4=3,即当b =c =2时,S △ABC 取得最大值,最大值为 3.1.已知函数f (x )=2cos 2x -sin ⎝⎛⎭⎫2x -7π6. (1)求函数f (x )的最大值,并写出f (x )取最大值时x 的取值集合;(2)已知△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f (A )=32,b +c =2,求实数a的取值范围.解析 (1)f (x )=(1+cos 2x )-⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6-cos 2x sin 7π6 =1+32sin 2x +12cos 2x =1+sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6, ∴函数f (x )的最大值为2,当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6=1, 即2x +π6=2k π+π2,k ∈Z ,即x =k π+π6,k ∈Z 时取到.∴函数f (x )取最大值时x 的取值集合为x ⎪⎪⎭⎬⎫x =k π+π6,k ∈Z . (2)由题意,f (A )=sin ⎝⎛⎭⎫2A +π6+1=32, 化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A +π6=12. ∵A ∈(0,π),∴2A +π6∈⎝⎛⎭⎫π6,13π6, ∴2A +π6=5π6,∴A =π3.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2-2bc cos π3=(b +c )2-3bc .由b +c =2,知bc ≤⎝⎛⎭⎫b +c 22= 1,即a 2≥1,当b =c =1时取等号. 又由b +c >a ,得a <2, ∴a 的取值范围是[1,2).2.已知a ,b ,c 分别是△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边,且c =2,C =π3.(1)若△ABC 的面积等于3,求a ,b ; (2)若sin C +sin(B -A )=2sin 2A ,求A 的值. 解析 (1)∵c =2,C =π3,∴由余弦定理得4=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2-ab .∵△ABC 的面积等于3, ∴12ab sin C =3,∴ab =4, 联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 2+b 2-ab =4,ab =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =2.(2)∵sin C +sin(B -A )=2sin 2A , ∴sin(B +A )+sin(B -A )=4sin A cos A , ∴sin B cos A =2sin A cos A . ①当cos A =0时,A =π2;②当cos A ≠0时,sin B =2sin A ,由正弦定理得b =2a ,联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2-ab =4,b =2a ,解得⎩⎨⎧a =233,b =433,∴b 2=a 2+c 2,∵C =π3,∴A =π6.综上所述,A =π2或A =π6.3.(2017·浙江重点中学联考)已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若C =2B ,求证:cos A =3cos B -4cos 3B ;(2)若b sin B -c sin C =a ,且△ABC 的面积S =b 2+c 2-a 24,求角B .解析 (1)证明:∵C =2B ,∴A =π-3B , ∴cos A =cos(π-3B )=-cos(B +2B ) =-cos B cos 2B +sin B sin 2B =-cos B (2cos 2B -1)+2sin 2B cos B=cos B -2cos 3B +2cos B (1-cos 2B )=3cos B -4cos 3B , ∴cos A =3cos B -4cos 3B .(2)在△ABC 中,∵S =b 2+c 2-a 24,∴S =b 2+c 2-a 24=12bc sin A .由余弦定理知b 2+c 2-a 24=12bc cos A ,∴12bc cos A =12bc sin A ,∴tan A =1, 而A ∈(0,π),∴A =π4.∵b sin B -c sin C =a ,由正弦定理,得 sin 2B -sin 2C =sin A =22, ∴cos 2C -cos 2B = 2.∵2C =2π-2A -2B =3π2-2B ,∴-sin 2B -cos 2B =2,∴sin ⎝⎛⎭⎫2B +π4=-1. ∵B ∈(0,π),∴2B +π4=3π2,∴B =5π8.4.(2017·武汉武昌五月调研)已和函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0,12,且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0,π]上的单调递增区间;(2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,若f ⎝⎛⎭⎫A 2-cos A =12,bc =1,b +c =3,求a 的值.解析 (1)将⎝⎛⎭⎫0,12代入f (x )的解析式,得sin φ=12. 又因为0<φ<π2,所以φ=π6.又因为最小正周期T =π2×2=π,所以ω=2.所以函数f (x )的解析式为f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6. 因为x ∈[0,π], 所以π6≤2x +π6≤13π6,所以2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π6,π2或2x +π6∈⎣⎡⎦⎤3π2,13π6时,f (x )递增,即x ∈⎣⎡⎦⎤0,π6或x ∈⎣⎡⎦⎤2π3,π时,f (x )递增.所以函数f (x )在[0,π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0,π6,⎣⎡⎦⎤2π3,π. (2)由(1)知f ⎝⎛⎭⎫A 2=sin ⎝⎛⎭⎫A +π6,代入已知等式得 sin ⎝⎛⎭⎫A +π6-cos A =32sin A +12cos A -cos A =32sin A -12cos A =sin ⎝⎛⎭⎫A -π6=12, 所以A -π6=π6或5π6,即A =π3或A =π(舍去).又因为bc =1,b +c =3,由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A =b 2+c 2-bc =(b +c )2-3bc =6,所以a = 6. 5.(2018·山东青岛模拟)在△ABC 中,边a ,b ,c 的对角分别为A ,B ,C ,且b =4,A =π3,面积S =2 3. (1)求a 的值;(2)设f (x )=2(cos C sin x -cos A cos x ),将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象,求g (x )的单调增区间.解析 (1)在△ABC 中,∵S =12bc sin A ,∴23=12×4×c ×32,∴c =2.∴a =b 2+c 2-2bc cos A =16+4-2×4×2×12=2 3.(2)∵a sin A =b sin B ,即2332=4sin B,∴sin B =1, 又0<B <π,∴B =π2,∴C =π6,∴f (x )=2(cos C sin x -cos A cos x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x -π6, 将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),得到的图象对应的函数解析式为g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6, 令2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2(k ∈Z ),解得k π-π6≤x ≤k π+π3(k ∈Z ),故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π-π6,k π+π3(k ∈Z ). 6.(2018·辽宁协作体一模)设△ABC 是锐角三角形,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且(sin A -sin B )(sin A +sin B )=sin ⎝⎛⎭⎫π3+B sin ⎝⎛⎭⎫π3-B . (1)求角A 的值;(2)若AB →·AC →=12,a =27,求b ,c (其中b <c ).解析 (1)∵(sin A -sin B )(sin A +sin B )=sin ⎝⎛⎭⎫π3+B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3-B ,∴sin 2A -sin 2B =⎝⎛⎭⎫32cos B +12sin B⎝⎛⎭⎫32cos B -12sin B , 即sin 2A =34cos 2B -14sin 2B +sin 2B=34(cos 2B +sin 2B )=34, ∵角A 为锐角△ABC 的内角,∴sin A >0, ∴sin A =32,∴A =π3. (2)AB →·AC →=bc cos A =12,∴bc =24,又a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-3bc =(27)2, ∴b +c =10,又∵b <c ,∴b =4,c =6.第3讲 平面向量题型一 向量的概念及线性运算高考中常从以下角度命题:1. (1)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若(a+k c)∥(2b-a),则k=-1613.(2)如图,E为平行四边形ABCD的边DC的中点,F为△ABD的重心,且AB→=a,AD→=b,则FE→=23b+16a.突破点拨(1)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解.(2)利用向量加、减法的几何意义和重心公式求解.解析(1)因为(a+k c)∥(2b-a),又a+k c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,所以k=-1613.(2)由F为△ABD的重心,得AF→=23×12AC→=13(a+b).又AE→=AD→+DE→=b+12a,所以FE→=AE→-AF→=23b+16a.2.(1)在△ABC中,点M,N满足AM→=2MC→,BN→=NC→.若MN→=xAB→+yAC→,则x=12,y=-16.(2)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若m a+n b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为__-3__.突破点拨(1)画出图形,利用向量加减法则求解.(2)利用向量的坐标运算求解.。
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲副题03 解三角形(含答案)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破(按题号与考点编排)副题03 解三角形【副题考法】本副题考题形式为选择题、填空题,主要考查利用正弦定理、余弦定理、三角公式、三角 函数图象与性质解三角形边角及三角形的面积、解测量、航行等实际问题、求平面图形中的边角关系、求与三角形有关最值、取值范围等综合问题,难度为基础题和中档题,分值为5-12分.【副题回扣】1.三角形中的三角变换:(1)角的变换:因为在ABC ∆中,()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+,所以sin()sin A B C +=;cos()cos A B C +=-;tan()tan A B C +=-sin 2A B +=2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+; (2)三角形边、角关系定理及面积公式面积公式()()()11sin 22a S ah ab C rp p p a p b pc ====--- (r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半).(3)在ABC ∆中,熟记并会证明:,,A B C 成等差数列的充分必要条件是60B =︒;ABC ∆是正三角形的充分必要条件是,,A B C 成等差数列且,,a b c 成等比数列.2.要熟记如下知识: (1)正弦定理: 分类 内容定理2sin sin sin a b cR A B C===(R 是ABC ∆外接圆的半径)变形公式①2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =,②sin :sin :sin ::A B C a b c =, ③sin 2a A R =,sin 2b B R =,sin 2c C R= 解决的问题①已知两角和任一边,求其他两边和另一角,②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(2)在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也 较大,即在ABC ∆中,sin sin A B a b A B >⇔>⇔>.(3)在ABC ∆中,已知a ,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A =sin b A a b <<a b ≥a b > 解的个数一解 两解 一解一解(4)余弦定理分类 内容定理在ABC ∆中,有2222cos a b c bc A =+-;2222cos b a c ac B =+-;2222cos c a b ab C =+-变形公式222cos 2b c a A bc +-=;222cos 2a c b B ac +-=;222cos 2a b c C ab+-=解决的问题①已知三边,求各角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角【易错提醒】1. 已知三角形两边及一边对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一 解、两解或无解,要注意检验解是否满足“大边对大角”,避免增解.2 .注意隐含条件的挖掘;【副题考向】考向一 已知三角形中的边角关系解三角形【解决法宝】1.对已知三角形的边角关系解三角形问题,若所给条件即含边又含角,若含 边或含角的余弦的齐次式,则常用正弦定理将边化成角化成纯角问题,利用三角公式求角或把角化成边利用余弦定理求边或角.2.若条件给出三角形面积,则利用三角形面积公式化为边角问题处理.3.若以向量运算的形式给出条件,则利用向量运算的相关知识化为边角关系,再利用余弦 定理求解.4.在利用正弦定理解题时,注意利用大边对大角来判断所求角的范围.5.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性 质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.6.三角形中判断边、角关系的具体方法: (1)通过正弦定理实施边角转换; (2)通过余弦定理实施边角转换; (3)通过三角变换找出角之间的关系;(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论;(5)若涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解条件多的三角形,再逐 步求出其他三角形的边和角,其中往往用到三角形内角和定理,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组)求解.例1在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若2c a =,1sin sin sin 2b B a A a C -=, 则sin B 为( )A .74 B .34 C .73 D .13【分析】先用正弦定理将1sin sin sin 2b B a A a C -=化为纯边关系,再利用余弦定理求出角 B 的余弦,再用同角三角函数基本关系求出B 的正弦.【答案】A考向二利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题【解决法宝】对解平面图形中边角问题,若在同一个三角形,直接利用正弦定理与余弦定理求解,若图形中条件与结论不在一个三角形内,思路1:要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解;思路2:根据图像分析条件和结论所在的三角形,分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角,逐步建立未知与已知的联系.例2. 如图,平面四边形中,与交于点,若,,则A. B. C. D.【分析】延长到,使,利用向量运算可得出DEAP//,利用正弦定理建立关系式,求得角的大小,并用余弦定理求出的值【解析】设,则,延长到,使,连接DE,所以,依题意,所以,所以,由正弦定理得,两式相除得,所以,所以.在三角形中,由余弦定理得,在中,故,选.考向三 利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 【解决法宝】1.把握解三角形应用题的四步:①阅读理解题意,弄清问题的实际背景,根据题意画出示意图;②根据图形分析图中哪些量是已知量,哪些量是未知量,需要通过哪些量将未知与已知 沟通起来,将实际问题抽象成解三角形问题的模型;③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解;④将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念,并能将其化为三角形内角.例3【河南省商丘市一高2018届二模】一艘海监船在某海域实施巡航监视,由A 岛向正 北方向行驶80海里至M 处,然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N 处,再沿南偏东30°方向行驶303海里至B 岛,则,A B 两岛之间距离是 _________海里.【分析】首先作出辅助线连接AN 构造出三角形,然后在AMN ∆中连续两次运用余弦定 理可得出AN 和ANM ∠cos 的值,再由)150cos(cos 0ANM ANB ∠-=∠即可得出其余弦值,最后在ANB ∆中运用余弦定理即可得出所求的结果.【解析】连接AN ,则在AMN ∆中,应用余弦定理可得:80502805060cos 220⨯⨯-+=2AN ,即70=AN ;应用余弦定理可得:7170502807050cos 22=⨯⨯-+=∠2ANM ,所以在ANB ∆中,应用余弦定理可得70330270)330(cos 22⨯⨯-+=∠2BC ANB ;而7307021433sin 150sin cos 150cos )150cos(cos 000⨯⨯⨯=∠+∠=∠-=∠ANM ANM ANM ANB ,所以7307021433⨯⨯⨯70330270)330(22⨯⨯-+=2BC ,即70=AB ,故应填70 考向四 判定三角形性质【解题法宝】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法: 1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变 形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A B C π++=这个结论.3.如何利用余弦定理判定三角形的形状 由于cos A 与222b c a +-同号, 故当2220b c a +->时,角A 为锐角; 当2220b c a +-=时,三角形为直角三角形; 当2220b c a +-<时,三角形为钝角三角形. 例4 在中,若,且,则的形状为( ).A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 正三角形 【分析】由两角和正切公式,即可求出tan (A+B ),即tanC ,即可求出角C ,由即可求出B ,即可的出三角形形状.【解析】∵,∴.∴,. 由,即,∴或. 当时.,无意义.当时.,此时为正三角形,故选.【副题集训】 1.在中,角的对边分别是,已知, ,则( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】,所以,故选B 。
2020高考数学刷题首秧专题突破练3三角函数与其他知识的综合应用文含解析
专题突破练() 三角函数与其他知识的综合应用一、选择题.若()=,则(°)=( )..-.-.答案解析(°)=(°)=°=-°=-.故选..点从(,)点出发,沿圆+=按逆时针方向运动弧长到达点,则点的坐标为( ).(-,) .(-,-).(-,-) .(-,)答案解析弧长所对的圆心角为α==,设点的坐标为(,),∴==-,==.故选..有四个关于三角函数的命题::∃∈,+=;:∃,∈,(-)=-;:∀∈[,π],=;:=⇒+=.其中是假命题的是( ).,.,.,.,答案解析是假命题,∵∀∈,+=;是真命题,如==时成立;是真命题,∵∀∈[,π],≥,∴===;是假命题,=,=π时,=,但+≠.故选..△中,,,分别是角,,的对边,向量=(,-),=(,),∥且+=,则∠=( ).° .° .° .°答案解析∵∥,∴-=,即得=-,∴=°,∵+=,由正弦定理得+=,即=(+)=,≠得=,∴=°,=°--=°.故选..(·福州五校联考二)已知=-,=()-,=°°+°°,则实数,,的大小关系是( ).>> .>> .>> .>>答案解析因为=-==,=()-=-==,所以>,排除,;=°·°+°°=°°-°°=°==,所以>,所以>>.选..(·河北保定一模)国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为,大正方形的边长为,直角三角形中较小的锐角为θ,则θ+-θ+=( )....答案解析设直角三角形中较小的直角边长为,则+(+)=,解得=,所以θ==,θ==,θ+-θ+=θ-θ+θ=θ+θ=×+×=.故选..(·河南十所名校测试)已知函数()=ω+的两个极值点为α,β,且α-β=,则函数()在,上的最大值为( ).-...答案解析由题意得()的最小正周期为=π,所以ω=,即()=+,因为∈,,所以+∈,,所以()的最大值为.故选..(·江西吉安模拟)已知函数()=则函数()=的一个单调递增区间为( )....答案解析∵===π·-=,∴()==-=-,令π≤≤π+π,求得π≤≤π+,可得()的增区间为,∈,令=,可得增区间为.故选..(·山东济南二模)如图,半径为的圆中,,为直径的两个端点,点在圆上运动,设∠=,将动点到,两点的距离之和表示为的函数(),则=()在[,π]上的图象大致为( )答案解析由余弦定理,当≤≤π时,====,===,∴+=+=+,当π≤≤π时,===,===-,∴+=-=-.故选..(·南昌一模)函数()=(-π≤≤π)的图象大致为( )答案解析由(-)==-(),知函数()为奇函数,图象关于原点对称,排除;由于+->,≤≤π时,≥,所以()≥,排除;考查函数()=+-,则′()=--=,当>时,′()>,所以函数()在(,+∞)上单调递增,则<,且=在,上单调递增,所以<,排除.故选..(·湖南十校联考)已知函数()=+(∈),且(-+)+(-+)≤,则当≥时,的取值范围是( ).,.,.[,-] .,+∞答案解析函数()=+(∈)为奇函数,又′()=+≥,所以函数()在实数范围内单调递增,则(-+)≤(-+-),即(-)+(-)≤,当≥时表示的区域为半圆及其内部,令==,其几何意义为过点(-,)与半圆相交或相切的直线的斜率,斜率最小时直线过点(,),此时==,斜率最大时直线刚好与半圆相切,圆心到直线的距离==(>),解得=.故选..(·邯郸摸底)若函数()=恰有个零点,则实数的取值范围为( ).-,-∪,.-,-∪-,-∪,.-,-∪,.-,-∪-,-∪,答案解析令()=-,()=-,在同一坐标系中作出(),()在-π,上的图象,如图所示.()在-π,上的零点为-,-,;()在-π,上的零点为-,-,.由题()在-π,上恰有个零点,结合图象可知,当∈-,-∪-,-∪,时,满足题意.故选.二、填空题.(·湖南衡阳模拟)如图,圆与轴的正半轴的交点为,点,在圆上,且点位于第一象限,点的坐标为,-,∠=α,若=,则--的值为.答案解析由+-=及点在圆上,知圆为单位圆,所以△为正三角形,所以∠=,∠=-α,由三角函数定义知-α=,所以--=α-α=-α=..(·南昌二模)如图,有一块半径为,圆心角∠=的扇形展示台,展示台分成了四个区域:三角形,弓形,扇形和扇形(其中∠=∠),某次菊花展分别在这四个区域摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是元、元、元.为使预计日总效益最大,∠的余弦值应等于.答案解析由题知半径=,设∠=α,则日总效益为(α)=α×+×π-α×+×π×=α-α+π,而′(α)=α-,令′(α)=,可得α=,易知此时日总效益(α)取得最大值..(·河北唐山摸底)△的垂心在其内部,∠=°,=,则+的取值范围是.答案(,]解析因为△为锐角三角形,设∠=θ,且θ∈(°,°),所以=·θ=θ,=·(°-θ)=(°-θ),所以+=θ+(°-θ)=θ+θ-θ=(θ+°),又由θ∈(°,°),则θ+°∈(°,°),所以(θ+°)∈(,],即+的取值范围是(,]..(·河南一模)如图,,为扇形湖面的湖岸,现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区——区域Ⅰ和区域Ⅱ,点在上,∠=θ,∥,其中,半径及线段需要用渔网制成.若∠=,=,则所需渔网的最大长度为.答案解析由∥,∠=,∠=θ可得∠=θ,∠=,∠=-θ,在△中利用正弦定理可得=-θ,θ∈,,设渔网的长度为(θ),则(θ)=θ++-θ,∴′(θ)=--θ,∵θ∈,,则-θ∈,,令′(θ)=,则-θ=,-θ=,θ=.θ,,′(θ)+-(θ)极大值则(θ)∈,,故所需渔网的最大长度为.三、解答题.(·河北石家庄质检一)已知△的内角,,的对边分别为,,,且(-)=-.()求的值;()若=,且,,成等差数列,求△的面积.解()由(-)=-,可得+-=.∴=,即=.()∵=,=,∴==+-=(+)-,又,,成等差数列,由正弦定理,得+==,∴=-,∴=.由=,得=,∴△的面积△==××=..(·湖北八市联考)函数()=(ω+φ)ω>,φ<在它的某一个周期内的单调递减区间是,.将=()的图象先向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数记为().()求()的解析式;()设△的三边,,满足=,且边所对角为,若关于的方程()=有两个不同的实数解,求实数的取值范围.解()由题意得函数()的最小正周期=,且=-=,则=π,∴ω=,又×+φ=,φ<,∴φ=-.∴()=-,∴()=+.()∵=≥=(当且仅当=时,取等号),∴<≤,∴<+≤,则由图象可得<<..(·安徽六校联考二)△的三个内角,,所对的边分别为,,,满足+=.()求的大小;()若△为锐角三角形,求函数=-的值域.解()由+=,得+====,因为,,为△的内角,所以=,所以=.()因为++=π,=,所以+=,则=-=---=-+,又△为锐角三角形,所以<<,所以<+<,所以+∈-,,所以所求函数的值域为,..(·云南师大附中月考)在公比为的等比数列{}中,与的等差中项是.()求的值;()若函数=,φ<π的一部分图象如图所示,(-,),(,-)为图象上的两点,设∠=β,其中点与原点重合,<β<π,求(φ-β)的值.解()由题可知+=,又=,故=,∴=.()∵点(-,)在函数=的图象上,∴=.又∵φ<π,∴φ=.如图,连接,在△中,由余弦定理,得β===-.又∵<β<π,∴β=,∴φ-β=-,∴(φ-β)=-=-=-+..(·河南洛阳统考)如图,在平面四边形中,∠=∠=°.()若∠=°,=,且∥,求的长;()若=,求+的取值范围.解()依题有∠=°,在△中,由正弦定理知=,从而=.因为∥,故∠=∠,∠=∠.在△中,∠=°=∠,所以==.在△中,==.()在△中,易知+>=,由余弦定理知°=,整理知(+)-=·,由基本不等式知·≤.≤,解得+≤.故+的取值范围为(,].。
2020高考数学专题突破练3三角函数与其他知识的综合应用文含解析
专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用一、选择题1 .若 f (cos x ) = cos2 x ,则 f (sin15 ° )=( )A. 2 B . - 2 C .-畔 D .当2 2 2 2 答案 C解析 f (sin15 ° ) = f (cos75 ° ) = cos150°=- cos30°=-#.故选 C.224 n2.点P 从(2 , 0)点出发,沿圆x + y = 4按逆时针方向运动 —弧长到达点 Q 贝U 点Q的坐标为()A. ( -1,3) B . ( — 3,- 1)C. ( — 1, - 3) D . (— .3, 1) 答案 A4 n4 n32 n 2 n解析 〒弧长所对的圆心角为 a^—~ =-—,设点Q 的坐标为(x , y ) ,••• x = 2cos= 3 2 3 3 2 n —=-1, y = 2sin — = 3 .故选 A .3.有四个关于三角函数的命题:2X o2X o 1P 1: ? x o € R, sin — + cos ~ =㊁; p 2: ? X 。
, y 0 € R,sin(x 。
一 y 。
)= sin x 。
一 sin y °;/1 - cos2 xP 3: ? x € [0 , n ],、: ------- 2=sin x ;np 4: sin x = cos y ? x + y = 5.其中是假命题的是()A. P 1, P 4 B . P 2, P 4 C . P 1 , P 3 D . P 3, P 4答案 A解析 p 1是假命题,I ? x € R, sin 2+ cos 2= 1; p 2是真命题,如x = y = 0时成立;p s是真命题, ? n ] , sin x >0, 1—cos2x 寸r-=\;sin 2x = |sin x | = sin x ; p 4是假命n n 题,x= —, y= 2 n 时,sin x= cos y, 但x + y^~^ .故选A.4. △ ABC中, a, b, c 分别是角A, B, C 的对边,向量p= (1 , —3) , q = (cos B, sin B), p // q 且b cos C+ c cos B= 2a sin A,则/ C=( )A. 30°B. 60° C . 120° D . 150°答案A解析T p / q,「.一3cos B= sin B,即得tan B=—3,••• B= 120°,T b cos C+ c cos B= 2a sin A,由正弦定理得sin B cos C+ sin C cosB= 2sin A,2 1 , 即sin A= sin( B+ C) = 2sin A, sin A^0 得sin A= —, •A= 30°, C= 180°—A— B= 30°.故选A.一 1 15. (2018 •福州五校联考二)已知a = 2—-, b= (2log23) — - , c= cos50° cos10° +3 2cos140° sin 170 °,则实数a, b, c的大小关系是()A. a>c>b B . b>a>c C . a>b>c D . c>b>a答案C1 11 11 1 111 11解析因为a= 2 — 3 = 23 = 46 b= (2log23) — - = 3—勺=匝=质,所以a>b,排除B,D; c = cos50°・cos10°+ cos140° sin 170 ° = sin40 ° cos10°—cos40° sin10 ° = sin30 °1 11=2= 42,所以b>c,所以a>b>c.选C.6. (2018 •河北保定一模)国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果n 小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为0,则sin 0 +~2 n—cos 0 + —=( )A.10 4 —3.、310C.-4 + 3占 D - 4-3 也10 . 10答案A2 2 2解析设直角三角形中较小的直角边长为a,则a + (a+ 2)= 10 ,解得a= 6,所以sin 063 84 n n 1 3 13 =三,cos e =乔=三,s in e+ =— cos e + ^ = cos e — ^ cos e+ 甘 sin e = a cos e +--= 10 510 5 2 3 2 2 2 2sin n7. (2018 •河南十所名校测试 )已知函数f (x ) = 2sin 3 x + —的两个极值点为a , 3 ,n na — 3 | min = 2,则函数f ( x )在0,㊁上的最大值为()A. — 3 B . 1 C . 3 D . 2答案 D解析 由题意得f (x )的最小正周期为 T =n,所以3= 2,即f (x ) = 2si n2x +n,因为n n n 4 n0, 2,所以2x + 3,—厂,所以f (x )的最大值为2.故选D.n cos x , x <0,)已知函数f (x )=f(X —n J, x >0,答案 Ann=Sin2 x — ~ =— cos2x ,令 2k n <2x <2 k n+ n ,求得 k n <x < k n + ~,可得 g (x )的增k € z ,令k = 0,可得增区间为 o 七 .故选A.9. (2018 •山东济南二模)如图,半径为1的圆O 中,代B 为直径的两个端点,点 P 在 圆上运动,设/ BO = x ,将动点P 到A , B 两点的距离之和表示为 x 的函数f (x ),则y = f (x ) 在[0 , 2n ]上的图象大致为()x€ & (2018 •江西吉安模拟则函数 g (x ) = sin J 2x -f年的一个单调递增区间为()73n D . I 5 n4,~4 解析「f2f = f —3=n • cos —nn=nn ,二 g (x )=s“区间为|k n, k n +1 4 e= 2X5+ |=咛.故选A. 2x — f答案 A 解析—X X . 由f ( — x ) = e+ e e sin X=— f (x ),知函数f (x )为奇函数,图象关于原点对 称,排除B ;由于e x + e —x > 0, 0w x w n 时,sin x 》0,所以f (x ) >0,排除D;考查函数g (x )答案 A解析 由余弦定理,当 O w x w n 时,PB^ ^m^2cosx21 _cos x 尸\^ 2X 2sin gx=2sin 2,PA= 1 + 1 -2cos n -x = 2 1 + cos x =x 2COS2xX 厂 X n••• PB+ PA= 2sin 尹 2cos^= 2 2sin ㊁ + 才,,21+ cos x =— 2cos x ,x x 厂• PB^ PA= 2sin — 2cos^ = 2 2sinx n-—4 .故选A. 10. (2018 •南昌一模)函数 f (x )=- —(—n w x wn )的图象大致为(X— X=e + e ,则 tg (X) =e 2x —1,当x >0时,g '(x ) >0,所以函数g (x )在(0,+3g )上单调递增,则v g-n ,且y = sin x 在0, n 2上单调递增,所以f n_ v f n ,排除C.故 选A.2211. (2019 •湖南十校联考)已知函数 f (x ) = x + sin x (x € R),且 f (y - 2y + 3) + f (x —4x +1) w 0,则当y 》l 时,x :吕的取值范围是(C. [1 , 3 2 — 3] D .害+^ 答案 A解析 函数f (x ) = x + sin x (x € R)为奇函数,又f '( x ) = 1 + cos x >0,所以函数 f (x )在实数范围内单调递增,则 f (x 2— 4x +1) w f ( — y 2 + 2y — 3),即(x — 2)2 + (y — 1)2 w 1,当 y >1答案 B11 n 2 n 5 n 一 3 U — 12,n n u 一 12n12, 一 63B.A. 1, 3 B . 4 414,1时表示的区域其几何意义为过点(—1, 0)与半圆相交或相切的直线的斜率,斜率最小时直线过点(3 , 11),此时 k min = = 3 — f 一 I A14,斜率最大时直线刚好与半圆相切,圆心到直线的距离 d = | - f 2十| ■ = 1( k >0),解得k max = 3 .故选A .Q k +1412. (2018 •邯郸摸底)若函数sin2 x — -jn, — n w x v m ,f (x ) = cos2 x — nn,恰有4个零点,则实数 m 的取值范围为A. 11 n"72 C.11 n 12 —n u n ,6 12'D. 11 n 12,2n 5 n 12,n n解析令g(x) = sin2 x —石,h(x) = cos2x—石,在同一坐标系中作出g(x) , h(x)在—3n , -2上的图象,如图所示.—~6U 12, ~3时,满足题意.故选B-6 12 3二、填空题13. (2019 •湖南衡阳模拟)如图,圆0与x 轴的正半轴的交点为 A 点C, B 在圆0上, 且点C 位于第一象限,点 B 的坐标为4,一 |,Z AOC= a ,若| BQ = 1,贝U 3cos 2a — sin a5 5 y2 2cos -2 —申的值为 _________ .答案35 4232解析 由T 2+^2= 1及点B 在圆O 上,知圆O 为单位圆,所以△ OCB 为正三角形,所以5 5 / BOC= n, / AOB= n— a ,由三角函数定义知 sin n— a = 3,所以,3cos 2—— sin —cos -3 3 3 5 2 22\/3 寸3 1 n3 —cos a — _sin a = sin — a =二.22235g ( X )在一 n , —上的零点为一nh ( x )在一 n ,—上的零点为一11 n125 n n ;~V2,2n可Tt nn由题f (X )在—n , 2上恰有4个零点,结合图象可知,当m€11 n "7F ,2n5 n72,1/2 n14. (2018 •南昌二模)如图,有一块半径为20 m,圆心角/ AOB=-y的扇形展示台,展示台分成了四个区域:三角形OCD弓形CMD扇形AOC和扇形BOD其中/ AOC=Z BOD,某次菊花展分别在这四个区域摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜•预计这三种菊花展示带来的日效益分别是50元/m2、30元/m2、40元/m2.为使预计日总效益最大,/ COD 的余弦值应等于_________ .答案11 2 a解析由题知半径r = 20 ,设/ CO& a,则日总效益为f ( a ) = r sin a x 50+2 2 n2 n——a2 1 2 .3 2 16000X n r ——r sin a x 30+ x n r x 40= 4000sin a ——2000 a + n,而f '(a )=2 2 n 314000cos a —2000,令f '( a ) = 0,可得cos a =㊁,易知此时日总效益f ( a )取得最大值.15. (2018 •河北唐山摸底)△ ABC的垂心H在其内部,/ A= 60°, AH= 1,贝U BH+ CH的取值范围是_________ .答案(.3, 2](:b.1解析因为△ ABC为锐角三角形,设/BAH= 0 ,且0 € (0 ° , 60° ),所以BH2AH-sin0 = 2sin 0 , CH= 2AH- sin(60 ° -0 )=2sin(60 ° - 0 ),所以B卅CH= 2sin 0 + 2sin(60 ° - 0 ) = 2sin 0 + 子cos 0 ——* sin 0 = 2sin( 0 + 60° ),又由0 € (0 ° , 60° ),则0 + 60°€ (60 ° , 120° ),所以2sin( 0 + 60° ) € ( 3, 2],即BH+ CH的取值范围是(.3, 2].16. (2018 •河南一模)如图,OA OB为扇形湖面OAB的湖岸,现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区一一区域I和区域n,点C在AB上,/ CO= 0 , CD/ OA其中瓦,n半径OC及线段CD需要用渔网制成.若/ AOB=§,OA= 1,则所需渔网的最大长度为 ___________n 0 -— 0,6 n"6n n ^6 ,亏f '(0)+0 一f ( 0)极大值三、解答题17. (2018 •河北石家庄质检一)已知△ ABC 的内角A B, C 的对边分别为a , b , c ,且 223(a — c ) = b — 4ac .(1) 求cos B 的值; (2) 若b =13,且sin A sin B, sin C 成等差数列,求△ ABC 的面积.223解⑴由(a — c ) = b — ac ,4 5可得 a + c — b = ac .4答案n解析 由 CD/ OA / AOB=T ,/ CO A 0 可得/OCD0,/ OD G 營,/ C0A nn -0,在△ OCD^利用正弦定理可得 CD= 2-sin 才—0 ,0 € 0,设渔网的长度为f ( 0 ),nC0S32,••• f,(0) = —3n n \J 3 n n € 0, y ,令 f '( 0 ) = 0,贝 U cosy —0=2 , 3 — 0 =石,则 f ( 0 ) = 0 + 1 + 纟sin 吕书3n故所需渔网的最大长度为n + 6 + 2 ”; 3〒a + c —b 5 卄_ 5=,即cos B= 7.2ac 8 85⑵■/ b = 13, cos B = 8,2225/• b = 13= a + c --ac = (a + c )4由 cos B = 5,得 sin B =—I98 81 1ABC 的面积 Si\ABC = ^ac sin B = x 12xn18. (2018 •湖北八市联考)函数f (x )= sin( 3 x +0 ) 3 >0, | 0 |<三在它的某一个周期CA A内的单调递减区间是 右, 话.将y = f (x )的图象先向左平移 才个单位长度,再将图象上 1所有点的横坐标变为原来的 戸纵坐标不变),所得到的图象对应的函数记为g (x ).(1) 求g ( x )的解析式;(2) 设厶ABC 的三边a , b , c 满足b 2= ac ,且边b 所对角为x ,若关于x 的方程g (x ) = k 有两个不同的实数解,求实数k 的取值范围.2 n解(1)由题意得函数f (x )的最小正周期T = ,3L ,T11 n 5 n n …. 且;= —T^" = = ,贝卩 T = n ,. 3 = 2, 2 12 12 2,, 5 n nn 又 sin2 x 乜 + 0 = 1, | 0 |<y , . 0 =—亍.nn.f (x ) = sin2 x ——,二 g (x ) = sin4 x + —.2 2 . 2a + c —b 2ac — ac 1n⑵cos x =2ac》"a 2ac _ = 2(当且仅当 a = c 时,取等号),.0<x <nn , .n<4x +n<琴,则由图象可得2<k <1.6 6 2 219. (2018 •安徽六校联考二)△ ABC 勺三个内角 A B , C 所对的边分别为a , b , c ,满13汙,又sin A, sin B, sin C 成等差数列, 由正弦定得 a + c = 2b = 2 13, 1313= 52 — ac ,439 3 39 "V = 4(1)求A 的大小;⑵ 若厶ABC 为锐角三角形,求函数 y = 2sin 2B- 2cos B cos C 的值域.tan A tan B 2c解⑴由1+笔=菩tan B b/曰 sin A cos B sin (A + B ) sin C 2c 2sin C 得1+ cos A sin B—cos A sin B — cos A sin B —b — sin B ,因为A, B, CABC 的内角, 1 n所以cos A = 2,所以A = y .2⑵因为 A + B + C = n , A = 3,所以 B + C ^-,3322 n3 n则 y = 2sin B — 2cos B cos C = 1 — cos2B — 2cos B cos= — B= - — sin2 B +$,3 2 6 又厶ABC 为锐角三角形,所以肴<衣2,所以 sin2 B +nn€ — 2, 1,6 2 1所以所求函数的值域为 2, 2.20. (2018 •云南师大附中月考)在公比为2的等比数列{a n }中,比与a 5的等差中项是9 3. (1)求a 1的值;⑵ 若函数y = |a 1|sin i^x + 0 , | $ |< n 的一部分图象如图所示,M — 1,1 a^) , N3 ,—| a 1|)为图象上的两点, 设/ MPI 4 3 ,其中点P 与原点O 重合,0<B <n ,求tan( $ — 3 ) 的值.解 (1)由题可知a 2+ a 5= 18 3, 又 a 5= 8a 2,故 a 2= 2<3,二 a=3.⑵■/点M — 1, I a 1|)在函数y = | a|sin 1-4X + $的图象上,所以 n <2B + n <2 6 7n "6又••• | $ |< n ,• $ =手.| PM2+ | PN2T MN2cos 3 =— 5 n n又•••0< 3 < n ,• 3 ==,• $ — 3 =—12,n••• tan( $ —3 ) = —tan 他=—tan21. (2018 •河南洛阳统考)如图,在平面四边形ABDC K/ CAD=/ BAD= 30°.(1)若/ ABC= 75°, AB= 10,且AC/ BD 求CD的长;⑵若BC= 10,求AO AB的取值范围.解(1)依题有/ ACB= 45°,从而CB= 5 ,6.因为AC/ BD 故/ CAD=Z ADB / ACB=Z CBD在厶ABD中/ ADB= 30°=/ BAD所以DB= AB= 10.在厶BCD中CD= p CB+ DB—2CB・ DE bos45°= 5寸10 - 4\/3.⑵在厶ABC中,易知AO AB>BC= 10,2整理知(AB+ AC —100 = 3AB- AC由基本不等式知AB- AC K AB+ AC2如图,连接MN在厶MPNL由余弦定理,得4+ 12—28_ 2 .2| PM PN|在厶ABC中,由正弦定理知_10sin45CBsin60 ° ,由余弦定理知cos60°=AB+ AC—100 ~2AB- AC ,2AB+ ACAB^ AC —1003解得A聊AC< 20.故A內AC的取值范围为(10, 20].。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》真题汇编含解析
新高考数学《三角函数与解三角形》专题解析一、选择题1.已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于( )A B .35-C .45D .35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简,得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析:∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22225ααααα++=+=-65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+, ∴2π4co (s 35)α+=. 故选:C 【点睛】本题考查三角恒等变换,化简求值,重点考查转化与变形,计算能力,属于基础题型.2.函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象( ) A .向右平移3π个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变得到 B .向右平移6π个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变得到 C .向左平移3π个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12,横坐标不变得到D .向左平移6π个单位,再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12,横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】合并cos2y x x =-得:2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用平移、伸缩知识即可判断选项。
【详解】由cos2y x x =-得:2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将它的图象向左平移6π个单位, 可得函数2sin 22sin 2666y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象, 再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12,横坐标不变得到:sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象. 故选:D 【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移、伸缩变换,考查了两角差的正弦公式,属于中档题。
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专题突破练(3) 三角函数与其他知识的综合应用一、选择题1.若f (cos x )=cos2x ,则f (sin15°)=( ) A .12 B .-12 C .-32 D .32 答案 C解析 f (sin15°)=f (cos75°)=cos150°=-cos30°=-32.故选C . 2.点P 从(2,0)点出发,沿圆x 2+y 2=4按逆时针方向运动4π3弧长到达点Q ,则点Q的坐标为( )A .(-1,3)B .(-3,-1)C .(-1,-3)D .(-3,1) 答案 A解析 4π3弧长所对的圆心角为α=4π32=2π3,设点Q 的坐标为(x ,y ),∴x =2cos2π3=-1,y =2sin 2π3=3.故选A .3.有四个关于三角函数的命题:p 1:∃x 0∈R ,sin 2x 02+cos 2x 02=12;p 2:∃x 0,y 0∈R ,sin(x 0-y 0)=sin x 0-sin y 0; p 3:∀x ∈[0,π],1-cos2x2=sin x ; p 4:sin x =cos y ⇒x +y =π2.其中是假命题的是( )A .p 1,p 4B .p 2,p 4C .p 1,p 3D .p 3,p 4 答案 A解析 p 1是假命题,∵∀x ∈R ,sin 2x2+cos 2x2=1;p 2是真命题,如x =y =0时成立;p 3是真命题,∵∀x ∈[0,π],sin x ≥0,∴1-cos2x 2=sin 2x =|sin x |=sin x ;p 4是假命题,x =π2,y =2π时,sin x =cos y ,但x +y ≠π2.故选A .4.△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,向量p =(1,-3),q =(cos B ,sin B ),p ∥q 且b cos C +c cos B =2a sin A ,则∠C =( )A .30°B .60° C.120° D.150° 答案 A解析 ∵p ∥q ,∴-3cos B =sin B ,即得tan B =-3,∴B =120°,∵b cos C +c cos B =2a sin A ,由正弦定理得sin B cos C +sin C cos B =2sin 2A ,即sin A =sin(B +C )=2sin 2A ,sin A ≠0得sin A =12,∴A =30°,C =180°-A -B =30°.故选A .5.(2018·福州五校联考二)已知a =2-13,b =(2log23)-12,c =cos50°cos10°+cos140°sin170°,则实数a ,b ,c 的大小关系是( )A .a >c >bB .b >a >cC .a >b >cD .c >b >a 答案 C解析 因为a =2-13=1213=1416,b =(2log23)-12=3-12=1312=12716,所以a >b ,排除B ,D ;c =cos50°·cos10°+cos140°sin170°=sin40°cos10°-cos40°sin10°=sin30°=12=1412,所以b >c ,所以a >b >c .选C .6.(2018·河北保定一模)国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,则sin θ+π2-cos θ+π3=( )A .4+3310B .4-3310C .-4+3310D .-4-3310答案 A解析 设直角三角形中较小的直角边长为a ,则a 2+(a +2)2=102,解得a =6,所以sin θ=610=35,cos θ=810=45,sin θ+π2-cos θ+π3=cos θ-12cos θ+32sin θ=12cos θ+32sin θ=12×45+32×35=4+3310.故选A .7.(2018·河南十所名校测试)已知函数f (x )=2sin ωx +π3的两个极值点为α,β,且|α-β|min =π2,则函数f (x )在0,π2上的最大值为( )A .- 3B .1C . 3D .2 答案 D解析 由题意得f (x )的最小正周期为T =π,所以ω=2,即f (x )=2sin2x +π3,因为x ∈0,π2,所以2x +π3∈π3,4π3,所以f (x )的最大值为2.故选D . 8.(2018·江西吉安模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧πcos x ,x <0,f (x -π),x ≥0,则函数g (x )=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x -f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的一个单调递增区间为( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,πC .⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,3π4D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4,5π4 答案 A 解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-π=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=π·cos-π3=π2,∴g (x )=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x -f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3=sin2x -π2=-cos2x ,令2k π≤2x ≤2k π+π,求得k π≤x ≤k π+π2,可得g (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π,k π+π2,k ∈Z ,令k =0,可得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2.故选A .9.(2018·山东济南二模)如图,半径为1的圆O 中,A ,B 为直径的两个端点,点P 在圆上运动,设∠BOP =x ,将动点P 到A ,B 两点的距离之和表示为x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,2π]上的图象大致为( )答案 A解析 由余弦定理,当0≤x ≤π时,PB =1+1-2cos x =2(1-cos x )=2×2sin2x2=2sin x2, PA =1+1-2cos (π-x )=2(1+cos x )=2cos x2,∴PB +PA =2sin x 2+2cos x 2=22sin x 2+π4,当π≤x ≤2π时,PB =1+1-2cos (2π-x ) =2(1-cos x )=2sin x2,PA =1+1-2cos (x -π)=2(1+cos x )=-2cos x 2,∴PB +PA =2sin x 2-2cos x 2=22sin x 2-π4.故选A .10.(2018·南昌一模)函数f (x )=(e x+e -x)sin xe2(-π≤x ≤π)的图象大致为( )答案 A解析 由f (-x )=(e -x+e x)sin (-x )e 2=-f (x ),知函数f (x )为奇函数,图象关于原点对称,排除B ;由于e x +e -x>0,0≤x ≤π时,sin x ≥0,所以f (x )≥0,排除D ;考查函数g (x )=e x+e -x,则g ′(x )=e x -e -x=e 2x-1ex ,当x >0时,g ′(x )>0,所以函数g (x )在(0,+∞)上单调递增,则g π4<g π2,且y =sin x 在0,π2上单调递增,所以f π4<f π2,排除C .故选A .11.(2019·湖南十校联考)已知函数f (x )=x +sin x (x ∈R ),且f (y 2-2y +3)+f (x 2-4x +1)≤0,则当y ≥1时,yx +1的取值范围是( )A .14,34B .14,1 C .[1,32-3] D .13,+∞答案 A解析 函数f (x )=x +sin x (x ∈R )为奇函数,又f ′(x )=1+cos x ≥0,所以函数f (x )在实数范围内单调递增,则f (x 2-4x +1)≤f (-y 2+2y -3),即(x -2)2+(y -1)2≤1,当y ≥1时表示的区域为半圆及其内部,令k =y x +1=yx -(-1),其几何意义为过点(-1,0)与半圆相交或相切的直线的斜率,斜率最小时直线过点(3,1),此时k min =13-(-1)=14,斜率最大时直线刚好与半圆相切,圆心到直线的距离d =|2k -1+k |k 2+1=1(k >0),解得k max=34.故选A . 12.(2018·邯郸摸底)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧sin2x -π6,-π≤x <m ,cos2x -π6,m ≤x ≤π2恰有4个零点,则实数m 的取值范围为( )A .-11π12,-π6∪π12,π3B .-11π12,-2π3∪-5π12,-π6∪π12,π3C .-11π12,-π6∪π12,π3D .-11π12,-2π3∪-5π12,-π6∪π12,π3答案 B解析 令g (x )=sin2x -π6,h (x )=cos2x -π6,在同一坐标系中作出g (x ),h (x )在-π,π2上的图象,如图所示.g (x )在-π,π2上的零点为-11π12,-5π12,π12; h (x )在-π,π2上的零点为-2π3,-π6,π3. 由题f (x )在-π,π2上恰有4个零点,结合图象可知,当m ∈-11π12,-2π3∪-5π12,-π6∪π12,π3时,满足题意.故选B . 二、填空题13.(2019·湖南衡阳模拟)如图,圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ,点C ,B 在圆O 上,且点C 位于第一象限,点B 的坐标为45,-35,∠AOC =α,若|BC |=1,则3cos 2α2-sinα2cos α2-32的值为________.答案 35解析 由452+-352=1及点B 在圆O 上,知圆O 为单位圆,所以△OCB 为正三角形,所以∠BOC =π3,∠AOB =π3-α,由三角函数定义知sin π3-α=35,所以3cos 2α2-sin α2cosα2-32=32cos α-12sin α=sin π3-α=35.14.(2018·南昌二模)如图,有一块半径为20 m ,圆心角∠AOB =2π3的扇形展示台,展示台分成了四个区域:三角形OCD ,弓形CMD ,扇形AOC 和扇形BOD (其中∠AOC =∠BOD ),某次菊花展分别在这四个区域摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是50元/m 2、30元/m 2、40元/m 2.为使预计日总效益最大,∠COD 的余弦值应等于________.答案 12解析 由题知半径r = 20,设∠COD =α,则日总效益为f (α)=12r 2sin α×50+α2π×πr 2-12r 2sin α×30+2π3-α2π×πr 2×40=4000sin α-2000α+160003π,而f ′(α)=4000cos α-2000,令f ′(α)=0,可得cos α=12,易知此时日总效益f (α)取得最大值.15.(2018·河北唐山摸底)△ABC 的垂心H 在其内部,∠A =60°,AH =1,则BH +CH 的取值范围是________.答案 (3,2]解析 因为△ABC 为锐角三角形,设∠BAH =θ,且θ∈(0°,60°),所以BH =2AH ·sin θ=2sin θ,CH =2AH ·sin(60°-θ)=2sin(60°-θ),所以BH +CH =2sin θ+2sin(60°-θ)=2sin θ+32cos θ-12sin θ=2sin(θ+60°),又由θ∈(0°,60°),则θ+60°∈(60°,120°),所以2sin(θ+60°)∈(3,2],即BH +CH 的取值范围是(3,2].16.(2018·河南一模)如图,OA ,OB 为扇形湖面OAB 的湖岸,现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区——区域Ⅰ和区域Ⅱ,点C 在AB 上,∠COA =θ,CD ∥OA ,其中AC ,半径OC 及线段CD 需要用渔网制成.若∠AOB =π3,OA =1,则所需渔网的最大长度为________.答案π+6+236解析 由CD ∥OA ,∠AOB =π3,∠COA =θ可得∠OCD =θ,∠ODC =2π3,∠COD =π3-θ,在△OCD 中利用正弦定理可得CD =23sin π3-θ,θ∈0,π3,设渔网的长度为f (θ),则f (θ)=θ+1+23sinπ3-θ,∴f ′(θ)=1-23cos π3-θ,∵θ∈0,π3,则π3-θ∈0,π3,令f ′(θ)=0,则cos π3-θ=32,π3-θ=π6,θ=π6.则f (θ)∈2,π+6+236,故所需渔网的最大长度为π+6+236.三、解答题17.(2018·河北石家庄质检一)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且(a -c )2=b 2-34ac .(1)求cos B 的值;(2)若b =13,且sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,求△ABC 的面积. 解 (1)由(a -c )2=b 2-34ac ,可得a 2+c 2-b 2=54ac .∴a 2+c 2-b 22ac =58,即cos B =58.(2)∵b =13,cos B =58,∴b 2=13=a 2+c 2-54ac =(a +c )2-134ac ,又sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,由正弦定理,得a +c =2b =213,∴13=52-134ac ,∴ac =12.由cos B =58,得sin B =398,∴△ABC 的面积S △ABC =12ac sin B =12×12×398=3394.18.(2018·湖北八市联考)函数f (x )=sin(ωx +φ)ω>0,|φ|<π2在它的某一个周期内的单调递减区间是5π12,11π12.将y =f (x )的图象先向左平移π4个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数记为g (x ).(1)求g (x )的解析式;(2)设△ABC 的三边a ,b ,c 满足b 2=ac ,且边b 所对角为x ,若关于x 的方程g (x )=k 有两个不同的实数解,求实数k 的取值范围.解 (1)由题意得函数f (x )的最小正周期T =2πω,且T 2=11π12-5π12=π2,则T =π,∴ω=2, 又sin2×5π12+φ=1,|φ|<π2,∴φ=-π3.∴f (x )=sin2x -π3,∴g (x )=sin4x +π6.(2)∵cos x =a 2+c 2-b 22ac ≥2ac -ac 2ac =12(当且仅当a =c 时,取等号),∴0<x ≤π3,∴π6<4x +π6≤3π2,则由图象可得12<k <1. 19.(2018·安徽六校联考二)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,满足1+tan A tan B =2cb.(1)求A 的大小;(2)若△ABC 为锐角三角形,求函数y =2sin 2B -2cos B cosC 的值域.解 (1)由1+tan A tan B =2cb,得1+sin A cos B cos A sin B =sin (A +B )cos A sin B =sin C cos A sin B =2c b =2sin C sin B ,因为A ,B ,C 为△ABC 的内角, 所以cos A =12,所以A =π3.(2)因为A +B +C =π,A =π3,所以B +C =2π3, 则y =2sin 2B -2cos B cosC =1-cos2B -2cos B cos 2π3-B =32-sin2B +π6,又△ABC 为锐角三角形,所以π6<B <π2,所以π2<2B +π6<7π6,所以sin2B +π6∈-12,1,所以所求函数的值域为12,2.20.(2018·云南师大附中月考)在公比为2的等比数列{a n }中,a 2与a 5的等差中项是93. (1)求a 1的值;(2)若函数y =|a 1|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x +φ,|φ|<π的一部分图象如图所示,M (-1,|a 1|),N (3,-|a 1|)为图象上的两点,设∠MPN =β,其中点P 与原点O 重合,0<β<π,求tan(φ-β)的值.解 (1)由题可知a 2+a 5=183, 又a 5=8a 2,故a 2=23,∴a 1=3.(2)∵点M (-1,|a 1|)在函数y =|a 1|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x +φ的图象上,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4+φ=1. 又∵|φ|<π,∴φ=3π4. 如图,连接MN ,在△MPN 中,由余弦定理,得cos β=|PM |2+|PN |2-|MN |22|PM ||PN |=4+12-2883=-32. 又∵0<β<π,∴β=5π6,∴φ-β=-π12, ∴tan(φ-β)=-tan π12=-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-π6=-2+3. 21.(2018·河南洛阳统考)如图,在平面四边形ABDC 中,∠CAD =∠BAD =30°.(1)若∠ABC =75°,AB =10,且AC ∥BD ,求CD 的长;(2)若BC =10,求AC +AB 的取值范围.解 (1)依题有∠ACB =45°,在△ABC 中,由正弦定理知10sin45°=CB sin60°, 从而CB =56.因为AC ∥BD ,故∠CAD =∠ADB ,∠ACB =∠CBD .在△ABD 中,∠ADB =30°=∠BAD ,所以DB =AB =10.在△BCD 中,CD =CB 2+DB 2-2CB ·DB cos45°=510-43.(2)在△ABC 中,易知AC +AB >BC =10, 由余弦定理知cos60°=AB 2+AC 2-1002AB ·AC, 整理知(AB +AC )2-100=3AB ·AC ,由基本不等式知AB ·AC ≤AB +AC 22.(AB +AC )2-1003≤AB +AC 22, 解得AB +AC ≤20.故AB +AC 的取值范围为(10,20].。