重庆市南开中学2016-2017学年高一下学期3月月考数学试卷(文科)Word版含答案
2016-2017学年上学期重庆市南开中学高三第一次月考试卷 文科数学
2016-2017学年上学期重庆市南开中学高三年级第一次月考测试卷文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3}A =，集合{3,5}B =，则()U A C B =（ ）A ．{2,3,5}B ．{1,4,6}C ．{2}D ．{5}2．11()xf x x+=，则(2)f =（ ）A ．3B ．1C ．2D ．323．函数()f x =的定义域为（ ）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(2,1)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(1,2)4．已知0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．ln()0a b ->B ．11a b<C ．31a b -<D ．log 2log 2a b <5．已知()xf x a =过(1,3)，则以下函数图像正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数()2f x x =的值域为（ ）A ．(,2)-∞B ．[2,)+∞C ．(2,)+∞D ．(,2]-∞7．已知实数,x y 满足，241x y +=，则2x y +的最大值是（ ）A ．2-B ．4C ．12D ．1-8．已知命题:p “已知()f x 为定义在R 上的偶函数，则(1)f x +的图像关于直线1x =-对称”，命题:q “若11a -≤≤，则方程220ax x a ++=有实数解”，则（ ）A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 假q 真D ．p 真q 假9．设1()()12x f x x =-+，若在用二分法求()f x 在(1,3)内的零点近似值时，依次求得(1)0,(3)0,(2)0,(1.5)0f f f f ><<<，则可以判断零点位于区间（ ）A ．(2.5,3)B ．(2,2.5)C ．(1,1.5)D ．(1.5,2)10．已知函数22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1][1,)-∞+∞B ．[1,0]-C ．[0,1]D ．[1,1]-11．若,x y 满足03030y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩，且2z x y =-的最大值为4，则k 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．23-D ．2312．已知函数2,()23,x x af x x x a⎧≤=⎨+>⎩，若方程()280f x x +-=恰有两个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5[4,][2,)4-+∞ B ．[4,2]-C ．5(,2]4D ．54,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题4小题，每小题5分．13．3112log 2221log 6log 334-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=_________ 14．函数2lg(23)y x x =--的单调递增区间为__________15．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（如图），则该三棱锥的外接球的表面积为________16．已知()f x 是定义在实数集上的函数，当(0,1]x ∈时，()2x f x =，且对任意x 都有12()(1)2()f x f x f x -+=-，则2(log 5)f =__________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）函数1()21x f x a =+-关于(0,0)对称 （1）求a 得值； （2）解不等式2()3f x <18．（12分）二次函数()f x 开口向上，且满足(1)(3)f x f x +=-恒成立．已知它的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形． （1）求()f x 的解析式；（2）讨论()f x 在[,3]t t +的最小值．19．（12分）四棱锥P ABCD -中，1,2,60PC AB BC ABC ===∠= ，底面ABCD 为平行四边形，PC ABCD ⊥平面，点,M N 分别为,AD PC 的中点．（1）求证：//MN PAB 平面； （2）求三棱锥B PMN -的体积．20．（12分）已知抛物线2:2E y px =焦点为F ，准线为l ，P 为l 上任意点．过P 作E 的一条切线，切点分别为Q ．（1）若过F 垂直于x 轴的直线交抛物线所得的弦长为4，求抛物线的方程； （2）求证：以PQ 为直径的圆恒过定点．21．（12分）函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++． （1）讨论()f x 单调性；（2）若()f x 恰有两个零点，求a 的范围．请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（10分）如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ． （1）证明：AE BE =；（2）若9,7AG GC ==，求圆O 的半径．23．（10分）已知双曲线13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），再以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．24．（10分）已知()|2|f x x =- （1）解不等式()(1)5f x f x ++≥（2）若1a >且()()bf ab a f a>⋅，求证：2b >．第一次月考测试卷文科数学答案。
重庆市南开中学2016-2017学年高一3月月考数学(理)试题Word版含答案
重庆市南开中学2016-2017学年高一3月月考试题数学（理）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有项 是符合题目要求的）.1.下列向量中不是单位向量的是（ ） A ．(1,0)- B ．(1,1) C ．00(cos37,sin37) D ．(0)a a a≠2.已知向量(1,2),(4,)a b m ==-，若2a b +与a 垂直，则m =（ ） A ．-3 B ．3 C ．-8 D ．84.在ABC ∆中，3,2,AB AC BC ===AC AB =（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 5.已知等差数列{}n a 中，512716,1a a a +==，则10a 的值是（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．646.在ABC ∆中，若cos cos sin b C c B a A +=，则此三角形为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形7. ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，如果,,a b c 成等差数列，030B =，ABC ∆的面积为32，那么边b 的长为（ ）A ．1．28.已知数列{}n a 是递增数列，且对任意*n N ∈都有2n a n bn =+成立，则实数b 的取值范围是（ ） A ．7(,)2-+∞ B ．(0,)+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(3,)-+∞ 9.下列结论正确的个数是（ ）①若(,2),(3,1)a b λ==-，且a 与b 夹角为锐角，则2(,)3λ∈-∞；②点O 是三角形ABC 所在平面内一点，且满足OA OB OB OC OC OA == ，则点O 是三角形ABC 的内心；③若ABC ∆中，0AB BC < ，则ABC ∆是钝角三角形；④若ABC ∆中，AB BC BC CA CA AB == ，则ABC ∆是正三角形， A ． 0 B ．1 C ．2 D ．310. ABC ∆中090,2,3A AB AC ∠===，设P Q 、满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈，若1BQ CP = ，则λ=（ ）A ．13 B ．23 C ．43D ．2 11.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，b c =且满足sin 1cos sin cos B BA A-=，若点O 是ABC ∆外一点，(0),2,1AOB OA OB θθπ∠=<<==，则平面四边形OACB 面积的最大值是（ ）A B ．3 D 12.如图1，已知：04,90AB BC ACB ==∠=，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，则AM DC 的最大值是（ ）A ．8+．8-．4+．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）13.已知点(1,1)(0,3)(3,4)A B C -、、，则向量AB 在AC方向上的投影为_________．14.已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若1,a b ==B 是角A 和角C 的等差中项，则sin A =________．15.已知向量,a b 的夹角为34π，(1,1),2a b =-= ，则2a b += ________． 16.数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若p q m n +>+（其中*,,,p q m n N ∈），则p q m n a a a a +>+； ④存在常数d ，使得*1(1)()m a a n d n N >+-∈都成立． 上述命题正确的是________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题 （本大题共7小题，17，18，19，20，21题每题12分，22题10分，23题为附加题15分.） 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,4a a ==． （1）求9a ；（2）求n S 的最大值．18.已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =．（1）若c =//a c ，求c 的坐标；（2）若b = (4)(2)a b a b -⊥+，求a 与b 夹角θ的余弦值．19.设ABC ∆的三个内角,,A B C ，向量(2cos ,sin ),(cos ,2sin )m A A n B B ==- ，且1m n =． （1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的三边长构成公差为4的等差数列，求ABC ∆的面积．20.在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c cos )sin a c B b C -=． （1）求角C ；（2）若ABC ∆的面积43S a b =+=，求sin sin A B 及cos cos A B 的值．21.如图，在凸四边形ABCD 中，,C D 为定点，CD ，,A B 为动点，满足1AB BC DA ===．（1）若4C π=，求cos A ；（2）设BCD ∆和ABD ∆的面积分别为S 和T ，求22S T +的取值范围．22.若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为*()m b m N ∈，则称为数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数． （1）已知2m a n =，且2()f m m =，写出123b b b 、、； （2）已知2n a n =，且()f m m =，求{}m b 的前m 项和m S ；（3）已知2n n a =，且3*()()f m Am A N =∈，若数列{}m b 中，125,,b b b 是公差为(0)d d ≠的等差数列，且310b =，求d 的值及A 的值．23.附加题（15分）点P 为ABC ∆平面上一点，有如下三个结论：② 若0PA PB PC ++=，则点P 为ABC ∆的________；②若sin sin sin 0A PA BPB C PC ++=，则点P 为ABC ∆的________；③ 若sin 2sin 2sin 20A PA B PB C PC ++=，则点P 为ABC ∆的________． 回答以下两个小问：（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上． A ．重心 B ．外心 C ．内心 D ．重心 （2）请你证明结论③重庆市南开中学2016-2017学年高一3月月考数学（理）试题参考答案一、选择题 BADCA CBDBD AA 二、填空题 13．2 14．4．①④ 三、解答题17．解：（1）∵2484a a =⎧⎨=⎩，∴1102a d =⎧⎨=-⎩，9186a a d =+=-．（2）221112110(1)11()24n S n n n n n =--=-+=--+，由二次函数的性质，当5n =或6时，n S 最大值为30．18．（1）(3,6),(3,6)c =--（2）1cos 6θ=19．解：（1）2cos cos 2sin sin 2cos()2cos 1m n A B A B A B C =-=+=-=01cos 1202C C =-⇒=（2）设三边长分别是,4,8(0)a a a a ++>，角C 对的边为8a +， ∴由余弦定理有：2220(8)(4)2(4)cos120a a a a a +=++-+ 解得 ：6a =，∴三边为6，10，14，ABC ∆的面积01610sin1202S =⨯⨯⨯=20．解：（1]cos )sin sin()sin cos sin sin a c B b C B C C B B C -=⇒+-=cos sin sin B C B C =，而在ABC ∆中，sin 0B ≠，∴0tan 60C C =⇒=， （2）014sin 6023S ab ab ==⇒=， 由余弦定理有：222()22cos ()312c a b ab ab C a b ab =+--=+-=，∴c =2021sin sin sin 6012ab A B c == ∵1cos cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B =-+=-+=（2）m 为偶数时，则2n m ≤，则2m m b =； m 为奇数时，则21n m ≤，则12m m b -=； ∴1(2(2n m m b m m -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数）为偶数），m 为偶数时，则21211(12)2224m n m m S b b b m =+++=+++-⨯=；m 为奇数时，则221211(1)11424m n n m m m m S b b b S b ++++-=+++=-=-= ； ∴221(4(4m m m S m m ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数)为偶数)（3）依题意：2,(1),(2)8,(5)125n n a f A f A f A ====， 设1b t =，即数列{}n a 中，不超过A 的项恰有t 项，所以5122t A +≤<，同理：1221282,21252t d t d t d t d A A ++++++≤<≤<，可得：122t t A +≤<， 3222t d t d A +-+-≤<，22122125125t d t d A +++≤<， 故22131222max 2,2,min 2,2,125125t d t d t t d t t d A ++++-++-⎧⎫⎧⎫≤<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，由以下关系：3122t d t +-+<，2222125t dt d ++<-， 得4d <，∵d 为正整数，∴1,2,3d =．当1d =时，232242max 2,2,max 2,,21254125t d t t t t d t t++-⎧⎫⎧⎫⨯==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，21121228282min 2,2,min 2,,21252125125t d t t tt t d t t ++++-+⎧⎫⎧⎫⨯⨯==<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭不合题意，舍去； 当2d =，2312162max 2,2,max 2,2,2125125t d t t t d t t t++--⎧⎫⎧⎫⨯==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，211212322322min 2,2,min 2,2,2125125125t d t t t t d t t t ++++-+⎧⎫⎧⎫⨯⨯==<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭不合题意，舍去； 当3d =时，232642max 2,2,max 2,2,2125125t d t t t d t t t++-⎧⎫⎧⎫⨯==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，211211212821282min 2,2,min 2,2,2125125125t d t tt t d t t t ++++-++⎧⎫⎧⎫⨯⨯==>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，适合题意． 此时12512822,,3,6125ttA b t b t b t ≤<⨯==+=+，∴336t b t +≤≤+． ∵310b =，∴47t ≤≤，∵t 为整数，∴4,5,67t t t t ====或． ∵3(3)27,10f A b ==，∴21027211A ≤<，∴1011772222A ≤<．当4t =时，11422125A ≤<，∴无解．当5t =时，12522125A ≤<，∴无解．当6t =时，13622125A ≤<，∴13264125A ≤<．当7t =时，14722125A ≤<，∴无解，∴13622125A ≤<．∵*A N ∈，∴6465A A ==或． 综上：3,6465d A ==或． 23．（1）A 重心，C 内心，B 外心 （2）先证明两个引理引理1：点P 为ABC ∆平面上一点，则满足条件0x PA y PB z PC ++=（,,x y z 不全为零）的点P 是唯五的．证明：假设还有一点Q 满足0x QA y QB z QC ++= ，则有0x QP y QP zQP ++=()00x y z QP QP ⇒++=⇒=，∴点P 与点Q 重合，∴点P 是唯一的 引理2：若点P 为ABC ∆的外心，则sin 2sin 2sin 20A PA B PB C PC ++= ．证明：∵2sin 2sin 2cos 22sin 2sin 2cos 22sin 2sin 2cos 2A B C B C A C A B ++=222sin 2sin(22)sin 2sin(22)sin 2sin(22)sin 2sin 2sin 2A B C B C A C A B A B C +++++=---，∴设ABC ∆的外接圆的半径为r ，则22222(sin 2sin 2sin 2)(sin 2sin 2sin 22sin 2sin 2cos 22sin 2sin 2cos 22sin 2sin 2cos 2)0A PAB PBC PC r A B C A B C B C A C A B ++=+++++= 即：sin 2sin 2sin 20A PA B PB C PC ++= 把引理1和引理2结合起来，可知结论③成立．。
2020届重庆市南开中学2017级高三下学期3月月考数学(文)试卷及解析
2020届重庆市南开中学2017级高三下学期3月月考数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合要求,答案请涂写在答题卡上.1.复数421i z i -=+的虚部为( ) A. 1-B. 3-C. 1D. 2【答案】B【解析】 利用复数的商的运算进行化简,然后由虚部的概念可得答案. 【详解】()()()()42142426131112i i i i z i i i i -----====-++-, 则复数z 的虚部为-3,故选B2.“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】函数f (x )的单调增区间为[a ,＋∞),减区间为(－∞,a ],所以当a ＝1时,增区间为[1,＋∞),所以在[2,＋∞)上也递增．当f (x )在区间[2,＋∞)上为增函数,则有a ≤2,所以a ＝1不一定成立．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件,故选A.3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约230米．因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为（ ）A. 128.5米B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米【答案】C【解析】设出胡夫金字塔原高,根据题意列出等式,解出等式即可根据题意选出答案．【详解】胡夫金字塔原高为h ,则2304 3.141592h ⨯= ,即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米, 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．4.已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A. 15B. 23C. 79-D. 59【答案】C【解析】 利用三角函数的诱导公式化简得22cos(2)cos[(2)]cos[2()]336πππαπαα-=---=-+,再利用余弦的倍角公式,即可求解． 【详解】由题意,可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336ππππαπααα-=---=-+=-+ 22172sin ()12()1639πα=+-=⨯-=-,故选C ． 5.已知在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且sin 2sin A B =,cos cos 2a B b A +=,a =则ABC ∆面积为（ ）B. 2C. 2【答案】C。
南开中学高三数学模拟试卷(文科)(参考答案).doc
南开中学高三数学模拟试卷（文科）参考答案一、选择题:（共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 67 8答案D C D C C A B B二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号9 10 11 12 13 14答案611兀+471?兀292[9,+ 8)三、解答题：（本大题共6小题，共80分）. （15）（本小题满分13分）解:(I) /(兀)=V^sin2兀一cos2x = 2sin(2x --------------- )67T TT S(II ) ill 2k7T + — < 2x ------- < lk7l + —7l伙W z),2 6 271 5得k/r——< x < k7r + — 7r(k e z)3 6n5/r•••单调递减区间为[尿+ =、k兀七—](k ez). ................................... 8分3 6(III)因为-~^x^~，贝ij-兰W2x —兰 W兰，6 4 2 6 3当2x-- = -,即x =-时，/(兀)取得最大值为馆；6 3 4当2%--=--,即兀―仝时,/⑴取得最小值为_2 •.................................. 13分6 2 3（16）（木小题满分13分）解：（I ）由条形图得第七组频率为1-（0.04x2 + 0.08x2 + 0.2x2 + 0.3） = 0.06,0.06x50 = 3 1 分・••第七组的人数为3人组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本中人数 2 4 10 10 15 4 3 2 (II )由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)x5=0.82,.......................................................... 4分=71后三组频率为1一0.82=0.18 ................................................... 5分估计这所学校高三年级身高在180cm以上（含180cm）的人数800x0.18=144 （人）. 7分（皿）第二组四人记为a、b、c、d,其中a为男生,b、c、d为女生,第七组三人记为1、2、3,其屮1、2为男生，3为女生，基木事件列表如下：abed1\a \b \c \d22a 2b 2c 2d3 3 a 3b 3c 3d所以基本事件有12个...................................... 10分恰为一男一女的事件有",lc, Id, 2b, 2c, 2d, 3a；共7个..... 12分7因此实验小组中，恰为一男一女的概率是一................... 13分12（17）（本小题满分13分）（I）证明：因为菱形ABCD,所以3D丄AC,又因为平而ACEF丄平面ABCD ,EC丄AC，平面ACEF Q平面ABCD = AC故EC丄平面ABCDEC 丄BD所以BD丄平面ACEF-------------- 5分BDu平面BDE,所以平面BDE丄平面ACEF ；---------------- 6分（II）连结EO, EO//AM ,ZBEO为界面直线BE与AM所成的角或补角，由（I）知，AEOB = 90°,在直角三角形EOB 中，EO = AM=4i,BO = &所以界而直线BE与4M所成的角的正切值心. -------------- 10分2（III）由已知易得BF = FD,BE = ED，所以EO丄BD, FO丄BD,ZEOF为二面角E-BD-F的平而角13分所以二面角E-BD-F为90°.（18）（本小题满分13分）解：（I ）点A （0,2）代入圆C 方程， 得.（2-加尸=9*.* m < 2 ,・*. m = -1 .......... 1 分圆 C ：异+（〉，+ 1）2 =9,圆心（0,-1）・ 设直线的斜率为心，P （3,8）当K 不存在时，PF I ：x = 3,显然不合题意舍去. 当人存在时，PF“ y -8 = k l （x-3）f 即 k }x- y-3« + 8 = 0 .・••号f .解得k }=- ..................................................... 3分W + 1 3 直线 PF ]: 4x-3.y + 12 = 0总线PF 】与x 轴的交点横他标为一3,・・・c=3. F| (—3, 0), F 2(3, 0)............................... 4 分2« = P4F|| + |AF 2|= VB + V13 =2>/13 , a =屈,«2=13, //=4.椭圆E 的方程为：—+ ^- = 1............................. 6分13 4(II)由|丽冃丽|知点A 在线段MN 的垂直平分线上， y = kx-2由]兀2 2 消去y 得(4 + 13/)兀2 一52也=0 (*) —+ —= 1 〔13 4由Id 得方程（*）的A = （52^）2 >0,即方程（*）有两个不相等的实数根…8分 设N （兀2小），线段MN 的中点卩（兀0，儿），26k 4 + 13 衣52k 4 + 13f•宀0,直线仲的斜率为宁=桔由AP 丄MN,得 土竺 xk = _l,解得：k = ±—f……12分13R13・・・存在直线/满足题意，方程为：V5x-V13y-2ji3 =0«KV5x + V13y + 2Vi3 =0 -------------------------------- 13 分 (19) (本小题满分14分)解：(I)方法一：由S 曲=3S “得：数列｛S”｝是等比数列，公比为3,首项为1…2分.•.S” =1・3心=3心 ......... 3分当 n>2 时,a n = S n - S n _{ = 3 心 一 3W '2 = 2 • 3n '2................... 4 分fl (n = 1)•5=\.................. 5 分[2・3心(n > 2)方法一：•** S“+] = 3S“，「. S n = 3S”](M ' 2) 以上两式相减得：Q “+]=3% (n > 2),.................. 2分在 S n+[ = 3S n 中,取 〃 =1 得：a {+a 2= 3a }即 a 2 = 2a } = 2 ,.................. 3 分.・.｛%｝为第二项起的等比数列，公比为3 .................. 4分fl (n = l)/. ci = \.................. 5 分26k 24 + 13p—8 4 + 13/即卩為為)10分2・3宀(n > 2)由(I )知：⑺”｝为第二项起的等比数列，公比为3, s=2t0? + 1)(72 + 2) n(n +1)(/? + 1)(1-/?)① 若r 〉0,则 b n+i -b n <0 HP b n+i < b n (n > 2) .・.数列｛仇｝是从第二项起的递减数列ifij b 、= —, b 2 = — t b 2 >b } 3•••(—b2「 ..................................... 9 分•・•对任意 n e TV * ,都冇 A>/7(Z7 + 1)a“t②若/v0,则b n+} - b n > 0即b n+x > b n (n > 2)・•・数列{仇}是从第二项起的递增数列・・・11 分Ifij/, =-<0,当n >2 时，化=W o't n2r-3w_2b n e (-oo, 0).................. 12 分•• •对任意n e TV * ,都有2>/7(Z7 + 1), > 0 ...................13 分%3综合上面：若/>0,则A>-；若/<0,则A>0o .............................................. 14分t(20) (木小题满分14分)解：(I )当 a = -3ll 寸，/(x) = —x 3 -兀2-3X + 3,所以 广(兀)=x 2 -2x-3 = (x-3)(x + l).令/'(兀) = 0,得 比=_1,兀2=3.当xv-l 时，广(x)〉0,则/(x)在(-oo,-l) ±单调递增； 当一1 v 尢<3时,/'(X )<0 ,则f (x)在(-1,3)上单调递减;・••当心2时,廿2心巴汗畔 “ “ It • 3n_2b n +l ~b n 2r3n-I『•3"10分当x>3时，广(兀)>0 , /(兀)在(3,+00)上单调递增. 所以，当x = -\时，/&)取得极大值为/(-1)=-1-1 + 3 + 3 =—； 当*3时,/(x)取得极小值为/*(3)=丄x27-9-9 + 3 =-6.(II )广(兀)=/-2x + d , △ = 4-4° = 4(1-°) •⑴若dhl,则在心上恒有广(兀)》0,于⑴在R 上单调递增，且值域为R.函 数/(x)的图象少兀轴有且只有一个交点.(2)若a<l,则△>(), /'(%) = 0有两个不等的实根，不妨设为x l9x 2 (x t <x 2).当x 变化吋，广(x)J(x)的取值情况如下表：X(-°°眄)(西，兀2)厶（兀2，+°°）广(刃+—+极大值极小值由兀]2—2 兀]+a = 0 ,得兀]+兀2=2, x l x 2 = a , JL x ）2= 2x, - <7.f （xj = £ 兀1‘ _ X |2 + ax \ 一 a = * £ （2旺 _ d ） — 壬2 + ax }-同理/(x 2) =|［(n-l)x 2-t/_ •函数子(x)的图象与x 轴有且只有一个交点，等价于/(x 2)< f (x,) <0或0</(X2)</(X l)» 即 /(壬)丁(兀2)>0 •又/(西)丁(兀2)=害［(。
重庆南开中学2015-2016学年度春期高一下半期数学试题(含答案)
重庆南开中学高2018届高一下期中考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知等差数列{}n a 中，2351,4a a a =+=，则该数列公差为（ ） A 、12B 、1C 、32D 、22、已知点()()10,1,2,A B y ，向量()1,2a =，若AB a ⊥ ，则实数y 的值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、83、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,42a a a a +=+=，则63S S =（ ）A 、12B 、98C 、2D 、94、下列说法中，一定成立．．．．的是（ ） A 、若,a b c d >>，则ab cd > B 、若11a b>，则a b < C 、若a b >，则22a b >D 、若a b <，则0a b +>5、在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，若3,a b =且3A π=，则边c 的长为（ ） A、1B、C 、2D6、已知2,3,2a b a b ==-= a 与b的夹角为（ ）A 、30B 、60C 、120D 、1507、已知{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，平面内三个不共线向量OA 、OB 、OC，满足()1720002OC a OA a OB =-+，若点,,A B C 在一条直线上，则2016S =（ ） A 、3024B 、2016C 、1008D 、5048、ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若ABC ∆为锐角三角形，且,23B c π==，则边b的取值范围是（ ） A、)B、C、(D、)+∞9、已知ABC ∆中，3,2AB AC ==，点D 在边BC 上，满足AD AB AD ACAB AC ⋅⋅=，若AB a = ，AC b =，则AD = （ ）A 、1233a b +B 、2133a b +C 、3255a b +D 、2355a b +10、已知单调递增的等差数列{}n a ，满足10111011a a a a ⋅>⋅，且221011a a <，n S 为其前n 项和，则（ ） A 、8120a a +> B 、1219,,S S S 都小于零，10S 为n S 的最小值 C 、8130a a +<D 、1220,,S S S 都小于零，10S 为n S 的最小值11、非零向量a 、b 满足2b = ，,30a b <>= ，且对0λ∀>，且a b a b λ-≥- 恒成立，则a b ⋅=（ ）A 、4B 、C 、2D 12、设{}n a 为单调递增数列，首项14a =，且满足()221111682n n n n n n a a a a a a +++++=++⋅，*n N ∈，则1234212n n a a a a a a --+-++-= （ ） A 、()221n n --B 、()33n n -+C 、()421n n -+D 、()61n n -+二、填空题（每小题5分，共20分）13、设12,e e 是不共线的向量，1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为 14、数列223334444511111111111,,,,,,,,,,,22222222222，则该数列的第28项为15、设ABC ∆的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，已知60A = ，a ，sin sin sin B C B C +=，则ABC ∆的面积为16、已知在ABC ∆中，3AC =，G 为重心，边AC 的垂直平分线与BC 交于点N ，且4NG NC NG NA ⋅-⋅=- ，则AB AC ⋅=17、（10分）已知平面内三个向量()()()1,1,,2,2,1a b x c =-==，满足()//a b c + 。
-重庆市南开中学高三(下)3月月考数学试卷(文.docx
高中数学学习材料唐玲出品2015-2016学年重庆市南开中学高三（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x﹣1）≤1}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．2 C．3 D．52．如果复数是实数，则实数m=（）A．﹣1 B．1 C．D．3．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣1（n∈N+），且a2+a4+a6=18，则a5的值为（）A．8 B．7 C．6 D．54．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点到直线的距离为2，则抛物线C的方程为（）A．B．C．y2=16x D．y2=8x5．已知命题p：x+y≠﹣2，命题q：x，y不都是﹣1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．与a的取值有关7．函数y=2sin+1的部分图象如图所示，则（+2）•=（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．108．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．过点A（3，2）作圆x2+y2+2x﹣4y﹣20=0的弦，其中弦长为整数的共有（）A．6条B．7条C．8条D．9条10．如图1点M，N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1D1CC1的中点，过点D，M，N做截面去截正方体得到的新几何体（体积较大部分），则该新几何体的主视图、左视图、俯视图依次为（）A．①④⑤ B．②③⑥ C．①③⑤ D．②④⑥11．已知点A为双曲线右支上一点，F1，F2为双曲线的左右焦点，AF1交双曲线左支于点B，若AB=BF2，则=（）A．B．C．D．212．已知函数g（x）=x﹣1，函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，对于∀x1∈（1，2]，∀x2∈R，则（x1﹣x2）2+（f（x1）﹣g（x2））2的最小值为（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是______．14．已知x，y满足的条件，则z=y﹣2x的最大值为______．15．已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2016=______．16．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为4，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且；（1）求角C；（2）若，求△ABC周长的取值范围．18．某统计部门随机抽查了3月1日这一天新世纪百货童装部100名顾客的购买情况，得到如图数据统计表，已知购买金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．购买金额频数频率（0，500] 5 0.05（500，1000]x p（1000，1500]15 0.15（1500，2000]25 0.25（2000，2500]30 0.3（2500，3000]y q合计100 1.00（1）确定x，y，p，q的值；（2）为进一步了解童装部的购买情况是否与顾客性别有关，对这100名顾客调查显示：购物金额在2000元以上的顾客中女顾客有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的顾客中男顾客有20人；①请将列联表补充完整：女顾客男顾客合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20合计100②并据此列联表，判断是否有97.5%的把握认为童装部的购买情况与顾客性别有关？参考数据：P（K2≥k）0.01 0.05 0.025 0.01k 2.706 3.841 5.024 6.635．19．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，面AA1B1B⊥面ABC，且∠A1AB=60°，AA1=2，△ABC为边长为2的等边三角形，G为△ABC的重心，取BC中点F，连接B1F与BC1交于E点：（1）求证：GE∥面AA1B1B；（2）求三棱锥B﹣B1EA的体积．20．已知椭圆的离心率，点P在椭圆上运动，当∠F1PF2=60°，；（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点直线l与椭圆交于A，B，斜率为k1，直线OP斜率为k2，，判断△APB的面积是否为定值，若为定值，则求出这个定值，若不为定值，则说明理由．21．已知函数f（x）=x﹣ae x；（1）若函数g（x）=f（x）+f′（x）在点（0，g（0））处的切线方程为x+y+1=0，求实数a 的值；（2）当a＞0时，函数f（x）存在两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：lnx1﹣lnx2＜lna+1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（φ为参数且0≤φ≤π）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f （x）≥a﹣g（x）对∀x∈R恒成立．（1）求实数a的最大值m；（2）若正实数a，b，c满足a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值．2015-2016学年重庆市南开中学高三（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x﹣1）≤1}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．2 C．3 D．5【考点】交集及其运算．【分析】集合A与集合B的公共元素构成A∩B，由此利用A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x﹣1）≤1}，能求出A∩B的元素个数．【解答】解：∵A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x﹣1）≤1}={x|}={x|1＜x≤3}，∴A∩B={2，3}，故选B．2．如果复数是实数，则实数m=（）A．﹣1 B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，利用纯虚数，实部为0，求出m的值即可．【解答】解：复数==，复数是实数，所以1﹣m3=0，解得m=1故选B．3．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣1（n∈N+），且a2+a4+a6=18，则a5的值为（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知可得数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，再由a2+a4+a6=18结合等差数列的性质求得a4，则a5的值可求．【解答】解：由a n+1=a n﹣1，得数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，又a2+a4+a6=18，得3a4=18，a4=6，∴a5=a4+d=6﹣1=5．故选：D．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点到直线的距离为2，则抛物线C的方程为（）A．B．C．y2=16x D．y2=8x【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出焦点坐标，代入点到直线的距离公式列方程得出p．【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），∴F到直线的距离d==2，解得p=8．∴抛物线方程为y2=16x．故选：C．5．已知命题p：x+y≠﹣2，命题q：x，y不都是﹣1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据逆否命题的等价性先判断￢q是￢p充分不必要条件即可得到结论..【解答】解：￢p：x+y=2，￢q：x，y都是﹣1，则当x，y都是﹣1时，满足x+y=﹣2，反之当x=1，y=﹣3时，满足x+y=﹣2，但x，y都是﹣1不成立，即￢q是￢p充分不必要条件，则根据逆否命题的等价性知p是q的充分不必要条件，故选：A6．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．与a的取值有关【考点】几何概型．【分析】欲求击中阴影部分的概率，则可先求出击中阴影部分的概率对应的平面区域的面积，再根据几何概型概率公式易求解．【解答】解：利用几何概型求解，图中阴影部分的面积为：，则他击中阴影部分的概率是：=1﹣，故选A．7．函数y=2sin+1的部分图象如图所示，则（+2）•=（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10【考点】正弦函数的图象；平面向量数量积的运算．【分析】根据根据函数的部分图象，求得A、B的坐标，再利用两个向量的数量积公式求得要求式子的值．【解答】解：根据函数的部分图象，可得sin x=0，由五点作图法知x=π，故x=2，∴A（2，1）．令y=2sin x+1=﹣1，求得sin x=﹣1，求得x=3，故B（3，﹣1）．∴=（8，﹣1）•（1，﹣2）=8+2=10，故选：D．8．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】循环结构．【分析】题目先给循环变量和点的坐标赋值，打印一次后执行运算x=x+1，y=y﹣1，i=i﹣1，然后判断i与0的关系满足条件继续执行，不满足条件算法结束．【解答】解：首先给循环变量i赋值3，给点的横纵坐标x、y赋值﹣2和6，打印点（﹣2，6），执行x=﹣2+1=﹣1，y=6﹣1=5，i=3﹣1=2，判断2＞0；打印点（﹣1，5），执行x=﹣1+1=0，y=5﹣1=4，i=2﹣1=1，判断1＞0；打印点（0，4），执行x=0+1=1，y=4﹣1=3，i=1﹣1=0，判断0=0；不满足条件，算法结束，所以点落在坐标轴上的个数是1个．故选B．9．过点A（3，2）作圆x2+y2+2x﹣4y﹣20=0的弦，其中弦长为整数的共有（）A．6条B．7条C．8条D．9条【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数即可．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=25，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=5，∵（3，2）到圆心的距离d==4，∴最短的弦长为2=6，最长的弦长为10，另外弦长为整数7、8、9的各有2条，共3×2+2=8条．故选：C．10．如图1点M，N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1D1CC1的中点，过点D，M，N做截面去截正方体得到的新几何体（体积较大部分），则该新几何体的主视图、左视图、俯视图依次为（）A．①④⑤ B．②③⑥ C．①③⑤ D．②④⑥【考点】简单空间图形的三视图．【分析】作出截面多边形，根据截面与正方体的棱的交点位置进行判断．【解答】解：过N作NE∥DM交B1C1于E，则E为B1C1的靠近C1的四等分点，连结ME，则梯形DNEM为截面四边形．∴多面体BCNEB1﹣ADMA1为新得到的几何体．∴新几何体的主视图为①，左视图为④，俯视图为⑤．故选：A．11．已知点A为双曲线右支上一点，F1，F2为双曲线的左右焦点，AF1交双曲线左支于点B，若AB=BF2，则=（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】作出双曲线的图象，利用双曲线的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由双曲线的定义得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，得|AF1|﹣|AF2|=|BF2|﹣|BF1|，即|AB|+|BF1|﹣|AF2|=|BF2|﹣|BF1|，∵AB=BF2，∴|BF1|﹣|AF2|=﹣|BF1|，则|AF2|=2|BF1|，则=2，故选：D12．已知函数g（x）=x﹣1，函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，对于∀x1∈（1，2]，∀x2∈R，则（x1﹣x2）2+（f（x1）﹣g（x2））2的最小值为（）A．B． C． D．【考点】全称命题．【分析】函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，∀x1∈（1，2]，x1﹣1∈[0，1]，则f（x1）=﹣2f（x1﹣1）﹣1﹣1=+6x1﹣5．设直线y=x+m与抛物线y=﹣2x2+6x﹣5相切，化为2x2﹣5x+5+m=0，令△=0，解得m．利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，∀x1∈（1，2]，x1﹣1∈[0，1]，则f（x1）=﹣2f（x1﹣1）﹣1=﹣2﹣1=+6x1﹣5．设直线y=x+m与抛物线y=﹣2x2+6x﹣5相切，化为2x2﹣5x+5+m=0，令△=25﹣8（5+m）=0，解得m=．∴两条平行线y=x﹣1与y=x﹣的距离d==．∴（x1﹣x2）2+（f（x1）﹣g（x2））2的最小值为．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求．【解答】解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36．由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32．由此可得甲运动员得分数据的中位数是．乙运动员得分数据的中位数是23．所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．故答案为54．14．已知x，y满足的条件，则z=y﹣2x的最大值为1．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=y﹣2x为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1．故答案为：1．15．已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2016=．【考点】数列的求和；二次函数的性质．【分析】通过向量相等、求导并解方程可知b=，进而裂项可知=﹣，并项相加即得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，∴f′（0）=0+2b=1，即b=，∴f（x）=x2+x，==﹣，∴S2016=1﹣+﹣+…+﹣=，故答案为：．16．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为4，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为或﹣．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO 内运动（含边界），由空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：V==或V=﹣=﹣．故答案为：或﹣．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且；（1）求角C；（2）若，求△ABC周长的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得：sinBcosC=sinCsinB，结合sinB≠0，可得：tanC=，结合范围C∈（0，π），即可得解C的值．（2）利用正弦定理可得：，利用三角函数恒等变换的应用化简可得：三角形的周长l=2sin（A+）+，根据A的范围，和正弦函数的图象和性质即可解得△ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴利用正弦定理可得：sinBcosC=sinCsinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴可得：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=．（2）∵由（1）及题意可得：，∴三角形的周长l=a +b +c=2sinA +2sinB +=2sinA +2sin （﹣A ）+=2sin （A +）+，∵A ∈（0，），A +∈（，），∴sin （A +）∈（，1]，l=2sin （A +）+∈（2，3]．故△ABC 周长的取值范围为（2，3]．18．某统计部门随机抽查了3月1日这一天新世纪百货童装部100名顾客的购买情况，得到如图数据统计表，已知购买金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4． 购买金额 频数 频率（0，500]5 0.05 （500，1000] xp （1000，1500] 150.15 （1500，2000] 250.25 （2000，2500] 300.3 （2500，3000] yq 合计100 1.00 （1）确定x ，y ，p ，q 的值；（2）为进一步了解童装部的购买情况是否与顾客性别有关，对这100名顾客调查显示：购物金额在2000元以上的顾客中女顾客有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的顾客中男顾客有20人； ①请将列联表补充完整： 女顾客 男顾客 合计购物金额在2000元以上35 购物金额在2000元以下20 合计100 ②并据此列联表，判断是否有97.5%的把握认为童装部的购买情况与顾客性别有关？ 参考数据：P （K 2≥k ） 0.01 0.05 0.025 0.01 k 2.706 3.841 5.024 6.635 ．【考点】独立性检验的应用． 【分析】（1）根据数据统计表，计算q 、y 、x 和p 的值； （2）①根据题意，补充完整列联表即可；②根据列联表计算观测值，对照临界值表即可得出结论． 【解答】解：（1）根据数据统计表知，q=0.4﹣0.3=0.1， y=100×0.1=10，x=100﹣5﹣15﹣25﹣30﹣10=15，p==0.15；（2）①根据题意，补充完整列联表如下： 女顾客 男顾客合计购物金额在2000元以上35 5 40购物金额在2000元以下40 20 60合计75 25 100②根据列联表，计算观测值K2=≈5.56＞5.024，所以有97.5%的把握认为童装部的购买情况与顾客性别有关．19．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，面AA1B1B⊥面ABC，且∠A1AB=60°，AA1=2，△ABC为边长为2的等边三角形，G为△ABC的重心，取BC中点F，连接B1F与BC1交于E点：（1）求证：GE∥面AA1B1B；（2）求三棱锥B﹣B1EA的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AF，由题意知，G在AF上，AG=2GF，由F为BC中点可得三角形相似．再由G为△ABC的重心，得到GE∥AB1，由线面平行的判定得答案；（2）由==得答案．【解答】（1）证明：连结AF，由题意知，G在AF上，AG=2GF，∵F为BC的中点，∴△B1EC1∽△FEB，且BE=，∴BF=BC，则点F为BC中点．∵G为△ABC的重心，∴=，∴GE∥AB1，又AB1⊂面AA1B1B，GE⊄面AA1B1B，∴GE∥面AA1B1B；（2）解：=====．20．已知椭圆的离心率，点P 在椭圆上运动，当∠F 1PF 2=60°，；（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点直线l 与椭圆交于A ，B ，斜率为k 1，直线OP 斜率为k 2，，判断△APB 的面积是否为定值，若为定值，则求出这个定值，若不为定值，则说明理由． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m +n=2a ，由余弦定理可得：（2c ）2=m 2+n 2﹣2mncos60°，可得3mn=4b 2．已知=mnsin60°，解得b 2．又b 2=a 2﹣c 2，=，联立解出即可得出．（2）设直线AP 的方程为：y=kx +m ，A （x 1，y 1），P （x 2，y 2）．与椭圆方程联立化为：（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣4=0，=，再利用根与系数的关系可得m ，k 的关系，利用点到直线的距离公式可得点O 到直线AP 的距离．利用S △AOP =|AP |d ，及其S △APB =2S △AOP 即可得出．【解答】解：（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m +n=2a ，由余弦定理可得：（2c ）2=m 2+n 2﹣2mncos60°=（m +n ）2﹣3mn ， ∴3mn=4b 2．由题意可得： =mnsin60°=b 2，解得b 2=2．又b 2=a 2﹣c 2，=，联立解得a 2=4，c=．∴椭圆的标准方程为： +=1．（2）设直线AP 的方程为：y=kx +m ，A （x 1，y 1），P （x 2，y 2）．联立，化为：（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣4=0，△=8（4k 2﹣m 2+2）＞0．∴x 1+x 2=，x 1x 2=．∵=，∴y 1y 2=﹣x 1x 2=﹣，又y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=，∴﹣=，∴m2=2k2+1．∴S△AOP=|AP|d===，∴S△APB=2S△AOP=2．为定值．21．已知函数f（x）=x﹣ae x；（1）若函数g（x）=f（x）+f′（x）在点（0，g（0））处的切线方程为x+y+1=0，求实数a 的值；（2）当a＞0时，函数f（x）存在两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：lnx1﹣lnx2＜lna+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得g（x）的解析式，由切线的方程可得切线的斜率和切点，解方程可得a=1；（2）求得f（x）的单调区间和极值、最值，由题意可令最大值大于0，可得ae＜1，可得x1＜1＜ln＜x2，即有x2﹣x1＞ln﹣1，再由零点的定义，结合不等式的性质和指数函数的单调性，即可得证．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣ae x，∴g（x）=f（x）+f′（x）=x﹣2ae x+1，由切线的方程x+y+1=0，可得g（0）=1﹣2a=﹣1，∴a=1．（2）证明：当a＞0时，f′（x）=1﹣ae x，由f′（x）＞0，可得x＜﹣lna；由f′（x）＜0，可得x＞﹣lna．f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递增，在（﹣lna，+∞）单调递减，即有f（x）在x=﹣lna处取得极大值，且为最大值f（﹣lna）=﹣lna﹣1．由题意可知有两个零点，则f（﹣lna）=﹣lna﹣1＞0，即ae＜1，又∵f（1）=1﹣ae＞0，∴x1＜1＜ln＜x2，∴x2﹣x1＞ln﹣1，又∵x1=a，x2=a，∴==＜=e lnae=ae，∴lnx1﹣lnx2＜lna+1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由弦切角定理，得∠BAC=∠D．由同弧所对的圆周角，得∠BAC=∠E，所以∠D=∠E，最后由平行线的判定得AD∥EC；（2）在⊙O1中利用切割线定理，算出PB=3．再在⊙O2中由相交弦定理，得出PE=4，最后在⊙O2利用切割线定理，即可算出AD的长．【解答】解：（1）连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D．又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，可得AD∥EC；（2）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O2的割线，∴PA2=PB•PD，即62=PB（PB+9），解之得PB=3．又∵⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=PB•PE，∴6×2=3×PE，得PE=4．∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16=144，解得AD=12．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（φ为参数且0≤φ≤π）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为，展开可得：ρ（sinθ+cosθ）=a，利用互化公式可得可得直角坐标方程．由曲线C2的参数方程，利用平方关系：cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，注意y的取值范围．（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，数形结合可得：圆心（﹣1，﹣1）到直线的距离d=＜1，且a≥﹣1，解出即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为，展开可得：ρ（sinθ+cosθ）=a，可得直角坐标方程：x+y﹣a=0．曲线C2的参数方程为（φ为参数且0≤φ≤π），可得普通方程：（x+1）2+（y+1）2=1，（﹣1≤y≤0）．（2）当曲线C1和曲线C2有两个公共点时，圆心（﹣1，﹣1）到直线的距离d=＜1，且a≥﹣1，解得﹣1≤a＜﹣2．24．已知函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f （x）≥a﹣g（x）对∀x∈R恒成立．（1）求实数a的最大值m；（2）若正实数a，b，c满足a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】（1）由条件利用绝对值三角不等式求得实数a的最大值．（2）由条件利用二维形式的柯西不等式，求得a2+b2+c2的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且关于x的不等式2f（x）≥a﹣g（x）对∀x∈R恒成立，故2|x+sin2θ|≥a﹣2|x﹣cos2θ|恒成立，即2|x+sin2θ|+2|x﹣cos2θ|≥a 恒成立．∵2|x+sin2θ|+2|x﹣cos2θ|≥|2x+2sin2θ﹣（2x﹣2cos2θ）|=2，∴2≥a，即a≤2，∴a的最大值为m=2．（2）∵a+2b+3c=2m=4，∴16=（a+2b+3c）2≤（a2+b2+c2）•（12+22+32）=14•（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥=，即a2+b2+c2的最小值为．2016年9月20日。
南开中学高三数学模拟试卷(文科).doc
南开中学高三数学模拟试卷(文科)说明：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分, 考试时间120分钟.2.请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上. 参考公式：・如果事件久〃互斥，那么P(AU〃) = P(4)+P(B) •如果事件右B相互独立,那么関锥侧面积公式S= Tirl其屮厂为底血関半径，/为母线长第I卷(选择题共40分)一.选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.頊将等家填徐在登題卡上!)-3-1(1)i是虚数单位，复数一「=l + 2i-l-7i 1(A)l-3i (B) (C) -- + i (D) -1 + i5 5(2)已知集合S = [x\x2<2x]t集合T^Lllogj 则S^T =2(A) (0,1) (B) (1,2) (C) (0,1] (D) (0,2](3)已知a,b,c分别是\ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a = 2, b = g , B = 60"则c -(A) 5 (B) 77 (C) 2 (D) 1(4)已知直线厶：2x +紗-7 = 0,若过定点(0,2)与已知直线厶垂直的直线厶与x轴、)，轴正半轴所围成的三角形而积为6,则实数k值为3 2(A) -- (B)-2 32 4(C) -- (D)--（5）阅读如图给出的程序框图，运行相应的程序, 输出的结果S为（A） 1008 （B） 1007（C） -1007 （D） -3022（第5颗）（6）通过随机询问110名性别不同的人学牛是否爱好某项运动，得到如下的列联农:男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110〃(加一加)2 争 2 - 110X(40X30-20X20)2 〜(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‘心寸'K =6() X 5() X 6() X 5() 〜附表:P（K?汶）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）（A）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”（B）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”（C）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别育关”（0）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”（第7顾）(C)-I3(D)--2（8）己知函数/（x）是定义在［-1,1］上的奇函数，且/（1） = 1 ,当以引-1,1］, a+bHO时有/⑷+ /少）>0・若f（x）tn2- a+ b则实数〃7的取值范围是-2am +1 (m e R,/n h 0)对所有XG[-1 ,1] , ae[-\, 1J 恒成立,(A) (-oo,-2]U(2, + oo)(B) (一oc,-2]U[2, + oo)(C) (YO,—2]U(0,+8)(D) (YO,0)U[2,+ OO)第II卷（非选择题共110分）二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上!）y >0（9）设变量兀,），满足约束条件< % +1 > 0 ,则z = 2x+ y的最大值为________x+y-3<Q分别为A"两点，以4B为直径的圆恰好过双曲线右焦点场，则双曲线的离心率为____________（11）将一个圆柱体挖掉一个圆锥后，所得几何体的（12）如图，已知是圆的-条直径，点C是圆上-点满足"=»,43为圆的切线，C为切点，过点B作切线CZ）的垂线BF,交圆于点E-则线段EF的长为___________ ・（10）已知过双曲线与0~9_21 =1（G > 0』> 0）左焦点F\且垂直于A-轴的直线交双曲线两渐近线三视图如图所示, 则该几何体的萄輻积为___________（第11题）（第12题）I m(13)已知不等式(x + 2y)(—+ —)216对任意止实数x,y恒成立，则止实数血的最小值兀 >?为____ .(14)已知: “ 14一入IW 6 ”，g: "I X-IIW Q”(awR,a>0),若非“是非q的必要不充分条件，则实数。
重庆南开中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题(解析版)
重庆南开中学校高2026级数学测试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，1sin 4B =，则b =（ ）A.B.12C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】直接利用正弦定理，结合题中所给的条件，求得结果. 【详解】根据正弦定理可得sin sin a bA B=， 即11124b=，解得12b =， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用正弦定理解三角形，属于基础题目. 2.已知向量1(2BA =,1),2BC 则∠ABC =A. 30B. 45C. 60D. 120【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意，得cos BA BC ABC BA BC⋅∠==，所以30ABC ∠=°，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos a b a b θ⋅＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤ ；（2）由向量的数量积的性质知|a ，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3. 下列各式中不能．．化简为PQ的是（ ） A.()AB PA BQ ++B. PA AB BQ +−C. QC QP CQ −+D. ()()AB PC BA QC ++−【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.【详解】对于A ：()AB PA BQ PA AB BQ PQ ++=++=，故A 不合题意；对于B ：PA AB BQ PB BQ +−=−，故B 满足题意；对于C ：QC QP CQ QC CQ PQ PQ +++=−=，故C 不合题意；对于D ：()()AB PC BA QC BA AB PC CQ PQ ++−=+++=，故D 不合题意.故选：B4. 已知单位向量a ，b满足0a b ⋅= ，若向量c =+ ，则sin ,a c ＝（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】计算出a c ⋅ ，及c ，从而利用向量余弦夹角公式计算得到cos ,a c =，再利用同角三角函数平方关系求出sin ,a c. 【详解】因为a ，b是单位向量，所以1ab == ，又因为0a b ⋅= ，c =，所以3c=，)2a c ab ⋅=⋅+=+⋅=，所以cos ,a c a c a c⋅==⋅因为[],0,πa c ∈，所以sin ,a c 故选：B ．5. 若平面向量a ，b满足2a b a b ==⋅= ，则对于任意实数λ，()1a b λλ+− 的最小值是（ ）A.B.C. 2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】设向量,a b夹角为θ，设()a b + 与(1)a b λλ+− 的夹角为γ，利用1cos2ab a b θ==和()(1)46a b a b a b λλ +⋅+−=+⋅= ，得到(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+−=，进而得到()1+−λλa b 的最小值【详解】由题意得，设向量,a b夹角为θ，则1cos2ab a b θ==， ()(1)46a b a b a b λλ +⋅+−=+⋅= ，设()a b + 与(1)a b λλ+−的夹角为γ， ∴(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+−= ，222212a b a b a b +=++⋅=，∴(1)cos a b λλγ+− ，0,2πγ∈，(1)a b λλ+−≥ 故选：A【点睛】关键点睛：解题关键在于利用1cos2ab a b θ==， 得到()(1)46a b a b a b λλ +⋅+−=+⋅= ，关键点在于根据()a b + 与(1)a b λλ+−的夹角γ，得出()1+−λλa b 的最小值，难度属于中档题6. 如图，在平行四边形ABCD 中，12DE EC =，F 为BC 的中点，G 为EF 上的一点，且79AG AB mAD =+ ，则实数m 的值为A.23B.13C. 13−D. 23−【答案】A 【解析】 【分析】可根据条件得出11,32DE AB BF AD ==，并可设(1)AG AE AF λλ=+−，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出21(1)()322AG AB AD λλ=−++ ，从而根据平面向量基本定理即可得出27139122m λλ −= =+，解出m 即可． 【详解】解：12DE EC =，F 为BC 的中点， 1,3DE AB =∴ 12BF AD = ，设(1)AG AE AF λλ=+−()(1)()AD DE AB BF λλ++−+ 11(1)32AD AB AB AD λλ ++−+211322AB AD λλ =−++，又79AG AB mAD =+ ，27139122m λλ −= ∴ =+，解得23m =.故选：A.【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于中档题．7. ABC ∆所在平面内一点P 满足22sin cos CP CA CB θθ=⋅+⋅ ，若2PA BP = ，则cos 2θ=（ ）A.B. C.13D. 13−【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，用,CA CB 作为基底表示出CP.即可求得22sin ,cos θθ，由余弦二倍角公式即可求得cos 2θ.【详解】ABC ∆所在平面内一点P ，2PA BP =所以CP CB BP =+13CB BA =+()13CB CA CB =+−2133CB CA +=因为22sin cos CP CA CB θθ=⋅+⋅所以2212sin ,cos 33θθ== 由余弦二倍角公式可得cos 2θ=22211cos sin 333θθ−=−= 故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，用基底表示向量形式，余弦二倍角公式的简单应用，属于基础题.8. 已知函数()22sin cos 4cos 1f x x x x =+−，若实数a 、b 、c 使得()()3af x bf x c −+=对任意的实数x 恒成立，则2cos a b c +−的值为（ ）A.12B.32C. 2D.52【答案】B 【解析】【分析】设()()21f x x ϕ=++，得到()()221f x c x c ϕ+=+++，根据题意转化为)()()()cos 2sin 2sin 2cos 230a b c x c x a b ϕϕ−+++−−=，由此得出方程组cos 20sin 2030a b c b c a b −== −−=①②③，分0b =和sin 20c =，两种情况讨论，即可求解. 【详解】设()()22sin cos 4cos 1sin 22cos 2121f x x x x x x x ϕ=+−=++=++，可得()()221f x c x c ϕ+=+++，其中02πϕ<<，且tan 2ϕ=，因为实数,,a b c 使得()()3af x bf x c −+=对任意的实数x 恒成立，即()()sin 2sin 223x x c a b ϕϕ+−+++−=恒成立，即()()()sin 2sin 2230x x c a b ϕϕ++++−−=恒成立，)()()()cos 2sin 2sin 2cos 230a b c x c x a b ϕϕ−+++−−=由上式对任意x ∈R 恒成立，故必有cos 20sin 2030a b c b c a b −== −−=①②③， 若0b =，则由式①知0a =，显然不满足式③，所以0b ≠， 所以，由式②知sin 20c =，则cos 21c =±， 当cos 21c =时，则式①，③矛盾.所以cos 21c =−，由式①，③知32a b =−=，所以32cos 2a b c +−=. 故选：B.【点睛】知识方法：有关三角函数综合问题的求解策略：1、根据题意问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 已知a 、b 、c均为非零向量，下列命题错误的是（ ）A. R λ∃∈，()a b a b λ+=⋅B. ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 可能成立 C. 若a b b c ⋅=⋅，则a c =D. 若1a b ⋅=，则1a = 或1b =【答案】ACD 【解析】【分析】利用平面向量积的定义可判断A 选项；利用特例法可判断BCD 选项.【详解】()+a b λ 仍是向量，a b ⋅不是向量，A 错；不妨取()1,1a =，()2,2b = ，()3,3c = ，则()()()43,312,12a b c ⋅⋅== ，()()1212,12a b c a ⋅⋅==，此时()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，B 对；若()1,0b = ，()3,2a = ，()3,3c = ，则3a b b c ⋅=⋅= ，但a c ≠，C 错；若()2,1a = ，()1,1b=− ，则1a b ⋅=，但1a > ，1b > ，D 错.故选：ACD. 10. 若直线()00x ky k +=≠与函数()()()22112sin 21xx x f x −−=+图象交于不同的两点A ，B ，已知点()9,3C ，O 为坐标原点，点(),D m n 满足DA DB CD +=，则下列结论正确的是（ ）A. ()()11f x f x +=−−B. 3CO OD =C. 3n m =D. 80CA CB DA DB ⋅−⋅=【答案】CD 【解析】【分析】首先判断()f x 的奇偶性，即可判断A ，从而得到A 、B 两点关于原点对称，再根据平面向量的坐标运算求出m 、n ，即可判断B 、C ，设()00,A x y ()00x ≠，则()00,B x y −−，根据数量积的坐标运算判断D.【详解】对A ，因为()()()()22112sin 21cos 22121xxxxx x f x −−−==++定义域为R ，则()()()1121cos 22121x x x f x ++−++=+，()()()()()()111121cos 2221cos 22112121xx xx x x f x f x −−+−−+−−−−+−−==−=−+++，故A 错误；对B ，由()()110f x f x ++−−=，所以()()0f x f x +−=，所以()f x 为奇函数， 又直线()00x ky k +=≠与函数()f x 图象交于不同的两点A ，B ， 则A 、B 两点关于原点对称，且A 、B 的中点为坐标原点O ，所以()22,2DA DB DO m n +==−− ，又()9,3CD m n =−− ，DA DB CD += ， 所以2923m m n n −=− −=−，解得31m n ==，所以()3,1D ，则()3,1OD = ，又()9,3CO =−− ，所以3CO OD =−，故B 错误；对C ，又133n m ==，故C 正确；对D ，不妨设()00,A x y ()00x ≠，则()00,B x y −−，所以()009,3CA x y =−− ，()009,3CB x y =−−−− ， ()003,1DA x y =−− ，()03,1CB x y =−−−− ，所以CA CB DA DB ⋅−⋅()()()()()()()()0000000099333311x x y y x x y y −−−+−−−−−−−−−−−222200008199180x y x y =−+−−+−+=，故D 正确.故选：CD11. 已知()()20f x ax bx c a ++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题正确的是（ ）A. 方程()f f x x = 也一定没有实数根B. 若0a >，则不等式()f f x x > 对一切实数都成立C. 若a<0，则必存在实数0x ，使()00f f x x > 成立D. 若0a b c ++=，则不等式()f f x x < 对一切实数都成立 【答案】ABD【解析】【分析】依题意可得函数()f x 的图象与直线y x =没有交点，所以()(0)f x x a >>或()(0)f x x a <<恒成立，从而得到()()f f x f x x >> 或()()f f x f x x << 恒成立，然后再逐一判断即可得出答案. 【详解】因为方程()f x x =无实数根，即函数()f x 的图象与直线y x =没有交点， 所以()(0)f x x a >>或()(0)f x x a <<恒成立.因为()()f f x f x x >> 或()()f f x f x x << 恒成立， 所以()f f x x = 没有实数根，故A 正确；若0a >，则不等式()()f f x f x x >> 对一切实数x 都成立，故B 正确； 若a<0，则不等式()f f x x < 对一切实数x 都成立， 所以不存在实数0x ，使()00f f x x > ，故C 错误；若0a b c ++=，则()101f =< ，可得a<0 ，因此不等式()f f x x < 对一切实数都成立，故D 正确； 故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量a ，b 满足4a = ，()1,2b = ，a 与b 的夹角为π3，则a 在b 上的投影向量为_____（用坐标表示）．【答案】 【解析】【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量是)π1cos 41,232b a b ⋅⋅=⋅=，故答案为：. 13. 如图，在ABC 和AEF △中，B 是EF 的中点，2AB EF ==，3CACB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于______.【答案】13【解析】【分析】由题设得27AB AB AC BE AB C BF A +=+⋅+⋅⋅，由AC AB BC −=求AC AB ⋅，又()AB BE AB BF ⋅=⋅− ，即可得112EF BC ⋅=，进而求EF 与BC 的夹角的余弦值. 【详解】由图知： AE AB BE =+ ，AF AB BF =+，∴2()()7AB AE AC AF AB AB BE AB B AC A F BE AB B B A F B AC AC ⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅++++=⋅⋅，又2222()29AC AB AC AC AB AB BC −=−⋅+== ，且3CA =，2AB =，∴2AC AB ⋅=，∴1AB A F C BE B =⋅+⋅，而()AB BE AB BF ⋅=⋅− ，即1()12BF AC AB EF BC ⋅−=⋅= ， 又2EF =，3CB =∴1cos ,3EF BC <>= .故答案为：13. 【点睛】关键点点睛：根据几何图形，结合向量加减法的几何应用及数量积的运算律，得到1()12BE BF BF AC AB AB A E C F BC =⋅−=⋅=⋅+⋅，进而求向量夹角余弦值.14. 已知平面向量1e ，2e ，3e ，p ，满足1231e e e === ，120e e ⋅= ，1p ≤ ，则()()12p e p e −⋅−+ ()()()()2331p e p e p e p e −⋅−+−⋅−的最大值为______.【答案】5+【解析】【分析】先将所求向量式转化变形，参变向量分离，再由变形向量式的几何意义判断最值状态，最后坐标运算求解最值.【详解】设()()()()()()122331M p e p e p e p e p e p e =−⋅−+−⋅−+−⋅−，则()()()()21223311231233M p e e p e e p e e p e e e e e e =−+⋅++⋅++⋅+ ⋅+⋅+⋅()()212312323132e e e e e p e e e p e ⋅+⋅+=−++⋅+⋅()()22123123123231333e e e e e e e e e e p e e ++ ++=−−+⋅+⋅+⋅()()23222212312311231231232333e e e e e e e e e e e e e e e e e e p ⋅+⋅++++ ++=−−+ ⋅⋅+⋅+⋅21213132323133e e e e e e e e e p ++=−+− ⋅+⋅+⋅设(,)OP p x y ==，120e e ⋅= ，不妨设11(1,0)OE e == ，22(0,1)OE e == ， 33(cos ,sin )OE e θθ== ，[0,2)θπ∈，1233e e e OG ++= ，即G 为123E E E 的重心. 则221233e e e p PG ++−=， 点P 位于圆上或圆内，故当P 在射线GO 与圆周交点时，2PG 最大，即()21OG +最大时.()22123312(1cos ,1sin )sin cos 311311333e e e e M e OG e θθθθ⋅+ +++∴≤++−=++− +⋅ ⋅2sin cos 3113θθ+ =++−由sin cos θθ≤+≤得，23115M ≤+−=+. 当且仅当4πθ=时，M取到最大值5+.故答案为：5+.【点睛】向量式的最值问题求解，要重视三个方面的分析：一是其本质上与函数的最值求解一致，变形时要搞清参变向量，从而把握变形方向；二是要重视向量本身数形兼具的特点，利用几何意义求解最值；三是坐标应用，向量坐标化将问题转化为函数最值问题求解.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 如图，在△OAB 中，G 为中线OM 上一点，且2OG GM =，过点G 的直线与边OA ，OB 分别交于点P ，Q .（1）用向量OA ，OB 表示OG；（2）设向量43OA OP = ，OB nOQ =，求n 的值.【答案】（1）1133OA OB +；（2）53【解析】【分析】（1）根据23OG OM = ，结合向量线性运算，再用OA ，OB表达OM 即可；（2）用OP ，OQ 表达OG，结合,,P G Q 三点共线即可求得n .【小问1详解】∵G 中线OM 上一点，且2OG GM =，.的为∴()22213333OG OM OA AM OA AB ==×+=+()21113333OA OB OAOA OB =+×−=+； 小问2详解】∵43OA OP = ，OB nOQ = ，1133OG OA OB =+， ∴111443333393n n OG OA OB OP OQ OP OQ =+=×+=+，又G ，P ，Q 三点共线， ∴4193n +=，解得53n =，故n 的值为53. 16. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+.（1）求ACCB的值； （2）已知(1,cos )A x ，(1cos ,cos )B x x +，[,0]3x π∈−，若函数2()(2)3f x OA OC m AB =⋅−+最大值为3，求实数m 的值. 【答案】（1）2；（2）12−. 【解析】【分析】(1) 化简得2BC CA =，即得AC CB的值；（2）先求出2()cos 2cos 1f x x m x =−+，再换元利用二次函数的图像和性质求实数m 的值.【详解】（1）由题意知，32OC OA OB =+，即2()OC OB OA OC −=− ，所以2BC CA =，即2AC CB=. （2）易知(1,cos )OA x = ，(1cos ,cos )OB x x =+ ，(cos ,0)AB x =，则2(1cos ,cos )3OCx x =+ ，cos AB x = ， 所以2()cos 2cos 1f x x m x =−+， 令cos t x =，则2()21g t t mt =−+，1[,1]2t ∈，其对称轴方程是t m =. 当34m ≤时，()g t 的最大值为(1)1213g m =−+=，解得12m =−；【的当34m >时，()g t 的最大值为11()1324g m =−+=，解得74m =−（舍去）. 综上可知，实数m 的值为12−.【点睛】本题主要考查向量的线性运算和平面向量的数量积，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17. 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，60ABC ∠= ，E 是AD 的中点.（1）记BD m = ，BA n =且228m n −=，求m ，n 值；（2）记()12BC AD λλ=<< ，F 是线段CD 上一动点，且CD CF λ=，求22BE BF λ⋅− 的取值范围.【答案】（1）2n =，m =（2）15,2 −【解析】【分析】（1）由BD BA AD =+，将两边平方，结合数量积的运算律及定义得到方程，解得即可； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出数量积，再根据对勾函数的性质计算可得. 【小问1详解】依题意BD BA AD =+，所以()22222BD BA ADBA BA AD AD =+=+⋅+，即2222cos 60BD BA BA AD AD =+⋅°+ ，即2224m n n =++，又228m n −=，解得2n =，m =； 【小问2详解】过点A 作AO BC ⊥，如图建立平面直角坐标系，因为()12BC AD λλ=<<，2AD =， 所以()1,0B λ−，()1,0C λ+，)()1A λ−，)()1E λ−，)()1D λ−，所以)()1BEλλ=−，)()11CD λλ=−−，()2,0BC λ=，因为CD CF λ=，所以1CF CD λ=所以()21122,0BF BC CF λλλλλλ −−+=+=+= ，所以2221222BE BF λλλλ⋅−+=−−()2313125λλλλλ−=−+=+−，令()32f x x x=+，()1,2x ∈， 设()12,1,2x x ∈且12x x <，则()()()121212121212233322x x f x f x x x x x x x x x −−=+−+=−，当12,x x ∈ 时，12312x x <<，则12230x x −<，又120x x −<， 所以()()120f x f x −>；当12,2x x ∈时，12342x x <<，则12230x x −>，又120x x −<， 所以()()120f x f x −<；所以()f x在上单调递减，在上单调递增，又()15f =，()1122f =，f =1152<<， 所以()112f x∈，所以31255,2λλ+−∈−，即22BE BF λ⋅−的取值范围为15,2 − .18. 如图，A ､B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），且AOB θ∠=（θ为锐角）.点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M .（1）求OA AB ⋅（结果用θ表示）； （2）若60θ=①求CA CB ⋅的取值范围：②设(01)OM tOB t <<=，记()COMBMAS f t S = ，求函数()f t 的值域. 【答案】（1）22sin 2OA AB θ⋅=− （2）①[]0,3；②()0,2 【解析】【分析】（1）根据数量积的定义以及几何意义结合图形分析运算； （2）①根据数量积结合三角函数运算求解；②结合图形分析可得⋅=⋅COMBMAS OM CMS MB AM，根据向量的相关知识运算整理，再结合函数单调性与最值，运算求解.【小问1详解】2()1cos 12sin 2OA AB OA OB OA OA OB θθ⋅=⋅−=⋅−=−=−【小问2详解】①()()2⋅=−⋅−=⋅−⋅−⋅+ CA CB OA OC OB OC OA OB OA OC OC OB OC .设BOC α∠=.由题意得2π0,3α∈，则2πc 1,=os cos ,3,12αα +⋅= ⋅⋅==OA OB OA OC OC OB OC所以3π31cos cos cos cos 2322ααααα⋅=−+−=−+−CA CB33313πcos sin .222226ααααα=−+=−−=+ 因为2π0,3α∈，则ππ5π,666α +∈所以πcos 6α+∈ ，则[]0,3CA CB ⋅∈ ； （2）设(01)AM AC λλ=<<，则()1OM OA AM OA AC OA OC tOB λλλ=+=+=−+=， 所以1t OC OB OA λλλ−=− ，由1OC = 得11t OB OA λλλ−−=， 即221121OA t t OB λλλλλλ−−+−×××⋅=，整理得212t t t λ−+=−， 所以22111CM t AM t t λλ−−==−+， 所以22221111COM BMA OM CM S t t t tS t t t t t MB AM ⋅−+==×=−−+−+⋅. 即()()2222221(01),1111t t t t t f t t f t t t t t t t ++−=<<==+−+−+−+.()22421(11),11,311122aat a a g a a a a −=−<<=+=++++ −+令()12,1,1∀∈−a a ，令12<a a()()()()()()1212121222221212434411=,3333−− −=+−+ ++++a a a a a a g a g a a a a a ∵()()22121212330,0,30++>−<−>a a a a a a ，则()()120g a g a −<，即()()12g a g a <∴()2413=++ag a a 在()1,1−上单调递增，则()()0,2∈g a 所以函数()22(01)1t tf t t t t +=<<−+值域是()0,2.19. 如图所示，ABC 为等边三角形，AB =I 为ABC 的内心，点P 在以I 为圆心，1为半径的圆上运动.（1）求出()()()222PA PB PC ++ 的值.（2）求PA PB ⋅的范围.（3）若()0,,xPA yPB z C x y z P ∈++=R ，当x y最大时，求zx y +的值.【答案】（1）51 （2）[]11,3−− （3）35【解析】【分析】（1）以I 为原点，IA 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示，依题意点P 在圆221x y +=上，设()cos ,sin P θθ，即可表示PA ，PB，PC ，根据平面向量模的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得；（2）由（1）知π4sin 73PA PB θ⋅=−−−，根据正弦函数的性质计算可得； （3）根据平面向量线性运算的坐标表示得到cos 422sin x y z x y z θθ = −− = ++，再根据同角三角函数的基本关系，得到2225556660x y z xy xz yz ++−−−=，又0y ≠，两边同除2y ，令x m y =，zn y=，将原式化为()225665650n m n m m −++−+=，再根据0∆≥求出m 的取值范围，即可得解；【小问1详解】以I 为原点，IA 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示． 由正弦定理得ABC 外接圆半径142R ==，则()0,4A，进而可得()2B −−，()2C −．因为点P 在以I 为圆心，1为半径的圆上运动，故设()cos ,sin P θθ，则()cos ,4sin PA θθ=−−，()cos ,2sin PB θθ=−−−−，()cos ,2sin PCθθ=−−− ，所以()()()222PA PB PC ++()()()()()222222cos 4sin cos 2sin cos 2sin θθθθθθ+−++++−++()223cos sin 4851θθ++=． 【小问2详解】由（1）知π2sin 74sin 73PA PB θθθ⋅−−=−−−，又因为[]πsin 1,13θ −∈−，所以π114sin 733θ−≤−−−≤−， 即[]11,3PA PB ⋅∈−−.【小问3详解】因为0xPA yPB zPC =++)()()()cos ,422sin z y x y z x y z x y z θθ−−++−−−++，所以cos 422sin x y z x y z θθ =−− = ++， 代入22sin cos 1θθ+=整理得2225556660x y z xy xz yz ++−−−=，(),,x y z ∈R ， 显然0y ≠，两边同时除以2y ，得222225556660x z x xz zy y y y y++−−−=， 令x m y =，zn y=，则225556660m n m mn n ++−−−=， 即()225665650n m n m m −++−+=， 所以()()22Δ66455650m m m =+−××−+≥，即2310m m −+≤，m ≤≤，所以x y （即m． 此时Δ0=，所以335m n +=， 所以335m z y +=，x my =，所以33355m yz x ymy y +==++. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，将问题转化为三角函数及不等式问题.。
重庆南开中学2016高三下二诊模拟试题(文)
B、 11、在三棱锥 P ABC 中， AB BC , AB BC 2, PA PC 2 ， AC 中点为 M ， cos PMB 此三棱锥的外接球的表面积为（ A、 ） C、 6 D、 6
3 ，则 3
3 2
B、 2
12、已知函数 f x 2016 x log 2016 集为（ ）
A、
3 4
B、
k=1,b=0
2 a k ( )k 3
）
b =a k=k+1
重庆名校 资
b 1? a
输出 b
源库
7 、将偶函数 g x 的图象向右平移
个单位，得到函数 f x 的图像，若 6
）
f x A sin x a 0, 0 ，则 的值可以为（
19、如图：将直角三角形 PAO ，绕直角边 PO 旋转构成圆锥， ABCD 是 O 的内接矩形， M 为是母线 PA 的中点， PA 2 AO 。 （1）求证： PC // 面 MBD ； （2）当 AM CD 2 时，求点 B 到平面 MCD 的距离。
20、已知抛物线 E : y 2 2 px p 0 的准线与 x 轴交于 M ，过点 M 作 C : x 2 y 2 1 的两条切线，切
f x a2 x2
的恒小于 1。若存在，求出 a 的范围；若不存在，说明理由。
22、如图：已知 O 是 ABC 的外接圆， AB BC ， AH 是BC 边上的高，延长交 O 于点 D ， AE 是 O 的 直径。 （1）求证： AE BH BD AB ； （2）过点 C 作 O 的切线，交 BA 延长线于点 F ，若 AF 2 ， CF 4 ， 求 AC 的长。
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重庆市南开中学2016-2017学年高一下学期3月月考试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）.1．下列向量中不是单位向量的是（ ） A ．（﹣1，0） B ．（1，1） C ．（cos37°，sin37°） D ．2．已知向量=（1，2），=（﹣4，m ），若2+与垂直，则m=（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．﹣8 D ．8 3．数列{a n }：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（ ）A ．a n =（﹣1）n +1（n ∈N +） B ．a n =（﹣1）n ﹣1（n ∈N +）C ．a n =（﹣1）n +1（n ∈N +）D ．a n =（﹣1）n ﹣1（n ∈N +）4．在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知等差数列{a n }中，a 5+a 12=16，a 7=1，则a 10的值是（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．646．在△ABC 中，若bcosC +ccosB=asinA ，则此三角形为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．△ABC 中，a ．b ．c 分别为∠A ．∠B ．∠C 的对边，如果a ．b ．c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b 等于（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．（﹣，+∞） B ．（0，+∞） C ．[﹣2，+∞） D ．（﹣3，+∞）9．下列结论正确的个数是（ ） ①若，且与夹角为锐角，则；②点O 是三角形ABC 所在平面内一点，且满足，则点O 是三角形ABC 的内心； ③若△ABC 中，，则△ABC 是钝角三角形； ④若△ABC 中，，则△ABC 是正三角形． A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．△ABC中∠A=90°，AB=2，AC=3，设P、Q满足，若，则λ=（）A．B．C．D．211．△ABC的外接圆半径为1，圆心点为O，，则=（）A．3 B．2 C．1 D．012．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足．若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（）A．B．C．3 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）13．已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为______．14．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，角B是角A和角C的等差中项，则sinA=______．15．已知向量，的夹角为，=（﹣1，1），||=2，则|+2|=______．16．D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，则=______．三、解答题（本大题共6小题，17，18，19，20，21题每题12分，22题10分，23题为附加题15分.）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，a4=4（1）求a n；（2）求S n的最大值．18．已知平面上三个向量，，，其中=（1，2）．（1）若||=3，且∥，求的坐标；（2）若||=3，且（4﹣）⊥（2+），求与夹角θ的余弦值．19．设△ABC的三个内角A，B，C，向量=（2cosA，sinA），=（cosB，﹣2sinB），且•=1 （1）求角C的大小：（2）若△ABC的三边长构成公差为4的等差数列，求△ABC的面积．20．△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，A、B、C成等差数列，且．（1）求ac的值；（2）若sinA、sinB、sinC也成等差数列，试判断△ABC的形状，并说明理由．21．如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．（1）若C=，求cosA；（2）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的取值范围．22．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且（a﹣ccosB）=bsinC（1）求角C；（2）若△ABC的面积S=，a+b=4，求sinAsinB及cosAcosB的值．附加题23．点P为△ABC平面上一点，有如下三个结论：②若++=，则点P为△ABC的______；②若sinA•+sinB+sinC•=，则点P为△ABC的______；③若sin2A•+sin2B•+sin2C•=，则点P为△ABC的______．回答以下两个小问：（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上．A．重心B．外心C．内心D．重心（2）请你证明结论②重庆市南开中学2016-2017学年高一下学期3月月考试卷（文科数学） 参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）.1．下列向量中不是单位向量的是（ ） A ．（﹣1，0） B ．（1，1） C ．（cos37°，sin37°） D ．【考点】单位向量．【分析】根据向量的模长公式进行计算即可． 【解答】解：A ．||=1，是单位向量． B ．||=≠1，不是单位向量．C ．||==1，是单位向量．D ．||=，则是单位向量．故选：B2．已知向量=（1，2），=（﹣4，m ），若2+与垂直，则m=（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．﹣8 D ．8 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出（）的坐标，根据（）⊥得出（）•=0，列方程解出m ．【解答】解： =（﹣2，4+m ），∵（）⊥，∴（）•=0， 即﹣2+2（4+m ）=0， 解得m=﹣3． 故选：A ．3．数列{a n }：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（ ）A ．a n =（﹣1）n +1（n ∈N +） B ．a n =（﹣1）n ﹣1（n ∈N +）C ．a n =（﹣1）n +1（n ∈N +）D ．a n =（﹣1）n ﹣1（n ∈N +）【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，即可得出结论．【解答】解：观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，故选：D．4．在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则=（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】在三角形中以两边为向量，求两向量的数量积，夹角不知，所以要先用余弦定理求三角形一个内角的余弦，再用数量积的定义来求出结果．【解答】解：∵由余弦定理得cosA=，∴，∴，故选D5．已知等差数列{a n}中，a5+a12=16，a7=1，则a10的值是（）A．15 B．30 C．31 D．64【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为的，∵a5+a12=16，a7=1，∴，解得a1=﹣27，d=．则a10=﹣27+9×=15．故选：A．6．在△ABC中，若bcosC+ccosB=asinA，则此三角形为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式整理后，求出sinA的值，进而求出A的度数，判断三角形形状即可．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=sin2A，整理得：sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，即A=，则此三角形为直角三角形．故选：C．7．△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式；三角形的面积公式．【分析】由题意可得2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2﹣2ac．①又△ABC的面积为，且∠B=30°，=acsinB=ac•sin30°=ac=，解得ac=6，由S△代入①式可得a2+c2=4b2﹣12，由余弦定理cosB====．解得b2=4+2，又∵b为边长，∴b=1+．故选：B8．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）【考点】数列的函数特性；函数恒成立问题．【分析】由{a n}是递增数列，得到a n＞a n，再由“a n=n2+λn恒成立”转化为“λ＞﹣2n﹣1对于+1n∈N*恒成立”求解．【解答】解：∵{a n}是递增数列，∴a n＞a n，+1∵a n=n2+λn恒成立即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，∴λ＞﹣3，故选D．9．下列结论正确的个数是（）①若，且与夹角为锐角，则；②点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的内心；③若△ABC中，，则△ABC是钝角三角形；④若△ABC中，，则△ABC是正三角形．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量的数量积大于0且不共线求得λ值判断①；把已知向量等式变形可得点O 是三角形ABC的垂心判断②；由，可得∠ABC为锐角，不一定有△ABC是钝角三角形判断③；把已知向量等式变形，可得△ABC三边相等判断④．【解答】解：①若，且与夹角为锐角，则，解得且λ≠﹣6．故①错误；②点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足，由，得，同理，，则点O是三角形ABC的垂心，故②错误；③若△ABC中，，可得∠ABC为锐角，不一定有△ABC是钝角三角形，故③错误；④若△ABC中，，由，得，可得AB=AC，同理BA=BC，则△ABC是正三角形，故④正确．∴正确结论的个数是1个．故选：B．10．△ABC中∠A=90°，AB=2，AC=3，设P、Q满足，若，则λ=（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件将直角三角形放在坐标系中，求出对应点的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解即可．【解答】解：将直角三角形放在坐标系中，则B（2，0），C（0，3），∵，∴（x，y）=λ（2，0）=（2λ，0），即P（2λ，0），∴（x，y）=（1﹣λ）（0，3）=（0，3﹣3λ），即Q（0，3﹣3λ），则=（﹣2，3﹣3λ），=（2λ，﹣3），∵•=（﹣2，3﹣3λ）•（2λ，﹣3）=1，则﹣4λ﹣3（3﹣3λ）=1，则﹣4λ﹣9+9λ=1，则5λ=10，λ=2，故选：D．11．△ABC的外接圆半径为1，圆心点为O，，则=（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据圆的性质和向量的平行四边形法则可求出||和向量，的夹角．结合向量数量积的定义进行求解即可．【解答】解：作直径AD，连结BD，CD．则2．∵2++=，∴四边形ABDC是平行四边形，∵AD是直径，∴∠ACD=90°．∴四边形ABDC是矩形，∵||=||=1，∴△ABO是等边三角形，∴∠ACB=∠AOB=30°，AC=．∴=||||cos30°==3．故选：A．12．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足．若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（）A．B．C．3 D．【考点】正弦定理．【分析】依题意，可求得△ABC为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得S OACB=2sin（θ﹣）+（0＜θ＜π），从而可求得平面四边形OACB面积的最大值．【解答】解：△ABC中，∵b=c，，∴sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC=sinA，∴A=C，又b=c，∴△ABC为等边三角形．∴S OACB=S△AOB +S△ABC=+=+（OA2+OB2﹣2OA•OB•cosθ）=sinθ﹣cosθ+=2sin（θ﹣）+．∵0＜θ＜π，∴﹣＜θ﹣＜，故当θ﹣=时，sin（θ﹣）取得最大值为1，故S OACB=的最大值为2+=，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）13．已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影．【解答】解：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为==2；故答案为：2．14．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，角B是角A和角C的等差中项，则sinA=．【考点】余弦定理．【分析】利用等差数列的性质及三角形内角和定理可得B的值，根据正弦定理即可得解sinA 的值．【解答】解：∵角B是角A和角C的等差中项，即2B=A+C，又A+B+C=π，∴解得B=，∵，在△ABC中，由正弦定理可得：sinA===．故答案为：．15．已知向量，的夹角为，=（﹣1，1），||=2，则|+2|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据数量积的应用，即可求出向量的长度．【解答】解：∵=（﹣1，1），∴||=，∵向量，的夹角为，∴•=||||cos=2=﹣2，则|+2|2=||2+4||2+4•=2+16﹣8=10，则|+2|=．故答案为：16．D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，则=3．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，列出方程组求出λ与μ的表达式，即可求出+的值．【解答】解：如图所示，∵=+，=+=λ，∴=（1﹣λ）；又E，D，F三点共线，∴存在实数k，使=k=k（﹣）=kμ﹣kλ；又=﹣2，∴==﹣；∴（1﹣λ）=（kμ﹣kλ）﹣（﹣），即（1﹣λ）=（kμ﹣）+（﹣kλ），∴，解得μ=，λ=；∴+=3（1﹣k）+3k=3．故答案为：3．故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，17，18，19，20，21题每题12分，22题10分，23题为附加题15分.）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，a4=4（1）求a n；（2）求S n的最大值．【考点】等差数列的前n项和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由a n≥0．解得n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=8，a4=4，∴，解得a1=10，d=﹣2．∴a n=10﹣2（n﹣1）=12﹣2n．（2）由a n=12﹣2n≥0．解得n≤6，∴当n=5或6时，S n取得最大值S6==30．18．已知平面上三个向量，，，其中=（1，2）．（1）若||=3，且∥，求的坐标；（2）若||=3，且（4﹣）⊥（2+），求与夹角θ的余弦值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1））根据∥，设=λ，利用||求出λ的值即可；（2）根据（4﹣）⊥（2+）数量积为0，求出•的值，再求与夹角θ的余弦值．【解答】解：（1））∵∥，设=λ，则=（λ，2λ），由||=3，得=3，解得λ=±3，∴=（3，6）或（﹣3，﹣6）；（2）∵||=，||=3，且（4﹣）⊥（2+），∴（4﹣）•（2+）=8+2•﹣=8×5+2•﹣45=0，∴•=，∴与夹角θ的余弦值为：cosθ===．19．设△ABC的三个内角A，B，C，向量=（2cosA，sinA），=（cosB，﹣2sinB），且•=1 （1）求角C的大小：（2）若△ABC的三边长构成公差为4的等差数列，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数结合三角形的内角和，求出角C 的大小：（2）三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC的三个内角A，B，C，向量=（2cosA，sinA），=（cosB，﹣2sinB），且•=1∴2cosAcosB﹣2sinBsinA=1，∴cos（A+B）=．即cosC=﹣，∴角C=：（2）设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．20．△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，A、B、C成等差数列，且．（1）求ac的值；（2）若sinA、sinB、sinC也成等差数列，试判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）由A、B、C成等差数列，利用等差数列的性质求出B的度数，已知等式利用平面向量的数量积运算法则计算，将cosB的值代入求出ac的值即可；（2）由sinA、sinB、sinC也成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再利用正弦定理与余弦定理化简得到结果，即可作出判断．【解答】解：（1）∵A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，∵A+B+C=π，∴B=，已知等式整理得：•=ac•cosB=ac=18，解得：ac=36①；（2）∵sinA、sinB、sinC也成等差数列，∴2sinB=sinA+sinC，在△ABC中，利用正弦定理化简得：2b=a+c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即（）2=a2+c2﹣36，整理得：a2+c2=72②，联立①②，解得：a=c=6，∵B=，∴△ABC为等边三角形．21．如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．（1）若C=，求cosA；（2）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）连接BD，在三角形BCD与三角形ABD中，分别利用余弦定理表示出BD2，将C的度数代入求出cosA的值即可；（2）利用三角形面积公式表示出S与T，进而表示出S2+T2，利用同角三角函数间的基本关系及二次函数性质求出范围即可．【解答】解：（1）连接BD，由余弦定理得：在△BCD中，BD2=BC2+CD2﹣2•BC•CDcosC=4﹣2cosC，在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=2﹣2cosA，∴4﹣2cosC=2﹣2cosA，即cosA=cosC﹣1，∵C=，∴cosA=﹣1；（2）∵S=BC•CD•sinC=sinC，T=AB•ADsinA=sinA，∴S2+T2=sin2C+sin2A=（1﹣cos2C）+（1﹣cos2A）=﹣cos2C+cosC+=﹣（cosC﹣）2+，由题意易知，C∈，∴cosC∈（0，），∴S2+T2∈（，]．22．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且（a﹣ccosB）=bsinC（1）求角C；（2）若△ABC的面积S=，a+b=4，求sinAsinB及cosAcosB的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化边为角，化简后可求；（2）由sinC=，得ab=，又a+b=4，运用余弦定理可求c，由正弦定理可得===4，由此可得sinAsinB=；cosAcosB==，配方代入数值可求；【解答】解：（1）（a﹣ccosB）=bsinC，由正弦定理，得（sinA﹣sinCcosB）=sinBsinC，sin（A+B）﹣sinCcosB=sinBsinC，即sinBcosC=sinBsinC，∴tanC=，则C=60°；（2）sinC=absin60°=，∴ab=，又a+b=4，∴由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=12，∴c=2，由正弦定理，得===4，∴a=4sinA，b=4sinB，∴sinAsinB===；可判断A、B均为锐角，∴cosAcosB=====，故sinAsinB=，cosAcosB=．附加题23．点P为△ABC平面上一点，有如下三个结论：②若++=，则点P为△ABC的重心；②若sinA•+sinB+sinC•=，则点P为△ABC的内心；③若sin2A•+sin2B•+sin2C•=，则点P为△ABC的外心．回答以下两个小问：（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上．A．重心B．外心C．内心D．重心（2）请你证明结论②【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）根据平面向量的线性运算性质，结合三角形的重心、内心和外心的几何性质，即可得出点P是三角形的四心中的哪一个；（2）根据正弦定理与平面向量的线性运算性质，结合三角形内心的几何性质，即可得出结论．【解答】解：（1）①当++=时，点P为△ABC的重心；②当sinA•+sinB+sinC•=时，点P为△ABC的内心；③当sin2A•+sin2B•+sin2C•=时，点P为△ABC的外心；故答案为：重心，内心，外心；（2）sinA•+sinB•+sinC•=0，由正弦定理得a•+b•+c•=0，即a•=﹣b•（+）﹣c•（+），所以（a+b+c）•=﹣b•﹣c•=﹣bc•﹣bc•，所以=﹣（+），所以点P在∠A平分线上，同理，可证P在∠B平分线上，即P为△ABC的内心．。