6.1(1)菱形的性质
6.1菱形的性质与判定(2)
交AB于E，DF∥BA交AC于点F，连接AD，要使四
边形AEDF是菱形，只需添加条件（ ）
A.AD⊥BC B.∠BAD＝∠CAD
A
C.BD=DC D.AD=BC
E
F
B
D
C
课本第7页 第2题
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点.
证明：
∵EF是AC的垂直平分线 ∴AE=CE,AO=CO
∵AD∥BC
1
∴∠1=∠2
在△AOE和△COF中
4
∠1=∠2
AO=CO ∠3=∠4 ∴△AOE≌△COF（ASA） ∴AE=CF
又∵AE∥CF ∴四边形AFCE是平行四边形 又∵AE=CE
∴四边形AFCE是菱形
五、对应训练 1.下列四边形不是菱形的是（ ）
A
D
B
C
归纳
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.有四条边相等的四边形是菱形.
菱形常用的判定方法：
① 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱 形
+一组邻边相等 =
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
③ 有四条边相等的四边形是菱形。
有一组邻边相等的平行四边形 叫菱形．
平行四边形
一组邻边相等
菱形
想一想
• 一个四边形是平行四边形，那么添加什 么条件能使它成为一个菱形？
定义法：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
D
AB AD ABCD是菱形.
B
C
还可以添加什么条件使它成为一个菱形？
鲁教版(五四制)数学八年级下册6.1.3菱形的性质与判定教学设计
5.小组合作：布置一道小组合作的探究题，要求学生通过讨论、分析，共同探究以下问题：如何利用菱形的性质设计一幅美丽的图案？并在下一节课上分享探究成果，培养学生的团队协作能力和创造力。
此外，学生在之前的学习中，已经积累了观察、猜想、验证等探究方法的经验，具备了一定的自主学习能力。但在团队合作、交流讨论方面，部分学生仍显得不够积极主动。因此，在本章节的教学中，教师应注重引导学生积极参与课堂活动，培养他们的团队协作能力和表达能力。
此外，考虑到学生的年龄特点，他们对新奇、有趣的事物充满好奇心，教师可以通过设置有趣的情境和问题，激发学生的学习兴趣，使他们更加投入到菱形性质与判定的学习中。总之，教师要充分了解学生的实际情况，有的放矢地进行教学设计，使学生在轻松愉快的氛围中掌握本章节的知识。
（3）邻边法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
4.例题讲解：教师通过例题，讲解如何运用菱形的性质和判定方法解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动：学生分小组，讨论以下问题：
（1）菱形与矩形、正方形有什么关系？
（2）如何利用菱形的性质解决实际问题？
（3）如何判定一个四边形是菱形？
2.小组代表分享：各小组代表分享讨论成果，其他同学补充。
（2）探究性质：组织学生观察、猜想、验证菱形的性质，总结出菱形的特征；
（3）学习判定：引导学生运用已知的几何知识，探讨菱形的判定方法，并举例说明；
（4）巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生独立或合作完成，巩固所学知识；
（5）拓展应用：将菱形的性质和判定方法运用到实际问题中，提高学生解决问题的能力；
小学数学认识几何形的菱形
小学数学认识几何形的菱形在小学数学学习中，我们学习了许多形状和图形，其中菱形是一种常见而重要的几何形。
菱形具有特殊的性质和特征，对孩子们的几何认识和思维发展有着重要的影响。
本文将介绍菱形的基本概念、特征及其相关的数学知识。
一、菱形的基本概念菱形是指四边形的一种特殊形式，其定义如下：四边形的四条边相等，对角线互相垂直且互相平分的形状就是菱形。
菱形的定义可以使用下面的公式来表达：ABCD是一个菱形，当且仅当AB=BC=CD=DA，且对角线AC与BD互相垂直且平分。
二、菱形的特征菱形具有一些独特的特征，如下所述：1. 对角线相等：在菱形中，对角线AC与BD相等，即AC=BD，这是菱形的重要性质之一。
2. 对角线垂直：菱形的对角线AC与BD相互垂直，垂直是指两条线段相交时互相成直角。
3. 对角线平分：菱形的对角线AC与BD相互平分，即对角线AC平分BD，对角线BD平分AC。
4. 边长相等：在菱形中，四条边的长度相等，即AB=BC=CD=DA。
由于菱形具有以上特征，学习菱形对于小学生来说非常重要，可以培养他们观察、分析和推理的能力。
三、菱形的相关数学知识菱形作为一种常见的几何形状，与其他几何概念和数学知识有着密切的联系。
以下是菱形相关的数学知识点：1. 菱形的面积：菱形的面积可以通过底和高的乘积来计算。
假设菱形的对角线分别为d1和d2，那么菱形的面积可以计算为面积 = 0.5 * d1 * d2。
2. 菱形的周长：菱形的周长可以通过四条边的长度之和来计算，即周长 = AB + BC + CD + DA。
3. 菱形与平行四边形的关系：菱形可以看作是一种特殊的平行四边形，在平行四边形的基础上，菱形还具有垂直对角线且对角线相等的特点。
4. 菱形的旋转对称性：菱形具有旋转对称性，即通过将菱形绕菱形中心点旋转180度，可以得到完全相同的菱形。
通过学习菱形的相关知识，小学生可以不仅了解菱形的基本概念和特征，还可以将其与其他几何形状进行比较和联系，提高他们的几何思维和推理能力。
菱形的性质和判定教案
菱形的性质和判定教案第一章：菱形的定义和性质1.1 菱形的定义引导学生回顾四边形的定义，引入菱形的概念。
通过图形展示，让学生理解菱形是由四条边相等的四边形。
1.2 菱形的性质介绍菱形的四条边相等的性质。
引导学生观察菱形的对角线性质，得出对角线互相垂直且平分的性质。
引导学生探索菱形的对角线与边的夹角，得出均为直角的性质。
第二章：菱形的判定2.1 判定一个四边形为菱形的条件引导学生运用菱形的性质，判断一个四边形是否为菱形。
强调四条边相等是判定的关键条件。
2.2 对角线互相垂直且平分的四边形为菱形通过图形展示，让学生理解对角线互相垂直且平分的四边形必定是菱形。
引导学生运用这个判定条件，解决相关问题。
第三章：菱形的面积3.1 菱形的面积计算公式引导学生回顾三角形和矩形的面积计算公式。
引入菱形的面积计算公式，即对角线乘积的一半。
3.2 应用菱形的面积公式解决问题通过例题，让学生运用菱形的面积公式解决问题。
引导学生注意对角线长度和角度的关系，以便准确计算面积。
第四章：菱形的对角线4.1 菱形的对角线长度引导学生观察菱形的对角线长度，得出对角线长度相等的性质。
通过几何证明，引导学生理解对角线长度相等的证明方法。
4.2 菱形的对角线与边的夹角引导学生观察菱形的对角线与边的夹角，得出均为直角的性质。
通过几何证明，引导学生理解对角线与边的夹角为直角的证明方法。
第五章：菱形的对称性5.1 菱形的轴对称性引导学生观察菱形的对称性，得出菱形具有轴对称性的性质。
通过图形展示，让学生理解菱形有两组对称轴。
5.2 菱形的中心对称性引导学生观察菱形的对称性，得出菱形具有中心对称性的性质。
通过图形展示，让学生理解菱形的中心对称性。
第六章：菱形的画法6.1 菱形的画法步骤介绍菱形的画法步骤，包括确定边长、画对角线、分割四边形等。
通过示例，引导学生逐步完成菱形的绘制。
6.2 应用菱形的画法解决问题通过例题，让学生运用菱形的画法解决问题，如绘制特定的菱形图案。
菱形的性质与判定导学案
菱形的性质与判定导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN教学设计 3.2 3 月 9 日2、联系实际，感受菱形学生观察生活中的菱形，感受菱形在现实生活的的存在。
使学生体会数学来源于生活并服务于生活，并提高学习数学的兴趣，并感受到生活中的美。
3、折折剪剪，得到菱形如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？学生动手操作，得到菱形，并证明结论培养学生的运用能力与思考能力。
4、动手操作，体验性质画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形回答以下问题：１、菱形是轴对称图形吗？2、菱形有几条对称轴？3、对称轴之间有什么关系？4、你能看出图中哪些线段和角相等学生通过动手、小组合作交流等活动，总结菱形的性质。
培养学生的动手能力与合作意识。
5、小结归纳，总结性质1、菱形的四条边相等2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
3、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。
学生总结归纳菱形的性质培养学生的概括能力。
6、小组合作，证明性质如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，如图．求证：AB＝BC＝CD＝DA．AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD BD平分∠ABC和∠ADC．证明：∵四边形ABCD是菱形．∴AB＝AD． OB＝OD．(菱形的对角线互相平分)在等腰△ABD中，∵OB＝OD，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，(等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)学生写已知、求证、证明小组讨论，让所有的学生能够积极参与课堂教学，真正成为课堂的主人。
培养学生严谨的做题过程。
11、梳理知识，归纳总结本节课你有什么收获？学生畅所欲言，表达自己的观点梳理知识，提高学生的概括能力。
12、布置作业，巩固提高必做：配套练习册6.1选做：如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定知识点 A 要求B 要求Ｃ要求菱形会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定;会用菱形的性质和判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形;它具有平行四边形的所有性质;•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补;对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形;也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高;等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直;其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理..菱形是在平行四边形的前提下定义的;首先她是平行四边形;但它是特殊的平行四边形;特殊之处就是“有一组邻边相等”;因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法..菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续;又是以后要学习的正方形的基重、难点知识点睛中考要求础..难点是菱形性质的灵活应用..由于菱形是特殊的平行四边形;所以它不但具有平行四边形的性质;同时还具有自己独特的性质..如果得到一个平行四边形是菱形;就可以得到许多关于边、角、对角线的条件;在实际解题中;应该应用哪些条件;怎样应用这些条件;常常让许多学生手足无措;教师在教学过程 中应给予足够重视..板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上;一个菱形绕它的中心旋转;使它和原来的菱形重合;那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2;一活动菱形衣架中;菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==;则1∠= 度．图21CBA⑵如图;在菱形ABCD 中;60A ∠=︒;E 、F 分别是AB 、AD 的中点;若2EF =;则菱形ABCD 的边长是______．【例3】 如图;E 是菱形ABCD 的边AD 的中点;EF AC ⊥于H ;交CB 的延长线于F ;交AB 于P ;证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆ 如图1所示;菱形ABCD 中;对角线AC 、BD相交于点O ;H 为AD 边中点;菱形ABCD 的周长为24;则OH 的长等于 ．E F DBC A例题精讲图1HO DC B【巩固】 ☆如图;已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ;则DE 的长为【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ;两邻角度数之比为2:1;则菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2;在菱形ABCD 中;6AC =;8BD =;则菱形的边长为A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】 如图3;在菱形ABCD 中;110A ∠=︒;E 、F 分别是边AB 和BC 的中点;EP CD ⊥于点P ;则FPC ∠=A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例6】 ☆如图;把一个长方形的纸片对折两次;然后剪下一个角;为了得到一个锐角为60︒的菱形;剪口与折痕所成的角α的度数应为A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 的中点;且AE BC ⊥;AF CD ⊥;那么EAF ∠等于 ．【巩固】 如图;将一个长为10cm ;宽为8cm 的矩形纸片对折两次后;沿所得矩形两邻边中点的连线虚线剪下;再打开;得到的菱形的面积为A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA的大小是【例8】 如图;菱形花坛ABCD 的周长为20m ;60ABC ∠=︒;•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD;求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】 已知;菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;若AE AF EF AB ===;求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】 如图;如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形;需要添加一个条件;那么你添加的条件是 ．DCAB【例11】 ☆如图;在ABC ∆中;BD 平分ABC ∠;BD 的中垂线交AB 于点E ;交BC 于点F ;求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】 已知：如图;平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】 如图;在梯形纸片ABCD 中;//AD BC ;AD CD >;将纸片沿过点D 的直线折叠;使点C 落在AD 上的点C 处;折痕DE 交BC 于点E ;连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图;E 是菱形ABCD 的边AD 的中点;EF AC ⊥于H ;交CB 的延长线于F ;交AB 于P ;证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】 ☆已知：如图;在平行四边形ABCD 中;AE 是BC 边上的高;将ABE ∆沿BC 方向平移;使点E 与点C重合;得GFC ∆．若60B ∠=︒;当AB 与BC 满足什么数量关系时;四边形ABFG 是菱形 证明你的结论．GF E DCBA【例14】 如图;在ABC ∆中;AB AC =;M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ;ME AC ⊥于E ;DF AC ⊥于F ;EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】 如图;ABC ∆中;90ACB ∠=︒;AD 是BAC ∠的平分线;交BC 于D ;CH 是AB 边上的高;交AD 于F ;DE AB ⊥于E ;求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】 ☆如图;M 是矩形ABCD 内的任意一点;将MAB ∆沿AD 方向平移;使AB 与DC 重合;点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，;试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直;且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时;在上述变换下;四边形'MDM C 是菱形 为什么M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】 已知等腰ABC △中;AB AC =;AD 平分BAC ∠交BC 于D 点;在线段AD 上任取一点P A 点除外;过P 点作EF AB ∥;分别交AC 、BC 于E 、F 点;作PM AC ∥;交AB 于M 点;连结ME . ⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时;菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ;一条对角线长为10cm ;则其面积为 ．2.如图;在菱形ABCD 中;4AB a E =，在BC 上;2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上;则PE PC +的最小值为EPDCBA3. 已知菱形的一个内角为60︒;一条对角线的长为23;则另一条对角线的长为________．4.已知;菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;且60B EAF ∠=∠=︒;18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA5.如图;在ABC ∆中;AB AC =;D 是BC 的中点;连结AD ;在AD 的延长线上取一点E ;连结BE ;CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时;四边形ABEC 是菱形 并说明理由．课后练习EDCB A6.如图;ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类 直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时;四边形ADFE 为正方形．FEDCB A7.如图;已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线;AM BE ⊥于M ;AN CF ⊥于N ;求证：MN BC ∥．NMEFCBA。
菱形性质和判定
菱形性质和判定
菱形是一种多边形，其特征是其连线两两相交，四个顶点均有四条边，形状非常规整，因而极受欢迎。
菱形性质及其判定是用于识别多边形类型的最常用工具，在几何中也有很
多应用。
菱形的特征有：
1．四边形。
菱形是四边形，具有四条边，每条边两两之间都相交。
2．正方形。
每条边都是相等的，也就是说四条边的长度都是相等的，也就是菱形是
正方形的一种。
3．对称。
由于菱形是正方形，所以它具有对称特性，即对称轴对称，对称中心对称。
4．角相等。
四条边不仅长度相等，而且角度也是一样的，都是90°。
因此，通过菱形的特征来判定它是菱形，只需满足以上四个条件即可完成菱形判定：
2．正方形：检查每个边的长度，如果都是相等的，即为正方形。
3．对称：检查菱形是否具有对称特性，垂直方向上两条边完全相等，水平方向上也
完全相等。
综上所述，菱形性质主要是指具有以上四类属性：四边形、正方形、对称性和角相等，如果多边形满足这四个条件，则可以判定其是菱形。
(完整版)菱形的性质及判定
菱形的性质及判断中考要求知识点 A 要求B要求Ｃ要求菱形会辨别菱形掌握菱形的观点、性质和判断，会用菱形的性质和会用菱形的知识解决有关判断解决简单问题问题知识点睛1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特别的平行四边形，它拥有平行四边形的全部性质，?还拥有自己独到的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线相互垂直均分且每条对角线均分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．评论：其实只需四边形的对角线相互垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判断判断① ：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判断② ：对角线相互垂直的平行四边形是菱形．判断③ ：四边相等的四边形是菱形．重、难点要点是菱形的性质和判断定理。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，第一她是平行四边形，但它是特别的平行四边形，特别之处就是“有一组邻边相等”，因此就增添了一些特别的性质和不一样于平行四的基础。
难点是菱形性质的灵巧应用。
因为菱形是特别的平行四边形，因此它不只拥有平行四边形的性质，同时还拥有自己独到的性质。
假如获得一个平行四边形是菱形，就能够获得很多对于边、角、对角线的条件，在实质解题中，应当应用哪些条件，如何应用这些条件，经常让很多学生惊慌失措，教师在教课过程中应赐予足够重视。
例题精讲板块一、菱形的性质【例 1】☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分红全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和本来的菱形重合，那么旋转的角度起码是【例 2】⑴如图 2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离 AB BC16cm ，则1度．A B C1图2⑵如图，在菱形ABCD 中， A 60 ， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，若 EF 2 ，则菱形 ABCD的边长是 ______．AE FB DC【例 3】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC于 H ，交 CB的延伸线于 F ，交 AB于 P，证明： AB 与 EF 相互均分．DEHA CPBF【例 4】☆如图 1 所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为 24，则 OH 的长等于．AHB DOC图1【稳固】☆如图，已知菱形ABCD 的对角线AC8cm ，BD 4cm ，DE BC 于点E，则DE的长为【例 5】☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1 ，则菱形较短的对角线的长度为【稳固】如图 2，在菱形ABCD 中， AC 6 ， BD 8 ，则菱形的边长为（）A．5B．10C．6D．8A DBC图 2【稳固】如图 3，在菱形ABCD中， A 110， E、 F 分别是边 AB和 BC的中点， EP CD 于点 P，则FPC （）A．35B．45C．50D．55DAE PCB F图3【例 6】☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，而后剪下一个角，为了获得一个锐角为60 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（）A．15或30 B ．30或 45 C ．45或60D．30或60【稳固】菱形 ABCD 中，E 、F 分别是 BC 、CD 的中点，且 AE BC ，AF CD ，那么EAF 等于．【稳固】如图，将一个长为10cm ，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再翻开，获得的菱形的面积为（）A． 10cm 2 B ． 20cm 2C． 40cm2D． 80cm 2DA CB图1【例 7】☆已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例 8】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，ABC 60，?沿着菱形的对角线修筑了两条小道AC和BD ，求两条小道的长和花坛的面积．AOB DC图2【例 9】已知，菱形ABCD 中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 上的点，若AE AF EF AB ，求 C 的度数．AB DE FC板块二、菱形的判断【例 10】如图，假如要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要增添一个条件，那么你增添的条件是．A DB C【例 11】☆如图，在ABC 中， BD 均分ABC ， BD 的中垂线交AB 于点 E ，交 BC 于点 F ，求证：四边形 BEDF 是菱形AE DB FC 【稳固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC 的垂直均分线与边AD 、 BC 分别订交于 E、 F .求证：四边形 AFCE 是菱形.A EDOBF C【例 12】如图，在梯形纸片ABCD中，AD / / BC，AD CD ，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在AD 上的点 C 处，折痕 DE 交 BC 于点 E ，连接 C E .求证：四边形 CDC E 是菱形．A C'DB EC 【例 13】☆如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC于 H ，交 CB的延伸线于 F ，交 AB于 P ，证明： AB 与 EF 相互均分A E D A E DP PF B C F B C【稳固】☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AE 是 BC 边上的高，将ABE 沿 BC 方向平移，使点E 与点 C 重合，得GFC ．若 B 60 ，当 AB 与 BC 知足什么数目关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．A G DB E FC【例 14】如图，在ABC中，AB AC，M是BC的中点．分别作MD AB于D，ME AC于 E ，DF AC 于 F ， EG AB 于 G ． DF 、EG 订交于点 P ．求证：四边形DMEP 是菱形．AG P FD EB MC 【例 15】如图，ABC中，ACB 90，AD是BAC 的均分线，交 BC 于D ，CH 是 AB 边上的高，交 AD 于 F ， DE AB于 E ，求证：四边形CDEF 是菱形．CDFAH E B【稳固】☆如图， M 是矩形 ABCD 内的随意一点，将MAB 沿 AD 方向平移，使 AB 与 DC 重合，点 M 移动到点 M ' 的地点⑴画出平移后的三角形；⑵连接 MD ，MC ，MM ' ，试说明四边形MDM 'C 的对角线相互垂直，且长度分别等于AB，AD 的长；⑶当 M 在矩形内的什么地点时，在上述变换下，四边形MDM 'C 是菱形？为何？A DMM'B C三、与菱形有关的几何综合题【例 16】已知等腰△ABC中，AB AC ， AD 均分 BAC 交 BC 于 D 点，在线段 AD 上任取一点 P （ A 点除外），过 P 点作 EF∥ AB，分别交 AC 、 BC于 E 、 F 点，作 PM ∥ AC，交 AB于 M 点，连结ME.⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当 P 点在哪处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？CDE PFABM课后练习1.菱形周长为 52cm ，一条对角线长为 10cm ，则其面积为．2.如图，在菱形 ABCD 中，AB4a ，E 在BC上， BE 2a， BAD120 ，P 点在BD上，则PE PC的最小值为A DPB E C3.已知菱形的一个内角为60 ，一条对角线的长为 2 3 ，则另一条对角线的长为________．4.已知，菱形 ABCD中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 上的点，且 BEAF60， BAE 18 ．求：A DFBE C5.如图，在ABC 中， AB AC ，D 是 BC 的中点，连接 AD ，在 AD 的延伸线上取一点 E ，连接 BE ，CE ．当 AE 与 AD 知足什么数目关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明原因．BADE C6.如图，ACD 、ABE 、BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形．已知AB AC ．⑴按序连接 A 、 D 、 F 、 E 四点所组成的图形有哪几类？直接写出组成图形的种类和相应的条件．⑵当BAC 为度时，四边形ADFE 为正方形．FEDAB C7.如图，已知BE、CF分别为ABC 中B、 C 的均分线， AM BE于M，AN CF于N，求证： MN ∥ BC．AFENMB C。
菱形的特点与相关定理
菱形的特点与相关定理菱形是一种具有独特形状的四边形，它具有一些特点和相关定理。
本文将介绍菱形的特点，并探讨与菱形相关的定理。
一、菱形的特点1. 边长相等：菱形的四条边长度相等，即AB = BC = CD = DA。
2. 角度性质：菱形的相邻两边之间的夹角均为直角，即∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°。
3. 对角线相互垂直：菱形的两条对角线相互垂直，即对角线AC ⊥BD。
4. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC = BD。
二、菱形的相关定理1. 对角线的性质对角线的性质是指菱形对角线之间的关系。
定理1：菱形的对角线平分对角线的角。
证明：设菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OB和OD。
由菱形的性质可知，∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°。
因此，△OAB和△OCD都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，可推得∠OBA = ∠OCB且∠ODC = ∠ODA。
又因为∠OBA + ∠OCB = ∠OCB + ∠ODC = ∠ODC + ∠ODA = ∠ODA + ∠OBA = 180°，所以∠OBA = ∠ODA = 90°/2 = 45°。
因此，对角线AC平分∠BOD，对角线BD平分∠AOB。
证毕。
2. 边长的性质边长的性质是指菱形边长之间及与对角线之间的关系。
定理2：菱形的对角线平分边长。
证明：根据菱形的性质可知，AB = BC = CD = DA。
设菱形ABCD 的对角线AC和BD相交于点O，连接OB。
由菱形的性质可得，△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，因此OA = OB = OC = OD。
所以，对角线AC平分边长AB和CD，对角线BD平分边长BC和DA。
证毕。
3. 同侧内角的性质同侧内角的性质是指菱形同一边上的内角之间的关系。
定理3：菱形同一边上的内角之和为180°。
菱形的性质及判定
初中数学菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．板块一、菱形的性质☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为,若墙上钉子间的距离，则 度．16cm 16cm AB BC ==1∠=⑵如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是______．如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分．☆ 如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于 ．☆如图，已知菱形的对角线于点，则的长为图21CBA ABCD 60A ∠=︒E F AB AD 2EF =ABCD E ABCD AD EF AC ⊥H CB F AB P AB EF P HFE DCBAABCD AC BD O H AD ABCD 24OH 图1HO DC BAABCD 8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，E DE E F DBCA☆ 菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为如图2，在菱形中，，，则菱形的边长为（ ） A ． B ． C ． D ．如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（ ）A ．B ．C ．D ．☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ） A ．或 B ．或 C ．或 D ．或菱形中，、分别是、的中点，且，，那么等于 ．如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ． B ． C ． D ．20cm 2:1ABCD 6AC =8BD =51068图2DCBAABCD 110A ∠=︒E F AB BC EP CD ⊥P FPC ∠=35︒45︒50︒55︒图3E DP CF BA 60︒α15︒30︒30︒45︒45︒60︒30︒60︒ABCD E F BC CD AE BC ⊥AF CD ⊥EAF ∠10cm 8cm 210cm 220cm 240cm 280cm☆已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是如图，菱形花坛的周长为，，•沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积．已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数．板块二、菱形的判定如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．☆如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形是菱形图1DCBA ABCD AC BD ，ABCD 20m 60ABC ∠=︒ACBD 图2ABCD E F BC CD AE AF EF AB ===C ∠FEDCBAABCD DCAB ABC ∆BD ABC ∠BD ABE BCF BEDF已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于 、.求证：四边形是菱形.如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点 的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形．☆如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分☆已知：如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．如图，在中，，是的中点．分别作于，于，于，于．相交于点．求证：四边形是菱形．FEDCBAABCD AC AD BC E F AFCE ODEFC ABABCD //AD BC AD CD >D C AD C DE BC E C E 'CDC E 'C'DCB A EE ABCD AD EF AC ⊥H CB F AB P AB EF AB CDEF P PF EDC B A ABCD AE BC ABE ∆BC E C GFC ∆60B ∠=︒AB BC ABFG GF E DCBAABC ∆AB AC =M BC MD AB ⊥D ME AC ⊥E DF AC ⊥F EG AB ⊥G DF EG 、P DMEP如图，中，，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形．☆如图，是矩形内的任意一点，将沿方向平移，使与重合，点移动到点的位置 ⑴画出平移后的三角形；⑵连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长； ⑶当在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形？为什么？三、与菱形相关的几何综合题已知等腰中，，平分交于点，在线段上任取一点（点除外），过点作，分别交、于、点，作，交于点，连结. ⑴求证四边形为菱形⑵当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半？PMF E DG CBABC ∆90ACB ∠=︒AD BAC ∠BC D CH AB AD F DE AB ⊥E CDEF HF DECBAM ABCD MAB ∆AD AB DC M 'M 'MD MC MM ，，'MDM C AB AD ，M 'MDM C M'M DC BAABC △AB AC =AD BAC ∠BC D AD P A P EF AB ∥AC BC E F PM AC ∥AB M ME AEPM P AEPM EFBM菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为 ． 如图，在菱形中，在上，点在上，则的最小值为已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为则另一条对角线的长为________．已知，菱形中，、分别是、上的点，且，．求：的度数．如图，在中，，是的中点，连结，在的延长线上取一点，连结，．当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由．如图，、、均为直线同侧的等边三角形．已知． ⑴ 顺次连结、、、四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成MPFABDE 52cm 10cm ABCD 4AB a E =，BC 2120BE a BAD P =∠=︒，，BD PE PC +PDCBA60︒3ABCD E F BC CD 60B EAF ∠=∠=︒18BAE ∠=︒CEF ∠FEDCBAABC ∆AB AC =D BC AD AD E BE CE AE AD ABEC EDCB AACD ∆ABE ∆BCF ∆BC AB AC =A D F E 课后练习图形的类型和相应 的条件．⑵ 当为 度时，四边形为正方形．如图，已知、分别为中、的平分线，于，于，求证：．BAC ∠ADFE FEDCBABE CF ABC ∆B ∠C ∠AM BE ⊥M AN CF ⊥N MN BC ∥NMEFCBA。
鲁教版(五四制)数学八年级下册6.1菱形的性质与判定说课稿
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
鲁教版（五四制）数学八年级下册6.1菱形的性质与判定说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自鲁教版（五四制）数学八年级下册6.1节，主题为“菱形的性质与判定”。在整个课程体系中，本节课起到了承上启下的作用。前面章节学习了平行四边形及其性质，为本节课菱形的学习奠定了基础；而后续章节将进一步研究特殊四边形，如矩形、正方形等。本节课的主要知识点包括：菱形的定义、性质、判定方法以及应用。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设情境：通过展示美丽的菱形图案、实际生活中的菱形应用等，激发学生对菱形学习的兴趣；
2.操作实践：让学生动手画菱形，观察菱形的性质，增强学生的直观感受和动手能力；
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，让学生在交流中碰撞出思维的火花，提高解决问题的能力；
4.竞赛游戏：设计菱形知识竞赛或游戏，激发学生的竞争意识和合作精神，提高课堂的活跃度和学生的参与度。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将以生活中的菱形为例进行导入。首先，我会向学生展示一些美丽的菱形图案，如珠宝、建筑、艺术作品等，让学生直观地感受到菱形的美。接着，我会提出问题：“你们在生活中还见过哪些菱形？它们有什么特别之处？”通过这个问题，引导学生思考菱形的特点和应用。此外，我还会让学生尝试用手指在空中比划出菱形，通过亲身体验，激发学生对菱形学习的兴趣。
菱形的判定和性质
菱形的判定和性质
一个菱形是一种四边形，判定一个图形是菱形首先要看它是否是四边形，如果是，再看其形状是否是对称的，即四条边是否是相等，如果都相等，则这个图形就是一个菱形。
菱形性质：菱形的外切圆的半径向内均等地分割菱形，菱形的四个角，每两条边相交形成的两个角都是相等的，所以菱形是一种正三角形；另外，菱形的对角线是一对平行线，并且对角线长度是菱形的四条边长度之和。
菱形所有边都相等，但是菱形是一种非凸多边形（concave polygon），也就是说，菱形边缘凹陷，两个邻接边之间角度大于180度，这是菱形与正多边形、凸多边形最大的区别。
还有一些性质：如果对菱形的对角线进行划分，那么菱形的四边形就会被划分为两个结构一致的三角形；菱形中外切圆的圆心在对角线的中点处，菱形最大内切圆以及最大外接圆的圆心也在对角线的中点处。
菱形具有很多有趣的性质，并且应用在许多方面。
比如，在绘画上，菱形用于定义简洁的对称元素，在棋盘游戏中使用菱形来实现多边形布局，也用于体育项目中的一些比赛线、标识圈范围等。
菱形的判定和性质
菱形的判定和性质菱形是一个非常基本的几何形状，它有着很多重要的性质。
在本文中，我们将学习如何判定一个四边形是否为菱形，并探讨菱形的一些重要性质。
判定四边形是否为菱形在几何中，一个四边形是菱形的充分必要条件是它的四条边长度相等。
也就是说，如果一个四边形的四条边长分别为a,b,c,d，那么这个四边形是菱形当且仅当a=b=c=d。
除此之外，我们还可以通过判定四边形的对角线是否相等来确定一个四边形是否为菱形。
具体来说，如果一个四边形的对角线长度分别为e,f，那么这个四边形是菱形当且仅当e=f。
为了方便起见，在接下来的部分中，我们将使用第二种方法来判定四边形是否为菱形。
菱形的性质性质1：菱形的两条对角线相互垂直一个菱形的两条对角线相互垂直。
我们可以通过使用勾股定理来证明这一点。
具体来说，假设一个菱形的两条对角线长度分别为e,f，那么我们可以将它们分别表示为线段AC和BD。
根据勾股定理，我们有：$$ \\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\\\ BD^2 &= AB^2 + AD^2\\end{aligned} $$注意到菱形的两个对角线相等，因此有AC=BD。
将它代入上面的式子中，得到：AB2+BC2=AB2+AD2化简上式可得：BC2=AD2这说明了菱形的对角线是相互垂直的。
性质2：菱形的对角线平分内角一个菱形的两条对角线平分它内部的角。
我们可以使用相邻角互补或垂直平分线的性质来证明这一点。
具体来说，假设一个菱形的两条对角线长度分别为e,f，交于点O，那么我们可以将它们分别表示为线段AC和BD。
根据性质1，菱形的对角线相互垂直，因此角$\\angle AOB$是一个直角。
又因为线段AC和BD是直线，所以它们平分了角$\\angle AOB$。
同理，它们也平分了菱形内部的所有角。
性质3：菱形的四个角相等一个菱形的四个角相等。
这可以通过使用相邻角互补或垂直平分线的性质来证明。
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定知识点 A 要求B 要求 Ｃ要求菱形会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．知识点睛中考要求判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等〞，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的根底。
难点是菱形性质的灵活应用。
由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。
如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。
板块一、菱形的性质【例1】 ☆⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 假设墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，那么1∠=度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，假设2EF =，那么菱形ABCD 的边长是______．例题精讲重、难点【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，那么OH 的长等于．图1HO DC BA【巩固】 ☆如图，菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，那么DE 的长为【例5】 ☆菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，那么菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，那么菱形的边长为〔 〕A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，那么FPC ∠=〔 〕A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒E F DBCA图3E DP CF BA【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为〔 〕A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于．【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线〔虚线〕剪下，再翻开，得到的菱形的面积为〔 〕A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA【例7】 ☆菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，那么菱形的一个钝角的大小是【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】 ，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，假设AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．DCAB 【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】 ：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF PPF EDC B A【巩固】 ☆：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．假设60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDCBA三、与菱形相关的几何综合题【例16】 等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P 〔A 点除外〕，过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME . ⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，那么其面积为．2.如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，那么PE PC +的最小值为EPDCBA3. 菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，那么另一条对角线的长为________．4.，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FE DCBA5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．课后练习EDCB A6.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应 的条件．⑵ 当BAC ∠为度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCB A7.如图，BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA。
菱形定义、性质及判定
菱形定义、性质及判定
菱形
1.
2.
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，
还具有自己独特的性质：
①边的性质：对边平行且四边相等
②角的性质：邻角互补，对角相等
③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分组对角
④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形。
菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半。
【点评】:只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半.
3.
① 一组邻边相等的平行四边形是菱形；
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③ 四边相等的四边形是菱形。
《菱形》 知识清单
《菱形》知识清单一、菱形的定义在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
需要注意的是，菱形首先是平行四边形，然后在此基础上增加了“一组邻边相等”这一条件。
二、菱形的性质1、边的性质菱形的四条边都相等。
这是菱形的一个显著特征，也是区别于其他平行四边形的重要特点。
2、角的性质菱形的对角相等，邻角互补。
3、对角线的性质（1）菱形的对角线互相垂直平分。
这意味着两条对角线将菱形分成了四个全等的直角三角形。
（2）菱形的对角线平分一组对角。
即两条对角线与菱形的边所构成的角被对角线平分。
4、对称性菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
同时，菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线就是它的对称轴。
5、面积（1）菱形的面积可以用底乘以高来计算。
（2）由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积还可以用对角线乘积的一半来计算。
假设菱形的两条对角线分别为 d₁和 d₂，那么菱形的面积 S ＝ 1/2 × d₁ × d₂。
三、菱形的判定1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
这是根据菱形的定义得出的判定方法。
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
可以通过证明平行四边形的对角线互相垂直，从而得出该平行四边形是菱形。
3、四条边都相等的四边形是菱形。
如果一个四边形的四条边都相等，那么它一定是菱形。
四、菱形的应用1、在几何证明题中，常常需要根据已知条件判断一个图形是否为菱形，或者利用菱形的性质来证明其他结论。
2、在实际生活中，菱形也有广泛的应用。
比如菱形的图案在建筑装饰、纺织品设计等方面经常出现，因为其独特的美感和对称性能够增加设计的艺术感。
3、菱形的结构特性在一些工程设计中也有应用，比如某些机械零件的设计、桥梁结构的支撑部分等。
五、与菱形相关的常见题型1、证明题给出一个四边形，要求证明它是菱形。
这通常需要根据菱形的判定定理，通过证明边相等、对角线的关系等来完成。
2、计算题（1）已知菱形的边长、对角线长度等，求面积或其他线段的长度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学流程：二、 探索新知 （一）、自主学习：观察课本第二页的图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？菱形定义： _________________________ 的平行四边形叫菱形几何语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD 是 _____________ 定义中强调的条件：（1） __________________（2）_____________________________ （二）合作交流：1、将平行四边形沿某条线对折，使线段AB 落在线段BD 上，点A 与点F 重合，BE 是折痕，沿EF 剪开，得到四边形ABFE有一组____________的_____________叫做菱形。
菱形是___________的平行四边形。
2、探究菱形的性质。
（1）边: __________________________________________________（位置和大小两方面） 几何语言：如图1， ∵四边形ABCD 是菱形, ∴________________________已知：四边形ABCD 是菱形，且AD=AB 求证：_____________________________(证明大小关系) 练习：如图，在菱形ABCD 中，AB=4，则菱形ABCD 的周长是_________。
规律：菱形的边长为a ，则菱形的周长c=_________。
（2）角：____________________________________________（平行四边形性质） 练习：如图1，在菱形ABCD 中，AB=5，∠ABC=60°，则AC 长为________。
（3）对角线：① _____________________________________（平行四边形性质） 根据__________________________________性质得到下面结论： ②______________________________________（两条对角线的位置关系） ③____________________________________（对角线和一组对角的关系）几何语言：如图1， ∵四边形ABCD 是菱形, ∴①____________②_____________③________________练习：在菱形ABCD 中，AC=6，∠ABC=60°，则BD 长为_______。
规律：对角线将菱形分成四个小________三角形,此时图中有______个等腰三角形。
（4）对称性：菱形是____________图形，对称轴有____条，即两条________所在的直线。
菱形是____________图形，对称中心是_____________.练习：你能将长方形纸通过折叠和裁剪得到菱形吗？说明你的做法。
(5)面积：①_______________②_______________③_________________________练习：①在菱形ABCD 中，已知AC=6，BD=8，边上的高是4.8，则菱形ABCD 的面积________。
②在菱形ABCD 中，AB=a ，∠ABC=30°，则菱形ABCD 的面积___________ ③在菱形ABCD 中，AB=a ，∠ABC=450°，则菱形ABCD 的面积___________ ④在菱形ABCD 中，AB=a ，∠ABC=60°，则菱形ABCD 的面积___________(三)巩固练习：（1）菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为 ，周长为 ，面积为 2）在菱形ABCD 中，已知∠ABC=60°,AC=4，则AB= 。
（3）菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________． （4）已知菱形的面积等于80cm 2，高等于8cm ，则菱形的周长为 . （5）已知菱形ABCD 的周长为20cm ，∠A ：∠ABC ＝1：2，则BD= cm.（6）在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，（如图）则∠EAF =______（7）菱形ABCD ，若∠A:∠B ＝2：1，∠CAD 的平分线AE 和边CD 之间的关系是_______（8）已知菱形的周长为20cm ，一条对角线长为5cm ，则菱形各个角的度数为____________．（9）已知菱形ABCD 的边长为2 cm,∠BAD ＝120°对角线AC 、BD 相交于点O ，试求出菱形对角线的长和面积．课堂小结：通过本节课的学习你有什么收获？作业：伴你学：必做 ：随堂练习1、2 习题6.11、2、3 选做：数学理解4D 教学流程：一、知识回顾：菱形的定义是什么？菱形有哪些性质？二、探索新知（一）、自主学习：1、一个平行四边形你知道添加什么条件变成菱形吗？菱形的判定方法1：_____________________________________________（定义法）符号语言∵ ______________________ ∴ ______________________(二)合作学习：探究 1、已知：□ABCD，对角线AC、BD互相垂直。
求证：□ABCD是菱形菱形的判定方法2：对角线 __________________________ 的平行四边形是菱形符号语言∵ ______________________ ∴ ______________________探究2、已知：四边形ABCD，AB=BC=CD=DA, 求证：四边形ABCD是菱形。
菱形的判定方法3：四边 ____________________ 的四边形是菱形．符号语言∵ ______________________ ∴ ______________________判断题：（1）有一组邻边相等的四边形是菱形；（）（2）对角线互相垂直的四边形是菱形；（）（3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形．（）选择：1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A、对角线垂直B、两对角线相等C、两对角线互相平分D、两对角线互相垂直平分2．不能判定一个四边形是菱形的条件是（）A、对角线互相平分且有一组邻边相等B、四边相等C、两组对角相等，且一条对角线平分一组对角D、对角线互相垂直学以致用：例1：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，OA=3，OB=4，AB=5，（1）AC，BD互相垂直吗？为什么？（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？跟踪练习：1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连接BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。
2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，四边形AFCE是菱形吗？为什么？3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.猜一猜四边形ACEF是什么形状的四边形？说明理由。
课堂小结：通过本节课的学习你有什么收获？作业：伴你学：必做：选做：AB CDEF教学流程：（一）．复习回顾平行四边形的性质及判定各有哪些方法？ （二）、自主探究1．试一试：如图用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D ，观察不管怎么推，它还是一个平行四边形吗？为什么？当平行四边形移动到一个角是直角时，这时的图形是________形。
归纳：矩形定义：__________________________叫做矩形(通常也叫_________) 矩形的定义几何语言： ∵_____________ ∴_____________温馨提示：矩形是特殊的平行四边形，所以平行四边形所有的性质，矩形都具有. 2、折一折矩形是轴对称图形吗？你还能发现它的哪些性质？ 概括对称性：矩形既是 图形，也是 图形. 边：矩形的两组对边 . 角：矩形的四个内角 .对角线：矩形的对角线 . （三）新知探究：1、对你发现的结论，“四个角都是直角”“对角线相等”，你能证明它们吗？已知：四边形ABCD 是矩形，∠ABC ＝90°，对角线AC 与 DB 相较于点O ． 求证：（1）∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°；（2）AC ＝DB ．性质定理1：矩形的 个内角都是 角． 几何语言：∵ ∴性质定理2：矩形的对角线 ___________ ． 几何语言：∵ ____________ ∴ ____________ 2、直角三角形斜边中线性质如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有： AO=BO=CO=DO= AC= BD ．因此可以得到． ∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为斜边AB 的中点∴CD=______AB归纳： 直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于_____________的一半 几何语言：∵____________ ∴ ____________ 例题讲解例1如图，矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是cm 86，对角线长是cm 13，那么矩形的周长是多少?例2如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，4=BC ，AC BE ⊥于E ，求出BE 的长.【当堂训练】1.在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周长为________．2.如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系是 ．3.如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，且∠AOD ＝120°，试说明 AC ＝2AB课堂小结:作业：必做：随堂练习1、2 习题1、2 选作：3C AB教学流程：（一）．复习回顾1、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较2合作探究：一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。
一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。
甲的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形”。
乙的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角。
所以我这个四边形门就是矩形”。