一元二次方程的解法(公式法)_同步练习
一元二次方程解法及其配套练习
一元二次方程解法及其配套练习一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 解法一 ——直接开方法 适用范围：可解部分一元二次方程例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到，求每年人均住房面积增长率．例3． 如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2BCAQP例4．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”． 由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=p ＜0则方程无解配套练习题一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13±3B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23x2 D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗能达到200m吗（2）鸡场的面积能达到210m2吗3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗解法二——配方法适用范围：可解全部一元二次方程引例：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2,场地的长和宽各是多少像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当例1．用配方法解下列关于x 的方程 （1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-12=0例2．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．BC A QP例3．解下列方程（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0例4．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6例5. 求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.配套练习题一、选择题1．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0C．（x-13）2=89D．（x-13）2=1092．下列方程中，一定有实数解的是（）． A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0 D．（12x-a）2=a3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1 B．2 C．-1 D．-24．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-35．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）． A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9二、填空题1．方程x2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x xx---的值为0，则x的值为________．3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．4．如果x2+4x-5=0，则x=_______．5．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．6．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y2-18y-4=0 （2）x22．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．3．如果x 2-4x+y 2+13=0，求（xy ）z的值．4．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元5．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x yx y -+的值．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多请你设计销售方案．解法三——公式法适用范围：可解全部一元二次方程首先，要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x方法二：配方法解一元二次方程1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2）（3） 4) (5)二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=- 39642=-x x 、4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得 ，移项 ，得 ，配方, 得 ，方程左边写成平方式 ，∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。
（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。
3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。
当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。
华师大版初中数学九年级上册《22.2 一元二次方程的解法》同步练习卷
华师大新版九年级上学期《22.2 一元二次方程的解法》2019年同步练习卷一．选择题（共27小题）1．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（）A．（x﹣4）2＝14B．（x﹣4）2＝18C．（x+4）2＝14D．（x+4）2＝18 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100C．2t2﹣7t﹣4＝0化为D．3x2﹣4x﹣2＝0化为3．一元二次方程﹣x2+8x+1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17B．（x+4）2＝15C．（x﹣4）2＝17D．（x﹣4）2＝15 4．用配方法解一元二次方程2x2﹣6x+1＝0时，此方程配方后可化为（）A．（x﹣）2＝B．2（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．2（x﹣）2＝5．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝6．在《九章算术》“勾股”章里有求方程x2+34x﹣71000＝0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是（）A．（x+17）2＝70711B．（x+17）2＝71289C．（x﹣17）2＝70711D．（x﹣17）2＝712897．解一元二次方程4x2﹣8x﹣1＝0，配方后正确的是（）A．（2x﹣2）2＝0B．4（x﹣1）2＝5C．（2x﹣2）2＝﹣3D．4（x﹣1）2＝2 8．用配方法解方程2x2+3x﹣1＝0，则方程可变形为（）A．（3x+1）2＝1B．C．D．9．利用配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0时，应先将其变形为（）A．B．C．D．10．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0 11．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）A．x＝1﹣B．x＝C．x＝﹣1+D．x＝12．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝13．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣14．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（）A．a＝﹣4，b＝5，c＝3B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3C．a＝4，b＝5，c＝3D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣315．一元二次方程x（x﹣5）＝0的解是（）A．0B．5C．0和5D．0和﹣516．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则该三角形第三边的长是（）A．6B．3或7C．3D．717．一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（）A．12B．13C．14D．12或1418．若等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根，则等腰三角形的周长为（）A．10B．11C．10或11D．以上都不对19．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＜1B．m＞1C．m＝1D．m≤120．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6B．m＜6C．m≤6且m≠2D．m＜6且m≠2 21．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜且k≠﹣2B．k C．k≤且k≠﹣2D．k22．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠1C．0≤k≤D．k≠123．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+3＝0有两个相等的实根，则k的值为（）A．B．C．2或3D．24．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3B．m＞3C．m≤3D．m≥325．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．26．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13B．12C．14D．1527．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2B．﹣1C．D．﹣2二．填空题（共11小题）28．方程（x﹣5）2＝4的解为．29．一元二次方程（2x+1）2﹣81＝0的根是．30．一元二次方程x2+2x﹣6＝0的根是．31．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝．32．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是．33．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，则的值是．34．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为．35．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a＝．36．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则＝．37．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）＝．38．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22＝4，则m的值为．三．解答题（共12小题）39．解方程：（3x+1）2＝6440．解方程：2x2+4x﹣1＝0（用配方法）．41．用公式法解方程：3x2﹣6x+1＝2．42．用公式法解方程：2x（x﹣3）＝x2﹣1．43．（1）计算：﹣32﹣（π﹣3.14）0+（tan30°）﹣1﹣2+（2）解方程：2x2﹣4x﹣1＝044．用配方法解方程3x2﹣5x﹣2＝0．45．（1）计算：（﹣2018）0+|3﹣tan60°|﹣（﹣）﹣2+（2）解方程：x2+4x﹣2＝046．（1）解方程x2+4x﹣2＝0（2）计算tan30°tan60°﹣sin260°+cos245°47．（1）计算：（﹣）（+）﹣2（2）解方程x2﹣4x+5＝048．（1）计算：（5﹣）÷×（2）解方程：x2+3＝2x．49．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2﹣3＝0（1）若此方程有实根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根．50．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．华师大新版九年级上学期《22.2 一元二次方程的解法》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（）A．（x﹣4）2＝14B．（x﹣4）2＝18C．（x+4）2＝14D．（x+4）2＝18【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣8x+2＝0，x2﹣8x＝﹣2，x2﹣8x+16＝﹣2+16，（x﹣4）2＝14，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100C．2t2﹣7t﹣4＝0化为D．3x2﹣4x﹣2＝0化为【分析】利用配方法对各选项进行判断．【解答】解：A、x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，所以A选项的配方错误；B、x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，所以B选项的配方正确；C、2t2﹣7t﹣4＝0先化为t2﹣t＝2，再化为，所以C选项的配方正确；D、3x2﹣4x﹣2＝0先化为x2﹣x＝，再化为（x﹣）2＝，所以D选项的配方正确．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．3．一元二次方程﹣x2+8x+1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17B．（x+4）2＝15C．（x﹣4）2＝17D．（x﹣4）2＝15【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．【解答】解：﹣x2+8x+1＝0，﹣x2+8x＝﹣1，x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝1+16，（x﹣4）2＝17，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．4．用配方法解一元二次方程2x2﹣6x+1＝0时，此方程配方后可化为（）A．（x﹣）2＝B．2（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．2（x﹣）2＝【分析】先移项，再将二次项系数化为1后，继而两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【解答】解：∵2x2﹣6x+1＝0，∴2x2﹣6x＝﹣1，则x2﹣3x＝﹣，∴x2﹣3x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．5．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：y2﹣y﹣＝0y2﹣y＝y2﹣y+＝1（y﹣）2＝1故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．6．在《九章算术》“勾股”章里有求方程x2+34x﹣71000＝0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是（）A．（x+17）2＝70711B．（x+17）2＝71289C．（x﹣17）2＝70711D．（x﹣17）2＝71289【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【解答】解：x2+34x﹣71000＝0x2+34x＝71000x2+34x+172＝71000+172（x+17）2＝71289故选：B．【点评】题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移动方程右边，二次项系数化为1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．7．解一元二次方程4x2﹣8x﹣1＝0，配方后正确的是（）A．（2x﹣2）2＝0B．4（x﹣1）2＝5C．（2x﹣2）2＝﹣3D．4（x﹣1）2＝2【分析】先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程的右边，进行把方程两边加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方的形式即可．【解答】解：4x2﹣8x﹣1＝0，4x2﹣8x＝1，4（x2﹣2x+1）＝5，4（x﹣1）2＝5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．8．用配方法解方程2x2+3x﹣1＝0，则方程可变形为（）A．（3x+1）2＝1B．C．D．【分析】先把常数项移到方程右侧，两边除以2，然后方程两边加上，再把方程左边写成完全平方的形式即可．【解答】解：x2+x＝，x2+x+＝+，（x+）2＝．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．9．利用配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0时，应先将其变形为（）A．B．C．D．【分析】将方程常数项移到右边，方程左右两边同时除以2，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，变形后即可得到正确答案．【解答】解：2x2﹣x﹣2＝0，移项得：2x2﹣x＝2，左右两边同时除以2得：x2﹣x＝1，配方得：x2﹣x+＝1+，即（x﹣）2＝，故选：B．【点评】考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．10．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意；B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意；C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意；D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．11．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）A．x＝1﹣B．x＝C．x＝﹣1+D．x＝【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．【解答】解：∵△＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根，即x＝．故选：D．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．12．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：﹣3x2+5x﹣1＝0，b2﹣4ac＝52﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝13，x＝＝，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．13．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣【分析】根据一元二次方程的定义来解答：二次项系数是a、一次项系数是b、常数项是c．【解答】解：由原方程，得5x2﹣6x，根据一元二次方程的定义，知二次项系数a＝5，一次项系数b＝﹣6，常数项c＝；故选：C．【点评】本题是一道易错题，学生在作答时往往把一次项系数﹣6误认为6，所以，在解答时要注意这一点．14．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（）A．a＝﹣4，b＝5，c＝3B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3C．a＝4，b＝5，c＝3D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．【解答】解：∵﹣4x2+3＝5x∴﹣4x2﹣5x+3＝0，或4x2+5x﹣3＝0∴a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3或a＝4，b＝5，c＝﹣3．故选：B．【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．15．一元二次方程x（x﹣5）＝0的解是（）A．0B．5C．0和5D．0和﹣5【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝0，x2＝5，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则该三角形第三边的长是（）A．6B．3或7C．3D．7【分析】把方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两数之积为0，两因式至少有一个为0，转化为两个一元一次方程，分别求出两方程的解即可得到原方程的解，进而得到三角形的第三边长．【解答】解：方程x2﹣10x+21＝0可化为：（x﹣3）（x﹣7）＝0，解得：x1＝3，x2＝7，∴三角形的第三边长为3或6，当第三边长为3时，由3+3＝6，得到三边不能构成三角形，舍去；所以第三边长为7，故选：D．【点评】此题考查了运用因式分解法解一元二次方程，以及三角形的三边关系，运用因式分解的方法解一元二次方程的前提必须是方程坐标利用因式分解的方法把和的形式化为积的形式，右边为0，此方法的理论依据为ab＝0，得到a＝0或b＝0，三角形的三边关系为：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，利用此性质把求出的方程的解x＝3舍去．17．一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（）A．12B．13C．14D．12或14【分析】先求出方程的解，再得出三角形的三边长，最后求出即可．【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，当三角形的三边为5，2，2时，2+2+＜5，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当三角形的三边为5，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为5+4+4＝13，故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．18．若等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根，则等腰三角形的周长为（）A．10B．11C．10或11D．以上都不对【分析】先利用因式分解的方法解方程得到x1＝3，x2＝4，根据题意讨论：当腰为3，底边为4时；当腰为4，底边为3时，然后分别计算出等腰三角形的周长．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣4＝0，∴x1＝3，x2＝4，当腰为3，底边为4时，等腰三角形的周长为3+3+4＝10；当腰为4，底边为3时，等腰三角形的周长为3+4+4＝11．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．19．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＜1B．m＞1C．m＝1D．m≤1【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＜0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＜0，∴m＞1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．20．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6B．m＜6C．m≤6且m≠2D．m＜6且m≠2【分析】当m﹣2＝0，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，列不等式即可得到结论．【解答】解：当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4（m﹣2）•1≥0，解得：m≤6，∴m的取值范围是m≤6且m≠2，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．21．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜且k≠﹣2B．k C．k≤且k≠﹣2D．k【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，求出即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，解得：k且k≠﹣2，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．22．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠1C．0≤k≤D．k≠1【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k﹣1≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，∴k﹣1≠0，即k≠1，△＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＝﹣12k+16，∵方程有两个不相等的实数解，∴△＞0，∴﹣12k+16＞0，∴k＜，∴k的取值范围是k＜且k≠1．故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义23．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+3＝0有两个相等的实根，则k的值为（）A．B．C．2或3D．【分析】把a＝2，b＝﹣k，c＝3代入△＝b2﹣4ac进行计算，然后根据方程有两个相等的实数根，可得△＝0，再计算出关于k的方程即可．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣k，c＝3，∴△＝b2﹣4ac＝k2﹣4×2×3＝k2﹣24，∵方程有两个相等的实数根，∴△＝0，∴k2﹣24＝0，解得k＝±2，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．24．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3B．m＞3C．m≤3D．m≥3【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根可得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m＞0，∴m＜3，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．25．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】根据根与系数的关系可得出α+β＝﹣、αβ＝﹣3，将其代入+＝中即可求出结论．【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3，∴+＝＝＝＝﹣．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．26．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13B．12C．14D．15【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2﹣5α﹣1＝0，即2α2＝5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β＝，αβ＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α为2x2﹣5x﹣1＝0的实数根，∴2α2﹣5α﹣1＝0，即2α2＝5α+1，∴2α2+3αβ+5β＝5α+1+3αβ+5β＝5（α+β）+3αβ+1，∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，∴α+β＝，αβ＝﹣，∴2α2+3αβ+5β＝5×+3×（﹣）+1＝12．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程解的定义．27．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2B．﹣1C．D．﹣2【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，利用通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，所以+＝＝＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．二．填空题（共11小题）28．方程（x﹣5）2＝4的解为x1＝7，x2＝3．【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（x﹣5）2＝4，开方得：x﹣5＝±2，解得：x1＝7，x2＝3，故答案为x1＝7，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．29．一元二次方程（2x+1）2﹣81＝0的根是x1＝4；x2＝﹣5．【分析】先变形为（2x+1）2＝81，再两边开方得到2x+1＝±9，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（2x+1）2＝81，2x+1＝±9，所以x1＝4，x2＝﹣5．故答案为x1＝4，x2＝﹣5．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．30．一元二次方程x2+2x﹣6＝0的根是x1＝，x2＝﹣3．【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，∵△＝8+24＝32，∴x＝，即x1＝，x2＝﹣3．故答案为：x1＝，x2＝﹣3．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．31．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝．【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝．x1x2＝﹣，∴x12+x22＝，故答案为：【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．32．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是3＜m≤5．【分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【解答】解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．33．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，则的值是6．【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2＝2、x1x2＝﹣1、＝2x1+1、＝2x2+1，将其代入＝中即可得出结论．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，＝2x1+1，＝2x2+1，∴＝+＝＝＝＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将代数式变形为是解题的关键．34．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为0．【分析】根据根与系数的关系得到得α+β＝3，再把原式变形得到a（α+β）﹣3α，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意得α+β＝3，αβ＝﹣4，所以原式＝a（α+β）﹣3α＝3α﹣3α＝0．故答案为0．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．35．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a＝．【分析】由两根关系，得根x1+x2＝5，x1•x2＝a，解方程得到x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，即可得到结论．【解答】解：由两根关系，得根x1+x2＝5，x1•x2＝a，由x12﹣x22＝10得（x1+x2）（x1﹣x2）＝10，若x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝25﹣4a＝4，∴a＝，故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．36．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则＝47．【分析】根据α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，得到α+β＝3，αβ＝1，根据完全平方公式得到α4+β4＝47，于是得到结论．【解答】解：方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5可化为x2﹣3x+1＝0，∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，∴α+β＝3，αβ＝1，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝7，α4+β4＝（α2+β2）2﹣2α2•β2＝47，∴＝＝47，故答案为：47．【点评】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对进行变形．37．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）＝3．【分析】由题意可知x22﹣3x2＝1，代入原式得到x1+x2，根据根与系数关系即可解决问题．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，∴x12﹣3x1﹣1＝0，x22﹣3x2﹣1＝0，x1+x2＝3，∴x22﹣3x2＝1，∴x1+x2（x22﹣3x2）＝x1+x2＝3，故答案为3．【点评】本题考查根与系数关系、一元二次方程根的定义，解题的关键是灵活运用根与系数的关系定理，属于中考常考题型．38．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22＝4，则m的值为﹣1或﹣3．【分析】利用根与系数的关系可以得到代数式，再把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解．【解答】解：∵这个方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1，而x12+x22＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4，∴（m+3）2﹣2m﹣2＝4，∴m2+6m+9﹣2m﹣6＝0，m2+4m+3＝0，∴m＝﹣1或﹣3，故答案为：﹣1或﹣3【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是利用根与系数的关系和完全平方公式将代数式变形分析．三．解答题（共12小题）39．解方程：（3x+1）2＝64【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．【解答】解：（3x+1）2＝64，则：（3x+1）2＝256，故3x+1＝±16，解得：x1＝﹣，x2＝5．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．40．解方程：2x2+4x﹣1＝0（用配方法）．【分析】先把方程的二次项系数化为1，再利用完全平方公式变形为（x+1）2＝，然后利用直接开平方法求解．【解答】解：x2+2x﹣＝0，x2+2x+1＝+1，（x+1）2＝x+1＝±，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．41．用公式法解方程：3x2﹣6x+1＝2．【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．【解答】解：3x2﹣6x﹣1＝0，△＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝48，x＝＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．42．用公式法解方程：2x（x﹣3）＝x2﹣1．【分析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程．【解答】解：方程整理为x2﹣6x+1＝0，△＝（﹣6）2﹣4×1＝32，x＝＝3±2，所以x1＝3+2，x2＝3﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．43．（1）计算：﹣32﹣（π﹣3.14）0+（tan30°）﹣1﹣2+（2）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式、负指数幂的性质化简，二次根式的混合运算，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．（2）根据配方法求解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣9﹣1+（）﹣1﹣++1＝﹣9+；（2）2x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查的是解一元二次方程，实数的运算，熟知二次根式的运算、数的开方及乘方法则、负整数指数幂的运算法则特殊角的三角函数值是解答此题的关键．44．用配方法解方程3x2﹣5x﹣2＝0．【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：3x2﹣5x﹣2＝0，3x2﹣5x＝2，x2﹣x＝，x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，x1＝﹣，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法等．45．（1）计算：（﹣2018）0+|3﹣tan60°|﹣（﹣）﹣2+（2）解方程：x2+4x﹣2＝0【分析】（1）先计算乘方、取绝对值符号、计算负整数指数幂、化简二次根式，再计算加减可得；（2）把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方，写成完全平方式，再开方可得．【解答】解：（1）原式＝1+3﹣﹣4+3＝2；（2）∵x2+4x﹣2＝0，∴x2+4x＝2，则x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6，∴x+2＝±，∴x＝﹣2±，即x1＝﹣2+、x2＝﹣2﹣．【点评】本题考查了配方法解方程和实数的混合运算．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．46．（1）解方程x2+4x﹣2＝0（2）计算tan30°tan60°﹣sin260°+cos245°【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案．（2）根据特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：（1）x2+4x+4＝6（x+2）2＝6x＝﹣2±（2）原式＝×﹣+＝1＝【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．47．（1）计算：（﹣）（+）﹣2（2）解方程x2﹣4x+5＝0【分析】（1）先算乘方和开方，再算乘法，最后算加减即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再判断即可．【解答】解：（1）原式＝5﹣3﹣4+1＝﹣1；（2）x2﹣4x+5＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣1＜0，所以此方程无解．【点评】本题考查了解一元二次方程、零指数幂、平方差公式、二次根式的混合运算，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能熟记公式是解（2）的关键．48．（1）计算：（5﹣）÷×（2）解方程：x2+3＝2x．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式．再把括号内合并后进行二次根式的乘除运算；（2）先把方程化为一般式，然后利用配方法解方程．【解答】解：（1）运算＝（10﹣3）÷×＝7÷×＝7＝14；（2）x2﹣2x+（）2＝0，（x﹣）2＝0，x﹣＝0，所以x1＝x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了二次根式的混合运算．49．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2﹣3＝0（1）若此方程有实根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根．【分析】（1）根据方程有实根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）得到m的最小整数，可得方程为x2+2x+1＝0，再解一元二次方程即可．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣4（2m+2）x+m2﹣3＝0有实根，∴△＝（2m+2）2﹣4（m2﹣3）＝8m+16≥0，∴m≥﹣2；（2）m满足条件的最小值为m＝﹣2，此时方程为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0时方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时方程没有实数根．50．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0，∴△＝[﹣（m+1）]2﹣4（3m﹣6）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式可求得x＝3或x＝m﹣2，若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，解得m＜2．综上可知，若方程有一个根是负数，m的取值范围为m＜2．【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是。
21.1一元二次方程的解法和练习题
21.1 一元二次方程的解法1. 一元二次方程的定义形如)0( 02≠=++a c bx ax 的方程叫做一元二次方程。
两个要点：一是未知数的最高次数为2，二是2次项的系数不为0，一定要同时满足！ 【例】方程2253)1(x x x =-+-是不是一元二次方程？解：原方程的完全平方展开，整理得04=-x ，所以原方程不是一元二次方程。
说明：判断一个方程是不是一元二次方程，就把它所有的项都移动到方程左边，然后整理合并到最简，再根据一元二次方程的两个要点去判断。
【例】方程053)()2(=+-++x x n m n 是关于x 的一元二次方程，求m 和n 的值。
解：因为x 的最高次数是2次，所以22=+n ，解得0=n ；又因为x 的2次项的系数不为0，所以0≠+n m ，即00≠+m ，解得0≠m 。
【练习1】1、下列哪些方程是一元二次方程？1）022=x2）765432x x +=-3）5122=-xx4）0152=++x x2、方程053)3()4(=+-++x x s t 是关于x 的一元二次方程，且6=-t x ，求s 和t 的值。
2. 直接开平方法直接开平方法的原理是，如果)0( ,2≥=a a x ，则a x ±=。
这正是平方根的定义！对于形如0)(2=++d c bx a 的关于x 的方程，解答步骤示例如下：【例】解方程：010)13(22=--x解： 351 513 513 5)13( 10)13(222±=±=±=-=-=-x x x x x 说明：注意这里的符号±，因为正数都有两个平方根！【练习2】 1、解下列方程0142=-x 2)3(2=-x ()512=-x ()162812=-x3. 因式分解法因式分解法的原理是，如果0))((=++c x b x a ，且0≠a ，则0=+b x 或0=+c x ，我们就解得b x -=或c x -=。
21.2.3 解一元二次方程-因式分解法同步练习(解析版)
21.2.2因式分解法同步练习一、单选题1、一元二次方程()x x 22x -=-的根是（ ）A. -1B. 2C. 1和2D. -1和22、已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x 2-5x +6=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）A. 11B. 12C. 11或12D. 153、关于x 的一元二次方程x 2-4x +3=0的解为（ ）A. x 1=-1，x 2=3B. x 1=1，x 2=-3C. x 1=1，x 2=3D. x 1=-1，x 2=-34、已知2340x x --=，则代数式24x x x --的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 13 D. 125、一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（ ）A. 16B. 12C. 14D. 12或166、若x ＝-2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax -a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ） A. -1或4 B. -1或-4 C. 1或-4 D. 1或47、已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A. -2 B. 3 C. -2或3 D. -2且38、已知x 、y 都是实数，且（x 2+y 2）（x 2+y 2+2）-3＝0，那么x 2+y 2的值是（ ）A. -3B. 1C. -3或1D. -1或39、若方程()()2310x x -+=，则31x +的值为（ ）A. 7B. 2C. 0D. 7或010、若实数x 、y 满足(3)()20x y x y +-++=，则x +y 的值为（ ）A. -1或-2；B. -1或2；C. 1或-2；D. 1或2；11、我们知道方程x 2+2x -3=0的解是x 1=1，x 2=-3，现给出另一个方程（2x +3）2+2（2x +3）-3=0，它的解是（ ）A. x 1=1，x 2=3B. x 1=1，x 2=-3C. x 1=-1，x 2=3D. x 1=-1，x 2=-3二、填空题12、若关于x 的方程()(4)0x a x +-=和2340x x --=的解完全相同，则a 的值为______． 13、已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，第三边BC 的长为一元二次方程x 2-6x ＋8＝0的一个根，则该三角形为______三角形．14、若多项式x 2-mx +n （m 、n 是常数）分解因式后，有一个因式是x -2，则2m -n 的值为______． 15、我们知道方程x 2-2x +1=0的解是x 1=x 2=1，则给出的另一个方程（x -1）2-2（x -1）+1=0的解是______．16、如果（x 2+y 2）2+3（x 2+y 2）-4=0，那么x 2+y 2的值为______．17、方程34x x =的实数根是______．三、解答题18、解方程：（1）2450x x +-=（配方法）；（2）x 2−5x +6=0（因式分解法）；（3）22730x x -+=（公式法）．19、选择适当方法解下列方程（1）（3x -1）2＝（x -1）2（2）3x （x -1）＝2-2x20、阅读下面的材料，回答问题：解方程x4-5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2-5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝-1，x3＝2，x4＝-2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到______的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2-4（x2+x）-12＝0．1、答案：①x1=-1，x2=2；②x1=-1，x2=3；③x1=-1，x2=4；（2）①x1=-1，x2=10；②x1=-1，x2=10；（3）x2-nx-（n+1）=0分析：本题考查了用因式分解法和配方法解一元二次方程，数字类探索与规律，掌握因式分解法是解（1）的关键，掌握配方法是解（2）的关键，观察出二次项系数、一次项系数、常数项与两根之间的关系是解（3）的关键．解答：①∵x2-x-2=0，∴（x+1）（x−2）=0，∴x1=-1，x2=2；②∵x2-2x-3=0，∴（x+1）（x−3）=0，∴x1=-1，x2=3；③∵x2-3x-4=0，∴（x+1）（x−4）=0，∴x1=-1，x2=4；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2-9x-10=0的解为x1=-1，x2=10；②x2-9x-10=0，移项，得x2-9x=10，配方，得x2-9x+814=10+814，即（x-92）2=1214，开方，得x-92=112．x1=-1，x2=10；（3）应用：关于x的方程x2-nx-（n+1）=0的解为x1=-1，x2=n+1．2、答案：D分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：()x x 22x -=-⇒()()x x 2x 20-+-=⇒()()x 2x 10-+=⇒x 20x 10-=+=⇒或12x 2x 1，==-，选D ．3、答案：C分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：x 2-5x +6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴三角形周长是4+5+2=11，4+5+3=12，选C ．4、答案：C分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：x 2-4x +3=0，分解因式得：（x -1）（x -3）=0，解得：x 1=1，x 2=3，选C ．5、答案：D分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程、代数式求值．解答：x 2-3x -4=0，（x -4）（x +1）=0，解得x 1=4，x 2=-1，∴当x =4时，24x x x --=12；当x =-1时，24x x x --=12． 选D ．6、答案：A分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程、三角形的三边关系．解答：解方程28150x x -+=，得：3x =或5x =，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，选A ．7、答案：C分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：∵x =-2是关于x 的一元二次方程22302x ax a +-=的一个根， ∴（-2）2+32a ×（-2）-a 2=0，即a 2+3a -4=0， 整理，得（a +4）（a -1）=0，解得a 1=-4，a 2=1．即a 的值是1或-4．选C ．8、答案：B分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=， 即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-=，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=．选B ．9、答案：B分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：∵（x 2＋y 2）（x 2＋y 2＋2）-3=0，∴（x 2＋y 2）2+2（x 2＋y 2）-3=0，解得：x 2＋y 2=-3或x 2＋y 2=1∵x 2＋y 2＞0∴x 2＋y 2=1选B ．10、答案：D分析：本题考查了解一元二次方程−因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：方程(2)(31)0x x -+=，可得20x -=或310x +=， 解得：12123x x ==-，，当2x =时，313217x +=⨯+=； 当13x =-时，1313103x +=⨯-+=（）． 选D ．11、答案：D分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：t =x +y ，则由原方程，得t （t -3）+2=0，整理，得（t -1）（t -2）=0．解得t =1或t =2，∴x +y 的值为1或2．选D ．12、答案：D分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：将x 1=1，x 2=-3代入到x 2+2x -3=0得12+2×1-3=0，（-3）2+2×（-3）-3=0对比方程（2x +3）2+2（2x +3）-3=0，可得2x +3=1或-3解得：x 1=-1，x 2=-3选D ．二、填空题13、答案：1分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：解：2340x x --=，∴(4)(1)0x x -+=，∵关于x 的方程()(4)0x a x +-=和2340x x --=的解完全相同，∴a =1，故答案为：1．14、答案：直角分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程、勾股定理的逆定理．解答：解一元二次方程x 2-6x +8=0，得，x =2或4，∵AB =3，AC =5，∴2＜BC ＜8，∵第三边BC 的长为一元二次方程x 2-6x ＋8＝0的一个根，∴BC =4，当BC =4时，AB 2+BC 2=AC 2，△ABC 是直角三角形．故答案为：直角．15、答案：4分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：设另一个因式为x -a ，则x 2-mx +n =（x -2）（x -a ）=x 2-ax -2x +2a =x 2-（a +2）x +2a ，得：22a m a n +=⎧⎨=⎩， ∴2m -n =2（a +2）-2a =4，故答案为4．16、答案：x 1=x 2=2分析：本题考查了换元法解一元二次方程．解答：∵方程x 2-2x +1=0的解是x 1=x 2=1，∴方程（x -1）2-2（x -1）+1=0的解满足：x −1=1，∴x 1=x 2=2．17、答案：1分析：先设22x y m +=，则原方程可变形为：2340m m +-=，解方程即可求得m 的值，从而求得22x y +的值．解答：设22x y m +=，则原方程可变形为：2340m m +-=，分解因式得，(1)(4)0m m -+=∴m =-4，m =1，∵22xy +≥0 ∴22x y +=1 故答案为：1．18、答案：10x =，22x =，32x =-分析：本题考查了因式分解法解方程．解答：34x x =340x x -=2(4)0x x -=x （x -2）（x +2）=0∴10x =，22x =，32x =-．故答案为：10x =，22x =，32x =-．三、解答题19、答案：（1）x 1=1，x 2=−5；（2）x 1=2，x 2=3；（3）x 1=3，x 2=12． 分析：本题考查的是一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法：配方法，公式法，因式分解法的解答步骤是关键．解答：（1）2450x x +-=，245x x +=，24454x x ++=+，()229x +=，23x +=±，23x +=或23x +=-，∴121,5x x ==-．（2）x 2-5x +6=0，（x -2）（x -3）=0，x -2=0或x -3=0，∴x 1=2，x 2=3，（3）22730x x -+=，∵a =2，b =−7，c =3，2449423250b ac -=-⨯⨯=>，754x ±==， ∴1213,2x x ==． 20、答案：（1）x 1＝0，x 2＝12；（2）x 1＝1，x 2＝-23． 分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：（1）3x -1＝±（x -1），即3x -1＝x -1或3x -1＝-（x -1），∴x 1＝0，x 2＝12； （2）3x （x -1）+2（x -1）＝0，（x -1）（3x +2）＝0，x -1＝0或3x +2＝0，∴x 1＝1，x 2＝-23． 20、答案：（1）换元，降次；（2）x 1=-3，x 2=2．分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；（2）设x 2+x =y ，原方程可化为y 2-4y -12=0，解得y 1=6，y 2=-2．由x 2+x =6，得x 1=-3，x 2=2．由x2+x=-2，得方程x2+x+2=0，b2-4ac=1-4×2=-7＜0，此时方程无实根．∴原方程的解为x1=-3，x2=2．【答题】根据要求，解答下列问题：（1）①方程x2-x-2=0的解为______；②方程x2-2x-3=0的解为______；③方程x2-3x-4=0的解为______；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2-9x-10=0的解为______；②请用配方法解方程x2-9x-10=0，以验证猜想结论的正确性．（3）应用：关于x的方程______的解为x1=-1，x2=n+1．。
苏科版九年级数学上册1-2一元二次方程的解法 同步练习题【含答案】
两边开平方，得 ．
所以 ， ．
19．(1) x1=5, x2=﹣15;(2) x1=3+ ，x2=﹣2+
（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91=0；
设y=x+2，则原方程可变形为：
y2+6y﹣91=0，
解得：y1=7，y2=﹣13，
当y1=7时，x+2=7，
x1=5；
当y2=﹣13时，x+2=﹣13，
A．x＝2B．x＝0C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝2，x2＝0
二、填空题
9．若 ，则代数式 的值为_____
10．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝．
11．等腰△ABC中，AC＝8，AB、BC的长是关于x的方程x2﹣9x+m＝0的两根，则m的值是．
12．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是．
1.2一元二次方程的解法
一、单选题
1．用配方法解方程 时，应在方程两边同时加上( )
A．3B．9C．6D．36
2．已知 ，则 的值是（）
A．3或 B． 或2C．3D．
3． 的根是（）
A． B． 或 C． D． 或
4．如果关于x的方程 只有一个实数根，那么方程 的根的情况是（）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
x= ，
x1= ，x2= ；
（4）（x+1）2=2x+2，
（x+1）2﹣2（x+1）=0，
九年级数学上册21.2解一元二次方程21.2.3解一元二次方程_公式法同步练习(新版)新人教版
21.2.3解一元二次方程-公式法学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣32．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（）A．y=B．y=C．y=D．y=3．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣3＜a＜﹣4 D．4＜a＜54．若一元二次方程x2+x﹣1=0的较大根是m，则（）A．m＞2 B．m＜﹣1 C．1＜m＜2 D．0＜m＜15．方程x2﹣3|x|﹣2=0的最小一个根的负倒数是（）A．B．C．D．6．一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（）A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，07．一元二次方程x2﹣4x+3=0的解是（）A．x=1 B．x1=﹣1，x2=﹣3 C．x=3 D．x1=1，x2=38．以x=为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c=0 B．x2+bx﹣c=0 C．x2﹣bx+c=0 D．x2﹣bx﹣c=09．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．﹣1，3，110．方程2x2﹣6x+3=0较小的根为p，方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根为q，则p+q等于（）A．3 B．2 C．1 D．11．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根中较大的根是（）A．1+B．C．D．12．关于x的方程x（x+6）=16解为（）A．x1=2，x2=2 B．x1=8，x2=﹣4 C．x1=﹣8，x2=2 D．x1=8，x2=﹣2二．填空题（共6小题）13．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式是，求根公式是．14．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac ＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．15．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．16．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x= ．17．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为，确定的值，当时，把a，b，c的值代入公式，x1，x2= 求得方程的解．18．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为．三．解答题（共5小题）19．（1）用配方法解方程：3x2﹣12x+9=0．（2）用公式法解方程：3x2﹣9x+4=0．20．x2﹣2x﹣15=0．（公式法）21．用适当的方法解方程：（1）（5x+3）2﹣4=0；（2）2x2﹣4x+1=0．22．（1）解一元二次方程：x2﹣3x=1（2）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，求四边形ABFD 的周长．23．〔1〕若，则x的取值范围是；〔2〕在〔1〕的条件下，试求方程x2+|x﹣1|﹣3=0的解．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：∵﹣4x2+3=5x∴﹣4x2﹣5x+3=0，或4x2+5x﹣3=0∴a=﹣4，b=﹣5，c=3或a=4，b=5，c=﹣3．故选：B．2．解：∵4y2=12y+3∴4y2﹣12y﹣3=0∴a=4，b=﹣12，c=﹣3∴b2﹣4ac=192∴y==．故选C．3．解：一元二次方程x2﹣3x﹣5=0，∵a=1，b=﹣3，c=﹣5，∴△=9+20=29，∴x=，则较小的根a=，即﹣2＜a＜﹣1，故选：A．4．解：∵a=1，b=1，c=﹣1，∴△=1﹣4×1×（﹣1）=5＞0，则x=，∴方程的较大根m=，∵2＜＜3，∴＜＜1，故选：D．5．解：设|x|=y此方程变形为y2﹣3y﹣2=0，解得：y=，∴|x|=或|x|=＜0（舍），则x=或x=﹣，∴最小的根为﹣，它的负倒数是=，故选：A．6．解：解方程2x2﹣2x﹣1=0得：x=1±，设a是方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根，∴a=，∵1＜＜2，∴2＜1+＜3，即1＜a＜．故选：C．7．解：a=1，b=﹣4，c=3△=16﹣12=4＞0x=解得：x1=3，x2=1；故选D．8．解：根据求根公式知，﹣b是一次项系数，二次项系数是1或﹣1，常数项是﹣c或c．所以，符合题意的只有D选项．故选：D．9．解：方程﹣x2+3x=1整理得：﹣x2+3x﹣1=0，则a，b，c依次为﹣1；3；﹣1．故选：A．10．解：2x2﹣6x+3=0，这里a=2，b=﹣6，c=3，∵△=36﹣24=12，∴x==，即p=；2x2﹣2x﹣1=0，这里a=2，b=﹣2，c=﹣1，∵△=4+8=12，∴x==，即q=，则p+q=+==2．故选：B．11．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0中，a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴x==，∴一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根中较大的根是．故选：B．12．解：原方程变形为：x2+6x﹣16=0，x==∴x1=﹣8，x2=2，故选：C．二．填空题（共6小题）13．解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式是b2﹣4ac，求根公式为．14．解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；故答案为四；平方根的定义．15．解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．16．解：根据题意得：7x（x+5）+10+9x﹣9=0，整理得：7x2+44x+1=0，这里a=7，b=44，c=1，∵△=442﹣28=1908，∴x==．故答案为：．17．解：利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为一般式方程，确定a，b，c的值，当△＞0时，把a，b，c的值代入公式，x1，x2=求得方程的解．故答案是：一般式方程；a，b，c；△＞0；．18．解：方程x2﹣12x+31=0，变形得：x2﹣12x=﹣31，配方得：x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，开方得：x﹣6=±，解得：x=6+或x=6﹣，当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去，则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．故答案为：6+三．解答题（共5小题）19．解：（1）两边同除以3，得x2﹣4x+3=0，移项，得x2﹣4x=﹣3，配方，得x2﹣4x+4=﹣3+4，（x﹣2）2=1，x﹣2=±1，x1=3，x2=1；（2）∵a=3，b=﹣9，c=4，∴△=b2﹣4a c=（﹣9）2﹣4×3×4=33＞0，∴方程有两个不相等的实数根为x=，x1=，x2=．20．解：∵x2﹣2x﹣15=0．∴a=1，b=﹣2，c=﹣15，∴b2﹣4ac=4+60=64＞0，∴x=，∴x=5或﹣3．21．解：（1）方程整理得：（5x+3）2=4，开方得：5x+3=2或5x+3=﹣2，解得：x1=﹣，x2=﹣1；（2）这里a=2，b=﹣4，c=1，∵△=16﹣8=8，∴x==．22．解：（1）这里a=1，b=3，c=﹣1，∵△=9+4=13，∴x=．（2）∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，∴CF=AD=2cm，AC=DF，∵△ABC的周长为16cm，∴AB+BC+AC=16cm，∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+CF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．23．解：（1）∵=|x﹣1|=1﹣x，∴x﹣1≤0，即x≤1．故答案为x≤1．（2）由x≤1，方程化为：x2﹣x﹣2=0，则（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．。
一元二次方程的解法+同步知识点分类练习题+2022-2023学年华东师大版九年级数学上册
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《22.2一元二次方程的解法》同步知识点分类练习题（附答案）一．一元二次方程的解1．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣22．若2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．1B．C．D．3．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是．4．若关于x的方程x2+（m+1）x+＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（）A．﹣B．C．﹣或D．15．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣36．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝．7．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2021的值为．二．根的判别式8．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2+x+2＝0C．x2﹣1＝0D．x2﹣2x﹣1＝0 9．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根10．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定11．若关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．0B．﹣1C．2D．﹣312．关于x的方程3kx2+12x+2＝0有实数根，则k的取值范围是．13．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．14．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．15．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．16．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．三．根与系数的关系17．已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12＝0B．x2+7x+12＝0C．x2+7x﹣12＝0D．x2﹣7x﹣12＝0 18．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，且x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1，则b a的值是（）A．B．﹣C．4D．﹣119．设x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x12+x22的值是（）A．19B．25C．31D．3020．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．21．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝．22．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．四、解一元二次方程24．解方程：3（x﹣3）2﹣25＝0．25．解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）26．解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）27．解方程：（1）x2﹣2x＝3；（2）（x+4）2＝5（x+4）．28．用适当的方法解方程：（1）x2﹣2x﹣8＝0（2）x（x﹣3）＝x﹣3．（3）x2﹣3x+2＝0（4）x2﹣6x﹣7＝0．参考答案一．一元二次方程的解1．解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根，∴22﹣3×2+k＝0，解得，k＝2．故选：B．2．解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，解得c＝1；故选：A．3．解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，解得，k1＝1，k2＝0当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：04．解：由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣（m+1），x1•x2＝，又知一个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或﹣1，若是1时，即1+x2＝﹣（m+1），而x2＝，解得m＝﹣；若是﹣1时，则m＝．故选：C．5．解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3，所以x1＝﹣1，x2＝﹣3．故选：D．6．解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴2m2﹣4m＝6，故答案为：6．。
一元二次方程的解法练习题(带答案))
【答案】（ 1 ） ① ②
（2） （3）
【解析】（ 1 ） （ 2 ） 方程 ∴
． ． ． ．
的解为
， ．
6
（ 3 ） 解方程
得
∴
【标注】【知识点】算式找规律
， ．
四、 因式分解法
1. 用因式分解法解方程：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【答案】（ 1 ） （2） （3） （4）
，
．
，
．
，
．
，
．
【解析】（ 1 ） （2） （3） （4）
3. 阅读材料，解答问题．
阅读材料：为解方程
，我们可以将 视为一个整体，然后设
，则
，原方
程化为
．解得
，
．当 时，
，
∴
；当 时，
，∴
．
∴原方程的解为
，
，
，
．
解答问题：请你仔细阅读上述材料，深刻领会解题过程中所包含的数学思想和方法，然后解方程
．
【答案】
，
．
【解析】 设
，则原方程化为
．
解这个方程，得
，．
当
， ，
． ．
【解析】（ 1 ） （2）
， ，
． ．
【标注】【知识点】公式法求一元二次方程的根
2. 公式法解方程：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
【答案】（ 1 ） （2） （3）
，
．
，
．
，
．
【标注】【知识点】公式法求一元二次方程的根
3. 在实数范围内因式分解：
九年级数学(一元二次方程的解法--公式法)同步练习 试题
轧东卡州北占业市传业学校一元二次方程的解法用适当的方法解以下方程：(1)2 x 2＋x －6＝0； (2) 0422=+-x x ； (3)5x 2－4x －12＝0； (4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.〔5〕3x 2－4x ＝2x ； 〔6〕31〔x ＋3〕2＝1； 〔7〕x 2＋(3＋1)x ＝0； 〔8〕x 〔x －6〕＝2〔x －8〕；〔9〕〔x ＋1〕〔x －1〕＝x 22； 〔10〕x 〔x ＋8〕＝16；11、用公式法解方程：3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).12、不解方程，判别方程05752=+-x x 的根的情况。
13、假设关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
14、y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？15、课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道〔如图〕，要使种植面积为600平方米，求小道的宽.达标测评1．用公式法解以下方程：〔１6〕2220x x +-=； 〔17〕23470x x +-=；〔18〕22810y y +-=； 〔19〕212308x x -+=． 2．用适当的方法解以下方程：〔20〕2(2)3y -=； 〔21〕2(23)3(43)x x +=+； 〔22〕2320x x --=； 〔23〕(1)(2)5x x -+=． 解方程〔1—3配方法，4—6公式法，7、8因式分解法〕〔24〕2230x x --= 〔25〕2450x x +-= 〔26〕(1)(3)8x x --= 〔27〕2310x x --= 〔28〕23740x x -+= 〔29〕(23)46x x x +=+〔30〕(x －3)2+2x(x －3)＝0 〔31〕()963222+-=+x x x 32、关于x 的方程04)2(2=+++k x k kx 〔1〕当k 为何值时，方程有两个不相等的实数根，〔2〕当k 为何值时，方程有两个相等的实数根， 〔3〕当k 为何值时，方程没有实数根，33、关于x 的一元二次方程x ²-4x +m -1=0有两个相等实数根，求的m 值。
22页一元二次方程__同步训练含答案
一元二次方程 同步训练21.1 一元二次方程(1) 一元二次方程的概念一、学习要求：通过学习感受现实生活和学习环境中方程知识的实际意义、体会建模思想，接受和理解一元二次方程及相关概念，通过交流、辨析，能将方程化为一般形式，认识二次项系数、一次项系数、常数项等概念，并注意系数的符号．二、同步训练： (一)填空题：1．一元二次方程5x 2＝3x ＋2的一般形式是____________，它的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．2．已知方程(m ＋1)x 2－2mx ＝1是一元二次方程，那么m ≠______．3．当m ______时，方程223213x x mx =--不是关于x 的一元二次方程． 4．已知：方程(m 2－4)x 2－6(m －2)x ＋3m －4＝0，当m ______时，它是一元二次方程，当m ______时，它是一元一次方程．(二)选择题：5．把方程(2x ＋1)(3x ＋1)＝x 化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是( ) (A)4，1 (B)6，1 (C)5，1 (D)1，6 6．下列方程中，一元二次方程是( )(A)2x 4－5x 2＝0(B)(2x 2＋7)2－3＝0 (C)012=+xx(D)0312142=++-x x 7．把方程(2x －1)(3x ＋2)＝x 2＋2化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是( )(A)5，－4 (B)5，1 (C)5，4 (D)1，－4 (三)解答题：8．根据题意，列出方程：(1)一个三角形的底比高多2cm ，三角形面积是30cm 2，求这个三角形的底和高．(2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数．(3)已知两个数的和为6，积为7，求这两个数．9. 已知关于x 的一元二次方程3(x －k )2＋4k －5＝0的常数项等于1，则所得关于k 的一元二次方程的一般形式是什么?21.1 一元二次方程(2) 一元二次方程的进一步理解一、学习要求：进一步理解一元二次方程的概念，灵活掌握二次项系数、一次项系数、常数项，体会一元二次方程与现实生活的关系．二、同步训练： (一)填空题：1．方程(x ＋1)(x ＋2)＝3化为一般形式是____________． 2．两个连续奇数的积是255，求这两个数，若设较小奇数为x ，则根据题意，可得方程为____________．3．一个矩形的长比宽多2cm ，面积为30cm 2，求这个矩形的长与宽，设矩形的长为x cm ，列出方程为____________．(二)选择题：4．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是( ) (A)mx 2＋8x ＝6x (x －1)－2 (B)ax 2＋bx ＋c ＝0(C)(m 2＋1)x 2－5x ＋3＝0(D)x1＋5x ＋8＝0 5．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的个数是( )①1232=-x x ；②mx 2＋nx －4＝0；③11-=-x x x ；④x 2－x 2(1＋x 2)－2＝0 (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个6．长50cm ，宽30cm 的矩形薄铁片，在四个角截去四个大小相同的正方形，做成底面积为1200cm 2的无盖长方体盒子．设截去的小正方形边长为x cm ，列出的正确方程是( )(A)(50－2x )(30－2x )＝1200 (B)(50－x )(30－x )＝1200 (C)(50－2x )(30－x )＝1200 (D)50 ×30－4x 2＝1200 (三)解答题：7．根据下列问题，列出方程(不必求解)．学校有一块长方形空地，长42米，宽30米，准备在中间开辟花圃，四周修建等宽的林荫小道，使小道的面积和花圃面积相等，求小道的宽．8. 根据方程：(50＋x )(40＋x )＝3000，你能结合身边的实际，编一个应用问题吗?试试看．21.1 一元二次方程(3) 直接开平方解一元二次方程一、学习要求：在进一步理解一元二次方程的有关概念的基础上，结合平方根的意义，初步体会利用开平方可以将一些一元二次方程降次转化为一元一次方程．二、同步训练： (一)填空题：1．x (x ＋2)＝5(x ＋2)的一般形式是_______，其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．2．若x ＝2满足方程x 2－12x －m ＝0，则m ＝______． 3．形如方程x 2＝a (a ≥0)的解是______．4．形如方程(x ＋m )2＝n (n ≥0)的解是______． (二)选择题：5．方程(x ＋2)2＝9的解为( ) (A)x 1＝9，x 2＝－9 (B)x 1＝9，x 2＝0 (C)x 1＝－9，x 2＝0 (D)x 1＝1，x 2＝－56．方程(x ＋3)2－9＝0的解的情况为( ) (A)x 1＝3，x 2＝－3 (B)x 1＝0，x 2＝－6 (C)x 1＝9，x 2＝－6 (D)x 1＝6，x 2＝07．方程4x 2－1＝0的根的情况是( )(A)x ＝±2(B)0,2121=-=x x (C)21±=x (D)无实根(三)解答题： 8．解下列方程： (1)x 2＝169； (2)5x 2＝125； (3)(x ＋3)2＝16；(4)(6x －7)2－128＝0．9. 若等式24x a ·(a 1－2x)4＝a 9成立，求x 的值．21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法一、学习要求：在掌握了利用求平方根的方法解一元二次方程以后，结合完全平方的特征，体会转化思想：即配方转化降次求解一元二次方程．理解配方法的要领，掌握配方法的基本步骤．二、同步训练： (一)填空题： 1．根据公式a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2，填充下列各式：(A)x 2＋8x ＋______＝(x ＋______)2 (B)x 2－2x ＋______＝(x －______)2 (C)x 2＋x ＋______＝(x ＋______)2 (D)x 2－x ＋______＝(x －______)2 (二)选择题：2．用配方法解方程x 2－3x －1＝0时，以下解法中的配方过程正确的是( ) (A)x 2－3x －1＝0 (B)x 2－3x －1＝0 (C)x 2－3x －1＝0 (D)x 2－3x －1＝0x 2－3x ＋9＝9＋1 x 2－3x ＋9＝1 1494932+=+-x x1232332+=+-x x(x －3)2＝10 (x －3)2＝1 413)23(2=-x 25)23(2=-x (三)解答题：3．用配方法解下列方程： (1)x 2－6x ＋4＝0； (2)x 2＋5x －6＝0； (3)x 2＋6x ＋8＝0；(4)x 2＋4x －12＝0； (5)(2x －3)2－3＝0； (6)x 2＋2mx －n 2＝0．4. 求证：不论a 、b 取何实数，多项式a 2b 2＋b 2－6ab －4b ＋14的值都不小于1．21.2.2 公式法(1)一、学习要求：在理解了配方法的基本思想和配方过程的基础之上，通过对一般形式的一元二次方程进行配方，从而导出求根公式，对求根公式要在理解的基础上记住它，并能利用它求解一元二次方程．二、同步训练： (一)填空题： 1．一元二次方程4x (x ＋3)＝5(x －1)＋2的一般形式是______，其中a ＝______，b ＝______，c ＝______．2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式为______． 3．已知关于x 的一元二次方程s －r ＝sx 2－rx ＋sx －rx 2＋t (s －r ≠0)的一般形式是______，其中a ＝______，b ＝______，c ＝_______．(二)选择题：4．已知一元二次方程x 2－2x －m ＝0，用配方法解该方程，配方后的方程是( ) (A)(x －1)2＝m 2＋1 (B)(x －1)2＝m －1 (C)(x －1)2＝1－m (D)(x －1)2＝m ＋1 5．方程x 2＝x ＋1的解是( )(A)1+=x x(B)251±=x (C)1+±=x x(D)251±-=x 6．方程x 2－6x －3＝0的解的情况为( ) (A)有两个相等的实数根 (B)有两个不等的实数根 (C)有一个实数根 (D)没有实数根 7. 在方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个根中，有一个根为0，另一个根不为0，那么m ，n 应满足( ) (A)m ＝0，n ＝0 (B)m ≠0，n ≠0 (C)m ≠0，n ＝0 (D)m ＝0，n ≠0 (三)解答题：8．用公式法解方程： (1)2x 2＋2x ＝1； (2)5x ＋2＝3x 2； (3)x (x ＋8)＝16； (4)(2y ＋1)(3y －2)＝3．21.2.2 公式法(2)一、学习要求：在理解配方法和掌握求根公式之后，应能准确认识公式中的a ，b ，c ．结合实际应用它．应用公式法求解一元二次方程．要养成认真踏实的学习习惯，提高运算的正确率．二、同步训练： (一)填空题：1．方程x 2＋x －3＝0的两根是____________． 2．方程x (x ＋1)＝2的根为____________．3．两个连续奇数之积是143，设其中较小的奇数为y ＋1，则可得关于y 的一元二次方程的一般形式是________________________．(二)选择题：4．已知px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，则( )(A)p ＝1 (B)p ＞0 (C)p ≠0 (D)p 为任意实数5．已知x 2－3x ＋1＝0，则xx 1的值为( ) (A)3(B)－3 (C)23(D)16．下列方程中，两实根之和等于零的是( ) (A)9x 2＋4＝0 (B)(2x ＋3)2＝0 (C)(x －1)2＝4 (D)5x 2＝6 (三)解答题： 7．解下列方程： (1)x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x －1＝0； (3)－2x 2＝5x －3； (4)3x 2＋2x ＝4．8. 一根长36cm 的铁丝剪成相等的两段，一段弯成矩形，另一段弯成有一边长为5cm 的等腰三角形．如果弯成的矩形和等腰三角形的面积相等，求矩形的长与宽．21.2.3 因式分解法(1)一、学习要求：在理解了利用求平方根的思想来达到降次求解一元二次的方程之后，因式分解又是一种转化的思想，来实现将一元二次方程降次为一元一次方程求解．二、同步训练：(一)填空题：1．当x＝3时，(x－3)(x＋3)的值为____________．2．方程x(x－3)＝0的根为______________．3．方程x2＝x的右边化为零后变为________，左边分解因式后化为______，原方程的解为______(二)选择题：4．关于x的方程(m2－m)x2＋mx＋n＝0是一元二次方程的条件是( )(A)m≠0(B)m≠1(C)m≠0或m≠1(D)m≠0且m≠15．方程x2＝2x的解是( )(A)x＝0 (B)x＝2 (C)x＝0或x＝2 (D)x＝±26．方程(x－3)2＝3－x的解是( )(A)x＝3 (B)x＝2或x＝3 (C)x＝2 (D)x＝4(三)解答题：7．用因式分解法解方程：(1)(x－1)(x－2)＝0；(2)x2－3x＝0；(3)x2－4x＋4＝0；(4)x2－5x＋4＝0．8. 若等腰三角形的两边长分别是方程x2－9x＋14＝0的两根．那么这个等腰三角形的周长是多少?21.2.3 因式分解法(2)一、学习要求：进一步体会利用因式分解法降次的基本思想，掌握因式分解法求解一元二次方程．二、同步训练：(一)填空题：1．分解因式：2x2＋5x－3＝____________．2．用因式分解法解方程x2－5x＝6，得方程的根为____________．3．方程2(x＋3)2－5(x＋3)＝0的解为______．最简便的解法是____________．4．若代数式x2＋6x的值为零，则x的值为______．(二)选择题：5．已知(x＋y)(x＋y＋2)＝15，则x＋y的值为( )(A)3或5 (B)3或－5 (C)－3或5 (D)－3或－56．下列方程：①x2－5x－6＝0；②x2－6x－5＝0；③x2＋5x＋6＝0；④x2＋6x＋5＝0．适宜用因式分解求解的是( )(A)①、②、③、④(B)①、③、④(C)①、②、③(D)②、③、④(三)解答题：7．解下列方程：(1)9(x－3)2＝25；(2)6x2－x＝1；(3)x2＋4x－96＝0；(4)x(x－1)＝2；(5)4(2x－1)2＝9(x－2)2；(6)(2x－3)2－2(3－2x)＝8．8. 当k是什么整数时，方程(k2－1)x2－6(3k－1)x＋72＝0只有正整数根?21.2 解一元二次方程综合一、学习要求：在掌握了配方法、公式法及因式分解法求解一次二次方程之后，同学们应注意灵活地应用这些知识．二、同步训练： (一)填空题：1．方程0)75.0)(5.0()43(2=--+-x x x 的较小根是____________．2．已知单项式xxb a 3222-与4221b a -是同类项，则x 的值是__________． 3．++x x 222______＝(x ＋______)2． 4．4x 2－______＋9＝(______－3)2． (二)选择题：5．方程x (x 2＋1)＝0的实数根的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)36．下列方程中，两根分别为－1＋3和－1－3的是( ) (A)0)31)(31(=--++x x(B)0)31)(31(=+--+x x(C)0)31)(31(=--+-x x (D)0)31)(31(=++-+x x (三)解答题： 7．解下列方程 (1)x 2－6x ＋4＝0； (2)x 2－22x －3＝0； (3)2y (y ＋2)＝(y ＋2)；(4)(2x －1)2－4＝0； (5)3y 2＋1＝23y ； (6)(2x －1)(x －2)＝－1．8. 小明养了一群鸽子，小亮问小明养了几只鸽子，小明说：“如果你给我一只鸽子，那么鸽子总数的平方是鸽子总数的9倍．”你知道小明现在有几只鸽子吗?阅读与思考——一元二次方程的近似解与连分数学习要求：将一些具体值代入所要解的一元二次方程，大致估计出一元二次方程解的范围，再在这个范围内逐步加细赋值，逐步估计出一元二次方程的近似解．这就是求一元二次方程近似解的基本要领．下面介绍另外一种估计一元二次方程近似解的方法．方程：x 2－3x －1＝0，因为x ≠0，所以先将其变形为x ＝x 13+，用x 13+代替x ，得xxx 131313++=+=反复若干次用x 13+代替x ，就得到xx +++++++=31313133313形如上式右边的式子称为连分数．可以猜想，随着替代次数的不断增加，右式最后的x1对整个式子的值的影响将越来越小，因此可以根据需要，在适当的时候把x 1忽略不计，例如，当忽略x ＝x13+中的x 1时，就得到x ＝3，当忽略xx 1313++=的x 1时，就得到313+=x ；如此等等．于是就可以得到一系列分数：,,3131313,31313,313,3 ++++++即：.30303.333109,3.31033,333.3310,3 ===可以发现它们越来越趋于方程x 2－3x －1＝0的正根．同学们不妨利用此方法求一求方程x 2－5x －1＝0的近似解．21.3 实际问题与一元二次方程(1)一、学习要求：在学习一元二次方程的解法的过程中，同学们应注意与实际问题相联系，逐步培养用方程的思想与知识解决实际问题的能力，培养学数学用数学的意识．二、同步训练：(一)填空题：1．某公司10月份产值为a 万元，比5月份增长20％，则5月份产值为____________．2．一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ，高位上的三个数字组成的三位数是b ，现将a ，b 互换，则得到的六位数是____________3．一项工程，甲班干完需m 天，乙班干完需(m ＋2)天，甲、乙两班合干，完成工程需___________天.(二)选择题：4．甲走20天的路程乙走30天，已知乙每天走15千米，问甲每天走多少千米?在下列几种设未知数的写法中，正确的是( )(A)设甲每天走x (B)设甲速为x 千米 (C)设甲走x 千米 (D)设甲每天走x 千米5．一件工作，甲独做4天完成，乙独做6天完成，则二人合做( )天完成．(A)6 (B)5 (C)512 (D)2(三)解答题：6．列方程解应用题：(1)两个数的差为4，它们的积为45，求这两个数．(2)一个直角三角形的三条边的长是三个连续的整数，求三条边的长．(3)某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，求后两年造林面积的平均增长率．7. 我国古代数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一题：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方前)，只云长阔(长与宽)共六十步，问阔及长各几步?21.3 实际问题与一元二次方程(2)一、学习要求：进一步运用方程解决实际问题，逐步培养逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．二、同步训练：(一)填空题：1．某公司今年的年产值是1000万元，若以后每年的平均增长率为10％，则两年后该公司的年产值是______万元．2．制造某种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分率是______．3．一块长方形硬纸片，在它的四个角上截去四个小正方形，折成一个没有盖子的长方体盒子，已知纸片的长为40cm，宽为32cm，要使盒子的底面积为768cm2，则截去的小正方形边长应为______cm．(三)解答题：4．有一个两位数恰等于其个位与十位上的两个数字乘积的3倍，已知十位上的数字比个位上的数字小2，求这个两位数．5．某电冰箱厂今年每个月的产量都比上个月增长同样的百分数．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月增长率．6．某养鸡场的矩形鸡舍一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，现有材料可制作竹篱笆13m，若欲围成20m2的鸡舍，鸡舍的长、宽应各是多少?7. 第6题中，利用13m的竹篱笆，能围成21m2的鸡舍吗?能围成22m2的鸡舍吗?若能围成，求出鸡舍的长和宽，若不能围成，说明理由．21.3 实际问题与一元二次方程(3)一、学习要求：通过应用一元二次方程解决一些实际问题，进一步体会学数学用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．二、同步训练：(二)选择题：1．已知两个连续奇数的积为63，求这两个数．设其中一个数为x ，甲、乙、丙三同学分别列出方程 ①x (x ＋2)＝63 ②x (x －2)＝63 ③(x －1)(x ＋1)＝63其中正确的是( )(A)只有① (B)只有② (C)只有①② (D)①②③都正确2．某机床厂今年一月份生产机床500台，三月份生产机床720台，求二，三月份平均每月的增长率，设平均每月增长的百分率为x ，则列出方程正确的是( )(A)500＋500x ＝720 (B)500(1＋x )2＝720 (C)500＋500x 2＝720 (D)(500＋x )2＝7203．生物兴趣小组的同学，将自己采集到的标本向本组其他组员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有多少名同学?设全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是( )(A)x (x ＋1)＝182 (B)x (x －1)＝182 (C)x 21(x ＋1)＝182 (D)x 21(x －1)＝182 4．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少．设每月的平均增长率为x ，根据题意列方程为( )(A)50(1＋x )2＝175 (B)50＋50(1＋x )2＝175(C)50(1＋x )＋50(1＋x )2＝175 (D)50＋50(1＋x )＋50(1＋x )2＝175(三)解答题：5．为响应国家“退耕还林”的号召，改变某省水土流失严重的现状，2004年某省退耕还林1600公顷，到2006年全年退耕还林1936公顷，问这两年平均每年退耕还林的增长率是多少?6．某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券的年利率高2个百分点，到期后，此人将乙种债券兑换人民币共得本息和112元，求甲种债券的年利率．7. 在长为a 的线段AB 上有一点C ，且AC 是AB 和BC 的比例中项，试求线段AC 的长．*21.4 观察与猜想——一元二次方程根与系数的关系一、学习要求：一元二次方程根与系数的关系作为观察与猜想提供给同学们，同学们还是应认真研究，交流体会，它能更深入地认识和理解一元二次方程．学有余力的同学还可以学习它在其它方面的应用．二、同步训练：(一)填空题：1．如果x 1，x 2是方程2x 2＋4x －1＝0的两根，那么x 1＋x 2＝______，x 1·x 2＝______．2．若α，β是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则11αβ+=______． 3．若α，β是方程x 2－3x ＝5的两根，则α2＋β2－αβ的值是______4．若x 1，x 2是方程2x 2＋ax －c ＝0的两个根，则x 1＋x 2－2x 1x 2等于______(结果用a ，c 表示)．(二)选择题：5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是零的条件是( )(A)b 2－4ac ＝0 (B)b ＝0 (C)c ＝0 (D)c ≠06．若α，β是方程2x 2＋3x －4＝0的两根，则＋＋的值是( )(A)－7 (B)213- (C)21- (D)77．已知一元二次方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，则方程的另一个根为( ) (A)53 (B)53- (C)－3 (D)38．已知一元二次方程2x 2－3x ＋3＝0，下列说法中正确的是( )(A)两个实数根的和为23-(B)两个实数根的和为23 (C)两个实数根的积为23 (D)以上说法都不正确 (三)解答题：9．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系计算下列各式的值： (1);221221x x x x +(2)(x 1－x 2)2．10．若关于x 的方程2x 2＋(k ＋1)x ＋k ＋2＝0的一个根是2，求它的另一个根．11. 已知关于x 的方程x 2－2(m －2)x ＋m 2＝0．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．一元二次方程 数学活动数学活动(1)一、学习要求：通过合作、交流、归纳与探索，挖掘一元二次方程两根与一些二次三项式的分解因式之间的内在联系，认识二次三项式的因式分解，并进一步理解一元二次方程的根．二、做一做：我们已经学过一些特殊的二次三项式的因式分解，如3x 2－2x ＝x (3x －2)，x 2－9＝(x ＋3)(x －3)，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2但对于一般的二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，你能把它分解因式吗?x 1，x 2，则二次三项式分解因式为ax 2＋bx ＋c ＝_________________________．你能说说其中的道理吗?根据你们得到的结论，试一试将下列因式分解．(1)x 2＋20x －69； (2)24x 2－2x －35； (3)x 2－x －1； (4)2x 2－6x ＋3．数学活动(2)一、学习要求：通过合作、交流利用方程的知识解决一些实际问题，体会建立数学模型、学数学用数学的意识，提高学习基本素养．二、同步训练：1．如果与水平面成45°角向斜上方投掷标枪，那么标枪飞行的水平距离S (单位：m)与标枪出手的速度v (单位：m/s)之间大致有如下关系：28.92+=v S ．某同学按这种要求投掷标枪，标枪飞行的水平距离为42m ，求标枪出手时的速度(结果精确到0.1m/s)．2．某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可多售出2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?3．小明将勤工俭学挣得的500元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的450元连同应得税后利息又全部按一年定期存入银行．如果存款的年利率保持不变，且到期后可得税后本息约461元，那么这种存款的年利率大约是多少?(利息税为利息的20％，结果精确到0.01％)．数学活动(3)一、学习要求：通过合作、交流、实践与探索，初步学习把现实世界的问题化为纯数学的问题，即建立数学模型，培养创新精神与实践能力．二、课题：洗衣服的数学问题．现在衣物已打好了肥皂，揉搓得很充分了，再拧一拧，当然不可能完全把水拧干，设衣服上还残留含有污物的水1斤，用20斤清水来漂洗，怎样才能漂得更干净?(1)如果把衣服一下放到20斤清水里，那么连同衣服上那1斤水，一共21斤水，污物均匀分布在这21斤水里，拧干后，衣服上还有1斤水，所以污物残存量是原来的 211如何洗，效果更佳呢?(2)如果衣服上残存水量是1.5斤或2斤，洗衣用水量是37斤，那么又该怎么洗法?第二十一章 一元二次方程 小结一、学习要求：通过复习，全面认识和理解一元二次方程的有关概念，掌握用公式法、因式分解法求解一元二次方程．理解配方法原理及这一思想的含意，会用方程的思想解决一些实际问题，认识根与系数之间的关系．二、同步训练：(一)填空题：1．方程(2x －1)(3x ＋2)＝x 2＋2化为一般形式后，a ＝______，b ＝______，c ＝______．2．y 2－4y ＋______＝(y －______)2．3．+-x x 252______＝(x －______)2． 4．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1＝1，x 2＝3，那么这个一元二次方程是______．5．等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是______．(二)选择题：6．①,542=-x ②xy ＝1，③2122=+x x；④0312=x ，以上方程中，是一元二次方程的有( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个7．x 2－3＝3x 化为一般式后，a ，b ，c 的值分别为( )(A)0，－3，－3 (B)1，－3，3 (C)1，3，－3 (D)1，－3，－38．解方程3x 2＋27＝0得( )(A)x ＝±3 (B)x ＝3 (C)x ＝－3 (D)无实根9．方程0)21()21(2=--+x x 的解是( ) (A)332,021-==x x (B)223,121-==x x (C)322,021-==x x(D)x 1＝0，x 2＝110．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( ) (A)若x 2－8＝0，则22=x (B)方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1(C)若方程x 2＋2x ＋k ＝0有一个根是－3，则k ＝－3 (D)若分式1232-+-x x x 的值等于零，则x ＝1或2 (三)解答题：11．用适当的方法解下列方程： (1);17.052=+x (2)4x 2＋3x ＝0； (3)x 2－25x ＋144＝0；(4)(3y －2)2－5(3y －2)＝14； (5)x 2－6x ＋6＝0；(6)(x ＋6)(x －7)＝14．12．一个两位数的两个数字之和为9，把个位数与十位数字互换后所得的新数乘以原数，积为1458，求这个两位数．13．有一个两位数等于其各位数字之和的4倍，其中十位数字比个位数字小2，求此两位数．14．已知关于x 的方程x 2－bx －a ＝0有两等根，且一次函数y＝ax ＋b 的图像如图所示，又a 、b 满足5||2=--b a b ，求a 2＋b 2的值．15．爱华中学从2003年到2006年四年内师生共植树2008棵，已知该校2003年植树353棵，2004年植树500棵，如果2005年和2006年植树棵数的年增长率相同，那么该校2006年植树多少棵?一元二次方程 全章测试一、填空题(每题6分，满分36分)1．一元二次方程的一般形式是________________，当一次项系数为零时，其形式为________________．2．方程2x 2＝9的二次项系数是________________，一次项系数是________________常数项是________________二、选择题：3．方程①5x 2－38＝x ，②4x 2－5y ＋9＝0，032=x ③，0312=+-x x ④中，是一元二次方程的有( ) (A)①② (B)① (C)①③④ (D)①③4．把方程x 2＋3＝4x 配方，得( )(A)(x －2)2＝7 (B)(x ＋2)2＝1 (C)(x －2)2＝1 (D)(x ＋2)2＝25．方程x 3＝3x 的所有的解为( )(A)0 (B)0，3 (C)3,3- (D)3,3,0-6．方程(x ＋m )2＝n 2的解为( )(A)x ＝－m ± n (B)x ＝m ±n (C)x ＝m ＋n (D)x ＝－m ＋n三、解答题：7．解下列方程：(每题6分，满分36分)(1)x 2－3x ＋2＝0； (2)(y －2)2＝3； (3)(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0；(4)x 2－4x ＝8； (5)6x 2－4＝2x ； (6)3x 2＋5(2x ＋1)＝0．8．(9分)一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数．9．(9分)某发电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akWh ，那么这个月这户居民只要交10元电费．如果超过akWh ，则这个月除仍要交10元电费外，超过部分还要按100a 元/kWh 交费．下表是一户居民3月和410．(10分)一次函数y ＝x ＋b 与反比例函数xk y 3+=图象的交点为A (m ，n )，且m 、n (m ＜n )是关于x 的一元二次方程kx 2＋(2k －7)x ＋k ＋3＝0的两个不相等的实数根，其中k 为非负整数，m 、n 为常数．(1)求k 的值；(2)求点A 的坐标与一次函数、反比例函数的解析式．一元二次方程 同步训练 参考答案21.1 一元二次方程(1) 一元二次方程的概念1．5x 2－3x －2＝0，5，－3，－2． 2．－1 3．＝3 4．≠±2， ＝－2 5．A 6．D 7．A 8．(1)设宽为x cm ，x (x ＋2)＝15 (2)设两个连续的整数分别为x ，x ＋1．x 2＋(x ＋1)2＝313．(3)设一个数为x ．x (6－x )＝7 9. 3k 2＋4k －6＝021.1 一元二次方程(2) 一元二次方程的进一步理解1．x 2＋3x －1＝0 2．x (x ＋2)＝255 3．x (x －2)＝30 4．C 5．D 6．A 7．设小道的宽为x 米．(42－2x )(30－2x )＝304221⨯⨯ 8. 略 21.1 一元二次方程(3) 直接开平方解一元二次方程1．x 2－3x －10＝0，1， －3， －10 2．－20 3．a x ±= 4．n m x ±-= 5．D 6．B 7．C8．(1)x ＝±13 (2)x ＝±5 (3)x 1＝1，x 2＝－7 (4)6287±=x 9. 25或21- 21.2.1 配方法1．(A)16，4 (B)1，1 (C)21,41 (D).21,41 2．C 3．(1),531+=x 532-=x (2)x 1＝1，x 2＝－6 (3)x 1＝－2，x 2＝－4 (4)x 1＝2，x 2＝－6 (5)233±=x (6)22n m m +±- 4. 提示：将a 2b 2＋b 2－6ab －4b ＋14进行配方为a 2b 2－6ab ＋9＋b 2－4b ＋4＋1＝(ab －3)2＋(b －2)2＋1，可证21.2.2 公式法(1)1．4x 2＋7x ＋3＝0，4，7，3 2．b 2－4ac 3．(s －r )x 2＋(s －r )x －s ＋r ＋t ＝0，s －r ，s －r ， －s ＋r ＋t 4．D 5．B 6．B 7．C 8. (1)231±-=x (2)2,3121=-=x x ，(3)x 244±-= (4)65,121-==y y 21.2.2 公式法(2)1．2131,213121--=+-=x x 2．x 1＝－2，x 2＝1 3．y 2＋4y －140＝0 4．C 5．A 6．D 7．(1)x 1＝1，x 2＝－ 4 (2)251,25121-=+=x x (3)211=x ，x 2＝－ 3 (4)3131,313121--=+-=x x 8. 长：cm 2219+ 宽cm 2219-，或长cm 2339+ 宽cm 2339- 21.2.3 因式分解法(1) 1．0 2．x 1＝0，x 2＝3 3．x 2－x ＝0，x (x －1)＝0，x 1＝0，x 2＝1 4．D 5．C 6．B 7．(1)x 1＝1，x 2＝2 (2)x 1＝0，x 2＝3 (3)x 1＝x 2＝2 (4)x 1＝4，x 2＝1 8. 1621.2.3 因式分解法(2)1．(2x －1)(x ＋3) 2．x 1＝6，x 2＝－1 3．－3，21- 因式分解 4．0或－6 5．B 6．B 7．(1)34,31421==x x (2)31,2121-==x x (3)x 1＝8，x 2＝－12 (4)x 1＝2，x 2＝－1 (5)78,421=-=x x(6)25,2121=-=x x 8. 1，2，3．提示：分两种情况讨论：(1)当k 2－1＝0，即k ＝±1，检验当k ＝1时，x ＝6，k ＝－1时，x ＝－3(不合题意舍去) (2)k 2－1≠0时，用因式分解法可得,16,11221-=+=k x k x 因k 为整数，要使x 1，x 2，都为整数，只有k ＝2，k ＝3，综上所述k ＝1，2，321.2 解一元二次方程综合1．85 2．4或－1 3．2,2 4．12x ，2x 5．B 6．D 7．(1)53,5321-=+=x x (2)52,5221-=+=x x (3)21,221=-=y y (4)23,2121=-=x x (5)3321==y y (6)1,2321==x x 8. 8只 21.3 实际问题与一元二次方程(1)1．a 65万元 2．1000a ＋b 3．22)2(++m m m 4．D 5．C 6．(1)5，9或－5，－9 (2)3，4，5 (3)20％ 7. 阔为24步，长为36步21.3 实际问题与一元二次方程(2)1．1210 2．10％ 3．4 4．24 5．20％ 6．长8m ，宽2.5m 或长5m ，宽4 m ．7. 能围成21m 2的，长为7m ，宽为3m ，也可为长6m ，宽3.5m ，不能围成22m 2的21.3 实际问题与一元二次方程(3)1．C 2．B 3．B 4．D 5．10％ 6．10％ 7.a 215- *21.4 观察与猜想——一元二次方程根与系数的关系1．－2，21- 2．23- 3．24 4．c a +-2 5．C 6．B 7．B 8．D 9．(1)29 (2)3 10．21- 11. m ＝－2，提示：由,562221=+x x ，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝56，所以有[2(m －2)]2－2m 2＝56 解之m 1＝－2，m ＝10，检验可知m ＝10不合题意第二十一章 一元二次方程 数学活动(1)：(1)(x －3)(x ＋23) (2)(6x ＋7)(4x －5) (3))251)(251(--+-x x (4))233)(233(2--+-x x (2)：1.标枪出手时的速度约为19.8m/s. 2.每件衬衫应降价20元. 3.这种存款的年利率大约为1.44％(3)：略第二十一章 一元二次方程 小结1．5，1，－4 2．4，2 3．45,1625 4．x 2－4x ＋3＝0 5．7或8 6．B 7．D 8．D 9．C 10．C 11．(1)26±=x (2)43,021-==x x (3)x 1＝9，x 2＝16 (4)y 1＝0，y 2＝3 (5)33±=x (6)x 1＝－7，x 2＝8 12．18或81 13．24 14．45 15．605棵第二十一章 一元二次方程 全章测试1. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，ax 2＋c ＝0(a ≠0)2. 2，0，－93. D4. C5. D6. A7. (1)x 1＝1，x 2＝2 (2)32,3221-=+=y y (3)211-=x ，x 2＝－2 (4)x 1＝,322+ 3222-=x (5)321-=x ，x 2＝1 (6)3105,310521--=+-=x x 8. 25或36 9. a ＝50(kWh) 10. (1)k ＝1，(2)A (1，4)，y ＝x ＋3，4 yx。
人教版初中数学初三上册第二十一章《公式法解一元二次方程》同步练习题(解析版)
第 1 页人教版初中数学初三上册第二十一章《公式法解一元二次方程》同步练习题（解析版）一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．利用求根公式求5x 2+12=6x 的根时，此中a=5，则b、c 的值分别是（ ） A ． 12、6 B ． 6、12 C ． 、6、12 D ． 、6、、122．方程x 2﹣9=0的解是（ ）A ． x=3B ． x=﹣3C ． x=±9D ． x 1=3，x 2=﹣33．已知a 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣5=0的较小的根，则下面对a 的预计正确的是（ ）A ． ﹣2＜a ＜﹣1B ． 2＜a ＜3C ． ﹣3＜a ＜﹣4D ． 4＜a ＜54．方程2x 2、√5x、3=0的两根是（ ）A ． x=√5±√112B ． x=√5±√292C ． x=−√5±√292D ． x=−√5±√2945．若3（x +1）2﹣48=0，则x 的值即是（ ）A ． ±4B ． 3或﹣5C ． ﹣3或5D ． 3或56．若※是新准则的某种运算标记，设a※b=b 2 -a ，则-2※x=6中x 的值（）A ． 4B ． 8C ．2 D ． -2二、填空题7．根的鉴别式内容：△=b 2﹣4ac ＞0⇔一元二次方程_____；△=b 2﹣4ac=0⇔一元二次方程_____；此时方程的两个根为x 1=x 2=_____．△=b 2﹣4ac ＜0⇔一元二次方程_____．△=b 2﹣4ac ≥0⇔一元二次方程_____．8．用求根公式解方程x 2+3x=﹣1，先求得b 2﹣4ac=_____，则 x 1=_____，x 2=_____．9．用公式法解一元二次方程﹣x 2+3x=1时，应求出a ，b ，c 的值，则：a=_____；b=_____；c=_____．10．把方程（x +3）（x ﹣1）=x （1﹣x ）整理成ax 2+bx +c=0的形式_____，b 2﹣4ac 的值是_____．三、解答题11．解方程：3x 2−2x −2=0、12．选择适当的要领解方程:、1、2(x 、3)2、8、、2、x2-6x-4、0.13．解方程：（1、(2x+1)2=(x-1)2;、2、x2+4x-7=014．已知关于x的方程mx2+(3、m)x、3=0(m为实数，m≠0)、(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 要是此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.参考答案1．C【剖析】【剖析】把方程化为一般式，使二次项系数为5，从而可得到b、c的值．【详解】=0、5x2、6x+12、所以a=5、b=、6、c=12故选：C、【点睛】考察明白一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的要领是公式法．2．D【剖析】【剖析】先移项得到x2=9，然后利用直接开平要领解方程．【详解】x2=9，x=±3，所以x1=3，x2=-3．故选D．【点睛】本题考察明白一元二次方程-直接开平要领：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采取直接开平方的要领解一元二次方程．3．A【剖析】【剖析】利用公式法表示出方程的根，再举行估算即可．【详解】一元二次方程x2-3x-5=0，第 1 页∵a=1，b=-3，c=-5，∴△=9+20=29，∴x=3±√292，则较小的根a=3−√292，即-2＜a＜-1，故选A．【点睛】此题考察明白一元二次方程-公式法，以及估算，熟练掌握运算准则是解本题的要害．4．B【剖析】【剖析】利用求根公式x=b±√b2+4c2解方程.【详解】方程：、√5x、3=0中b=-√5,a=2,c=-3.∴x=b±√b2+4c2、√5±√292.故选：B.【点睛】考察用公式法解一元二次方程，利用求根公式x=b±√b2+4c2解方程时，一定要弄明白该公式中的字母a、b、c所表示的意义．5．B【剖析】【剖析】先移项，再系数化成1，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】3（x+1）2-48=0，3（x+1）2=48，（x+1）2=16，第 3 页x+1=±4，x=3或-5，故选：B ．【点睛】考察明白一元二次方程，解此题的要害是能把一元二次方程转化成一元一次方程．6．C【剖析】解：由题意得： 226x +=，∴24x =，∴x =±2．故选C ．7． 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 ﹣b 2a 无解 有实数根【剖析】【剖析】利用根的鉴别式与解的干系鉴别即可得到终于．【详解】△=b 2-4ac ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；△=b 2-4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；此时方程的两个根为x 1=x 2=-b 2a ．△=b 2-4ac ＜0⇔一元二次方程无解．△=b 2-4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；-b 2a ；无解；有实数根．【点睛】此题考察明白一元二次方程-公式法，熟练掌握根的鉴别式与解的干系是解本题的要害．8． 5 −3+√52 −3−√52【剖析】【剖析】将已知方程化为一般形式，找出a ，b 及c 的值，谋略出b 2-4ac ，发觉其值大于0，得到方程有两个不相等的实数根，故将a ，b 及c 的值代入求根公式，即可求出原方程的解．【详解】x 2+3x=-1整理为一般形式得：x 2+3x+1=0，∵a=1，b=3，c=1，∴b 2-4ac=32-4=5＞0，∴x=−3±√52， ∴x 1=−3+√52，x 2=−3−√52．故答案为：5；−3+√52；−3−√52.【点睛】 此题考察了利用公式法求一元二次方程的解，利用此要领解方程时，应先将方程化为一般形式，找出二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，然后谋略出根的鉴别式，当根的鉴别式大于即是0时，将a ，b 及c 的值代入求根公式可得出方程的解；当根的鉴别式小于0时，原方程无解．9． -1 3 -1【剖析】【剖析】先移项，将方程变形为一元二次方程的一般形式，然后再找出各项系数即可．【详解】-x 2+3x=1，-x 2+3x-1=0，a=-1，b=3，c=-1，故答案为：-1，3，-1．【点睛】本题考察明白一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着火线的标记．10． 2x 2+x ﹣3=0 25【剖析】【剖析】将方程整理为一般形式，谋略出根的鉴别式的值即可．【详解】方程（x+3）（x-1）=x （1-x ）整理得：2x 2+x-3=0，b 2-4ac=25．故答案为：2x 2+x-3=0；25．第 5 页【点睛】此题考察明白一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的要害．11．x 1=1+√73、x 2=1−√73. 【剖析】【剖析】先找出a、b、c ，再求出b 2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．【详解】a=3、b=-2、c=-2、b 2-4ac=、-2、2-4×3×、-2、=28>0、∴x=−b±√b 2−4ac 2a=−(−2)+√282×3=1±√73、 ∴x 1=1+√73、x 2=1−√73.【点睛】本题考察明白一元二次方程，解一元二次方程的要领有提公因式法、公式法，因式分化法等，根据方程的系数特点灵敏选择适当的要领举行求解是解题的要害.12．、1、x 1、5、x 2、1、、2、x 1、3+√13、 x 2、3-√13、【剖析】剖析：（1）方程用直接开平要领即可求解；、2）用公式法即可求解方程.详解：（1、2(x、3)2、8、(x、3)2、4、开方，得x、3、2或x、3、-2、解得x 1、5、x 2、1、、2、x 2-6x -4、0a=1、b=-6、c=-4、△=b 2-4ac=52>0、∴方程有两个不相等的实数根x=−b±√b 2−4ac 2a=−(−6)±√522×1=3±√13、 ∴x 1、3+√13、 x 2、3-√13点睛：此题考察明白一元二次方程的要领-直接开平要领和公式法，根据给出的方程的布局，选择适当的要领举行求解是要害.13．(1)x1=0，x2=-2；（2）x1=-2+√11，x2=-2-√11.谋略即【剖析】剖析：（1）用直接开平要领求解即可；（2）根据求根公式：x=−b±√b2−4ac2a可.详解：（1）∵(2x+1)2=(x-1)2,、2x+1=x-1或2x+1=-(x-1),、2x-x=-1-1或2x+1=-x+1,、2x-x=--1或2x+1=-x+1,、x=-2或x=0、即x1=0、x2=-2、（2）x2+4x-7=0∵a=1,b=4,c=-7,=−2±√11,∴x=−4±√42−4×1×(−7)2、x1=-2+√11、x2=-2-√11.点睛：本题主要考察的知识点是一元二次方程的解法－直接开平要领和求根公式法．熟练掌握直接开平要领和求根公式法是解答本题的要害，本题属于一道基础题，难度适中．14．(1)b2−4ac=(m+3)2≥0、(2)m=-1,-3.【剖析】剖析: （1）先谋略鉴别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据鉴别式的意义即可得到结论；、x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值．、2）利用公式法可求出x1=3m详解: （1）证明：∵m≠0，∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；，（2）解：∵x=−(3−m)±(m+3)2m，x2=1，∴x1=-3m∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．点睛: 本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0、a≠0）的根的鉴别式、=b2-4ac：当、、0，方程有两个不相等的实数根；当、=0，方程有两个相等的实数根；当、、0，方程没有实数根．也考察明白一元二次方程．第 7 页。
1.2一元二次方程解法(共4课时)同步课时练习含答案
一元二次方程课时练习1.2一元二次方程解法（1）复习巩固1．方程x2－256＝0的根是()A．16 B．－16C．16或－16 D．14或－142．用直接开平方法解方程(x－3)2＝8，得方程的根为()A．x＝3＋B．x1＝3＋x2＝3－C．x＝3－D．x1＝3＋x2＝3－3．以下的配方运算中，不正确的是()A．x2＋8x＋9＝0，化为(x＋4)2＝25B．2t2－7t－4＝0，化为2781=416 t⎛⎫-⎪⎝⎭C．x2－2x－99＝0，化为(x－1)2＝100D．3x2－4x－2＝0，化为2210=39 x⎛⎫-⎪⎝⎭4．若将方程x2－6x－5＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则m，n的值分别是() A．3和5 B．－3和5 C．－3和14 D．3和14 5．若x2＋6x＋a2是一个完全平方式，则a的值是()A．3 B．－3 C．±3 D．6．用适当的数填空．(1)x2＋3x＋__________＝(x＋__________)2；(2)16x2－8x＋__________＝(4x－__________)2；(3)a2－4ab＋__________＝(a－__________)2.7．方程(2x－1)2－25＝0的解为__________．8．当x＝__________时，代数式x2－8x＋12的值是－4.9．用配方法解方程6x2－x－12＝0.10．用配方法解方程x(x＋8)＝16.能力提升11．有一三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2－16x ＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是( )A ．24B ．24或C ．48D ．12．若4x 2＋(k －1)x ＋9是完全平方式，则k 的值为( ) A ．±12 B ．－11或－12 C ．13 D ．13或－1113．当x 取任意值时，代数式x 2－4x ＋9的最小值为( ) A ．0 B ．9 C ．5 D ．414．在实数范围内定义一种运算“※”：a ※b ＝a 2－b ，按照这个规则，(x ＋3)※25的结果刚好为0，则x 的值为__________．15．若(x 2＋y 2－5)2＝4，则x 2＋y 2＝__________. 16．用配方法解方程(x －1)2－2(x －1)＋12＝0. 17．阅读理解：解方程4x 2－6x －3＝0. 解：4x 2－6x －3＝0，配方，得4x 2－6x ＋262-⎛⎫ ⎪⎝⎭－262-⎛⎫⎪⎝⎭－3＝0，即4x 2－6x ＋9＝12. 故(2x －3)2＝12.即132x ，232x 以上解答过程出错的原因是什么？请写出正确的解答过程．参考答案复习巩固1．C 因为x 2－256＝0，所以x 2＝256. 故x 1＝16，x 2＝－16，应选C.2．B 因为(x －3)2＝8，所以x －3＝±.故x 1＝3＋，x 2＝3－.3．A 由x 2＋8x ＋9＝0，配方可得(x ＋4)2＝7.4．C 将x 2－6x －5＝0配方，得(x －3)2＝14，对应(x ＋m )2＝n ，可得出m ＝－3，n ＝14.故选C.5．C 原式＝x 2＋6x ＋9－9＋a 2＝(x ＋3)2＋(a 2－9)， 由其是一个完全平方式知a 2－9＝0，得a ＝±3. 6．(1)94 32(2)1 1 (3)4b 2 2b 7．3或－2 因为(2x －1)2－25＝0，所以(2x －1)2＝25. 所以2x －1＝±5.所以x 1＝3，x 2＝－2. 8．4 因为据题意可得x 2－8x ＋12＝－4， 所以x 2－8x ＋16＝0.所以(x －4)2＝0.所以x ＝4. 9．解：原式两边都除以6，移项得x 2－16x ＝2. 配方，得222111261212x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221171212x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此1171212x -=或1171212x -=-， 所以132x =，243x =-. 10．解：原方程可化为x 2＋8x ＝16，配方，得x 2＋8x ＋42＝16＋42，即(x ＋4)2＝32，所以x ＋4＝±.所以14x ，2=4x -.能力提升11． B 解方程x 2－16x ＋60＝0，得x 1＝10，x 2＝6. 根据三角形的三边关系，知x 1＝10，x 2＝6均合题意．当三角形的三边分别为6,8, 10时，构成的是直角三角形，其面积为12×6×8＝24； 当三边分别为6,6,8时，构成的是等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理，可求得底边上的高为此时三角形的面积为182⨯⨯故选B. 12．D 因为4x 2＋(k －1)x ＋9＝(2x )2＋(k －1)x ＋32是完全平方式，所以k －1＝±2×2×3， 即k －1＝±12. 所以k ＝13或k ＝－11.13．C x 2－4x ＋9＝x 2－4x ＋4＋5＝(x －2)2＋5. 因为(x －2)2≥0，所以(x －2)2＋5的最小值为5， 即x 2－4x ＋9的最小值为5.14．2或－8 由规则可得(x ＋3)2－25＝0，解得x 1＝2，x 2＝－8.15．7或3 由题意可知x 2＋y 2－5＝， 即x 2＋y 2＝5±2，所以x 2＋y 2＝7或x 2＋y 2＝3.16．解：设x －1＝y ，则原方程可化为y 2－2y ＋12＝0.解得1y =±.因此x －1＝12±，即2x =.故x 1＝2＋2，x 2＝2－2. 17．解：错在没有把二次项系数化为1. 正解：原式可化为23324x x -=， 配方，得23939216416x x -+=+，即2321=416x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3=44x -±，得134x +=，234x =.一元二次方程课时练习1.2一元二次方程解法（2）复习巩固1．一元二次方程2x 2－3＝4x 化为一般形式后，a ，b ，c 的值分别为( ) A ．2，－3,4 B ．2，－4，－3 C ．2,4，－3 D ．2，－3，－ 4 2．一元二次方程x 2＋3x －4＝0的解是( ) A ．x 1＝1，x 2＝－4 B ．x 1＝－1，x 2＝4 C ．x 1＝－1，x 2＝－4 D ．x 1＝1，x 2＝43．用公式法解方程x 2－6x －6＝0，正确的结果是( )A ．x ＝－3B ．x ＝－3C ．x ＝－D ．x ＝4．用公式法解方程2t 2＝8t ＋3，得到( )A ．tB ．tC ．4=2t ± D ．4=2t -± 5．若两个相邻正奇数的积为255，则这两个奇数的和是( ) A ．30 B ．31 C ．32 D ．346．一元二次方程3x 2＋5＝4x 中，b 2－4ac 的值为__________．7．方程3x 2x －2＝0的解是____________．8．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2＋2m －3＝0有一根为0，则m 的值是__________．9．有一长方形的桌子，长为3m ，宽为2m ，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为__________，宽为__________．10．用公式法解下列方程： (1)2x 2＋8x －1＝0；(2)(x ＋1)(x －1)＝.能力提升11．关于x 的一元二次方程x 2－m (3x －2n )－n 2＝0中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A ．1,3mn,2mn －n 2B ．1，－3m,2mn －n 2C ．1，－m ，－n 2D ．1,3m,2mn －n 212．解方程(x －1)2－5(x －1)＋4＝0时，我们可以将x －1看成一个整体，设x －1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，即x －1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x －1＝4，解得x ＝5，所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5.则利用这种方法求得方程(2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0的解为( )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－2，x 2＝3C ． x 1＝－3，x 2＝－1D ．x 1＝－1，x 2＝－2 13．如果12x 2＋1与4x 2－3x －5互为相反数，则x 的值为__________． 14．已知线段AB 的长为a .以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB .取AB 边上一点E .以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM .过点E 作EF ⊥CD ，垂足为F 点．若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等，则AE 的长为__________．15．解关于x 的方程x 2－m (3x －2m ＋n )－n 2＝0(其中m ，n ≥0)． 16．阅读材料，回答问题．材料：为解方程x 4－x 2－6＝0，可将方程变形为(x 2)2－x 2－6＝0，然后设x 2＝y ，则(x 2)2＝y 2，原方程化为y 2－y －6＝0①，解得y 1＝－2，y 2＝3.当y ＝－2时，x 2＝－2无意义，舍去；当y ＝3时，x 2＝3，解得=x ±所以原方程的解为1x ，2=x 问题：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了__________的数学思想．(2)利用上述的解题方法，解方程(x 2－x )2－4(x 2－x )－12＝0.参考答案复习巩固1．B2．A 因为a ＝1，b ＝3，c ＝－4，b 2－4ac ＝32－4×1×(－4)＝25，所以352x -±==.所以x 1＝1，x 2＝－4.3．D 因为a ＝1，b ＝－6，c ＝－6，b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－6)＝60；所以663212x ±±===±⨯.4.A5.C6.-447.62621+=x 62622-=x 8．－3 由题意，得m 2＋2m －3＝0，且m －1≠0.解得m ＝－3.9．4m 3m 桌布的面积为3×2×2＝12(m 2)．设垂下的长度为x ，则(3＋2x )(2＋2x )＝12，解得12x =.故桌布的长为4m ，宽为3m.10．解：(1)a ＝2，b ＝8，c ＝－1，代入公式x =，得1x =，242x --=.(2)原方程化简得x 2－－1＝0，a ＝1，b =-，c ＝－1，代入公式2b x a-=，得1x =2x =能力提升11．B 原方程可化为x 2－3mx ＋2mn －n 2＝0.故选B.12．D 由题意可知，这种解方程的方法为整体代入法，设2x ＋5＝y ，则(2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0可化为y 2－4y ＋3＝0，解得y 1＝1，y 2＝3.当y ＝1时，即2x ＋5＝1，解得x ＝－2；当y ＝3时，即2x ＋5＝3，解得x ＝－1.所以方程(2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0的解为x 1＝－1，x 2＝－2.13．43或23- 由题意，得212x ＋1＋4x 2－3x －5＝0，解得43x =或23x =-.14．12a设AE的长为x，则BE的长为a－x，根据题意，得x2＝(a－x)·a.解得x=.故AE.一元二次方程课时练习1.2一元二次方程解法（3）复习巩固1．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．无实数根2．下列方程中，有两个相等实数根的是( )A ．x 2－＋5＝0B ．2x 2＋4x ＋35＝0C ．2x 2－15x －50＝0D ．20x --3．一元二次方程x 2＋4x ＋c ＝0中，c ＜0，该方程的根的情况是( ) A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．不能确定4．若关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )A ．0B ．8C ．D ．0或8 5．若一元二次方程x 2－ax ＋2＝0有两个实数根，则a 的值可以是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．若关于x 的方程x 2＋－1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ＞－1 B ．k ≥－1 C ．k ＞1 D ．k ≥07．关于x 的一元二次方程x 2－ax ＋(a －1)＝0的根的情况是__________．8．若|b －1|0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值范围是__________．9．当k 取何值时，关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －5＝0 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根．能力提升10．对于关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是()A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解11．已知a，b，c是△ABC三边的长，且关于x的方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则三角形的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形12．若一元二次方程ax2－2x＋4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为__________．13．若关于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有实数根，则整数a的最大值是__________．14．证明不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．15．已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．(1)求证：该方程有两个不相等的实数根．(2)若此方程的两个实数根分别为x1，x2(x1＜x2)，设y＝x2－x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．参考答案复习巩固1．D因为Δ＝22－4×1×2＝4－8＝－4＜0，所以原方程无实数根．2．A3．B由于Δ＝42－4c＝16－4c，而c＜0，故Δ＞0.因此该方程有两个不相等的实数根．4．D由题意，得(m－2)2－4×1×(m＋1)＝0.解得m1＝0，m2＝8.故选D.5．D由题意，得(－a)2－4×1×2≥0.化简，得a2≥8.四个选项中满足a2≥8的只有3，故选D.6．D由题意得24110k⎧(-⨯⨯(-)>⎪⎨≥⎪⎩，，解得k≥0.7．有实数根因为Δ＝(－a)2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，所以原方程一定有实数根．8．k≤4，且k≠0由|b－1|0，得a＝4，b＝1.故一元二次方程kx2＋ax＋b＝0即kx2＋4x＋1＝0.因为该方程有实数根，所以16－4k×1≥0，且k≠0.解得k≤4，且k≠0.9．解：Δ＝(－4)2－4(k－5)＝16－4k＋20＝36－4k.(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＞0，即36－4k＞0.解得k＜9.(2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即36－4k＝0.解得k＝9.(3)因为方程没有实数根，所以Δ＜0，即36－4k＜0.解得k＞9.能力提升10．C当k＝0时，方程变为x－1＝0，x＝1.故选项A错误．当k＝1时，方程变为x2－1＝0，方程有两个实数解x1＝1，x2＝－1.故选项B错误；当k＝－1时，方程变为－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1.故选项C正确，选项D错误．故选C.11．B原方程可变形为(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0.依题意，得4b2－4(a＋c)(a－c)＝0.整理，得b2＋c2＝a2.所以此三角形是直角三角形．故选B.12．14a<，且a≠0因为方程ax2－2x＋4＝0有两个不相等的实数根，所以4－16a＞0，解得14 a<.因为ax2－2x＋4＝0是一元二次方程，所以a≠0. 13．8讨论：(1)若a＝6，则原方程变为－8x＋6＝0.此时34 x=.(2)若a≠6，则b2－4ac＝(－8)2－24(a－6)≥0.解得263 a≤.综上，263a≤.故整数a的最大值为8.14．证明：因为b2－4ac＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0，所以不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．15．(1)证明：因为k是整数，所以12k≠.所以2k－1≠0.因为b2－4ac＝(4k＋1)2－4k(3k＋3)＝(2k－1)2＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．(2)解：y是k的函数．解方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0，得41212k kxk(+)±(-) =.所以x＝3或x＝1＋1 k .因为k是整数，k≠0，所以11 k ≤.所以1＋1k≤2＜3.又因为x1＜x2，所以x1＝1＋1k，x2＝3.所以11 312yk k⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭.一元二次方程课时练习1.2一元二次方程解法（4）复习巩固1．一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A．x＝0 B．x＝1C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝－12．一元二次方程x2－x＋14＝0的根是()A．11 2x=，21 =2x-B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝12-D．x1＝x2＝123．解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0，较为简便的方法是()A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法4．方程x(x－4)＝32－8x的解是()A．x＝－8 B．x1＝4，x2＝－8C．x1＝－4，x2＝8 D．x1＝2，x2＝－85．用因式分解法把方程(x－1)(x－2)＝12分解成两个一元一次方程，下列分解中正确的是()A．x－5＝0，x＋2＝0 B．x－1＝3，x－2＝4C．x－1＝2，x－2＝6 D．x＋5＝0，x－2＝06．如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，那么方程x2－6mx＝0的根为()A．x＝2 B．x＝0C．x1＝2，x2＝0 D．以上答案都不对7．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．8．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．9．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是__________．10．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.能力提升11．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，则二次三项式x2＋px ＋q可分解为()A．(x＋3)(x－4) B．(x－3)(x＋4)C．(x＋3)(x＋4) D．(x－3)(x－4)12．用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，则m的值为()A．7 B．－7 C．6 D．－613．定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝ab＋b；当a＜b时，a⊕b＝ab－a.若(2x－1)⊕(x＋2)＝0，则x＝__________.14．按指定的方法解下列方程：(1)12(2x－1)2－32＝0(直接开平方法)；(2)3x2＋4x＋1＝0(配方法)；(3)x2－x－7＝0(公式法)；(4)x2－1＝3x－3(因式分解法)．15．小张和小林一起解方程x(3x＋2)－6(3x＋2)＝0.小张将方程左边分解因式，得(3x＋2)(x－6)＝0，所以3x＋2＝0或x－6＝0.方程的两个解为12 3x=-，x2＝6.小林的解法是这样的：移项，得x(3x＋2)＝6(3x＋2)，方程两边都除以(3x＋2)，得x＝6.小林说：“我的方法多简便！”可另一个解12 3x=-哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？16．有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32 cm2，求这两个正方形的边长．参考答案复习巩固1．C由x(x－1)＝0，得x＝0或x－1＝0，即x＝0或x＝1.故选C.2．D因为x2－x＋14＝0，即212x⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以x1＝x2＝1 2 .3．B4．B移项，得x(x－4)－(32－8x)＝0，即x(x－4)－8(4－x)＝0，也即(x－4)(x＋8)＝0.故x1＝4，x2＝－8.5．A原方程可化为x2－3x－10＝0，即(x－5)(x＋2)＝0.故x－5＝0或x＋2＝0. 6．C因为x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，所以(－1)2－m－2m＝0，得13 m=.所以方程x2－6mx＝0即为x2－2x＝0，解得x1＝2，x2＝0.7．x1＝－2，x2＝3移项，得(x－1)(x＋2)－2(x＋2)＝0，即(x＋2)(x－3)＝0.故x1＝－2，x2＝3.8．±3由题意，得3x2－6＝21，解得x＝±3.9．0或4把x＝2代入方程(m－2)x2＋4x－m2＝0，得4(m－2)＋8－m2＝0.解这个方程，得m1＝0，m2＝4.10．解：(1)因为将原方程整理，可得x2＋2x＝0，即x(x＋2)＝0，所以x＝0或x＋2＝0.所以x1＝0，x2＝－2.(2)整理，得(3x－1)2－[2(2x＋3)]2＝0，即[3x－1＋2(2x＋3)][3x－1－2(2x＋3)]＝0，(3x－1＋4x＋6)(3x－1－4x－6)＝0，(7x＋5)(－x－7)＝0，所以7x＋5＝0或－x－7＝0.所以157x =-，x 2＝－7. 能力提升11．B 因为方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1＝3，x 2＝－4，所以x 2＋px ＋q ＝(x －3)[x －(－4)]＝(x －3)(x ＋4)．12．C 由题意可得x ＋1＝0，则x ＝－1，即方程x 2－mx －7＝0有一个解为－1.因此(－1)2－m ×(－1)－7＝0.故m ＝6.13．－1或12若2x －1＜x ＋2，此时x ＜3.根据定义，(2x －1)⊕(x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)－(2x －1)＝0，解得x 1＝－1，212x =，这两个解均符合题意．若2x －1≥x ＋2，此时x ≥3.根据定义，(2x －1)⊕(x ＋2)＝(2x －1)·(x ＋2)＋(x ＋2)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，这两个解均不符合题意．综上所述，x ＝－1或12x =. 14．解：(1)将原方程整理，得(2x －1)2＝64，开平方，得2x －1＝±8,2x ＝1±8，182x ±=， 所以118922x +==，218722x -==-. (2)将原方程移项，得3x 2＋4x ＝－1，方程两边同时除以3，得24133x x +=-，配方，得22242123333x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22139x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2133x +=±，2133x =-±.所以1211333x =-+=-，221133x =--=-.(3)因为b 2－4ac ＝(－1)2－4×(－7)＝29，所以x =即1x =2x =. (4)原方程可化为x 2－1－3x ＋3＝0，即(x ＋1)(x －1)－3(x －1)＝0，(x －1)(x ＋1－3)＝0， 于是x －1＝0或x －2＝0，所以x 1＝1，x 2＝2.15．解：小林的解法不对，因为3x ＋2可能为0，等式两边不能同时除以一个等于零的整式．16．解：设大正方形的边长为x cm，根据题意，得2242x⎛⎫+⎪⎝⎭－x2＝32.整理，得x2－16x＝0，即x(x－16)＝0.解得x1＝16，x2＝0(不合题意，舍去)．因此16×12＋4＝12(cm)．答：大正方形的边长为16cm，小正方形的边长为12cm。
一元二次方程的解法综合练习题
一元二次方程的解法综合练习1、一元二次方程的解法分别有___________,____________,____________，____________。
2、一元二次方程的一般形式_______________,其解为_______________。
3、总结：（1）公式法求解步骤：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系 数a, b, c 的值代入求根公式x=[-b ±√(b 2-4ac)]/(2a) , (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。
（2）配方法求解步骤①用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0) ②先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c ③将二次项系数化为1：ac x a b x -=+2④方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：222)2()2(aba c ab x a b x +-=++⑤方程左边成为一个完全平方式：2224ac4-)2ab a b x =+（ ⑥当b 2-4ac≥0时，a 2ac 4-22b a b x ±=+可得：a2ac4-2b b x ±-=总结：方程有根的条件（3）直接开方法求解步骤用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为n m ±=x（4）因式分解法求解步骤 把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一 次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方 程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
4、方程的根与系数的关系： （1）（2）两根21x x 、的和与积的关系：5、十字相乘法分解因式：练习：1.利用直接开平方法解下列方程(1) 4（x-3）2=25 (2) 024)2x 3(2=-+2．利用因式分解法解下列方程(1) x 2 （2） 3(1)33x x x +=+3.利用配方法解下列方程 （1） 21302x x ++= （2）012632=--x x4.利用公式法解下列方程（1）322-=-x x （2）3x 2-5(2x+1)=05.选用适当的方法解下列方程（1） x （x ＋1）－5x ＝0 （2）5x 2 — 52=0（3）7x=4x 2+2 （4）22(21)9(3)x x +=-（5）2(x －3) 2＝x 2－9 （6）(x ＋1) 2＝4x（7）8)2(=+x x （8）()()0165852=+-+-x x（9）())3(21+=+x x x （10）（1－3y ）2+2（3y －1）=01、公式法解方程：⑴2x2-8x+5=0 ⑵3x2+7x+1=0 ⑶x2-6x+7=0⑷x2+5x+1=0 ⑸4x2-9x+3=0 ⑹x2+9x+3=02、配方法解方程⑴3x2-4x-2=0 ⑵x2-6x=1 ⑶4x2-9x=-3⑷x2+9x=3 ⑸x2-5x=-1 ⑹6x2-8x+1=03、用直接开方法⑴（x-2)2=9 ⑵9x2-24x+16=11 ⑶4x2-12x=11⑷（x+4)2.+8=9 ⑸8x2=24 ⑹(2x-3)2=164、因式分解法⑴(x+2)2=3x+6 ⑵-2x 2+13x-15=0 ⑶2x 2+3x=0⑷(x+3)(x-6)=-8 ⑸4(x-3)2=x(x-3) ⑹x 2-3x-4=05、用适当方法计算1、052222=--x x 2、8452=-x x3、0152=+-x x4、()()2232-=-x x x5、272=-x x6、x 2+3x -4=0一元二次方程单元测试一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
专题21.4一元二次方程的解法(精选精练100题)(专项练习)1「含答案」
专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习）【题型目录】1、直接开平方法解一元二次方程（1-20题）；2、配方法解一元二次方程（21-40题）；3、公式法解一元二次方程（41-60题）；4、因式分解法解一元二次方程（61-80题）；5、换元法解一元二次方程（81-90题）；6、解可化以一元二次方程的分式方程（91-100题）．四、因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程:(1)2411x x =；(2)()2224x x -=-2．用因式分解法解下列方程：(1)()()()262x x x --=-；(2)()()22167920x x --+=．3．用因式分解法解下列方程：(1)()()120x x +-=；(2)()()3521127x x x --=-+．4．用因式分解法解下列方程：(1)269x x -=-；(2)224(3)25(2)0x x ---=．5．用因式分解法解下列方程：(1)250x x +=；(2)(5)(6)5x x x --=-．6．用因式分解法的方法解下列方程：(1)22150x x --＝ ；(2)2326x x （＋）＝＋7．因式分解法解方程：(1)()()23525x x -=-；(2)()()22200abx a b x ab ab -++=¹；8．用因式分解法解下列方程：(1)()2236x x +=+；(2)231212x x +=；(3)()223240x x +-=；(4)()()()521123x x x -=-+．9．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)21502x x -=；(2)()()23727x x -=-；(3)()22210x x +-=．10．用因式分解法解下列方程：(1))23x x =；(2)()()221210x x x ---=．11．用因式分解法解下列方程．(1)2560x x --=(2)3(2)2(2)x x x -=-12．用因式分解法解下列方程：(1)()2218x x -=-；(2)()()2222x x x -=-；(3)23x -=-．13．用因式分解法解下列方程：(1)2350y y -=；(2)2412x x =；(3)296x x +=-；(4)229(1)x x =-．14．用因式分解法解下列方程．(1)()()222320x x ---=；(2)()2211t t -+=．15．用因式分解法解下列方程：(1)()2212x x -=；(2)()()222310y y +--=．16．用因式分解法解下列方程：（1）(2)(4)0x x +-=； （2）4(21)3(21)x x x +=+．17．用因式分解法解下列方程：(1)(2)(23)6x x --=；(2)()44x x -=-．18．用因式分解法解方程：(1)3x (2x +1)=2(2x +1)；(2)22(3)(52)x x -=-．19．用因式分解法解方程．(1)22437365x x x x +-=--(2)()233x x x -=-20．用因式分解法解一元二次方程(1)()()41570x x +-=；(2)2(23)4(23)x x +=+．五、换元法解一元二次方程21．()()233320y y -+-+=．22．解方程：2231712x x x x -+=-．23．若实数x ，y 满足2222()(2)3x y x y ++-=，求22x y +的值．24．解方程：226212x x x x--=-．25．解方程()225160x --=．26．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22xy +的值．27．阅读下面的例题，回答问题：例：解方程：220x x --=令y x =，原方程化成220y y --=解得122,1y y ==-（不合题意，舍去） 2,2x x \=\=±\ 原方程的解是122,2x x ==-．请模仿上面的方法解方程：()21160x x ----=28．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得x =\原方程的解为1x =2x =．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()23511x x ++-=．29．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：2–320x x +=．解：设x t =，则原方程可化为：2–320t t +=．解得：1212t t ==，．当1t =时，1x =，∴1x =±；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：12341122x x x x ==-==-，，，．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：220x x -=；(2)解方程：42–1090x x +=．(3)解方程：221211x x x x +-=+．30．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2()3()22()3x y x y x y x y ++-=-ìí+--=î，按常规思路解方程组计算量较大．可设x y a +=，x y b -=，那么方程组可化为23223a b a b +=-ìí-=î，从而将方程组简单化，解出a 和b 的值后，再利用x y a +=，x y b -=解出x 和y 的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)222432x x x x ++=+；(2)2250x x ++-=六、解可化以一元二次方程的分式方程31．解分式方程：2216111x x x +-=--．32．解分式方程：221226x x x x+++=．33．解分式方程：11133x x +=+-34．解分式方程：()2218111x x x --=+-35．解分式方程：241142x x +=--．36．解分式方程：224124x x x -=-+-37．解分式方程21211x x x -=++38．解分式方程：252112x x x+-＝3．39．解分式方程：2164122x x x x +=--40．解分式方程：2212111x x x -+=--1．(1)10x =，2114x =(2)12x =，24x =【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =．（2）移项，得()22240x x --+=，即()()22220x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =．2．(1)12x =，27x =(2)1227x =，234x =【详解】（1）方程左右两边都有因式()2x -，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．（1）移项，得()()()2620x x x ----=，∴()()2610x x ---=，即()()270x x --=，∴20x -=或70x -=，∴12x =，27x =．（2）因式分解，得()()42836428360x x x x -++---=．化简，得()()072234x x --=，∴7220x -=或340x -=，∴1227x =，234x =．3．(1)11x =-，22x =(2)112x =-，223x =【详解】解：（1）()()120x x +-=Q ，10x \+=或20x -=，11x \=-，22x =．（2）原方程可化为2620x x --=，()()21320x x \+-=，210x \+=或320x -=，112x \=-，223x =．4．(1)123x x ==(2)12164,73x x ==【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解；（2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程．【详解】（1）解：269x x -=-2690x x -+=()230x -=解得：123x x ==；（2）解：224(3)25(2)0x x ---=[][]220()5232()x x --=-，[][]2(3)5(2)2(3)5(2)0x x x x -+----=，()5()0232x x --+=或()5()0232x x ---=，解得12164,73x x ==．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程．5．(1)10x =，25x =-(2)15=x ，27x =【分析】（1）直接用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】（1）∵250x x +=∴()50x x +=∴0x =或50x +=∴10x =，25x =-（2）∵(5)(6)5x x x --=-∴()(5)(6)50x x x ----=∴(5)(61)0x x ---=∴50x -=或610x --=∴15=x ，27x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．6．(1)15x ＝，23x -＝；(2)13x -＝，21x -＝【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可；（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22150x x --＝ ，（x ﹣5）（x +3）＝0，则x ﹣5＝0或x +3＝0，∴15x ＝，23x -＝；（2）解：2326x x ++（）＝，2323x x ++（）＝（），移项，得23230x x ++（）﹣（）＝，则（x +3）（x +1）＝0，∴x +3＝0或x +1＝0，∴1231x x --＝，＝．【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键．7．(1)121353x x ==，(2)12b a x x a b==【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：()()23525x x -=-方程变形为：()()23525x x -+-=0，∴()()50532x x éù+ë-=û-，∴()()53130x x --=，∴12135,3x x ==；（2）解：()()22200abx a b x ab ab -++=¹()()0ax b bx a --=，∵0ab ¹，∴0,0a b ¹¹，∴12,ba x x a b==【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．12(2)122x x ==(3)12x =-，225x =-(4)112x =，28x =-【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原方程可变形为()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，所以20x +=或10x -=，即12x =-，21x =．（2）原方程可变形为2440x x -+=，即()220x -=，所以122x x ==．（3）原方程可变形为()()3223220x x x x +-++=，即()()2520x x ++=，所以20x +=或520x +=，即12x =-，225x =-．（4）原方程可变形为()()21530x x -++=，即()()2180x x -+=，210x -=或80+=x ，∴112x =，28x =-．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．12(2)17x =，2193x =(3)113x =-，21x =-【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可；（2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：21502x x -=因式分解，得1502x x æö-=ç÷èø．于是0x =，1502x -=，解得10x =，210x =；（2）()()23727x x -=-移项，得()()237270x x ---=，因式分解，得()()73720x x --+=éùëû，于是70x -=，3190x -=，解得17x =，2193x =；（3）()22210x x +-=因式分解，得()()21210x x x x éùéù+++-=ëûëû，于是310x +=，10x +=，解得113x =-，21x =-．【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法．10．(1)120x x =，(2)12112x x ==，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵)23x x =，∴)230x x -=，∴)310x x éù-=ëû，∴)310x -=或0x =，解得120x x ==，；（2）解：∵()()221210x x x ---=，∴()()21210x x x ---=，即()()1210x x --=，∴10x -=或210x -=，解得12112x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．11．(1)18x =，27x =-(2)12x =，223x =【分析】（1）首先把方程变形可得(8)(7)0x x -+=，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出x 的值即可；（2）首先对方程进行整理，得出3(2)2(2)0x x x ---=，再因式分解可得(2)(32)0x x --=，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】（1）2560x x --=，(8)(7)0x x \-+=，80x \-=或70x +=，18x \=；27x =-；（2）3(2)2(2)x x x -=-，移项，得3(2)2(2)0x x x ---=，(2)(32)0x x \--=，20x \-=或320x -=，12x \=；223x =．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．12．(1)1212x x ==-(2)12x =，22x =-(3)12x x ==【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式()2x -进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()22180x x +-=，241840x x x -+=+，24410x x ++=，()2210x +=，210x +=，21x =-，1212x x ==-．（2）解：()()22220x x x ---=，()()2220x x x ---=，()()220x x ---=，20x -=或20x --=，12x =，22x =-．（3）解：230x -+=，(20x =，0x =，12x x ==【点睛】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．13．(1)1250,3y y ==(2)120,3x x ==(3)123x x ==-(4)1211,42x x ==-【分析】（1）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（2）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（3）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（4）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2350y y -=，()350y y -=，解得：1250,3y y ==；（2）解：2412x x =，24120x x -=，()430x x -=，解得：120,3x x ==；（3）解：296x x+=-2690x x ++=即()230x +=，解得：123x x ==-；（4）解：229(1)x x =-，()22910x x --=，即()()22310x x --=，∴()()31310x x x x +--+=，即()()41210x x -+=，解得：1211,42x x ==-．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．14．(1)125,13x x ==(2)1211,2t t ==【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：()()222320x x ---=，∴()()()()2322320x x x x -+--éùé-ùëûëû-=，∴()()3510x x --=，∴350x -=或10x -=，∴125,13x x ==．（2）解：()2211t t -+=∴()22110t t -+-=，∴()()1210t t --=，∴1211,2t t ==．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．123(2)1213,42y y =-=【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：移项，得()22120x x --=，因式分解，得()()12120x x x x -+--=，得10,130x x -=-=或，解得：1211,3x x ==；（2）解：因式分解，得()()2312310y y x y ++-+-+=，合并同类项，得()()41230y y +-+=，得410230y y +=-+=或，解得：1213,42y y =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．（1）12=2,=4x x -；（2）1213,24x x =-=．【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）∵(2)(4)0x x +-=；∴20x +=，40x -=，∴12x =-，24x =；（2）4(21)3(21)x x x +=+，4(21)3(21)0x x x +-+=，(21)(43)0x x +-=，∴210x +=或430x -=，∴112x =-，234x =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．122(2)122x x ==【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：(2)(23)6x x --=，223466x x x --+=，即2270x x -=，∴()270x x -=，解得：12720,x x ==；（2）解：()44x x -=-，即2440x x -+=，()220x -=，解得：122x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．18．(1)1x =-12，2x =23；(2)1x =2，2x =83．【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值；（2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】（1）解：∵3x （2x +1）-2（2x +1）=0，∴（2x +1）（3x -2）=0，∴2x +1=0或3x -2=0，解得1x =-12，2x =23；（2）解：∵22(3)(52)x x -=-，∴22(3)(5)02x x --=-，∴(352)(3520)x x x x +---+=-，即(2)(308)x x --=，∴2-x =0或3x -8=0，解得1x =2，2x =83．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．19．(1)113x =-，213x =(2)112x =，23x =【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可；（2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22437365x x x x +-=--2910x -=（3x +1）（3x -1）=03x +1=0，3x -1=0113x =-，213x =．（2）解：()233x x x -=-2263x x x -=-22730x x -+=（2x -1）（x -3）=02x -1=0，x -3=0112x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．20．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．【详解】（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程．21．2y =或1y =【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将()3y -看作一个整体，设3y t -=，利用因式分解法求得t 的值，进而即可求得y ．【详解】解：设3y t -=，则原方程即2320t t ++=，∴()()120t t ++=，∴10t +=或20t +=，解得1t =-或2t =-，∴31y -=-或32y -=-，解得，2y =或1y =．22．1234111,22x x x x =+==-=【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设21x y x =-，原方程变为1732y y +=，解得12y =或23y =．再分别代入21x y x =-，求出1x =或12x =-或2x =，代入最简公分母进行检验即可求解．【详解】解：设21x y x =-，则211x x y-=，原方程变为1732y y +=，去分母得：26720y y -+=，解得12y =或23y =．当2112x x =-时，去分母得：2210x x --=，解得：1x =当2213x x =-时，去分母得：22320x x --=，解得：12x =-或2x =，检验：当1x =()()2110x x x +-¹，当12x =-或2x =时，()()2110x x x +-¹，∴分式方程的解为1234111,22x x x x ===-=．23．223x y +=．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将22x y +看成一个整体t ，转换成一个关于t 的一元二次方程求解即可．【详解】解：令22x y t +=，则，原方程变为，()23t t -=，即，2230t t --=，()()310t t -+=解得：13t =，21t =-；又220x y +³Q ，∴223x y +=．24．123,1x x ==-【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设22y x x =-，则原方程可化为260y y --=，解一元二次方程求y ，再求x ．【详解】设22y x x =-，则原方程化为61y y-=\260y y --=，即()()320y y -+=，解得12y =-，23y =．当12y =-时，222x x -=-，该方程无解，当23y =时，223x x -=．解得13x =，21x =-，检验：当13x =时，原方程左边69632196=--=-==-右边，当21x =-时，原方程左边61232112=+-=-==+右边，∴13x =，21x =-都是原方程的根，∴原方程的根是13x =，21x =-．25．13x =，23x =-，31x =，41x =-【分析】设25y x =-，求出y 后，可得关于x 的方程，再解方程即可．【详解】设25y x =-，原方程化为2160y -=，解得14y =，24y =-，当14y =时，254x -=，29x =，则13x =，23x =-；当24y =-时，254x -=-，21x =，则31x =，41x =-，所以原方程的解为13x =，23x =-，31x =，41x =-．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．26．22x y +的值为3【分析】设22x z y +=，然后用因式分解法求解即可，求解时注意220x y +>.【详解】设22x z y +=，∴(2)3z z -=．整理得：2230z z --=，∴(3)(1)0z z -+=．∴121,3z z ==-．∵220z x y =+>，∴1z =- (不合题意，舍去)∴3z =．即22x y +的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．27．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令1m x =-，则原方程化为260m m --=，解方程得到3m =，则1=3x -，据此求解即可．【详解】解：令1m x =-，则原方程化为260m m --=，∴()()320m m -+=，解得3m =或2m =-（不合题意，舍去），∴1=3x -，∴13x -=±，解得1224x x =-=，．28．(1)11x =，21x =，341x x ==(2)10x =、25x =-【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；（1）令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，进而得出226x x -=，221x x -=-，解方程，即可求解；（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =，进而分别解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，解得16y =，21y =-．当16y =时，226x x -=，解得1x =．当21y =-时，221x x -=-，解得1x =．\原方程的解为：11x =，21x =，341x x ==（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =当113y =-13=-（无意义舍去）当21y =1=，解得10x =、25x =-．\原方程的解为10x =、25x =-．29．(1)1234022x x x x ====-，，；(2)12341133x x x x ==-==-，，，；(3)1x =和12x =-．【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．（1）设x t =，则原方程可化为220t t -=，解方程求得t 的值，再求x 的值即可；（2）设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（3）设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解．【详解】（1）解：设x t =，则原方程可化为：220t t -=．解得：1202t t ==，．当0=t 时，0x =，∴0x =；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：1234022x x x x ====-，，；（2）解：设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，即()()190a a --=，解得：1a =或9a =，当1a =时，21x =，∴1x =±；当9a =时，29x =，∴3x =±；∴原方程的解是：12341133x x x x ==-==-，，，；（3）解：设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，∴()()120m m +-=，解得：1m =-或2m =，当1m =-时，211x x+=-，即210x x ++=，由141130D =-´´=-<知此时方程无解；当2m =时，212x x+=，即2210x x --=，解得：1x =或12x =-，经检验1x =和12x =-都是原分式方程的解．30．(1)1=1x -；2=2x ；31x =41x =(2)11x =-，21x =【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；（1）设2(0)2x t t x =¹+，将原方程化为2320t t -+=，解得2t =或1t =，再分别代入22x t x =+求解分式方程的解即可；（2()0t t =³，则有222x x t +=，将原方程化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =t =求解即可；【详解】（1）设2(0)2x t t x =¹+，\原方程化为23t t+=，\2320t t -+=，解得2t =或1t =，当1t =时，212x x =+，解得2x =或=1x -，经检验，=1x -或2x =是方程的解；当2t =时，222x x =+，解得1x =1x =-，经检验，1x =或1x =∴原方程的解为：1=1x -；2=2x ；31x =；41x =（2()0t t =³，则有222x x t +=，\原方程可化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =，1=，\2210x x +-=，解得11x =-或21x =-；经检验：11x =，21x =是原方程的解．31．4x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：2216111x x x +-=--方程左右同乘以21x -、去分母得：()()()221116x x x ++--=，去括号得：2222116x x x x +++-+=，移项、合并同类项得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，∴40x +=或10x -=，解得：14x =-，21x =，检验：14x =-，则211150x -=¹，故是原分式方程的根，21x =，则2210x -=，故是原分式方程的增根，∴原分式方程的解为4x =-．32．12x =-，22x =-，31x =【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．原方程化为211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x +=，则原方程变形为2226a a +-=，求出a 的值，当4a =-时，方程为14x x+=-，求出方程的解，当2a =时，方程为12x x +=，求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：原方程化为：211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x+=，则原方程化为：2226a a +-=，即2280a a +-=，解得：4a =-或2a =，当4a =-时，14x x+=-，整理得：2410x x ++=，Q 24411120D =-´´=>，x \=解得：12x =-，22x =-；当2a =时，12x x +=，整理得：2210x x -+=，()210x -=，解得：1x =，经检验12x =-，22x =-，31x =都是原方程的解，所以原方程的解是12x =-22x =-，31x =．33．12x x ==【分析】方程两边同乘以()()33x x +-可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．【详解】解：11133x x +=+-，方程两边同乘以()()33x x +-，得()()3333x x x x +--+=+，去括号，得2933x x x --+=+，移项、合并同类项，得215x =，直接开平方，得12x x ==经检验，12x x ==【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．34．5x =【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可．【详解】解：去分母，得()222181x x --=-，去括号，得2224281x x x -+-=-移项、合并同类项，得2450x x --=，解得11x =-，25x =，经检验，5x =是方程的解．【点睛】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．35．=1x -【分析】方程两边同时乘以()24x -，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：241142x x +=--，方程两边同时乘以()24x -，得()2442x x +-=+，即220x x --=，()()210x x -+=，解得122,1x x ==-，检验：当2x =时，()24x -0=，当=1x -时，()240x -¹．∴=1x -是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验．36．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：224124x x x -=-+-，两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．37．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．【详解】解：21211x x x -=++化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1¹0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．38．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18，检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0．即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．39．83x =-【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：整理，得：1641(2)2xx x x +=--，去分母，得：216(2)4x x x +-=，221624x x x +-=，232160x x +-=，(2)(38)0x x -+=，解得：12x =，283x =-，检验：当2x =时，(2)0x x -=，2x \=不是原分式方程的解，当83x =-时，(2)0x x -¹，83x \=-是原分式方程的解，\分式方程的解为83x =-．【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．40．2x =-【分析】先去分母化为整式方程求解，最后记得检验即可．【详解】解：原方程可化为()()2121111x x x x --=-+-去分母得()()()()211211x x x x -+-=+-，解得11x =，22x =-经检验11x =是增根，2x =-是原方程的解，\原方程的解为2x =-．故答案为2x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握一般步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是否为方程的根．。
(完整版)解一元二次方程练习题(配方法、公式法)
解一元二次方程练习题(配方法)配方法的理论根据是完全平方公式a22ab b2(a b)2，把公式中的a看做未知数x,并用x代替，则有x22bx b2(x b)2。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式1 •用适当的数填空：①、X2+6X+ ___ = (x+ —) 2②、x2—5x+ _= (x — _) 2;③、x2+ x+ ___ = (x+ _) 2④、x2—9x+ _= (x — _) 22 .将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_____________ •3. 已知4x2-ax+1可变为(2x-b) 2的形式，则ab= __________ .4. ____________________________________________________ 将x2-2x-4=0用配方法化成(x+a) 2=b 的形式为 __________________________________________________ ，?所以方程的根为__________ .5. 若x2+6x+m 2是一个完全平方式，则m的值是6. 用配方法将二次三项式______________________ a2-4a+5变形，结果是7. 把方程X2+3=4X配方，得__________________&用配方法解方程X2+4X=10的根为_________9. 用配方法解下列方程：(1) 3x2-5x=2 . ( 2) X2+8X=91(3) X2+12X-15=0 X2_X_4=0(4)-410. 用配方法求解下列问题 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方 法。
一元二次方程ax 2 bx c 0(a 0)的求根公式：2 b vb 4ac 心2 ’ c 、x(b 4ac 0)2a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为 a ， 次项的系数为b ,常数项的系数为c一、填空题 1. 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0 (0),当b 2- 4ac >0时，它的根是-__ _______________当b-4ac<0时，方程 __________ .2. __________________________________________________________ 方程ax 2+bx+c=0 (0)有两个相等的实数根，则有 ________________________________________________ ， ?若有两个不相等的实 数根，则有 __________ ，若方程无解，则有 ____________ .3. 用公式法解方程 x 2 = -8x-15，其中 b 2-4ac= _ ， x i = ___ ，X 2= _______ .4.已知一个矩形的长比宽多 ___________________________ 2cm,其面积为8cm ，则此长方形的周长为 .5 .用公式法解方程 4y 2=12y+3，得到 __________________6.不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0 :②x 2+4=0;③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有个&若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为 _______________ 二、利用公式法解下列方程(1 )求2x 2-7x+2的最小值(2)求-3X 2+5X +1的最 大值。
一元二次方程解法————公式法(含答案)
一元二次方程解法————公式法1．解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝02．解方程（1）2y2+6y+5＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．3．解方程：（1）3x2﹣6x＝2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．4．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝4．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．6．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝0．（2）（x+3）（x﹣1）＝5．7．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．8．用适当方法解方程（1）x2﹣3x﹣9＝0；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣5＝0，∴x2+2x＝5，∴x2+2x+1＝6，∴（x+1）2＝6，∴x＝﹣1±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣（2）∵（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣2+x）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣2+x＝0，∴x1＝2，x2＝1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．2．解方程（1）2y2+6y+5＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝6，c＝5，∴Δ＝62﹣4×2×5＝﹣4＜0，∴此方程无实数根；（2）∵x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0，则2x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝2.5，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．解方程：（1）3x2﹣6x＝2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）根据公式法即可求出答案（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵3x2﹣6x＝2，∴a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，∴△＝36+24＝60＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝（2）∵x（2x﹣5）＝4x﹣10，∴x（2x﹣5）＝2（2x﹣5），∴（x﹣2）（2x﹣5）＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝4．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+2＝0，∴x2﹣4x+4＝2，∴（x﹣2）2＝2，∴x﹣2＝±，∴；（2）∵（x﹣1）（x+2）＝4，∴x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵2y（y+2）﹣y＝2，∴2y（y+2）﹣y﹣2＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，∴y+2＝0或2y﹣1＝0，∴y＝﹣2或y＝；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝0．（2）（x+3）（x﹣1）＝5．【分析】（1）确定a，b，c的值，然后代入求根公式计算即可；（2）先将方程整理成一般形式，然后用因式分解法解答即可．【解答】解：（1）2x2+3x﹣4＝0，a＝2，b＝3，c＝﹣4，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）＝41，x＝＝，∴x1＝，x；（2）（x+3）（x﹣1）＝5，整理得，x2+2x﹣8＝0，因式分解得，（x+4）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣4，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的各种解法．7．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式计算出方程的根；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，∵（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．8．用适当方法解方程（1）x2﹣3x﹣9＝0；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1．【分析】（1）先确定a，b，c的值，然后利用公式法解答即可；（2）先化简方程，然后确定【解答】解：（1）x2﹣3x﹣9＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣9，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣9）＝45，x＝＝，x1＝，x2＝；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1，整理得，2x2+x﹣3＝0，a＝2，b＝1，c＝﹣3，Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×2×（﹣3）＝25，x＝＝＝，。
一元二次方程解法公式法练习试题
一元二次方程的解法－公式法 同步练习一、选择题1 ．用公式法解方程 4x2-12x=3 ，获得（）．A ．x= 3 6 2B ．x= 3 623 2 3 3 2 3C ．x=D ．x=2 22 ．方程2 x2+4 3 x+6 2 =0 的根是（）．A ．x 1= 2 ，x 2= 3B ．x 1=6，x 2= 2C ．x 1=2 2 ，x 2= 2D ．x 1=x 2=- 63 ．（m2-n 2）（m 2-n 2-2 ）-8=0 ，则 m 2- n 2 的值是（）．A ．4B ．-2C ．4 或-2D ．-4 或 2二、填空题1 ．一元二次方程 ax2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是 ________，条件是 ________．2 ．当 x=______时，代数式 x 2-8x+12 的值是 -4 ．2+x+m 2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是 _____．3 ．若对于 x 的一元二次方程（ m-1）x三、综合提升题1 ．用公式法解对于 x 的方程： x2-2ax- b 2+a 2=0．2 ．设 x 1，x 2 是一元二次方程 ax 1+x 2=- 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导 x 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导 x b a，x 1·x 2=c a ；3+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．（2）?求代数式 a （x 13．某电厂规定：该厂家眷区的每户居民一个月用电量不超出 A千瓦时， ?那么这户居民这个月只交 10 元电费，假如超出 A 千瓦时，那么这个月除了交 10?元用电费外超出部分还要按A每千瓦时元收费．100（1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超出规定 A 千瓦时，则超出部分电费为多少元？（?用 A 表示）（2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电状况和交费状况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3 80 254 45 10依据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？答案:一、1．D 2 ．D 3 ．C二、1．x= 2 4 b b ac 2a，b 2-4ac ≥0 2 ．4 3 ．-32-4ac ≥0 2 ．4 3 ．-3 三、1．x=2 2 2 2a 4a 4b 4a2=a ±│b │ 2．（1）∵x 1、x 2 是 ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，∴x 1= 2 4 b b ac 2a，x 2=2 4 b b ac 2a ∴x 1+x 2=2 4 2 4 b b ac b b ac 2a=- b a， x 1·x 2= 2 4 b b ac 2a · 2 4b b ac2a= c a （2）∵x 1，x 2 是 ax 2+bx+c=0 的两根，∴ ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0 3 2 3 2原式=ax 1 +bx 1 +c 1x 1+ax 2 +bx 2 +cx 2=x 1（ax 12+bx 1+c ）+x 2（ax 22+bx 2+c ）=03．（1）超出部分电费 =（90-A ）· A 100=- 1 100 A 2+ 9 2+ 9 10 A（2）依题意，得： （80-A ）· A 100=15，A 1=30（舍去），A 2=50。
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课题 一元二次方程的解法（公式法）
1、我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？
2、用配方法解一般形式的一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax
3、一元二次方程的求根公式：
用公式法解下列方程:
(1)2 x 2＋x －6＝0； (2)
0422=+-x x ；
(3)5x 2－4x －12＝0； (4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.
用公式法解方程：3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).
4、一元二次方程的根的判别式
关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式是：
（1）当b 2－4ac ＞0时， ；
（2）当b 2－4ac ＝0时， ；
（3）当b 2－4ac ＜0时，
1、不解方程，判别方程05752=+-x x
的根的情况。
2、若关于x 的一元二次方程01)12()
2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
解方程：2x 2－x －3=0观察它的两个根，并计算两根之和，两根之积分别等于多少？你能得到什么结论吗？
用适当的方法解下列方程：
（1）3x 2－4x ＝2x ； （2）
3
1（x ＋3）2＝1；
（3）x 2＋(
3＋1)x ＝0 （4）x （x －6）＝2（x －8）；
（5）（x ＋1）（x －1）＝x 22
； （6）x （x ＋8）＝16；
已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？
学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽.（精确到0.1米）
达标测评
1．用公式法解下列方程：
（１）2220x
x +-= ２）23470x x +-=；
（３）22810y
y +-=； （４）212308
x x -+=．
2．用适当的方法解下列方程：
（１）2(2)
3y -=； （２）2(23)3(43)x x +=+；
（３）2320x
x --= （４）(1)(2)5x x -+=．
[我的收获—我快乐]________________________________________ [我的不足—我改正]
你有做错的题吗？请你记录下来并更正到错题记录本！____________________________________。