随机过程第3章 Markov过程
第三章-马尔科夫过程
第三章 马尔科夫过程第一节 随机过程的概念1、 随机系数必然事件自然界中出现的事件分为 不可能事件随机事件事物的变化过程 必然过程随机过程（1） 必然过程：有确定的变化形式，可以用精确的数学关系式来描述。
如()()sin m u t U t ω= ()()sin m i t I t ωϕ=+（2） 随机过程：没有确定的变化形式，只能用随机函数来描述。
例如：在24h 内对某电网的负荷进行几天的观测，如下图所示：随机系数：观测对象随时间的变化时不确定的，用()x t 表示。
现实：每次观测得到一个具体的系数，称为随机系数的一个“现实”。
如：()()()12,...............n x t x t x t 参数。
t 是随机变量，称为过程的参数，其所有可能的集合为“参数空间”或“时间空间”。
状态：随机函数()x t 在1t 时刻的值()1x t ，称为()x t 在1t t =时的状态。
则所有可能的集合称为“状态空间”。
2、 随机系数的分类（1） 时间（分数）离散，状态空间离散 （2） 时间（分数）连续，状态空间连续 （3） 时间（分数）离散，状态空间连续 （4） 时间（分数）连续，状态空间离散 其中（1）与（4）研究的较多 3、 随机系数的概率分布当，n t t =时，()n t X 的分布与历史i t t =时()()11i t i n X ≤≤-的关系，即根据过程的历史来确定()n t X 的分布：用条件概率来描述：（()i x t 简化成i x ）()112211/,............n n n n P x x x x --X =X =X =X = （1）若在特定的情况下，n X 的分布与过去的历史无关，则()()112211/,............n n n n n n P x x x x P x --X =X =X =X ==X =称为过程独立（无记忆过程）。
若n X 的分布只与过去的一部分历史有关，如只与最近一次时间的状态有关，而与以前所有时刻的状态都是无关，即()()11221111/,............/n n n n n n n n P x x x x P x x ----X =X =X =X ==X =X =第二节 马尔科夫链1、 概述将参数和状态空间都是系数的马尔科夫过程称为马尔科夫链。
3.2-纯粹随机过程、Markov过程、独立增量过程
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
独立增量过程
独立增量过程是指对任意n和任意0≤t1<t2<…<tn ， 随机过程{ξt }t≥0的增量∆ 1ξt (t)，∆ 2ξt(t)，…， ∆nξt(t)相互独立，其中∆nξ(t)= ξ(tn)- ξ(tn-1)。 独立增量过程是指随机过程的变化量是独立的， 是Markov过程的一种类型。
4
马尔可夫性(无后效性 马尔可夫性 无后效性) 无后效性
过程或(系统)在时刻t0所处的状态为已知的
条件下,过程在时刻t > t0所处状态的条件分布与
与过程在时刻t0之前所处的状态无关的特性称为
马尔可夫性或无后效性 马尔可夫性或无后效性. 过程“将来”的情况与“过去” 即: 过程“将来”的情况与“过去”的情况是无 关的. 关的
3
Markov过程 过程
Markov过程是指对每个 和任意0≤t1<t2<…<tn， 过程是指对每个n和任意 ≤ 过程是指对每个 和任意 随机过程{ξ 随机过程 ξt }t≥0的条件分布函数满足 的条件分布函数满足 Fn(xn+1,tn+1 / x1,t1; x2,t2; …; xn,tn) = Fn(xn+1,tn+1 / xn,tn)。 。 Markov过程的记忆性比纯粹随机过程要好点，但 过程的记忆性比纯粹随机过程要好点， 过程的记忆性比纯粹随机过程要好点 变量未来的变化也只与现在有关， 变量未来的变化也只与现在有关，与该变量的历史 及其到现在以前的演变形式无关， 及其到现在以前的演变形式无关，这种性质成为马 尔科夫性。 尔科夫性。
纯粹随机过程、Markov过程 过程、 纯粹随机过程、Markov过程、独 立增量过程
随机过程中的马尔可夫过程
随机过程中的马尔可夫过程在随机过程中的马尔可夫过程马尔可夫过程是在随机过程中常见且重要的一种形式。
它具有一定的数学特性和模型结构，能够描述在离散或连续时间段内状态的转移以及相关的概率。
本文将对马尔可夫过程的基本概念、特性和应用进行详细介绍。
一、概述马尔可夫过程是一种随机过程，其状态转移满足马尔可夫性质。
马尔可夫性质是指在给定当前状态下，未来和过去的转移概率仅与当前状态有关，与过去状态无关。
这种性质使得马尔可夫过程具有简化模型和简单计算的优势，被广泛应用于各个领域。
二、基本概念1. 状态空间：马尔可夫过程的状态空间是指所有可能取值的集合。
例如，一个骰子的状态空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 转移概率：马尔可夫过程中的状态转移概率描述了从一个状态到另一个状态的概率。
用P(Xt+1 = j | Xt = i)表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 转移矩阵：将所有状态之间的转移概率整合到一个矩阵中，称为转移矩阵。
转移矩阵是一个方阵，大小为n×n，其中n是状态空间的数量。
4. 平稳分布：在马尔可夫过程中，如果某个状态的概率分布在经过无限次转移后保持不变，那么该概率分布称为平稳分布。
平稳分布可以通过解线性方程组来计算。
三、特性1. 马尔可夫链：马尔可夫过程可以看作是离散时间的马尔可夫链。
马尔可夫链是指具有无记忆性质的随机序列，即未来状态只依赖于当前状态。
2. 齐次马尔可夫过程：如果马尔可夫过程的转移概率与时间无关，那么称为齐次马尔可夫过程。
齐次马尔可夫过程的转移概率矩阵在时间上保持不变。
3. 连续时间马尔可夫过程：如果马尔可夫过程的时间是连续的，则称为连续时间马尔可夫过程。
连续时间的马尔可夫过程可以用微分方程来描述。
四、应用领域1. 金融学：马尔可夫过程常用于金融市场的建模和分析，例如股票价格的预测和风险管理。
2. 信号处理：马尔可夫过程可以用于信号和图像的分析与处理，包括语音识别和图像识别等领域。
随机过程 马尔科夫过程
或
P( X n in X 0 i0 , X 1 i1 , , X n 1 in 1 ) P( X n in X n 1 in 1 )
今后,记 S {1, 2,3,}, T {0,1, 2,},或系统
王梓坤院士(1929年—)江西吉安人,1952年大学毕业后，被分派 到天津南开大学数学系任教. 是一位对我国科学和教育事业作出 卓越贡献的数学家和教育家，也是我国概率论研究的先驱和学术 带头人之一。 1954年，他又以优异的成绩考取了赴苏研究生。踏进世界著 名学府－莫斯科大学，在这个学府世界概率论的奠基人柯尔莫哥 洛夫院士正领导看一个强有力的概率研究集团。柯尔莫高洛夫慧 眼识英才，非常信赖这位由中国选派的年轻人的能力，把他选作 自己的研究生，去攻概率论的中心问题随机过程理论。 当时中国近代数学才刚刚起步，大学也没有概率课程。此时 苏联的概率论水平已届于世界最前列。王梓坤也根本不知道什么 是概率，可他的研究方向又恰恰被定为概率论， 著有《概率论基础及其应用》、《随机过程论》、 《生灭过程与马尔科夫链》等9部数学著作．
经过k步转移,于n+k时到达状态j的条件概率).
(k ) 称以pij (n)为第i行底j列元素的矩阵
(k ) P( k ) (n) ( pij (n))
为系统{X n , n 0}在 n时的k步转移概率矩阵.
特别 当k=1时，
p (n)为系统在n时的一步转移概率,
记为 pij (n)
(1) P(1) (n) ( pij (n))为系统的一步转移概率矩阵
本章主要内容
马尔可夫过程的定义
马尔可夫链的转移概率与概率分布
齐次马尔可夫链状态的分类
转移概率的稳定性能
引例(有限制随机游动问题) 设质点只能在{0，1，2，· · · ，a}中的各点上作随机 游动，移动规则如下： q p （）移动前 1 i {1, 2,, a 1}处 i-1 i+1 i
北大随机过程课件：第 3 章 第 2 讲 马尔可夫过程
典型问题：机器维修问题
设某机器的正常工作时间是一负指数分布的随机变量，平均正常工作时间为 1/λ，它损 坏后的修复时间也是一个负指数分布的随机变量，它的平均修复时间为 1/μ。 如机器在 t=0 时是正常工作的，问在 t=10 时机器正常工作的概率如何？
∑ = Pi j (t) + [qik ⋅ Δt + o(Δt)] ⋅ Pk j (t) k
由此得到关于状态转移概率的一个方程：
柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程：
∑ dPij (t) = dt
k
qik Pk j (t)
初始条件是
Pij
(0)
=
⎧1 ⎨⎩ 0
(i = j) (i ≠ j)
考虑矩阵柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程中的第 j 列，将矩阵 P(t) 的第 j 列记作 s j (t)
初始条件： w(0)
由此，可以根据初始概率和转移率矩阵得到 w(t) 。
若已知初始概率和转移概率矩阵 P：如何求 w(t) ？
根据全概率公式：
w(t) = w(0)P(t)
求解机器维修问题
2.2 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
P{ξ (t3 ) = j /ξ (t1) = i}
= ∑ P{ξ (t2 ) = k /ξ (t1) = i}⋅ P{ξ (t3 ) = j /ξ (t2 ) = k} k∈I (t1 < t2 < t3 , i, j ∈ I )
对于 t1 < t2 < " < tm < tm+1 ∈ T ，若在 t1 < t2 < " < tm ∈ T 这些时刻观察到随机过程 的值是 i1,i2 ,"im ，则 tm+1 > tm ∈ T 时刻的条件概率满足:
markov过程.ppt
隐马尔科夫过程
实例约束
在上述实验中，有几个要点需要注意：
不能被直接观察缸间的转移 从缸中所选取的球的颜色和缸并不是
一一对应的 每次选取哪个缸由一组转移概率决定
隐马尔科夫过程
隐马尔科夫过程概念
HMM的状态是不确定或不可见的，只有通过观 测序列的随机过程才能表现出来
观察到的事件与状态并不是一一对应，而是通 过一组概率分布相联系
初始化：
递归： 终结：
1(i) pibi (O1) 1 t T
N
t1( j) [ i (i)aij ]bj (Ot1) 1 t T 1,1 j N i 1
N
P(O / ) T (i)算法
目的：给定观察序列O以及模型λ,如何选择一个对应 的状态序列S ，使得S能够最为合理的解释观察序列 O？
n1
n1
为系统在0时从状态i 出发经过有限步转移后迟早要
回状态j 的概率，简称迟早概率.
马尔科夫链
Doeblin公式
Doeblin公式：i, j ，S有：
N
p(n) ij
fij
lim
N
n1 N
1
p(n) jj
n1
推论1：
fii
1 lim N 1
1
N
p(n) ii
n1
证明思路： （1）上极限存在 （2）下极限存在 （3）相等
0
，则称系统X可以自状
态I到达状态j，并记ij。如果ij，并且ji，则
状态i与j互通，并记为ij
互通性的性质
自反律： i i (假定每个状态0步转移到自己)
对称律： i j 当且仅当j i
传递律： i k 且k j，则i j
i
随机过程第三章
随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程，其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合，其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取 值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程，其中事件的 发生是相互独立的，且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都 有应用，如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性，即两次事件 发生的时间间隔与它们是否同时发生 无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程， 如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程：一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合，这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程，但它们的 性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间，而泊松过程通 常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移，而泊松过 程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛， 而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。
随机过程第3-4讲
(i , j ∈ S ) (i ∈ S )
∑p
j∈S
(m) ij
(n) = 1
m = 1 时，即为一步转移矩阵。
规定：
1 i = j ) pi( 0 j ( n) = δ i j = 0 i ≠ j
（二）切普曼－柯尔莫哥洛夫（C－K）方程
定理：对于 m 步转移概率有如下的 C－K 方程：
+r ) pi( m (n) = ∑ pi(km ) (n) pk( rj) (n + m) (i , j ∈ S ) j k∈S
中科院研究生院 2011～2012 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
pi i +1 = p pi j = 0 p00 = 1 paa = 1 p0 j = 0 pa j = 0
(1 ≤ i ≤ a − 1) ( j ≠ i + 1, i − 1; 1 ≤ i ≤ a − 1)
pi i −1 = q = 1 − p (1 ≤ i ≤ a − 1)
n −1in
(n − 1) pi
n −1in −1
(n − 2) ⋅ L ⋅ pi i (0) ⋅ P{ X (0) = i0 }
01
因此，只要得到了马氏链的一步转移概率及初始分布，就可以求得马氏链的任 意前 n + 1 维的联合分布。特别地，若马氏链是齐次的，则由转移矩阵及初始分 布，就可以得到齐次马氏链的任意前 n + 1 维的联合分布。 注 4：一步转移概率满足：
k∈S
= ∑ P{ X (n + m + r ) = j X (n + m) = k , X (n) = i} ⋅
k∈S
⋅ P{ X (n + m) = k X (n) = i} = ∑ P{ X (n + m + r ) = j X (n + m) = k}P{ X (n + m) = k X (n) = i}
第3章马氏过程
(
) ( ) E (e F ) = E (e X )
iuX t s
4
Markov过程的判别 独立性定理 设X,Y为概率 过程的判别--独立性定理 过程的判别 独立性定理:设 为概率 空间( F 上的随机变量 上的随机变量, 的子σ代数 且设X 代数,且设 空间 ,F,P)上的随机变量 G为F的子 代数 且设 独立,Y关于 可测. 则对二元函数f(x,y), 关于G 与G独立 关于G可测 则对二元函数
E [ f ( X ,Y ) | G ] = E [ f ( X ,Y ) | Y ]
为一独立增量过程， 例 设{Bt,t≥0}为一独立增量过程，X t = e ≥ 为一独立增量过程 求证： 过程。 求证：{Xt,t≥0}为Markov过程。 ≥ 为 过程
α Bt
，
5
Markov过程的基本结论: 过程的基本结论 过程的基本结论 为马氏过程, 设{Xt ;−∞ < t < ∞}为马氏过程 − ∞ < tk < tk +1 < ...,< tk + j < ∞
(k ) p21 Pk = L p( k ) N1
p11Βιβλιοθήκη p12Lp22 L
(k )
L L
pN 2 L
(k )
p2 N . L (k ) pNN
(k )
p1N
随机矩阵
显然
( ( (i ) 0 ≤ pijn ) ≤ 1, i, j ∈ E; (ii ) ∑ pijn ) = 1, i ∈ E. j∈E
12
定理3.1.3 切普曼 柯尔莫哥洛夫 切普曼—柯尔莫哥洛夫 柯尔莫哥洛夫(Chapman定理 Kolmogorov) 方程 简称 方程, 简称C-K方程 方程. 方程 或
工程随机过程_3_马尔可夫过程(Markov)
College of Science, Hohai University
Stochastic Processes
定理2 若随机变量序列{X(n)，n0}对任何n 均满足下式，则该序列为马氏链。
P{ X (0) i0 , X (1) i1 ,, X ( n) in }
P { X ( 0) i 0 } P{ X (1) i1 | X (0) i0 } P{ X ( 2) i2 | X (1) i1 } P { X ( 3 ) i 3 | X ( 2) i 2 } P{ X ( n) in | X ( n 1) in1 }
Pn ( P1 )
n
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Stochastic Processes
初始概率分布： 马氏链在初始时刻（即零时刻）取各状态 的概率分布 p0 ( i0 ) P{ X (0) i0 } i E 0 称为它的初始概率分布。 绝对概率分布： 马氏链在第n时刻（n 0）取各状态的概 率分布 p ( j ) P{ X (n) j } j E
第三章
马尔可夫过程 (Markov)
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Stochastic Processes
Markov过程是一个具有无后效性的随机过程. 无后效性: 当过程在时刻tm所处的状态为已知时, 过程在 大于tm的时刻t所处状态的概率特性只与过程在 tm时刻所处的状态有关, 而与过程在tm时刻之前 的状态无关. (1)参数和状态都离散 -----马氏链 (2)参数离散, 状态连续 -----马氏序列 (3)其余皆为马氏过程.
9-连续时间Markov过程
j 0,1, 2
* ** p* [ r V (n 1)]} ij ij j
利用这种迭代, 可知本月无定单, 采用最优 策略,4个月后最大利润为134(万元).
转移概率矩阵: 0 q1 0 0 0 0 P 0 0 0 0 0 0 0 q2 0 0 0 0 0 0 q3 0 0 0 0 0 0 q4 1 0 r1 r2 r3 r4 0 1
令n ，可知 0 为(*)最小正根.
下证(*)有根的条件 : 设G ' (1) (数学期望) . G( z) 构造函数 : f ( z ) , 0 z 1. z G' ( z) z G( z) 显然, f (0) , f (1) 1, f ' ( z ) (0 z 1). 2 z 考虑左右导数: f ' (0) , f ' (1) 1. f "( z) (G" ( z ) z G ' ( z ) G ' ( z ))z 2 2 z (G ' ( z ) z G ( z )) (0 z 1). 4 z 1 3 ( k 0 p k [k (k 1) 2k 2]z k ) 0. z
利润预测 ：某玩具商每月至多接 受2份定单. X (n)表示第n个月的定单数，可设是 齐次 Markov链, 根据过去经营的资料分 析, 接受定单的转移概率为 p 00 P p 10 p 20 r00 R r10 r 20 p 02 0.1 0.3 0.6 p12 0.3 0.3 0.4 , 0.3 0.1 0.6 p 21 p 22 I 0 1 2表示接受的定单数 .相应于P报酬矩阵为 p 01 p11 r02 20 10 20 r11 r12 10 20 40 r00 20表明 10 40 60 r21 r22 这个月无定单 , 下个月还无定单公司赔 20万元. r01
Markov过程(随机过程报告)
这条性质也就是说，如果过程在时刻 处于状态 ，那么不管它以前处于什么状态，过程以后处于什么状态的概率是一样的。这就说明了，Markov链在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”是条件独立的。
此外，对于Markov链 及 及任意状态 ，有
对状态空间 上的任意有界实值函数 有
二、概率转移矩阵
记
并定义无穷矩阵
由于此无穷矩阵的分量都是非负的且不超过1，易见这种无穷矩阵的乘法满足结合律，又因为
所以， （无穷Βιβλιοθήκη 位阵），特别的， 称为时刻 的（一步）转移概率矩阵。
如果Markov链的概率转移矩阵 与 无关，则称其为时齐的Markov链，我们把此矩阵简记为 。
三、Markov链的例
独立同分布的随机变量的部分和序列，称为随机徘徊，它是时间参数离散情形时的时齐的独立增量过程，又若其中的随机变量只取-1和1两个值，则称为简单随机徘徊。
今考虑一个简单随机徘徊 ，其状态空间为 ，由 的定义
其中 为独立同分布随机变量序列，满足
这里 表示一个粒子分别以概率 与 向右与向左走一格。由于随机徘徊是时齐的独立增量过程，由第3章可知它也是时齐的Markov链。又因为 都是 的部分和，所以，它们和 独立，故
随机过程课程报告
——离散Markov链（李继刚）
考虑一个随机过程 ，我们假设随机变量 的取值在某个集合 中, 则集合 称为状态空间.
独立随机试验模型最直接的推广就是Markov模型. 粗略地说, 一个随机过程如果给定了当前时刻 的值 , 未来 的值 不受过去 的影响就称为是有Markov性. 如果一个过程具有Markov性, 则称该过程为Markov过程. 特别地, 当状态空间S为至多可列集时, Markov过程称为Markov链.
随机过程第3章 Markov过程
p， 0 < j = i + 1 ≤ n −1
pij
=
q1， ，
0≤
j = i −1< n −1 i = 0, j = 0
1，
i = n, j = n
0，
其他
1 0 0 0 0 0 0 0
q
0
p
0
00
0
0
0 q 0 p 0 0 0 0
0
0
q
用Xn表示恰好第n个顾客服务完时正在等待 需要服务的顾客数, An表示在第n个顾客服务期 间到达希望服务的顾客数.
用Xn表示恰好第n个顾客服务完时正在等待需要 服务的顾客数, An表示在第n个顾客服务期间到达 希望服务的顾客数. 我们假设顾客的到达与离开
不会同时发生, 并且
P(An = k) = ak , k = 0,1, 2,; n = 1, 2,
0,
k = j +1 k = j −1 其他 k
0 p 0 0 0 0
q 0 p 0 0 0
0 q 0 p 0 0
P = 0 0 q 0 0 0
0 0 0 0 0 p
例3.1 下图为一个迷宫, 其中房间9放有一块
奶酪,而房间7里隐藏着一只猫. 现有一只老
鼠从房间1出发. 假设老鼠没有任何信息,
即: 当老鼠在一个给定房间时, 它进入相邻
房间的概率为
1 k
,
其中k表示与该给定房间
相邻的房间个数. 假设一旦老鼠进入奶酪
或猫所在的房间, 则永远停留在该房间.
设Xn表示老鼠在n次变换房间之后所在房间号, 则随机过程{Xn, n=0,1,2,…}是一个以S={1,2,…,9} 为状态空间的Markov链, 并且初始概率向量为
随机过程第三章课件
（3）该过程为平稳增量过程；
（4）在 t , t t 内出现一个事件的概率为t ot（当 t 0 时）
为 ot ，即 P N t t N t 2 ot
则称该计数过程为泊松过程。
为一常数；在 t , t t 内出现事件二次以及二次以上的概率
st
，则 N s N t
3.2 泊松过程
【二】泊松过程:
【定义一】泊松过程 设 N t , t 0 为计数过程，其状态取非负整数，并满 足下列假设：
（1）从 t 0 起开始观察事件，即 N 0 0
和 N t4 N t3 是相互统计独立的；
（2）该过程是独立增量过程，即当 0 t1 t2 t3 t4 时，N t2 N t1
FSn
t k et t 0 t PSn t PN t n
f Sn t
dFSn t dt
t n1 t 0 e t n 1!
k n
k!
3.3 有关泊松过程的几个问题
【三】到达时间的条件分布:
设泊松过程 N t , t 0 ，如果已知在 0, t 内有一个 A 事件出现，问这 一事件到达时间的分布如何？
PT1 s, N t 1 PN s 1, N t N s 0 PN t 1 PN t 1 PN s 1PN t N s 0 PN t 1
（1）从 t 0 起开始观察事件，即 N 0 0
和 N t4 N t3 是相互统计独立的；
（2）该过程是独立增量过程，即当 0 t1 t2 t3 t4 时，N t2 N t1
随机过程中的马尔可夫决策过程
随机过程中的马尔可夫决策过程马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是研究随机过程中最常用的一种方法。
它是一个数学框架，用于描述一个决策问题的动态过程，其中包含了决策者、状态和决策时的不确定性。
一、马尔可夫决策过程的基本概念马尔可夫决策过程由以下几个要素组成：1. 状态（State）：表示系统在某一时刻的条件或属性，可以用来描述决策问题的各个可能的情况。
状态可以是离散的，也可以是连续的。
2. 决策（Decision）：表示决策者在每个状态下可以采取的行为或策略。
决策可以是确定性的，也可以是随机性的。
3. 反馈（Feedback）：表示决策者在采取某个行为后，系统转移到下一个状态的概率。
这个概率可以是确定性的，也可以是随机性的。
4. 收益（Reward）：表示决策者在每个状态下采取某个行为后获得的收益或效用。
收益可以是实数值，也可以是离散值。
5. 转移概率（Transition Probability）：表示系统从当前状态转移到下一个状态的概率。
这个概率通常是通过观测历史数据来估计得到的。
二、马尔可夫决策过程的求解方法马尔可夫决策过程的求解方法主要包括以下几种：1. 基于价值函数的方法：通过定义状态的价值函数或动作的价值函数来确定最优决策。
常用的方法有价值迭代和策略迭代。
2. 基于策略梯度的方法：通过直接优化策略的参数来确定最优决策。
这种方法可以应用于连续动作空间的问题。
3. 基于模型的方法：通过建立系统的动态模型，预测不同决策下的状态转移和收益，然后进行优化。
三、马尔可夫决策过程的应用马尔可夫决策过程在实际应用中具有广泛的应用领域，包括但不限于以下几个方面：1. 机器人路径规划：马尔可夫决策过程可以用来描述机器人在不同状态下的移动和决策过程，从而实现自主路径规划和导航。
2. 股票交易决策：马尔可夫决策过程可以用来描述股票市场的波动和交易决策，从而实现基于历史数据的股票交易策略。
第3-4讲(marcov过程)
对于齐次马氏链，此方程为：
+r ) pi( m = ∑ pi(km ) p k( rj) j k∈S
(i , j ∈ S )
（C－K 方程）
证明：由 m 步转移概率的定义、全概率公式及马氏性，有：
( m+ r ) pij (n) =
= P{ X (n + m + r ) = j X (n) = i} = ∑ P{ X (n + m + r ) = j , X (n + m) = k X (n) = i}
(i ≥ 1, i ∈ S ) (i ≥ 1, i ∈ S ) ( j ≠ i + 1, i − 1, i ≥ 1, i ∈ S )
注意； i 状态为马氏链的吸收状态的充要条件是： pi i = 1 。
（3） 带有二个吸收壁的随机游动： 此时 { X ( n), n = 0,1,2L} 是一齐次马氏链，状态空间为 S = {0,1,2,L, a} ，
注 2： 等式（A）刻画了 Markov 链的特性，称此特性为 Markov 性或无后 效性（即随机过程将来的状态只与现在的状态有关，而与过去无关） ，简称为马 氏性。Markov 链也称为马氏链。 定义：设 { X ( n); n ≥ 0} 为马氏链，状态空间为 S ，对于 ∀i, j ∈ S ，称
1．
Markov 链的定义
，如果对 ∀ n ∈ N 0 ， 定义：设随机序列 { X ( n); n ≥ 0} 的状态空间为 S （离散） 及 i0 , i1 ,L, in , in +1 ∈ S ,
P{ X (0) = i0 , X (1) = i1 ,L, X (n) = in } > 0 ，有：
第三章Markov过程
0
P2 P2 1/ 9 2 / 9 1/ 3 2 / 9 1/ 9
0
1/9
2/9
5/9
1/
9
0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3
1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 0
（2）
P2
P0
P2
1
,
1
,
1
,
1
,
1
11//
9 9
5/9 2/9
2/9 1/ 3
1/ 9 2/9
0
1/ 9
5 5 5 5 5 0
k 0
例3.1（一维随机游动）设一质点在直线上的点集 I 1,2,3,4,5
上作随机游动，每秒钟发生一次游动，游动规则是：如果
质点处于2，3，4点处，则在下一秒钟，质点均以的概率 向左，右移动一单位或停留在原处；如果质点处于1处， 则在下一秒钟以概率1移动到2处；如果质点处于5处，则 在下一秒钟以概率1移动到4处．因为质点不可越出1，5两 点，故称为不可越壁的随机游动．用X n表示在时刻n质点
例3.4 若Markov链有转移概率矩阵 则显见1,2和3,4,5是状态在互达意义下的 两个等价类。这个链是可约的。可以把 它分成两个链来研究。
1
4
1
2
P 0
0
0
3 4
0
0
0
1 2
0
0
0
0
0
1
0
0
1 2
0
1
2
0 0 1 0
i 定义3.4 状态 的周期．i为Markov链的一个状态，使 Piin 0
的位置，则 X n , n 0是—个齐次马氏链．
(1) 试写出它的一步转移矩阵和二步转移矩阵；
Markov过程（随机过程报告）
Markov过程（随机过程报告）随机过程课程报告——离散Markov 链（李继刚）考虑一个随机过程},{T t t ∈ξ，我们假设随机变量t ξ的取值在某个集合S 中, 则集合S 称为状态空间.独立随机试验模型最直接的推广就是Markov 模型. 粗略地说, 一个随机过程如果给定了当前时刻t 的值t ξ, 未来t s >的值s ξ不受过去t u <ξ的影响就称为是有Markov 性. 如果一个过程具有Markov 性, 则称该过程为Markov 过程. 特别地, 当状态空间S 为至多可列集时, Markov 过程称为Markov 链.对于Markov 链, 当指标集T 是非负整数时, 称为离散时间Markov 链; 当指标集T 是连续时间时, 称为连续时间Markov 链.在本文中，主要讨论有关时间离散的Markov 链的性质，有关Markov 链的概念等。
一、Markov 性质随机序列}0:{≥n n ξ称为Markov 链，如果这些随机变量都是离散的，而且对于0≥?n 及任意状态,,,,10-n i i j i ，都有)|(),,|(100111i j P i i i j P n n n n n n =======+--+ξξξξξξ这个性质就称为Markov 性质。
这条性质也就是说，如果过程在时刻n 处于状态i ，那么不管它以前处于什么状态，过程以后处于什么状态的概率是一样的。
这就说明了，Markov 链在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”是条件独立的。
此外，对于Markov 链}0:{≥n n ξ及0,1≥≥?n m 及任意状态10,,,,-n i i j i ，有 )|(),,,|(0011i j P i i i j P n m n n n n nm =======+--+ξξξξξξ对状态空间S 上的任意有界实值函数f 有 )|)((),,|)((1001n n n n n n i f E i i fE ====++ξξξξξ二、概率转移矩阵记)|(),(i j P m n p n m ij ===ξξ并定义无穷矩阵)),((),(m n p m n P ij =由于此无穷矩阵的分量都是非负的且不超过1，易见这种无穷矩阵的乘法满足结合律，又因为{)()(10),(j i j i ij ij n n p =≠==δ所以，I n n P =),(（无穷单位阵），特别的，)1,(+n n P 称为时刻n 的（一步）转移概率矩阵。
第3章马氏过程(应用随机过程,陈萍)
p
(n) ij
pij (0, n) pij (m, n)
(1) p p 特别地, n=1时,简记 ij ij
以下仅限于讨论齐次马氏链.
11
( n) 3) 记 Pn ( pij ) ,称Pn为{X k，k=0,1,2,… }的n步转移概 率矩阵. 若马氏链的状态空间E={1，2，··· ，N}，则称此马氏链 是有限马氏链。此时，其k步转移矩阵是一个N 阶方 阵 k k k
0.9 0.1 0
0 .3 0 .1 0 .6 P 0 0 .1 0 .9 0 0 1
14
二 若干实例
例3.1.1 独立随机变量和的序列
设{ξn, n≥0}为独立同分布随机变量序列，分布
律为P{ξn = k}= qk, k=0,1,…，
令 X n k ,则易证{Xn, n≥0}是一Markov链， k 0 且 q j i , j i , pij j i. 0, 显然，{ξn, n≥0}本身也是一Markov链.
2
回顾:Markov过程的定义 设随机过程
P{X t B | X t1 x1,..., X tn xn} P{X t B | X tn xn},
t1 t2 ... tn t, xi , i 1,..., n
X t ; t 若对
则称该过程为Markov过程，简称“马氏过程”。 (s t ) 称 P(s, x; t, B) P( X t B | X s x) 为转移概率函数.
P( X t0 i0 , , X tn1 in 1 X tn in ) P( X tn1 in 1 , , X tnm in m X tn in )
随机过程马尔可夫过程的应用
随机过程——马尔可夫过程的应用年级：2013级专业：通信工程3班姓名：李毓哲学号：1302070131摘要：随机信号分析与处理是研究随机信号的特点及其处理方法的专业基础，是目标检测、估计、滤波灯信号处理理论的基础，在通信、雷达、自动检测、随机振动、图像处理、气象预报、生物医学、地震信号处理等领域有着广泛的应用，随着信息技术的发展，随机信号分析与处理的理论讲日益广泛与深入。
随机过程是与时间相关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。
随机过程的具体取值称作其样本函数，所有样本函数构成的集合称作随机过程的样本函数空间，所有样本函数空间及其统计特性即构成了随机过程。
通信工程中存在大量的随机现象和随机问题。
如：信源是随机过程；信道不仅对随机过程进行了变换，而且会叠加随机噪声等。
马尔可夫过程是一类非常重要的随机过程。
随着现代科学技术的发展，很多在应用中出现的马氏过程模型的研究受到越来越多的重视。
在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，马尔可夫过程在研究质点的随机运动、自动控制、通信技术、生物工程等领域中有着广泛的应用。
我们可以通过对马尔可夫过程的研究来分析马尔可夫信源的特性。
关键词：随机过程，马尔可夫过程，通信工程，应用目录一、摘要二、随机过程2.1、随机过程的基本概念及定义2.2、随机过程的数学描述2.3、基于MATLAB的随机过程分析方法三、马尔可夫过程3.1马尔可夫过程的概念3.2马尔可夫过程的数学描述四、马尔可夫过程的应用4.1马尔可夫模型在通信系统中的应用4.2马尔可夫模型在语音处理的应用4.3马尔可夫模型的其他应用五、结论参考文献二、随机过程2.1、随机过程的基本概念及定义自然界变换的过程通常可以分为两大类——确定过程和随机过程。
如果每次试验所得到的观测过程都相同，且都是时间t的一个确定函数，具有确定的变换规律，那么这样的过程就是确定过程。
反之，如果每次试验所得到观测过程都不相同，是时间t的不同函数，没有为确定的变换规律，这样的过程称为随机过程。
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关,
称为Markov链的n步转移概率,
记作
p(n) ij
即:
p(n) ij
=
P( X m + n
=
j|
Xm
= i).
通常把以 p(ijn)为元素的矩阵( p(ijn) )称为n步转移概
率矩阵, 记作P(n) = ( p(ijn) ).
若时齐Markov链的n步转移概率矩阵为 P(n), 初 始概率向量为S(0), 则经过n步转移后的概率向 量为: S(0)P(n) .
(1) pij ≥ 0, ∀i, j
∑ (2) pij = 1, ∀i j
通常把转移概率排成一个(无穷维的)方阵, 记作
p00 p01 p0j
p10
p11
p1j
P =
pi0
pi1 pij
称为Markov链的转移概率矩阵.
0
0
∑ a0
k
=1
ak
对于例3.4, 我们特别感兴趣的问题是:
(1) 平均每小时内未被服务而离开的顾客数;
(2) 该修鞋匠平均每小时空闲时间长度.
定义3.3 设{Xn, n≥0}为任一时齐的离散时间Markov
链. 则对于任意i, j∈S, P{Xm+n = j | Xm = i}都与m无
例3.2 (直线上的随机游动)考虑在直线上整数点上
运动的粒子. 当它处于位置j时, 这里姑且假定j
就是所处的状态, 向右游动到j+1的概率为p而向
左游动到j-1的概率为q=1-p. 假定时刻0时粒子
处在原点, 即X0=0, 于是粒子在时刻n所处的位
置Xn就是一个Markov链, 它有转移概率:
p, pjk = q,
定义3.1 如果对任何一列状态i0, i1, …, in-1, i, j, 及对 任何n≥0, 随机过程{Xn, n≥0}满足Markov性质:
P{X n+1 = j | X 0 = i0,, X n−1 = in−1, X n = i} = P{X n+1 = j | X n = i}
则称随机过程{Xn, n≥0}为离散时间Markov链. 定义3.2 设{Xn, n≥0}为一离散时间Markov链. 对于
定义3.5 一个Markov链的状态空间, 如果在互达性 这一等价关系下都居于同一类, 那么就称这 个Markov链是不可约的. 否则, 这个Markov 链就被称为是可约的.
注: 引入可约/不可约概念是为了以后研究状态的 周期,进一步是为了研究转移概率的极限性质.
0,
k = j +1 k = j −1 其他 k
0 p 0 0 0 0
q 0 p 0 0 0
0 q 0 p 0 0
P = 0 0 q 0 0 0
0 0 0 0 0 p
0.8
A→ A
0.2
B→A
0.3
C→A
0.1
A→B
0.7
B→B
0.2
C→B
0.1
A→C
0.1
B→C
0.5
C →C
设A, B, C三种啤酒的目前市场份额为25%, 40%, 35%, 求半年后A种啤酒的市场份额.
0.8 0.1 0.1 解: 转移概率矩阵为: P = 0.2 0.7 0.1
游戏. 让粒子的位置Xn代表赌徒甲在第n次赌 博之后所赢的钱数(每扔硬币一次的输赢为1
元). 假如甲方有赌本a, 乙方有赌本b, 则可以
证明甲先输光的概率为
b a+b
.
例3.4 (排队论问题) 假设一个修鞋匠有四把椅子, 其中一把椅子为修鞋时顾客使用, 另外三把椅 子共顾客等待使用. 当三把椅子全都被使用时, 新到的顾客将会去其他地方寻找服务. 假设该 修鞋匠服务每一位顾客恰好都是10分钟.
推论1 对于任意的n, m≥0,
P(n+m) = P(n)P(m).
注: 推论中的矩阵可以是无穷阶的, 但是乘法 规则与有限矩阵一样.
推论2 对于任意的n≥0,
P(n) = Pn .
例3.5 某市场上只有A, B, C三种啤酒. A种啤酒改
变广告方式后经市场调查发现: 买啤酒的顾
客每两个月平均转移率如下:
第3章 Markov过程
考虑一个随机过程X={Xt, t∈T}. 我们假设随机变 量Xt的取值在某个集合S中, 则集合S称为状态空间.
独立随机试验模型最直接的推广就是Markov模 型. 粗略地说, 一个随机过程如果给定了当前时刻t的 值Xt, 未来s>t的值Xs不受过去Xu (u<t)的影响就称为 是有Markov性. 如果一个过程具有Markov性, 则称 该过程为Markov过程. 特别地, 当状态空间S为至多 可列集时, Markov过程称为Markov链.
例3.1 下图为一个迷宫, 其中房间9放有一块
奶酪,而房间7里隐藏着一只猫. 现有一只老
鼠从房间1出发. 假设老鼠没有任何信息,
即: 当老鼠在一个给定房间时, 它进入相邻
房间的概率为
1 k
,
其中k表示与该给定房间
相邻的房间个数. 假设一旦老鼠进入奶酪
或猫所在的房间, 则永远停留在该房间.
设Xn表示老鼠在n次变换房间之后所在房间号, 则随机过程{Xn, n=0,1,2,…}是一个以S={1,2,…,9} 为状态空间的Markov链, 并且初始概率向量为
0
p 0
0
0
P =
0 0 0 0 0 p 0 0
0
0
0
0
00
p
0
0 0 0 0 0 q 0 p
0 0 0 0 0 0 0 1
当p
=
q
=
1 2
时,
称为简单对称随机游动.
它可
用于刻画公平赌博问题.
例如: 考虑出现正、反面概率均为0.5的扔硬币
定理3.1 对于任意的n, m≥0 及 i, j∈S,
∑ p(n+m) ij
=
p(n) ik
pk(mj ).
k
证: 按时刻n的状态进行分解, 再用Markov性, 有
p(n+m) ij
=
P( X n + m
=
j|
X0
= i)
∑ = P(Xn+m = j, Xn = k | X0 = i) k
∑ = P(Xn = k | X0 = i)P(Xn+m = j | Xn = k, X0 = i) k
0
0
0
0
1 3
0
1 3
0
1 3
0 0 0 0 0 0 0 0 1
对于例3.1, 我们特别感兴趣的问题是: (1) 老鼠在遇到猫之前找到奶酪的概率; (2) 老鼠在遇到猫之前找到奶酪所用时间的概
率分布; (3) 老鼠在遇到猫之前找到奶酪需要经过的房
间数的概率分布.
思考: 假如在例3.1中, 猫在房间9里, 奶酪在房间 5里, 并且老鼠在寻找奶酪过程中具有记忆性, 即不会回到自己刚刚过来的房间. 问老鼠在遇 到猫之前可以寻找到奶酪的概率是多少? (0.75)
用Xn表示恰好第n个顾客服务完时正在等待 需要服务的顾客数, An表示在第n个顾客服务期 间到达希望服务的顾客数.
用Xn表示恰好第n个顾客服务完时正在等待需要 服务的顾客数, An表示在第n个顾客服务期间到达 希望服务的顾客数. 我们假设顾客的到达与离开
不会同时发生, 并且
P(An = k) = ak , k = 0,1, 2,; n = 1, 2,
因此,
Xn+1 = min{m3,inX{3n,−A1n++1}A,n+1},
若Xn = 0 若Xn = 1, 2, 3
转移概率矩阵为:
∑
+∞
a0 a1 a2
ak
k =3
+∞
P = a0
0
a1 a0
a2 a1
∑ k
=3
ak
∑+∞
ak
k =2 +∞
证: (3) 若i↔k 且k↔j, 则存在整数n和m使得:
p(n) ik
>
0,
p(m) kj
>
0.
由Chapman-Kolmogorov方程得:
∑ p(n+m) ij
=
p p (n) (m) ir rj
≥
p p (n) (m) ik kj
> 0.
r
即: i→j. 类似可证j→i.
在数学上, 等价关系可以用于对集合进行分 割. 因此, 我们也可以利用互达性对状态空间进行 分类, 并且这些类在互达关系下是等价类.
p， 0 < j = i + 1 ≤ n −1
pij
=
q1， ，
0≤
j = i −1< n −1 i = 0, j = 0
1，
i = n, j = n
0，
其他
1 0 0 0 0 0 0 0
q
0
p
0
00
0
0
0 q 0 p 0 0 0 0
0
0
q
即: 半年后A种啤酒占有的市场份额为49.26%.
例如: 考虑出现正、反面概率均为0.5的扔硬币