三角函数模型及应用
4.4三角函数图象的变换及三角函数模型的应用-2021届高三数学一轮复习考点突破课件(共44张PPT)
解：由图及 A＞0，ω＞0 可知，A＝2，T＝2[π3 －－π6 ]＝π，
所以 ω＝2，y＝2sin(2x＋φ)，2×π3 ＋φ＝π2 ＋2kπ，k∈Z，φ＝－π6
＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜π2 ，所以
π φ＝－ 6 ，所以函数
f(x)的解析式为
f(x)＝2sin2x－π6 .
π 把 f(x) 的 图 象 向 右 平 移 12 个 单 位 长 度 得 到 函 数 g(x) ＝
变式 1
(1)(2018·浙江温州统考)已知函数
f(x)＝12sinωx＋
3 2
cosω
x(ω>0)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求 ω 的值，并在上面提供的直角坐标系中画出函数 y＝f(x)在区间 [0，π]上的图象；
(Ⅱ)函数 y＝f(x)的图象可由函数 y＝sinx 的图象经过怎样的变换得到？
解：(Ⅰ)函数可化为 f(x)＝sinωx＋π3 ，
再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，则所得图象
的解析式为( )
A.y＝sin2x－51π2
B.y＝sin2x＋π 12
C.y＝sin2x－51π2
D.y＝sin2x－52π4
解：将函数 y＝sinx－π6 图象上所有的点向右平移π4 个单位长 度得函数 y＝sinx－π4 －π6 ＝sinx－51π2 ，再把图象上各点的横坐
π (2)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< 2 )的部分图象
π 如图所示，现将此图象向右平移12个单位长度得到函数 g(x)的图
象，则函数 g(x)的解析式为( ) A.g(x)＝2sin2x
B.g(x)＝2sin2x－π6 C.g(x)＝2sin2x－π4 D.g(x)＝2sin2x－π3
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
一、引言
三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介
绍三角函数模型在实际问题中的简单应用，包括振动、音乐、天文等方面。
二、振动模型
振动是物理学中常见的现象，三角函数模型可以很好地描述振动的特性。
例如，在弹簧振子中，物体在平衡位置附近偏离并摆动，可以用正弦
函数描述振动的过程。
振动的周期、频率和振幅等因素可以通过三角函数
进行计算和预测。
三、音乐模型
音乐是艺术与科学的结合，三角函数模型在音乐中也有着重要的应用。
音乐的基本要素包括音高、音长和音色等。
三角函数可以帮助我们理解和
创建不同音调的声音，例如正弦函数可以生成纯音，而复杂的乐曲可以通
过多个三角函数的叠加来表示。
四、天文模型
三角函数模型在天文学中也扮演着重要的角色。
例如，我们可以使用
正弦函数来描述地球公转和自转的运动规律。
通过对三角函数模型的运用，我们可以计算出日出、日落以及季节变化等现象，并预测天文事件的发生
时间和位置。
五、结论
三角函数模型的简单应用涵盖了振动、音乐和天文等多个领域。
通过
对三角函数的理解和运用，我们可以更好地理解和解释各种现象，并进行
相关问题的计算和预测。
在实际应用中，对三角函数模型的灵活运用将有
助于我们解决各类问题。
1.6 三角函数模型的简单应用
1 A (30 10) 10 2
1 b (30 10) 20 2 1 2 14 6, 2 8
8 3 代入(*)式，解得 4
综上，所求解析式为：
3 y 10sin( x ) 20, x [6,14] 8 4
注：
一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的 温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围。
例2：画出函数 y | sin x | 的图象并观察其周期。
解：函数图象如图所示：
从图中可以看出，函数y | sin x |是以 为周期的波浪形曲线。
我们也可以这样验证： 由于 | sin( x ) || sin x || sin x | 所以，函数 y | sin x | 是以 为周期的函数。 注： 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的 认识，这是研究数学问题的常用方法。
例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进 航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在 某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 水深/米 5.0 7.5 时刻 9：00 12：00 水深/米 2.5 5.0 时刻 18：00 21：00 水深/米 5.0 2.5
一、三角函数模型的应用：
例1：如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y A sin( x ) b
(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式。 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是 20 C 。 (2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数 y A sin( x ) b (*) 的半个周期的图象 将 A 10, b 20, , x 6, y 10
1.6三角函数模型的简单应用
•
• •
• oπ
-5
4
•
5π x
2 π y = 5 sin( x + ) 3 3
小结:学会读图 由图像找出 小结 学会读图,由图像找出 学会读图 需要的条件. 需要的条件
小结
三角函数模型的应用 三角函数模型 （一）一） 应用（ 应用（
问题1 问题
已知函数y＝ 已知函数 ＝Asin(ωx＋ ϕ )，在同一周期内， ＋ ，在同一周期内， 当x＝ ＝
π
4π 时函数取得最大值2， x＝ ，时函数取得最大值2，当x＝ 9 9
函数取得最小值－2，求该函数的解析式 时， ，
问题2 问题
应用1： 应用 ：
如图，某地一天从 ～ 时的温度变化曲线近似满 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满 足函数 y = Asin x + + b
(ω ϕ )
T/oC 30 20 10 o 6
• （１）求这一天 ～14时的最大温度差。 求这一天6～ 时的最大温度差 时的最大温度差。 • （２）写出这段曲线的函数解析式。 写出这段曲线的函数解析式。
发散:如果求 时将点(10,20)或点 或点(14,30) 发散 如果求 ϕ 时将点 或点 代入呢？ 代入呢？
y
30 20 10
o
6 8 10 12 14
x
函数 y
= A sin(ω x + ϕ ) + B（其中A > 0，ω > 0）
2π
ω 周期是 T = ，频率是 f = 2π ω
函数最大值是A+B 最小值是B 函数最大值是A+B ，最小值是B-A， ,
相位是 ωx + ϕ ，初相是 ϕ ,
三角函数模型的简单应用
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数（tangent function） 是三角函数中的一种，通常用 tan(x)表示，其定义是邻边与对边 之比值。
正切函数的性质
正切函数具有周期性、奇偶性、 单调性等性质。
正切函数的图象与公式
正切函数的图象
正切函数的图象是一个周期函数，其周期为π（派），即每隔π的角度其函数值 重复。
余弦函数的图象与公式
余弦函数的图象
余弦函数的图象是一个连续的曲线，形状类似于波浪。在一 个周期内，余弦函数从-1变化到1，再从1变化到-1，如此往 复。图象上的每个点都代表一个角度，对应一个余弦值。
余弦函数的公式
余弦函数有一些基本的公式，如和差角公式、积化和差公式 等。这些公式是余弦函数应用的基础，可以用于简化复杂的 三角函数表达式。
反三角函数的图象与公式
图象
反三角函数的图象是连续的，具有明显的波动形状。它们的形状和大小取决于其参数的取值范围。
公式
反三角函数有多种计算公式，如反正弦公式、反正切公式和反余弦公式等。这些公式可以用于求解三 角函数的反函数。
反三角函数的应用场景
三角函数方程的求解
当需要求解三角函数方程时，可以使用反三角函数来找到方程的 解。
余弦函数的应用场景
振动分析
余弦函数可以用于描述周期性的振动 现象，如机械振动、电磁振荡等。通 过对振荡过程进行分析，可以了解系 统的动态特性。
信号处理
在通信、声音、图像等信号处理领域 ，余弦函数经常被用于对信号进行调 制和解调。通过对信号进行处理和分 析，可以提取出有用的信息。
04
正切函数及其应用
02
正弦函数及其应用
正弦函数的定义与性质
三角函数的模型及应用
三角函数的模型及应用三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的度量和关系，以及角在几何图形中的应用。
三角函数的模型是用来描述角度和边长之间的关系，而三角函数的应用则广泛涉及到几何、物理、工程等领域。
首先，我们来讨论三角函数的模型。
最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义如下：正弦函数：sin(x) = 对边/ 斜边余弦函数：cos(x) = 邻边/ 斜边正切函数：tan(x) = 对边/ 邻边其中，对边、邻边和斜边指的是一个直角三角形中与角度x相关的边长。
这些三角函数的定义基于一个特殊的直角三角形，即单位圆上的一条半径与x轴和y 轴夹角为x的射线。
三角函数的模型可以进一步扩展到一般的三角形中，通过在单位圆上做垂线，我们可以将非直角三角形的边长和角度联系起来。
例如，根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)这些模型提供了计算三角形各边长和角度的方法，非常有用。
接下来，我们来探讨三角函数的应用。
三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，在解决三角形的边长和角度问题时，可以使用三角函数求解未知量。
三角函数还可以被用来计算几何图形的面积和体积，例如圆的面积和球的体积等。
此外，三角函数在物理学中也有广泛的应用。
例如，在运动学中，三角函数可以用来描述物体在直线上的运动，如加速度、速度和位移之间的关系。
另外，在力学中，三角函数可以用来计算力的分解，例如对一个斜面上的物体施加的力的分解等。
在工程学中，三角函数也被广泛应用。
例如，在建筑设计中，可以使用三角函数计算斜塔的高度和角度。
在航海中，可以使用三角函数来计算航线和船只的位置等。
总结起来，三角函数是数学中一个重要的分支，其模型描述了角度和边长之间的关系，应用于几何学、物理学和工程学等领域。
通过使用三角函数的模型和公式，我们可以解决各种与角度和边长相关的问题，推导出相应的计算方法，丰富了数学的应用领域。
三角函数与数学模型
三角函数与数学模型三角函数是数学中的重要概念，广泛应用在物理、工程、计算机科学等各个领域的数学模型中。
本文将介绍三角函数的定义与性质，并解释三角函数在数学模型中的应用。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sine function）正弦函数是以单位圆上一点的y坐标为函数值的一种周期函数。
在单位圆上，角度为θ的点的坐标为（cosθ，sinθ）。
正弦函数可以表示为y = sin(x)的形式，其中x为角度。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是以单位圆上一点的x坐标为函数值的一种周期函数。
在单位圆上，角度为θ的点的坐标为（cosθ，sinθ）。
余弦函数可以表示为y = cos(x)的形式，其中x为角度。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是正弦函数与余弦函数的商，可以表示为y = tan(x)的形式。
正切函数在某些特定角度上可能会无定义，例如在x = (2n+1)π/2时，其中n为整数。
4. 周期性三角函数具有周期性，即在一定范围内函数值重复。
例如，正弦函数的周期为2π，余弦函数的周期也为2π。
5. 奇偶性正弦函数是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
6. 平移与缩放三角函数函数图像可以通过平移和缩放进行变换。
平移指的是将函数图像沿x轴或y轴方向移动，而缩放则是改变函数图像的振幅和周期。
二、三角函数在数学模型中的应用1. 波动模型三角函数的周期性特点使其在波动模型中经常被使用。
例如，在物理学中，正弦函数可以用来描述光、声、电磁波等的震荡特性。
2. 周期性变化三角函数的周期性特点还可以用来描述一些周期性变化的数据。
在经济学中，三角函数可以用来分析股票价格、季节性销售等数据的周期性波动。
3. 几何建模三角函数在几何建模中也有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，三角函数可以用来表示曲线、曲面的参数方程，实现三维图像的生成与变换。
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期是T ＝π|ω|.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质(1)y max ＝A ＋k ，y min ＝－A ＋k .(2)A ＝y max －y min 2，k ＝y max ＋y min 2.(3)ω可由ω＝2πT 确定，其中周期T 可观察图象获得．(4)由ωx 1＋φ＝0，ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．y ＝|sin x |的图象，如下图所示：函数y ＝|cos x |的图象函数y ＝sin|x |的图象函数y=cos|x|的图像求下列函数的周期：(1)y ＝|sin 2x |；(2)y ＝|sin(32π+x )+31|(3)y ＝|tan 2x |.一般地有以下结论：①y ＝|sin x |的周期是π；②y ＝|cos x |的周期是π；③y ＝|tan x |的周期是π；④y ＝|A sin(ωx ＋φ)|(Aω≠0)的周期是π|ω|；⑤y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(Aωk ≠0)的周期是2π|ω|.1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答．下图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)（|ϕ|<2π）在同一周期内的图象．(1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解(1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150，∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150ω＝2πT＝100π.由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．(3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．。
高三复习：三角函数模型及解三角形应用举例(含解析答案)
§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？题型二测量角度问题例2如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题型三利用三角函数模型求最值例3如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？变式如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 3．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．4.8三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m的水轮，水轮的圆心O距离水面2m．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin(ωx＋φ)＋2(ω>0，A>0)，则ω＝________，A＝________.2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)； (2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ (1)答案 30＋30 3解析 在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin30°＝ABsin15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB ·sin45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m.(2)解 ①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1040m.②假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤125043，62514(单位：m/min)范围内． 题型二 测量角度问题例2 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．思维点拨 设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC ，再利用正弦定理求出时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里)，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝6(海里)．又∵BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15(分钟)． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． 思维升华 测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．题型三 利用三角函数模型求最值例3 如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 思维点拨 由题图可得：x ＝cos θ，y ＝sin θ.列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意θ的范围． 解 (1)设S 为十字形的面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ (π4<θ<π2)；(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin2θ－12cos2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12，其中tan φ＝12， 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．所以，当θ＝π4＋φ2(tan φ＝12)时，S 最大，最大值为5－12.思维升华 三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值．变式 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h . (1)求h 与θ间关系的函数解析式； (2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30弧度/秒，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4米．由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30秒， ∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.答案 π2解析 ∵S ＝1－12×1×sin α－12×1×cos α－12(1－cos α)(1－sin α)＝12－12sin αcos α ＝12－14sin2α. ∴当α＝π2时，S 取到最大值．3．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 答案 3或2 3解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°， 由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.4．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．答案 2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800，所以BC ＝207. 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114.4.8 三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m 的水轮，水轮的圆心O 距离水面2m ．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(ω>0，A >0)，则ω＝________，A ＝________.答案 2π153 解析 每分钟转4圈，每圈所需时间T ＝604＝15. 又T ＝2πω＝15，∴ω＝2π15，A ＝3. 2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米 解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan60°＝203(米)，又CM＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 3.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin30°sin135°＝15 2 (m)． 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为156m.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile 的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h 的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t .在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos120°.整理得：2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)． 所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝AB sin120°， 所以sin ∠CAB ＝BC ·sin120°AB ＝10×32103＝12. 所以∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？解 (1)在△BCD 中，∵∠BCD ＝θ，∠B ＝π3，BD ＝l ， ∴BC ＝l sin (2π3－θ)sin θ，CD ＝3l 2sin θ， ∴AC ＝AB －BC ＝l －l sin (2π3－θ)sin θ， 则t ＝AC 3v ＋CD v ＝l 3v －l sin (2π3－θ)3v sin θ＋3l 2v sin θ(π3<θ<2π3)． (2)t ＝l 6v (1－3cos θsin θ)＋3l 2v sin θ＝l 6v ＋3l 6v ·3－cos θsin θ. 令m (θ)＝3－cos θsin θ，θ∈(π3，2π3)，则m ′(θ)＝1－3cos θsin 2θ. 令m ′(θ)＝0，得cos θ＝13，设cos θ0＝13，θ0∈(π3，2π3)， 则θ∈(π3，θ0)时，m ′(θ)<0；当θ∈(θ0，2π3)时，m ′(θ)>0，∴当cos θ＝13时，m (θ)取得最小值22，此时BC ＝6＋48l . 故当BC ＝6＋48l 时货物运行时间最短. 6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．规范解答解 (1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里， 则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900(t －13)2＋300.[4分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.[6分] 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小．[7分](2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.[9分] ∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.[10分] 又t ＝23时，v ＝30， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.[12分] 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[14分]。
例谈初中数学有关三角函数应用题的四个模型
例谈初中数学有关三角函数应用题的四个模型
1.求正弦定理：利用正弦定理可以解决三角形对边求角的问题，同
时也常用来求三角形内角与外角之和的问题，如：已知ABC三角形，
A = 105°，
B = 30°，求C角的度数。
解：由正弦定理：
A:B:C=sinA:sinB:sinC,可得：C = 45°。
2.求余弦定理：余弦定理可以用来求三角形的面积，如果知道三条边的长度，则可以求出三角形的面积。
如：已知ABC三角形的两条边的长
度分别为a = 8cm、b = 9cm，夹角C的度数为30°，求ABC三角形的
面积。
解：利用余弦定理，即a² = b² + c²– 2bc⁺cosC,得出：c = 8.11cm，三角形ABC的面积S = ab/2 sinC = 63.07cm²。
3.求正切定理：正切定理常用于求夹角的正切值。
如：已知ABC三角形，A = 30°，∠B = 60°，求tanB的值，解：由正切定理：
tanA:tanB:tanC = a:b:c,可以得出tanB = 1/√3∶1.
4.求正割定理应用：正割定理常用于夹角的正割值的求解，如：已知ABC三角形，A = 45°，B = 60°，求cosA的值，解：由正割定理：cosA:cosB:cosC = a:b:c,可以得出cosA = √3∶2.。
2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第27讲三角函数模型及应用
(1)依据信息 、2可知，该商品的出厂 依据信息1、 可知 可知， 依据信息 价格y 和销售价格y 与月份x之间的关系都满 价格 1和销售价格 2与月份 之间的关系都满 足正弦曲线， 足正弦曲线， 故可设 y1=A1sin(ω1x+φ1)+B1,y2=A2sin(ω2x+φ2)+B2,
8+4 依题意， =6,A1=2,T=2(7-3)=8, 依题意，得B1= 2 π 2π 所以ω = . 所以 1= T 4 π
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5.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选 如图，为了测量河的宽度， 如图 定两点A、 望对岸的标记物 望对岸的标记物C， 定两点 、 B望对岸的标记物 ， 测得 ∠ CAB=30° ， ∠ CBA=75° ， ° ° AB=120m，则这条河的宽度为 60 m. ，
10
如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB 如图， 中 作 ⊥ 为所求宽度. 于D点，则CD为所求宽度 点 为所求宽度 在△ABC中，因为∠CAB=30°， 中 因为∠ ° ∠CBA=75°， ° 所以∠ACB=75°， 所以∠ ° 所以AC=AB=120 m. 所以 在Rt△ACD中， △ 中 CD=ACsin∠CAD=120sin30°=60(m). ∠ ° 因此，这条河宽60 m. 因此，这条河宽
14
实际问题经抽象概括后， ②实际问题经抽象概括后，已知量与未知 量涉及两个三角形或多个三角形， 量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按 顺序逐步在几个三角形中求出问题的解； 顺序逐步在几个三角形中求出问题的解； 实际问题经抽象概括后， ③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形 只有一个，但由题目已知条件解此三角形， 只有一个，但由题目已知条件解此三角形， 需连续使用正弦定理或余弦定理. 需连续使用正弦定理或余弦定理 运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问 要抓住条件和待求式子的特点， 题，要抓住条件和待求式子的特点，恰当地 选择定理.运用正弦定理一般是将边转化为角 运用正弦定理一般是将边转化为角， 选择定理 运用正弦定理一般是将边转化为角， 而条件中给出三边关系的往往考虑用余弦定 15 理求和. 理求和
三角函数模型的实际应用
三角函数模型的实际应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.下面通过几个具体实例，说明三角函数模型的实际应用．1 直接给出三角函数模型的应用题例1 （2012年青岛市调考题）某专业调查队在调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现：信息1：该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随函数y1=a1sin（ω1x+φ1）+b1波动的.已知3月份出厂价格达到最高，为8元，然后逐渐降低，到7月份出厂价格达到最低，为4元．信息2：该商品的销售价格是在8元的基础上，按月份随函数y2=a2sin（ω2x+φ2）+b2波动的.已知5月份销售价格达到最高，为10元，然后逐渐降低，到9月份销售价格达到最低，为6元．（1）根据上述信息，求该商品的出厂价格y1（元/件）和销售价格y2（元/件）与月份x之间的函数关系式；（2）若某经销商每月购进该商品m件，且当月能售完，则在几月份盈利最大？并说明理由．解析（1）依题意，得b1=8+42=6，a1=2，t1=2×（7-3）=8，所以ω1=2πt1=π4，y1=2sinπ4x+φ1+6.将点（3，8）代入函数y1=2sinπ4x+φ1+6，得φ1=-π4，所以y1=2sinπ4x-π4+6.同理，可得y2=2sinπ4x-3π4+8.（2）因为利润函数是y=m（y2-y1）=m2sinπ4x-3π4+8-2sinπ4x-π4-6=m2-22sinπ4x，当sinπ4x=-1，即π4x=2kπ-π2（k∈z），亦即x=8k-2（k∈z）时，y取最大值．又1≤x≤12，故当k=1，即x=6时，y最大.综上可知，在6月份盈利最大．点评本题是经济学中的销售利润问题，是两正弦曲线的叠加，紧扣已知条件分别确定出厂价格函数和销售价格函数是解题的关键．例2 （2012年苏州市模拟题）在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）=100acosωn+2π3+m来刻画，其中正整数n表示月份且n∈［1，12］，例如n=1时表示1月份；a和m是正整数；ω>0．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f（n）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数不少于400人时，该地区进入了一年中的旅游“旺季”.那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．解析（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12，由此可得t=2πω=12，得ω=π6．由规律②可知f（n）max=f（8）=100a+100m，f（n）min=f（2）=-100a+100m，由题意可知f（8）-f（2）=400，所以200a=400，a=2. 又当n=2时，f（2）=200cos（π6×2+2π3）+100m=100，即-200+100m=100，于是m=3.综上可得f（n）=200cosπ6n+2π3+300符合条件．（2）由条件200cosπ6n+2π3+300≥400，可得cosπ6n+2π3≥12，所以2kπ-π3≤π6n+2π3≤2kπ+π3（k∈z），化简可得12k-6≤n≤12k-2（k∈z）.因为n∈［1，12］，n∈n*，所以当k=1时，6≤n≤10，故n=6，7，8，9，10，即一年中的6，7，8，9，10五个月是该地区的旅游“旺季”．点评本题从一个实际的应用背景出发考查三角函数的图象与性质，但不同于以往的考查方式，考查学生的文字理解能力与应用意识，考查学生的运算能力与数据处理能力．例3 （2009年福建省高考题）如图1所示，某市拟在长为8km的道路op的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段osm，该曲线段为函数y=asin ωx（a>0，ω>0），x∈［0，4］的图象，且图象的最高点为s（3，23）；赛道的后一部分为折线段mnp，为保证参赛运动员的安全，限定∠mnp=120°．（1）求a，ω的值和m，p两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道mnp最长？解析（1）依题意，有a=23，t4=3，又t=2πω，所以ω=π6. 所以y=23sinπ6x.当x=4时，y=23sin2π3=3.所以m（4，3）.又p（8，0），所以mp=42+32=5.图1 图2（2）法1 在△mnp中，∠mnp=120°，mp=5，如图2，设∠pmn=θ，则0°故np+mn=1033sin θ+1033sin（60°-θ）=103312sin θ+32cos θ=1033sin（θ+60°）. 因为0°例6 （2012年襄阳市质检题）某港口在某季节每天的水深y（m）与时间t（h）（0≤t≤24）的观测数据及其关系如下表：（1）选用一个函数来近似拟合这个港口的水深y（m）与时间t （h）的函数关系；（2）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若使该船当天安全离港，它在港内停留的最长时间是多少？（忽略进离港所用的时间）图6解析（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（如图6）．根据散点图，可选用函数y=asin（ωt+φ）+b来拟合水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：a=3，b=10，t=12，φ=0.由t=2πω=12，得ω=π6．因此这个港口的水深y与时间t的关系可用函数y=3sinπ6t+10，t∈［0，24］来近似拟合．（2）由于船的吃水深度为7m，船底离海底的距离不少于4.5m，故船在安全航行时水深应不少于11.5m．令y=3sinπ6t+10≥11.5，得sinπ6t≥12，所以2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6（k∈z），即12k+1≤t≤12k+5（k∈z）．注意到t∈［0，24］，所以1≤t≤5或13≤t≤17．所以该船在凌晨1时至5时，或下午13时至17时，能够安全进港．该船要在一天内在港口停留时间最长，就应凌晨1时进港，下午17时离港，故该船在港内停留的最长时间为16小时．点评通过对给出数据的研究，了解函数图象的大致走向，为拟合函数提供直观的印象，这是利用三角函数模型解决实际问题最常见的方法．3 演绎建立三角函数模型的应用题例7 （2012年杭州市模拟题）游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心o距地面40.5m，半径40m.若小明从最低点处登上摩天轮，从他登上摩天轮开始计时，他与地面的距离h将随时间t变化，已知5min后到达最高点．（1）求出h与t之间的函数关系式；（2）当小明第1次距离地面20.5m时，用了多少时间？图7解析（1）不妨设摩天轮沿逆时针方向旋转，如图7所示，设经过tmin后，小明由p旋转到p1，则∠p1op=π5t．由图可知，on为中心o到地面的距离，p1m为点p1到地面的距离，过p1作p1q⊥on于q，则h=p1m=on-oq=40.5-op1cos∠p1op，即h=40.5-40cosπt5=40sinπ5t-π2+40.5．所以h与t之间的函数关系式为h=40sinπ5t-π2+40.5．（2）由h=40sinπ5t-π2+40.5=20.5，得sinπ5t-π2=-12．所以当小明第1次距离地面20.5m时，π5t-π2=-π6，即t=53（min）．故小明第1次距离地面20.5m时，用了53min．点评摩天轮在周而复始的转动中，包含着许多数学问题，这里研究了人所在的高度与时间的函数关系，得到一个三角函数模型，解答的关键是通过直角三角形中的边角关系，寻找出两个变量之间的函数关系，从而转化为三角函数模型．例8 （2011年北京海淀区模拟题）一半径为4m的水轮如图8所示，水轮圆心o距水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点p从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间．（1）将点p距离水面的高度y（m）表示为时间t（s）的函数；（2）点p第一次到达最高点大约要多少时间？解析（1）不妨设水轮沿逆时针方向旋转，如图9所示，建立直角坐标系. 设角φ-π2<φ<0是以ox为始边，op0为终边的角．由op在t（s）内所转过的角为5×2π60t=π6t，可知以ox为始边，op为终边的角为π6t+φ，故p点纵坐标为4sinπ6t+φ，则y=4sinπ6t+φ+2．当t=0时，y=0，可得sin φ=-12.因为-π2<φ<0，所以φ=-π6，故所求函数关系式为y=4sinπ6t-π6+2．（2）令y=4sinπ6t-π6+2=6，得sinπ6t-π6=1．取π6t-π6=π2+2kπ（k∈z），解得t的最小值为4．故点p第一次到达最高点需要4s．点评实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．。
三角函数在经济学模型中的应用与分析
三角函数在经济学模型中的应用与分析在经济学中，数学方法广泛应用于经济模型的建立与分析。
三角函数作为数学的重要分支，也在经济学中发挥着重要的作用。
本文将探讨三角函数在经济学模型中的应用与分析，并举例说明其在实际经济问题中的运用。
一、周期性现象的建模与分析周期性现象在经济学中非常常见，如经济周期、季节性波动等。
而三角函数中的正弦函数正是一个周期性函数，在经济学模型中被广泛应用。
以经济周期为例，经济的波动往往呈现出周期性的特征，即有一定的周期，如繁荣期、衰退期等。
这种波动可以使用正弦函数进行建模。
假设经济周期的长度为T，周期性现象可以表示为y = A*sin(2πt/T)，其中A为振幅，t为时间。
通过对历史数据的分析，我们可以利用三角函数拟合出具体的周期函数，从而对未来的经济发展趋势进行预测与分析。
二、波动的幅度和周期的分析在经济模型中，我们不仅关注波动的周期，还关注波动的幅度。
三角函数的振幅正是描述波动的幅度的重要指标。
以物价指数的波动为例，我们常常使用三角函数来拟合物价指数随时间变化的函数。
通过对振幅的分析，我们可以判断物价波动的幅度，从而制定相应的经济政策。
例如，如果振幅较大，说明物价波动较为剧烈，政府可以采取相关措施来平抑物价的上涨或下降。
三、经济数据的平滑处理与预测在经济学分析中，经济数据的平滑处理与预测是非常重要的一环。
而三角函数在数据平滑处理和预测中发挥了重要作用。
以季节性调整为例，季节性波动对经济数据的影响往往比较明显，为了剔除这种季节性影响，我们可以使用三角函数对数据进行平滑处理。
通过对历史数据的拟合，我们可以得到一个去除季节性影响后的趋势线，从而更好地分析数据的长期趋势。
此外，三角函数还可以用于经济数据的预测。
通过对历史数据的拟合，我们可以建立一个数据的波动模型，并利用该模型对未来的数据进行预测。
这种方法对于经济预测具有一定的参考价值。
四、求解经济学问题中的几何关系三角函数的特性使其可以描述经济学问题中的几何关系，如角度、距离等。
三角函数模型的实际应用
三角函数模型的实际应用三角函数模型有广泛的应用，下面介绍几类实际应用：一、航海航空三角函数模型在航海航空方面的应用非常重要，利用它可以测量地球的大地测量和定位，在航空运输中提供权威的航行资料，例如绘制路线图、求解航行距离和航行时间等。
二、地图编绘地图编绘工作中也常用三角函数，在建立地图坐标系之前，可以用三角函数求出两点之间的距离或者方位角，在行使凹凸修正等工作中极为重要。
三、极坐标三角函数模型也常用在极坐标系中，假设有一个极坐标点(ρ ˆθ)，那么根据三角函数关系可以将其转换为直角坐标系的表示形式。
从而使可以用直角坐标形式来表示任意的极坐标点，并在其表示形式与直角坐标有关的几何图形中，可以将其绘制出来。
四、机械加工三角函数在机械加工中也有着广泛的用途，例如，利用三角算法，可以得出从一个极坐标到另一个极坐标的机械变换路径；用三角函数实现的抛物面及弧线的切削；在利用摄像机的3D 扫描时，也可以通过三角函数，将摄像机扫描的原始数据，转换成机械加工的参数数据。
五、摄影测量三角函数模型在摄影测量中也有深远的影响，可以进行空间坐标系的转换，从而使摄影测量与地理空间坐标系统融汇贯通。
比如，可以用三角函数模型实现从一幅空间摄影影像到另外一个空间坐标系的世界坐标系之间的重映射。
六、信息存储处理三角函数主要应用于信息存储处理，可以转换地理坐标或者其它形式的数据，将其存储在数据库中，实现进一步的统计分析或者与其它信息数据的结合，从而实现连接存储的数值信息。
七、数字信号处理三角函数在数字信号处理中具有重要作用，可以利用这种模型进行信号的压缩和数字图像的提取和处理，并利用三角算法对多边形进行着色，从而实现信号和图形的处理。
总之，三角函数模型在日常生活中具有很重要的应用，能够有效地解决一些复杂的实际问题，它是一门研究几何形状和距离的重要工具，其求解能力令人感到惊叹。
三角函数模型及其应用
三角函数符号
三角函数包括正弦（sin）、余弦 （cos）、正切（tan）等，每个 函数都有特定的符号和表示方法。
三角函数的性质
奇偶性
正弦函数（sin）和余弦函数（cos）都是偶函 数，正切函数（tan）是奇函数。
周期计算
通过三角函数的周期性，可以计算出任意角 度的三角函数值。
02
三角函数模型
正弦函数模型
定义
正弦函数是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(x)。
周期性
正弦函数具有周期性，其周期为360°或2π弧度。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。
图像
正弦函数的图像是一个周期为2π的波形曲线。
阻尼振动
阻尼振动是指振动物体受到阻力作用而逐渐减小的振 动，其振动幅度可以用三角函数表示。
交流电
正弦交流电
交流电的电压和电流随时间变化，其变化规律可以用正弦 函数和余弦函数表示。
01
相位差
在交流电系统中，两个不同频率的交流 电信号之间存在相位差，可以用三角函 数表示。
02
03
交流电的合成
多个不同频率和幅值的交流电信号可 以合成一个新的交流电信号，其合成 结果可以用三角函数表示。
通信系统
载波调制
01
通过三角函数调制信号的载波，实现信号的远距离传输和抗干
扰能力。
扩频通信
02
利用三角函数（如伪随机序列）实现扩频通信，提高通信系统
的抗干扰和保密性能。
信道均衡
03
在数字通信中，利用三角函数（如最小均方误差算法）对信道
三角函数在物理模型中的应用
三角函数在物理模型中的应用物理模型是对真实世界的抽象和描述，通过使用数学工具来解决和预测各种物理问题。
其中，三角函数是物理模型中广泛应用的重要数学工具之一。
本文将探讨三角函数在物理模型中的应用，并以实际案例来说明其重要性。
一、三角函数的定义与性质在讨论三角函数在物理模型中的应用之前，我们首先需要了解三角函数的定义与性质。
1. 正弦函数（Sine function）：在直角三角形中，对于某一锐角，正弦函数的值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。
记为sin(x)。
2. 余弦函数（Cosine function）：在直角三角形中，对于某一锐角，余弦函数的值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值。
记为cos(x)。
3. 正切函数（Tangent function）：在直角三角形中，对于某一锐角，正切函数的值等于该角的对边长度与邻边长度的比值。
记为tan(x)。
二、力学模型中的三角函数应用力学是物理的一个重要分支，描述了物体的运动和受力。
在力学模型中，三角函数可以应用于以下几个方面：1. 周期性运动的描述周期性运动是指在一定时间间隔内反复重复的运动，如振动、波动等。
这类运动可以使用正弦函数或余弦函数来进行描述。
例如，在描述弹簧振子的运动时，可以使用正弦函数来描述其位移随时间变化的规律。
2. 分解力的分析在一个斜面被一个力施加的情况下，可以使用三角函数来分解该力的大小和方向。
通过将该力分解成沿斜面和垂直斜面的分力，可以更好地进行力的分析和计算。
3. 动量和速度的分析在动量和速度的分析中，三角函数可以用来描述物体的速度方向。
例如，在一个斜面上下滑动的物体，其速度可以分解为沿斜面和垂直斜面的分量，这些分量与斜面的角度有关，可以通过三角函数来计算。
三、电磁学模型中的三角函数应用电磁学是研究电荷与电荷之间、电流与电流之间、电荷与电流之间相互作用的学科。
在电磁学模型中，三角函数可以应用于以下几个方面：1. 交流电路中的振荡交流电路中电流和电压的变化具有周期性，可以使用正弦函数或余弦函数来表示电流和电压随时间变化的规律。
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三角函数模型及应用
【学习目标】 能够运用正、余弦定理等知识解决一些与测量和平面 几何相关的实际应用问题，培养学生的应用意识．
【基础检测】
1．从点 A 处望点 B 的仰角为 α，从点 B 处望点 A 的俯角为 β，则( B ) A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
(2)因为利润函数是 π 3π π π y＝m (y2－y1)＝m[2sin(4 x－ 4 )＋8－2sin( 4x－4)－6] π ＝m(2－2 2sin4x)， 所以当 x＝6 时， 利润达到最大， 即在 6 月份盈利最大．
【点评】用待定系数法求出y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的函数关系，是解题的关键．
【解析】由仰角和俯角的概念可得 α＝β.
2．如图，海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A，B，灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔 A 的北偏西 75° 方向，与 A 相距 3 2海里的 D 处；乙船位于灯塔 B 的北偏西 60° 方向，与 B 相距 5 海里的 C 处．则两艘轮船之间的 距离为
〔备选题〕例 5 某港口 O 要将一件重要物品用 小艇送到一艘正在航行的船上，在小艇出发时，轮船 位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行 驶，假设该小艇沿直线方向以 v 海里/时的航速匀速 行驶，经过 t 时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇 航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/ 时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的 大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明 理由．
5．如图，一船在海上自西向东航行，在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 α 角，前进 m km 后在 B 处测得该岛的方位 角为北偏东 β 角， 已知该岛周围 n km 范围内(包括边界)有暗礁， 现该船继续东行， α 与 β 满足条件 当 时， mcosαcosβ>nsin(α－β) 该船没有触礁危险．
4．实际应用问题中的基本概念和术语 在实际测量距离、高度、角度等问题中常 涉及以下名词、术语： (1)坡角：坡面与水平面所成的锐二面角， 如图中角 θ. (2)坡度：坡面的垂直高度与水平宽度之 H 比，如图中 . L
(3)仰角和俯角： 二者是指与目标视线在同 一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 其中目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标 视线在水平视线下方时叫俯角．如图所示． (4)方位角： 从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平角．另外，方位角还有其它表示形 式，如正南方向，东南方向，北偏西 30° ，南 偏西 60° 等．
【解析】解法一：(1)依题意，有 A＝2 3， T 2π π π ＝3，又 T＝ ，∴ω＝ .∴y＝2 3sin x， 4 ω 6 6 2π 当 x＝4 时，y＝2 3sin ＝3， 3 ∴M(4,3)，又 P(8,0)， ∴MP＝ 42＋32＝5.
(2)在△MNP 中， ∠MNP＝120° ，MP＝5， 设∠PMN＝θ，则 0° <θ<60° ， MP NP MN 由正弦定理得 ＝ ＝ ， sin120° sinθ sin60° －θ 10 3 10 3 ∴NP＝ sinθ， ∴MN＝ sin(60° －θ)， 3 3 10 3 10 3 故 NP＋MN＝ sinθ＋ sin(60° －θ) 3 3 10 3 1 3 10 3 ＝ ( sinθ＋ cosθ)＝ sin(θ＋60° )， 3 2 2 3 ∵0° <θ<60° ∴当 θ＝30° 折线段赛道 MNP ， 时， 最长， 即将∠PMN 设计为 30° 时，折线段赛道 MNP 最长．
【点评】本例正确理解仰角、俯角(视线在水 平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个 关键．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地 面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个 空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚 又不容易搞错．
三、周期变化问题及解法 例 3 以一年为一周期调查某商品的出厂价格 和它的市场销售价格时发现： 信息 1：该商品出厂价格是在 6 元的基础上按 月份随正弦曲线波动的．已知 3 月份出厂价格最 高，为 8 元，7 月份出厂价格最低，为 4 元． 信息 2：该商品在市场销售价格是在 8 元的基 础上，按月份也是随正弦曲线波动的． 已知 5 月份 销售价格最高，为 10 元，ห้องสมุดไป่ตู้ 月份销售价格最低， 为 6 元． (1)根据上述信息 1 和 2， 求该商品的出厂价格 y1 和销售价格 y2 与月份 x 之间的函数关系式； (2)若某经销商每月购进该商品 m 件，且当月 能售完，则在几月份盈利最大？并说明理由．
四、三角函数模型综合问题及解法 例 4 如图，某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修 建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲 线段为函数 y＝Asinωx(A>0, ω>0) ，x∈[0,4]的图象，且 图象的最高点为 S(3,2 3)；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120° . (1)求 A , ω 的值和 M，P 两点间的距离； (2)应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？
13
海里．
【解析】连接 AC，则 AC＝5， 在△ACD 中，AD＝3 2，AC＝5，∠DAC＝45° ， 由余弦定理得：CD＝ 13.
3．设 y＝f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数，其中 0≤t≤24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系. t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
【知识要点】 1．解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知， 理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题 的模型； (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关 单位问题、近似计算的要求等． 2．解三角形应用题的基本思路 实际问题→建立数学模型→对数学模型求解→解决实际问 题．
【解析】
(1)如图，设相遇时小艇航行的距离为 s 海里．则 s＝ 900t2＋400－2×30t×20×cos90° －30° ＝ 900t2－600t＋400 12 ＝ 900t－ ＋300， 3 1 10 3 故当 t＝ 时，smin＝10 3，此时 v＝ ＝30 3. 3 1 3 即小艇以 30 3海里/时的速度航行，相遇时小艇的 航行距离最小．
3．解斜三角形应用题常有以下几种情形 (1)实际问题经抽象概括后， 已知量与未知 量全部集中在一个三角形中，依次可用正弦定 理或余弦定理解之． (2)实际问题经抽象概括后， 已知量与未知 量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺 序逐步在几个三角形中求出问题的解． (3)实际问题经抽象概括后， 涉及的三角形 只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连 续使用正弦定理或余弦定理．
BM m 【解析】在△ABM 中， ＝ sin90° －α sinα－β mcosα 解得：BM＝ . sinα－β 要使该船没有触礁危险需满足：BMsin(90° －β)＝ mcosαcosβ >n. sinα－β 当 α 与 β 的关系满足 mcosαcosβ>nsin(α－β)时， 该船 没有触礁危险．
【点评】首先应明确方位角的含义，在解 应用题时，分析题意，分清已知与未知，再根 据题意画出示意图，这是最关键、最重要的一 步，通过这一步可将实际问题转化为数学问 题，建立数学模型(三角函数模型)．
二、立体测量问题及解法 例 2 某人在山顶观察地面上相距 2500m 的 A、B 两个目 标，测得目标 A 在南偏西 57° ，俯角为 30° ，同时测得 B 在南偏东 78° ，俯角是 45° ，求山高(设 A、B 与山底在同 一平面上，计算结果精确到 0.1m)．
一、方位测绘问题及解法 例1 如图，A、B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3)海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45° ，B 点北偏西 60° D 点有一艘轮船发出求救信号，位 的 于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点 的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小 时，该救援船达到 D 点需要多长时间？
【解析】画出示意图(如图所示)
设山高 PQ＝h，则△APQ、△BPQ 均为直角三角形， 在图(1)中，∠PAQ＝30° ，∠PBQ＝45° . 1 1 ∴AQ＝PQ ＝ 3h，BQ＝PQ ＝h. tan30° tan45° 在图(2)中，∠AQB＝57° ＋78° ＝135° ，AB＝2500， 所以由余弦定理得： AB2＝AQ2＋BQ2－2AQ· BQcos∠AQB， 即 25002＝( 3h)2＋h2－2 3h· cos135° h· ＝(4＋ 6)h2， 2500 ∴h＝ ≈984.4. 4＋ 6 所以山高约 984.4m.
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数 y＝f(t)的图象可以近似地看 成函数 y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中， 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( A ) π A．y＝12＋3sin t, t∈[0,24] 6 π B．y＝12＋3sin( t＋π), t∈[0,24] 6 π C．y＝12＋3sin t, t∈[0,24] 12 π π D．y＝12＋3sin( t＋ ), t∈[0,24] 12 2
【解析】(1)依据信息 1、2 可知，该商品的出厂价格 y1 和销 售价格 y2 与月份 x 之间的关系都满足正弦曲线， 故可设 y1＝A1sin(ω1x＋φ1)＋B1, y2＝A2sin(ω2x＋φ2)＋B2， 8＋4 依题意，得 B1＝ ＝6，A1＝2，T1＝2(7－3)＝8， 2 2π π 所以 ω1＝ ＝ . T1 4 π 所以 y1＝2sin( x＋φ1)＋6. 4 π 将点(3,8)代入函数 y1＝2sin( x＋φ1)＋6 得， 4 π φ1＝－ ＋2kπ，k∈Z， 4 π π 所以 y1＝2sin( x－ )＋6. 4 4 π 3π 同理，可得 y2＝2sin( x－ )＋8. 4 4