高二数学下学期第一次月考试题 文(无答案)
2023-2024学年山西省高二下册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年山西省高二下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知1()2P BA =∣，3()8P AB =，则()P A 等于（）A ．316B ．1316C ．34D ．14【正确答案】C根据条件概率公式计算．【详解】由()()()P AB P BA P A =∣，可得()3()()4P AB P A P B A ==∣.故选：C.2．已知012233C 2C 2C 2C 2C 81n n n n n n n ++++⋅⋅⋅+=，则123C C C C nn n n n +++⋅⋅⋅+等于（）A ．15B ．16C ．7D ．8【正确答案】A【分析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得n 的值，再由由二项式系数和即得.【详解】逆用二项式定理得()01223322221281nn n nn n n n C C C C C ++++⋅⋅⋅+=+=，即433n =，所以n =4，所以12342115n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=-=．故选：A.3．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80【正确答案】C【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.4．若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A ．180B ．120C ．90D ．45【正确答案】A【分析】已知条件中只有第六项的二项式系数最大，n 应为偶数，可确定n 值，进而利用展开式即可求得常数项.【详解】如果n 为奇数，那么是中间两项的二项式系数最大；如果n 为偶数，那么是中间一项的二项式系数最大；只有第六项的二项式系数最大10n ∴=，1022x ⎫∴⎪⎭展开式的通项为：10521102r r r r T C x -+=⨯⨯令10502r-=，解得：2r =∴展开式中常数项是.22102180C ⨯=故选：A.5．有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（）A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种【正确答案】B【分析】利用捆绑法和插空法可求得结果.【详解】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有22A 种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有33A 种不同排法；第三步，排2名小学生有22A 种不同排法，排3名初中生有33A 种不同排法.根据分步计数原理，共有23232323144A A A A =种不同排法.故选：B方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.6．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A ．122B ．112C ．102D ．92【正确答案】D【详解】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．二项式系数，二项式系数和．7．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【正确答案】D【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D8．设5nx⎛⎝的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若240M N -=，则展开式中有理项共有（）A ． 1项B ．2项C ．3项D ． 4项【正确答案】C【分析】根据二项式系数和公式，结合赋值法、二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式系数和为2n N =，在5nx⎛ ⎝中，令1x =，得4nM =，由()()24042240021521602164n n n n nM N n -=⇒--=⇒+-=⇒=⇒=，二项式45x⎛ ⎝的通项公式为()()34442144C 5C 51rr r r r r r r T x x ---+⎛=⋅⋅=⋅⋅-⋅ ⎝，令0,2,4r =，则344,1,22r-=-，所以展开式中有理项共有3项，故选：C9．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段2OF 的中点，则双曲线C 的离心率是（）AB C ．3D 【正确答案】A【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段2OF 的中点得到2c b =，即可求出离心率,【详解】由题意知：渐近线方程为by x a=±，由焦点2(,0)F c ，222c a b =+，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，即r b ==，又该圆过线段2OF 的中点，故2cr b ==，所以离心率为ca=故答案为.310．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种【正确答案】B【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C CA 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种，故选：B.二、多选题11．若()102100121021,R x a a x a x a x x -=++++∈ ，则（）A ．2180a =B ．10012103a a a a +++= C ．100210132a a a -+++=D ．31012231012222a a a a ++++=- 【正确答案】ABD【分析】根据二项式展开式的系数特点，结合通项公式，采用赋值法，一一求解各个选项，即得答案.【详解】由题意1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，所以8282310C (2)(1)180T x x =-=，所以2180a =，故A 正确．令=1x -，则1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，即为1021001210(21)||||||||x a a x a x a x +=++++ ，令1x =，得1001210||||||||3a a a a ++++= ，故B 正确；对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得012101a a a a ++++= ，令=1x -，得：10012103a a a a -+-+= ，两式相加再除以2可得100210132a a a ++++= ，故C 错误.对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，得01a =，令12x =，得310120231002222a a a aa +++++= ，故31012231012222a a a a ++++=- ，故D 正确，故选：ABD12．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）A ．()35P A =B ．()310P AB =C ．()12P B A =D ．()12P B A =【正确答案】ABC【分析】根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.【详解】()131535C C P A ==,故A 正确；()11321154310C C P AB C C ==，故B 正确；()()()0351231P AB P P A B A ===，故C 正确；()121525C C P A ==，()11231154103C C C C P AB ==，()()()3310245P AB P B A P A ===，故D 错误.故选:ABC三、填空题13．已知事件A 和B 是互斥事件，()16P C =，()118P B C ⋂=，()()89P A B C ⋃=，则()P A C =______．【正确答案】59【分析】根据条件概率的定义以及运算性质，可得答案.【详解】解：由题意知，()()()()89P A B C P A C P B C ⋃=+=，()()()1118136P B C P B C P C ⋂===，则()()()()815939P A C P A B C P B C =⋃-=-=．故59．14．5555除以8，所得余数为_______.【正确答案】7【分析】由55561=-，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.【详解】依题意，()()()()()()5512545555055154253541550555555555555561C 561C 561C 561C 561C 561=-=-+-+-++-+- 因为56能被8整除，所以5555除以8，所得的余数为.187-+=故7.15．已知()()()420122111x a a x a x -=+-+-()()343411a x a x +-+-，则3a =____.【正确答案】32对多项式进行变形得()44444112122122x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再研究441212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的()31x -项，即可得答案.【详解】对多项式进行变形得()44444112122122x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴44142((,0,1,,411)2r r rr T C r x -+-=⋅= ，当3r =时，4343342(3212a C -=⋅=.故答案为.32本题考查二项式定理求展开式指定项的系数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有__________种．【正确答案】15【分析】依题意，首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，再来分配这4个球，按照分类加法计数原理计算可得；【详解】解：有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，故首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，①4个球分给一人，有3种分法；②4个球分给两个人，又有两种情况，一人3个一人1个有236A =种分法；两人都是2个有3种分法；③4个球分给3个人，只有1、1、2这种情况，有3种分法，按照分类加法计数原理可得一共有363315+++=种；故15本题考查分类加法计数原理的应用，属于基础题.四、解答题17．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*N n S n ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，公比大于0，且2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和()*N n ∈.【正确答案】(1)32n a n =-，2nn b =(2)前n 项和110(35)2n n T n +=+-⋅【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比q 的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项1a 和公差d 的值，即可求得{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）先根据第（1）题的结论得到数列{}n n a b ×的通项公式，然后运用错位相减法求出前n 项和n T ．【详解】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >．故22212q q +=，解得2q =，12b = ，则2231228b b q ==⨯=，33412216b b q ==⨯=，由题意，得11132811101111162a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+=⨯⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩．13(1)32n a n n ∴=+-=-；1222n n n b -=⨯=．（2）由（1）知，(32)2n n n a b n ⋅=-⋅．设其前n 项和为n T ，211221242(32)2n n n n T a b a b a b n ∴=++⋯+=⨯+⨯+⋯+-⋅，①23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⋅+-⋅，②①-②，得23112323232(32)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅--⋅21212(122)(32)2n n n -+=+⨯++⋯+--⋅1112212(32)212n n n -+-=+⨯--⋅-()153210n n +=-⋅-．()110352n n T n +∴=+-⋅．18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为()220x py p =>，其顶点到焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)若点()0,4P -，设直线():0l y kx t t =+≠与抛物线交于A 、B 两点，且直线PA 、PB 的斜率之和为0，证明：直线l 必过定点，并求出该定点．【正确答案】(1)28x y =；(2)详见解析；【分析】（1）根据题意求出抛物线的焦点坐标，可求得p 的值，进而可求得抛物线的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据直线PA 、PB 的斜率之和为0求得实数t 的值，即可求得直线l 所过定点的坐标.【详解】（1）0p > ，且抛物线22x py =的顶点到焦点的距离为2，则该抛物线的焦点坐标为()0,2，22p∴=，解得4p =，因此，该抛物线的方程为28x y =；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立28y kx tx y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得2880x kx t --=，由韦达定理得128x x k +=，128x x t =-.直线PA 的斜率为2111111144488x y x k x x x ++===，同理直线PB 的斜率为22248x k x =+，由题意得()1212121212124448324108888x x x x x x k k k k k x x x x t t +++⎛⎫+=++=+=+=-= ⎪-⎝⎭，上式对任意的非零实数k 都成立，则410t -=，解得4t =，所以，直线l 的方程为4y kx =+，该直线过定点()0,4.设而不求，联立方程，利用韦达定理解题是本类题目常用思路.本题中表示出()12121212121244441088x x x x x x k k k x x x x t +++⎛⎫+=++=+=-= ⎪⎝⎭是解题关键，也是计算难点.19．已知函数()2()24ln f x x ax x =-，a R ∈.（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）令2()()g x f x x =+，若[1,)x ∀∈+∞，函数()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2))+∞【分析】（1）当0a =时，()22ln f x x x =，求出()f x ¢，可得函数()f x 的单调区间；（2）依题意得，()()2224ln g x x ax x x =-+，然后求导，得()()()()44ln 2424ln 1g x x a x x a x x a x =-+-+=-+'，然后，分情况讨论即可求出实数a 的取值范围【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,+¥当0a =时，()22ln f x x x =()()4ln 222ln 1f x x x x x x =+=+'令()'0f x >得2ln 10x +>，解得12x e ->，令()'0f x <得2ln 10x +<，解得120x e -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）()()2224ln g x x ax x x =-+，()()()()44ln 2424ln 1g x x a x x a x x a x =-+-+=-+'由[)1,x ∈+∞得ln 10x +>①当1a ≤时，()'0g x ≥，函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1g x g ≥，即()1g x ≥，函数()g x 在[)1,+∞上没有零点.②当1a >时，()1,x a ∈时，()'0g x <，(),∈+∞x a 时，()'0g x >所以函数()g x 在()1,a 上单调递减，在(),+∞a 上单调递增因为()110g =>，()2240g a a =>所以函数()g x 在[)1,+∞有两个零点只需()()()2min 12ln 0g x g a a a ==-<解得a >综上所述，实数a 的取值范围为)+∞本题考查利用导数求单调性和单调区间的问题，解题的关键在于分情况讨论时注意数形结合，属于难题。
贵州省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合，集合N 为函数的定义域，则（ ）{}|12M x x =-≤≤()lg 1y x =-M N ⋂=A ． B ． C ． D ． ()12，[]12，[)12，(]12，【答案】D【分析】根据对数的真数为正数化简集合，进而由集合的交运算即可求解. (1,)N =+∞【详解】由，所以， 101x x ->⇒>(1,)N =+∞又，所以， {}|12M x x =-≤≤(]1,2M N = 故选:D2．若，则（ ） 43z i =-zz =A ．1 B ．-1C ．D ．4355i +4355i -【答案】C【分析】根据共轭复数与模长的求解计算即可.【详解】因为,故. 43z i =-4355z i z==+故选：C.3．已知椭圆中，长轴长为10 ）22221(0)x y a b a b +=>>A ．B ．10C ．D ．【答案】A【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解.【详解】，所以；又因为 210a = 5a =c e a ==得c =2c =故选：A.4．设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） l αβA ．若，，则 //l α//l β//αβB ．若，，则 αβ⊥l α⊥l β⊥C ．若，，则 αβ⊥//l αl β⊥D ．若，，则 //l αl β⊥αβ⊥【答案】D【解析】由线面平行的性质和面面平行的判定可判断选项A ；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质可判断选项B ；由面面垂直的性质定理和线面位置关系可判断选项C ；由线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断选项D ；【详解】对于选项A ：若，，则或与相交，故选项A 不正确； //l α//l β//αβαβ对于选项B ：若，，则或，故选项B 不正确；αβ⊥l α⊥//l βl β⊂对于选项C ：若，，则或或与相交，故选项C 不正确；αβ⊥//l α//l βl β⊂l β对于选项D ：若，由线面平行的性质定理可得过的平面，设，则，所以//l αl γm γα= //m l ，再由面面垂直的判定定理可得，故选项D 正确；m β⊥αβ⊥故选：D5．已知{}是等差数列，且，则=（ ） n a 466,4a a ==10a A ．2 B ．0C ．D ．2-4-【答案】B【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，即，解得. {}n a 1a d 4664a a =⎧⎨=⎩113654a d a d +=⎧⎨+=⎩191a d =⎧⎨=-⎩所以，所以. 1(1)9(1)10n a a n d n n =+-=--=-+1010100a =-+=故选：B6．已知点P （x ,y ）是曲线上的一动点，则点P （x ,y ）到直线的距离的最小值为2y x =240x y --=（ ） ABCD ．35【答案】C【分析】当曲线在点P 处的切线与已知直线平行时点P 到该直线的距离最小，结合导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】当曲线在点P 处的切线与直线平行时，点P 到该直线的距离最小，240x y --=，2y x '=由直线的斜率，则， 240x y --=2k =22x =得，有，所以， 1x =21y x ==(1,1)P ∴到直线距离. (1,1)P 240x y --=d ==故选：C.7．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（ ）A ．B ．C ．D ．22sin 1xy x =+321x xy x -=+22cos 1x xy x =+3231x xy x -+=+【答案】D【分析】利用赋值法，结合图形和排除法即可判断ABC ；利用导数和零点的存在性定理研究函数的单调性，结合图形即可判断D. 【详解】A ：设，由得， ()22sin 1x f x x =+π3π2<<sin 30>则，结合图形，不符合题意，故A 错误； ()2sin 33010f =>B ：设，则，结合图形，不符合题意，故B 错误；()321x xg x x -=+()10g =C ：设，当时，，，22cos ()1x x h x x =+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos [0,1]x ∈212x x +≥所以，即， 222cos 20111x x xx x ≤≤≤++0()1h x ≤≤当且仅当时等号成立，结合图形，不符合题意，故C 错误；1x =D ：设，则， 323()1x xu x x -+=+(0)x >422263()(1)x x u x x --+'=+(0)x >设，则，42()63v x x x =--+(0)x >3()4120v x x x '=--<所以函数在上单调递减，且， ()v x (0,)+∞(0)30,(1)40v v =>=-<故存在，使得，0(0,1)x ∈0()0v x =所以当时，即，当时，即，0(0,)x x ∈()0v x >()0u x '>0(,)x x ∈+∞()0v x <()0u x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，结合图形，符合题意，故D 正确. ()u x 0(0,)x 0(,)x +∞故选：D.8．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足，则的最大值为222sin 2sin 3sin C A B =-tan B （ ） ABCD ．54【答案】B【分析】利用正弦定理及余弦定理表示，结合基本不等式求得的取值范围，从而求得cos B cos B 的取值范围，即得.tan B 【详解】依题意，222sin 2sin 3sin C A B =-由余弦定理得，， 22223c a b =-2222133b ac =-所以 222222222222114143333cos 2226a c a c a ca cb ac B ac ac ac ac+-+++-+====⋅，当且仅当时等号成立， 1263≥=2a c =即为锐角，，， B 2cos 13B ≤<22419cos 1,19cos 4B B ≤<<≤，222222sin 1cos 15tan 10,cos cos cos 4B B B B B B -⎛⎤===-∈ ⎥⎝⎦所以. tan B 故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．直线在y 轴上的截距为2 24y x +=B ．直线必过定点（2,0） ()20R ax y a a --=∈C ．直线的倾斜角为10x +=2π3D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()2,3-230x y -+=210x y ++=【答案】BD【分析】根据直线的截距式方程即可判断A ，根据直线恒过定点的求法即可判断B ，根据直线斜率的定义即可判断C ，根据垂直直线斜率之积为-1，结合直线的点斜式方程即可判断D. 【详解】A ：直线在轴上的截距为，所以A 不正确； 24y x +=y 2-B ：由，得，20ax y a --=(2)0x a y --=令，解得：，所以该直线恒过定点，故B 正确；200x y -=⎧⎨=⎩20x y =⎧⎨=⎩(2,0)C ：设直线的倾斜角为，，斜率为 10x +=α(]0,απ∈由，故C 错误；tan α=56πα=D ：由直线，得该直线的斜率为，230x y -+=12所以过点且垂直于直线的直线斜率为， (2,3)-230x y -+=2故其方程为，即，故D 正确. 32(2)y x -=-+210x y ++=故选：BD.10．斜率为1的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于两点则下24y x =()()1122,,,A x y B x y 列结论正确的有（ ） A ．B ．抛物线的准线方程为 (1,0)F 1y =-C ．D ．3OA OB ⋅=-10AB =【答案】AC【分析】由抛物线的性质判断AB ；联立直线l 和抛物线方程，利用韦达定理，以及数量积公式、抛物线的定义判断CD.【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，所以A 正确，B 不正确.24y x =(1,0)F =1x -由，消去得：，所以， 214y x y x=-⎧⎨=⎩y 2610x x -+=126x x +=121=x x 所以，所以C 正确； 121212121212(1)(1)2()13OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++=- 所以，所以D 不正确. 12||28AB x x =++=故选：AC11．已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数()()cos (0,2f x x πωϕωϕ=+><π2是奇函数，则下列判断正确的是（ ）π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．函数f （x ）的最小正周期为B ．函数f （x ）的图像关于点（，0）对称 ππ6C ．函数f （x ）在上单调递增D ．函数f （x ）的图像关于直线对称 3ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π12=-x 【答案】ABD【分析】利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离为和函数是偶函数，求出π2π()3f x -，从而可判断选项A 正确；再利用余弦函数的图像与性质，可以判断出选项()cos(2π)6=+f x x BCD 的正误.【详解】因为函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，则，π2π22T =πT ∴=又，2π,0T ωω=>2ω∴=又函数是偶函数，因为， π()3f x -ππ2π()cos(2())cos(2)333f x x x ϕϕ-=-+=-+所以，即， 2πππ(Z)32k k ϕ-+=+∈7ππ(Z)6k k ϕ=+∈又，，则.π2ϕ<π6ϕ∴=()cos(2π)6=+f x x 函数最小正周期，故选项A 正确； πT =函数图像对称点的横坐标为：，即， ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈令时，，故选项B 正确； 0k =π6x =又由：，得到 ππ2π22π(Z)6k x k k -+≤+≤∈7ππππ(Z)1212k x k k -+≤≤-+∈所以函数的单调增区间为：， ()cos(2π)6=+f x x 7πππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦令时，得到一个增区间为： 1k =-5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选项C 错误；函数图像的对称所在直线方程为；， πππ2π,(Z)6122k x k x k +==-+∈令时，，故选项D 正确. 1k =-7π12=-x 故选：ABD12．将全体正整数按照以下排列的规律排成一个三角形数阵，下列结论正确的是（ ）A ．第8行最右边的数为38B ．第10行从右向左第个5数为51C ．第10行所有数的和为505D ．第64行从左向右第7个数为2023 【答案】BCD【分析】根据三角数阵可知第行共有个数，且第行的最后一个数字是：，即为n n n 123n ++++ .结合等差数列前n 项求和公式计算，依次判断选项即可. (1)2n n +【详解】由三角形数阵可知， ①第行共有个数；n n ②第行的最后一个数字是：，即为. n 123n ++++ (1)2n n +A ：因为，故A 错误； 1234567836+++++++=B ：因为，1234567891055+++++++++=所以第行中的个数字依次为.故B 正确； 101046,47,48,49,50,51,52,53,54,55C ：由，故C 正确；()5545104655464748495051525354555052S S ⨯+-=+++++++++==D ：由，知第行最后的一个数为；()6316312346320162⨯++++++== 632016所以第行中的数字从左到右依次为642017,2018,2019,2020,2021,2022,2023,2024，，第7个数为2023，故D 正确. L 故选：BCD.三、填空题13．已知函数的最小正周期为，则___________. ()()sin 0f x x ωω=>πω=【答案】2【分析】利用正弦型函数的周期公式可求得的值.ω【详解】因为函数的最小正周期为，则. ()()sin 0f x x ωω=>π2π2πω==故答案为：.214．已知直线和圆相交于、两点，则弦长:210l x y --=22:210C x y y +--=A B AB =__________．【详解】由圆方可知其圆心坐标为，半径∴C (0,1)r =d. AB ===点睛：本题主要考查了直线与圆相交求截得弦长问题，属于基础题；求直线被圆所截得的弦长时，根据圆的性质通常考虑由弦心距，弦长的一般作为直角边，圆的半径作为斜边，利用勾股定理来解决问题，通常还会用到点到直线的距离公式.15．已知双曲线，若过右焦点F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个22221(0,0)x y a b a b-=>>30 交点，则此双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】根据题意可知双曲线的渐近线方程的斜率需小于直线的斜率，得，结合b y x a =b <.b =【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， by x a=±要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， by x a=即，即，由tan 30b a ︒<=b <b =，整理得，所以 <2234c a <c e a =<因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是， 1e >故答案为：． 16．已知三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径若平面平面S ABC -.SCA ⊥SCB ，，，三棱锥的体积为9，则球O 的表面积为______． SA AC =SB BC =S ABC -【答案】36π【详解】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得 ，解得r=3. 112932r r r ⨯⨯⨯⨯=球O 的表面积为： .2436r ππ=点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.四、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足，. 13a =123n n S a ++=（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若等差数列{b n }的前n 项和为T n ，且，，求数列的前n 项和Q n ．11T a =33T a =11{}n n b b +【答案】（1）（2）3nn a =9(21)nn +【分析】（1）根据数列的通项与的关系，化简求得，得到数列是首项为n a n S 13()n n a a n N ++=∈{}n a 3、公比为3的等比数列，即求解通项公式； （2）由（1）可得，得到，利用裂项法，3(21)n b n =-()()11111192n 12n 1182n 12n 1n n b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭即可求解．【详解】（1）当时，得， 1n =29a =由，得，123n n S a ++=123(2)n n S a n -+=≥两式相减得，又，∴，112()n n n n S S a a -+-=-1n n n S S a --=13(2)n n a a n +=≥又，∴，显然， 213a a =13()n n a a n N ++=∈10,3n n na a a +≠=即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；{}n a 1333n nn a -=⨯=（2）设数列的公差为，则有，{}n b d 13b =由得，解得，∴，33T a =13327b d +=6d =3(1)63(21)n b n n =+-⨯=-又， ()()11111192n 12n 1182n 12n 1n n b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴==． n 111111Q 1183352n 12n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111182n 1⎛⎫- ⎪+⎝⎭()n 92n 1+【点睛】本题主要考查等比数列的定义及通项公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项法”之后求和时，弄错项数导致错解，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等.18．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足.222sin sin sin sin sin A B C B C --=(1)求角A ；(2)若，求△ABC 周长的取值范围. 6a =【答案】(1) 2π3A =(2)(12,6+【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解，222a b c bc --=（2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得b B=1sin 2c B B ⎫=-⎪⎪⎭，进而由三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由正弦定理可得：，222a b c bc --=，， 2221cos 22c b a A bc +-∴==-()0,πA ∈ 2π3A ∴=（2）因为，，所以，故πA B C ++=2π3A =π3B C +=ππ(0)33C BB =-<<由正弦定理得： 62πsin sin sin sin3a bc A B C====所以，b B=π1sin 32c C B B B ⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以周长 ABCA 1π6sin 623a b cB B B B ⎫⎛⎫=++=++-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为，则π03B <<ππ2π<333B <+πsin 13B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故π12663B ⎛⎫<++≤+ ⎪⎝⎭求周长的取值范围为.ABC A (12,6+19．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.3 10.0 10.29.99.810.0 10.1 10.29.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．x y 21s 22s（1）求，，，；x y 21s 22s（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）． 【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】（1）， 9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==， 10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==， 22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==. 222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==（2）依题意，， 0.320.15y x -==⨯===，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. y x -≥20．设函数，其中.22()3ln 1f x a x ax x =+-+0a >（1）讨论的单调性；()f x （2）若的图象与轴没有公共点，求a 的取值范围.()y f x =x 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭1a e >【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a 的取值范围.()10f >()min 0f x >【详解】（1）函数的定义域为，()0,∞+又， ()23(1)()ax ax f x x+-'=因为，故，0,0a x >>230ax +>当时，；当时，； 10x a<<()0f x '<1x a >()0f x '>所以的减区间为，增区间为. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭（2）因为且的图与轴没有公共点，()2110f a a =++>()y f x =x 所以的图象在轴的上方，()y f x =x 由（1）中函数的单调性可得， ()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭故即. 33ln 0a +>1a e>【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 21．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正切值.M ABC -【答案】(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；DM ⊥BMC （2）当在的中点位置时体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即M A AB 可求出结果.【详解】（1）由题设知，平面平面，交线为.CMD ⊥ABCD CD 因为，平面，BC CD ⊥BC ⊂ABCD 所以平面，平面，BC ⊥CMD DM ⊂CMD 故,因为是上异于，的点，且为直径， BC DM ⊥M A CDC D DC 所以，又，平面，DM CM ⊥BC CM C =I ,BC CM ⊂BMC 所以平面，而平面，DM ⊥BMC DM ⊂AMD故平面平面；AMD ⊥BMC （2）以D 为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间DA x DC y 直角坐标系.D xyz -当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为的中点.CD 由题设得，()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设是平面MAB 的法向量，则(),,n x y z = 即，可取， 00n AM n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y z y -++=⎧⎨=⎩()1,0,2n = 又是平面的一个法向量，因此 DAMCD， cos ,n DA n DA n DA ⋅=== []0π,,n DA ∈ 得， sin ,n DA = tan ,2n DA = 所以面与面所成二面角的正切值是.MAB MCD 222．已知椭圆的左，右焦点分别为、，离心率为，直线l 经过点2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 122F 且与椭圆C 交于不同两点A ，B ，当A 是椭圆C 上顶点时，l 与圆相切.223x y +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求的取值范围.11F A F B ⋅ 【答案】(1) 2211612x y +=(2)[]12.7-【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可；22212bc c e a c a b⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩（2）当直线的斜率不存在时，易得；当直线的斜率存在时，设直线方程为l 117F A F B ⋅= l ，，，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示可得(2)y k x =-11(,)A x y 22(,)B x y ，令得，结合不等式的性质计算即可求解. 11F A F B ⋅= 22283634k k -+2343t k =+≥11577F A F B t ⋅=- 【详解】（1）当A 为椭圆的上顶点时，直线l 与圆相切， 则圆心到直线l ，a =有，得，1122bc a =bc =则，解得22212bc c e a c a b⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩4,a b ==所以椭圆的标准方程是； C 2211612x y +=（2）由（1）知，则椭圆的左焦点，当直线的斜率不存在时，2c =1(2,0)F -l 易求得，，则；(2,3)A (2,3)B -11443(3)7F A F B ⋅=⨯+⨯-= 当直线的斜率存在时，设直线方程为，，. l (2)y k x =-11(,)A x y 22(,)B x y 由，消得，， ()22211612y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y 2222(34)1616480k x k x k +-+-=， 21221634k x x k ∴+=+2122164834k x x k-=+ 21112121212(2)(2)(2)(2)(2)(2)F A F B x x y y x x k x x ⋅=+++=+++--2221212(1)2(1)()4(1)k x x k x x k =++-+++， 2222222221648162836(1)2(1)4(1)343434k k k k k k k k k --=+⨯+-⨯++=+++令，则， 2343t k =+≥2112283675757734k t F A F B k t t--⋅===-+ ，，， 3t ≥ 1103t <≤571277t -≤-<综上可知，的取值范围是. 11F A F B ⋅ []12,7-。
新疆高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数表示，则该()21s t t t =++物体在s 时的瞬时速度为（ ） 1t =A ．0m/s B ．1m/s C ．2m/s D ．3m/s【答案】D【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为[]1,1t +∆，当无限趋近于0时，无限趋()()()()()22111111113t t s t s s t t t t+∆++∆+-+++∆-∆===+∆∆∆∆Δt 3t +∆近于3，即该物体在s 时的瞬时速度为3m/s ． 1t =故选：D2．曲线在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（ ） 43y x x =-A ．B ．C ．D ．6π4π3π23π【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】因为，所以，故所求切线的倾斜角为．343y x '=-11x y ='=4π故选：B ．3．函数的单调递增区间为（ ）21=ln 22y x x -+A ． B ．C ．D ．()1,1-()0,1[)1,+∞()0,∞+【答案】C【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，21=ln 22y x x -+211x y x x x -'=-=令，得或，0y >'A A A A 1x <-1x >又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为， {}0x x >[1,)+∞故选：C4．若函数在区间上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ）()331f x x kx =-+()1,+∞A ． B ． C ． D ．(),1-∞(],1-∞[)1,-+∞[)1,+∞【答案】B【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值()f x (1,)+∞k 范围.【详解】由题意得，在区间上恒成立， 22()333()0f x x k x k '=-=-≥(1,)+∞即在区间上恒成立，2k x ≤(1,)+∞又函数在上单调递增，得， 2y x =(1,)+∞21x >所以，即实数的取值范围是. 1k ≤k (,1]-∞故选：B5．已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（ ）()y f x =()y f x '=()y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及导数的变化可得结果.【详解】由图可知，当时，，则函数在上为增函数， 11x -<<()0f x ¢>()f x ()1,1-当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，10x -<<()f x '()f x ()1,0-当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢. 01x <<()f x '()f x ()0,1B 选项中的图象满足题意. 故选：B.6．函数在区间上的最大值为（ ） ()cos sin f x x x x =-[]π,0-A ．1 B ．C ．D ．π323π2【答案】B【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得， ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-当时，，，[]π,0x ∈-sin 0x ≤()0f x '≤所以在区间单调递减，故函数最大值为， ()f x []π,0-()ππf -=故选：B7．“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中为节点，若研究发现本局游戏只能以为起,,A B C A 点为终点或者以为起点为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（ ）C C AA ．种B ．种C ．种D ．种6122430【答案】C【分析】采用分步乘法可计算得到以为起点，为终点的方法数，再利用分类加法计数原理求得A C 结果.【详解】以为起点时，三条路线依次连接即可到达点，共有种选择；自连接到A B 326⨯=B C 时，在右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有种选择，C 2以为起点，为终点时，共有种方法；∴A C 6212⨯=同理可知：以为起点，为终点时，共有种方法；C A 12完成该图“一笔画”的方法数为种.∴121224+=故选：C.8．过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ） A ．24种 B ．36种C ．48种D ．60种【答案】B【分析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数.【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，33A 6=此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩12C 12C 下两种测试全排列，则有种安排方法，22A 112222C C A 8=此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩12C 12C 下两种测试全排列，则有种安排方法；22A 112222C C A 8=故选拔测试的安排方案有种. 6282836⨯+⨯+=故选：B.二、多选题9．某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则下列说法正确的有（ ）A ．若不选择政治，选法总数为种25C B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C C C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为种3164C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种 121244(C C C )-【答案】AC【分析】根据组合数性质判断A ；若物理和化学至少选一门，分物理和化学选一门和物理和化学都选，求出选法数，判断B ；物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门减去物理和历史同时选的选法数，判断C ；物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，分三种情况考虑，求得选法数，判断D.【详解】对于A, 若不选择政治，选法总数为种,正确；3255C C =对于B ，若物理和化学选一门，选法总数为， 1224C C 若物理和化学都选，则选法数有种，2124C C 故物理和化学至少选一门，选法总数为种，而，B 错误；12212424C C C C 16+=1225C C 20=对于C, 若物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门有种选法，36C 减去物理和历史同时选的选法数，故选法总数为种，C 正确；14C 3164C C -对于D,当物理和化学中只选物理时，有种选法； 23C 当物理和化学中只选化学时，有种选法； 24C 当物理和化学中都选时，有种选法，13C 故物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，而，D 错误，221343C +C +C =12121244C C C 8-=故选：AC 10．下列等式正确的是（ ）A ．B ．()111A A m m n n n +++=()()!2!1n n n n =--C ．D ．A C !mm n nn =11A A m m n n n m+=-【答案】ABD【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 正确；()11!(1)!(1)()![(1)(1)]!1A A mm n n n n n n n m n m +++=+⋅=-+-++=对于B ，，B 正确； ()()!(1)!(1)(2)!2!1(1)1n n n n n n n n n n n ⋅--⋅-===----对于C ，，而与不一定相等，则与不一定相等，C 不正确；A C !m m nnm =!m !n A !m n m A !m n n 对于D ，，D 正确. 111!!A A (1)!()!m m n n n n n m n m n m n m +⋅==-----=故选：ABD11．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（ ）()y f x =()f x 'A ．在区间上，单调递增 ()2,1-()f xB ．在区间上，单调递增 ()1,2()f xC ．在区间上，单调递增 ()4,5()f xD ．在区间上，单调递增 ()3,2--()f x 【答案】BC【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案. ()0f x ¢>()f x ()0f x '<()f x 【详解】由题图知当时，，()()1245,，,x x ∈∈()0f x ¢>所以在区间上，单调递增，BC 正确； ()()1245,，，()f x 当时，，当时，，所以在区间上，单调递减.()2,1x ∈--()0f x '<()1,1x ∈-()0f x ¢>()2,1--()f x 在上递增，A 错误；()1,1-当时，，所以在区间上，单调递减，D 错误； ()3,2x ∈--()0f x '<()3,2--()f x 故选：BC12．已知函数，则（ ） 321()()3f x x ax x a =+-∈R A ．当时，函数的极大值为0a =()f x 23-B ．若函数图象的对称中心为，则 ()f x (1,(1))f 1a =-C ．若函数在上单调递增，则或 ()f x R 1a ≥1a ≤-D ．函数必有3个零点 ()f x 【答案】BD【分析】根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质、函数零点的定义逐一判断即可.【详解】A 项：当时，，则，所以在单调递增，在0a =31()3f x x x =-2()1f x x '=-()f x (,1)-∞-单调递减，在单调递增，所以极大值为，故错误； (1,1)-(1,)+∞()f x 12(1)133f -=-+=B 项：因为函数图象的对称中心为，()f x (1,(1))f所以有，故正确；()()()()21121101f x f x f a x a ++-=⇒+=⇒=-C 项：恒成立，显然必有两根，则2()210f x x ax =+-≥'()0f x '=()121212,,10x x x x x x <⋅=-<()f x 在递减，故错误；()12,x x D 项：必有2相异根，且非零，()2221111001010333f x x ax x x x ax x ax ⎛⎫=+-=⇒=+-=+-= ⎪⎝⎭或，故必有3个零点，故正确． ()f x 故选择：BD三、填空题13．已知函数，则在处的切线方程为___________.()e sin 2xf x x =-()f x ()()0,0f 【答案】10x y +-=【分析】由导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程.【详解】因为，()e sin 2xf x x =-所以，，()00e sin 01f =-=()e 2cos 2xf x x =-'所以，()00e 2cos 01f =-=-'切线方程为， 即. ()10y x -=--10x y +-=故答案为：.10x y +-=14．函数有极值，则实数的取值范围是______．()322f x x x ax a =-++a 【答案】1(,3-∞【分析】求出函数的导数，再利用存在变号零点求出a 的范围作答.()f x '()f x '【详解】函数定义域为R ，求导得：，()322f x x x ax a =-++2()32f x x x a '=-+因为函数有极值，则函数在R 上存在变号零点，即有两个不等实根， ()f x ()f x '()0f x '=即有方程有两个不等实根，于是得，解得，2320x x a -+=4120a ∆=->13a <所以实数的取值范围是.a 1(,)3-∞故答案为：1(,)3-∞15．某公司新开发了4件不同的新产品，需放到三个不同的机构A ，B ，C 进行测试，每件产品只能放到一个机构里，则所有测试的情况有________种（结果用具体数字表示）． 【答案】81【分析】利用分步乘法原理求解即可【详解】由题意可知，每一个新产品都有3种放法，所以由分步乘法原理可得 4件不同的新产品共有种放法， 333381⨯⨯⨯=故答案为：8116．已知，则_________.233A C 0!4m -+=m =【答案】2或3【分析】利用排列数公式，组合数公式进行计算即得．【详解】，233A C 0!4m -+= ，又，3A 6m∴=323216⨯=⨯⨯=所以或. 2m =3m =故答案为：2或3.四、解答题17．求下列函数的导数． (1)； ln(21)y x =+(2)； sin cos xy x=(3)． 1()23()()y x x x =+++【答案】(1) 221y x '=+(2) 21cos y x'=(3) 231211y x x =++'【分析】利用导数的运算法则求解. 【详解】（1）解：因为， ln(21)y x =+所以； 221y x '=+（2）因为， sin cos xy x=所以； ()2222cos sin 1cos cos x xy xx +'==（3）因为， 1()23()()y x x x =+++，326116x x x =+++所以.231211y x x =++'18．已知函数．()322f x x ax b =-+(1)若函数在处取得极小值－4，求实数a ，b 的值； ()f x 1x =(2)讨论的单调性．()f x 【答案】(1) 33a b =⎧⎨=-⎩(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解. a 【详解】（1），则 ()262f x x ax '=-()()1014f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩即解得，经验证满足题意，62024a a b -=⎧⎨-+=-⎩33a b =⎧⎨=-⎩（2）()()26223f x x ax x x a '=-=-令解得或 ()0f x '=0x =3a x =1°当时，在上单调递增0a =()f x ()∞∞－，＋2°当时，在，上单调递增，上单调递减a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0∞，＋,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3°当时，在，（上单调递增，上单调递减0a >()f x ()0∞－，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．已知函数.()e 2x f x ax a =++(1)若为的一个极值点，求实数a 的值并此函数的极值； 0x =()f x (2)若恰有两个零点，求实数a 的取值范围. ()f x 【答案】(1)，极小值为，无极大值12a =-12(2) ,⎛-∞ ⎝【分析】（1）由求得，结合函数的单调性求得的极值. ()00f '=a ()f x （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. ()0f x =a a 【详解】（1），依题意，()e 2x f x a '=+()10120,2f a a =+==-'此时，所以在区间递减；()e 1xf x '=-()f x ()()(),0,0,f x f x '-∞<在区间递增. ()()()0,,0,f x f x '+∞>所以的极小值为，无极大值. ()f x ()110122f =-=（2）依题意①有两个解，()e 20x f x ax a =++=，所以不是①的解，121e 02f -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭12x =-当时，由①得，12x ≠-e 21xa x =-+构造函数，()e 1212x g x x x ⎛⎫=-≠- ⎪+⎝⎭，()()()()22e 212e 21e 2121x xx x x g x x x +--'=-=-⋅++所以在区间递增；()()111,,,,0,222g x g x ⎛⎫⎛⎫'-∞--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间递减.()()1,,0,2g x g x ⎛⎫'+∞< ⎪⎝⎭当时，；当时，，12x <-()0g x >12x >-()0g x <与的图象有两个交点， 121e 22g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y a =()y g x =则需a <综上所述，的取值范围是. a ,⎛-∞ ⎝【点睛】根据极值点求参数，要注意的是由求得参数后，要根据函数的单调区间进行验()00f x '=证，因为导数为零的点，不一定是极值点.利用导数研究函数的零点，可以考虑分离常数法，通过分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.20．已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到A B 车站下车为1种车票（）．A B ≠(1)该铁路的客运车票有多少种？(2)为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了54种，求的值．n n 【答案】(1)56(2)3【分析】根据条件利用排列公示建立方程就可以解决.【详解】（1）铁路的客运车票有.288756A =⨯=（2）在新增了个车站后，共有个车站，因为客运车票增加了54种，则， n 8n +285654n A +-=所以，解得.28(8)(7)110n A n n +=++=3n =21．现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如346和157都是三位“幸福数”）.(1)求三位“幸福数”的个数；(2)如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第80个三位“幸福数”.【答案】(1)个84(2)589【分析】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可；（2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第80个三位“幸福数”.【详解】（1）根据题意，可知三位“幸福数”中不能有0，故只需在数字1，2，3，…，9中任取3个，将其从小到大排列，即可得到一个三位“幸福数”，每种取法对应1个“幸福数”，则三位“幸福数”共有个.39C 84=（2）对于所有的三位“幸福数”，1在最高数位上的有个， 28C 28=2在最高数位上的有个，27C 21=3在最高数位上的有个，2615C =4在最高数位上的有个，25C 10=5在最高数位上的有个.24C 6=因为，28211510680++++=所以第80个三位“幸福数”是最高数位为5的最大的三位“幸福数”，为589.22．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小()W x ()3123W x x x =+于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售()64727W x x x=+-完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成()P x x 本-流动成本.）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)； ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；04x <<4x ≥()P x （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，04x <<()max 10()23P x P ==4x ≥()P x 比较即可得出答案.【详解】（1）由题意，当时，；当时，04x <<()33116224233x x x x x P x ⎛⎫=--+=-+- ⎪⎝⎭4x ≥. ()64646272725P x x x x x x ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭所以. ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，令，解得.04x <<()24P x x '=-+()0P x '=2x =易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，()P x ()0,2()2,404x <<. ()max 10()23P x P ==当时，， 4x ≥()6425259P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取等号. 64x x=8x =综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.。
南通市2021-2022学年(下)高二第一次月考数学试题(后附答案解析)
南通市2021-2022学年（下）高二第一次月考真题卷数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是A.()0,3 B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.()3,3-2.函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（）A.2- B.4- C.12-D.23.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()33f x x x =-在[]22-,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A .3B.2C.1D.04.下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =；④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+.A.①②③B.②③④C.②③D.①③5.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A.12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.若对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e7.已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（）A.1- B.0C.1D.28.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，函数()1x f x xe =+，若关于x 的函数[]2()()(1)()F x f x a f x a =-++恰有2个零点，则实数a 的取值范围为A.1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()(),11,-∞-+∞U C.111,11,1e e ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.(][),11,-∞-+∞ 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有项选错得0 分．9. 为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则下列说法正确的是（）A.该产品能销售的概率为34B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则()()7403120P X P ξ====；D.()2780128P X =-=10.（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0a ≤，则函数()f x 没有极值B.若0a >，则函数()f x 有极值C.若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭11.已知函数()2exax x a f x ++=（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当0a =时，()f x 有最小值1eB.当0a ≠时，()f x 有两个极值点C.曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()10a x y a -+-=D.当e 102a -<≤时，()ln f x x x ≤-12.对于函数()ln xf x x=，下列说法错误的是（）A.f （x ）在（1，e ）上单调递增，在（e ，＋∞）上单调递减B.若方程()1fx k +=有4个不等的实根1234,,,x x x x，则12344x x x x +++=-C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对12,(1,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．14.已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.15.已知函数()ln xf x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．16.已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为16，极小值为－16.（1）求a 和b 的值；（2）若过点()1,M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.18.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用 7 百万元对 A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资x (1 ≤x ≤6)百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121ˆˆˆ,niii nii x ynx y bay bx xnx==-⋅==--∑∑．②线性相关系数iinx ynx yr -⋅=∑．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A投资的统计数据表中5521111, 2.1iii i i x yy ====≈∑∑．19.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．20.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．（1）设函数()()eaxf xg x '=，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围21.已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-22.已知函数()ln .f x x x ax a =-+（1）若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <南通市2021-2022学年（下）高二第一次月考真题卷数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是A.()0,3 B.(,3)-∞C.(3,)+∞ D.()3,3-【答案】A 【解析】【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写出区间形式即得到函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间．【详解】函数的定义域为x >0，∵9()f x x x'=-，令90x x-<，由于x >0，从而得0<x <3，∴函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是(0,3).故选：A .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的应用，要注意先确定函数定义域，属于基础题.2.函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（）A.2-B.4- C.12-D.2【答案】B 【解析】【分析】由导数的几何意义得函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线的斜率为2，进而221a⨯=-即可得答案.【详解】解：因为()'cos xf x e x =+，()'0112f =+=，所以函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线的斜率为2，因为切线与直线210x ay -+=互相垂直，21y x a a=+，所以221a⨯=-，解得4a =-.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据导数的几何意义求得函数在(0,1)处的切线的斜率为2，考查运算求解能力，是基础题.3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()33f x x x =-在[]22-,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】B 【解析】【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．【详解】函数3()3f x x x =-，则()()()222,22,33f f f x x '=-=-=-，由()()()()2222f f f c '--=+，得()1f c '=，即2331c -=，解得[]232,23c =±∈-，所以()f x 在[2-，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.4.下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =；④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+.A.①②③ B.②③④C.②③D.①③【答案】A 【解析】【分析】根据题意条件，利用二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等对每一项进行逐项分析.【详解】解：命题①：设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；命题②：∵ξ服从正态分布()22,N σ，∴正态曲线的对称轴是2x =，()()()40.9400.1P X P X P X <=⇒>=<= ，()()02240.4P X P X ∴<<=<<=，正确；命题③：设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()()34443!43,44P AB P B ⨯⨯==，所以()()()29P AB P A B P B ==，正确；命题④：()()2323E X E X +=+正确，()()232D X D X +=错误，应该为()()234D X D X +=，故不正确.故选：A【点睛】本题考查了二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等；若命题正确，则应能给出证明；若错误，则应能给出反例.5.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A.12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，然后令导数等于零，求出方程的两个根，通过讨论根的范围可得a 的取值范围.【详解】解：由2()(12)2ln 2ax f x a x x =+--，得2'2(12)2(2)(1)()(12)ax a x x ax f x ax a x x x+---+=+--==，（1）当0a =时，'2()x f x x-=，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，（2）当0a ≠时，令'()0f x =，则2x =或1x a=-，①当0a >时，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，②当0a <时，i)若12a ->，即102a -<<时，02x <<时，'()0f x <，当12x a <<-时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，ii)若12a -=，即12a =-时，当(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，函数无极值；iii)若1122a <-<，即122a -<<-时，当10x a<<-时，'()0f x <，当12x a -<<时，'()0f x >，所以1x a =-为1,32⎛⎫⎪⎝⎭上的极小值点，综上a 的取值范围是112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D【点睛】此题考查了函数的极值，考查了分类讨论思想，属于中档题.6.若对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e【答案】C 【解析】【分析】由题意可得122121ln ln x x x x x x -<-，变形得出1212ln 1ln 1x x x x ++>，构造函数()ln 1x g x x+=，可知函数()y g x =在区间(),m +∞上单调递减，利用导数求得函数()y g x =的单调递减区间，由此可求得实数m 的最小值.【详解】对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，可得122121ln ln x x x x x x -<-，1212ln 1ln 1x x x x ++∴>，构造函数()ln 1x g x x+=，则函数()y g x =在区间(),m +∞上单调递减，()2ln xg x x'=-，令()0g x '<，解得1x >，即函数()y g x =的单调递减区间为()1,+∞，()(),1,m ∴+∞⊆+∞，则m 1≥，因此，实数m 的最小值为1.故选：C.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，将问题转化为函数的单调性是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7.已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（）A.1- B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥，利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可.【详解】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥，所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-，所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥，则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=，当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-，所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-，故选：A.【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，函数()1x f x xe =+，若关于x 的函数[]2()()(1)()F x f x a f x a =-++恰有2个零点，则实数a 的取值范围为A.1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()(),11,-∞-+∞U C.111,11,1e e ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.(][),11,-∞-+∞ 【答案】C【解析】【分析】由F (x ) =0 得 f (x ) =1或 f (x ) =a ，而x <0 时， f (x ) =1无解，需满足 f (x ) =a 有两个解．利用导数求得()f x 在0x <时的性质，由奇函数得0x >时的性质，然后可确定出a 的范围．【详解】()(()1)(())0F x f x f x a =--=，()1f x =或()f x a =，0x <时，()11x f x xe =+<，()(1)x f x x e '=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减，10x -<<时，()0f x '>，()f x 递增，∴()f x 的极小值为1(1)1f e-=-，又()1f x <，因此()1f x =无解．此时()f x a =要有两解，则111a e-<<，又()f x 是奇函数，∴0x >时，()1f x =仍然无解，()f x a =要有两解，则111x e-<<-．综上有111,11,1a e e ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为()1f x =或()f x a =，然后用导数研究0x <时()f x 的性质，同理由奇函数性质得出0x >廛()f x 的性质，从而得出()1f x =无解，()f x a =有两解时a 范围．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分．9.为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则下列说法正确的是（）A.该产品能销售的概率为34B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则()()7403120P X P ξ====；D.()2780128P X =-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意先求出该产品能销售的概率，从而选项A 可判断，由题意可得3~4,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭可判断选项B ，根据独立重复事件的概率问题可判断C ，D 选项.【详解】选项A.该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项A 正确;选项B.由A 可得每件产品能销售的概率为34一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则3~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，故选项B 正确;选项C.由题意()334312734464P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选项C 不正确;选项D.由题意80X =-，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售,所以()222427128318044P X C ⎛⎫⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项D 正确.故选：ABD.10.（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0a ≤，则函数()f x 没有极值B.若0a >，则函数()f x 有极值C.若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【解析】【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值，又 当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞，∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值，∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞，当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点；当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点，综上可知ABD 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11.已知函数()2e xax x a f x ++=（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当0a =时，()f x 有最小值1eB.当0a ≠时，()f x 有两个极值点C.曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()10a x y a -+-=D.当e 102a -<≤时，()ln f x x x ≤-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，求导后通过求出函数的单调区间，从而可求出其最值，对于B ，分0a >和0a <两种情况求函数的极值，对于C ，利用导数的几何意义求解，对于D ，由已知可得()()22e 12e 1e 2e x x x x ax x af x -++-++=≤，构造函数()()2e 12e 12exx x g x -++-=，利用导数求得其()()max 11g x g ==⎡⎤⎣⎦，构造函数()ln h x x x =-，利用导数求得()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，从而可得结论【详解】对于A 选项，当0a =时，()exx f x =，求导得()1e x xf x -'=，令()0f x '=，解得x =1.当x <1时，f (′x > )0，f (x )在,∞−(1 )上单调递增；当x >1时，f (′x < )0，f (x )在(1)∞+,上单调递减，所以当x =1时， f (x )有最大值1e，故选项 A 错误；对于 B 选项，当a ≠0时，对 f (x )求导得()f x '=()()()211211e e xxx ax a ax a x a---⎡⎤---+⎣⎦-=-，当0a >时，令()0f x '=，解得111x a=-，21x =且12x x <，当1,1x a ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在11x a=-时取极小值，在1x =时取极大值.当0a <时，令()0f x '=，解得11x =，211x a=-且12x x <，当(),1x ∈-∞时，()0f x '>，当11,1x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在1x =时取极大值，在11x a=-时取极小值，所以当0a ≠时，()f x 有两个极值点，故选项B 正确；对于C 选项，因为()()2211exax a x af x ---+'=-，所以()01f a '=-，又()0f a =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()()10y a a x -=--，即()10a x y a -+-=，故选项C 正确；对于D 选项，当e 102a -<≤时，()()22e 12e 1e 2ex xx x ax x a f x -++-++=≤，令()()2e 12e 12e xx x g x -++-=，()0,x ∈+∞，则()()()2e 12e 2e 32e xx x g x ---+-'=-()()()1e 1e 32e xx x ----⎡⎤⎣⎦=-，显然当0x >时，()()e 1e 30x --->，所以当01x <<时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11g x g ==⎡⎤⎣⎦，令()ln h x x x =-，求导得()111x h x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，所以()ln f x x x ≤-，故选项D 正确，故选：BCD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，对于选项D 解题的关键是由e 102a -<≤时，()()22e 12e 1e 2e x x x x ax x af x -++-++=≤，然后构造()()2e 12e 12exx x g x -++-=，然后利用导数求出其最大值，再利用导数求出()ln h x x x =-的最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题12.对于函数()ln xf x x=，下列说法错误的是（）A.f （x ）在（1，e ）上单调递增，在（e ，＋∞）上单调递减B.若方程()1fx k +=有4个不等的实根1234,,,x x x x，则12344x x x x +++=-C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对12,(1,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≤【答案】ACD 【解析】【分析】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+,2ln 1()ln x f x x -'=，利用导数研究函数的单调性和极值，画出图象．A ．由上述分析即可判断出正误；．B ．方程(|1|)f x k +=有4个不等的实根，结合函数奇偶性以及图象特点可知四个根两两关于直线1x =-对称，可判断出正误；．C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，即可判断出正误；D ．设函数()g x 的值域为G ，函数()f x 的值域为E ．若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，可得G E ⊆，即可判断出正误．【详解】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+．2ln 1()ln x f x x-'=，可得函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，其大致图象如图：A ．由上述分析可得A 不正确．B ．函数(||)y f x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，则(|1|)y f x =+的图象关于1x =-对称，故(|1|)f x k +=的有4个不等实根时，则这四个实根必两两关于1x =-对称，故12344x x x x +++=-，因此B 正确．C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，因此当1201x x <<<时，1212ln ln x x x x <，即1221ln ln x x x x >，因此C 不正确；D ．设函数()()g x x R ∈的值域为G ，函数()((1f x x ∈，))+∞的值域为E ，2()g x x a =+，对x R ∀∈，[G a =，)∞+．(1,)x ∀∈+∞，[e E =，)∞+．2()g x x a =+，若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，则G E ⊆．e a ∴,因此D 不正确，故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．【答案】4413025【解析】【分析】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球(0,1,2,3)i =，B 表示第二次任取的3个球都是新球，求出()i P A ，再应用全概率公式求P (B )即可．【详解】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球(0,1,2,3)i =，B 表示第二次任取的3个球都是新球，则3303121()220C P A C ==，2139131227()220C C P A C ==，12392312108()220C C P A C ==，39331284()220C P A C ==，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为：00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++=3333987633331212121212710884441.2202202202203025C C C C C C C C ⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：4413025.14.已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.【答案】11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分析出函数()f x 为偶函数，再利用导数分析出函数()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，由()()21f x f x ≤-可得出()()21f x f x ≤-，进而得出21x x ≤-，进而可求得x 的取值范围.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()()cos cos xxf x e x e x f x --=+-=+=，所以，函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()cos x f x e x =+，则()sin 1sin 0x f x e x x '=-≥-≥，所以，函数()f x 在区间[)0,+∞为增函数，由()()21f x f x ≤-可得()()21fx f x ≤-，所以21x x ≤-，则有()2241x x ≤-，可得23210x x +-≤，解得113x -≤≤.因此，使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】利用偶函数的基本性质解不等式，可充分利用性质()()f x f x =，同时注意分析出函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性.15.已知函数()ln x f x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】利用导数可求得()f x 单调性和()max 1ef x =，将问题转化为()()max min 1ef x f x -≤；分别在e a ≥和0e a <<的情况下，确定最小值，由此构造不等式求得a 的范围，进而得到最小值.【详解】()21ln xf x x-'= ，∴当()0,e x ∈时，()0f x '>；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，()()max 1e ef x f ∴==；若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121e f x f x -≤成立，则()()max min 1e f x f x -≤；当e a ≥时，()0f x >恒成立，又()()max 1e e f x f ≤=，()()max min 1ef x f x ∴-≤恒成立；当0e a <<时，()f x 在[),e a 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则只需()ln 0af a a=≥即可，即1e a ≤<；综上所述：a 的取值范围为[)1,+∞；a ∴的最小值为1.故答案为：1.16.已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是______．【答案】1[,)8-+∞【解析】【分析】根据对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，只需()()min minf xg x ≥求解即可.【详解】因为()3ln 44x f x x x=-+，所以()()()222213113434444x x x x f x x x x x ---+-'=--==-，当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，所以()()min 112f x f ==，因为()224g x x ax =--+开口方向向下，所以在区间[]1,2上的最小值的端点处取得，所以要使对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，只需()()min min f x g x ≥，即()112g ≥或()122g ≥，即11242a ≥--+或14442a ≥--+，解得18a ≥-，所以a 的取值范围是1[,)8-+∞，故答案为：1[,)8-+∞四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为16，极小值为－16.（1）求a 和b 的值；（2）若过点()1,M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4a =，0b =；（2）()12,11--.【解析】【分析】（1）求出导函数'()f x ，确定极大值和极小值，由题意可求得,a b ；（2）设切点()()00,P x f x ，切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()2300342y x x x =--，由切线过点()1,M m ，得()233200003422312m x x x x x =--=-+-，从而此方程有 3 个实数根，问题转化为函数g (x = )2x 3 −3x 2+m +12 有 3 个零点，再由导数研究g (x ) 的极大值和极小值可得出结论．【详解】（1）函数()()330f x x ax b a =-+>，()(2333f x x a x x '=-=+-.可得：函数()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减.∴x =时函数()f x 取得极大值16，x =时函数()f x 取得极小值－16.∴(316f b =-=，316f b ==-，联立解得：4a =，0b =，（2）由（1）可知()312f x x x =-，设切点()()00,P x f x ，则切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()2300342y x x x =--，因为切线过点()1,M m ，所以()233200003422312m x x x x =--=-+-，由于有3条切线，所以方程有3个实数根，设()322312g x x x m =-++，则只要使()g x 有3个零点，令()2660g x x x '=-=，解得1x =或0x =，当(),0x ∈-∞，()1,+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以0x =时，()g x 取极大值，1x =时，()g x 取极小值，所以要是曲线()g x 与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，即120110m m +>⎧⎨+<⎩，解得1211m -<<-，即实数m 的取值范围为()12,11--.【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，考查导数的几何意义，考查用导数研究函数零点个数问题，本题对计算能力的要求较高，属于难题．18.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用7百万元对A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资()16x x ≤≤百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni ii n i i x ynx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑．②线性相关系数1222211()()iii i i i i nn nx ynx yr x nx y n y ===-⋅=--∑∑∑．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A 投资的统计数据表中5521111, 2.24, 4.4 2.1iii i i x yy ====≈∑∑．【答案】（1）0.95r >，用线性回归方程ˆ0.2y x =对该组数据进行拟合合理；（2）对A 、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．【解析】【分析】(1)根据给定数表，计算出,x y ，再代入最小二乘法公式及线性相关系数公式计算即得；(2)由题设条件列出获得的总利润的函数关系，再借助均值不等式求解即得.【详解】（1）对项目A 投资的统计数据进行计算得：3x =，0.6y =，52155ii x==∑，于是得5512221511530.60.255535i ii i i x y x ybx x==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑ ，ˆˆ0.60.230a y bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为：ˆ0.2yx =，线性相关系数550.95340.95iix yx yr -⋅=>∑，这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程ˆ0.2yx =对该组数据进行拟合合理；（2）设对B 项目投资()16x x ≤≤百万元，则对A 项目投资()7x -百万元，所获总利润0.490.490.160.490.2(7) 1.930.04(1)11w x x x x x ⎡⎤=-++-=-++⎢⎥++⎣⎦1.93 1.65≤-=，当且仅当0.490.04(1)1x x +=+，即 2.5x =时取等号，所以对A 、B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．19.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．【答案】（1）分布列见解析，18481；（2）11206561【解析】【分析】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解；（2）设第i 场甲、乙两队积分分别为i X ，i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，由两队积分相等，可推出123X X +=，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．【详解】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，312312111(0)()()33339P X C ==+⋅⋅⋅=，22242118(1)()()33381P X C ==⋅⋅⋅=，222421216(2)()()33381P X C ==⋅⋅⋅=，2233212216(3)()()333327P X C ==⋅⋅⋅+=，所以X 的分布列为X0123P1988116811627所以数学期望181616184()0123981812781E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A ，设第i 场甲、乙两队积分分别为i X ，i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，因两队积分相等，所以1212X X Y Y +=+，即1212(3)(3)X X X X +=-+-，则123X X +=，所以P （A ）12121212(0)(3)(1)(2)(2)(1)(3)(0)P X P X P X P X P X P X P X P X ===+==+==+==1168161681611120927818181812796561=⨯+⨯+⨯+⨯=．20.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．（1）设函数()()eaxf xg x '=，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围【答案】（1）当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a +∞（2）2(e ,).+∞【解析】【分析】（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1()ln e axf xg x a x a x'==++，则21()ax g x x-'=，再对a 进行分类讨论即可得到答案．（2）因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点．由（1）知0a <时不合题意；当0a >时，min 1()((21)g x g a na a==-，接下来对a 进行讨论即可得到答案．【小问1详解】依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，e ()e (ln 1)axaxf x a x x'=++,则()1()ln e axf xg x a x a x'==++，则21().ax g x x -'=①当0a <时，()0g x '<在,()0x ∈+∞上恒成立，()g x 单调递减；②当0a >时，令()0g x '=得，1x a=，所以，当1(0,)x a ∈时，()0g x '<，()g x 递减；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增；综上，当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a ，增区间为1(,).a+∞【小问2详解】因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点，由（1）知0a <时不合；当0a >时，min 1()((21).g x g a na a==-当20e a <<时，1()(0g x g a>>，()g x 没有零点，不合题意；当2e a =时，1(0g a=，()g x 有一个零点1a，不合题意；当2e a >时，1()0g a <，21()(12ln )g a a a a=+-，设()12ln a a a ϕ=+-，2e a >，则2()10a aϕ'=->，所以22()(e )e 30a ϕϕ>=->，即21(0g a>，所以存在1211(,)x a a∈，使得1()0g x =；又因为1(e 0eg =>，所以存在211(,ex a ∈，使得2()0.g x =()f x 的值变化情况如下表：x 1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞()'f x +0-0+()f x 递增极大值递减极小值递增所以当2e a >时，()f x 有两个极值点，综上，a 的取值范围是2(e ,).+∞21.已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】。
吉林省长春市重点中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题
长春市重点中学2022—2023学年度下学期高二年级第一次月考数学试卷考试时间：90分钟 满分：120分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.62. 函数()ln 2f x x x =-在1x =处的切线方程为 ( ) A.20x y += B.240x y --= C.30x y --=D.10x y ++=3. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为12a ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C ．4y x =±D ．14y x =±4.不论k 为任何实数，直线(21)(3)(11)0k x k y k --+--=恒过定点，则这个定点的坐标为( ) A.(2,3)-B.(2,3)C.(2,3)-D.(2,3)--5. 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，满足2n =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86. 圆221:4C x y +=与圆222:44120C x y x y +-+-=的公共弦的长为( )B.2C. D.7. 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是32191()8162f x x ax x =-++（x 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a 是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕( )A. 6万斤B. 8万斤C. 3万斤D. 5万斤8．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，且，则椭圆C 的离心率等于（ ）A.23 B. 12C.22D. 5二、多选题（本题共4小题，每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（ ）A ．两人均获得满分的概率为12 B ．两人至少一人获得满分的概率为712C ．两人恰好只有甲获得满分的概率为34 D ．两人至多一人获得满分的概率为111210. 下列说法中，正确的是( )A.直线40x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是8B.过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- C.过点(1,1)且与直线210x y ++=相互平行的直线方程是23y x =-+ D.经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为30x y +-= 11. 已知函数()y f x =在R 上可导且(0)1f =，其导函数()f x '满足()()01f x f x x '->-，对于函数()()e xf xg x =，则下列结论正确的是( ) A.函数()g x 在(1,)+∞上为单调递增函数 B.1x =是函数()g x 的极小值点C.函数()g x 至多有两个零点D.0x ≤时，不等式()e x f x ≤恒成立12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}n b 满足：1nn n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯ B ．C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=-- D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）13. 已知数列{}n a 中，13a =，26a =，21n n n a a a ++=-，则2020a =___________. 14. 已知函数2e ()(2ln )x f x k x x x =+-和2e ()xg x x=，若()g x 的极小值点是()f x 的唯一极值点，则k 的最大值为___________.四、解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）15．（12分）已知函数2()x x f x e=．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的值域．16．(12分)当顾客在超市排队结账时，“传统排队法”中顾客会选他们认为最短的队伍结账离开，某数学兴趣小组却认为最好的办法是如图（1）所示地排成一条长队，然后排头的人依次进入空闲的收银台结账，从而让所有的人都能快速离开，该小组称这种方法为“长队法”. 为了检验他们的想法，该小组在相同条件下做了两种不同排队方法的实验. “传统排队法”的顾客等待平均时间为5分39秒，图（2）为“长队法”顾客等待时间柱状图.(1)根据柱状图估算使用“长队法”的100名顾客平均等待时间，并说明选择哪种排队法更适合；(2)为进一步分析“长队法”的可行性，对使用“长队法”的顾客进行满意度问卷调查，发现等待时间为[8，10）的顾客中有5人满意，等待时间为[10，12]的顾客中仅有1人满意，在这6人中随机选2人发放安慰奖，求获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）顾客的概率.17．(12分)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100.18．（14分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为12. (1)求抛物线C 的方程；(2)设点E 是抛物线C 上任意一点，求线段EF 中点D 的轨迹方程；(3)过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M 、N 两个不同的点（均与点()1,1A 不重合），设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k 为定值.参考答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CCABDCAD二、多选题（本题共4小题，每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）题号 9 10 11 12 答案BCDACABCABD三、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）13. ‐3 14.四、解答题（共50分）15.（12分）（1）单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0),(2,)-∞+∞； （2）240,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【详解】（1）由题意得，(2)()xx x f x e-'=，令()0f x '>，得02x <<，令()0f x '<，得2x >或0x <，故函数()f x 的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0),(2,)-∞+∞．（2）易知241(0)0,(2),2e f f f e ⎛⎫==-=⎪⎝⎭因为221416(2)2e e e f f e-⎛⎫--== ⎪⎝⎭ 22221628(22)(22)042e e e e e e --+->==>, 所以1(2)2f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭．（或由244(2)9f e =>，134329e f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭1(2)2f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭）,又当0x >时，2()0x x f x e =>，所以函数()f x 在区间1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的值域为240,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．16．（12分）【详解】 (1)183125257369151146100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）因为使用“长队法”顾客的平均等待时间长于使用“传统排队法”的顾客平均等待时间， 所以选择“传统排队法”更适合；(2)记事件A =“获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）的顾客”，用1，2，3，4，5表示等待时间在[8，10）的满意顾客，用a 表示等待时间在[10，12]的满意顾客，Ω={（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（1，a ），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a ），（3，4），（3，5），（3，a ），（4，5），（4，a ），（5，a ）}n （Ω）=15，事件A 包含的样本点为（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）， ()10n A =，()102()()153n A p A n ===Ω.17.（12分）【详解】 (1)设{a n }的公比为q (q ＞1).由题设得a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8.整理得2q 2－5q ＋2＝0，即(2q －1)(q －2)＝0.解得q ＝12 (舍去)或q ＝2. a 1＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题设及(1)知b 1＝0，且当2n ≤m ＜2n ＋1时，b m ＝n .所以S 100＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6＋b 7)＋…＋(b 32＋b 33＋…＋b 63)＋(b 64＋b 65＋…＋b 100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480. 18.（14分）(1)2y x =(2)211216y x =- (3)证明见解析【详解】（1）解：由题意抛物线2:2C y px =的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，又焦点到准线的距离为12，所以1222p p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即12p =，所以抛物线方程为2y x =．（2）解：由（1）知1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设00(,)E x y ，(,)D x y ，则001422x x y y ⎧+⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，即001242x x y y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 而点00(,)E x y 在抛物线C 上，200y x =，21(2)24y x ∴=-，即211216y x =-，此即所求点D的轨迹方程．（3）证明：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，直线MN 的方程为(1)3x t y =++， 代入抛物线方程得230y ty t ---=．所以2(2)80t ∆=++>，12y y t +=，123y y t =--． 所以12121222121212111111111(1)(1)y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ 12121111312y y y y t t ===-+++--++，所以12k k 是定值．。
河北省石家庄市十五中2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题
A． 1
B．0
C．1
D．2
3．如图，在四面体
OABC
中，G
是
BC
的中点，设
uuur OA
r a
，OuuBur
r b
uuur ，OC
r c
，则
uuur AG
（）
A．
r a
1
r b
1
r c
22
C． 13 3
D． 15 5
二、多选题 9．函数 y f (x) 的导函数 f (x) 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． x 3是函数 y f (x) 的极值点 C． y f (x) 在区间 (3,1) 上单调
B． x = 1是函数 y f (x) 的最小值点 D． y f (x) 在 x 0 处切线的斜率小于 0
10．已知等差数列 {an } 的前
n
项和为
S
n
,
且
a 1
>
0, 2a 5
+
a 11
=
0, 则
A． a8 0
B．当且仅当 n= 7 时， Sn 取得最大值
C． S4 S9
D．满足 Sn 0 的 n 的最大值为 12
11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD A1B1C1D1 ，其中，以顶点 A 为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60°，下列说法中正确的是（ ）
19．已知△ ABC 的顶点 C 1,5 ，边 AB 所在直线的方程为 y 0 ，边 BC 上的高 AH 所
在直线的方程为 x y 2 0 . (1)求顶点 A 与 B 的坐标；
2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，()224,,4,(1,4,1)a x x b =--=--，若//a b ，则x 的值为（ ）A ．4B ．4-C ．4或4-D ．5【答案】A【分析】由向量平行有a b λ=且R λ∈，结合已知坐标列方程组求参数即可. 【详解】由题设，a b λ=且R λ∈，则22444x x λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，可得44x λ=⎧⎨=-⎩. 故选：A2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 交C 与A ，B 两点，若△1AF B的周长为C 的方程为（ ） A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=【答案】B【分析】由焦点三角形的周长及椭圆的定义可得a =c ，进而求得21b =，即可写出椭圆方程.【详解】由题设，2121||||||||2AF AF BF BF a +=+=，且22||||||AB AF BF =+， 所以△1AF B的周长为2121||||||||4AF AF BF BF a +++==a =又c e a ==，可得c =2221b a c =-=， 综上，C 的方程为2213x y +=.故选：B3．函数()2e xf x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】求导判断出函数()f x 的单调区间即可做出选择.【详解】∵()2e x f x x =，∴()()()22222222212e e e e e x xx x x x x x x f x x x x ''⋅-⋅--'===. 令()0f x '=，得12x =. 则函数()f x 在区间(),0∞-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.选项A ：违背函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减.判断错误；选项B ：违背函数()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 判断错误；选项C ：函数()f x 在区间(),0∞-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.判断正确；选项D ：违背函数()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 判断错误.故选：C4．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ） A ．2192 B ．39128n -C ．39208n -D ．39288n -【答案】D【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n 个月已还多少本金，由此可计算出n 个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则()2000480000120000.4%39288n a n n ⎡⎤=+--⨯⨯=-⎣⎦， 故选：D5．如图．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则NM =（ ）A ．123122a b c -+B ．122132a b c -++C ．122121a b c +-D ．211322a b c --【答案】D【分析】由空间四边形各棱的位置关系，结合空间向量加减、数乘的几何意义，用,,OA OB OC 表示NM 即可得结果.【详解】由题图，1()2NM AM AB AC =-+，而AB OB OA =-，AC OC OA =-，13MA OA =，所以1211211()232332122NM OB OA OC OA OA OB OC O a b c A =---+-=--=--.故选：D6．已知函数()y f x =的图象如图所示，()'f x 是函数()f x 的导函数，则（ ）A ．(4)(2)(2)(4)2f f f f '<'-<B ．(4)(2)(4)(2)2f f f f -<<'' C ．(4)(2)(2)(4)2f f f f -<<'' D ．(4)(2)(4)(2)2f f f f ''-<< 【答案】A【分析】根据题意，结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解.【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得(2)f '表示曲线在A 点处的切线的斜率，即直线1l 的斜率1l k ，(4)f '表示曲线在B 点处的切线的斜率，即直线2l 的斜率2l k ，又由平均变化率的定义，可得(4)(2)2f f -表示过,A B 两点的割线的斜率l k ， 结合图象，可得12l l l k k k <<，所以(4)(2)(2)(4)2f f f f '<'-<. 故选：A.7．已知数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加该项的后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加3的后继数4，…，如此继续，则26a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】直接列举即可求解.【详解】由题意知，1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，这次复制后数列已经有15项，下次复制会先复制这15项，再添加数5，故26111a a ==. 故选：A.8．若函数()ln f x kx x =+在区间[1,3]上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[1,)-+∞D ．(1,)+∞【答案】A【分析】根据()f x 的导函数在区间上大于等于零恒成立，分离参数，即可求得参数的取值范围.【详解】因为()ln f x kx x =+，故可得'()f x 1k x=+，根据题意，10k x +≥在[]1,3恒成立，即1k x≥-在[]1,3恒成立， 又1y x =-在[]1,3的最大值为13-，故13k ≥-.故选：A. 二、多选题9．设数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，10a >，且69S S =，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．80a = C ．56S S > D ．7S 或8S 为n S 的最大值 【答案】BD【分析】由69S S =及前n 项和公式可得17a d =-，即可判断A 、B 的正误，进而得到2152n dn dnS -=判断C ，结合二次函数的性质判断D 的正误.【详解】由69S S =，即1165986922a d a d ⨯⨯+=+，则17a d =-，又10a >， 所以0d <，8170a a d =+=，则A 错误，B 正确；且21(1)1522n n n d dn dnS na --=+=，故525S d =-<627S d =-，C 错误； 由n S 的二次函数性质：开口向下且69S S =，易知78S S =为n S 的最大值，D 正确. 故选：BD10．如图是导函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．(1,3)-为函数()y f x =的单调递增区间B ．(0,5)为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在0x =处取得极大值D ．函数()y f x =在5x =处取得极小值 【答案】AD【分析】A.利用导数的正负与函数的增减的关系判断； B. 利用导数的正负与函数的增减的关系判断； C.利用极值点的定义判断； D. 利用极值点的定义判断.【详解】A. 因为()0f x '>在(1,3)-上成立，所以(1,3)-是()y f x =的单调递增区间，故正确；B.因为 03x <<时，0f x ，35x <<时，0f x ，所以()y f x =在(0,5)上不单调，故错误； C.因为10x -<<时，0f x，03x <<时，0fx ，函数()y f x =在0x =处无极值，故错误；D.因为 35x <<时，0f x ，5x >时，0f x ，所以函数()y f x =在5x =处取得极小值，故正确； 故选：AD11．下列命题正确的是（ ）A ．sin cos 44ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()sin(23)f x x =+，则()cos(23)f x x '=+C ．对于已知函数2()2f x x =+，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为4D ．设函数()f x 导函数为()'f x ，且()()232ln f x x xf x '=++，则9(2)4f '=-【答案】CD【分析】A.利用导数公式求解判断；B.利用复合函数的导数求解判断；C.利用平均变化率的定义求解判断；D.利用导数运算法则求解判断.【详解】A. sin 04π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故错误； B.若()sin(23)f x x =+，则()2cos(23)f x x '=+，故错误； C. 函数2()2f x x =+，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为()()31431f f -=-，故正确； D.因为函数()f x 导函数为()'f x ，且()()232ln f x x xf x '=++，所以()()1232f x x f x''=++， 则()()1222322f f '=⨯++'，解得9(2)4f '=-，故正确；故选：CD12．已知()f x '为函数()f x 的导函数，若()()2ln x f x xf x x '+=，()112f =，则下列结论错误的是（ ）A ．()xf x 在()0,∞+上单调递增B ．()xf x 在()0,∞+上单调递减C ．()xf x 在()0,∞+上有极大值12D ．()xf x 在()0,∞+上有极小值12【答案】ABC【分析】将()()2ln x f x xf x x '+=变形得()()ln xxf x f x x'+=（0x >），构造函数()()g x xf x =，结合导数讨论()g x '正负，即可求出()g x 单调性和极值.【详解】由()()2ln x f x xf x x '+=，可知0x >，则()()ln x xf x f x x '+=，即()ln x xf x x'=⎡⎤⎣⎦． 设()()g x xf x =，则由()ln 0xg x x'=>得1x >，由()0g x '<得01x <<， 所以()()g x xf x =在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减， 所以当1x =时，函数()()g x xf x =取得极小值()()1112g f ==． 故选：ABC ． 三、填空题13．若函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，则a=__________． 【答案】2【分析】对函数求导，根据极值点得到2a =或6a =，讨论a 的不同取值，利用导数的方法判定函数单调性，验证极值点，即可得解.【详解】由2322()()2f x x x a x ax a x ==--+可得22()34f x x ax a '=-+， 因为函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，所以2(2)1280f a a '=-+=，解得2a =或6a =， 若2a =，则2()384(2)(32)f x x x x x '=-+=--，当2,3x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以函数()f x 在2x =处取得极小值，符合题意；当6a =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，当(),2x ∈-∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当()2,6x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当()6,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以函数在2x =处取得极大值，不符合题意； 综上：2a =. 故答案为：2. 【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般需要先对函数求导，根据极值点求出参数，再验证所求参数是否符合题意即可.14．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13a ，312a ，22a 成等差数列，则8967a a a a +=+______． 【答案】9【分析】利用等比数列的性质及它们成等差可建立方程，从而可求q 的值，即可求得结论.【详解】解：由题意得：设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， ∵13a ，312a ，22a 成等差数列 ∴31232a a a =+ ∴2230q q --=∴3q =或1q =-（舍去）∴7822891156671139a a a q a q q a a a q a q ++====++． 故答案为：9 15．若点P 是抛物线2y x 上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为________.【分析】易知最小值点P 为抛物线2yx 的一条切线的切点，且该切线平行于直线2y x =-，利用导数的几何意义可求得P 点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】当P 到直线2y x =-距离最小时，P 为抛物线2y x 的一条切线的切点，且该切线平行于直线2y x =-， 21y x '==，12x ∴=，11,24P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，∴所求最小距离d ==故答案为：8.16的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆22110x y n+=是“黄金椭圆”，则n =__________．【答案】5【分析】分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，利用离心率公式求解.【详解】解：当焦点在x 轴上时，()2210,0,10a b n ==∈，则210c n =-所以2221010c n e a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5n =；当焦点在y 轴上时，2210,10b a n ==>， 则210c n =-，所以22210c n e a n -⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5n =；故答案为：555± 四、解答题17．（1）求曲线e x y =在0x =处切线的方程； （2）过原点作曲线e x y =的切线，求切点的坐标． 【答案】（1）1y x =+；（2）()1,e .【分析】（1）求出切点坐标和切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）设切点坐标为(),e tt ，利用导数的几何意义求出切线方程，再将原点坐标代入切线方程，求出t 的值，即可得出切点坐标.【详解】解：（1）当0x =时，0e 1y ==，即切点坐标为()0,1，e x y '=，切线斜率为0e 1k ==，故所求切线方程为1y x -=，即1y x =+；（2）设切点坐标为(),e tt ，对函数e x y =求导得e x y '=，故切线斜率为e t ，所以切线方程为()e e t ty x t -=-，将原点坐标代入切线方程可得e e t t t -=-，解得1t =，故切点坐标为()1,e .18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==．若在CD 上存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB D ．(1)求线段CE 的长；(2)求直线1B E 与平面11AB D 所成角的正弦值． 【答案】(1)32CE = 517【分析】（1）以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设DE a =，其中02a ≤≤，由已知条件可得出关于a 的等式，求出a 的值，可求得线段CE 的长；（2）利用空间向量法可求得直线1B E 与平面11AB D 所成角的正弦值.【详解】(1)解：以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示：设DE a =，其中02a ≤≤，则()0,,0E a 、()1,0,0A 、()11,0,1A 、()11,2,1B 、()10,0,1D ，()10,2,1AB =，()111,2,0D B =，()11,,1A E a =--， 若1A E ⊥平面11AB D ，则11A E AB ⊥，111A E D B ⊥，则11111210210A E AB a A E D B a ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得12a =，则322CE CD DE a =-=-=.(2)解：由（1）可知平面11AB D 的一个法向量为()122,1,2n A E ==--，且131,,12EB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11155172cos ,173n EB n EB n EB ⋅<>==-=⋅⨯因此，直线1B E 与平面11AB D 51719．已知点F 为抛物线22(0)x py p =>的焦点，点(),4A a 在抛物线上，且5AF =． (1)求该抛物线的方程；(2)若点A 在第一象限，且抛物线在点A 处的切线交y 轴于点M ，求AOM 的面积．【答案】(1)24x y =(2)8【分析】（1）由题意结合抛物线的定义可得||452pAF =+=，求出p ，从而可求得抛物线的方程，（2）将(),4A a 的坐标代入抛物线方程可求出点A 的坐标，设切线方程为4(4)y k x -=-，代入抛物线方程中化简后，由判别式为零可求出k ，从而可得直线方程，进而可求出点M 的坐标，然后可求出AOM 的面积 【详解】(1)由抛物线的定义可知||452pAF =+=， 即2p =，抛物线的方程为24x y =， (2)24416a =⨯=，且A 在第一象限，4a ∴=，即A （4，4）， 显然切线的斜率存在，故可设其方程为4(4)y k x -=-，．由24(4)4y k x x y -=-⎧⎨=⎩，消去y 得[]24(4)4x k x =-+，即2416160x kx k -+-=， 令2164(1616)0k k ∆=--=，解得2k =，∴切线方程为24y x =-． 令x =0，得4y =-，即4(0,)M -， 11||44822AOMA SOM x ∴==⨯⨯=． 20．已知函数2()ln f x a x bx x =++在其图象上的点(1,)c 处的切线方程为620x y --=． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求()f x 的单调区间与极值． 【答案】(1)1,3,4a b c =-==；(2)单调减区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()f x 的极小值为2ln 33+，无极大值.【分析】（1）求原函数的导函数，由点在切线上求出c ，再由()()161f f c ⎧=⎪⎨='⎪⎩求出参数a 、b即可.（2）由（1）得()()()3121x x f x x-+'=()0x >，根据fx 的符号判断()f x 的单调区间，并确定极值情况.【详解】(1)由题设，()21af x bx x'=++，且624c =-=， 又()()1216114f a b f b c ⎧=++=⎪⎨=+=='⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩．(2)由（1）得：()2ln 3f x x x x =-++，∴()()()3121161x x f x x x x-+'=-++=()0x >， 令0f x ，解得13x >；令0f x ，解得103x <<，∴()f x 的单调减区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴当13x =时，()f x 的极小值为2ln 33+，无极大值．21．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足121n n na a a +-=． (1)求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)若()()()211N n n n b a a n *+=--∈，求数列{}n b 前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析； (2)342(1)(223)n S n n n =++-+，()n *∈N . 【分析】（1）由题设可得111111+-=--n n a a ，利用等差数列的定义判断11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是否为等差数列即可. （2）由（1）有1(2)n b n n =+，应用裂项相消法求n S 即可.【详解】(1)由题设，111+--=n n n a a a ，则1111111n n n n a a a a +==+---，所以111111+-=--n n a a 为常数，又1111a =-， ∴11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由（1）得：11=-n n a ，所以()()2111111(2)22n n n b a a n n n n +⎛⎫=--==- ⎪++⎝⎭， 所以，111111*********...12243511222123n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭32342(1)(2)n n n +=-++，()n *∈N ． 22．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a 元(1013)a ≤≤的税收，预计当每件产品的售价定为x 元(1317)x ≤≤时，一年的销售量为2(18)x 万件． (1)求该商店一年的利润L （万元）与每件纪念品的售价x 的函数关系式； (2)求出L 的最大值()Q a ．【答案】(1)()()2518L x a x =---，[13,17]x ∈；(2)()()3413,1011.52712,11.513a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩.【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域范围.（2）对L 求导，令0L '=得2823a x +=或18x =，讨论2823a+与区间[13,17]的位置情况判断L '的符号，进而确定L 的区间单调性，即可求最大值.【详解】(1)由题意，预计当每件产品的售价为x 元()1317x ≤≤，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a 元（1013a ≤≤），所以商店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：()()2518L x a x =---，[13,17]x ∈(2)()()2518L x a x =---，[13,17]x ∈，()()()282318L x a x x '∴=+--，令0L '=，解得：2823a x +=或18x =，而1013a ≤≤，则28216183a+≤≤， ①当28213173a+≤<，即1011.5a ≤≤时， 当28213,3a x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0L x '≥，()L x 单调递增， 当282,173a x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0L x '≤，()L x 单调递减， ()3max 282413327a L L a +⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭； ②当28217183a+≤≤，即11.513a ≤≤时，则()0L x '≥，即()L x 在[13,17]单调递增， ()max 1712L L a ∴==-，综上，()()3413,1011.52712,11.513a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩.。
河北省石家庄二十四中2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
河北省石家庄二十四中2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．从集合{}1,2,3,4,5中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（ ） A ．10B ．15C ．20D ．252．五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从,,,A B C D 四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A 景点，所以甲不选A 景点，则不同的选法有（ ） A ．60B ．48C ．54D ．643．6x ⎛⎝的展开式中含2x 的项的系数为（ ）．A ．20B ．20-C ．15-D ．154．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且满足()0E ξ=，则2a b -=（ ）A ．29B ．12C ．39D ．05．如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）A ．480B ．600C ．720D ．8406．设随机变量X 服从两点分布，若()()100.4P X P X =-==，则()E X =（ ） A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.77．设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.40.6､，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.70.9､，则甲正点到达目的地的概率为（ ） A ．0.78B ．0.8C ．0.82D ．0.848．有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种． A ．36B ．72C ．108D ．1449．一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用X 表示取出球的最大编号，则()E X =（ ） A ．2B ．3C ．103D ．11310．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）A ．521B ．940C ．745D ．720二、多选题11．A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 不相邻，有72种排法 B ．若A ，B 不相邻，有48种排法C ．若A ，B 相邻，有48种排法D ．若A ，B 相邻，有24种排法12．对任意实数x ，有()()()()()823801238231111x a a x a x a x a x -=+-+-+-++-L ，下列结论成立的是（ ）A ．01a =-B ．01a =C ．01281a a a a +++⋯+=D ．8012833a a a a a ++--+=L13．已知事件A ，B ，且()13P A =，()15P B A =，()35P B A =，则（ ） A ．()115P AB =B ．()25P B A = C ．()25P B A =D ．()415P AB =14．将杨辉三角中的每一个数C r n 都换成()11C r n n +，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果()*2N n n ≥∈，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ）A ．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值B ．第8行第2个数是172C ．()()111C 1C r n r n n n n -=++（N r ∈，0r n ≤≤）D ．()()111111C 1C C r r r n n n n n n --+=++（N r ∈，1r n ≤≤）三、填空题15．4275C A -=． 16．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有种． 17．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球2个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为.18．组合数0243434343434C C C C +⋅⋅⋅+++被9除的余数是．四、解答题19．若()522100121012x x a a x a x a x --=++++L ．(1)求01238910a a a a a a a +++++++L 的值； (2)求02410a a a a +++L 的值；20．某地要从2名男运动员、4名女运动员中随机选派3人外出比赛．(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？(2)设选派的3人中男运动员人数为X，求X的分布列．21．有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有大小、形状完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球；乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球．假设试验选到甲袋或乙袋的概率都是12．(1)求从袋子中摸出红球的概率；(2)求在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率．22．已知2n x⎛⎝的展开式二项式系数和为64.(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中二项式系数最大的项.23．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．(1)若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：方案一：只选择A选项：方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；。
天津高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．下列各式正确的是（ ） A ．B ． ()cos sin x x '=()ln x x a a a '=C ． D ．ππsin cos 1212'⎛⎫= ⎪⎝⎭()5615xx --'=-【答案】B【分析】根据基本初等函数的求导公式判断．【详解】；；，，只有B 正确．(cos )sin x x '=-πsin 012'⎛⎫= ⎪⎝⎭56()5x x --'=-()ln x xa a a '=故选：B ．2．函数的单调递减区间是（ ） (e 3)()x f x x =-A ． B ． C ． D ．(),2-∞()0,3()1,4()2,+∞【答案】A【分析】求出导函数，由得减区间． ()f x '()0f x '<【详解】由已知， ()(3)(2)x x x f x e x e x e '=+-=-时，，时，，2x <()0f x '<2x >()0f x '>所以的减区间是，增区间是； ()f x (,2)-∞(2,)+∞故选：A ．3．曲线在处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）()2ln f x x x =x e =A ．B ．C ．D ．24e 2e 22e 22e 【答案】D【解析】先利用导数的几何意义求出切线方程，再分别求出直线与两坐标轴的交点坐标，即可得l 到切线l 与坐标轴围成的三角形的面积．【详解】由，得，则，，所以曲线在()2ln f x x x =()22ln f x x '=+()2f e e =()224f e '=+=()f x 处的切线的方程为，即.令得；令得.所以直x e =l ()24y e x e -=-42y x e =-0x =2y e =-0y =2ex =线与两坐标轴的交点坐标分别为，，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为l ()0,2e -,02e ⎛⎫⎪⎝⎭l . 212222e e e ⨯⨯=故选D.4．若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） 0,ln 0x x x x a >--≥a A ． B ．C ．D ．(,1]-∞-(,1]-∞[1,)-+∞[1,)+∞【答案】A【解析】构造函数，利用导数研究函数在单调性，并计算()ln f x x x x a =--()f x ()0,∞+，可得结果.()min 0f x ≥【详解】令，()ln f x x x x a =--()0,x ∈+∞则，令()'ln f x x =()'01f x x =⇒=若时，01x <<()'0f x <若时，1x >()'0f x >所以可知函数在递减，在递增 ()f x ()0,1()1,+∞所以()()min 11f x f a ==--由对任意的实数恒成立 0,ln 0x x x x a >--≥所以 ()min 101f x a a =--≥⇒≤-故选：A【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.5．已知R 上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）()f x ()()20x f x '->A ．B ． ()(),21,-∞-+∞ ()()212-∞-,,UC ．D ．()(),12,-∞+∞ ()()1,12,-+∞ 【答案】D【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． ()0f x '>()0f x '<【详解】由图象知的解集为，的解集为，()0f x '>(,1)-∞-(1,)⋃+∞()0f x '<(1,1)-或，(2)()0x f x '->20()0x f x -⇔'>⎧⎨>⎩20()0x f x -<<'⎧⎨⎩所以或，解集即为． 2x >11x -<<()()1,12,-+∞ 故选：D ．6．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）2()ln 2f x x ax =+-1,22⎛⎫⎪⎝⎭a A ． B ． C ． D ．(,2]-∞-1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2,)-+∞【答案】D【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即212a x >-1(,2)221()2g x x =可求出的范围.a 【详解】∵， 2()ln 2f x x ax =+-∴，1()2f x ax x'=+若在区间内存在单调递增区间，则有解，()f x 1(,2)21()0,(,2)2f x x '>∈故， 212a x >-令，则在单调递增， 21()2g x x =-21()2g x x =-1(,2)2，1()()22∴>=-g x g 故. 2 a >-故选：D.7．已知函数在处有极值10，则的值为（ ） 322()f x x ax bx a =--+1x =a b 、A ．， B ．，或， 4a =-11b =3a =3b =-4a =-11b =C ．， D ．以上都不正确1a =-5b =【答案】A【解析】根据条件函数在处有极值10，则有且，解出的值，然后()f x 1x =1(1)0f =()01f '=a b 、再代入检验是否满足条件，得出答案【详解】解：函数的导数为， 2()32f x x ax b '=--因为函数在处有极值10， 322()f x x ax bx a =--+1x =所以且．1(1)0f =()01f '=即，解得或． 2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩33a b =⎧⎨=-⎩411a b =-⎧⎨=⎩当，，，3a =3b =-22()3633(1)0f x x x x '=-+=-…此时函数单调递增，所以此时函数没有极值，所以不满足条件． 所以经检验值当，时，满足条件． 4a =-11b =故选：A ．【点睛】本题考查函数取极值的情况，求参数的值，注意要检验，属于中档题. 8．定义在R 上的偶函数，其导函数，当x ≥0时，恒有，若()f x ()f x '()()02xf x f x '+-<，则不等式的解集为（ ） 2()()g x x f x =()(12)g x g x <-A ．(,1)B ．(∞,)∪(1,+∞)13-13C ．(,+∞)D ．(∞,)13-13【答案】A【分析】由已知可得，即在上单调递减，再利用函数的奇偶()[2()()]0g x x f x xf x ''=+<()g x [0,)+∞性、单调性，求解题设不等式即可.【详解】当时，，又， 0x ≥2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+()()()()022x xf x f x f x f x ''+-=+<∴，即在上单调递减． ()0g x '<()g x [0,)+∞∵是定义在R 上的偶函数， ()f x ∴是定义在R 上的偶函数，()g x 由不等式，则有， ()(12)g x g x <-(||)(|12|)g x g x <-∴，解得：． |||12|x x >-113x <<∴不等式的解集为． ()(12)g x g x <-1(,1)3故选：A9．设函数与是定义在同一区间上的两个函敉，若对任意的，都有()f x ()g x [],a b [],x a b ∈，则称与在上是“k 度和谐函数”，称为“k 度密切区()()()0f x g x k k -≤>()f x ()g x [],a b [],a b 间”．设函数与在上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是（ ） ()ln f x x =()1mx g x x -=1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．B ．[]e 1,1--[]1,e 1-+C ．D ．1e,1e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦11e,1e e ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】由新定义转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值，从而得出结论． 【详解】由题意在时恒成立，即在时恒成1ln e mx x x --≤1[e]e x ∈,1e ln e m x m x-≤+≤+1[e]e x ∈,立， 设，则，1()ln h x x x=+22111()x h x x x x -'=-=时，，单调递减，时，，单调递增， 11ex ≤<()0h x '<()h x 1e x <≤()0h x '>()h x 所以，又，，所以，min ()(1)1h x h ==1(e 1e h =-1(e)1e 1e h =+<-max ()e 1h x =-因此由在时恒成立得：1e ln e m x m x-≤+≤+1[e]e x ∈,且，所以．e 1m -≤e e 1m +≥-1e 1m -≤≤+故选：B ．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题的处理方法，解决函数不等式恒成立的常用方法是分离参数法，即不等式变形把参数与自变量分离，然后构造新函数，利用导数求得函数的最值，然后解相x 应不等式得参数范围．二、填空题10．已知函数的导函数为，且满足，则________． ()f x ()f x '()()121f x xf x'=+()1f '=【答案】1【分析】根据题意，求导可得，然后令，即可得到结果. ()f x '1x =【详解】因为，则， ()()121f x xf x '=+()()2121f x f x''=-令，可得，解得. 1x =()()1211f f ''=-()11f '=故答案为: 111．函数的单调减区间为_______ ． ()219ln 2f x x x =-【答案】.()0,3【解析】利用导数研究函数单调性即可得到结论. 【详解】解：∵，， ()219ln 2f x x x =-0x >则，299()x f x x x x'-=-=由，即，解得 ，()0f x '<290x -<33x -<<，即函数的单调减区间为， 0,03x x >∴<< ()0,3故答案为：.()0,3【点睛】本题主要考查函数单调区间的求解，根据函数的导数和单调性之间的关系是解决本题的关键.12．函数的图象在点处的切线的倾斜角为__________ ()cos x f x e x =(0,(0))f 【答案】4π【详解】因为， ()cos sin x x f x e x e x -'=00(0)cos 0sin 01f e e -'==所以函数的图象在点处的切线的倾斜角为()cos x f x e x =(0,(0))f 4π13．已知函数对区间上任意的都有，则实数m 的最小3()3f x x x =-[3,2]-1,x 2x ()()12f x f x m -≤值是________. 【答案】20【分析】求出在上的最大值和最小值后由两者差可得的范围，即得的最小值、 ()f x [3,2]-m m 【详解】，则＝0，，当或时，，3()3f x x x =-2()33f x x '=-1x =±31x -≤<-12x <≤()0f x '>递增，当时，，递减．()f x 11x -<<()0f x '<()f x 所以，，又，， ()(1)2f x f =-=极大值()2f x =-极小值(3)18f -=-(2)2f =所以在上，，[3,2]-()2,()18f x f x ==-最大值最小值所以的最大值为，即，所以的最小值为20． 12()()f x f x -2(18)20--=20m ≥m 故答案为：20．【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，解题关键是命题对区间上任意的都有[3,2]-1,x 2x ，转化继．()()12f x f x m -≤12()()()()f x f x f x f x -≤-最大值最小值14．当时，函数有两个极值点，则实数m 的取值范围___________.0x >()22x f x e mx =-+【答案】 2e m >【分析】函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实数根，等价于与有两个2xe m x =y m =2x e y x=不同的交点，构造函数，即可求出结果.()(0)2xe h x x x =>【详解】有两个极值点， 2()2xf x e mx =-+所以有两个不同的实数根，'()20x f x e mx =-+=即有两个不同的实数根，2xe m x=等价于与有两个不同的交点，y m =2xe y x =设， ()(0)2x e h x x x =>2(1)'()(0)2x e x h x x x -=>当单调递减， (0,1),'()0,()x h x h x ∈<当单调递增， (1+),'()0,()x h x h x ∈∞>，所以 min ()(1)2eh x h ==当；0()x h x →→+∞，+()x h x →∞→+∞，所以与要有两个不同的交点，只需y m =2xe y x=2e m >故答案为：2em >【点睛】方法点睛：含参方程有根的问题转化为函数图像的交点问题，数形结合，是常用的方法.本题考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目.三、双空题15．（1）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则()()e 21xf x x ax a =--+1a <0x ()00f x <a 的取值范围是________．（2）已知，，若，，使得成立，则实数a 的()e xf x x =()()21g x x a =-++1x ∃2x ∈R ()()21f x g x ≤取值范围________． 【答案】3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方，求导得0x ()0g x y ax a =-，然后结合图像即可得到结果；()g x '（2）根据题意，将问题转化为，然后求导得极值，即可得到结果.()()min max f x g x ≤【详解】（1）函数，其中，()()e 21xf x x ax a =--+1a <设，()()e 21,xg x x y ax a =-=-因为存在唯一的整数，使得，0x ()00f x <所以存在唯一的整数，使得在直线的下方， 0x ()0g x y ax a =-因为，所以当时，，()()e 21xg x x '=+12x <-()0g x '<当时，，12x =-()12min 12e 2g x g -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，， 0x =()()01,1e>0g g =-=直线恒过点，斜率为，y ax a =-()1,0a 故，且，解得 ()01a g ->=-()113e g a a --=-≥--32ea >所以的取值范围是a 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2），，使得成立，等价于，1x ∃2x ∈R ()()21f x g x ≤()()min max f x g x ≤因为，所以，()e x f x x =()()1e xf x x '=+当时，，则函数递减； 1x <-()0f x '<()f x 当时，，则函数递增； 1x >-()0f x ¢>()f x 所以时，，=1x -()min 1ef x =-因为，所以，()()21g x x a =-++()max g x a =所以，则实数的取值范围是.1e a -≤m 1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭故答案为: （1）;（2）3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题16．已知函数（a ，），其图象在点处的切线方程为()()322113f x x ax a x b =-+-+b ∈R ()()1,1f ．30x y +-=(1)求a ，b 的值；(2)求函数的单调区间和极值； ()f x (3)求函数在区间上的最大值． ()f x []2,5-【答案】(1)，；1a =83b =(2)的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；()f x (,0)-∞(2,)+∞(0,2)8(0)3f =()423f =(3)最大值是，最小值是． 5834-【分析】（1）由出导函数，计算和，由切线方程列方程组解得； ()f x '(1)f '(1)f ,a b （2）由得增区间，由得减区间，从而可得极值；()0f x '>()0f x '<（3）结合（2）可得函数在上的单调性，再计算出区间端点处的函数值，，与[2,5]-(2)f -(5)f （2）中极值比较可得最值．【详解】（1），，22()21f x x ax a '=-+-22(1)1212f a a a a '=-+-=-，2212(1)133f a a b a a b =-+-+=-+-又图象在点处的切线方程为，()()1,1f 30x y +-=所以，解得； 222121(303a a a a b ⎧-=-⎪⎨+-+--=⎪⎩183a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）由（1）得，，3218()33f x x x =-+2()2(2f x x x x x '=-=-）或时，，时，，0x <2x >()0f x '>02x <<()0f x '<所以的增区间是和，减区间是， ()f x (,0)-∞(2,)+∞(0,2)极大值是，极小值是；8(0)3f =()423f =（3）由（2）知在和上递增，在上单调递减， ()f x [2,0]-[2,5](0,2)又，， (2)4f -=-58(5)3f =所以在上的最大值是，最小值是． ()f x [2,5]-5834-17．已知函数，其中是自然对数的底数，．()()21e xf x ax x =+-e a R ∈(1)若，求的单调区间；a<0()f x (2)若，函数的图象与函数的图象有个不同的交点，求实数的1a =-()f x ()321132g x x x m =++3m 取值范围．【答案】(1)答案见解析(2) 31,1e 6⎛⎫--- ⎪⎝⎭【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变()()221e xf x ax a x '⎡⎤=++⎣⎦a 化，由此可得出函数的增区间和减区间；()f x （2）由可得出，构造函数()()f x g x =()232111e 32xm x x x x -=-+++，可知直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函()()232111e 32x h x x x x x =-+++y m =-()h x 数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.()h x m 【详解】（1）解：当时，因为，该函数的定义域为， 0a <()()21e xf x ax x =+-R ，()()()()2221e 1e 21e x x xf x ax ax x ax a x '⎡⎤=+++-=++⎣⎦由可得或. ()0f x '=0x =21a x a+=-①当时，即当时，210a a+-<12a <-由可得或，由可得， ()0f x '<21a x a +<-0x >()0f x ¢>210a x a+-<<此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为； ()f x 21,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,∞+21,0a a +⎛⎫-⎪⎝⎭②当时，即当时，对任意的，且不恒为零， 210a a+-=12a =-x R ∈()0f x '≤()f x '此时函数的减区间为，无增区间； ()f x (),-∞+∞③当时，即当时，210a a+->102a -<<由可得或，由可得， ()0f x '<0x <21a x a +>-()0f x ¢>210a x a+<<-此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为.()f x (),0∞-21,a a ∞+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述，当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为12a <-()f x 21,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,∞+； 21,0a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，函数的减区间为，无增区间； 12a =-()f x (),-∞+∞当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为102a -<<()f x (),0∞-21,a a ∞+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）解：当时，，1a =-()()21e x f x x x =-+-由可得，可得， ()()f x g x =()232111e 32x x x x x m -+-=++()232111e 32x m x x x x -=-+++令，则， ()()232111e 32x h x x x x x =-+++()()()2e 1x h x x x '=++由可得或，由可得.()0h x '>1x <-0x >()0h x '<10x -<<所以，函数的增区间为、，减区间为，()h x (),1-∞-()0,∞+()1,0-函数的极大值为，极小值为， ()h x ()311e 6h -=+()01h =因为函数、的图象有三个交点，()f x ()g x 所以，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：y m =-()h x由图可知，当时，即当时， 311e 6m <-<+311e 6m --<<-直线与函数的图象有三个交点，y m =-()h x 因此，实数的取值范围是. m 31,1e 6⎛⎫--- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化x 归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数()0f x =()a g x =y a =的图象的交点问题.()y g x =18．已知函数()ln 1x f x me x =--（1）设是的极值点，求m ，并求的单调区间；2x =()f x ()f x （2）当时，求证：1m >()1f x >（3）当时，求证： 1m e>()0f x >【答案】（1），在上单调递减，在上单调递增； 21=2m e ()y f x =()0,2()2,∞+（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）先由是的极值点求出m ，再直接求单调区间；2x =()f x （2）用分析法，只需证明即可，构造函数，利用导数证明ln 20x e x -->()()ln 20x g x e x x =-->，即证；()min 0g x >（3）先判断时，，构造函数，利用导数证明当1m e >()ln 1xe f x x e >--()()ln 10x e p x x x e=-->时，，即证.0x >()()10p x p =≥【详解】解：定义域为 ()ln 1x f x me x =--()01()x f x me x=∞'+-，，（1）∵是的极值点，2x =()f x ∴，解得：. 21(2)=02f me '=-21=2m e 此时， 22111()ln 1()22x x f x e x f x e e e x'=--=-，当时；当时；02x <<()0f x '<2x >()0f x '>所以在上单调递减，在上单调递增.()y f x =()0,2()2,∞+（2）当时，，只需证即可.1m >()1ln 2ln 2x x f x me x e x -=-->--ln 20x e x -->令，则 ()()ln 20x g x e x x =-->()()111x x g x e =xe x x=--'令，则，()()10x h x xe x =->()0x x h x e xe '=>+∵∴存在，使得即，也可化为()121110,110,22h e h e ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =0010x x e =-00ln 0x x +=∴在上，，则单调递减；在上，，则单调递增.()00x ，()0g x '<()g x ()0x +∞，()0g x '>()g x 所以 ()()000000000min 1ln 221221012x x g x g x =e x =e x x x x x ⎛⎫=--+->++-=-><< ⎪⎝⎭∵即证.（3）当时，， 1m e >()ln 1xe f x x e>--令，则 ()()ln 10x e p x x x e=-->()1x e p x e x '=-令，解得x =1， ()10x e p x =e x'=-∴在上，，则单调递减；在上，，则单调递增. ()01，()0p x '<()p x ()1+∞，()0p x '>()p x ∴，故当时，.()()min 10p x =p =0x >()()10p x p =≥∴时，都有. 1m e>()0f x >【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（2）利用导数求参数的取值范围.（3）构造新函数，利用导数判断单调性，证明不等式成立19．已知函数，.()ln f x x x =()()1g x a x a =+-(1)求函数的极值；()()()h x f x g x =-(2)若存在时，使成立，求的取值范围.[]1,e x ∈()223f x x ax ≥-+-a (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.()()()12e x h x x a a -≤--+[)1,x ∈+∞a 【答案】(1)函数有极小值，无极大值；()h x ()ee a a h a =-(2)； 32e e a ≤++(3).(],0-∞【分析】（1）由题可得，然后根据导数与函数极值的关系即得；()()ln 1x x x h x a a =-++（2）由题可得存在，成立，构造函数，利用导[]1,e x ∈32ln a x x x ≤++()[]32ln ,1,e F x x x x x=++∈数求函数的最值即得；（3）设，由题可得对任意恒成立，利用导数可得()()1e xg x x a =--()()ln 1g x g x ≤-[)1,x ∈+∞，进而可得只需在上单调递增，即在0ln 1x x ≤≤-()()1e x g x x a =--[)0,+∞()()e 0x g x x a '=-≥上恒成立，即得.[)0,+∞【详解】（1）因为，()()()()ln 1h x x x x a x a f x g =-=++-∴，()()ln 1n 1l h x x a x a -+='+-=由，可得，由，可得，()0h x '<0e a x <<()0h x '>e a x >∴在上单调递减，在上单调递增， ()h x ()0,e a ()e ,a+∞所以，当时，函数有极小值，无极大值；e a x =()h x ()e e a a h a =-（2）由，可得， ()222ln 3f x x x x ax =≥-+-32ln a x x x≤++即存在，成立， []1,e x ∈32ln a x x x≤++设，则， ()[]32ln ,1,e F x x x x x =++∈()()()22132310x x F x x x x -+'=+-=≥所以函数在上单调递增，， ()F x []1,e ()()max 3e 2e eF x F ==++所以； 32e ea ≤++（3）由题可知对任意恒成立， ()()()1ln 12ex x x a x x a --+≤--[)1,x ∈+∞即对任意恒成立， ()()()1ln ln 1e 11ex x x a x a ---≤---⎡⎤⎣⎦[)1,x ∈+∞设，则对任意恒成立，()()1e x g x x a =--()()ln 1g x g x ≤-[)1,x ∈+∞下面证明对任意恒成立，0ln 1x x ≤≤-[)1,x ∈+∞设，，()ln 1t x x x =-+[)1,x ∈+∞则在上恒成立，且仅在时取等号， ()1110x t x x x-'=-=≤[)1,+∞=1x 所以在上单调递减，()ln 1t x x x =-+[)1,+∞∴，即，()()10t x t ≤=0ln 1x x ≤≤-所以对任意恒成立，只需在上单调递增， ()()ln 1g x g x ≤-[)1,x ∈+∞()()1e xg x x a =--[)0,+∞即在上恒成立，()()e 0x g x x a '=-≥[)0,+∞所以在上恒成立，a x ≤[)0,+∞所以，即实数的取值范围为.0a ≤a (],0-∞【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则()f x D （1）恒成立：；； ()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<（2）能成立：；. ()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 ()a f x >()a f x <（1）恒成立：；； ()()max a f x a f x >⇔>()()min a f x a f x <⇔<（2）能成立：；. ()()min a f x a f x >⇔>()()max a f x a f x <⇔<。
贵州省铜仁市松桃民族中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题
（1）求 a2 的值；
（2）求 a1 a2 a3 L L an 的值；
（3）求 f (20) 20 被 6 整除的余数．
22．已知 O 为坐标原点， F1, F2 为椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
b 0 的左、右焦点，其离心率
e 3 ， M 为椭圆 C 上的动点，△MF1F2 的周长为 4 2 3 . 2
A．{1，3}
B．1,1
C． 1,1, 3
D． 1, 0,1, 3
2．若 z 2 i ，则复数 z 的虚部为（ ）. 2i
A． 4 5
B． 3 5
3．
“
ar
r b
”是“ |
ar
||
r b
|
”的（
）
C． 4 i 5
D． 3 i 5
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
（1）求 n 的值，并估计本班参考学生的平均成绩；
（2）已知抽取的 n 名参考学生中，在90,100 的人中，女生有甲、乙两人，现从90,100
的人中随机抽取 2 人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．
18．已知 VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且满足 3c tan A 3 ．
③若 m ， n ， m n ，则 ；④若 m ， n ， m // n ，则 / / .
则正确的命题为( )
A．①②③
B．②③
C．③④
D．②④
6．为庆祝中国共产党成立 100 周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁
共 4 人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有（ ）
宁夏银川市第二中学2023-2024学年高二下学期月考一数学试卷
宁夏银川市第二中学2023-2024学年高二下学期月考一数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（）A．9种B．12种C．24种D．72种2．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个3．已知随机变量X的分布列如下表，则()D X=（）7．如图，小华从图中A 处出发，先到达B 处，再前往C 处，则小华从A 处到C 处可以选择的最短路径有（ ）A ．25条B ．48条C ．150条D ．512条8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a ，b ，m (m＞0)为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m =.若1221818181818C 2C 2...C 2a =×+×++×，()mod10ab =，则b 的值可以是（ ）A ．2018B ．2020C ．2022D ．202416．如图所示，在杨辉三角，3，3，6，4，(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取两次，已知第二次取得白球，求第一次取得黑球的概率.20．某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成．(1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率；(2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为x，求x的分布列和数学期望．21．受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；(2)若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.22．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．(1)若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：方案一：只选择A选项；方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．【详解】从A 处到B 处的最短路径有46C 15=条，从B 处到C 处的最短路径有25C 10=条，则小华从A 处到C 处可以选择的最短路径有1510150´=条．故选：C.8．A【分析】首先利用二项式定理化简a ，再确定a 被10除的余数，结合选项，即可求解.【详解】因为()()18901891812C 31911011a =+-=-=-=--09188199999C 10C 10...C 10C 1=×-×++×--()0817899910C 10C 10...C 2=×-×++-所以a 被10除得的余数为8，而2018被10除得的余数是8.故选：A ．9．ACD【分析】利用分类计数原理、分步计数原理即可.【详解】从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，不同的选科方案有36C 20=种，则A 正确；若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有12212424C C C C 12416+=+=种，则B 错误；若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有35C 10=种，则C 正确；若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有122412C C =种，则D 正确.故选：ACD.10．ACD【分析】将0x =，2x =，1x =±代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++判断是22x，则()322326253C()C280y x x y-×=，系数为80.故答案为：8015．420【分析】根据题意，用,,,,A B C D E表示5个区域，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．【详解】如图，用,,,,A B C D E表示5个区域，分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B ，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有3227+´=种选择，则不同的涂色方案有5437420´´´=种.故答案为：420.。
宁夏六盘山高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
宁夏六盘山高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．下列问题属于排列问题的是（ ）A ．从6人中选2人分别去游泳和跳绳B ．从10人中选2人去游泳C ．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D ．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数10．已知函数()323f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在()0,1上单调递减B ．()f x 的极大值点为2C ．()f x 的极大值为2-D ．()f x 有2个零点11．已知函数()()ln f x x a x =-在区间[]1,2上存在单调递减区间，则a 可能的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．e12．设函数()()2e x f x x =-，若不等式()()22sin 1sin f k f k q q ---³-对任意的四、解答题17．已知函数()()1e x=+．f x x(1)求函数()0,1的切线方程；f x的图象在点()(2)求函数()f x的单调区间．18．工厂需要围建一个面积为2512m的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数．(1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围；(2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决）19．已知函数()()31R=--Î．f x x ax a【详解】根据f(x)<0x ⇔2－2ax<00<x<2a ⇔，可排除选项A ，C ，f′(x)＝[x 2＋(2－2a)x －2a]e x ，由f′(x)＝0，即x 2＋(2－2a)x －2a ＝0，Δ＝(2－2a)2＋8a ＝4a 2＋4>0可知方程必存在两个根．设小的根为x 0，则f(x)在(－∞，x 0)上必定是单调递增的，故选B.9．AD【分析】根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答.【详解】对于A ，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B ，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C ，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D ，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．故选：AD10．AD【分析】求得()3(2)f x x x -¢=，得出函数的单调区间和极值，再结合函数零点的定义，即可求解.【详解】由函数()323f x x x =-，可得()2363(2)f x x x x x =¢=--，令()0f x ¢>，解得0x <或2x >；令()0f x ¢<，解得02x <<，所以函数()f x 在(0,2)上单递减，在(,0),(2,)-¥+¥单调递增，当0x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为()00f =；当2x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为()24f =-，又由x ®+¥时，()f x ¥®+且()240f =-<,()00f =，所以函数()f x 只有两个零点，所以A 、D 正确，B 、C 不正确.故选：AD.11．CD。
山西省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}12M x x =-<(){}ln 1N x y x ==+A ． B ．C ．D ．N M ⊆M N ⊆M N ⋂=∅M N =R 【答案】B【分析】化简集合，判断两个集合之间的关系即可得答案. 【详解】由题可得，， {}13M x x =-<<{}1N x x =>-所以，且 ，，. M N ⊆M N M N M =≠∅I R M N N =≠ 故选：B.2．已知向量，，且，则实数（ ） ()2,a m = ()3,4b m =- a b ⊥ m =A ．3 B ．1C ．D ．131-【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】由得：，a b ⊥ ()2340a b m m ⋅=-+= 解得：. 1m =故选：B.3．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则角的余弦值为ABC A A B C a b c 3a c =13c b =A （ ）A ．B ．C ．D ．15141613【答案】C【分析】根据余弦定理即得． 【详解】由题可得，，3a c =3b c =试题. ()()22222233cos 223c c c b c a A bc c c+-+-==⋅⋅16=故选：C ．4．设为所在平面内一点，，则（ ）D ABC A 3BC CD =A ．B ．1433AD AB AC =-+1334AD AB AC =-C ．D ．4133AD AB AC =+ 4133AD AB AC =- 【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解作答.【详解】在中，，ABC A 3BC CD =.1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+故选：A5．在中，三角形三条边上的高之比为，则为（ ） ABC A 2:3:4ABC A A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】A【分析】由题可得三角形三条边之比为，然后利用余弦定理，求出最大边所对角的余弦值，6:4:3即可判断出结果.【详解】因为三角形三条边上的高之比为，2:3:4所以三角形三条边之比为，即，111::2346:4:3不妨设，6,4,3,0a x b x c x x ===>则最大角的余弦值为，22216911362c 44os 023x x x A x x +-==-<⋅⋅因此角为钝角，三角形为钝角三角形. A 故选：A.6．定义在上的偶函数满足，且在区间上递增，则（ ） R ()f x ()()22f x f x +=-[]2,0-A ．B ．()216log 63f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()2166log 3f f f⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．D ． ()216log 63f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()2166log3f ff ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由条件求出函数的周期，再根据函数的单调性结合条件即得. 【详解】∵定义在R 上的偶函数，所以， ()()f x f x -=又满足，()f x ()()22f x f x +=-所以， ()()()()()42222f x f x f x f x f x +=++=--=-=所以是周期为4的函数，又函数在区间上递增， ()f x ()f x []2,0-所以在区间上递减，()f x []0,2所以，，()()62f f =()2222161616log log 4log log 3333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，，所以，3223<3223<322222log 4log 3l 3g 202o ==>>>>所以，即.()()22log 3f f f <<()2166log 3f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭故选：B ．7．已知是的外心，，，则（ ） O ABC A 4AB =u u u r 2AC = ()AO AB AC ⋅+=A ．10B ．9C ．8D ．6【答案】A【分析】根据三角形外心的性质，结合数量积的几何意义以及数量积运算律，即可求得答案. 【详解】如图，O 为的外心，设为的中点， ABC A ,D E ,AB AC 则,,OD AB OE AC ⊥⊥故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ , 2222111||41||2222210AB AC +=⨯+⨯⋅==故选：A8．在中，角所对的边分别为，，，若，则ABC A ,,A B C a b c 2022sin sin sin c C b B a A -=的值为（ ）()sin sin tan tan tan cos cos A BC A B A B ⋅+⋅⋅A ．2013 B ．C ．2029D ．2029220212【答案】D【分析】对，利用正、余弦定理整理得，根据题意结2022sin sin sin c C b B a A -=22021cos 2ab C c =合三角恒等变换分析运算即可.【详解】∵，由正弦定理可得：， 2022sin sin sin c C b B a A -=2222022c b a -=整理得：，22222021a b c c +-=由余弦定理可得：，故 22cos 2021ab C c =22021cos 2ab C c =()sin sin sin sin sin sin tan tan tan cos cos tan cos cos cos cos A BA B A B C A B A BC A BA B ⋅⋅=+⋅⋅⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭()()22sin sin sin sin sin sin cos cos sin tan sin cos cos sin sin sin cos A B A B A B C ab CC C A B A B C c A B C⋅⋅⋅⋅====⋅⋅+⋅⋅+. 222021202122cc ==故选：D.二、多选题9．下列说法中错误的是（ ）A ．若，，则B ．a b ∥ b c∥a c ∥()()()a b c a b c b a c ⋅=⋅=⋅C ．若，则D ．a b a c ⋅=⋅b c = ()2222a ba ab b +=+⋅+ 【答案】ABC【分析】根据共线向量的概念，向量数量积的概念及运算法则逐项分析即得.【详解】对于A ，若时，，不一定能推出，故A 错误；0b →→=a b ∥b c ∥ a c ∥ 对于B ，不妨考虑不共线且不互相垂直时，向量与向量不共线，所以不能推,,a b c →→→()a b c ⋅()a b c ⋅ 出，故B 错误；()()a b c a b c ⋅=⋅对于C ，若且时，则，而不一定相等，故C 错误；a b ⊥ a c ⊥ a b a c ⋅=⋅,b c 对于D ，根据数量积的运算法则可知，故D 正确.()2222a ba ab b +=+⋅+故选：ABC.10．在中，，则的面积可以是（ ）ABC ∆1,6AB AC B π===ABC ∆AB ．1 CD【答案】AD【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案． BC 【详解】解：∵，1,6AB AC B π===由余弦定理得，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅∴， 2320BC BC -+=∴，或， 1BC =2BC =∴由的面积公式得或， ABC ∆1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅ABC S ∆=ABC S ∆=故选：AD ．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题． 11．在中，，，则下列说法正确的是（ ） ABC A cos 2C 1BC =5AC =A ． B ．的面积为2 4sin 5C =ABC A C．D ．ABC A ABC A 【答案】ABD【分析】利用二倍角公式求出，根据同角三角函数的基本关系求出，再由余弦定理求出cosC sin C ，由正弦定理求出外接圆的直径，利用面积公式及等面积法判断B 、D ；c 【详解】解：因为，cos 2C 223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=所以，，故A 、B 正确； 4sin 5==C 114sin 152225ABC S ab C ==⨯⨯⨯=A 由余弦定理，即，所以，2222cos c a b ab C =+-222315215205c =+-⨯⨯⨯=c =所以外接圆的直径，故C 错误； 2sin c R C ===设的内切圆半径为，则，即，所以ABC A r ()12ABCS a b c r =++△(11522r ++=r =D 正确； 故选：ABD12．设P 为所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）ABC A A ．若，则点P 是的重心0PA PB PC ++=ABC A B ．若，则点P 是的垂心PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ABC A C ．若，，则点P 是的内心 (||||AB ACAP AB AC λ=+,[)0λ∈+∞ABC A D ．若，则点P 是的外心()()()0PA PB BA PB PC CB PC PA AC +⋅=+⋅=+⋅=ABC A 【答案】ABD【分析】对于A ：以，为邻边作平行四边形PADB ，M 为PD 的中点，利用向量的线性运算PA PB得到，即可证明；对于B ：利用数量积运算证明出，，得到P 为||2||PC PM =PB CA ⊥PA BC ⊥的垂心，即可证明；对于C ：在边AB ，AC 上分别取点E ，F ，使，，ABC A ||ABAE AB =||AC AF AC = 以AE ，AF 为邻边作平行四边形AEGF ，则四边形AEGF 为菱形，即可判断；对于D ：证明出，，，即可证明.||||PA PB = ||||PB PC = ||||PC PA =【详解】对于A ：若，则.0PA PB PC ++= PA PB PC +=-以，为邻边作平行四边形PADB ，M 为PD 的中点，则，所以，又PA PBPA PB PD += PD PC =- ，所以，故P 为的重心. 2PD PM=||2||PC PM = ABC A 所以A 正确；对于B ：若，则，即，即，所以PA PB PB PC ⋅=⋅ 0PA PB PB PC ⋅-⋅=()0PB PA PC ⋅-= 0PB CA ⋅= .PB CA ⊥同理，则，故P 为的垂心.PA PB PA PC ⋅=⋅u u r u u r u u r u u u rPA BC ⊥ABC A 故B 正确；对于C ：在边AB ，AC 上分别取点E ，F ，使，，则，以AE ，||ABAE AB =||AC AF AC = ||||1AE AF == AF 为邻边作平行四边形AEGF ，则四边形AEGF 为菱形.连接AG ，则AG 为的角平分线，由，所以点P 在角平分线AG 上，故点P 的||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭轨迹一定通过的内心. ABC A 所以C 错误；对于D ：若，则，同理有22()()()0PA PB BA PA PB PA PB PA PB +⋅=+⋅-=-= ||||PA PB = ，，故P 为的外心.||||PB PC = ||||PC PA =ABCA所以D 正确. 故选：ABD三、填空题13．在△ABC 中，，则=__________ ()()()a c a c b b c +-=+A ∠【答案】2π3【分析】由可得，再由余弦定理可得结果. ()()()a c a c b b c +-=+222b c a bc +-=-【详解】 ()()()a c a c b b c +-=+ 222a c b bc ∴--=222b c a bc -∴+=-，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-所以，故答案为. 23A π∠=23π【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc+-=件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数30,45,60o o o 值，以便在解题中直接应用.14．若，且，则的最小值为______.0a >20a b +=21a b -+【答案】5【分析】由，且，得到,进而有，利用基本不等式求0a >20a b +=20a b =->22121a b b b -+=--+解.【详解】解：因为，且， 0a >20a b +=所以,20a b =->则，2212115a b b b -+=--+≥=当且仅当，即时，等号成立， 22b b-=-1b =-所以的最小值为5，21a b -+故答案为：515．探空气球是将探空仪器带到高空进行温度、大气压力、湿度、风速、风向等气象要素测量的气球，利用探空仪将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据反馈给地面雷达，通过数据处理，成为全球预报员制作天气预报的重要依据.大气压强对气球能达到的最大高度和停留时间有非常大的影响.已知大气压强随海拔高度的变化规律是，其中是海平面()Pa p ()m h ()0e 0.000126k hp p k -⋅==0p 大气压强.若探空气球在两处测得的大气压强分别为，，且，那么两处的海,A B 1p 2p 122p p =,A B 拔高度的差约为______m.（参考数据：） ln20.693≈【答案】5500【分析】根据题意结合对数运算求解. 【详解】设两处的海拔高度分别为，,A B 12,h h 由题意可得：，且， 121020e e k h k h p p p p -⋅-⋅⎧=⋅⎨=⋅⎩122p p =即，且，12002ee k h k h p p -⋅-⋅⋅=⋅00p ≠可得，两边同时取对数可得：，122e e k h k h -⋅-⋅=()1212,ln lne 2ln 2e k h k h k h k h -⋅-⋅-⋅-⋅==即，整理得， 12ln 2k h k h -⋅-⋅=21ln 20.69355000.000126h h k -=≈=即两处的海拔高度的差约为5500 m. ,A B 故答案为：5500.16．已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则H ABC A 1235AH AB AC =+sin BAC ∠=______.【分析】由题可得，，利用，得2235=-+BH AB AC 1335=- CH AB AC 0BH AC ⋅= 0CH AB ⋅= ，，可得， 再利用平方关系结合条件即得.3cos 5AC BAC AB∠= 5cos 9AB BAC AC ∠= 21cos 3BAC ∠=【详解】因为，1235AH AB AC =+所以，同理，2235BH BA AH AB AC =+=-+1335CH CA AH AB AC =+=-由H 为△ABC 的垂心，得，即， 0BH AC ⋅= 22035AB AC AC ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭可知，即， 222cos 53AC AC AB BAC =∠ 3cos 5AC BAC AB∠=同理有，即，可知，即0CH AB ⋅= 13035AB AC AB ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭213cos 35AB AC AB BAC =∠ ，5cos 9ABBAC AC∠= 所以， ，又， 21cos 3BAC ∠=2231cos 2sin 113∠∠=-=-=BAC BAC ()0,πBAC ∠∈所以 sin BAC ∠四、解答题17．已知，，且与的夹角为.1a = 2b = a b 2π3(1)求.()()23a b a b +⋅-(2)求.2a b +【答案】(1)5-【分析】（1）先求得，再利用数量积的运算律求解；a b ⋅（2）先求得，根据向量模的求法，结合数量积的运算律求解.a b ⋅【详解】（1）解：因为，，且与的夹角为，1a = 2b = a b 2π3所以，c 2π3o 1s a b a b ⋅-⋅=⋅=所以()()2223253a b a b a a b b +⋅-=-⋅- ；()22151325=⨯-⨯--⨯=-（2）， 2a b +===18．在中，角，，的对边为，，，已知. ABC A A B C a b c ()12cos b A c +=(1)证明：； 2A B =(2)若，求的值. 23a b =cb【答案】(1)证明见解析； (2). 54【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦公式推理作答. （2）由已知结合余弦定理角化边，代入计算作答.【详解】（1）在中，由及正弦定理得：， ABC A ()12cos b A c +=sin 2sin cos sin B B A C +=而，因此， ()C A B π=-+sin 2sin cos sin()sin cos cos sin B B A A B A B A B +=+=+即有，显然，有， sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B =-=-sin 0B >sin()0A B ->即，角B 为锐角，又，，因此， 0A B ->0πA B <-<()πB A B A +-=<B A B =-所以. 2A B =（2）在中，由及余弦定理得：，整理得，ABC A ()12cos b A c +=22222b c a b b c bc+-+⋅=22bc a b =-而，即，于是，又，即23a b =32a b =22235()24bc b b b =-=0b >54c b =所以. 54c b =19．如图，在矩形中，和分别是边和上的点，满足，.OACB E F AC BC 3AC AE =3BC BF=(1)若，其中，，求，的值；OC OE OF λμ=+ λμ∈R λμ(2)连接分别交，于，两点.记，，以，为基底来表示.AB OC OE M N CO a = CA b = a b CN 【答案】(1)； 33,44λμ==(2). 1142CN a b =+【分析】（1）根据给定的图形，利用作基底，结合平面向量基本定理求解作答.,OA OB （2）结合（1）中信息，利用平面向量基本定理确定点的位置，即可求解作答.N 【详解】（1）在矩形中，，，则OACB 3AC AE = 3BC BF = 1133OE OA AE OA AC OA OB =+=+=+ ，，因此1133OF OB BF OB BC OB OA =+=+=+ ， 11()()()()3333O OA OB OB OA C OA OB λμμλλμ++=+++=+ 又，不共线，于是，解得， OC OA OB =+ ,OA OB 1313μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩33,44λμ==所以. 33,44λμ==（2）为与的交点，则， N AB OE 1(),R 33t ON tOE t OA OB tOA OB t ==+=+∈ ，， (1)33t t AN ON OA tOA OB OA t OA OB =-=+-=-+ AB OB OA =- 又，即存在，，则， //AN AB R m ∈AN mAB = (1)3t t OA OB mOA mOB -+=-+ 因为不共线，因此，解得， ,OA OB 13t m t m -=-⎧⎪⎨=⎪⎩31,44t m ==显然与的交点是线段、的中点，则，即是线段的中AB OC M AB OC 1142AN AB AM == N AM 点，所以. 11111111()22224242CN CA AN CA AM CA CM CA CM CA CM CA a b =+=+=+-=+=+=+ 20．已知函数的最小正周期为，的图象过点，且()()π2sin 03,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭T ()f x (),1T ，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. ()π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x π4()g x (1)求函数在上的值域； ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)在上恰有两个不同的实数解，求的取值范围. ()()2x g x +=[]0,m m【答案】(1)⎡-⎣(2) 11π5π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用函数的最小正周期公式表示点，代入求解角，再根据对称性()f x (),1T ()f x ϕ求解，得到函数，根据图像平移变换得到函数，并求其在给定区间上的值域；ω()f x ()g x（2）化简变形，通过恰有两个不同的实数()()()F x x g x =+()()2x g x +=解，限制的取值范围，从而得解.m 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， ()()π2sin 03,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭T 所以，. 2πT ω=0ω>由于的图象过点，即过，代入得 ()f x (),1T 2π,1ω⎛⎫ ⎪⎝⎭，即. ()()2π2sin 2sin 2π2sin 1f x ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭1sin 2ϕ=则，或，又， πZ π2,6k k ϕ=+∈5π2π,Z 6k k ϕ=+∈π2ϕ<所以取. π0,6k ϕ==由于，则的图象关于对称， ()π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x π6x =故，则. ππππ,Z 662k k ω+=+∈26,Z k k ω=+∈又因为，则令.03ω<<0,2k ω==故. ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将的图象向左平移个单位长度后得. ()f x π4()ππ2π2sin 22sin 2463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当，， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦2π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令，在单调递减，在单调递增， 2π23t x =+()2sin h t t =2π3π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π5π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，取最小值，最小值为；当时，3π2t =()h t 2-2π3t =()h t所以，()h t ⎡∈-⎣所以函数在上的值域为. ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡-⎣（2）因为，， ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令 ()()()π2π22sin 263F x x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, πππ22cos 24sin 2663x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于在上恰有两个不同的实数解，()2F x =[]0,m 则在上恰有两个不同的实数解， π1sin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,m 当，， []0,x m ∈πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦当时，，或，或， π1sin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π5π236x +=π13π236x +=π17π236x +=所以依题意，解得. 13ππ17π2636m ≤+<11π5π124m ≤<所以的取值范围. m 11π5π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．在中，内角，，所对的边分别为，，.ABC AA B C a b c cos sin C c A =(1)求角的大小；C(2)已知，若为锐角三角形，求的取值范围.c =ABC A a b +【答案】(1) π3(2)【分析】（1，再根据cos sin C c A =cos sin sin A C C A =求解；(),0,πA C ∈（2）由（1）求得，再由，利用三角函数24sin c R C ==2sin 2sin a b R A R B +=+6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的性质求解.【详解】（1）解：在中， ，ABCA cos sin C c A =,cos sin sin A C C A =因为，(),0,πA C ∈所以，即sin sin A C C ≠=tan C =则； π3C =（2）由（1）知：， 24sin c R C ===所以，2sin 2sin a b R A R B +=+， 2π4sin sin 3A A ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 34sin2A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，ABC A 所以所以，则，解得， π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩ππ62A <<所以，则，ππ2π663A <+<1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以a b <+≤所以的取值范围是.a b +22．已知函数.()()2ln e 2e 3x x f x a =-+(1)若的定义域为，求的取值范围；()f x R a (2)若，使得在区间上单调递增，且值域为，求的取值范围.,m n ∃∈R ()f x [],m n [],m n a 【答案】(1)； 13a >(2). 2334a ≤< 【分析】（1）由题可得恒成立，然后利用参变分离结合函数的性质即得； 2e 2e 30x x a -+>（2）根据复合函数的单调性结合条件可得，且，进而可得在上0a >1e m a ≤2330ax x -+=1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有两个不等实根，然后根据二次函数的性质即得.【详解】（1）因为的定义域为，， ()f x R ()()2ln e 2e 3x x f x a =-+所以，即恒成立， 2e 2e 30x x a -+>2222e 3321113e e e e 33x x x x x a -⎛⎫>=-+=--+ ⎪⎝⎭因为，，当时等号成立， 10e x >23211113333e e e x x x ⎛⎫+=--+≤ ⎪⎝⎭-1e 13x =所以，即的取值范围为； 13a >a 13a >（2）因为函数在其定义域上为增函数，要使在区间上单调递增， ln y x =()f x [],m n 则函数在区间上单调递增，又为增函数，2e 2e 3x x u a =-+[],m n e x t =所以在上为增函数，显然时不合题意，223y at t =-+e ,e m n ⎡⎤⎣⎦0a ≤所以，且， 0a >1e m a≤又在区间上单调递增，且值域为，()f x [],m n [],m n 所以，即， ()()()()22ln e 2e 3ln e 2e 3m m n n f m a m f n a n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩22e 3e 30e 3e 30m m n n a a ⎧-+=⎨-+=⎩所以在上有两个不等实根， 2330ax x -+=1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭则，解得， ()22Δ312031211330a a aa a a ⎧⎪=-->⎪⎪>⎨⎪⎪⎛⎫⋅-⋅+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩2334a ≤<所以的取值范围为. a 2334a ≤<【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则()f x D （1）恒成立：；；()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<（2）能成立：；. ()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 ()a f x >()a f x <（1）恒成立：；； ()()max a f x a f x >⇔>()()min a f x a f x <⇔<（2）能成立：；. ()()min a f x a f x >⇔>()()max a f x a f x <⇔<。
高二数学第一次月考试卷及答案
高二数学月考试卷答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某公共汽车上有15位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A．515种B．155种C．50种D．50625种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有515种可能的下车方式，故选A.【答案】A2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有() A．6种B．12种C．18种D．24种【解析】种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选C.【答案】C3．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】B4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.04B．0.16C．0.24D．0.96【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】D5．正态分布密度函数为f(x)＝122πe－x－128，x∈R，则其标准差为()A．1B．2C．4D．8【解析】根据f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，对比f(x)＝122πe－x－128知σ＝2.【答案】B6．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A.16B．11C．2.2D．2.3【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】A7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()A．18种B．24种C．45种D．90种【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．【答案】D8．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140B．240C．360D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】B9．设随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则参数n，p 的值为()【导学号：97270066】A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由二项分布的均值与方差性质得＝2.4，1－p＝1.44，＝6，＝0.4，故选B.【答案】B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是()A.16B.18C.112D.124【解析】由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A44A22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P＝1 12 .【答案】C11．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况概率方案盈利(万元)S i PiA1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4【解析】利用方案A 1，期望为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；利用方案A 2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；利用方案A 3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A 4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6；因为A 3的期望最大，所以应选择的方案是A 3，故选C.【答案】C12.如图12，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．264种B．360种C．1240种D．1920种【解析】由于A 和E 或F 可以同色，B 和D 或F 可以同色，C 和D 或E 可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C 13C 12A 55种；当五种颜色选择四种时，选法有C 45C 13×3×A 44种；当五种颜色选择三种时，选法有C 35×2×A 33种，所以不同的涂色方法共C 13C 12A 55＋C 45C 13×3×A 44＋C 35×2×A 33＝1920.故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】514．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a0＋a2＋a4＝16，①－②得a1＋a3＋a5＝－16，故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.【答案】－25615．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.9的3次方×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.1的4次方.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中恰好击中目标3次的概率应为C34×0.93×0.1＝0.93×0.4，只有①③正确．答案：①③16.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400<X<450)＝0.3，则P(550<X<600)＝________.【解析】由下图可以看出P(550<X<600)＝P(400<X<450)＝0.3.【答案】0.3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10x n ＝C 2xn ，x ＋1n ＝113C x －1n，试求x ，n 的值.【解】∵C x n ＝C n －x n ＝C 2xn ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得n ！x ＋1！n －x －1！＝113·n ！x －1！n －x ＋1！，整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．18．(本小题满分12分)要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录同学甲击中目标的环数为X 1的分布列为X 15678910P 0.030.090.200.310.270.10同学乙击目标的环数X 2的分布列为X 256789P 0.010.050.200.410.33(1)请你评价两位同学的射击水平(用数据作依据)；(2)如果其它班参加选手成绩都在9环左右，本班应派哪一位选手参赛，如果其它班参赛选手的成绩都在7环左右呢？（1）利用期望和方差公式求出两变量的期望和方差；（2）根据第（1）问的结论选择水平高的选手解：（1）EX 1＝，EX 2＝=8DX 1=1.50DX 2=0.8两位同学射击平均中靶环数是相等的，同学甲的方差DX1大于同学乙的方差DX2，因此同学乙发挥的更稳定。
2023-2024学年江西省南昌市高二下学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年江西省南昌市高二下册第一次月考数学质量检测试题一、单选题1．数列11111,,,,,371531---⋅⋅⋅的一个通项公式为（）A ．11(1)21n n n a +=--B ．11(1)2nn n a -=-C ．1(1)21nn a n =-+D ．1(1)21nn n a =--【正确答案】D【分析】根据规律写出数列的通项公式【详解】奇数项为负，偶数项为正，可用(1)n -来实现，而各项分母可看作12345211,213,217,2115,2131,-=-=-=-=-=⋅⋅⋅，各项分子均为1，∴该数列的通项公式为1(1)21nn n a =-⋅-.故选：D.2．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只能去1个村，则不同的分配方案共有（）A ．4种B ．6种C ．8种D ．10种【正确答案】C【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】每个大学生都有2种选择方法，所以不同的分配方案共有2228⨯⨯=种.故选：C3．在等比数列{}n a 中，24a =，1016a =，则2a 和10a 的等比中项为（）A ．10B ．8C ．8±D ．10±【正确答案】C【分析】根据等比中项的定义可得结果.【详解】根据等比中项的定义可得2a 和10a 的等比中项为8==±.故选：C4．通过抽样调研发现，当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，甲认为这是巧合，两者其实没有关系：乙认为冷饮的某种摄入成分导致了疾病；丙认为病人对冷饮会有特别需求：丁认为两者的相关关系是存在的，但不能视为因果，请判断哪位成员的意见最可能成立（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【正确答案】D【分析】正确理解相关系数，相关关系与因果关系的区别是解题的关键.【详解】当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，但相关关系是一种非确定性关系，相关关系不等于因果关系，丁的意见最可能成立.故选：D.5．某学校安排音乐､阅读､体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲､乙､丙､丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（）A ．118B ．332C ．29D ．89【正确答案】C【分析】设A =甲同学报的项目其他同学不报,B =4位同学所报项目各不相同,利用条件概率求解.【详解】解：设A =甲同学报的项目其他同学不报,B =4位同学所报项目各不相同,由题得()4333n A =⨯⨯⨯,()4321n AB =⨯⨯⨯,所以()43212(|)()43339n AB P B A n A ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.故选：C6．下列说法正确的是（）①若随机变量η的概率分布列为()(1,2,3,4,5)P k ak k η===，则110a =；②若随机变量()23,X N σ ，(5)0.6P X ≤=，则(1)0.4P X ≤=；③若随机变量28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则16()3E X =；④在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X 表示取到的次品数，则3(2)10P X ==A ．②③B ．②④C ．①②③D ．②③④【正确答案】D【分析】根据分布列的性质即可判断①，利用正态分布密度曲线判断②，根据二项分布的期望公式判断③，利用超几何分布判断④.【详解】对于A ，∴随机变量ξ的概率分布为()(1,2,3,4,5)P k ak k η===，∴(1)(2)(3)(4)(5)1P P P P P ηηηηη=+=+=+=+==，∴2345151a a a a a a ++++==，∴115a =，故①不正确；对于B ，(5)1(5)0.4P X P X >=-≤=，∴(1)(5)0.4P X P X ≤=>=，故②正确；对于C ，由28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，得216()833E X =⨯=，故③正确；对于D ，由题意，得2146310C C 3(2)C 10P X ⋅===，故④正确.故选:D.7．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（）A ．12B ．736C ．1148D ．16【正确答案】C【分析】记第一次抽到第i 号球的事件分别为()1,2,3i A i =，记第二次在第i 号盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3i B i =，再利用全概率公式求解即可.【详解】记第一次抽到第i 号球的事件分别为()1,2,3i A i =，则有()112P A =，()()2314P A P A ==，记第二次在第i 号盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3i B i =，而1A ，2A ，3A 两两互斥，和为Ω，()1114P B A =，()2214P B A =，()3316P B A =，记第二次抽到3号球的事件为B ，()()()()33111111111124444648i i i i i i i P B P A B P A P B A ==⎡⎤==⋅=⨯+⨯+⨯=⎣⎦∑∑．故选:C ．8．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着()*16,n n n N ≤≤∈的增加，下列说法正确的是（）A ．E ξ增加，D ξ增加B ．E ξ增加，D ξ减小C ．E ξ减小，D ξ增加D ．E ξ减小，D ξ减小【正确答案】C【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,X H n ，可得出2nEX =，再从甲盒子里随机取一球，则ξ服从两点分布，所以()111222E P n ξξ===++，()1111222D P n ξξ=-==-+，从而可判断出E ξ和D ξ的增减性.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,X H n ，其中()336k n k n C C P X k C -==，其中Nk ∈，3k ≤且k n ≤，362n nEX ==.故从甲盒中取球，相当于从含有12n+个红球的1n +个球中取一球，取到红球个数为ξ.故()111211222n P n n ξ+===+++，随机变量ξ服从两点分布，所以()111211222n E P n n ξξ+====++，随着n 的增大，E ξ减小；()()()211111422D P P n ξξξ⎡⎤=-===-⎣⎦+，随着n 的增大，D ξ增大.故选：C.本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.二、多选题9．已知曲线222:11x y C m m+=+，则下列说法正确的是（）A ．若C是椭圆，则其长轴长为B ．若0m <，则C 是双曲线C ．C 不可能表示一个圆D ．若1m =，则C上的点到焦点的最短距离为2【正确答案】BC【分析】根据21m m +>可知若为椭圆，则焦点在x 轴上，进而可判断A,进而可判断BC ，根据椭圆的几何性质可判断D.【详解】由于22131024m m m ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21m m +>，对于A,当0m >时，故222:11x y C m m+=+表示焦点在x轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为故A 错误,对于B,当0m <时，C 是双曲线，故B 正确,对于C,由于21m m +>，故C 不可能表示一个圆，故C 正确，对于D,1m =时，22:121x y C +=，表示焦点在x 轴上的椭圆，且此时2222,1,1,===a b c故椭圆上的点到焦点的最小距离为1a c --，故D 错误,故选:BC10．已知8件产品中有3件是一等品，其余都是二等品．从这些产品中不放回地抽取三次，令i A 为第(1,2,3)i i =次取到的是一等品，则（）A ．()138P A =B ．1A 与2A 相互独立C ．()213|8P A A =D ．()32328P A A =【正确答案】AD【分析】根据古典概型的概率公式及条件概率概率公式计算可得；【详解】解：依题意()13118C 3C 8P A ==，故A 正确；()1132111827C C 3C C 28A A P =⋅=，所以()()()212113228|378P A A P A A P A ===，故C 错误()1111325322288C C C C 3A A 8P A =+=，因为()()()2112P P A A A P A ≠，故1A 与2A 不独立，故B 错误；对于D ：()3123532383A +C A 3A 28P A A ==，故D 正确；故选：AD11．将9个相同的小球分给甲、乙等4个人，（）A ．不同的分配方法共有220种B ．若每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有56种C ．若每人至少分到2个小球，则不同的分配方法共有10种D ．若甲至少分到2个小球，其余3人每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有35种【正确答案】ABD【分析】利用隔板法直接判断各选项.【详解】A 选项：不同的分配方法有312C 220=种，故A 选项正确；B 选项：若每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有38C 56=种，故B 选项正确；C 选项：若每人至少分到2个小球，则四人中只有一人分到3个球，其他三人各分到2各球，故不同的分配方法共有34C 4=种，故C 选项不正确；D 选项：若甲至少分到2个小球，其余3人每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有37C 35=种，故D 选项正确；故选：ABD.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列，现将{}n a 中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为{}n b ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列说法正确的是（）A ．20221348T =B ．100010021S a =-C ．若2022n T =，则3033n =D ．2222123500500501a a a a a a ++++= 【正确答案】ABD【分析】根据数列特征得到{}n b 为1，1，0，1，1，0，L ，周期为3的数列，从而得到()20221106741348T =++⨯=，A 正确，1000S =1002210021a a a -=-，B 正确，根据数列{}n b 的周期求和得到3033n =或3032n =，所以C 错误，根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D 正确.【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出，数列为依次连续两个奇数和一个偶数，所以数列{}n b 为1，1，0，1，1，0，L ，则数列{}n b 为周期数列，且周期为3，所以()20221106741348T =++⨯=，故A 正确；因为1000129991000S a a a a =++++ 32431001100010021001a a a a a a a a =-+-++-+- 1002210021a a a =-=-，故B 正确；因为()20221101011=++⨯，101133033⨯=，且30311b =，30321b =，30330b =，所以3033n =或3032n =，故C 错误；22222221235001223500a a a a a a a a a ++++=++++ L ()22222123500233500a a a a a a a a a =++++=+++ 2499500500500501a a a a a ==+= ，故D 正确.故选：ABD 三、填空题13．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为___________.【正确答案】24【分析】根据通项公式,确定常数项,再代入二项式定理的通项中即可计算结果.【详解】解：由通项公式得:()44421441C 22C rrr r r rr T x xx ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令420r -=,即可得2r =,所以展开式的常数项为:42242C 24-=.故2414．写出一个同时具有下列性质①②③的数列{}n a ，①无穷数列；②递减数列；③每一项都是正数，则n a =______.【正确答案】21n （答案不唯一）【分析】根据题目中要求的数列性质，写出满足题意的一个数列即可.【详解】根据题意，要求的数列可以为21n a n =，故21n （答案不唯一）.15．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题：①若89S S <，则910S S <；②若110S =，则2100a a +=；③若13140,0S S ><，则{}n S 中7S 最大；④若210S S =，则使0n S >的n 的最大值为11．其中所有真命题的序号是__________．【正确答案】②③④【分析】①由题意可以推出90a >，不能推出100a >，判断①错误；②由题意可得1110a a +=，判断出②正确；③由题意可得780,0a a ><，判断出③正确；④由题意可得670a a +=，进而670,0a a ><，判断出④正确．【详解】若89S S <，则90a >，不能推出100a >，即不能推出910S S <，故①错误；若110S =，则1111111()02a a S +==，即1110a a +=，则2101110a a a a +=+=，故②正确；若13140,0S S ><，则113781141371413()14()14()130,0222a a a a a a S a S +++==>==<，所以780,0a a ><，则{}n S 中7S 最大，故③正确；若210S S =，则1121045a d a d +=+，即11167211560a d a d a d a a +=+++=+=，因为首项为正数，则公差小于0，则670,0a a ><，则11111611()1102a a S a +==>，112126712()6()02a a S a a +==+=，则使0n S >的n 的最大值为11，故④正确．故②③④．四、双空题16．2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线()()222x p x μσ--=非常拟合.已知()()max 95p x p ==则方差为_________.据此估计，在全市随机抽取10名高三同学，设X 表示10名同学中英语成绩超过95分的人数，X 的数学期望是__________.【正确答案】645【分析】由()()max 95p x p =μ、σ，写出方差即可；而1(95)2p x >=，易知1(10,)2X B ，根据二项分布的期望公式求期望即可.【详解】由()()max 95p x p ==95μ=，8σ=，故方差264σ=，由正态分布的对称性知：1(95)2p x >=，故1(10,)2X B ，∴X 的数学期望1()1052E X =⨯=.故64，5五、解答题17．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表，经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．价格x （元/kg ）1015202530日需求量y （kg ）1110865（1）根据上表给出的数据，求出y 与x 的线性回归方程ˆˆy bx a ∧=+；（2）利用（1）中的回归方程，当价格40x =元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？（参考公式：线性回归方程ˆˆy bx a ∧=+，其中()()()121ni ii n ii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．）【正确答案】（1）ˆ0.3214.4yx =-+（2）1.6kg.【分析】（1）根据题中所给的数据，结合参考方程，对数据进行分步计算即可；（2）将价格数据代入回归方程，即可求得预测值.【详解】（1）由所给数据计算得1(1015202530)205x =++++=，1(1110865)85y =++++=，()52222221(10)(5)0510250i i x x =-=-+-+++=∑，()()51103(5)2005(2)10(3)80iii x x yy =--=-⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-=-∑，()()()51521800.32250iii ii x x y y b x x ==---===--∑∑．80.322014.4a y bx =-=+⨯=．所求线性回归方程为ˆ0.3214.4yx =-+．（2）由（1）知当40x =时，ˆ0.321014.4 1.6y=-⨯+=．故当价格40x =元/kg 时，日需求量y 的预测值为1.6kg.本题考查线性回归直线方程的求解，根据公式计算回归系数即可，属基础题.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1518a a +=-，972S =-;(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)当n S 取最小值时，n 的值.【正确答案】(1)12122n a n =-(2)20或21【分析】（1）求得等差数列{}n a 的首项和公差，由此求得n a .（2）由0n a ≤求得正确答案.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则11241893672a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得1110,2a d =-=，所以()1121101222n a n n =-+-⨯=-.（2）由121022n a n =-≤解得21n ≤，所以当n S 取得最小值时，n 的值为20或21（210a =）.19．已知数列{}n a 满足1511a =，()1432n n a a n -=-≥.(1)求证：数列{}1n a +为等比数列；(2)令()2log 1n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】(1)证明见解析(2)2210,5=10+50,6n n n n S n n n ⎧-≤⎨-≥⎩【分析】（1）由11344n n a a -=-知：()11114n n a a -+=+，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）()2log 1112n n b a n =+=-，设数列{}112n -的前n 项和为n T ，则210n T n n =-．当5n ≤时，n n S T =；当6n ≥时，52n n S T T =-．【详解】（1）（1）证明：由11344n n a a -=-知()11114n n a a -+=+，由10n a +≠知：11114n n a a -+=+，∴数列{}1n a +是以512为首项，14为公比的等比数列，∴11121151224n n n a --⎛⎫+=⨯= ⎪⎝⎭，∴11221nn a -=-；（2）由（1）知()2log 1112n a n +=-，设(){}2log 1n a +的前n 项和为n T ，210n T n n =-，∴()2log 1112n n b a n =+=-，当5n ≤时，()21log 0n a +>，210n n S T n n ==-，6n ≥，()()()252621555log 1log 21050n n n n S T a a T T T T T n n +=-+--=--=-=-+ ，综上得2210,5=10+50,6n n n n S n n n ⎧-≤⎨-≥⎩.20．已知点()2,0A -、()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为34-，记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)经过点()1,0P -的直线l 与曲线C 交于C 、D 两点.记ABD △与ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值.【正确答案】(1)()221243x y x +=≠±；是去掉两个长轴端点的椭圆【分析】（1）结合两点间的斜率公式求解即可；（2）当直线l 斜率不存在时，120S S -=；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为()()10y k x k =+≠，与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出进行化简变形，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）由题意，2AM y k x =+，2BM yk x =-，2x ≠±，所以3224AM BM y y k k x x ⋅==-+-，整理可得22143x y +=，所以C 的方程为()221243x y x +=≠±，曲线C 是去掉两个长轴端点的椭圆.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，此时ABD △与ABC 的面积相等，所以120S S -=.当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为()()10y k x k =+≠，()11,C x y ，()22,D x y ，联立方程组()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()22223484120k x k x k +++-=，则()()()42226443441214410k k k k ∆=-+-=+>，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+，则()()()132212112186+2331244y x k kk y k k x k x x k k k +=+++=+-=+++=，此时221211211422324S S y y y y k k -=⨯⨯=+-=+，由于0k ≠，所以212123344kkk k=≤++当且仅当34k k =，即2k =时取等号，所以12S S -综上所述，12S S -21．甲、乙两支足球队将进行某赛事的决赛.其赛程规则为：每一场比赛均须决出胜负，若在规定时间内踢成平局，则双方以踢点球的方式决出胜负.按主、客场制先进行两场比赛，若某一队在前两场比赛中均取得胜利，则该队获得冠军；否则，需在中立场进行第三场比赛，其获胜方为冠军.假定甲队在主场获胜的概率为12，在客场获胜的概率为13，在第三场比赛中获胜的概率为25，且每场比赛的胜负相互独立.(1)已知甲队获得冠军，求决赛需进行三场比赛的概率；(2)比赛主办方若在决赛的前两场中共投资m （千万元），则能盈利2m（千万元）.如果需进行第三场比赛，且比赛主办方在第三场比赛中投资n （千万元）.若比赛主办方准备投资一千万元，以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？【正确答案】(1)15(2)34千万元.【分析】(1)甲获胜，且比赛进行了三场，说明前两场一队赢一场，第三场中立场甲赢；(2)根据总盈利和进行的场次有关，求出总盈利2m，即比赛只需进行两场的概率，再求出总盈利为2m.【详解】（1）由于前两场对于比赛双方都是一个主场一个客场，所以不妨设甲队为第一场为主场，第二场为客场，设甲获得冠军时，比赛需进行的场次为X ，则111121(3)11232355P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）由题可得1m n +=，所以[]1,0,1m n n =-∈比赛结束需进行的场次即为Y ，则2,3Y =，设决赛总盈利为Z ，则,22m mZ =，11111((2)11223232m P Z P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11111((3)11223232m P Z P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以决赛总盈利为Z 的分步列如下，所以11111()2222222m m E Z m n ⎛=⨯+⨯==-+ ⎝，所以211()22E Z =-+，12=，即14n =时，二次函数211()22E Z =-+有最大值为58，所以以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为13144m =-=千万元.22．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的22⨯列联表，并根据列联表及0.05α=的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p ；（ii ）以（i ）中确定的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X .试验后统计数据显示，当90X =时，()P X 取最大值，求参加人体接种试验的人数n 及()E X .参考公式：2χ2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++为样本容量)参考数据：20()P k χ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250k 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【正确答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i ）0.9；（ii ）当接种人数为n =99时，()89.1E X =；当n =100时，()90E X =.【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；（2）（i ）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；（ii ）根据()90P X =最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X ，最后求出期望.【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：在[)0,20内有0.00252020010⨯⨯=（只）；在[)20,40内有0.006252020025⨯⨯=（只）；在[)40,60内有0.008752020035⨯⨯=（只）；在[)60,80内有0.025********⨯⨯=（只）；在[]80,100内有0.00752020030⨯⨯=（只）.由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得()220.05200502020110 4.945 3.8411604070130x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯.根据0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ，则()1600.8200P A ==，()200.540P B ==，()()()0.20.1150.9P C P A P B -⨯==-=.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9p =.（ii ）由题意，知随机变量(),0.9X B n ，()C 0.90.1k k n kn P X k -==⨯⨯（0,1,2,,k n =⋅⋅⋅）.因为()90P X =最大，所以909090919191909090898989C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1n n n n n n n n ----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，解得901999n ≤≤，因为n 是整数，所以99n =或100n =，所以接受接种试验的人数为99或100.①当接种人数为99时，()990.989.1E X np ==⨯=；②当接种人数为100时，()1000.990E X np ==⨯=.。
重庆市巴蜀中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题答案
高2024届高二（下）月考数学参考答案一、单选题12345678CBDACBDA1.C 510=A 10×9×…×6，所以选C2.B 由二项式展开式的通项公式得：()()2222223552240T C x C x x =-=-=，所以第3项系数为40.3.D 因为每人限报一门课程，所以每人有3种选择，按照分步计数原理，共有4381=种.4.A设递减等比数列{}n a 的公比为q ，因为10a >，故01q <<3112450,1,4a a a a a >=+=，可得2411,4a a ==，则公比24211,42a q q a ==∴=，故212a a q ==，故1666121(1)632111612a q S q ⎛⎫- ⎪-⎝⎭===--5.C由题意知事件A ：“甲和乙至少一人选择洪崖洞”包含()1124C C 19n A =⋅+=种情况，事件AB ：“甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择洪崖洞”包含()1124C C 8n AB =⋅=种情况，所以()()()89n AB P B A n A ==.6.B将6人按3，1，1，1分成四组，且甲、乙在同一组的安排方法有14C 种，将6人按2，2，1,1分成四组，且甲、乙在同一组的安排方法有24C 种，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为()441424C C A 240+=．7.D 如图所示：由题意可知，1PQ QF ⊥，设113PF t =，则15QF t =，12PQ t =，由椭圆定义可得212213PF a PF a t =-=-，22212252=2515QF t PF t a a t t a =-=--⇒=，所以123a QF =，243a QF =，在12Rt QF F 中，由勾股定理有2221212QF QF F F +=，即22224433a a c e ⎛⎫+=⇒=⎪⎝⎭（8.A 不等式)0ln 0ln 22>≥--⇒≥---x a exx x x ae x x x x xx（，设2ln ()xx x x xf x e --=,即求()f x 的最小值，xex x x x f )ln )(1()('--=，其中2(ln )ln 2x x x x x x '--=-∵ln 0x x ->恒成立，∴(0,1)x ∈时，()0f x '<；(1,)x ∈+∞，()0f x '>∴()f x 在(0,1)单减，(1,)+∞单增，∴min 2()(1)f x f a e==-≥，所以选A二、多选题9101112ACBCDABDABC9.AC{}12,20.n n n a a a d A +-=∴>是公差为的等差数列，，所以是递增数列，故选Q 2156,3n n a S n n n S B ∴=-∴==,时，故错误；最小，Q 6,n n S S n C n n ⎧⎫=-∴⎨⎬⎩⎭是等差数列故选；，Q2322322236,56,,m m m m m m m m S S m m S S m m m N S S S S D +=-=-∈∴---≠-故错误.，Q 10.B C D对于A ：概率为311612==C C P ，所以错误；对于B ：概率为1512622==C C P ，所以正确；对于C ：概率为158261214==C C C P ，所以正确；对于D ：概率为1512622==A A P ，所以正确。
福建省高二下学期第一次月考数学试题(Word版)
高二下学期第一次月考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）、、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数在处的导数为，则（ ）()f x 1x =6()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆A ．1B ．2C ．D ．6232．如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确()y f x =()f x '()f x 的是（ ）A ．B ． ()()()213f f f ''>>'-()()()231f f f ''>>'-C ．D ．()()()312f f f >>''-'()()()321f f f >->'''3．已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之s t 间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）()2ln 1s t t t =++-3t =A ．米/秒 B ．米/秒C ．米/秒 D ．米秒214()62ln2+212()4ln2+4．函数的图象大致为（ ）sin x xx xy e e --=+A ．B ．C ．D ．5．若对任意的 ，，且，都有，则m 的最小值是1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-（ ） A ．B ．C ．1D ．1ee 3e6．已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于()f x ()f x 'R ()()0f x f x '->()01f =x的不等式的解集()e xf x >为（ ） A ． B ．C ．D ．{}0x x >{}0x x <{}1x x <{}1x x >7．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数的取值范围是（ ） ()()e ln xf x x a x =-a A ． B ．C ．D ．(],0-∞1,e ⎛⎤-∞ ⎝⎦(],1-∞(],e -∞8．已知,则（ ） 1ln1.1,,11a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数的求导正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x '=()()'e 1e x x x x =+()1ln 22'=x x10．已知，下列说法正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．在处的切线方程为B ．若方程有两个不相等的实数()f x 1x =1y x =+()f x a =根，则 10a e<<C ．的极大值为D ．的极小值点为()f x 1e()f x e x =11．若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（ ）()321233f x x x =+-()1,4a a -+a A ．-3B ．-2C ．-1D ．012．若存在实常数k 和b ，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x ()G x 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已()F x kx b ≥+()G x kx b ≤+y kx b =+()F x ()G x 知函数，，（e 为自然对数的底数），则下列结2()()f x x x R =∈1()(0)g x x x=<()2ln h x e x =论正确的是（ ）．A ．函数在区间上单递减()()()m x f x g x =-,⎛-∞ ⎝B ．和之间存在“隔离直线”，且k 的最小值为 ()f x ()g x 4-C ．和之间存在“隔离直线”，且b 的取值范围是 ()f x ()g x [4,0]-D ．和之间存在“隔离直线”，且“隔离直线”不唯一()f x ()h x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数在点处的切线方程为____________． 1()ln f x x x=-(1,1)-14．函数，则________． ()2(1)21xf x f x x '=+-()0f '=15．不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________． 1e ln 0a x x a x --≥()1,x ∈+∞a 16．若函数在区间D 上有定义，且均可作为一个三角形的()g x ,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈三边长，则称在区间D 上为“M 函数”．已知函数在区间为()g x ()1ln x f x x k x -=-+1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，，且．求：()32f x x ax =-a ∈R ()11f '=(1)a 的值及曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)函数在区间上的最大值． ()f x []0,218. （12分）已知函数在及处取得极值．()32f x x ax bx c =+++13x =-1x =(1)求a ，b 的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c 的取值范围． ()0f x =19．（12分）已知函数．()2211ln 2a f x x x x a +=-+(1)当时，求函数的单调增区间． 2a =()f x (2)讨论函数的单调性． ()f x20.（12分）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计5a +(58)a ≤≤当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，x (1317)x ≤≤2(18)x -(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式； L x (2)求出的最大值． L ()Q a21．（12分） 已知函数为的导数.()e cos 2,()x f x x f x '=+-()f x (1)当时，求的最小值；0x ≥()f x '(2)当时，恒成立，求的取值范围.π2x ≥-2e cos 20xx x x ax x +--≥a22．（12分）已知函数.2()e (e 2.718)=-= x f x ax (1)若在有两个零点，求实数的取值范围；()f x ()0,∞+a (2)设函数，证明：存在唯一的极大值点，且2()e [()1]x g x f x ax x =+--()g x 0x . 0321()e 4<<g x龙岩一中2024届高二下学期第一次月考数学试题参考答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAABABBDBCBCBC DAB C13．14． 1 15． 16．23y x =-(],e -∞()2e 4,-+∞17．解:（1），解得：()32f x x ax =-Q ()'232f x x ax ∴=-()'1321f a ∴=-=1a =故，()32f x x x =-(1)0f =曲线在点处的斜率为，切线方程即 ...........5()y f x =()()1,1f 1k =(1)(1)y f k x -=-1y x =-分（2）由（1）可知：，令，解得()32f x x x =-()'232f x x x =-()'2320f x x x =-= 1220,3x x ==故当时，，所以单调递减；当时，，所以2[0,)3x ∈()'0f x <()f x 2[,2]3x ∈()'0f x >()f x 单调递增；区间内，当时取最大值，最大值为 ...........10分()f x []0,22x =(2)4f =18．解:（1）由题意得，函数在及处取得极值， ()232f x x ax b '=++()f x 13x =-1x =得，解得 .()11203331320af b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩11a b =-⎧⎨=-⎩此时，.()()()2321311x x x x f x --=+'-=当时，，函数在上单调递增； 13x <-()0f x ¢>()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；113-<<x ()0f x '<()f x 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. ...........6分 ()f x 13x =-1x =（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．又有三()f x 13x =-1x =()0f x =个不同的实根，由图象知，解得，所以实数c 的取值范围是()150327110fc f c ⎧⎛⎫-=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+<⎩5127c -<<5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭．...........12分19．解:（1）函数的定义域为，()2211ln 2a f x x x x a+=-+()0,∞+当时，，所以. 2a =()215ln 22f x x x x =-+()()221251252()22x x x x f x x x x x---+'=-+==故当时， ，函数在上单调递增；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增；()2,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()2,+∞所以函数的单调递增区间有和；...........4分()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭()2,+∞（2）由可得：()2211ln 2a f x x x x a+=-+. ()2221()11(1)()ax x a a ax a x a f x x a x ax ax--+-++'=-+==①当时， ，在上单调递增；...........6分 a<0()0f x ¢>()f x ()0,∞+②当时，时，时，在上单调递增；01a <<()0,x a ∈()0f x ¢>()f x ()0,a 时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时， ，在上单调递增；............8分 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭③当时，，且仅在时，，所以函数在上单调递增1a =()0f x '≥1x =()0f x '=()f x ()0,∞+；...........9分④当时，时，时，在上单调递增；1a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时， ，在上单调递增；............11分(),x a ∈+∞()0f x ¢>()f x (),a +∞综上所述，当时，函数在上单调递增；a<0()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；01a <<()f x ()0,a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，函数在上单调递增；1a =()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；...........12分1a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),a +∞1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭20．解（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5x (1317)x ≤≤元，且每件产品需向税务部门上交元，(5)a +(58)a ≤≤所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：L x 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．...........5分（2）∵，∴， 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(3823)(18)L a x x =+--'令，解得：或，而，则，...........7分 0L '=3823a x +=18x =58a ≤≤38216183a+≤≤①当，即时，当时，，单调递38216173a +≤<5 6.5a ≤<38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L >'A A A A L 增，当时，，单调递减，∴当时，取最大值382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L '<L 3823a x +=L 34(8)27a -；...........9分 ②当，即时，当时，，单调递增， 38217183a+≤≤ 6.58a ≤≤()13,17x ∈0L >'A A A A L ∴当时，取最大值，...........11分17x =L 7a -综上， ...........12分 ()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩21．（1）由题意，，令，则， ()e sin x f x x '=-()e sin x g x x =-()e cos x g x x '=-当时，，，所以，从而在上单调递增， 0x ≥e 1x ≥cos 1≤x ()0g x '≥()g x [0,)+∞则的最小值为，故的最小值1；...........4分()g x (0)1g =()f x '（2）由已知得当时，恒成立，令，π2x ≥-()e cos 20xx x ax +--≥()e cos 2x h x x ax =+--，...........5分()e sin x h x x a '=--①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数， 1a ≤0x ≥()10h x a '≥-≥()h x ∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，()()00h x h ≥=()0x h x ⋅≥()e cos 20x x x ax +--≥若，令 则，令，则π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()e sin x m x x a =--()e cos x m x x '=-()e cos xn x x =-，()e sin x n x x '=+令，则，∵在在内大于零恒成立，()e sin x p x x =+()e cos x p x x '=+()p x 'π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭∴函数在区间为单调递增，又∵，，，()p x π,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭π2πe 102p -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭()01p =∴上存在唯一的使得，∴当时，，此时()p x 0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()00p x =0π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0n x '<为减函数，()n x 当时，，此时为增函数，又∵，，()0,0x x ∈()0h x '>()n x π2πe 02n -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭()00n =∴存在，使得，∴当时，，为增函数，10π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10n x =1π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0m x '>()m x 当时，，为减函数，又∵，，()1,0x x ∈()0m x '<()m x π2πe 102m a -⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭()010m a =-≥∴时，，则为增函数，∴，∴π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0h x '>()h x ()()00h x h ≤=()e cos 20x x x ax +--≥恒成立，..........9分②当时，在上恒成立，则在上为增函数， 1a >()e cos 0x m x x '=-≥[0,)+∞()m x [0,)+∞∵，， ()010m a =-<ln(1)(ln(1))e sin(ln(1))1sin(ln(1))0a m a a a a ++=-+-=-+≥∴存在唯一的使，()20,x ∈+∞()20h x '=∴当时，，从而在上单调递减，∴，20x x ≤<()0h x '<()h x [)20,x ()()00h x h <=∴，与矛盾，...........11分()e cos 20xx x ax +--<2e cos 20x x x x ax x +--≥综上所述，实数的取值范围为. ...........12分 a (,1]-∞22．(1)解：令，，则，2()0xf x e ax =-=()0,x ∈+∞2e xa x=23．因为在有两个零点，所以函数与的图象有两个不同的交点，()f x ()0,∞+y a =2ex y x=令，则， ()22e (),0,h x x x =∈+∞()()23e 2e (),0,xx x h x x x x -'==∈+∞当时，；当时，． (0,2)x ∈()0h x '<(2,)x ∈+∞()0h x '>所以在单调递减，在单调递增，所以，()h x (0,2)(2,)+∞()()2mine 24h x h ==又当时，，当时，，所以；...........4分0x +→()h x →+∞x →+∞()h x →+∞2e4a >(2) 证明：，故，()e (e 1)x x g x =x --()e (2e 2)x xg x =x '--令，， ()2e 2x m x =x --()2e 1x m x ='-当时，，当时，， 1ln2x <()0m x '<1ln 2x >()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()m x 1(,ln )2-∞1(ln +)2∞，又，，，(0)0m =1ln 211(ln )2e ln 2ln 21022m =--=-<22(2)2e (2)20e 2m ==----->由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一根，...........6分()h x ()0m x =1(2,ln )2-设为且，从而有两个零点和，0x 002e 20xx =--()m x 0x 0当或时，，当时，，0x x <0x >()0g x '>00x x <<()0g x '<所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增， ()g x 0(,)x -∞0(0)x ，(0+)∞，从而存在唯一的极大值点，由，得， ...........8分 ()g x 0x 002e 20x x =--002e 2xx +=，2000000000222111()e (e 1)(1)()(2)=224444x x x x x x g x x x x x ++-++∴=--=--=-+≤（）当且仅当，即时，取等号，002x x -=+01x =-若，则，与题意矛盾，01x =-0102e 22e 10x x =----≠故，所以取等不成立，所以得证，...........10分 01x ≠-01()4g x <又，在单调递增，012ln2x -<< ()g x 0,x -∞（）所以得证，...........11分 2242032()(2)e e (2)1e e e g x g ----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦所以............12分 0321()e 4g x <<。
高二数学下学期第一次月考试卷(含解析)(2021年整理)
湖北省武汉市2016-2017学年高二数学下学期第一次月考试卷一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∃x∈Z，使x2+2x+m＜0”的否定是（)A．∀x∈Z，使x2+2x+m≥0B．不存在x∈Z,使x2+2x+m≥0C．∀x∈Z，使x2+2x+m＞0 D．∃x∈Z，使x2+2x+m≥02．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．过点（3,﹣2）且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=14．若p、q是两个命题,则“p∨q为真命题"是“（¬p）∧（¬q）为假命题"的( ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件5．若条件p:｜x+1|＞2，条件q：x＞a且￢p是￢q的充分不必要条件，则a取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣36．已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q:∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x,则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧(￢q）C．（￢p)∧q D．（￢p）∧（￢q）7．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0)，离心率等于，则C的方程是( )A．B．C．D．8．已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，且3a3=a6+4，则“a2＜1”是“S5＜10"的（) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若｜F2A|+｜F2B|=12，则｜AB｜=( ）A．12 B．10 C．8 D．610．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是( ）A．（0,﹣1）B．（﹣1，1) C．(0，﹣1）D．（﹣l，1)11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12,直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M（﹣2,1),则直线l的斜率为( )A．B．C．D．112．设e是椭圆的离心率，且，则实数k的取值范围是（）A．(0，3）B． C．（0，2）D．二.填空题13．离心率，焦距2c=16的椭圆的标准方程为．14．已知:对∀x∈R+，a＜x+恒成立，则实数a的取值范围是．15．直线y=kx+1（k∈R)与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为．16．给出如下命题：①“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B"为真命题；②若动点P到两定点F1（﹣4，0），F2(4，0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为线段；③若p∧q为假命题，则p，q都是假命题；④设x∈R,则“x2﹣3x＞0”是“x＞4”的必要不充分条件；⑤若实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为．其中，所有正确的命题序号为．三。
高数学第一次月考试题
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
西青区杨柳青第一中学2021-2021学年高数学第一次月考试题〔无答案〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一. 选择题〔本大题一一共8小题，每一小题4分，一共32分〕1. 以下命题中正确的选项是〔 〕 A ．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B ．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆C ．仅有一组对面平行的六面体是棱台D ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥2. 右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的〔 〕.A. B. C. D.3. 假如一个几何体的正视图是矩形，那么这个几何体不可能是〔 〕.4. 球的体积与其外表积的数值相等，那么球的半径等于〔 〕A ．21B ．1C ．2D ．35. 过正三棱柱底面一边的截面是〔 〕A ．三角形B ．三角形或者梯形C ．不是梯形的四边形D ．梯形6. 一长方体一共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长为〔 〕 A ．23 B ．32 C ．6 D ．67. 圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面〔过轴的截面〕是〔 〕 A ．顶角为30°的等腰三角形 B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．其他等腰三角形8. b a ,是空间两条不相交的直线，那么过直线b 且平行于直线a 的平面〔 〕二、填空题〔本大题一一共6小题，每一小题4分，一共24分〕9. 直观图〔如右图〕中，四边形A ′B ′C ′D ′为菱形且边长为2cm ， 那么在xoy 坐标中四边形ABCD 面积为______cm 2．10. 底面是边长为2的正三角形的三棱柱,其正视图(如右图所示的矩形)的面积为8，那么侧视图的面积为 .11. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=3，AA 1=2，那么一只小虫从A 点沿长方体的外表爬到C 1点的最短间隔 是 ．12. 一个正方体的顶点都在球面上，它的外表积与正方体的外表积之比为 .13. 如图，一个封闭的立方体，它的六个外表各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母D'C'B'A'O'Y'X'正视图11本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
千人桥中学高二数学12月月考试卷文(无答案)(2021年整
千人桥中学高二年级12月份月考数学（文）试卷一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
) 1．下列求导运算正确的是( )A ．B ．C ．D ．2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ）A ．（0，2）B ． (0，1)C ．(2，0)D ．(1,0)3．焦点为（0,6）且与双曲线错误!－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( ）A 。
错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1 C.错误!－错误!＝1D 。
错误!－错误!＝14. 若圆(x －5）2＋（y －1）2＝r 2（r ＞0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1,则实数r 的取值范围为（ ) A ．[4,6］B ．(4,6）C ．[5,7]D ．（5，7)5．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A.B ．C ．D ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()21l o g l n2x x '=()333l o g xx x '=()2c o s 2s i n x x x x '=-2221-22-21-26．如果椭圆的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．B ．C ．D ．7. 双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则 ( ） A ． B ． C ． D ． 8．如图，过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B,交其准线于点C ，若 ｜BC|＝2｜BF|,且｜AF|＝3,则此抛物线方程为( )A ．B ．C ．D ．9．设，那么“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.若曲线在点处的切线方程是，则 （ ）A ．,B ．，C 。
，D ．，11．一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋错误!上移动,设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 ( )A.B.C.D 。
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2015-2016年下学期第一次月考
高二数学（文）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．命题：“存在00,sin 2x R x ∈=”的否定是
A 不存在 0x R ∈， 0sin 2x ≠
B 存在 0x R ∈， 0sin 2x ≠
C 对任意 x R ∈，sin 2x ≠
D 对任意 x R ∈， sin 2x =
2． 一支田径队有男运动员28人,女运动员21人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取14位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取人数为（ ）.
A ． 6 B. 7 C. 8 D. 9
3．函数 15(1)1
y x x x =++>-的最小值为 A ．5 B ．6 C 7 D.8
4．若函数 32()31f x ax x x =+-+在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是
A. (],3-∞-
B. (),3-∞-
C. ()3,--∞
D. [)3,--∞
5．已知抛物线212y x =的焦点与椭圆22
12
y x m +=的一个焦点重合，则m = A. 74 B. 12764 C. 94 D. 12964
6、若复数i z )54(sin )53(cos -+-=θθ是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-
⎪⎝⎭的值为（ ） A.-7 B.17- C.7 D.7-或17-
3． 7在曲线2x y =上切线倾斜角为4
π的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．)161,
41( D ．)41,21(
8若连续掷两次骰子得到的点数m,n.则点（m,n ）在直线5=+y x 下方的概率是（ ）
A ．
185 B ．61 C ．365 D ．121
9、圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π 10、已知直线l
的参数方程为132x y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数 ），则直线l 的倾斜角为（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．34π
D ．56π
11、直线x －y ＋m ＝0与圆2x 2
＋y －2x －1＝0有两个不同交点的
一个充分不必要条件是( )
A ．－3＜m ＜1
B ．－4＜m ＜2
C ．m ＜1
D ．0＜m ＜1 12.已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A.)1,3(-
B. ]1,3[-
C. )
,1()3,(+∞--∞ D. ),1[]3,(+∞--∞
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知3()4'(1)f x x xf =+，则'(1)f = ________. 14．某市为了创建国家级文明城市, 采用系统抽样的方法从960人中抽取32人做问卷调查, 为此将他们随机编号为1,2,……,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9, 抽到的32人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷A, 编号落入区间[451,750]的人做问卷B, 其余的人做问卷C. 则抽到的人中, 做问卷B 的人数为 .
15、若不等式R x a x x ∈≥-++对|1||2| 恒成立，则实数a 的取值范围是 .
16.记等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，利用倒序求和的方法得：1()2
n n n a a S +=；类似
地，记等比数列{}n b 的前n 项的积为n T ，且*0()n b n N >∈，试类比等差数列求和的方法，将n T 表示成首项1b ，末项n b 与项数n 的一个关系式，即n T = .
三、解答题：（共70分）
17．（本小题满分10分）某学校高二年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生.
（1）完成下面的22⨯列联表；
（2）在喜欢运动的女生中调查她们的运动时间，发现她们的运
动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是测量结果的频率分布直
方图，若从区间段)50,40[和)70,60[的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率.
18. （本小题满分12分）
椭圆1:22
22=+b
y a x C 经过点A （0，4），离心率为53； （1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为
5
4的直线被C 所截线段的中点坐标。
19．（本小题满分12分）
求不等式2|5|6x x -≥的解集
20、（本小题满分12分）
极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.
已知直线l
的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为
2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB
.21．（本小题满分12分）
已知函数32
()29128f x x x x a =-++.
（1）若2a =，求()f x 的极大值和极小值；
（2）若对任意的[0,4]x ∈，2()4f x a <恒成立，求a 的取值范围.
22．（本小题满分12分）
已知直线cos ,:
sin x m t l y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数）经过椭圆2cos ,:(x C y ϕϕϕ
=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）的左焦点.F （1）求m 的值；
（2）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||||FA FB ⋅的最大值和最小值.。