1。6三角函数模型的简单应用修改版
1.6三角函数模型的简单应用
y 2 sin(2 x / 3)
例5. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y A sin( x ) b 似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 0 10 14 x 函数 y A sin( x ) b的半个周期 1 1 的图象， 所以，A 30 10 10, b 30 10 20 2 2 3 1 2 14 6 . 将x 6, y 10代入上式，解得＝ . 8 4 2
y 2
A
4
T
又T
2
(3) y 2 sin( x ) 2
A点的坐标为(
2sin(2
2
12
O
6
12
x
, 2)
2
12
) 2
sin( ) 1 6 2k , k Z
6 2
一般取：| |≤π 2k , k Z 3 y 2 sin( 2 x 2k )
1. 由图象求振幅A, b
y 2 sinx
y
5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x 3 2 1
O
5 1 最大值 最小值 A 2 2 2 b 5 1 最大值 最小值 3 y A sinx b 的A, b
y
最 大 值 最 小 值 A 2 4 ( 2) 3 2
10
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画 这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特 别注意自变量的变化范围.
1.6三角函数模型的简单应用
上述的变化过程中，哪些量在发生变化？
哪个是自变量？哪个是因变量？
探究一：根据相关数据进行三角函数拟合
例4 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的 现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况 下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮 时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与 水深关系表:
2.5
5.0
思考1：观察表格中的数据，每天水深 的变化具有什么规律性？
呈周期性变化规律.
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/ 米
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0 7.5
5.0
2.5
5.0
思考2：设想水深y y
是时间x的函数， 8
作出表中的数据对 6
应的散点图，你认 4
为可以用哪个类型
2 o
的函数来拟合这些
抽象
概括
三角函数模型
解析式 图形
1.6三角函数模型 的简单应用
教学目标:
能力目标：让同学们体验一些具有周期性变化规律 的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建 模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．
情感目标：让同学们切身感受数学建模的过程，体 验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发 学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养 学生勇于探索、勤于思考的精神。
时刻 0:00 3:00 6:00
水深/米 5.0 7.5 5.0
时刻 9:00 12:00 15:00
水深/米 2.5 5.0 7.5
时刻 18:00 21:00 24:00
水深/米 5.0 2.5 5.0
高一数学三角函数模型的简单应用
双胞胎兄弟！”耿直擦去刚才为已经过世的姥娘流下来的眼泪，和李尚武勾肩搭背坐到一把椅子上。耿英也和秀儿挤着坐到一把椅子上。 耿兰烧的水响锅了，郭氏取出茶杯和大碗小碗的各抓一小撮茶叶。水开了，耿兰用大铜勺舀了一一泡上凉着。大家继续流着高兴的眼泪说 笑着，有的随便端来茶水喝一些看着悄悄儿地坐在妻弟身边的那个十四、五岁的男娃儿和七、八岁的女娃儿，以及妻弟妹怀里抱着的小男 娃，耿老爹对妻弟和妻弟妹说：“都三个娃娃了啊！俺们走的时候，栋儿才五岁。看看，他现在已经长成半大小伙儿了哇！”妻弟拍拍大 儿子的背，高兴地说：“姐夫你的名字起得好，咱们栋儿不错，挺有出息的娃儿！”耿老爹笑着说：“哪里啊，是你们做爹娘的教育得好 哇！这女娃儿和二小子叫什么名字啊？”妻弟妹说：“姐夫你不在家，俺们就胡乱给起啦！”说着，她笑着伸手摸摸身边女儿的头，说： “这妞儿小的时候模样挺好看，俺们就叫她美妞儿！”又看看怀里抱着的小男娃，说：“二小子的名字是他哥哥给起的。栋儿说，‘姑父 不是说希望俺能成为什么栋梁嘛！俺叫郭栋，弟弟就叫郭梁哇！’”耿老爹还没有开口呢，耿英就赞赏地开始叫好了，大声说：“这两个 名字起得忒好啦！美妞儿小时候的模样俺没有见过，但现在的模样实在是太好看了啊！”说着，探身摸摸小表弟可爱的小脑袋，说：“还 有啊，光是郭（国）栋怎么行啊，郭家（国家）有栋梁才完美哪！”耿正也说：“能给弟弟起这样的名字，足以看得出来，俺们这大表弟 确实是很有思想哩！”直到这时候，当爷爷的才终于擦把老泪露出了笑容。33第百零九回 五道庙前父子见|（归心似箭七八天，故乡日近 怯怯行；苍天不负耿家人，五道庙前父子见。）耿正兄妹三人归心似箭七八天后，离家越来越近了。然而，他们急于回家见到亲人的心情， 却随着家的日益接近而变得越来越沉重起来„„近乡情更怯，不敢问来人！这句脍炙人口的古老诗句，兄妹三人算是体会到骨子里了。当 然，他们此时此刻所体会到的，主要是前半句，因为爹爹没有和他们一起回来，他们不敢回家了，他们实在无法面对娘和妹妹„„日思夜 想的家一天比一天接近了，但兄妹三人归家的步伐却一天比一天慢下来。原本两天就可以轻松走完的路程，到后来竟然三天也走不完 了„„连着几日来，兄妹三人的话越来越少，情绪一天比一天低落；尤其是耿英，经常默默地独自掉眼泪。就这样，到兄妹三人得以归家 那日，已经楞是给磨蹭到农历的三月初三了。耿英今儿个一上车就没有坐车棚里边，而是挤坐在哥哥和弟弟的中间，默不做声地张着一双 好看而又显得异常忧郁的大眼睛向前望着„„兄妹三人就这样挤坐着，默默地踏上回家的最后一程。俗话说，三月三，柳条
1.6三角函数模型的简单应用
作业
课本65页练习
例2、画出函数 | sinx | 的图象, y 并观察周 期性和奇偶性.
G S P
变式1、画出函数 sin | x | 的图象, y 并观察 周期性和奇偶性.
G S P
例3、设地球表面某地 正午太阳高度角为 , 为此时 θ δ 太阳直射纬度, 为该地的纬度值, 则这三个量之间 的关系是θ 90 0 | δ | .当地夏半年 取正值, δ 冬半
0 年取负值.若在北京地 区(纬度约为北纬40)的一幢
高为h0的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的 太阳全年不被前面的楼 房遮挡, 两楼的距离应不小 于多少.
h0Байду номын сангаас
230 26'
00
230 26' 400 A
B
C
小结
本 节 课 我 们 学 习 了 正、 负 角 角 和 零 角 的 概 念 ， 要 注如 果 角 的 终 意 边 在 坐 标 轴 上 ， 就 认这 个 角 不 属 为 于 任 何 象 限 ， 本 节 课重 点 是 学 习 的 终 边 相 同 的 角 的 表 示。 法 判断一个角是第几象限角的方法。 数 形 结 合 思 想 、 运 动化 观 点 的 应 用 变
§ 1.6 三角函数模型的 简单应用
引入
如果某种变化着的现象 具有周 期性, 那么它就可以借助三角 函数来 描述.
新课
例1、某地一天从 ~ 14时的温度变化曲线 6 近似满足如图函数 Asin(ωs ) b. y
(1)求这一天 ~ 14时的最大温差; 6
(2)求这段曲线的函 数解析式.
T/度 30
20
10
o
6
第一章 1.6 三角函数模型的简单应用
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解：(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设 y ＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为 12 分钟可知当 t＝6 时，摩 天轮第 1 次到达最高点， 即此函数第 1 次取得最大值， 所以 6ω π π ＝π，即 ω＝ ，所以 y＝40.5－40cos t(t≥0)． 6 6 (2)设转第 1 圈时，第 t0 分钟时距地面 60.5 米，
1由表中数据可知，函数y＝Acos ωt＋b的周期为12； 2由表可知最大值为1.5，最小值为0.5，可求A，b； 3由y>1可确定冲浪时间.
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由周期确定 ω→由最大值和最小值确 定 A，b→确定函数解析式→确定可冲 浪时间
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[活学活用] 某港口的水深 y(单位：m)是时间 t(0≤t≤24，单位：h)的函 数，下面是水深数据： t/h y/m 0 3 6 9 12 15 18 21 24
返回
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表 函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数 解析式． 2．三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”， 通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型， 最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
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3.由实际数据拟合函数
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[典例]
(12 分)已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间
t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各 时的浪高数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Acos ωt＋b.
1。6三角函数模型的简单应用
解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中 描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用 函数 y A sin(x ) h 刻画水深与时间的关系。
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从数据和图象可以得出： A=2.5，h=5，T=12， 由T
三角函数模型的简单应用
备注
①简单应用——学以致用，解决生活中的 实际问题 ②数学模型——具体的数学函数关系 ③三角函数模型——三角函数关系
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函数模型的应用示例
• 正弦型函数
• • • • • • • • • • •
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o
8
10 12 14 t/h
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例题３
如果在北京地区（纬度数是北纬40o）的一幢高为ho的楼 房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前 面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——
南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由画图易知
0
2
12, 得
6，
y 2.5 sin
时刻 水深 时刻 水深
12.00
13：00 14：00 15：00
x5 6
4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00
10：00 11：00
0.00
1：00
2：00
3：00
16：00
17：00
18：00
19：00
20：00
h0 h0 MC 2.000 h0 所以 即在盖楼时， tan c tan 26 34'
高中数学1.6 三角函数模型的简单应用1
【目标导学】
用三角函数模型解决一些具有周 期变化规律的实际问题.
例1.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数
（1）求这一天的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式. 解：（1）观察图象可知，这段时间的 最大温差是20ºC。 （2）从图中可以看出，从6时到14时的 图象是函数y=Asin(ωx+φ) +b的半个周 期的图象，所以
因为点（6，10）是五点法作图中的第四点，故
故，所求函数解析式为
ห้องสมุดไป่ตู้
例2.画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期。 解：函数图象如下：
y
1
x
-1
π 观察图象可知，函数y=|sinx|的的周期是 。
练习:
函数
的最小值是-2,
其图象在一个周期内最高点与最低点横坐标
的差是 ,且图象过点(0,1),求函数解析式.
作业： P65 T1 、 T2
高一数学1.6三角函数模型的简单应用(教、学案)
．
设计意图：变式练习，开阔思路，启迪思维，培养能力。数行结合求周期。 （四）应用数学知识解决实际问题
例 3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为
， 为此时太阳直射纬度，
为该地
的纬度值，那么这三个量之间的关系是
90
．当地夏半年 取正值，冬半年
取负值．
如果在北京地区 ( 纬度数约为北纬 40 ) 的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼， 要使新楼一
十、教后反思 以问题引导教学，让学生听有所思，思有所获，获有所感。问题串的设计，使学习内容 在难度和强度上循序渐进而又螺旋上升， 并通过互动逐一达成教学目标， 突出重点， 突破难 点，较好的提高了课堂教学的有效性。
一、预习目标
1.6 三角函数模型的简单应用
课前预习学案
3
预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用 二、预习内容 1、三角函数可以作为描述现实世界中 _________现象的一种数学模型 .
O 0 ）来刻画，试10求该函数t /表h 达式。
设计意图：教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
八、发导学案、布置预习。 设计意图： 布置下节课的预习作业， 并对本节课巩固提高。 教师课后及时批阅本节的
延伸拓展训练。 九、板书设计
三角函数模型的简单应用
例 1．
例 2. 例 3.
练习： 小结：
6
④探究其他解法：
14
6
2或
14
2
2等 0
设计意图：培养学生多角度考虑问题的习惯，培养学生的发散思维，培养学生的学习兴 趣。
⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。 设计意图：升华为思想方法。
（三）由解析式作出图象并研究性质
高中数学必修四1：1.6 三角函数模型的简单应用
(1) 本题的解题关键是建立三角函数的模型，选择适当的角作为变量．方法比 较灵活，突出了对能力的考查．
(2)第(2)问是探索性问题，考生找不到问题的突破口是造成失分的主要原 因．另外计算错误也是常见失分原因．
课堂练习
如果某地夏天从8~14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,如图 所示. (1)求这一天的最大用电量和最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式.
新课引入
. 简单应用——学以致用，解决生活中的 实际问题 ②数学模型——具体的数学函数关系 ③三角函数模型——三角函数关系
探究点1
• 正弦型函数
y Asin(x ),( A 0, 0)
• 1、物理情景—— • 2、地理情景—— • 3、心理、生理现象—— • 4、日常生活现象——
探究点2
根据图象建立解析式 根据解析式作出图象 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数
拟合，从而得到函数模型
探究点3
解三角函数应用题的一般步骤： (1)阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言； (2)建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系； (3)讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质； (4)作出结论．
第一章 三角函数 §1.6 三角函数模型的简单应用
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步 学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模型问题 的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 “建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括 等能力．
1.6三角函数模型的简单应用
如果在北京地区(纬度数约为北纬40º)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午
的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
本题是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
§1.6三角函数模型的简单应用
金沙县第一中学高一数学备课组
课题名称
三角函数模型的简单应用
课型
新授课
年级
高一年级
教学时间
第1课时
教学目标
一、知识与技能目标
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3
米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第64页的“思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
练习：教材P65面3题
三、小结：1、三角函数模型应用基本步骤:
(1)根据图象建立解析式;
(2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
1.6三角函数模型的简单应用10
P4 (x4, y4 ) x
(3)由图象偏离x轴的程度去求出b，如 b= y1= (4)由图象的最高点及最低点求出A，如 A y2
(5)求周期T，常用 T=x5 x1 2(x3 x1) 4(x3 x2)
y3=
y4 , 2
y5，或 b y2 A y2 y3 等 2
地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠 近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天 的时间与水深的关系表：
时刻
0:00 3:00 6:00
水深（米）
5.0 7.5 5.0
时刻
9:00 12:00 15:00
水深（米）
2.5 5.0 7.5
时刻
18:00 21:00 24:00
题类Ⅱ：根据函数解析式画图象
例2.画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期 思考：如何画出函数 y | x |的图象？
y
y=-x
y y|=xx|
据 y | x |
x (x 0)
x (x<0)
据此可画出其图象为
o
x
这里的画法实际上就是：把图象在X轴上方的部分保留，而在 X轴下方的部分翻折到上方.
分析：据地理知识
地平线
C BA M
由已知：δ是太阳直射时的纬度，
θ是正午太阳的高度角
θ
φ是该地的纬度值
φ= 40
北京
，
δ= 23 26
正
0
午 阳
，
光
δ= 23 26
所以正午阳光时段对应的δ的取值范围是δ∈
23
，
26 ,
23
26
据题意：在北京地区……
2022年 《示范1.6 三角函数模型的简单应用》优秀教案5
三角函数模型的简单应用整体设计教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质特别是周期性的应用通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等三维目标1能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型2通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力3通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神重点难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取根本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1问题导入既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课思路2我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用〞,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用推进新课新知探究提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么③上述的数学模型是怎样建立的④怎样处理搜集到的数据活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的根本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题这点很重要,学生只要有了这个认知根底,本节的简单应用便可迎刃而解新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带着学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法③解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°复原:把数学结论复原为实际问题的解答④画出散点图,分析它的变化趋势,确定适宜的函数模型应用例如例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数=inωφb图11求这一天的最大温差;2写出这段曲线的函数解析式活动:这道例题是2021年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型其中第1小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差〞实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差〞,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用第2小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式其中求ω是利用半周期14-6,通过建立方程得解解:1由图可知,这段时间的最大温差是20212从图中可以看出,从6—14时的图象是函数=Ainωφb的半个周期的图象,∴A=30-10=10,b= 3010=2021·=14-6,∴ω=将=6,=10代入上式,解得φ=综上,所求解析式为=10in2021[6,14]点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉例2 2021全国高考函数=|in|的一个单调增区间是A, B, Cπ,D,2π答案:C例3 如图2,设地球外表某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值如果在北京地区纬度数约为北纬40°的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少活动: 如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比拟强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球外表某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:h0=htanθ由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况图3解:如图3,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′依题意两楼的间距应不小于MC根据太阳高度角的定义,有∠C＝90°－|40°－－23°26′|＝26°34′,所以MC＝=≈,即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解这道题的结论有一定的实际应用价值教学中,教师可以在这道题的根底上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究变式训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？图4解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-23°23°26′］=15tan43°34′≈,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上知能训练课本本节练习1、2解答:轴的对称点处点评:因为波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过周期,波正好从乙点传到丁点,又因为在波的传播过程中,绳上各点只是上下震动,纵坐标在变,横坐标不变,所以经过周期,乙点位置将移至它关于轴的对称点处,即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同—1新闻联播节目播出的周期是1天点评:了解实际生活中发生的周期变化现象课堂小结1本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的根本步骤吗？2实际问题的背景往往比拟复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取根本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题作业的函数关系图5I=Ainωφω>0,|φ|0,0≤φ≤π为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为1求函数f的解析式；2假设inf＝,求inco的值解:1∵f为偶函数,∴f－＝f,即in－ωφ＝inωφ∴φ＝∴f＝inω＝coω相邻两点代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象假设他将纵坐标改用2 cm代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？假设他将横坐标改用2 cm代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解:小明原作的曲线为=in,∈R,由于纵坐标改用了2 cm代表一个单位长度,与原来1 cm代表一个单位长度比拟,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm只能代表个单位长度了由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为＝in,∈R同理,假设纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm代表一个单位,那么横坐标被压缩到原来的,原曲线周期就由2π变为π故改变横坐标后,原曲线图象的解析式变为＝in2,∈R＝in实根的个数解:由方程式模型构建图象模型在同一坐标系内作出函数＝g和＝in的图象,如图10可知原方程的解的个数为3图10点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法知能训练课本本节练习33此题可让学生上网查一下,下载有关人体节律的软件,利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线,它们都是正弦型函数图象,根据曲线不难答复题中的问题让学生在课下总结一下自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加以锻炼,在什么时候应当保持体力,以利于学生的高效率学习点评:通过解决可用三角函数模型描述的自身问题,让学生增强学习三角函数的兴趣,并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型,体会数学应用的广泛性课堂小结1让学生回忆本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来方案,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用2三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题作业图11如图11,一滑雪运发动自h=50 m高处A点滑至O点,由于运发动的技巧不计阻力,在O点保持速率v0不变,并以倾角θ起跳,落至B点,令OB=L,试问,当α=30°时,L的最大值为多少当L取最大值时,θ为多大分析:此题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题解:由条件列出从O点飞出后的运动方程:由①②,整理得v0coθ=,v0inθ=gt∴v02gLinα=g2t2≥2=gL运发动从A点滑至O点,机械守恒有mgh=mv02,∴v02=2gh∴L≤=2021,即L ma=2021又g2t2==,∴t=,=Lcoα=v0tcoθ=2gh··coθ,得coθ=coα∴θ=α=30°∴L最大值为2021,当L最大时,起跳倾角为30°设计感想1本节是三角函数内容中新增加的一节,目的是加强学生的应用意识,本节教案设计的指导思想,是让学生围绕着采集到的数据展开讨论,在学生思考探究的过程中,学会积极冷静地对待陌生背景,正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系,这很符合新课改理念2现实生活中的问题是多变的,学生的思维是发散的,观察的视角又是多样的,因此课题教学中,教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点,通过讨论例题这个载体,充分激发学生的潜能,让学生从观察走向发现,从发现走向创造,走向创新3学生面对枯燥的数据,潜意识里是讨厌的,因此教师要在有限的课堂时间里,着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定,不要把时间浪费在一些计算上。
1.6三角函数模型的简单应用
§1.6 三角函数模型的简单应用班级 姓名 学号 得分一、选择题1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角, 且sin A >sin B >sin C ,则 ( ) (A) A >B >C (B) A <B <C (C) A +B >2π (D) B +C >2π2.在平面直角坐标系中，已知两点A (cos800,sin800),B (cos200,sin200)，则|AB |的值是 ( ) (A) 12(B)(C) (D) 1 3. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积为1,小正方形的面积是125,则sin 2θ-cos 2θ的值是 ( )(A) 1(B) 2425(C) 725(D) -7254.D 、C 、B 三点在地面同一直线上,DC =a ,从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是α、 β（α>β）,则A 点离地面的高度等于 ( ) (A) tan tan tan tan a αβαβ- (B) tan tan 1tan tan a αβαβ+ (C)tan tan tan a ααβ- (D) 1tan tan a αβ+5.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是 ( )6.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =A sin(ωt +φ)的图象如图 所示，则当t =7120秒时的电流强度 ( )(A)0 (B)10 (C)-10 (D)5 二.填空题7.三角形的内角x 满足2cos2x +1=0则角x = ;8. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，则这个扇形中心角的度数是 ; 9. 设y =f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (小时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从经长期观察，函数y =f (t )的图象可以近似地看成函数y =k +A sin(ωt +φ)的图象.则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是 .10.直径为10cm 的轮子有一长为6cm 的弦，P 是该弦的中点，轮子以5弧度/秒的角速度旋转，则经过5秒钟后点P 经过的弧长是 . 三.解答题AB CD α β11.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知3月份出厂价格最高为8 元,7月份出厂价格最低为4元;而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的.并已知5月份销售价最高为10元.9月份销售价最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.12.一个大风车的半径为8米，12离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)t (分钟)之间的函数关系式.13.一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题： （1）证明棒长L (θ)= 965sin 5cos θθ+；（2）当θ∈(0,2π)时,（3）由(2)中的图象求L (θ)的最小值；（4）解释(3)中所求得的L 是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.参考答案§1.6 三角函数模型的简单应用一、ADDABA二、7.3π或32π; 8. 52rad ; 9. y =12+3sin 6πx ； 10.100cm;三、11.解:设1y 为进价, 2y 为售价,则)44sin(261ππ-+=x y ,)434sin(282ππ-+=x y ,利润m y ={)434sin(28ππ-+x )]44sin(26[ππ-+-x }=)4sin 21(2x m π- 所以当6=x 时取到最大值)21(2+m 即估计是六月份月盈利最大.. 12. 以最低点的切线为xP (x (t ), y (t ))则h (t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y 在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8, 而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π13. 略.。
1.6三角函数模型的简单应用[1].
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学习目标
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题；
2.体会三角函数是描述周期性变化现象的重要函 数模型．
学习任务
1.学习例1会用三角函数的图象解决一些简单的 实际问题；
2.学习例4体会三角函数是描述周期性变化现象 的重要函数模型．
学习任务一：根据图象建立三角函数关系
【背景材料】如图, 宾川一天从6～14时的温度变化曲
线近似满足函数 y Asin(x ) b A 0
(1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.
y T/℃
30
20
10
O
6 10 14
x
t/h
解:(1)最大温差是20℃
(2)从6～14时的图象是函数 y Asin(x ) b
的半个周期的图象
A 1 30 10 10 b 1 30 10 20
总结1:y Asin(x ) b.
A
1f
2
xmax
f
x m in
b
1f
2
xmax
f
x m in
利用T 2 ，求得
选择的点要认清其属“五点法”中的哪
一位置点，并能正确代人列式，求得 .
“第一点”为：x0 0
“第二点”为：x0
船
海平面
吃水深度
船底与洋底距离
y水深 2.5sin 6 x 5 5.5
y
8
y 5.5 6A
4
y水深 2.5sin 6 x 5 5.5
B CD
2
o
5
10 15
x
当y=5.5时，有2.5sin x 5 5.5，sin x 0.2
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用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五
个关键点，如下表所示.
φ － ω _____
x ωx＋ φ y＝Asin (ωx＋ φ)
π φ π φ － － 2ω ω ______ ω ω _______
3π φ － _______ 2ω ω
2π φ － ________ ω ω
0 0
2
8 10 12 14 t / h
2
3 ) 20, x 6,14. 综上，所求解析式为 y 10 sin( x 8 4
3 1 2 14 6 8 . 将x 6, y 10代入上式，解得＝ 4 . 2
练习：如图所示为函数 y A sin(x ) b, ( ) 2 的部分图象．求出函数的解析式 y
所以，函数
y sin x 是以
为周期的函数.
注意：
利用函数图像的直观性，通过观察 图像而获得对函数性质的认识，这 是研究数学问题的常用方法。
练习：1.画出 y cos x 的图像并观察其周期.
解：函数图像如图所示，从 图中可以看出函数 y cos x 是以 为周期的波浪形曲线.
解：由图可知
3 (1) 2 A
2
3
T 11 T 4 12 3 12 4 2 2 T
3 (1) 1 2 2 1 12
x
3 4 3 2 k (k z ) 2k (k z ) 6 3 2
将 x
2
, y 1 代入得
sin(
4 ) 1 3
2 6
综上，所求解析式为
y 2 sin( 2 x ) 1 6
小结
1 A f ( x) max f ( x) min 2 1 b f ( x) max f ( x) min 2 2 求得 T
π 2 A
π 0
3π 2 －A
2π 0
例1 如图1.6-1,某地一天从6~14时的温度变化 T / C y A sin( x ) b 曲线近似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式.
20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C.10 (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 函数 y A sin( x ) b的半个周期 O 的图象， 1 1 所以，A 30 10 10, b 30 10 20
T 解：连接 MP(图略 )．依题意，有 A＝2 3， ＝ 3， 4 2π π π 又 T＝ ，∴ ω＝ ，∴ y＝ 2 3sin x. 6 6 ω 2π 当 x＝ 4 时， y＝ 2 3sin ＝ 3， 3 ∴ M(4，3)．又 P(8， 0)， ∴ MP＝ （－4） 2＋ 32＝ 5. 即 M， P 两点相距 5 km.
跟踪训练
3.如图，某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数 y＝ Asin ωx(A＞ 0， ω＞ 0)， x∈ [0，4]的图象，且图象的最高点 为 S(3，2 3)；赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运 动员的安全，限定∠ MNP＝120° . 求 A， ω 的值和 M， P 两点间的距离．
2 3 2
2
2
3 2
2
2.画出 y tan x 的图像并观察其周期.
解：函数图像如图所示： 从图中可以看出函数 y tan x 是以 为周期的函数.
3 2
2
2
3 2
小结 画整个函数带有绝对值的图像时：
1.先画出不含绝对值函数的图像； 2.若x轴下方有图像时，则把下面的图像以x 轴为轴翻折上去。X轴上面的图像不动。
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b 的图象．根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨
浴场的海浪高度超过1.25米的时间为(
A．10小时 C．6小时 B．8小时 D．4小时
)
【解析】
－A＋b＝0.5 π 依题意得 ， A＝ 0.5， b＝ 1， ω＝ ， 6 2π ω ＝12
考点3 三角函数模型的简单应用 例3 (2013· 金丽衢十二校联考 ) 已知我省某海滨浴场的海浪 高度 y( 米 ) 是时间 t(0≤t≤24 ，单位：小时 ) 的函数，记作 y ＝ f(t)．下表是某日各时的浪高数据： t(时 ) y( 米 ) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
A＋ b＝1.5
π π 所以 y＝ 0.5cos t＋ 1.令 y＝ 0.5cos t＋ 1＞1.25(t∈ [0， 24])得 6 6 cos π 1 π π π 5π π t＞ .又 t∈ [0，24]， t∈ [0，4π]，因此 0≤ t＜ 或 ＜ 6 2 6 6 3 3 6
π π 5π π t≤2π 或 2π≤ t＜ 2π＋ 或 2π＋ ＜ t≤2π＋ 2π，即 0≤t＜ 2 或 6 3 3 6 10＜ t≤12 或 12≤t＜ 14 或 22＜ t≤24，在一日内，海滨浴场的海 浪高度超过 1.25 米的时间为 8 小时． 【答案】 B
三角函数模型的简单应用
基础梳理
1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝ Asin(ωx＋ φ) (A>0， ω >0)， x ∈ [0，＋ ∞) 振幅 周期 T＝ 2π ____ ω 频率 1 f＝ ＝ T
ω 2π ____
相位 ωx ＋φ
初相
A
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
利用最低点或最高点在图像上，该 点的坐标满足函数解析式可得
思考： y
x
的图像与
y
y x 的图
像有何联系？
x
例2 画出函数 y sin x 的图像并观察其周期.
y
1
2
2 -1
0
2
2 x
y
1
2
2
o
1
2
2
x
我们也可以这样进行验证： 由于
sinx sin x sin x